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Mai 10, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 1 Roter Faden: Lösungen der Schrödingergleichung Vorlesung 8: Folien auf dem Web: http://www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/~deboer/ Siehe auch: http://www.chemie.uni-bremen.de/stohrer/skripte/QM-Skript.pdf

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Mai 10, 2005 Atomphysik SS 05, Prof. W. de Boer 1

Roter Faden:

Lösungen der Schrödingergleichung

Vorlesung 8:

Folien auf dem Web:http://www-ekp.physik.uni-karlsruhe.de/~deboer/

Siehe auch: http://www.chemie.uni-bremen.de/stohrer/skripte/QM-Skript.pdf

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Zum Mitnehmen

Teilchencharakter der Strahlung führt zu Störungen bei der Beobachtung

Die Störungen können berechnet werden wenn man die Teilchen als Wellenpakete annimmt. Dies führt zur Unsicherheitsrelation.

Die Wellenfunktion eines Teilchens gehorcht der Schrödingergleichung

Die beobachtbaren Zustände sind Eigenfunktionen der SGund die Messungen entsprechen der Eigenfunktionsgleichung: Ô|Ψ>=o| Ψ>Hier ist Ô ein Operator, der den “Kollaps” der Wellenfkt. aufeine Eigenfunktion herbeiführt und o ist der Messwert.

Nicht-kommutierende Operatoren entsprechen Observablen, dieman nicht gleichzeitig scharf messen kann und die Wellenfkt.sind nicht gleichzeitig Eigenfunktionen dieser Observablen.

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Vertauschungsrelationen

(auch Kommutator genannt)

von

z.B.

x

x(Ô2Ô1-Ô1Ô2)Ψ=(O2O1-O1O2)Ψ=0, wenn Ψ gleichzeitig Eigenfkt.von Ô1 und Ô2 ist. Kommutator gleich 0 bedeutet also das Messungvon O1 keine Nachwirkung für anschliessende Messung von O2 hat.Umgekehrt: wenn Kommutator zweier Variablen ≠ 0, dann sind diese nicht gleichzeitig scharf zu bestimmen. Unsicherheit gegeben durch [ ].

Bsp

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Weitere Vertauschungsrelationen

Gesamtdrehimpuls und eine derKomponenten nur gleichzeitig zubestimmmen.

Gesamtdrehimpuls und Energiegleichzeitig zu bestimmmen.Z-Komponente des Drehimpulsesund Energie gleichzeitig zu bestimmmen.

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Zusammenfassung der Operatoren für Observablen

Kurzschreibweise fürBerechnung einesMittelwertes eines Operators (entsprichtMittelwert einer Messung):

<o>=<Ψ|Ô|Ψ>/<Ψ|Ψ>

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Bedingungen einer Zustandsfunktion

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Übersicht der Postulate der QM

durch <o>=<Ψ|Ô|Ψ>/<Ψ|Ψ> gegeben ist.

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Übersicht der Postulate der QM

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Lösung der SG im eindimensionalen Fall

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2. Ansatz zur Lösung der SG im eindimensionalen Fall

Nur komplexe Funktionen als Lösung der SG!Gilt nicht für relat. Klein-Gordon-Gleichung,weil dort die ZWEITE Ableitung der Zeit vorkommt.

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2. Ansatz zur Lösung der SG im eindimensionalen Fall

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3. Ansatz zur Lösung der SG im eindimensionalen Fall

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4. Ansatz zur Lösung der SG im eindimensionalen Fall

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Zusammenfassung

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Wenn Ψ keine Eigenfkt. von p, was ist dann Erwartungswert von p?

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Wellenpakete sind Lösung der SG und sind quadratisch integrierbar

Wellenpaket ist Superposition vieler Wellen:

Wellenpakete sind Lösung der SG

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Wellenpakete also Lösung der SG, jedochLösung begrenzt durch Unschärferelation

Wahrscheinlichkeitsdichte <Ψ|Ψ>

Die Fouriertransformierte eines gaussförmigen Wellenpaket mit Standardabweichung σergibt im Impulsraum wieder einen Gaussform, jedoch mit Standardabweichung 1/σ !

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Phasenraumpunkt [dx,dy,dz,dpx,dpy,dpz] nicht beliebiggenau zu bestimmen:∆x∆px>h ∆y∆py>h ∆z∆pz>h

Fläche>ħ

Unschärferelation im Phasenraum

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Lösung der SG bei Streuung am Doppelspalt

Teil derWellereflektiert.

Anfang:

GausschesWellenpaket

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Lösung der SG bei Streuung an einem attraktiven Potentialwall

Streuung von2 Teilchen(GausscheWellenpakete)mit Impakt-parameter ≠ 0

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Lösung der SG in einem externen Potentialfeld

Coulombpotential ≈ Rechteckpotential bei kleinen Abständen

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Lösung der SG für Teilchen in einem endlichen Potentialtopf (schwach gebundener Zustand)

E=Ekin+V0

Ansatz:

LösungfürI+III

Lösungfür II

Quadratische Integrierbarkeit verlangtuA für x<0 und uB für x>0.Zusätlich Stetigkeit der Lösung ergibtgezeichnete Lösung: AW max. im Topf,aber exp. abnehmend ausserhalb(=Tunneleffekt, klassisch nicht erlaubt!)

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Lösung der SG für Teilchen in einem unendlich tiefen Potentialtopf (gebundener Zustand)

Stetigkeit der Lösung verlangt:

mit Randbedingung

oder mit Quantisierungder Energie durchRandbedingungen!

Für n=0

⇒Ψ=0, daher sinnlos,da Teilchen nichtvorkommt. -> n>0,d.h. n=1,2,3….

n=1 entspricht Nullpunktsenergie, die nichtunterschritten werden kann, auch bei T=0K.Nach Unschärferel.⇒ Nullpunktsschwingungen

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Normierung der Wellenfunktion

Aus

mit

folgt

Gesamtwellenfuntion:

Ψ1

Ψ2

Ψ3

Ψ4Amplitude derWellenfkt. Ψnfür diskreteEnergieniveaus(Eigenfkt.der Energie)

Realteil Ψ formt stehende Wellen

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Energiewerte, Wellenfkt. und Aufenthaltswahrscheinlichkeiten

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Erlaubte Energieniveaus in unterschiedlichen Potentialkasten

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Dies ist das Korrespondenzprinzip

Korrespondenzprinzip: QM⇒KM für makroskopische Systeme

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Erwartungswert von x

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Die Erwartung ist dass der Mittelwert von x in der Topfmitte ist

Erwartungswert von x

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Erwartungswert von px

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Die Erwartung ist dass der Mittelwert von px 0 ist, d.h. Teilchen hat mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein Impuls nach links oder nach rechts.

Erwartungswert von px

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Zum Mitnehmen

Die Randbedingungen der SG führt zur Quantisierung der Energien

Klassische Zustände sind immer Überlagerungen von vielen Eigenzuständen.

Es gibt eine niedrigste Energie für jedes Quantensystem ≠ 0, weilansonsten die AW 0 wird. Dies entspricht eine Impulsunschärfeund dementsprechend eine Ortsunschärfe ⇒ Nullpunktsschwingungen (auch bei absoluter Temp. = 0!)