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VORLESUNGEN V ÜBE R MATHEMATISCHE ANALYSIS MIT ANWENDUNGEN AUF GEOMETRIE, MECHANIK UND WAHRSCHEINLICHKEITSLEHRE T O N D R . J. M. C. BARTELS, STAATSRATH, ORDEN'TL. PROFESSOR DER MATITEMATIK ZU DORPAT, UND CORRESP. MITGL. DER KAISERL, ACAD. DER WISSENSCHAFTEN ZU ST, PETERSBURG. ERSTER BAND. DORPAT, 1833. GEDRUCKT BEI J. C. SCHÜNMANN. UNlVERSITÄTS - BUCHDRUCKER.

Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

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Author: Bartels, Johann Martin ChristianDate: 1833

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Page 1: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

V O R L E S U N G E N

V Ü B E R

MATHEMATISCHE ANALYSIS

M I T A N W E N D U N G E N A U F G E O M E T R I E , M E C H A N I K UND W A H R S C H E I N L I C H K E I T S L E H R E

T O N

D R . J. M. C. B A R T E L S ,

S T A A T S R A T H , ORDEN'TL. P R O F E S S O R D E R MATITEMATIK ZU D O R P A T , U N D C O R R E S P .

M I T G L . D E R K A I S E R L , A C A D . D E R W I S S E N S C H A F T E N ZU S T , P E T E R S B U R G .

E R S T E R B A N D .

D O R P A T , 1833.

G E D R U C K T B E I J. C. S C H Ü N M A N N . U N l V E R S I T Ä T S - B U C H D R U C K E R .

Page 2: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Zum Druck befördert in Gemäfcheit des & 217 des Allerhöchsten Statuts der Universität

Dorpat T o m 4« J u n i *82Q.

Dorpat, den 2ten Februar 1835*

D e r V e r f a s s e r.

TARTU OUKOOU RAAMATUKOGU

^ s * ^ s r

Page 3: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

V O R R E D E . D a diesc Vorlesungen vorzüglich auf den Wunsch meiner ehemaligen und

gegenwärtigen Zuhörer geschrieben sind und zugleich zu einer Art von

Rechenschaft über meine fünf und zwanzig jährige Thätigkeit als mathe

matischer Lehrer auf den beiden russischen Universitäten Kasan und Dor-

pat dienen sollen, so werden ein paar Worte über meinen fr(ihcrn Bil

dungsgang vielleicht hier nicht ani unrechten Orte sein.

Ich wurde am 12tcn August 1769 in Braunschweig geboren. Von

meinen Eltern zu einem bürgerlichen Gewerbe bestimmt, erhielt ich

meine frühere Ausbildung in der sogenann'-"n Waisenhausschulc, einer

Art Realschule, an welcher der Unterricht von mehreren Lehrern, mei

stens Candidaten der Theologie, besorgt wurde. Späterhin besuchte

ich eine der beiden Schreib- und RechcnscIiuIen, worin über hun

dert Schüler fast einzig im kalligraphisch und ortographisch Schrei

ben, im Rechnen und in der Religion von einem von der Braunschw.

Schulbehörde angestellten Lchrcr und dem von ihm gewählten GehüIfen

Unterricht ertheüt wurde. Iu dieser Schule hat auch späterhin unser

grofse Geomcter G a u f s seine erste Bildung erhalten.

Noch nichtvierzehnJahrc alt, übernahm ich dicStelle des abgehendenGe-

hülfen, eincsMannes von dreiisigJahren. SiebenStunden täglich in der Schu

le, die übrigeZcit milKopieren und späterhin selbst mitAusfcrtjgung derVor-

mundschafts- und Kirchcnrechmmgen, welche die beiden Rechenmeister dcr

Stadt zu besorgen hatten, beschäftigt, blieb mir zur eigenen Verfügung

täglich kaum cinc Stunde übrig, die ich nebst einigen dem Schlafe entzoge

nen Stunden den Studien widmen konnte. So vortheilhaft diese Lage nun

Page 4: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

auch für mcincn damaligen Plan war , mich zu einem geschickten Rech

nungsführer zu bilden, so wäre ich doch, bei dem unnatürlichen Verhält

nisse als Knabe die Stelle des Lehrers und Aufsehers einer ziemlich ro

hen Jugend, zum Theil mit mir von gleichem Alter, spielen zu müssen,

und bei den vielen meiner Neigung nach und nach weniger entsprechen

den Arbeiten, geistig und körperlich fast unterlegen.

Dieser Umstand bestimmte mich meinc Verhältnisse, in denen ich ftlnf

Jahre zugebracht, aufzugeben, und, ohne Rücksicht auf meine beschränkten

äufsern Hülfsmittel und auf den gänzlichen Mangel an nöthigen Schulkcnnt-

nissen, es zu wagen, mich unter die Zahl der auf dem Collegio CaroIino

Studierenden aufnehmen zu lassen.

Glücklicherweise für mich hatte jeder unbescholtene Jüngling, oh

ne sich einer Prüfung unterwerfen zu müssen, Zutritt zu den Vorle

sungen, wenn er sie nicht etwa unentgeltlich besuchen wollte; au-

ferdem würde ich auf die Ausführung meines Planes haben verzichten

müssen. Durch angestrengten Flcifs brachte ich es indefs bald da

hin , dafs ich die Vorträge der Professoren G a r t ii c r, S c h m i d t,

E b c r t , E m p e r i u s , W a g n e r über lateinische und selbst griechische

Auctoren mit Nutzen besuchen konnte. Das Griechische gab ich jedoch,

weil die Zeit nicht ausreichen wollte, späterhin auf. Aufscrdem nahm

ich auch an den wissenschaftlichen Vorträgen von E s c h e n b u r g , Z i m

m e r m a n n , L ü d e r , K n o c h , M o l l , ii. a. Anthcil. Im Französischen,

Englischen und selbst Italiänischen brachte ich es ziemlich bald so

weit , dafs ich ohne grofse Mühe einen Prosaiker lesen und sogar diesc

Sprachen als Erwerbsmittel gebrauchen konnte, indem ich an der Über

setzung ins deutsche von Smellis Philosophie of the natural history, Youngs

traveIs und mehrerer Aufsätze für die von Z i m m e r m a n n herausgege

benen geographischen Aniialen Theil nahm, und zugleich dort studie-

Page 5: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

renden jungen Engländern, die kein deutsch verstanden, Privatunterricht

in der Mathematik gab. Der mathematische Unterricht, welcher auf dem

Carolino van dem damaligen Hof. v. Z i m m e r m a n n und demIngcnieur-

major M o I I crthciIt wurde, an welchem auch einige Offkiere und Ca-

detten vom ArtilIcriccorps TheiI nahmen, beschränkte sich auf Algebra,

Geometrie undTrigonomctrie. Da ich nun bereits in meinen frühernVerhält-

nissen Fertigkeit im Rechnen und einige Gewandheit in der Auflösung alge

braischer und geometrischerAufgaben erworben hatte, so gewann ich gar bald

die Gunst und das Zutrauen meines Lehrers Z i m m e r m a n n , dessen An

denken mir* wegen des wohlthätigen Einflusses, den derselbe auf meine

ganze Bildung und Verhältnisse gehabt hat, unvergefsIich sein wird.

Nicht minder wohIthatig auf meine Ausbildung einwirkend war, ein von

den Studierenden gestifteter Verein von etwa acht Mitgliedern, welche sich

abwechselnd aIIe vierzehn Tage bei einem derselben zur Beurtheilung ei

nes von diesem eingelieferten deutschen Aufsatzes und zur frohen gesel

ligen Unterhaltung versammelten. AHe haben einen nützlichen und eh

renvollen Platz, theiIs als Geschäftsmänner, theiIs als Schriftsteller und aca-

demische Lehrer, in der bürgerlichen Gesellschaft eingenommen; der grö-

fserc Theil derselben hat jedoch bereits seine Laufbalm hienieden vollendet.

Nachdem ich drei Jahre den Unterricht auf dem CoIleg. Carolino

bestmöglichst benutzt hatte, bezog ich die Universität Helmstedt, woselbst

ich unter O e I z e , H ä b e r l i n , G u n t e r , SchmcIzereincnvoIIständigenju-

ristischcn Cuisus hörte. Aiifserdem besuchte ich noch die Vorlesungen von

R c m e r , B e i r c i s , u. a. Besonders nützlich aber war mir bei meinem

noch immer mit Vorliebe fortgesetzten mathematischen Studium der freund

schaftliche Umgang des in HaIIe verstorbenen ausgezeichneten Analytikers

Prof. Pfaf f , bei dem ich auch mit dem nachherigen Professor derMathem.

S t a h l zu Jena ein Privatissimum Über Integralrechnung hörtc.

Page 6: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Auf P f a f P s Rath ging ich uachzweijährigem Aufenthalt inHelmstcdt

«achGöttingen, uin mich ganz derMathcmatik zu widmen, und nach erlangter

|)hilos.Doctorwllrdc mich als Privatdocent dort niederzulassen. Hier besuchte

ich L i c h t e n b e r g s uud K ä s t n e r s Vorlesungen, hörte über Chemie und

einige andere Gegenstände. Zu einem einigermafsen vollständigenCursus über

höhere Mathematik war hier damals, wie vielleicht überall auf deutschen

Universitäten, keineGclegenheit; daher aIledeulscheMathcmatikerausjene,r

Zeit mehr oder minder Aiitodidacten sind. Auch waren der Studierenden,

die sich vorzugsweise den mathematischen Wissenschaften widmeten, ob

wohl die Zahl der Studierenden sich auf tausend belaufen inogte, nur

sehr wenige, kaum sechs. Unter diesen befand sich der unlängst verstor

bene berühmte Mathematiker und Astronom B o h n c n b e r g e r und der

nochlebcndeGeometcrundAstronom H a s s l e r ausAarauinNcw)ork, der

sich durch die Vermessung der nordamerikanischen Ostseeküste und durch

seine vortrefflichen mathematischen Lehrbücher um sein neues Vaterland

grofse Verdienste erworben hat. Ungeachtet durch Privatunterricht, den

ich in der Mathematik zu geben hinlänglich Gelegenheit hatte, meine Sub-

sistenz so ziemlich gesichert war, und ich auf die Unterstützung K ä s t n e r s

und L i c h t e n b e r g s bei derAusführungmciuesfrühernPIanesmitSichei-

heit rechnen durfte, so liefs ich mich doch durch Bedenklichkeiten wegen

des Gelingens desselben bestimmen, einen Antrag zu einer LehrerstcIIe

an dem Seminar in Reichenau in Graubündten anzunehmen, den ich durch

die Vermittelung meines Aerehrungswürdigen Freundes und Gönners, des

noch lebenden Herrn A b t s P o t t , erhielt. Diefs Institut war von den

Eigenthümern der Herrschaft und des Schlosses Reichenau gestiftet, und

stand unter der Direction des alten würdigen N c s e m a n n , von welchem

früher das durch Dr, B a r t h bekannteMarschlinserPhilantropin begründet

war. Das Schlofs Reichenau hat an dem Zusammenflüsse des Vorder-

Page 7: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

und Hinterrheins eine änfscrst romantische Lage und ist historisch merk

würdig, weil der jetzige König von Frankreich während der Schreckens

zeit als Professor daselbst unter einem fremden Namen angestellt war.

Ich fand hei meiner Ankunft daselbst noch mehrere seiner Schüler vor,

die den bei ihm angefangenen mathematischen Unterricht bei mir fort

setzten. Späterhin wurde mein verehrter Freund, der deutsche Lieblings-

schriftstellerDr.il. Z s c h o k k e , Eigcnthümer dcsInstituts. U n t e r i h m g c -

dieh die Anstalt ganz vorzüglich, lösete sich aber gänzlich auf, als auch

Graubündten der Schauplatz des Krieges wurde. Hier gab ich auch meine

Übersetzung der Geschichte der neuern Astronomie, als Fortsetzung derÜber-

setzung der aIternAstronomic von W ü n s c h heraus. Es sind jedoch nur

zwTei Octavbände erschienen.

Im Jahre 1 8 0 0 kehrte ich, nach einem kurzen Aufenthalte in mei

ner Heimath, nach der Schweiz zurück, und nahm eine Lehrstelle

in Aarau an. Um diese Zeit entstand durch die vereinte Bcjnühung

und edelmüthigc Aufopferung der A a r a u e r Bürgerschaft die Kantons

schule daselbst, an d e r e n Einrichtung und Aufblühen ich thätigen An-

theil nahm. Diese Anstalt wTar auf das Bcdürfnifs der Schweiz be

rechnet und mehr eine höhere Realschule als eine sogenannte gelehrte

Schule, fand auch bald so allgemeinen Beifall, dafs die Menge der da

selbst Studierenden in kurzem die Zahl von zweihundert übertraf. Verän

derungen die einige Jahre nachher mit der Anstalt, wohl nicht zu ihrem

Vortheile, unternommen wurden, und meinen Ansichten nicht entsprachen,

bestimmten mich, einer Einladung meines Landesfürsren, des verewigten Her

zogs C a r l W i l h e l m F e r d i n a n d zufolge ins Vatcrlaud zurückzukehren.

Über den Wirkungskreis, für welchen mich der Herzog bestimmen

würde, war zwar noch nichts entschieden; indefs erhielt ich bis dahin

als Wartegeld eine jährliche Pension von 8 0 0 Thalern nebst andern

Page 8: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

EmoIiimenten, und konnte ganz nach Gefallen über dic Anwendung mei

ner Zeit verfügen. Zu gleicher Zeit erhielt ich auch durch die Empfeh

lung des seligen Staatsrath v. F u f s einen Ruf zu einer mathematischen

Professur in Kasan, den ich aber jetzt ablehnen mufste. Durch den da

mals schon wegen seiner grofsen arithmetischen und astronomischen Ent

deckungen berühmten Dr. G a u f s veranlafst, hatte der Herzog den Bau

einer mit den vorzüglichsten Instrumenten auszurüstenden Sternwarte be

schlossen, deren Direction dem Dr. G a u f s übertragen werden sollte.

Mit diesem Institute wollte man eine höhere mathematische Lehrans(alt

verbinden, die zugleich als eine Erweiterung der bereits existirenden

Lehranstalt des ColIegii CaroIini betrachtet werden konnte. Dic zum

Baue der Sternwarte und zum Ankaufe der nöthigen Instrumente erfor

derlichen Gelder waren bereit. Der Bau sollte im nächsten Jahre ange

fangen werden. Auf die Weise schien einer meiner schönsten Jiigcnd-

träumer in Erfüllung gegangen zu sein, an derselben Anstalt, der ich

hauptsächlich meine Ausbildung und die glücklichsten Tage meines Lebens

verdankte, im Verein mit Männern, für die ich als meine ehemaligen Leh

rer und wegen ihrer ausgezeichneten Herzensgute die innigste Hochach

tung hegte, einen meiner Neigung angemessenen Wirkungskreis zu finden.

Diese schönen Aussichten verschwanden jedoch mit einemmalc durch den

unglücklichen Ausgang des Krieges von 1806 . Braunschweigs geliebter

Landesfürst wurde tödtlich verwundet aus der Schlacht zurückgebracht,

um die wenigen letzten Tage seines glorreichen Lebens in der Mitte sei

ner geliebten Unterthanen zu vollbringen. Allein diefs wurde ihm nicht

vergönnt, cr mufste fliehen, und starb in Ottensen unweit Hamburg.

Diese unglücklichen Ereignisse bestimmten mich meine Verhältnisse, worin

ich als correspondircndcs Mitglied der Kasanischen Universität mit dem

Curator derselben dem wirkl. Staatsrathe R u m o v s k i stand, zu benutzen.

Page 9: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

E h e i ch j e d o c h B r a m i s c h w c i g v e r l a s s e , k a n n i c h n i c h t u m h i n h i e r d e s

e d c I n V e r f a h r e n s d e r n a c h d e r R e s t a u r a t i o n e i n g e s e t z t e n B r a i i n s c h w e i g i s c h e n

V o r m u n d s c h a f t l i c h e n R e g i e r u n g d a n k b a r l i c h s t z u e r w ä h n e n . M i t d e m E i n

r ü c k e n d e r f r a n z ö s i s c h e n Truppen i n B r a u n s c h w c i g h ö r t e n ä m l i c h d i e Z a h l u n g

m e i n e r G a g e , w i e d i e s o v i e I e r a n d e n i i m H e r z o g l i c h e n D i e n s t e s t e h e n d e n ,

auf . Z e h n J a h r e s p ä t e r w u r d e m i r , j e d o c h o h n e a l l e Bemühung v o n m e i n e r

Seite, m e i n n o c h i n B r a u n s c h w e i g b i s z u m T a g e m e i n e r Abreise r ü c k s t ä n d i

g e r G e h a l t v o n d o r t g a n z u n e r w a r t e t m i t 7 0 0 T h a I c r i n K a s a n a u s g e z a h l t .

Ungefähr u m d i e s e l b e Z e i t e r h i e l t i c h a u c h v o n S e i t e n d e r B r a u n s c h w . V o r

m u n d s c h a f t l i c h e n R e g i e r u n g d i e Z u s i c h e r u n g , d a f s d e r v o m IIochsel. r c g . H e r

z o g F r i e d r i c h W i l h e l m k u r z v o r dcrSchIaeht v o n W a t e r l o o a n m i c h e r

g a n g e n e Antrag e i n e r Professur a m Colleg. C a r o I i n o m i t 8 0 0 T h a I e r G e h a l t i n

K r a f t b l i e b e , u n d e s n u r v o n m i r a b h i n g e , o b u n d w a n n i c h d a v o n G e b r a u c h

m a c h e n w o l l e .

I m J u n i I 8 0 7 e r h i e l t i c h d i c B e s t ä t i g u n g als P r o f e s s o r in K a s a n ; r c i s c t e

a b e r erst i m O c t o b e r m i t m e i n e r F a m i l i e d a h i n ab, u n d l a n g t e n a c h e i n e r b e

s c h w e r l i c h e n u n d k o s t s p i e I i g e n R c i s c i i n A n f a n g e d e s f o I g e n d e n J a h r e s d a s e l b s t

a n . Z u m e i n e r g r o f s e i i Frcude f a n d ich u n g e a c h t e t d e r damals n o c h k l e i n e n

Zahl d e r Studierenden u n g e m e i n v i e l S i n n für d a s S t u d i u m d e r m a t h e m a

t i s c h e n W i s s e n s c h a f t e n , s o d a f s i c h i n m e i n e n V o r l e s u n g e n ü b e r h ö h e r e A n a -

l y s i s a u f w e n i g s t e n s z w a n z i g Z u h ö r e r r e c h n e n d u r f t e u n d s i c h a l l m ä h l i g

e i n e k l e i n e m a t h e m a t i s c h e S c h u l e b i l d e t e , a u s w e l c h e r eine M e n g e g e s c h i c k

t e r m a t h e m a t i s c h e r L e h r e r f ü r d i e Gymnasien u n d Universitäten R i i f s l a n d s ,

b e s o n d e r s d e s K a s a n i s c h e n L e h r b c z i r k s , h e r v o r g e g a n g e n s i n d , d i e n u n s c h o n

se i t z w a n z i g J a h r e n d a s Studium d e r m a t h e m a t i s c h e n Wissenschaften n o c h

m e h r v e r b r e i t e t h a b e n .

I m J a h r e 1 8 2 0 e r g i n g a n m i c h v o n d e r U n h e r s i t ä t D o r p a t d e r R u f z u d e r

d a s e l b s t e r l e d i g t e n m a t h e m a t i s c h e n L e h r s t e l l e , d e n i c h a u c h m i t B e w i l l i g u n g

*

Page 10: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

der H o I i c n Obern annahm. Obwohl ich hier ungeachtet der bereits gröfsern

Menge der Studierenden als in Kasan, weit weniger Liebhaber für das mathe

matische Studium vorfand, und ich meine Vortrage gröfstentheils auf Elemen-

tar-MatIiematik beschränken mufste, so hat doch allmählig der Sinn für diese

Wissenschaft anch hier zugenommen, und ich darf schon seit mehrerii Jah

ren fÜr meineVorlesungcn über höhere Mathematik auf wenigstens I O — 1 2

Zuhörer rechnen. Auch sind hier bereits mehrere geschickte junge Mathe

matiker gebildet worden, die theiIs in den hiesigen Ostseeprovinzen und in

dem übrigen RnfsIand als Lehrer angestellt sind, theiIs an den Arbeiten

auf der hiesigen Sternwarte und au den über die entferntesten Gegenden

Rufslands sich erstreckenden geographischenOrtsbestimmnngenTheil nehmen.

Dafs das mathematische Studium hieselbst durch unsere reichbcgabtc Stern

warte und iinsernAstronomen meinen verehrten CoIlegen den Prof. und Acad.

H . Staatsr. S t r u v e gar sehr befördert wird, bedarfkanin einer Erwähnung.

Jetzt noch einige Worte über Inhalt, Zweck und Veranlassung dieses

Werkes , wovon diefs der erste Band ist, dein noch zwei andere folgen

sollen, so dafs das Ganze 160 Bogen stark werden wird , und einenvolI-

ständigen Cursus der mathematischen Analysis mit Anwendung auf Geo

metrie, Mechanik und WahrscheinlichkeitsIehre, und ungefähr alles das

enthalten soll , was ich seit 25 Jahren auf den Universitäten Kasan und

Dorpat über diese Gegenstände gelehrt habe. Es ist eine schon längst

bekannte Sache, dafs der mündliche Unterricht in Sprachen sowohl als

Wissenschaften, besonders gilt diefs aber von der Mathematik, nur dann

erst von Nutzen ist, und vor dem Selbstunterricht durch B ü c h e r d c n V o r -

zug hat, wenn derselbe so eingerichtet ist, dafs der Zuhörer auf eine thä-

tige Weise daran Theil nehmen und wenigstens augenblicklich in die Täu

schung versetzt werden kann, als habe er die vorgetragenen Sätze selbst

erfunden. Der geordnetste und deutlichste mathematische Vortrag, der

Page 11: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

nicht von Seiten der Zuhörer durch Fragen und Einwürfe unterbrochen

werden darf, kann entbehrlich gemacht werden, wenn der Professor seinen

Vortrag zu Papier bringt und ihn Heftweise auf irgend eine Art sei

nen Zuhörern iiiitthcilt. Bei der eben angeführten Unterrichtsmethode hin

gegen wird der Zuhörer in den Stand gesetzt, vielleicht mit Hülfe einiger

in den Vorlesungen niedergeschriebenen Notizen von Formeln oder Zahlen

den Vortrag z u Hause z u entwickeln und sich ein Collegicnheft selbst aus

zuarbeiten, das, wenn cs auch a n Ordnung in der Zusammenstcllimgdem

des Professors nachstehen mag, doch den Vorzug vor demselben hat,

dafs cs wenigstens zum TheiI durch Selbstdenken erworbenes Eigenthum

enthält. Diejenigen Zuhörer, dic weniger vorbereitet oder mit geringern

Talenten begabt sind, müssen sich freilich in dieser Hinsicht bei ihren Com-

militoiien oder beim Professor Raths erholen oder gelegentlich über den

selben Gegenstand einen abermaligen Vortrag hören. Solche auf die Weise

ausgearbeiteten Hefte können denjenigen meiner Zuhörer, welche die Ma

thematik z u ihrem IIaiiptfache machen, noch dazu dienen, theils sich auf

das aui Ende eines dreijährigen C i i r sus z u bestehende Examen vorzuberei

ten, theils auch u m einen Stoff für die Bearbeitung einer zur Erlangung einer

Academ. Würde einzuliefernden Abhandlung daraus z u nehmen. Zuweilen

ist auch die Bearbeitung einer Vorlesung zum Gegenstande einer Preisaiif-

gabe gemacht worden. Dahin gehören die beiden auf Kosten der Univer

sität gedruckten Abhandlungen: SystematischeDarstellung derllauptsätze

derGeometrie imRauine, von C J. S e n f f 1 8 2 9 , welche d. 1 2 . Dec. 1 8 2 7 deu

Preis der siIb.Med. erhielt; Theoremata Principalia e theoria Curv. et Superf.

conscn C E. S e n f f , die d. 1 2 . Dec. 1 8 3 0 den Preis der goId. Med. erhielt.

Auf denWunsch meiner gegenwärtigen und mehrerer meiner ehemaligen

Zuhörer würde ich mich schon früher entschlossen haben, denInhalt mei

ner gehaltenen Vorträge unter irgend einem Titel ins Publikum z u bringen,

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wenn ich nicht theiIs dnrch den Gedanken, dafs der Nutzen, der dadurch

der litterarischen Welt erwachsen dürfe, zu unbedeutend sein würde, theiU

aber auch durch die mit der Herausgabe eines solchen Werkes verbundenen

Schwierigkeiten abgehalten wäre. Da jedoch Se. Durchlaucht, der Herr Mi^

nister der Volks-Aufklärung Fürst L i e v e n , dessen hohen Schutzes sich die

Wissenschaften inRufsland erfreuen, diefs Unternehmen gnädigst zu unterstü

tzen geruht hat, so ist mir die Herausgabe dieses Werkes gcwisserinafsen zur

Pflicht geworden. DieErfüllung derselben ist mir um so angenehmer, wTcil

ich dadurch Gelegenheit erhalte, Rechenschaft abzulegen, wie ich zum Theil

das mir gnädigst anvertraute Lehramt fünf und zwanzig Jahre hindurch ver

waltet habe, und zugleich dadurch in den Stand gesetzt werde, wenn auch

nicht müudlich, doch schriftlich vielleicht noch einige Decennien in meinem

neuen Vaterlande fortwirken und mich in freundlichem Andenken erhalten

zu können.

Über das ganze Werk im Allgemeinen ist bereits gesprochen worden.

Es bleibt hier nur noch einiges über den spccieIIen Inhalt der vier in die

sem ersten Bande enthaltenen Vorlesungen hinzuzufügen übrig. In der er

sten Vorlesung sind die Grundwahrheiten der allgemeinen Elementar-

Arithmetik nach E u k l i d s Beispiele, wie ich glaube, mit möglichster Stren

ge, vorgetragen. Aufserdem enthält dieselbe viel practisch Nützliches für den

Cameralisten und kann zum Theil als eine Ergänzung des ersten Elementar

unterrichts in der Arithmetik betrachtet werden.

Die zweite Vorlesung ist eine Fortsetzung der ersten, und enthält eine um

ständliche Ausführung der Entwickelung der Iogarithmischcn und trigonoine-

trischenFunctionen in Reihen und zugleich das nothwendigste von dcrTheorie

dcr sogenannten imaginären Gröfsen, wTobei mir besonders C a u c h y ' s Coitrs

dAnalyse i T e Partie i8ui und P o i n s o t ' s Recherches sur TAnalyse des

sections angulaires 4t0 Paris §823 von Nutzen gewesen ist.

Page 13: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

x m

Die dritte Vorlesung Iiandelt von der analytischen ebenen und sphäri

schen Trigonometrie.

Die vierte Vorlesung enthält die analytische allgemeine Elemcnfarge<rme-

trie oder dic sogenannte Geometrie mit drei Abmessungen (Geometrie ä trois

dimensions). Ich schmeichle mir durch die abgekilrztc Benennung und Be

zeichnung der Cosinusse der Winkel , die eine gerade Linie mit den drci

rechtwinhiichten Hauptaxen macht zur Erleichterung des Studiums dieser

Geometrie einiges beigetragen zu haben. Das Wesentliche derselben habe

ich bereits in einer in der St. Petersb. Acad. d. 14. Dec. 1825 vorgelesenen

Abhandlung: Apergii abregedes formulesfondamentalesdelaGeometrie'ä

frois dimensions mitgethcilt. Diese diente zur Einleitung in zwei andere zu

gleich eingereichte Abhandlungen: dic eine über die Bestimmung der Son-

nenparallaxc, dic andere über die drei Hauptaxen in einem festen Körper.

Von der letzten habc ich einen Theil als Beispiel der Anwendung der vorge

tragenen Methode in den §§. 9 7 — 1 0 2 beigebracht. Es sei mir erlaubt, hier

ciu paar Worte Uber dic Veranlassung zu diese«- Abhandlung zu sagen. Es

lassen sich bekanntlich, wie Euler zuerst bewiesen hat, in jedem festen

Körper von irgend einer Gestalt und Beschaffenheit durch jeden beliebigen

Punct rechtwinkliehte Axen legen, so dafs, um jede derselben der Körper

sich frei und gleichförmig bewegen kann. Der Beweis dieses Satzes fUhrt auf

eine cubische Gleichung, von der man zeigen mufs, dafs ihre drei Wurzeln

rccll sind. Wegen der Natur der Aufgabe schien es mir jedoch nothwendig

zu sein, zu zeigen, dafs diese drei Wurzeln nicht nur reell, sondern auch po

sitiv sein müssen. Bei dieser Gelegenheit kam ich auf die Entdeckung der

in §. 98 , 99, 100 erwiesenen merkwürdigen Eigenschaften der drei Cocffici-

enten der cubischen Gleichung. Ich hielt diese Sätze für neu, (auch schei

nen sie Ia G r a n g e nach einer Stelle in seiner Mecanique analylique p* 2?6~

— 277 Tome 1er vomJahre 1811 unbekannt gewesen zu scin,) und theilte sie

Page 14: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

deshalb der St. Petersburger Acadcmie mit. Einige Zcit nachher ersah ich je

doch aus &QmJüurnaldeV&colepolytechnuiuey in dessen Besitz ich früher

hier nicht war, dafs der franz. AcademikerHerr B i n e t diesen Satz schon

mehrere Jahre vorher entdeckt und bekannt gemacht hatte. Die Abhandlung

selbst über diesen Gegenstand ist mir bis jetzt nicht zu Gesichte gekommen,

weil gerade die Hefte von dem Bulletin des sciences, worin dieselbe enthal

ten, fehlen. Sollte man übrigens zufallig meine vierte Vorlesung mit der

Einleitung {Prelim'maires) zu C a u c h y s Lepons sur les applications du calcul

infinitesimal ä Ia Geometrie vergleichen, worin man mehrere Sätze auf eine

ähnliche Weise , wie bei mir behandelt fuiden wird, so bemerke man, dafs

meine oben angeführte Abhandlung bei der St. Pctcrsb. Acad. der Wisscnsch.

bereits iinJahre 1 8 2 5 vorgelesen, dic Legons von C a u c h v aber ciiiJahr

später erschienen sind. Noch glaube ich auf dic von mir seit langem ge

brauchten Zeichen n r , und n : r , wo ersterer die rtc durch 1. 2 . 3 . . . r dividirte C C

Poteuz von n, und letzteres den rtenBinomialcoefficicnteii der nlen Polenz

bedeutet, aufmerksam machen zu dürfen. Wie ungemein durch den Gebrauch

dieser Zeichen der Calcul abgekürzt und vereinfacht wird, kann man an meh

reren Beispielen am Ende der ersten und im Anfange der zweiten Vorlesung

sehen. Auch verdient vielleicht die von mir S. 6 u. 9 1 gemachte Anwendung

der Euclidischen Definition von der Proportion, wodurch auch der Beweis für

die Allgemeinheit des binomischen Lehrsatzes für irrationale Exponenten

vervollständigt wird, einige Aufmerksamkeit.

Sollte dieser erste Band meiner Vorlesungen von Sachkennern mit eini

gem Beifall aufgenommen werden, so darfich hoffen, dafs die noch folgenden

Bände diesesWerkcs, wrcil ich die darin vorkommenden Gegenstände mit beson

derer Vorliebe vorgetragen habe, sich eines äJinlichen Glücks erfreuen werden.

I)orpat, den 2 1 . Januar 1 8 3 3 . D e r V e r f a s s e r .

Page 15: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Inhaltsverzeichnifs des ersten Bandes.

E r s t c V o r I e s u n g. Über Verhältnisse, Proportionen, Potenzen und Logarithmen S. 1.

Erklärungen derBegriffe, Me9sen, Verhältnifs, Proportion, Exponent des Verhältnisses, M11ltipli-cation, Division etc. §. 1. — Was eineFunction ist §.6.—Weun 0.r+#>j' = <P(ar+^), so ist $xify-X-y §. 7. — Anwendungen dieses Satzes §. 8« — Lehrsätze, die Proportionen betreffend §• 9. — BeweU des Lehrsatzes, dafs ein Product einer beliebige« Menge rationaler oder irrationaler Zahlen immer dasselbe sei, in welcher Ordnung auch die Factoren mit einander multiplicirt werden mögen §. 15. — Was zusammengesetzte Verhältnisse, vielfache und aliquote Thcile der Verhaltnisse sind §. 20. — Wie Verhältnisse als mathematische Gr<">fse11 betrachtet tnit einander gemessen werden §. 22. — Potenz im allgemeinsten Sinne des Worts §. 26. — »ahingeh3rige Lehrsätze §• 27. — Logarithmen, Briggische uud natürliche $. 31. — Elementar-Methoden, den briggischen Lo-garithmeu einer gegebenen Zahl zn berechnen §. 34. — Logarithmen - Täfelchen auf 10 Deci-mahtelIen uud dessen Gebrauch §. 42. — Binomischer Lehrsatz für positive gauze Exponenten bewiesen §.50. — Anwendung desselben aufWurzelextractiouen und Kentenrechnung 5. 53.— Eijtwickelung derFunctionen ax und log, x iu Reihen nebst Anwendung derselben auf wirkliche Berechnung von Logarithmen §. 60. •— Über den Gebrauch der in Callets logarithmischen Tafeln enthaltenen briggischen Logarithmen mit 61 und der natürlichen mit t\S DecimaI-steHen §. 74. — Merkwürdiges Resultat der Berechnung der Menge der Ziffern, woraus die

»oo I

Zahl 2 2 besteht §. 80, — Berechnung der Potenz i,05 , < r* auf 61 Deci1nalstelle11 und einige andere Beispiele von der Anwendung der Sharpschen nnd Wol i ramschen Tafeln §. 81. — Ähnliches Logarithmen-Täfelchen, wie das 5. 42, nebst Anwendungen §. 85. — Beispiele ron Rentenberechnungen vermittelst des binomischen Lehrsatzes und der Logarithmen 5. S7. — Beispiele von unglaublich beschleunigender Zunahme des Werthes eines Kapitals, wpnn die Zinsen alljährlich zum Kapitale geschlagen werden §. 94. — Tabelle zum bequemen Gebrauche iu der Rentenrechuung §. 106. p. 87,

Page 16: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

X Y I . . ' ^ X Z w c i t c . V o r 1 e s u a g.

Lher die Entwickelung der log;trit!mischcn Functionen in Reihen S. 89. Beweis des binomischen Lehrsaizes für jeden beliebigen positiven oder negativen, rationa

len oder irrationalen Exponenten §. 1. — Strenger Beweis für die Entwickelung der Function a* und log, x in Reihen §. 5. ~- Entwickelung einer beliebigen Potenz dcr Wurzel s der Gleichung uxr — Z 1 = 0 in eine nach den steigenden Potenzen von w fortlaufenden Reihe §. 8- — Verwandlung des Ausdrucks ( a ^ - p ^ B 2 ) 1 i11 eine Reihe §. 15. — Entwickelung ron l(b) + Y"1 + w E ) * n e " i e R e i ^ e 5« 17. — Quadratur der gleichseitigen Hyperbel §. 18. — Formeln und Gleichungen zwischen Abscissen und Ordinaten dcr gleichseitigen Hyperbel, ihre Snmmation etc. §. 25. — Erklärung und Formeln der trigonometrischen Functionen §. 55. — lhre Entwickelung in Reihen £. 51. ~ Leibnitzische Reihe zur Berechnung des Bogens aus «einer Tangeute §. 59. — Entwickelung der Gröfseu cosxs, sinxs, für jede beliebige Zahl x

in nach den Potenzen von sitis fortlaufenden Reilieu %, 60. — Reihe zur Berechnung des Bogen« aus dem Sinus §. 6\, <— Zerlegung der Cosinusse und Sinusse vielfacher Bogen in Facto-ren §. 71. — Cotesischer und Moivrescher Lehrsatz §. 83. — Hyperbolische Cosinusse, Sinusse. Ihre Entwickelung in Reihen und Producte $. 85- — Summatio11 einiger interessanten Reihen deren Glieder trigonometrische Functionen sind §. 95- — Unmögliche Gröfsen und ihre Anwendung §. i07. — Strenger Beweis der (§. 16.) entwickelten Reihe von ^"(1 + «2 _ _ ^ 1 1 3

Beweis des Satzes, dafs jede rationale ganze Function xn^-Axn~~x^ryfxn~^ jf"

•ich in binomische und trigonometrische Factoren von den Formen x-^-a, x*^-ax*^-b zerlegen läfst §. 133.

D r i 11 e V 0 r 1 e s 11 n g. Über ebene und sphärische Trigonometrie S. 193.

Erklärungen §. I . — Formeln für die Sinusse und Cosinusse der Vielfachen von 5 0 §. 5. — Elementar-Methode der Berechnung der Verhältnifszahl n des Kreis-TJmfangs zum Durchmesser §.8. — DieselbeBerechnung, vermittelst derReihe des Bogens durch seineTaugenie auf 72 Decimalen §. 8- — Vermittelst der Zerlegung der Leibnitzischen Reihe auf 140 DecinialsteI-len §. 10. — Reihen zur numerhjchen Berechnung der Sinusse, Cosinusse, Tangente, Cotan-ge11te §. 12. — Reihen zur numerischen Berechnung der natürlichen und briggischen Logarithmen von c o s ^ , sin~ §. 19. — Verwandlung der Sexagesimal- und DecimaIeintheilung der Winkel und Kreisbogen §. 21. — Lehrsätze, die rechtwinklichteu ebenen Dreiecke betreffend §. 23. ~- Trigonometrische zur Auflösung der ebenen Dreiecke nützliche Formeln §. 23. Auflösung der ebenen Dreiecke im Allgemeinen g. 42. — Beispiele zur Berechnung ebener Drei-

Page 17: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

X Y H

ecke §. 46. — Grundformeln zur Auflösung sphärischer Dreiecke §. 52. — Gaufsische und Nep-persche Formeln §. 67. — Formeln für den Flächeninhalt eines sphärischen Dreiecks §. 72. — Umschriebener und eingeschriebener Kreis eines sphärischen Dreiecks §. 73. — Auflösung des rechtwinklichten sphärischen Dreiecks §. 75. — Auflösung der sphärischen Dreiecke im Allgemeinen 5. 85. — Beispiele zur Berechnung sphärischer Dreiecke §. 93.

V i e r t e V 0 r 1 e s u n g. Über analytische allgemeine Elementargeometrie S. 255.

Axensystem, Coordiuaten, Determinanten, P10jectionen §. 1. — Analytische Formeln und Lehrsätze §. 9. — Lehrsätze und Aufgaben, die gerade Linie betreffend §. 16. — Gleichungen aer Ebene §. 26. — Lehrsätze, die Ebene und ihre Durchschnitte betreffend §. 29. — Bestimmung des Flächeninhalts eines geradlinigten Dreiecks, vermittelst der Coordinaten der WinkeI-puncte,5. 33. —' Analytische Ausdrücke desYolumens einer dreiseitigen Pyramide, deren Spitze im Mittelpunkte der Coordinaten §. 36. — Das Quadrat des Flächeninhalts einer geradlinigten Figur ist gleich der Summe der Quadrate ihrer Projectionen in den drei Hauptebenen §. 5R. — Fundamental-Sätze der sphärischen Trigonometrie, vermittelst derMethode der Coordinaten und Determinanten hergeleitet §. 59. — Aus den gegebenen Örtern dreier Puiicte auf einer Kugelfläche und deu gegenseitigen Verhältnissen der Cosinusse ihrer Winkelentfernungeu von einem vierten Puncte den Ort dieses Punctes zu bestimmen §. 4*- — Analytischer Ausdruck des Durchmessers einer um eine dreheitige Pyramide beschriebenen Kugel. Ebendaselbst. — Von der Verwandlung der Coordinaten 5, 42. — Von den ebenen Curven des zweiten Grades §. 49- — Einfachste Form der Gleichungen für die Ellipse, Hyperbel, Parabel §. 54. — Parameter und Brennpuncte dieser Linien §. 54« — Polargleichung derselben §. 60. (g) — Gleichung zwischen den schief-winklichten Coordinaten der Hyperbel, die Asymptoten zu Axen derselben genommen §. 65. (i) ~ Normale, Tangente, Subnormale, Subta11gente der Kegelschnitte §, 67. — Warum die Linien des zweiten Grades Kegelschnitte genannt werdeu §. 70. — Quadratur der Kegelschnitte 5. 72. — Einige« über die FJächen des zweiten Grades S. 520. — Allgemeinste Form der Gleichung für Flächen des zweiten Grades §. 84« •— Bedingungsgleichungen zwischen den Coefficienten derselben $. 87. — Jede Gleichung der Flächen des 2weiteu Grades läfst sich auf die Form TLx2 + © J 2 + <Xs2 4- 2$x — 0 zurückführen 5. 92. — Allgemeine gegenseitige Beziehung der coujungirten Axen eines Ellipsoids §. 96. — Beweis des Satzes, dafs durch jeden Punct eines festen Systems materieller Puncte drei rechtwinklichte Axen gelegt werden können, um welche das System frei und gleichförmig sich bewegt §. 97. — Auflösung einer von Euler gegebenen Aufgabe die Drehungsaxen eines festen Körper« hetreflend §. 103.

«

Page 18: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

%

* A- * *

Verbesserungen und Zusätze. Seite. Zei le . statt: l i es :

I V 3 v. u , Philosophie PhiIosophy V I 10 v. 0. die Zahl der Studierenden die Gesammtzahl.

V I I 3 V . 0. daselbst bei dieser Anstalt. — 10 V . o. der Geschichte T o n Uailly"s Geschichte.

4 9 V . 0. 4 Ellen = 5 Arschinen 5 Ellen = 4 Arschinen. 7 12 V. u . y+y 9 8 V . u. Zahl Anzahl .

16 9 V. 0. Zur Erläuterung des dort Vorgetragenen diene folgendes. Es seien X, x, X1, x2, X 3 , etc. gleichartige Gröfsen, von denen jode kleiner ist als die nachst-

vo ihergehende , und so von einander abhängen, dafs X — px + X1, x — , « X 1 + x2f

X1 = <**2*2*^^3' c t c « j W 0 f*i i<V Pz> P^ etc. irgend positive ganze Zahlen bedeuten,

SO läfst sich die Verhältnifszahl — — 1, wenn x •.

A — p, A1 = + 1 , At<i = P2A1 + A, A71 = P3A2 + A1, etc.

B = i, B 1 - P1 B2 = P2B1^B9 B? = p3B„+Bt, etc.

n ä h e r u n g s w e i s e m i t b e l i e b i g e r G e n a u i g k e i t d u r c h d i e B r ü c h e ^ , ~ y ~ y ausdrücken.

JD Jj1 Jj2 J>3 X X Xr Xn

Bezeichnet man nämlich die Verhältnifszahlen — , —, etc .resuect ivedurch x * j

h, l\, h2, h^, e t c . , so hat m a n : 1 1 1 1

h = p + — Pi + = P2 + j^y »63 = P3 + j - , e t c . , so dafs sieh i 1

unter einer Form des continuirlichcn Bruchs darstellen läfst: p^

Pi + l

P2+l 1 uJr + 1 ^ + 7") + 1 ^ + L , t

Es ist aber k = p + \- = = % - ^ + c t c -1 ii Ii . 1

^ + E i

= S8Q»,* + ! ) + * = I 2 ^ 1 + A „ (i"2 + ^ M l + ^ 4 ^ + 1 i > A + tf ^ + ^ + n

*3 b(teA, + A) + A, _ l,A2 + Ar t . r . ^ , 4 + A - i

= W^TWFB1 r - p ^ i ' c t c " s o d a f 8 a l , g e m e i n * - ^ 7 ^ ^ T ;

Page 19: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

^ , A *x+1A + A - 1 A ^ 1 - ^ x A ^ 1 n

Daher ^ - * = ^ - - _ ^ + ^ = ^ ^ ^ _ ^ D a n u n

A+i^x - 5 x + i A = ( a + i A + A - O 5 X — (<*x+i x + ^ x - 0 A - i = ^ x - 1 j 5 x — J 5 X _ , ^ x _ ! , so ist , weil AxB-B1A = 1, A2B1-B2^1 = — i ,

— , B 3 ^ 2 = 1 , e tc . , und allgemein A%BX_X — BxAx^1 = ± 1, und folglich

^ X ~f" 1 X- = ——- ^ 7 , — , w o das Zeichen 4" oder — gilt, j e nachdem X un -

BX ^ x ( * X + i A + A - i ) gerade oder gerade ist. D i e Brüche ~ , ~ , etc. sind demnach abwech-

1 2 ° selnd kleiner oder gröfser als der Exponent h des Verhältnisses — , und weil der Un-

CC Ax 1

ter8chicd h absolute genommen < jrx, so kann derselbe kleiner werden als B \ X

j ede gegebene Gröfse. Seite. Ze i le . statt: l i e s :

— log. 3 — 2 log. 3. 0,00900 00434 0,00000 00434. n — \ y A n— 2 y n — 1 y . n - 2 y -

— -i^> ~ x A — ' i " " - 3 ~ * ^ _ = 3 ^ z i . ^ 3 = _ ? ^ = * * ^ .

4 m x 4 m x J

^ = 8 , Ar = 2 = 8 , y = 2. n /> i a n _ I

f die W e i s e ist, wenn JV = a " + & , r ^ J V = a ( l + - ^ ) « = « ^ ) * „ f l 4 _ 1 6 _ 4 > ( 1 + " ) . l.(1+n)Cl+2») ,A^j_etc^ ö ( 1 + 7 z - ^ + ^727T' <2V} + ;>.2rc.3^ (JV> + e t c - > X Ä A""

r i

n( l —y1), fand re(y"— 1), fand B r i g g s .

-<'-=>? l & = i ) ' ' V + l' T l B + l ' -

**• - y4~) *>*• - ^ - ^ P » ' - ( ^ ) >

30 10 35 13

v . u .

V . 0 .

40 6u .7 V . u .

42 7 V . u .

43 12 V . 0 .

45 nach 3 V. 0 . l ies :

= r fl(l —

10 V. 0 .

48 7u . l V . u .

50 2 V . o.

54 i V . u .

6 V . u .

6 V . u .

Page 20: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

• >

XX *

Seite. Ze i le . stattr l ies :

63 4 v.ur. 30 000000 00000O 3 000000 oooooo-. 3 v . u . 28 000000 000000 280 000000 000000.

73 2 v . o .

log. An ~ log. A — n log. (14"a>J log. A -= log.An — nlog.(X 4 «). 75 8 v . o . 15 Rubel 69,5 Kopeken 15 Hubel 96,5 KopekcD. 86 8 v . o . 4 4 86 8 v . o . (1 + «)a (1 + •)« 92 15 v . o . 1 4- j:|» 1 4- *

4- J 4 v . o .

0(* +y)y 0(#4^)>^. 94 9 v . o .

0(#4^)>^.

95 8 v .u . p« + (3* — l > a + (4» — 1>W* »a,2 4- 5(3»—l)«3^(4»—i) cV+«tc;

97 9 v , o . J7, (am Ende)

5 v .u . Xa> J » 99 7 v .u . zP>* 100 7 v .u . Zahlen Zahl

101 6 v .u . y*(l + «)-5 r o 4-

5 v , o . .v2(#4 _ 4) x'J(x* —

— 6 v. o. x . , -At*

s(*4-3)c . — 7 v . o . (zweimal) — (beidemal) -

.— 9 v . o . 53c . 102 10 v . o . 103 6 v . o . » 4- KC1 4- *2)* (*> + rci 4-104 4 v .u . Qt2. — 2 v . o . Hyperpel Hyperbel

105 5 v . u . a 2 2

106 3 v. u.

109 7u.8 v . o .

110 14 v . o .

111 12 v . u .

§ log. nat.

i + * »

i 4- | log. nat. i 4-

Ahse, (m — 1), Ord. (m — 1)

r> m — 1 r *\ 3

Qm-*> —^-(^~4) c

Abs.(m —1>, Ord.(m-lfa m — 1 O n - . (m — 4)

Page 21: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Seite. Zei le . statt: 117 2 v. u. cos = £ — 11 v. u. PO

119 11 V . 0. von B

126 4 V . u. Qx

127 7 V. 0, - — ^>1 4- 0al

— 14 V. o .

128 6 V . 0. • * <fi

sin Arc* tan ^rr 130 6 V. u. Bernonlli

133 10 V. 0. c o s 2 —

142 lOu.11 V. 0. P, £ und f < * + l > c ' *

144 nach 6 V. u. Anm. Es verdient hier bemerkt

l i es : coss = £ PQ von P

Qx

K > l + <P*'1 4>x

YWTW $>'(x + y). «/«jc //"C. fara

Bernoulli XK

COS —

<pl 44*

(resp.) f*, ^ und ^ ( x 4 ^ ) * '

Function z = # — „2r-i (2r+ l ) x 2 7 - 1 + ^±1 (2r-2)^^-S — 2 i±^ 2 r —3) : 3 x 2 r ~ 5 . . . - 2 «£ O C

unter dcr Form (*-2)[^+^-'-(r-1)A^-*-(r-2>r-^^ — (x — 2)y2 dargestellt werden kann. Setzt man nämlich x = 2coss, so ist

2r z = 2 c.os{2r + 1)*

(.5zVi(r4-1).9 4* sinrs)2

2 = A •, 2 ' '+^ _ 4 w r t 2 — J — s —

4 sw! . 1 ,* —,s.ro^-

^

COS*-

/0 ovC"Vr+1>4smrs)2,,, Cwz(r4 )s4*?>ir.y)< (2coss—2) •— —=(2coss—2). A , S • - S

4 cos7 - sin- -Ju £

SiZi2S

= (.v-2) [xr + xr~l — ( r — 1 ) x r - 3 — ( r -2 )x r -3 + ( r - 2 ) -^ -4 4. ( r — 3 ) : a . r r - 5 — e t c . ] 1

. . , s/n(r^-1)s^-sinrs , . , „ ^ Ls ist also y = -—•—f—J , und wird = 0, wenn s — =r——. Daraus er-

J sin s ' 2r 4-1 giebt s i ch , dafs 2coss, 2cos2*, 2cos3s, . . . 2cosrs, die r Wurze ln der Gleichung . r r 4 - x r - , — C r — l ) x r ~ : i — (r — 2 ) x r - 3 4 - ( r — 2) :

< ;2Ar r-44-etc. = o s i n d , und sich folglich

die Theilung des Kreises in 2r4-l Thei le auf die Auflösung einer Gleichung vom rten Grade zurückführen läfst. So hängt z. B. die Theilung des Kreise« in 3, 5, 7, 9, 11, Thei le resp. von den Gleichungen x 4 - l = o , ar 2 4^r — 1 = o , . r 3 4 * r 2 — 2jr — l = o , * < 4 - r 3 _ 3 j : 2 _ 2 x 4 ' l = : o , jc* + xi-4x2-3x*+Zx + l=zo ab.

Page 22: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Ist d i e Z a h l 2r+l eine Primzahl und r = aKbßc?, w o a, b, c, etc. ebenfalls Pr imzahlen, so läfst sich die Thei lung des Kreises a u f « Gleichungen vom « t c n , ß Gle i chungen vom 6ten etc. zurückführen. So läfst sich z. B. die Theilung des Kreises in 13, 17, 19, 73 TheiIc , weil r resp. 2.3, 23, 32, 2232 resp. auf eine quadratische und cu-bische, drei quadratische, zwei cubische, zwei quadratische und zwei cubische zurückführen. Ich will versuchen, dasWesent I i chc dieses von G a u f s entdeckten merkwürdigen Satzes , soviel es die Beschränktheit des Baumes erlaubt, hier mitzutheilen.

Zuförderst bemerke m a n , dafs j ede positive ganze Zahl A 7 unter der Form u(2r + l ) ± x dargestellt werden kann, w o f*, X ganzeZahIen und X nicht > r. Man

nennt alsdann X den kleinsten Rest von N nach dem Modulus 2r + 1. Bedeutet ferner g eine solcbe positive gr<nzeZahl, dafs die kleinsten lleste von 1, g, g2, g?>t ...^r—I

alle von einander verschieden sind, so wird g eine Priniitivwurzel von 2r+l genannt. So ist z. B. 2 eine Primitivwurzel von 19: ebenso 10. Im ersten Falle sind die kleinsten Reste der Ordnung nach 1, 2, 4, 8, 3, G, 7, 5, 9; im letztern 1, 9, 5, 7, 6, 3, S, 4, 2. Für 17 ist 2 keine Primitivwurzel , denn die kleinsten Beste sind 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8; wohl aber 10, drren kleinste Reste 1, 7, 2, 3, 4, 6, S, 5; eben so auch 3, deren kleinste Reste für 17 folgende sind: 1, 3, 8, 7, 4, 5, 2, 6.

W i r wollen jetzt z e i g e n , wie die Constv. des 19 Ecks von der Auflösung zweier 360°

cub. Gleichungen abhängt. Es sei = s o i s t , wenn man 2co*P, 2cos2$, 2cos3$

ete. resp. durch ( I ) , (2), (3), etc. bezeichnet , zufolge (p. 1C8, §. 101.) (1) + (2) + (3) + (4)-K5) + (fO + (7) + (S) + (fl)=:-l o a V r Gröfsen (1), (2), ctc. nach dor Ordnung dcr kleinsten Reste für irgend eine Primitivwurzel , wozu wir die Zahl 2 nehmen wollen, geschrieben (1) + (2) + (4) + (S) + (3) + (C) + (7) + (7) + (9) = — 1. Setzt man nun (1) + (8) + (7) — ß, (2) + (3) + (5) = ß ' , (4) + (6) + (9) = ß", so ergiebt sich fl3'=-l+jS'+20", £'0"=—l+0"+2& ß"ß=-1+ß+2ß'. naherßß'+ß'ß"+ß"ß = —6

und ßß'fi" = — ß"+ß'ß" + 2ß"ß" = — l+2ß+Wß". Man findet aber ß"ß"=r* + ß' + ß",

also ßß'ß"= 0 + 2(ß^-ß' + ß " ) = 7. Es sind also fi, ß', ß " die drei Wurzeln der cu-bischen Gleichung x?> + A'2 — Gx — 7 — o.

Die eine dieser drei Wurze ln findet man = — 1,221S761623. Man überzeugt sich leicht, wenn man nun obenhin die Sänustafeln zu Rathe zieht, dafs ß diese Wurze l ist. Daraus folgt, weil 0==4-jS' und ß'- = 4—ß", dafs '=2,5070186441, js"=-2,2851424818. W r eil nun endlich (l)4-(3) + (7) = 0 = -1,221S7O1625, (1)(8) + (1)(7)4-(8)(7) = ^ + "

r>n0

— — 3,5070186441 und (l)(3)(7) = iS'+2 = 4,5018G441, s o i s t c o s ^ j - eine d e r d r e i W u r -zeln der cubischen Gleichung ^ + 1,2218761625 .v--3,5070l8644l.r-4,5070l86441 = o und diese ist 1,8916344834.

Page 23: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Um die Construction des 17 Ecks zu bewerkstelligen, ordne man zunächst die Gr<>-360°

fsen 2cos<P, 2cos2$>, 2cos3p,...2cos80, wo indem man für irgend einePri-mitivwurzel g die kleinsten Keste von 1 , g, g2, etc. nach dem Modulus 17 hinschreibt. Setzen wir ^ = 3, und bezeichnen wieder 2cos<P, 2cos2Q, 2cos3$, etc. resp. durch (1), ( 2 ) , ( 3 ) , etc., so haben wir (1) + (3) + (8) + (7) + (4) + (5) + (2) + (6) = —1. Setzt man nun (1) + (8) + (4) + (2) = £, (3) + (7) + (5) + ( 6 ) - ^ ' , so erhält man ßß' = — 4. Es sind also ßy ß' die beiden Wurzel der quadratischen Gleichung x2 + .r — 4 = o, deren beide Wurzeln ~ | + §K 1 7 "*ie Gri>fsen ß, ß' sind. Esistdemnach £ = 1,5615528128, 0 ' = - 2 , 5 6 1 5 5 2 8 1 2 8 . Setzt man ferner (1) + (4) = « 0 , (8) + (2) = *, so hat mon « o + « = 0 , M 0 « , = : — 1. Es sind also «Q und « die beiden Wurzeln der Gleichung x2—l,561552S12S.v — 1 = o, daher « 0 = 2,0494811777, « = — 0,487928364. Eben so findet man, wenn (3) + (5) = « 0 , (7) + (6) = «', also «0 + * = ß', « 0 * = — 1 vermittelst der Gleichung tfs + 2,561552S12S*-l = o, 4 = 0,34441507314; « = — 2,9057035442. Endlich erhält man, weil ( l ) + (4) = *0, (1)(4) = «0 vermittelst der Gleichung x2— 2,0494811777.v

- f0 ,3441507314=o, (1) oder 2co«3^-° = 1,8649444588. Daraus Ch. -^- = 2sin^— 360°

= y{2 — 2cos~l7 ) — y^0,l350555412 = 0,3674990358.

Seite. Zeile. statt: lies: 4 A (*2 — 1)(x2 — 9) . A (A^_1X.r3—0) . ,

136 lOv.o. - <T^*— 8 1 , 1 8 2Ta71 s '

149 5 v.u. (Yx + — ")m

— (K"1 + + ") m ~ 150 1 v. u. sin2

( r c - 2 ) « . (n-2)n sin2

154

160 2 v. o.

n 2n Q . • 3*-0 , . (,-_1)*_0 . 3ff+ > , . (r-1>+( 8v.u. -... + sin- +sm——...-Tsin ——

r — r — r e3 4 - e~s es — e~s

' 2 2 " — 11 v.u. 2Cinh23 Sinh*s. 190 1 v.u. A2xn~3 A0X71^2. ~ 11 V . O. X^ p* X2.

^ 7 v - u - i t t ^ n $ * r s ^ # ' -i v . u . q—Yp'q 9, = K>,7-

«... ' *'*- . •Vff . . X* Xn

201 13 v.o. SM^ = I c o * — — 1 co,v — 202 13 v.o. — .9* 211 1 v. o, dcr 60ste Theil der 90ste Tlieil.

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XXlV

Seite. Zei le . statt: l i e s : 211 7 v. 0. 0,21319827 0,21318827

8 v. 0. 1 9 0 I l 13 1 9 ° 1 1 ' 1 3 — 13 V . 0. 37"' 27 '" — 17 V . 0. 28" ' 27" '

215 2 V . u. + sin -| A. sin \ B 4 - cos\A sin\B

— 6 V. 0. Y\si.\ — a) ' bc

Y ls.(is-a) f *

220 8 V. u. W i n k e l B W i n k e l C — 7 V. II. cot%B cot\C

223

225

10

9

V .

V .

0. u.

BC JT?- C J

•** ~ sinCBA

AB

A F = ^ ~ * M sin CFA

229 2 V. o. 2 cos a cos c cos c 2 cosa cosb cosc — 3 V . u. sinA sinC cosa sinA sinC cosa.

233 3u.4 V . u. cos({ a 4- b), sin{\ a 4 b) cos ±(a 4- b), sin \{a + h) 246 1 V . 0. 58° 37' 17" 5S° 22' 43" — 11 V . o. 3» 35' 59" 3 ° 35' 39'

257 6 V . 0. Ayensystem Axensys tem — 9 V. u. W i n k e l , den W i n k e l , die

258 7 V. u. x"Y+y"Y+z"Y x"X+y"Y+z"Z

— 2 V. u. Q0,2

201 8 V . u. — ZZ Z"Y 264 2 V. 0. Linien Linie 267 10 V. u.

£ = 0, « — 0, i — 1 £ = 1 , * = <>, g = 0 273 10 V . o. -i'v"i-i"»? 276 12 V . 0. 278 10 V . u. f> g> Ih f>g--h. 287 14 V. o.

+ 2$e$, + 2CEF — 2£g£, — 2CEF. 305 10 V. o.

lassen sich nun die in £, v\ < i, ti l ä f s t sich nun der in £, v\ £\ >r'. 320 12 V. 11. E(v"{"+f>>") F(v'Z' + &"). 321 12 V. u. 2E'%'%' 2^'3)'3". 1 V. u. statt:

l ies : 323 9 u . l 0 V. 0. statt:

: 2 — L l i es : 2—L.

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E r s t e V o r 1 e s u n g.

Über Verhältnisse, Proportionen, Potenzen und Logarithmen.

§. 1. Eino Gröfse wird mit einer andern gleichartigen Gröfse g e m e s s e n , wenn

man untersucht, w i c viel mal diese oder ein aliquoter Theil derselben in der ersten

oder auch wie oft die andere in einem Vielfachen der ersten enthalten ist.

Nimmt man nämlich irgend ein Vielfaches der Gröfse X , we lches wir durch

m X bezeichnen w o l l e n , so wird darin Aie. Gröfse x mehrere mal genau oder mit

einem Ueste x enthaken se in , so dafs entweder m X . = n x , oder = n x -f- £

i s t , w o n eine ganze Zahl und $ eine Gröfse < x bedeutet , dafs <>lso im ers<ern

Falle X = — x , im letztern X > — x und < — ^ - 1 - x ist. Jc gröfser die Zahl m m iu

m ist, desto kleiner ist der Fehler, den man begeht, wenn man X = — x oder =

x setzt. Man kann sich dieses Verfahrens mit Nutzen bed ienen , um zwei m

verschiedene Längenmafsen mit einander zu vergleichen. Gesetzt man wollte die rus

sische Sashene, welche 7 engl. Schuh enfhält, mit dem französischen Metre messen,

so dürfte man nur auf einer F,bene eine Standlinie von einigen Wersten mit der

Sashene abmessen, und alsdann uniersuchen, wie viel mal der Metre in dieser Län

ge enthalten sei. Hätte in:tn z. 11. eine Standlinie von 1000 Sashenen abgesteckt und

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gefunden, dafs in dieser Länge der Metre etwas mehr als 2133 mi:I aher nieht

ganz 2134 mal enthalten s e i , so würde daraus f o lgen , dafs <lie russische Sashene

2,133 und < 2,134 franz. M e t r e s s e i . Eben so läfst sich mit ziemlicher Genauigkeit

auf dem Reifsbrette die Gröfse eines Kreisbogens mit dem Umfange desselben K r e i

ses vergleichen. Trägt man nämlich mit Hülfe eines Zirkels den Kreisbogen auf

dem ganzen Umfange so oft herurn, bis der eine Fufs des Zirkels entweder genau

oder ziemlich nahe auf den Anfangspunkt fällt, so wird sich aus der Vergleichung

der Menge der Umläufe und der Menge der Wendungen des Zirkels die Gröfse des

Bogens ziemlich genau bestimmen lassen. p

Vorläufig ist auch hier ein Verfahren zu bemerken, eine Gröfse genau oder nähe

rungsweise mit einer andern gleichartigen zu messen , das sich am natürlichsten dar

zubieten scheint. Es seien die beide Gröfsen X , x und X > x so wird x in X

ein oder mehrere mal genau oder mit einem Reste X1 <T x enthalten, also

X = ^*x oder = ^*x + X1 s e in , Wo f» irgend eine ganze Zahl und X1 eine Gröfse

< x bedeutet. Im erstern Falle ist die Arbeit vol lendet ; im letztern aber wird X1

wieder in x ein oder mehrere mal genau oder mit einem Reste X2 <; X1 enthalten

s e i n , so dafs x = ^1X1 oder — ^1X1 4- x 2 . Im letztern FaIIc untersuche man Avie-der, wie oft X2 in X1 enthalten ist, und man wird X1 = x 2 oder ^ x 3 4- X3 finden.

Diese Operation setze man so lange fort bis man auf einen Rest k ö m m t , der entwe

der = 0, oder so klein ist, dafs man ihn vernachlässigen zu dürfen glaubt. Es sei z. B.

X = 3 x + X1, x — 7 x x + x 2 , X1 = 1 5 x 2 + X3, X2 — X3 + X4; vernachlässigt

man den letzten Rest X4 und setzt X2 = X3, so wird X1 = 1 6 x 3 , x = 1 1 3 ^ 3 und

x 355

X = 3 5 5 x 3 = 3 5 5JJ^ = J1^*- I s t <*er Rest X3 > | X3 und setzt man denselben,

statt ihn zu vernachlässigen, = x^, so dafs X2 = 2 x 3 , s o w i r d X1 = 3 I x 3 , x —-688 355 f f s

219x~ und X = 6 8 8 x . = - x . D e r w a h r e W r e r t h v o n X l i e g t z w i s c h e n ^ ^ u n d — x , 3 3 219 0 113 2 1 9 '

I und wei l der Unterschied dieser beiden Gröfsen — n 4 7 4 7 x i s t , so kann jeder dersel-

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4 ben fiir den wahren W e r t h von X bis auf einen Fehler < 2 xgen0mmenwerden. D e r Beweis dieses Satzes und dic weitere Ausführung des Gegenstandes überhaupt

wird in der Lehre von den continuirlichen Brüchen vorkommen.

§. 2. V e r h ä l t n i f s i s t d i e q u a n t i t a t i v e o d e r d u r c h M e s s e n b e s t i m m

b a r e g e g e n s e i t i g e B e z i e h u n g z w e i e r g l e i c h a r t i g e n G r ö f s e n . Diese B e z i e

hung wird durch das zwischen beide Gröfsen gesetzte Z e i c h e n : ausgedrückt. So b e

deutet X : x das Verhältnifs X zu x . D ie Gröfsen X , x selbst werden die Glieder

des Verhältnisses X : x genannt, und zwar X das Vorderglied und x das IIinterglied.

Verwechselt man diese beiden Glieder und macht das IIinterglied zum Vordergl iede ,

und das Vordergl ied zum Hintergliede, oder verwandelt man X : x in x : X , so wird

x : X das umgekehrte Verhältnifs von X : x genannt.

Man unterscheidet in den Lehrbüchern arithmetisches und geometrisches Verhält

nifs von einander. IIier ist vom sogenannten geometrischen Verhältnisse die Rede ,

wie wir überhaupt immer , wenn nicht das Gegentheil bemerkt w i r d , das W o r t V e r

hältnifs nur in diesem Sinne gebrauchen werden.

§. 3. Z w e i V e r h ä l t n i s s e X : x und Y : y s i n d , nach Euk l id , e i n a n d e r

g l e i c h oder es ist X : x = Y : y w e n n f ü r j e d e a w e i b e l i e b i g e g a n z e Z a h

l e n m , n

zugleich m X > n x und m V > n y

oder m X < n x und m Y < n y

oder m X = n x und m Y — n y .

Die Gleichheit zweier Verhältnisse X : x = Y : y >tird auch eine Proportion und die

Gröfsen X , x , Y , y werden die Glieder derselben, und zwar x , Y die mittlern, und

X , y die äufsern Glieder genannt.

§. 4. W i r d das Hinterglied des einen Verhältnisses einer Proportion zur Ein

heit angenommen, so wird sein Vordergl ied der Exponent oder die Verbältnifszabl

des andern Verhältnisses genannt. So ist z. B . , wenn X : x = k : * oder wenn

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k : 1 = X : x, k dcr Exponent des Verhältnisses X : x orler seine Verhältnifszahl.

Läfst sich dieser Exponent von X : x genau durch eine Z a h l , sie mag eine zusam

mengesetzte oder eine einfache, ganze oder gebrochene Zahl sein, darstellen, so wird

X in Bezug auf x eine e o m m e n s u r a b l e Gröfse genannt: im Gegentheil, wenn sich X

durch kein Viel faches irgend eines aliquoten Thei ls .von x , so klein man denselben auch

annehmen m a g , sondern nur näherungsweise darstellen läfst, so heifst X in Bezug

a u f x eine i n c o m m e n s u r a b l e Gröfse. Im ersten Falle ist d e r E x p o n e n t k eine r a t i o

n a l e im letztern eine i r r a t i o n a l e Zahl. So ist z. B. der Exponent des Verhältnis

ses der Elle zur Ars ch ine , weil 4 Ellen = 5 Arsch inen , eine rationale Z a h l , näm

lich |. Hingegen die Verhältnifszahl des Kreisumfanges zum Durchmesser , welche

man gewöhnlich durch den Buchstaben » bezeichnet , eine irrationale Z a h l , und wird 22 355

näherungsweise durch -^-, jj^ oder 3 ,T4159265 . . . ausgedrückt. §. 5. Zufolge der Proportion X : x = Y : y ist X eine Grö f se , die sich zu x

\ \ "

verhält , wie Y zu y. Man drückt diefs durch X = •—aus . Ist y = 1 und V — k, y J

eine abstractC Z a h l , so dafs X eine Gröfse bedeutet , die sich zu x verhält , wie k

zur Einheit , so schreiht man diefs s o : X = k x und k x wird das l * r o d u c t aus der

Gröfse x m i t der Zahl k m u l t i p l i c i r t genannte Die Gröfse x ist alsdann der M u l t i p l i c a n d , und die Zahl k der M u l t i p l i c a t o r . I)afs k der Exponent des

X

Verhältnisses X : x i s t , wird durch k = — angedeutet. Um anzuzeigen, dafs x ei

ne Gröfse sei, die sich zu der gleichartigen X verhält, wie die Einheit zu k, schreibt

man x = Alsdann nennt man x den Q u o t i e n t e n , welcher herauskömmt, wenn

K man X , den D i v i d e n d , mit der Zahl k , d e m D i v i s o r , dividirt.

§. 6. F u n c t i o n nennt man jede Gröfse, in sofern dieselbe zu einer andern ver

änderlichen Gröfse in einer solchen Beziehung gedacht wird , dafs wenn der Werth

der letztern gegeben i s t , der Werth der erstem sich bestimmen läfst. Um die reci-

proke Beziehung der letztern veränderlichen Gröfse zu ihrer Function auszudrücken,

werden wir sie das A r g u m e n t der Function nennen. So ist z. tt. die Sehne eine

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Function des dazu gehörigen Kreisbogens,.und alsdann ist der Kreishogen das Argument der Sehne. Man kann aber auch den Kreishogen als Function der Sehne betrachten, und alsdann ist die Sehne das Argument des dazu gehörigen Kreishogcns. Um aHzuzeigen, dafs eine veränderliche Gröfse X eine Function einer andern x seie, hedient man sicfr gewöhnlich eines der Buchstaben f, F, Q, <£, und schreibt diefs so X = q>\. X ist hier die Function, x ihr Argument und der vor x stehende Buchstabe Q bezeichnet die Art der Abhängigkeit der Gröfse X von x oder die Form dcr Function, so dafsr wenn zugleich X = #x und Y = Qy, dadurch angedeutet wird, dafs X durch x eben so bestimmt wird, wie Y durch y. Bedeutet also z. B. X = Qx, die Sehne eines Kreisbogens x für einen gegebenen Halbmesser, so mufs man die zum Bogen y desselben Kreises gehörige Sehne Y durch Qy ausdrücken. Diefs vorausgeschickt, wollen wirfolgendenLehrsatz beweisen.

§. 7. Wenn 0 x eine solche Function von x bedeutet, dafs 0 x - ^ 0 y =

0(x + y) so wird Qx : Qy = x : y sein. Aus der Gleichung 0 x + ß y = $(x + y)folgtnämlichzunächst,wennmany = xsetzt

dafs 2 Qx = Q* + Q* •— Q 2x daraus 3 Qx = Qx + 2 0 x = QM + Q 2 x = ; Q 3x

4 Qx = Qx + 3 Qx = Qx + Q 3x = Q 4x 5 Q x = Q x + 4 Q x = • Q x + Q 4 x = Q 5 x etc. etc.

so dafs, wie man leicht übersieht, wenn m, n irgend zwei beliebige ganze Zahlen bedeuten

nxQx = Qmx und nQy = Qny.

Aus der Gleichung Qx 4~ Qy — Q(^ -'- y) folgt aber auch, dafs wenn z — x 4- y, also z > x, auch Q-/. > Qx sein mufs.

Ist also für jede zwei beliebige ganze Zahlen n i , ii mx > oder < oder =r ny

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so iiiufs auch respective piiix > oder < oder = ^ny f und folglich auch m<px > oder <; oder = n#y sein.

Es mufs also, zufolge der Euklidischen Definition von dcr Proportion (§. 3.), Qx : Qy =. x : y, und weil diefs für alle mögliche YVerthe von y gelten mufs

auch Qx : Ql = x : 1 und folglich (§. 5.), Qx = xQl sein. Lagrangc beweiset diesen Satz, in seinen Lecons sur Ie calcul des fonctions, Seite 18 — 20, auf eine etwas künstliche Art vermittelst der Differenzialrechnung oder der Theorie der abgeleiteten Functionen. Ich bemerke dies nur, um auf die Nützlichkeit der Euklidischen Def. von den Proportionen auch in der höhern iVnalysis aufmerksam zu machen.

§. 8. Der so eben bewiesene Satz führt auf einen sehr eleganten und strengen Beweis der beiden geometrischen Lehrsätze , dafs die Bögen eines Kreises sich wie die dazu gehörigen YSinkel und dafs Rechtecke von gleicher Höhe sich wie ihre Grundlinien verhalten. Bezeichnet man nämlich dcn Bogen, dessen Winkel x und dessen Radius — r ist durch Arc. (x, r) so hat man Arc. (x, r) + Arc. (y, r) = Arc. (x + y, r). Eben so erhält man, wenn mandas Rechteck dessen Höhe h, und dessen Grundlinie x, durch Rect. (x, h) ausdrückt,

Rect. (x, h) H- Rect. (y, h) = Rect. (x + y, h). Diese beiden Gleichungen sind, wenn man sowohl Arc. (x, r) als auch Rect. (x, h) durch andeutet in der Gleichung

Qx + Qy = Q(x + y) begriffen, so dafs also, weil alsdann, wie wir gesehen haben

Qx : Qy — x : y, Arc. (x, r) : Arc. (y, r) = x : y

und eben so Rect. (x, h) : Rect. (y, h) = x : y sein mufs. Man vergleiche damit die Beweise dieser beiden Sätze in den Elements de Geometrie von Legendre p. 45 und p, 63. Auch gehört dahin der Beweis des Satzes in Ie Gendre p. 177.

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§. 9. W e n n z w e i V e r h äl t n i s s e e i n a n d e r g 1 e i c h s i n d, s o mii s s e n a u c h

i h r e u m g e k e h r t e n V e r h ä l t n i s s e e i n a n d e r g l e i c h s e i n , oder wenn X : x —

Y ; y , so mufs auch x : X = y : Y sein.

Aus X. : x = Y* : y folgt ( § . 3 . ) , dnfs für j ede zwei beliehige ganze Zahlen

m , n zugleich respective

m X > oder < oder = n x

und m Y > oder < ; odex = n y

und also auch zugleich

n x > oder < [ oder = m X

und n y > oder < oder = m Y

und folglich x : X = y : Y sein mufs.

§. 10. W e n n a l l e v i e r G l i e d e r e i n e r P r o p o r t i o n g l e i c h a r t i g s i n d , s o

v e r h ä l t s i c h d a s A g g r e g a t d e r V o r d e r g l i e d e r d e r b e i d e n g l e i c h e n V e r

h ä l t n i s s e z u m A g g r e g a t e i h r e r H i n t e r g l i e d e r , w i e d i e r e s p e c t i v e n V o r

d e r g l i e d e r z u d e n H i n t e r g l i e d e r n d e r h e i d e n g l e i c h e n V e r h ä l t n i s s e ,

oder wenn

X : x — Y : y so ist auch

X + Y : y + y = X : x = Y : y.

W e i l nämlich X : x = Y : y , so mufs für j ede zwei beliehige ganze

Zahlen in , n zugleich

m X > oder < oder = n x

und m Y > oder < oder r = n y

und folglich auch m ( X + Y ) > oder < oder = n ( x + y)

und deshalb X + Y : x + y = X : x — Y : y sein.

Aus X + Y : x + y = X : x = Y : y ergiebt sich dafs

der Exponent dieser drei Verhältnisse derselbe sein mufs , dafs a l so , wenn man den

selben durch k bezeichnet

X + Y — k ( x + y ) , X. = k x , Y — k y

und folglich k x + k y = k ( x + y j sein wird.

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Daraus folgt auch, wenn x > y , dafs " k ( x — y ) + k y — k x und demnach

k x — k y = k ( x - y ) , o d e r , weü k x = X , k y = Y , dafs X - Y — J c ( x - y )

und folglich

X - Y : x — y = k : t = X : x = Y : y ist.

E s i s t a l s o d a s V e r h ä l t n i f s d e r S u m m « o d e r d e s U n t e r s c h i e d e s d c r

V o r d e r g l i e d e r z w e i e r g l e i c h e n V e r h ä l t n i s s e z u d c r S u m m e o d e r d e m

U n t e r s c h i e d e d e r b e i d e n H i n t e r g l i e d e r d e r s e l b e n , j e d e m d i e s e r b e i d e n

V e r h ä l t n i s s e g l e i c h ,

oder es ist X i Y : x i y = X : x = Y .: y .

§. 11. Die Gleichung k x + k y = M x + y ) ist , wenn man k x = 0 x

setzt , mit der Gleichung 0 x + 0 y = 0 ( x - + y ) identisch, folglieh ist auch

k x : k y = x : y .

W e n n d a h e r d a s V o r d e r - u n d H i n t e r g l i e d e i n e s V e r h ä l t n i s s e s m i t

e i n e r u n d d e r s e l b e n r a t i o n a l e n o d e r i r r a t i o n a l e n Z a h l m u l t i p I i c i r t

w i r d , s o b I o i b t d a s V e r h ä l t n i f s u n . g e ä n d e r t .

§. 12. W e n n d i e v i e r G l i e d e r e i n e r P r o p o r t i o n g l e i c h a r t i g s i n d , s o

k a n n m a n d i e b e i d e n m i t t l e r n o d e r d i e b e i d e n ä u f s e r n G l i e d e r m i t e i n

a n d e r v e r w e c h s e l n , o h n e d a f s d i e v i e r G l i e d e r a u f h ö r e n e i n e P r o p o r

t i o n zu b i l d e n .

Es sei wieder X : x = Y : y und X = k x , so wird

Y = k y und X 4 - Y = k ( v + y ) und wie wir eben gese

hen haben k x : k y — x : y o<ler X : Y = x : y , und folglich auch y : x ' =

V : X. x*in.

§. 13. D a der Satz, dafs \x : k y = x : y , für . jede beliebige abstracte Zahl k

gi l t , so mufs auch , wenn k irgend eine von k verschiedene Zahl bedeutet,

k x : k y = x : y und folglich auch k x : k y = k x : k y se in ; woraus sich

(§ . 10.) ergiebt , dafs ( k x 4- k 'x) : ( k y + k y ) = k x : k y = x : y , und y — 1

gesetzt , k x 4" k x : k 4- k = x : 1 oder k x + k x = (k 4- k) x .

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Ist k < k, so ist auch (k — k) x + k x = k x u n d f o l g l i e h k x — k x = (k k) x .

§. 14. Es lassen sich die beiden Satze k x + k y = k ( x + y ) u n d k x 4~ k x =

(k i k ) x , \vo entweder die beiden obern oder die beiden untern Zeichen zugleich

gelten, j ener auf mehrere Gröfsen x , x , x , x , etc., dieser a u f m e h r e r e Zahlen k,

k , k , k , etc. ausdehnen, so dafs * " *" . * ** 9tt

k x + k x + k x 4- k x 4- etc. = k ( x 4- x 4- x + x 4- etc.)

und k x 4- k x 4~ k x 4- k 'x 4- etc. = (k + k 4- k '4 - k " + etc.) x

w ro man nach Gefallen das Additionszeichen + mit dera Subtractionszeichen — in den

correspondirendcn Thei len der Glieder beider Gleichungen vertauschen kann.

, . Da nämlich k x 4" k x —k(x4- x ) so ist

k x 4- k x ' 4- k x = k ( x 4- x ) 4- k x = k ( x 4- x ' + x )

und k x 4- k x — k x — k ( x 4" x ) — k x = k ( x 4- x — x ) .

So wie hier der SaIz für drei Gröfsen x , x , x , aus demselben Satze für zwei

Gröfsen x , x hergeleitet ist, so kann man ihn auch auf vier, fünf etc. Gröfsen ausdehnen.

Eben so folgt aus k x ± k x = (k ± k ) x

dafs k x 4- k x + k x — (k 4- k) x + k x = (k + k + k ) x , etc.

§. 15. Z u den Sätzen, die man in der Elementar-Arithmetik entw reder gar nicht

oder nicht mit genügender Strenge beweiset, gehört der Lehrsatz d a f s e i n P r o d u c t

a u s e i n e r b e l i e b i g e n Z a h l F a c t o r e n i m m e r d a s s e l b e b l e i b t , in w e l c h e r

O r d n u n g a u c h i m m e r d i e F a c t o r e n m i t e i n a n d e r m u l t i p I i c i r t W e r d e r .

Legendre beweiset diesen Satz gleich anfangs in seiner Theor ie des N o m b r e s , doch

nur für ganze Zahlen. Ich werHe denselben mit Benutzung des bereits Vorgetragenen

allgemein für alle mögliche Factoren, wenn dieselben auch Irrat ional -Zahlen sind,

darthun.

§. 10. W i r wollen zuerst für irgend zwei Zahlen a, b zeigen, dafs a X b = b X a

oder a b ~ b a ist.

Page 34: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Es ist demnach . . a b c d e f = a b c d f e

Eben so ist a b c d f — a b c f d also a b c d f e = a b c f d e

- - a b c f — a b f c a b c f d e = a b f c d e

- - a b f = a f b a b f c d e = a f b c d e

- - - a f = f a a fb c d e = f a b c d e .

$. 19. Gesetzt nun der Satz , dafs der W e r t h eines Products aus einer bel iebi-

Es bedeutet nämlich a X b oder a b das Product der Zahl a mit der Zahl b mul-

tiplicirt oder eine Z a h l , die sich zu a verhält , wie b zur Einheit.

Demnach ist a X b : a = b : 1 und folglich (§ . 12.) a X b : b = a : 1. Es ist

aber auch b X a : b — a : 1. A lso a X b : b = b X a : b und deshalb a X b =

b X a oder a b = b a .

§. 17. W e n n man eine Zahl a mit der Zahl b multiplicirt, und das Product

nochmals mit der Zahl c multiplicirt, so ist das Resultat dieser Operation dasselbe,

als wenn man das Product b c durch e i n e Zahl darstellt, und die Zahl a mit dersel

ben multiplicirt, oder es ist a b c = a X b c .

Es ist nämlich a b c : a b oder a b X c : a b = c : 1 , und , weil b c : b = c : 1,

auch a b X c : a b = b c : b , deshalb auch (§ . 12.) a b X c : b c = a b : b oder

a b c : b c = a b : b . Aber b a : b = a : 1 o d e r , weil b a = a b , a b : b = a : 1.

Demnach a b c : b c = a : 1 und (§ . 12.) a b c : a = b c : 1. Folglich a b c — a X b c .

§. 18. Der W e r t h eines Productes aus einer beliebigen Anzahl Factoren bleibt

derse lbe , wie man auch die Stelle eines dieser Factoren verändern m a g , vorausge

setzt , dafs die übrigen ihre Rangordnung untereinander beibehalten. So wird z. B.

a b c d e f — a b c d f e = a b c f d e = a b f c d e = a f b c d e = f a b c d e . Es wird genug

se in , den Satz für das obige aus sechs Factoren bestehende Product zu beweisen,

wei l sich daraus leicht die Allgemeinheit für ein Product aus jeder beliebigen Anzahl

von Factoren ergiebt.

Aus dem so eben bewiesenen Satze f o lg t , dafs a b c d e f = a b c d X e f und

a b c d f e = a b c d X f e . W e i l nun e f = f e , so mufs auch a b c d X e f = a b c d X f e sein.

Page 35: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

» gen Anzahl von Factoren, wie auch die Ordnung derselben verändert werden mag, unveränderlich bleibt, seie wahr für ein Product aus n Factoren, so dürfen wir nur zeigen, dafs derselbe auch für ein Product von n + 1 Factoren wahr sein müsse. Denn weil der Satz wahr ist für n = 2, so wird er auch für n = 3, und deshalb für n = 4 u. s. w. für jede beliebige ganze Zahl n wahr sein müssen. Um diefs anschaulich zu machen, wrollen wir die dem Werthe nach unter sich gleichen Producte aus n Factoren, insofern sie durch ihre combinatorische Form verschieden sind, durch P, P, P, P, etc. unterscheiden. Ist nun der neu hinzukommende (n + l)te Factor = k, so ist zuerst klar, dafs Pk = Pk — Pk — Pk etc. sein wird. Giebt man jetzt dem neu hinzugekommenen Factor k irgend eine andere Stelle, als die letzte, so wird das Product unter dieser neuen Form jedem der obigen unter sich gleichen Wcrthe gleich sein.

Dafs die Menge der möglichen combinatorischen Formen eines Productes von n Factoren = 2. 3. 4. 5....n sei, übersieht man ebenfalls hieraus leicht.

§. 20. Wenn man von inehrern gleichartigen Gröfsen jede derselben als im Verhältnisse zur nächstfolgenden betrachtet, so sagt man, dafs das Verhältnifs der ersten zur letzten zusammengesetzt sei aus den Verhältnissen, der lsten zur 2ten, der 2ten zur 3tenu.s.w. bis zur letzten.

Es sei z. B. X ' : X = x : y, X ' : X " — x': y', X": X = x': y' X : X ' = x': y" etc., so sagt man, das Verhältnifs X : X ist aus den Verhältnissen x:y, x:y, x:y, x":'y"zusammengesetzt. Man kann diefs durch Zeichen so ausdriicken[X:X ] = [x:y]

+ K : y'l + [*": y'J + [*"': y"]. So ist z. B., wenn Bect. (x, y) den Flächeninhalt eines Rechtecks bedeutet,

dessen Grundlinie x und dessen Höhe y (§. 8.) Rect. (x, y) : Rect. (x ,y) = x : x Rect. (x',y) : Rect. (x', y) — y : y'

Page 36: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

f e d c b a : f e d c b 1 f e d c b : f e d c = b : f

f e d c : f e d = c : 1 f e d ; f e = d : *

f e ; f — e : 1 f : 1 ~ f : 1

Es ist also das Verhältnifs f e d c b a : 1 o d e r , weil f e d c b a = a b c d e f ,

[ a b c d e f : 1] = [a : 1] + [b : 1] + [ c : 1] + [d : 1] + [ e : 1] + ff : l j .

§. 21 . Sind die einzelnen Verhältnisse, woraus ein zusammengesetztes Verhält

nifs besteht, unter sich gleich, so wird dasselbe ein V i e l f a c h e s eineg dieser einzel-

Daraus ergiebt sich also dcr geometrische Lehrsatz , dafs

[Rect . ( x , y ) : Rect . (x ' , y ) ] = [x : x ] + [y : yJ

oder dafs das Verhältnifs zweier Rechtecke aus den Verhältnissen ihrer Grundlinien

und ihrer Höhen zusammengesetzt ist.

Eben so hat m a n , wenn P ( x , y , z ) das Volumen eines rechtwinklichten ParaIIe-

Iepipedums bedeutet , dessen L ä n g e , Breite und H ö h e resp. durch x, y, z bezeichnet

wird (§ . 8.)

P ( x , y , z) : P ( x ' , y , z) — x : x' •

P ( x ' , y , z) : P ( x , y , z) - y : y

p (*'> y > 2 ) : P (*V y> z ) — z : *

Es ergiebt sich demnach , dafs

[ P ( x , y , z) : P ( x , y , z)J = [ x : x j + fy : y j + [z : zJ

oder das Verhältnifs der Volumina zweier rechtwinklichten ParaHeIepipeda ist aus

den Verhältnissen ihrer L ä n g e n , Breiten und Höhen zusammengesetzt.

A u f ähnliche W e i s e läfst sich auch bewe i sen , dafs das Verhältnifs eines Produc -

tes zur Einheit aus den Verhältnissen der einzelnen Factoren zur Einheit zusammen

gesetzt ist. Betrachten wir z. B. das Pr&duct a b c d e f , so ist

Page 37: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

nen Verhältnisse genannt, S o ist z. B. das Verhältnifs zweier Wür fe l das dreifache

Verhältnifs ihrer Se i ten ; o d e r , wenn die Gröfsen x , X1, X2, X3, X4, X5 eine g e o m e

trische Reihe b i lden , die Verhältnisse x : X1, X1 : X2, X2 : X3, etc. also unter sich

gleich s ind, so ist dafs Verhältnifs des ersten Gliedes zum letzten Gliede x : X5 das

Fünffache des Verhältnisses x : X1.

Dafs ein Verhältnifs X : Y irgend ein Vielfaches des Verhältnisses x : y sei, •.fif

Wollen wir so bezeichnen [ X : YJ = m [ x : y ] .

W e n n das Verhältnifs X : Y ein Vielfaches des Verhältnisses x : y i s t , so kann

man das letztere x : y als aliquoten Thei l des Verhältnisses X : Y betrachten, und 1 t-

d i e f s s o a u s d r ü c k e n , [ x : y ] = [ X : \\, woraus sich dann von selbst die B e -

111 deutung von [x : y ] = ^ [ X : Y ] ergiebt , w o n , m beliebige ganze Zahlen bedeu

ten. So ist z. B. [fOOO : 1] — i [10000 : lJ . Es ist nämlich 4 [10 : IJ = [10000 : IJ

also 10 : 1 = 1 [10000 : 1] und [1«H) : 1] — 3 [10 : 1| = | [10000 : 1J. §. 22. DaVerhäl tn isse einander gleich sind, wenn sie g Ic i cheExponenten haben,

so scheint es natürlich zu se in , ein Verhältnifs für gröfser anzunehmen als

ein anderes , wenn des erstern Exponent gröfser ist als der des letztern. Damit

stimmt auch die 7te Definition im 5ten Buche Euklids überein , zufolge deren man

sagt, dafs das Verhältnifs a : b gröfser sei als das Verhältnifs c : d, wenn für irgend

zwei beliebige ganze Zahlen m , n für welche m a > n b nicht auch zugleich

ni c > n d ist. W e i l wir j edoch die Verhältnisse als mathematische Gröfsen betrach

ten w o l l e n , so mufs ihre Quantität auf eine W e i s e bestimmt werden , dafs a l les , was

von mathematischen Gröfsen überhaupt gi l t , auch auf Verhältnisse angewandt w e r

den kann. Dahin gehört der aflgemeine Grundsatz, dafs das Ganze gröfser ist als seine

T h e i l e , wie auch die 4te Def . des 5ton B. Eukl ids , dafs man von Gröfsen sagt,

sie haben ein Verhältnifs zu einander, wenn die kleinere so oft genommen werden

kann, dafs sie die gröfsere übertrifft. Wo l l t e man nun, da [ab : l ] = [ a : l ] + ( b : ^ i »

das Verhältnifs [ a b : IJ als das C a n z e , und [a : 1 ] , [b : IJ als dessen Thei le b e -

Page 38: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

trachten, so müfste [ab : 1] > [a : 1] und auch > [b : 1] sein, Diefs ist auch der

Fall , vvenn sowohl a als b > 1 ist. Ist aber eine von diesen beiden Zahlen , z. B. b

< 1, so ist auch a b < a, und es wäre alsdann [ab : 1] < [a : 1] oder das Ganze

kleiner als sein Thei l . Eben so w ü r d e , wenn a > 1 und b < 1, das doppelte drei

fache , und überhaupt mehrfache Verhältnifs von [b : Ij oder m [b : 1] nicht nur

nicht gröfser als [a : 1] sondern um so kleiner werden j e gröfser m ist. Man ver

meidet j edoch diesen W i d e r s p r u c h , wenn man alle Verhältnisse, deren Exponenten

gröfser als die Einheit sind, als unter sich gleichartige und positive, die übrigen aber,

deren Exponent < 1 als den erstern entgegengesetzte unrl negative Gröfsen betrach

tet. D a nun das aus zwei Verhältnissen, von denen das eine das umgekehrte des

andern ist, zusammengesetzte Verhältnifs, wie [a : b ] + [b : aj — [a : a ] , dem V e r - ,

bältnisse [1 : 1] gleich, aber [a : b] = [a : b ] + [1 : IJ also auch [a : b| — [a : b ]

= [1 : 1] ist , so sind die beiden Verhältnisse [a : b ] und [b : a ] als gleiche aber

entgegengesetzte Gröfsen zu betrachten, und das Verhältnifs [a : a ] oder [1 : 1] ist

als ein relatives Null anzusehen.

§. 23. So wie das Verhältnifs eines Products zur Einheit aus den Verhältnissen

der einzelnen Factoren zur Einheit zusammengesetzt ist , und als das Aggregat oder

rlic Summe derselben angesehen werden k a n n , so läfst sich auch das Verhältnifs ei

nes Quotienten zur Einheit , als die Differenz des Verhältnisses des Dividends

zur Einheit weniger dem Verhältnisse des Divisors zur Einheit betrachten. Es ist

nämlich der Quotient ^ = q eine Zahl die sich zur Einheit verhält, wie der D i v i -

dend a zum Div isor b oder es ist a : b = q : 1 also a == b q und [a : 1] = [b : 1]

+ [q : 1] folglich [a ; 1] - [b : 1] = [£ : 1 ] .

W e n n man also von einem Verhältnisse [a : 1 ] ein anderes [b : 1 ] wegnimmt

oder subtrahirt, so ist das Verhältnifs des Quotienten ^ zur Einheit als der Rest zu

betrachten. Sind die Verhältnisse [a : 1 ] und [b : 1 ] beide gleichartige und zwar

positive Verhältnisse , so dafs a sowohl als b > 1 und ist a > b und folglich auch

Page 39: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

[a : 1] > [b : 1 ] , so wird man durch ein oder mehrmaliges Suhtrahiren des Verhält

nisses [b : 1] von [a : 1 ] , wie klein auch [h : 1] sein m a g , auf ein Uestverhälfnifs

[ c : 1] < [b : 1 ] k o m m e n , w o c = 1 oder > 1 i s t , so dafs [a : 1 ] = ^ [ b . i j _ j .

[ c : 1] gesetzt werden k a n n , w o y. eine ganze Zahl bedeutet, und [c : 1 ] < [b : l ]

ist. Es sei z. II. a = 1,25, b = 1,024. Dividirt man alsdann 1,25 durch 1,024, den

Quotienten wieder durch 1,024 und setzt diese Operation so lange fort bis man auf

den Quotienten 1 oder < 1,024 kömmt, so erhält man der Reihe nach die Quotienten,

1,22070312500; 1,19209289551; 1,10415321828; 1,13686837723;

1,11022302464; 1,08420217250; 1,05879118384; 1,03397576547;

1,00974195846.

Es läfst sich also das Verhältnifs [1,024 : 1 ] neun mal von dem Verhältnisse

[1,25 : 1] wegnehmen , bis man auf ein Verhältnifs [1,00974105846 : 1 ] < [1,024 : 1]

k ö m m t , so dafs :

[1,25 : 1] = 9 [1,024 : 1 ] + [1,00974195846 : 1] ist.

§. 24. Diefs vorausgeschickt , bietet sich uns das (§ . 1.) erwähnte Verfahren, das

Verhältnifs zweier Gröfsen näherungsweise zu bestimmen, als sehr vortheilhaft dar, um

die quantitative Beziehung zweier gleichavt".gen Verhältnisse zu berechnen. Es

sei das positive Verhältnifs [ X : 1 ] durch das kleinere gleichartige [ x : 1] zu

messen , so lassen sich nach dem so eben gegebenen Beispiele folgende Gleichungen

f inden:

[ X : 1 ] = p [ x : 1] + [ X 1 : 1] [ x : 1 ] = P1[X1: 1] + [ X 2 : 1 ]

[* , : 1 J =AS[X 3 : 1 J + ^ : 1 J

[ x a : i ] = * 3 [ x 3 : l ] + [ x 4 : l ] etc. etc.

w o p,) P1, p2j e t c ganze Zahlen bedeuten, und in der Zahlenreihe x, X 1 , xa, * 3 , e t c

j edes Glied kleiner ist als das nächstvorhergehende aber nicht < 1.

Page 40: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Es sei z. B. X = 10 , X = 5 , so erhält man

[10,000000000000 1] = [5,000000000000 1 ] + [2,000000000000 1 ]

[5,000000000000 = 2 [2,000000000000 : 1] + [1^50000000000 • 1 ] [2,000000000000 = 3[1^250000000000 1 ] H- [1,024000000000 : 1 ]

[1,250000000000 1 ] — 9[1,024000000000 : 1 ] + [1,009741958683 1 ]

[1,024000000000 : *] = 2 [1,009741958683 1] + [1,004336277668 1]

[1,009741958683 : 1] = 2 [1,004336277668 ' 1] + [1,001041547584 1]

[1,004336277668 1] = 4 [1,001041547584 : 1] 4- [1,000162894178 1]

[1,001041547584 : 1] — 6 [1,000162894178 : 1] + [1,000063722117 : 1]

[1,000162894187 : 1] = 2 [1,000063722117 : 1] 4- [1,000035441368 : 1]

[1,000063722117 : 1] = [1,000035441368 . 1] + [1,000028279748 1]

[1,000035441368 1] = [1,000028279748 1] 4- [1,000007166419 1]

[1,000028279748 : 1] = 3[1,000007161419 : 1] + [1,000006795193 1]

[1,900007161419 : 1] = [1,000006795193 ' 1] 4- [1,000000366224 : 1]

[1,000006795193 : 1] = 18 [1,000000366224 : 1] 4- etc.

W e n n nun [ X : 1] : [x : 1] = k : 1 , so lassen sich für die Verhältnifszahl k A A , A 2 A A

Xäherungswerthc — , ^ , ^ ? , etc. finden, die auf folgende W e i s e aus * 2 3 4

den ganzen Zahlen ^ 1 , ^ 2 , etc. hergeleitet werden. Es ist nämlich

\ = P, A, = ^ A + 1 , A ^ ^ A , + A , A 3 " ^ 3 A 2 4 - A r , ete.

B2 = P2B1^B, B 3 = - ^ 3 B 2 4 - B I etc.

B 1, B 1 = ^ 1 B ,

A A A 2 A Die Brüche ^ - , ~ , etc, sind abwechselnd kleiner und gröfser äls k

" "t "2 3 A A 1 A A

und haben noch die merkwürdige Eigenschaft , dafs ~ — ^ = „ ^ 7 , ^ — ^ = B 1 B B 1 B B 1 K 2

* A3 A» 1 A3 A 1 Jf7f> jjr — B - B - ' B U ~ TJ"o"> e t c * ^ * e n Beweis dieses Satzes und

B . V A __ *4 ^3"4

die weitere Ausführung des Gegenstandes versparen wir für die Lehre von den c o n -

tinuirlichen Brüchen, und begnügen uns damit die Anwendung davon auf das vorIie-

Page 41: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

" * i t S M . fMo " L f v — o r t m

gendc Beispiel zu zeigen. Setzen wir für p, ^1, etc., die gefundenen Zahlen A 1 A1 3 A2 io A 93 1, 2 , 3, 9 , 2 , etc., s o wird - -, — -, jj- = y» = so dafs

wir, wenn wir alle oben gefundene Zahlen benutzen, folgende Brüche erhalten, 1 2 3 9 2 2 4 6 2 1 1 3 1 18 1 3 10 93 190 485 2136 133M 28738 42039 70777 254370 325147 6107016 T 2 y 65 i 37 339 T493 ^297 20087 29384 49471 W 7 9 7 227268 4268621'

Nimmt man den letzten Bruch für k, s o ist [10 : 1] = 68621 ^''^ u n f* &''tf ^ * ^ ? [10 : 11 — 0,698970004335596 [10 : 1], Avo der Coefficient von [10 : 1] um <>1u/Olo keine Einheit der 13ten I)ecimalstelle unrichtig ist.

Zu bemerken ist übrigens, dnfs in Betreff einer Zahl der Reihe X , x, X1, x2, X 3 , etc., wenn auch die Rechnung an und für sich ganz richtig ist, man für dic Richtigkeit der Ziffern ihres Decimalbruches immer weniger und weniger bürgen kann, je weiter ein solches Glied x vom ersten entfernt ist. Multiplicirt oder dividirt man nämlich zwei auf einander folgende Glieder der obigen Reihe, s o ist soviel klar, dafs, wenn der Fehler jedes derselben kleiner als dic halbe Einheit der letzten Decimale ist), der Fehler des Products oder Quotienten beinahe die Einheit der letzten Stelle ausmachen kann. So können in der Zahl x

i3 vielleicht die letzten 4 oder 5 Ziffern unrichtig sein. Man würde also, wenn man die bis zur Zahl X13 angestellte Berechnung noch weiter fortsetzte, vielleicht lauter unrichtige Zahlen ^15, etc. erhalten, durch deren Gebrauch man Brüche finden würde, die der Zahl k nicht näher kommen könnten, als die oben gefundenen.

§. 25. AHe Sätze, welche bis jetzt von den Gröfsen überhaupt bewiesen sind, gelten auch von den Verhältnissen, insofern dieselben als mathematische Gröfsen betrachtet werden.

So ist, weil, wenn x und y zwei gleichartige Gröfsen und k, k irgend abstracte Zahlen bedeuten (§. 10, 11, 12),

kx 4- ky = k(x + y), kx : ky = x : y, und kx + ^x =- (k + k)x, 3

Page 42: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

t V * * 1 *r^*

ebenfalls auch k [ a : 1»] + k [ c : <1] = k([a : b] + [c : d]) - ' ' - • * - r ^ k [ a : b] : k [ c : d] = [a : b] : [c : d] =

" f

und k [a : b] + k [ a : b] = ( k + k ) [a : b ] .

§. 26. P o t e n z nennt man j ede Z a h l , insofern ihr Verhältnifs zur Einheit

in quantitativer Beziehung zu dem geraden oder umgekehrten Verhältnisse einer an

dern Zahl zur Einheit gedacht wird. W e n n daher [ X : 1] : [x : 1] = k : 1 , so ist

X eine Potenz von x . D i c Zahl x wird die W u r z e l , und k der Exponent der P o -

' k tenz genannt. Man drückt diefs durch X = x aus. So ist z. B . , weil [1024 : 1] = 5 [4 : 1 ] und [4096 :1] = 6 [4 : 1 ] , [1024 :1] = £ [4096 : 1 ] und [4096 : 1 ] = f [1024 : 1 ] ,

s ö folglich 1024 = 4096* und 4096 — 1 0 2 4 5 . Im erstern Falle wird 1024 als die Potenz

von 4096 betrachtet, deren Exponent = im letztern hingegen ist 4096 die Potenz

und 1024 die W u r z e l .

Ist [X : 1] : [1 : x ] = k : 1 , so ist auch dann noch X eine Potenz von x . D a

aber [X : 1] nicht durch das gerade Verhältnifs [x : 1 ] , sondern durch das umgekehr

te oder entgegengesetzte Verhältnifs [1 : x ] gemessen w i r d , so drückt man diefs , \ —ff

durch X = x aus. Es wird demnach = 1024 5 s e in , weil das Verhältnifs Di* : 1I =*lim ••1] = •[1:1024J = - i " 0 2 4 : «• ' £ X J. L 3 Man bezeichnet die Potenzen a 2 , a J , a 4 , a 5 , etc. gewöhnlich durch y^a, y^a,

^ a , ^ " a , e t c . ; sie heifsen alsdann Quadratwurzel , Kub ikwurze l , Biquadratwurzel, 2 j

W u r z e l der 5ten, der 6tcn etc. Potenz. Eben so wird auch wohl a 3 , a 4 etc. durch 3 4

^ V , YA> e t c - bezeichnet.

W i e schwierig und mühsam cs i s t , aus der Potenz X = x k und der W'urzel x

den Exponenten k , der im allgemeinen eine Irrational-Zahl i s t , mit einiger Genauig

keit zu f inden, haben wir an dem (§ . 24.) berechneten Beispiele 10 = 5 k g e s e h e n , w o

k = 0 ,69897000433596. . . bis auf die letzte Ziffer genau gefunden wurde. Es werden

sich in der Fo lge Mittel darbieten, diese Arbeit ungemein zu erleichtern.

§ . 2 7 . Das P r o d u c t z w e i e r P o t e n z e n v o n g l e i c h e n W u r z e l n , i s t

Page 43: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

\

g l e i c h e i n e r P o t e n z d e r s e l b e n W u r z e l , d e r e n E x p o n e n t d i e S u m m e d e r

E x 1» 0 n e n t e n d e r b e i d e n F a c 1 0 r e n i s t.

Est ist nämlich (§ . 20.) [a*. a y : 1] = [ a x : 1] + [a y : 1] = x [a : l ] 4. y [ a : 1]

(§ . 25.) = (x + y) [a : 1] oder [a x . a y : 1] : [ a : 1 ] = x + y : 1 . Folglich a x . a y = a x + y . X

Eben so läfst sich zeigen, dafs — = a x — y , oder d a f s d e r Q u o t i e n t z w e i e r a y

P o t e n z e n d e r s e l b e n W u r z e l g l e i c h i s t e i n e r P o t e n z d e r s e l b e n W u r -

z e 1, d c r e n E x p 0 n e n t d e r U n t e r s c h i e d d e s E x p 0 n e n t c n d e s D i v i d e n d u s

u n d d e s D i v i s 0 r s i s t. X _

Es ist nämlich (§ . 23.) : lJ = [ a x : 1] — [a y : 1] = x [ a : 1] — y [ a : 1}

_ a x _ = ( x — y) [ a : 1 ] = [ a x y : l ] , folglich 1T^a* y . Dieser Satz gilt für alle

a y

mögliche Zahlwerthe von x und y, y mag kleiner oder gröfser sein als x . Dehnt man X

ihn nun auf den Fa l l , dafs x = v , aus , so ergiebt s i ch , dafs = a x — x= a ° — 1*

a x

Dieser Ausdruck rechtfertigt sich aber auch dadurch, dafs , weil in ( a x : 1] :

[a : 1] - x : 1, x = o gesetzt , [a° : 1] : [a : 1] — 0 : 1 ist, und demnach das Verhältnifs

[a° : 1] als mathematische Gröfse behandelt, wie 0 zu betrachten, und diefs V e r

hältnifs, wie wir (§ . 22.) gesehen haben, mit [I : 1] identisch i s t , fa° ; 1] = [1 : 1], und

folglich a° = 1 sein mufs.

§. 28. D a s P r o d u c t z w e i e r P o t e n z e n , d e r e n E x p o n e n t e n g l e i c h , i h r e

W u r z e l n a b e r v e r s c h i e d e n s i n d , i s t d e r P o t e n z d e s P r o d u c t s d e r b e i

d e n W u r z e l n m i t d e m s e l b e n E x p o n e n t e n g l e i c h .

Es ist nämlich [ a x b x : 1] = [a x : 1] + [ b x : 1] = x [a : 1] + x [b : 1] = r

x ([a : 13 + [b : 1]) = x [ab : 1] = [ ( a b ) x : 1]. Folglich a V = ( a b ) x -

W a s von dem Producte zweier Potenzen bewiesen is t , gilt auch von einem Pro -

ducte aus mehreren Potenzen.

Page 44: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

W e i l ra m = a n , rV" = *>"> so ist auch a™. ^ = = n < " n d ^ = K H .

p r §. 30. D i e P o t e n z e i n e r Z a h l w i e d e r u m z u e i n e r P o t e n z e r h o b e n ,

i s t d e r P o t e n z d e r s e l b e n Z a h l g l e i c h , d e r e n E x p o n e n t a u s d e m P r o -d u c t e d e r b e i d e n E x p o n e n t e n b e s t e h t , oder (a*) = -R*y

y j

Es ist nämlich [ (a x ) : l ] - y [ a * : 1] aber [a* : 1] = x [ a : 1]. Daher [ (a x ) : 1] :

[ a x : 1] = y : 1, [ a x : 1] : [a : 1] = x : 1, also [ ( a * / : 1] : [a : 1] = x y : 1 oder y V

[ (a x ) : 1] = x y [a : 1], und folglich ( a x ) = a x y .

Dafs der Beweis dieses Satzes für alle W e r t h e von x , y gilt, sie mögen positive

oder negat ive , ganze oder gebrochne , rationale oder irrationale Zahlen se in , hedarf

wohl keiner Erinnerung. So ist z. B . (aV=a** = KV5; p ^ = (a*)*=a^ = pa3 ; 3 2 7 IZ 1 1 Ha *)=(a *>* = a + = - = — .

a* f-ai §. 31. Bedient man s i c h , um Verhältnisse zu messen, eines gemeinschaftlichen

Grundverhältnisses, oder betrachtet man jede positive Zahl als eine Potenz einer

und derselben W u r z e l oder Grundzahl, so wird der Exponent dieser Potenz der L o -

g a r i t h m e der dazu gehörigen Z a h l , und dic gemeinschaftliche Grundzahl die l o

g a r i t h m i s c h e B a s i s genannt. Bedeutet z. B. y j e d e beliebige posit ive , rationale

oder irrationale Z a h l , a irgend eine bestimmte Z a h l , und wäre y — a x , so würde x

der Logarithme von y und a die Iogarithmischc Basis sein. Man drückt dicfs durch

W e i l nämlich a * b * = ( a b ) * , so ist auch a x b x c x = ( a b ) x c x = ( a b c ) x , eben so a x b x c X d x

= ( a b c ) x d x = ( a b c d ) x , etc. X x

§. 29. Auf ähnliche W e i s e zeigt man auch , dafs ~ = [ £ \ b* V V

X

Es ist nämlich (§ . 23.) : lJ = [ a x : 1] — [ b x : 1] - x [a : 1] — x [b : 1] =

x ([« : 1} - [b : 1]) = x : l ] = [ ( ? ) x : l ] . Demnach jL = QJ.

m m n m K a m » / a

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log y = x aus. Um, wenn es nÖthig wäre, anzudeuten, dafs a die logarithmische Ba-a

s i s , könnte man auch so schreiben, log y — x . x

W e i l wegen der (§ . 27, 30.) bewiesenen Sätze a V = a x + y ; — = nx~y; (a*)y = axy.

ay

so i s t , wenn a x — u , a y r = v und a die Basis des logarithmischen Systems bedeutet, Ii y Iog u v = l o g u + l o g v ; log -=r : l ogu — l o g v , und log u = y l o g u . Die Multipli-V

cation der Zahlen läfst sich also vermittelst der Logarithmen auf Addit ion , die Div i

sion auf Subtraction, und die Elevation und Extraction auf MuItiplicafion und Div i

sion zurück führen. Man begreift a l so , wie äusserst nützlich eine für irgend eine

Hasis berechnete Logarithmentafel zur Erleichterung der Rechnung sein mufs. Man

hat zu dieser Basis die Zahl 10 gewählt , die wegen des dekadischen Zahlensystems,

wovon wir Gebrauch machen, die bequemste ist. Die Logarithmen nach dieser Basis

berechnet, heifsen die B r i g g i s c h e n Logar i thmen, Aveil H e n r y B r i g g s , ein engli

scher Mathematiker sie zuerst berechnet und im Jahre 1618 bekannt gemacht hat.

Aufserdem kommen auch noch dic sogenannten n a t ü r l i c h e n L o g a r i t h m e n vor,

von denen erst späterhin wird gehandelt werden. Vorläufig wollen wir nur bemer

k e n , dafs die Basis derselben eine Irrationalzahl i s t , uud durch die Berechnung des

1 n

Ausdrucks ( l + ~) D * s a u f die m t e Decimalstelle genau gefunden w i r d , wenn man

für n eine Zahl grÖfser als 10™ setzt. Sie ist der Näherungswerth der unendlichen

Reihe 1 + 1 + \ + + 27374 + + e t c * = 2,718281828459045

§. 32. Jede positive Zahl läfst sich durch Division oder MultipIication mit einer

Potenz von 1 0 , deren Exponent eine ganze Zahl ist , auf eine Zahl zurückführen,

.welchc kleiner als 1 0 , aber nicht kleiner als 1 i s t , so dafs sie unter einer der bei-Tt Z

den Formen 10 . z oder — , w o n eine positive ganze Zahl , und z irgend eine Zahl io"

< 10 aber nicht < 1, begriffen ist. Daraus fo lgt , weil log 10 = 1, log 1 = 0 , dafs,

wenn log z = <? eine positive Zahl < 1 ist. Es läfst sich also der Logarithine j e

der Zahl unter dcr Form n + £ o d e r — n + ^darstellen, w o n irgend einc positive ganze

Page 46: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Sfcj " Erste Vorlesung. Über Verbältnisse,

*...^

Zahl auch 0 , u n d { eine positive Zahl < 1, bedeutet. D ie ganze Zahl + n oder — n

wird die C h a r a k t e r i s t i k , und die Zahl { durch einen Decimalbruch ausgedrückt,

die M a n t i s s e des Logarithmen genannt. Ist die Charakteristik des Logarithmen ei

ner Zahl + n , so ist die dazu gehörige Zahl > 10" und < 1 0 " ~ ^ r ; ist sie hingegen —n —n^i 1 \

n so ist sie > lü und < 10 oder > — und < n _ _ | t

§. 33. Da der Logarithme einer Z a h l , der (§ . 31.) gegebenen Erklärung zufolge

der E>ponent der quantitativen Beziehung des Verhältnisses dieser Zahl zur Einheit

zu dem Verhältnifs der logarithmischen Basis zur Einheit ist, so könnte man zur B e

rechnung desselben sich des (§ . 24.) gelehrten Verfahrens bedienen. So hat man dort,

wenn [5 :1 ] = k [ 1 0 : 1 ] , k = 0,69897000433596 gefunden, welches , weil 5 = 1 0 k , d c r b r i g -

gische Logarithme von 5 ist. Daraus ergicbt sieb dev Logarithme für 50, 500, 5000,

etc. oder für 0,5; 0,05; 0,005 e tc . , wenn man mit Beibehaltung der Mantisse von

log 5 , die Charakteristik 0 in 1, 2 , 3 , etc. oder in — 1 , — 2 , — 3 etc. verwandelt.

^ §. 34. W e n n c = ^ a b , so ist log c = —^— ^ o d e r d e r L o g a r i t h

m u s d e s g e o m e t r i s c h e n M i t t e l s z w e i e r Z a h l e n , i s t g l e i c h d e m a r i t h m e

t i s c h e n M i t t e l d e r L o g a r i t h m e n d e r s e l b e n . Dieser Satz giebt ebenfnlls ein

Mittel an die IIand den Logarithmen jeder beliebigen Zahl durch Xäherung zu lin

den. Es sei die Z a h l , deren Logarithmen man sucht, gröfser als die Einheit , so

wird sie zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern der geometrischen Reihe 1, 10,

100, 1000, etc. deren Logarithmen 0, 1 , 2 , 3 , etc. gegeben s ind , liegen. Gesetzt,

die Zahl läge zwischen 1 und 10 und sei 5 , so ist das geometrische Mittel derselben

= Y 10 = 3,162277 . . . und der Logarithme dieser Zahl = 0,50000000. Jetzt liegt die

Zahl 5 zwischen 3,162277 und 10 , deren Logarithmen bekannt sind. Das geometri

sche Mittel dieser beiden Zahlen oder Y 31,62277 ist ~ 5,623413, dessen Logarithme

i J_ o 5

i_T—L -=0,75. Nunmehr ist 5 schon in die engern Grenzen 3,162277 und 5,623413,

dereh Logarithmen bekannt s ind, eingeschlossen. Au f diese W e i s e kann m a n , wenn

man von den letzten beiden Zahlen wiederum das geometrische Mittel sucht, die Zahl

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* Logarithmen.

A = 10,000000 1,0000000 B = i , oooooo 0,0000000

K A B = C = 3,1G2277 o,5oooooo r\c = I) - 5,Ga34i5 0,7500000 V ci) = E = 4,a 1(i9O4 o,625oooo Kr>E ~ F = 4,8(>9G74 0,6875000 Ki)F - G = 5,232991 0,7187500 K F G - H — 5,o48oG5 o,7o5i25o K F I I I - 4,9580G9 0,G953125 KHi K = 5,oo28G5 0,6992187

L = 4,980416 0,6972G56 K K L = M = 4,99lGl7 0,G982<f21

Logarithmen.

K K M = N = 4,997242 0,G987504 K K N = O - 5,oooo52 0,G989745 K O N = P = 4,998647 0,G988525 K O P = Q = 4,99955° 0,6989135 roQ = R 4,999701 0,69S944<> K O U = S = 4•9998T0 0,G989592 K O S = T = 4,99996^ 0,G989GG8 K O T — V 5,ooooo8 0,6989707 K T V = W = 4,999984 0,09S9687 K V W = X = 4,999997 0,6989697 K V X - Y = 5,ooooo3 0,6989702 K X Y = Z = 5,oooooo 0,G989700

Auf die W e i s e erhält m a n , indem man immer von den nächsten beiden Gren

zen der Zahl 5 das geometrische Mittel sucht , endlich Z = 5,000000. Es ist also

der gesuchte briggische Logarithme von 5 = 0,689S9700. Auf diesem und ähnlichen

äusserst mühsamen W e g e n sind die ersten logarithmischen Tabellen von B r i g g s und

V l a c f j berechnet worden.

§. 35. Man kann die Arbeit bedeutend erleichtern, wenn man sich folgender X L i

T a b e l l e , welche die Zahlen 1 0 , K ) 2 , 1 0 * , 1 0 " , etc., die wir Kürze halber durch

x , X 1 , x 2 , X 3 , etc. bezeichnet haben, nebst ihren Logarithmen enthält, bedienen

wUl.

5 nach und nach in engere und engere Grenzen einschliefsen, so dafs das zuletzt

gefundene geometrische Mittel um weniger als die Einheit der sechsten Stelle von

der 5 abweicht , wie dies aus beikommender Tabe l l e , die ich aus Eulers Einl. in die

Analysis des Unendl. §. 105. genommen h a b e , zu ersehen ist.

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Logaritbmen. Logarithmen.

v = I 0,00000 ooooo 1,00000 00000 0 1,00001 7SG7S 0,00000 76293 9 x , 3,16227 76602 o,5oooo 00000 0 X i 8

— 1,00000 87837 0,00000 3 8 i 4 6 9

X2 = 1,77827 Q^ioo O,2J000 00000 0 x . ö 1,00000 43918 0,00000 19073 4

X , — i,33352 i4322 o,ix5oo 00000 0 X20 — 1,00000 21959 0,00000 og53G 7 X 4

— 1,15478 19847 o,o6i5o 00000 0 X2 1

1 , 0 0 0 0 0 *°979 0,00000 04768 3 X 5

1,07 60 78283 o,o3i25 00000 0 X22 — 1,00000 05490 0,00000 o2384 1

X 6 j ,o3663 29284 0,0l502 5oooo 0 X 2 3

— 1,00000 02745 0,00000 0u92 0 X , — i , o i 8 i 5 17217 0,00781 25ooo 0 X * 4

— 1,00000 01372 0,00000 0059G 0 Xfi = 1,00903 5o448 0,00D90 0 2 5 o O 0 * * 5

1,00000 00686 0,00000 00298 0

\ i,oo45o 7 3 6 4 3 0,00195 3i25o 0 — 1,00000 oo343 0,00000 ooi49 0

X x o = i ,oo225 n483 0,00097 656a5 0 X * 7 — 1,00000 00171 0,00000 00074 5

X

II = 1,00112 49414 o,ooo48 8 2 8 1 2 5 — 1,00000 ooo85 0,00000 ooo37 i

XI 2 = J,OOo56 23l2() 0,00024 4 i4o6 2 1,00000 OOo42 0,00000 00018 G X i 3

1,00028 i1168 0 , 0 0 0 I 2 20703 1 X 3 o 1 , 0 0 0 0 0 0 0 0 2 T 0,00000 00009 3 X i 4

— i,oooi4 o5485 0,00006 io35i 5 X 3 t — 1,00000 OOOlO 0,00000 oooo4 6

X i 5 — 1,00007 0 2 7 1 8 o,oooo3 o 5 i 7 5 7 X 3 2

— 1,00000 oooo5 0,00000 00002 3 X , 6 i,oooo3 5i353 0 , 0 0 0 0 1 5a58 7 8 X 3 3 — 1 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 , 0 0 0 0 0 00001 2

Vermittelst dieser Tabelle läfst sieh nun gar leicht der Briggische E o garithnie

]'eder Z a h l , die kleiner als 1 0 und gröfser als 1 i s t , bis auf die lOte Decimalstelle

genau, fänden. Eine solche Zahl liegt nämlich, wenn sie nicht eine dcr Zah

len x , X 1 , x 2 , X 3 , e t c selbst is t , zwischen zwei nächstaufeinanderfolgenden

derselben. Dividirt man sie nun durch die nächst k le inere , so erhält man

einen Quotienten, der kleiner ist als der Divisor . Diesen Quotienten wieder

durch die nächst kleinere Zahl der obigen Heihe dividirt , die ebenfalls kleiner

ist als der letzte D i v i s o r , und diese Operation gehörig fortgesetzt, wird man zuletzt

auf eine Z a h l , kleiner als 1 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 k o j 1 1 n 1 e n , so dafs das Product aller gebrauch

ten Divisoren der Zahl , deren Logarithmen man sucht , gleich sein wird. Die L o g a -

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Dividenden. j Divisoren. Logarithmen.

5,ooooo 00000 I 3,166217 76602 o,5oooo 00000 0 i , 5 8 n 3 883oi i,33552 l4322 o,i25oo 00000 0 i , i8568 6853o 1,154y8 19847 o,o625o 00000 O 1,02672 5i43o i,oi8i5 17217 0,00781 25ooo O i,oo845 57278 i ,oo45o 73643 0,00195 3 ia5o 0 1,00593 21902 1,00225 n483 0,00097 65Ö25 0 1,00167 72662 I,OOIl2 4<jdi4 o,ooo48 82812 5 i ,ooo55 i 7 o 3 7 1,00028 11168 0,000l2 20703 I 1,00027 o5lOQ I,OOOl4 o5485 0,00006 io35i 5 1,00012 9944i 1,00007 02718 o,oooo3 o5 i75 7 i,oooo5 96682 r,oooo3 5i353 0,00001 52587 8 1,00002 453i5 1,00001 75675 0,00000 76293 9 1,00000 69639 1,00000 43918 0,00000 j9073 5 1,00000 25721 1,00000 21959 0,00000 09536 7 1,00000 03762 1,00000 02745 0,00000 01192 r j , o o o o o 01017 1,00000 00686 0,00000 00298 0 1,00000 oo33i 1,00000 00171 0,00000 00074 5 j,00000 00160 1,00000 ooo85 0,00000 00037 2

j,00000 00075 1,00000 00042 0,00000 00018 C» 1,00000 ooo33 i , ooooo 00021 0,00000 00009 5 1,00000 00012 1,00000 00010 0,00000 oooo4 6 1,00000 00002 1,00000 00002 0,00000 00001 2

0,6lj897 ooo45 2

§. 37. W e i l log 5 — log — = 1 ~ log 2 und 10 log 5 = 10 — 10 log 2 = 10

rilhmen dieser Factoren , aus der obigen Tabelle genommen und addir t , erhält

man den gesuchten Logarithmen, Ist die Z a h l , deren Logarithmen man sucht , > 10

oder < 1 , so kann man sie im erstern Falle durch die D iv i s i on , im letztern durch

die Multiplication mit einer positiven ganzen Potenz von 10 auf eine solehe zurück-

führen, die < 1 0 und > 1 ist.

§. 36. Um von dem Gebrauche der obigen Tabelle ein Beispiel zu geben , folgt

hier dic Übersicht der Berechnung des Logarithmen der Zahl 5.

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TO

— Iog 2 = 10 — Tog 1024 = 10 — log. 1,024 X 1000 = 7 — log 1,024, und folglich 1

log 5 = (7 — log 1,024) so kann m a n , um log 5 zu erhalten zuvor log 1,024 b e

rechnen und daraus log 5 herleiten, wodurch man schon drei Divisionen erspart.

Zugleich bemerkt man aber gar leicht, dafs in der mitgetheiltenTabeiIe dieMantissen.

aller W u r z e l n von x i 8 = l , 0 0 0 0 0 8 7 8 3 7 an, derenLogar i thme = 0,00000381469,den dazu

gehörigen Logarithmen proportional s ind , so dafs der Exponent des Verhältnisses e i

nes Logarithmen zu der dazu gehörigen Z a M , wenn dieselbe < l,(KK)01 bis auf die 381469

Einheit in der 10ten Stelle immer der e l b e , nämlich = 7 7 ^ r - = 0,43429 ist. Es ist 87hJ7 also I o g ( t + » ) , wenn 1 4 ~ w < 1,00001 bis auf die 10te Decimalstelle = » . 0,43429-

Dtese Bemerkungen benutzend kann man log 5 auf folgende Art berechnen* Div id . u. Quot .

1,024 i,oo574 4oi46 j,ooi2-3- 1 ioi3 1,00010 60407 i r o o o o o 57662 1,00000 06309

Divisoren ,

i,oi8i5 17217 i,oo45o 70G43 1,001 is- 4<>4i4 1,00007 0 2 7 l 8

i,oooo3- 5 i35S

1,00000 o63oQ

Logar i thmen,

O,OO78l 2DOOO 0-

o,ooif )5 3i2-5o 01

o^oooi8 82812 5-

o^Dooo3 o5r/5 j

0,00001 52587 8''

0,00000 02740 Cr-

Folglich log 1,024 = 0,01029 99566 0

Also Tog 5 = ^ (7 — log 1,024) = ± . 6,98970004340 = 0,69897000434 wie oben.

Der log . vonl ,0000006309 = 0,0O000S27416 ist hier unmittelbar durch dieMultiptication

des Decimalbruchs 0,0000006309 mit 0,43429 gefunden worden ,

§. 38. S o wie l o g ( l + » ) , wenn « < 0,00001, b i» auf die 10te Decimafsteire g e -~n

nau = w X 0,43429 i s t , sa wird überhaupt, wenn » < 1 0 , log (1 + «*) bis auf d j c

2nte Decimalstelle g e n a u — M w sein, wo*M einenDecimalbr11ch bedeutet, dessen erste

fünf Ziffern 0,43429 sind. Man findet diese Zahl überhaupt bis auf n Dceiiuafen g e

n a u , wenn man die Quadratwurzeln a u f 2 n - Decimalstellen berechnet, , ivnd die E x -

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,6o 2 1

= 1,00000 00000 00000 00199 71742 08125 50527 03251, deren Logarithme =

Es ist aber ~ = 0,00000 00000 00000 00086 83617 37988 40354, und folglich

M = 86 73617 37988 40354 = 0,434294481903251828.

199 71742 08125 50527,03215 Hätte man statt 10 eine andere Zahl e zur logarithmischen Basis angenommen,

so würde man auch für M eine andere Zahl und zwar eine gröfsere oder kleinere

gefunden haben , j e nachdem e < oder > 10. D ie Basis der sogenannten natürlichen

Logar i thmen, deren wir { § . 28.) erwähnt haben, oder die Zahl e = 2 ,718281828 . . .

würde auf die Zahl M = 1,00000000 geführt haben.

§. 39. Auch vermittelst des folgenden Kubikwurzeltäfelchen läfst sich der L o g a

rithme jeder Zahl < 10 und > 1, ohne grofseWeit läuft igkeit berechnen. Es sind hier

I £. _ T _

die Zahlen 1 0 , 1 0 % 1 0 9 , 1 0 2 7 , etc. Kürze halber durch y , y t , y 2 , y 3 , y , e l c

bezeichnet. Logarithmen.

y —10,00000 00000 0 1,00000 00000 0 2,i5445 4C900 5 o,53533 55353 3

y2 = i,2gi54 c)665o 1 0,1uu u m 1 y3 1,08902 29622 6 0,03703 70370 4 y4 — i ,oa883 48789 2 0,01254 56790 1 y5

— 1,00952 06930 1 o,oo4n 5i263 4 yG i,oo3i6 35464 2 0,00137 17421 r y- i,ooio5 34o54 3 o,ooo45 72473 7 y» i,ooo35 10119 o,oooi5 24i57 9 y9 1,00011 6990a 9 o,oooo5 o8o52 6 yio — i ,oooo3 89952 4 o ,oooo i 69550 9

— 1,00001 29982 5 0,00000 5645o 5 1,00000 45327 5 0,00000 18816 8

y.-< 1,00000 i4442 4 0,00000 06272 3

traction so lange fortsetzt his hinter dem Komma n Nullen kommen. So hat B r i g g s

durch 60 nacheinanderfolgende Quadratwurzel-Extractionen der Zahl 10 gefunden, dafs

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und daher ist 5 = y . y 5 y 7 ys y « - * > 0 0 0 0 0 7 2 8 7 3 8 ~

W e i I log 1,00000 072838 = 0,00000 072838 X 0>434294

= 0,0000O 3i6487 log y = i,00000 OOOOOO log y = o,33333 533333 log y 3 = i,o37o3 703704 *°g y5

= o ,oo4n 522Ö34 1,05700 700704 JOg y7 — ° J 0 0 ° 4 5 724757 D a v o n subtr. o,538o6 705273 j 0 g y ß = o,ooai5 24i57cj s ° ist l o g 5 = 0,69897 ooo43i log y n

= 0,00000 5645o3

o,338o6 703273

Zweites Beispiel. Es sei l og . 1,0077696 zu berechnen.

[1,00776 960000 : 1] = [ y 5 : 1] — [1,00173 759462 r j ] [1,00173 759462 : 1] — [ y 7 ; i ] 4- [1,00068 346923 : i J [1,00068 346923 : 1] = [ y g : 1] + [ i , ooo33 a3'<jo6$ : iJ [ i , o o o 3 3 a34o66 : 1} = [ y 8 : 1] — [1,00001 8665o6 r iJ

[r,00001 8665o6 : 1] = [ y n : j ] + [ j , o oooo 566674 : iJ

[1,00000 566674 : iJ = [ y r e : 1} 4- [1,00000 j334o* : iJ

§. 40. Um ein Beispiel von der Anwendung dieses Täfelchens zu geben, folgt

hier die Uebersicht der Berechnung des bereits bekannten log 5.

[5 ,ooooo oooooo : i ] = [y : i ] — [2,00000 000000 : iJ

[2,00000 000000 : 1] = [Y1 : 1] — [1,07721 734501 : 1] [1,07721 734501 : 1] = [ y 3 : 1] — [i,o*og5 cßßfaS : iJ

|i,oior>5 Q364a5 : 1] = [ y 5 : 1] + [1,00142 5ioi3i : iJ

[i,ooi42 5ioi3i : 1] = [ y ? : 1] 4- [1 00.37 i5o474 : 1] [1,00073 i3o474 . 1] — [ y 8 : i\ + [1,00002 028570 : 1] [1,00002 028570 : 1] = \ju : 1] 4 - [1,00000 728738 : 1]

Daraus fo lgt : [5 : 1] = [y : 1] - [ y , : 1 ] + [ y 3 : IJ - fy f i : 1 ] _ [ y ? ; 1 }

- I y 8 : - [ y i r i 11 — [1,00000 72S36 : 1 ] ,

K = 7 ^

Page 53: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Proport ionen, Potenzen und Logarithmen. 29

y y y . 1,00000 133401 Demnach 1,0077696 = J n 1 2 — -

y 7 y<r I°g Y5. ~ o , o o 4 u 52aG34 log y 7 = o,ooo45 7 2 4 7 3 7

log yu = 0,00000 5645o5 2 log y 8 = o ,ooo3o 4 8 3 i 5 8

log Y12 = 0,00000 1881G8 0,0007G 207895

I o g 1 , o o o o o i 3 3 4 o i = 0,00000 043429 o ,oo4i2 3 3 3 2 4 o

j3o2g Also o,oo53G i 2 5 3 4 5

! 3 o S - ]°S 1,0O77G9G

17i ©,oo4i2 3 5 3 2 4 o

W e i l 1007796 — 6 9 also l , 0 0 7 7 6 9 6 - _ ^ , so ist 9 log 6 = 6 + log 1,0077696 und

, Ä 6,00336125345 . _ i r i f > . A _ T lug 6 = — — 0,7781512o037*

§. 41. Oft kann auch der vereinigte 6febrauth der beiden Wurzeltäfelchen zur

_ J _ ) 2400 ;

\

Abkürzung der Berechnung beitragen. So findet man z. B. log (1 4- äÄfüO ~ ^ 0R 1,00041 66666 auf folgende W e i s e :

[ir>ooo4i 66G66 : 1 ] = [y„ ; iJ 4. [*,00006 5G3i? : i ]

[1,00006 563i7 : 1 I ~ t x i S : 1 J ~ " [1,00000 4o398 : i j

A l so log (1 + ^ 5 ) = log y & + log X 1 5 - log 1,00000 4 G 3 9 8

= o , o o o i 5 a 4 i 5 7 9 — o,oaooo 1 7 3 7 1 8

4- o,oooo3 o 5 i 7 5 7 i6o58

0,00018 29333G i 3o5

0,00000 2 o i 5 o 6

0,00018 09185<> 2ö 0,00000 aoi5o6

W**iI 7 4 = 2401 = 2400 (4 4- ^ L ) , also 4 log 7 = 2 4- 3 log 2 + log 3 + *4UU

Page 54: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

a

Ioff (1 A K-i), so erhält man daraus, wenn man die bereits ge fundenenLogar i thmcn n v 2400

von 2 und 3 substituirt, log 7 = 0,8450980400.

W e i l x 2 ~ 1 = ( x + 1) ( x — 1) und x 2 ~ ( x 2 — 1) ^ 1 4 - ^ J _ ^ S o hat man

l o g x = | £ l o g ( x — 1) + l o g ( x + 1) + log + 8* M ^ j . Diese Formei läfst sich

mit Nutzen auf die Berechnung einer Primzahl x anwenden, wenn die Logarithmen

aller Primzahlen von 2 an bis auf x exeIus. schon bereeIinet sind. Betrachten wir z. B.

die Logarithmen der Primzahlen 2, 3, 5, 7, die wir in den vorigen §. gefunden haben,

als bekannt, so brauehen wir nur, u m I o g l l zuhaben , w e i l l o g l l = § [ l o g 10 4" l og 12

+ log ( l 4- J ^ ) ] > n o c h l o 8 0 + = , 0 £ 1,00833 33333 zu berechnen. Läfst sieh eine

Z a h I m , dic nicht > x ist, finden, die so beschaffen ist, d a f s m x + l und m x — 1, nur

aus Primzahlen < x zusammengesetzt sind, so wird die Arbeit noch leichter. So ist z. B. 3

für die Primzahl 11 die Zahl 9 von dieser Beschaffenheit, denn 99 — 1 = 98 = 2. 7

und 99 + 1 = 100.

Also log 99 = x [ l o g 98 + 2 + log (1 + ^ ) ] > und log 11 r= | p o g 9 8 4 . 2

+ log 1,00010 204081 — J o g 3.

Eben so ist log 13 = | [ l og 64 4- log 66 4- log (1 + ^ 2W] ~~ I o g 5

- - - log 17 = f [ l o g 50 4- log 52 4- log (1 + JLp] - log 3

- - - l og 19 = l [ l o g 208 + log 2 i04- log (1 4- ~^)] - l og 11.

Die Gleichung 2 log x = log (x — 1) + log ( x + 1) + log ^ l 4. — - — ^ läfst

. sich auch so darstellen,

log ( x 4- 1) z= 2 log x — log ( x — 1) — log Q 4- ^ r ) -

Unter dieser Form kann sie dazu d ienen , aus den Logarithmen zweier nächst

aufeinanderfolgender ganzen Zahlen , dcn Logarithmen der darauf folgenden dritten

Zahl ztt finden. So erhält man z. B.

Page 55: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

log 101 = 2 log 100 — log 99 — log (1 +

= 4 — 2 log 3 — log 11 — log 1,00010 1010L

Auf die W e i s e lassen sich die Logarithmen der Zahlen 1,01; 1,02; f ,03 1,09, 7 11 13

wnd eben so von 1,001 = 'pJ •, 1,002; 1,003; etc. ohne gar grofse Mühe auf

eine elenientarische W r e ise , vermittelst unserer beiden (§ . 35, 39.) mitgetheilten W u r

zeltäfelchen berechnen.

§ . 42 . Das in den vorhergehenden §§ . Vorgetragene ist hinreichend um die M ö g

lichkeit der Berechnung der hier folgenden kleinen logarithmLschen Tabelle zu b e -

gre i fen , vermittelst welcher die Briggischen Logarithmen von 2 , 3 , 4 , 5,. 6 , 7 , 8 , 9

und aller unter der Form 1 + x . l 0 — n begriffenen Z a h l e n , w o x eine der neun Zif

fern , 1 , 2 , . . . 9 und n alle Zahlen von n = 1 bis n = 6 bedeuten, bis auf eine hal

be Einheit der 10te Decimalstelle genau , gegeben sind. Für j ede andere Zahl <

1,00*iM)0l läfst s i ch , wie wir oben (§ . 37.) gesehen haben, der briggische Logarithme

bis auf die zehnte Decimalstelle finden, indem man den Ueberschufs dieser Zf*hl iiber

1 mit 0,43429 multiplicirt. Man kann zu diesem Z w e c k e die letzte CoIumne der T a

belle als MiUtiplications-Täfelchen gebrauchen. D e r über der letzte Decimalstelle der

Logarithmen befindliche Punct zeigt a n , dafs der Logarithme zu grofs ist ; die übri

gen sind zu k le in , doch ist die Abweichung von dem wahren W e r t h e immer kleiner

als die Hälfte der Einheit der letzten Decimaler

o ,ooooo ooooo

o-,5oioa 99957

0,^7712 1 2 5 4 7

1, X.

.o^3o2o5 9 9 9 i 3

o , o 4 i 3 ^ 2 6 8 5 2

0,07918 i2-46o

0,1 i3r)4 3 3 5 2 3

1,0x: I , O O X i,ooo-x: 1,0000 x i , o o o o o x

o,t4&i2 8o357

0,69897 00043|0,17609 1 2 5 9 1

°>77&i5 i 2 5 o 4 o , 2 o 4 u 99827

7 |o,845o9 8o4ooo,23o44 89214 8o ,9o3o8 99870J0,a5527 25o5i

90,90424 2509io,27875 36o io

. * 't o ,oo432 i3738o , o o o 4 S 4 o 7 7 5 o , oooo4 54273|0^>oooo 4^4290,00000 o4343

0,00860 0 1 7 1 8 0,00086 772i5|O^oooo8685o2jo ,ooooo 86858

0,01283 7 2 2 4 7 . o , o o i 3 o o 9 3 3 o o , o o o i 3 o 2 6 8 8 o , oooo i 5o286

0^01703 33595|0,00173 3 7 1 2 8 0 , 0 0 0 1 7 3683i

0,02118 92991 '0,00216 60618J0,00021 70930

o ,o253o 58653^0j00259 79807'0,00026 0/(985

0,02938 3 7 7 7 7

o ,o3342 3 7 5 5 5

o,oo5o2 94706

o,oo346 o532i

0,03742 64979 o,oo38r> 1 1662

0,00001 7 3 7 1 4

p,00002 1 7 1 4 2

0,00002 605C9

o,ooo3o 58998|O,00003 03995

o,ooo34 7 2 9 6 7 0 , 0 0 0 0 j 4/422 o,ooo59 06892jo,00003 90847

0,00000 08686

0,00000 i3o29

0,00000 1 7 3 7 2

0,00000 2 1 7 1 5

o,ooooo26o58 6

0,00000 3o4oi 0,00000 54743 0,00000 59080L)

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* §. 43. Wi l l man mit Hülfe <liefer Tabelle den Logarithmen irgend einer Zahl su

c h e n , so kann man sie zuvor durch Divis ion oder Multiplication mit einer Potenz

von 10 in eine Zahl N < 10 und > 1 verwandeln. Diese läfst sich nun durch auf

einanderfolgende Divis ionen mit dcr in der Tabel le vorkommenden Zahlen auf eine

Zahl < 1,000001 zurückführen, so dafs die Zahl X als ein Product von Factoren, d e

ren Logarithmen in der Tabel le gegeben s i n d , dargestellt werden kann.

§. 44. Man kann aber auch die Zahl X durli nacheinander folgende MuItiplicaiio-

nen mit Factoren, deren Logarithmen die Tabel le giebt, auf eine Zahl M > 9,9999 und

< 10 bringen. Die Z a h l N ist nämlich entweder < oder > 5; im ersten Falle bringt

man sie durch eine der Zahlen 2, 3, 4 . . . . 9 auf eine Zahl > 5. Diese läfst sich nun,

wenn sie nicht schon > 9 i s t , durch die Multiplication mit einem unter dcr Form

14-2L w o X eine der neun reellen Ziffern bedeutet, enthaltenen Factor in eine so l -' 10

che verwandeln , die > 9 nnd < 10 ist, Ist sie auch < 9,9, so multiplicire man ^

sie durch 1 +^oo» w 0 x Ergänzung der lsten Decimalziffer zu 9 ist, alsdann wird

man im Allgemeinen eine Zahl > 9,9 aber < 10 erhalten, w o nicht, so darf man nur j5£

x um 1 vermehren. Das Product multiplicire man wieder mit 1 + r ^ r , w o x die 1000 Ergänzung seiner 2ten Decimalzi f fer , und man wird allgemein wieder ein Product >

9,99 und < 10 erhalten. Diefs multiplicire man abermals mit 1 + ^ 0 Q 0 Q) oder, wenu

x + l

es nöth ig , mit *+JOQ00> W ° X Ergänzung der 3ten Decimale ist. Diese Multi

plication setze man so lange fort, bis man auf eine Zahl M > 9,9999 kömmt. Diese

multiplicire man mit einer Zahl < 1,00001, deren Ziffern von der 6ten Stelle a n , die

resp. Ergänzungen zu 9 der nach den 5 Neunen folgenden Ziffern der Zahl M sind,

so wird man das Product c= 9,9999999999 erhalten, so dafs die Zahl N als ein

Quotient der Zahl 10 dividirt durch ein Product aus Factoren , deren Logarithmen in

dem L o g a r i t h m e n - T ä f e l c h e n gegeben s ind, und deren Summe von 1 subtrahirt, der

Logarithme von N i s t , dargestellt werden kann.

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Dividenden. Divisoren. Logarithmen.

2 , 7 1 8 2 8 182846 2 o ,5oio2 99957

i , 3 5 g i 4 0 9 1 4 2 3 i , 5 0 , n 5 9 4 5 5 5 2 3

i,o4549 501095 i,o4 0,01705 5 5 5 9 3

i,oo528 i 7 4 i 3 o i,oo5 0,00216 60618

1,00028 055960 T,0002 0,00008 685o2

1,00008 o 3 2 5 5 4 1,00008 o,oooo3 4 7 4 2 2

1,00000 o j 2 3 5 4 1,00000 o52554 0,00000 o i 3 o 5

87 • ; • • . - i3

2

Daraus log 2 , 7 1 8 2 8 182846 ~ 0,43429 448ao

Dafs in der ersten Columne jeder Dividend der Quotient des nächstvorgehenden

Dividends durch den beistehenden Divisor dividirt ist, bedarf wohl keiner Erinnerung.

§. 46. TJm ein Beispiel von der Mult ipl icat ions-Methode (§ . 44.) zu geben , mag

hier abermals der Logarithme von 2,718381828 gesucht werden.

Multiplicanden. Multiplicatoren. Logari tlimen. 2 , 7 1 8 2 8 1828 3 0 ,47712 1 2 5 4 7

8, i5484 5485 J , 2 0,07918 i246o

<),7858i 4582 I ,02 0,00860 0 1 7 1 8

9 , 9 8 1 5 5 0874 I , O O l o,ooo43 40775

95991Si 24o5 r,0008 o,ooo54 72967

<),99950 56i4 i,oooo4 0,00001 7 j 7 1 4

9>9999 0 5 5 9 5 1,00000 y44o5 0,00000 59086

1 7 3 7

1 7 4 2

0,56570 5 5 i 8 o

§. 45. Als Beispiel der §. 43 gegebenen Methode wollen wir den Logarithmen

der Zahl 2,718281S2846 berechnen.

Page 58: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Logarithmen. 0,09.29 288^7

0,02118 9299t

0,00175 55846

0,00173 57128 0,00001 9 8 7 1 8

0,00001 7 3 7 1 4

OjOoooo 25oo4

0,00000 25oo4

Factoren.

i,o5

i,oo4

i,oooo4

1,00000 57597

o , o o o o o o o o o a

Folglieh die zu dem Logarithmen 0,02294 28337 gehörige Zahl — 1,00000 57597

X 1,00004 X 1,004 X 1,05 — 1,05424 82400 und 6,02294 28837 = log 1054248, 24.

Diese äusserst sinnreiche Methode aus einer Zahl den Logarithmen und umgekehrt aus dem Logarithmen die Zahl zu finden, lernte ich schon vor mehr als 20 Jahren aus einer kleinen deutschen Schrift kennen. Der Name des Verfassers ist mir leider entfallen. Eine solche Tabelle auf 16 Decimalen für briggische und natürliche

Es ist also log 2,71S2S 1828 4-0,50570 55180-log 1 0 = 1 , und log 2,71828 1828

= 0,43429 44820.

§. 47. Will man vermittelst des obigen Täfelchens aus dem gegebenen Logarithmen die Zahl finden, so ziehe man von demselben den nächst kleinern Logarithmen der Tabelle ab, von dem Reste wiederum den nächst kleinern, bis man auf einen Rest < 0,00000 04343 kommt. Die zu diesem lleste gehörige Zahl, welche man erhält, wenn man zur Einheit den durch Division des Restes mit der Zahl 0,43429 erhaltenen Quotienten addirt, multiplicire man nach und nach mit den zu den abgezogenen Logarithmen aus der Tafel genommenen Zahlen, so wird das herauskommende Product die gesuchte Zahl sein.

Es sei z. B. der gegebene Logarithme 6,02294 28837, so erhält man durch folgende Rechnung die einzelnen Factoren.

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Multiplicanden.

i,o54a<i 82375

9,488a5 4 1 3 7 5

9,96264 584^4 9,99255 j 7 S 1 9

9 > 9 9 9 5 2 8 5 5 5 5

9,99992 85566

9*99999 8 5 ^ G l

MuItipIicatoren.

9

i,o5 i,oo5 1,0007

1,0000i 1,000007 1,000000 oi4659

Logarithmen.

0,95424 2.5094

0 , 0 2 n 8 92991

o ,ooi3o 09350

o,ooo5o 58998

0,00001 7 3 7 1 4

0,00000 5o4oi

0,00900 00454

174 26

2

0,977öS 7 1 1 6 4

Also log i ,o54?4 82.575 = 0,02294 28856 und log jo542^ 4 2 5 7 5 = 10,02294 28836.

l'ür die Hichtigkeit dieses Logarithmen kann man bis auf die 9te Decimalstelle bürgen. Die letzte bleibt immer unsicher.

Evempcl II. Es sei der Logarithme der Zahl 100973 8504923 zu suchen. Logarithmen.

0,95424 25094 o ,o4i39 26852 o ,oooi3 02688 0,00002 17142 ' 0,00000 39086 0,99579 10862 0,00420 8 9 1 5 8

55 1

0,Oo420 8 9 i 7 4

Folglich log 10097j 85o49^5 12,00420 89174.

Multiplicanden. 1,009758 5o4925

9,087646 544507

9,99641r 198738

9,999^10 122098

9 > 9 9 9 9 1 0 ° 9 l G ° 4 10,000000 091794

Multiplicatoren.

9 i - i

x,ooo3 i,uooo5 1,000009

Logarithmen nebst der Anweisung zu ihrem Gehrauche, findet sich in Westphals Logariihniischen Tafeln, Königsberg 1821. In Klügels Mathein. Wörterbuche 3ter Theil 1808 wird dieser Methode nicht erwähnt.

§. 48. Hier folgen noch einige Exempel zur Uebung. Exempel I. Den Logarithmen von 105424 82375 findet man auf folgende Art:

Page 60: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Multiplicanden.

j,Girjr 9>7*4

9,9082«

9,997^5 4 5 2 9>999^ 40109

9>9999 5 5 9 8 5 G

9>99-999 ^854

M11ltipIicatorerfc. 6 1,02

1,009

1,0002

i ,oooo5'

x,ooooo4

1,00000 06017

Logarithmen. O,778i5 I23o4 O,O0860 Oi7i8-0,Oo589 !l602 0,00008 685oa 0,00002 1 7 1 4 2

0,00000 17.37.1

0,00000 02606

4.

0,79073 5 i 5 i 5

Also log 1 6 1 9 0 0 = 5,20924 68487. Ft _

Demnach log y^161900 = = i , o 4 i 8 4 9^697 ! • • r , _ . . . . . •Tf _

Davon subtrahirt log 1 1 = i , o , i i 5 9 26852 *

o,ooo45 6684>

log 1 ,001 = o,ooo45 40775

0,00002 26070

log r,oooo5 = 1 0,00002 1 7 1 4 2

0,00000 08929 Diesen Rest durch 0,4329 dividirt und dazu 1 addirt, erhält man die dazu gelu>-

s rige Zahl 1,00000 20557. Es ist also ^ 1 6 1 9 0 0 = 1,00000 20557 X 1,00005 X 1,001

X Il = 11,011573186.

§. 49. Das von §. 34. an über dic Berechnung der Logarithmen Vorgetragene

enthält das Wesent l i che der Hülfsmittel, die den Mathematikern vor Entdeckung des

binomischen Lehrsatzes in dieser Hinsicht bekannt waren oder bekannt sein konnte.

Aus der Rechnung crgiebt sich nämlich, dafs 1,00973 8 5 0 4 9 2 3 X 9 X 1,1 X F , 0 0 0 3

X I , 0 0 0 0 5 X 1 , 0 0 0 0 0 9 = 10,00000 0091794. Es ist aber log 10,00000 0091794=1,00000 00036.

Davon d i e S u m m e derLogar i thmen abgezogen und dazu 12 addirt erhält nian den g e

suchten Logarithmen.

Exempe l III. Es werde die 5te W u r z e l van 161900 ader ^ 1 6 1 9 0 0 gesucht. Man

berechne zuerst log 1,619, wie fo lgt :

Page 61: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Vermittelst dieses Satzes läfst sieh jede Potenz einer zweitheiligen Zahl x 4- y , <!er

Exponent der Potenz mag eine positive oder negative, eine ganzc oder gebroehne,

eine rationale oder irrationale Zahl s e in , durch eine endliche oder unendliche Reihe

von Gliedern, dic aus den Potenzen dcr einzelnen Gröfsen x , y zusammengesetzt sind,

darstellen. D a dieser Satz gehörig benutzt, zugleich unmittelbar au fd ie Entwickelung der

Logarithmen durch Reihen fiibrt, wodurch die Berechnung derselben so ungemein er

leichtert wird, so wird es wohl nicht unzweckmäfsig sein, denselben nebst seiner A n

wendung auf die Logarithmen vorläufig schon hier beizubringen, den strengen Beweis

davon aber , weil derselbe hier noch zu schwierig sein möchte , für eine spätere V o r

lesung zu versparen.

§. 50. Man erhält durch einfache M11Itiplication

Cv +yf ~ tf2 + 2

x y + f O +yf = + 3x"y 4~ 3xy" + j° (.r+j)4 = x4

+ 4x*y + 6x*y + 4X/ + /' (•v + yf = * + 5x*y + 4&x'y 4* <ox*y3 + Sxy* + y* (x+yf — x

6 4_ 6x5y 4- < 5 * V 4- aox*y 4- i5x*y 4" 6xy 4- y

7 G 5 2 j. 3 4 j 2 £j ~ ^

(x+y)7= x 4- 7 * J + •2ixy 4- 55*'/ 4- 35xr 4- <nxy' 4- > v ' ^ j " ctc. etc.

Abstrahirt man von den Zahleneoeff icnten, so bemerkt man sogle ich, dafs j ede

dieser Reihen eine geometrische Reihe bildet, deren Gliederzahl um die Einheit gröf

ser ist als der Exponent der Potenz, und für welche das Verhältnifs jedes Gliedes zu

dem nächstfolgenden = x : y ist. „ 2 O i X \ J x 4

§ . 5 1 . Bezeichnet man die dividirten Potenzen ^ " £ 5 j 2 r~2~3~4~' o l 0 , durch

x c > x c > * c > e t c , > e b e n s 0 * , u r c h Y c > y c j e t e - ( x + y ) c ) (x4 -y )^ ,e tc .d ieGrofscn y 2 y 3 (x 4- y ) 2 (x 4. y> 3 ,

572' 1 2 c t c # — T ~ 2 — ' ' 'j 0 3 > e t c *> S 0 0 1 ^ h m a n a n s "* 0» 5 , 1 1 vorigen §. gegehe-n e n A u s d r ü c k e n f ü r ( x + y ) 2 , ( x + y ) " , (x + y ) 4 , etc. folgende G l e i c h u n g e n

Page 62: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

y

n ~ 2 2 j 0 0 ^ l ' * \ r » \ " ~ a a 7 Z . ( w - l ) n — 2 a

c / c 1. 2. 3. 4 . . . . (n—1 )n = (n—l )n x y c = ^ x y

C V 5 c * . 2 . 3 . . . n = ( * - 2 ) ( „ - i ) „ / - ^ = ^ ^ = s r y J

etc. etc. etc. . j / 1 \ n n I ^ " ~ T 1 »•(» — I ) " - 3 3 , M . ( r t - 1 ) w - 2 n — 3 3 in folgende (.v + r ) = x + » ** y + — j — ^ * J + 1 ~ 2 . 3 — x + e < r ' ' welche den binomischen Lehrsatz enthält.

, ,. f , rn • , n{n-X) n(n — \)(n — 2) n ( n - l ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) Wh werden die C 0 e f f i c 1 e n t e n n, ^ 2 j ^ — , ^ ^ f ^ 9 — 3 — 4 ^ »

etc., welche man die Binomialcoefiicientcn nennt und deren Gebrauch in der gesamm-• 2 ' 3 • 4

len Analysis vom gröfsten \utzen ist, durch die Zeichen 1 1 , n c , n c , n^ , etc. aus

drücken , so dafs , n ein Product aus n Factoren n (n—1) (n—2) . . . (n—i -| -2 ) (n—r+1)

und n cr dasselbe Product durch 1. 2. 3 . . . r dividirt, bedeutet.

Schon B r i g g s kannte den binomischen Lehrsatz für Potenzen, wenn der E x p o -

- . i V ' x + y = x + y ' '

( * ' + J ' ) c = * c + + J ' c 3 3 2 2 3

(X + V)c ~ x'c + *cf + * ' V C + J c

• \ * 4 i 3 i 2 2 . 3 t 4 (* + r ) c = .r c + A c r + A - C v c + . r r c + y c

/ t \ 5 5 i 4 i 3 2 i 2 3 I 4 I 5

( * + / ) c — + x c Y + x c / c + • W c + - v / o + J ' c

/ l x 6 — 6 . 5 t 4 2 i 3 3 1 2 4 I 5 I 6

( • r + J ' ) c — - v c H - xcy + x c y c + x e y c + . v c y c + . r / c + yc

etc. etc. etc. W o r a u s sich auf die Allgemeinheit des Satzes schliefsen läfst, so dafs, wenn n eine

. . r r n n n — i n — a 2 2 n — 2 . n — i n

positive g a n z e Z a h l , ( # + j ) c = x c + A c y + x c y c . . - H - A c r c + * y c + r c -

Multiplicirt man diese Gleichung durch 1 . 2 . 3 . 4 . . . . ( n — 1 )n , so verwandelt sich n n

dieselbe, weil ( * + j ) c . 1.2.3.4 (« — 1)/i = (x+y)

A ' c . 1 . 2 . 3 . 4 (n—\)n — . r "

^ C V 1 . 2 . 3 . 4 . . . . ( r a - l ) » = nx"'*

Page 63: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

nent eine positive ganze Zahl ist, nur drückt er die Kege l , wornach die Binomial-

cocflicicnten unabhängig von einander gefunden werden , in W o r t e n aus , ohne eine

analytische Formel dafür zu geben. N e w t o n entdeckte zuerst, dafs dieser Satz

nicht nur für ganze sondern für alle Arten von Exponenten wahr se i , weshalb man

d iesenLehrsatz auch d e n N e w t o n i s c l i e n L e h r s a t z nennt. l ) i e s c M e t h o d e s i c h durch

die lletrachtung einzelner Fälle zu allgemeinen Gesetzen zu erheben, wird I n d u c -

t i o n genannt. Ihr verdanken wir alle Entdeckungen in der Analyse und in der Na

tur , deren Erscheinungen die mathematischen Resultate einer kleinen Anzahl unver

änderlicher Gesetze sind. Man mufs sich j edoch wohl hüten zu schnell aus einzel

nen Fällen aufs Allgemeine zu scbliefsen.

So halte z. IJ. F e r m a t , einer der ersten Mathematiker des 17ten Jahr-

r hunderts , durch Induction verleitet, weil die ersten 5 unter der Form 2 -p1 , ent -

haltenenZahlen, 3, 5, 17, 257,05537, Primzahlen sind, geschlossen, dafs alle unter dieser

Form begriffenen Zahlen Primzahlen sein m ü f s t e n . # E u l e r fand diese Hegel

ar , 32

schon für r = 5 unrichtig und bemerkte zuerst , dafs 2 + 1 oder 2 -j- 1 —

4294907297 den Factor 641 enthalte. (Gauss Disq. arithm. p. 663).

§. 52. Der Beweis für die Allgemeinheit des binomischen Lehrsatzes , wenn der

Exponent cine positive ganze Zahl ist , hat übrigens keine Schwier igkei t , und wir

wollen ihn deshalb schon hier mittheilen. Da derselbe, wie wir gesehen haben, un-

n Ii n—i n—2 2 a "—a n—' 11

mittelbar aus dem Satze, dafs (x+y)c —-vc+.vc y + . r c y c . .+.v y c + x y c + y c ,

fo lgt , so brauchen wir nur die Allgemeinheit des letztern zu beweisen. W i r dürfen

in dieser Hinsicht nur z e i g e n , dafs , wenn derselbe für irgend eine posit ive ganze

Zahl n wahr ist , er nucb für n 1 vvabr sein müsse. Nun ist aber / . x"+' / /V_ L__L y \ X A- /* n ( * + A -(*+X'c(^p[ + ^pi)» ,7jTf*c-^e , ^p-*c =,^fTl*c» _ x _ n—a _ n—l n ~ ' v _ 2 2 _y__ * 3 3

«+t*«= ~«+i*V c ' «.^iJ'^^Xi^'c ,tfi#A—,7qri/c'etc-I . , n n n—r n — 2 2 2 n — 2 n—1 n lst also ( x + y ) e ~ x c + .vc y + x c y c .. . + .rcyc + x y e + y c ,

Page 64: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

. , , , «+1 n + T 4 n n n—\ n - t 2 2 2 n — i 1 r {

sowird(*+j)c =*c +^Fi*0*+^+i*c y c - ' H ^ ^ c + — ^ c

1 n 2 n — i a — 1 2 , 72 n n + i

n T i X c J + n ~ r r c ^ • • • + ^ R * ^ c + - + i ^ c + j c « + r n n — r 2 1 1—2 3 2 n — r n n + i = *c + *cJ' + A'c fc + xc J V " + * 'c +*^c+/c Sein*

Da nun rler Satz, wie wir uns durch Rechnung überzeugt haben, für n = l, 2, . . . . ti wahr ist, so mufs cr auch für n = 7 und deshalb für n = 8 , 9 , etc., und überhaupt für jede positive ganze Zahl bis ins unendliche wahr sein.

' ;"- i » ' .f, ^ ., •.

Aus dem Satze ' ' . n n n ^ i n — 2 2 2 n — t n — 1 n *,

(x + y)c = .rc + xc v + .vc rc + xcYc + xvc + J c

folgt aber, wenn man auf beiden Seiten dieser Gleichung durch i. 2. 3...(n — 1) n multiplicirt

n n n—i : 2 n—2 2 :3 n—3 4 :4 n—4 4 . (.v + y) +7ia- j + «c.r y -yn^x y + rzcx y +etc.

I

r. Es ist also dieser Satz füx alle positive ganze Zahlen n bewiesen. Newton entdeckte jedoch, wie schon bemerkt worden, dafs derselbe für jeden positiven oder negativen, ganzen oder gebrochnen, rationalen oder irrationalen Exponenten wahr sei, ohne indefs einen Beweis zu geben. Da dcr allgemeine Beweis hier noch zu schwierig sein mögte, so wollen wir uns vorerst begnügen, die Wahrheit des Satzes an einigen Beispielen zu zeigen.

§. ;>3. Bezeichnet man die Glieder ol>iger Reihe durch A, A1, A2, A3, etc, so dafs ( x + y ) " = A + A1 + A2 + A3 + ctc., so ist A, = n.| .A, A2 = ^=i,| A,

fj 0 Y n™-r Y ,

A3= etc. und allgemein ^ r +i ~ r T p [ ' x ^ r ' *st ^cr ^ xPo n e n t 11 e i n e positive ganze Zahl, so ist, wenn r = n, Aj.^, = A ^ , = o und die in einer Beihe entwickelte Potenz (x + y ) " besteht aus n + 1 Gliedern A + A1 + A2 + A3 . . . + An . [n jedem andern Falle, wenn n keine positive ganze Zahl ist, läuft die obige Reihe ins unendliche fort. In beiden Fällen läfst sich dieselbe, wenn ihre Glieder stark genug abnehmen, mit Nutzen dazu gebrauchen, den Näherungswerth von (x + y ) " z u

Page 65: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

A ZZZ

A 1

— n 1 * x = 35. A —

= n—1 ~ 2 _ * X 1 = 4Q A 1 =

A 3 Z=

n—2 X 2

— A 2

\ = n—3 4 ' * A

x 3 — SO

A n—4 l\ _T_T_ A

5 5 ' x * IOO 4

A 6

n—5 J-\ A .

D A 6 (i ' X J

A . D

A 7

n—0 7 l * .

X 6

— _ 9 A 0

A 0

u

n—7 ~ä

y - A „ x '

R A 7 = A — y * - A.o x «•

— __7 I 8 O A o

20

I , 0 0 0 0 O o oo

o ,75ooo ooo

o ,2625o o oo

0,05687 5oo

o,oo853 ia5

0,00090 844

0,00007 820

0,00000 5o5

OjOOOOO 0 i 5 r

Folglich i ,o5 " — 2,07892 8 1 8

§. 54. Ist der Exponent der Potenz (x 4 - y ) " eine negative Zahl oder n = — m, v v » — m 4- 1 v

wo m rine positive Zahl bedeutet, so ist A 1 ~ — m J'*2 ~y—• ^ A 1 3

m + 2 y . , „ . A m 4 - r y A^ = 3—• ^ ^ 2 ? u m ' allgemein A 1 ^ 1 = — ^ p p ^ A r , und es werden die

Glieder der Heihe abwechselnd positiv und negativ.

1 ~ 1 5

Beispiel . Es sei (1 4" — ) bis auf die achte Decimalstelle zn berechnen. H i e r

v 1 ist wieder \ — 1 und - ~ r v r ^ Es ist also x 20

finden. Dafs die Glieder der Reihe A , A 1 , A 2 , etc. abnehmen, oder dafs sie eine y

c o n v e r g c n t e Reihe b i lden , dazu ist zunächst nÖthig, dafs — < l oder dafs x > y ^

ist. Zur Erläuterung wollen wir hier die 15te Potenz von 1,05 oder 1 4 - ^ r , bis auf I

die achte Decimalstelle exc l . genau, berechnen. IIier ist x = l , y = Es ist also J tK

Page 66: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

A — . . . . i , o o o o o 000 A 1 = j o - v — 0 ,73000 000

K = I «

4 0 A . = o,3oooo 000 A 3 = flÖ i V 2 — o,o85oo 000

<\ — Xg 8 O

A 3 = 0,OIC)l2 5oo A . = O

tJi_ \ — 1 0 0 4

— OjOo563 3 7 5

\ — 2 Q . T2 O

A 5 = o,oooGo 562 S = PJL, A = w o ^v6

— 0,00009 o84

1 2 , ' J<fO

A 7

0,00001 249 A 9 = — A — i 8 0 -»3

— 0,00000 160

2 4 2OO

0,00000* 0 1 9 ajL A = 220 ' 1 0

— 0,00000 002

1 , 3 . 9 7 4 55o - 0 ,8j872 621

0 ,8j872 62r

o , 4 8 l o i 709 — V

/ \ *

Multipl ic irt man d iese Z a h l mit der im v o r i g e n §. für ( ^ + 2 0 ) gefundenen Z a h l

2 ,07892818 , so erhält man Ins auf die 7te ZiflTer g e n a u den W e r t h des Productes = 1 ,

w o d u r c h die W a h r h e i t des b inomischen L e h r s a t z e s auch für negat ive g a n z e Z a h l e n

bestät igt w i r d .

§. 55. M a n k a n n sich des A u s d r u c k s : fur ( x + y ) " a u c n b e d i e n e n , um die W u r

zel i rgend e i n e r P o t e n z m aus e i n e r Z a h l N z u z iehen . M a n z e r l e g e nämlich diese nv V

Z a h l in z w e i T h e i l e x + y , s o dafs x = a und - e ine mögl i chs t k l e i n e g e b r o c h e n e TTl m

Z a h l se i . S e t z t man nun w i e d e r y ^ ( x + y ) = A ^ A r + A a + A + A , s o w i r d A = = ^ x ,

A _ 1 Z . \ _ r f - 1 y A - _ i t l Z A A _ ^ - 2 y . _ 2 i n - 1 y A i - n f x A > A 2 2 " x 1 2m W A 3 - ~ 3 ~ x A * 3 m ~ ' x A * '

1 3 y. 2m I V A = - — . i - X = A ^ , etc. E s s ind a lso die G l i eder der R e i h e A . A

4 4 x 3 4m x. 0 ' i' A 2 , A 3 , c t c . , in d iesem F a I I e , v o n dem z w e i t e n G I i e d e A 1 an , a b w e c h s e l n d pos i t iv

und negat iv .

E x e m p e l I . D i e Q u a d r a t w u r z e l aus 1 0 bis auf dic l l t e D e c i m a l s t e l l e zu

finden.

E s i s t 1 0 = 3 * + 1 , folgl ich w i r d in ( x + y ) " , x = 9 , y = l , n = | , x * * = 3 .

D e m n a c h

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A = T

9* r = J ,00000 O O O O O O O

K = _ T

a •9 A — 0,16666 6GGGG GG A 2 =

r _ 4 " . 9 A 1 = O , 0 0 4 0 2 96296 29

A 3 = J e • 9 A 8 — o,oooa5 7 2 0 1 6 4G A 4 =

8 . 9 A , = — 0,00001 7 8 6 l 2 a5

A5 = 7

I 0 - 9 A 4 — 0,00000 i 3 8 g 2 oG A 6 = J) 1 S,.9

A . = — 0,00000 0 1 1 5 7

A 7 = — T 1

1 4 - 9 A 6

— 0,00000 00101 07 A 8 = T 3 I 6 . 9

A 7 = — 0,00000 00009 1 2

K = Jt_L. I B - 9

A 8 — 0,00000 00000 85 A 1 0 = 1 7

20 9 A 0 = — 0,00000 00000 08

+ 3 , 1 6 6 9 2 52677 i o — o,oo464 76075 4 i

— o,oo464 76075 4 i

3 , 1 6 2 2 7 76601 69 = y"io

Exempel II. Man soll die Kubikwurzel von 10 bis auf die l l t e Decimalstelle

berechnen. Setzt man y = S, x = 2 , so ist ( x + y ) = (S + 2 ) % ? =

A = I

= 2,00000 00000 00

A = 1

_I 3 -4

A = 0,16666 66666 66 A 2 = 6 •A A 1 - o,oi388 8888S 88 A 3 = _J 9 -1

A 2 - 0,00192 9 0 1 2 3 45 A . = 9 l 2 . 4

A1 = o,ooo32 i5o2o 57

A . = _ I I _ l i 4

A 4 = o,oooo5 89^20 44 A 6 = 1 4 I 8 . 4

A . = 0

0,00001 14G09 53

A 7 = I 7_ 2 1 4

A 6 = 0,00000 2 3 i g 4 79 - A „ = . JLP__ a 4 - 4

A_ = 0,00000 o4832 2 J

A 6 = J 3 . 2 7 - 4

A 0 = 0,00000 01029 09 A 1 0 = a j 5

3 0-4 A = 0,00000 00222 95

A 1 1 = 29 3 3 - 4

A 1 0 = 0,00000 ooo48 98 A 1 , = n _ 3 6 - 4

A = n

0,00000 00010 88

A 0 = 3 <

3 9 4 A 1 2 = 0,00000 00002 44 A , , = 3 8 _ 4 1 . 4

A = i.:

0,00000 00000 55

A 1 5 = 4 i 4 5 - 4 A . 4 =

0,00000 00000 i 3 A 1 6 = 4 4 4 S ' 4

A J 5 = _ 0,00000 00000 o3

a , i 0 8 6 5 70485 98 0 , 0 1 4 2 2 2 3 5 8 5 63

0 ,0 1422 a 3 5 8 5 63

2 , i 5 4 4 3 46900 35 ~ y " n >

r

Exempel III. Es sei yN<>1900 bis auf die 12lc Decimalstelle zu berechnen.

W i r haben bereits oben (§ . 48.) gefunden, rlafs diese Wurze l > 11,011 und < 11,012.

Page 68: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

C

Nun ist aber 11,011 = 161857,86712 13154 16051. Setzen wir a l s o ^ l 6 1 9 0 0 = 11,0U X i 1 6 1 0 0 0

(I + x ) T , so ist l 4 - x - - ' . — 1,00026 03078 82692 und x = 0,00026 03078 82692. 1 1 , 0 1 1

D a nun, wenn f*lC1900 = A + A 1 ~ A 2 + A 3 , . etc.

A = . . . . . . n , 0 1 1

A 1 = r i x A = o , o o o 5 - j25oo 19239>

A 3 = 59 j X A n = 0,00000 00000 093S2-

1 1 , 0 1 1 5 7 3a5oo 2 8 5 8 t

Davon subtr. 0,00000 oo5g6 886oo> " 5

Bleibt u , o n 5 7 3 i 9 0 3 3 9 9 7 1 — ^ 1 6 1 9 0 o w i e ^ . 4 S . )

n n 1 1 — 1 : 2 n — 3 3

§. 56. Setzt man in der Gleichung ( x + y ) = x + n x y + " c x 7 + e t c . ( A )

x — 1, y = z , so hat man

A2 — ^ x A 1 = 0,00000 00596 88599.

A 4 — igx A 3 = 0,00000 00000 oooox

: 2 2 ( 1 + z) = 1 + nz + nc Zr + n

•Z 3 n*z* + etc. (B)

> v W 3

; 2 ji.(n-i) ••Z_n.(n-l)(n-2) = 4 » . ( « — l ) ( r e — 2 ) ^ r a — 3 )

W O » c = _ ^ p , » c 1 . 2 . 3 ' n ° 1 . 2 . 3 . 4 e t C *

Substituirt man in (B) ^ für z , und multiplicirt alsdann mit x " , so erhält

man wieder dic Gleichung ( A ) .

Setzt man in (B) — z fdr z , so wird n : a 2 : 3 3 ? 4 4

( 1 — z) = 1 — n z + rce z — « c 2 4* nc z — etc. (C) .

§» 57. SubstItuirt man in (C) — m für 7 2 , so wird n = — r a , W 0 * = =

x • 2

/ * * \ : a : 3 m . ( m + 1 ) ( m + 2 ) _ : 3 : r (m + l ) c , « e = L ^ J _ i _ _ — ^ (m + 2 ) c . . . . und allgemein nc =

: r t r

( — ^ ) c = + (m+*-l)c j W 0 das Zeichen + oder — gi l t , j e nachdem r eine g e

rade oder ungerade Z a M ist. Es ist also — m ; a a : 3 3 • A A

( 1 — t) = 1 + » » s + ( m + 1 ) 0 z. + ( m + 2 ) c t + (m + 3 ) C V + e < c . (D)

§ . S 8 . W e U ( , + y)'= ( 1 + I ) " = , " . ^ + J f , ' = / . ( * ) " " = / . ( ! _ J T _ f "

x x x^y #-^y'

Page 69: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Proportionen, Potenzen uml Logarithmen. 45 *• • Y sa erhält man, wenn man in (D) — für z, und n für m setzt, und dann x+y multiplicirt

mit x

<*+J-r= * <» + Zzfc + ( * + l ) i * ^ . + (« + 2 ) ; ^ - 3 + <>.<•.) (E) In dieser Reihe nehmen die Potenzen von stärker ab als die von die in

x+y x' der Gleiehung (B) mit xn multiplicirt sind.

§. 50. Setzt man in dcr Reihe (E) — n für n, so verwandelt sich dieselbe in: , N—n —n Y , : 2 Y1 „ : 3 .>'3 . •'4 •V4 ,. . /cn ( . v +j ) = r * ( f _ n ^ + B , ^ , _ ^ ^ _ j , + ^ _ J _ 4 + c l c . ) ( F ) Ist n eine positive ganze Zahl, so besteht diese Reihe (F) aus einer endlichen

Anzahl, nämlich n + 1 Glieder, dahingegen der Ausdruck von (x + y)~~n nach den V Potenzen von - entwickelt z

3 ^ ^ A

= x" (1 + (» + l>i'> - (« + 2 ) L % 4- (" + 3 ^ 4 - etc.) A. Av x v

ins Unendliche fortläuft. AIs Beispiel wollen wir die (§. 53.) bereits berechnete Potenz (l+ä^)~l5 noch

mals nach der obigen Formel (F) entwickeln. Setzen wir (x + y)~n - A — A1 + A0 — A3 + A4 — etc., so ist, weil x = l,

Y y zzz

: 2 V 2 = S

y

also x+y " A = 1 = 1,00000 000 A2 = if A1.= 0,2S809 D24. A4 = A3= 0,00701 868 A6 = A 5 — °,00°o5 856 A

ß =s°-8A7~ o>ooooo 017

j,24517 245 — o,764i5 535

A i — ii A = 0,71428 571 A3 = 14 A2= o,o4oi3 077 A5 =/oVA4= °»00075 Sa9

A7 =3f yAg= 0,00000 357 A

9 =j|jAg= 0,00000 001 0,76415 535

0,48101 7 1 0

mit der (§. 54.) gefundenen Zahl his auf die 7te Decimalstelle übereinstimmend.

Page 70: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

x positive ganze Zahl n der W e r t h von (*4--) beständig wächst , so wie n gröfser wird , abcr nie gröfser als 1 + x. + + x^ 4" x 4 + x * 4" e l c « werden kann.

§. 61. Eben so erhält nian

/- * r " = 14 w ' v J_"- ( "+ 1 ) •v2 n.(n+i)(n+2) .v3 rc,(rc + 1)(tt+2)(^3) g +

l l ^ , 7 n /J 1" 1. 2 „ a i T7"2". 3 n ^ L~2T~3. 4 w

4

= 1 + x + (1 4- - ) + (1 4- - ) (1 + | ) + (1 + l)(l + ?)(1 + -) .rc

4 + etc. ' 1 n c 7i n 0 n n n c

*

Auf die W e i s e läfst sich auch die Kubikwurzel aus 10, die wir (§ . 54.) durch die

Entwickelung von 2 ( l+^j3 gefunden haben , in 2 (1—f)~" T verwandeln, welche

r , * * , 1- 4 1 i 4- 7 1 , 1- 4- 7- 1 0 1 . . . J c

= 2 l l + 3 * 5 + 3T6 ' ^ + 3T6TÖ * + 3. 6. 0. 12 J i + " ^ > S O df,f*> » e n n

I man dieselbe durch A + A 1 + A 2 + A 3 + etc. ausdrückt , A = 2, A 1 = . A ,

A = ~ A , A 3 = Jz A „ , A , = ^ A^, etc. In dieser Reihe nehmen, wenn man rt

2 3() 3 4a 2» 4 Gtf 3' ' sie mit dcr (§ . 55.) vergle icht , die Glieder offenbar stärker a b , als dort.

n X

§. 60. W e n n man in den Ausdrucke (1 + - ) , w o x irgend eine positive Zahl

bedeutet , für n nach und nach 1, 2, 3, 4, e t c . s e t z t , so wird man l inden, dafs der W e r t h desselben immer zunimmt. Man könnte vermuthen, dafs auf diese W e i s e

n x ^

der Werth von ('14"-) ü b e r a l l e G r e n z e n hinaus wachsen, oder Wie man diefs durch

eine abgekürzte Redensart auszudrücken pflegt, dafs dieser Werth für ein unendli

ches n unendlich werden müsse. Der binomische Lehrsatz zeigt j e d o c h , dafs diefs

nicht der Fall ist. Es ist nämlieh x n . , x , n . ( n - V ) x 2 . n.(n—l(n—T)xz , n.(n—\)(n—2)(n—1)x* .

a + -) = * + * r . + ^ r r , 7 + i. 2. 3 ,pr + ^ r ^ r ^ r r ^ 7 + e t c -= 1 + x 4- ( 1 - - ) ^ 4- ( i _ ! ) ( i _ 2 ) * 3 + ( i _ l ) ( l _ ? ) ( l _ : V r c

4 4. e t c . , w o

72» f% TL

x

2

? x 3 , x 4, e t c nach der (§.51.) eingeführten Bezeichnungsart die divi<lirten Poten-

2 x 3 x * z c n 2L_, ^7p3> j o 3 4' e t c ' n e d e u t e n . Daraus ergiebt sich a l so , dafs für j ede

Page 71: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

W o r a u s e r h e l l t , dafs ( 1 — - ) , von n > x an, w e n n n zunimmt, beständig a b -n

n i m m t , für j e d e n W e r t h von n j e d o c h

( * - ! r n > i + * + * c * + x c + + < + ° t c - u t -n

W e i l nun ( l - ^ > " — ( 1 + ^ ) " ~ ^ " " n ^ " * ( 1 ^ 1 " ^ ) " ) » S 0 ü b e r s i e h t m a n

l e i c h t , dafs d i e s e r U n t e r s c h i e d k l e i n e r w e r d e n k a n n a l s j e d e g e g e b e n e Gröfse . E s

ist nämlieh

t-d_?!>" = n - " r ( " = D ' - + " - r " - 1 ) f " - 2 ) 4 -1 V1 <i_) , L ' 2 A O ä. 1 1 O 'i ff ?l *' " ' n * i. 2 1 1 . 2 . 3 „

* ( l - * ) r 4 ( l - r ) ( t - 2 ) f f ( l _ * ) ( l _ * ) ( l _ 3 ) ß

# v I i ' # v n ' x n ' A x n x n ' x n A

= « ~ 2 " ,7* ^ 1 . 2 . 3 . ^ ~ r " 2 T " 3 7 ^ : ^ + c t c -

D e r W e r t h d ieser Grö f se i s t o f fenbar , Avenn n unendlich g r o f s , unendl ich k le in .

E s ist a l so für n = OO

( i + ^ r = = * + * + * c * 4- ^c 3 4- < + e t c -

i n x

8. 02 . D e n s e l b e n A u s d r u c k findet man a u c h , wenn man (1 + - ) vermit te l s t a n des b inomischen L e h r s a t z e s entwicke l t und n — OO oder unendl ich grofs annimmt,

1 2 3 w o a lsdann - , - , etc. = o w i r d . E s i s t näml ich

n n n

(1 + - 1 ) ™ = 1 + nx 1 + nx.(nx^ X « j f e j J ( ^ 2 ) l__ + ^ K ^ n' ^ n ~ 1 . 2 „ 2 ^ 1 . 2 . 3 . n * ^

x.(x - | ) - J ) U - - 2 ) x(x - l)(x - f ) ( * - n

3 )

- 1 + x + ^ 7 " 2 T " , 4 L " " 2 7 " 3 + ~ 2 . 3 . 4 + e t c -

F o l g l i c h für n = Oo

1 n x x 2 x 3 x *

( t + ; ) = 1 + x + o + r 2 r s + i T 2 r o + c l c -1 nx 1 n x

D a nun (1 + - ) = [( 1 + - ) | und v n Ii

0 + |)" = i , + 1 + (1 -1) 1 + (i - > - £ 2 - 3 + ( 1 - > - ; X i - J ) ä 3 3 + f -

Page 72: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

4 $ ' Erste Vorlesung. Über Verhältnisse, t

so ist auch

^ + l , " = [ , + ! + ( t _ I ) | + ( l - l ) ( l _ ^ ^ + ( i _ l ) ( l - ^ ( l - | ) ^ + M c . f

Es ist aber , wenn n = 0 0 ,

(l + l f = 1 + 1 + | + ± + + + e,c.

D i e Summe dieser unendlichen R e i h e , deren Xäherungswerth 2 ,7 1828 18284 50045, *

ist die Basis der sogenannten n a t ü r l i c h e n Logar i thmen, die auch wohl in B e

ziehung auf eine Eigenschaft der gleichseitigen Hyperbe l , die h y p e r b o l i s c h e n g e

nannt werden. Man bezeichnet diese Zahl gewöhnlich durch den Buchstaben e. D i c -1 . « X . . . X

semnach ist der W e r t h von (1 4 - - ) , für n = OO , — e . n

Zugleich ergicbt sich aber auch aus (§ . 5 9 , CO.), dafs fiiv j ede positive ganze

Zahl n > x , ( 1 + ^ ) " < e * u n t l ( 1 ^ ^ > e * l U U * w e n n n : : : : 8 0 wohl ( 1 + ^ ) " X ~ ~ n A ,

als auch (1 ) = e ist. n

§. f>3. W e n n y = e X so ist x = log nat y. Nun folgt aus (1 + ^ ) " < y, 1 + 3 < y 5

L X ~ n , T X n — I

und daraus x < n ( y n — 1 ) , und weil (1 — - ) > y, so erhält man (1 ) < y ;

i X I x — n (v*i — 1 }

daraus 1 < y « u n d d e s h a l b l — y r> < - also x > n ( l — y - % o d e r > ^ 1. n J n v

J '1 i yn

T

I n ( v " 1 ) Folgl ich : n ( l - y " ) > l o g n a t y > \

yn Es läfst sich demnach der natürliche Logarithme jeder Zahl y finden, indem man

aus y dic Quadratwurzel, bis auf 2 r Decimnleii genau, cxtrahirt , aus dieser abermals

die Quadratwurzel z ieht , und diese Operation so lange fortsetzt , bis man auf 2

m _ r

Y y < 1 4 - 10 kömmt, davon 1 subtrabirt und den Rest durch 2 multiplicirt. Das

Resultat dieser Rechnung wird der bis auf die rtc Decimalstelle genaue Werth von

log nat y sein. Auf diese W e i s e fand , wie schon oben (§ . 38.) bemerkt worden,

Page 73: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

1 1

2 r ( 1 0 2 t — l ) 1 0 2 — !

So iindet man z. B . , wonn man r = 60 annimmt, weil 26o

f*3 = 1,00000 00000 00000 00095 28942 64074 5S932

2r>0

y-[() — 1,00000 00000 00000 00199 71742 08125 50527 , „ „ 3 = _^^2SJHgl>4074 5SM2 = 1 2 f > 4 7 { [ ) G m . . , _ , log hrigg. .s 1 9 { ) ? 1 7 4 2 0 8 l 2 5 5 ( ) 5 2 7 " , w / j

§. 65. Diese äusserst mühsame M e t h o d e , durch eine Menge von Quadratwurzel-1

Extractionen den Ausdruck 2*(y* 1"—1) zu berechnen, läfst sich nun durch den Ge

brauch des binomischen Lehrsatzes ungemein vereinfachen und vervollständigen.

Ks sei v ~ 1 4- u, so ist

1 0 * * = 1 , 0 0 0 0 0 00000 00000 00199 71742 08125 50527 0 3 2 5 1 . . . D i e s e Z a h 1 w e n i g e r 1 mit

2* = . H 5 2 92150 46068 46976 o<1er 1,99717 42081 25505 27032 51 mit 1,15292 15046

06846 976 multiplicirt, erhält man log nat 10 = 2,30258 50929 94045 68401 . . .

§. 64. IIat man auf irgend eine W e i s e den natürlichen Logarithmen einer Zahl

y gefunden, so erhält man daraus den br iggischen, indem man jenen durch log nat 1

10 = 2,30258 50929 9 4 0 4 5 . . . diridirt oder mit , — = 0,43429 44819 03351 ' l o g n a t 1 0 '

multiplicirt. Man nennt diese Zahl gewöhnlich den M o d u I u s , und wenn wir diesel

be durch M beze i chnen , so ist log brigg. y = M k*g nat y. x ?

Ks sei nämlich log nat y = x und log brigg. y = |, so ist y = e — 1 0 . D a 1 1 ~ t

nun . ^ 7 7 x — M , so ist log nat 10 = folglich 10 — e M und y = e M — Px .

l o g n a t l 0 M z

Also ^ = x und I = M x oder log brigg y = M log nal y. M

*- 1 Aus e M = 10 folgt zugleich ^ log brigg. e = log brigg. 10 = ] , n n d daraus

M = log brigg. e. - r ^ r ^ ~Y

Ks i s t d e m n a c h der Näherungswerth von log brigg y = ^—y*^L

Page 74: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

50 Erste Vorlesung. Uber Verhältnisse, ,?

n(<r-i) = »[(i + . ) " - i ] = - + + ( , i - 1 ^ - 2 ) r o + e l c -

= --v-br + T - ^->-L^-b-, + Dieser Ausdruck w i r d , wenn man n = OO annimmt,

2 w3 * 5

(A ) log nat (1 + ») = w — + ^ ~ + ~ etc.

D i e Summe dieser unendlichen Reihe hat j edoch nur dann einen reellen endlichen

W e r t h , wen u nicht > 1.

w2 w3 * 5

Eben so erhält man (B) log nat (1 — w) — — w — ^ - ^ etc. 2 J 4 5

w o w < 1. _L. ^

Weil nun log (1 + w) — log ( 1 — » ) = log , so erhält man zugleich

\ — W 3 .S 7

/^- i lH-w nf , W , m , u, , \ ». (C) log nat = 2Q« + — + + + e t c . )

* + " • j y — 1 j Setzt man nun - - = y , so wird a = und

l~a> y~r*

(D) l.g y = + i 03 + i 0* + * + e.c)

Die Glieder dieser Reihe nehmen ab für jeden W e r t h von y , wie grofs derselbe

auch sein mag, und die Summe derselben hat immer einen reellen W e r t h . W e n n j e

doch y nur mäfsig grofs i s t , so convergirt die Reihe so langsam, dafs die Berech

nung des Logarithmen von y noch immer äusserst beschwerlich ist. Es sei z. B.

y = 10, so ist

log nat 10 = 2 + i + f (fif + * ( ^ / + i ( ^ / + e t c . ) Wol l te man nun diesen Logarithmen bis auf dic 10te Decimalstelle genau haben,

so müfste man beinahe 70 Glieder bis auf die 12teDecimalstel le berechnen. Es müfs-9 ax+i _ I 2 \\ 2x+1 l 2

te nämlich, wenn (—) < 10 sein sollte (—) > 1 0 , also ( 2 x + 1) X 11 12

l o g b r i g Y > 1 2 u n d f o , 8 l i c h 2 x + 1 > Hig"77 s e i n - Nunistaber, w i e m a n a u s j e d e r

~^

Page 75: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

11 logarithmischen, auch aus unserer kleinen Tabel le (§ . 42.) ersehen kann, log ~ < 0,088.

12 Es müfste also 2 x + l > - oder > 136 , also x > 67 sein. 0,08©

§. 66. Ist die Zahl y von der Beschaffenheit , dafs die Convergenz der Reihe

(D) sehr gering is t , wie im obigen Beispiele , w o y = 10 i s t , so mufs man dieselbe

in zwei oder mehrere andere Reihen zu zerlegen suchen, deren Glieder schnell g e

nug abnehmen, um mit hinlänglicher Bequemlichkeit die Rechnung anzustellen. So

läfst sich z. B. die Reihe für log nat 10 , weil log 10 = 3 log 2 + log £ auf fo lgen

de W e i s e zerlegen.

s\ 1 1 1 1 1 1 1 1 log nat 10 = 3. 2 ( - + - . _ + y ~ + - . - + - - + e tc . )

1 1 +

3' 1 1

P

,fl + 1 L + i L + ! . L +

1 L . B l c \ \9 ^ 3 93 ^ 5 9* ^ 7 97 9 9 9 •Jr e l c . j

0/, , 1 1 , 1 1 . 1 1 , 1 1 , \ = 2 O + 3 9 + 5 ' V * + 7'^3 + «j-7* + C , C ' )

+ 2 f - + " - + 1 - + + - . - 4- etc . ) ^ VO 3 93 ^ 5 9 s ^ 7 < ) 7 ^ 9*99 ^ e i c 7

§. 67. Hier folgt <lie Übersicht der IJerecbnung von log nat 10 bis auf die 20ste

Decimalstelle genau. ^ , . (

9 — 0 , 1 n i i H i n 1 1 1 1 1 1 u 1 1 1 1

9 = o ,o i254 56790 i 2 5 i 5 67901 24

9 = 0,00157 1742,1 12482 8 5 5 2 2 36 — 4

9 zzz: o ,oooi5 a4i^7 90275 87258 o4

9 'zzzz 0,00001 69550 87808 45o28 67 Q

9 = 0,00000 1 8 8 1 6 76423 15892 07

9 1ZZZz 0,00000 02090 75i58 1 2876 90 ^

9 ~ 0,00000 00232 3o575 i2.54i 88

— 1,00000 00000 00000 00000 00 — 1

J..9 = o ,o57o3 70370 3 7 0 3 7 03705 70

^ 9 = o,ooa4(» 9 i558 02469 i558o 25 - 3 „ _

^.9 = 0,00019 5 9 6 j 1 i)8926 1 2 1 8 8 91

£.9 = o ,ooooi 69350 87808 43o28 67 - r>

T

X

T 9 — 0,00000 1 5 5 9 5 5 3 4 3 7 i3oo2 6 1

T\-9 = 0,00000 oi447 4434o 24299 3g

^_9 = 0,00000 00139 58545 87525 i 3

T*_9 zz= 0,00000 oooi3 665o4 00149 5 *

s = i,o3g7?. °77o('} 8 8 ^ 6 2 7 ; t 7 8 »8

TASTU ÜLIKOOLI RAAMATUKDGU

Page 76: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

52 . Erste Vorlesung. Über Verhältnisse,

— p

9 = 0,00000 00025 9 " 7 * 191I1 5 2

s -9

- T O

I ,03972

n,00000

07706

00001

888GG

5585i 2/478

5o482

18

70

— 10

9 : : O,00000 00002 8G797 19907 9 3

-9

- T O

0,00000 00000 i5G57 00948 00

— i i

9 = o,ooooo ooooo 3i86G 35545 3 2 1 .9 I T

- I I

0,00000 00000 oi385 4 9 5 7 1 54 — 12

9 = o ,ooooo ooooo o354o 70G1G i 5 1 9

- T 2

0,00000 00000 o o i 4 i 62824 65 — 7 l

9 — o ,ooooo ooooo 00593 4 1 1 7 9 57 7 T T - 9 - I i : l

0,00000 00000 o o o i 4 57080 7 2

—14 9 = o,ooooo- ooooo ooo43 7 1 2 4 2 1 7 1 9

- 1 4 0,00000 00000 00001 50752 49

— J ; i

9 = o ,ooooo ooooo oooo4 85G95 37 1 9

- i S

-ifi

0,00000 00000 00000 i 5 6 6 7 53

9 = o ,ooooo ooooo 00000 559G5 g5 1 9

- i S

-ifi 0,00000 00000 00000 o i655 5 3

—17 9 = o ,ooooo ooooo OOOOO 05996 22' _*_9 T s

—17 0,00000 00000 00000 0 0 1 7 1 5 2

9 = o , o o o o o o o o o o 0 0 0 0 0 00666 a5 1 9 — 1 "

- 1 0

0,00000 00000 00000 00018 01

—10 9 — o,ooooo o o o o o 00000 00074 o3 1 9

— 1 "

- 1 0 0,00000 00000 00000 00001 9 °

— 2 0

9 = 0,00000 ooooo 00000 00008 23 _ V 9 — 2 0

0,00000 00000 00000 00000 20 — 2 T

9 = o ,ooooo ooooo 00000 00000 92 1 9 — 2 1

0,00000 00000 00000 00000 02

1

Demnach i 4 - 3 9 + o 7 9 3 + 7 ~ j 3 + e t c — a z log 2 1 ,05972 07708 3 9 9 1 7 9 6 4 1 2 59

Eben so erhält man die Summe von 1

9 + *. 1-^ 3 9 3

+ 1 1 . — + e tc . , 0 9 5

indem man die

berechneten r e c 1 p r 0 k e n Potenzen von 9 benutzt.

9 -1

O , I I I I I I I I I I I I I I I I H I I I X

T 9" -3 _

o,ooo45 72475 70&27 6 1 7 7 4 1 2

& 9

-5- 0,00000 53870 1 7 5 6 1 68Go5 7 5

I Y

9 -7

0,00000 00298 67879 73268 i 3

T 9~ -9

0,00000 00002 86797 19907 9 2

I T T

9" -11

0,00000 00000 02896 g4i4o 48

I T T 9"

- i 3 0,00000 00000 ooo3o 26244 58

s Z=ZZ o , m 5 7 1 7 7 5 6 5 7 1 0 4 55o5a 07

\

Page 77: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

1 9 rrJ 1 0

T o ^

1 9 I T ^

- 1 7

0,00000 00000 00000 00^J2 72

0,00000 00000 00000 oooo3 90

0,00000 00000 00000 00000 o4

o , t n 5 7 1 7 7 5 6 57104 87788 5o — I log nat £

dazu 1 ,05972 07708 399r7 9 6 4 1 2 3 9 = |- log nat 2

erhält man i , i 5 i 2 9 25464 97022 84200 89 = £ log nat IO

und log nat 1 0 — 2,5o258 50929 94o{5 684oi 78

Zugleich hat man log nat a — 0,69jx4 7 iSo5 5gg45 3o94i 77

u n d l o g n a t 5 = 2 l o g 2 + l o g ^ = 1,60943 79124 54ioo 57460 08

§. 6S. Man hätte den natürlichen Logarithmen von 2 , weil log 2 = 1. | + I. |,

durch die Berechnung dcr beiden Reihen

1 1 , 1 1 , 1 1 . X

5 + 7 ' ^ + 9 * 5 9 + e t 0 - ) 2 f l + \ L + 1

V 5 ^ 3 5 3 ^ 5 , «A , x 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , , x

+ 2 ( 7 + 3 ^ 7 T + 5 ^ r + 9 - p " + e ( r - )

1 1

auch auf folgende Art finden können.

.i . l ( f I

o,4oooo 0 0 0 0 0 eoooo 0 0 0 0 0 0 0 2. 7 t

0,28371 42857 i42,85 7 1 4 2 8 57 4

I O T ' -

. 10 — o,oo553 5 5 5 3 5 5 3 3 5 3 5 5 5 5 3 53 2 T 7

3 0 , 0 0 1 9 4 56545 96695 8 2 1 1 8 56

G

i . 2 5

. 10 - 5

0 , 0 0 0 1 2 80000 0 0 0 0 0 ooöoo 0 0 2 5 7~

5 O , O 0 0 O 2 ^ 7 9 9 G 07506 479^4 3 i

n i . 2 7

.10 7

0 , 0 0 0 0 0 3 6 5 7 i 42857 i4285 7 1 2_ 7 ' 7

7 O,OOOOO o546g 3 3 o 5 i 1 1 4 8 6 07

1 0

\A .10~ O

0 , 0 0 0 0 0 0 1 1 j 7 77777 7 7 7 7 7 77 2 0' 7

0 O,OOOOO oop55 06873 8 2 7 2 2 00

1 2 T .2

I T ' .10~

- I I 0 , 0 0 0 0 0 00037 a3636 56563 64 2

T T 7 11

0 , 0 0 0 0 0 00000 9 1 9 5 1 5 l I 0 2 96

T4

T 2 .10 - l o

0 , 0 0 0 0 0 00001 20o3o 76925 08 2 T J .7

*3 0 , 0 0 0 0 0 00000 0 1 5 8 7 . 8 5 9 6 8 81

1 6

T s . 10 - 1 5

0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04569 06G66 <'7 2

T s 7~ 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00028 o845o*"^ 1

1 8 1 2

T T .10

- 1 7 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ooi54 20255 j*9 2

T T 7 T7

0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5o572 5o

S = o ,4o546 ~5io8i ^oV58 65585 49 S 0 , 2 8 7 6 8 20724 51780 9 i 8 o 3 09

s = o , t n 5 7 1 7 7 ^ G 57104 55o52 07 — ' ö ^ _

T * _ . 9 = 0,00000 00000 00000 j 2 j 7 9 >7

Page 78: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

s _ o , 4 o 5 4 6 5 i o 8 i o8 i58 65585 49 20 —IQ JL2 . 10 — 0,00000 00000 oooo5 5i88a n 1 0 3

22 —21 *_2 .10 _ 0,00000 00000 00000 1 9 9 7 2 86

4 IT

1 2 .10 IT

^ 0,00000 00000 00000 00729 44

z6 -25 1 2 .10 _ 0,00000 00000 00000 00026 84 IT 2f) -27 *_9 .10 — 0,00000 00000 00000 00000 00

2 5 30 -29 , *_9 .10 _ 0,00000 00000 00000 00000 04

2 0 -

S _ 0,28768 20724 5 1 7 8 0 9 1 8 0 3 09

7 = 0,00000 00000 00000 00925 45 —21 _ 2 —7 _ 0,00000 00000 00000 00017 o5

-23 ^ — 7 _ 0,00000 00000 00000 00000 02

-25 ^ 2—7 _ 0,00000 00000 00000 00000 01

lognat f— 0 , 2 8 7 6 8 20724 5 1 7 8 0 92743 92 log nat I _ o ,4o546 5 i o 8 i o8i64 3 8 1 9 7 77

Daraus log nat 2 — log nat § + log nat | = 0 ,69314 718öS 5g945 3o94i 69

bis auf die 20ste Stelle wie oben. Zugleich hat man aber auch log 3 = log ^ 4~ log 2 oder = 2 log 2 — log 4 — 1,09861 22886 68109 69139 46 bis auf die 20ste Stelle genau.

§. 69. Wenn die Logarithmen zweier Zahlen y , z gegeben s ind , so findet man

daraus den Logarithmen ihres arithmetischen Mittels.

I o g 4 f _ _ i _ 4 ^ 2 2 V 2 ( ^ ) - 1 (2fj2h)-i) ( 2 ( ^ j - i ) y

_t_ 0 y—z y^~z y—z

Z, SO ISt ,v^z

log y + log * = log. + •r=f) + I o g - _ ± f ) = l o g ( ( ^ ) 2 ^ ( ^ = 5 ) ) f

= i o g ^ ) + % ( ' - c ^ ) - 2 iog * + £ + i o g ( 1 - ^ ) 2 ) .

Daraus fo lgt : log = L_Xi___ _ , I o g ( l - ( ^ ) 2 ) .

Aber - .5 log A _ ( _ _ ! ) 8 ) - _ 1 W Q ^ ^ j > - s ) * = x l o g _ _ _ _ L „ * H V + ^ ; * J ° S

( ^ ) 2 ^ ( ^ * _ ^ _ ^ 2 >

'ind wenn ^ g ^ ^ _ = u g o i s t ( § . 65.) (D)

' W - I . . ,a-lJ , « - i s | l o g u = M ( ^ + , ( ^ + , « + 0 , . )

Page 79: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

m

Diese FovmeI kann dazu dienen den Logarithmen jeder Primzahl p , wenn die L o g a

rithmen aller Primzahlen < p gegehen s i n d , durch sehr convergcnte Reihen zu

berechnen.

Ist nämlich x = p , so sind die Zahlen \ T 1 und x — 1 gerade Zahlen , die aus

ser der 2 nur noch Primzahlen < p als Factoren enthalten können , dafs also nach

der Voraussetzung log ( x + 1) und log ( x * - 1 als bekannt anzusehen sind.

Nimmt man z. R. den Logarithmen der Zahlen 2 , 3 , 5 als bekannt a n , so er

hält man

log 7 = 1 I°g 6 + I Iog 8 + M ( ± - + 1

3.97 3

1 5.97< + etc.

log 11 = § log 10 + 1 log 12 4- M ( ^ 1 + 1 3.241* + _L_

57241* + e<c.

log 13 — I log 12 + I log 14 + M ( ^ 1 3.337'

1 5.337* etc.

log 17 — i log 10 + \ log 18 + M ( ^ + 1

3.577 3

1 5^5775 + etc.

log 19 — i log I « + i log 20 + MQ- _ L 3.721 3

1 5.721 J

etc.

etc. ' etc. . etc.

Ist von briggischen Logarithmen die R e d e , so mufs man für M den (§ . <>4.) ge

fundenen Modulus 0,43429 41819 setzen. Für natürliche Logarithmen wird

M — 1.

, u—\ _ f r - s ) 2 _ _ \ u n d

Z7+I 2 ( ^ f 2 _ ( ^ a 2 ^ ) - l '

Demnach

l o g 4 5 = ' M J ^ J ^ M - 4 - ^ 3 + f ^ a - y H - - c A 2 2 v 2 ( ^ ; ) - 1 C 2 ^ ) - O ( 2 ^ ) - O ^

§. 70. Setzt man y = x + l und z = x - 1 , so dafs 2 i ? und ^ i ^ = x , s o e r h H " I t

an l o g x = 4 l o f f ( x 4 - l ) 4 - i l o c ( x - l ) 4 - M f ^ f- • j + ~ 4 »H"^0 fe a foV T " / T a M ZT" V 2 x

3 — l 3 ( 2 v 2 — 1 ) 5(2x*-1) J

Page 80: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

§. 71. So sehr die so eben mitgethcilte Reihen-zur Berechnung der Logarithmen

drr Primzahlen auch converg iren , so lassen sich zu diesem Z w e c k e doch noch un

gleich convergentere Reihen f inden, wenn man statt die Primzahl p — x zu setzen,

sie zuvor mit einer Zahl m, j e gröfser j e besser , multiplicirt und p m = x setzt ; nur

mufs die Zahl m so ausgewählt w e r d e n , dafs sie keine Primzahl > p als Factor ent

hält, und dafs , wenn p m — x weder in x — 1 noch x + 1 Pr imzahlen, die nicht

kleiner als p s ind , als Factoren vorkommmen.

Sn erhält man z. B., wenn p — 7 und m — 7, x — 4 9 , x — 1 " 4 ,S, x + 1 = 5 0

l og 49 = i log. 4 8 + i log 50 + M ( ^ 1 + g J L _ , + _ L _ , + o t o . )

und daraus log 7 — \ log 4 9 .

Eben so wird , wenn p = l i und m = 9 , x = 9 9 , x — 1 = 9 8 , und x + l = 1 0 0 ,

.og 99 = | log 9S + i l og 100 + M ( ^ + _ L _ , + 5 _ J ^ , + . , , . . )

und daraus log 11 — log 9 9 — log 9 .

§. 72. So findet man durch Versuche oder mit IJüIfe einer Factorentafel der na

türlichen Zahlen für die successive Berechnung derLogar3thmen der folgenden Prim

zahlen, die Logarithmen der vorhergehenden als gegeben betrachtet, folgende unge

mein convergente Reihen

l o " 1 3 27 = -T- loiT ]ojj 3f>2 ~\- M f — - — J 1 - , j 1 _ L . ei<e^S

i o p 1 . 5 . - / z i o f e o . j o ^ - . e r ^ 2 4 6 4 0 1 ^ 3 . 2 4 Ü 4 Ü 1 8 . h 5 . 2 4 6 4 0 1 5 ^ € V

l o g 1 7 . 3 = | l o g 50 + 5 log 52 + M ( ^ p + + + e t c . )

log 1 9 . 11 - 1 log 208 + i log 2 1 0 + M ( ^ 6 1 - + + , + e t c . )

l o g 2 3 . 1 7 = I log 550 + i log 552 + M ( ^ + j J f ^ * + f J ^ + « " )

1 1 1 >v

l o g 2 9 . 2 7 = -| log 7S2 + J log TM + M ( ^ g g p y f ^ ^ g j j j , + ^ ^ j , + e t , . )

l 0 g . T M 1 = J log 340 + | |og 342 + M ( — 1 ^ + j ; J L _ , , + + C c ) log 37 .19 = | log 702 + J «og 704 + . M ( ^ J L 5 + ä 3 S « 7 t + . , — < ' + H c )

Page 81: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

WiIl man zur Ühung die Reihen für die Logarithmen der übrigen Primzahlen,

z. B. bis 109 entwickeln , so darf man nur , indem man

p — 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109 setzt,

m = 41, 43, 47, 53, 41, 43, 37, 67, 73, 91, 83, 73, 83, 97, 67, 43, 89 annehmen.

§. 73. In den so eben mitgetheilten Beispielen zur Berechnung des Logarithmen

einer Primzahl p , w e n n d i e Logarithmen aller Primzahlen < p bekannt s ind, wurde

der Factor m so gewähl t , <lafs für p n t — x , sowohl x — 1 als auch x + 1 nur Prim-

zablen < p zu Factoren hatte. Zuweilen kann aber auch p m ~ x — 1 oder = x + 1

gesetzt w e r d e n , dafs im ersten Falle x und x + 1 , und im letztern x und x — 1 nur

Primzahlen < p als Factoren enthalten, alsdann kann man die Formel

l o g ( x - l ) = 2 log x - l o g ( x + l ) - 2 M ( ^ - 4 ^ ^ + e t c . ) v 2 x —1 (2x —1) (2x —1) y

oder 1 1

l o g ( x ^ - l ) = 2 l o g x — l o g ( x — 1) — 2 M f — — — Y \ j 4~ e t c . ) g e b r a u c h e n . v 2 x —1 ( 2 x " — 1 ) y

Nimmt man z. B. für p = 17, m — 26, so ist p m — 442. Hier mufs man 442 — x + 1

se tzen , so dafs 441 — 9 . 4 9 = = x und 44() = x — 1, und man erhält log 17 .26 = 2 log 441 - log 440 - 2 M ( - i ^ + ^ _ , + „ c . )

Setzt man für p — 19 , m = 128, so dafs p m = 2432 , so ist 2431 = 11. 13. 17,

2430 = 27. 90. Daher

log 19, 128 = 2 log 2431 - log 2430 - 2 M ( ^ ^ L _ . + 3 ^ 5 5 ^ + « c . )

Desgleichen erhält man, wenn für p — 37, m = 27, also p m = 999 = x — 1, 1000 = x ,

1 0 0 1 = 7 . 11. l0 = x + 1

log 37 .27 = 2 l og 1000 _ l . g 1001 _ 2 M ( l l § L _ + * . _ J _ , + e , c . )

§. 74. In C a l l c t s Logarithmischen Tafeln (Pariser Ausg . 1795) findet man

die briggischen Logarithmen auf 61 Decimalstellen, nebst den natürlichen auf 48 Stel

len für alle natürlichen Zahlen von 1 bis 100 , und für alle Primzahlen bis 1097. Z u

gleich sind noch zwe i Tafeln für beiderlei Logarithmen von 41 Zahlen , von 999980 8

Page 82: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

his 1000021 hinzugefügt. In der Tafel dcr hriggischcn Logarithmen müssen die zehn

ersten Ziffern aus einer vorhergehenden Tafel auf 20 Deciinalstellen ergänzt werden.

Die hriggischen Logarithmen sind von A b r a h a m S c h a r p , dem gröfsten Rechner

seiner Zeit (gcst. 1742 im 91sten Jabre seines Alters) berechnet w o r d e n , und wurden

in Shcrwin's iiiathematical tables p. 30 — 39 aufgenommen. D i e natürlichen Logar i th

men hat W o l f r a m ein holländischer Art i l ler ie -Of f i c ier für alle Primzahlen unter

10000 bis zur 48sten Decimalstelle berechnet. Sie sind in Schulzens Sammlung ma

thematischer Tafeln und daraus in Vega 's Tabellen in Fol io mit Ergänzungen und

Berichtigungen abgedruckt.

§. 75. D ie von S h a r p berechnete Tafel der briggischen Logarithmen auf 61

Decimalstellen kann dazu dienen, den br igg i s chenLogar i th i r i en jederZah l a u f e i n e b e -

liebige Menge von Decimalen , welche die Zahl Gl nicht übersteigt, und umgekehrt

aus jedem gegebenen briggischen Logar i thmen, mit einer beliebigen Anzahl von D e

cimalen < 6 1 , die dazu gehörige Zahl auf eben so viel Dccimalen zu berechnen.

D i e s e T a b e l l e , so Avie sie sich bei C a l l e t findet, besteht, wie schon b e m e r k t w o r d e n ,

aus zwei T h e i l e n , wovon dcr erstcre die Logarithmen aller natürlichen Zahlen von

1 bis 100und allerPrimzahIen bis 1097, und dcr zweite d ieLogar i thmcn der 41atifein-

anderfolgenden Zahlen von 999980 bis 1000021 enthält.

Mit Hülfe d e r e r s t e n Tabelle findet man den Logarithmen jeder Z a h l , wenn sie

entweder unmittelbar in derselben enthalten is t , oder sich als ein Product aus Z a h

l en , die darin v o r k o m m e n , darstellen läfst. Das Ver fahren , dessen man sich dabei

zu bedienen hat , ist von selbst klar und bedarf keiner Erläuterung.

Läfst sich die Z a h l , deren Logarithmen man sucht , durch Multiplication oder

Division mit einer Potenz von 10 auf eine Zahl br ingen , die innerhalb der Grenzen

999980 und 1000021 l iegt , so kann man mit Hülfe des 2ten Thei ls der Sharpsohen

Tafeln den Logarithmen derselben auf folgende W e i s e finden:

Es sei die gegebene Zahl b. Man nehme aus der Tabelle die Zahl a , welch«

der b am nächsten kömmt. Ist nun a > b , so hat man

Page 83: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

1,000020 b " 1 1,000020

b b b Da nun v > 0,999980.b und < 1,000020 b , so mufs auch - < ( ) 9 9 9 9 8 ( ) n

n n d > 1,000020 b

l o g h = l o g a - log * = § . (65 ,D) l o g a - 2 M ( ^ + f ( ^ - ; 3 + + e t c . )

Für a < h erhält man

log b = log a + log 1 = log a + 2 M ( - ^ + x ( ^ + x ( g / + e t e . )

W e i l a — h oder h — a < \ und a + b > 2 X 999980, also oder f^<.tooLtW-;» a+l> b + a J999920

so übersieht man leicht, dafs alle Glieder der mit 2 M multiplicirten Re ihen , von

« ( g q ^ " a n , zusammengenommen, bci wc i tcmkIe iner als eine Einheit derGlsten I )ec i - ,

male sein müssen, und folglich vernachläfsigt werden können.

§. 76. Ist die gegebene Z a h l , deren Logarithmen man sucht, von der Beschaf

fenheit , dafs sie sich weder als ein Product aus Factoren , deren Logarithmen

in dem ersten Thei le der Sharpschen Tabel le enthalten s ind, darstellen, noch

auf eine innerhalb der Grenzen des zweiten Thei ls der Tabelle liegende Zahl bringen

läfst , so mufs man dieselbe in ein Product aus zwei solchen Factoren zu verwandeln

suchen, dafs der Logarithme des ersten vermittelst des ersten T h e i l s , und der L o g a

rithme des andern Factors , mit Hülfe dcs zweiten Thei ls der Sharpschen Tafel be

rechnet werden kann. I) icfs geschieht abcr auf folgende W e i s e : Man verwandle die

Z a h l , deren Logarithmen man berechnen wi l l , durch Multiplication oder Division mit C) 7

einer Potenz der 10 in eine Zahl b > 10 und < 1 0 . Nun suche man eme zwischen

1,000020. b und 0,999980. b liegende ganze Zahl c , welche sich in Factoren zerlegen

läfst, deren Logarithmen in der 1sten Tafel von S c h a r p enthalten sind. Mit dieser

dividire man die Zahl b , so wird der Quotient q > 0,999980 und < 1,000021 sein. b —K 4. 1 0 — I ° «

F.s i.t . iml ' .eh ä ^ ä S Ö h = 1 + * 1 0 + <vHnwTo < 1 + M " 1 0 u n d

b = 1 - 2 . 1 0 ^ + ^ : > . - 2 0 . l O - 6 .

Page 84: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

k , E r s t e V o r l e s u n g . Ü b e r V e r h ä l t n i s s e ,

* g g

u n d f o l g l i c h a w h < 1 + 21. 1 O - u n d > 1 ~ - 2 0 . l C * o d e r z w i s c h e n d e n G r e n z e n

1,000021 u n d 0,999980 l i e g e n . E s l ä f s t s i c h d e m n a c h j e d e Z a h l b , d e r e n L o g a

r i t h m e n i c h t u n m i t t e l b a r w e d e r v e r m i t t e l s t d e r e i n e n n o c h d e r a n d e r n T a b e l l e v o n

S c h a r p g e f u n d e n w e r d e n k a n n , a l s e i n P r o d u c t a u s z w e i F a c t o r e n c q d a r s t e l l e n , s o

d a f s c s i c h i n F a c t o r e n z e r l e g e n l ä f s t , d e r e n L o g a r i t h m e i m e r s t e n T h e i l e d e r

S h a r p s c h e n T a b e l l e , u n d q i n n e r h a l b d e r G r e n z e n 1 , 0 0 0 0 2 1 u n d 0 , 9 9 9 9 8 0 H e g t , u n d

f o l g l i c h m i t H ü l f e d e s z w e i t e n T h e i l s d e r s e l b e n T a f e l n g e f u n d e n w e r d e n k a n n .

§. 77. E x e m p e l . M a n s o l l d e n b r i g g i s c h e n L o g a r i t h m e n d e r V e r h ä l t n i f s z a h l

« = 3,1*4159 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 26433 8 3 e t c . d e s K r e i s u m f a n g e s z u s e i n e m D u r c h

m e s s e r , b i s a u f d i e 6 0 s t e D e c i m a l e g e n a u , b e r e c h n e n .

G

D u r c h d i e M n l t i p l i c a t i o n d c r Z a h l n m i t 1 0 e r h ä l t m a n

b = 3 1 4 1 5 9 2 , 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6 4 3 3 8 3 e t c . D a h e r b . 1 , 0 0 0 0 2 = 3 l 4 i 6 5 5 , 485 u n d

b . 0 , 9 9 9 9 8 = 3141529, 8 2

M a n h a t a l s o n u r e i n e Z a h l zu s u c h e n , d i e z w i s c h e n 3 1 4 1 6 5 6 u n d 3 1 4 1 5 2 9 l i e g t ,

u n d i n F a c t o r e n , w e l c h e i n d e r T a b e l l e v o n S h a r p v o r k o m m e n , z e r l e g b a r i * t . E i n e

s o l c h e Z a h t i s t 3141600 = 1 6 8 . 187. 100. D i v i d i r t m a n n u n b d u r c h d i e s e Z a h l , s o

e r h ä l t m a n d e n Q u o t i e n t e n q = 0,99999 7 6 6 1 5 7 0 4 7 1 49174 . . und e s w i r d

b

l o g b r i g b — l o g 1 6 8 ~f log f87 + 2 + l o g q , u n d w e i l « =

l o g b r i g j r = l o g 1 6 8 + l o g 1 8 7 — 4 + l o g q , .

H m l o g q z u b e r e c h n e n , n e h m e m a n i n d e r 2 t e n T a f e l v o n S h a r p d i e Z a h l , w e l c h e

s i c h v o n q a m w e n i g s t e n u n t e r s c h e i d e t , d i e s e i s t 0 , 9 9 9 9 9 8 . B e z e i c h n e t m a n d i e s e l h e

d u r c h r , s o h a t m a n r — q — 0 , 0 0 0 0 0 0 3 3 8 4 2 9 5 2 8 5 0 8 2 5 . . . , r + q — 1,99999 5 6 6 1 5 70471 4 9 1 7 4

u n d f o l g l i c h = 0,00000 01692 15131 2 . . .

r — Q

D e n W e r t h v o n — r ^ , b i s a u f d i c 61ste D e c i m a l e genau b e r e c h n e t , in

Page 85: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

(§. 62.) N * 3 4

^ = i + i + ic + ic + & 4- et*. —6 Da nun, wie man leicht übersieht, f < 10 , sa sind i& jedem Falle die ersten

\T N zehn Gli«der der Reihe hinlänglich, um und folglich auch n v . ^ — N bis a u f d i e

nv 61ste Stelle g*enau zu bekommen.

§. 79. E x e m p e l I. Es sei 0,35895 60839 36766 12053 08149 69966 der gegebene

Logarithme. Man soll die dazu gehörige Zahl auf eben so viel Decimalen finden.

Mit Hülfe der Logarithmen-Tafel auf sieben Decimalen findet man die zum Logarith

men 0,3589560 gehörige Zahl 2,285367. Nun ist aber 228536 = 49. 53. 88 und ver

mittelst der Calletseben T a f e l , auf 61 Decimalen erhält man

log 0,999998 — 2 M Ö + iC^p)* + * ( * x ^ ) * + c t c0 S l l b s t f t l l i r t5 erhäFt man

Vr^— r ~~y~ *

log q mit der verlangten Genauigkeit . Die wirkliche Berechnung ist indefs noch im

mer sehr beschwerl i ch , weil m a n , um 00 DecimaIen zu h a b e n , wenigstens 4 Glie

der der Reihe berechnen mufs^

§. 78. Um aus dem gegebenen briggischen Logarithmen L die dazu gehörige

Zahl \ auf 61 Decimalen zu f inden, verfahre man auf folgende W e i s e : Man nehme

die ersten sieben Ziffern d e r M a n t i s s e dcs Logar i thmen, und suche , vermittelst der

gewöhnlichen logarithmischen Tafeln mit sieben Decimalen, dic dazu gehörige nächste

Zahl b bis auf die 7te Decimale . Den Logarithmen einer zwischen 0,999980 b und

l,0()002lh liegenden Zahl , nach der Methode des vorigen §. auf 61 Decimalen berech

net , subtrahire man von dem gegebenen Logar i thmen , so wird der Rest log brig *

N . •'' '— sein. T o n diesem subtrahire man den nächsten Logarithmen der 2ten Sharpschen n

N T a b e l l e , deren Zahl wir durch v bezeichnen wo l l en , so ist der Rest — log brisf — .

j n n n y

Diesen m i ' t i — lo£ nat 10 = 2,30258 50929 94055 68401 . . . multiplicirt, erhält man M 5

\ N / l o e n a t - . Rezeichnen w i r d i e s e n L o g a r i t h m e n d u r c h & dafsa lso — = e , so hat man

° nv nv

Page 86: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Also log 2 ,28536 = 0,55895 4 6 2 1 7 79471 33544 88/u4 64229 o 3 i .

Diesen Logarithmen von dem gegebenen Logarithmen subtrahirt, erhalt man '*' '

0,00000 14621 57294 78709 1 9 7 3 5 0X737

Davon subtr. log i,ooooo3 =- 0,00000 i 3 o 2 8 8 i 4 g i 58849 555g8 62849

bleibt 0,00000 0 1 5 9 2 758o3 39869 6 4 i 3 6 42888.

Diefs i s t , wenn N dic gesuchte Zahl des oben gegebenen Logarithmen bedeutet, N 1

I o « b r i g 2,2S536.T,000003 D i e s e n m i t l o & n a t 1 0 ~ jy|=2 ,30258 . . .multiplicirt , erhält man

N loar nat — r r v = ^ - — 0 , 0 0 0 0 0 0 3 6 6 7 46ooo 58o25 84607 i565a * 2,285^6. i ,ooooo^

Ks ist also 1 + $ = 1,00000 05667 46090 58o25 84607 i 5 6 5 2

' • " : • • ' • / : -•' - • ' r

t' _ '. r—zz — 0,00000 00000 00067 x54 ? 4 / 7 9 5 i 5 7 2 v ... ~- i' *

" " • , " | 3

—: 0,00000 00000 00000 00000 8 2 2 i 5 8g5g4 1 .2 .3

>Ar

i — - — — = 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 OOOOO OOOOO O O 7 5 4 1 . 2 . 3 . 4 '

:\ ^ * 0 2 28556 1 ooooo5 ~ * > 0 0 0 0 0 ° ^ 7 46*57 83i6x 4 i 6 o o 5 7 5 7 2

und folglich N = 2 ,28556 76942 2 g 5 i 3 7o3o5 5 5 2 3 o 02382

deren ZifVern alle bei richtig geführter Rechnung bis auf die beiden letzten verbürgt

werden können.

§. 80. Die so eben gefundene Zahl N enthält die ersten 20 Ziffern einer Zahl,

welche das 100te fJlied der Rei!:<> 4 , 16 , 256, 65536, etc. ausmacht, in welcher j e

des (jlied des Quadrat des vorhergehenden ist. Man kann nämlich diese Reihe so

achreiben 2% 2 1 , 2 8 , 2 l 6 , etc. oder 2% 2 ^ , 2 ^ , 2 2 + , 22\ etc., sodafsdas lOOte(J l led 1 0 0

derselben 2 ist. Um d ieseZah l zu berechnen, suche man i h r e n L 0 g a r i t h 1 n e n . D ie -

s e r i s t 2 1 0 0 log 2. \un findet ruan aber 2 l ü ° = 126765 06002 28229 40149 67032 0537<i.

log ig = 1 ,69019 60800 a85i3 66i/j2 4 4 3 2 5 1 7 1 8 5 272

log 53 = 1 , 7 2 4 2 7 58696 00789 o4563 29922 9 1 6 2 7 a56

log 88 = i,g4448 26721 5oi68 62639 i 4 i 6 6 554i6 5o3

Page 87: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Diese Zahl besteht aus 31 Ziffern. Man mufs also um auch nur einige der ersten

Ziffern der gesuchten Zahl zu erhalten, den Logarithmen von 2 auf mehr als 30 De-

cimalstelIen haben. Nun findet man in C a l l e t s Tabellen den briggischen Logarith

men von 2 auf 61 DecimaIstellen z=

0,30102 09956 63981 19521 373S8 94724 49302 67681 89881 46210 85413 10127 5.

Multiplicirt man denselben durch die für 2 ' gefundene Zahl, so erhält man den hrig-^TOO

gischen Logarithmen von 2

= 38160 08546 90147 05624 43588 27360, 35895 60839 36766 12053 08149 69966 1.

Dieser Logarithme, kann die Richtigkeit von log brig 2 vorausgesetzt, bis auf die

30ste Decimale verbürgt werden. Die eisten 30 Ziffern der zu demselben gehörigen

Zahl sind also, zufolge der im vorigen §. angestellten Rechnung, 228536 76942 29513

79829 49228 1644. Aus der Charakteristik ersieht man, dafs diese Zahl aus 38160

08546 90147 05624 43588 27361 Ziffern bestehen würde.

Sich von der Menge der Einheiten, welche diese Zahl enthält, durch einen kör

perlichen Raum eine Vorstellung machen wollen, wie klein man auch die Einheiten

annehmen mögte, z. R. Millionen- oder Billionentheile eines Kubik-Millimetre, wür

de vorgebliche Mühe sein. Wir wollen uns damit begnügen, die Länge der Linie

auszumessen, welche die Ziffern dieser Zahl, in einer Reihe geschrieben, bilden wür

den. Nehmen wir die Ziffern so klein an , dafs zwanzig derselben auf einen russU

sischen Werschock gehen, so werden, weil ziemlich genau 2 2 | Werschock einen

Metre ausmachen, 450 solcher Ziffern die Länge eines Metre, und alle Ziffern der

besagten Zahl, wie man leicht übersieht, eine Länge L = 848 001899 311437 902765 241838

Metres einnehmen. Nun ist die mittlere Entfernung der Sonne von der Erde ungefähr

152900 000000 Metres, welche mit 19,1830 multiplicirt, dic halbe grofse A x c der

Uranus-Bahn- giebt, also nicht völlig 30 000000 000000 Metres grofs ist. Die Länge

der Linie L würde demnach weit über 28 000000 000000 mal die A x e der Bahn des

Uranus enthalten. Da das Licht in 8 Minuten 13 Sekunden von der Sonne bis zur Erde gelangt,

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also in der Zeit von 493 Sek. einen Raum von 152900 000000 Metres , und folglieh in

e inerSckui ide mehr als 310 000000 Metres durchläuft, so wird es , um einen W e g = L

zurückzulegen, eine Zei t von mehr als 2 700000 000000 000000 Sekunden, oder , weil

das Jahr von 365 T . 5 St. 48 49' = 31 556929 Sekunden, mehr als 86tausend Millionen

Jahre brauchen. _ _ r _

§. 81. E x e m p e l II. M a n s o l l d i e P o t e n z l , 0 6 3 ß 5 = N T bis auf die 61ste Deeimal-

stelle entwickeln. _ i _

Mit Hülfe der Sharpschen Tabel le findet man log 1 ,06 3 * 5 = T £ T log 1,06 =

0,00006 93311 37711 69928 99910 44346 16917 70396 26554 19933 43734 84669 9 = L.

Vermittelst der gewöhnlichen Tabellen mit 7 Deoimalen erhält man für den Logarith-28 47 76

me 0,0000693 die Zahl 1,00016 = l ü ( ) ( ) 0 0 " = a > deren Logarithme aus der Scharp-

schen Tafe l genommen —

0,00006 94815 58728 03751 77247 12696 73825 86672 64357 99684 49976 89493 1 = L .

V o n diesem Logarithmen L den Logarithmen L subtrahirt, erhält man zum Reste L — L = 0,00000 01504 21016 33822 77336 68350 56908 16276- 37803 79751 06242 04823 2.

a 1

Dieser Rest ist der briggische Logarithme v o n ^ . Diesen mit ^ — I°g n a t 10 = 2,30258 e t c

multiplicirt, erhält man log nat = J

0,00000 03463 57189 89341 69713 22305 54835 82225 32861 41751 01028 01330 C = £

E s i s t a l s o ~ = o d e r - - = e ~ * und folglich N = l , 0 0 0 1 6 ( W + *?* — * 3 + # * + etc. ,

a . c c c

— o,ooooo ooooo ooo59 9 8 1 6 5 iigH 3 2 2 5 i 6 9 1 1 8 43o5o 5 i 8 i 8 18882 09785 26858 8

= t3o,25o 25/n9 o 4 i 3 9 54852 ig4o4 56566 02823 14448 8

— 599 633o8 60j9g i 5 o i 2 60577 82567 ^^97 7

isc = 4 i 5 3 7 4 4 6 1 2 8 i 9 5 o 6 74801 8o838 9

fc = 2397 79885 2 7 1 8 4 7 2 7 5 5 4

fc = • . " 8642i 2 4 6 5 i 1 = 5i36 6

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Daraus erhält man e~~^ = 1 — | + |* — §\ + l\ — + etc. —

0,99099 96536 42870 08822 75990 85126 73447 50817 70S34 41309 54461 14878 9

und endlich 1,00016. e~~^ oder die gesuchte Zahl N =

1,00015 96535 87452 94744 17155 00980 35475 25977 83917 74660 15413 86257 3.

Obiges Exempel ist aus Sherwins Matematical tables Einl. p. 43 entlehnt worden.

§. 82. W i r erwähnten im Anfange dieser Vorlesung (§ . 1.) und später (§ . 24.J ei

nes Verfahrens den Exponenten des Verhältnisses zweier gleichartigen Gröfsen nähe

rungsweise durch eine Heihe gewöhnlicher Brüche darzustellen, die von deni wahren

Werthe des Exponenten , um so wenig als man wil l , verschieden sind. Diefs V e r

fahren kann auch dazu dienen, für j ede Zahl X > 1 und < 10, deren Logarithmen man

berechnen wi l l , einen Bruch ™- zu f inden, dessen Logarithme durch die Sharpsche

Tabelle gegeben , und von der Beschaffenheit ist , dafs wenn N durch denselben di-

vidirt w i rd , der Quotient q um weniger als 10~~ 6 von 1 abweicht , so dafs sich N als

ein P r o d u c t ^ . ( l + » ) , o d e r ™ ( 1 — w ) , w o u < 10~ 6 ,darstcl lenläfst ,undfolgl icb(§ .C.">. )

I . g b.ig N = log 5 + 2 M ( ^ + i(^/ + J ( ^ - / + o . « . ) w w 3 5 ^

oder log brig N = log - — 2 M ( ^ + | ( _ ^ _ / + i + e t c . ) ist.

Entwickc l tman nämlich nach der (§ . 24.) gegebenen Vorschr i f td i e Näherungswerthe A A 1 A 2 A

B ' TT ' W9 \f9 C t C # ' S ° V e r s i e h t m a n l p ' c n t , dafs , wenn man zwei nächst aufeinan

derfolgende Brüche dieser Beihc durch —, — bezeichnet , und X = - . q s e t z l , q = i 4 - «

° n n 1 n 1 ' 1 A A 1 A 2

oder 1 — w sein wird , w o w < . D i c Reihe der Brüche j ^ , « p , ^=-, etc., ist näm-mn' 1 i , S 2

lich von der Beschaffenheit, dafs sie abwechselnd kleiner und gröfser als \ s ind;

und dafs der Unterschied zweier nächst aufeinanderfolgender Brüche — und — = JL, n i 1 1 1 n nn j

und folglich dcr Unterschied der Zahl N und des Xäherungswerthes ™ < .— l sein n nn

mufs. D a nun N = - . n, so ist q = — N und wcil X zwischen - und — l i e g t , a b e r n 1 m n n •

Page 90: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

m T m 1 r i • i n m , n /ni , 1 v , . , — — | ist , so mufs auch q zwischen — . — und — ( \ also zwischen n. n - n n 1 1 1 1 n m V n - n i Y

1 V A 1 A , 1 und 1 +• l iegen. W e i l nun dieLogarithnien aller Brüche dcr Reihe ctc.

mn 1 " i " 2

deren Zähler irnd Nenner nicht mehr als drei Ziffern enthalten, in der Sharpschen

Tabellen gefunden w e r d e n , so darf man nur den letzten derselben ^ , d e s s e n L o -\ g

garithme gegeben is t , auswählen , und man wird in den meisten Fällen j < 10 b mn f inden, so dafs alsdann für die Berechnung von log brig q dic 2te Tafel von Sharp

j t völlig entbehrlich ist*

Nehmen wir z. B. N = 3,14159 26535 89792 2 . . . so erhält man, wenn man den 31415 9^65 r

Bruch ———— so behandelt , als ob man den gröfsten gemeinschaftlichen Theiler 10000 0000 ' fe fe

seines Zählers und Nenners suchte , die Quotienten 3 , 7 , 1 5 , 1 , 2 9 2 , 1, 1, etc., und daraus ergeben s i c h , durch das (§ .24. ) erwähnte Verfahren für die Näherungswerthe der

3 22 333 355 103993 Zahl N folgende Brüche - , ^-> — , '~, 3 3 1 0 2 > c t c * ^ e r * e t z t e «"icser Brüche, des-

355 335 sen Logarithmen man in d c r T a f e l von Sharp findet, ist S e t z t m a n a l s o N = ^ . q ,

3 22 333 so w i r d , weil die Brüche - , y , ~ , e t c . abwechse lndkIe iner und gröfser sind a l s N , 3 5 5 . . f ß — > N und q = 1 — u sein, wo « < — — ^ f T n o > a ^ S 0 < ^ sein. Dieses bestä-

j l t > O t ) u . o o l l ? * £

355

tigt sich a u c h , indem N mit dividirt den Decimalbruch 0,99999 99150 86328 27

giebt. Diesen = l - « gesetzt , hat man w = 0 , 0 0 0 0 0 00849 13671 72. Man erhält also,

wenn man log N nur auf 15 Stellen berechnen will ,

log N = l og 355 - l o g 1 1 3 - 2 M . ^ ^ ^ | = 0,49714 98726 94133 92. D i e Glieder nach x—— sind, weil schon | ( " - ) < 1 0 - ' 7 , hierallevernachlässigt werden.

Z —~ w JL — cti

v §• 83. Um die zu einem gegebenen briggischen Logarithmen gehörige Zahl zu

berechnen , kann man auf ähnliche W e i s e verfahren. Es sei z. B . der gegebene b e

reits oben (§ . 79.) vorgekommene Logarithme 0,35895 60839 36766; man soll die dazu

gehörige Zahl N auf eben so viel Decimalen berechnen. Vermittelst der gcwöhnl i -

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ehen Logarithmen findet man 0 , 3 5 8 0 5 6 0 8 = log 2 , 2 8 5 3 6 7 . Nimmt man nun mit dem 2 2 S 5 3 6 7

Bruche y ü ^ H W ^ c s e * D C Operation v o r , als oh man den gröfsten gemeinschaftlichen

Thci l cr seines Zählers und Nenners finden wo l l te , so erhält man die Quotienten

2 , 3 , 1 , 1 , 5 8 , 5 , etc., und daraus (§ . 2 4 . ) die Näherungswerthe des obigen Bruches 2 7 9 1 6 9 3 7 1 7 0 1 9 3 7

I ' J' i ' T ' 4"To' 205T e t c ' S e t z t m a n a l s o N ~ 4 T Ö q ' S 0 e r h a l t m a n ' w e i l

log N = o , 5 5 8 9 5 6o83g 3 6 7 6 6 1 2

r l og 4 to = 2,612,78 3 8 5 6 7 1 9 7 3 5 49

2 , 9 7 1 7 3 99^06 5 6 5 o i 6 x

l "g 9 5 7 = a , 9 7 1 7 5 95908 8 7 7 7 8 a8

l o g b r i g q — 0,00000 o5497 68723 3 3 . • » - 1

und diesen mit ^ = log nat 10 = 2 ,3o258 50929 93o45 68 multiplicirt erhält man log nat q — 0,00000 o8o53 72248 3 3

und i ( l o g n a t q ) 2 = 0,00000 00000 oo524 3 i

und deshalb q = 1,00000 o 8 o 5 3 7 2 6 7 2 64

9 3 7

und folglich N = q = 2 ,28536 7 6 9 { 2 2 9 6 1 5 8.

§ . 8 4 . Aus d e m , von (§ . 7 3 . ) a n , Vorgetragenen wird man hinlänglich den G e

brauch der Sharpschen Tabel le kennen gelernt h a b e n , um den briggischen Logarith

men jeder Zahl auf eine beliebige Menge v o n Decimalstellen, wc lchc j edoch die Zahl

6 1 nicht übersteigen darf, zu berechnen, und umgekehrt für jeden briggischen L o g a

rithmen die dazu gehörige Zahl auf ebcn so vicl Decimalen als der Logarithme ent

hält, zu finden. Das Verfahren für natürliche Logarithmen ist ganz dasselbe; nur

mufs man den Modulus M = I setzen, und wenn mnn aus dem Logarithmen die Zahl

herleiten sol l , den ersten Thei l desselben mit sieben Decimalen durch die Multiplica-

tion mit M = 0 , 4 3 4 2 9 4 4 8 in einen Briggischcn verwandeln , und zu diesem, die Cha

rakteristik = 0 angenommen, vermittelst der gewöhnlichen Tafeln mit sieben Dec i

malen, die Zahl auf eben so viele Decimalen suchen, und übrigens ganz nach ( § . 7 3 . )

verfahren.

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68 Erste Vorlesung. Über Verhältnisse . . 1 ! '

Es sei z. B. auf j ede Anzahl von Decimalen < 48 die Zahl des natürlichen L o g .

1,14472 98858 49400 17414 34723 51353 05871 16472 94812 916 zu berechnen. Man

nehme die ersten acht Ziffern desselben 1,14472 988 , so erhält man durch die Multi-

plication dieser Zahl mit 0,43429 4 4 8 , das Product 0,4971 499. D i e dazu gehörige 355

Zahl ist 3,141593, dessen Näherungswerth '—^. Nun findet man in den ('aIletschen

Tafeln log nat ^ = 1. 5 + I. 71 — 1.113 = 1,14472 99707 63075 22734 80723 72123 20006 1 I«J

42558 47492 277. V o n diesem den gegebenen Logarithmen subtrahirt, erhält man zum Reste / = 0,00000 00849 13675 05320 46000 20770 14135 260S5 52679 361.

* ^ j

Substituirt man diesen W e r t h in e z — 1 — # + $'c — | c + c t c . , und multiplicirt 355

das Resultat durch so erhält man die gesuchte Zahl = <a (§ . 77.) 1 1 O

§• 85. Eine ähnliche Tabel le , wie die (§ . 42.) mitgotheilte, sowohl für briggiscbe

als natüriiehe Logarithmen auf eben so viel Decimnlstelien berechnet, wie die Sharp-

sche und Wol framsche würde die Berechnung des Logarithmen einer Zahl oder der

umgekehrten Aufgabe auf eine grofse Menge Decimalen sehr vereinfachen und erleich

tern. Für die natürlichen Logarithmen habe ich eine Tabelle auf 48 Decimalen be

rechnet , die ieh gelegentlich mittheilen w e r d e , unterdefs erlaube ich mir hier eine

solche Tabel le für briggische Logar i thmen, aus 16 Decimalen aus der am Ende von

W e s t p h a l s L o g a r i t h m i s c h e n T a f e l n befindlithenHiilfstafel entlehnt, beizufügen. Den

Gebrauch derselben lernt man aus (§ . 42.) Die Berechnung einer solchen Tabel le , s o

wohl für briggische als auch für natürliche Logar i thmen, hat übrigens keine grofse

Schwierigkeit . D i e Logarithmen der ersten 36 Zahlen derselben findet man schon in

den Calletschcn Tafeln. D i e Logarithmen der übrigen Zahlen, von 1,0001 an, lassen

sich am bequemsten vermittelst der Formel l o g ( l + x . l 0 — o ) = M x . l 0 ~ 2 n 5 i5* . lO - 2

^ - ^ * ' * 0 — etc. berechnen , wozu man sich einer zu diesem Behufe berechneten

Tabel le der Wer the von M x , ^ , ^ * , etc. für 1, 2 , 3 , . . . . bis 9 bedienen

kann.

Page 93: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

log hrig x

i 0 , 0 0 0 0 0 ooooo ooooo o

b o , 3 0 1 0 2 9 g ( j j 6 6 3 9 8 1 2

0 , 4 7 7 1 2 12547 4

0 , 6 0 2 0 D g g g i 3 27962 4

0 , 6 9 8 9 7 ooo43 36o i8 8 j6 o , 7 7 S i 5 i 2 5 o 3 83643 6

!7 0 , 8 4 5 0 9 8o4oo i 4 2 5 6 8 'S .o,gooo8 99869 g i g 4 5 6

|9|0 ,95424 a5og4 3g3a4 9

log brig i ,x log brig 1 ,0x

o,o4i5g 26861 58225 ojo,oo432 10737 82642 6 0,07918 12460 47694 80,00860 0 1 7 1 7 6 1 9 1 7 6 o , n 5 9 4 5 3 5 2 5 o6856 8lo,01285 72247 0 6 1 7 2 2

o , i 4 6 i 2 8 0 5 5 6 7 8 2 0 8 ojo ,01705 5 5 3 g 2 98780 4

0,f7609 12690 5568i 2 0 , 0 2 1 1 8 929go 6gg58 1

0,204 11 99826 55ga4 8jo,o253o 58652 6 4 7 7 0 2

o ,25o44 8 g 2 i 5 78273 g 0,26627 2.5o5i o55o6 1 0,27875 56oog 52829 0

o ,o2g58 3 7 7 7 6 852og 6

o ,o5542 5 7 5 5 4 86g4g 7

o , o 5 7 4 2 64979 4o025 6

log brig 1,00x

o,ooo43 40774 7 g 3 i 8 6

0,00086 7 7 2 1 6 6 1 2 2 6 ()

o ,ooi5o og33o 2o4i8 1

0,00170 3 7 1 2 8 09000 5 0,00216 60617 565o7 7

0,00269 79807 1990S 6 6

o , 0 0 j o 2 94700 55<ii8 0

o,oo546 o 5 j 2 i og5o6 5 S o,oo58g 1 1 6 6 2 56g io 5

- | :

/ 1

l o g b r i g r , o o o x l o g b r i g i , o o o o x l o g b r i g i , o o o o o x l o g b r i g i , o o o o o * o x

o,oooo4 5 4 2 7 2 76862 70,00000 43429 25io4 5

0,00008 (i85o2 n 6 4 g 0 0,00000 86858 02780 5

o ,ooo i5 02688 06227 1

0,00017 5683o 58464 9

0,00021 70929 72200 2

6p),00026 04986 47090 5

o,ooo5o 58997 8 4 8 1 2 5 '>,ooo34 72966 85565 5 »,ooo39 06892 4ggto 1

0,00000 04342 9 { 2 6 4 8 0,00000 00454 2 9 i 4 6 6 1

0,00000 o8685 88og5 2

0,00001 5o2.86 59028 5|o,ooooo 10028 8 i 4 g i 4

0,00001 70714 5 i 8 4 g 8 o , o o o o o 1 7 0 7 1 74455 5

0,00002 i 7 i 4 i 8i2.45 2

0,00002 6o568 8 7 2 1 6 4

0,00000 00868 68887 7 2

0,00000 oi5o2 88525 0

0,0000001757 1 7 7 0 8 0

0,00000 2 1 7 1 4 66980 9' 0,00000 0 2 1 7 1 4 7 1 8 6 7

0,00000 26067 5 g o 7 4 2| 0,00000 o26o5 7 6 6 1 1 0

0,00000 o5o4o o6o3o 9'7

0,00000 o5474 55446 5

o,oooo3 o3gg5 49761 4 p , ooooo oo4oo 00755 2

0,00000 47421 68884 00,00000 5474^> /,1957 9

o ,oooo3go847 44o84 2|0,00000 09086 5 2 7 4 8 3j 0,00000 o3go8 64867 8 9

l ogbr ig i , o o o o o o o x | log brig i ,ooooooooxjViel facbedesMo(lulusjYiel fache von ] .nat 1 0

0 , 0 0 0 0 0 ooo43 4 2 g 4 4 8

0 ,00000 00086 8588g 6

0,00000 ooi3o 28854 3

0 ,00000 0 0 j 7 3 7 1 7 7 8 9

0 ,00000 00217 1 4 7 2 3 6

0 ,00000 0 0 2 6 0 O 7 6 6 8 1

0 ,00000 oo5o4 00612 7

0 , 2 0 0 0 0 oo547 4^557 2

0 , 0 0 0 0 0 oo3go 865oi 6

o ;ooooo oooo4 3 4 3 g i 5Jo,4542g 4 4 8 i g o 3 2 5 i 8

0,00000 00008 6858g 0 o,86858 8g638 o65o5 7

0,00000 00010 02883 4|*,30288 54457 09700 5

2,3o258 5og2g g4o45 7

4 ,6o5i7 o i85g 88ogi 4

6,90775 5278g S 2 1 5 7 1

0,00000 00017 3 7 1 7 7 g|i ,75717 79276' i3oo7 5| g , 2 io34 0 3 7 1 9 7 6 1 8 2 7 4

0,00000 00021 7 1 4 7 2 4 2 , 1 7 1 4 7 a4og5 i 6 2 5 g 1

0,00000 00026 06766 g 2 , 6 o 5 - 6 68gi4 i g 5 n 0

0,00000 ooo3o 4oo6i 4 3 , o 4 o o 6 1 0 7 3 3 22762 8

0,00000 ooo54 74555 8 5,47455 585o2 26014 6

0,00000 ooo3g o865o 3,3,go865 0 5 3 7 1 29266 4

u , 5 i 2 g 2 5 4 6 4 9 7 0 2 2 8 4 0

i 5 , 8 i 5 5 i 0 5 5 7 9 6 4 2 7 4 1 6 i 6 , i 1809 565o9 585ig 7 7

18,42068 07459 52565 5 8 20,72526 5 8 3 6 g 4 6 4 i i a g

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§. S6. TIm den Gebrauch dcr obigen Tabelle mit der Sharpschcn zu vergleichen,

folgt hier die Übersicht der Berechnung zweier bereits (§ . 77 , 79.) vorgekommenen

Exempel .

E x e m p e l L Den Logarithmen der Zahl *r = 3,14159 26535 89793 238 zu finden.

Multiplicanden. 3 , i4 i5o, 26535 89793 238

9,4^477 79C07 69379 7 i 4 9,99026 46584 i 5 5 4 i 497 9,99925 58765 9 0 1 1 6 485 9>9999 5 5 8 2 4 5 0 1 6 7 7 793

9*99999 5 8 ' 2 ^ 2 / * 7 6 5 799 9*99999 9 8 ^ 5 " ° 9 5 5 l 9 9*99999 9 9 ^ 5 7 7 a

9*99999 999^5 a 3 o 9 3 242

Multiplicatoren. 5 x,06 1,0009 1,00007 1,00000 4 1,00000 o4 1,00000 001 1,00000 0007 i ,ooouo ooo56 76906 7

Logarithmen. 0,47712 1 2 5 4 7 19662 4 o ,o253o 58652 64770 2 0,00039 06892 49910 1 o,oooo3 03995 49761 4 0,00000 1 7 j 7 1 7 ^ 4 5 3 3 0,00000 0 1 7 3 7 1 7 7 5 8 0 0,00000 ooo45 42944 8 0,00000 ooo5o 4oo6i 4 0,00000 00024 6 5 4 4 o 5 o,5oa85 o i 9 . g 5 24870 9

Folglich log TT = 0,49714 98726 g 4 i 3 3 4

E x em p e l II. Man suchtdie zu dem briggischen Logarithmen 0,35895 60839 36766 1

gehörige ZabI.

Logarithmen. Zahlen. 0,35895 6o83g 36766 1

o , 3oio2 9 9 9 0 6 6 3 9 8 1 1

o ,o4i59 2685i 58u25 0

o ,o i283 72247 0 0 1 7 2 2

o,oo346 o 5 3 2 i 09506 5

0,35872 o 4 3 7 6 56884, 9

0,00025 564Ö2 99881 2

o,oooai 70929 72250 2

0,00001 70714 3 i 8 4 g 8

0,00000 o8685 88095 2

0,00000 o3o4o o6o3o 9

1>1 i ,o5 1,008

i ,ooo5 i ,oooo4 1,00000 2

1,00000 07

0,00000 00086 85889 6 1,00000 002

o,ooo23 56456 84095 7

0,00000 00006 1O785 5 i , o o o o o oooi4 17898 5

Multiplicanden. Multiplicatoren. 1,00000 00014 17896 5 1 , 0 0 0 0 0 002

200 00000 0 j,00000 oo2i4 17898 5 i , o o o o o 07

7000 oooi5 0 1,00000 07a14 J 7 9 i 3 5 r ,ooooo a

20000 o i 4 4 2 8 1,00000 2 7 2 1 4 1 9 3 5 6 5 r , o o o o 4

4 0 0 0 0 T o8856 8 i,oooo4 2 7 2 1 5 2 8 2 1 5 1 i,ooo5

5o oo2i5 60764 1 j i ,ooo54 27428 88977 2| 1 ,008

800 4 5 4 1 9 4 3 i i 1 8 r,oo854 70848 53089 0 i , o 3

3o25 6 4 i 2 5 44962 7 i ,o588o 54973 77061 7

io388 o54g7 377öS 2 1 , 14268 5 8 4 7 t i 4 7 5 7 9

i 2 ,28556 76942 2 9 5 1 0 8

Also dic gesuchte Zahl = 2,2S536 70942 29513 8.

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, j . Dafs in rlem ersten E x e m p e l l o g b r i g 1,00000 00056 76907 = 0,00000 00024 05449 3

durch die MultipHcation von 0,00000 00056 76907 mit dem M o d u l u s , und in dein 2ten

die zu dem briggischen Logarithmen 0,00000 00006 157S5 5 gehörige Zahl = 1,00000

00014 17898 5 durch die Multiplication desselben mit log nat 10 gefunden, und dazu

die beiden Täfelchen der Vielfachen von M und log nat 10 gebraucht worden, bedarf

wohI kaum einer Erinnerung.

§. 87. D a der binomische Lehrsatz und dic Logarithmen mit besondern Xutzen

in der Lehre von der Rentenrechnung gebraucht werden k ö n n e n , so wird es nicht

unzweckmäfsig sein, diesen Gegenstand hier zum Beschlüsse dieser Vorlesung mit ei

niger Umständlichkeit abzuhandeln.

Unter R e n t e versteht man jede Geldeinnahme, die nach bestimmten gleichen

Zwischenzeiten erhoben wird. Sie ist eine jähr l i che , halbjährliche, vierteljährliche,

monatliche etc. R e n t e , j e nachdem sie alle Jahr , alle halbe , alle Vierteljahr oder

monatlich bezahlt wird. W i r d sie auf eine bestimmte Zeit von Terminen bezahlt, so

heifst sie eine Z e i t r e n t e . Hängt ihre Auszahlung aber von der Lebensdauer einer

oder m e h r e r e r P e r s o n e n a b , s o w i r d sie eine L e i b r e n t e oder L e b e n s r e n t e genannt.

E inKapi ta l , dessen e in jährigerZins derEinhe i t gleich ist, wollen w i r m i t T e t e n s

das G r u n d k a p i t a l schlechtweg, oder auch das G r u n d k a p i t a l d e s j ä h r l i c h e n ,

h a l b j ä h r l i c h e n e t c . Z i n s e s a , nennen , wenn dasselbe jährlich, halbjährlich, etc.

den Zins a einträgt.

Eben so soll die mit dem Jahreszinse angewachsene Einheit der Z i n s f u f s hei-

fsen. So ist z. B . , wenn 3 , 4 oder 5 Procent Zinsen gezahlt w e r d e n , das respective

Grundkapital 3 3 f , 2 5 , 20 , und der respective Zinsfufs 1,03; 1,04; 1,05.

§. 88. D i c G r ö f s e e i n e s , m e h r e r e J a h r e h i n d u r c h d u r c h d i e a l l j ä h r -

I i c h z t i m K a p i t a l e h i n z u g e f ü g t e n Z i n s e n , a n g e w a c h s e n e n K a p i t a l s i s t

g l e i c h d e m P r o d u c t e a u s d e m a n f ä n g l i c h e n K a p i t a l e m u l t i p l i c i r t m i t

c i n e r P o l c n z d e s Z i n s fu f s e s , d e r e n E x p o n e n t d e r Z a h 1 d e r J a h r e g 1 c i c h

Page 96: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

i s t , oder wenn l + w dcr Z ins fufs , so ist A . { l ^ - w ) " der W e r t h des anfänglichen

Kapitals A nach n Jahren. '

l ) ie verschiedenen W e r t h e A , A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , etc. des Kapitals im Anfange,

nach e inem, z w e i , d re i , etc., Jahren , bilden nämlich eine geometrische Re ihe , in

welcher jedes Glied sich zu dem nächstfolgenden verhält, wie 1 zum Zinsfufse 1 + u>,

oder in welcher jedes Glied aus dem nächstvorhergehenden entsteht, indem man das

selbe mit 1 + u iiiultipnxirt, so dafs A 1 — (1 + ») A , A 2 =• (1 + w) A 1 = (1 + w ) 2 A ,

A^ = (1 + U1) A 2 = (1 + u>f A , und allgemein A n = (1 + « ) " A.

W i e man A n mit Hülfe des binomischen Lehrsatzes berechnet , ist schon (§ . 53.)

an einigen Beispielen gezeigt werden.

V e r n 1 i t t e l t d e r L 0 g a r i t h m e n findetn1andenWerthv0nA,,, wenn man den Logarith

men von 1 + w mit n multiplicirt, und dazu den Logarithmen von A addirt. Man er

hält alsdann log A n , wozu die Zahl A n aus den Tafeln gefunden wird.

Bequemer aber ist e s , wenn man viele dergleichen Rechnungen zu machen hat,

sich einer Tabe l l e , wie der am Ende dieser Vorlesung abgedruckten Tabelle (A) zu

bedienen. Das Verfahren dabei bedarf kaum einer Erläuterung. Soll man z. B. den

Werth eines Kapitals von 15000 Rfthcl nach 19 Jahren berechnen , wenn die Zinsen

mit 4 Procent zum Kapitale geschlagen werden , so darf man nur die in der Tabelle

beim 19tenJabre unter 4 Procent stehende Zahl 2,106S4 91760 durch 15000 muJtiplici-

ren. Man erhält alsdann 31602,7376 Rubel oder 31602 Rubel 74 Kopeken .

§. A9. W e i l A n = (1 4- « ) " A , so ist A = A n . ^ — n = A n ( 1 + * ) ~ n oder d e r (1 -[- u)

g c g e n w ä r t i g e W e r t h e i n e s n a c h m e h r e r e n . T a h r e n z a h l b a r e n K a p i l a l s

i s t g l e i c h , d e m z u z a h l e n d c n K a p i t a l e d u r c h e i n e P o t e n z d e s Z i n s f n f s e s ,

d e s s e n E x p o n e n t d e r Z a h l d e r J a h r e g l e i c h i s t , d i v i d i r r .

Die S u m m e , A n in V verwandeln , heifst sie auf n Jahre z u r ü e k d i s e o n -

t i r c n .

Beispiele von der Berechnung dieser Au fgabe , vermittelst des binomischen Lehr

satzes findet man (§ . 53.)

Page 97: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

4 A u2

A nach einem Jahre um grö fser , als wenn er alljährlich gezahlt wurde. Bei 5 . i - T T 1 • j A . 0 , 0 5 * A Procent betra&t dieser Unterschied — — 7 7 ^ . ^ 4 1600

Wächst das Kapital A alle TertiaI in dem Verhältnifs 1 zu SO verwandelt • 3 2 3

<vs sich nach einem Jahre in (1 + - ) A = (1 + u + 5 + ^ ) A . 0 • 3 27

Überhaupt wird ein Kapital A , welches am Ende eines jeden ZcittheiIs, deren 111

unter sich gleiche ein Jahr ausmachen, in dem Verhältnisse 1 zu 1 + - zunimmt, am 0 m

u> m

Ende des Jahres auf (1 + ^ ) A angewachsen sein. Dieser Werth ist, wie w i r ($ .6 ( ) . )

gesehen haben,

= 1 + . + ( 1 _ i ) . » + (,_i)(, _ 2 ) . 5 + ( . ,_I ) ( , _ i ) ( , _ 2 ) . 4 . , _ f t 0 „

nimmt z u , wenn m gröfser w i r d , und nähert sich immer mehr dem Werthe von

1 4- » 4- H - + »\ 4" c t c - — C Ü ) ' o n n c l l i n j edoch zu erreichen. W i e grofs al

so auch die Zahl m ch?r in einem Jahre enthaltenen Zahlungstermine sein mag, so be

trägt der Zins am E n d e d e s Zahrcs doch nicht völlig « w c ~f" w c P t c > ° ( l c r nicht völlig so

viel, als ob d ieZinsen alljährlich nach demZins fu f see " gezahlt würden. Dieser Zinsfufs e w

10

Der Gebrauch der Logarithmen zu diesem Z w e c k e ist in der Gleichung log

A n = log A — n log (1 + m) enthalten*

Hie am Ende der Vorlesung in dieser Absicht mitgctheilte TabefJe ist: aber am

bequemsten. So erhält man z. ß . den gegenwärtigen W e r t h eines nach 19 Jahren

zahlbaren Kapitals von 15000 Rube l , wenn 4 Procent Z i n s e s - Z i n s e n gerechnet w e r

den , — 15000 X 0,47464 24240 = 7119 Rubel 63,0 Kopeken .

§. 90. W e r d e n die Zinsen eines Kapitals statt jährlich alle halbe Jahre gezahlt,

und können sogleich wieder untergebracht werden, so bekömmt dcr Gläubiger auf die

W e i s e offenbar mehr Zinsen uls im ersten Falle. Ist nämlich der Zinsfufs 1 + « , al

so der jährliche Zins für die Einheit w, und dcr halbjährliche = ^ , s o v e r w a n d e l t sich

die Einheit nach einem halben Jahre in 1 + ^ » und wird am Ende des 2ten kalben

Jahres (1 + ^) — * + w + I * * s t a ^ S 0 ' n diesem Falle der Zins des Kapitals

Page 98: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

J4 > Erste Vorlesung. Uber Verhältnisse,

ist übrigens nur um sehr weniges von dem Zinsfufse 1 + « , nämlich um 4~ w c + w c ~r C I C -

verschieden. Ist z. B. » — 0,05, so beträgt dieser Unterschied nur 0,00127 II . . . .

§ . .91 . W e n n die Hälfte der j ä h r l i c h e n Zinsen halbjährlich e ingenommen, und

sogleich wieder zum Kapitale geschlagen w i r d , so ist der W e r t h eines Kapitals A

nach n Jahren , wcnn dcr Zinsfufs 1 + » , ( l + V " A = [(l + ^ ] " A = ( l + w + ^ 2 ) " A , J* 2t 4 -

aIso eben so grofs als wenn d i e Z i n s e n jährlich, nach demZins fu fse 1 + w + ^ , g e -4

zahlt würden. Eben so wird ein Kapital A in n Jahren, d i e Z i n s e n a l l e T e r t i a l , oder w Zn w 4 n

alleQuartal ausgezahlt, r c s p . . z u ( l + - ) A oder ( l + y ) A , f o l g l i c h e b e n s o a n w a c h s e n ,

als wenn derZinsfufs ( l + g ) 3 = 1 + » + ^ + ^ , oder ( 1 + ^ ) 4 = 1 + » + | » a + l w3 + ^ 4 ,

wäre. Überhaupt w i r d , w e n n , bei dem Zinsfufse l + w , die Zinsen in m gleich weit

von einander abstehenden Terminen alljährlich gezahlt w e r d e n , so dafs auf jeden

T e r m i n - , als Zins für die Einheit kömmt , der W e r t h des Kapitals A nach n Jahren m

m m n co ^ (1_] ) A oder [ ( 1 ^ ) j A , folglich eben so grofs se in , als würden die Zinsen v • m m

r » . f U m

am Ende eines ieden Jahres nach dem Zinsfufse ( 1 A ) I U

= 1 4- « + ( i _ l ) ^ + ( i _ l ) ( t _ 2 . ) ^ + e i C t gezahlt. m c in in c 1 n

Diese Zahl ist um so grÖfser, j e gröfser die Menge der Jahrestcrmine m ist,

und nähert sich immer mehr dem W e r t h e der unendlichen l le ihe

1 w u* _ j - a?c 4- 4" etc. = " e w , w o e die Basis der natürlichen Logarithmen

bedeutet, welche (§ . 62.) = 2,71828 18284 59045 * . . ist. ~* '

Auf die W e i s e würde ein Kapital , welches in j edem unendlich kleinen Zeitthci l -\

chen , — Jahr, in dem Verhältnisse 1 zu 1 + — anwächst, in mehreren Jahren so zu -m ' in

n e h m e n , als ob es alljährlich in dem Verhältnisse 1 : e w oder nach dem Zinsfufse e w

anwüchse , wie bereits im vorigen §. bemerkt worden.

§. 92. A u f g a b e . D e n Zins eines Kapitals A zu best immen, der in j edem nten

Page 99: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Proport ionen, Potenzen und Logarithmen. - ' 7 5

Theil des Jahres bezahlt werden mufs, damit, wenn dieser Zins jedesmal wieder zum

Kapital geschlagen w i r d , der jährliche Zinsfufs 1 + u sei

Ks sei dcr gesuchte Zins = x , so wird die Einheit nach 1, 2, 3, 4, etc. ntel Jahr auf x x ^ x 5

1 + ( 1 4- —) , ( 1 + , c tc . und folglich nach n solschen Thei len oder nach einem

Jahre zu (1 + ^ ) angewachsen sein. Setzt man nun ( ' 1 + ^ ) — * + « 5 S 0 erhält i__

man x = A (1 *>)" — A .

So findet man, weil nach der Berechnung von (§ .81 . ) 1,06 T** = 1,00015 9653 ,

dafs der tägliche Zins eines Kapitals von 100000 Rube l , 15 Rubel 69,5 Kopeken b e

trägt. Würden statt dessen täglich — ^ . 1 0 0 0 0 0 = 1 6 Rubel 43,9 Kopeken gezahlt, so

wäre dies ebcn so gut , als ob man das Kapital nach einem jährlichen Zinsfufse von ,„ , ( ) , ( )C,3o5 . , n n r . 1 ^ 0,0036 1 2 0,000216 .

^ + 3 6 ^ ^ ^ ^ + ^ - 3 ^ - + ^ " ^ - 3 6 5 ) ^ ^ + e l c . .

also ungefähr zu 6,18 Procent verzinsete.

§. 93. W i r haben so eben gesehen, dafs ein Kapital A in dem nten Thei le eines jL_

Jahres , bei dem Zinsfufse 1 + w , auf A ( 1 + *>)", und allgemein in ni solchen Theilen m

des Jahres auf A ( t + a ) " anwächst , vorausgesetzt , dafs die Zinsen für jedos ntel

Jahr wieder zum Kapitale hinzugefügt werden. D'iefs gilt übrigens für alle beliebige

ganze Zahlen n und m, wie grofs dieselben auch sein mögen, so dafs allgemein der Werth

eines Kapitals A naeh t Jahren, t mag cine ganze oder gebrochene Zahl sein, bei dem

Zinsfufse l + . w zu A ( I + •»)* anwachsen wird . Daraus folgt denn auch umgekehrt,

dafs der gegenwärtige W e r t h eines Kapitals A nach t Jahrcn zahlbar , A (1 w ) - " 1

A oder r r ^ — ; t sein mufs.

( 1 m)

In dcn öffentlichen Leihbanken pflegt m a n , wenn die Zinsen alljährlich zu Kapi

tal gerechnet w e r d e n , dic Z insen , für kleinere Zeiträume als das Jahr , an f f o lgende

W e i s e zu berechnen. Das Jahr wird zu 360 T a g e , jeder Monat zn 30 T a g e ange

nommen. Um nun den Wcrt l i eines Bankbillets nach n Jahrcn r Tagen zu bestim

m e n , kömmt es darauf a n , ob r > oder nicht > 180 T a g e . Tm ersten Falle werden

Page 100: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Ii Erste Vorlesung. Uber Verhältnisse,

zu d e m W e r t h e e inesKapi taIsA,be i dem Z i n s f u f s c l + w , nach nJahren = A ( l + « ) a , n o c n die

Zinsen von A (1' + » ) " für r T a g e = A ( t + eu)". hinzugefügt, s a d a f s der W e r t h

des Kapitals A nach n Jahren r Tagen = A ( I 4- u)n ( l + . rJ- I-St nicht > 1SO

pitals nach n Jahren r Tagen = A( I + » ) " " ' . ( l + l f t " ) = A (1 + wf+A{i+w)n-1. ^

Für n= 0 ist der fetzte Theil = o, und die F3ank giebt gegen Einlieferung des BanR-billets hlofs das Kapital A ohne Zinsen zurück.

So erhielt man, für ein Kommerzbank-BiIlet von 5000 Rubel vom 7. Februar 1823, am*2. April 1828, w.o. noch 5 Procerrt gezahlt wurden, aus der Rank 6427 Rbl. 82.Kp. Die Zeit vom 7. Februar 1823 bis 2. April 1828 ist nämlich 5 Jahre 2 Monate weniger 5 T a g e oder5 Jalrre 55 Tage. \ u n ist Tab. (A) dcr Werthdes Kapitals von 5000 Rbl. nach 4 Jahren zu 5 Procenl = 0077 Rubel 53r Kopeken. Dazu den Zins von 300 4-

415 55 = 415 Tagen,. welcher 6077,5a Rubel X • = 350 Rubel 30Kopekcn beträgt, addirt, erhält mau C427 Rubel 83 Kopeken als den Werth de* JJankbrllets am 2ten April 1828.

Ein anderes Bankbillet von 1000-Rubelvom 7.April 1823 wurde am 2ren April 1828 mit 1275 Rubel 43 Kopeken eingelöset. Das Alter dieses BilleKs war nämlich 5 Jahre weniger 5 T a g e oder 4 Jahre 355 Tage,, der Werth des Kapitals von 1000 Rubel nach 4 Jahren ist 1000.1,054 = 1215 Rubel 50 K o p e k e n . Dazu dieZinsen von 355 Tagen = 1215,50.^ = 59 Rubel 93 K o p e k e n ^ erhält man 1275 Rbl. 43 Kop.

Berechnet man diese beiden BHlete nach der für den Werth eines Kapitals A nach t Jahren gegebenen Formel A(I + »)1, und nimmt jedes Jahr zu 365 a n , so dafs man den 29sten Februar im Schaltjahr nicht achUet, so ist der W e r t h des lsten Billets 5000.1,05;>+*,ffS und des 2ten = 1000.1,05' 44_160 ,i305 Berechnet man diese bei-

Page 101: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

0,10913 94036.

Dic dazu gehörige Zahl 1,2857fr mit

5000 multiplicirt, erhält man 6428 R. 50 K.

F ü r s z w e i t e B a n k b i 11 e t.

5 log 1,05 = 0,10594 64955"

— / T l o g 1,05 = 0,00029 02644

0,10565 6231T.

Die dazu gehörige Zahl 1,275427 mit

1000 multiplicirt, giebt 1275 BbI. 42,7 K p .

Aus diesen be idenBeisp ie len ersieht m a n , was sich auch v o r a u s s e h e n l i e f s , dafs

eine L e i h b a n k , wenn sie nach d e n o b e n vorausgesetzten P r i n e i p d i e Zinsen bezahlt,

gewinnt, wenn in der Zeit von n Jahren r Tagen r < 1S0; hingegen verl iert , wenn

r > 180 und zwar um so mehr, j e kleiner der Unterschied von r und 180.

§ . 9 4 . D a f s e i n Kapita l , dessen Zinsen beständig wieder in Kapital verwandelt

w e r d e n , während die Zeit gleichförmig fortschreitet irt geometrischer Progression zu

nimmt und mit stet* wachsender Geschwindigkeit zu einer verhältniismäfsig bedeuten

den Summe anwächst, davon überz-cugt schon crn Blick auf Tabel le (A) a m E n d e die*

ser Vorlesung. Indefs bleibt diese Summe doch noch immer im Verhältnisse mit dem

anfänglichen Kapitale sehr beschränkt , so lange die Zeit nicht über die gröfste

menschliche Lebensdauer hinaiisreicht. Allein diese Grenze einmal überschritten,

kann das Kapital zu einer, alle Vorstellung übersteigbaren, Gröfse anwachsen. Fo lgen

de Beispiele , die zugleich zur Ubung im Bechnen dienen kÖnnen, werden in dieser

Hinsicht vielleicht nicht unwillkommen sein.. * ••>»

E*xcmr>el I. W i e lange mufs ehr Kapital zu 5 Procent Zinsen auf Zinsen aus

stehen, damit es 900 mal gröfser wird. Aus der Formel (1 + » ) r ==r s f o l g t t l o g (1 + *

log s. Fo lg l i ch , weil 1 + w = 1,05, s = 900,, t l og 1,05 = tog 900 , ist t =

l o g 0 0 0 2,9542425 - o f t i m T , -

KFHBS = <ÖB«äB = 1 3 9 , 4 2 J a l , t '

Eine Mill ion Pfund Sterling würde demnach in 140 Jahren zu einer Summe von

den Werthe mit Hülfe dcr gewöhnlichen Logar i thmen, so erhält m a n , weil log 1,05

— 0,02118 92991.

F ü r s e r s t e B a n k b i l l e t .

5 log 1,05 = 0,10594 04955

I i log 1,05 — 0,00319 29081

Page 102: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

7S E r s t e V o r l e s u n g . Ü b e r V e r h ä l t n i s s e ,

000 Millionen Pf. St. anwachsen, einer Summe, welcher die englische Staatsschuld be

reits sehr nahe ist.

E x e m p e l II . In wie viel Zeit wird ein russischer Imperial zu 5 ProcentZ insen

auf Zinsen zu einer solchen Summe anwachsen , dafs das Volumen der dazu erfor

derlichen Masse reines G o l d , das Volumen unserer Erdkugel übertrifft?

Hetrachten wir die Erde als eine K u g e l , so i s t , wenn * die Verhältnifs

zahl des Kreisumfanges zum Durchmesser , r den Halbmesser , D den Durch

messer und P den Meridian der Erdkugel bedeutet , das Volumen derselben —

4 f f r

3

= = — 2 . D a nun der vierte Thei l des Erdmcridians zehn Millionen 3 6 6 Tt

6 P 3 G4000.10 1 8

M e t r e s h a l t , a l s o P = 40.10 Metres, und * -3 ,1415 .92G5 etc. ist, so ist — = — — 0 JT O *

> 1080 .10 1 8 und < 1081 . 1 0 1 8 Kubikmetres.

Nun wird aber bekanntlich das absolute Gewicht des Würfe ls des hunderten

Theils des Metre des destiIirteii W a s s e r in seiner gröfsten Dichtigkeit ein G r a m m e 5?

genannt, dafs also ein Kubikmetre solches W a s s e r 100 oder eine Mill ion Grammen

— 1000 Kilogrammen wiegt . D a nun das speclfische Gewicht des Goldes 19,258 ist,

so wird da» Gewicht eines Kubikmetre GoId — 19258 K i l ogran imense in .

Es enthalten aber n a c h N e l k e n b r e c h e r 1 9 / j I m p e r i a l e n c i n e k ö J n i s e h e M a r k fein

G o l d , und weil ein Ki logramme ungefähr 4 T9

ä köln. Mark ausmacht, so ist der

W e r t h eines Ki logrammes fein GoId ungefähr 84 Imperialen. Aus einem Kubikmetre

reines GoId können demnach 19258 X 84 oder 1G17G72 Imperialen geprägt werden.

Da nun das Volumen der Erdkugel < 1081 Tril l ionen Kubikmetres und 1 0 S l X 1 6 1 7 6 7 2

= 174S 703432 < 1749 Mi l l ionen, so ist eine Masse GoId von diesem Volumen zu

1749 QuatrillionenImperialen noch nicht zureichend. Setzt man aber 1,05* = 1749.10 2 ^, i n . 24 + l og1749 27,2427898 a n o K so erhalt man t — — ' b = r — — 1285.

l og l , ( )5 0,0211893

Ein Imperial würde demnach zu 5 Procent Zinsen auf Zinsen in 1300 Jahren zu

einem solchen Kapitale anwachsen , dafs das Volumen des dazu erforderlichen reinen

Goldes gröfscr als das Volumen unserer Erdkugel sein würde.

Page 103: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

\

E x e m p e l III. Den W e r t h eines Kapitals von einem Imperial , die Zinsen zu 5

Procent alljährlich zu Kapital gemacht , nach 6500 Jahren zahlbar, zu berechnen.

Der Ausdruck für die Menge der Einheiten, wozu die Einheit in 6500 Jahren zu

5 Procent anwächst , ist 1 ,05 6 5 °° . D a n u n , wie bereits in dem 2ten Exempel gezeigt

worden , eine Kubikmetre reines GoId 1617672 Imperialen enthält, so ist das V o l u

men der Masse G o l d , w o z u der Imperial in 6500 Jahren zu 5 Procent anwächst ~

1 0 5 ^ 0 0

= ^ l . * . * A Kubikmetres. Verwandelt man diefs Volumen in eine K u g e I , oder setzt 1617672 ö ' 1 05^> 0 0 3

= 4 7cx . w o ff die bekannte Verhältnifszahl des Kreisumfanges zu sei-161 /6 /2 3 ' nein Durchmesser , und r den Iladius der Kugel bedeutet , so erhält man r = .1 3 . - _

Yi_ l , 0 5 6 5 o ° = Y 1,<>5 6 5 0 0* Xun ist log 1,05 — 0,02118 92990 7. '*r'-; ' 4**1017072. ' 2156896*

Also 65oo' log r,o5 — i57,73r>44 Zg

Compl. log 2 1 5 6 8 9 6 — 3,66617 °7

C'ompI. log <7i — 9,5o2'85 or 1 o 5 < i 5 o °

Daher log — - , , Q r — 150,899^6 47 0 217u09G7r

und log r — 43,633i5 49.

Demnach r = 4,29689 X l O 4 3 =• 4296S9. l O 3 8 Metres. Statt log 2156896 und log

n von 6500 log 1,05 zu subtrahiren, haben wir die logarithmischen Complemente der

beiden Zahlen 2156S96 und «• addirt; die Charakteristik der Summe 150, aber um

2 X 1 0 vermindert. Das logar i thmischeComplemcnt e inerZa l i l \ ist nämlich — 10 —

log \ . Es ist also einerlei, ob man c0n1pl. log N addirt oder log N subtraliirl, wenn

man nur nicht vergi fst , dic Charakteristik der Summe um 10 zn vermindern.

D a nun das Licht in ungefähr 493 Sekunden den eg von der Sonne bis zur

Erde, also etwa 152900 000000 Metres, und folglich in einer Sekunde weniger als 320

Millionen Metres durchläuft, so wird es in einem Jahre = 31 556929 Sekunden noch 4^9689.10^

nicht völlig 10000 13illionen Metres zurücklegen, also mehr als 1 ^ 0 — ° f , p r

4296,89 QuatriIIionen Jahre gebrauchen, um den Halbmesser der Kugel zu durchlau-

Page 104: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

- Erste Vorlesung. Über Verhältnisse,

laufen, welche dem Volumen der Masse G o l d , w o z u ein Imperial in 6500 Jahren zu

5 Procent Zinseszinsen anwächst , gleich ist. *

95 . D e r h a a r e W e r t h e i n e r Z e i t f e n t e m e h r e r e J a h r e h i n d u r c h am

E n d e j e d e s J a h r e s z a h l b a r , i s t g l e i c h d e m G r u n d k a p i t a l c d e r Z e i t r e n t e

(§. 8 7 . ) w e n i g e r d e m b a a r e n W e r t h e d . e s s e l b e n a.rnE.nde d e s l e t z t e n Z a h -

l u n g . s - J a h r e s z a h l b a r .

Indem sich nämlich der L Tnternehmer verpflichtet, dem Rentenirer n Jahre hin

durch am Ende jedes Jahres eine bestimmte Rente a auszuzahlen, giebt er ihm gleich

sam ein Kapital in die H ä n d e , das alljährlich den Zins a trägt, welches (§ . 87.) das

Grundkapital der Rente a genannt wurde. Dieses Kapital - , wenn 1 + w der Z t i i s -

fufs ist, mufs der Rentenirer, nachdem er n Jahre hindurch die Zinsen davou benutzt

hat , am Ende dieser Zeit dem Unternehmer zurückzahlen. Statt dessen 'kann er ihm a a 1

aber gleich den baaren ^\erfh v.ou - — - . — — ; — - n zurückzahJen, dafs er also eigent-° w u (M -f- a) n

a a 1 licli nur —r—\ n a i s das AouivaLent der n Jahre hindurch zahlbaren jährlichen

u .w (1 •f- u)) *• J

Rente a empfangen würde. ft R 1

<j. OC D a diese Summe • 7 T - I — n Jahre hindurch nut den Zinseszinsen

Ui W ( 1 ~f- U f )

(§. 88.) auf — * ^ ^ r ^ n ) (1 + * j " = 1 ( l + * ) n — ^ anwächst , so folgt daraus

zugleich der Satz :

D e r W e r t h e i n e r n J a h r e h i n d u r c h a l l j ä h r l i c h z u K a p i t a l g e m a c h t e n

S u m m e a , a m E n d e d e s n t e n J a h r e s , i s t g l c i c h d e m n J a h r e Ii i n d u r c h

m i t d e n Z i n s e s z i n s e n a n g e w a c h s e n e n G r u n d k a p i t a l e v o n a w e n i g e r

d e m a n f ä n g l i c h e n W c r t h c d i e s e s G r u n d k a p i t a l s .

§. 07. Zur Berechnung des Werthes einer Zeitrente , wenn der Zinsfufs 1 , 0 3 :

1 , 0 4 ; 1 , 0 5 oder 1 , 06 i s t , kann man sich der beiden Tabellen am Ende dieser V o r l e

sung bedienen.

E x e m p e l . Es sei der baare W e r t h einer Jahresrentc zon 1 0 0 0 Rubel bei deiu

Zinsfufse 1 , 04 am Eude jedes Jahres 1 5 Jahre hindurch zahlbar zu berechnen. Das

Page 105: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Proport ionen , Potenzen und Logarithmen, g '

Grundkapital von 1000 Rubel ist = 25000. Nach T a b . (B) ist der baare Werth

der Einheit , nach 15 Jahrcn zahlbar , — 0,55526 450. Diese Zahl mit 25000 muliF^

plicirt , erhält man den baarcn W e r t h des nach 15 Jahren zahlbaren Grundkapitals

von 25000 Rubel — 13881,612 R u b e l , welcher von 25000 Rubel abgezogen , den ver

langten haaren Werth einer Jahrcsrcnte von 1000 Rubel auf 15 Jahre = 11118 Rubel

30 K o p e k e n giebt.

Nach Tabel le (A) ist das mit den Zinseszinsen in 15 Jahren angewachsene Grund-• %

kapital = 25000. 1,80094 351 = 45023,587 Rubel. Davon das Grundkapital 25000

Rubel subtrahirt, erhält man dic Summe von 20023,587 R u b e l , welche man erspart

haben w i r d , wenn man 15 Jahre hindurch am Ende jedes Jahres 1000 Rubel auf Z in -

seszitisen zu 4 Procent unterbringt.

Multiplicirt man diese Zahl 20023,587 durch — 0,55526 450 , so erhält man 1 ,04 3

den baaren W e r t h derselben, wie oben = 11118,39.

§. 9S. W i r d dic n Jahre hindurch zahlbare Jahresrente statt am Ende jedes Jah

res im Anfange desselben gezahlt , so übersieht man leicht , dafs alsdann der Werth

einer solchen Rente in dem Verhältnisse 1 + u : 1 vergröfsert werden nmfs. So wür

de in dem vorigen Exempel der baare W e r t h einer 15 Jahre hindurch im Anfange

jedes Jahrcs zahlbaren Rente nicht 11118,39 Rubel sondern 1 1 1 1 8 , 3 9 X 1 , 0 4 = 11563,14

Rubel sein. Auf gleiche W e i s e würde man durch die 15 Jahre hindurch im

Anfange jedes Jahres eingenommene und auf Zinseszinscn untergebrachte Einnahme

von 1000 Rubel am Ende des 15ten Jahres eineSurnme v o n 2 0 0 2 3 , 5 9 X l , 0 4 = 20S24,43

Rubel erspart haben.

§. 99. I s t d i c R e n t e n i c h t g l e i c h a m E n d e d e s e r s t e n J a h r e s , s o n

d e r n z u m e r s t e n m a l e a m E n d e d e s n + l t e n J a h r c s m J a h r e h i n d u r c h

z a h l b a r , s o i s t d c r b a a r e W e r t h d e r s e l b e n g l e i c h d e m U n t e r s c h i e d e d e s

b a a r e n W e r t h e s d c s G r u n d k a p i t a 1 s d e r R e n t e ii a c h n J a h r e n z a h 1 b a r, w e n i-

g e r d e m b a a r c n W e r t h e d e s n a c h n + m J a h r e n z a h 1 b a r.e n G r u n d k a p i t a 1 s. 1L

Page 106: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

= * f demnach (1 + »)" ' = — u n d n log (1 + «) = log a — log (a — s « ) , fo lg -Jl c l — • S W ~

lich n = ^ g a - l o g _ ( _ a - s ^ ) l o g ( l + - )

Damit der W e r t h von n möglich se i , mufs sw < a oder der Jahreszins der

Käufsumme der Rente kleiner als die Rente se in , wei l sonst a — S w negativ und

l o g ( a — s a ) unmöglich sein würde.

D i e obige Formel kann dienen, die Zeit zu berechnen , in welcher eine Schuld a

Es ist nämlich der baare W e r t h einer n + m Jahre hindurch am Ende jedes Jah-a a 1

res bei 1 4- u Zinsfufs zahlbaren Rente = — • n 4 - m . Subtrahirt man nun da-' u) w { l - j - w )

a a 1 von den baaren W e r t h der Rente a auf n Jahre — j r - . — r n , so erhält man

U) U) (l + w) - — — - 7 r 4 " " x n + m , . wie bewiesen w rerden sollte^ w ( l + w ) « ( 1 + «)

So findet man z. B. den baaren W e r t h einer jährl ichen Rente von 1 0 0 0 Rubel

für 1 0 aufeinander folgende Jahre> wenn der Zinsfufs 1 , 0 4 , und die Rente zum ersten

Male am Ende des zehnten Jahres gezahlt werden soll, auf folgende A r t : Das Grund

kapital von 1 0 0 0 Rubel ist = 2 5 0 0 0 Rubel . Der baare Werth dieses Kapitals nach 9

Jahren zahlbar = 2 5 0 0 0 X 0 , 7 0 2 5 8 6 7 4 Rubel =• 1 7 5 6 4 , 6 7 Rubel . D a v o n den baaren

W e r t h des Grundkapitals nach 1 9 Jahren zahlbar — 2 5 0 0 0 X 0 , 4 7 4 6 4 2 4 2 4 = 1 1 8 6 6 ab

g e z o g e n , erhält man 5 G 9 8 , 6 0 Rubel , als den: gesuchten Werth der obigen Jahresrente. a 1

S. 1 0 0 . Vermittelst der Gleichung (§.. 9 5 . ) s = - f 1 —~~-n) läfst sich auch die ('l^-uj)

Gröfse der Jahresrente a r wenn der baarc W e r t h derselben gegeben ist, berechnen,

. , S W

indem a = • n -^i^-u>)

Es sei z. B. s = 10000 R u b e l , « = ^ 0 , 0 4 , n = 2 0 , so erhält man Tabelle (R)

T T T — , « = T n A * > — M 5 6 3 8 6 9 5 und l - ^ J _ - = 0 , 5 4 3 6 1 3 0 5 , s w = 4 0 0 , fo lg-( l + w) 1 , 0 4 (I' + « / fe

lich a = ö&m = 735,82 RuM-§ . 1 0 1 . Aus s = - ( l - ^ . _ ^ ,n) folgt auch ~ = 1 — ^ - . n ^ und * - n = 1 — *LZ

5 w v {l^-u) ° a (l + w ) ( l + w ) a

Page 107: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

durch eine alljährlich gezahlte S u m m e , welche den Jahreszins der Schuld übertrifft,

getilgt werden kann. Es sei z. B. s = 400000 Ruhel eine Schuld, auf welche man

jährlich 25000 Rubel abbezahlt , so dafs der TJberschufs derselben über die jährlichen

Zinsen 20000 Rubel zu 5 Procent zur Ti lgung der Schuld gebraucht wird. In wie viel

Jahren wird die Schuld abgetragen sein?

„ . . I o g 2 5 0 0 0 - l o g 5 0 0 0 l o g 5 0,0989700 O A ™ v . - o i i Hier ist n = ^ f — - ^ 5 = .—%^rz --- ' . . • — 32,987. Nach 3 3 J a h -

l o g l , 0 5 l og1 ,0o 0,0211893

ren wird nämlich nicht nur die ganze Schuld abgetragen se in , sondern der Gläubiger

mufs dem Schuldner noch eine Summe zurückzahlen, die Avir jetzt bestimmen wollen.

Dcr Werth d e r 33 Jahre hindurch abgetragenen 25000 Rubel beträgt nämlich am E n

de dieser Z e i t ^ ^ . ( 1 0 , 5 3 3 — 1). V o n diesem den Werth der 400000 Rubel Schuld

0,Ut) nach derselben Zeit = 4 0 0 0 0 0 . 1 0 5 5 3 abgezogen , nIeibt nach 100000. l , 0 5 3 3 — 5 0 0 0 0 0 0

= 100000 ( l , ( ) 5 3 3 — 5 ) . = (Tabel le (A)) 100000.0,00318854 = 318 Rubel 85 Kopeken .

§. 102. V e r l a n g t d e r R e n t e n i r e r f ü r d i e s e l b e S u m m e s t a t t d e r j ä h r l i c h e n Rente a eine m t e l j ä h r l i c h e , s o m u f s d i e s e l b e , b e i d e m Z i n s f u f s e

I l + w , = ? ( ( l + „ ) m _ l ) s e i n .

W e i l nämlich die jährliche Rente a als der Jahreszins des Grundkapitals - , und U)

eben so die mtel jähr l i cheRente als der mtel jährl iche Z i n s , desselben KapitaIsbetrach-

tet werden k a n n ; das Kapital - aber in einem Jahre zu - ( l + - w ) - u n d folglich ( § . 9 2 . ) U U)

in einem mtel Jahr zu - ( l + w)"' anwächst , so mufs dcr mtcl jährliche Zins v o n W

X i — a a —

- oder die gesuchte mtel jährliche Rente = - ( l + « ) ' r o — " " " ( ( ^ + " ) ' " — 0 sein.

Ist z. B. der Zinsfufs 1,04, so kann statt der Jahresrente von 1000 Rube l , halb

jährlich nur ( 1 , 0 4 * - 1 ) = 4 9 5 , 1 , und vierteljährlich ( 1 , 0 4 * - l ) = 246,3 Rubel

verlangt werden. §. 103. I s t d e r W e r t h s e i n e r u n v e r ä n d e r l i c h e n J a h r e s r e n t e a b e -

Page 108: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

84" ' Erste Vorlesung. Über Verhältnisse,

k a n n t , s o f i n d e t m a n d a r a u s , h e i d e m Z i n s f u f s e 1 + w , d e n W e r t h e i n e r a s w

m t e l j ä h r i g e n R e n t e v o n — = - -m ( ( t + - w ) m — l )

a' L 1 W i r h a b e n s o e b e n g e s e h e n , dafsd ie mtel jährliche Rente — ( ( 1 + — 1 ) der Jah>

a' - \ a a<** resrente a 'äquivalentse i . I s t a l s o - ( ( l +»•)»» '—lJ = - , s a m u f s a ' = — x - sein*

m m ( ( l + u ) ^ - l )

D a nun der Werth zweier verschiedenen Jahresrenten, hei übrigens gleichen U m

ständen, sich wie die jährlichen Renten verhalten, oder s : s = a : a a so ist

m ( ( l + w ; m _ _ i ) » . - « . * ! '• • ' • '• --•

E x e m p e l . D e r baare W e r t h einer jährlichen Rente von 1 2 0 0 Rubel auf Io J a h

re be im Zinsfufse 1 , 0 4 ist 1 3 3 4 2 , 0 7 Rubel . Man soll den baaren W e r t h einer M o n a t s -'• •• . . . . i

Rente von 1 0 0 Rubel findcn..

Es ist log 1 , 0 4 = 0 , 0 1 7 0 3 3 3 , und log 1 , 0 4 = 0 , 0 0 1 4 1 9 4 also 1 , 0 4 ^ = 1 , 0 0 3 2 7 4

0 0 4 1 3 3 4 9 0 7 , n d s = 1 3 3 4 2 , 0 7 , ^ , ^ ^ = = 13584 Rul.cl.

' U § . . 1 0 4 . Setzt man, in der Gleichung s = s - - , m = OO , so wird

m ( ( l + w ) ' ~ ' — l ) ,

( § . 6 3 . ) s' = , * " , , ; oder, weil s = - ( 1 — r r ^ r n ) , s' = . ~ Diese v s ' I o g n a t ( l + «) w v ( l + w ) 7 ' I o g n a t ( l + w )

Summe miifste dcr Rentenirer d«m Unternehmer, bei dem Zinsfufse 1 + « , fijr cine

3ahrliche Rente a auf n Jahre zahlen, wenn er sich zugleich ausbedingen wollte,

dafs ihm in jedem Augenbl icke der Zwischenzeit der jährlichen Zahlung , auf V e r l a n

gen ein Thei.l der jährlichen Rente im Verhältnisse der Zeit ausgezahlt würde. E x e m p e l . Es sei die Jahrcsrente = 1 2 0 0 R u b e l , n = 1 5 Jahre , 1 = 1 , 0 4 y

' _ , 0 ™ 0 , 4 4 4 7 3 5 5

so ist s = 1 2 0 0 - ^ Ö 3 i Ö 2 ~ Ö 7 ~ 1 3 C 0 7 > 1 7 R u b e l ~

f. 1 0 5 . W e n n e i n e j ä h r l i c h e R e n t e a , s t a t t u n v e r ä n d e r l i c h z u s e i n ,

n J a h r e h i n d u r c h i n e i n e m g e o m e t r i s c h e n V e r h ä l t n i s s e 1 ; k z u o d e r

Page 109: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

a b n i m m t , s o i s t d e r b a a r c W e r t h d e r s e l b e n b e i d e m Z i n s f u f s e ! + •

s = r + v = ^ ^ - ( f - ^ ° < l c r £ = ^ ( ^ J n - O u e n a c h d c n » k < ' + «

0 d e r > 1 4~ a; i s t. v . , .. , a , ak a k 2 , a k 3 a k n — I

Ls ist namhch s = — f- T r n — - a •f- y ~ . — , 3 + — , n , oder 1 + w ( l + w ) ' ( 1 + » ) + ( ' l + » )

die Summe einer geometrischen Reihe von n Gliedern, deren erstes Glied — - — , und 1 - H Ut

r . k T

der Exponent des Verhältnisses ^ ^ •. Nun findet man aber bekanntlich die Summe

einer geometrischen R e i h e , indem man das gröfste Glied derselben mit dem E x p o n e n

ten des Verhältnisses multiplicirt oder dividirt, j e nachdem derselbe gröfser oder kle i

ner als 1, alsdann das kleinste Glied subtraliirt und den Rest durch den Exponenten

des Verhältnisses , wenn derselbe > 1, odev des umgekehrten, wenn er < 1 , weni -k a

gcr 1 dividirt. Es sei nun - - — < 1, so ist - — das gröfste G l i ed ; dieses mit 1 U) 1 CM "

k a n k " - " 1 J-L — — dividirt, erhält man r , davon das-kleinste ~ — ; — - n a b g e z o f f e n u n d d u r c h — v — — 1

1 + u ' k (1 + m) ° b k tlividirt, giebt

, a a k " — T . , f + » a k n s = < k - 7 T T ^ ) n ) : > - r + r = i • ( 1 ~ <n^>}-

Diese Summe ist aber , wie man leicht übersieht, gleich dem baaren Werthe ei -» T a 1

"ner unveränderlichen n Jahrehindurch zahlbarenJahresrente r beim Zinsfufse K k

k . a k " " " 1 k W e n n — r — > 1» so ist . — . — r _ das gröfste Gl ied ; dieses mit -—:—- muItipli-

1 4 ~ w ( 1 4 " w) i + w

a k " a k c irt , erhält man — r n + i ? davon das kleinste subtrahirt und durch -—• \ (1 4- w) 1 1 w 1 + o)

dividirt, ergiebt s i c h : . ak" a . . k . a fc Nn »

s = ( F H n + 1 *' ~ k=T=zQr+J Diese Summe ist der W e r t h einer unveränderlichen Rente g auf n Jahre am Ende des

fc nten Jahres nach dem Zinsfufse — — .

1 » § . 106. D e r b a a r e W e r t l i s e i n e r J a h r e s r e n t e a u f n J a h r e , d i e a m E n d e

Page 110: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

'<Vl

86 • J£rstc Vorlesung. Über Verhältnisse.

d e s e r s t e n J a h r e s m i t a z u z ä h l e n i s t u n d in j e d e m f o l g e n d e n J a h r e u m d

v e r m e h r t w i r d , i s t h e i d e m Z i n s f u f s e 1 + « , g l e i c h d e m h a a r e n W e r t h e e i n e r

u n v e r ä n d e r l i c h e J a h r e s r e n t e von a 4 ~ - a u f n J a h r e w e n i g e r d e m b a a r e n

W e r t h e v o n — n a c h n J a h r c n z a h l b a r . M>

„ . L •• i . , a . a^-d a-r-sd , a + 3cl . a^-(n — Ad Es ist namlich s = ^ 1 7 + r^T~\2 + t j _ \ 3 + H r ~ ^ + ~~ < •

* 4 ~ w \ 4 ~ r u ) { ' ~ r u ) ( ' 4 ~ W J C ' + » )

'' et 1 s , d , s , 3 _ j _ n ~ ~ 1 \ — - ( y — 7 1 — \ n ) ~f 7 j — \ 2 i ; + , — •2 • . • 4 - 7 ^ ; — , n - 2 y .

M ( ' + - " ) +

•2 • 3 , 4 . « — 1 *

Nun sci q —1 4 j ^ -—:—:2 4 - T T M • • • / , ^ n - a - a n ~ " ^ (i-^u>) ( ^ 4 ^ w J 0 ( * + w ) 2fl 2 . 4 6" a ( «— 2 ) Q(n—i)

so is t ~ j p T • | • x 2 — r , ~ x 3 • • • — p — x — , » — a — 7 — i — " - i * 4 - w 4 4 ~ w 4 ~ w ) \ 1 ~r u ) {i + ( ' 4 ~ " v

j V ! * _ i _ 2 ^ n — 3 71 — 2 U—4 u n d —,—-2 = 4 - rr_T~\2 ~ r v , " \ 3 • • • 4 " f t " V n — a 1 / — r ^ 1 1 - 1 + ? — t — \ n *

( / 4 - w ) • ( / 4 ~ W J l ' 4 " * v ( 4 " j U ~ r w )

7 2 , 7Z — /

Also q . f > 4 - - - a ) > — — x n - t +

1 / 4 ~ w ( y 4 ~ w ) ( / 4 ~ w )

(>+» ) 1

7 7 * , I n ~ 1 \ — t 4 + «\2 / * n<" und f/ = (• J . ( - > — 7 i ^ n - I 4 " 7—I \ n / — K ; * {' — / 1 — 7 ; — \ n ) .

J v w ( / 4 ~ w ) w ( ^ 4 ~ w ) ( * 4 ~ w ) .

1 r 1 — a r 1 \ i ^ / 1 n u > \ Folgl .ch . _ - ( , - ^ n ) + - 2 ( V - ( 7 ^ 7 ) " - ( 7 ^ j " )

= t ± i ( , H s ) - - • 7 T T i - •*» = f i±^ ~ - + ( " + ^ w ^ ( / + w ) Q / w ( ^ 4 - w ) a w • ( , 4 _ ^ ) 0 '

E x e m p e l . Es sei nach dem Zinsfufse 1,04 der baare W e r t h einer Jahresrente

auf 20 Jahre zu berechnen , die am Ende des ersten Jahres mit 1000 Rubel zu zahlen

ist , und jedes nachfolgende Jahr um 100 Rubel vermehrt wird. a 4- -

Es ist hier a = 1000, d = 100 , u = 0 ,04, n = 2 0 , also ' = = 87500 w 0,04

a H - ( n 4 - | ) d 5500 1 1 — i — = 0 ^ 4 = 1 3 7 5 0 0 > u n d w e i l T a b - ( B ) ( T + ^ ° = m w = ( ) ' 4 5 6 3 8 6 9 5 >

a 4 - 0 a + (n 4 - |) d { so ist — — ( T + 7 ) n ~ 8 7 5 0 0 — !3^500. 0,45638695 = g7500 ~

11.45638^695 _ 8 7 5 0 0 _ 6 2 7 5 3 , 2 1 = 24746 Rubel 79 Kopeken .

Page 111: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Tabelle ( A ) . Werth eines mehrere Jahrc hindurch mit den

Zinscszinsen angewaclrscncn Kapitals 1.

7 8

9

IO T I 12

•,i5

i4 i5

iG

i : l 7 !i8

|.. 20'

I 21 22 25 24 25

J pc. 4 pc. 5 pc. 6 pc.

,o3ooo ooOji,o4ooo ooo^ i,o5ooo ooo ,0G0900001,081G0000 i,ioa5oooo ,09272 700 ,ix55o 881 ,iD927 407

,i94o5 23o ,22987 5 8 7

,2GG77 008 ,5o477 ^ 1 ^ ,543gi 638

,58423 587 ,42576 089 ,46853 571 ,5i258 972

1,12486 4oo 1,16985 856 i,2i665 290

1,15762 5oo i,2i55o 62D r,27628 i56

r,2653i 902 1,34009 564 i,3i5f)3 178 1,407104^5 t,56856 9o5 i,47745 544 T ,4 2331 181 1,4802^ 4^8

r,53945 4f>6 r,6oio3 222 T,665o7 ^5i 1,73167 645

55796 742 1,80094 35i

,G0470G44 r,87298 125 ,65234 7G5|r,94790 o 5 ° ,70243 5o6|2,o258i 652 ,7535o 6o5 2,ioG84 918 ,80611 1232,191125r^

1,06000 000 i,i256o 000 1,19101 600 1,26247 G 9 G

i,53822 558

r ,4i85i 9rr r,5o363 0x6 1,59584 807

i,55i32 821j 1,68947 896 1,62889 463 1,79084 770

Tabelle (B) . Baarer Werth einer nach mehreren Jahren

zahlbaren Summe 1.

J.j 3 pc. 4 i>c. 5 pc. I 6 pc. 0,97087 5790,96153 8460,95258 0950,943596 0,94259 591 o,9i5i4 i66 o,88848 7o5

0,92455 621jo,90702 9i8,0,88999 6 0,88899656,0,86385 7600,85961 9 o,8548o 4190,82270 247

6

i 7

0,86260 878,0,82192 7r1 0,78552 617 <V79209 4 0,74725 9

0,837484aG0,790Di 45^0,74621 5400,70496 1 o,8i3o9 1 ^ 1

8,0,78940 925 0,75991 781 0,750G9 021

9'0,76641 G750,70258G74

i,7io53(j56 1,89829856 i,7Q5S5 633 2,01219647 i,88564 9i4 2,13292826 ! > 9 7 9 9 5 1 0 0 2,26090396 2,07892818 2,39655819'

10-0,74409591

0,71068 i55jO,(i65o5 7 0,67685 9560,62741 2 o,6446o 892 0,59189 8

0,675564r7 0,6159x 525

o,5846 7 929 1rjo,72242 128jo,64958095 r2 0,70157 g88 0,62459 705 o,55683 742 i3 'o,68og5 i34,o,6oo57 4o9o,55o52 i35 14J0,66111 781J0,57747 5o8 o,5o5o6 795 i5^,G4i86 195 o,55526 45oo,48ioi 710

2,18287459 2,54o35i68 16|0,62516694|0,55390818 2,29201 8a2 2,69277 27917 o,6o5or 645o,5i357 325 2,4o66i 923 2,85455 915 2,52G95 020 2,02559950 3,65329771! 5,20715547

180,58759 461 0,49362 812 19'0,57028 605|0,47464 242 200,55567 5 75'o,4565S 6 9 5 0,57688 948 o ,5n8o 5

o,5585g 5

0,52678 8' i

0,49696 9' o,46883 9

!

o,44^3o 1 0,41726 5

o , 4 5 8 n i52o,39364 6 o,43629669jo,571364 o,4i552 o65o ,35o344 0,59575 396 o,33o5i 3

,86029 45j 2,27876 807 2,78596 259J 3,39956 36o

,91610 34i'2'^99 1 879| W 5 2 C ° 7 2

,97358 65ip,4G471 5 5 4l 3,07152576

2 o3279 4 r 1 '2,5633o 4iG| 3,225o9 994 2,09577793!2,66585655, 3,38655 494, 4,29187072

5,6o355 742

5,8i974 9 G G

4,o4895 4C:4

210,55754 928o,45885 56oo,55894 236 220,52189 a5ojo,42i95 55g!o,34i84 987 25o,5o6G9 175 240,49195 574 '25|0,477G0 557

0,29415 5 0,27750 5

o,4o572 635jo,52557 15rJ0,261797 0,59012 i47o ,5ioo6 791|0,24697 9 o,575n 680|0,29550 277-°»" 299 9

Page 112: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

J.

26

3 pc. 4 pc. 5 pc. 6 pc. J.j 5 pc. 4 . pc. 5 pc. G pc.

2 , i 5 G j 9 1 2 7 2 , 7 7 2 4 G 978

2 , 2 2 1 2 8 90r 2,88356 858 2,28792 7G8

2,3565G 55r 2,4272G 247

2,99870 5.3a

3 , n 8 6 5 i 4 5

5 , 2 5 3 5 9 7 5 1

2,5ooo8 o55 5 , 3 7 5 r 3 34i

5,55567 269

3 , 7 3 3 4 5 652

3 , 9 2 0 1 2 914

4 , n G i 5 56o 4 , 5 2 1 9 4 258

4,54g58 296

4,82234 5g4 5 , n i 6 8 670

5,4i838 7g0

5 , 7 4 3 4 9 n 7

4,538o3g49 6 ,08810064

2 ,575o8 276

2 ,65255 524 5,64858 1 1 0

2 , 7 5 1 9 0 55o 5 ,7g45i 654 2 ,8i586 245:5,94Go8 900

5o8o5 8 7 5 1 4 ,7G494 i 4 7 J 6 , 4 5 3 5 8 668

5,oo3i8 8 5 4 6 , 8 4 o 5 8 9 8 8

5 ,25554 797 7 , 2 5 l 0 2 528

5 , 5 i 6 o i 557 7 , 6 8 6 0 8 6 7 9

56 2,89827 835 4 , i o 5 9 3 2 5 5

5 7 ' 2 , 9 8 S a 2 66s '4 , i68o8 986

5 8 5 , 0 7 4 7 8 348 4,43887 545

4o

•Ax ! 4 2

5,1G702 C98 4,GiG5G 599

3,2G205 7 7 9

5 , 5 5 9 8 9 8 9 j

3 , 4 6 0 6 9 5 8 9

4,80102 o65

'0,46569 47^>,0

o ,45oi8 90G

0,43707 675

o,42454 656 0 , 4 u 9 8 676 0

5 ,79181 6 i 4

6,0814o 694

° ^ 9 9 9 8 7 l 5 i ° o,58855 7 o 3 ' o 0,37702 625'0

54 o,5GGo4 490 0

35 o,55538 54o

8 , 1 4 7 2 s 2 o o ' 3 G o , 3 4 5 o 3 2 4 5 o

8,636o8 712]j37

38 6,38547 7^°j 9 , i 5 4 2 5 255

G,7o475 n 5 ' 9 , 7 0 3 5 0 7 4 9

7,o3998 87i ' io ,2 .857i 794

4,9g3o6 i 4 5 7,^9198 8 i 5

5 , 19278 091 7 , 7 6 1 5 8 756

43j3 ,5645i 677|5,40049 527j 8,14966 695

44j5,G7i45 227

45 3 , 7 8 i 5 9 584

5 , 6 i G 5 i 5 o 8 j 8 , 5 5 7 i 5 o 2 8

5 , 4 8 1 1 7 3 6 8 8 , 9 8 5 0 0 7 7 9

46 3,89504 3 7 2 6,07482 27

47 4 , o n 8 9 5o3|6,3i78i 562

48|4,i3225 1 8 8 6 , 5 7 0 5 2 8 2 4

4g4 , 2 5 6 2 i 0 4 4 5 , 8 3 3 5 4 957

5o|4j5859o 602'7,10668 555

ro ,90286 102

i i , 557o5 268

i2 ,25o45 464

12,98548 1 9 2 I 4 4

15 ,76461 o84 45

0,33498 294

o , 5 i 5 2 2 Gi5 o,3i575 355 o,3o655 684

0,29762 800 0

0,28S95 9 2 2 0

43o,28o54 294jo

0,27257 1 7 8 0

o ,26443 8G20

9 , 4 3 4 2 5 8 1 8 . 1 4 , 5 9 0 4 8 749 46 0,25673 653 0

9,90597 109|15,46591 674 147jo,24925 877'0

10,4012G 965|16,39387 174! '480,24199 880 0

i o , 9 2 i 5 5 313 1 7 , 3 7 7 3 0 4 o 4 ! | 4 9 o , 2 5 4 9 5 029 0

1 1 ,46759 979 i 8 , 4 a o i 5 4^8ji5oJo,228io 7 0 8 0

56o68 925

54681 657

5 3 3 4 7 747

52o65 i 4 i

3o85i 8G70

0,28124 073

0,26784 832

o ,255og 364

0,24294 6 3 2

, 2 5 i 3 7 745

29646 026 o , 2 2 o 3 5 947 O 285o5 794J0,30986 G17|0

2 7 4 0 9 4 1 7 0,19987 2 5 4 ' o 2G555 2 0 9 0 , 1 9 0 5 5 48oJo

2 5 5 4 i 5 4 7 0 , 1 8 1 2 9 0 2 9 0

24366 872 0,17265 74r.0

25420 685 o,i6445 5G5o „ I 1

2 2 j 2 8 545'o,i56Go 536'o

2 i 6 6 2 o G i J o , i 4 g i 4 797J0

20828 g o 4 j o , i 4 a o 4 5G8jo

20027 795Jo,i5528 1 6 0 0

19257 493jo,12885 9 6 2 L

i 8 5 i 6 820^0,12270 4 4 o j o

17804 655 0 , 1 1686 i 5 3 ; o

1 7 1 1 9 8 4 1 0 , 1 1 1 2 9 6 5 i 0

i646x 386 0,10599 668 0

i 5 8 2 8 256 0,10094 921!0

i 5 2 K j 47G' 0,09G14 a 1 1 0 .

i4G34 1 1 2 0,0915G 5 9 1 0

14071 2620,08720570,0,

2 1 9 8 1 0

2 0 7 5 6 8

19565 0

1 8 4 5 5 7

i 7 4 n 0

i6425 5 i54g5 7

i 4 6 i 8 c ! 1

1 5 7 9 1 2

i 5 o i o 5

1 2 2 7 4 1

1 1 3 7 9 5

10925 9 io5o 56 0 9 7 2 2 2

0 9 1 7 1 9 ;

o865a 7 l o8i65 0 0 7 7 0 0 9

0 7 2 6 5 o|

o6855 81

oG465 8 o G 9 9 9 8 j 0 5 7 6 4 6 !

o5422 8

Page 113: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Z w c i t e V o r 1 e s u n g.

Über die Entwickelung der Iogaritlimischen und trigonometrischen Func

tionen in Reihen.

W " 2 2 * 5? ^ * Ä. & enn der Satz (1 + » )* = 1 + x « 4- x c u + x c « 4 - x c w + etc . ;

. 1. » • cnn (ter öatz ( i ^ - w j = i ^ - x w ^ x r o ) t x ^ + x / « ' H- e tc . , w o

x ^ r — x * ^ X ~ ^ ^ X Z ^ ' ' ' ' ^ x r ^ " 1 ^ > den wir (Vorl . 1. §. 50.) für positive ganze E x -1 • J O • * • * V

ponenten bewiesen haben, allgemein für jeden beliebigen Werth des Exponenten x , er

mag eine ganze oder gebrochne, eine rationale oder irrationale, eine positive oder n e

gative Zahl s c i n , wahr i s t , so mufs , weil (# + » ) x ~ ^ y = (, 4 ^ w ) x . ( , +

* + (x + y)« + (x + y) :

cV 4- (# +j):c

3«3 4- (.v 4- j)c4«4 + etc. = 1 4- w 4~

: 2 XC w 4" = 3

w 4~ , = 4 ö>4 4 - etc. sein.

+ y + xy : 2 x:S

c y + + : 2

x}'c : 2 : 2

xcJc

y? + Daraus fo lgt : +

(x+y) — x + y

(*• + y)'c - x'c* + x y + Jc2

(x +y)c3 = •Vc3 + *cV+ xylc + ;>'c3

etc. etc. etc.

Page 114: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Daraus * C

D . * T j - » ^ ' l T L ! . ^ " T ' 4 , . * „ c ^ 4 < » 4 * c ^ „ _ j _ , * c /

, : n - i x 4 . 7 — n _ 7? : n , z :n_, -a

+ * c y- —^r1 ^ j r 7 ^ c J + j^f- - C

D V c

+ : n — a : a x 4 V" — ^ n — i : n — 1 : a , S : n—i • * * c yc • ^ + - X c X c 4 " ^ T T X c ^

4 - y — ^ — n 1 : n +

und folglich

, : n - i x^rY — n _ 2 : 3 • n - i T n .tt

+ ^ c •^t+, J + ; * c / c + s + 7 * r . *

i •.n ^ 4 j K — « * : n , 7l^-i . - n — i

+ • ^ 4 7 ; — r 4 7 * ^ + ^ ^ 1

und allgemein k

/ , : n , : n - l . : n - 2 : 2 . : 2 j n - 2 : n - l . : n

( * + / ) c — * c + * c J + * c Jc + * c / c + • * > ' c + J c

§. 2. W i r wollen jetzt die Wahrhei t des Satzes , dafs / , : n : n , : n - i . • . n — 2 : a . : n - 3 : 3 . : n - i : n (*+f)c - xc xc y 4- .rc Jc + xc fc + xyc 4 Jc ,

für alle beliebigen W e r l h e x , y beweisen.

Es sei x ; " 4 x ' ; n _ I y 4 x ^ " V c * + « T c " - ' 4 " y C ° = Q n - E s s o » zunächst

gezeigt werden , dafs Q n - ^ , " H n _^_ I

: n 4 * , : n 1 : n — 1 •* 2 1 : a ! « — I 1 -a I : n ^ - r ^

- * r c + * c J + xc Jc+ Yc + xJc + Jc = Q n 4 - x l S t .

D a s allgemeine Glied der Reihe Q n ist nämlich x : n ~ V r — * ( * — ' ) ( * ~ g ) — ( x - « 4 - r + / ) j ( j K - < ) ( r — 3 ) ( .y — y - 4 0

c ^ c / . 2. J « - r * Q. 3 r '

: n - r : r > r + J — 71 : n — r r r ( # » ' + r ) , : n — r : r V — r

Alsp .v yc 4 x c / c 1 — " + < V ^ r -

c ^c n 4 " * c J c 4 ' c J c » 4 i V . : • -:i -

— ( j T - y 2 4 H - 0 ( ^ - " ^ 4 y ) r r , -. n - r jK • ( j — Q . . . . ( y - r 4 , ) ( y — r )

/. 2. 3 (n — r) n+4) ' J c ^ * < = <. 2. r £ 4 ^ W — r 4 ' : ( n - r 4 * ) ^ 1 ^ 4 ' = n - r : r 4 >

= • — i — ' x c Yc H — t — y c

^ 4 < w ~ r *

Page 115: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

L * 1 Ä * X % * A 4

§. 3. D i e R e i h e 1 4 - x » + x^ « 4r - v ' c » 4r ^ c

w + e t c - i s t J w e n n m a n

w a l s e i n e u n v e r ä n d e r l i c h e , x a b e r a l s e i n e v e r ä n d e r l i c h e G r ö f s e b e -

t r a c h t e t , e i n e s o I c h e F u n c t i o n v o n x , d a f s , w e n n m a n s i e m i t e i n e r

ä h n l i c h e n v o n y m u l t i p l i c i r t , d a s P r o d u c t e i n e ä h n l i c h e F u n c t i o n v o n

x + y i s t.

Bezeichnet man nämlich 1 4> xw + x ^ u * + * c 3 » 3 + e t c * durch 0 x , so wird

1 4- y « 4> y J * « 3 4 -y " c 3 « ' 3 + etc. = p y , und

1 + (x+y)u H> ( A - + j ) c 2 « 3 4 - ( * + j ) c 5 » 4 4 - e t c - — P ( * + j ) -

Es ist also (§ . 1.) <px . q>y — 9 ( x + y ) .

§, 4. Sind x , y , « positive Gröfsen, so ist <px, <f>y und 0 ( x 4" y ) gröfser als 1 , und

folglich sind auch ihre Logarithmen positive Gröfsen. D a nun p x . 0 y = ^ ( x ^ - y ) ,

so ist log 4 - log <py = log 0 ( x - 4 > y ) . Setzt man nun l o g 0 x = 4-x, so dafs,

log <Py = ^y> u n d l o g 0 ( * + y ) = *Kx + y)> s o n a t m a n ^ + ^ y r z ^ ( x 4 - y ) , woraus

(Vor l . 1. §• 7.) f o l g t , dafs <£x = x < M , oder dafs lpg 0 x = x log 0 1 , und folglich <px — (0 1)*«

Es ist aber 0 X = 1 4> x « 4> x ^ « 2 + x c3

w3 + x ^ w

4 + etc. fo lg l i ch , weil für

x = 1, x c

a = 0 , x'<? = 0 , e t c . , 0 1 = 1 + w, also

Die Gröfsen Q , Q 1 , Q 2 , Q^, Q , etc. bilden also eine R e i h e , in we l cher j ede>

Glied Q n 4 - , aus d e m n ä c h s t v o r h e r g e h e n d e n Q n entsieht, indemman es d u r c h ^ i ^ 1 1

multiplicirt.

Au f gleiche W e i s e wird jedes Glied der Reihe

(x+y), (* + r ) c 1 , (x+yf*, (*+yj<?, (X^y)[4BtC "j* v* Ti

aus dem nachst vorhergehenden abgeleitet, indem ( x + y ) c z = ( x 4 ^ y ) c " — J n- ^ l —

ist. Da nun die ersten Glieder der beiden Reihen der Q r und der (x 4" y)'c einander

gleich s ind, so müssen auch alle übrigen Glieder mit#Ieichen Anzeigern einander gleich

seiu oder es mufs allgemein , , N:n :n • : n - i , : n - 2 : 2 , : n — 2 , :n ^ . ( * + j ) c = Qn = * c + xc J + J c ' ' • + * T c + J c S e , n '

Page 116: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

02 Über die Entwickelung der logarithmischen

Qx oder 4 4- xu 4~ x*w* H~ x c ^ 4"" c t 0 , ~ (' ~r~ w ) *

wo x j ede beliebige positive ganze oder gebrochne oder auch irrationale Zahl sein

kann.

Setzt man in dcr allgemeinen Gleichung Qx.Qy = < P ( x + y ) y — — x , so erhält

man Qx.Q(— x ) = 0 ( x — x ) = 0 o . Es ist aber d e r W e r t h von Qx, für x = o , - l .

Demnach

<?(-*) = — = 0-v (* 4~ w ) = (' + w)"

Es ist also derSatz (l4^w)*= Qx für jeden beliebigen positiven undnegat ivenWerth b e -b . . x

wiesen , w reraus s i c h , wenn man m = - setzt, und aufbe iden Seiten der Gleichung (1+w)

a

= 1 4- Xw 4" x c2 w 2 4- x c

S ü> 3 4- etc. mit a x multiplicirt, der binomische Lehrsatz

unter der bekannten Form (a + b ) x = a x 4 - x a x ' b ^ - x ^ a ^ ' b ^ x ^ a " 3 b 5 4" etc.

ergiebt. §. 5. W e n n Qx = * 4^ xa 4-

SO ist Qy = : i

und Qx . Qy == * 4- + . r c

4" xy

L 2

+ Jc

7 3 Xn u)

4- JK^ H- J cw

a I 2 -

J- 3 + A c w

1 3 3 + J c w

- i> •g. •i f) A 4

-f- * V , - 5 +

+ * c j j +

+ *Jc +

4 - . v>^ + efc.

etc.

4 4- etc.

4 4 1 + J > + e t c -

4 f

2 3 *cJc

+ Jc + ^Jc

+ Jc

(Vorl . 1. §. 51.) 1 4- (x 4- y ) - + ( x + y ) c » 3 + (* + y ) c « 3 + ( x + y ) ^ 4 4 - e t c . = : 0 ( x 4 - y ) .

Daraus fo lgt , wie im vorigen § . , Qx = (<p1)* oder

0 x = (1 + „ 4 - w » 4- 4 + Setzt man w = l , so wird

4 + e t c . f

1 4" w 4" wc 4~ w c 4" etc. 1 J 2.3.4

4- 4- etc. 1

4- 1 4 — - — 1 - — ~ ~ 1. 2 1 2. 3

= der Basis e der natürlichen Logar i thmen, die bereits ( V o r l . l . § . 6 2 . ) gefunden w o r -

Page 117: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

den, indem man (1 4 ^ ) nach dem binomischen Lehrsatze entwickelte , und n —

setzte, und es ist , wie dort e x = 1 4 x 4 " 4 ~ x 3 4 " x 4 4 x^ 4 " e t c . , und weil

wenn wir Kürze halber log nat a durch Ia bezeichnen, a — e ^ ay so ist

V = 4 + x l a + x\(laf 4 - x\\laf 4 ^ ( / f l ) 4 4 e t c .

§. 6. W e i l ( i 4 « ) * = 1 4 xw 4 . v c2 w 3 4 - x'cJ" 4 etc.

' ' = , 4 •v / ( , 4 - ) + 4 ( / ( , 4 * ) ) 2 + 4 ( / ( , + • ) ) * 4 ctc.

so erhält man, wenn man auf beiden Seiten dieser Gleichung 1 subtrahirt und alsdann

mit x dividirt,

/ ( , 4 „ ) 4 'I' ( / ( , 4 » ) ) * 4 (l(, 4 „ ) ) 5 4 etc. = 0 ~ ( , — ^ ^ 4 ( , - . r ) ( < - ^ ) j - e t c .

D a r a u s , für x — 0, . " • ./ * - , N <*2 1 w 3 u i 4 » S 1 1 4 „ ) _ . - - 4 3 r 4 5 - - etc.

Die weitere Ausführung dieses Gegenstandes findet man (Vorl . 1. §. f > 5 . etc.)

§. 8. So wie wir vermittelst der beiden Sätze ( x 4 y ) " ~ x c 4 ~ x c _ I y + x " • • • •

> T c " ' + y c (x + y)c " = x c n + * c " " ' y + < " " V c ' + y ^ b e w i e s e n haben, 2 2 3 3 * 2 2 * % ^

dafs , wenn man 1 4 x w 4 - x c w 4 x 0 w 4 e t c . o d e r f 4 X w 4 xc u + ^ ' c » 4 c t c «

durch 0 x bezeichnet , <px = ($1)* sein mufs , so übersieht man leicht , wenn x r eine

Function der beliebigen Zahl x und der positiven ganzen Zahl r bedeutet, welche die

Ligenschaft hat , dafs __

(*'+y)n = X'n + * n - i J 4 • ^ — 2 J 2 ~b • ^ — 3 J 3 4 * > ' n - i + J n » S t ,

dafsalsdann 1 4 x [ W 4 " x « u ^ 4 x . w ' i + c l c . ^ ^ x gesetzt , ebenfalls 0 x = ( $ 1 ) * sein

mufs. D ie Auflosung einer Au fgabe , die wir im folgenden §. vornehmen wollen,

wird uns auf eine solche Function x n führen, welche zugleich die beiden Functionen

x " und X c " als speciclle Fälle unter sich enlhält.

§. 8. E s s e i d i e G l e i c h u n g uzv — z 4 ~ l = o g e g e b e n , m a n s o l l d i e W u r

z e l z d e r s e l b e n d u r c h e i n e R e i h e d a r s t e l l e n .

Page 118: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

D a nun £ = a r + a2 » 4" a

3 « 2 4 4 e t c . , so ist & = a* 4 2 a x a 2 « 4- (a* 4- 2 B 1 R 3 ) « 3 4" ( 2 a , a ^ + 2a^.)^ 4 etc.

£ ~ a3 4 3 a a a 2 « ' 4 > (3a*a^ 4 3 a ^ J ^ •H> etc. = a4 4- 3 a 3 a g * 4- etc.

Diese Wer the in (A ) substituirt, erhält man :

1 4- v U (a t 4- a 2w 4- a 3 « 2 4- a 4 «3 4_ e t c . ) 4- vg** (a* 4> 2 a t a 2 « 4 .(a» 4- 2 a x U 3 ) « 2 4- etc.)

4- » £ * K 3 ( a 3 4 3 a = a a » 4- etc.) 4 etc. = a t 4 a

2

w + ^ 3» 2 4 a

4

w 3 + a

ä

w 4 4 etc.

oder auch

1 4 Va1» 4" v a 2

4v-=a= u2 4 v a -

. + ' i * 2 a A 4 - ^ a 3

.«3 4- •y ä4 4- etc. = a , + . « ^ 4 a^4e*c*

4^(a=42a x a 3 )

4-c 33a^a 2

••. ... ..• .. . . . .' ' 4 -*c 4 a i ;

Daraus ergeben sich zur Bestimmung der Coefficientcn a x , a 2 , a 3 , etc. folgende

Gleichungen a x = 1, a 2 = Va1, a 3 — va2 4 v^a*, a4 = Va3 4- v^2a^ 4 , * a ^

a 5 = ya 4 4 »c

2(a2 + 2 a i a 3 ) + " : c 3 3 a i a

a + *c*a* etc. Demnach a, = 1, a a = >,

a 3 = vv 4- V ( ? = i ( 3 v - l ) , .

:3 v ( 3 v - l ) + y"v 4 = JL(3v(3r- l ) + 6 v ( p - l ) 4 / - 3 v 4 ^ 2 )

= 2^(16v —12v + 2) = _ ( 4 » — l)(4» — 2) . Aus den beiden für a 3 , a 4 gefundenen

Ausdrücken ^.(3* — l),5(4» — l ) : a , läfst sich vermuthen, dafs a r = ~(5y— i y 3 u n c j ^ ** C ü iJ /

Setzt man z = a 4* a ^ 4- a^w5 4 a ^ 4 etc . , so erhält m a n , wTenn man die

sen Werth von z in der gegebenen Gleichung substituirt, und alsdann « = o setz(,

a — 1.

B e z e i c h n e t m a n n u n a j 4- a a « 4" a 3 w 2 ~f* «4«<>34etc' durcSk {, so dafs z = 1 4" w£ v Z — — 1

w i r d , so erhält m a n , wenn man 1 4" ,«<? in der Gleichung z J7~"~° s^bstituirt,

l + ' ^ - h ^ 5 ? 4 v c

s

w V + v ^ V + e t c . = <T(A). 1

Page 119: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

y a l l geme in ,da f s a , = - ( ( r 4 ' l ) > ' — l ) : r — I , , und folglich die Wurze l der Gleichung

» z v — z 4 1 = o,

z = 1 4_ u j _ , „ 3 ^ ' ( 3 y . _ i ) ^ _ ^ ' ' ( 4 ^ . _ i ) ^ j _ I ( 5 r - l ) c 3 » 5 4 e lc . x O 4

scin wird.

Setzt man nun z x — 1 4 - X 1 u 4 x

2 0 , 2 4 x ^ W ' T 4 x

4 0 , 4 4 - c t c , 5 S 0 ^ s 1 ' w e * '

2 x = r ( i 4 ^ „ ) * = 1 4 - x (a^ w 4 . a 2 w 2 4 a w 3 4 - ctc.) 4 - \ :c

2 ( H 1 w 4 - « 2 * > 2 4 - e ^ - ) 2 + e t c -

= 1 4 x a j W 4 - ( \ a 2 4 - x " c 2 H p w 2 4 - ( x a 3 4 * ^ 2 a ^ + x c 3 n ? ) » 3 + oic.

= 1 4 - x « 4 (xv4 x ^ 2 ) / 4 ( x ^ ( 3 » — i ) 4 * c * 2 ' - + x c 3 ) " J + e , c >

X 1 = x , X 2 = x * 4 x c2 = 2 ( x + 2 " — 1 ) ' x

3 - x ^ ( 3 * - 1 ) + ^ c * 2 ' + K ?

= 2 ^ ( 3 * ( 3 v - 1 ) 4 - ( x - 1 ) . 6 4 ( x - 1 ) ( x - 2 ) ) = JL>(x + 3 , - l ) ( x + 3 , - 2 ) .

D i e hicr gefundenen Ausdrücke für die drei ersten Coefficienten x , X 2 , x „ , etc.

x : r — 1

sind unter der allgemeinen Formel x f = - ( x 4 r u — l ) c - begri f fen, so dafs

ZX = 1 4 - x u 4 _ ^ ( x + 2 v - l ) / 4 | ( v 4 - 3 v — 1 ) c

2w

5 4 ^ ( x 4 4 v ~ l ) c3

w4 4 o t c .

Substituirt man nun in dieser Gleichung v für x , und multiplicirt dieselbe durch

w, so erhält man

w z = « 4 v «• + ^ ( 3 v - l ) u > * 4 i " (4 K — l ) c ^ 4 - e t c - — z — ^ t>

wodurch dic Richtigkeit der Ausdrücke a x , a a , a 3 , etc. X 1 , x a , X 3 , e t c bestä

tigt wird.

§. 9. U m die im vorigen §. vorgetragenen Sätze mit aller Strenge zu beweisen,

wollen wir jetzt z e i g e n , dafs , wenn allgemein

Z i ( x 4 r v - l ) c ' " ' = x , f o l g l i c h 7 ( y + ^ ^ ) c ^ ' = y r u n d ^ t ^ ( x 4 y 4 r v - l ) ^ " = ( x 4 _ y ^ , r r

dafs a l s d a n n ( x 4 - y ) a = X n 4 - X n ^ y 1 4 - x n _ 2 y 2 4 X n - 3 V 3 . . . . 4 - x , y , , _ , + y n ' v J — Y : n ^ i JL. y J - y : n - i

Es ist nämlich — ^ ( * + y + « » — ' ) c ~ — ( * + ^ + n ' " ^ c TZ TZ

Page 120: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

* n - i • n — r ; n - a

— v ( . v + / + w " — * ) c = — y { y ^ - n v - 4 ) c —vx(y^-nv—*) c

; n

— y . T c

, . n — r ; n — r — 1

und ( y + rav)c — » ( j + ra»—*)c ( £ ± Z L ! — v ) ( j H - « v — * ) c " r \

n — r Y + r v , L : n - r - i y + , . ,

— ( ) ' + rcv-/)c — '

n — r n — r (y H " / * v H - ( r a — r ) v — * ) <

; n — r — 1

0 ' + r v ) n -

; 2 ; 3

f o ] g l i c h ( . v + j ) n - j ' n H - A ' ( j H - O n ^ i + ( j + 2 " ) n - a + Cv + ^ ) n - 3 ' - + ^

Nimmt man nun an , dafs der zu beweisende Satz wahr sei für n = 1, 2 , 3 .

bis n — 1, so hat man

0 ' + V j n - 1 = j , , _ , H - * J „ _ 2 + » 2 j ' n _ 3 + ' 5 J K n - 4 • • • • • • + * n - i

, v . ( y + 2 v ) n _ 2 J „ _ 2 4 ( 2 v ) r n _ 3 + ( 2 v ) 2 ; - Q _ 4 . . . . . + ( 2 v ) „ _

( . K + * ) n ^ 5 = J W 3 + ( * ) / n _ 4 + ( > ) n _ 3

etc. ctc . etc.

Diese VVerthe in dem Ausdrucke (x + y ) n substituirt, erhält m a n :

(X + r ) n = J K n + * V n - i + x v t V n - a + A ' v a ! j ' n ^ 3 + x V 3 ' > - 4 . . . . + * r f l _ r

H ~ #

2 + > - 3 H - Xy5

H - (

+ + + *; 4

. . . . H - ^ c2 ( 2 v ) r t

H - X05Wn

+ * l V ) n

1 * 1

H - * c

D a aber , wenn m < r , ( m v ) r _ , 771 v ; r — m — i

— ^ 7 . ( m y H - ( r — m ) v — * ) c

j n — i : n : n - i

— v(x+y^-nv—*)c = ( . v + J + " ' ) c — » ( . r + J + " * - ' ) c 5 i e r n e r ( § . * :

: n : Q : n — i : 2 : n ~ a

( * ' + J + " O c =(y+nv)c + * ( j + rax)c + * c ( / + W v ) c . • H - *

Page 121: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

so ist A - » , - ! 4 ^ c2 ( a v ) r _ a 4 xc

Z(3>)t_z 4 " < 4(^) r_ 4 + 4 5( 5 v)r-5 h < r

= ; *(">r-* +* 4a (ror*+f ( - ) r 3 + 7 -c4 fror4 • • • + ? *v

= 7 t K r ~ i + ( x - 0 M r 3 + c * - o:c

a ( r . ) r 3 + ( ^ - 0 i 5 M r 4 + - ( ^ o r ^ = (§-2-) 7 ( * + ^ - o r ' = *r

j • *

Daher xv 4 .r** = j ( . v + 2 * — / ) = x%

.v >2 + 4%v 4. 43 = I (x 4 — ,)•* = X5

^v3+ 43(2v)a4 45(5.) + 44 = | ( * 4 * v - , ) c 3 = ''^' . - . .:\- r.::- -v.-'y :

etc. etc etc.

und folglich (a: 4y)n = J n 4 tfJn_x 4- X2 jKn_a + * 3 7n-3 • • • + *n-iJ + Jn'

W e i l aber (A'+_y)i = X1 4jKi > u n d

~ I ( x 4 / + 2 » - 0 = * (j + 2 * - / ) 4 .rj 4 ^ (.r + 2 v - < ) ,

oder weil dcr Satz wahr ist , für n — 1, n ~ 2, so mufs er auch für n — 3 wahr

sein. Daraus folgt wieder , dafs er auch für n = 4 , 5, 6, etc . , und überhaupt für

jede ganze Zahl n wahr sein mufs.

§. 10. Setzt man also l + * w + ^ ( . r + 2v-1)»2 4 (a'43y — l)j ;2w34etc. = A-)

so dafs 1 4*w 4- 'j0r42*-i)w2 4"^0" + 3"""*)c 3" 3 + e t c ' = fy'> u n ( l ^

2t 0 ^

1 4 (* + j ) - + + 2 ' ^ 1) - * + (x+j43v~l) :c

2« 3 4 etc. = 9(x+y),

so wird 0 * ' . P y = 0(#4y)j u n t l a11gcmein p.v = ( 0 1 ) x , oder

1 + ^ + | ( . v + 2v~l)Wa 4 |( x 43v-1); 2 ^ 5 4 "| (* + 4 » — l ) * 5 « 4 4 etc.

= (1 4. „ 4. vw24z.(3v);

c2

w34X(4v):

c3

w44i(5y);4o)5 4 e t c - ) X «'»er

Page 122: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

•S$' . Zweite Vorlesung. Uber die Entwickelung

= (1 + « + ™* + ^ ( 3 v _ l > 3 + I ( 4 v — l ) ;c

2 « 4 + ^(5v — l ) ; 3w

5 + etc.)*scin. -

Nimmt man x — v a n , so wird

" l + / « + ^ ( 3 v - l ) . 2 + ^ ( 4 v - l ) ; 2w V 5 ( 5 ^ - l ) c 3 « 4 + etc. ^ - •

*\

= i ( l + „ 4 v w2 + _ v . ( 3 v - l ) u

3 4 - - v ( 4 v - l ) - ; 2w

4 4 j ( 5 v — l X 3 4 e t c . / t v-

2 y 5 V * 2 4 u n d w e n n m a n l 4 " 4 » ' « + o (3*— l ) w 4 o ( 4 * — 1 ) c w 4 e t c . = s s e t z t , s o v e r -

j£ o

wandelt sich diese Gleichung in ~ = zv oder in » s " — £ 4* * = o. •

§. 11. E x e m p c I . I . E s s e i d i e G l e i c h u n g « j v — by 4* c — ° gegeben , deren

Wurze l y man durch eine Reihe darstellen soll.

ei h h Aus ay —• by 4 c = o folgt -y" y 4 * = °* Setzt man also -yz=z, so

. ' % - ' ^ *' _ 0 C • *. i • - - * ^ " -

cz v cvzv acv~x v

dafs yzzz^ und y = s o erhält man —^-— .z — z 4 1 — o ; und wenn man

diese Gleichung als identisch mit der Gleichung u>zv— z 4 ^ — ° betrachtet, so ist

acv~~l

= — j p — . Man hat a l so :

c _ c . , . acv-x , ya*&<*-*> * . . a W " 1 ) . v / y l , , : j a ' c « ^ , y = l z - b + + + 2 < 3 ' " 1 ) T T - + 3 ( 4 v ~ 1 ) c T 5 5 - + e t c - >

und

x c x x c * , flc>"^ , xf , 0 ^ « ^ ^ , x , ^:aa3c3Cf-i) ^ = = p f ( 1 + * - ^ : h 2 C * 4 2 v - l ) . ^ — 4 2 ^ 4 3 v - l ) c 4 etc . )

§. 12. E x e m p e l II . Man soll die W u r z e l j der Gleichung ayn — by*"*^-c = o

durch eine Reihe entwickeln.

n b Dividirt man die gegebene Gleichüng durch ay so erhält mau^y~~ D — -y~* 4 1 = 0 ;

und - y " " ' = jSgesetzt, v e r w a n d e l t s i c h d i e s e l b e , w e i l a l s d a n n r " 1 = ^ r u n d y " " 0 = a o J b°

Page 123: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

der logarithmischen und trigonometrischen Functionen. 9 9

c an—1 " in — z n — z + 1 = 0 . Diese Gleichung als identisch mit wz — z 4 - * = 0 b e trachtet, erhält man,

x M I . x , , n . v 2 , x , , „ „ . j 3 w e n ^

v w e i l ^ / - 1 + xu + % (x + 2 v — 1 ; a > 2 + I + 3 v — l ) ; \ 3 + etc.,

b - 1 can~l

wenn man z — -y , o> = — v = rc, x — — m setzt,

a m » . ca"-1 , ; n , „ , . , c ? a 2 n - 2 m , 0 . ^:ac3<z*'-3 _ _ y = i _ w _ 6 n _ + _ ( O T « 2 « + l ) ^ r - — - ( T O — 3 n + 2 ) c - p ^ + etc.,

und

m _ 6 ™ mcbm~n m , c » f l " - » n w o , o V 2 ^ 1 " " 3 0 ! / r — ^ — — z — r • — "n + 1 J. — rr{m — 3/z + 2L hetc. J a

t n ^ r a - n - f - i ' 2 v ' ^ m - a n i - 2 3 V 1 Jc ß r a _ 3 n + 3 T u l

D j e s c F o r m e l ist dieselbe, welche s c h o n L a m b e r t , doch ohne Beweis , L a g r a n g e

mittbciIte.

8. 13. Setzt man in dem Ausdrucke - (x±rv — 1 ) * r — I - für x, - für v, und 3 r 0 ot 7 ct

multiplicirt alsdann denselben mit « r , so erhält man

x (x + rß — *)(x + rß — 2*)(x + rß — $*) (x + rß — (r — \)ct)

7' i . 2 . 3 (r — l ) '"" ' r •

Diese Grofsc wollen wir Kürze halber durch ^ ( x + r i S - » / " 1 " ' ausdrücken, indem

wir allgemein durch c ° ' x ein Product aus n F a c t o r e n , w o v o n der erste Factor z, der

2te z - « , der 3tc z — 2 « , etc. und durch z"'x, dasselbe Produc tdurch 1 .2 .3 . . . .w

dividirt, andeuten wollen. Da uun , wie §. 9 bewiesen worden,

X ix + y + n v - t ) ; Q ~ ' = £ (x + „ , - 1 ) ; n ~ ' + ^ ( * + ( « - 1 ) , - 1 ) / » — 2

J + ^ C * + ( ^ > - i ) ^ 0 ' + 2 ' - * ) + ^ £ - 3 C * + C » - 3 ) ' - 1 > r ^ < y + 3v - 1 ) ; 2

+ * ^ r 1 C r + c » - 1 ) ' - i ) i n ' a + £ Cj + » > - * ) c M -

so verwandelt sich diese Gle ichung, wie man leicht übersieht, wenn man überall

Page 124: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

# 4 j ^ ^ rcsp. für x, •v, x + y, v substituirt, und auf beiden Seiten dersel-Ct Ot Ot « ^

hen durch « " multiplicirt, in f o l g e n d e : :'„ . 1 • !

. • -' - V . • • " . yf v _ i - v , n — i , « ^ n — I i « , x* , - . • n - Q , «

• l X Z ( ^ + y 4 - 7 i ^ — « ^ = - 0 4 « £ — « ) c 4 - T C* + C« — i^—«) ' . j ^ TZ -• X C

. ^

+ ^ 2 ^ + C " ~ 2 ) . ^ « ) " ~ 3 ' ^ C / + 2 ^ ) + ^ t v 4 ( „ _ 3 ^ _ « ) " ~ 4 ' * 0 ' + 3 ^ - . ) * w

+ x - ^ 1 . Cr 4 Oz - 1 ) ß-«)"~2'" + £ (y + nß- «)"""". . . J > i i 3

Daraus folgt nun ( § . 8^ ) dafs * <• j»

l + A - w + ^ ( x + 2 ^ - a ) w + g ( x + 3 ^ — « ) c ' « + ' ^ C v + 4 ^ — « ) c ' M + e t c .

= (1 4 • + (1 4 2ß- « ) ^ + ( 1 4 3 ^ - « ) * ' " + (1 + 4 £ - « ) 3 ' " + c t c ) * «

§. 14. Dieser allgemeine Satz enthält die bereits ( § . 4 , 5 , 1 0 . ) bewiesenen Sätze als

spccielle Fälle. Setzt man nämlich « = 1, ß — o, so wird derselbe

i 4 A - « . 4 x'*»7, 4 *;3<»3 + 4 4 « 4 4 etc. = (t + u ) * .

Für « ~ o , y3 = o , ergiebt sich ' 1 *1 Ä<

1 4 .r«- 4 x 2 » 3 4 V S 4 etc. = (1 4 « + a£ 4 w3 4 e t c . ) x .

Nimmt man « = 1 , und für ß irgend eine beliebige Zah len , so hat man

l + * w ^ | ( x + 2 0 — l ) w2 4 * ( x + 3 £ — l ) ^ V 4 | ( * + 4 ^ - l ) ' / » 4 + etc.

\ . k 1 ''' '''

= (I + - + 2 i > 5 " + 0 f f l " | ' + ( 4 W ; ' f + ( « » » 4 ^ + e , c . ) X

oder = z* , w o z eine der Wurze ln der Gleichung u>zß — & 4- 1 = 0.

§ . 15. Aufserdem ist auch noch die Gleichung yon besondern Nutzen , welche

sich ergiebt , wenn man in der allgemeinen Gleicqung (§.. 14.) « = 2 , ß — \ s e t z t .

Man hat alsdann:

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, , 1 * i 2 / a 3 4 . 1.4*4 5 * = ( t 4 * ' - h ö w + ^ 2 > » + 4 3

c w + ^ 4 c w + e t c « )

O d e r , wei l

* r r 4 - 1 ^ ' 3 - x(fJ±JXxjrV _ . r . ( - v 2 — ! ) 3 l x + 1 ) c - 3 i T ~ 2 2 T T '

-r . , , S , a _ .v (# + 2 ) . v ( j r -2 ) _ ^ C v * — 4) 4 v * i - 2 ; c 4 ^ 2 > 3 2 > 3 > 4

X 4 ( * + 3 ) c ' ~ 5 ~ T. 2 . 3. 4 2. 3. 4. 5

.T , . J b 3 _ x (x. + 4 ) ( * 4 2 ) .vCv-2) ( j r -4 ) _ .v2. (.r2 — 4)(.v2 —16) . ' 4 C - V 4 4 ) C 4 ^ 2 > ^ ^ 5 ^ ^ 4 . 6

". , j .- . ; - r • . ; ' 1 : t . t : etCr etc. etc. |. * '

X 4T 1 I" I 1 O 2 ' 2 _ 1 O 2 ' 2 — 3 — 1 1 A%'* ~ und folglich ^ 2 c = o , 4 3 C ^ 4 C - o,

I ^5,a _ 3. 15 _ 1. 3 1 6 / 2 _ i ^ 7 , « _ 1.3. T5. 35 __ 1.3. 5 Ö : , c ~ 2. 3 .4 . 5.& ~~ 2. 4. 6 ' 7 c ~" °> g ' c 2.3.4.5.6.7.8 2.4. 6. 8 ' '

so ist auch r " ^ r

, , j _ a a , . v C r - - l ) 3 , , y 2 ( , r * - 4 ) 4. ^(. va — 1)(^ — 9 ) 5 . . i 4 + „ 4 2 3 4 2 3 < 4 - + 2, 3. 4 . T " u + e l c -

" " 1 „ . 1 I 2 1 4 I 1 " 3 6 3 ' 5 8 1 rr M 4- w + i w — -— u ~\ ui - . - u + etc.) .

T a 2 > 4 « ^ 2 . 4 . 6 2 . 4 . 0 . 8 ^ x a /1 \; 2 A A v; 3 G

Es ist ahcr K ( I 4 » ) 2 = 1 + I<* + ( ö ) c " + ( ^ w + e t < %

2 1 4 i . 3 6 1. 3. 5 8 . , :; N = 1 4. JL w — u A : ay — - , 0 w 4- etC. " . T a « 2. 4 ^ 2. 4. 6 2* 4. 6. 8 *».'

Folglich

, , 3 x . , , 2 3 , x(x2—\) 3 , Ar2(.v2 — 4) 4 («•4Td+») ) = 1 + A , ( w + 1 * * + ^ 2 ~ 3 " + 2. 3. 4 " + P t r ' ( A )

§. 16. Es läfst sich aber die so eben gefundene Gleichung auch auf folgende Art

darstellen:

V _ .v ( x 4 - 3 ) ( . v 4 1 ) C v - l ) ( ^ - 3 ) _ x.(x* — l)(*2 — O)

, r x * 2 I x , , * . 2 ' 2 3 I , 4 , .r 4f» 5 " 1 4 .v« + 2 w 4 - (.v 4 l ) c » 4 ~ ( x 4 2 ) c w 4 r Ca- 4 3 ) c H 4 otc .

Page 126: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

r a + - * ; . d + *« + - ^ « * + - % ^ J 4 etc.) w Multiplicirt man nämlich

- , , — 1 a , x ( . r a _ 4 ) 3 , ( « » — l ) ( * * - 9 ) 4 , 4

1 4 4 + 2 < 3 » + 2 > 3 t 4 > « 4 etc.

durch K(1 4 «*) = 1 4- | wa L w

4 4. JL_L w6 .

' ^ J ~ 2 2 . 4 ^ 2. 4 . 6 2. 4. 6. 8 1. 3. 5 8 ,

w 4- etc. so erhält man,

v- — 1 1 * w _| _—

+ I

*r>2_4) | (A ' 9 — 1 ) (* a —9) ! . , tfOc2—4)(tf2_i6) » ~r —5— w ' H s — Q — v i — w * 4

2. 3

+ k x

2. 3. 4

. x <£=i> ' a 2

4V-

+ 2. 3. 4. 5

i (.v2 — 4) * 2. 3. 4

2. 4 2 4 * ' ^'''- f

u5 4 etc.

• , *2 * , x(x2—1) 3 , x2(x2 — 4) 4 , *Cr2~1)#2 — 9 5 ,

— 1 4 xw 4- —« H 2 3 « H o ? A M i ö — ^ — + e t c -2. 3. 4 2. 3. 4. 5

Um den obigen Satz mit aller Strenge zu beweisen , wäre es nöthig zu zeigen,

d a f s f ü r j ede beliebige ganze Zahl n, ^ ' *" s * , , ,

n-i,2 t f *Nn»a i 1 , , _ oxn,~"2'2 i /^v2, . - n—4/2 v n—i/a , , . I 1 . , „ , /|v : z n—d.a

* ( J C + „ « 2 ) c ' = ( * + « - i ) c + - ( * + » - 3 ) c : + y ( * + « - 5 ) c

4 ' 4 elc.

sein mufs. D ie Wahrheit dieses Satzes findet man bestätigt, wenn man nach und

nach n — 1 , 2 , 3 , etc. setzt. Ein strenger elementarischer Beweis desselben ist mir

jetzt nicht gegenwärtig.

Übrigens läfst sich der letzte Ausdruck von (a> 4 j *l 4 w 3 ) (B) aus dem erstern

(A ) auf eine äusserst einfache W e i s e herleiten, wenn man mit den ersten

Gründen dcr Dif ferential-Uechnung bekannt ist. Diffeiencirt man nämlich die Glei

chung

2 2 x (w + p 4 ^ y * = 1 4 *« 4-i 4 | . (* + i ) * ' V + f ( * + 2)f8«4 + etc.

"•, (» + p ~ + ^ ) X = r O + »a)-(t + * « + C v + l ) c ' a » a + ( * | 2 ) f ^ + etc.)

odcr

Page 127: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

A- y \ 4_ w2\ 2,2 2 3/2 3 4/ 2 4 ^ ( t T f ^ s p = 1 + ' r w + <* + l ) c " + C* + 2 ) c - + ( * + 3 ) c c + ctc.

§. 1 7 . W e i l (§ . 6.) « x = 1 + .rZ« 4 v* (Z« ) a + .vf ( /rt) 5 4 e t c . , wo / « den na

türlichen Logarithmen von a bedeutet, so hat man auch

(« + T ( i + « T = 1 H - xi(w + p 4 « o 4- (/(« 4 - p H- « 2;> H- p ( c -

D a aber auch

, . v,* i V * _ * i . A ' a 2 . x(x2—1) 3 . a - - ( . r 2 — 4 ) 4 ( « H - n 1 + <* )) — 1 H- * u + 2 w ~ J 2 . 3 w + 2. 3 . 4 " + •'

so erhält man, wenn m a n d i e b e i d c n W e r t h e von ( w + p 4 a 2 ) x einander gleich setzt,

auf beiden Seiten 1 subtrahirt, und alsdann durch x dividirt,

z.(* 4 p i H- " 2 ) ) H- i * c / c * + p - + ^ » 2 + i a . 2

( / ( w 4 _ j ^ r + ^ ö 3

+ , . l c .

. Ar 2 , x 2 — ! 3 , x.(x2—4) 4 , ( . v ^ l ) ( x 2 - 9 ) 5 . — w 4- - w 4 w 4 - u A — _ i w 4 - etc.

^ 2 ^ 2 . 3 ~ 2. 3 . 4 ^ 2 . 3 . 4. 5 ^ Setzt man nun x — o, so hat man

If _i_ * ^ r j " - ^ — 1 3 _ L 1 - 9 5 1 - 9 - 2 5 7 , L * -/ ( . H- p + - co - _ „ 4 2 < d 4 _ w _ 2 ^ k T . T 7 " + e t r -

= _ I " * 4 - ^ J * ^ 5 1 . 3 . 5 M

7 1 . 3 . 5. 7 M ° , W * 3 + 2 . 4 5 2 7 4 T 6 7 + 2 . 4. 6. S 9 * °*

2 _ T_

Es ist zu bemerken , dafs man diese Gleichung auch erhält, wenn man (I 4 w ) 2

vermittelst des binomischen Lehrsatz in eine Reihe entwickelt , diese mit u multipli

c i r t , und das allgemeine Glied derselben 4 2 ' 4 ^ * ' * * ^2r " ^ « " ^ " 1 n ° c h durch

2 r 4 i dividirt.

§. 1 8 . W i r haben schon oben (Vorl . 1 . §. 62.) bemerkt , dafs die natürlichen

Logarithmen wegen einer Eigenschaft der gleichseitigen Hyperbel auch die h y p e r

b o l i s c h e n Logarithmen genannt werden. Eine etwas umständliche Betrachtung die-

auf beiden Seiten in Bezug auf u>, indem man x als constant betrachtet, und dividirt

alsdann durch xdw, so erhält man

Page 128: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

ser Curve in dieser Hinsicht wird daher hier nicht am unrechten Orte sein. Die Nn-

tiir der gleichseitigen Hyperpel wird durch die Gleichung x* — y1 = a" ausgedrückt,

w o x, Y die rechtwinklichten Koordinaten eines beliebigen Punctes dcr Hyperbel ,

und a irgend eine unveränderliche gerade L i n i e , die A x e der Hyperbel genannt, b e

deuten. Für den Kreis hat raan bekanntlich die Gleichung; x 1 4 j 2 — ß 3 , w o x, y

ebenfalls die rechtwinklichten Koordinaten eines Punctes dcs Kreisumfanges , und a

den Halbmesser des Kreises bedeutet. Um dic beiden Koordinaten x, y zu unter

scheiden, nennt man auch wohl x die A b s c i s s e , und y die O r d i n a t e eines Punc-' •! 'l'-i"ll>. i&v*

tes der Curve.

§. 19. Man kann die rechtwinklichten Koordinaten x, y der gleichseitigen H y

perbel als gemeinschaftliche Functionen einer dritten veränderlichen Gröfse t betrach

t e n , oder man kann x = 4>t, y — Qt setzen. Diese beiden Functionen können jede

beliebige Form haben ; nur müssen sie so beschaffen se in , dafs — Q t 2 — a ist. gt _L. g — t v

e t e—t So kann man z. B. fyt ~ a. , Qt = « - annehmen. Denn weil

J* 2 2 e2t 4 - 2 4- e ~ 2 t 2 2 C2t ^ 2 + e ~ 2 f i

*>t = a . , Qt = a . 4™~^r so ist 4 / 2 — Qt* oder x* — y 2 , c= a

% .

t j — O + « ) 1 4 (I — « ) 1 (1 4 - « ) r — O — « ) l

Eben so hatte man ~ a. •——4^J==—-, Qt = a - — - — ^ — - setzen

2 J^l — « 2 2 y \ — <*F

können. Man würde alsdann

2 „ a (i 4 «)at'4- 2 ( i — « 2 )t 4 ( i — « ) a t '•' " -d/t '— Cl — ~ "

4 ( 1 — « 2 ) 1

«Wa = a 2 (I 4- « ) 2 t — 2(1 - « 2)t 4. (1 - oc)K C t 4 ( 1 — « 2 /

und folglich auch < £ / 2 — $ £ 2 ~ a erhalten haben.

§. 20. Nimmt man in der gleichseitigen H y p e r b e l , oder im Kreisumfange

zwei Puncte P . , P an , deren resp. Koordinaten x , y ; x, y , so w i rd , wie man sich

Page 129: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

t

bel gebildet werden , unter sich gleich, und zwar = sein. D e r F l ä c h e n -2 ^

inhalt einer Figur , welche von der halben A x e O A der gleichs. Hyperbe l , dem R a -

diusvector O P des Punctes P , und der aus den m Sehnen der Hyperbel zusammen

gesetzten gebrochnen Linie A P 1 P 2 P 3 . . . P n - 1 P eingeschlossen is t j wird demnach

t t — a * . ™ \ e ™ — e ro) sein. D i e s e F l ä c h e nähert sich aber immer mehr unrl mehr

2 2

leicht überzeugen k a n n , wenn die Koordinaten positiv sind und y > y, der Flächen

inhalt des D r e i e c k s , welches die beiden Puncte P , P , und der Anfangspunct der

Koordinaten O bestimmen — c>^~~ sein« W e n d e t man diefs auf die gleichseitige *L

g t i e—t e t e—t g t ' JL, c — t '

Hyperbel an und setzt x~a ^ , y — ci 2 > S 0 ^afs x'~a 2 »

g f e — f

y'~a , so «rhält man für den Flächeninhalt eines D r e i e c k s , dessen Schei-J»

tel im Mittelpuncte dcr Hyperbel liegt, und dessen Basis die Sehne des hyperbolischen

ß o g e n s P P ist, x y ' — Y x a?r. t _ n . .< _ t ' , , t _ t v t ' , _ t o a? e ( 1 ' " " ^ — e ~ ^ ' ~ 1 ^ • J

2 '— = § [(e1 + e l)(el — e ) — (e r — e l){el + e 1 ) J = - .

§. 21. Denkt man sich nun vom Scheitel A der gleichs. Hyperbel bis zum Punc-

e * j _ c — t ( e t e — t te P , dessen Abscisse — a 0 , u n d d e s s e n O r d i n a t e - « ~ ,m — l P u n c t e

Ji

P 1 ? P 2 » • • • ^ m - P

t t 2 t _ 2 t 3t _3 f 4c 4 t „ra I _ m f,rn i „ m em t e in m i „ in

d e r e n r c s p . A b s c i s s e n a ^ _ _ _ t _ f , a _ — Z T - - — , « - — X , aZ—T e „ , etc. 2 2 2 2

I _ 1 « _ « 5_t _ 3 t 4t _ 4 t i- r

und derenOrdinaten ~ e m , « ^ H ^ , aP™ - e ™ t c >

2 2 2 2

s ind , so werden alle m D r e i e c k e , welche von j e zwei nächst aufeinanderfolgenden

.Puncten vom Scheitelpuncte A an bis zum Puncte P, und dem Mittelpuncte der Hyper -

Page 130: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

^ rz ^ 1 " e ™) m unendlich grofs annimmt. Es ist aber , wenn e die Basis der na-2 2

tiirlichen Logarithmen bedeutet,

1 t P f> e m = 1 + - + ~ + + + etc.

1 m m2 1 772? m*

t , t2 t'> —~ . t . C C , C ,

e m = 1 — - + — — — + — + etc. 77i nv mj m 4 , • • -,

i _ i tl %

D a h e r m g I " ~~ e = £ + — 2 + — + etc . , u n d w e n n m = o o , ~ 2 ni2 in*

>t 1 g""t £ , — ^ f Es ist also dcr hyperbolische Sector A O P , weil x ~ «..-—^ , y = «. >

foJglich e l = x~^y und £ — l o g n a t — i ^ , = r ^ . / = ^ . l o g n a t ^ t ^ . ° a 2 • 2 D a

Nimmt man die halbe A x e a dcr gleichseitigen Hyperbel zur Einheit an, und be

zeichnet die Abscisse und Ordinate eines Punctes P d e r H y p e r b e l durch |, V y so dafs

j i 1 — n" — 1» s o erhält m a n , wenn der zu v gehörige Sector O A P durch s ausge

drückt wird , s — \ l o g n a t ( | + w ) , oder weil f = l 2 5 = l o g n a t ( ^ T + " ^ _j_

und wenn wir diesen Logarithmen nach (§ . 17.) durch eine nach den natürlichen P o

tenzen von ti fortlaufenden Reihe ausdrücken,

_ i o_ L _ 3 * 5 _ i . 3. 5 f|7 , 1. 3. 5. 7 r,9 2 s — 9 — ! • j + 2. 4'5 2. 4. 6*7 + 2. 4. 6. 8*9 e t C *

2 |

| W = 1, ^ x l o g n a t i ^ t A = £ log nat = | log nat ^ ± | ,

§. 22. W e i l log n a t ( # + v ) = i l o g n a t ( / + v) r oder auch wegen

i _»

2* 3 ~ ~ _ _ i J - £ # — v ' >?

so hat man (Vor l . 1. §. 65.)

2 , = 1 + i ( l ) 3 + i ' Q ' + K I ) ' + K D ' + " -

dem hyperbolischen von der halben A x e A O , dem Radiusvector O P , und dem Bogen

VP begränzten Sector. Man erhält also den Flächeninhalt desselben, wenn man in

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« _ *> ä*

Ausdrücke für 2s, #, y ergeben haben. Substituirt man daher in denselben und a a

^

resp. für # , y, s, so erhält man a?

2 > = 6 - = r a O 3 + m © ' - r Ä ' r © T +

= < ^ + * © 3 + » © 5 + * © 7 + * © 9 + ^ • . i ^ 2 S A S • / 2 S V i / 2 f S 5 , ^ 2 S \ 8 . . \ * = a O + fe)« ^ fe). + fe). + fe). + '"•)•

, 2 S , , 2 S N 3 , 2 S . 5 , , 2 S s ' , , r2Sx» , , \

y , = " fe+ fe). + fe). + fe). + fe). + 0 1 0 O -

§. 2 5 . Aus den beiden (§ . 23 . ) gefundenen Gleichungen ergeben sich mehrere an

dere interessante Sätze , v o n denen wir die wichtigsten entwickeln wollen. e 2 * _L e ~ 2 s

€ 2 j e ~ ~ 2 s

W e i l nämlich Ahsc. s = ^ , Ord. s = —

§. 2 3 . Aus 2s = log nat (^ + jy) folgt e*S = 2+v, w o e die bekannte Basis der natürlichen Logarithmen bedeutet.

2 2 —as 1 £2 — rfi

Da nun | —ti = 1 , so erhält man e = — = , — : — ~ ? — E s ist also

i + n I + * _ jL. e—^s e ~ 2 s

| + v = e * und # — « = c Ä , folghch # = ^ , und v = ^ ''

Es ist aber (§ . 5.) = 1 + 2 * + ( 2 * ) 2 + (2sfc + ( 2 Ä ) 4 + {2s)Sc + etc.

und 6 - " = 1 - 2 * + ( 2 , ) 2 - (2*)5 + ( 2 , ) 4 - ( 2 * ) f + etc.

f>w _L_ p — 2 £ 3 4 6

fo!gHch ^-=Y~ , oder i = 1 + ( 2 ^ ) c + (2*)? + ( 2 * ) c + etc. p 2 s — p~~1is 7. >> n

und ^ , oder * = 2 * + ( 2 Ä ) J + ( 2 * ) J + ( 2 s ) J + etc. . §. 24. Hätte man in dcr (§ . 21.) gefundenen Gleichung S = -*- a * . I o g n a t ^ i ^ - — >

a a r S

s gesetzt , so würden s i c h , auf gleiche W e i s e , die so eben gefundenen

Page 132: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Absc. s . Absc. t 2 t f - 2 t

e 4 - e

Ord. s . Ord. t = ±(e**+2t - e 2 t — 2 *

— e

Ord. s . Absc. t = * ( e * + M + 23—2t

e 2 t - 2 S

— e

Absc. s . Ord< t » / 2sAr2t - 3 ( e — e + C —

Daraus fo lgt :

Absc. s.Absc. t + Ord. s.Ord.t = 4 - c - ( a * + a t ) _

Absc. (s Ar t) Absc. s.Absc. t + Ord. s.Ord.t = 2 "

Absc. (s Ar t)

Absc. s,Absc. t — 0 n & s.Ord.t = g 2 J - 2 t

4 - e a t - 2 " Absc, (s — t) Absc. s,Absc. t — 0 n & s.Ord.t =

2 Absc, (s — t)

Ord. s.Absc. t •^- Absc.s.Ord.t — g 2 5 ^ 2 t

Ord. (sArt) Ord. s.Absc. t •^- Absc.s.Ord.t — 2

Ord. (sArt)

Ord. s.Absc+ t — Abse.s.Ord.t = e a j - 2 t

Ord. (s — t) Ord. s.Absc+ t — Abse.s.Ord.t = 2

Ord. (s — t)

§ . 2 6 . Aus den so eben gefundenen vier Gleichungen ergeb en sich unmit(elbar

fo lgende:

Absc. (s + t) + Absc. (s - = 2 ^ 5 C . Absc. t

Absc. (s -- t) — Absc. (s - ^ 2 0 / < Z . s . Ord. t

Ord. (s Ar t) Ar Ord. (s --l)- = 2 Ord. Absc. t

Ord. (s Ar t) — Ord. (s - 2 y 4 < W . Ord. t

Öder wenn man 5 + t = «, s — t — ß setzt, so dafs

$ = S L i J 3 , t = U ~^ - j so erhält man.:

ct - j y3

^ & 5 C . « + ^&sc . 0 = 2 ^ f o c . - 2 . Absc.

Absc. « _ ^fösc. ß = 2 Ortf. . Ord.

. , Orrf. cc + O / Y Z . yS = 2 OrrZ. . ^ f o c . 2t

Ct — f

Ot — ß ~ 2 ~

Ct — _ß ~ 2 ~

« — ß

so ist

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§. 27. Setzt man in den ersten beiden dcr vier letzten Gleichungen ß — 0 , so

erhält man, weil Absc . o = 1.

Absc,x Ar 1 =r 2 Absc?%* Absc.* — 1 = 2 Orcl. ~ 2

A 1 u yAbsc. « + 1 ^ 7 * yAbsc. * — 1 Absc. - = Jf 2 ^ - > ° l d ' 2 = 1 2

§. 28. W i r d in der ersten und 3tcn dcr ( § . 26.) gefundenen Gleichungen

a — (77i + l ) s , ß ~ (m — l)-s gesetzt , so verwandeln sich dieselben in

Absc. (mAr^)s + Absc. (m — 1 ) = 2 Ab$c. ms . Ah<sc. s

Ord. (mArl)s + Ord. (m—i) — 2 Ord. ms . Absc.s

oder man hat , wenn wir (§ . 2 1 . ) Absc . s — Ord. * = v setzen,

,- v , Absc. (mArl)s = 2 # . Absc. ms — Absc. (m — 1 ) * >..t

: - ' j Ord. (m + l ) s = 2 # . Ord. ms — Ord. (m-l)s

Bedeutet nun m eine positive ganze Z a h l , so bilden sowohl die A h s c i s s e n a l s

die Ordinaten der vielfachen Sectoren zwei sogenannte w i e d e r k e h r e n d e Reihen

Absc. s, Absc. 2 s , Absc. 3 , s , Absc. 4 s , Absc. 5 * , e<c.

Ord. s, Ord. 2s, Ord. 3s, Ord. 4 5 ) Ord. os, etc.

in welchen jedes Glied aus den zwei nächst vorhergehenden abgeleitet werden kann,

indem man das nächst vorhergehende Glied mit 2 | multiplicirt, und das 2te vorher

gehende von dem Producte abzieht. I)iefs gilt auch von den doppelten Gliedern.

Demnach ist

2 Absc. o = 2

2 Absc. s — 2i

2 Absc. 2s = ( 2 | ) 2 ~ 2

2 Absc.3s = ( 2 # ) 3 — 3 ( 2 # )

2 Absc. 4 5 = ( 2 ^ ) 4 - 4 ( 2 # ) * + 2

2 stbsc.5s = (2if - 5 ( 2 # ) 5 + 5(2f)

2 Absc.6s = ( 2 f l 6 - 6 ( 2 # ) 4 + 9 ( 2 # ) 2 ~ 2

2 ^ f c c . 7 * = ( 2 # ) 7 - 7 ( 2 # + 1 4 ( 2 # ) 5 - 7 ( 2 # )

2 Absc.Zs = (2if - 8 ( 2 # ) 6 + 20(2|)4 - 1 6 ( 2 | ) 2 + 2

etc. etc. etc.

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Alle diese Ausdrücke für die Abscissen der vielfachen Sectoren s ind , wie man

sich leicht durch Versuche überzeugen k a n n , unter folgender allgemeinen Gleichung

begriffen,

.m m — 2 m m—4 m . : 2 ni—6 2 ^ c . m * = ( 2 | ) - m ( 2 # ) + |\(™_ 3)(2#j * _ ^ ( m _ 4 ^ ( 2 * ; + e t c .

U m diesen Satz zu bewe i sen , darf man nur noch ze igen , dafs

ni m — 2 7;2 x m—4 m : 3 m — 6 „ ' (2|) - m(2#) + ™( m _3 ) (2#) 4 _ 2 ( T O _ 4 ) / ( 2 * ) + etc. - Q m

gesetzt , die Glieder der Reihe Q 1 , Q 2 , Q 3 , Q 4 , etc. eine wiederkehrende Re i

he bi lden, deren Beziehungsgleichung dieselbe ist , wie die der Reihe 2 Abse. .9,

2 Absc . 2«, 2 Absc . 3 s , etc. Es ist aber :

Q f f l + , = (2f)™+ ,-(-+l)(2i)m-+'4? M ( 2 f r " ' - ' ^ ( - 3 ) > i r - V . c .

= . - (2/r-' — (-n - mtT^+^^ytT5+^. und weil

m 4 _ l , ^ * — 1 w - l v *\ : r ~~ 2 + 1 m—r , v ' - a ™ ± 2 . (m - r ) c - TZ_Ä (m-r ~ l ) c - ( ^ T " • ^ - F = T > ^ - 1 )

_ m (m — 2r4-1) * N : r ~ 2 / * \ : r — I

~ • r . ( r _ 1 } . ( » * - r - l ) c = - . ( , n - i — l ) c ,

so erhält m a n :

Q m + , + am_,=(2fl^'-«.(2«m-4f(--3)(2ir-3-^-<(2/r-5+c tc.

= « Qm-

Es bilden also die Gröfsen Q 1 , Q 2 , Q 3 , etc. eine Reihe, in welcher j edes Glied

aus den zwei nächst vorhergehenden abgeleitet s ind, wie das correspondirende Glied

der R e i h e : 2 Absc . 2 Absc . 2s, 2 Absc . 3s, etc. aus den zwei nächst vorher

gehenden Gliedern. D a nun Q 1 = 2# = 2 Absc . s, Q 2 = (2#)2 — 2 = 2 Absc . 2.s,

so müssen auch alle übrigen Glieder der Reihe Q 1 , Q 2 , Q 3 , Q 4 , etc. den resp.

Page 135: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

v

Ord. 2s — v(2$)

Ord. 3s = * ( ( 2 f / - 1)

Ord. 4s — — 2 ( 2 / ) )

Ord. Ss — - 3 (2|) 2 ' + n . . ? r , ."''4".'' . ,>' Ord. 6.5 = «((2#)5 - 4 ( 2 | ) 3 + 3(2*) )

Ord. 7s = ^((2#) 6 - 5 ( 2 # ) 4 4 - 6 ( 2 # ) a ~ 1)

Ord. 8« — *( (2|) 7 — 6 ( 2 # ) 5 4- 10(2#) 3 - 4 ( 2 « )

Ord. Os = - ( ( 2# ) 8 — 7 ( 2 # ) 6 + 15(2#) 4 — 10(2#) ) 2 + 1)

e t c etc. etc.

und allgemein

Ord. ms = * ((2 # ) m ~ l - {m - 2)(2 i)m~* + (m - 3 ) ' 2 ( 2 | ) m ~ 5 - (m - 4 ) ? ( 2 # ) , n ^ 7 + e t c . )

Setze man nämlich

, ((2 l)m-1 - ( w - 2)(2 f ) m - 3 + .(m ~ 3)c' (2 i)m'S - (m - 4 ) * (2 rf""7 + etc.) = P m

so dafs

Pa+i=«(Zi)n~(m-WiF-*+(m-2£ + e t c )

p m - 1 = * ( ( 2 f ) m ~ 2 - - 3) R 2 f , 1 " - 4 + ( m - 4 ) * (2 # ) m ~ 6 + e t c )

so erhält m a n , weil • Y

(m — r) c — (m — r — i)

— {*n — r — \)'c\

: r - i /c

,m — r , -v r - 1 m-2r , « v ' " 1

( _ l) . ( m _ r ~ 1 ) c - . {m-r-*)c

Gliedern der Re ihe : 2 Absc . s , 2 Absc . 2s, 2 Absc . Zs, etc. gleich, oder es mufs

allgemein sein:

ä 2 Absc. ms = Q ^ = ( 2 # ) " 1 — m ( 2 # j m ~ 2 + ^ ( m . — 3 ) ( 2 | ) m " 4 — etc. tT>

§. 29. A u f ähnliche W e i s e erhält man vermittelst der Gleichung Ord. (m + l ) *

= 2# Ord. — Ord. ( m - l ) s

Page 136: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

oder Absc, s

und ti oder Ord. s

e** Jn e~2s

2

„3.5

Daher ist auch •.

g2.TJ J _ e—2xs e*XS g~~2XS Absc. xs = £ , und Ord. xs = ^ »

o d e r , weil (§.23.) # + v = e2s # — v = e~2\

A h c s . x s = « + ' ) ' ± _ i J ^ !

0rd, x s = <Lt*L^JL=JC. \ Es ist aber

(#+*)* = t + , + » n~* + 4 i r 3 + 4 * r 4 * 4 + e t c -

(|_,)" = |x - + ^r-W - x * f T * * + * c 4 C ~ 4 * 4 - etc.

Folglich v

P r a +, + Prn-x = . ( ( 2| ) m - ( m - 2 ) (2 * ) m ~ 2 + ( w -3) - 2 (2|) m ^ _ ( w _ 4 ) ^ 2 | f - 6 + e t c .

= 2# P m

Es bilden a l s o , weil Ord. (m + l ) s + Ord. (m-i)s '2= 2* Ord. 7 n s , die G r ö -

Tsen P, P3) P4J e t c * € i n e wiederkehrende R e i h e , deren Beziehungsgleichung

dieselbe i s t , wie die der Ordinaten der vielfachen Sectoren.

D a nun die ersten correspondirenden Glieder beider Reihen einander gleich sind,

so müssen auch alle übrigen einander gleich s e i n , oder es mufs allgemein Ord. ms

= P m sein.

§. 29. W i r haben (§ . 23.) g esehen , dafs für jeden bel iebigen, von der halben

A x e OA = 1, dem Radiusvector OP, und dem Bogen AP, begränzten Sector der

gleichseitigen Hyperbel

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K" i und desto gröfser ' 1 — — oder 9', kann aber nie = 1 werden. Macht man also das Per

pendikel A Q der halben A x e A O gleich, und zieht vom MitteIpuncte O der Hyperbel die

grade Linie O Q , so wird d iese , wie weit man sie auch verlängern m a g , sich der

Hyperbel immer mehr nähern, sie aber nie schneiden. Man nennt diese Linie die

A s y m p t o t e der Hyperbel . Sie macht in de* gleichseitigen Hyperbel mit der A x e O . , ' . ' .

einen W i n k e l von 45. • «; • r

§. 31. Setzt man in den beiden Ausdrücken

M - (f + * ) x + ( * - » ) * nj U + ( i ~ *)X * Absc. xs = - • — ^ — - Urd. xs = ^ »

wegen |* — vz = 1, i = Y~l + » 2 , so erhält man:

A b s c , x s = ( n + * + ,)* + ( H + - - ,)* " '

ord. « = ( n + * + j y - <ri + * _ ^ j r

Xiin ist (§ . 15.)

JC , :a *x—2 2 . :4 *x-4 „4 I cx~6 6 • ^ . .

;.f.-j Absc. xs — f Ar xc i v Ar xcHi H» + xc $ v Ar etc.

Ord. xs = xf"%Ar x * f - 5 « 5 Ar x * ? ' 5 « 5 + * ? * X ~ V + etc.

O d e r , wenn man | = S setzt, .> ' ( .

' ^ Absc.xs - i x ( i + 4 2 ' 1 + 44*4 + 46*6 + ***0 O/U X* = |*(tf* + + C5-*5 + X C d l + etC«)

_ I

Man übersieht le icht , dafs , wenn man am Ende der halben A x e O A der gleich

seitigen Hyperbel oder im Scheitel A auf O A ein Perpendikel errichtet, welches den

Radiusvector in Q schneidet , diefs Perpendikel A Q = 6 sein wird. W e i l , wegen der

2 2 2 4 j .

Gleichung der gleichseitigen Hyperbel £ — y = 1, « — | — 1 , so mufs - oder 1 1

0 = J ^ " ( 1 — s e i n . Je gröfser demnach die Abscisse | w i r d , desto kleiner w rird

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W e i l i = yi + n2, so ist auch • . : ; . . . j , ^ ,

• ' • ^ , . , . , = | . ( r i J i + i * + « ^ L = ^ f ) •

2 ^ p + T 1 + ^ /

ord rs = * r ( K ^ + ^ L + _ ^ ! _ (Y^Ftz^\ Ord. xs r f T >

Es ist aber §. 16* ^ r E t L ± ^ = 1 + * » + ( * + D ^ ' V + ( » + 2 ) f , 3 + ( * + 3 ) f » 4 + « c .

K " 1 + " 3

5 C L ± £ ^ Ö L = , - * , + ( x + l £ V - ( x + 2 ) * V + ( x + 3 ) f / + « e .

^ l 4 - , 3 C C ' C 1

_ 1 . v ' - ; ^ ' > 1 • - , w . » V Folglich

Absc. x s = i (1 4 . Ix 4 . ! ) * ' * v3 + + 3 ) 4 ' 2 + ( . r + 5 ) e ' * 4 - etc.)

OrfZ. x s = i (xn 4 - (x Ar 2)\'2 £ Ar {x + 4 ) ^ 2 v5 Ar (x Ar ^)T *? + etc.)

oder auch •' u wf:'

,vrm , , v * _ , 1 L ^ 2 2 , ^ 2 — l ) S,X%X*^) 4.X(x*—l)(x*—<>) 5 , '

C r i + + n) = 1 + * » + ^ » + — 2 T T " " + " 2 7 3 7 " 4 ' + ' 2 / " 3 . 4 T r " ' +

/t/- JC X2 2 # ( x 2 — l ) 3 , x < * 2 — 4 ) 4 x ( ^ - 1 ) f A ^ 9 ) 5 ,

O T i + * - • ) - 1 - * t + r t - , + ^ 3 7 4 ^ 2 7 3 7 4 T 5 - » + e i c "

D e m n a c h : •**^**

« , A ' 2 2 ^ 2 ( A , 2 _ 4 ) 4 ^ 2 ( ^ 2 _ _ 4 ) ( ^ _ _ 1 6 ) 6

_ 1 + _ t + ^ L _ - ^ + _ J ^ ^ A _ , + etc.

n j _ . x(x*-i) 3 . * ( . v = — l ) ( x 3 — 9 ) 5 ^ 2 _ i ) ( . v * _ 9 ) ( ^ . 3 _ _ 2 5 ) 7 . , Ord. ^ - ^ + - 0 J f f + 2 - x b J y + - 2 . 3 . 4 . 0. 6 . 7 ~ v + c t c -

. r ^ ! ^ t 1 . .'• •"> • '.

oder auch v - O " e * ^ a n

^ I x

5 t r n \ 3 / J 4 I r A\5,% 6 1 7

^ f o c . * 5 = 1 + 2 ' * v + 4 O + 2 ) c * + 5 ( * + 4 ) C n + { > t C * v V - ' f

, , x f , . . 3 , 3 3 , ^ , , O N 4 / a 5 ^ 6 , 2 7

Ortf. . r Ä — J c v + ^ ( x + 1 ) c v + 5 ^ + 3 ) c n + 7 ( * ' + 5 ^ v - h e i c .

w o wegen dcr Bedeutung der Coefficienten in (§ . 15.) nachzusehen ist.

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und S„ — 2*4-20_-2( 4-n0) —2u^-ß __ p—*(*+(aAri)ß) > ^ - 1 e$-e-fi

S"4-S ea(a^(n+l)0)_e~2(«+(n4-|)0)_^2«-0_e-2«i-0) Also = 2(eß-e-ß) " ^

• • <._ - ' v -• . •. c[ ~ 0 r c l (« + + t)—'Qrt/» (« —1) - r s or ^ 4b8C.(« + lß) Ord.(n-rr)$ 2 O/U 10 ' l 9 j O/U i0 ~ ~~ Sn ~ Sn 6«(«+<"+2)0) 4- e~2(« -(n+l)0) _ (ea*-0 e~**+ß)

und • — ~—' , Q 0 "

2 2 (eß — e-P)

i > . v • r •T> •

V - Absc. {« A- (n + f ) ß) — ^>M. (« - 1 ) _ 2 6 } Q ' ^ (" + "J) Ord^^ß 2 O / U f0 l8' 0/Y/. |0

Demnach ] - - , *^ # / 1 «\ ! / . n»\ - ( T «\ ^W.r«+"0) 0/U(/Z+1)'2

Absc, « 4- ^6*c. (« + ß) 4- Hwc. (« 4-20).. i- Absc. (ct Ar nß) = ^ , j und .•V ^

^ Qn] (uA-Pß) Ord.(nArl)& Ord. *ArOrd. (»Arß) + Ord. (« + 20).. + O/U (u + nß)= 1~~^Ör~a%~Tß ^

„ -*<y 1 ^ 2 — 1 2 , (x*-l))x*-9) 4 , (.v9—l)(.v5~-9)(,yg—25) 6 Absc. xs - $ (1 - f , + i — ^ 7 1 + 2T3T4r5T6 * + Ptc') ~ . s , , * ( * = - 4 ) 3 . * ( ^ — 4)(.v2 — 16) 5 , 4 . i • \ Ord. xs =,*frHr -273T* + 2. 3 . 4 . 5 ' + ^ . , A S _

§. 32. Bezeichnet man dic Summe der geometrischen R e i h e : ,

+ e»C-+ ) + / ( - ^ ) + fi*«+3Ä + e»U+nÄ d u r c h g(0 „nd e - 2 « - + 1 8 ^ . c - a « « + f l Ä + C - * C + 3 Ä + e-*(«+n0) d u r c h ^

so erhält man

S(n) 4- S Absc. * + Absc. («4 0) + ^Z>sc. (« + 2 0) . . . + Absc. (« + rc0) = -und

0/Y/. « + Ord. (« 4- 0) + Ord. (« + 20) + 0/U (* + 3yS)... + Ord. (« + »0) =

Cn) caC*+Ca+0 ) — c » * e ( +(n+|)0)_e2a-ys Nun ist aber S = „ = 5

e*P-l eß — e-P

Page 140: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

(

Es ist nämlich

2 9 —2 s • -, — r . 2 9 • • e — e

— 2 + € ^

( 2 « ) 3 e - 5 s * * 4 ä T 2 * — e

( 2 * ) 4 - ^ 4 - 4 e ~ A s 4 ^ 8 " ?

M 5 — tos e - Se6'+ <oc*5 -<oe*"< + 5 e - 6 ' ^ - e - , 0 f f .

etc. etc. etc.

§ . 3 3 , W e i l 2 # = 4 e~2' = e** (t 4 e~A*) ^ t V ^ ' . . ........ ; '••y

/ n »,ni 2 m s • — 4 J » : 2 —8S i : 4 v ~ i * * ? , \ so ist (2#) = e (1 + m e 4 4 m e e ° 4 7 « ^ e 4_ e t c . )

amj , 2 ( m - 2 ) j . : » a < m — J > . :3 2<m -6)s , . . ' T

r= e 4 me 4 mc ,J 4 mce + etc.

Diese Reihe ist endl ich, wenn m eine positive ganze Zahl i s t , und wi rd , wenn

m a n s i e u n i k e h r f , ^ 7

—imj , — 2 ( m - 2 ) j . : 2 —2(m—A)s , •.Z —a(-m-G> ,

= e 4 me ' 4 * m

c

e 4 " V e + e* so dafs "" ^ , „ ,m ams , —2ms , , a(m—a)j , —2(m—2)s, • :a , a ( m - 4 ) * , —2(m— (21) — e 4 - e + m (« 1 4 e ) 4 m c (e H ; + e ' )

= 2(Absc ms 4 " 772 Absc(m—2)* 4 " 7 7 i ^ 2 Absc. (m — 4) 4 " e t c * )

w o das letzte Glied %m'J oder m'J Absc.sist, j e nachdem m — 2 /• o d e r = a / - 4 - 1 ' ist.

Man hat demnach ß - ' ^tösC. S = ^Z>SC. "" 1 ; V <

2 Absc.2 s = Absc. 23 4 " / ' . •.

2 3 2 Absc. s = Absc. 2s 4 " 5 Absc. s ? "'^' .

' sr>Absc^s Absc. 4s 4 4 ^6 . sc . 2,5 4 3 -4 5 " '

2Absc. s = Absc Ss 4 SAbsc. 3s 4 Absc. s ' •

25Absc.6s = Absc 6s + 6Absc. 4s 4- i5Absc, as 4 /0

^

ü^Absc s = ^ f o c . 75 4 yAbsc Ss 4 2* ^ 6 a c . 55 4 3SAbsc. s

etc. etc. e tc .

§. 34. Eben so erhält man ähnliche Ausdrücke für die Potenzen der Ordinate v

des Sectors s.

Page 141: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

t Ord. s = Ord. P-*>'V'''''-- 2 Ord2 s = Absc. — /•

2*Ord*s = Ord. 3s — 3 Ord. s

QZOrd.4s — Absc. — 4 Absc. 2s 3

2*ßrd.5s = Ord. Ss — S Ord. 3s 40 Ord.

26Ord.6s —• Absc. 6s 6 Absc. 4s + i5 Absc. 2<S — iO

26Ord.7s = O r d 7S — y Ord. Ss 4 - 21 Ord. 3s — 35

etc. etc. etc.

und allgemein

m^~f m c 2 *Z2 2 C W . s—Absc. ms—m Absc. (m-^2)s 4 - mc Absc. {m—4).... + mc'2

: 2 . m - i

oder —Ord. 7ns — mOrd. (m—2)Ä + m c Ord. (m—4).... jt\mc' 2 Ord.s,

j e nachdem m eine gerade oder ungerade Zahl ist.

§. 35. Ein Perpendikel P Q — v vom Endpuncte eines Kreisbogens A P — s, des

sen Mittelpunct O und dessen Halbmesser = 1, auf den Halbmesser O A oder dessen

Verlängerung gezogen , wird der S i n u s des Bogcns A P = 3 s oder des dazu gehörigen

Winke l s A O P genannt , nnd die Entfernuug des Fufses Q des Perpendikels P O vom

MitteIpuncte O oder O Q = | , heifst der C o s i n u s des Bogens s. Man drückt diefs

durch Zeichen so aus : y = si71 s} £ — coss. W i r d der auf beiden Seiten von O verlängerte

Halbmesser A O zur Abscissenlinie und der Mittelpunct des Kreises zum Anfangspunc-

te der Abscissen angenommen, so ist auch v oder P Q rlie O r d i n a t e , und | oder

Q O die A b s c i s s c desselben Punctes P in dem Umfange des K r e i s e s , dessen Glei

chung | 2 + y2, — E Aus dieser Gleichung ergicbl sich zugle ich, dafs sins und coss

für jeden W e r t h von s einc solche gegenseitige Beziehung zu einander haben , dafs

C O S 2 S 4 " Sl7l*S = E • '•.«'v:7 •.

Man Übersicht le icht , wenn sin s =i r , cos ~ | uneT s < \ w o 9 den halben

Umfang des Kreises bedeutet, dessen Halbmesser = 1 , dafs alsdann sin(* s) = tj,

Demnach - * '

Page 142: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

sin(*: Ar s) = — v, sin(2 n — s) — — * ; cos (* — s) — — £, cos(a Ar s) — — £, cos(2n — s) — £

sein mufs. Nimmt man den Bogen A P als positiv a n , so mufs der Bogen A P , wenn

P auf der entgegengesetzten Seite von A l iegt , als negativ betrachtet werden. Nun

überzeugt man sich le i cht , dafs d i e S i n u s s e z w e i e r g l e i c h e n a b e r e n t g e g e n -

g e s e t z t e n B ö g e n g l e i c h a b e r e n t g e g e n g e s e t z t , d i e C o s i n u s s e a b e r g l e i c h

u n d g l e i c h a r t i g s e i n m ü s s e n .

§. 36. D i e Exponenten der Verhältnisse j e zweier dcr drei Gröfsen *i, £, 1 wer

den ebenfalls durch eigene Namen und Zeichen ausgedrückt. Es wird nämlich £ 1 . 1

- die T a n g e n t e , - die C o t a n g c n t e > y die S c c a n t e u n d ^ die C o s e c a n t e des | ° n ° £ v

Bogens s genannt. Man drückt diefs durch Zeichen auf folgende Art aus: — tans,

£ 1 1 - — cot s, - = scc s, - = cosec s. v £ v . ,

. i J J ü Aus diesen vier Gleichungen folgt unmittelbar

* .- ••• • ; -; ..... :i' vJ^:iK >fc

-.n.~ — tans, -0^S- — cots, - — secs, — = cosecs, und daraus wieder : cos s sin s cos s sin s

'' sin s — cos s tan s, cos s — sin s cot s, 1 r = cos s sec s z= sin s cosec s = cot s tan s.

Überdiefs findet man daraus noch mit Hülfe der Gleichung cos% + sin*s = 1, die

beiden Gleichungen iArtan*s-sec*s, 1 + COt2S = cosec*s. " ; - ' '•s-.- '-v'

Zugleich ergiebt sich aber auch aus denselben, weil

sin{n — s). ~ v, sin(reArs) — — y, sin(2it — s) — — y 1

cos(n — s) — —£, cos(nArs) — —£, cos(2n — s) = £ 1

dafs r '* ; '*

tan(* — s) — — tans, tanUArs) — tans, tan(2x — s) = — tans

cot (*— s) r r — cots, cot(*^s) = cots, cot(2w — s) = — cot »*'

sec («• — s) — — secs, sec(*Ars) = —secs, sec (2* — s) = sec s

cosec (tf — s ) ~ cosecs, cosec(nArs) — —cosecs, cosec(2ir^-s) — —cosecs.

Aus den vier Gleichungen — i a n s £ £ ± 2 . r - c o £ s J L = secs , cosecs coss sins 1COSs sins

verbunden mit dem Satze, dafs Sin — * = — Sins, cos — s ~ coss folgt auch, d a f s

Page 143: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

d i e S e c a n t e n z w e i e r g 1 e i c h e n a b e r e n t g e g e n g e s e t z t e n B ö g c n g ] c i c h

u n d g l e i c h a r t i g , d i e T a n g e n t e n , C o t a n g e n t c n u n d C o s e c a n t c n , a b e r

g l e i c h u n d e n t g e g e n g e s e t z t s i n d .

Noch ist zu bemerken , dafs alle Bögen desselben K r e i s e s , deren gemeinschaftli

cher Anfangspunct A ist , und welche um ein Viel faches des ganzen Umfanges ver

schieden s ind, zugleich denselben Endpunct P h a b e n ; dafs folglich die trigonometri

schen Gröfsen: S i n u s , C o s i n u s , T a n g e n t e etc. a l l e rBögen , die um ein Vielfaches

des Kre isumfangesversch ieden s ind , resp. einander gleich und gleichartig, oder dafs

sin(2rxArs) — sins, cos(2rn + s) — coss, to(2r*fs) = lans, etc. sein müssen.

§ . 37. Nimmt man in dem Kreisumfange einen P 1 1 n c t B so a n , dafs A B positiv

und = |*r i s t , so ist das Perpendikel P R , von B auf den Halbmesser O B gezogen ,

der Sinus des Bogens BP. Es ist aber P R = O Q , folglich sin BP = cos AP> die

L in ie R O aber ist der Cosinus von B P , und weil R O = r p Q , so h;it man cos BP = sin AP .

Nun ist aber Bogen A F + B o g e n PB — | w , oder BP ist das Complement von A P ,

und umgekehrt A P ist das Complement von BP . Es ist demnach der Sinus und C o

sinus eines Bogens resp. dem Cosinus und Sinus seines Complements gleich. L iegt

der Punct P, von A nach B zu, über B hinaus, so dafs A P > | * , so mufs man den

Bogen PB als einen negativen Bogen betrachten, weil um von P nach B zu kommen,

die Bewegung der anfänglichen entgegengesetzt sein mufs. In diesem Sinne ist also

immer A P + PB = \ * , und A P kann auch jetzt von P B , und umgekehrt PB von

A P als Complement betrachtet werden. Es ist also allgemein für jeden beliebigen

Bogen A P — s , sins — cos(\*—s) und coss — sin(\* — * ) , oder d e r S i n u s

u n d C o s i n u s i r g e n d e i n e s B o g e n s i s t r e s p . g l e i c h d e m C o s i n u s u n d S i

n u s s e i n e s C o m p l e m e n t s .

Daraus ergiebt sich nun leicht der S a t z , d a f s d i e T a n g e n t e , C o t a n g e n t e ,

S e c a n t e , C o s e c a n t e i r g e n d e i n e s B o g e n s r e s p c c t i v e g l e i c h i s t , d c r

C 0 1 a n g e n t e , T a n g e n t c , C 0 s e c a n t e , S e c a n t e d e s C 0 m p 1 e m c n t s.

§ . 38. D i e trigonometrischen Functionen tans, cots, secs, cosecs lassen sich

Page 144: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

ebenfalls wie sins und coss, sowohl in Bezug a u f i h r e a b s o l u t e Gröfse als aneh ih

rer durch ihre Vorzeichen + und — angedeuteten Beschaffenheit geometrisch darstel

len. Man ziehe nämlich durch den Punct A eine auf O A auf beiden Seiten von A

unbestimmt verlängerte senkrechte Linie. Diese wird den Kreis in A berühren. Eben

so lege man durch den Punct B eine Berührungslinie. !.<?

Bezeichnet man nun die resp. Puncte , in welchen der verlängerte Halbmesser

O P die Berührungslinien von A , und B schneidet durch S i u v d T , so ist, wenn A P = « ,

A S — tans, O S = secs, B T = cots, O T = cosecs. W e g e n der Ähnlichkeit

der Dreieke O P Q , O S A , O T B ist A S : O A = P Q : O Q oder A S : 1 — sins : coss.

Demnach A S = — tans. Ferner ist O S : O A = O P : O Q oder O S : 1 = 1 : coss. COS S

Also O S = — sec e. Eben so hat man B T : O B = O Q : P Q odcr B T : 1 = cos s : sin s. COS S

Daher B T = —- = cots. Endlich ist O T : O B - O P : P Q oder 0 T : 1 = 1 : sins. StIl S

1 • - * . - ; 7 ".r*>.w' •, 'f Folglich O T = — — — cosec s.

° SlIl S

§. 39. Nimmt man die trigonometrischen Functionen sins, coss, tans, etc. für

alle positiven W e r t h von s, von s = o bis s =• \ «, als positiv an, so mufs die Seite

der Berührungslinie von A , sowohl als von B , in welcher alsdann resp. der D u r c h -

schnittspunct S , T l iegt , als die positive und die andere entgegengesetzte als die ne

gative betrachtet werden.

Eben so i s t , weil für AP oder * < \ « , der Punct S sowohl als der Punct T in

der Verlängerung des Radius O P , von O nach P zu l i egt , diese Seite als die positi

ve Sei te , und die entgegengesetzte Verlängerung als die negative Seite des « u f

beiden Seiten unbestimmt verlängerten Halbmessers zu betrachten. Befindet sich

also der Punct P im ersten Quadranten, so schneidet der verlängerte Halbmesser

mit seiner positiven Seite die Berührungslinie von A sowohl als von B auf der posi

tiven Seite. Liegt P im zweiten Quadranten, oder ist A P = s > und < « , so

schneidet der verlängerte Halbmesser mit dcr negativen Seite die negative Seite der

Page 145: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Berührungslinie von A . Ehen so schneidet e r , aber mit der positiven S e i t e , die

negative Seile der Berührungslinie von B, so dafs, wie wir bereits oben gesehen haben,

tan ( *— s ) ~ — tan s, sec —s) — — sec s, cot (*—s) = — cotst cosec (*—s) = cosec s

sein mufs.

K ö m m t d e r P u n c t P i n den d r i t t e 1 1 Q u a d r a n t e n , so schneidet der verlängerte H a l b

messer mit dcr negativen Seite die Berührungslinien, sowohl von A als von B, auf ihren

positiven Seiten. Daher tan = tan s, cot («• + s, — cot s, aber sec (* + s) =z — sec s

und cosec (n A^ s) — — cosec s*

Im 4ten Quadranten trifft die positive Seite des verlängerten Halbmessers mit der

negativen Seite der Berührungslinie von A , und die negative Seite des Halbmessers mit

der negativen Seite der Berührungslinie von B z u s a m m e n , so dafs tan(2n—,s) = — t a n s ,

sec(2rt — s) — secs, cot(2n — s) — — cots und cosec(2n — s) — — cosecs.

Es wächst demnach tans, von s = o a n , zugleich mit s; geht, wie man sich aus

zudrücken pflegt, aus dem P o s i t i v e n durchs U n e n d l i c h e ins N e g a t i v e über :

nimmt dann wieder ab und geht aus dem N e g a t i v e n durch N u l l ins P o s i t i v e :

dann wieder aus dem P o s i t i v e n durchs U n e n d l i c h e ins N e g a t i v e u. s. f.

D ie Secante i s t , für s — o, — 1 , wächst , und geht aus + durch OO in — über :

nimmt dann wieder ab bis — E V o n jetzt an wächst sie wieder, bleibt aber negativ,

und geht durch OO aus — in Ar über. Nun nimmt sie ab bis a11f4- 1 u. s. w.

Cot s ist, für s — o, unendlich; und, für jedes positive s < § * , positiv, nimmt ab

und geht d u r c h o ins N e g a t i v e über, wächst alsdannbis ins U n e n d l i c h e uud wird

darauf positiv u. s. f.

Cosec s ist, für s = 0, unendlich, nimmt ab, wenn s zunimmt, wird = 1 , wenn $ - i « ;

nimmt alsdann wieder zu und geht, für s=zv, durchs U n e n d l i c h e aus dem P o s i t i

v e n ins N e g a t i v e über , bleibt nun negativ und nimmt für s — in bis auf i ab :

nimmt jetzt wieder bis ins negative U n e n d l i c h e zu u. s. f.

§. 40. W e r d e n zwei Puncte P und P im ersten Quadranten des Kreises so an

genommen , dafs A P > A P ; und bezeichnet man ihre resp. Abscissen und Ordinaten 1 0

Page 146: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

122 Zweite Vorlesung. Über die Entwickelung -5

durch # , w; # , v', so i s t , wie man sich leicht überzeugen kann, der Flächeninhalt des

Dreiecks O P P = ~ v Nimmt man nun in dem Umfange einen dritten Punct 2*

P so a n , dafs der B o g e n A P 1 = dem Bogen PP gleich ist , so mufs die Sehne Al*,

auch der Sehne P P , und das Dre ieck O A P 1 dem Dre iecke O P P gleich sein. Es ist

aber , wenn A P = s , A P — s', also PP und folglich auch A P 1 = s ' — s , das Perpen

dikel von dem Puncte P 1 auf den Halbmesser O A , oder die H ö b e des Dreiecks

O A P 1 = s m ( s ' - s ) ; diese, mit der halben Grundlinie A O = f, multiplicirt, giebt den

Flächeninhalt des Dre iecks O A P 1 oder O P P = \ Sin(s'—s). Demnach ist

Sin(s'— s) £v'—v£' j r i !• i c / ' \ ^ - = . - , und iolgiich o m ( s - s ) — coss sins ~ sins coss.

3 2 2 2

§. 41. W e i l cos (s'—s) 4 " sin (s' — s) = 1 , so ist Cos (s'—s)-l— Sin (s' — s) ' 2 2 2 ' 2 2

= 1 — (£n—n£) . H a nun £ 4 ~ v — u n a < ^ 4~» — '*> S 0 * s t nuch

cos*(s'-s) = ( # * + 5 * ) ( / * + »4*) — (Zn'-4) = (ii+wf.

Es ist also cos(s'—s)— + (££ + vv'), w o , weil £, v, £, und auch cos(s'—s)

positive Gröfsen s i n d , wenn die Puncte P , P im ersten Quadranten l iegen, das Z e i

chen 4 " genommen werden mufs. Man hat demnach

Cos (s' — s) — cos s' cos s 4 " sin s' sin s*

§. 42. Setzt man s' — * . = e r , so werden die beiden s o eben gefundenen Glei

chungen fo lgende ;

* Cos a = cos s cos (s 4 - ff) ~ f * sin s sin (s + ff)

sin ff = — sin s cos (s 4 " ff) 4 " cos s sin (s 4 " ff). u -

Daraus ergiebt s ich, wenn man die obereGle i chung mit c o s s , d ieuntere mitsins

multiplicirt, das letztere Product vom ersten abz ieht , und dann c o s ^ 4 " S m * s = l s e t z t ,

Cos ff cos s — sin <r sin s = cos (s 4 - ff).

Page 147: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Ehen so erhält m a n , wenn man die obere mit sins, die untere mit coss multipli

c irt , und in dcr Summe beider Producte cos*s Arsin*s = 1 setzt,

• ! i • • cosa . sins 4 " siner coss = sin(sAr0')»

§. 43. D i e so eben gefundenen vier Fundamental - Gleichungen

^ cos(xAry) — cosx cosy — sinxsiny

cos(x — y) — cosxcoey Ar sinx siny

' - • , , . :\ - • . • w sin \x 4" y) —• sin x cosy Ar cos x siny

sin(x—y) = sinx cosy — cosx siny

sind unter der Voraussetzung bewiesen worden , dafs x, y positive Bogen bedeuten,

und dafs x Ary < § n. W i r wollen jetzt zeigen, dafs diese Gleichungen allgemein für

alle beliebigen W e r t h e von x, y wahr sind.

Substituirt man in den Ausdrücken rechter Hand dieser Gleichungen * — # für x,

so erhält man mit Berücksichtigung der Sätze (§ . 35 . ) :

cos(n—x) cosy-sin(n—x) siny — — cosx cosy—sinx siny = -cos(x-y) = cos(*—xArv)

cos(*—x) cosy Ar sin(n—x) siny = — cos x cosyArsin x siny = — cos(xAry)= cos(n—x—y)

sin(n—x) cos Y Ar cos(n—x) siny = sin x cosy — cos x siny = sin(x—y) = sin(*—x Ary)

sin(n:—x) cosy — cos(n—.r) siny = sin x cosyArcos x siny — sin{xAry) — sin(*— v — j )

D i e obigen vier Gleichungen (A) gelten demnach für alle positive W e r t h e von

x, y von denen der eine < | » , und der andere > J-» und < n.

Auf ähnliche W e i s e wird man auch finden, indem m a n » 4 - A r f ü r .v, 2 * — # f i i r . v

substituirt, dafs die vier obigen Gleichungen für alle positive Werthe von x, y wahr

s ind, von denen der eine < 1» , und der andere > « und < 2 » ist.

Nimmt man nun die vier Gleichungen (A) als bewiesen a n , wenn x positiv und

< i * und für jeden positiven W e r t h y < 2 » , so ergiebt sich daraus , indem

man wieder zuerst * — x, dann « + ^ , und endlich 2 » — x in den Ausdrücken rech

ter Hand der Gleichungen (A ) für x substituirt, dafs dieselben, für alle mögliche posi

tive Wer the x,y < 2 « wahr sein müssen.

Substituirt man endlich in den Gleichungen (A) 2 n * + x für x und 2 n * 4 -r fur>- , w o «

Page 148: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

(B)

124 Zweite Vorlesung, t lber die Entwickelung ^ '

jede positive oder negative ganze Z a h l , uml x, y alle positive Bogen < 2 » bedeu

ten, so ergiebt s i c h , weil (§ . 36.) cos(2nnArx) — cosx, sin(2n<xArx) ~ sinx,

dafs die v ierGIeichungen (A ) für alle beliebige positive und negative Werthe von x, y

wahr sein müssen.

§ . 44. Aus den Gleichungen (A ) erhält man unmittelbar: , ! v

cos(xAry) ~f" cos(x—y) — 2 cosx cosy

cos (x Ar y) — cos (x — y) =•—2 sin x siny

sin(xAry) Ar sin(x—y) = 2sinxcosy

sin(xAry) — sin(x—y) — 2cosxsiny.

U A~ ß a ™~" ß §. 45. Setzt man xAry — «, x —y = ß, so dafs x=-j-,y=—^—, undsuB-JL J

stituirt nachher wieder x für « , j ^ . f ü r ß, so bekömmt man : , 0 x Ar Y x — y

cos x A- cos Y — 2 cos —jr^- cos ——^-J 2 2 "- M - • ...

— o • x • x — Y • . css x — cos Y 2 sin — --- sin —

2 2 i • o • x + v x —y

, sin x Ar- siny — 2 sin — c o s —~~ — o A ' + r • x—y sin x — siny — 2 cos —~- sin —~ .

^ ^

§. 46. W e i l = fans, c o s - = cols, so ergeben sich aus den Gleichungen 3 cos s sin s ' ° e

( A ) durch Div is ion der dritten durch die erste , der vierten durch die zweite folgende

Formeln : tan(xA- ) tctnx Ar tany coly •Ar cotx

\* T J) 1 x x y \ J J ( D )

tan x — tany coty — cot x tan(x-y) ^ ^ f a n x f a n y cotx coty Ar 1

Eben so erhält man durch Divis ion der ersten Glekhung ( A ) durch die zweite,

der dritten durch die v ierte : cos (x -^y^ cotx — tany _ coty — tan x cos(x—y) ~ cot x Ar tany ~ cot y + tän x sin (x Ary) tan x + tany cot y Ar c°t x

sin (x —y) tanx — tany coty ~— cot x

(C)

>

Page 149: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

§. 47. Setzt man in der ersten und dritten Gleichung (A) x=y, so hat man

cos 2 x — cos2x — sin"x, und sin 2 x = 2 cosx sinx, und aus der ersten dieser

heiden Gle ichungen, weil 1 = cos*x Ar sin"x, crgiebt sich

1 Ar cos 2 x — 2 cos2 x, 1 — cos 2 x — 2 s w 1 .r ,

oder wenn man ~ für x substituirt, J ..~ -

2 _ a <£ . . 1 4 - cos x — 2 cos ^ , 1 — cos x = 2 s*7z r.T>' 2 2

(F) , x yX Ar cos x . x y\ — cos x v '

Demnach cos — — | —— , sin ^ — f ^ .

D e r Ausdruck 1 — cosx kömmt aueh unter dem Xamcn S i n u s v e r s u s oder

Q u e r s i n u s vor. Es ist demnach Sinv x = 2 sin*%x. §. 48. Aus der ersten der beiden Gleichungen ( D ) ergiebt s i ch , xz=,y gesetzt,

tan 2 x ^ tctnx 2 cot x 2 f — tan2 x cot2 x —• 1 cot x — tan x'

und daraus

cot2 x — \ cotx — | tanx, oder auch cotx = § cot \ x ~ \ tan \ x.

Folglich tan \ x — cot \ x — 2 cot x. (G)

2 2

§. 49. Aus 1 + cosx — 2 cos | x, 1 — cosx — 2 sin \ .v, und *

sin x = 2 cos \ x sin § x ergiebt sich

- *. . y\ — cos x sin x _ 1 — cos x

tCtlX> ^ OC — I - . 1"' . '' — * * V / ' 1 Ar cos x 1 + cos x sin x

§. 50. Man bemerke noch folgende beide Gleichungen: / x y) , sin (y A^ x)

- tanx ± tany = ^ ^ ^ , cotx ± coty = ^ ^ ^ y P) deren Beweis keine Schwierigkeit hat. »

§. 51. W i r haben oben (§ . 13.) bewiesen , dafs die Function ^(jc + r ß — « ) '

wenn man sie Kürze halber durch x beze ichnet , die Eigenschaft hat , dafs

(*+y)n - xti + xn-if + *n-2J2 + ^ n - 3 r 3 • • •• + * / n - » +

W i r wollen jetzt ze igen , d a f s , w e n n

Page 150: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Yb2I Ar P 2I x 1 4 " 1

w o d e r B o g e n s s o b e s t i m m t w e r d e n m u f s , d a f s tans-%^. oder s = Arc . tan.^-bl bl'

W e i l ^ x by — Qx Qy = 4 - ( ^ 4 - j )

und 0 * 4- 0 / = < P ( x 4 - r )

1 — x2 w2 + X4 — x6 M 6 4" XQ tt3 — etc. = r

u n d * « — Jc 3 «3 + * 5 — A'7 « 7 4- a: g uo — etc. = 0 * ,

«fr* J / j •— 0,v Qy — b(xAry) «

by Ar bx Qy = 0 ( # + j ) s e i n m u f s .

Setzt man xr Ar * r - a J a + *r-4JK4 + * r ^ ^ 6 4 " e t c - = ut *

und *,_,jK 4 - ^ W 3 J 3 4- * r - 5 ^ ' 5 + ^ — 7 T 7 4 " e t c - =

w o u alle Thei le der Reihe (xAry)t, in welchen die Factoren ya mi te inem geraden

A n z e i g e r , und v d i e übrigen Thei le enthält, w o r i n ^ mit ungerademAnze iger vor

k o m m t , so dafs (x Ar y) = w r 4~ so überzeugt man sich leicht durch wirkliche

Multiplication, dafs

b x by — 1 — u2 w < 2 4~ — uö w6 + tß — etc.

Q X Q y •= V 2 or — V4 «4 + V6 <J> — v aß 4 - ^ o)io — c t c >

0 JC by — X w — « : J + U5 w5 — o,7 4 - w uQ etc.

t ? / —y w — w^ 4 — 4 " — etc. r.-~

Daraus folgt :

$.v b y - $ x Qy — \~{u2ArpJ»2 Ar (w 4 + f 4 ) « 4 — ( M6 4 ^ ) ^ + etc.

= 1 — (xAry)2»s 4- ( x + j ) 4 » 4 — (*v + v ) g » 0 4 " etc. = &(x+y)9

und

Qx by + Qy = ( * + J ' ) « — ( w 3 + p 3 ) w 3 + ( " ö + ^ 5 )w' 5 — ( « , 4 ^ 7 ) « 7 4 - etc.

= — ( ^ + y ) 3 w 3 4 - {xAry)^ — G v 4 - j ) , w 7 4 - etc. = Q(xAry),

wie bewiesen werden sollte. §. 52. W i r d d i e B e d e u t u n g d e r Z e i c h e n bx, by d e s v o r i g e n §. b e i -

b e h a 11 c n , s 0 i s t . ' ^ . < b x j Q x

= cos xs und . : . •• ? — sin xs

Page 151: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Y b 2 I Ar Q2I JO 2I *+*

b x b y — Qx Qy — b(xAry)

• •, ' <P-v b y + b x Qy = Q (x Ary), .•,

und 4/ 3A- + 0 2 x = 1. ,2 ,2

Es ist also sowohl b x als auch Qx < 1. Man darf daher b x — cos£} by — cosv

se tzen , woraus Q x = z s i n i und Qy — sinv. Es ergiebt sich demnach

b x . b y — Q x Qy — cos £ cos v — sin £ sin n = cos (v Ar Z) = b (x Ary)

Qx . by Ar b x Qy — sin£ cosv — cos£ sinv — sm(ZAr *) — b { x ^ - y ) .

W e i l cos£ = £ x , c05j? = 4'V, cos(iArv) = ^ ( x 4 " r ) , so i s t , wenn man ^ F . s

setzt , v = F v , | + v = F ( x + y ) , und folglich Fx + F y = F ( * + y) . Es ist daher (Vor l . 1. § . 7.) F x = x F l , o d e r , weil c o * / = bx und s w | = Qx, £ oder

0 ' x F x = Arc . cos.bx — Arc . sin.Qx oder auch = Arc . t a n ' ~ y ~ x

Q' x Demnach Cos£ oder b x = Cos A r c tan.^<—

<j/ x Q' x

und Sin£ oder @ x = Sin Arc . tan.^-,— Uli" j , a ,

oder auch " "

4- x % , <P x , Q x . . Q x — = cos A r c . tan . 7 — und v = Arc . • T^v

j 4,M + b x Y b 2 I Ar Q2I *

§ . 53. L e h r s a t z . Bedeutet x irgend einen K r e i s b o g e n , so ist

so ist auch , wie man leicht übersieht,

(*3 x + Q* x) (b*y + 9*y) = b* {x Ary) + ^ {x +jr).

Es ist also 4 2 x Ar Q2 x eine solche F u n c t i o n v o n x, dic für x = o, 1 wird und so

beschaffen i s t , d a f s , wenn man sie mit einer ähnlichen von y multiplicirt, dafs P r o

duct eine ähnliche Function von x-j-y ist. Daher ist (§ . 3.)

b*x Ar <P*x = (c£ 2 l + 0 2l) x . Setzt man nun

® X = z b ' x , u n d — ^ X - x — Q'x, so erhält man

Page 152: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

J

Oi 3 <ß , C üfi 7 w7

s m x = x - — x — 4- xl — — x' — Ar ctc. S c S^ c S$ S1

Es ist noch darum zu thiin, die beständige Gröfse ^ zu bestimmen. W i r wollen

jetzt zeigen dafs diese Gröfse weder gröfser noch kleiner als 1 sein k a n n , und fo lg

lich - = 1 sein mufs. . /.4-* 7 ^

Aus einem Grundsatze von A r c h i m e d e s fo lgt , dafs sinx < x < tanx ist.

Nimmt man nun x so a n , dafs ~ < 1 , so mufs jedes Glied der beiden Reihen fiir s

1 1 • • x w

cosx und sinx kleiner sein als das nächst vorhergehende. Daher ist — > $ z r c x u n d

^ < sin x . Aus der ersten Relation folgt - > - m X - und weil x < tan x x w s c * J

r

. 2 , 4 6 , 8 cos x = 1 — xc •j- xc — xc 4 - xc — etc.

3 I 5 7 , Q sinx = x — xc 4 - x c — xc + x* — etc.

B e w e i s . W e n n l — ^ c " 2 + x\«& — x\*P + etc. =

und x a — x\ 4 . ^ u6 — <t-J w 7 4 - etc. = Q x ,

, , xn n , n—T . n — 2 * , n—t* f t *{ * , J J ' * s o * s t , w e i l {x+y)c = x c + x c y + xc y + xyc + yCy

b x . Q 1 j Q x . . , Q1 — .• =L. — cos x Arc . tan . -r^ und -•_ ... — - x — szra Arc . tan . •

Yb2I Ar Q2X Y^1 + ^ 2 1 ' *

Es ist aber , wie man leicht übersieht, bx — b(~"x), — Qx = Q(—x); folglich

m u f s , weil für alle beliebige W e r t h e von x , y, bx by — Qx Qy — b(xAry)> auch

b x . b (— x) — Q x Q (— x) oder b* x Ar Q2 x ~ b {x — x) ~ b o — 1 sein. Demnach & \

Yb2X Ar Q2X* — X und, wenn — tans, bx = cosxs, Qx — sinxs oder

„ 2 2 4 4 6 6 , 8 8

1 — xc«> Ar A'c — xc® Ar xc«> — etc. = cos xs 7I Z . 5 S 7 7 . Q 0

XU — # c w + xcM — x c u + x c u — etc« — s m x s -Daraus ergiebt s i ch , wenn man - statt x substituirt,

A i 4 w * G wr, , co* x — 1 — x- - 4 - xZ — — xr ~; Ar etc.

L .<J<- C o4 C o)

Page 153: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

^ > • " 7 I f , o d e r , weil tanx = s ^ , - > cosx. Es ist aber cosx > \ _ *a ^ s tan x cos x s c ^2»

. • W . o folglich - > 1 — x a — b S C S 2

, .v w x ^ - • • i • i •i . X oi 3 Aus x0 < si/ix ergiebt s i ch , weil sinx < X9 •— — xr < x. und * c 5 3 ^ o ^ 5

5 c ^

folglich - < 1 + f* ä —. W i r haben demnach - > 1 — x* — und < 1 + 4 # 3

° ,9 ' 3 C s! s C S2 ^ 1 3 C s 3

W ä r e nun - um eine gegebene Gröfse « kleiner als 1 , oder wäre - -~ 1 — « , so S S

müfste t ~ « > 1 — x* —^, uhd folglich « < x* ^ sein. Eben so müfste, wenn

" um eine gegebene Gröfse « gröfser als 1 wäre, - — 1 Ar<* und 1 4 - " < 1 4~ f x* ~ ' v c .S'

also j. < i x ~ ^ s e i n . D a n n n s o w o h l x 2 — als auch \x\ kleiner werden k a n n , als . C ,$c> C 3 C g •, y

j e d e g e g e b e n e G r ö f s e , s o m ü f s t e i n b e i d e n F ä l l e n « < als gegebene Gröfse s e i n , was

der Voraussetzung, dafs « eine gegebene Gröfse ist , widerspricht. Es kann demnach

- weder gröfser noch kleiner als 1 , und mufs fo lgl ich = 1 sein. S

Demnach ist 2 i 4 6 i 8 i o .

cos x = \ — xc Ar xc — A~c Ar xc — A c \~ e t c « (A)

— 3 I 5 7 i Q 11 , sinx .x- — xc Ar- xc — x'c Ar xc — x c . + etc.

Diese beiden Reihen haben fiir j edes gegebene x, es mag < oder > l se in , ei

nen reellen Werth . Im ersten Falle ist die Sache von selbst klar. Tm letztern di-

vcrgirt zwar die Reihe , doch nur so lange bis man zu einem Gliede .r" k ö m m t , wo

n > x. Alsdann nehmen die Glieder ab und dcr Thc i l der Reihe, von an, , . Ii n + i n 4 - j v , , n. , X . x7

± (xc - xe A- xc - , ^ 3 + ete.) oder ± * c ( 1 4 ^ p _ _ _ e t c . )

hat einen endlichen W e r t h , und ist absolute genommen , wie man leicht übersieht,

kleiner als x " .

Zur wirklichen Berechnung von cosx, sinx sind j edoch die beiden Reihen nur

brauchbar , wenn x < 1 .

Page 154: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

D a nun, für x = 1 , x c % x " 3 , x ' ^ , etc. = o, so ist

© 1 , . 0 1 — 1, ©1 ~ 6, also r ~ r = 6 und Arc . ta«.-,—- — Arc . tan.6 ~ s, 7 ' 4-1 ^ i

b 2 i + 9*1 = 1 + P = 1 + ^ = L Folgl ich ^ , _ _ L _ . . ^ = ~ £ - c o s s . I ' J - ^ 2 I

Demnach x im ; 3 , 2 . : 4 , ^ : 6 , 6 , : 8 ' , 8 . , \

cos s . ( l — xc tan s A~xctan's — xc tan s + A * c lau sAr Qtc.)~cosxs

( ^ x : 3 3 :5 ^ "~ 7

cos s.(xtans— .v c tansArxc tans—xclans Ar etc.) = sinxs

Oder auch , weil - . , * i i. i x , r COSxS.sinrS x—r . r x — r r

coss # , swzs — » , und iolglicn Q s s.lan s~ — f ~ c o s s.sins" £ n , COS S

» x : 2 * x - 2 2 , : i » x — 4 4 : 6 , x - 6 6 ,

C0SX8 = S — * » + A ' c * V — A ' c * W ~ T c < c *

* X — I : 3 * X — 3 3 , : S » X — 5 5 : 7 r X — 7 7 . . ,

sinxs ~x£ —xc°£ °*J Ar x * i °r ~ xc'£ 'n' Ar etc.

§. 55. D i e s e beiden Formeln wurden zuerst 1701 , von J o h a n n B e r n o n l l i in

den Leipziger Actis eruditorum aber ohne B e w e i s , mitgelheilt. Er kam auf die

se lben , indem er nach und nach mit Hülfe der beiden Ausdrücke für cos(xAry),

sin{x^ry)r (§* 4 ^ . ) die Wer the der Cosinusse und Sinusse der doppelten, dreifachen,

vierfachen etc. Bogen suchte, und die Übereinstimmung der dabei vorkommenden

Zahlencoefficienten mit den Binomialcoefficienten entdeckte. Setzt man nämlich' nach

v

§. 54. L e h r s a t z . W e n n £ — coss, v = sins, - ~ 0 = tans, so ist für j edes

beliebige x,

cos xs = r ( l ~ x c2 ^ + x**'* - xc

6ä6 + x'*6*-ttc.)

sin xs = t { x 9 - x * P + xc565 — x^67 Ar . r :

c9 ^ 9 — e t c . )

B e w e i s . Es sei 1 — . j - — a ^ 7 + etc. = bx,

x 6 — x ' * P XQ5 ß5 _ X-J f + ctc. = ^ x ,

so i s t , weil ( § . 2.) xcn + xc

n~*y + xcn~2•Vc* •• • • + ^ c " * " 3 + fc = O + •>')c">

,.. \ ^ * * 9 X Q x . . b 1 (§ . 52.) ^ = r = x — cos Ar c . lan.-r^r, — x — A r c . tan.^r.

; « ^ • " - ' < M ' 4_ ^ 2 1 0 1

Page 155: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

und nach in den Ausdrücken für cos(sArt), sin(sArt), t — s, 2 s , 3 « , etc. und sub-

s t i ü i i r t z u g l e i c h d i e v o r h e r g e h e n d e n W e r l h e v o n cos2s, cos3s, etc. sin2s, $in3$, etc.

so erhält m a n , c o s s = # , sins = v gesetzt,

cos 2 s — f* — y1 sin 2 s = 2 | *r

cos 3 * =: £ cos 2 s — n sin 2 s sin 3 s = w cos 2 s 4" £ sin 2 s

= £ _ 3|* a = 3 — » 5

cos 4 s —- £ cos 3 s — v sin 3 s s m 4 s = v cos 3 s 4" £ s i n 3 s

= ^ _ 6 f V + . = 4 # 3 » — 4 # * 3 .

etc. etc.

Erst zwanzig Jahre später gab M o i v r e , ein englischer Mathematiker, einen all

gemeinen Beweis dieser beiden Formeln, der j edoch den binomischen Lehrsatz in se i

ner Allgemeinheit als bewiesen voraussetzt-, und übrigens mit. Hülfe der sogenannten

imaginären Gröfsen geführt wird. D e r im vorigen §. gegebene Beweis ist mit aller

Strenge für jeden beliebigen positiven oder negativen, rationalen oder irrationalen

Werth x in den Ausdrücken cos xs, sin xs geführt, und wird vielleicht Sachverstän

digen nicht ganz unwillkommen sein. Übrigens sind diese Ausdrücke für cos xs, sin xs

nur unter der Voraussetzung bewiesen w o r d e n , dafs s < § * , w o * die halbc Per i

pherie des Kreises bedeutet, dessen Halbmesser = 1; und haben nur für s < * <x reeIIe

W e r t h e , weil die beiden Reihen

" % * A- £ "3 5

1 — x'c taji s Ar x'c lan*s— e t c . , und x ians — .v c tan s Ar e i c . ,

w e n n x k e i n e p o s i t i v e g a n z e Z a h l i s t , unendlich s ind , u n d n u r c o n v e r g i r e n , wenn

ians < 1 also s < Sie gelten aber auch , wie man leicht übersieht, wenn s ein

negativer Bogen und < ~. •

§, 56. Es lassen sich aber auch für den Fa l l , w e n n « > £ ? r , also tan* > f>

cos xs, sin xs durch convergente Reihen darstel len, welche reelle Wer the haben.

Ist nämlich s > so ist f t f — s < und tot(|ff-s) oder cots < 1» m a u

hat , Aveil cos(^v — s) = sins,

Page 156: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

sin

D a nun

xn / T ^ 1 . xn . x ff . , , cos . cosx{%a — s) 4 - sm — .sinx(\n— $) — cos{^ — s)) — CüS A,s>

JC / JC . Jt* W

-vi« • •cos x (I ff — s) — cos 1 ^ - . sin x ( | ff — s) — s m ( ^ x ( | — s)) — « ' « x s,

so erhält man _ Xff . X : 2 2 :4 4 :Q 6

cos x s — cos . sin s (1 — xc cot s Ar xc cot s — xc cot s 4 - e t c 0 , . Xff . x :3 3 :5 5

A- sin — . sin s (x cot s — x c cot s A- xc cot s — etc») (C)

' _ . x* . x : 2 a : 4 4 :ö b sin x s — sm . sz« s (1 — x c co/ s + x c co£ s — x c cos s 4~" etc.)

x ff . x : 5 3 . : 5 5 — cos . sin s (x cots — xc cot s Ar xc cot s — etc.)

§. 57. W e n n man in den beiden Gleichungen

cos x X 7t cos x s ~ sin x s sin x X n ~ cos x (X n Ar s),

sin x X ff cos x s Ar sin x s cos x X n — sin x (X n Ar <s),

die W e r t h e (B) von cos xs und sin xs substituirt, so erhält man , w e i l , wenn X

irgend eine positive oder negative ganze Zahl bedeutet, tans — tan(\n Ar «), s

mag positiv oder negativ se in , die beiden folgenden Gleichungeni

cos x (X ff 4- s) = # X . cos x X * (1 — x'2 tan (X n Ar s) Ar x^ tan*(X » + s) — etc.)

x • - " ^ — # . « ' « x X f f (xtow(Xff4-s)—x' c tan ( X ? r 4 - s ) + x r lan(hnA-s) ~ etc )

( D ) 1 ' ' '

sin x ( X * 4 . s) = . sin x X r (1 — x'* tan2 (X n + s) + x ^ 4 to4(X ff 4- s) — etc.)

4 - £X . cos x X * ( x t a r c ( X * 4 s ) — X c 3 ^ 3 ( X « + s ) + x ' c

5 t o 5 ( X f f + s ) — etc.)

§. 58. W e i l jeder Kreisbogen* er sei positiv oder negativ , unter der allgemeinen

Form Xff 4 " s, wo X eine positive oder negative ganze Z a h l , und s jeden positiven

oder negativen Bogen < ^ bedeutet , begriffen ist , so haben die beiden Gleichungen

/_ , . x /. : 2 2 , =4 .4 :6 6 I \ c o s x ( f f f — s) — siri s (1 — xc cot s Ar xc cot s — xc cot s 4~ etc.)

X ' ^ ^ - »c £ ira x (| ff — s) — sin s (x cot s — xc

J cot s + x'c cot s — ctc.)

Page 157: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

(D) dic gröfste Allgemeinheit. W e n n j edoch x keine positive ganze Zahl i s t , und

alsdann die Ausdrücke für cos xs, siti xs unendliche Reihen enthalten, die n u r d a i m

convergiren und reelle W e r t h c haben, wenn s < ~, weil tan ( X * r + j ) = + 1, so 4 4

wollen wir für den Fa l l , wenn s < | * , aber > für cosx(Xn4rs) und sinx(hnA-s)

zwei andere Ausdrücke mitthciIen, welche nur convcrgente summirbare Reihen ent

halten.

Setzen wir , Kürze halber, wenntj = sins, 6' = cots und folglieh a u c h - c o t f ( X f f 4 * ) >

1 — ^ V 2 + xc46'4 — etc. = bx, xd — xc

5$'5 + xJ>e'5 — etc. = <Px,

so werden dic beiden Gleichungen ( C ) :

x S' ff X ff cos xs — n . {cos^r- . bx + s*n~~2 ' $x) "•'

'* 7 " ." . ' _ ' * / • x * . " * ff ' sin x s — n . ( « n . b x — cos — . <p x).

Substituirt man diese beiden Ausdrücke in

cos x X ff . cos x s — sin x X « . sin x s ~ cos x ( X * 4 - s),

sin x X ?r . cos JC s 4 " cos x X n . sin x s — sin x ( X n s) ,

so ergeben sich daraus die folgenden beiden Gleichungen: t -

cos x ( X ff + * ) = n~ (cos x (2 X 4 - 1 ) 1L . b x + « m x (2 X 4 - 1 ) \ . a . r )

(E) • ' « ' « x ( X ff + s) = v* (sin x (2 X + 1) £ . . v — cos . v (2 X + 0 . v )

§. 59. Aus den beiden Gleichungen (R) ergiebt sich

_ x tan s — x c3 tan" s + x ^ 5 ta/z">s — . v ^ 7 tarc?s + e t c .

tan xs — - x?tan2s + . r ^ t a w > s — . r ^ ta/z^s + T t c V

Eben so erhält man vermittelst der beiden Gleichungen ( A )

xs — x 3 s\ + A'S s ? , — # 7 5 ? 4 - etc.

x s - i ^ ~ ~ 7 2 _ s 2c + A , 4 5 4 _ x t i Ä | + e t c /

Setzt man diese beiden Ausdrücke für tan xs einander g l e i c h , und dividirt auf • O ^ : n * " l

beiden Seiten durch .v, so erhält man, weil xc = - (.r — l ) c ,

Page 158: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

D a nämlich, wenn ~ (x Ar rß ~ - « ) c ' * — A- r, wie ( § . 13.) bewiesen worden,

(xArj)n = + * n - i y + xn-* + x 7 n - , + ^ n » w a s a u c h immer die

Werthe von « , £ sein m ö g e n , so ist diefs auch der Fal l , wenn ß = 1 , « = 2 ; oder

# r—lf2 wenn A — _ (x Ar- r — 2)

r Y* ^ Es ist demnach

i ± 2 . ( * + y + » - < - » = £ ( , + „ _ + ^ ( . v + » - v"c-" y

+ ^ ^ c s , > + ~ ( ^ > r ^ ^ ) r • • • • + i ( r + n - * c " .

s _ x2s\ nr **4 — e t c - tans — ±(x — \)c2tan^sAr *(x~\)\Alan$s — etc.

1 — A 2 « 2 . Ar- x*s% — ete. 1 — x:cz tari*s Ar ^ c

4 tan*s — etc. '

Diese Gleichung gilt für alle positive und negative W e r t h e von x , also auch

für = o. Setzt man aber x = o , so verwandelt sich dieselbe, weil alsdann

( v — l ) :c

a r = 1 und x cn ~ o in folgende

(F) Ä = tans — T tan^s Ar f tan5s — f ,tan7s Ar etc.

Diese äufserst elegante Formel verdanken wir L c i b n i t z e n , weshalb man sie

auch die L e i b n i t z i s c h e Reihe nennt. Sie kann besonders dazu dienen, wie wir

weiter unten zeigen werden, die Verhältnifszahl * des Kreisnmfanges zum Durchmes

ser ohne viele Mühe mit der gröfsten Genauigkeit zu berechnen.

§. 60. L e h r s a t z . Es sei wie vorhin coss ~ sins — y, so hat man für j e

den beliebigen W e r t h von x, und für j eden W e r t h von s < f*r , wenn man die B c -

deutung des Zeichens

r,u s ( s - * ) C e - 2 * H c - 3 « ) • • • • . ( V - ( r - l ) « ) . .... , * •. — ^ v — L ± — i — L v — _ j y — - ~ L J . beibehalt , die beiden GIei-

c r 1« 2. 6 (r — 1) 7

chungen: .V2J» , x f . .5,a 4 x , . ,5/2 6

coÄ A- s = 1 — * + - ( x + 2 ) c v — ^ (A Ar 4 ) c v + etc.

(0 ) « « x * = + 1 ) * V + f (x A- 3 ) < ' V - f (X ArX)T»7 Ar etc.

Page 159: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

J

der logarithmischen und trigonometrischen Functionen.

Daraus foigt (§ . 52.) wenn

x 2 * ' ' " 3 ' 3 4 x > ' - 5 | Ä 6 + etc. ^ tx 4 A ^ i * / l ni3' * A / I A\3' 1 — 2 * v + 4 (* + 2 ) c » ~ G ( * + ^ "

A' 2#a 3 .v 4>a 5 6*2 7 . ^ * - (* + I ) 0 ' * * + £ (* + 3 ) * T - T (x + 5 ) c ' « + ctc. = 9 x,

$ x <P' X dafs

~ c o * * « , y^r"+"$iV Man erhalt a b e r , wenn m a n , in dem Ausdrucke fiir <£.v, .v = 1 setzt,

= sin x s.

r , , T 2 I 3- — 4 v 1 -~ 1 — f v 4" — ^—- V

5. 3. 1. — 1. — 3 6 , 4

v H- etc. 2. 3 4 " 2. 3. 4. 5. 6 2 1 4 1. 3 6 1. 3. 5 8

- 1 ~ * v - - 5 T 4 T f i ' ^ 2 T ^ n 7 s " ~ ctc . — (1 —

2. 0 3 , 4. 2. 0. — 2 4 , * - 2 T O " + 2. 3. 4. 5~* + e l C - = . . V

c(c .

und <p 1

Demnach 4/ 2 I 4 - 0 a l = 1, und folglich

«Kv — cos xs, <Px — sin xs,

oder auch (§ . 15.)

x2 » , x*(x*-4) 4 %v2(iV2 — 4 ) ^ 2 _ i C ) 6 <™ w * = 1 ~ 2 ~ W + 2. 3. 4 - " 2. 3. 4. 5. 6 * +

x(x? — \) 3 , x.(x"-l)(x--9) 5 x ( ^ - 1 ) ( ^ - 9 X ^ - 2 5 ) 7 . • a m x s = x n ^ _ L _ _ , + 2, 3. 4. 5 ~ T T 3 T 4 . - 5 . 6 T T - ' + C l C *

§. 61. Muhiulicirt man

i ~ 1 ' I ~ 1 ~ 9 ) * ( '2 ~ 1 ~ *>)(*'- 2 5> * 4. elc 1 2 x 2. 3. 4 V 2. 3. 4. 5. 6 n

a 1 4 1. 3 6 1. 3. 5 S

— ) , — ctc,

(H)

durch T l — v 2 ~ 1 — 1 » ^ 2 T V 2. 4. G

so orhält man

r — 1 | „ (^ — 1 ) ( * * a ^ 9 ) 1 — ~ — v- + 2

+ I

2. 3. 4 — 1

' ~~2 1

2. 4

2. 4. 6. 8

fo8 — * ) ( * g — 9 ) ( * 8 - 2 5 ) | ^ + etc. 2. 3. 4. 5. 6

_ x r . v ^ i ) ( ^ - 9 ) * ' 2. 3. 4

+ 2. 4 1. 3

2. 4. 6

( * = - 1 )

Page 160: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

'O

Demnach is t , weil n~sins und ^2 — coss

s

(I)

„ j c 2 — ! . » , ( A * 8 - l ) ( . v ^ - 9 ) . 4 , ( r c 2 — 1 ) ( x 2 — 9 ) ( x 2 — 2 5 ) . 6 , cos xs — coss (1 2 ~ s + ^ - J I — 3 — 3 — S l t l s 2 ~ 3 " — ^ — 5 — 6 ~ ~ ^ ' * m * + etc.)

. . x(x"-4) . 3 . x(x*-4)(x*-1C>) .5 sin xs~coss(xsins — —-—^—-sin s 4- — ^ — 3 ~ ~ ^ 4 ~ 5 s i n * — e t c ' '

W e n n man mit derDi f f e rent ia l -Rechnungbekannt ist , so kann man die beiden

F<niueln (l) aus den Formeln (H) herleiten , indem man die letztern in B e z u g auf s

differencirt und alsdann mit xds dividirt.

§. 62. Die Formeln (H) sowohl als (I) gelten für jeden beliebigen Werth von A-,

aber nur für jedes positive oder negative s < | 7 r . Setzt man z . B . x — f, s = x, so ist 0 0 y^3

c o s * jf z=z cos 60 = sin 30 = § und sin | <x ~ - — . Aus den Formeln (H) aber wür

de fo lgen , weil v oder sin * — 0 , cös 4 * = 1 und sin | x = 0; und zufolge der

Formeln (l) würde cos } n zzz cos n = — 1 und sin 4 * z= 0 sein. Um die Ausdrü

cke für cos xs, sin xs zu vervol lständigen, substituire man in den beiden Glei

chungen,

cos x X n cos x s — sin x X n sin x s = cos x (X * 4 " * )

sin x X jr cos x 9 Ar cos x X x sin x s r r sin x (X 4 - $ ) 9

indem man

und weil (§ . 16.)

(* + * - l > r + K * + n-3)°-2" + « • • ( , + » - S ) ^ + « « . = ^ « + » - « ) ^ ,

so ist dieses Product

x2 * . x2(x*-Z) 4 * 8 ( # 2 . — 4)(.r 2 — 16) f> , = 1 - T9 + r r f ' ~ 2 . 3. 4. 3. + e t c -

X 2 2 1 X ( \ 0 \ 3 ' 3 * / I A\5'2 6 t X 1 I C\7^ 8

— i — — * 4 - - ( x 4 - 2 ) c » — - (* + 4 ) c v 4 - ( J f 4 - 6 ) c v — etc. — cos x s.

Eben so erbält m a n :

^ f * . ( ^ - 4 ) 3 , t f ( * « - 4 ) ( * = - 1 6 ) 5 . V ( , y g ^ 4 ) ( ^ ~ 1 6 ) ( ^ - 3 G ) y - ( l - ^ - ) . ( * , 2TY~V + - 2 r X " " 4 7 " 5 - " 2 : 3. 4. 5. 6 . ~ + C t C , )

x ( x = - 1 ) 3 , x ( . r 2 — l ) ( * 2 — 9 ) 5 x ( x 2 — l ) ( x 2 — 9 ) ( x 2 ~ 2 5 ) , 4 ,

= " " T T T ' + T n r t r ' - - 2 - r r G T 7 + e t c ' }

Page 161: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

1 - + | ( x + 2 ) ^ % ^ c t c . o d e r / ( l - ( * + l ) ^ % ^ + (^ + 3 ) ^ % 4 ~ - etc. = * . v

und

xv - 1 ( * + 1 ) * ' * * + -5(x+3)T / - e t c . oder i(x^{x+2)** ? + ( * 4 ^ ) f v - etc.) = 0 *

setzt, «|* für co* und Qx für wra . r « , so erhalt man

cos x (X 7i 4* Ä ) — c o s x * • ^ — # * • 0 *

sin x (X « 4" *) = sin x X *r . 4» # 4" cos x X * . Q x .

Diese beiden Gleichungen sind identisch mit folgenden beiden:

cos x(Xte 4 - s) = cos tfX* . <Kr + sin(x — 1) X*r . Qx1

sin .r(Xfr s) = sin . rX*r . ' 4 - cos(x — 1 ) Xw . Qx1

w o die obern oder untern Zeichen ge l ten , j e nachdem X eine gerade oder ungerade

Zahl ist. Es ist nämlich " -

sin(x — 1 ) X * = sin # X * r . cos Xw — cos xXie sin X «

cos(x — 1 ) XflT = cos j f X * . cos X * 4 " sin x\* sin X * .

Folg l i ch , weil sin Xw = o , cos X * = 4~ j e nachdem X gerade oder ungerade

i s t , sin(x-l) \ft = 4 " sin x X * , cos(x— 1 ) X * = cos x\#.

Nun ist aber , weil n = sins = + w'ra(X*r4"*)j

xa a 2 # 3.2 4 = l - - v 4 - etc. = l ~ — sin(\* + s) + -(x + 2)c « r a ( X * 4 - s ) - e t c .

X 2 » a 3 # a ; 2 3 = * 9 ~ ^ ( * 4 - l ) c » 4 - e t c . = + j c s w i ( X j r 4 - * ) — ^ ( j ? 4 - l ) c « » ( X * 4 - * ) 4 - e l c .

Man erhält demnach die beiden allgemeinen vollständigen Formeln : (K ) a x 3/* . 4

cos * ( X * 4 - j ) = cos * X < r . ( l — ~- sin (Xw + *) 4 - j ( * v + 2 ) c * m ( * * 4 ~ * ) * ~ e t c . » .

jc 2#3 3 4/^ 5 — sin{x—l)X*.(ATAm(X*r+*)—-(x+i)c * m ( X * 4 ^ ) 4 ^ j O * + 3 ) c sin (X* + &-)—etc.)

x^ a 4 A - ( X * + s) = # X * . ( 1 — ( X f f 4 - « ) 4 - - ( * + 2 ) sin ( x * 4 - s ) — otc.)

+ co* ( * - l ) X * . ( t f * ^ ( X r r + * ) — | ( ^ 4 - l ) 2 ' % ^ 3 ( X w 4 - s ) + | ( k V ^ 3 ) 4 ' % ^ 5 ( x * + , ) — etc.)

oder auch ( L )

Page 162: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

\

13S Zweite Vorlesung. Lber die Entwiekelüng

cos jr'X T 4 - ' » 7 . 2 x / 4 , * 4 T — - = c^.?A-XT(! — (A -4 -1) sin [*.x4*s)\-(x4-3)„ sin CKn^-s) — etc.) t-o*(X*^-.vj v v 1 ' c K ' i c v J

"/^ 3 5f* 5 — sin(x—l)Xrr(x.vm(X7r^-5)-(x + 2)^ sin (X* + * )+(#+4) c ' (Xtf+s)-etc.)

i7«".ri'X?r + .?) . . t , _.V* . a . , , , , o x 4 / 2 . 4 , v . >

1 / = SM X X TC (1 — ( .Y+1 L <WZ (X ir + «) 4 - (X + 3)_ 5/77. (X n 4 " « ) P t C . )

ro,s' X «• -f- s) 7.f2 3 5fa 5

+•cos(x—l)Xar(jc*m(X* + s) — (x + 2) c *m(X# + tf)^(x+4) (X*+s)—etc.)

§. 63. Die Formeln ( K ) , (L ) enthalten die vollständigen Ausdrücke für cos x(\*+s),

^inx{Xn^-s), wc;{ X j ede positive oder negative Z a h l , und * j e d e r positive oder ne-

^it ive Bogen < folglich X*r + s j eder beliebige Kreisbogen sein kann. Der

vollständige Ausdruck von cos AfXw 4 " s), sowohl als von sin x(\n + s) enlbält,

i;u Allgemeinen i i>tmer zwei R e i h e n , von denen j edoch in speciellen Fällen die eine

versehwindet, l>iefs ist d«?r Fal l , w o n n x e i n o gfinze Zahl bedeutet, weil alsdann

sin x X je und sin (x — 1) X «• = o und cos x X rr, cos (x — 1) X « = + 1 ist. Eben

so verschwindet sin A1Xw und sin{x—1)X*r für jeden Werth von . r , wenn X — o; y*

und auch dann, wenn x ein Bruch = - , und X ein Vielfaches von n. n

Es lassen <sich aber auch die beiden zu den Ausdrücken von ccs x(Xn 4- <s),

s'n «•(X* + *i fv forder l ichenReihen auf eine reduciren, wenn dcrCoef f i c ient cosxX*

oder cos ~n^n ''' 0 ^u<k Diefs kann jedoch nur geschehen, wenn - X ^ e i n u n g e r a d e s

Vielfaches des Kreisquadranten wird. Es mui's demnach derNenner n nothwendig

eine gerade Zalil, und alsdann X = (4^4-1; ^ oder = (4/-f3) - sein. Diese beiden VVerthe

sind entweder beide gerade oder beide ungerade , j e nachdem n von der Form 4m

oder 4 m + 2 ist.

Es giebt also f ü r j e d e n Brurh x — dessen Xenner eine gerade Zahl ist , zwri 3 Tb

Bogen - j r 4 - ,9 u t u \ ff 4 . S f w o ^ positiv oder negativ , und < für welche

cos .rX*, und folglich nucli co.v> — 1)X* verschwindet.

§. 64. wie wir oben (§ . 59.j duich die VergIeichung der zvvei verschiedenen

Page 163: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

§. 65. Rezeichnet man der Kürze halber

. r

6 '

At* 5 x, , rßi* 7

1 — fcos*s + *-(xAr2)l'*cos*s — ^ ( . v + 4 ) * ' % o / * + etc. durch bx,

xcoss—-(xArl)c cos s + -(xA-3)J cos s — y ( - v + 5 ) c cos'sAr^ic. durchß.v,

so erhält m a n , wenn man in den beiden Gleichungen (11) f w — s sfa<ts substituirt,

weil alsdann v oder sin s in cos s übergeht cos x (| <x — s) = bx, un<l sin x ('l * — s) = <P

Substituirt man nun diese beiden Werthe von cos .r(|*r — s ) , sin x(i* — , n

don beiden Gleichungen

aus den Formeln ( A ) , (R) hergeleiteten Ausdrücke von tan xs, einen Ausdruck des

Bogcns s durch tans gefunden hahen, so läfst sich auch aus den heiden verschiede

nen Ausdrücken von sin xs der Formeln (A) und (II) ein Ausdruck des Rogens s

durch eine nach den Potenzen von sins fortlaufende Reihe herleiten.

Setzt man nämlich die Thei le rechter IIand der heiden Gleichungen

3 3 i 5 5 7 7 i srn xs — xs — x ,sc A~ A ? Ä c — x , 9 o 4 " 0 , c «

.x* 2 t * a 3 x % 4 f 2 . 5 sin xs =xsins— - ( . r + 1 ) c

sin * + ^(xAr^)c Slrl s ~ etc*

einander g le i ch , und dividirt alsdann durch x, so erhält man a 3 , 4 5 . .*i*srn*s J>*si>ps

s — Ji- sc Ar x * c — e ( c - ~ * ' m , v — (X~T*)C — 3 ~ " T U t ' V c ~ ~ f — '

und wenn man x = o setzt,

, 1. 1 sm^>s . 3. 1. 1. 3sin$s . 5. 3. 1. 1. 3. 5sin's S = „ „ , + _ _ - Jp _ _ ^ _ + _ _ _ _ _ _ + otc.

_ . , x sin* s 1 . 3 s m 5 s , 1 . 3. 5 sirf s 1 . 3. 5. 7 « n ^ — « « * + | . ^ ' " 2 T 4 " 5 " ^ 2 . 4 . 6 7 + 2 . 4 . 6 . 8 9 + ° < r '

Diese Reihe erhält man auch aus der Reihe für x 1. 3 3 # 5

(1 — sm 2 *) 2 — 1 + f s m 2 s 4" ^-^sin$s Ar - - ^ ^sin*s,

indem man .dieselbe durch sins multiplicirt, und alsdann das ls<e , 2 te , 3 i o , 4tc etc.

Glied des Products resp. durch \, 3 , 5 , 7, etc. dividirt.

Page 164: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

1 4 0 Zweite Vorlesung. Über die Entwickehing

9 * cos x (4 X + 1 ) - . cos x (§ *—s) + sin x (4 X + 1 ) ^ • sin x (| * — s) = cos * ( 2 X * + s )

W W

* ( 4 X 4 - l ) - . c o 5 # ( f * — * ) — c 0 5 . v ( 4 x 4 i ) - . « B # ( i * — s) = sin # ( 2 X w + s)

und in

r o s t f ( 4 X - l ) ^ . c o s x ( f * - s ) - s m # ( 4 X - l ) 5 . 5 / « ( | * - j ) = c o s # ( 2 X * r ~ s ) ff fr

M / * * ( 4 X - l ) - . c o 5 « • ( I * — * ) + co* x ( 4 X — 1 ) - . sin J f ( | * — *) = x ( 2 X « — 8 ) ,

so erhält m a n , wenn s irgend einen positiven Bogen < | * bedeutet,

c o s # ( 2 X * + s) = c o s # ( 4 X + l ) J . ^ # + s m j c ( 4 X + l ) ^ . < p # " ^ ^

* m * ( 2 X * H H * ) = « r t * ( 4 x + l ) 5 , J r j c + c o s x ( 4 X + l ) J . 0 x . A

W e i l

cos ( * - l ) ( 4 X + 1 ) ? = + s m x (4 X + 1 )* , und « « ( * — i ) ( 4 X + l ) * = + co8x(4 X + \ ) n

so lassen sich die obigen beiden Gleichungen auch so darstellen:

cos x ( 2 X * + s) — cos x ( 4 X + 1 ) £ . 4> x + cos Cx — l ) ( 4 X + 1 ) J . Q x

2, ^ (M)

sin x ( 2 X * + s) = x ( 4 X + 1 ) - . $ x — sin (x — 1 ) ( 4 X + 1 ) 1 .

„•„ ^ = l - f V + *(Ä + 2 ) 3 ' V - f ( * + 4 ) f / + ctc. * , = , , - | ( « + I>?V + f<*+3)<'Y - $ 0 + 5 ^ Y ,

und / = cos ( 2 X TT + j ) .

D ie beiden Formeln ( M ) sind ganz allgemein, und die beiden Ausdrücke für

cos # ( 2 X f f + *) und sin * ( 2 X * + ,?) enthalten im allgemeinen jeder die Reihen <bx

und Qx, von denen die eine verschwindet , wenn x eine ganze Zahl ist, weil alsdann

cos x ( 4 X + 1 ) ~ und sin(x^\)(A\^-\% oder s m x ( 4 X + l ) ^ u n d c o s ( A - - l ) ( 4 X + 1 ) J = 0 wird. 2* 2* Jt

§. 66. Ist aber x keine g a n z e , sondern eine gebrochne Zahl = deren Nen

ner ungerade i s t , so ist zwar die Vereinigung der beiden Gröfsen 4>x, Qx im alIge-

Page 165: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

meinen für die Ausdrücke der Gröfsen cos . r ( 2 X * _ ^ ) > sin x ( 2 X » r + s) nothwendig,

indefs gieht es doch unter den Werthen von 2X*r + s zwei B o g e n , für welche eine

dcr heiden Reihen verschwindet.

Damit nämlich eine von beiden Reihen bx oder Qx in den Gleichungen ver

s chwinde , so mufs entweder cos # ( 4 X + 1 ) ^ oder sin .v (4 X + 1 ) ^ gleich NuII wer -A — Ji

den. Das erstere kann nur geschehen , wenn x ( 4 X + l ) eine ungerade, das letztere,

wenn es eine gerade Zahl ist. Ist x eine irrationale Zahl, so ist weder das eine noch p

das andere möglich. Es sei also x ein irreductibIer Bruch = - . Damit nun überhaupt

^ ( 4 X + 1) eine ganze Zahl sei, so m u f s 4 X + l = ( 4 Z + l ) « oder = ( 4 Z + 3 > 2 undfo lg l i ch

X = 1 n 4- ^ oder In 4- ^ sein. D a nun n eine ungerade Z a h l , und folglich

von der Form 4tf + l oder 4t — 1 ist , so wird

im ersten Falle X = hn 4- n~~~~ und = hn 4- ^ n * ' 4 4

1 . 7 1 n ~f" * j 7 1 3 n — 1 im letzten X = kn 4- — — unrl = kn 4 - — sein. 4 4

Es ist demnach in beiden Fäl len:

cos - (4 h 4- 1) ^ = cos r (4 Z + 1) J und cos r (4 k 4- 3) ~, = + f oder = 0, n 2 2 1 2 —

sin - (4 4- 1) £ = s m r (4 Z- + 1) ^ und ,vm r (4 l- 4- 3) 5 , = 0 oder = + 1, n JL *> ±>

j e nachdem r eine gerade oder ungerade Zahl ist.

§, 67. Zur Erleichterung der Ubersieht aller in den vorigen §. §. entwickelten

allgememeinen Ausdrücke für cos xs, sin xs, wo x j ede beliebige Zahl , und s einen

Bogen < bedeutet, folgt hier eine tabellarische Zusammenstellung derselben, in

w e l c h e n , wie o b e n , £ = coss, v — sins, 6 — tans,

cos x s = t ( 1 — x\* f + .v ; 4 * 1 — xc6 #6 4- etc.)

Page 166: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

l A^l* 3 i ( 5 I rx6'2 7 , A v

= xn--Cx + l ) c w + ^Gr + 3)c v — zrCx 4 - 5)c * + et«.)

sinxs = i * ( x j - ' x * * s 5 4- .T05*5 — A'c7^7 4- etc.)

.T 7

= | (xi - 4- 2 )* '* v 4- (.r 4- 4 )° '* n — (* 4- 6 ) ^ + etc.)

ar* X2JS . x , . „.3,2_4 jc , , <v5,2 • X* ,M XZ> l x / l n&*z* x , 1 A^5'2? I . N

— s m ^ (1 — .j -# 4- ^ ( 4"2)c * — (* + 4 ) c £ 4- etc.) tf* / ^ r / I *N , ,a*'i */ i <?/"3*5 -r/ I r\6'2 / I . ^

— cos— (x|— -Cv 4- 1)c ^4--(.r4-3) c r—yCr + 5 ) c # 4- etc . )

= a i n * £ . f C , _ (* + i)J'Y + (* + 3)<V - Cx + ^i6 4- •tc.> ~.»(.v#-Cr + 2)ff54- Cx + 4 ) f , V - tx + 6)l'*t7'+

cos

Die ersten beiden Ausdrücke für cos xs, sin xs sind für j ede positive ganze

Zahl x, weil in diesem Falle x'J, wenn r > x, = 0 , endliche Reihen.

§. 68. Die übrigen Ausdrücke , in welchen die Cofficienten

/ . . ^ r t r + , ' a = («4^X* + r - 2 ) ( * 4 - r - 4 ) ^ ~ " r ) oder * Cx\r<" (* + nc 2:—~ 3—:. . . . r4-1 o d e i 7 + T U + r )

v o r k o m m e n , sind endlich, wenn x + r eine ganze gerade Zahl ist. Fs ist nämlich r_4_i,3 4" r\" r4~*

r4-i , I (r 4_ r ) = ( 2 - j c 2 , ^nd zugleich übersieht inan leicht, dafs, weil ^ZLT c 2

x2 2 , x , , rtNr5/^ 4 A , 5,9 r> . = 1 ^ 2~" + 4 (* + ) c ' ~~ C ( * + }c * + etc* 2j2 a . 4i3 4 . . 6j2 6

= 1 ( 1 — <* + ' ) „ » + (* + 3 ) c »• — (* + 5 ) c , + etc.)

= « » V ( 1 - aF<' + 5 ( * . + S ) * V - | C* + 4 ) äc ' 3 / + etc.)

+ «n ^ <** - | Cr + 0l'V+ f + 3>c"V- f C* H- * £ Y + «««•) *• * 2,7 ^ 4,2 4 . 6.2 J>

= cos . v (1 - Cx + 1 ) / I ' + (* + 3 ) * I - (* + 5)c # + etc.)

.jf 4- sin . n Cxi- Cx 4- 2 ) ' ' Y + (* + * ) f ' Y - (* + C ) ' ' Y + etc.)

Page 167: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

eine ganzcZahl ist,^^t_^'"i-1 zzz 0 sein 111urs, wenn r + 1 > ~~ r~> °der wenn r > x — 2.

Noch mufs hemerkt werden, dafs sin oder co.s — 0 ist, je nachdem x ei-2 2

nc gerade oder ungerade Zahl ist. §. 69. Es ist demnach, 1) für ein gerades x — n, __ n2 * » 3,a 4 n 5,* 6 n o\n~~I,a n

cosns - 1 — - „ + - ( « + 2 *—-fo + 4)c v + -(2/i — 2)c v

J- ,* n 2 * . r W., . „ N * » 1 * 6 , «,« o\l,— I ' 2 ^ n = ± 0 ~ 2 " ^ + 4 ( » + 2 ) c f—7j(« + 4)c i + -(2« — 2)c £, 32 3 5/2 5 n~i/2 n—f

sin n s — £ (n v — (n 4" 2)c v' + («4~ 4 ) c * 7 J p ( 2 " — 2 ) c * )

= + . M - fo + 2#Y + (» + 4)*'V + ( 2 * - 2 ) " - " Y - ) , wo das obere oder untere Zeichen gilt, je nachdem n unter derForm 4/ oder 4/^2 begriffen ist.

2) Für ein ungerades x ~ ra, 2 , 2 2 , „ 4/3 4 I „ m— 1,2 m T

<-o* ms = £ (1 — (w+l)c v + (w + 3)c » + (2m-2^ v ) _ L , 1 m , 1 »,2'3 »3 . 'w

, . « 4/a ^ m ^ m — 1 . 2 rn — f — + _ (w+I}c # + —(m + 3)r r . . • • + -(2//z-2) ' # ) O J c — f7l C w • 1 *s3'2 3 . 7/i , , „ 4/* 5 , ni /n o\ra—,/2 m—\ «m ms — mv — j(w + l)c n +j(m + 3) * . . . - + ±(2m — 2)c v )

2.2 2 4 ct i m—i,a m—r = ± • (I - fm + Oc * + C + 3)c' * ± & m - 2 K 1 >

Das obere Zeichen + gilt, wenn m unter der Form 4/ + 1, das untere Zeichen — , wenn m unter der Form 4/ — \ enthalten ist.

§. 70. Kehrt man diese Reihen für die Cosinusse und Sinusse der vielfachen Rogen um, so erhält man, weil, wie man leicht übersieht, für jede positive ganze Zahl r

Page 168: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

( 2 r - 2 T-I,2 _ 'c

C r -.:r-i r—i 1) 2 =

c

T—l 2

( 2 r - 4 Nr—3,a _

c ~ ~ ( r -

C Cr-2) 2 r~ 3

( 2 r - 6 r-5,a _ c ( r -

c

( 2 r - 8 r-7,2 _

C r -: r—7 r—7

4) 72 ' = c

C r - 4 ) l V - 7

etc. etc. etc .

und eben so

r r—ii* :r—r r—i r- i - ( 2 r -2 ) = (r — 1) 2 = 2 r c c

r r—3ii r : r — Z r—3 t* r—3 _ L _ 0 r - 4 > . * = ^ ( r - 2 ) c

32 3

= _ ^ _ ( r _ 2 ) = r 2

r r-5;2 r ^ „ : r—5 r—5 r , „ : a r—5 r r—£ _ ^ ( 2 r _ 6 ) c ' = _ ( r _ 3 ) c 2 = _ ( r _ 3 ) c 2 = £ ( r - 3 ) 2

»- r—7/1 r : r — 7 ~r—7 r : 3 r—7 r : a r—7 _ ^ _ ( 2 r _ 8 ) t

7 ' = _ _ 6 ( , _ 4 ) c

72 ' = _ ( r _ 4 ) / 2 ' = ^ ( , _ 4 ) c 2 7

etc. etc. etc. ist,

folgende Gleichungen:

I. F ü r j e d e g e r a d e oder u n g e r a d e Zahl r

2 cos r s = (2 | ) " — r (2 fl'"* + £ (r — 3) (2 £ r ~ 4 — C ( r — 4 ) ^ (2 4)~"6 etc.

« , i T s = »C(2 I ) ' " 1 — (r - 2) (2 # ) r ~ 3 + Cr — 3)'/ (2 * ) ' " 5 — (r - 4)^3 (2 a ' ~ 7 etc.)

Diese beiden Formeln lassen sich auch , wie die Formeln (§ . 28, 29.) beweisen.

II. W e n n x eine g e r a d e Zahl = n ist r

+ 2 cos s = (2 , ) ° — n (2 * ) " " 2 + j — 3) (2 * ) " ^ 4 — 2 ( w _ 4 ) ^ (2 » ) " ~ 6 + etc.

q: sin 7is = * ( ( 2 * ) " " ' _ O z - 2 ) C 2 * ) " " * + ( r a ^ ) ' ^ ( 2^ n ~ 5 —(w—4^ 3 (2^ n ~ 7 + e t c ^

w o vor 2 cos « 5 , 8in ns das obere oder untere Zeichen g ih , j e nachdem n = At oder 4£ + 2.

Page 169: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

III. W e n n x eine u n g e r a d e Zahl = m, so ist

ra—i m—3 :2 m—5 '• 3 rn—7 + cos ms — # ( ( 2 * ) — ( 7 7 i - 2 ) ( 2 j , ) + ( m — 3 ) c (2*) — ( m ~ 4 ) c (2*) + etc.)

1 »u in—1 . m—4 , . j V; J

/ n vm — 6

+ 2szrazwA = ( 2 * ) — 7 / r ( 2 0 + 7 w ( m - 3 ) ( 2 > ; ) + m ( t f t - 4 ) c ( 2 v ) + etc.

7 1 . In der Lehre von den Gleichungen wird bewiesen , dafs , wenn

y = a + «x * + a2 A 2 + a 3 x^ + an A u , und die Gleichung y = 0

7i reelle Wurze ln hat , die wir durch « t , « 2 , « ? , « n bezeichnen w o l l e n , alsdann

^ = a ^ l _ f ^ l _ _ ^ l _ _ ^ . . . f i — ^ ) sein mufs. Mit Hülfe dieses Satzex

lassen sich die Gröfscn cos j-s, sin r s , welche in den vorigen §§ . durch Reihen ent

wickelt wurden, auch als Prod11cte darstellen, womit wir uns jetzt beschäftigen

wollen.

§. 72. Retrachten wir zunächst die beiden ( § . 54.) bewiesenen Formeln

SLfI = 1 _ rc> I* + r* t - r - 6 / . . . . ± « , X

sin r s A •. - Z . •. 5 .5 : 7 .7 — : y. f*" —-— z= r6 — r 0 6 Ar r 0 — /• ' 0 . . . . 1 r ^ 6

£ c c . C ' C

w o 2 X — 7- oder = 7' — 1 , y. = r — 1 oder = r , j e nachdem r gerade oder unge

rade , und wo 6 = ians.

W i r wollen jetzt ze igen , dafs sich beide Gröfsen £ _ L L £ , sin^r s ^ w e n n r G j n e

ganze Zahl ist , folgendermafseti als l*roducte darstellen lassen:

COS VS _ ^ 01 W l _ _ _ f ! \ / l - _ _ _ \

? ~ (• tan^)( tan^)( latt.g) • • ' ' ( ,a*Vh=L*k) «Sfl=r,Q - A _ W ! _ ^ - V , _ i _ ^ , . . . . / t - J L ^

* v tan--J\ tan-—A tan*—) \ tan*—) T r v Y

wo 2 X = r oder r — 1? f* = * — 1 oder = X, j e nachdem r eine gcradc oder un-

gerade Zahl ist 1f)

Page 170: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Es wird nämlich cos rs = o , wenn rs ein ungerades Vielfaches von °dcr •21

wenn s unter der Form H h — 2 ~ 7 — enthalten i s t , w o t j ede positive ganze Zahl b e

deutet. Demnach wird c c s r J . — 0 w e n n tans oder I = 4- t a n ^ ^ — ~ . den FaIl # 2 r

^2 / \\je ausgenommen, wcnn - — - — L . ein ungerades Viel faches von | « . Diefs kann nur

*> T 2 1 — 1

g e s c h e h c n , ^ v e n n — - — eine ganze und zwar eine ungerade Zahl ist ; dazu ist n ö -

th ig , aber auch hinlänglich, dafs r selbst eine ungerade Zahl ist. Nun ist aber

- ° ^ rr - eine algebraische ganze Function von 0 vom rten oder r—lten Grade , j c

*ft 3 nachdem r eine gerade oder ungerade Zahl ist, und die Grüfsen + tan—, + tan'—, H - tan^r^, A- t a n ^ ^ ~ — w o = r oder r — 1 , je nachdem r gerade — 2 r — 2 r

oder ungerade , sind alle unter sich verschieden, und machen für 6 substituirt

= 0 oder sind die reellen Wurze ln dieser Gleichung. ,

Es ist also ^LfI = _ - — V I + ^ 7 Y 1 ~ ^ 3 ^ y 1 + e t c ' ^ * a w —J\ ton — / \ tarc — / V / a / /

2 r 2 /• 2 r 2 r oder wenn man zw rei Factoren in einen zusammenzieht,

6I V i - - V i - — > / 1 - ^ >>

f ~~ C * ( , 3 * ) ( 5*1 ( ( 2 X _ 1 > ) * v tarf^-)K t a n 2 ^ J \ tan2—/ \ ta112^^—— / 2 r 2 r 2 r 2 r

w o 2 X = r oder r — 1 , j e nachdem r gerade oder ungerade ist.

TT 3 TC ^ Zu bemerken i s t , da f s , wenn man die Reihe + tan — , + tan'— , + / a n ' ^ ,

^ r ^ ^ (2 X — 1 )ff

• *^» • i * a n - — - — bis ins Unendliche fortsetzt , man periodisch immer wieder 2 r

auf die ersten 2 X W e r t h e kommt.

W e i l S™IJ. — 0 w i r d , wenn r s — 0 oder irgend ein Viel faches von + * ist, S 0

sind die W u r z e l n der Gleichung SJ~± — r 0 f m § . + r * f = 0

Page 171: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

~VJ.

2 = e + ^ Y 1 + C+J^5^r0 v tan*—J\ tan*-J \ tan2-—s——J

2 r 2 r 2 r

o ^ — ' - ' O + * j » + J L ^ . . . . . ( 1 + tan*-JK tan*—J N. tan--J

r r r

w o 2 X = r oder r — 1 , j e naehdcm r gerade oder ungerade.

§. 74. D ie beiden Formeln ( § . 67.)

„ , = 1 _ £ / + 2 & . + a £ V + 5 t » + 4 ) ? * . 6 . . . . ± 5 ( 2 n - 2 ) " - ' ' ; n - r , 2 n

C 0 5 r t 5 - i - 2 - ^ T4V-^*J- w t g V ' T ^ c ' . • . . _ _ - v * « — * ^ *

? w / i * v 2 ' 2 S i m r » o ^ ' 1 5 1 m - r , 2 m

srnms = mt, — 3 ( ^ + I ) 0 » + y ( m + 3 ) c * . . . . ± - ( 2 m — 2 ) c »

W 0 , = sins, n eine gerade und m eine ungerade Zahl bedeu(en , lassen sich auf

ähnliche W e i s e in folgende beide Gleichungen verwandeln :

fo lgende: o, 4 - tan-, ^~tan~, + tan~, ^rtan^- . . . . + tan--, o J — r» — r — r — r r *

w o 2 X = r — 2 oder r — 1 ,* je nachdem r gerade oder ungerade ist.

Es ist daher

, ^ ^ ( i - ^ Y i - ^ V ! - ^ y - . . ( i - ^ ) . * V tan"~-J\ tan2~JK tan*-J \ tan*-J

r r r r

J. 7 3 . W e i l q + ^ + t l - < - ) ^ , + ^ . , » + r M / + r : 6 , 6 + e M >

_tf

. „ n d (i + / ) - a - ^ = r + ^ + r . 5 / + r : 7 ( 6 + e t c > v

so erhält man diese beiden Reihen, indem man in den, im Anfange des T o r i g e n § . g e -.' . - ^y:, w.. . • * ' •' • •.«* - - ' '.•••'•.

gebenen, Ausdrücken für ?°SJ S , — > r x " » — f ü r ? 2 substituirt. * f *

Daraus ergiebt s i ch , dafs

(O)

Page 172: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

(P )

« 7 z ms=m*fl — *l-*# , , ^ , ot,c ^ ^ „«,,» _ />i 7/i m 2 w

Es wird nämlich cos ns = o , wenn ns ein ungerades Vielfaches von + ^ °der

/O £ J wenn * unter der allgemeinen Form + — begriffen ist. Es sind demnach die

^ Tt

n Wurze ln der Gleichung cos n s = o von der allgemeinen Form 4 - sin ^ f~~ ^ *. — 1 n

Setzt man nun nach und nach t — 1, 2 , 3 , 4 , etc., so erhält man zwar unendlich

viele W e r t h e dieses A u s d r u c k s , von diesen sind aber nur, wenn auch das V o r z e i

chen berücksichtigt wird, n untcr sich verschieden. Man erhält dieselben, indem mau

1 , 2 , 3 . . . . ~ setzt. • ' : t

Eben so sind die m verschiedenen reellen Wurze ln der Gleichung sin ms — o,

w o m eine ungerade Zahl ist,

! . Jt i . 2 n I . 3 n | . Cm — 1) «• o , ~ r — , ~r~ sin — , T - sui — , * . . . ~r sin —- .

— m — TO — m — 2 m

A u s obigen Gründen folgt nun mit Hülfe des ( § . 71.) angeführten Satzes die Rich

tigkeit der beiden Formeln ( P ) .

§. 75. W i r d die Multiplication der Factoren der Ausdrücke für cos ns, sin ms

wirklich ausgeführt, so ist das letzte Glied des Productes für cos ns:

« n

4 ? ~ ~ ' 2 * * 2 3 ^ ' 2 5 * • « n — 4 '

sin2 -— sin2 zr-sin2^— .. .sm2

2 « 2 n 2 2 ^ D a nun aber

. ' cos n« = 1 - £ „ * + » ( „ + 2 ) ' < > , 4 . . . . + 2 ( 2 ^ _ 2 ) - " % "

* 4 ^ n c

_ n - ' / 2 n : n — i n — t n n — l n und - ( 2 r c - 2 ) * = ( « — I ) 2 — 2 » ,

n c c

» • = o - T ^ r Y * - ^ v - T ^ u j • • • • r - ^ o r = - M v « n ' 2 - A « t f ^ A « * ^ V . . » • i ^ J

' C " ^ r O ( 1 ~ ^ 0 0 • • • • o - ^ T ^ - . i v i m 2 — / V sin2 — S \ sin2 — J \ « r c 2 ~ r — - /

Page 173: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

.S'Z77, Sin -— SlTl -— SlU -— . . . . SiTl n

2 n 2 n 2 n 2 n 2 n

A u f gleiche W e i s e erhält man a u c h , wenn man das aus der Entwickelung des

Productes von sin ms sich ergebende letzte Glied mit dem letzten Gliede des Aus

drucks m f . 3 i m / t ON 4' a 5 4- m tct o \ m — I ' 2 m

st.n m s = m v — — (m + 1) n + (m + 3 ) c . . . . _7 — (2 m — 2) j; O w 7/i' C

, . m m - i , 2 m ^ : m - i r a - i m m—r m vergleicht , weil — ( 2 w i - 2 ) 9 = ( »» — I ) 2 « — 2 9 ,

m v c c

. * . n2« . n 3 n . 4* . (777,— \)n _ m sm2 — . sin* — . sin* — . sin2 — . . . . sm- •— — —

m TTi m TTi 2 m om—1 und folglich

. ff . 2* . 3«- . 4* ...„ ( / r c - 1 > _ Ym sin - . sin — . sin — . sm — — q ^ r — —.

m m ni ni & m L _ i 2 2

§. 76. Aus ( § . 31.) ergiebt s i ch , dafs

- r i T 7 + o ' + ( r r F * - , y 1

= , + » 7 + » o , + 2 ) W , 4

2 2 4" ^

+ 2 ( „ + 4 ) 5 ; % 6 . . . . + 5 ( 2 r e - < - " % n

y T T ^ - ^ " - y r + ^ - o " = „ + » ( m + , 5

+ » ( m + /

1 7 7 1 / 1 r x 6 ' 3 7 . 777, m + y ( m + 5 ) c * * * • • H . C 2 m - 2 ) ^ .

# ** 77J *c

Es bedeutet hier abermals n eine gerade , m eine tingerade Zahl .

Vergleicht man diese beiden Formeln mit den für cos ?is, sin ms (§. 74.) g e g e

benen Ausdrücken , so übersieht man leicht , dafs

so ergiebt s i ch , dafs

. a * . , 3 * . „ 5 ff . „ 7 n . Qi -< )*r _ t sin2 — sm*rr-- sin*rr— sin-~— . . . . M « 2 - — K " — r

2n 2n 2n 2n 2n 2"— 1

und folglich

* 3 * 5 * 7 * — 1 > _ O — n *

2*

Page 174: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

~ = C ~ ^pC~ = © C ~ ' ' ' ' C ~^*) C " ^ ) C " ^ ) C " % ) " •' C " i ^ >

< r i T v + o ' + y n ^ - ^ _ n + + w i + ^? \

., 2~~ ( -^ (^•) r + ^ C + •' • • C + Tjs=n^ - ' ^ " * * 2 7 i A •*"5S/ V " * T T ^

u n d ( r ^ + , r - . ( n + j ^ ^ + ^ + ^ ,

. . . , Ji= , , » 2

f + ~ 7 ^ Y + ~ T ^ f + .rm-irA K. • « » ' . m A . * " * s r / . . V . « » * S r s r V . : sein muf&.

§ . 77. Aus den beiden <jIeichungen ( § . 67.)

- S L p i = 1 _ On + 1 £ * + < „ + 3 ) f , 4 _ <,„ + s g * , 6 ± Vm - 2 ) ™ - ' " ™ ~ '

(U) ^ = n , - ( « + 2 ) f » 5 + ( « + 4 ) f / - ( „ + fl)c

7'%7 . . . . ± ( 2 „ - 2 ) " - ' , n -* C

in welchen # = cos$, v = sz'w*, und n eine gerade , m aber eine ungerade ganze

Zahl bedeutet , sieht man, dafs ° ° S m S und S i n n - a lgebraischerationale g a n z e F u n c -s s

tionen von v, j ene v o n m — l t e n , diese von n — 1len Grade sind. > , .'.

D a nun die m — 1 verschiedenen Wurze ln der Gleichung V O S ™ s ~ o, wie man

leicht übersieht , + sin dr sin7r~> sinj^- . . . . + sin^^—— undeben so - tn 2 m — 2 ?n — 2 tn

* l . 2«r , . 3 * , . (n — 2 )* ©, + sin-, + — j ± — X sm—^7,— , die n — \ verschiedenen

— n Ti n J> n

reellen Wurze ln der Gleichung S--y^ — o s ind , so erhält man:

cos ms

Page 175: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

* 3 « 5 f T 7 * sin -— . sm ___ . . . sin sin

2 m 2 w 2 w 2 w

sin 2>r 3 » 4 »

sin — . sin . S J 7 7 , — • . S i « . . sin sin n n n

(m — 2)« 1 2 7 7 1

2 2

f > - 2 > _ r 2 ^ " 2 ~ *

und

§. 78. W i r haben ( § . 36. ) die beiden Ausdrücke

1 * ^ " y j - _ = j y 1 ^tzZ^Ly durch unendliche nach den Potenzen T o n v fort-2 M + » 3

laufende Reihen dargestellt. D i e erste dieser beiden Reihen bricht a b , und ist un

endl i ch , wenn x eine ungerade Zahl = m , und man hat

r ^ + ; o " + c r r + ^ - , r ^ , ^

2f 1 4 - c c

Eben so erhält man für den zweiten Ausdruck eine endliche R e i h e , wenn x einc

gerade Zahl — n, so dafs ( r r + P + * Q n - C T l + * - V)n _ „ S , » 5 5 , 2 5 „ - T , a n - ,

^yT+7* ( / z + 2 ) c * ^ 4 ) c

n' • • + C 2 » — 2 ) e 9 . 3 3

D i e erste dieser beiden Reihen ergiebt s i c h , indem man — » für v i n d e m A u s -

CÖS TTh S

ke für —j— substituirt. D i e zweite findet m a n , wenn man den Ausdruck für

durch nv dividirt , darauf — statt >t* setzt , und dann wieder mit nn multi-£ dlicirt. Daraus folgt unmittelbar, dafs

(Y±Ei±^t^L±£^-,.,Jl V i J . " 1 N

2 r<i + O _ C + T T T ) ( 1 + T 7 3 ^ ) • • • ( 1 + T T o S = o i )

( S ) " * W smT£ V " » ' S ü (rn"*5+») 1 1 - o ^ i T 7 - » ) " . . . * , * „ , v' N

- 2 K T T ? - n f + ~ * ) P + - . x 0 • ' ' ( + ^ r _ = _ ) -

4 X Ä 7 / ; . 2 — / V . * / / i 2 / V Sin 0 „

" S * t t * ' ° " " 2 7 7 « TJ

Vergleicht man diebe idenletztenGl iederdieserdurchMult ip l i cat ioninReihen v r r w a n -m — i / 2 m — i » 0 n — > / S n — i

d e l t e n P r o d u c t e m i t d e n r e s p . l e t z t e n G l i e d e r n 4 2 ( 2 m ^ 2 ) ^ v , ±_(>n—2)^ 9

f ~ m — I m — i , n — i n — i , , .. . COS 77lS sin US . ,

oder ± 2 « , + 2 n der Ausdrucke ( Q ) von —j— , — | — j so ergieht

sich daraus:

Page 176: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

§. 79. W e i l cos (xs 4" Q) = cos x s cos Q — sin xs sin Q

cos (xs — Q) = cos xs cos Q + sin xs sin Q

also cos (x s Aj- Q) . cos (xs — Q) — cos2 xs cos2 Q — sin2 xs sin2 Q, und folglich, wenn .

x eine positive gerade Zahl = n, wegen (§ . (>7.)

n2 2 n 3» 2 4 n — * n x » 2

cos(ns + Q) cos (ns — Q) = (1 — + - fa + 2 ) c « . . . . + 2 « ) cos Q

(^*) s , a Z 5i2 5 n—r n—i 2 2 — ( l - < f ) O * — ( « + 2)c "»H- C» + 4 ) c + 2 « ) 0 ,

o d e r , wenn x eine ungerade Zahl = m, > ;

2,2 2 4/ a 4 m — 1 2 c o . s ( / « * + ^ ) c o « ( m s ~ ^ ) = ( l — ^ ) ( l — ( / « + 1 ) c «4-(m4 -3) c 9 + 2 « ) c w ?

( U ) , m , . .2,3 3 , m, , „ x 4 , 2 5 i 0

m — I 1 V • — ( w ; — j ( > n + l ) c » + g - ( w + 4 ) c » + 2 v )

Es ist also allgemein für j ede positive ganze Zahl r , cos(rs Ar Q) cos(rs — Q)

eine algebraische ganze Function von y vom 2 rten Grade. Nun wird aber

cos(rs 4- Q) cos(rs — Q) — 0 , wenn entweder r.<? 4* Q oder r s — 0 ein ungerades

Viel faches von A1 \ oder wenn s unter d e r F o r m — l ^ * - ^ ^ - > u n ( j folglich ^ unter ^ ^ r

der Form •vm ^ ^ * + 2 ^ begriffen ist. Es sind demnach die 2 r W rurzeIn der Jt V

Gleichung cos(rs Ar Q) cos(rs — = 0 fo lgende:

. * _ 2 < P . • 3 * - 2 0 . 5 * - 2 0 . . (2 r-i)*-2Q Hr * m ^27 7 " ' — S m 2 r — ' — 8 i n ' 27 ' ' ' ' * * ~ s i n 2 ~

oder „ + 2Q , . 3 * 4 - 2 ^ , . 5 * + 2p 4 - „•„&r-l)nA-2Q

± sin •, ± 2 - — > ± — 2 ^ " ' — w / i 2~r •

Dafs die W'erthe der Glieder dieser beiden Reihen dieselben s ind, übersieht man

lricht, wenn man z. B. die letztere in umgekehrter Ordnung unter die erstere schreibt.

Es wird alsdann die Summe der Rogen zweier untereinander stehenden Sinusse immer

= ft, und folglich werden ihre Sinusse einander gleich sein.

Nun ist aber das erste Glied der algebraischen ganzen Function, welcher cos(r«4-<?)

cos(rs-Q) gleich ist, r m a g eine geradeoder eine ungcradeZahl sein, cos2Q. Demnach ist

Page 177: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

cos(rs

2 r 2r oder auch = cos"$(X C • * + 2pY 1 , a3«+2jp^ * ' ' ' C • ,(2r-l)*+2?) sz«2 — > v *m2 — - J \ Si«2 s / 2 r 2 r * r

§. 80. Denkt man sich jedes der obigen beiden Producte in eine nach den P o

tenzen von v fortlaufende Reihe entwickelt, so erhält man durch die Vcrglc ichung des

letzten Gliedes derselben mit dem letzten Gliede des durch die algebraische ganze Function

vom 2rten Grade im vorigen §. gefundenen Ausdruckes , welches für ein gerades und

• •. . ••• •. • - .M- • : .- .; •.-., - . : ar—a M ungerades r — 2 w ist.

r~i . „ — 2 0 cos 0 ~ 2 s/n —

J-J : V-'

3 K — 2 0 5 «r — 20 sin „ . sin

2r

oder _ nM • * +2<P • 3ff + 20 sin 2r sin 2r SUl

2r

5 <r •f- 2 0 TT

SUl

SM

(2r-1)ff-2a 2/-(2r-1) *r + 2 0 27 •.

§. 81. Das Product sm(rs + 0) .sm(rs-0) läfst sich auf ähnliche W e i s e , wie

cos(rs4r$) cos(rs — 0), als ein Product aus r Factoren darstellen, so dafs

f\ — SUl2 3 ) . sin (r .9 + 0) sin (r * - W = + *m2 0 ( i " Y 1 — -«—9)C

SLT^ SZTt "J V

-. - r r r ( W ) - T ^ r = * V ' - ^ n ^ e ) • • • • (1 ~ fjt=&=$)

v

W Ä 2 :J\ sui2- / \ *w* ^ zj r r . 2 '

o i « auch = ± ^ t - J ^ _ i ^ . . . . ( t - i ^ ^

Es ist nämlich *m(r « + <P) än (r s — 0) = *m2 rs cos*q> — cos 2 r.? szVz"0. Es ergiebt

sicb nlso (§. 67.), wenn r eine gerade Zahl = n,

+ & ~*>=°°^C~ * - * A C ~ % -a»Y ' - * 5.-g»S x sin2^—VV. *m2—T7-/V. «n2—-—-y 2 r * r 2 r

TJ' - -

jj2 ( V ) ( 1 - . 7 * - 2 p Y 1

+ . 0<J*-2$T) f 1 . ,(2r-l)r-2g>^ m2 - n _ • A **tt2- 0 V > «a2 27— ^

Page 178: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

oder

82. Stellt man diese beiden Producte als nach den Potenzen von » fortlaufende

Reihen dar , so erhält man durch die Vergleichung des letzten Gliedes derselben mit

dem letzten Gliede der oben gegeben algebraischen Function von v vom 2/ ien Grade, 2 r - 2 2r .

welches = 2 n istj

. . Zi- 3 , 5t- 5 n—T r i - t 2 2 sin(ns+tysinOis-Q) = (l-n-)(nv-(n+2)c v + ( « + 4 ) c - . . . . + 2 * ) cos 0

Ai « 2 a . w r . o ^ ' 2 4 TZ . , .5/2 6 n—r n a . 2 — (1 — — v + - Cn H- 2 ) c v — ^ ( " + 4 ) c * ' • • • i 2 * ) P

und, wenn r eine ungerade Zahl = m,

. , ni 2,2 3 4 j 2 5 m — i m 2 2 sin{msAr$)stn(ms— q>)=(mn — _ ( , , j _ ^ ^ * _ j . _ ( w _ ^ 3 ) c - . . . . + 2 - ) cos 0

* ' 1 „ 2,2 2 4/a 4 1 — 1 ra—12 . 2 — (l — vD(l—(7M + l ) c » + ( ' « + 3)c ' _ : 2 *

In beiden Fällen i s t s m ( r s + 0) sin(rs—0) eine algebraische ganze Function

von *i vom 2 rten G r a d e , deren erstes Glied — sin2 0 und deren letztes Glied 2r—2 2r

2 » . Nun sind aber, w i e m a n l e i c h t ü b e r s i e h t , die 2 r verschiedenen reellen W u r

zeln der Gleichung s j « ( r i + ^) sin(rs— 0) = 0 , weil sm(/ 's + #) = 0 w i rd , wenn

r s + Q = O9 oder ein Vielfaches von «*•, f o lgende : , * , T * 1 , Y Q , . * - 0 1 . 2 * r - 0 , . 3 * - 0 , . ( / • — 1 ) * - 0

*r sm - , ~r sm , sm , sin - , . . . . ^ sin ~— r 7 — /• — r — r — r

oder auch

. • 0 _L • * + 0 _ . • 2 * 1T- 0 i • 3 * — Q ? . (/• — 1) TT — 0 ~r sm — , 1 sm , ~~r sm — , ~r sin — , . . . . *T" sm - . — r — r — r — r — r

Man erhält also zufolge ( § . 71.)

sm(rs4 Q)sin(rs-Q) = -si,fQQl - T ^ ( 1 - ~^Ej) ' ' ' ' 0 ^ ^ O > E E * )

r v r

= - ^ ^ - ^ J C - i m > - " ' C - T r _ = r _ t ? ) -

Page 179: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

5Z/J' * - 2 a V 1

• ,3*r-2g^ ' ' ' ' / 1 " 7 7 ^- i > - 2 g ^ - 2 7 ~ A s m ^ 2 F - J \ ™ " ~ ^ 7 /

und

7•S 2 r '5/2 4 2 / ' . 2 > 2 3 . r 4f2 5 2 ( l — ^ t f +4(r+2)^ » - e t c . ) * m ^ — ( r * - - ( r + 1 ) c >i + i r ( r + 3 ) c « — e t c . ) C o * 2 a

2 , - - • - V ^ • 'i*.'w . - ' i : ' i V •

= „ v p(i - J = ^ y i - ^ r r * y » + T 3 ^ f t • • • • - o _ , ^ _ A v sin--J[ sin2—-—A sin~ ~--J ^ - - J

Daraus folgt unmittelbar, indem man — statt setzt,

(1 + ^ + j (r+2)^'V + e t c . ) 2 ros 2Ä + (r» + ^ 0'+%'* >? + ^ ( r + 3 ) ^ ^ — <*c.)* «»" 0

»a v 1 V2 . , vJ = + „ ,_ , , -a^V 1 + . ; , i . - ^ • • • • ^ +

und -

— i\ sin' 1 r

^ ) " " ( ^ ^ > ^ ? )

(1 + £ * + ( / - f 2 ) ^ ' 2 , 4 — e t c . ) * w V 0 + (r» + j O ' + l ) * ' ' » ' + g- C ' ' + 3 ) ^ "* + « ^ O * cos* 0

= - ; c + ^ ) ( ' + f e ) C + ' " ' ' C " f e ) Die Glieder dieser beiden Gleichungen linker Hand lassen sich nach (§ . 3 1 . ) ,

wenn man y^ZJ^ ~ % setzt , durch

( w L + J L ^ r y + ( g + » y - t f - » ) y f

r—i . 0 . . 2 * — © . 3»r — ö . ( 2 r — l ) * - 0 *i/z 0 = 2 - . sin . sin • sin ....sin < Z

^ r r r r r

o r ~ T • 0 • * + <P • 2*r + 0 . 3ff + ® „ , • „ ( 2 r - 1 ) f f 4 - g oder — 2 ^ . sin ~ - . — . *..-sin ~ .

r r /* r r * §. S3. Aus dem so eben Vorgetragenen ergie1)t s i c b , dafs

r2 2 r 3 .2 4 2 r 2,2 ^ r 4>2 5 2

( 1 ^ 2 " " +J<r + 2 ) c v — e t c . ) c ö ^ — ( r » — g ( / - + 1 ) c ' * + j C r + 3 ) c n - e t c . ) * m 2 ®

V? N y. x /1 ^ = cos>Q(X — —

Page 180: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Daraus ergiebt s i ch , wenn w i r , Kürze ha lber , £ + * = «, I

setzen, v = A

/ • -

= a((# + »)" 4 - 2 (| + v)\i — 9/ . cos 2 0 + ( / — vf). und v

• s " ^ - • ~ «

x * + t y + (i-^)V . ^ , x*+») r — (/-»n» a . --- ' Q _ j « r c 2 0 + ( ~ 2 ~) cos<P

= i ( ( i + * J " - 2 ( i + v H i - v ) c o s 2 9 4 - (I—*)2') ausdrücken.

~- D Multiplicirt man nun die Glieder recbter I I a n d , resp. durch

ir-a 2 . ff — 2 0 . 3 « — 2 0 . 5 * r - 2 0 . o ( 2 r ~ l ) f r — 2 ß —— . sin- — — - . « m 8 — - — - . sin2 r — - «ra*i— i cos2 0 2 r 2 r 2 r 2 r

r und durch •. - *

ar—a 2 . n 0 . 2 * ~ 0 . 2 * - 0 . , ( /• — l ) * - 0 • •;• • Sin2- . sin- . *m 2 . . . szn2 — sm2 0 r r r r so erhalt m a n , weil beide Producte zufolge ( § . 8 0 , 82.) = 1,

: iid + *y + 2 (# H- * / ( | - v) cos 2 0 + (| -

o a r — a / • 2 * — 2 0 , 2A/ • 2 3 * — 20 a . 5 * - 2 0 . , . ( 2 r - 1 > - 2 0 , \ = 2 (sm* h * X « " 2

2 r + n ){sui2 2 r y + 9 )• • . (sm2- -L Z + „ )

\

™<1 I [(# + * ) * — 2 ( / + ~_ v) cos 2 0 + (£— vyr]

= a * " ( ^ ? + S)(sm2 + , V « 2 2 ^ f + / ) . . . . (Si,s fr " ^Lrr_* + r- • 4 t • o I , — 1 — co* 2 » , a 1 ^ cos 2 u 4 - 2 v2 . .. Es ist aber sir&u + r - T » — 2 5 u w

r r R = . „ ut 1 + 2 , * = / + , 1 = «±i^+(LrjO! „ i , =,» _ ,*= «+,)«_,). 2>

Folgl ich « n « . + , 2 _ (#+9)2 — 2 ( # + * ) ( # — * ) c o s 2 * + ( £ - * ) 2

4

Page 181: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

f % 0 7 7« 1 j\ r* 0 7 ( 2 r - 1 ) , ,a — 2 au cos — 4 - b ) . . . . (a — 2 ab cos - ~ b )

( / — f c * ) * = ( a - o ) (a — 2 a o c o s - + D ) (a ~ 2 a & cos — 4 - b\a—2ab cos~ + b*) r r r

ia-2ab cos— + ß * ) (a-2ab C 0 8 & = ^ + b \ r r

W e i l nun die Cosinusse zweier Bogen, deren Summe ein Vielfaches des Kreisumfan-

ir T t ix , 2r 2 — 2 0 , * w

3 „ „ 3 a - — 2 0 , 2 « + 2 « ß cos 2 0 4 - ß ~ ( « — 2 uß cos ~ - + ß ) ( « — 2 cos - - L ß )

'i mt , a * öft — 2 0 . a. , 2 „ ( 2 / * — 1 ) * r — 2 0 , a

( * — 2 co* y + £ ) . . . . ( « — 2 c o 5 - J- i + £ )

ar „ r r 2r a 2 0 a a 2 ff — 2 0 , a « — 2 « 0 co.s 2 0 + 0 = ( * — 2 cos ~ 4 - ß X * — 2 c o 5 1 - ß )

- - - a 4 * — 2 0 . a a ( 2 r — 2 ) * — 2 0 . a ( « — 2 «ff c o s - y + j8 ) . . . . ( « — 2 ccß cos^ J- - 4 - ^ ) .

D ie heiden in den obigen Gleichungen vorkommenden Gröfsen « , ß stehen zwar

in einer gegenseitigen Abhängigkeit von e inander , welche durch die Gleichung 2 a

£ —v = 1 oder ( # 4 ^ X # — 1 O " a ß 1 bestimmt wird. Indefs gelten diese Glei

chungen auch dann n o c h , wenn man irgend zwei beliebige durchaus von einander

unabhängige Gröfscn a, b statt ot, ß substituirt. W a s nämlich auch immer a , b für

W e r t h e haben m ö g e n , s o k a n n man « — ß = ^ ?== . se tzen ,we i la l sdann«y3—l . Y ab Y ab

Diese W e r t h e in den obigen beiden Gleichungen substituirt, und alsdann auf beiden

Seiten durch a*b* multiplicirt, verwandeln sich dieselben in zwei andere, die nur v o n

den erstern darin unterschieden s ind , dafs überall a , b statt « , ß vorkömmt.

Zugleich ist zu bemerken , dafs man in den obigen Gleichungen 0 statt 2 0 se

tzen kann.

§. 84. Nimmt man in den obigen beiden Gleichungen 0 = 0 a n , s o e r h ä l t man

{a 4 - 6 1 ) 3 = — 2 ab cos - 4 - b*)(a1 — 2 ab cos 4 - b\a? — 2 ab cos 4 - 6*)

Page 182: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

2 7 * 2 2 f 7 ; 7 , 2 W 2

C — 2 ab cos r b ) (a — 2 ab cos — - U b )(a 4 - b). , m m ' 1 ' ; i i - < ^

Eben so erhält man aus dcr zweiten Gleichung fiir ein gerades r — n

n n 2 2 Tf 2 2 4 2

a — b = ( a — o ) ( « — 2 «Z> cos h & ) ( « — 2 ab cos h b ) n n ' '

X _ o CT& c < M f ^ _ j _ &2 ) ( a

2 2 a Ä c o s Cn — 2 > 2

Tl ji ' 1

und wenn r eine ungerade Zahl = m

r n t n 2 2 Tf 2 2 4 2 a — ü — {a — b)Ca — 2 ab cos U b ) ( a — 2 a b cos h b )

7 7 i TIl

. 2 n 7 6 * I 7 2 > • 3 n 7 I ) » T 2

X ( a ~ 2 a 6 .cos— + b ) ( « — 2 a b cos - — 4 - h v •-r JTl 7Tl 1 '

Zur Erläuterung mögen hier einige Beispiele fo lgen: 2 , 2 2 2

ß + 0 = a Ar b

£ 4 - — Ca-2ab cos^ + tf)Ca-2ab cos^- + Z > * )

a6 + 6 6 = Ca—lab cos^ + b\a—2<tb « o s ^ + b\a—2ab cos~~ + &)

g e s , einander gleich s ind, folglich cos^ = cos ^ * ^ cos^ = cos ^ ~ 3 ^ * , elc. ,

r i 2

so ist der e r s t e F a c t o r d e s P r o d u c t e s = (^ + h) dcni letzten, der 2 t e dcm 2 t e n vom

letzten, etc. g l e i c h , und wenn dic Zahl dieser Factoren = r eine gerade Zahl — ?i>

so ist die erste Hälfte derselben mit der letztern völlig identisch, und man hat ' Ä

a Ar b — (« — 2 a b cos^ + b ){a — 2 a b cos^ Ar b*)(a-2ab cos^ Ar b)

X (a-2ab cos — + b*)(a*-2ab c o / — + b*) . . . . (a-2ab c o * — - 1 ^ + / ; * ) . ^ n n n {

lst r eine ungerade Zahl — m,- so hat das Product einen mitlern Factor

2 111 n j 2 2 2 2 ^ .T

a — 2 « / ; cos — + 6 — « + 2ab Ar h — (aArb) , und es ist %..

a Ar b = Ca — 2 ab cos — Ar- b ) ( « — 2 ab cos — 4 - b^Ya* — 2 ab cos — A- b*) ni m ' jn '

Page 183: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

/ * J.

a — — (a — iJ(a + b)

rt4 — o 4 = (a — 6) ( «* — 2 ab cos 2^ 4" Z>V<* 4 6 6 2 •JT ^ ^ 4 ^

a — 0 = (a — o)(a — 2 a o cos^r- + b )(a —2ab cos — + 0 )(a + 6)

^ a — & = a — & " . 'V. - * ' • ' ' » ; • . . » ' . .

3 5 2 2 2 a — b — (a — o)(rt — 2 a6 cos -— 4" b )

— &5 = (a — b)(a — 2 ab cos 4- b )(a — 2 ab cos ~ + />2). 0 > j

Der so eben bewiesene Lehrsatz wird von seinem Frfinder C o t e s der C o t c s i -

s c h e Lehrsatz genannt. DerallgemeinereSatzwurde später von M o i v r e mitgetheilt.

§. 85. Die logarithmischen oder hyperbolischen Functionen - — — , — ,

wo e die Basis der natürlichen Logarithmen bedeutet, haben, wie wir bereits mehrere

Male zu bemerken Gelegenheit gehabt, mit den Kreisfunctionen coss, st'ns, sowohl

in Absicht ihrer analytischenForm als auch in geometrischer Hinsicht so grofse Vbn-

Iichkeit, dafs es wohl nicht uiizweckmäfsig sein wird, diese hier etwas genauer zu

betrachten. So wie nämlich (§. 35.) coss die Abscisse, und sins die<Ordinaie

des Endpuncts P, eines Kreisbogens AP = s, dessen lladius = 1, so ist (§. 23.) j I ~'S QS .

e 4- e die Abscisse und ^ die Ordinate des Endpunctes P des Bogens 2 &

AP der gleichseitigen TTyperbel, deren Axe = 1, wo * der doppelte Flächeninhalt ei

nes von der Axe O A , dem liadiusvcctor OP, und dem Bogen AP begrenzten Sec-

a + b — a 4- b

a 4 h1 = (a — 2 ab cos ^ + b )(« + b)

a5 4- o 5 = ( « 2 — 2 ab cos ^ + M(« 2 — 2 «o cos 4" b\a 4r b) 0 0

Page 184: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

•|6() Zweite Vorlesung. Über dic Entwickelung ? ^

c J *4- ß—

tors ist. W i r wollen daher mit L a m b e r t den h y p e r b o l i s c h e n G ö s l

oh 4 - e~s

n u s und den h y p e r b o l i s c h e n S i n u s des Doppclsectors s nennen, und t£t

iliese beiden Functionen durch Coshs, Sin7is, bezeichnen. . . •.•. i } . •

Diesemnaeh erhält man zufolge ( § . 2 5 , 2 6 , 27.) folgende Gleichungen für die hy

perbolischen Sinusse und Cosinusse. r 1 Ä

Cosh(sA^t) = Coshs Cosht Ar Sinh s Sinh t

Cosh(s—t) = Cosh s Cosh t — Sinh s Sinh t

SinhCH-1) = Sinh s Cosh t Cosh s Sinh t

Sinh(s—t) — Sinhs Cosh t — Cosh s Sinh 1

Cosh 2s — Cosh2s Ar Sinh*s

1 = Cosh2 s — Sinh2 s

Cosh 2 s Ar 1 = 2 Cosh2 s

Cosh 2s — 1 = 2 Cinh2s

Cosh(sArO + Cosh(s— f) — 2 Cosh s Cosh t

Cosh(s+t) — Cosh(s— t) z= 2 Sinhs Sinh t

Sinh{sArt) Ar Sinh{s<— t) = 2 Sinhs Cosh t

Sinh(sArO — Sinh(s — t) = 2 Cosh s Sinh t

* + ß,i__-* — ß Cosh « Ar Cosh ß = 2 Cosh n—

« + jS

Cosh-

Cosh oc — Cosh ß — 2 Sinh- 2~ Sinh^—

Sinh « Ar Sinh ß = 2 Sinh t±J£ Cosh"~ß-

2 2t

Sinh oc - Sinh ß = 2 Ccsh Sinh*~~ß

Mit Hülfe dieser Formeln lassen sich, wenn man ^jn^ •• durch Tanhs und ^ o s ^ 1 ' 9

Cos/t s Sinh s

durch Coths bezeichnet mehrere andere , den für die Kreisfunctionen gefundenen For

me ln , ähnliche Gleichungen herleiten. So ist z. B . , wie man sich leicht überzeugt, \

„, T . . Tanh s Ar Tanh t ~ , , . Tanh s — Tanh t 1 anJi (s Ar t — 7 , rv'~~i—~p—TT> J an'L Cs — t) — r~n;—7—7p—rv X^rlannslanhl 1 — l a n l i s l a n h t

E s i s t h i e r noch zu bemerken, dafs, wegen Cosh-s — Sinh-s — X, Coshs alle mögl i

chen Werthe zwischen Ar OO u n a < — 00» m^ Ausschlufs der W e r t h e zwischen Ar 1 u n d — 1

haben kann. Hingegen kann Sinhs alle möglichen Werthe ohne Ausnahme zwischen

4_ u n ( ^ — OO haben. D ie hyperbolische Tangente aber m u f s , w e i l , wegen der

Gleichung Co$h2s~Sin7i2.s = 1 , Coshs > Sinhs, immer kleiner als 1 , undzwischen

den Grenzen + 1 und — enthalten scin. ^

Page 185: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

C o s A s 4 - S m / i * = es und C W i s — Ä m Ä s = c ~ *

und eben so fr*

CosA # s 4- xs = exs und Cos/* xs — &Vz7i #s =

Daraus ergiebt s i ch , wenn m a n , wie oben coshs = g, sinhs = n, ^ = ' sct2t>

wie (§ . 29.) "

§. S6. W e i l Coshs = e S m / i s — - ~ - — s o e r h ä l t m a n z u f o l g e ( § . 5 . )

Coshs = 1 + s\ + 4 + 4 + 4 + s c ° + e t c -j .

Sinhs = s + 4 + 4 4 - * c 4 - + ^ c 1 + e t c *

§. 87. Setzt man Coshs = Sinhs — a, | = 6, so ist

, = = £__=L£Z! = £ _ J = J und f o 1 g l i c h ^ + * = = c " - 1 , a l s o e " = = J ^ 4 . -CO.SÄ .9 e J e—S e2S _ _ 4 1 — f

Daraus erhält m a n , wenn man s oder den Flächeninhalt des hyperbolischen Doppe l -

sec tors , dessen Cosinus = dessen Sinus = y, und dessen Tangente = 0 , das

A r g u m e n t d e s C o s i n u s # , d e s S i n u s v oder d e r T a n g e n t e 6 nennt , und das

selbe durch Arg. Cosh. | , Arg. Sinli. tf, yfr^. Tanh . 0 bezeichnet,

1 4 - 6 03 05 fig Arg. Tan7i. 0 = | log nal ^2ZT6 — 6 4 3 4~ 5 + f + ^ + eic.

e>* §. 88. Eben so ergiebt s i c h , weil Sinhs oder v = ^ , und folglich

e ™ _ _ 2 * e 5 — l — 0, es = « 4 V ^ l + ^ 2 , und s = lognat (* 4~ Y\ 4- v2). Demnach

wegc11 ( § . 17.) V

_ . * 3 . 1 . 3 ^ 1 . 3 . 5 V 7 1. 3. 5. 7»o ^ . & n A . * - * - l g - 4 - 2 T 4 5 " — 2 T i T 6 7 + 2. 4. 6. 8 9 ~~ C '

§. 89. W e i l Coshs = ^ t — , A w A s - - ~ 6 % so « a t m a n

Page 186: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Coshrs _ ^ , * _ y 1 + J L _ y t 4 ^ A . . . . /l + ^ l 'jfpA * « » a 2 ^ A * m * ^ 7 k tan

Sinh rs - rt)f 1 ^

V tan2 . . r r r r

w o 2X = r oder r — 1 , = — 1 , oder = X, j e nachdem r gerade oder ungerade^

Cosh ns — s\

= ,x + v i + ~ V i 4 ^ \ /1 4 - ^ \ ( , a * ) ( , a 3 * ) ( , , 5 ^ ) - - - - ( 1 ^ f 2 X - 1 ) * ) v tan2

irJ\ tan2 — J\ tan2—) \ tan2- ~ ~ J £ 1 & r 2 r 2.

- ^ = ' X ' + ^ Y ' + ^ V 1 + — 3 0 • • • • ( 1 + ^ ) * v tan2-)\ tan2—A tan2 — ) \ tan2~)

C + ^ r Y 1 + ^ Y 1 + ~ h ^ 0 • • • • C + -^^) • ^ 5 j A « # g ^ A « r f ^ y V. » * - s — /

« » » » « ' • C + " 7 ^ ) C + T ^ Y 1 + • • • • C + ~ ^ - ^ v sin2—/V i w s - — y \ sin2—J v «rc 2 - i_y

7/1 m m 2 m 7

Coshxs = f + 4 V " V + . r :

c

4 r - 4 , 4 + x * * f * n 6 + etc.

Sinhxs = x f * - ' i + x * * f - * n 5 + * :c

5 f v _ 6 V + x ^ f " 1 » 7 + ' etc.

odevCosh.xs — i x ( l + A - :c

a t f a + x ' e 4 * 4 + * !c

6 ' 6 + etc.)

Sinh. = f {x6 + A ^ 3 ö3 + x:

c 5 05 v ^7 f + e t c )

§. 90. Eben so erhält man aus ( § . 31.)

Coshxs = 1 + | ^ 3 + f ( ^ + 2 ) ! ' ^ 4 + f C ^ + 4 ^ ' % 6 + etc.

o - 7 i ^ i , s 2 ' a 3 , .r, . ~A>- 5 , , ^ 6 , 2 7

S w Ä = x v + ^ (* + l ) c * + ^ (x + 3 ) c 9 + ^ + 5 ) c 9 + etc.

oder auch

Cosh xs = i (1 + Cr + l ) * ' * * 4- (x + 3)4'* v

4 + (x + 5)^'3 » 6 + etc.)

3/ 2 3 5/3 2 7/2 7

Sinhxs = i(xs 4- 0v4~2)c » + (.r + 4 ) c r\ + ( x 4 _ G ) c « 4- etc.) .

§. 91. Aus (§ . 7 3 , 76.) ergiebt sicb n o c b , wenn r irgend eine positive ganze,

n eine positive gerade urid m eine positive ungerade Zahl bedeutet , dafs

Page 187: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

rnT?)=r+^rv1+^rAr1+• • • • ( + ~^~A r i + ) ^ ™ ' £ A M ' " W v " " W v « - S s 2 - ; Ä m A _ _ . « 2 „ , v2 . . 92 . 1 \

r^-Q +7ZX*Z&C*Z®'"' C**Z*> - §. 92. W e n n die Wurze ln einer Gleichung vom rten Grade

• x* - A x x r - 1 4- A 2 xr~2 - A2 xr~5 + ± A r = 0

cc , u , oc , . . . . ur s ind , so ist bekanntlich A1 = «t + «2 4 * 3 • • • • + <V 1 2 3

Vermittelst dieses Satzes lassen sich mit Hülfe der für ianrs, cosrs, sirirs gefun

denen endlichen Ausdrücke, die Summen mehrerer interessanten Reihen herleiten, von

denen wir e in ige , die in der Folge von Nutzen sein werden , betrachten wollen.

§. 93. Aus ( § . 54.) ergiebt sich, dafs für jeden beliebigen Bogen s, auch wenn x

eine ganze Zahl = r,

cot rs — r

1 — r\? tan2 s + r0* ian^ s — r'<? tanP s 4 - etc. ians — r c

3 tan-'s 4" i%* tan*s — r-c7 tan's + etc.

c o t r s — r-2 cotr~2s 4" r'c4 cofr~4s — r'eß COt7^6S + etc.

oder auch = r COi>-is _ 7 { ' 3 c o i r - 3 5 + ~ r ; ; 5 cot'-^s — rcT~cöF~^s + etc.

W e i l nun, f ü r j e d e beliebige ganze Zah l -X , cotrs = c o / ( X s " 4 ' ' s ) , so gelten die

obigen beiden Gleichungen auch noch dann, wenn man taw(^4^)oder c o / ( - + s)

resp. für tans und cots setzt. Daraus folgt nun, dafs dic r Wurze ln der Gleichung

( A ) xr — r cotrs xT~l — r'*xr~* 4" r c6 c o * / - s * r ~ 3 + r c ^ xr 4 — etc. = s 0 •

w * s , c o / ( - + s ) , c o / ( - + s ) , c o / ( - 4 s ) . - • • c o t ( - r ^ 4 - s ) sind, r r x /* '

N

Demnach hat man

(B) r cot rs — cot s + cot (- 4 s ) + cos (2^ 4 s ) 4 cot ( y + s ) . . . + c o / ( ^ ^ * + s )

oder auch, weil cotv = — c o ^ ( f - f ) , also ^ ( — ^ ^ 4 . « ) = ^ / ( * _ _ * ) , etc.

(C:3 r cotrs = cots — col(*-s) 4 c o / ( ^ + 6) — c o / ( ^ - s ) + c o ^ 7 r + s ) - e t c .

C m h m * _ , . , . . . ; » ' . ^ + £ 5 / 1 + ^

W V " " 2 « V V '

t V m / / M s ^ A , « 2 . , ^ 2 ^ , ^

Page 188: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

r 1 §. 94. Dividirt man die Gleichung ( A ) durch x , setzt alsdann t für - , verwan-

x

deIt die Zeichen des ersten Thei ls der Gleichung, wenn das letzte Glied desselben

das Vorzeichen — hat; miiltiulicirt, wenn das letzte Glied den Factor cotrs enthält,

die Gleichung durch tanrs, und schreibt endlich die Glieder des ersten Theils der

Gleichung in umgekehrter Ordnung, so verwandelt sich die Gleichung (A ) , weil r'J = 1 :r—i •r—a : 2 \ '

r Ä — r, r e = rr e tc . , und — - — = tanrs in fo lgende : c c c cotrs °

, r , r—i :2 r—2 = 3 r~3

( D ) t 4 " r cotrs . t — rQ t — r c cotrs . t 4 ; 1 = o . . j

oder in r r—i :a r—2 • 3 r—3 ,

t — r tan rs . t — ?%c t 4~ 7 -

c tan rs . t Hr tan rs — 0,

j e nachdem r eine gerade oder eine ungerade Zubl ist.

W e i l nun cotrs — cot(Xa4rrs), tanrs = tan&n-^rs), so ist der allgemeine

Ausdruck der r W u r z e l n dieser beiden Gleichungen / a r c ( ^ + s ) , und demnach

ians 4r tan(*4^s) 4" tan^~^~jrs) + tan^yArs) . . . + tati(——

oder tan s — tan(* — s) + tan£ 4- <s) — tan^—s) + tan(- + s) — tov2(^-.9)4-etc.

= — r ccYrs odejf = r tanrs, j e nachdem r eine gerade oder eine ungerade Zahl

ist. §. 95. Setzt man in der ersten Gleichung (1. §. 70.) 2 X * + rs statt 7,9, so wird

1 — c o s ( 2 ^ + « ) , und man erhält t

2 cos(2 X * + r 5 ) = (2 c o a f ? j ^ 4 ^ ) ) r _ r ( 2 c o s ( 2 ^ + ^ ( r - 2 ) ( 2 c o < 2 ^ + . 9 ) / " " 4 — etc.

We i l nun für j ede ganze Zahl X, co*(2Jwr + rs) — cosr$, so ergiebt sich daraus, dafs die r W rurzeln der Gleichung

T T—2 r r—4 r : 2 T 6 # — r x + 2 ( r — * ~ 3 ( r — 3 ) c * 4- etc. — 2 co* /•* = 0

Page 189: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

2 X?r

alle unter der Form 2 c o s ( r s ) begriffen sind. Da das 2te Glied der obigen Glei

chung, welches xr~~l enthält, fehlt , oder = o . x r ~ * i s t , so folgt daraus , dafs die

Summe der r Wurze ln der Gleichung = o und folglich (E) cos s 4 cos ( 2 ^ 4" s) 4- cos (^r + s) 4 c o s (^y 4 s) • • • + ccs (^~~^,—~ 4 - *) " °*

§. 90. Auf ähnliche W e i s e ergiebt sich aus der ersten Gleichung ( H . § . 70.) dafs

die n Wurze ln der Gleichung

n 77 7 i - 4 n . v : 2 nmmG n , • v 3 n~8 • x — n x J n

1 I r 7 1 S ) x — 3 ( M ~ 4 ) C * + 4 ^ — 5 ) c

x • ' ' ' ± 2 C O Ä 7 W = 0

2 Xw

w o TZ eine gerade Zahl i s t , untcr der allgemeinen Form 2sin(——\-s) cnthaltensind,

und ebenfalls (F) sin s 4 sin (^ + *) + ^ 1 1 ^ ^ + s^ s*n^n~ s^ *"J (~~~n~ * S^ ~ °

i s t , was auch unmittelbar aus ( E ) , und zwar für j ede ganze Zahl r folgen würde, in

dem man überall s — \n statt s setzt.

§. 97. Es läfst sich übrigens die Summe der Cosinusse und Sinusse von Rogen ,

die irgend eine arithmetische Reihe bilden, auf eine einfachere W e i s e herleiten, womit

wir uns jetzt beschäftigen wollen. Es sei nämlich

S = h cos a 4 I1 cos aL + k2 cos a2 4 cos 4 l r cos a r j

w o sowohl die Cocfficienten L-, Jc1, k2, e t c . , als auch die Rogcn a, at, a2, « 3 , etc.

arithmetische Reihen bi lden, so findet man die Summe S foIgendermafsen:

Nimmt man an , dafs Ci1 — a + b, also a2 "= a 4 2 b, a3 = a + 3 b, etc., so erhält

man, weil 2cosx cosy = cos(x—y) + cos(xArf)i ,- * '

- ' 2 cos b . S = i' cos ( « — b) 4 cos a

4- Jb2 COSa1 4 c o s a 2 4" C O Ä a 3 • • • • 4" c o s , , _ !

+ £ c o s a x 4- I1 cosa2 4 c o s a 3 « • • • J t l ' r — ^ o s a r ^ J r k r ^ i C o s a rJ r ^ r C ° s a r + i .

W e i l nun 4 h = 2 , 4 J 1 = 2 I2 , Jt4 4 J 2 = 2 J 3 , ctc.

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2/- + 1 2r 4- 1 2* . 2*r. (r4-l)siw»—;— rSMrr — v ' ' 2r 4- 1 2r 4--1 2r + 1 2r 4-1 2

cosec - A • 2 2 g ~ A • 2 j F 4 ' " 2 / -+1 *

4 ^ 2 2 M T f 4 ™ 2 r " + I

E x e m p e l II. Es sei a = ^ , & = 2 ~ j ~ f » * = = 3 » e t c * '

so erhält m a n , wenn man überdiefs r — 1 für r setzt, 2 * i o • 6 * i e • 1 0 ? r i - • /o 1 N • (4r -2)«-

= » " 2T+"i + 3 5 m 2 7 + l + 5 W , l 2 7 + T + ' w / f 2 7 + i • ' ' ( 2 r - 1 ) w " V + T " ™ , • ( 4 r - 2 ) * ^ . (4r + 2)* . 2* . 2* (2»•4-I) « n ^ ( 2 / • — I ) ' • 4- sinirrr^ — 2r + 1 ^ ^ 2r + 1 ' 2r + 1_ _ " " 3 r + l

. • o 2« 4 *Z/* ?i T - T

2r4"l

g r + I W n O . - g i r , ^ P r + i ) « ^ 2 r + 1 _ a ^

* ^ ^ R 2 ' ° 2 " + r

so übersiebt man le icht , dafs

2 cos b . S — k cos (a — b) — (2 h — X1) cos a 4~ 2 S — kr | . cos ar + Jcr cos arJ^ t

und fo lg l i ch , weil 1 — cos b = 2 sin2 | 6,

krJ_x coscij. — l r cosar^_, — /• cos(a — b) 4 - (2 k — /) cosa (G) S = ^ , T T 6 * -

§. <)8. Substituirt man in dem so eben gefundenen Ausdrucke für S überall a — |*r

für « , und bezeichnet alsdann S durch <S, so erhält man, weil cos(x —\n) — sinx,

S ~ h sin a 4~ I1 sin Ct1 + hz sin a2 4- sin a3 • • • . 4" l r sin ar

X>_j_i siiia- — krsinarjt_l — sin(a — b) 4" (2 1— A1) siiia 4 si/i* \ b

4 Tt E x , e m p e l I. Es sei a — o , a — • • , h — o , — 1, also

Z T ~y~ 1

c — • 4 * i o • 8« . 12» lf>ff . 4/•7T Ä - * m 2 7 T ~ 1 + " " 2 T + 1 + 3 M , I 2 F q ^ + * ' ^ 2 r + l + r 5 m 274~[

4 fT (4/*4"4)7T 2 2 ?*• ( r + 1 ) - r sin ^ q T f ( r + 1 ) ( 2 * ~ 27+l^ ~~ r ' " ! " ( 2 * + 2 /~R }

~ ~ T~ 2^ " ~ '~ 2^r 4 sz/z2 - — — 4 S^w2

Page 191: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

~ 2 sin I b sin \ b

2 ft E x e m p e l I. Es sei a = s , h — — , und es werde r — 1 statt r gesetzt, so ist

/ 2 * t N t / 4 * t <\ 1 / 6 * j _ 1 , 2 r - 2 cos* + cos(— + *) + cos(— + s) + cos(— + s) . . . . Ar c o s ( - — * 4 .

/ / — 1 ) , , • r cos[ * + s) sin - Tt

_ L - — 0 , wie oben ( § . 96.) . sm -r

§. 99. Setzt man in dcm Ausdrucke für S ( § . 97.) überall + * für b, so ver

wandelt sich derse lbe , weil alsdann cosa oder cos(a + X&) in eo.9(a + X Z > 4 x 7 r ) A.

— cos(a + X&) oder ~ cos(a + x6) übergeht , j e nachdem X gerade oder ungerade

i s t , in fo lgenden:

(H) S1 — h cos a — I1 cos Ci1 + J 2 cos a2 — cos a^ . . . . ~h hr cos ar

i (^V4-i <'-osa 4 - J r COSa^1) + J co.v(« — b) + (2 / • — J 1 ) 0 0 5 a ^ ^ ^

§. 100. Auf ähnliche W e i s e verwandelt s i ch , indem man 5 + - für 6 setzt, der

Ausdruck S ( § . 98) in

S — J sina — J T sm« r 4 - J 0 sina„ ~^ l\ sina., . . . . + J _ sinar

\ 1 I l • ^ 2 .> r] ~- - ' '

i ( ^ > 4 _ i sinar + s z V z « r ^ _ , ) + sin(a— b) Ar (2 J — J 1 ) sma = 4 cos2 £ b *

Diese Formel erhält man auch , wenn man in S1 des nächstvorhergehenden §.

a — 1 nr für a substituirt.

§. 101. Nimmt man die Coefficienten der Reihe S ( § . 97.) alle einander gleich,

und zwar = 1 a n , so erhält man,

, , . 7 . , , , 7 . cos(aArrb)-cos(a4r(r^i)b-cos(a-b)+cusa (1) cosa + cos(a + b) + cos(a + rb) = J l- — b

4 sin2 -

sin Ca + b) — sin (a — |) cos (a + 7^) sin b

Page 192: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

2 7 + 1 - " ' 2r Ar 1 " w 2 r + l ' w ' 2 r + l = o w 2 r + 1

* . * , ~ « — ; — r s m x — : — r " « m 2 r 4 - l 2 r + l 2 r + l

§ . 1 0 2 . S u b s t i t u i r t m a n i n d e r < J l e i c b u n g ( ! ) a — \ * f ü r « , s o h a t m a n

• , . rh . (rAri)b sin(a + —) sin { ~ - .

( K ) sin a A- ain (a Ar 6 ) + sin (a + 2 6 ) . . . + sin (a Ar f'b) = — T

sin £ o

§ . 1 0 3 . S e t z t m a n i n d e r G l e i c h u n g (I) 6 + * f ü r b, s o e r g i e b t s i c h

(L) cos a — cos Ca + 6 ) + cos ( a + 2 6 ) — cos (a Ar 3 6 ) + cos Ca Ar rb)

cos Ca Ar \ & ) cos ~ 4 r ~ ^ s m (a + 7 T ^ ) sin ' ~t ^ ^ Ji JL - Ji J

zzz j o d e r = — _ — u b

cos - cos -

j e n a c h d e m r g e r a d e o d e r u n g e r a d e i s t . v .

4 TC E - x e m p e l . E s s e i a = o , b = - — ~ r , s o i s t , w e n n r g e r a d e ,

Zr + t

4 * 8 « 1 2 * , 1 6 * , 4/-« 1 — < ' 0 S o , | j + C O S 0 . COS-—j^r + COSx j — r ~ T COS

2r + l ' 2 r + l ^ 2 r + l ^ W * 2 r + 1 — u w a 2 r + l

2 r * ( 2 r + 2 ) *

COS - — . cos — — — c o s ( * — - — — ) - cos Cx A- - — r ~ * ) cos2 - — — 2 r + 1 2 r + 1 _ 2r + 1 ' ' 2 r + r 2 r + 1

" 2 «r ~~ ' ' 2^r ~ ~ 2 * COS K — T T c o s - 1—? c o *

2 r + 1 2 r A-1 2 r + 1

4 I 2 * 1 - r - C O S " ~

* + * = l + z 5 e c 2 . ~ o . 2 f f * * 2r A- 1 * -

2 c o s —

Ist hingegen r ungerade, so ist die obige Summe . 2 r * . 2 r 4 - 2 . « 2 *

s m n \ . J - Ä ' S i n 9 " ; _ i , i w Ä m 2 < ^ — T - T 1 — c o s Ö — t ~ T ^ + 1 _ ^ C + J _ ^ - 2 r + l _ 2 r 4 - 1 _ x z 2 * r

2 « 2 >r 2 TC - - or ! A

c o s 2 T T i C 0 5 2 7 + T 2 c o 5 2 7 + l +

2 Tt " *

E x e i n p e l II. Es sei a = o , b = g ^ _ ^ _ - , so hat man

2 W , 4 Tt , f> # , 8 * 2 / - « •

i + « « 2 ^ + 1 + ^ 2 7 q n + C 0 Ä 2 7 + 1 + C M 2 7 q F l + C 0 Ä 2 7 + 1

r * . r Ar 1 r * . r * 2r * COS - 1 — ; • SlTl ~ r~ TC COS - i — : . SlTl - r ~ T SlTl

Page 193: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

2 r + 1 ' ™ 0 2 r + l _ " 2 r + 1 ^ 2 r + 1 _ " " 2 / • + I 2 * 2 w ~ 2 rr — _ 2 ff * 2 7 V i '

cos z—m cos s — n r 2 c ° 5 ö—i~T ^ 2rAr - 2r + l • 2/- 4 1

§. 105. B e m e r k e n s w e r t h s i n d l i i e r n o c h d i e F o r m e l n , vermittelst deren sich d i e P o -

tenzeu der Cosinusse und Sinusse durch Reihen, we l ch« die einfachen Cosinusse oder

Sinusse der vielfachen Bogen enthalten, darstellen lassen.

Mit Hülfe des Satzes 2 cos x cosy = cos (x + y) Ar cos (.v ~y) findet man leicht

COS u " COS U

2 cos2 w — cos 2 w Ar 1 * .

2 2 c0s3 w = cos 3 w 4,- 3 cos w

2J cos 4 a» = cos 4 » H- 4 cos 2 u 4 " 3

2* cos5w = cos5ui •Ar 5 cos3w + 10 cos*>

26 cos 0 ^ = cos6u> 4 - 6 cos4w + 15 cos2w K)

2G co*" w = cos 7 w H- 7 cos 5 to + 21 cos 3 w + 35 cos »

etc. etc . etc.

Es ist demnach, j e nachdem r gerade oder ungerade,

i 2 *r n 4 ff ^ S * _ 12 TT i 4r «r ± * 5 ^ i = 1 " 2 * " 5 + I + c o s 2 7 + l - 2 c o s 2 7 + T ± 2 C 0 S 2 7 + V

§. 104. D ieGle i chung (L )verwandeI t sich, wenn man a—|* f ü r a suhstituirt, in

(M) sina — sin {a 4- b) + (a + 2Z>) — s m ( « Ar 3b) ± •nn (a + rb)

sin (a + ^ ß) cos b cos (a Ar ^ b) si/i & j- oder = :~r

cos- sin-

j e nachdem r gerade oder ungerade ist.

4 w v

E x e m p e l . Es sei a ~ o, b = ^ — > so erliah man : 2 r + 1

4 » . 8 * , . 12« . 16* , . 4/-jr s m ö—P - * ~~ Ä m S—r~7 + *Z^ n TT — 5 Z 7 1 S—TT • • • • • • * • • • • 3Z n

2 r + l 2 r + l 2r + l 2/•+I — 2r + l 2r«- (r + l ) 2 * . <x K . 2 «

cos ^ , „— sin-—,--cos,T—sin

Page 194: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

und allgemein ' - • • • m V - * : «

> r — l r : 2 r 3

(.\) 2 cos «> — cosrui + r cos(r — 2)a> 4 " r c cos(r— 4)w + cos(r—G)w + etc.

• r < / • — I

D a s l e t z t e G l i e d i s t e n t w e d e r | / ' c 2 oder r"c a c o s » , j e nachdem r gerade oder

ungerade ist. '• '^

Um die Allgemeinheit dieses Satzes zu beweisen , darf man nur ze igen , dafs,

wenn derselbe für irgend eine ganze Zahl r wahr i s t , er auch für r + 1 wahr sein r— 1 r

müsse. Ist aber der obige Ausdruck für 2 cos « r i cht ig , so hat man a u c h , weil

cos ( — x) — cos x,

2 cos w = cosra-^r c o s ( r — 2) + r cos(r — 4)w- . . . 4~ 'cos(2—r)u>4rCos(—rw).

Daraus ergiebt s i ch , weil 2 cosx cosy c o * ( . v + j ' ) + c o s ( A - — j y ) , r J — i r J - 1 • 2 : r — i

2 r cos a> = cos{rJr\)^Jrrcos(r—\)üiA-rc c o * ( r - 3 ) w . . . + r c o s ( 3 - r > 4 ^ o s ( l - ' >

« ^ : 2 : r — i

•& , ; • + c o s C ^ — 1 ) w - h r c o 5 ( r — 3 ) w + r c cos(r—5)at...4rrc c o Ä ( l — / 0 w + c o - . y ( — 1 — / >

: a : 2 : 5 : 2 : 3

D a n u n , w i e m a n l e i c h t ü b e r s i e h t r 4 - 1 = r 4 - 1 , r c + r = ( r 4 - 1 ) c , rc A-r = C ^ + ' ) C

: 1 1 : n — 1 / x : " und allgemein rc 4 - r

c = ( r + 1 ) c » s ° erhält m a n :

cos^1 m = cos Cr + 1) w + (r 4 - J) cos (r — 1) M 4 ~ (r + 1)" c2 co.v (/• — 3) » . . . . .

. . . 4 - ( r 4 . I ) ^ " 1 C O Ä ( 3 — '*) °> + O + ^Y c o s C1 — r) + Cr + ' cos ( — 1 — / ) »,

und fo lgl ich, weil c o s ( - x ) = c o s # , und ( / ' + ! ) / = C r + 1 ) " / ^ " *

r r _ L r : 2

2 cos u) = c o s ( r 4 - l ) w 4 - ( ^ 4 - l ) c o s ( / ' - l ) w 4 - 0' + l ) c o s ( r - 3 ) o > 4 - ctc. ,

.r , r 4 - 1

W O das letzte Glied entweder c o s w oder § ( / ' 4 - 1 ) 0 2 , j e nachdem ei

ne gerade oder eine ungerade Zahl ist. Es ist demnach die Form (X) allgemein

bewiesen.

Page 195: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

der Iogarithmischen und trigonometrischen Functionen.

§. 106. Schreibt man die Reihe für 2 r — I c o / « in umgekehrter Ordnung , so er-r — i r

hält man 2 cos « r r r . , • — • ~ — i • _ 2 • —

= I ' " c 2 + V cos2u + r^2 cos4w . . . + r c cos( / '—4)w + rcos(r—2)wA-cosru

oder /' — 1 .1SZ^ . r - 5 ; 2

= /'g 2 c o s w 4 ~ r c 2 co* 3a + r j a e o * 5 « . . . 4 r c c o s ( r — 4 > + 7 ' c o s ( / " — 2 ) w 4 - r o s r w

j e nachdem r gerade oder ungerade ist.

Setzt man nun ~ * — « für w, so geht co.sa> in sint»y cos2w in — co*2w, cos3w

in — *m3w, co*4w in co*4» elc. .über, und man erhält: r r r

j. _ j »• ; — — [ ; — — 2

2 « ' « w — \rc- — rc~ cos2u + r ca co.s4«, . + cosr<u

r — 1 .r — 3 r — 4 * oder = r'c

3 sin w — r c a sin 3w 4™ *'c

2 s m *>a> • • . • • • d b « V & i'u,

j e nachdem /• gerade oder ungerade ist. Es ist demnach :

2 sin2 ct — 1 — cos 2t»

4 sin^ a — 3 sin « — sin 3»

8 w = 3 — 4 cos 2« + cos 4 w *.-: . .

16 sin'>u> = 10 ,sz/z« — 5 sin3ia A- sin5u \ •' , r

32 si/fiu — 10 — 15 cos2u> Ar 6 cos4w — cos6u • : 64 sin' u = 35 sin « — 21 sin 3u Ar 7 sm 5« — ,s7/2 7W

128 s//i"a — 35 — 56 cos2u + 28 cos4w — 8 cos6w Ar cosSw e t c etc. etc.

Man vergleiche das hier Vorgetragene mit (§ . 33, 34.)

V • - • -\ '

Gebrauch der unmöglichen GrÖJsen zur Entwiclelun& rfer trio-ono-O

metrischen Functionen.

§. 107. Unter den Hülfsmitteln, deren sich d ieneuere Mathematik bedient, W a h r

heiten zu entdecken, und dieselben auf eine fürs Gedächlnifs bequeme Art an bereiis

bekannte anzuknüpfen, nehmen die sogenannten i m a g i n ä r e n , e i n g e b i l d e t e n odcr

Page 196: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

für den Fa l l , wenn p eine positive Gröfse und ^ > J q2 für eine unmögliche Gröfse

halten, welcher aber, wie wir weit'crunten sehen werden, = 2Y^>cos^Arc. c o s . ^ K -o 2 p ' p

drei verschiedene mögliche W e r t h e hat. Übrigens kann ein Satz , dessen Beweis nur

mit Hülfe der unmöglichen Gröfsen geführt w i r d , wohl nie als streng mathematisch

bewiesen angesehen w e r d e n , weshalb wir auch bis jetzt den Gebrauch derselben ver

mieden haben. D a sich j e d o c h der angehende Mathematiker mit diesem Hülfsmittel

bekannt machen m u f s , so wollen wir an mehreren der bereits vorgetragenen Sätzen

der Kreisfunctionen und an einigen andern Beispielen die Nützlichkeit der Lehre von

den imaginären Gröfsen zu zeigen suchen.

§. 108. D e r wichtigste Satz dieser T h e o r i e , der gewissermafsen den Fundamen

talsatz derselben ausmacht, ist der von dem englischeu Mathematiker M o i v r e zu

erst vorgetrageneSatZj d a f s f ü r j e d e b e l i e b i g e p o s i t i v e o d e r n e g a t i v e , rationale oder i r ra -

u n m ö g l i c h e n Gröfsen ein vorzüglichen Rang ein. Eine u n m ö g l i c h e G r ö f s e

A v i r d nämlich jeder analytische Ausdruck genannt , der in sich einen Widerspruch

enthält, und für welchen sich keine reelle Gröfse als W e r t h angeben läfst. So sind

z. B . Arc. cos.x, Arc. sin.x, Y-—x2> wenn x > 1, unmögliche Gröfsen.

Man begreift j edoch unter dem Namen unmöglicher Gröfse hier nur so l che , we l

che sich auf die allgemeine Form a + b Y~— 1 zurückführen lassen, w o a und b ir

gend reelle positive oder negative Zahlen bedeuten. Sie zeigen sich zuerst bei der

Auflösung der quadratischen Gleichungen. Es ist nämlich, wenn x2—2 px4rq-o,

•v = p + Yp2 — q, und cs sind die beiden W u r z e l n der Gleichung beide reell oder

imaginär für ein positives q , j e nachdem q < oder > p2 ist. Im letztern Falle wird

x zzz a + b y—1, WO a — p , b — Yq—p-. Oft scheint der W e r t h eines ana

lytischen Ausdrucks eine unmögliche Gröfse zu se in , und bat dennoch einen reellen

AYcrth. So könnte man z. B. den Ausdruck der W u r z e l der kubischen Gleichung

x'3 — p x — p — o, oder

Page 197: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

tionale Zahl x, (coss + siris . K ' - 1 ) * — cosxs + sinxs . Y— L-

B e w e i s . Es i s t , wie man leicht übers ieht , weil (Y—I)2 = — *

(cosxs _fl sinxs Y—(cosys + sinys Y—

= cosxs . cosys — sinxs . sinys + (sinxs cosys 4~ cos#.s • sinys) Y~~^

— cos (x +j) * i + j) * • Y—

Setzt man nun cosxs + sinxs Y—* — <P j so wird cosys ~h sinysY—* ^ J> CO« (x + j ) s + (tf + . 1 = 0 (.v 4 - y ) , cos s + ' s ^ " — 1 — <P 1 > und die

Function Qx ifit von einer solchenBeschaflfcnheit, dafs Qx.Qy — 0 ( . v + / ) ; und , wenn

nian, was ( § . 4 . ) für r c e l l e W e r t h e von Qx, Qy, e tc .erwiesen ist, auch auf die imaginä-X

ren Gröfsen ausdehnt , Qx = (Qi) . Folgl ich ™ - ' ifr'. r. i ' . i i

c o s * s i sinxs Y—1 — (coss + « m « . — 1 )

§. 109. Bezeichnet man der Kürze halber mit Gaufs den Ausdruck + Y—*

durch i, so dafs i = — 1, z'3 = — i^ — 1 , — i, i = — 1 etc., so erhält

3iian (§ . 5 . ) , wenn e die Basis der natürlichen Logarithmen bedeutet:

e" = 1 + s*' + s*c *'* + 5 c * 5 + * c + c t c - = ^ s + *

e~si zzz 1 + « + s2ci2 + ^z5 4. 4*4 + etn« = 4* — i<ps

wo 4>s — 1 — s\ s\ — s\ 4- e tc . , Qs — s — s\ 4~ s\ — etc.

Daraus ergiebt sich 1 = 4 3 4~ Qs2, dafs also weder fo noch Qs gröfser + 1

se in , und man folglich U — cosu setzen k a n n , woraus Qs — sin*> folgt.

Es ist daher zufolge des Moivreschcn Lehrsatzes

X x s * cos xu> 4~ * s i n - r w — ifios w 4~ i sin u) zzz e — b.xs 4~ J' Q*xs

-.Q]'>. x —- v>"

cos xm — i sin Xw = (cos w — i sin w) = e — v.xs ~ i Q.xs*

Demnach cos.x<* — $.xs und sinxu — Q.xs, - 'g. r,' '. ^

Dividirt man aber die letzte Gleichung

*inxu = *rs — . T 3 * ' + x5s* — . r 7 ^ + etc.

Page 198: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

—***"- «ees %t0m*tifar*':^''-

174 Zweite Vorlesung. Über die Entwickelung .^h

durch xw und setzt darauf x = o , so erhält nian (§. 53.) 1 — so dafs w = s unrl

Cd folglich <£s — cos s und @s = sin s wie oben.

§. 110. Setzt man, Kürze halber , coss =" |, sins = v, so ist zufolge des M o i v -

reschen und des binomischen Lehrsatzes :

. x x x—i : 2 .v—2 2 2 : 3 x—3 3 3 cos xs + 1 sin xs — (| + iti) — | 4- x | vi 4 x c I *> i 4 x | j 4 etc.

. x x .r-i :2 x—2 2 .2 •.- x—3 2 % cosxs — 1 sinxs zzz (| — itj) zzz I — x£ vi4-x £ v i — x I n i + etc.

V - " * < C C ^ Daraus ergiebt sich .

x : 2 .v-2 2 ,2 : 4 X—4 4 .4 : y1'—6 G 6 cos xs = I 4 xc I j; i 4- x c | ^ i 4~ x

c * ' i 4 etc* ' — / - 1 . =3/-3 2 .* . =5 *-5 5.5 . :7 /—7 7 7 .

s m xs — x | 4 s * 4~ A'c * " ^ 4" x Z % ? 4- °tc-

oder weil i? = — 1 , ^ = 1 , = — 1 , etc.

,* : 2 .r-2 2 ; 4 x_4 4 : 6 r—6 6 i V _ - _ v ^ t o s x s = I — x c I v 4- x c I % — x c I 9 4- etc. h

. . ' y v — r 'Zje—Z 3 , •'5,-r-5 5 •7 x—n 7 szMxs = I — x c I 7; 4 - xc I « — x c l » 4- e t c . -

und wenn man | = S setzt

c o s x s = | r ( l — x c ß i + x c

4 / — etc . ) , s m x s = | * ( x 0 - x ^ < f ' 4- x ' / / — etr.)

wie oben (§.53.) Beide Formeln gelten nur für s innerhalb der G r e n z e n — 4 ^ .

§. 111. Setzt man l — v2 für |, so erhält man

=i|(K*r=^ 4- z » x + c r r ^ — z » r |, s//z x s = i | ( r r ^ ' + z » " — (rr= —inf\ Nun ist aber (§ . 15, lG.)

C r r + T » H- .>* zzz 1 + X w + £ 4- | (x + 2 )* 'V 4- * ( x 4 3 ) f . 4 4- etc.

oder auch - K f + " * . ( 1 .4- x * 4 ( * 4 1 ) * ' V + (^ + 2 ) f , 3 4 etc.),

w o der Kürze wegen durch z?f~ (\ie Gröfse ~ Cz ~ 2 X f - T ^ L u • ( ~ 2 n + 2 ^ bezeichnet

1. 2. 3 e . . . . Ti wird. Substituirt man U für « , so erhält man:

COS XS

Page 199: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

smyfi* X y 2 2 2|2 5 3 ^ ( r l - j r ' 4- /'?) — 1 + x»i 4- ^ z + # ( # + 1)c n i 4" etc.

** i

^ 2/2 2 2 3/2 3 3 , , 4/2 4 4 ~ r i — " J . ( i 4 - x ^ 4 - U 4 - J ) c * * + (*: + 2>c + ^ + 3 ) c % 4- c t c .

•-|- a (* Ehen so ergiebt s i ch , — z> für w gesetzt ,

,t, X V 2 2 2,2 ~ ~ T 3/3 4 .4 fKT37= — w) = 1 - . r w 4- ±xw i - |5r + 1)c n i + ^(x + 2)* ni+ctc.

= YT~^7>. Cl — xni 4- (x + 1 ) ' ' % % - 1 — Cr + 2 ) ^ % 5 « 3 4" fo^3)*'%V + etc.

Diesemnach bekömmt m a n , weil v = sins, i* = — 1, «J — — ^ — 1 , etc. v 3f* v 5,2 r

c o s # * — 1 — ^ . « f l 2 * 4- ^ C * 4 - 2 ) c sin*s — ß C r + 4 ) ü « «• ' *4 - e t c . »' • " •/-V •

X 2Z . .V • - X 6/2

sinxs = Jf « n s — - (* + l ) c s w 3 * 4~ ^ C v + 3 ) c &ir&s — - (A' + * ) c sm"s4 -e t c .

oder auch

2/2 . 4>2 . 6/2 cosxs = c o s s .(1 — (.r 4- l ) c sin*$ 4" Cf4-3)c sin*s — C^4~5)c sin6s 4~ etc.

3,a 5;3 , , 7,2 sinxs = coss.(xsins — C^ + 2 ) c « ' w ' * 4~ (*' + 4 ) c « « 5 * — (**4-<»)c 4" etc.

§. 112. Ein strenger Beweis der zweiten Reihe für (Y"\ 4- « 2 4- w ) * , der mir,

als ich (§ . 16.) den Beweis f ü r d i e erste Reihe niederschrieb, fehlte , wird hoffentlich

auch noch hier nicht unwillkommen sein.

„ W e i l

(rr+7« 4 - = 1 + *« + | . * « a + |u-+Dc'2-3 + ic* + 2)!''-4 + etc-so ist / v ; . . r—1 2 , *—1 a'2 55 Lx—1^ I ix5'2 4 , ( M + w = 4 - « ) = i + ( A — i ) w 4 ^ L _ i ( # _ i ) w 4 - _ ^ c » + — C v 4 - i ) c w4-etc.

Setzt man nun

(KTT»* + «)* = K'1 + • <1 + A • u + A • 0,2 + f"x • ^ 4- etc.) ,

dafs also

(KHfT^ 4- uO*"*1 = y^i + » 8 . ( i 4 - / ( * - l ) . " 4 - / ' ( * - i ) . » 3 4 - / ( . v - i ) . « 3 + etc.) ,

Page 200: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

176 Zwei te Vorlesung. Über ,die Entwickelung .<y

so erhält m a n , weH

r—r

QTi + + ») = K(*+"*)-(K^ + *>2 + w) + * (K 1 + «2 + ») ' X — 1

n i + w 2 K i + A - < j + / x , w + e t c , ) = n 1 + ^ 1 + ( * — 1 ) " + ^ — ( * - i ) « + e t c . )

+ ro+"* ) - ( - + / c * - 1 > •w* + / c * - 1 > • « 3 + e t c - ) Diese Gleichung mit y^l + w2 dividirt , g iebt :

1 + • » + • * + e t c * = 1 + — 1

+ * Daraus erhält man

fx = X

+ f i * - Q

2 X 1 2 , 3 ü + — ^ c

+ /(*-*>

to 4 etc.

— 1) + x — 2 — (x — 1) -— x — 1 ~\ 2— —

2 , 2

1) = ( - V + 1)'

f* = / (* + X — 1 2 , 2 2 , 2 # 1 2 , 2

- . *c - xc + . x c =

I V = /<* etc.

- l ) 4 > x — ~ 4 ~ ~ ( * + l ) c • = ( * + l ) c d —

etc. etc .

(* + l ) ^ = C + 3)**

etc.

§ . 113. D a der oben ( § . 53.) gegebene Beweis des Satzes

x . i X - X 2/2 ~ ^ , 2 4

( V d + « 2 ) + ") = 1 + " + j " + g ( * + *)c w + i ^ + 2)c w + c l c '

etwas verwickelt scheinen dürfte, so will ich hier einen andern leichtern aber nicht

weniger strengen B e w e i s , der sich natürlicher darzubieten sch« int , mittheiIen.

Zufolge des binomischen Lehrsatzes ist * y — t . r - 3 x — 3

( r r + 7 2 + . ) *= ( i + ^ + f f ( i + * * ) 2 « + 4 W « V ^ 2 + 4 5 ( i + « V ~ * ~ « s + e t c .

Entwickelt man die einzelnen Glieder dieser R e i h e , so erhält man

OT- + 0 )2 + «>* = 1 + X 1 « + *>- 4. X 3 »3 + X 4 + etc.

Nun übersieht man aber le i cht , wenn r irgend eine positive ganze Zahl i s t , dafs

alsdann:

Page 201: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

v — f x \ r A - :*fx — 2\r-i r ' 4 A v - 4 V ' - a . = 6 / ^ _ € V ^ 3 , : 2 r

X*r = U A + * c ( ~ ) c + * c ( — A + *c l l i c * c

• v r ' a ${2r — \Xr . /2r-lV*-*x-l , / 2 r — l V r ~ 2 A " ~ ^ : a r V * - * Y ' f

= ( ^ = T ) ^ ^ ^ - J e + V ^ - J c — + K^r)c \ — ) c ~ + \ — ) c \

~ r& / . r + 2r-2V^ _ * , „ ^ 1 ' * - ( *- 2 °C27=n3'' a V—2—A =27<> + 2 , ' - 2 J c . • , ^

V u n d e b e n s o

V ^ v — 1 V r t = 3 / t f - 3 V M : 5 / A — 5 \ : « , . 7 / v _ 7 \ : r - 5 , •2r + r X»r+. = * ( — ; c + *c + Xo { — ) c + *c ( — A ' ' ' + *c ( . v ~ 1 ) ^ C / 2 r + tV r , (2r + \\tr-xx — 2 , (2r+\\r-*(x—2\* , / . v - 2 V ' )

= *c^py>* + Kr7T-Jc + v~2~ A v~2~A * , + V n r A ) Cv — 1 ) r ' a ^ v 4 - 2 r - l Y r _ x 1 0

2r'* > - -V - *(2/- + 1 ) ' ' * - V 2 A ~ 5 F + 1 C v - r - r - l ) c -., *r;

§ . 1 1 4 . D e r v o n M o i v r e e r w e i t e r t e C o t e s i s c h e L e h r s a t z v v i d e r Z e r l e g u n g 2 r t r r r / - T

des A u s d r u c k s a + 0 c o s < p 4~ " 1 U t r i n o m i s c h e F a c t o r e n v o n der F o r m

a jp _ L 0 a

a — 2 a b co« 4" b , w o X, j e n a c h d e m d a s Z e i c h e n 4 - o d e r — g i l t , j e d e p o s i

t i v e g e r a d e o d e r u n g e r a d e Z a b I v o n 0 a n b i s 2r—1 b e d e u t e t , i s t o b e n ( § . S3.) m i t

a l l e r S t r e n g e o h n e H ü l f e d e r u n m ö g l i c h e n G r ö f s e n h e r g e l e i t e t w o r d e n . D e r B e

w e i s i s t j e d o c h e t w a s v e r w i c k e l t . M i t H ü l f e d e s M o i v r e s c h c n L e h r s a t z e s , d a f s

(cos u + i sin w)1 = cos Iw + i sin Iw, w o i = + Y— 1 » ' ^ s t s * c n d e r s e l b e a u f e i

n e ä u f s e r s t e i n f a c h e W e i s e d a r t h u n .

E s s e i x*r — 2/ cosQ 4- 1 = 0 , s o i s t . r ' = cos<p + i sinQ: o d e r a u c h . w e i l

f ü r j e d e p o s i t i v e g a n z e Z a h l X , cosQ = cos (2X* 4- Q), sinQ = <sm(2X* 4_ fyt

x z=z cos (2 X* 4- Q) ± i sin (2 X* 4 - Q), f o l g l i c h x = c o s ? ^ t ? + ; w - / 2 2 X f f +_g .

r S e t z t m a n n a c h u n d n a c h X = 0 , 1 , 2, 3 , e t c . , s o s i n d d i e e r s t e n r W e r t b e v o n

x a l l e v e r s c h i e d e n . D i e d a r a u f f o l g e n d e n , v o n X = r a n , k e h r e n i n d e r s e l b e n O r d n u n g

U7* i*

w i e d e r z u r ü c k . E s h a t d e m n a c h d i e G l e i c h u n g A* — 2.v cosQ + 1 — ° > 2 > * v e r -

Page 202: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

i . i . i. . « r i i i' Ii j r< 2 Xw 4- 0 i . . 2 X* 4 <p schiedene u n m o d i c h e W e r t h e , w e I c h e alle unter d e r r o r m cos —-^~isin ^ .

o /• 1

Die b e i d e n i n dieser Form für ein gegebenes X enthaltenen W u r z e l n , sind die beiden

Wurzeln dcr quadratischen Gleichung - n 2 X * + 0 , Ar — 2 x cos ~ . 4" 1 = o.

r > D a nun diese beiden Wurze ln zugleich zwei Wurze ln der Gleichung

ir T . j , -r r x — 2x .css<P + l = o, sind, so folgt daraus, dafs der Ausdruck x — 2 x c o s<P4 1

durch x* — 2x c o s 2 X* ^ 4 - 1 ohne Rest theilbar sein mufs. r

Dividirt man nämlich irgend eine algebraische rationale ganze Function X, deren 2 a t a

W e r t h , x — a + by—1 gesetzt, = o wird, durch die Gröfse x — 2 a x 4 " f " " '

welche ebenfal ls , für x ~ a + by—1, = o w i r d , so wird sich X als ein Product

3 2 2 X1 (x — 2 ax 4 - b + a ) darstellen lassen, w o X1 eine algebraische rationale gan

ze um 2 Grad niedrigere Function als X bedeutet. W ä r e diefs nicht der Fa l l , so

2 2 2 müfste X = X1(Jt- — 2ax + a 4 b ) + «x4*^ sein, D a nun sowohl X als auch

2 % 2 x — 2 ax 4 « 4 b , für x = a Hr 6 — 1 , = o wird, so mufs auch xx 4 b in die

sem Falle oder « (a 4" 6 Y— 1) 4 ß = o und « ( « — b Y— 1) 4 ß — o sein. Diese

beiden Gleichungen von einander siibtrahirt und zu einander addir t , erhält man

2aßY—1 = o und 2(a<* 4 ß) = 0, woraus sowohl » als ß = 0 folgt. ':i 2r r 2 tf>

Es ist demnach x — 2.v c o s 0 4 1 = (x ~ 2 x c o s - 4- 1)

X Cv 1 _ 2, COs2J^ + 1) ( » * - 2.v c M i ^ ± ? + 1) . . . ( / _ 2 * c c , 2 £ = £ ± f > .

Und wenn man «• — 0 für 0 substituirt, , 2r t a r - . 2 ff — ß , x , a ^ 3 * — ?> , ( x 4" 2x cos$ + 1) = (x — 2x cos • 4- l ) ( x — 2xcos — ^ 1) X U ' - 2 * C O , 5 ^ ^ + 1 ) ( ^ - 2 , c * t = = * + l ) . . . 0 r - 2 ; i - c o . ^ = l > _ : 2 + | , .

Page 203: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Substituirt man in diesen beiden Gleichungen ^ für x, und multiplicirt alsdann

2 r

durch b , so erhält man die beiden Gleichungen (§ . 83.)

L a g r a n g e giebt in seinen Lecons sur Ie Calcul desfonctions, 8. Paris 1806, p.

144 einen sehr eleganten B e w e i s , welcher dem Scheine nach ohne Hülfe der unmög

lichen Gröfsen auf folgende W e i s e geführt wird.

W e i l co<v(r + l ) w — 2 cosu.cos0'®) 4~ cos(r—1)w — o , . u n d zugleich r + 1 , 1 r . 1 w T i 1 N I r — I f 1

x 4 Cx H Rx 4 — ) 4 " x H — ° ^ xr+1 * A ^ xr* r T ^ r - i

1 • _ r 1

so erhält man, wenn man 2cosu = x^— selzt , zugleich 2 cos?'u — x 4 y. x x

Es finden demnach die beiden Gleichungen a 2 r r

x — 2 x cos w 4" 1 = o , x — 2x cos r » 4~ ^ — 0

zu gleicher Z e i t s t a t t , und müssen folglich eine gemeinschaftliche W u r z e l haben.

Es sei nun » die gemeinschaftliche Wurze l dieser beiden Gleichungen. W e i l sie

1 1 d iese lbenb le ibcn ,wennman— für x setzt , so folgt daraus, dafs - ebenfalls die g e -

X ^

meinschaftliche W u r z e l dieser Gleichungen ist. Es kann aber die Gleichung

x* — 2xcosu> 4 - 1 = o , weil sie vom zweiten Grade i s t , nur zwei Wurze ln h a b e n ; 1 . 2

diese müssen also u und - se in ; woraus denn fo lgt , dafs x — 2xcosw 4 1 p i n D i -2r r 2X^4<P

visor dcs AusdrUcks x — 2x cos w 4 - 1 , oder w e i l , wenn ra = 2 Xn 4 @, »

- r 2 r, 2Xw4<P und ro5/'w = cos$, dafs x — 2 . r c o s @ 4 * l den a l l g c m e i n e n A u s d r u c k x — 2 x c o , s — ^ l

als Factor enthalten nvufs, wie oben.

< K §. 115. W e n n a, b irgend zwei beliebige positive oder negative Zahlen bedcu-

ten , so kann man a = § cosQ, b = § sinq> setzen, so dafs § eine positive Zahl =

ya2 h", und 0 einen Kreisbogen innerhalb der Grenzen + - » , — « b kedeutet, des

sen Cosinus = ^ r J L = = - und dessen Sinus = — h — W e i l nun (§ . 39.) alle Kre is -

y V + 6 * Ya2-rb- 5

b o g e n , dic um ein Vielfaches von ?«r verschieden, und folglich unter sich congruent

Page 204: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

^^'z^^^^'.^^^^f^^^^T****^v<**p** ~ . 7 * > — • ^ » ^ « ^ ^ • . • • ' • • _ . . . ^ ^ w ^ "

^ u L a u L u m m u i 1 1 1 ! ! i i i i n i i i rii i r w

ISO • f Zweite Vorlesung, L b e r die Entwickelung J

sind, denselhenCosinus undSinus haben, s o i s t a u c h - = c o s ( 2 X i t + ^ ) , - = « > z ( 2 X * 4 ^ ) ,

f P

wo für X j ede positive oder negative ganze Zahl auch 0 gesetzt >verden kann. l ) i e -sejunach ist der allgemeine Ausdruck für j ede unmögliche Gröfse >

( A ) a 4 " b Y~— 1 = Ya2 + & . (cos ( 2 X * + p) + K ~ 1 . ( 2 X » + Q)).

Ist 0 = 0 , so wird ^ = ß > c o s # > = + 1 , sinQ — 0 , also p =r 0 oder j e

nachdem a positiv oder negativ ist. Folglich a = + a.{cosXn 4 - Y~—1 • « / A i X w ) , \\o X irgend eine positive gerade oder ungerade Zahl sein k a n n , j e nachdem a eine p o

sitive oder negative Zahl ist. Daraus erhält man 1 = c o s 2 X # 4 - y—1 .sin2%jt und

— \ — c o s ( 2 x 4 - l ) * r 4 - Y—l.5^(2x4-l)ff. Für X kann in beiden Gleichungen j e

de beliebige ganze Zahl auch 0 genommen werden.

W i r d a — 0 angenommen, so ist s = + fi, cosQ zzz= 0, sinQ = - = + 1, also

S 0 = 4 - X7C odrr = — j e nachdem & positiv oder negativ ist. Daher bY—''

= 4 ; 0 . ( c o s ( 4 X + l ) ^ 4 - w m ( 4 X + l ) ^ ) , u n d folglich + K — * = c o s ( 4 X + l ) ^

" * M ™ ^ *" ^ 4 - ^ - l . s m ( 4 x 4 - l ) ^ ; — K - 1 = c o * ( 4 X - l ) ^ 4 ^ - l . * m ( 4 X — } ) *

§. 11G. Mit Hülfe des M o i v r c s c h e n Lehrsatzes ergiebt sich aus der Glei

chung ( A )

(B) (a 4 - b Y— V>x = Y"2 + b2* • (cos x ( 2 X * + Q) + Y~~~ * • sin x ( 2 X * 4 - p ) ) .

W r enn . v eine positive oder negative ganze Zahl ist , so übersieht man leicht,

dafs das Glied rechter Hand dieser Gleichung nur einen W e r t h hat. Ist aber .v eine gebrochene Zahl = deren Zähler und Nenner unter sich Primzahlen s ind, so

is t , wie man sich leicht überzeugen k a n n , die Menge aIlcr in dem allgemeinen A u s

drucke enthaltenen unter sich geometrisch verschiedenen oder solcher Bogen , von de

nen keiner mit dem andern congruent ist , dem Nenner r des Bruches ~ gleich. D a r

aus folgt zug le i ch , weil man eine irrationale Z a h l , als einen Bruch betrachten kann,

Page 205: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

dessen Nenner r unendlich ist, dafs die Menge dcr Werthe von (aArby—wenn

x irrational i s t , unendlich sein mufs.-

§. 117. Bezeichnet man mit C a u c h y den I n b e g r i u ° a l l e r W c r t h e v o n a % , ( b Y — i y *

(Ar 1 ) \ ( ~ 1 ) V , ( + y - i f , ( - Y - l f , etc. durch ( ( « ) )* , « b Y - l ) f , Cd))"", e tc .

und. setzt Y—1 — i, so erhält man auf gleiche W e i s e

Jf" X

((cty) = a (cos x 2 Xn + i sin x 2 Xn) oder = ( — a) (cos x(2X Ar * ) f f + * sin x(2X4-1)«)

j e nachdem a positiv oder negativ ist. Eben so

( ( b Y - v f = bX(cos * (4X+1)? Artsin A ( 4 X + l ) ^ o d e r - ( - 5 ) * ( c o s # ( 4 X — f ) ? 4 ^ s m # ( 4 X — l ) ^

j e nachdem b positiv oder negativ ist. J* - " " ( * f

Auf gleiche W e i s e ergiebt sich auch

.v .v ((1)) — c o s x . 2 Xs 4- i s i n x . 2 Xn ; (( —1)) = c o s .r(2 X + 1)* 4- i s i n .v(2 Xn - f -1)*

(Y- 1 ) T = c o s x ( 4 X + l ) | + i s i n .v(4X Ar 1 )£ ; (~Y —1) % — c o s x ( 4 X - l ) ? 4 - x ( 4 X - l ) *

W o r a u s zugleich fo lgt , dafs

« a » = a* ( ( ! ) ) *oder = ( — « K ( - l ) ) * u n d ( ( ^ - 1 ) ) ' % = b*.aY-V)*oder=(-by.((-Y-iyf

» j e nachdem resp. a, b positiv oder negativ sind.

b i b x

Es ist auch , wenn - innerhalb der Grenzen + 1 , — 1 und (1 A ) ~ L ^ r M i . a <*> *

((aArby~\)) — ( ± a ) X ( L 4 r M y ^ \ ) ( ( ± X ) ) X , j e nachdem a positiv oder nega

tiv. Desg le i chen , wenn ^ innerhalb derGrenzen + 1, — 1 u n d ( l — ^ ) * rr jr

(aArbY—X) — ( i b f ( L - M Y - 1 ) ( ( + i)) , j e nachdem b positiv oder negativ.

§ . 1 1 9 . W e i l ( § . 109 . ; coss Ar Y — - - sins = e^~~\ und folglich

* l(coss Ar Y — l . s i n s ) = sY—1, so erhält man zufolge (§ . 115.)

Page 206: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

i. /((«+ tr-i)) = i/(ff2 + ) + (2x*+ ) r-i, Avo 0 innerhalb der G r e n z e n + * , — * und = _^rc. cos - a ~ ^4rr., sin— -.

^ Y& + b* Ya*+b>

II. / ( ( « ) ) = Ia + 27,7t 1 oder = l( — a) + (2X + 1) f — 1

j e nachdem « positiv oder negativ i s t , und X j ede positive oder negative Zahl auch

o sein kann. Für X = o w i r d , wenn a positiv i s t , / ( ( « ) ) = la. Es bat daher eine

positive Zahl nur einen reellen aber unendlich viele unmögliche W e r t h e . ^ \\+'-/')

III. I ((b Y-1)) = Ib + (4X + 1) ~ Y - 1 oder 1 (( - b)) + (4X - 1) | Y~ * ._

j e nachdem b positiv oder negativ ist.

Aus der letzten Gleichung III. folgt auch Z { ( K - 1 ) ) — (4X + 1 ) ^ ^ — 1 . Daher

* • n

Y*—1 .lY— 1 = — 2 u n d d a r a u s die inevkwürdigeFormel ^Y—^) — 6 2 *

* • • * " ' ' ' ' " '*-* r • • ' r §. 120. Um jetzt einige Anwendungen von dem so « b e n Yorgetragenen zu ma

c h e n , wollen wir zunächst die W u r z e l der allgemeinen Gleichung ( A )

T T—2 r 3 r ~ 4 r ''3 3 r—6 x — rb x + £ (r — 3 ) 6 Jt; — - ('' — 4 ) c 6 x ~f- etc. = a

betrachten, diese ist = #4"^> w o u, v aus den be idenGleichungen u + = a und

w v = b bestimmt w e r d e n müssen , so da fs , Aveil uv — b, u, die beiden W u r -

2 r zeln der quadratischen Gleichung z. — az + b = o sind. Man hat also ;

. J c". A r r * = aH^ = a + tf tV + ria — J J p-

Dafs übrigens w + v die W u r z e l der Gleichung K ist erhellt foIgendermafsen:

AVeil, wie man leicht übersieht , wenn u 4~ v = x und uv = b,

r+i r+i r r , r—l r—i u 4~ f — * Cu + t> ) + b Cju 4" v ) = o .

so erhält m a n , wcnn man nach und nach r ~ i , 2 , 3 , etc setzt,

Page 207: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

u2 + v 2 = x 2 — 2b ~

iß 4 = x3 — 3 ix «4 4_ V4 — jc4 — 4- 2b-

u$ + — x- — 5 6x3 + 5 Z>2 x M6 ^ - jp6 _ G5x4 + 9ö2x2 — 2£3 «7 = — 7 bx* + 14 b2 x3 — 7 £3 x

und allgemein r T T r~~% r 2 ~~~£ f : — 3 r—6

u 4- v = x — rbx 4- ~(r — 3)ö * — 3 (r — 4)c 6 x + etc. Der Beweis von der Allgemeinheit dieses Satzes kann nach der Art, wie (§. 28.)

gezeigt worden, geführt werden. Ist br negativ oder, im Fall es positiv ist, < £ a , so ist (§. 117.) (C«)) = (Ci « 4 K*«2 — &0)* = Yn a 4- r t ' - 6 o Ccos ~ 4- ^ 2JJf)

(M) = ((i a ~ V i ^ h r y f = Yd a — Y i a 2 — br) Ccos ?^ 4 * cos 2 ^ )

wo X, alle Zahlen 0, 1, 2, r — 1 bedeuten. Da nun ((w)).((») = 6 so ergiebt sich daraus, dafs .>

2X* . . 2X* 2 * . . 2 * . . 2(X+,«)* . . 2(\±ri*

r c o s U i sj/z )(cos -— 4"i -^) alS 0 aucn cos ! h « — = 1 r r v r r r

sein mufs. Dies geschieht aber, wenn 2 ^X = 0 , und folglich ^ = - X ist. Die-semnach erhält man alle r Wurzeln der Gleichung (A), wenn man in dem Ausdrucke

. *s-z—~ Tr^ , 2Xn . . 2X*r , ~s-~r—2 iT\T e 2Xn . . 2Xw (1 a 4 Y i & — b Y Ccos h * —) + Ci a — n a — 6 ) (cos « *m -—)

* / r / y nach und nach X = 0 , 1, 2, . . . r — 1 setzt. Von diesen r Wurzeln ist, wie man leicht übersieht, für ein ungerades r nur eine reell, wenn X = 0. Hingegen sind

f

für ein gerades r zwei Wurzeln reell, eine für X = 0 , und die andere für X = Wenn br positiv und > % aa, so ist (§. 116.)

Page 208: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Diese sind, wenn man Kürze halber | a ^ Yi a~ — ~ i a — Yi a~ — b$ = B setzt

YJt + Y B > Y^>(ccs 120° H- i sin 120) + Y B " & ° S 1 2 ° ~ i sin 120°),

Y4-(cos240 4- i s m 2 4 0 ) + V"j5.(cos240 — i sm240°).

a2

lst aber b positiv und fr3 > ~ , so sind alle d r e i W u r z e l n reell, nämlich fo lgende :

2y7>.co5|, 2 Y b . c o s ( 6 0 + | ) , 2 Y b cos(U0 + | ) , w o 0 = ^ r c . cos — ^ .

§. 122. W i r haben oben (§ .110 . ) gesehen, d n h c o s x s ^ i s i n x s = g*(P^ 4_ / p )

wo P 0 = 1 - 4 2 ' 2 + - e t c - > ^ = * ' - * c 3 ' 3 + * _ 5 ' 5 + etc.

i = coss, n = sins, 6 — | — tans i st ; # irgend eine beliebige rationale oder ir

rationale Z a h l , und s einen Kre isbogen innerhalb der Grenzen + £*r und — \ n be

deutet, so dafs £ positiv und 61 < 1. Ist .v eine ganze Zahl , so hat j edes der beiden

Glieder der Gleichung cos xs + i sin xs = £ r ( P 0 + j P 1 )

au)) = ((la + i r ^ T ^ ) f = ^ . ( c o s ^ ^ + i e i n 2 ^ ^ )

«p)) = ((f « - i r V . - l < W f 6* . (cos 2j^i_? _ ; V Z ± l y .

Folgl ich ((w)) + ((*>)) = 2 o^ . c o s 2 -• Es sind daber die r W u r z e l n der Glei

chung ( A ) alle r c e l l u n d unter der allgemeinen Formel 2 b * . s i n ~ ~ ~ ? begriffen, wo X

alle Zahlen 0 , 1 , 2 , . . . r — 1 und <p einen Bogen bedeutet, dessen Cosinus = -^ 7 -2 hr

, . w. _ n & r ~ i « 2 ) und dessen ainus = - j ~ — .

§. 121. D a sich j ede kubische Gleichung, wie man leicht übersieht, immer auf

die Formel x?> 3bx — a — o zurückführen läfst, so hat d iese lbe , wenn entweder

b negativ , o d e r , wenn b positiv und < ^ a 2 , e i n e r e e l l e u n d z w e i i m a g i n ä r e W u r z c l n .

Page 209: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

für ein gegehenes £ und 6 nur einen W e r t h . Ist aber x = j ein irreductibler Bruch,

so haben die beiden_Glieder, weil s — Arc. tan.6 und — Arc. cos.f, r verschiedene

W e r t h e , deren Zahl unendlich w i r d , wenn .r eine irrationale Zahl ist. Es ist näm

lich ( § , 117.)

((#4 = (±if ( H f ^ ( ( + 1 ) / = (±£)* (P0 + « P 1 ) « ± l ) ) X

= ( H-J f)x (cos x Xff 4 £ sin x Xff) (P0 +- i Px) = co* *v (X» 4" 5) ~f" 1 s m x ( * ~f" *)•

Daraus erhält man

( 4 £)x (cos x Xw — i sin x Xw) (P0 — i P1) — cos x (Xw 4" s) — i sin x (X«r 4 s). Aus diesen beiden Gleichungen aber ergiebt sich

cos (X* 4 tf) — ( i i f « (cos Xw . P0 — sm x X* P1) (C)

*m x (Xff + - s) = ( + £)x . (sin x X«r . P0 + cos .r Xw P1) „ • : a , : 4 =6 w o P0 " 1 — xQ /a«2(X*4r*) 4 c ^»4(X?r4s) — x c tan6 (X*4s) — etc.

: 3 ^ : 5 ; 7 P 1 = x tan(X*Ars) — xc tan^(XrtArs) 4 ta«5(X*4~tf) 4 ^ c W(Xff + i ) — e t c .

Die beiden Gleichungen ( C ) gelten also allgemein für alle unter der Form Xw 4 $

enthaltenen B o g e n , w o s zwischen 4 — tans zwischen 4 1 , — 1 l iegt , und

X eine gerade oder ungerade Zahl bedeutet , j e nachdem £ positiv oder negativ ist.

§ . 123. Liegt der W e r t h von s zwischen 4 «• und — «r, 6 aber aufserhalb der

Grenzen 4~ - u n u < — ^ S 0 s'm^ Ausdrücke P0, P1 divergirende Bcihen und haben z

keinen reellen W e r t h . Nun ist aber auch, wenn 6 und innerhalb 4" 1 und — 1 liegt. n '

(i 4 - inf ~ (iv)*.(l — ifff = (i>>f (P0 — 1P1), Avo

Po = 1 - * c ' * + * c 4 ^ - c t c " P * = *• - *c*'* + - etc.

Daraus ergiebt sich ( § . 117.)

((i + i r>)) = «* »)>* • (P0 - / P1) = ( ± *)* (P0 - i P1) ((+ 0)" = ( + v H c o * a : ( 2 X i l ) ^ 4 ' * ^ * ( 2 X + 1)|) (P — j ' ? ) = cos#v**4^)-+'**"*&*+*)-

24

Page 210: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Eben so erhält man

((# — i>>)f = (( — «»))* (1 + iQ* = ( ± » > * ( P 0 ' + / P 1 ' ) (( + O)

— ( + v) X (co«x (2X__l )^ — j « m ^ ( 2 X ± l ) ^ ) ( P 0 + j P [ ) = * (Xr+«) - i «m .r(X*f*).

Aus diesen beiden Gleichungen folgt nun

cos x (Xx + s) = ( __ vf (cos x ( 2 X ± _ ) | . P^ + s m * (2X __ 1 ) | . p ' )

( D )

sin x (X* + s) = ( + fff (sin x (Tk ± 1) ~ . Po — cos x (2X ± 1) f . P^)

w o X gerade oder ungerade is t , und das Zeichen + oder — g i l t , j e nachdem y posi -

oder negativ ist.

D i e Gleichungen ( D ) sowohl als (C) sind bereits ( § . 57, 58.) ohne Hülfe der un

möglichen Gröfsen bewiesen worden. •' • ,

§. 124. D i e in ( § . 111.) gefundene Gleichung *f <?. ~ ' '

cosxs + i sinxs — QT\>—n2 4~ i*)x — Q0 + iQt

_ * x 2 l * t i o ^ ' 2 4 • r *s5/* 6 i x f , ^ 7 ' 2 8 ,

WO Q0 — 1 — T2 x * + 4 (x + 2 ) c 9 — _ (x + 4 ) c v + - Cr + 6 ) c * + etc.

ft = x , - Z < x + itff+.l(* + vTS etc.

gilt nur für Bogen s < _- * , w ie man sich durch die (§ . C2.) gemachte Bemerkung

überzeugen kann. Es läfst sich dieselbe aber auch allgemeiner m a c h e n , so dafs sie

für alle W e r t h e von s , deren Sinus = v, gilt.

Es ist näml ich , weil für irgend einen W e r t h von v die Radical-Gröfse Y(\ — tß)

positiv oder negativ i s t , j e nachdem coss positiv oder negativ ist,

((y\ — ^ + i n)f = (( ± i ) f ry(\ — v2) + ir,f — (cos x X^ + i sin x X*) (Qn ± i Q1)-

Demnach

COS X f>* + s) + i sin x (X«- 4- 5 ) — (cos x X* + £ sin x X*) ( £ 0 i * ^ 1 )

cos (Xtf 4 " s) — £ sin x (X?r 4- = (COs x X« — i sin x X?r) (Q0 ~T { Q ) .

Page 211: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

(E)

Sin x (2 Xw 4- s) — sin x (4 Xw 4 1) J . A0 — cos x (4X 4 1) Z , £ ^ 2 1

T V 3f2 v 5»2

wo A0=I • COs2 C2 X * + &) + ^ r+2 )c cos4(2Xw4 )-'_(x+4)J cos(2Xw4s)4-etc. : 3 :4 S1 — xcos(2Xw4-s) — xc co*-(2Xw4s) 4 xc ooa5(2Xw + «) — etc* und s einen Bogen innerhalb der Grenzen 4 — * bedeutet.

Daraus erhält man: cos x (Xw 4" *) ~ c o s x X* • Q0 + sin x Xw . Qt

sin x (X* 4- s) = sin x X* . Q0 A^ c o s x * Qt

wo s zwischen 4 w und — * liegt, und X gerade oder ungerade ist, und das Zeichen 4 oder — gilt, je nachdem Y"(l—v2) positiv oder negativ ist.

§. 125. ZufolgedesMoivreschenTheoremsist,wenn#==coss also (l—£2) — sins,

cosxs Ar i sinxs = (I 4 *yT^T^* = (0V.(VT=7* — H)* = (i)* (S0 — iSj

wo .S0 = 1 - | x . i 4- *- (x Ar 2)!'V ~ | 4 4)f / + | Cx A- 6)c7'a |8 4 etc.

S1 = * l - ^ 4 ^ r ^ f C * + 3 ^ ^ ctc. Nun ist aher der Inbegriff aller Werthe von cosxs 4 j sinxs, oder

((cos xs i i sin xs)) = cos x (2 Xw 4 5) + i sin x (2 Xw 4 $)» wo X jede beliebige ganze Zahl bedeutet.

Eben so hat nian (§. 117.) ((| 4 **f(l_|-'))* = ((i)f-(S* — /A1) = (cosx(4X + 1)^ 4 / smx(4X + l)^)(^ — .;ty.

Demnach il<4- !

Tf cos x (2 Xw 4 s) + i sin x (2 Xw 4 s) = (cos x (4X 4 1) £ 4" * *z/z ^(4X + ) OS0 — * 1) und — z für ^ gesetzt, cos x (2 Xw 4 s) — i sin x (2 Xw 4- s) — cos x (4X + 1) ^ — i sin x(4X 4 1) ~) (SQ 4- & .S'p,

Daraus ergiebt sich Cos x (2 Xw 4 s) zzz cos x (4Xw + 1) - . S0 Ar sin x (4X 4- ])~ . S

Page 212: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

188 Zweite Varlesung, Über die Entwickelung

§. 126. Die (§ . 105.) durch Induction gefundene Reihe für die Potenzen der Cosi

nusse läfst sich mitHüIfe der imaginärenGröfsen bequemer a u f f o l g e n d e W e i s e finden:

W e i l (§ . 109.) 2cosQ = 4 e~*^9 oder wenn = x, e"1® — x ~ % , so ist

r . I r r r — 2 : 2 r — 4 , : r - a 4 — r : r - i 2 — r — r

C2 cos Q) — (x + - ) = x + + r c x . . . + r c ^ 4 rc x + .v

, , —r a — r : 2 4 — r : r — 2 r — 4 : r - 2 r ~ a r

oder auch — x 4 r x •f- rc x rc x 4 r c # 4 - x

Daraus ergiebt s i ch , weil x* 4 x '=2cosr$,x' * + x* T — 2cos(r—2)Q, etc. T : a ;3

(2 cos Q) = cos rQ 4 r co* fy — 2 ) 0 4 " rc c o s ('' — ^) ^ "f* r

c C 0 * ( r — G) 0 + e t c *

Man könnte vermuthen, dafs diese Gleichung allgemein für jeden beliebigen E x

ponenten gelten müfste. Diefs ist j edoch ni^bt der FaU, wie man sich lcicht über

z e u g t , wenn man r = f , und w = «• setzt. Alsdann ist nämlich

(2cosu)% = (2cos*F = ( - 2 ) ^ = - ^ 2 ' ^

und das andere Glied der Gleichung wird : 2

cos f * 4 I c o s ( f * — 2x) 4 - ( * ) c c o s ( i * — 4r) 4 - etc.

= cos f * . ( l 4 - 4 4 - ( J ) ^ 4 ( ± ) * 4 - etc.) = I (1 4 - 1 ) * = i f - 2 .

§. 127. W e n n der Ausdruck für die Summe einer unendlichen Reibe

h 4 - kt x 4~ Z 2 4 - Z 3 J f 3 + Z 4 x* 4 - etc = fx

von der Beschaffenheit ist , dafs f(cosQ 4 - — 1 s m # ) fiir «• substiiuirt, f x sich in

£ 4 ~ MY~—* verwandelt , so erhält m a n , wie sich leicht übersehen läfst,

Z 4 - klS cosQ 4 - cos2Q 4 - l3ficos3Q 4 Z 4 ^ c o s 4 p 4 etc. = L

h + f> P 4 " P2 4 - f 3 30 4 - /• ?4 5 1 r n 4 p + c t c , —

§. 128. E x e m p e l L Es seien die Coefficienten Z , J b 3 Z 2 , etc. alle = 1 , so ist

fx zzzz 1 + ^ + X2 + _ j _ + etc. 1

1 — x

j _ 1 — g cos Q 4 " — 1 • § sin 1 — £ cos 0 — 1 . f sin Q 1 — 2 s cos Q 4 f

Page 213: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Demnach T — 1 — S c o s $ Jif — f sin 9 1 — 2 g cos q> + g2' 1 — 2 g cos 9 Ar ^

und folglich 1 — Q cos q>

1 + g cos Q + g* cos 2? + f3 cos 30 + cos 40 Ar etc. = ^ _ 2 ^ c Q g ^ + ^ ^ . P sin 9

gsin<p + fsin2Q + r « « 3 ? ) + f * « « 4 0 + e t c = 1 _ - o s ~ ? ~ + ? ' §. 129. E x e m p e l II. Es sei /• = o , I1 = 1, = \, &3 = 4 etc., so i s t ( § .7 .>

fx = * + ^ + + ^ + ^ + etc. = - fo^mrf(l-*).-

Es ist aber 1 — .r = 1 — gcdsq> — igsin$

= (§ . 115.) (1 — 2 p cos p + f 2 ) * (cos ^ r c . to. - t s i n $ _ ; j2>i Arc. tan . ^ s m ( ^ v

* * l-fCOS^ l-fCOS^ 1 . . P 0

= (1 — 2 p e o s f t + g * ) * ' ^ * " ' " - g c o i v > u n t l fr>1gI''ch Z ( l - x ) — — / ( 1 — 2 *>cos<p 4- f) Ar i Arc. tan.-- s 3 1 , 1 9

l g cos <p Daraus ergiebt sich

L = — i Z ( l - 2 f c o s p + f2 ) , M = Arc. tan.. * S l n ® •

2 * y 1 — g cos 9

und folglich

2 4 ' " * g cos $ Ar 2~ c o s

2<? 4" 3 c o s 4" cos 40 + etc. ==' — § 1 (1 — 2 ^ cos 0 4- ^ (CJ) « 3

osin$ 4- ?r *in2q> Ar sin3Q A - T sin4q> Ar etc. = u^rc. ian.~^^^. s r 1 2 o 4 1 1 — ^ cos 0

W e i l

gsin$ 2 ^ c o s ^ 0 . s z " / i f 0 2 ^ cos j 0 . s/w | 0

1 — ^ cos 0 ~ cös2 i 0 4- s m 2 1 0 —7 Ccos31 0 — s m 2 \ 0 ) ~~ O—jO eos2£04- (1 + g) sin2^Q 1 + g

_ 2 g tan-l9 = (1 4- f ) m/z j ^ — (1 — f ) toj^ _ 1 ^ 1 ^ ~ ^ i P - l _ j > + ( l + i > ) / « « 2 * ? ~ i — f + ( i + f ) f a / l 2 . ^ 1 4 - p ~

1 4- 7 —• to2 -i- ^ . . to — /rm -J <P _ . . . Ä . _ . i 4 - o

= r + 7 S ^ s j p - t a n ( a ~ i 9 h W 0 J r c - t a n - i ~ ~ t a n * '

9 sin © 1 4 - p . - T _ so ist Arc. tan.~—~^~~ — a _ xQ = Arc.tan.T1111 tan\<p — \®.

1. — g cos <p a l — f

Page 214: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Diesemnacli verwandelt sich die zweite <lcr Gleichung in 2 ?i \ [ • 0

(YJ) i 0 4 _ f sin0 4 ^ 20 4 ^ s m 3 0 4 etc. = Arc. tan. torc10

§. 130. E x e m p e l III . Aus der Gleichung ( § . 5.)

fx r= 1 + x + 4 - ^ 4 4 x\ + etc. = e

. . , , • • . i S> — Sicos 0 4- i <P) ergiebt £ i c h , wenn man x = g(cos0 4 « * m 0 ) setzt , / . r — e 1

= J ' " 9 . j l ™ * = / c o ^ . ( c ü s ( p s m 0 ) 4 * *in(f8in9))

Daher L = C O J ? > . cos (p s//z 0 ) , M = e C°S<P . « ' » Cf s*7z 0 ) ,

und folglich %

3 ^ 1" COS 0 r 1 4 g cos 0 4 Pc cos 20 4 p^ cos 30 4 etc. = e cos Cf sin 0)

T 4 P CCIJ 0 • •

gsinQ 4 f c s m 2 0 4 co.s30 4 §c c o s 4 0 + e t c . = e* sin(gsmQ)

§. 131. E x e m p e l I V . Es s e i / a - = 1 4 < " * + r*c**5 + r * _ V 4 e t c - = 0 +xf fjt,

so wird, x = p (cos 0 + i sin 0 ) gesetzt , fx — (1 4 g cos 0 4 - i g sin 0 )

- • A . f i • • A x f sin $ v M

. = (1 + 2 f c o s 0 4 - f ) * . (cos ^ r c . ^ • f ^ p y ^ + * ^ ' ' c - t m ' f t f J ^ >

f*{ . * psinQ % . . . , A , psin0 .) = (1 4 2 P cos 0 4 - P ^ 1 C O * C«* ^ ' ' c - i a n • r ~ t — + 1 s i n w * ^ r c - t a n - r ^ i - ) J -

v 1 y 1 s J a 1 ^ 1 4 f cos 0 1 4 f cos 0 j Daher

P sin 0 _C = (i 4 2 pcos0 4 i > ? ) 2 • cosO* y//-c. / a « . — , - )

v ' J J ' 1 4 " p cos 0 '** . . p sin 0 .

i t f = (1 4 2 p cos 0 4 p « ) 2 . sin (^. y / r o . / a « . f + f C O A . fr>

und folglich • a 2 • 3 3 : 4 4

1 4 p cos 0 4 p cos 20 4 vctc p cos 30 4 , « c p cos 40 4 etc. = L

(^ .2 2 : 3 3 : 4 4 <« P s / « 0 4 A*c p cos 20 4 y«c p ocs 30 4 y.Q g cos 40 4 etc. = M

§. 132. Der Moivresche Satz ist auch von besondern Nutzen beim Beweise

des L e h r s a t z e s , dafs für j e d e algebraische rationale ganze Function

xn 4 J1 xn 1 4 - A2 xTl 3 4 A71 xn~z . . . . 4 dH ^ <P*

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ein unter der Form a 4~ by—1 enthaltener Werth gefunden werden k a n n , der für

x substituirt, Qx = o macht, l ) e r hier folgende Beweis stimmt im W r esentlichen mit

dem von C a u c h y in seinem Cours uVAnalyse 1\ 1, p. 331 gegebenen überein.

§. 133. Substituirt man in der d u r c h 0 x b e z e i c h n e t e n R e i h e x + l für x, und setzt n—i , n—2 , «—3 . n—4 . *

nx + ( « — 1J A1 x + (n — 2) A2 x + (n — 3) A3 x .. + An^1 = Qx : 2 n—2 : 2 m n—3 M : 2 n—4 "

nc x + ( « — 1 ) c + ( » — 2 ) c * + An^-Qx nc

5x"~5+ Oi-l)c5 A1 xn~4+ (1-2)1* A3 xn~5

+ An^ = Qx etc. etc. etc.

' " 2 3 ?2 s , .

so erhält man: Q(x 4~ i) = + P # . | + P # * # + QxZ . . . . 4" # . ••: *•* — :v •-• \

Daraus ergiebt sich

0 ( a + 6 K " - l ) = <Pa + *Z>0a + i&Q'a + ib*Qa + / o 4 p * a + t"z>" ä " I V ' J 5 V = Q a — b Q a + b Q a — etc. 4~ Y— 1 . (bQa — b Q a 4~ A <p a — etc.)

Bezeichnen wir diesen Ausdruck Kürze halber durch L + MY—15 so wird,

wie leicht zu übersehen Q(a—bY~V = £ — MY—*- Ist nun 0 ( a + 6V"-1) oder Z + I K " 1 = °> s o m u f s a u c h (L

+ MY — \) ( £ — 3iy-i), oder

+ _Ti 3 = o se in , und umgekehrt , wenn L2 + M2 — o, so mufs sowohl L als

M , und folglich L + 3 i ^ - 1 , und Z , — 1 ^ - 1 = o sein.

§. 134. Substituirt m a n , in Q(x + f), rt + 0 ^ " _ i für .v und u^ßy~\ fiir £

so erhält m a n , wenn man die W e r t h e von Qx9 Qx9 Qx9 e tc . , a-^bY—1 für x g e

setzt, respective durch L + 7 W ^ - 1 , A + M1Y-I, L2 + ^ K * - l , e t c . h e z e i c h -

net , und diese Ausdrücke nach ( § . 115.) in R(cost + z sint), R1(COSt1 4~ i sint),

R(COSt2 + J sinQ9 e t c . , und eben so « + £ ^ — 1 in p ( c o s « + j rä») verwfindelt

0 (a + « + (b + 0) K*— 1) = R (cos t + i sin t) + TJ1 g (cos Z1 + z' s m (cos « + / sin «0

+ P 2 f2 . (cos Z2 + « s m tJ (cos 2« + / sin 2w) + ^ ^ ( c o s 4- i sin f ) (cos 3« + / s /^ 3*)4-Ptc.

= R COS t + P 1 g cos + w) + R2^ cos (t2 + 2u) 4. i ? w f » cos (tn 4- w)

4- i (R sin t 4- R1 g sin (Z1 4 «) 4" P 2 ^ cos O2 4- 2«) + n„ gn cos (Jn -f „ ) ) .

Page 216: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

1D2 Äwcitc Vorlesung. Über die Entwickelung

So wie sich 0 ( « 4 & K " — a u f die Formel L 4" MY—1, und diese wieder

nnf R (costA^i sitif) zurückführen läfst. so kann man auch 0 ( « 4- « 4 (6 4 —1)

durch L 4" JW'y^"—1, und diesen Ausdruck wieder durch R ( c o s t + i sint) darstel

len. Setzt man nun ?

R 1 cos Ct1 4- ») 4 P 2 S cos Ct2 4- 2 « ) 4 i ? 3 / cos (*3 4 3«) . . . 4 Ä „ cos Ctn 4 ra») = U

R 1 sin Ct14- ») 4 P 1 , f> (*a 4 2« ) 4 P 3 f 2 4 3o) . . . 4- R n ?>i-i sin Ctn 4- 7z<0) = V

so erhält man : R cost = P c o s / 4 f P «Vztf = R si11t 4 f ^ 7 »

und daraus R * = Ä * 4 2 RgCUcost 4- .Fsint) 4 / ( f / 4 ^ ) .

W i r wollen jetzt z e i g e n , dafs § und <*> immer so bestimmt werden k ö n n e n , dafs,

wenn R nicht = o , der Unterschied R 1 — R2 negativ werden mufs.

Setzt man nämlich t t — t = ^ 1 , t 2 — t ~ figi — t = S3, etc., so w i r d , wie man

sich leicht überzeugt,

XJ cosi 4 sint — R1COsW1 4 «0 4 ^ f r o . 9 ( ^ + 2a ) . . .4 - RnSn—i c o s Q , ^ n a )

Betrachtet man die Glieder dieser Reihe absolute, so übersieht man leicht, dafs ^

so klein angenommen werden k a n n , dafs jedes Glied derselben, gröfser wird als die

Summe aller folgenden Glieder. Ist daher R1 nicht = 0, und wird « so angenommen,

dafs c o s (^4 - " ) negativ i s t , so wird Ucost 4 T^sint einen negativen Werth haben.

I)iefs wird noch der Fall se in , wenn R1 = 0, aber nicht R2 = 0 , oder wenn R1 = O,

7 ? z = 0, aber nicht P 3 = 0 , weil Rn = 1, Da nun aber auch § so klein angenom

men werden k a n n , dafs / ( Z / 2 4 < 2 R $ { U c o s t 4 V s i n f t , •so folgt daraus,

dafs überhaupt für jeden W e r t h 7 ? , aufser, wenn R. — 0, s und w und folglich auch

«, yS so bestimmt werden können, dafs derUnterschied R 2 ~ R 2 negativ oder R 2 > R 2

werden mufs. Gäbe es nun keinen W e r t h « 4 ^ T — 1 5 der für x substituirt Qx — 0

oder L + MY" — 1 , und folglich auch JJ*ArM2 oder P a — o m a c h t e , somüfste e s u n -

ter allen möglichen Werthen von R2 einen kleinsten g e b e n , <ler n i c h t = o wäre, was

aber , w i c wir oben gesehen, nicht möglich ist.

Page 217: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

D r i t t e V o r I e s u n g .

Ü b e r e b e n e u n d s p h ^ r i s c h e T r i g o n o m e t r i e .

§. 1. r3ie Tr igonometrie ist diejenige Wissenschaf t , welclie aus drei zur B e

stimmung eines Dreiecks nöthigen T h e i l e n , die übrigen durch Rechnung finden lohrt.

TJnter den drei Thei len eines ebenen Dre iecks , welche dasselbe bestimmen, mufs w e

nigstens eine Seite v o r k o m m e n , weil durch drei Winke l allein nur die Form eines

Dre iecks , aber nicht seine Dimension gegeben ist. Zur Bestimmung eines sphärischen

Dre iecks hingegen, welches auf einer Kugc l durch die drei Bogen gröfster Kreise g e

bildet wird, sind von den drei vorkommenden Winke ln und Seiten jede beliebige drei

Tlieile hinlänglich.

§. 2. Um die Beziehungen zwischen den Seiten und W'inkeln dor Dreiecke auf

eine einfache Art darzustellen, bedient man sich der sogenannten trigonometrischen

Grö fsen , S i n u s , C o s i n u s , T a n g e n t e etc. deren Eigenschaften bereits in der 2ten

Vorlesung nebst den vorzüglichsten Formeln umständlich abgehandelt worden sind,

weshalb wir unsereLcsern das über diesenGcgenstand d o v t ( § . 3 5 . . . 5 0 . ) V o r g e t r a g e n e

hier einzuschalten ersuchen müssen. Man kann zu den oben gegebenen Formeln

noch folgende beide hinzufügen, die in mehreren Fällen von Nutzen s<>in können.

Page 218: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

das Dreieck ADB dem Dre iecke A C B ähnlich, und folglich C A : AB = AD : BD. O

Ist nun C A = 1 , und bezeichnet man AB durch 2 x , so ist .r = sin 1 8 , und man — 1 + K"5

hat, 1 : 2 x = 2 x : (1 — 2 x ) . Daraus 4 x2 + 2 x — 1 = 0, und folglich x = = . 0 0 Vo 1

D a nun sin 18 positiv i s t , so erhält man sin 18 = ' — - — . Daraus ergiebt sich 4

0 • 1 ^ / , 6 - 2 K 5 v * ( i o 4 - 2 K 5 ) c o s 18 oder sin 72 = Y W 1 ( Jr - ) = L i ^ t l _ L ^ .

•< sin I x — i Y(\ Jn sin x) — i Y ( X - s i n x ) - •:i^m

( K ) cos \ x — | Y(X + sinx) + 1 YW—sinx). '.. -

V o n der Richtigkeit derselben überzeugt rnan sich le icht , indem man die beiden

Ausdrücken für sin %x, c o s \ x zum Quadrat erhebt.

Es ist nämlich • . ; t . / V ^ , . ^ •.-'->r-' r J*

| Y W + *) + I Y<1 — sin x ) \ = i qp | Y (1 — ^ ' " 2 * ) = 1 + 2C O ' 9 x = i x

oder c o Ä 2 | x , j e nachdem das obere oder untere Zeichen gilt.

§. 3. Mit Hülfe der Formeln (p. 123 etc.) lassen sich nun leicht die Sinusse und O O

Cosinusse aller Vielfachen des Bogens von 3 bis 90 bestimmen. O O

Es ist nämlich für den Halbmesser — 1, Chorde 60 = 1 , also sin 30 = |. Dar -o o V^3

aus : c o * 3 0 o d e r « ) ? 60 = Y 1 — * m 2 3 0 ° = E _ .

O O O O O W e i l cos- 45 = sin 45 und cos2 45 Jf sin2 45 = 1 , so erhält man cos 45 oder

0-

sin 45 = Y l -

§. 4. Aufser diesen so eben gefundenen Sinussen läfst sich auch noch ein bcque-O

mer Ausdruck für sin 18 finden.

Es sei nämlich der MitteIpunct eines regelmäfsigen Z c h n c c k s C, eine der Seiten

A B , so ist der W i n k e l A C B = 36°, folglich C A B = C B A = 72? Halbirt man nun

den W i n k e l CABdurch A D , so wird CAD ein gleichschenklichtes D r e i e c k , also

^ Z ) = 7 J C u n d W i n k e l ^ Z ) C = 1080, n h o A D B = 72 = ABD sein. Es ist demnach

Page 219: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

- 6 + 2 = rC10 - 2T5)

I <> 1 4 ß J A 16 ' 4

§. 5. Vermittelst der Formeln (K) findet man ferner

0 Sin I S ? _ , r { X + a i n 30°) TI i yd - sin 30°) = » iF I ^ AV 1 75 5 3 1

Sin 90J _ i r ( 1 + s - n l s o ; — ^ r ( l a i n ^ _ + r 5 ) q : i r ( 5 r 5 )

«Sz/i 81 )

Sin 27° ) i r ( t + fiiVi 5 4 " } ^ , r ( 1 _ „ - f t 54 = 5 y - ( 5 + ^S) X -J V ( 3 ~ K 5 ) . &"» 63 J ' ^

D ie obigen W e r t h e lassen sich noch vereinfachen, weil

K ( 3 + K"5) =• I K 1 0 + f K 2 u n d K"(3 — K"5) — i Vw — i Y"*-

0 10—2y^> 0

Zugleich ist zu bemerken, dafs 1 + 4 sin218 = 1 + * ( y O — I ) 2 = — = 4 sin2 3(i

0 0

w c i l a b e r 2 s m 18 die Seite eines Z e h n e c k s , 2 sin 36 die Seite eines Fünfecks , den

Radius = 1 angenommen, so ergiebt sich daraus der Lehrsatz . D i e S u m m e d e s

Q u a d r a t s d e s H a l b m e s s e r s u n d d e s Q u a d r a t s d e r S e i t e d e s Z e h n e c k s ,

i s t g l e i c h d e m Q u a d r a t e d e r S e i t e d e s F ü n f e c k s .

0 0

§. 6. W e i l sin 30 = cos 30 = so ist (L ) .w

« * ' / z ( 3 0 ° ± A ' ) = $cosx + sinx', c o s (30 + .v) = ^ co , !x ~ | « , Z A 7 .

O O

Mit Hülfe dieser beiden Formeln und derAusdrücke für sin% cos9 etc. erhält man:

3<j - * m ( 3 0 " + 9°) = 1± ?rC3 + K 5 ) + K(5-r5> 21 ) * *

;Joj = c o , (30° ± 9°) = K?-5J r ( 3 + r 5 ) + 1 ^ 8 U res - KS) *Z7Z jfn sin sin 09

O O O ^ O

Zugleich ergiebt sich auch sin 54 oder cos 36 = cos2 18 — sin2 18

= 1JL+^ _6-2Y5 = ri+i. and daraus wieder sin 3 6 * = r ( l - c o ^ 3 0 ) 16 16 4

Page 220: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

im 48°t _ o „ oJ» = sin sin 1 2

« " 4 2 O ^ — ^ - m 0 + 1 « 0 V = * VO^n _ L « v ^ — i^V*s _ ^ * ' , r " sin 78

« « » < j = sin$QT i 27°) = LiCV(5 + r5) + 1 ^P ^ 3 - ^ ) 5 ? « o J , 5 a

c^l = cos(30° ± 27°) - ^^-r<5+r5) + ro*-rs)

87 ) o » *m 6 6 ° } = w ' „ ( 3 6 ° + 30°) = * p 3 0 — C p ) ± - * ( p + 1 ) sm 0 ) ~ ^

«f>i = « » C 5 4 0 ± 30°) = i(ri5 + p ) ± ^ ( 1 0 - 2 T 5 ) . s m 24 j

§ . 7. Diese Ausdrücke k ö n n e n , wenn sie nicht zu verwickelt s i n d , zur Berech

nung derFui idamentalwerthe der Sinusse und Cosinusse d ienen , zu deren wirklicher

Berechnung die (p . 1 2 9 . ) mitgetheiltcn Reihen ( A )

cosxC$ = 1 - *a§] + **(l)* - xß(-2f + *Hlf - *lc sinx = x \ - * 3 ( 5 ) * + x5(«f _ x,{«f + ^ ( - ) 9 _ ß f c

am bequemsten s ind, w o «• die Länge des Kreisumfanges , dessen Halbmesser = 1

n ist , bedeutet, und ( - )^ — J T 2 T T n T T T n ' ^ i s t "

§. 8. Um aber von diesen Formeln Gebrauch zu machen , mufs man die Zahl *

vorher mit hinlänglicher Genauigkeit berechnet haben. Folgende Elementar - Methode

verdient wegen ihrer Eleganz und Einfachheit bemerkt zu werden.

Es seien p , q die respectiven Halbmesser des jnnern und äufsern Kreises irgend

einer beliebigen regelmäfsigen Figur. Man suche zwischen p, q das arithmetische

Mittel P1 = P-^-> u n d zwischen ^ 1 , q das geometrische Mittel q' = Vp'q. Ferner

= sinßO* ± 1 8 ° ) = 1 T(IO + 2 p ) ± | T C l 5 — K"3)

!| = c o s ( 3 0 0 + 1 8 ° ) = | T(30 + 6 p ) + | C T 5 — 1) " *

Page 221: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

xind sphärische Trigonometrie

P 2 + °2 _ _ , q3 = K P 3 # 2 > e t c * ^etzt , u a n nun die P, + _ v ^ —

P 2 = 2 - ' ^ ~ 1 ^ P 2 P 3 = 2"

Herechnung der Glieder der beiden Reiben p, pt, p 2 , j> 3 , etc. q, ql9 q2, q^ otc.

bis zu den beiden Gliedern pn, qn f or t , so w i r d , wenn P den Umfang der gegebe -p p

nen regelmäfsigen Figur bedeutet * zwischen den beiden Grenzen zj-j- U n ( ^ qT~~

g e n , so dafs . > n > *Fm *<ln

s e i n w ird , und m a n , weil der Unterschied dieser be i

den Grenzen kIefner werden kann als j ede gegebene Grö f se , die Zahl » auf diesen

W e g e so genau als man wi l l , finden kann.

Es seien die Glieder p, q die resp. Halbmesser des innern und äufsern Kreises

eines gleichseitigen D r e i e c k s , dessen Seite = h, so ist, wie man leicht übersieht,

P z

_ K A

2 f 3 ' C1 ~~ r 3 ' P = - 3 Jc, und , wenn h — 2 K 3 , \ P = 3 y ^

Man erhält a lso :

P = I,00000 O 0 0 q 2,00000 000 Pi ZZZ T,65394 978 r ,654oo 5 i 4

Pr zzz i,5oooo 000 qi ZZZ r ,732o5 081 Pz = 1 ,65397 746 % — 1 ,65599 i 3 o

P2

zzz i , 6 i 6 o 2 54o q2 = j , 6 7 3 o 3 26r Pn ZZZZ i , 653 9 8 438 % - 1 , 6 5 5 9 8 7 8 4

Vl zzz j ,6445a 900 q3 — 1 , 6 5 8 7 1 9 5 8 PlO ZZZZ 1 ,65398 C u 9io = 1 ,65398 697

Pi zzz 1 , 6 5 1 6 2 4 2 9 qi = i ,655i6 8 i4 P n

ZZZZ 1 ,65398 654 <lu = 1 ,65398 6 7 6

Ps zzz j , 6 5 3 3 g 6 2 i q5 ZZZZ i,654a8 194 P12 — 1 ,65398 665 r/ I2 = 1 ,65398 670

P 6

zzz i,65383 907 q6 ZZZ i ,654o3 049 P.3 — 1 ,65398 668 9.3 = i,653g8 669

Daraus ergiebt sich nun , weil 3y^3 = z 5 ,19615242, näherungsweise

« = M 2 6 J 5 2 4 2 = 3 j l 4 1 5 9 2 6 5 . . , 1,G539S668

R e w e i s . Es sei C der Mittelpunct und AB die Seite eines regulären Vie lecks ,

dessen rcsp. Halbmesser des innern und äufsern Kreises p,q, so ist das Perpendikel

CD von C auf AB gefaHt = p, CA—q. Reschreibt man nun mit CA einen Kreis um

das V ie leck , verlängert das Perpendikel CjD von C näch JD bis zum Puncte E in der

Peripherie , zieht die Linien AE, BE und h a l b i r t j e n e in F, diese in ™ wird,

Page 222: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

wie man leicht übersieht FG = \ AB, die Seite eines regulären Vie lecks sein, dessen

Uiitfnng rlciii Umfange des ersten Polygons gleich ist und doppelt so viel Seiten ha<.

Bezeichnet man nun den Mittelpunct der Linie FG durch II und das Perpendikel CH

durch p , CF durch q t , so werden p x , Cj1 die resp. Radien des innern und äufsern

Kreises des zweiten Vie lecks sein. Es ist aber CII = CD 4- DII = CE — IlE,

u 'so , weil DII = IIE, 2CH = CD + CE, folglich p ' - 7 — ^ . W e g e n der Ä h n

lichkeit der Dreiecke CFII9 CFE aber ist C F i C H = C # : oder qt : / ? i = f / : ( / |

also = p , </. A u f e i n e ä h n l i c h e W e i s e f i n d e t m a n , w c n n p 2 , p ^ , p ^ , etc.ty,, q^, f / 4 ,etc .

die resp. Halbmesser der innern und äufsern Kreise der folgenden Vie lecke bedeuten,

die alle denselben Umfang h a b e n , und deren Seitenzahl für jedes folgende Vie leck

P1 Ar q

doppelt so grofs als für das nächstvorhergehende, dafs p 2 = —'> V-~KV ;2 (Ji e t ( > *

W e i l nun p , q die resp. Radien des innern und äufsern Kreises des ( « 4 - l ) t e n

Vie lecks sind, und sich derUirifang j e d e s K r e i s e s zu seinem Halbmesser wie 2 * zu 1

verhält , so ist die Peripherie des innern Kreises des ( r c 4 ~ l ) l c n Vie lecks = 2 » p

und des äufsern Kreises = 2 « q , Rezeichnet man also den gemeinschaftlichen U m -

f;;ng aller Vie lecke d u r c h P , so ist offenbar 2w p < P und 2 * q > P und folglich

P P

* > = — und < - — . Der Unterschied dieser beiden Gröfsen aber ist um so kleiner

2 pn 2 q n

j e gröfser n ist , und kann kleiner werden als j ede gegebene Gröfse, so dafs man auf

diesem W e g e « so genau als man wi l l , finden kann.

§. 8. So einfach dic so eben erklärte Methode die Verhältnifszahl n zu finden

auch is t , so sind doch die bereits mitgetheilten Formeln zur Entwickelung des B o

gens durch seine Sinus oder seine Tangente ungleich bequemer. Man kann nämlich

zur Berechnung des Bogens aus dcm Sinus folgende Reihe anwenden. Arc. *in.n = m + * l ' + *J 4 - h J L * *1 + etc.

* 3 n - 2 4 5 f 2 4 < ö 7

O ^

W e i l nun Arc. s i n . \ ~ Arc. 3 0 = - , so erhält m a n , wenn man

Page 223: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

k

* rr A + 1 A + f A2 + } Ax + i A^ + iV A + etc. setzt,

weil alsdann A = 3 , A1 - \.\A, A2 — Z ^ A 1 , = Z O - ^ A 1 ,

A z = W = £ 0 — * ) ^ 2 , A = |.* ^ 3 = i ( l - l ) 4 » c t c - ' < l i e Z a h , p n

A, ^ 1 , ^ 3 , y ^ , e t c . , und daraus - A 1 , fA2, $A^, etc.

§. 9. Setzt man in der (p. 134.) gefundenen Gleichung (F)

Arc. tanJ -— 6 — f + | 6* — i * 7 + etc.

4 = 1, so ist Arc, tan.6 = y / r c . 45 = A ivnd man erhält di« bekannte Leibnitzi

sche Reihe

*ff = 1 - 4 + f - f + f - C ( C -

Obwohl diese Reihe convergirt und einen reellen W e r t h hat , so ist sie doch zur

wirklichen Berechnung der Zahl « unbrauchbar, weil man, um bis auf die sieben

te Ziffer genau zu haben, beinahe 5 Millionen Glieder berechnen müfste. Übrigens

übersieht man g le i ch , dafs sich vermitielst der Reihe Arc. tan.6, die G r ö f s e j e d e s

Kre isbogens , dessen Tangente 6 ein sehr kleiner Bruch ist , leicht berechnen läfst.

D a aber, um die Peripherie zu f inden, das Terhältnifs eines solchen Bogens b e

kannt sein mufs , so mufs eine solche Tangente 6 zu diesem Z w e c k e ausgewählt wer -

° 1 den. D e r berühmte englische Rechner S h a r p wählte dazu tan 30 = ^rr. Diesen

M W e r t h in dem Ausdrucke Arc. tan 0 für 6 substituirt, erhält man

; a _ 1 , 1 1 -" 6 " K 3 3. 3K"3 5. 32y3 7. 3 V 3

- = r i 2 ( . - + 5 ^ - ^ + - *««•)

Vermitteist dieser Reibe hat S h a r p die Zahl «• bis auf die 72ste Decimalstelle

berechnet. Die Rechnung selbst findet sich in S h e r w i n s Mathematical Tables,

London 1726. Ich will hier nur den W^ertli von v^"12 mitheilen. Dieser ist: 3,4(i4f0

16151 37754 58705 48926 83011 74473 38856 10507 62076 12561 11613 95890 38660 34.

§. 10. Man kann auch die Ausziehung der Quadratwurzel vermeiden , weil man

Page 224: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

tan (x + y ) = t a n ? + i a n y = 1 + 4 = 1 t a n { x + y j - l - / a r a * t o r 1 — 1 ' ' 1 — -

tany

Daraus fo lg t , dafs x Ar y = Arc. tan 1 = J- *r. Man hat demnach

1

- t ^ •-V-

.f

§ . 1 1 . Stall der eben gefundenen beiden Reihen lassen sich noch zwei andere

f inden, deren Glieder ungleich schneller abnehmen. Es sei nämlich tanu = |-, so ist

n — 2 t a n u 5 r » r j . * A _ 2 tan2u iq 1 2 0 tan 2 w — ; — — = — . Daraus lindet man tan 4 M = - — — ~ - — — ^ 2 = — .

l — m r c 2 « 1 2 l—tan22u l_(_^) 2 1 1 9

V • L V ^ tA Z X 4 W S * M f 1 1 Es ist terner frm(4« — Jw) = 1 r — i — - ^=— = — = .

* ' 1 + tan 4 » . / A « J * 1 + 4fo. 2 3 9

Man hat also 4 a — %* = Arc* tan.jj^ oder 4 ^ / / c . tan.J — J « = Arc. tan.?\?,

woraus endlich «• = 1 6 Arc. t a n . \ — 4 Arc. t a n . j ^ =

- 2 2 3 2 5 2 7 2 n

~ 1 6 4 ö ~ * W + * lö5 ~ * To7 + * iö° + e t c ° 1 1 1 1 1

~ ~ 4 ^ 2 3 9 ~ * 2 ~ 3 § 3 + ^ 2 3 9 5 ~ ~ * 2 3 9 7 » 2 ^ 9 ° ~ ~ e t C * ^

Man kann den ersten Theil von * in zwei andere noch convergentere Reihen

verwandeln. Setzt man nämlich tan<p = - Js , tan» = | , so ist / a « 2 0

J _ t o 0 _ ^ - u n d t a n r 2 Q - w ) = t a n *<P-ta.n» ^ | ^ | - J _

\~.tan<P2 9 9 v ' 1 + 2 ^ t o » 1 + 49 CV 5 l 5 *

Es ist also 2 Arc. tan ^ — Arc. tan | = Arc. tan oder

Arc tan | = 2 ^ r c . — Arc. tan Demnach

* = 3 2 ( J MO

I 3

' 1 0 3

Z

T ' x 7

' w 7 9 ' T ö 9

.— etc.)

I "3

1

5 1 5 3

+ 1 5" '

1 _

5 1 5 *

x 7 *

1

5 1 5 7

+ x 9 '

1 5 1 5 9

— etc.) • . »

439 X 3

1

2 3 9 3

Ar x 5" *

1

2 3 9 5 ~ * . 7 '

1

2 3 9 7

j 9 '

1

2 3 9 ° — etc.)

den Bogen J*r so in zwei Bogen zerlegen k a n n , dafs ibre resp. Tangenten § und ±

sind. Ist nämlich 5 = t a n x , f = tany, «0 ist, .•.i:ut--i

Page 225: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

1 - / T x

9

werthe von ( - ) c = £ ( - ) , 1 (*f (Z)* = . 1. 2. 3 {2J ' Vc 1. 2. 3. 4 2

1 « 4 (-) , c t c . , so erhält

man die von E u l e r in seiner Inlrod. in anaiysi;i inf. §. 134 zur Berechnung der

Sinusse und Cosinusse mitgetheilten Reiben

X 7t sin — = 1

4 - 1 , 5 7 0 7 9 6 3 2 6 7 9 4 8 9 6 6 1 9 2 3 1 3 2 1 6 9 1 6 X

— 0,64.596 40975 06246 2 5 3 6 5 57565 636 x^

4- 0 , 0 7 9 6 9 2 6 2 6 2 4 6 1 6 7 0 4 5 1 2 0 5 0 5 5 4 8 8 x'>

— o ,oo / , 6 8 i 7 5 4 i 3 5 5 i 8 6 8 8 i o o 6 8 5 4 6 3 2 .r<

4 - 0,00016 o 4 4 " 84787 3 5 9 8 2 1 8 7 2 6 6o5 x9

— 0,00000 35gS8 4 3 2 3 5 2 1 2 0 8 534o4 58o .v 1 1

4- 0 , 0 0 0 0 0 0 0 5 6 9 2 1 7 2 9 2 1 9 6 7 9 2 6 8 1 1 7 1 A ' '3

— 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 6 8 8 0 3 5 1 0 9 8 1 1 4 6 7 2 2 4 X^

4- 0,00000 0000006066 9 3 5 7 3 1 1 0 6 1 g5o x17

— 0,00000 00000 ooo43 77065 467Di 370 xICj

4- o , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 5 7 1 4 2 2 8 9 i 8 5 6 x2t

0,00000 00000 00000 ooi25 38995 4o3 x,J5

4 - 0,00000 00000 00000 00000 5 i 5 6 4 55o x2^

— 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 1 2 3 9 A'-7

4 - 0,00000 00000 00000 00000 00000 549 x-v

— 0,00000 00000 00000 00000 00000 000 x^1

X * cos — — — 1

4 - 1,00000 00000 00000 00000 00000 000

! , 2 3 5 7 0 0 5 5 0 1 3 6 1 6 9 8 2 7 3 5 4 3 1 1 3 7 4 5 A ' 2

4 - o , 25366 9 5 o 7 9 o i o 4 8 o i 3 G 3 65633 659 .v*

— 0,0208G 34807 6 3 3 5 2 96087 3 o 5 i 6 364 .v-6

4~ 0,00091 92602 7483g 4^658 0 2 4 1 7 i58 .rR

— 0,90002 5202o 4^373 06060 5 4 8 1 0 52Ö .r 1 0

4- o ,oooooo47io 87477 8 8 i 8 i 7 i 5 o 3 665 .r' 2

— 0,00000 ooo63 866o3 08379 T 8 5 2 2 4oS x^

4 " 0,00000 00000 6565<) 631 x4 97947 ^3o .r 1 6

— 0,00000 00000 oo52Q 44oo2 00734 620 .Y 1S

4- o , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 5 7 7 3 9 1 7 g o 9 8 1 x20

— 0,00000 00000 00000 o i835 9 9 1 6 5 2 1 2 x22

4 - 0,00000 00000 00000 00008 20675 327 x2* — o ,ooooooooooooooooooooo3n5 285 .v-c

4 " 0,OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOIOl65 A 2 C

— 0,00000 00000 00000 00000 oOOOO 026 #3°

26

K l ü g e i ^ l a t h e m . Wörterh . 1 Thl . p. 666) sagt , dafs ilim die letzte Formel vom

Herrn B u z e n g e i g e r milgetheilt worden sei. Man findet die Z;>hl «• his auf 140 D e -

eimalen genau in V e g a s grofsen L o g . Tafeln berechnet. Sie ist folgende

.3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230

78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32(8)23 06647 09384 46095

50582 26136.

Die 1 l3 l c Deeimale 8 ist von V e g a , statt der Ziffer 7 , die nicht richtig ist , g e

setzt worden. V JC

§. 12. Substituirt man in den beiden Reihen ( § . 7.) fiir sin~, cos~ die Z a b l -

Page 226: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Dritte Vorlesung. Uber ebene

W e i l , zufolge der Formeln (C) p. 124, >*f™ . . . , A , i r ^ - T , * :^ j f , r . ,

O O . o

- n t C i i sin (30 + f) + s m ( 3 0 — j ) = 2 s w 3 0 . cosy = c o s y :

o o , o _ ' v ; , cos (30 4- j ) — cos (30 — j ) = — 2 szM 3 0 . s i n y — — s i n y ,

O O O ©

folglich sin(Z0 + j ) — c o s y — s m ( 3 0 — y ) und c o . 9 ( 3 0 + y ) = c o s ( 3 0 — j ) — s i n y ,

O

so hat man nur nötb ig , um die Sinusse und Cosinusse aller Bogen < 90 zu erhalten,

vermittelst der so eben gegebenen Reihen die Sinusse und Cosinusse aller Bogen bis O

zu 30 zu berechnen; in welchem Falle diese R e i h e n , weil x < f , immer sehr coi i -

vergent sind. Sind diese einmal berechnet, so lassen sich die übrigen Sinusse und C o

sinusse bis 45 durch eine einfache Subtraction zweier schon bekannten bestimmen. Die O

Cosinusse und Sinusse von Bogen < 45 g e b e n , wie man leicht übersieht, resp. die o O

Sinusse und Co.sinusse der Bogen > 45 und < 90.

• §. 13. Am den beiden Formeln (A) Q>. 129.) 2 . 5 7 . . a 4 6 ,

s i n s = - s — * c 4 " sc — s c 4- e t c . ; c o s s — 1 — * c 4 - s^ — sc 4~ e t c . -

lassen s i ch , weil £i^_? = l a t i s und = c o t s , t a n s und c o t s unmittelbar durch

c o s s i n s

Divis ion herleiten. Diese Division wird aber ungemein durch die Methode der unbe

stimmten Coefficienten erleichtert. Es sei nämlich

t a n s = 3 C , * + V c + V c + ®A + %A + ctc'> 3 A 6

so erhält man, weil c o s s = 1 — s c 4- s* 4 - s c + etc. , t a n s . c o s s = 2I 1 S 4~ 2I 2

— 3" 21, sl + 9I 3

-C». +

4 + 3i4

- C * 3

+ 7'S2

sJ. + 2I 5

+ 9 l \ + i4

a ,

4 - etc.

Page 227: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

W e i l nun tan s. cos s = sin s — s — s^ + s^ — s^ 4* e t c * '

so ergeben s i ch , indem man die Coefficientcn dieser beiden Reihen einander gleich

setzt , z u r B e s t i m m u n g d e r C o e f f i c i e n t e n 2I 1 , 9I 2 , 9 1 , 9* 4, etc. folgende Gleichungen:

91 = 1 ' - 1

9I2 = 3 2T1 — i = 2

9 1 S = 5 c X ^ 5 C 4 ^ r + 1 = 1 f > = 2 4

= C ^ 3 ^ 7 C 4 ^ 2 + 7 ^ 2 1 I - 1 = 2 7 2 = 2 ^ 1 7

r

215 = 9 ^ 2 I 4 — 9 ^ 2 1 , + 9 ^ 2 I 2 — 9 ^ 2 I 1 4 - 1 = 793G = 2 8 . 31 .

A u f die W e i s e erhält man durch fortgesetzte Rechnung noch • . t f

216 = 2 9 . C 9 1 ; 2 I 7 = 2 ! 2 . 1 2 7 . 4 3 : 2I = 2 " . 3 C 1 7 . 2 5 7

9I0 •= 2 l 6 . 7 3 . 4 3 8 6 7 ; 9 l I O = 2 l 7 . 3 1 . 4 1 . . l 7 4 6 l l ; 2I 1 1 = 2 1 0 . 8 9 . 6 8 3 . 77683.

§. 14. D i c Cotangcnte s läfst sich auf ähnliche W e i s e herleiten, indem man

cois = 1 — C T 1 A — C t 2 / — € 3 / — € 4 * 7 4 - etc.

setzt , und alsdann die Coefficienten von cols.sins mit denen von coss vergleicht.

Indefs lassen sich die bereits berechneten Coefficientcn für ians benutzen, um daraus

unmittelbar auf eine äufserst bequeme W e i s e die von cots zu bestimmen. W e i l

, , coss sins cos-s — sin2s 2 cos2s _ namlich cots — tans — -. = : colls,

sins coss cosssins smJ-s so ist cols — 2 cot2s — tans. A\enn nun

nVV cots = 1 — e s— g sZ — £,/ — &s — e t c . / V r . , . , < : - \ . : fj J '2 j 4

SO ist 2 cot2s = 2 . ^ — 2 * S , * - 2 4 ^ * 3 — 2 ^ / — 2 8 ^ / _ c ( c .

folglich tan s = ( 2 3 - 1) S 1 s + & — 1) 6 2 ^ + ( 2 b _ 1) s5 + ( 2

8 _ 1) / 4- elc.

Vergleicht man diesen Ausdruck für tans mit 9I 1 « 4 - 9 I 2 ^ + 2 1 , 4 4 - so

erhält man: .1 * v y . 4 4 * j 1

Page 228: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

; . M U

<9QS' €1 =

S- =

= 1. $ = 3 '

2 ' - l

2 Ö . 3 1 2 , 0 — l 33 = — ; £ =

— '

2 ° . 6 9 1 2 ° . 6 9 I . @ =

2 1 2 — 1 6 3 . 6 5 ' 7 2 ' 4 — l

2 . 1 2 7 . 4 3 2'-.l27.43 2 1

127.129 •, ete.

* §, 15. Substituirt man nun fiir s , so ist - t

tan%Z = + 7f,(S' + 9L(5' *5 + 3I4Q' -7 + , ^ 3 *v5 /*x7 c o /

2

*

2 • 2 \ 2

3y2y '4v2; 2 1 fr f * s rr- ,*st> ^ rC — ®i (9) ^ — ^(9l * J — ^3^l — e t C- Un(1

K.5

2 * *,a setzt man statt 2I1, 9l,, 9f, etc. E £ r y e t c . , und (-) ctc. die numeri-i i> 0 1? i 0 jc ^ 2t c

scben W c r t h e , so findet man dN i>

* tan JU

= I,57079 65267 9 X

4- 1 , 2 9 1 9 2 8 i g 5 o 1

4- 1 , 2 7 3 0 8 20199 4 x*>

4- 1 , 2 7 3 4 3 7 1 2 ^ 8 0 .r7

4- 1 , 2 7 3 2 6 12424 7 .rf)

4- 1 , 2 7 3 2 4 19458 7 x 1 1

ctc .

c o / — 1

= o,6366r 97720 6 — x

— 0.52359 87756 0 X

— 0,08612 85463 3 «3

— 0,02023 9 3 9 7 1 4

— 0,00499 3 8 7 1 0 8 x7

— 0,00124 46546 5 .v0

— o,ooo3i og25g 9 .r 1 1

etc.

. H .i

Diese beiden Reihen sind unter der obigen Form zur wirklichen numerischen R e -

V TT

recbnung der Tangente und Cotangente von ~ - nicht sehr brauchbar, weil die Z a h -

lcncoefficientcn sehr langsam convergircn. Betrachtet man j edoch diese Coefficienten

mit einiger Aufmerksamkeit , so bemerkt man zunächst , weil 0,63661 97723 6 = ? s

also 1,27323 95447 35 = I , dal'.s die Zahlencoefficienien von tan ^ sich der Zahl -n 1 n

immer mehr und mehr nähern. Zugleich ergiebt sich aber auch , weil allgemein

_ _2_ _ _ 1 6 _ _ JC_ _ 2 4 . 1 7 _ 26 2 * - l ~ 3 . 5 ;

L3 20 1 ~ 7 . 9 ' L * ~ 2 » _ _ i 1.r» ;

Page 229: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

2f„ und sphärische Trigonometrie .

n 2«—i 205

$ n = oder g ^ ( * ) 2 " " 1 = > f 1 a f s d i e Z a h l e n c o e f f i c i e n t e n v o n c o / " 2 ra ~~ 1 n 2 c — 2 o3w \

sich, j e gröfser wird, immer mehr und mehr den Gliedern einer abnehmenden g e o m e -

1 1 t 1 1 1 1 trischen Progression - 4- — 4- - 2 - A- -T — f - ctc. nähern. Man kann daher die ° fr 1 4 ff 4 * ' 4 *

beiden Formeln ( § . 15.) zum bequemen Gebrauche für die numerische Berechnung auf

folgende W e i s e verändern:

tan = 1,27323 95944 735 2 1 — x

+ (I-2 * + C«8( - ) - + (»3( -5) + (9l4(^-i, + OlC. co* ~ = 0,63G61 97723 6 7 5 . - — 0,31S30 9S9SG l S 3 7 . - V

2 A' . .ra

t _ F -<«,5- ;) - - «Ml>!"A> *3 ~ ^ ! - ^ ' *5 - 43 <r ) — etc.

Daraus erhält man nun:

tan = i > * 7 3 a 3 9 5 ^ 7 3 5 a j _1

Ar 0,29755 678.20 D97 x

Ar 0,018G8 8G5oa 7 7 3 x^

r * ~ ' 0 , 0 0 1 8 ^ 2 4 7 5 2 o34 x$

Ar 0,00019 75800 7 1 4 .v7 .

+ O,0O002 lG977 2^5 A7* 4" O,OOOOO 20IX a70 AT11

+ O,OOOOO 026G4 l 3 2 X^

0,00000 00295 864 .v15

4 O,OOOOO OOOD2 8G7 .V17

Ar 0,00000 oooo3 G5i #*o

Ar 0,00000 00000 4o5 x21

XTT COt ^ r -

o,636Gi 9 7 7 2 3 6758 — x

— o,3i83o 98861 838

i!.'0 * '

lA7= — o ,2o528 88894 1 4 5 X

— o,ooG55 10747 882 *3

— o,ooo34 50292 554 xS

~ 0,00002 02791 0G0 .r7

— 0,00000 ia36G 527 #9

— 0,00000 00764 9D9 xlz

~- 0,00000 00047 ^07 xr$

— 0,00000 O0002 9G9 .VT* — 0,00000 00000 i85 -v17

~ - 0,00000 OOOOO 0 1 1 .v'9

*r/f

Page 230: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

toj = o,8488a G5G3i 5G8 cot \ — 1 , 2 7 3 2 3 95447 35a

r , f < H «

a 0,14877 83g io 298 * m'"l- 0,1G976 5272G 3 i4

' 0 , 0 0 2 2 3 6 0 8 1 2 847 v.:.'"t-'<i .<o,ioa64 44447 ° 7 2 fl^v

o,oooo5 7^773 5oi 0,00081 88843 485 >

O,00000 l 5 4 3 5 943 . " * w ^ v ' . l - _ ^ " 7 ; O , O O O O I O 7 8 2 i 6/y2

0 ,00000 oo423 784 0,00000 o i584 3o5

" ' * ' * 4 * ' " - 0,00000 00011 7 1 4 * , j " 0 , 0 0 0 0 0 00024 i 5 3

0,00000 00000 3 2 5 * 0,00000 00000 374

0,00000 00000 009 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 oo4

o>99999 99999 999 0 ,273*3 r p 4 4 7 ^ 9

•. . s . . -\ ; J , O O O O O 00000 O o 3 ;

§. 16. So wie man zufolge ( § .12 . ) aus den Sinussen und Cosinussen der W i n k e l 0

< 30 die Sinusse und Cosinusse aller übrigen gröfsern W i n k e l n durch bIofse Addition

und Subtraction finden k a n n , so giebt es für die Tangenten und Cotangenten ein

ähnliches Hülfsmittel. W e i l nämlich (p. 125, §. 48.) cot 2 x = - ° t x ~ 1™X., so cr -

" f.. , . . . . . 4 f C t ? n . colW-x)-tan@lY>-x) . h a l t i n a n , 3 0 — x fur x substituirt, c o ^ ( 6 0 - 2 a ) = - - — - — und,

weil cot (60 — 2 x) = tan (30 4- 2 * ) , tan ( 30°+ 2 .r) = § cot (30 — .r) — \ tan (3()°— .r).

Die Sccanten und Cosecanten lassen sich aus den Tangenten und Cotangentcn durch

blofse Subtraction finden. Es ist nämlich . , , - v < r

cosecx + cotx = ~J H -°— = Li^C-— (p. 125 , §. 49.) = cot \ X )

sm x sin x sm x , . 0

also cosecx — cot I x — cotx, und daher sccx = oo / (45 — § # ) — tanx. . • §. 17. Nachdem wir gez*>igt haben, wie man aus einem gegebenen Winke l den

Sinus , Cos inus , die Tangente und die Cotangente desselben berechnet, bleibt uns

Um sich von der Richtigkeit der Zahlencoefficienten dieser beiden Reihen zu

. j x _ 2 x 8 . " ' ' * &

uberzeugen, setze man x = f , so wird ^ — \ x_ v 2 = u n ( 1

Page 231: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

» n

(X^rZ) Xc J1—*; i i J 1 ^ P - i * , * - i _ " 5 — Xc •f- 3 A c | 4- T X C Z . . . . 4 . Z zzz x c i

n

tanx =z g x x 4- @a 4" £ 3 x* + @4 + @5 + e t c .

n o c h ü b r i g d e n L o g a r i t h m e n d e s S i n u s u n d C o s i n u s j e d e s W i n k e l s d u r c h R e i h e n d a r

z u s t e l l e n , m i t d e r e n H ü l f e m a n d i e B e r e c h n u n g d e s s e l b e n a u f e i n e b e q u e m e A r t a n

s t e l l e n k a n n . W i r w o l l e n z u f ö r d e r s t d i e R e i h e f ü r log nat cosx e n t w i c k e l n .

W e i l ( p . 5 0 . ) ( B ) — % ( 1 - » ) = . + + ~ + ~ + c t c .

(i-

u n d cosx — 1 — x* 4~ — ^ + ' r c ~ " c t c > ' s o ü b e r s i e h t m a n l e i c h t , d a f s s i c h

— log nat cosx d u r c h e i n e R e i h e v o n d e r F o r m , ^ -

®« *c + ^ 4 + ^ 4 + ^ 4 4 + 4 ° + efc. d a r s t e l l e n l ä f s t . E s k o m m t a l s o n u r d a r a u f a n , d i e C o e f f i c i e n t e n G f 1 , S 2 , e t c .

z u b e s t i n u n e n . .«?• _^«, »?• . . ^ * . • r • ,

, « • •' ; S . ' _ : , " • »

W e i l n u n z u f o l g e d e r o b i g c n V o r a u s s e t z u n g -

- i co8{x + b = @,c* + #)c + ^c-v + #)J + e 3 ( * + Oc + e 4 ( * + ßJ + rtc.

u n d - ( / cos (x + Z) - Z cos *) = - Z £ 2 ^ + £ ) = _ t r o s x - ( c o s ^ - c o ^ x + ij) 1 C O * .v COS

/ - Z • # c o s x — 2 s m C r 4~ -) sin - si/i (x + ^)

= — _ = ~ l ( l — . C A # ) , s o e r h ä l t m a n :

COSX co* X 2 g 2 g

sin (x + / s m ( . r 4- -) \ /sin (x 4- -) - C A # 4 - * A - C h i ) 4 ~ i V —ChiJ 4 - e t c .

c o s x x c o s x ' * x c o s . r '

= *&x*&-*^ + ^ * + & - * ^ + e t c .

D i v i d i r t m a n n u n a u f b e i d e n S e i t e n d i e s e r G l e i c h u n g d u r c h Z u n d s e t z t darauf

Z = o , s o c r g i e b t s i c h , w e i l a l s d a n n

sin (x 4- h r , * C v 4- — •tc (x 4- — x i £ yjii ? , c c 3 j

- . ^ tox, — • , Xy , . r c , u n d a l l g e m e i n

COS X Z * * °

Page 232: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

WeU aber ( § .13 . ) tanx = 3I1X+ 9I2 x\ + 51, x\ 4- 9I4 x7c + etc.

so ergiebt sich = 3I1, =9fg, f3 = 2I3, S 4 = 2I4, etc. . t f : * ! ^ * w

Folglich — log nat cosx = 2^.r* + 3I3 4 + 3f3

A*c + + elc* §. 18. Aus der so eben gefundenen Reihe für Z cosx läfst sich nun leicht die

Reihe für Z sin x herleiten. Es ist nämlich sin 2x — 2 cosx sinx, und folglich 1 sin 2 .v = 12 4 - 1 cos x + Z sin x , oder 1 sin 2 x — Z sin x — 12 + Z cosx. .

Weil nun sinx — x — x^ +- .r — x7c + x^ 4~ e t c «

= *(1 — fx* + I * 4 — + -jA"c — elc.), so muhIsinx unter dcr Fonn Ix x^ — 4 ' — a53 — $4 *vc — etc.dargestelltwerdenkönnen. Daraiisfolgt 1 sin 2x — Z sinx = /2 — (2*-1) . v ' — (2 —1) g3 x\ — (2° — l) #3 ^4" etc.

A u c h ist Z2 + Z cosx = 12— 9I1 x\ — 2I2 . r 4 — 3I3 x \ ~ 9 t4 — e l c v >

und diese beiden Reihen einander gleich gesetzt, erhält man: 3I1 _ %, _ 3I3 _ 21,

5« - (2 2 -!)' ~ (24-!)' ^ ~ (F^T)' ^ ~ C 2 ^ ' etC* Es ist demnach ^ * >-

2I1 a 2I2 , 21, , 31, log nat suix — Ix — — . r c — — x* R • . v 0 — — . - • -—x° 4~ etc. (22 — l) (24 — l) c (2°—l) c (2<!—l) *

§.1'J. Substituirt man in den beiden für lcosx, lsinx gefundenen Reihen für x, so werden dieselben:

l ^ = -V=<I>! - *> **<lt - »3 *<(i>t - * . - V " C - etc

, . A , " = , " _ A . * . < r / _ _ ^ _ ^ 6 i _ ^ _ etc. 2 2 (2 ' - 1 ) •2'c (24—1) 2 'c ( 2 6 _ 1 ) V 2 " c ( ^ - I ) V 0

Diose beiden Reihen lassen sich aber, weil Z(I A.2) — A,2 _ I _ j . x6 « _.a * 10 _ etc.

•', - s . / ( 1 _ ^ = _ £ ! _ , £_4 _ , *_G _ , _ x £ ^ _ c l c . ~ y

22 * 24 3 2'' * 23 5 2lü

zur bequemen numerischen Berechnung auf folgende Weise darstellcnY* ; \ .

Page 233: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

1 coa~ = /d ~ A;2) ~ (9J(i>*- ~ 0I1(^- D*4 - Öla( -*)*8—«tc *4 2'c

4

' «•• v = 1 •+ 1 \+'«- s> - t A ^ - o - ( ( Ä ( i f ^ ) ^ - c w -Daraus ergiebt sich nun, wenn män die numerischen Werthe der Coefficienten

wirklich berechnet, indem man für 3I1, 3I2, 2I3, 2I4, etc. die (§ . 13.) gefundenen Zahlwerthe substituirt: log nat cos = 1 (1 + x) + 1 (1 — x)

— 0,23570 o55oi SGiGg 8 2 7 5 5 x2

— 0,00733 9 0 i 5 8 02096 02727 x4

— o,ooo48 23588 8 o 5 i 4 o4o63 x 6

— o,oooo3 87947 56324 02982 x8

— 0,00000 34o8a 72608 g 6 5 i o x 1 *

— 0,00000 o 3 i 4 3 08097 i865g x12

— 0,00000 00298 g i 5 o a 7445o x1*

— 0,00000 00029 o4644 6 7 2 3 9 xlG

' — 0,00000 00002 86826 3 g 5 i 8 X 1 O

— 0,00000 00000 28680 76974 x20

— 0,00000 00000 02896 97956 x 2 2

— 0,00000 00000 00295 06024 X 2 *

— 0,00000 00000 ooo3o 26249 ^ 2 0

— 0,00000 00000 oooo3 i 2 i 3 a x28

— 0,00000 00000 00000 ^ 2 3 7 9 x3°

0,00000 00000 00000 o 3 3 7 3 x 3 2

0,00000 00000 00000 oo352 x

— 0,00000 00000 00000 00037 x38

— 0,00000 00000 00000 oooo4

log nat sin -* = / x + 1(2 + x) + 1(2 — jr) 0,93471 i6558 3o435 7 5 4 i o

o , i 6 i 2 3 3 5 i 6 7 i 2 o 5 6 6 0 9 1 1 x2

0,00257 26010 5 3 4 7 3 o6848 x4 0,00009 o3284 4 7 8 3 5 67260 X ^

0,00000 5 9 8 1 7 g 5 i 6 a o 5 5 o i

0,00000 0 1 9 4 2 52954 6 5 1 9 6 xi°

0,00000 00100 1 3 2 8 7 4 8 8 1 2 x*2

0,00000 oooo5 34o4i 356 i8 x*4 0,00000 00000

2 9 1 4 8 5 9 6 5 8 x 0,00000 00000 0 1 6 1 7 97979 *'8

0,00000 00000 00090 97690 x20

0,00000 00000 oooo5 16827 x 2 2

0,00000 00000 00000 29607 x24

0,00000 00000 00000 0 1 7 0 8 x25

0,00000 00000 00000 00099 x 7 ? '

0,00000 00000 00000 oooo5 x30

Page 234: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

10,00000 ooooo 00000 + 9,$94o5 98857 0 2 1 9 0

— 0 , 1 0 1 4 9 485g3 4 1 8 9 2 x 2 — 0 ^ 7 0 0 2 28266 059O1 x 2

— o ,oo3 i8 72940 6545i 0,0011 1 72664 4i6Gi X 4

— O,00020 9 4 8 5 8 00017 X 6 o,oooo3 92291 46453 X G

— o ,oooo i 68483 4 8 5 9 7 X» — O,00000 1 7 2 9 2 70798

— 0,00000 i 4 8 o i 9a986 x i o 0,00000 00843 62986 ^io

— o ,ooooo o i365 0 2 2 7 2 X 1 2 — 0,00000 ooo43 4 8 7 1 5 X 1 2

— o ,ooooo 00129 8 i 7 i 5 X '4 — 0,00000 00002 3 j 9 3 1 X'4

— 0,00000 00012 6 1 4 7 1 X 1 0 o , coooo 00000 1 2 6 5 9

— o ,ooooo 00001 24567 X'3 0,00000 00000 00702 x iR

— O,00000 00000 ia456 ^ 2 0 0,00000 00000 00039 X 2 0

— o ,ooooo 00000 o i 2 5 8 X 2 2

— o ,ooooo 00000 00128 X 2 *

— 0,00000 00000 o o o i 3 X=6

§. 21. Um von den in den vorigen §. §. mitgetbeilten Reiben ür die Rerec

nung der Sinusse , Cos inusse , Tangenten etc. und ihrer Logarithmen Gebrauch zu

m a c h e n , ist noch einiges zu bemerken. In den Ausdrücken sin^-, cos~, e t c - he -2 2

deutet x die Verhältnifszahl des Rogens zum Quadranten oder des Winke l s zum

rechten W i n k e l . Man bestimmt die Gröfse eines Rogens oder Winke l s durch Grade,

Minuten, Secünden, T e r t i e n , etc. Nach der alten und gewöhnlichen Einthcilung des

§. 20. Um aus den natürlicben Logarithmen der Cosinusse und Sinusse die g e

meinen briggischen zu erhalten, mufs man dieselben, wie (p. 49.) gezeigt worden,

durch den Modulus j t f = 0,43429 44S19 03251 82765 11289 multipliciren, und weil

die Logarithmen der Sinusse und Cosinusse in den Tafeln um sie positiv zu machen

um 10 zu grofs angenommen s ind, noch 10 dazu addiren.

Diesemnach erhält man :

X I JC log brigg cos = Zo^(I—x)^-logQi + x ) log brigg sin -=r — log x + Iog(2—x) + log(2+x)

Page 235: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

K r e i s e s , deren wir uns auch hicr noch bed ienen , ist ein Grad dcr 60ste Thei l eine?

rechten W i n k e l s , die Minute der COste Thei l eines Grades , die Secunde der GOsie

TheiI einer Minute, etc. D i e Grade, Minuten, Sccundcn etc. werden rcspective durch o ,

die Zeichen ° , <, » , etc. angedeutet. So bedeutet z. B. der Ausdruck 19 1 1 1 3 e i

nen Bogen oder W i n k e l von 19 Graden 1 1 Minuten 1 3 Sccunden. Einen solchen

Bogen verwandelt m a n , den Quadranten zur Einheit genommen , folgendermafsen in einen Decimalbruch: Es ist 1 9 ° l l ' l 3 " = 1 9 1 1^2166 = 19°,186944 = 0 , 2 1 3 1 9 8 2 7 . . .

O

Diese Zahl ist die respective Verhältnifszahl des Winke l s oder Bogens von 1 9 1 1 13

zum rechten W i n k e l oder Quadranten.

W e i l nach der neuern Decimalclntheilung der vierte Theil des Kre isumfangs , in

100 G r a d e , der Grad in 100 M i n u t e n , die Minute in 100 S e c u n d e n , etc. getheilt O , „

w i r d , so Übersicht man l e i ch t , dafs 1 9 1 1 1 3 nach der ältern Eintheilung, oder o , „ , „

0 , 2 1 3 1 8 8 2 7 des Quadranten — 2 1 3 1 SS 37 neuerer Eintheilung sind. Das eben

angeführte Beispiel wird hinlänglich sein zu ze igen , wie man einen Bogen nach der

alten Eintheilung ausgedrückt, nach der Decimalcintheilung darstellen mufs. Umgekehrt läfst sich der Ausdruck eines Bogens nach der Dccimaleintheilung in

den ältern gewöhnlichen verwandeln. Ist nämlich der Bogen 2 1 3 1 8 S 2 8 n a c b der

Dccimaleintheilung geschr ieben, so ergiebt sich unmittelbar, dafs derselbe 0 , 2 1 3 1 8 8 2 7

des Kreisquadrantcn = 0 ,21318S27X9O Grade = 19°1869443 = 1 9 ° + 0 , 1 8 G 9 4 4 3 X 6 0 M i n .

= 19° 1 1 , 2 1 6 6 5 8 = 19° 1 1 + 0,216658 X 60 Secunden = 1 9 1 1 12,999.

§. 22 . Aus den ( p . l l 7 . ) gegebenenDef init ionen der tr igonometrischenGröfsen er

geben sich unmittelbar folgende zur Berechnung des rechtw. Dre iecks nützliche Sätze.

I. D i e C a t h c t e e i n e s r c c h t w i n k 1 i c h t e n D r e i e c k s i m V e r h ä 11 n i s s e

z u r H y p o t e n u s e , i s t g l e i c h d e m S i n u s d e s d e r C a t h e t e g e g e n ü b e r s t e

h e n d e n o d e r d e m C o s i n u s d e s a n l i e g e n d e n s p i t z e n W i n k e l s .

II. D i e C a t h e t e e i n e s r e c h t w i n k l i c h t e n D r e i r e k s im V e r h ä l t n i s s e

Page 236: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Trigonometrische zur Auflösung der ebenen Dreiecke nütz-

1 i c h e F 0 r m e 1 n.

§, 23. L e h r s a t z . W e n n r den Halbmesser des um d a s D r e i e c k ABC beschrie

benen Kreises bedeutet, und die Seiten BC, CA, AB respective durch a , b, c b e -

' zeichnet w e r d e n , so ist a = 2 r sinA, b = 2 r sinB, c — 2r sinC.

z u r a n d e r n C a t b e t e i s t d i e T a n g e n t e d c s d e r c r s t e r n C a t h e t e g e g e n-

ü b e r l i e g e n d e n o d e r d i e C o t a n g e n t e d e s i h r a n l i e g e n d e n W i n k e l s .

TI1. D i c H y p o t e n u s e i m V e r h ä l t n i s s e z u e i n e r C a t h c t e i s t d i e S e -

c a n t e d e s an d e r C a t h e t e a n l i e g e n d e n o d e r d i e C o s c c a n t e d e s e n t g e

g e n g e s e t z t e n W i n k e l s .

Daraus ergeben sich wieder folgende beiden Sätze : *

I V . D i e C a t h e t e e i n e s r e c h t w i n k l i c h t e n D r e i e c k s i s t g l e i c h d c r

H y p o t e n u s e d e s s e l b e n m u l t i p l i c i r t m i t d e m S i n u s d e s g e g e n ü b e r s t e h e n

d e n o d e r m i t d e m C o s i n u s d e s a n l i e g e n d e n W i n k e l s , o d e r a u c h g l e i c h

d e r a n d e r n C a t h e t e m u 11 i p 1 i c i r t m i t d e r T a n g e n t e d e s d e r e r s t e n g e-

g e n ü b e r l i e g c n d e n oder m i t d e r C o t a n g e n t e d e s d e r e r s t e n a n l i e g e n

d e n W i n k e l s .

V . D i e H y p o t e n u s e e i n e s r e c h t w i n k l i c h t e n D r e i e c k s i s t g l e i c h d e r

e i n e n C a t h e t e m u l t i p l i c i r t m i t d e r S e c a i i t e d e s a n l i e g e n d e n o d e r m i t

d e r C o s e c a n t e d e s g e g e n ü b e r s t e h e n d e n W i n k e 1 s.

Diesemnach ist , wenn man die Hypotenuse des in C rechtwinklichten Dreiecks

ABC durch c , die Cathete BC durch a und AC durch 6 bezeichnet

sinA = cosA — - , tanA — cotA = - , secA = %, cosecA — c c b a b a

Daher auch : a — c sinA — c cosB ~ b tanA — b cotB;

b = c sin B = c cos A = a tan B — a cot A; c = b sec A — a cosec A.

Page 237: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

B e w e i s . E s s e i O d e r M i t t e l p u n c t d e s u m ABC h e s c h r i e b e n e n K r e i s e s , s o i s t ,

w i e m a n l e i c h t ü b e r s i e h t , W i n k e l BOC = 2 A , COA — 2 B , AOB = 2C. F ä l l t

m a n n u n v o n O a u f d i e S e i t e n BC, CA, AB d i e r e s p e c t i v e n s e n k r e c h t e n L i n i e n

OD, OE, OF, s o w e r d e n d u r c h d i e s e l b e n s o w o h l d i e W i n k e l BOC, COA, AOB,

a l s a u c h d i e c o r r e s p o n d i r e n d e n S e i t e n d e s D r e i e c k s a, b, c h a l b i r t , u n d e s i s t

( § . 2 2 . ) | a — r sitiA, b = r sinB, ^ c — r sinC, th'vt

u n d f o l g l i c h a — 2r sitiA, b — 2r siiiB, c — 2 r slriC.

A u s d i e s e m S a t z e f o l g t z u g l e i c h , d a f s d i e S e i l e n j e d e s g e g e b e n e n D r e i

e c k s d c n S i n u s s e n d e r g c g e n ü b e r l i e g e n e n S e i t e n p r o p o r t i o n a l s i n d .

§ . 2 4 . L e h r s a t z . W e n n £ d e n H a l b m e s s e r d e s in d e m D r e i e c k ABC e i n g e

s c h r i e b e n e n K r e i s e s b e d e u t e t , u n d d i e d e n W i n k e l n A , B, C g e g e n ü b e r l i e g e n d e n

S e i t e n d u r c h a, b, c, u n d i h r c S u m m e d u r c h s b e z e i c h n e t w e r d e n , s o i s t

tan l A = ;—- , tan \B — ~ f — T , tan - -—£ . 2 -| s — a * § s — u - | ,9 — c

B e w e i s . B e z e i c h n e t m a n d e n M i t t e l p u n c t d e s in d e m D r e i e c k e ABC e i n g e s c h r i e b e

n e n K r e i s e s d u r c h 0, u n d d i e r e s p . B e r ü h r u n g s p u n c t e d e s s e l b e n m i t d e n S e i t e n BC, CA, AB

d e s D r e i e c k s d u r c h D, E, F, s o w e r d e n , w i e m a n l e i c h t ü b e r s i e h t , d i e W i n k e l A, B, C d u r c h

d i e L i n i e n OA, OB, OC h a l b i r t , u n d e s w i r d AE = AT, BF = B D , CD = CE.

B e z e i c h n e n w i r n u n A E , BF, CD r e s p e c t i v e d u r c h x, y , s, s o i s t y + z = rt)

CL ' 1 ' b -•I - £

z + x = b, x 4- y = c , a l s o x + y + z — — - 2 — — — i **» u " d f o l g l i c h

x = i s — a, y = § . 9 — b, z — ±s — c. E s i s t a b e r d a s D r e i e c k OAE, e i n i n

E r e c h t w i n k l i c h t e s D r e i e c k u n d d e r W i n k e l OAE d f e H ä l f t e d e s W i n k e l s CAB o d e r OE p-

= | A 3 d e m n a c h = tan \ A o d e r --= tan \ A . E b e n s o e r h ä l t m a n * jrLJtL ~£ S — a

_ ^ _ = tan \ B , T 7 ^ 7 = tan I C o d e r a u c h I i Z ^ = c o t

\ s — b a * c f

I s— b „ 7 « — C _ *xn - = cot i B , - = cot \ C.

f f

Page 238: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

§. 25. W e i l col \C = tan l{A + B) = ( P . 1 2 4 O ( » ) ™* ^ A c t t ^ B ^

so erhält man co / i ^ + co£ § B + cot f C = cot | . cot § 2? . co* | C. Nun ist i g

aber zufolge des vorigen §. cot f ^ + - coZ j 5 + co£ j[ C = - . u n d coZ § ^ co£ § 7? X s

(X.g^.a)(±s b}(—s~—c} • " ^ . i < ^ < - ^ . > , r f . ^ f - . y \ r

col1 C = — — 5 — - — Diese beiden Ausdrücke einander gleich gesetzt, * r

alsdann die Gleichung mit ^ multiplicirt, und dann mit f s dividirt , ergiebt sich

2 = — M - * - & ) C f ^ - c ) d _ y ^ « — riKf« — 6) ( f j - c ) f f * * ' § *

§. 2G. Durch die Linien 0A, OB, OC wird das Dreieck ABC in drei Dreiecke

gethei lt , welche dieselbe Höhe = g haben und deren drei Grundlinien a, b, c sind.

Daraus ergiebt s i ch , dafs der Flächeninhalt des Dre iecks ABC = \ ? a + \ g b

+ v g c = f * • g

x V(~s~ä)($s—b)(is — c) Z1 ^ 5 — j

= l s . l ± x . - = Y\s- {\s~a)(\s—h)(\s — c)% O "

ein schon im l5ten Jahrhundert bekannter geometrischer und zur Berechnung des

Flächeninhalts eines Dre iecks sehr brauchbarer Satz .

§. 27. W e i l die UöheAD des Dreiecks ABC, wenn BCzxir Basis genommen

wird, d iegemeinschaft l icheCathete der beiden rechtwinklichten D r e i e c k e ^ / ß Z ) , ACD,

so ist dieselbe (§ .22 . ) sowohl AB.sinB als auch AC.sinC o(]crz=csinBz=bsinC.

Bezeichnet man also den Flächeninhalt des Dreiecks durch S, so hat man S==j;acsin B

zzz \ ab sin C. Auf gleiche W e i s e würde man auch 5 — f bc sin A gefunden haben. 2 S 2 S 9 S *" "™* *

Daraus ergiebt sich zugleich sinA — —, sinB = —, sinC = ~7-, ° oc ca ab

yyO S = . Ci S — a) US — b) Ci S — C). §• 28. Zugleich erhält man auch , weil a = 2 r sinA, b=-2r sinB, c~2r sinC,

AVO r den Halbmesser des um ABC umschriebenen Kreises bedeutet , r =

Eben so ergiebt sich der Badius dcs eingeschriebenen Kreises

_ K < i * - < 0 ( S * - & ) ( i * - c > S

Page 239: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

7. •><^'.>

c

• r ^ • » 7 5 — 2 S C V * ( i 5 « ) * ° ) * S C . , „

sm %A.sin l B = $ f ^ ^ f = . = * .s1/1 f C c ab 0

•• - • 1 , / • 1 R — — a Y\ s. (i s — c) _ j s — a 1 r-

cos \A.sui jtf — — - — 1 — — cos

' T A rJ> - f * - & K " I * . ( f * - 0 _ f 8 - b x

sm f ^/. cos I B = - — ^ — r — — c • C O Ä a

D a r a u s

C O S \A COS I ö — sin 'i . szVz X

3 Ä = C O S l(A + B ) = s m f C

COS ^ A • COS I 2 B + sin 1

2" A . sin B = C O S l(A - B ) = a + 0 . -—-— sin

c 7 2"

sin \A. COS I 2 B + sin 1

2" A . sm i ß - s//i i ( ^ + ) - COS 2 ^

sin i A . COS i B ~ COS x a A . sin X

a B = sin ) = cos C

T C

^ . _ abc , n j , p _ 4 & _ 4 ( f s - a ) ( f s — o)(i « _ c ) n n h e r r , - 2 7 ° d e r 2 s r ? = ahc> U n < i r i 7 ^ b c ~aJc~ = ^

9 S S §. 29. A u s sinA = f o l g t ( p . 1 2 5 . § . 4 7 . ) cos \A sin\ A = u n d w e i l

/ < 7 « = i—- = = - T r , s o e r h ä l t m a n : cos %A sin \A.tcin \ A = f s — « a s . ^ « ;

. , x ^ 5 2 ( i s - o ) ( f s - c ) , • x . V(± s — A) r i s — r) sm 2 ~ ^ = i T r T 7 - = — J " S O S Z / Z f = r ^ a * . ( f s — a) bc bc bc

T ^ i T i • T ^ , 1 A S |s — a ^s . (| ,v— a) T . . E b e n s o cos lA.sin lA.col \A = 7 — . - = 2 5 . D a h e r

* O C j> UC

cos I sm f ^ . eo/ I A — cos" \ A = - ^ ^ j J ~ u n < * C 0 * a ^ = ^ ^ * ~ ~ ^ ~ *

§ . 3 0 . A u s d e r g e g e n s e i t i g e n V e r b i n d u n g d e r G l e i c h u n g e n -t* '

.' e „ M = rij&>>_=<» s i n l A = y - q * - t ) ( i * - o " » ( « „ , ; , •

bc bc

C M p = r ü ä * = » ^ . i f l = r * ' - ^ q ' - " >

crt crt i r _ n s . ( f s - c ) i r _

cos -| C — I — *m i — f

e r g e b e n s i c h m e h r e r e b r a u c h b a r e F o r m e l n . S o e r h ä l t m a n :

0

1 A 1 7 ? - l 8 K C j * - < 0 — _ • , C O S 5 C O S § ^ — f , — — . SlTl ^ z A e ab c

Page 240: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

H n

*{A-J3) + B + \ C ~ ftA + B+C) = 9 0 , tan(B + i O = ' - | J t ' . ' - - •( ~ - fe " ~ ~ 6

3 2 , Vermittelst der Formeln (§. 3 0 . ) hat man auch

* n x „ - r ( j * ) ' - ( t * - " ) ( ^ - f t K i * - ^ - I S _ \ s cos * ^ c O Ä | c ü t S £ C — F . , . n ••i • h s — f - . 1 - * 0 ' c 2 4 r

Ziigleieh ist aber auch (p. 1 2 4 . § . 4 4 . ) und weil cos \ C = s / « $(A + B),

4 c o 5 £ y / ro.9 | 7 ? cos IC = 2 [ c o 5 \(A—B) + t : o « | (y7 + y 7 ) i cos £ T

= 2 cos i (A-B) sin \ (A + 7?) + 2 « ' « C ros \ C = sin A + S + C.

x 9

Demnach * m y / + sinB + sinC — i f , was auch unmittelbar ans (§ . 2 2 . ) folgt,

wc-U « = 2r sinA, b = 2 r c = 2 r räC also s = 2r(sinA4rsinB + sinC).

§ . 3 3 . Aus den Formeln ( § . 3 0 . ) ergiebt sich auch sin % A sin J B sin f C x r — ( | s - " ) ( i * - f t ) ( j * - c ) #

; r 4 r

Es ist aber (p. 1 2 4 . § . 4 4 . ) 2 MVz f y / *m iB = cos — # ) — ™* i ( ^ + y 3 ) ,

folglich 4 sin ^A sin \B s/n J - C — 2 co« ^ ( ^ — B) cos i(A+B) — 2 sin2 C =

cosA Ar cosB A~ cosC — 1.

Die erste und dritte dieser 4 Gleichungen enthalten nichts Neues. D i e zweite

und vierte aber können mit Nutzen zur Auflösung ebener Dre iecke gebraucht werden. •~z v 2 a 6

§ . 3 1 . Aus den beiden Gleichungen cos \(A— B) = sin-C, sin%(A—B)

a ~~ cos \C, erhält man durch Division col *(A-B) ~ a ^ tan iC, oder c * ~ a — b a

auch lan \(A—B) = ? c o / \C, und weil c o / \ C~ tan \(A^B), so be-£Z . 0

kömmt man den bekannten Satz * a n ; — ^ 0 ( i e r di< 1 T a n g e n t e d e r

^ c m \(A— ri) a — o

h a l b e n S u m m e z w e i e r W i n k e l e i n e s e b e n e n D r e i e c k s v e r h ä l t s i e h z u r

T a n g e n t e d e s h a l l ) e n U n t e r s c h i e d e s d e r s e l b e n , w i e d i e S u m m e d e r g e

g e n ü b e r l i e g e n d e n S e i t e n z u i h r e n U n t e r s c h i e d e . Aus der Gleichung cot \(A—B) = ^ i a n ^ 0 ^ 4 ^uch, weil

Page 241: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Nun übersieht man aber le icht , d a f s , wenn O d e r MitteIpunct des um das Dre i

eck ABC umschriebenen K r e i s e s , dessen Halbmesser = /*, die von O auf die Seiten

BC, CA, AB gezogenen Perpendikel OD, OE, OF respective den Gröfsen r cosA,

r cos B, r cosC gleich sein müssen. W e i l also

4 sin ±A sin f Z ? siti | C = ~ = cosA + cosB + cos C — 1, so erhält man

§ 4 * 'f — r cos A + r cos B 4 " r cos C O d e r i n j e d e m e b e n e n D r e i e c k e i s t

d i e S u m m e d e r d r e i a u s d e m M i 11 e 1 p u n c t e d e s u m s c h r i e b e n e n K r e i s e s

a u f d i e S e i t e n d e s D r e i e c k s g e z o g e n e n s e n k r e c h t e n L i n i e n g 1 e i c h d e r

5 u m m e d e r b e i d e n H a 1 b m e s s e r d e s u m s c b r i e b e n e n u n d d e s e i n g e s c h r i e-

b e n e n K r e i s e s .

§. 36. W e i l , wenn A, B, C die W i n k e l eines ebenen Dreiecks bedeuten,

sinA = sin(B^rC), so hat man sinA = sinB.cosC-^sinC.cosB. Diese

Gleichung mit dem Durchmesser 2 r des umschriebenen Kreises multiplicirt, weil

a — 2 r sinA, b = 2 r sinB, c = 2 r sinC, ergiebt sich a = b cos C 4 - c cosJ],

Eben so erhält man b = c cosA + a cosC, c = a cosB 4 ~ b cosA. E s i s t a l -

s o j e d e S e i t e e i n e s e b e n e n D r e i e c k s g l e i c h d e r S u m m e d e r b e i d e n a n

d e r n S e i t e n , j e < l e m u l t i p l i c i r t m i t d e m C o s i n u s d c s W i n k e l s , d e n s i c

in i t j e n e r m a c h t .

§. 37. Multiplicirt man die drei so e b e n g e f u n d e n o n C l e i c h u n g e n r e s p . n u t < 2 , b,c,

§. 34. Aus tan 1 A = — , tan \ B = , tan 4 C = i 5 — a I s — u

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A ufl Ö s u n g cl e r r e c Ii t w i n h 1 i c U i e n Z) r e i e c 1 e.

§. 38. A u s den b e i d e n C a t h e t e n a, b, d i c H y p o t e n u s e c und die be i

den s p i t z e n W i n k e l n A , B zu f i n d e n . a ° b Es ist tanA = r , B = 90 — A oder auch tanB ~ - . Ist der Winkel A o a

bekannt, so findet man daraus* die Hypotenuse c — a cosecA = • . a • Man kann ' J l sinA

aber auch dic Hypotenuse unmittelbar durch die Gleichung c — Y~a2 + b2 finden, al

lein dieser Ausdruck, weil er sich nicht in Factoren zerlegen läfst, ist zur Berech

nung mit Logarithmen nicht bequem.

§. 39. A u s d e r II y p o t e n u s e c u n d d e r e i n e n C a t h e t e a, d i e a n d e r e

C a t h e t e b und d i c W i n k e l A , B zu f i n d e n .

Weil b2 = c2 — a2 = (c + a)(c — a ) , so erhält man log b = -| log (c -j- a)

+ i l°g C<; — a).

Die beiden Winkel A1 B ergeben sich durch die Formeln sinA = cosB — *?.

ct i . 1—cos B DifFerirt - senr wenig von der Einheit, so bediene man sich, weil ^ = « « a | # ,

? - c w J > = tarf\B, der Formeln sinlB = tan$ B = T ^ = A 14- cos B ~ 2 c c A- a

so erhält man a = ab cosC'Ar ac cos B; daraus a2 = h2 Ar c2 — 2 bc cos A

b* = bc cos A Ar- ba cos C; b2 = c' Ar ci7, — 2 ac cos B

c2 = ca cosB Ar cb cosA; c2 — a2 Ar b% — 2 ab cos C

E s i s t a l s o das Q u a d r a t j e d e r S e i t e e i n e s e b e n e n D r e i e c k s g l e i c h der

Summe der Q u a d r a t e der b e i d e n a n d e r n S e i t e n w e n i g e r dem doppe l

ten R e c h t e c k e aus d e n s e l b e n m u l t i p l i c i r t mit dem C o s i n u s des e i n g e

s c h l o s s e n e n W i n k e l s .

Page 243: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

A a f 1 u s u n g d e r e b e n e n D r e i e c L e i m A11 g e m e i n e n.

§. 42. A u s d e n d r e i S e i t e n a, b, c e i n e s s c h i e f w i n k l i c h t e n D r e i e c k s

e i n e n W i n k e l A9 B, C z u f i n d e n . .

I. Aus (§ . 37.) ergiebt s i ch :

7 > 3 J _ c 2 _ ß 2 <.2_4 _62 a 2 _ ^ £ 3 _ _ c 2

- cos A - ' C O S B = 2 ~a ' C O S ° = 2 ^ 6 —

ii.

,„. ^ = f h ^ 3 ^ , c o s | B = r ^ 3 ^ - i C = r U ^ = i L >

IV. ianl-A= —e—, tan \ B — i a n i C ~ i J__^ W 0 9 der l la lbmes-S a jjr tS — O I <> C

des in dem Dre iecke eingeschriebenen Kreises = °) (ar * c \ 2 S . „ _ 2 S . n _ 2 S -.—, sinB — •—5 sinC — —T bc ca ab

ecks ABC = yfs^.(^ s — a) (|s — b) ( f s — c) ist.

ser - ~ , * „ 2

2 S 2 S 2 S V . sinA = r~> — M « C = - r , w o 5 der Flächeninhalt des D r e i -

§. 40. Aus der einen Catlicte a und einem der beiden Winkel A, B ?

die andere Cathcte und die Hypotenuse c zu berechnen. Ist der eine von beiden Winkeln A, B gegeben, so ist anch der andere bekannt.

Man hat also b — a taiiB oder b = a cotA. Die Hypotenuse aber wird gefunden durch die Formel c ~ a.cosecA ~ oder auch c — a.secB = —

sin A cos Ji

§. 41. I) i e ITy p o l e n u s e c u n d e i n e r d e r b e i d e n W i n k e 1 A, B s i n d g e-geben; man soll eine der Catheten bestimmen.

Die Auflösung dieser Aufgaben ist in den Formeln a — c sin A = c cos B, ,b — c sin B = c cos A enthalten.

Page 244: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

c = b cosA + Y&cos'A — 6 a 4 - a 2 = b cosA + Y"d2 — b2siri*A* Allein dieser

W e r t h läfst sich nur , durch Logar i thmen, vermittelst eines Hülfswinkels B odcr B'

berechnen , dafs also diese Auflösung in dcr bereits gegebenen enthalten ist.

§. 44. A u s z w e i S e i t e n e i n e s D r e i e c k s « , b, u n d d e m c i n g c s c h l o s s e -

n c n W i n k c 1 B, d i e b e i d e n a n d e rn W i n k c I u n d d i e d r i 11 e S e i t e z u fi n d e n.

Vermittelst der Formel ( § . 31.) findet man tan i(A—B) = cotlB. W i r v a +- b

nehmen hier a > 5, und folglich A > B an. Man hat demnach, weil £ B uncl also

auch *(^4_7?) gegeben ist , die halbe Summe und den halben Unterschied der bei

den Winke l A, B, und daraus die W i n k e l selbst. Sind die W i n k e l A, B bekannt , so erhält man c = f L J ^ i ^ 0<Ter = •• V'\(J.

sm A stn B Es läfst sich übrigens die Seite c aus a, b, und C auch unmittelbar, vermittelst

der beiden Formeln (§ . 31.) tan(B + *C7> = < L + _ * t a i l * C , c = & L ± J 9 ™n j£ a — b * sm(B + *-f)

§. 43. AuS z w e i S e i t e n a, b u n d e i n e m d e r e i n e n S e i t e g e g e n ü b e r

l i e g e n d e n W i n k e l A, d i e b e i d e n a n d e r n W i n k e l B, C, u n d d i e d r i t t e

S e i t e c z u f in d e n .

Vermittelst der Proportion a : b — sin A : sin B findet man zunächst don W i n

kel B, dessen Sinus = ^_f^Lf^, Dieser Sinus kann sowohl einem spitzen W i n k e l B

als einem stumpfen B', dem Supplemente von B, angehören. D o c h kann diese Z w e i

deutigkeit nur dann statt f inden, wenn A ein spitzer W i n k e l , und b > a ist. Ist A

ein stumpfer W i n k e l , so kann B nur einen W e r t h haben ; was auch der Fall ist,

wenn A ein spitzer W i n k e l aber b < a ist .

Hat man den W i n k e l B gefunden, so ist auch C ' b e k a n n t , und man erhält die

Seite c = <~~^~~^' Man könnte dieselbe auch unmittelbar vermittelst der Gleichung

a = b2 + e? — 2bc cosA herleilen. Betrachtet man sie nämlich als die W u r z e l

der quadratischen Gleichung c' — 2 b cosA.c f - b2 — a? ~ o , so erhält man

Page 245: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Man hat demnach b — sin A ' sin A

B e i s p i e 1 e z u r B e r e c Ii n u n g e b e n e r T) r e i e c I- e.

§. 46. E x e m p e l I. Fiir eine gegebene H ö h e , von welcher man den Horizont

des Meeres übersehen k a n n , den Depressionswinkel zu finden, den die Gesichtslinie

nach einem Puncte des Horizonts mit dem wahren Horizonte macht.

D i e Erde wird bier als eine Kugel betrachtet. Es sei der Halbmesser derselben

zzzz r , die H ö h e über der Meeresflache = /1. Da die drei Puncte der MitteIpivnct der

Erde A, das Auge des Beobachters B, der beobachtete I'unct des Horizonts C, ern

rechtwinklichtes Dre ieck bilden, und der gesuchte Depressionswinkel , den die Gesichts

linie BC mit dcm wahren Horizonte oder einer auf der VerticaIlinie BA senkrechten

Linie macht , das Complement von CBA also dem W i n k e l BCA gleich ist, so hat

man nur die Aufgabe aufzulösen: Aus der Hypotenuse AB — /' + h c i n c s recht-

sehr bequem herleiten. D e r Ausdruck fiir c ergiebt sich nämlich aus der Gleichung

( § . 30.) cos | (A-B) - ^^.sin § C, weilZ(A-B) + B + \C=\(A + B + C) = 90°

und folglich cos 1 (A-B) = sin (B + \ C).

Setzt man - — tan<p. so ist tani(A— B) — —7 cot %C = j — j — r r ~ ^ c o / f 6 T

a ' a 4~ ü 1 ~r tan<p

- iar? 4''0 —/an<P c o t *c = tan(d-$).cot lC. Diese Formel kann mit N n -1 4 " tara 4 a 0

tzen gebraucht w e r d e n , wenn statt der Seiten a, b die Logarithmen derselben gege

ben sind.

§. 45. A u s e i n e r S e i t e a u n d zAvei W i n k e l n , d i e b e i d e n a n d e r n S e i

t e n b, c z u f i n d e n .

W e n n zwei W i n k e l eines Dreiecks gegeben s ind, so ist auch der dritte bekannt.

a sin 7? a sin C .. ' '-

Page 246: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

winklichten Dreiecks und der einen Cathete AC = r den anliegenden W i n k e l CAB b r zu finden. N u n i s t ( § . 2 2 . ) co$A-- = —.—- D a aberVj im Verhältnisse zu r im-x c r Ar h

mcr sehr klein i s t , also cosA sehr wenig von 1 abweicht , so ist die obige Formel

zur Berechnung nicht brauchbar. Es ist aber 1 — cos A = 2 sin2 | A = — r 4 ~

. T A — K ^ 1 1 ^ 0 ' 9 ^ o T ^ Zi , r A

also . v z / z ^ - f 2 , 7 + 7 T ) 5 e b e n S ° = = 2 7 + Ä u n d t a n * A

— — - — r . Beide Formeln können mit Nutzen gebraucht werden. Es sci Ii =. 2 0 / 2 r + A 5

Metres . W e i l der E r d q u a d r a n t = 1 0 0 0 0 0 0 0 M e t r e s , so ist r — 2 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) — f,3G0198.

A lso tarc £ A = 20

1 2 7 3 2 4 1 G '

Nun ist Z 2 0 = 1 , 3 0 1 0 3 0 0

1 1 2 7 3 2 4 1 6 = ' 7 , 1 0 4 9 1 0 8

Rest 14,1961192 — 20

' halbirt 7,09S0596 = log tan 4' 18", 5 also A — S', 37".

Substituirt man in der Formel Arc. tan.6 — 6 — A- — — e t c . . V ^ fiir a 3 ^ 5 ' / 2 r + Ii '

und vernachlässigt wegen der Kleinheit alle höhern Potenzen von 6 als die dritte,

SO JSt

Ar,. iA=r*rh><i - * 2 7 T 7 , ) = V ^ r 2 V 1 + £ r * a - f ^ ) , W

und man erhält, wenn Arc. %A = \ — , x = W , 1 K" *

2 r- • „ / 40000000^ 1 ^ »«MMKiOOb 7 0

— JC1L K i5 n _^A__> n f 1 7 1 0 0 0 0 ' ' «- C 6 . 4 0 0 0 0 0 0 0 * J J a r a i l s l o J S t ; = ± hg h + 0,5524550 —

4 + Z j 5 - ( I — 0,0000000654498 / / ) .

Es ist abc* iog vulg. ( 1 _ m) = _ + g + £ + etc)) wenn

die erste Potenz von . beibehält, l o g ^ . ( l - w ) = _ ^ / w = = _ 0 , 4 3 4 2 9 w . Demnach

hg X = J Z 0 ö - Ä + 0,5524550 - 4 - 0,00000002840 /1. Es sei u i c vorhin h = 20

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D i e L i n i e AB selbst = y(r + h) — r = y ^ ( 2 r + A ) 7 i findet man 15957,7, wie

sich voraussetzen l ie fs , ohne merklichen Unterschied von dem dazu gehörigen Bogen.

§. 47. E x e m p e l II. Es sei AC eine Entfernung von 79,60 F u f s , BC eine an

dere Entfernung von 843,06 Fufs, und der W i n k e l ACB = 143° 3 6 ' ; man soll daraus

die Entfernung BC bestimmen.

Die Aufftosung, dieser Aufgabe ist in den b e i d e n F o r m e l n (§ . 3 1 , 45.) enthalten.

a — 843,06 k>g(a + b) = 2,9650417 / ( a + o) = 2,9650417

b = 79,60 logcomp.(a-b) = 7,1172137 / « / « * C = 9,9777108

C zz= 143°36 ' Z tan iC ~ 10,4830903 comp.l s m ( B + ^ C ) = 0,0155048

a + b = 922,66 Z tan(B + i.C) = 10,5653457 2^9582573

a — b = 763 46 "** ~ ' = hg 908,36

1 C = 71°48 '

§, 48. E x e m p e l III. Um auf e i n e r E b n e die gegenseitige Entfernung zweier

unzugänglichen Gegenstände A, B zu erhalten, messe man eine Grundlinie CD9 und

die beiden anliegenden W i n k e l ACD, ADC; eben so die beiden W i n k e l BCD, BDC.

Nun bestimme man aus den erstern beiden Winkeln und der Grundlinie CD die Ent

fernung ACj aus den letztern beiden und aus AC die Entfernung BC9 so läfst

sich aus AC, BC, und dem W i n k e l ACB = ACD — BCD9 die gesuchte Linie

AB berechnen.

Es sei CD = 152 Metres . Nun ist AC = ™^s%£?£, CB= ^ r > 7 7 7 ^ t>-in CAD 6 i n v t J 1 J

Metres, so erhält man logx ==. 0,2029694 — 3, also x = 0,001595767 = 15' 05" 70"', 7

nach der Decimaleinlheilung, d i e , n a c h ( $ . 2 1 . ) i n d i e gewöhnliche verwandelt, S ' 3 7 " l 7 ' "

ausmacht.

Aus * = 0 , 0 0 1 5 9 5 7 6 7 ergiebt sich 15957,67 für den d e m W i n k e l CAB zugehörigen

Bogen eines gröfsten Kreises der Erde.

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224 Dritte Vorlesiin 5. Über ebene

Es soi ACD - 10S 0 34'

BCD = 4G° 23 Z 152 =; : 2,1818436 1 152 = 2,1818436

CDA = 56° 31 ' 1 sin 56° 31 = = 9,9211902 Z sin 9 9 ° 3 8 ' = 9,9938324

CDB = 99° 38 comp. I sin 14° 55' = = 0,5893680 comp, 1 sin 33° 59' = 0,2526257

so ist ACB — 6 2 0 I l ' l . A C = = 2,6924018 l.BC — 2,4283017

CAD - 14° 55' AC = - 492,495 BC — 268,103

CBD = 33° 59'

J C + B C = 760,598 1 760,598 = • 2,8811552 • 1 760,598 = 2,8811552

A C - B C = 224,392 comp.Z224,392 — 7,6489926 Z sin 3 1 ° 5 ' 3 0 " = 9,7129939

WmkelACB = 62°11 ' 1 tan 3 1 ° 5 ' 3 0 * = 9,7803463 comp. Z sin{B + i C) — 0,0465950

1 tan(B + i C ) = 10,3104941 I A B = 2,6407439

Also AB = 437,264

§. 40. E x e m p e l I V . Aus den drei Seiten eines Dreiecks a, b, c die W i n k e l

zu finden. Es sei V , , • , • • . . . %

a = 268,103 compl. 1 i s = 7,2226232

b — 492,495 = 2,5196024

c = 437,264 K i s - b ) — 2,0270886

s = 1197,862 1 ( £ 5 — C) = 2,2086214

I s = 59S,931 3,9779356

is — a = 330,828 h = 1,9889678 %s — b = 106,436 l f — Ki s — ä) — 9,4693654 = Z tan 16° 25 '11"

%s — c = 161,667 1 § — Ki s — b) = 9,9618792 = Z tan 42° 29' 19"

1 i> — K\ s — c) — 9,7803464 = Z tan 31° 5'3'0"

Folgl ich | A — 1 6 ° 2 5 ' 1 1 " , \B — 4 2 ° 2 9 ' 1 9 " , \C — 31° 5' 30".

Die Summe dieser W i n k e l ist = 9 0 ° , wodurch die Richtigkeit der Rechnung b e

stätigt wird.

§. 50. E x e m p e l V . Aus der gegebenen L a g e dreier Puncte A , B, C, die L a

ge eines vierten Punctes D zu bestimmen, der mit den erstern in derselben Ebene

liegt und von welchem aus man die W i n k e l ADB = ß , ADC = y gemessen hat.

Page 249: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Man 'beschreihe ü b e r ^ Z ? ein Scgment^DU7J5, das d e n W i n k e l ADB = ß J n s j c n

fafst. Diefs geschiebt , indem man iiber AB ein in B rechtwinklichtcs Dre ieck ABE

beschre ibt , so dafs der W i n k e l E — ß oder = 180° — ß, und die beiden Puncte

E, D auf einer odex verschiedenen Seiten von AB l iegen, j e nachdem ß ein spitzer

oder stumpfer W i n k e l ist. Die Hypotenuse AE wird alsdann der Durchmesser des

zu dem Segmente ADEB gehörigen Kreises sein. Eben so beschreibe man über AC

ein Segment , das den W i n k e l ADC = y in sich fafst. Die beiden Bogen werden

einander in ^ / u n d D s chneiden, ünd der Punct D wird der verlangte Punct sein.

D i e Puncte des Bogens ADEB nämlich sind die e inzigen, von welchen aus AB un

ter dem W i n k e l ß gesehen wird , und eben so die Punrle des Bogens ADC die ein

z i g e n , von w o «aus man AC unter dem W i n k e l y «ehen kann. D e r Durchschnitts-

punct D also ist der einzige Punct, von w o aus •nian zugleich AB und AC unter den

W i n k e l n ß, y sehen kann. Es kömmt jetzt darauf an, die Lage des Punctes D nac4i

der obigen Construction trigonometrisch zu berechnen.

§. 51. Es seien « = 9000 Fufs, 6 = 7000 Fufs , c = 2500 Fufs , ADB = 27°^\2'\

ADC- 109°15 '36" . Daraus findet man A = 1 3 7 ° 2 2 ' 1 " , 2 . Der Durchmesser AE

B 4 2500 aber ist — Jf^BWÄ = sin 27° 43' 1^77 ~ 5 3 7 4 j ß F u f & * E b e n & 0 e r n * k "»an d e n D u r c h -

CA 7000 : ' _ „ f

messer AF = ^-^sn ~ ~—77id^vov ~ ' 4 1 ° F u f s * sin CBA sin 70° 44 24

Nun Übersicht man aber le i cht , dafs di« W i n k e l ADE, ADF rechte W i n k e l

sejn müssen, und die Linie EDF c inc gerade Linie ist. Es bleibt also noch das

Dre ieck EAF aufzulösen, in welchem AE = 5374,6, AF — 74-15, und der e inge

schlossene W i n k e l EAF = BAC + CAF — EAB = 9 4 ° 2 1 ' 4 9 " . Daraus erhalt man

den W i n k e l AED = 51<>13'13", und endlich AD = 41S0,33.. Durch diese Entfer

nung und den W i n k e l BAD-BAE + EAD — 1 0 1 ° 2 5 ' l S " ist die L a g e des Punc

tes D völlig bestimmt.

Das obige Exempel ist aus Legendres Geometrie p. 375 entlehnt

Page 250: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

j f i f l $ D r i t t e V o r l e s u n g . U b e r e b e n e

' j j . . . t - 1 • - . _ . '••*J-"*V; f * V , v r * - . u . , ' i / \ ^ . . ^ v , " • , . ' * *

*' G r w ;z cZjfo r m e Z z u r A uf 1 ö s u n g s p Ii ä r i s c Ii e r D r e i e c k e.

§ . 5 2 . E i n , v o n d r e i B o g e n g r ö f s e s t e r K r e i s e , b e g r e n z t e r T b e i l d e r K u g c l o b e r f l ä -

c h e w i r d e i n s p h ä r i s c h e s D r e i e c k g e n a n n t e D i e d r e i B o g e n o d e r S e i t e n d e s

D r e i e c k s w e r d e n i m m e r k l e i n e r a l s d e r h a l b e K r e i s u m f a n g a n g e n o m m e n . D i e W i n

k e l , w e l c h e d i e E b n e n d i e s e r B o g e n m i t e i n a n d e r b i l d e n , , h e i f s e n d i e W i n k e l d e s

D r e i e c k s .

§ . 5 3 . W e i l i n e i n e m s p h ä r i s c h e n D r e i e c k e n u r s e c h s E l e m e n t e , d r e i S e i t e n u n d

d r e i W i n k e l , v o r k o m m e n , v o n d e n e n i r g e n d d r c i z u r B e s t i m m u n g d e s D r e i e c k s h i n

l ä n g l i c h s i n d , s o ü b e r s i e h t m a n l e i c h t , d a f s d i e e i n f a c h s t e n F o r m e l n w e n i g s t e n s v i e r

E l e m e n t e e n t h a l t e n m ü s s e n . D i e Z a h l d i e s e r F o r m e l n , d L e m a r r a L s d i e G r u n d f o r m e l n

d e r s p h ä r i s c h e n T r i g o n o m e t r i e b e t r a c h t e n k a n n , l ä f s t s i c h a u f v i e r G l e i c h u n g e n z u

r ü c k f ü h r e n : N ä m l i c h 1) z w i s c h e n d r e i S e i t e n u n d e i n e m W i n k e l ; 2 ) z w i s c h e n z w o i

S e i t e n u n d z w c i W i n k e l n , d i e d e n b e i d e n S e i t e n g e g e n ü b e r l i e g e n : 3 ) z w i s c h e n z w r i

S e i t e n u n d z w e i W i n k e l n , v o n d e n e n e i n e r d e r e i n e n S e i t e e n t g e g e n g e s e t z t i s t , u n d

d e r a n d e r e i h r a n l i e g t , u n d 4 ) z w i s c h e n d r e i \ \ i n k e l n u n d e i n e r S e i t e .

§. 54. U m d i e s e v i e r G r u n d f o r m e l n h e r z u T e i t e n , b e t r a c h t e m a n d a s s p h ä r i s c h e

D r e i e c k ABC a u f d e r K u g e l f l ä c h e , d e r e n H a l b m e s s e r — 1 , u n d d e r e n M i t t e l p u n c t 0 .

M a n l a s s e v o n C a u f d i e E b n e AOB d a s P e r p e n d i k e l CD f a l l e n . V o m Fiifse d e s s e l

b e n D z i e h e m a n a u f d e n H a l b m e s s e r OA d i e s e n k r e c h t e L i n i e DE, u n d n u f OB d i e

s e n k r e c h t e DF. B e z e i c h n e t m a n n u n d i e S e i t e n d e s D r e i e c k s BC, CA, AB r e s p .

d u r c h a , b, c , d i e P r o j c c l i o n OD d e s H a l b m e s s e r s OA i n d c r E b e n e AOB d u r c h g,.

u n d d c n W i n k e l AOD d u r c h x , s o i s t

CE = sin b, CF = sin a , CD = sin b sinA ~ sin a sin B\

DE = sin b cos A — § sin x ; EO ~ cos b = cos x ;

DF = sin a cos B = g sin(c — x); FO = cos a = § cos(c — x).

E s i s t a l s o cosa = ? c o s ( c — x) — c o s c . ? cosx 4 - si/ic. ? s i n x , u n d w e i l

f c o s x = c o s b , § s i n x — s i n b c o s A , s o e r h ä l t m a n d i e e r s t e G r i i n d f o r i i i e I z v v i -

Page 251: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

schcn drei Seiten und einen W i n k e l :

(A ) cos a — cos b cos c + sin b sin c cos A .

Die hciden verschiedenen Ausdrücke für CD führen nuf die zweite Grundformel

zwischen zwei Seiten und den beiden gegenüberstehenden W i n k e l n :

(B) sin b sin A — sin a sin B.

- W e i l sin a cos B = g sin(c — x) = sin c . § cos x — cos c . g sin x, g cos x = cos b,

und gsinx — sinb cosA, so erhält man sina cosB — sinc cosb — cosc sinb cosA.

Diese Gleichung, sina = ^^^•^j*> g e s e t z t > " 1 ' * s i n b dividirt, ergiebt sich die

dritte Fundamenta l -Glc i chung zwischen zwei Seiten und zwei W i n k e l n , von de

nen der eine der einen Seite entgegengesetzt ist und der andere ihr anliegt:

(C) sin A cot B = sin c cot b — cos c cos A.

t * • - • •f'>'... • - • ' ; i - - .•-

§. 55. D i e oben gefundene Gleichung sina •cosB-sinc cosb — cosc sinb cosA

giebt, wenn b mit c und B mit C'vertauscht wird , sina cosC=sinb vos c — cosb sinc cosA.

Substituirt man nun den W e r t h von sinccosb aus der erstern -Gleichung in der Ietz-

tern , so erhält man sin a cos C — sin b cos c — sin a cos A cos B — cos c sin b cos2 A

A „ 1 sin b sin2 A cos c , = sin b cos c sin2 A — s/n a cos A cos B oder — • : = cos C + cos A cos B.

sin a m T . . r , r T 1 x sin b sin B , sin b sin2 A . , . „ Nun ist aber zuioJge ( » ) ^ — - = —. . aIso . — sin A s/n IJ. Man er-

sina sinA sina

hält demnach die vierte Fundamental -Gleichungzwischen d r e i W i n k e l n und einer Se i te :

( D ) sinA sinB cosc = cosC + cos.A cosB.

§. 56. Mit Hülfe des analytischen Ausdrucks des Perpendikels C D = sinb sinA

=r sina sinB findet man unmittelbar das Volumen der dreiseitigen Pyramide , deren

Spitze im Mittelpuncte der Kugel l iegt , und deren Grundfläche das aus den Sehnen

der Bogen a, b, c gebildete Dre ieck ist. Betrachtet man nämlich die Seiten

fläche AOB dieser Pyramide> deren Flächeninhalt = £ sinc, weil AO = BO — 1,

als die Basis derselben, so ist CD die H ö h e derselben, und folglich f CD.% sinc

zzzz % sinb sinc sinA oder = •} sinc si/ia sinB ihr körperlicher Inhalt.

Page 252: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

228 Dvitte Vor lesung. Uber ebene

§. 57. W e n n es ein VortheiI der Analysis ist aus der möglichst geringen Anzahl

von Grundformeln, alle übrigen darin enthaltenen Wahrheiten herzuleiten, so möchte

es vorzuziehen sein, wie L a g r a n g e zuerst gelehrt hat , aus der ersten als einzigen

Grundformel der sphärischen Trigonometrie alle übrigen abzuleiten. Diese Gleichung

aber wird sehr leicht folgendermafscn bewiesen. Man lege durch den Punct A des

sphärischen Dreiecks ABCr die beiden Berührungslinien dcr Bogen AB, AC, welche

resp. mit den verlängerten H a U ) inessern OB, OC in D und E zusammentreffen, so ist

AD = tanc, DO — secc, AE = tanbv EO = secb, DAE der W i n k e l A des

sphärischen Dreiecks ABC und DOE = a. Man erhält also (§ . 37.)

DE* — tan2 b + tan2 c — 2 tan b tan c cos A

und auch = sec2 b Ar sec2 c — 2 sec b sec c cos a.

Subtrahirt man nun den ersten Ausdruck für DE* von dem letztern, und dividirt

den Rest durch 2 , so ergiebt s i ch , weil sec2b — ian2b — 1; sec2c — tan2c — 1,

1 Ar lan b tan c cos A — sec b sec c cos a — o.

Diese Gleichung durch cosbcosc multiplicirt, verwandelt sich d iese lbe , weil

tanb cosb — sinb, secb cosb = 1 , ctc. in die bereits (§ . 55.) gefundene

( A ) cosb- cosc 4~ sinb sinc cosA — cosa — o.

Da zufolge der Voraussetzung zwischen den vier Gröfsen a, b, c A ke ine ande

re Bedingung statt f indet, als dafs a, b, c die drei Seiten des D r e i e c k s , und A ein

dev einen dieser Seiten gegenüberliegender W i n k e l i s t , so ergeben sich aus der F o r -\

mel (A) folgende be ide :

cos c cos a Jf sin c sin a cos B — cos b — o

cos a cos b Ar s m a s u l ^ C 0 * C — cos c — o.

§. 58. Aus der Formel (A ) erhält man unmittelbar cosA = C O S a T ' i - s b C°'¥-C

sm o sin c

und daraus sin*A = 1 — Cos* A — s i n ? b sin2 c ~ (cos a — cos b cos c)2

sin2 b sin2 c O j ~ C O £ ^ j K l — cos2 c) — cos2 a A- 2 cos a cosb cosc — cos2bcos2c

sin2 b sin2 c '

Page 253: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

• ( •

und sphärische Trigonoii ietric . 229

1 — cns2a— cos2b — cos2c + 2 cosa cosb cose sin2 b sin2 c

— . .. , . . y(\ — COS2Ct — cos2b — cos2c 4- 2 cosa c'osc cosc) Folghch sinA = LJL -—}—:—— — \

sin o sin c

Bezeichnet man den Z ä n l e r d i e s e s Bruchs durch l-, so hat man

sin A __ ^ £ — _ — ^ Ru,n ist aber ^ ^ - , — : — eine solche Function von

sm a sin a sm b sm c sm a <sz/z b sin c

a, b, c, deren W e r t h unveränderlich bleibt , wie auch die Gröfsen a, b, c mit einan

der verwechselt werden. Man erhält also, wenn man a in b und A in B oder a in c

und A in C und umgekehrt verwandelt : ' ni sinA sin B siiiC h '

• • sina sinb sinc sina sinb sinc" >

$. 59. Aus den beiden Gleichungen (A )

cosa — cosb cosc 4~ sinb sinc cosA j • " '>' "•

cos b — cos c cos a 4~ $in c sin a cos B

erhält man, wenn man in der ersten den W e r t h von cosb der zweiten substituirt:

cos a — cos2 c cos a 4" cos c sin c sin a cos B 4" b sin c cos A,

oder cosa sin2c = cosc sinc sina cosB + sinb sinc cosA.

Diese Gleichung dureh sin a sinc dividirt, und alsdann — s . i a ^ c o s a = c o t a

sina sinA sina '

-°s ^ = cotA gesetzt , ergicbt sich die dritte Grundformel sin A

(C) sinc cota.— cosc cosB 4~ sinB cotA,

Die Ableitung der vierten Grundformel ( D ) ist bereits ( § . 55.) gezeigt worden.

§. G0. Substituirt man in den beideu Fundamental -Gle ichungen ( A ) , ( D ) für die

W i n k e l A1 B, C i h r c Supplemente, indem man dieselben durch A', B', C ' b e z e i c h -

net , so verwandeln sich dieselben in :

; >; ? :-. cos a — cos b cos c — sin b sin c cos A

!1: cosA' = cos B'cosC' — sinA' sinC cosa.

Diese beiden Formeln haben eine aufTallendc Ähnlichkeit , und es verwandelt sich

die eine in die nndere, indem man resp. a, b, c mit A\ B', C' verwechselt. Es w e r -

Page 254: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

230 Dritte Vorlesung, Uber ebene

den daher alle Formeln, die aus der Formel (A) hergeleitet werden, auch wahr sein,

indem man die obigen Veränderungen macht.

Es crgiebt sich daraus, dafs jedes sphärische Dreieck in ein anderesvcrwandelt

Werden kann, dessen Seiten und Winkeln resp. die Supplemente der AVinkel und

der Seiten des erstern sind. Dieses Dreieck ist das sogenannte Supplementär- oder

Polar-Dreieck, und wird auf der Kugelfläche durch die drei Pole dcr Bogen des

gegebenen Dreiecks gebildet.

§. 61. Den Ausdruck für das Volumen der dreiseitigen Pyramide, deren Spitze

in O und deren Basis das, von den Sehnen der Seiten des sphärischen Dreieoks A B C ,

eingeschlossene ebene Dreieck ist, findet man ohne Hülfe irgend einer andern als

der eben gebrauchten Figur auf folgende Weise,

Das Volumen der dreiseitigen Pyramide, <!eren Spitze O und deren Basis das

Dreieck D A E , ist offenbar J ianb lanc sinA. Betrachtet man aber das Drei

eck D O E als die Grundfläche derselben, und bezeichnet deren Höhe durch h , so ist _ r , . 7 • 7 r \ 7 sinb sinc sinA . t , , ihr Volumen •= i secb secc sina.h. Daraus Ii — = . Esistabernuch

sin a

h die Höhe der Pyramide ABCO., wenn BCO zur Basis genommen wird; weil nun

der Flächeninhalt von B C O = ± sina, so ist £ s i n a . h das gesuchte Volumen der

Pyramide OABC oder, wie wir bereits gefunden haben, = £ sinbsinc sinA oder

auch — £ s i n c s i n a s i n B = £ s i n a s i n b s i n C.

§. 62. Zufolge (§. 5S.) ist sin b sin c sin A = 1 = yiX — cos2 a — cos2 b — cos2 c

4- 2 cosa cosb cosc). Folglich h das sechsfache Volumen der dreiseitigen Pyramide,

welche durch die drei nach den Winkeln A 1 B , C des sphärischen Dreiecks gezoge

nen Halbmesser der Kugel gebildet wird.

§. 63. Aus den vier, allgemeinen Grundformeln (§. 5 4 , 55.) lassen sich unmittelbar

die zur Auflösung des rechtwinklichten Dreiecks nöthigen Formeln ableiten. Es kann

aber nur sechs solcher Gleichungen geben; diese enthalten, wenn wir die dein rech

ten Winkel C gegenüberliegende Seite c die Hypotenuse, die beiden andern a , b die

Page 255: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

1) a, b, c, C

2) a, b, A C

3) a, c, A C

4) a, c, B C

5) c A B C

C) a A B C

cos c = cos a cos b

sin b cot a = cot A

sin a — sin c sin A

col c — cot a cos B

cos c — cot A cot B

sin B cos a = cos A

cos c ~ cos a cos b 4 ~ s i n a s?n b cos C

sin b cot a — sin C cot A 4 ~ c o s 0

c o s C

sin a sin C ~ sin c sin A

sin a cot c — sin B cot C + cos a cos B

sin A sin B cos c =• cos C 4 ~ cos A cos B

sin B sin C cos a ~ cos A 4 - cos B cos (J

Mit Hülfe dieser sechs Gleichungen lassen sich alle Fälle des sphärischen recht-

winklichten Dreiecks auflösen, und weil sie sich unter einer zur logarithmischen B e

rechnung sehr bequemen Form darbieten, so bediente man sich derselben gewöhnlich

in der Trigonometr ie zur Auflösung jedes sphärischen Dreiecks im allgemeinen, in

dem man dasselbe durch einen senkrechten Bogen in zwei rechtwinklichten Dre ieck«

zerlegte. Man kann aber auch dazu die vier Fundamenta l -Formeln gebrauchen, in

dem man dieselben durch zweckmäfsige Veränderungen zum Gebrauch der Logar i th

men einzurichten sucht.

§. 64. Aus der Formel (A ) cosa — cosb cosc 4 ~ sinb sinc cosA ergiebt sich

cos A = COS a — cos b cos c . Daraus erhält m a n , wenn a + b + c = s, sin b sin c

, A cos a — (cos b cos c — sin b sin c) cosa-cos(b+c) __ 2sin±s . sinUs—a) 1 + COS Jl = . . - - - - - r r r—j : ; j ± L 1 I- . c j # j / » sirtr- Sirib SM O SM C Sl)I C

. sinb sinc+co#b cosc—cosa _ cos(b-c)—cosa 2sin(ls-c) sin(*s b) i . f*n<t A • i . —; : —~ . . • ~ _ 2. ' i 1 W*J+ SMOSlIlC x,nh.*t,-,i> .•-SM o sm c sin b sm c

Folglich y r 1 4 " COS A . Ysin \ s . sin (\ s — a)

0tlCrC0SiA = f : ; ~~ sin b sm c

1 — cos A o d c r « „ i A = p ' " C i * - f t ) . M j * - 0 .

SM b SM C

Catheten nennen: 1) die drei Seiten « , b, c ; 2) die beiden Catheten a, b, und einen

der beiden W i n k e l A oder B; 3) die Hypotenuse c, eine ('athete a und der g e g e n

überstehende W i n k e l A; 4) die Hypotenuse c , eine ('athete a und der anliegende

W i n k e l B; 5) die Hypotenuse c und die beiden Winke l A, B, und endlich 6 ) e i n e C a -

thete a und die beiden W i n k e l A, B. Man erhält diese sechs Formeln folgendermafsen:

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p «Bjrjjr

^ „ Y^sin \ s . sin (\ s — a) . sin s — b) . ein (i- s — c ) sin A = 2 ' * — A — , — . - • - -

sm o sin c

Es ist aber (§ . 6 3 . )

. A 1 _ V"(l — cos2 a — cos2 b — cos2 c 4 " 2 cos a cos b cos c ) SlIl Ji — — — 5 : — F — : — j : • •—S,

sin o sm c sin o sin c

tan

Folgl ich 2 Ysin § s . sin (| s — a) . sin (-*- s —- b) , sin s — e) =

§ . 6 6 , W e i l S i n \ A . = lan f A 3 so h a t m a n * COS * 3

__ ^ W / i Cj s — b) sin ( | .9 — c) 1 Vsin(^s-a) sin(-s-b) sin($s-c) z sin § s . sin (| * — a) sin(- s — a) sin ~ s ~

D e n k t man sich in dem sphärischen Dre iecke ABC einen kleinen Krei« beschrie

b e n , der die Seiten des Dreiecks BC, C A , AB resp. in D , E, F berührt , und b e

zeichnet den PoI dieses kleinen Kreises durch O , so werden die drei Bogen gröfse -

ster Kreise OD, OE, OF unter sich gleich se in , und mit den Seiten des Dre iecks

ABC rechte W i n k e l bilden. Zugleich läfst sich auf ähnliche W e i s e , wie (§ . 2 4 . ) ze i

g e n , dafs A F = A E = f « — a , BD = BF = f * — b, CE = CD = \s — c,

und dafs die Bogen gröfsester Kreise O A , O B , OC resp. die W i n k e l A , B , C hal-

biren. Bezeichnen wir nun den Abstand des Pols O von den drei,Seiteii des D r e i

ecks durch s , so ist O A F ein in F rechtwinklichtes D r e i e c k , OF = f , der W i n k e l

O A F = \ A , A F — \s — a. Zufolge der 2ten Formel (§ . 6 3 . ) für die rechtwink

lichten Dreiecke ist also cot\A = coto.sin&s — a) oder tan^A = -. *^J. . * s 2 - ein{js — ä)

Vergleicht man diesen Ausdruck mit den oben gefundenen, so ergiebt sich Vsin (' s — a) sin (f s — b) sin(%s-c) „. . . . , ,

lang = f 7UiYs~ • E i n A u s t l r u c k ' d o r n n t für den

Verwechselt man a mit b, A mit B , und umgekehrt , so erhält man

c o s x B = r * ' * i y " ' " C t * - f t ) • , / „ ^ ^ = p J " < i * - c U m ( i 3 ^ s.in c sin a ~ c a

Eben so erhält m a n :

. n _ i 8 - s i n Cl - 9 — c) • ! ^ — V s i n Ci * * ~ o) sin a s — b) COS § C — J : : — j : Sl7l 1 L — f . — •. . ?

2 sina sinb 7 3 sina sinc

| . 6 5 . W e i l 2 c o s | ^ s i n \ A = s i n A , so hat man :

Page 257: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

tan 1A — •. *™1 s—-, tan 4 B sm(\s— a)

t m * .•, tan 1 C = ^ L ' — . . « r c ( | s - 6 ) ' stn(is-c)

§. 67. Aus der Verbindung der so eben gefundenen Ausdrücke für die Sinusse

und Cosinusse der halben W i n k e l lassen sich mehrere interessante Formeln herleiten.

Da nämlich:

cos ±A 'sin -k s . sin ( I s — a) ysin s .

cos § B =. cos | C

sin b. sin c

ysin \ s . sin (J s — b)

SM

x y*sin(i s — b) sin(f s — c) 2 sin b. sin c

SM CSM a

ysin I s . sin (^ s — c) sin a. sin b

• , n ysm(*s — c) srn(is — a) SlIl | B ZZZ J i- :

* sm c. sm a

. T n V*sin(\s — a) sin(%s — b) Sin ~y Kj '— I • . ; 'i «

sina.sinb

SM i S Y^SM ( ^ .9 a) , W / 2 ( i .9 ü ) S Z A Z * .9 . —•• " 1 • / = T- : j ~ = SM i C sin a sm o sin c SM C

sin sin c

hi(' s — c) ysin (1 *• — a) sin (| s — b) sin(^ s — c) . —-. I • . • — , - r = : sin x C

"'"^ sina sinb sinc

cos | C sin(i s — a) ysin ^ s ' S 7 n Q s — c)

sin a sin b SM c

i(i s — b) ysin \ s . sin (\ s — c) sin a sinb

SM C

sm(|- s — a) sin c

sinQ s — b)

sm c sin c cos J C.

so erhält man:

cos | A. cos * B sin v A. sin § B cos \ A. sin | B sin | A. cos | B

Daraus ergiebt s i ch :

i f j 4 A ^_sinis-sin(is-c) . „ ... 2co ,9 j(a+b)sin1 c T fy_cos(fa4-b) . Tjr, cos i(A+B) n n * C = ^ T ^ r ^ - * m ' C - ~coai~*ln*C

cos HA-B) =z ^ s + sin(ls-c) = ^i^^^^C=^^,inLC C C w 2 V ^ s i n c - 2cos-csin^c 2 sin*c s i n *

» , - , T i x sinGs-b)+8in(-3-a)___r,,_2sin*c.co8*(a-b) x cosU<i-b) r , ,

IfJA-B)ZZZ = : --COS^L s ; ~J C0S^Czzz S ^ 5 COS^L sS^i^' .sinc * 2cos$csin-c Ä cosz\c *, A ^ sin(ls~b)~sin(ls~a)^n_2cosf c.sin^(a^-b) i r ^ s J ^ ^ l P n i t ^ r \(A~B)zzz, : 7 7 i cos^C coszjCz= — v i cosaC

sm

sin c

2 cos ~ c sin v c

sin 7 c 30

Radius -des in ein ebenes Dre ieck eingeschriebenen Kreises (§ . 28.) eine auffallende

Ähnlichkeit hat. Diesemnach ist

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COS

cot \ C cos \ (a 4- b)' col \ C sin \ (a + b)

f (A- B) _ lan f (a + b) ,y sin \ (A — B) _ tan | (a — b) F[A + B) ~ lan\c 3 \sin\(A + B) ~ tanfc' '

Diese vier Gleichungen werden die Ncpperschen Formeln genannt. Die ersten

beiden können dazu dienen, aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winke! eines

sphärischen Dreiecks, dic beiden andern Winkel; die letztern beiden, aus zwei Win

kel und der dazwischenliegenden Seite, die beiden andern Seiten zu finden.

§. 69. Aus den beiden Gleichungen

x . v • T i c o s 1 (a + b) . , n . , . T j . _ cos \ (a — b) cos \ (A + B) — - — 1 T ^ sin$C, sin(AAfB) f—^ i Cos | C

COS n C COS C

erhält man cos \ (A + B) cos | C — sin \ (A + B) sin \ C = cos § (A + B + C) — < os f (a 4- b) — cos i (a — b) . r r i . r i stn \ a sin \ b . ^

• — " • j - sin i C cos 1 C = — — — sin C cos % c cos I c

Es ist aber ( § . 65.) h

sin C = •—T J W 0 I & — Y"sin i s . sin (\ s — a) sin (i s — b) sTnTs — c). sin a siti o i * *

n , j cos^(AArB)_ cos*(a + b) T T cos *- (A — B) sin \ (a + b) f

wcter i . : r~7i — T s *• r ~ 7 > • — r - — » si/i^L cos^c sin^C siri^c

T J f £(A4- ff) _ cosf — /Q J V sJnj(A-^B^_sin-(a-b) • I y T ' "~" x 9 ' " " r ATA ~~~* " " - V •

c o s ^ C cos-c cos^L sin^c

Diese vier interessante Formeln sintl ungefähr zu gleicher Zeit von Gaufs,

Mollweide und Legendre gefunden worden. Ich lernte sie zuerst aus Gaufs

Theoria Motus corporum coelestium etc. Hamburg 1809, wo sie ohne Beweis mitge-

theilt werden, und fand auch gleich den obigen Beweis, dcr sich am natürlichsten

darzubieten scheint und sich dem Gedächtnisse leicht einprägt. ^ ^

§. 68. Indem man die 3te der obigen Gleichungen durch die lste, die 4te durch

die 2te , die 2te durch die lste, die 4te durch die 3te dividirt, erhält man folgendo

vier Gleichungen:

j /anj(siAr-B) _ cos f (a — b) „ tan\(A—B) _ sin\(a — h) . " T " V . I , I i " *

Page 259: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

und sphärische Trigonometrie .

Fo lg l i ch , w e n n A + B + C = S

, o sin | . sm f & . £

cos = ___A_—-—r~ = sin a.sm o . cos £ c

4 cos £ a . cos y b . cos % c'

Eben so erhält man

sin % S=sin %(A+ B) cos | C + cos § ( ^ b B ) sin 1C

cos 5 a cos \ b (cos2 § C 4~ sin2 f C) Ar f a sin § 6 ( cos ? § C — .v//? 21 C)

cos \(a—b) COs2ICA- cos l(aArb)siri*jC cos | c

COS i C

cos f acos \ b A^ sin \ a sin \ b cos C cos%a cos%b sin a sin b Arsin%a sin\b(cos c—cos a cos b) — 1 - cos j c sin a sin b COS 3 C

sin | a sin \ b T 7 . = — .--—: ~—T . (2 cos2 Z a . 2 cos2 i b A- cos c — cos a cos b)

cos 3 c sin a sin b

(1 4~ cos ci) (1 Ar cos b) Ar cos c — cos a cos b 1 Ar cos a Ar cos b 4" cos c

4 cos 5 a cos j b cos \ c ~ 4 cos \ a cos \ b cos ^c *

§. 70. A u f ähnliche W e i s e ergiebt sich

cos(iS— C) — cosl(A+B— C) = cosl(AJfB) cos%CAr sin^(A+B) sin$C

(cos \ (a Jf b) Ar cos ( f a — b)) cos \ C sin \ C cos f a cos f b sin C

cos £ c cos 2 c

cos \ a cos Y b . h £ cos i c sin a sin b 4 sin f a sin § b cos \ c'

Eben so ist sin(%S-C) = sinl(AA-B) cos%C — cos%(JAr B) sin%C

cos \(a — b) cos21 C — cos \(a Ar b) sin2 \ C _ cos \ a cos f b . cos C + sin f a sin ± b ~ cos \ c cos £c ~~

cos \ a cos \ b (cos c — cos a cos h) Ar sin \ a sin % b sin a sin b

cos i c . sin ci sin b cos jr a cos \ b , j , , . „ _

— j . 5—r (cosc — cosa cosb + 4 sin-±a sm2±b} cos ~ c sin a, sin b * 4 '

cos c — cos a cos b Ar (1 — cos ä) (1 — cos b) _ 1 — cos a — cos b 4- cos c 4 sin 2 a sin b cos % c

§. 71. Man hat a lso , w e n n , Avie vorhin,

4 sin$a sin±b cos%c '

S = A Ar B Ar V, l- = 2 ^sin^s sin(%s-a) sin($s-b) « « ( ^ » — c ) :

*

Ai

Page 260: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

23e Dritte Yorlesung. Über ebene

cos 1 S ~

cos(i S — A)

cos(% S— B)

coa(i S - C )

sin \ S 4 cos ^ a cos § b cos f c '

h • - :——:—=— ,• sinQ S — A ) 4 cos § a sin f 0 sm f c

1 - — Z 7 1 — 7 ^ — ; sin(%. S — B) 4 sm j; a cos \ 0 sin \ c

4 si11 % a sin f b cos \ c ; sin(i S — C)

1 4" cos a 4" cos b 4" cos c 4 cos x a cos \ b cos \ c

1 4- cos a — cosb — cos c 4 cos § a sin b sin j[ c

1 — cos a 4" <"0* A — cos c 4 sm i a cos £ 6 sm £ c

cos a — cos b 4- cos c sin i a sin \ b cos \ c *

Aus diesen Formeln lassen sich mehrere sehr interessante Sätze hcr le i ten 3 von

denen wir hier einige betrachten wollen. '

§. 72. Aufgabe. A u s d e n g e g e b e n e n S e i t e n e i n e s s p h ä r i s c h e n D r e i

e c k s d e n F l ä c h e n i n h a l t d e s s e l b e n z u f i n d e n .

Es sei das gegebene Dre ieck ABC Man verlängere die beiden Bogen ACr B C

über C hinaus bis zum Zusammentreffen mit dem gröfsesten Kreise des ß o g e n s AB

in D und E, so hat man vier Dre iecke CBD, C E A , D C E und das gegebene ABC

Bezeichnet man diese vier Dreiecke resp. durch x, y , z, A , und die Oberfläche der

Kugel durch K, so übersieht man le icht , wenn A , B , C die W i n k e l des Dreiecks ia

Graden ausgedrückt anzeigen, dafs A 4- x = ~- . X , A 4-y — ~ . A 4- z = ~ K9

k • U H J 3•6O // 4- B 4. c 1 sn° foigiich x 4-j4- z 4- 3 A = _ j r ^-X_ .# - . N u n i s t a l ) C r x + J / + s + A r = i K =

und daraus A = ^ Ü . 5 i 5 z ^ L . ^ " ; 0 d e r derFlächeninhalt eines sphärischen Drei -

J O U -

ecks verhält sich zur halben Kugel f läche , wie der Uberschufs der Summe der W i n

kel über 180° zu 360°.

W e i l K — 4ff , wenn der Halbmesser der Kugel = 1, s o y i s t auch

4 ± . B r C—180° — . 2 * . Dieser Ausdruck wird, wenn A , B , C die zu den W i n -

A = 36()<

keln des sphärischen Dre iecks gehörigen Bogen bedeuten = A + B + C - * .

Page 261: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

. j . Ysin jr s sin ( i s — a) sm ( £ s — b) siu ( | .9 — c ) sm i A = 0 r — T 1 ! — • J

2 c o s i a c o , 9 f o cus f c

eine 2 u r Iogarithmischen Berechnung sehr bequeme Formel , die sich j edoch auf fo l

gende Art noch sehr vereinfachen läfst:

„ . l - c o , ? | A 2 * m " - j A . _ " I A , , -r

Es ist — - — = . — — — tan £ A , aber auch sm J2 A 2 cos £ A sin £ A

1 — co.9 f A 1 — sin i S 4 c o s § a C(?fJL L_££Li c — * — C 0 , ? <7 — cosb_^-cosc

s m ^ A — c o s ^ 5 £

1 C O S 2 £ « COS2 ^ Z) C O S 2 J c 4 - 2 C O S f <7- C O S COS * C

J L A *' T

So wie nun aber (§ . G o . }

1 — cos2 a — cos2 b — cos2c Ar 2 cos a cos 5 c o s c = 4 s m f s . sin(%s-a) sinQs—b) s m ( | s - c )

so ist auch , wenn man \a, \b, f c , \s resp. durch « , ß , y , ff bezeichnet

1 — cos2 « — cos2ß — cos2vAr2cos x .cosß c o s y = 4tsin^c.sini^,c—t*)sin(^<r—ß) sin(^a—y). Daraus ergiebt sich.

4 sin f <r , sin C f a — « ) sin C f a — ß) sm ( f <r — y ) ta?z 4 A — — . - . . — ., , .

Y"sin f s . sin ( ^ s — a) sin s — fr) s m s — c) y^sm f o- s / v / f ff s ; / z ( | ff — «0 s m C f g" — " ) s / / z C y j — ff) s/'n(% ff — ß) sin(%a— y ) sin(j ff— y )

~~ cos ji c sin \ ccos(ji ff — « ) sin(ji c — « ) cos($ ff — ß ) s Z / . C f c — ß) e o s ( f cr — y ) s m ( f ff — y )

= Ytan i ff ' ian (i'* — 6O tan (\c — ß) tan Cf a — ?). Diese äufserst elegante Formel ist von Simon Lhuillier gefunden worden.

§. 73. A u f g a b e . Aus den drei Seiten a, b, c eines sphärischen Dre iecks den

auf der Kugelfläche gemessenen Abstand r des Pols der um dasselbe beschriebenen

Kreislinie von irgend einem Puncte derselben zu finden,

Es sei O dcr PoI des um ABC beschriebenen K r e i s e s , so ist j eder der Bogen

gröfster Krc ise OA, OB, OC=r. Aufserdem ist WmkelOBC=OCB, OCA=OAC

OAB=OBA. Bezeichnen wir diese W i n k e l resp. durch x, y, z, so ist y + s = A,

z Ar x = B, x Ar •y = C Daraus ergiebt sich , wenn A Ar B Ar C = S, x = f S— Ai

Daraus crgieht sich afso c o s f A — sin%S, i A = — cos%S: daher

Page 262: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

" ^ ^ * ^ ^ ^ * ^ ^ * a R S R 5 T * = * i * " >• " ' * ^

238 Dritte Vorlesung. Uber ebene

y=z^S-B, 2 = ^ 5 - C . Betrachten wir das Dre ieck OBC, so ist OB = O C = r,

2H7 = a , OBC=%S-A. Man hat also zufolge der ersten Grundformel (A ) ( § . 54.)

c 0 5 = cos a cos r 4 - s m a s m r cos «S — y / ) « Daraus cot r . . C°S a- oder sm a

cotr.tan\a = c o s ( f S — ^ / ) , folglich

/a?z 5 « . . . 2 i a cos£ a szVz \ b sin i c ianr = — - - - 3 — T = (§. 70.) 2 ^ 1 —

C O . S ' ( j O — Jl) 5 £

2 sm & a sin £ b sin Z c Y"(sin j s.sin s — a) sin (J s — b) sin (| s — c))*

Sowohl aus diesen Ausdruck für tan r als « u s dem (§ . 66.) für tan p gefundenen

lassen sich die beiden Ausdrücke der Halbmesser r, P des äufsern und innern Kreises

des ebenen Dreiecks herleiten, indem man statt der Sinusse und Tangenten der B o

g e n , die Bogen selbst setzt.

§. 74. L e h r s a t z . Bezeichnet man durch r', / dieselben Gröfsen in Bezug auf

das Supp lemenlar -Dre i c ck eines gegebenen sphärischen D r e i e c k s , was /•, ^ für das

G r u n d - D r e i e c k bedeuten, so sind / ' , / die resp. Complemente von g, r.

Es ist nämlich, wie wir so eben gesehen haben tanr — •—tan^a u n ( j a u s

cos(%6 — jl)

( § . 66.) f o lg t , dafs tan? = ~~p~^r^- Bezeichnet man nun durch A', B', C die • ^

resp. Supplemente der W i n k e l B, C des Grund-Dre iecks , und A' + B'^-C' durch

S>, So ist cos(lS-A) = sin(%S'-A'), cot\A = tan\Ar Es ist a l so :

tan % a sin(% s — a) tanr — • ->;• & tang — — .

sin(i& — A y tan%A

W e n d e t man nun diese beiden Formeln auf das Supplementar-Dreieck a n , so c r -

giebt s i ch :

i n n J = _Jftn^A_ _ cot* A , _ sin (J S' — jf) _ cos Q S — A) i a f l sin ("i s — a) ~ sinQ s _ a) ' S "tan%a ~~ ~~lan | a '

Es ist aber (§ . 66.) tan \ J — ^ ^ . 9 _ _ 0 a e r Cot\A == sin(\s~a) cot£.

Page 263: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Auflösung des In C'rechtwinllichten sphärischen Dreiecls ABC

§. 75. I. A u s d e n b e i d e n g e g e b e n e n S e i t e n a, b f i n d e t m a n ( § . 6 3 . )

1) d i e H y p o t e n u s e c ; 2) e i n e n d e r W i n k e l A, B v e r m i t t e l s t d e r F o r m e l n :

7 rts , 4 tana _ tanb 1) cos c = cos a cos b; 2) tan A — — — T , 3) tan B =• —:—.

' sui b ' sui a

§. 76. II. A u s d e r H y p o t e n u s e c u n d e i n e r S e i t e a f i n d e t m a n 1) d i e

a n d e r e S e i t e b; 2) d e n G e g e n w i n k e l A; 3) d e n a n l i e g e n d e n W i n k e l B;

v e r m i t t e l s t d e r G l e i c h u n g e n :

1) C 0 5 b = : 2) sin A =• Sl™,- 3) cos B = tan a cot c . cos a sin c

§. 77. III. A u s d e r g e g e b e n e n S e i t e a u n d d e m G e g e n w i n k e l A e r

h ä l t m a n 1) d i e a n d e r e S e i t e b; 2) d i e H y p o t e n u s e c; 3) d e n W i n k e l B

d u r c h d i c F o r m e l n : s i n a * \ • 7 5 cosA • — A , 0) sinB = • sm A' ' cos a

§. 78. IV . A u s d e r S e i t e a u n d d e m a n l i e g e n d e n W i n k e l B f i n d e t

4 n\ • S l r l 1 1 o \ • 1) sinb = tana cotA; 2) sinc= . — 3 ) &inB =

J sm A ' cos a

Es ist ferner ( § . 72.) wenn O der PoI des um das Dreieck ABC beschriebenen

K r e i s e s , jeder dcr beiden W i n k e l des glcichschcnklichten Dre iecks OBC an der

Grundlinie BC = %S-A; j ede der beiden Seiten OB, OC = r und BC = « , und

deshalb zufolge dcr ersten Grundformel (A) (§ . 54.)

, r o . v cos r — cos r cos a 1 — cos a . , _ cos Cl o — A) = : • ~ cot r . . = cot r tan * a.

sin r sin a sin a

Diescmnach wird tan r — cot § , tan p' = cot r.

Dieser interessante Lehrsatz läfst sich übrigens sehr leicht auf synthetische Art

bewe i sen , indem sich zugleich ergiebt , dafs der umschr iebeneKre i s d e s G r u n d d r e i -

ecks und der eingeschriebene Kreis des Polardreiecks Parallclkrcisc sind. (Schulz

Sphärik. Ister T h . Leipzig 1828 §. 46.) > ' f

' • • - i •^•'- l v s * v • < ' ' Ji •

Page 264: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

cos a + cos c c 4 - a c. — a 1 cos _ — cos — 2 —

*

7 y * ° 4 - a , ° — a

tan { b = | tan - j - - tan - ^ — .

= l o * ^ * o » ^ , u n d f o l g l i c h

m a n 1) d i e a n d e r e S e i t e b; 2) d i e H y p o t e n u s e c; 3) d e n G e g e n w i n k e l A;

v e r m i t t e l s t d e r G l e i c h u n g :

1) tanb — sina tanB; 2) cotc — cota c o s B ; 3) cosA = cosa sinB*

§. 70. V . A\is d e r H y p o t e n u s e c u n d e i n e m d e r W i n k e l A f i n d e t

m a n 1) d i e G e g e n s e i t e « d e s g e g e b e n e n W i n k e l s t ; 2) d i e a n l i e g e n d e

S e i t e b; S) d e n W i n k e l B d u r c h d i e G l e i c h u n g e n :

1) sina — sinc sinA; 2) tanb = tanc c o s A ; 3) cotB = cosc tanA*

§. 80. V I . A u s d e n b e i d e n s c h i e f e n W i n k e l n A 3 B b e s t i m m t m a n 1)

e i n e d e r S e i t e n a, b; 2) d i e H y p o t e n u s e c :

1) cos a =z , cos b P= £££_^?. 2) cos c =P cot A cot B* ' sin B sm A

§. 81. W e i l die Aufgaben I , 1 ; I V , 3 ; V , 1 respective vermittelst der Formeln

cosc — cosa cosb; c o s A — sinB cosa; sinb = sinc sinB berechnet werden k ö n

nen , so lassen sie s i ch , wie man leicht übersieht, auch mit Hülfe der Tafeln der

natürlichen Sinusse und Cosinusse durch Addition und Subtraction, wie fo lgt , auf

lösen : 2 cos c zzzz cos (a + b) •^- cos (a — 6 ) ; 2 cos A .= sin (a + B) — sin (a — B);

2 sin b zzz u zzz cos (c — B) — cos (c 4~

§. 82. W e n n der in der Auflösung des rechtwinklichten Dre iecks vorkommende

gesuchte Sinus oder Cosinus wenig von der Einheit verschieden i s t , so mufs man

dieselbe in eine andere zu verwandeln suchen , welche die Tangente des gesuchten

COS 4i Elements giebt. So erhält man z. B. aus der Gleichung cos b = ^

1 — cos 6 cos a — cos c r. . , i 1 — cos b . . — j = - . Es ist aber •—: T — tan2 | b; eben so 1 + cosb cosa + cosc 1 4~ coso *

_ . c 4 - a . c — a u - 2 siu—-— sin—-— .

cos a — cos c 2 2 c + rz c—a

Page 265: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Folglich tan(W — \A) = Y"coS^^.lan0—^ = f c Ar a tan—^-

c Ar a tan — —

und tanWArZA) = Y 2 — = ftanC^^.cot^~?. i *• ' o — a ' 2 2 tan —-—

4M

§. 83. Eben so läfst sich dic Formel cosB = tana cotc, wenn cosB wenig

von 1 verschieden is t , folgendermafsen verwandeln:

1 — cos B tan c — 1an a , 2 sin2 Z B sin (c — a) — — — oder — — 1 Ar cos B tan c + tan a 2 cos2 -| B sin (c Ar a)'

. i , r> Y"sin Cc — a) Also tan \ B = r — — , — : — r . sin (c Ar a)

§. 84. Auf ähnliche W e i s e würde man statt der Formeln (§ . 77.) folgende erhalten

* - w + ii) = ± r ä g ± | , <«<«* + i « = * r & J g ± g , ^ + im = ±r%fä±%.

§. 85. Aus der Gleichung ( V I , 3) c o s c = cotA cotBeTg'ieht sich

1 — cos c _ tan B — cot A o < ] e r r — ^J^^nA_^cos A cos B 1 + cos c tan B Ar cot A z sin B sin Ä Ar cos A cos B

= _ e » w ± g ; f o i g U c h t o * c = r - ^ # * > cos (A — B) cos (A — B)

§. 82. Eben so kann man die Formel sinA = -!—, wenn A nahe an 90°, fo l -sin c 1

j c j , T, . 1 — sin A sin c — sin a , 1 — sin A gendermafsen verwandeln : Es ist -—j . . = ; . — ; aber -—= r~~ ° 1 + suiA sinc Ar sina 1 Ar sinA

1 — cos (90° — A) ~„ . , . . , sin c — sin a

= T~L Vnno , A = tan2 C45° — 4 A) = cot2 (45° + i A) und — — . — 1 H- cos (90° Ar A) v - ' v ' 2 ' sm c + sm a

n c Ar a . c — a , c Ar a . c — a 1 cos —-— sm —-— , cot -- n tan —-— 2 2 c Ar a J c — a 2 2 = _ —. — cot . tan —— — — 1—. _ . c + a c — a £ 2 c — a c + a lsm—-— cos—-— cot—^— lan—-—

jL M +L c — a

tan ——— ** *

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2 4 2 Dritte Yorlesung. L b c r ebene

W e i I n u n d i e G r b f s c = — cos ^ A ^ B ) ' m m e r P 0 8 ' * ' ^ cos(A^-B) aber, weil j l ^ - B

immer > 90° , negativ ist , so folgt daraus, dafs cos(A— B) eine positive Gröfse sein

mufs. Es mufs demnach d e r U n t e r s c h i e d d e r b e i d e n s c h i e f e n W i n k e l e i

n e s r e c h t w i n k l i c h t e n s p h ä r i s c h e n D r e i e c k s i m m e r k l e i n e r a l s 90° s e i n .

A u f l ö s u n g der s p h ä r i s c h e n D r e i e c l e im A l l g e m e i n e n .

§. 86. A u s d e n d r e i S e i t e n a, b, c e i n e s s p h ä r i s c h e n D r e i e c k s e i n e n

d e r d r e i W i n k e l z u f i n d e n .

Es sei der gesuchte W i n k e l A , so bat man , wenn a - ^ b ^ - c — s , zur Bestim

mung desselben ( § . 54 ( A ) , 6 4 , 65 , 66.) folgende Gleichungen:

. s j ccs a — cos b cos c n x . . ysin(k s — b) sin (-£ .9 — c) -'' \) cosA = • :—r—: ; 2) sin\A = ] 3 .— .—-—~ ';

sin o sui c sin b sm c

o x T *_Y^sinz)s.sin(%s—a) . ,_2Y^sin\s.sin(\s—a)sin(\s—b)sm(is-c) O) COS zr Jl I • : ; . ; 4 ; SlIl Jl : 7 -. ~ ;

* sin O sin c sin 0 sin c

5) t a n * A = = ^ P ' » <£ * ~ * i n <1 < ~ ^ <f *ZL$.

' * sm (| s — a) sin (-J- s — a) sin - s

Die letzte dieser Formeln ist zur Berechnung am vortheilhaftcsten, besonders

wenn man alle drei W i n k e l ver langt , weil um die Logarithmen von t a n \ A , tan\B, t a n - C zu finden, nur vier Logarithmen nöthig s ind , w o hingegen bei der A n w e n -

a • dung der übrigen Formeln sieben Logarithmen erforderlich sind.

§. 87. Bedeuten A ' , B', C die resp. Supplemente von A , B, C9 und substituirt man

in den obigen Formeln für die W i n k e l A , B, C resp. 1 8 0 ° — ^ ' , 180° — jtf', 1 8 0 ° — C ,

vertauscht alsdann die Seiten a, b, c des Dreiecks mit den correspondirenden G r ö

fsen A , B', C und umgekehrt , und substituirt endlich wieder 180° — ^ / , 180 0 — ^

180° — C resp. für A ' , B, C9 so erhält m a n , wenn A + B + C = S gesetzt wird,

wegen (§ . 60 . ) , folgende Gleichungen:

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• r r co*5&<*0.9frS—^ ^ . 2 K cosjS cosCfS—^VosGS-7?) costtS—Q 3) sm ^ = F — . —77^: 4) s m a = f — = =—77—• 771

J ~ SlTl B SUl C ' ' S l ! l SlIl C

„ , r _ 1 y cos ( f5 — A ) cos (i S ~ 7 ? ) cosQS — Q 4) co/ f a = — ^ f - Q 1 r-Q

cos (f S — A) cos i 0 Diese Formeln können dazu dienen a u s d r e i g e g e b e n e n A V i n k e l n e i n e s

D r e i e c k s e i n e d e r S e i t e n z u f i n d e n .

§. 88. A u s z w e i S e i t e n a, b u n d d e m e i n g e s c h l o s s e n e n W i n k e l C

1) d i e b e i d e n a n d e r n W i n k e l A , B u n d 2) d i e d r i t t e S e i t e c z u b e r e c h

nen. 1) D ie beiden W i n k e l A 1 2 ?erhä l t man rcrinittelst der beiden N e p p e r s c h e n

Formeln (I, II, §. 68.)

* . cos * (a — b) . ,, . - j r,. sin — (a — Ii) „ lanlU+Bi = S J J ^ + i j e o t l C , t a n i U - B i = s i n l \ a + ^ c o t i C .

2) Nachdem man entweder tani(A^-B) oder tani(A—B) ge funden, erhält

man die Seite c mit Hülfe der G a u f s i s c h c n Formeln (§ . 67.)

— s i n " ^ * a ^ ^ r r a ^ • C O j r 2 6* — b) c o s l c c o s i ( J ^ - B ) ' ~ si,ii(A + B)

. T sin \ C . sin § (a + b) _ cos § C . sin § (a — 6) * m * C c o s i ( A - B ) s i n i ( A - B )

§. 80. Verwandelt man d ieseFormeln nach derVorschr i f t (§ . 87.) so erhält m a n :

ro<r x ( A — B ) 1 s i n Z ( A — B ) . 1) tanl(a + b) = ^ ^ R ö ) ^ i ( a - b ) = j ^ J ^ t a n \ c

2)

. , r _ cos j c . cos -| ( A 4- 7?) _ s m l c . c o s | C ^ / - B ) * l H ä C cosx(« + 6 ) i (« + &)

T r _ cos j c . s*Vz I 4- B) __ sz'/z I c . sm | (y/ — B ) .cos i L — ~ c o v ^ ( f i ^ — ^ i ( a _

Mit Hülfe dieser Formeln kann man a u s z w e i W i n k e l A , B un'd d e r

z w i s c h e n l i e g e n d c n S e i t e 1) d i e b e i d e n a n d e r n S e i t e n u n d 2) d e n d r i t

t en W i n k e l f i n d e n . v

c o s A + c o s B c o s C O N , y c o s & S - B ) Cos(\S—C) 1) cosa = : — 7 , - .—= 2) c o s | a = ' = —71—r^,- J

y sui B sin C ' Ä C

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§. 90. A u s z w e i S e i t e n a, b u n d e i n e m d e r e i n e n S e i t e a g e g e n ü b e r

l i e g e n d e n W i n k e l A 1) d e n a n d e r n G e g e n w i n k e l B, 2) d e n e i n g e s c h l o s

s e n e n W i n k e l C, u n d 3) d i e d r i t t e S e i t e c z u f i n d e n .

1) Den Gegenwinkel B erbäJt man nach ( § . 58.) durch die Formel sin B ~ fi^4-^^. ° sm a

2) U m den eingeschlossenen W i n k e l C zu finden bediene man sich der dritten

Fundamentalformel (C) (§ . 54 . ) , indem man b, c, A , B resp. in a, b, C, A verwan

delt , so erhalt man:

sinb cota = sinC c o t A A~ cosb cosC. •

Diese w i r d , mit tanA multiplicirt und alsdann cosb tanA — tanXgesetzt,

sin C Ar tan X . cos C — sin b cot a lan A — tan b cot a tan X.

Multiplicirt man diese mit c o s X , so crgiebt s i ch : « » ( C + X) = « « X

-. . tan a . ; ,

Vermittelst d i e s e r F o r m e l erhält man, nachdem man X d u r e h tanX—cosb tanA

bestimmt hat , den gesuchten W i n k e l C

3) Hat man einmal den W i n k e l C gefunden, so ergiebt sich daraus die Seite c

vermittelst der Gleichung sinc — V ' n a l sm A

Es läfst sich aber auch c unmittelbar durch die Auflösung der ersten Grundfor

mel (A ) cosb cosc 4~ sinb sinc cosA — cosa berechnen. Dividirt man nämlich

diese Gleichung durch cosb und setzt alsdann tanb cosA = c o t x , so erhält m a n :

eos c Ar sinc cotx = n n & diese mit sinx multiplicirt, ergiebt s i ch :

» * I C^OS Ct sin (x A^ c ) = . s i n x woraus sich nachdem man x durch tan b cos A = cot x g e -

cos o ° funden hat , c berechnen läfst.

§. 9 t . Verwandelt man die so eben gefundenen Formeln nach (§ . 87 . ) , so er

hält m a n :

Page 269: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

1) sin b =

n. • , x tan B sin x . n . 2) * m ( c — x) = 7 — , w o tanx = cos i> w « a

/rt« 3) sin(C— X) = c~s-^- sinXy w o cotX = tanB cosa.

cos JJ

Vermittelst dieser Formeln lassen sich a u s z w e i W i n k e l n A, J 5 n n d e i n e r

G e g e n s e i t e a 1) d i e a n d e r e G e g e n s e i t e b, 2) d i e z w i s c h e n d e n W i n k e l n

A, B l iegende Seite c und 3) der W i n k e l C berechnen.

§. 92. Es ist hier noch zu bemerken, dafs in den beiden Ausdrücken für sinB,

sinb (§. 90, 91.), die Winkelgrofsen B, b zwar zweideutig s ind; diose Zweideutigkeit

j edoch in dcn meisten Fällen verschwindet. Aus dcr Nepperschen Formel (1 , §. <>S.)

OO'S " Cct *"" I)} % tani(A+B) = — r ~ i ( cot*C ergiebt sich nämlich, weil die W e r t h e v o n

2 1 ' cos 1 (a + b) ~ °

cosjt(a — b) und cot-\C immer positiv s ind, dafs tan\fA + B) und cosi(aArb)

gleichartig sein müssen , und folglich in j e d e m s p h ä r i s c h e n D r e i e c k e d i e h a l

b e S u m m e i h r e r G e g e n w i n k e l z u g l e i c h > o d e r z u g l e i c h < 90° s c i n m u f s .

Beispiele zur Berechnung sphärischer Dreiecle.

§. 93. E x e m p e l I. Die geographische Breite zweier Orter auf der Erdkugel

und ihre gegenseitige kürzeste Entfernung sind gegeben , man soll den Längenunter

schied derselben finden.

W e n n die geographische Breite eines Orts bekannt ist , so ist auch seine Entfer

nung vom P o l e , das Complement der Breite gegeben. Bezeichnet man also die bei

den Örter durch A, B, den PoI durch C1 so bilden diese ein sphärisches Dreieck ,

dessen Seiten a, b, c gegeben sind und in welchem der W i n k e l C, der den Längenun

terschied dcr Orter A, B derselben ausdrückt , gesucht wird.

sin B sin a sin A '

Page 270: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

log tan § = 8 , 1 9 0 7 0 0 3

und logtan\C.— l o g ^ ^ J — - = 8 , 4 9 6 6 0 0 3 ö n s m (| s — c)

Eolglich | C z= 1 ° 4 7 ' 4 9 " , 6 und C = 3 ° 3 5 ' 5 9 " .

§ . 9 4 . E x e m p e l I I . Aus der geographischen Länge und Breite zweier Orter

ihre kürzeste E n t f e r n u n g zu berechnen.

Bezeichnet m a n , wie oben die beiden Orter durch A, B, den PoI durch P so

sind in dem Dreiecke ABP die beiden Seiten AP, BP, und der eingeschlossene W i n

kel APB g egeben , woraus sich nach (§ . 8 8 . ) die dritte Seite AB finden läfst.

So ist z. B . , wenn man die resp. Abstände dreier Orter Dorpat , St. Petersburg,

M o s k w a v o m Nordpole durch ß', ß", ß"'\ ihre Länge durch X ' , X " , X ' " bezeichnet :

0 — 9 0 ° — 5 8 ° 2 2 ' 4 3 " — 3 1 ° 3 7 ' 1 7 " ; x ' — 4 4 ° 2 3 ' 5 1 "

ß" = 9 0 ° — 5 9 ° 5 6 7 3 1 " . = 3 0 ° 3 ' 2 9 " ; X " = 4 7 ° 5 9 ' 3 0 "

ß'" z= •9Qo 5 5 0 4 5 ' 1 3 * = 3 4 0 1 4 ' 4 7 " . x * = 5 5 o 1 7 ' n » t

Bezeichnet man nun die obigen drei Städte resp. durch A, B, C, so erhält man

i(PBC — PCB) — k' gesetzt,

tan k' = ^ * ^ T ^ 1 ( X ' " - X " ) , - s m 1 a = ^ l ( X ' " ^ ^ ^ + ^ s m I 0 » + ß ) cos k

l.sin 2 ° 5 ' 3 9 " = 8 , 5 6 2 7 9 1 9 l.sin 3 ° 3 8 * 5 0 " , 5 = 3 , 8 0 3 5 6 2 8

Z . compl. sin 3 2 ° 9 ' 8 " = 0 , 2 7 3 9 4 9 2 Z. sin 3 2 ° 9 ' 8 " = 9 , 7 2 6 0 5 0 8

Z . cot 3 0 3 8 ' 5 0 " , 5 = 1 , 1 9 5 5 5 6 7 Z . compl. cos h' = 0 , 1 6 7 2 6 3 7

Zo^ / a » * ' = 1 0 , 0 3 2 2 9 7 8 l.sin\a = 8 , 6 9 6 8 7 7 3

* ) D e r B o g e n e i n e s g r ö f s t e n K r e i s e s d e r E r d k u g e l v o n 9 0 O h ä l t i o o o o o o o M e i r e a . E s s i n d a l s o 2 ^ 1 5 7 $

W e t r e s — a ° 4 i ' 5 7 " - 8 D e c i m a l e i n l h . ( $ . a i . ) = 2 < > 2 4 ' 5 G " , 8 g e w ö h n l . E i n i h .

Es sei die Breite von A = 5 S * . 3 7 ' 1 7 " , von B = 5 9 ° 5 6 ' . 3 l ' ' , die kürzeste Ent

fernung von A bis B = 2 4 1 5 7 8 Metres = 2 ° 2 4 ' 5 6 " , 8 *) so erhalten w i r , wenn wir

uns der Formel ( 5 ) ( § . 8 6 . ) bedienen.

a = 3 0 ° 3 ' 2 9 " \ s J = 3 2 ° 2 ' 5 1 " , 5 .log compl. sin Is = 0 , 2 7 5 2 1 2 9

h = 3 1 ° 3 7 ' 1 7 " \s — a = 1 ° 5 9 ' 2 2 " , 5 log s m ( | s - a ) = 8 , 5 4 0 5 5 2 2

Cz= 2 * 2 4 ' 5 7 " 0 ° 2 5 ' 3 4 " , 5 % * m ( f * - & ) = 7 , 8 7 1 5 3 5 5

also s = 6 4 ° 5 ' 4 3 " — c = 2 9 ° 3 7 ' 5 4 " , 5 log « V i ( | * - . c ) — 9 , 6 9 4 1 0 0 0

6 , 3 8 1 4 ( ) ( ) 6

Page 271: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Y"sin § s .sm(f s—ä) s m ( | s—b) sin(\ s—c).

Nehmen wir die so eben bestimmten Seiten des Dreiecks A B C , so ist

a= 5<>42'15",8 |* = 7 ° 1 7 ' 3 5 " , 6 Z . s m f r t = S,6968773 Z . s m f s = 8,4429000

bz= 6 ° 2 7 ' 5 S " , 6 f s - a = 1^35' l9" ,8 / . « V z f & = 8,7512G99 Z . s m ( | s - a ) = 9,1036232

czzz 2 ° 2 4 ' 5 6 " , 8 f s — & = 0 ° 4 9 ' 3 7 " , 0 Z . s m f c = S,323S735 Z . s m ( f s - Z 0 = 8,9295450

* = 1 4 ° 3 5 ' H " , 2 i * — c = 4 0 52 ' 38 " , 8 Z2 =0,3010300 Z . s m ( f s - c ) = S,l5933Sl

26,0730507 34^6354063

17,3177031 7^i i77031

log tanr = 8 , 7 5 5 3 4 7 6 /• = 3° 15' 30", 1.

Folglich \a = 2° 51 ' 7 ' , 9 und a = 5° 42 ' 15", 8.

Eben so i s t , wenn } ( P A C ~ P C A ) = k",

sin%(fi'-tf") . T __ M j ( X ' " — X ' ) s m j (ß'" + ff') ta»k = ^ 7 7 ^ | g , „ ; c o / i ( X — X ) • sin \ b = ^ 7 7 *

s m § (ff 4- ff ) a v * ™s ^

l.sin l < > l S ' 4 5 " = 8,35993S5 l.sin 5 < > 2 6 ' 4 0 " = 8,9771772

Z. compZ. sin 32° 56' 2" = 0,2G4GG39 Z. sin 32° 5C' 2 " = 9,73533Gt

Z.coZ 5° 2 6 ' 4 0 " — 1,0208592 l.cornpl. cosk" = 0,0387566 l.tank" = 9,6454616 l.sin$b = 8,7512699

Also | £ = 3 0 15' 59", 3 und b = 6° 27' 58", C?. *

Endlich erhält man auch , wenn \ r P B A — P A B ) = k'",

4 .,„ sin 1 (ff' - ff'") . , . . x n _ s m f ( X " - X ' ) sinW + ft tank = —-~,-,~r~n"\ C o Z ^ ( X — X ) ; sin^c = 7 , ,

s m i (ff 4- ff ) cos *

Z . s m 0 ° 4 6 ' 5 4 " = 8,1348848 l.sin 1 < > 4 7 ' 4 9 " , 5 = 8,49G3743

Z . c o w 7 j Z . s m 3 0 o 5 0 ' 2 3 " = 0,2901890 Z . s m 3 0 ° 6 0 ' 2 3 " = 9,7098110

l.cot 1° 47 ' 49", 5 = 1,5034120 l.compl. cosk'" = 0,1176S82

/. tan k'" — 9,9284858 Z. sin \ c = 9,3238735 Demnach f c = 1° 12 ' 28", 4 und c - 2 ° 24' 56", 8.

§. 95. E x e m p e l III. Aus den drei Seiten a, b, c eines Dreiecks findet man

den Abstand des Pols des um dasselbe beschriebenen Kreises von dem Umfange des -

1 , r, , , e ~ 0 v , 2 sin * a. sin * b . sin T c selben vermittelst der Formel (§ . 7 3 . ) tan r = _ , =—, ; , -~ y " ^ = F =

Page 272: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

§. 96. Zum Schlüsse wollen wir noch die Auflösung einer interessanten Aufgabe

bei fügen, die dazu dienen m a g , mehrere der vorgetragenen Formeln in Anwendung

zu bringen.

Es seien für drei Orter A, B, C auf der Oberfläche der Erdkugel die resp. g e o

graphischen Längen X, X', x", und ibrc Absfände ß, ß', ß" vom NordpoIe P g e g e b e n ;

man soll die Länge x des FoIs O des um das sphärische Dre ieck ABC beschriebenen

K r e i s e s , seinen Abstand y vom Pole P, und die kürzeste Entfernung r von den drei

Puncten A, .B, C berechnen.

Zur Bestimmung der drei unbekannten Gröfsen x, y, r ergeben sich aus der

Betrachtung der Dre iecke OPA, OPB, OPC, weil die gleichnamigen W i n k e l resp.

x — X, x — X', x — X" s ind , unmittelbar folgende drei Gleichungen:

I. cos r z= cos ß cosy sin ß siny . cos (x — X)

IL cos r = cos ß cosy 4 " s , n ß' siny . cos (x — X')

/ I H . cosr = cosß"cosy .sin ß" siny. cos (x— X").

Zieht man I von II a b , und dividirt den Rest durch siny, so erhält man:

coty (cos ß — cos ß') ~ sin ß' cos (x — x') — sin ß (cos (x — X)

oder , weil a«. — bß — a ^ ( « — ß ) ct ^ ^ coty(cosß— cosß')

sinß'^rsinß, , . , sinß'— siaß . , . , — ~ (cos(x—X) — cos(x—\))-\ 2 (cos (x — x ) + cos (x — X)).

TA . 1 L J sinß'^-sinß cos(x—X')—cos(x—X) , sinß'—sinß cos(x—\')-rcos(x—X) Deshalb coty = - 4 - • - — - , . ^ ^ cosß—cosß 2 cosß—cosß 2

= cotl<ß' — ß) s z V J ( X ' - X ) sin(x~^^) + cotl(ß' + ß) c o s f ( x ' - X ) cos(x — ^ ^ )

oder , wenn man .\ <•. • ;•• .

cot f iß' — /3) Sin l (x' X) = A sin B', cot f (ß' + ß) cos \ (X' — X) = A cos B' setzt.

I V . COty = A sin B' Sifl(x - i ± ^ ' ) + A' cos B' cos(x - - j ^ ) = A' cos(x - ~

— 2i

A u f gleiche W e i s e erhält man aus den Glcichungon I , I I I , wenn man

cot \<J$" — ß) sin § 0 " — X) — A" sin B', cot l(ß" 4- ß) cos |(x" — X) = A" cos B" setzt.

Page 273: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

- \ _ - „ X + A ' _ L n ' - r ' A" cos Cx - C ) — A' cos Cx - C ) = .o , w o + B' = C\ ^ J - + B' = C

Diese Glc i chungfcann ahcr , weil au — bß — a"^" ^ ( « — ff) + - ^ r ~ 0 * + ^ ) j 5 n

A " \ A • (cos Cv — C) — cos(.v - C ) + ^ ~ A > Ccos Cx - C) + cos Cx — C ) ) = o,

verwandelt werden. Daraus «rgiebt sich

A'' — A cos Cx — C ) — cos Cx — C) _ , V - h C ^ T — - — - ^ ^ _ p ^ — Z a « T ; tan ^ ( C — C ) .

A 4 r c t w (' v — C ) 4 - cos (*• — c ) ^

W e i l aber , wenn ~^r, = Za« t * • . , A

A ' ~ A 1 — Z a / i 0 _ / r m 4 5 ° — tot^ _ / i - o _ ^

^ r + ^ " 1 + tarcp 1 4 - 1an W.tanq> ~ t a t n * ° £7' j _ £ "

so erhält man fan(x ö~) — tanC^50 — <P) cot\{C—C'), undalsdann y dnrch

eine der beiden Gleichungen I V , V . Aus diesen beiden Werthen findet man endlich

die Gröfse r durch die Formeln I , I I , I I I , oder nach ( § . S S . )

§ . 9 7 . Es seien die drei Orter A, B, C auf der Erdoberfläche die Städte M o s k

w a , St. Petersburg, Dorpat , so ist

X = 5 5 ° l 7 ' 1 l " ff=34°14'47" * f X - x ' ) = 3 ° 3 S ' 5 0 ' , 5 - | ( X - x " ) = 5 < > 2 6 ' 4 0 "

x ' = 4 7 < > 5 9 ' 3 0 " ff' = 30<> 3 '29" § ( X + X ' ) = 5 1 ° 3 8 ' 2 0 " , 5 § ( X + x " ) = 4 9 ° 5 0 ' 3 t '

X * = 4 4 < > 2 3 ' 5 i " ff"r=31°37'l7" §G3 — 0 ' ) = 2 ° 5 ' 3 9 " f ( f f - f f " ) = l M S ' 4 5 "

f O S + ff') = 32° 9 ' S " lCß + ß") ~ 32* 56' 2"

log sin f ( X — * ' ) = 8 , 8 0 3 5 6 2 7 hg sin l ( X - X " ) = 8 , 9 7 7 1 7 7 1

log cos K X - X ' ) = 9 , 9 9 9 1 1 9 4 hg cos - * ( X - X " ) = 9 , 9 9 8 0 3 6 3

hgcot \Cß-ß') = 1 , 4 3 6 9 1 8 0 logcotlCß-ß") = 1 , 6 3 9 9 4 7 6

B — 4 7 « 3 0 ' 5S"

C - f ( x + x ' ) + 2 * ' = 9 9 < > i 5 ' i $ " , 5

J S " = 6 9 ° 3 8 ' 2 4 " , 2

Zo0O- cot i ( f f+ff ' ) = 0,2016466 Zo# coZ|(ff4ff") = 0,1885803 ; C = f ( X + x " ) + i T = 1 1 9 < > 2 S ' 5 5 ' ' , 2

x 4- x ' '

V . coty = A" cos (x — 73"). Demnach ist

Page 274: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

l o g . A s i n B ' = 0,2404807 l o g . A " sin B" = 0,0171247 |f (C ' -C ' ) = 10*>G'48",4

l o g . A ' cosB' = 0,2007CG0 l o g . A " cosB" = 0,1860106 j f (C"+C) = 109° 2 2 ' 7 "

l o g t a n B ' = 0,0397147 l o g t a n B" = 0,3305081 % m r t p = = Z ^ , , = 9,7209039

log cosBt = 9,8287209 log cos B' = 9,5414754 L = 2 s ° 4 ' 2 " , 3

h g A — 0,3720451 l o g A ' = 0,6451412 I

l o g t a n (45° — 0) = 9,4835112 x — C = 69° 44' 54"

l o g c o t \ (C — C ) = 0,74S08()I n l o g c o s ( x — C ) = 9,5392573 C JL C"

log i a n ( x - ^ L - ) = 0 ,2321913« l o g . A " c o s ( x - C " ) =z 0,1843985 # -2

x — C + 6 — — 59° 38' 6" = l o g . co£ j . A lso j = 33° 11' 10* Jä

x = 4 9 ° 4 4 ' l " .

Es ist also die geographische Länge des Pols des um A B C beschriebenen K r e i

ses 49° 44' 1", sein Abstand vom NordpoIe = 33° l l ' 10''. Vermittelst dieser beiden

Gröfsen und der gegebenen Länge und Breite eines der Orter A , B , C findet man

nun nach (§ . 88.) die Entfernung des Punctes O von A , B , C, oder r = 3° 15' 30".

Die obige Methode aus den Gleichungen I , I I , III die unbekannten Gröfsen

.v, y, r zu f inden, ist von IIrn. Hofr . G a u f s in der monatl. Corresp. zur Beförd.

der E r d - und IIimmelskunde Oct . 1808, p. 282 bei einer andern Gelegenheit gelehrt

worden.

§. 98. V o n der so eben behandelten Aufgabe findet man auch eine Auflösung

in C a g n o l i s Trigonometrie am Ende des W e r k e s , die wir wegen ihrer Eleganz hier

noch mittheilen wollen. r , » * * »*"

W e n n wir die Bedeutung der (§• 97.) eingeführten Zeichen beibehalten und über-

diefs die W i n k e l P A O , P B O , P C O durch # , ^ b e z e i c h n e n , indem wir dieselben

als positiv oder negativ betrachten, j e nachdem die Puncte A , B , C auf der östli

chen oder westlichen Seite von P O l i egen , so hat man zur Bestimmung derselben

folgende drei Gleichungen:

Page 275: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

sin f (ff' — ff") co/ (X" - ^ ) sin f0* + O

sin \ (ß"— •ff) cof*(X--x") sin

sin j (ff — ff') co*f(X' -X)

tan*(f,4r$ =

(1) tof(<T+#) = tan \ (i + v) =

Es ist aber , wie man leicht übersieht, zufolge (§ . 58.) ,

Siny _ VJtL — s , ' n * — s r n €

6V/iV *z'« (X — x) sin (X' — x) sz>i(X"— jr)* Daraus ergeben sich dic Gleichungen:

,anQV + >r)-., = S f ^ - ^ i ( X ' - X " > P) ^«(i^" + x ) - A - ) =

»

fo» (I (X + X') _ *) = • tan i (X - X') von denen j ede dazu dient, die Länge x des PoIs O zu finden.

Endlich erhält man auch aus den Gleichungen ( 2 ) , die fo lgenden:

cosUX—x—i) co*|(X'—x—v)± r n f — C O s \ ( \ " — _ „

tanl(vA-r) = —T— r¥ tan iß = — iX' m«fff = — --*--„ to I ff' ra« T v)T-/; oos|(X-ArH-#) 2

cosi(\—xArv) *' cusl(X"-xAro (4)

x . ^ s C X -*-#K r o sinl(\'—x—v)s ff;,2*^x"—*—£) . / a«|Or-r ) = - . - tan iß = • > r v , tan i ff = • T „ T1r tan § ff s v sini(X—AT^-I) AiZZj(X—#+v) «^|VX—.v+Q 2

zur Bestimmung dcr Grdfsen y, r.

ITm die Formeln (1) zu beweisen ist es genug an einer derselben die Richtigkeit

zu. zeigen. W i r wollen die erste dazu nehmen. Es sind hier zwei Fälle zu unter

scheiden, entweder liegen die Puncte B, C auf einer und derselben Seite von PO

oder auf verschiedenen. Im ersten Falle sei W i n k e l OPB < OPC, so i s t , 1) wenn

PB > PC, PBO Ar PCO = (OBC-PBC) + (PCB - OCB); und weil OB = OC)

also OBC = OCB, PBO Ar PCO = PCB - PBC

Ist aber PB < PC, so hat m a n , wenn man 3 6 0 ° — P 2 ? O durch PBO bezeichnet,

PBO Ar PCO = 360° — P # O + PCO = 360° — (PBC + 0 # C ) + + BCO)

Page 276: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

* : « *

252 * Dritte Vorlesung. Über ebene *

= 360° 4- PCB — PBC L iegen die beiden Puncte B, C auf verschiedene Seiten

von PO, so ist PCO — PBO = (PCB± OCB) — (PBC±BCO) = PCB — PBC

Da mm_t,PBO, A1 PCO durch jf beze i chnctwcrden , j e nachdem 7?,. C a u f der westli

chen oder östlichen Seite von PO liegen , so ist n + £ — PBC — PCB oder — 360°

+ PC7? — P B C , also allgemein /fm|(>/ + <?) = tan\(PBC — PCB). Es ist aber

zufolge der Nepperschen Formel (§ . CS, II.) tan l(PCB — PBC) = '^i^^ZjQ c o i | PBCV SM j ( ß ß )

Folglich tan 1 (n + Ö - ^ t 7 ^ S c a t i ~ X'> SM j 03 - j - y3 )

Die drei Gleichungen (2) ergeben sich aus den drei Dreiecken PAO, PBO, PCO

zufolge ( § . 90.) W e i l die W i n k e l i, n, { positiv oder negativ s ind, j e nachdem resp.

die Puncte A, B, C östlich oder westlich von PO l i egen , so sind die Ausdrücke

Sin2 Siny Siu£ n . . . . , ^—>.- ~^~rC' • n•„ ; alle drei pos i t iv , was auch der Fall sein

SM(X X) SM(X X) SM(X x) - * , . * . "* . v " > > " " • ;.' '

. mufs , wenn y und r positiv sein sollen. W e i l ^ = so ist auch *J£±±J»^ = ' J n ^ ^ n ^ ^

SM(X—x) si/i(X—x) SMV — sin$ sin(^ — A - ) — s i n ( X " — x )

i m m a t ^ n + $ c o . , H ^ = ^ 4 ^ - . v ) «^ jg 2 cos i (n + {) sm i (* — {) x' + X" . . X' — X "

2 cos(—2 x) SM -

, - , , tant(v + & _ tan(x-(l(X"+X') . . und folgUch - F — — j~;—--,—-, woraus sich die erste der drei Glei-

tan \ (fj — Q lan £ (X — X ) '

cbungen (3) ergiebt. D ie beiden andern werden ganz auf dieselbe W e i s e gefunden.

* Betrachten w i r j e t z t das Dreieck POA, so sind in demselben die beiden W i n k e l

PA^O = OPA = X — x und die dazwischenliegende Seite PA = ß g egeben , und

es lassen sich daraus mit Hülfe der N e p p e r s c h e n Formel I I I , I V . (§ . GS.) die bei

den Seiten PO = y und OA = r f inden, so dafs

cos \ (X — x — i) . c / „ » rX — v — i) ianl(y + r) = _ L _ _ _ 2 t a n l ß , ^ J 0 - O = taniß.

.• " ' « ••

Page 277: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

X =55°17'll"|ff =34<>14'47"

x ' =47 o 59 '30" f f ' =30° 3'29"

X"=44<>23'5l" ff"=31<>37'l7'

*(X'_x") = 1 0 47 '49 " ,5 l(ß"—ß') = 0 °46 '54

»(X_x") = 5<>26'40"

*(X-X') = 3<>3S'50,"5

I03—ff") = l ° l S ' 4 5 "

* ^ S _ 0 ' ; = 2 0 o ' 3 9 '

i : f f "4 -y3 ) -30o50 '23"

K^- f - f f " )=32°5G' 2 "

l(ß' + fi)z=32,o 9'

l.sin 0 ° 4 6 ' 5 4 " =S ,134SS4S / . . sm 1°1S '45" = S,3'5993S5/.*/« 2<>5'3<>" = S.5627919 /&

I'>sin30* 50 '23" = 0,2901890 l'.sin 32° 56' 2" = 0,2646639 t.si'11 32° 9' S'' = 0,2739492

l.cot l °47 '49 ' ' , 5 = 1 ,5034120rc / . co*5°20 '40 ' '= l ,0208592 l.cot 3 0 3S '50 'V ' — l,1955o67 n

1. lan § (» H- Z) — 9,9284858 n 1. tan §(£f#) = 9,64546!6 Z. tan § (# 4 ») = 0,0322978 ~"

1 ('/ + Ö = — 40° 1S' 13", 5 1 (<? H- a = 230 50' 50" £ (/ + >/) = 47° 7'42", 5

daraus £ ( j — { ) = 23° 10' 52", 5 £ (<f— #) = ^ 87° 25' 56" | (# — :,) = 64° 9' 3", 5

l l n d v = — 1 7 ° l ' 2 l " { = — G3°35 ' 6" i = H l ° J 6 ' 4 0 "

/ 1 _f £ =9,9284858 Z /<m 1 + i) =9,6454616 Z / « « | (J + v) =0,0322978

/ cot 1 ( v _ =0,3CC2457 Z coZ i tf— £) =8,65l62'57 « Z coZ f =9 ,68527 l3

Z tan \ (X"— X') =8,4965880 n 1 tan |(X — X") =8,9791403 / t a n \ (X' — X) =8,8044433 n

/^„(^_'(X' 'H-x '))=8,791319rZ/a/z(A--iCX+x"))=7,2762276« Z/.(.v-|(X'+Xv=8,5220124 7 1 a- - |(x" + x') = 30 32 '20", S x — £(X + X") = - 0 ° 6' 30" x - |(X' + X) = - 1 ° 54' 19".

.Tedc dieser drei Rechnungen giebt für x dasselbe Resultat, nämlich 4 9 ° 4 4 ' l " .

Aus den gefundenen Werthcn von i, n, g ergeben sich dic W i n k e l A, B, C dcr

rcsp. Dre iecke PAO, PBO, PCO, indem man für A, B, C die absoluten W e r t h e

von i, v, <f selbst oder ihre Supplemente nehmen mufs. Aus der gegenseitigen L a

ge der P11nctc A, B, C, P, auf dem Erdglobiis überzeugt man sich leicht, dafs

A = 68 43 '14" , B = 162*5S'39" , C = 1 1 6 ° 2 4 ' 5 4 " . Zugleich erhält man die resp.

W i n k e l OPA, OPB, OPC der gleichnamigen D r e i e c k e , indem man für dieselben

* " A u f ähnliche W e f s c erhält mnn vermittelst der Dreiecke POB, POC, die he!:!cn

andern Formeln von (4).

§. 99. Nehmen wir jetzt das bereits nach dcr C ! a u f s i s c h e r r M c t h o d e (§ . 9I,.)

berechneten Exeiirpcl v o r , wobei wir log cornp. durch X bezeichnen wollen.

Page 278: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

425 " Dritte Yoi lesung. Lber ebene * * * . . *

die absoluten W e r t b e von x — X, x — X', x — X" setzt. Diese sind 5 ° 3 3 * 9 " , 5 ;

l ° 4 4 ' 3 l " , 3 ; 5 ° 2 0 ' l 0 " . Da übcrdiefs auch die resp. Seiten PA = ß, PB = tf, PC=ß"

gegeben s ind , so findet man vermittelst jedes der obigen drei Dre iecke OP — y,

OA = OB — OC = r. So findet man (§ . S9.) durch die Auflösung des Dre iecks

POA, y und r durch folgende Rechnung :

/ c o * 3 1 < > 3 5 ' 2" . = 9,9303755

lcomp. cos37<> s ' l l " , 7 = 0,0984335

ltanYI0 7 '23" ,5 = 9,4S866S3

llanlty + r) = 9,5174773

| ( _ y t r ) = 18<M3' l9" ,9

folglich y = 33<>11' 9",8

Für das Dreieck PBO ist die Rechnnng :

lcos 8 0 ° 3 7 ' 4" = 9,2122399

/co777p .co.s 8 2 0 2 l ' 3 5 " = 0,S763023

ltcinlz0 1 '44" ,5 = 9,1289317

ltan(y + r) = 9,5174739"

Und für PCO:

Z c o s 5 5 ° 3 2 ' 2 2 * = 9,7526031

lcomp. cos 6 0 ° 5 2 ' 3 2 " = 0,3127308

ltan 1 5 ° 4 8 ' 3 8 " , 5 = 9,4520520

ltan(y + r) = 9,5174759

Z « m . 3 1 ° 3 5 ' 2" = 9,7191210

lcomp.sin370 8 ' l l " , 7 = 0,2191666

ltan 17° 7 '23" ,5 = 9,4886683

ltan\(y — f) — 9,4269559

\(y — f) = 14°57'49",9

r = 3 °15"30" .

lsinHQ°37' 4" = 9,9941511

lcomp. sin 8 2 ° 2 l ' 3 5 " = 0,0038728

ltanl50 1'44", 5 = 9,4289317

ltan(y-r) — 9,4269556

Z « m 5 5 ° 3 2 ' 2 2 " = 9,9161988

1 comp, sin 60° 42' 32" = 0,0587051

ltan 15<>48'3S",5 = 9,4520520

ltan(y-r) — 9,4269559

Die Exempel von (§ . 93.) sind von einen meiner Zuhörer Hrn. N e r l i n g berech

net worden.

Page 279: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

V i e r t e V o r 1 e s u n g.

Ü b e r a n a l y t i s c h e a l l g e m e i n e E I e m e n t a r g e o m c t r i e .

§. 1. Die Entfernungen eines Punctes von drei senkrecht aufeinanderstehenden

Ebnen werden die r e c b t w i n k l i c h t e n C o o r d i n a t e n desselben genannt. Man b e

zeichnet dieselben gewöhnlich durch die Buchstaben .v, y, z. Die drei senkrecht

aufeinanderstehenden Durchschn i t t s l in ienderdre iEbnenbe i f sen die A x e n d e r C o o r

d i n a t e n . Um sie von einander zu unterscheiden, nennt man sie die A x e n der

.r , v , z nach den Coordinaten mit denen sie parallel s ind , und die drei Ebnen nennt

man nach den in ihr liegenden A x e n die Ebene yz, zx, xy. Durch j ede dieser E b

nen wird die ihr coordinirte A x e in zwei Thei le getheilt, wovon der eine als positiv,

der andere als negativ zu betrachten ist. Der den drei Ebnen und A x e n gemein

schaftliche Diirchschnittspunct, den wir mit O bezeichnen w o l l e n , heifst der M i t t e l -

p u n c t d e s A x e n s y s t e m s oder der A n f a n g s p u n c t d e r C o o r d i n a t e n .

§. 2. Läfst man von einem Punctc P auf die drei A x e n der x, y, z die resp.

Perpendikel PQ, PQ', PQ" fnllen, so s ind , wie m a n l e i c h t ü b e r s i e h t , d i e T h e i l e

OQ, OQ', OQ" der drei A x e n , welche man die P r o j e c t i o n e n des Radiusvectors

PO in dcn rcsp. A x e n nennt, den Coordinaten x, y} z des Punctes P g^ich und

gleichartig.

Page 280: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

§. 3. Legt n i a n durch die c!rc-i Puncte Q, Q\ Q" Ebenen resp. parallel mit den

Eb<uen yz, zx, xy, so überzeugt mnn sicb le i cht , dafs diese drei Ebenen den Punct

P zum gemeinschaftlichen Durchschnittspunct haben müssen; woraus also fo lgt , d a f s

d i e L a g e e i n e s P u n c t e s i n B e z u g a u f e i n g e g c b e n e s A x e n s y s t e m d u r c h

s e i n e d r e i r e c h t w i n k l i c h t c n C o o r d i n a t e n x,y, - v ö l l i g b e s t i m m t i s t .

§. 4. Die Lage eines Punctes P in Bezug auf ein gegebenes Axensystem ist

auch bestimmt, wenn der •Radiusvector PO — V j der Neigungswinkel = ß des Radi -

usvectors mit einer der drei Ebnen , z. B. mit der Ebne xy, und der Winke l X, den

dle Projection des Radiusveclors in dcr Ebne mit der positiven Seite ciner der Axen

in derselben z. B. x macht , g<*gebcn sind. Man nennt diese drei Gröfsen r,ß, X dio

P o l a r c o o r d i n a t e n des Punctes. Dafs durch diese die Lage des Punctes P völlig

bestimmt w i r d , davon überzeugt man sicb folgendermafsen.

Man lasse von P auf die Ebne xy des Perpendikel PQ fallen, so 'is( QG die

Projection dcs Radiusvectors PO; von Q ziehe man auf die A x e dcr x das Perpendi

kel QRj und auf die A x e dcr y das Perpendikel QS, so ist offenbar OR — x,

OS = yj PQ - Zj W i n k e l ROQ — X , SOQ = 90° —X, POQ = ß. N 1 1 n ist

OQ zzz PO.cosß =z r cosß. Demnach

x =z OR — OQ cos X = r cos ß cos X

y — OS ~ OQ sin X = r cos ß sin X

z ~ PQ zzz r sinß.

Dafs der W i n k e l ß positiv oder negativ genommen werden m u f s , j e nachdem

sich P auf der positiven oder negativen Seite dcr Ebne xy befindet, und dafs ß in

nerhalb der Grenzen + 90° und — 90° l iegt , bedarf wohl kaum einer Erinnerung.

Z u bemerken ist n o c h , dafs der W i n k e l X so bestimmt werden iimfs, dafs e r , wenn

die Projection des Radiusvectors mit dem positiven Thei le der A x e der y zusammen

fällt, positiv und — 90° ist. Auf diese W e i s e sind also die rechtwinklichten Coordi

naten x, z durch die Polarcoordinaten r, X , ß g e g e b e n , wodurch die Lage des

Punctes P völlig bestimmt ist.

Page 281: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

§. ,5. Aus den drei Gleichungen x~=rcosß co.sX, y~rcosßsin>., z = rsinß

ergieht sich x'- + y2 ==. ,•2 c o s ß2 (C0g2 \ j _ S1'ni x) z= cos7 ß, und folglich .r 2 ~f- y" 4- Z" = r 7 .

§.. 0. AVenn die Coordinaten .v, y, z eines Punclos P in Bezug auf c in gegebe

nes Axcnsystem bestimmt s ind, so finde* man daraus, wie man sich leicht überzeugt,

wenn .v', y', z', die Coordinaten desselhen Pundcs in Bezug auf ein anderes mit dem

ersten paralleles Ayensystcm bedeuten, dessen Mitte1punct O' durch die Coordinaten

a, b, c gegeben ist , .v' = x — y ~=y — b, z' = z — c. Bezeichnet man nun

den Radiusvector PO" durch r, so ist

r'- =: x>* + y» Jf z'2 = (x — ay- + (y — by- + (s — c ) 2 .

Diese Gleichung cntliäll zugleich dic Auflösung der Aufgabe : Aus den Coordina-

te-ii a, b, c; x, y, z zwc icr Punctc 0', P die gegenseitige Entfernung derselben zu

bestimmen. . ,n>im .

§. 7. Um die Richtung einer geraden Linie zu beze ichnen, bedient man sich

sehr oft der Cosinusse der W i n k e l , den sie mit drei, den A x e n der Coordinaten, pa-

rallen Linien macht. D ie Anwendung dieser Gröfsen für dic Rechnung giebt derselben

eine E leganz , die man selten auf einem anderen W e g e erhalten würde. D a diese

Gröfsen in der höhern Geometrie und allen Zweigen der Mathematik, wobe i dieselbe

zum Grunde liegt, von eben so häufigen Gebrauche sind, als dic rechtwinklichten Ceor -

dlnatcn, so wird es nützlich se in , dieselben durch einen eigenen Namen und eSgene

Zeichen auszudrücken. W i r wollen daher die Cosinusse dcr W i n k e l , den eine Linie

(L ) mit L i n i e n , dic den A x e n der drei rechtwinklichten Coordinaten x, y, z parallel

* ind , die D e t e r m i n a n t e n der Lki ie (L ) nennen, und diese Determinanten resp.

mit dcn Buchstaben i, 71, £ bezeichnen.

Man Übersicht le i cht , dafs diese Determinanten wirklich nichts weiter sind al«

die Coordinaten irgend eines Punctes P , der geraden Linie (L ) in Bezug auf ein dem

Grundsystcme parallclcles A x e n s y s t e m , dessen Mittelpunct O' ein anderer Punct der

Linie (L ) i s t , und um die Entfernung = 1 vom ersten Punctc absteht.

Für einen Pnnct P 1 derselben graden Linie P 0 ' , der auf der entgegengesetzten 33

Page 282: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

. #

:

Seite ebenfalls um 1 von O' entfernt s i n d , w e r d c n die Coordinaten von derselben

Gröfse als die des Punctes P sein und sich nur durch das Zeichen oder — unter

scheiden, so dafs , wenn « , <? die Determinanten der Linie O'P s ind, die Determi

nanten von 0'P1, —i, — v, —g sein müssen.

rm

Es bedarf wohl keiner Erinnerung, dafs Parallellinien dieselben Determinanten

haben , und d.ifs die Determinanten einer Linie dieselben bleiben, wie auch das

Axensysteni in Absicht seines Orts verändert werden m a g , vorausgesetzt , dafs die

corrcspondirenden A x e n unter sich parallel bleiben.

§. 8. W e i l die Richtung einer Ebne durch die Richtung irgend einer auf ihr

senkrechten Linie bestimmt ist, so w<dlen wir die Determinanten einer solchen senk '

rechten Linie die D e t e r m i n a n t e n d e r E b e n e n e n n e n .

Zuweilen ist es auch nöthig, die Determinanten derselben Ebene durch das Z e i

chen 4~ l , n < ^ — z u unterscheiden, j e nachdem man die eine oder die andere Seite

der Ebene als positiv betrachtet.

§. 9. Vorläufig wollen wir einige analytische Formeln und Sätze niittheilen, die

uns in dieser Geometrie von besondern Nutzen sein werden.

Es sei y'z"— z'y" = X, z'x"—x'z"=Y, x'y"—y'x"=Z

y"z — z"y — X', z' x — x"z ~ Y', x"y —y"x — Z' t I V- ' ' ' I ' T r « > ' rz't

yz —zy — - i - ; zx —x z — Y , xy —yx —^

ferner

xX +yY + zZ =P* ' 0 , x'X +yY +z'Z = P ' 0 , x"Y +y"Y +z"Z =P*>0

xX +y Y' + Z Z' ==z P°.i , X'X + y'Y + zZ' ZZZ PIA , X"X' + y"Y' + z"Z' zzz P>>*

xX" + y Y" + zZ' zzzp°*, x'x"4-y'Y" + z'Z" = Py*, x"X" + y"Y' + z'Z" = P2'3

und

X X + xX + x"X" zzz Qo,o } y x + y X + y j f _ QI/0 ^ % x + Z ' X + z"X" = Q=,o

x Y + x' Y' + x" Y" = C>'2, y Y + y Y' + y" Y" = , z Y + z T + z" Y" = p 2 " * Z + x'Z' + x"Z" zz= Q»*, y Z +fZ' + y"Z" zzz Q,*, z Z + z'Z' + z"Z" =

Page 283: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

** u l lgcmcincElcmcntargcometr i c . 259

jro überzeugt man sieh leicht durch wirkliche Entwickelung der durch P , Q bezeich

neten Gröfsen , dafs jeder der Ausdrücke P 0 ' 0 , P 1 ' 1 , P 2 ' 2 und @<*>, Q^, Q*-, deren

beide Anzeiger gleich s ind, sich auf die Formel

A- y'z" + x'y"z + x"y z' — zy'x'4 — z'y" x — z"y x' =

zurückführen läfst: hingegen alle übrigen Gr<*ifsen P , Q, deren Anzeiger verschieden

s ind, = o scin werden.

F)ie obigen Formeln lussen sich wegen ihrer symmetrischen und cyklischen A n

ordnung sehr leicht dem Gedächtnisse einprägen. So folgen z. B. in Y' = z"x — x"z

die Buchstaben T, z", x, und auch ihre Anzeiger 1, 2 , O in cyklischer Ordnung auf

einander, und der zweite TbeiI — x " z von Y ' entsteht aus dem crstenz"x durch

Versetzung von z, x odcr ihrer Anzeiger 2, 0. Durch die Doppelanzeiger von P , Q

werden resp. die in ihren corresp. Formeln vorkommenden Anzeiger oder Buchstaben

angedeutet , so ist z. B. P''= = . v ' - Y " + / Y " + s ' Z " , Q^-rZAryZ'+y'Z". W i r

werden die Bedeutung der Zeichen JC, Y, Z,\ JC, Y', etc. K in der Folge bei

behalten, und die auf gleiche W e i s e durch v, <f; f, v', <f, etc. gebildeten Gröfsen

mit dcn deutschen Buchstaben £ , 3 ; Q)', etc. Ä bezeichnen, so dafs

,Y'-<fY' = S , fr-ff = y, * V _ , ' * * = 3 , e t c

§. 10. L e h r s a t z . Aus dcn beiden Gleichungen

*'x + ß'y + y' s = o, »'x + ß"y + y"z — o

ergiebt sich x : y : z =• (ffV' — y'ff") : (y'x" — « 'y" ) : (<*'ff" — ß'*)

Subtrahirt man nämlich von dcr ersten Gleichung durch y" multiplicirt, die zweite

durch y' multiplicirt, so erhält man

(« 'y* — «'V) A- + (ß'y" — ß"y)y oder ( y V — *V') - v — (ß ?' — ß V))' ~ o. Folglich jc : y = (p'y" — ß"y) ; — *'y").

Eben so ergiebt s ieh, wenn man von der ersten durch « w multiplicirt, die zweite

durch «' multiplicirt, abzieht

(x"ß' — ß"*)y + ( « "y ' — y V ) s odcr («'ff" — ff'«")r _ ( y Y ' _ « ' / ' ) £ = o.

A l so y: c = ( y V ' — *Y') W ' — ß'«").

Demnach x:y:z = (ß'v"~y'ß") : ( y V — « ' / ) : («ß"^ß'**y

Page 284: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

§. 11, D ie (§ , 9.) vorgetragenen Sätze lassen sich auch mit Vortheil zur Auflö

sung der Gleichungen vom ersten Grade mit drei unbekannten Gröfsen anwenden*. d

Es sei nämlich « x 4~ ß y + V z — a

*x + ß'y + y'z — b

et"x 4- y3'y 4" y"z = c

so erhält man , wenn man die obigen Gleichungen rcspective durch ß'y"—y'ß" = tyy

ß"y — y"ß — 51? ßy—Vß' — 21" multiplicirt, und dann addirt, weil

+ ß'W 4 - ß"T = o , y3l + y'34' + y " T = o,

C«5I 4- « '2l ' 4- « " 2 T ) * = «2 ( 4- Z>2T 4- c9l".

Eben so ergiebt sich durch die Summation der obigen drei Gleichungen rcsp.

durch y'x"— oc'y" — 25, y''a — u!'y = 23', xß' — ßc*' — 23 ' multiplicirt, weil

y23 + / 2 3 ' 4- y"95" = o , «23 + *'2S' 4 - <*"23" = o ,

0*23 + fi'f8' + r3"93")j = « 9 5 4- Z>23' + c93".

Endlich erhält m a n , wenn man die drei Gleichungen, nachdem man sie rcsp. mit

*ß" — ß'x" = £ , ct"ß — ß"x = g ' } uß' — ßa' = G" multiplicirt hat , nddirt, weil

« g 4- « '§ ' 4. = o , + iS'g' 4- = Oy

( y S + / § ' 4- y"&")z = a& + o g ' 4- c £ " .

§. 12. Kombinirt man die Gröfcn X , Y , Z , X ' , etc. auf eine ähnliche W e i s e ,

wie man die Gröfsen x , y , z, x ' , etc. combinirt hat , um die Ausdrücke X , Y , Z , etc.

zu erzeugen, so erhält man folgende sehr interessante und brauchbare Gleichungen:

Y'Z" — Z' Y' — K x , Y ' Z — Z" Y = K x , YZ" — Z Y' = Kx",

Z X ' — X Z " = i v " j . 2 * X — J T Z = Ky , Z J T - J £ Z ' = Ky",

X Y ' — Y ' X " = K z , X " Y - Y ' X - K z , X Y - YX' = Kz",

v o n <leren Wahrheit man sich leicht überzeugt , indem man eine derselben z. B. die

erste wirklich entwickelt und ze igt , dafs

Y'Z" — Z'Y' oder ( z " x — x " z ) (Xy — y x ' ) _ (x"y _ y " x ) (z x' — x z ' )

= x(xy'z" + x'y"z 4- * j ' s ' — zfx" — z'y"x — z"yx') = aA7.

Page 285: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

DTe übrigen rasscn stch lcicht äus dieser durch cyk3iche Veränderung der Buchstaben herleiten.

§. 13. Von besoiidern Nutzen ist noch folgende Gleichung:' Cy" z — z" y) (y z' — z y') 4 (z" x — x" z) (z x' — x z') + (x" y — y" v) (x y' — y *';) = (xx' + yy' 4- zz') (xx" + yy" + n" ) — (x 24^^z 2)(x'x" + y'y" + zV') T o n deren Richtigkeit man sich durch die Entwickelung beider Glieder überzeugen kann. Setzen wir nun Kürze halber x' x" -f- y' y" + z' z" = V1'8, x" x + y" y + z" z = V2'°, x x ' 4 y y' j _ z z'= V^, x2 + y2 4- Z= = V0'0, x'* + y'- 4- z- = Y'**, x"*4- y"- + z " * = Va<», i o hat man folgende drei Gleichungen:

XJT 4- Y' Y" 4- Z Z " = V ^ . V 0 ' 2 — V*>*. V>>-

x"x + Y" r 4- z z = . v>>-—v*>*. ^ ^ . .

" - X T 4- Y Y' + Z Z ' = ^ . V-* — /^<2. V°>\ ' ' * ''

$. 14. Substituirt man in der Gleichung X'X" 4- Y'Y"4-Z'Z"= V"'T.Vrt'a—Vfl.°.V'-t

x', y', z' resp. für x", y", z", so verwandelt sich X', Y', Z'resp. in—X", —Y", —Z*, V°'2 in V"'1, V1'2 in V , r

y und die ohige Gleichung wird X"2 4- Y"2 4- Z"2 = V<M>.V»'1 ~ Y<>*.V0*, oder

(y z ' _ - z y')2 + (z x'— x z')== 4 (* y'-yxV=(x=+y24z^(x'24yHz'2)— (xx'4yy'4-zz')2

wovon man sich jedoch durch wirkliche Entwickelung noch leichter überzeugen kann.

§. 15. Vertauscht man in der ersten Gleichung (§. 13.) die Buchstaben x, y, x mit X, Y, Z, so verwandelt sich X 'X "4 - Y''Y" 4 Z Z ' in (Y" Z - Z" Z)(Y Z' - Z Y') 4- (Z" X — X" Z)(Z X' — X Z') 4- (X" Y - Y" X)(X Y ' - YX') -— (§. 12.) K=(x'x" 4- y'y" 4~ z'z"). Eben so verwandelt sich durch dieselhe Operation der Ausdruck V'>'.V = — V'^.V 1 ' 2 in

r s -

( X X' + Y Y' 4 Z E) (X X" 4- Y Y" + % Z") - (X2 4- Y2 + Z2) (X' X " 4- Y' Y" + Z' Z"). Man hat also dic Gleichung: K2(x'x'' 4 y'y" 4 z'z") =

(X X' 4 Y Y' + Z Z') (X X" 4- Y Y"4- Z Z") - (X 24- Y2 4- Z2) (X' X" 4 Y' Y"4- Z'Z"). §. 16. Aufgabe. Es seien dic Coordinaten der Puncte & und Pgegeben; man

soll die Determinanten der geraden Einie O'P finden.

Page 286: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

A- — a, y — b, z — c, u n d d e r R a d i u s v e c t o r r' = OP = Y"(x—ay-^-(y—b)2 + (z—c)2

s e i n , N u n s e i e n d l e P r o j e k t i o n e n d e s R a d i u s v e c t o r s a u f d i e A x e n d e r .r , y', z' r e s p .

a o o'0' , O'o' OQ1, 0'Q[, 0 ^ ' , s o w i r d ^ = COsQ1VP9 - ^ = cosQ'pP, ^=cosQ"OP'

s e i n . B e z e i c h n e t m a n n u n d i e D e t e r m i n a n t e n d c r L i n i e O'P d u r c h i, y, <f, s o e r h ä l t

m a n , w e i l ( § . 6.) 0'Q1 = x = x — a, VQ[ ~ y zzz y — a, 0'Q'; == £ ' z=z

, x — et Y — b ? z — c * — v = , £ — f S S

w o s zzz y((x — a)2 + Cr — by + (s — c ) 2 ) .

D a r a u s e r g i e b t s i c h z u g l e i c h , d a f s i2 4 - tß 4 - & = 1 o d e r d a f s d i e S u m m e

d e r Q u a d r a t e d e r D e t e r m i n a n t e n j e d e r g e r a d e n L i n i e g l e i c h d e r E i n -

h e i t i s t .

§. 17. F ä l l t d e r P u n c t 0' m i t d e m M i t t e I p u n e l e d e s e r s t e n A x e n s y s t e m s z u s a m

m e n , s o d a f s PO d e r B a d i u s v e c t o r v o n P9 u n d d i e C o o r d i n a t e n a, b, c N u l l w e r d e n ,

so s i n d ^ d i e r e s p . D e t e r m i n a n t e n d e s B a d i u s v e c t o r s r = ^ x 2 4 ~ j 2 4 - * * .

§ . 1 8 . I s t d e r N e i g u n g s w i n k e l ß d e s B a d i u s v e c t o r s r g e g e n d i e E b n e xy, u n d

d c r W i n k e l X, d e n d i e P r o j e c t i o n d e s R a d i u s v e c t o r s m i t d e r A x e d e r A- m a c h t , g e

g e b e n , s o e r h ä l t m a n d a r a u s n a c h ( § . 4.) d i e D e t e r m i n a n t e n d e s R a d i u s v e c t o r s

I = cos ß cos X , v zzz cos ß sin X , <? = sin ß.

§ . 1 0 . A u s d e n d r e i A u s d r ü c k e n f ü r d i e D e t e r m i n a n t e n ( § . 1 6 . ) e r g e b e n s i c h d i e

G l e i c h u n g e n f ü r d i e g e r a d e L i n i e O1P

Man lege durch den Punct 0 ' , dessen Coordinaten a, b, c sein mÖgen, drei mit

den IIauptaxen parallele gerade L in ien , so werden , wenn . r , y, z die Coordinaten

des Punctes P in Bezug auf das IIauptaxensyslcm s'md, nach ( § . 6.) die Coordina

ten x', y', z' von P in Bezug auf das neue A x e n s y s t e m , dessen Mittelpunet (X ist,

Page 287: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

welche man durch dic Elimination der als veränderlich betrachteten Crofse ^ auf zwei

zurückführen kann. i

§. 20. A u f g a b e . Die Determinanten zweier geraden Liniert sind gegeben, man

soll die Verschiedenheit der Richtung derselben oder den W i n k e l bestimmen, den die

eine mit der andern selbst oder mit einer ihr parallelen Linie bildet.

Es seien die beiden Linien L3 TJ ihre resp. Determinanten # , » , {, f , n', g>'.

Mnn lege durch den Anfangspunct O der Coordinaten die beiden Linien OJ3 OB pa

rallel den Linien Z - , L\ so wird die Verschiedenheit der Richtung derselben der

W i n k e l AOB scin. Nimmt man nun OA = OB — 1, so werden (§ . 7.) w, £ die

Coordinaten von A und ?, n' C die Coordinaten von B sein. Es ist alsdann (§ . t>.)

Mf = (f - i)* 4- (» - *)2 4- <<f - <f)2 = f2 4- + fr - 2 (f* + . - f - <f<r) 4_ |2 + 4_ £ = 2 - 2 (a' + » + <T).

Nun ist aber ^ Z ? 3 = 4 wVz=f ^ 0 # = 2 — 2 c<w ^ 0 2 7 .

Folglich cos AOB = $? 4- nn' + <f<T.

Daraus ergiebt s i ch , weil *m 2 y / 0 ^ = 1 — co.?2 ^ O Z ?

= + + tf'a + »'* 4- - tff + *»' + fö*

= (§• 14.) 0><r — sY)* + tfl' - i ö 2 4- (f» — vi¥, sin AOB = r L ( ^ - + tff - fft* + C*»' ~

§. 21. Aus dcm so eben gefundenen Ausdrucke für cosAOB lassen sich mehre

re interessante Folgerungen ziehen.

1) W e n n die Determinanten f , v3 & ef zweier Ebnen gegeben s ind, so

findet man daraus den Winke l « ihrer gegenseitigen Neigung durch

cos w = / i' «v ' 4~ 2) Aus den Determinanten ^ einer geraden L i n i e , und den Determinanten

f, S' einer Ebne findet man dic Neigung 4 der Linie gegen die Ebne durch

sin9 = ii' + nn + {£.

3) Zwischen den Determinanten v, n\ ? zwe ie r senkrecht aufeinander-

Page 288: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

K l c h e i i d e n g e r a d e 4 1 Linien oder Ebenen , oder eieer Ebene und eincr mit ihr paralle

len geraden Linien findet immer folgende Bedingungsgleichung statt;

if + vri' 4 - Z? = 0.

§. 22. W e n n die Determinanten eincr geraden Lin ie oder einer Ebene dreien j

gegebenen Gröfsen A, B, C resp. proportional s ind , so folgt daraus, d a f s # = ^ g e -

B C A2 B2 C= *etzt, v == j ) , und fz= und fo lgl ich, wegen ( § . I C ) Jj2 4 - jj, + ^ — 1, a l s o

T) = Y(A2 4 " J? 2 4 - C-) sein mufs. Es sind daher die drei Determinanten

A B C

YA> 4 - B* Y A i + B i + ° 2 ' YA* + ß 2 +~^'

§, 23. A u f g a b e . Die Determinanten y, <f; |', V , zweier geraden Linien

L, Li' sind g e g e b e n , man soll die Determinanten der mit den beiden Linien p a r a l l e

len Ebenen finden.

• £ s seien dic Determinanten der parallelen Ebnen f, y", so hat man (§ . 21.)

iZ'' + * v " + ££" = 0 r: *

1 7 " 4 . , v + x = 0 m

Aus diesen beiden Gleichungen ergiebt sich (§ . 10.)

r : V : <T = - <?,') : tff - U) : ( f , ' - „fi,

und we i l , wenn man die Verschiedenheit der Richtungen der beiden Linien durch

den W i n k e l 7 ausdrückt, (§ . 20.)

siny = y[(v{— {*)* + ( s Y — Uf + ( / » ' — * / ' ) 1

>o erhält man

, „ — - _ « f ~ ~ # C >> — v? Z = 7— , V — : • } & — * : . sin y sin y sin y

W e i l die Projection dieser beiden Geraden in der paralleleu E b e n e , wenn si«

nicht unter sich parallel s ind , einander schneiden müssen, so wird offenbar ein durch

diesen Durchschnittspunct auf die Ebne errichtetes Perpendikel die beiden Linien

Zr, IJ unter rechten W i n k e l schneiden. Es werden also auch die so eben gefunde-

Page 289: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

8inQAP=Y&-^**-*>! + ( -">; -'V + fo-*)-*-«)^ Folglich r Sin QyJP oder

PQ = f > ( s - c ) — < t y ' - W + ({(z — a) — Hz — c))- + JJ^^W^^X^~a))<

§. 25. A u f g a b e . Es seien # , ^ die Determinanten einer L i n i e , die durch

den Punct A geht , dessen Coordinaten a, b, c; eben so scicn i', V, £ die Determi

nanten einer andern Linie durch dcn Punct B, dessen Coordinaten d, b', c'. Man

soll die gegenseitige Entfernung der Durchschnittspuncte dieser beiden Linien mit ih

rem gemeinschaftlichen Perpendikel bestimmen.

Bezeichnen wir die Durchschnittspuncte der beiden gegebenen Linien mit ihrom

gemeinschaftlichen Perpendikel durch P, Q, und die resp. Coordinaten dieser beiden

Puucte durch x,y, z; x', y ' , z, so erhalten wir, wenn wir AP=r, QB = r', pQ=r*

setzen, und die Determinanten des gemeinschaftlichen Perpendikels durch |", £"

beze i chnen , (§• 16*0 folgende neun Gleichungen: »f»h i 9 * * ' * *# ämm

a — x — r z , x — a — r # , x — .r = r £

1 __ Y zzz r r,, y'-b'=zr'r', y—y'zzzr"v"

c — z = r £, z' — c' = r' {, z — z' = r" C

ncn Wcrthe von £', £' die Determinanten dieses gemeinschaftlichen Perpendikels sein. §. 24. Aufgabe. Die Determinanten i, n, { einer durch dcn, vermittelst der Coordinaten a, b, c bestimmten Punct A, gelegten Linie AB sind gegeben; man soll die Entfernung des durch die Coordinaten x, y, z bestimmten Punctcs P von derselben bestimmen. Ein Perpendikel PQ von P auf die Linie AB gezogen, ist die gesuchte Entfernung und = AP.sin QAP. Da nun (§. 16.) die Determinanten von AP1 wenn man AP durch /• bezeichnet, — ~——, und i, v, £ die Determinanten von

r /• r

AQ sind, so ist (§. 20.)

Page 290: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

266 Yierte Voricsung, Lber analytische

und daraus ri + r'i' + r"i" = a — a •

rv 4- r V + r"t" — b — b' ' v * *

^ + '-'<T + r"<f' = c - c '

W e i l zufolge (§• 23.) die Determinanten |", £" durch die Determinanten #, n, £;

i'i v'j gegeben s ind, so lassen s i c h , die dort eingeführte Bedeutung des W i n k e l s y

hier beibehalten, aus den obigen drei Gleichungen die Gröfsen r, r, r" folgendermai'sen

sehr leicht herleiten.

Summirt man die obigen drei Gleichungen, nachdem man sie zuvor resp. durch

i—i' cosy, v — v cosy, £—C cosy, daraufdurch i'— i cosy, n'— *icosy, <T— {cosy

und endlich durch t|", £" iiiuItiplicirt hat, so erhält man, weil cosy = f? + w ' + - s V ,

/• siii3 y = (a — a) (f — i' cos y) + (Z> — K) (y — n cos y) + (c — c') (£— £cos y)

r' sin" y = (a — «') (i' — i cos y) 4~ (b — b') — n cos y) + (c — c) (£— £ cos y)

. r \ - (a - a') r + (b - 6') v" + (c - c') f . * Vermittelst der beiden ersten dieser drei Gleichungen erhält man r und r' in g e

gebenen Gröfsen, so dafs die Coordinaten der beiden Puncte P, Q durch folgende

Gleichungen gegeben s ind :

x — a — r i , y — b — r v , z — c — r £

x' = a + r'i', y = b' + / V , z' = c' + r£

Die letzte der obigen drei Gleichungen giebt die Entfernung der beiden Linien

r" = J - \(a — a')(v£-£r>') 4- (b-b')((f-ii') + (c-c')(i*,'-*i')], siny

und zugleich die Bedingungsgleichung, welche statt finden mufs , wenn die beiden

gegebenen Linien einander schneiden, nämlich:

(a — a')(v£-£*') + (b — b')(£f-i{) 4 - (c-c')(in'-*i') = o.

§ V ? . ^ _ L e h r s a t z . W e n n i, t|, <fdie Determinanten einer E b e n e , und das aus

dem Mittelpuncte O des Axcnsys tems auf diese Ebene gefällte Perpendikel OQ = pt

so findet zwischen den Coordinaten x, y, z eines beliebigen Punctes in der Ebene

folgende Gleichung statt: i i x 4- vy 4- {z — p. (A )

Page 291: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Es sei P irgend ein Punct in dcr Ebene , dessen Coordinaten x, y, z, und des-

X Y Z

sen Entfernung von O — r, so sind - , *-, - die Determinanten der Linie OP. f>;>

nun i, *t, £ die Determinanten von p odcr OQ s ind, so hat man nach (§ . 20.)

cos QOP = + v¥ H- daraus fo lgt , weil pz=rcosQOP, p = ix + vy+gz.

§. 27. W e n n die Ebene durch den Mittclpunct O dcr Coordinaten gelegt ist , so

ist p zz= 0 ) und man hat die Gleichung ix + vy + £z = o : und umgekehrt folgt aus

dieser Gleichung, dafs der Punct O in der Ebene selbst liegt.

Ist die Ebene mit einer der A x e n parallel, z. B. mit der A x c der x, so mufs das

Perpendikel p in der Ebene yz l i egen , und folglich mit der A x e der x einen rechten

W i n k e l machen , also i — o sein. D ie Gleichung der Ebenc ist alsdann:

- •v .•. . - - - • «y + fr = p

und umgekehrt folgt aus dieser Gleichung dafs / — o, und folglich die Ebene mit

der A x e der x parallel ist.

Ist die Ebene mit einer der Hauptebenen parallel , z. B. mit der Ebenc yz, also

auch mit den beiden Hauptaxen d c r j und der z, so fällt das Perpendikel p mit der

A x c x zusammen, so dafs | = o , v = o, und die Gleichung der Ebene ist x=p.

§. 28. W e i l die Coordinaten y, z, für jeden Punct der A x c dcr x, zz= o sind, so

erhält man vermittelst der Gleichung ixArvyArZz = p, für den Abstand des Durch -

schnittspunctes der A x e der x mit der Ebene , x = Eben so ergiebt sich für den

Durchschnittspunct dcr A x e der y mit der Ebene , x = o, z zzz o und y = und für

den Durchschnittspunct der A x e der z mit der E b e n e , x = o , y zzz o, z ~ B e

zeichnet man nun die resp. Werthe der Segmente der drei Hauptaxen zwischen dem

Anfangspuncte O der Coordinaten und der Ebene durch a, b, c, so verwandelt sich 1 1 1

die Gleichung (A) der E b e n e , wenn man sie mit p dividirt und alsdann p - r<"sp. für - , ~ substituirt, in folgende - 4 - £ + - = 1. (B)

p p p a o c

Page 292: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

der 2ten und 3ten E b e n e :

der 3tcn und l s t e n E b e n e :

der isten und 2ten Ebene :

sin ot sin * sin <*

n"t-fn i " l - f i t n - w ' i sin ß 3 sin ß 3 sin ß 5

. *<T-<f» tf-if t L r . * l . sin y 3 si/i y 3 si/i y

Diese Determinanten sind aber resp. unter einander und zugleich dcn Determi

nanten der Ebenc g l e i c h , worin die drei Perpendikel OA, OB, OC l i egen , woraus

sich, wenn man von den (§ . 9.) eingeführten Zeichen Gebrauch macht , ergiebt , dafs

sinc : sinß : siny = = $}:%)':$)"= 3 = 3 ' : 3 " ,

und zugleich

i$ + i 3 ) 4- ZS = f 3 E ' 4 - » T + ^ 3 ' = i'%"l *"2)" + {"Z" = Ä = o.

VVcil aber auch (§ . 9.)

ff = n + i'X' + r x " = *9) 4- v'& + n"2)* = <?3 + ^ 3 ' + s T T .

so ergeben sich daraus die drci zu erweisenden Gleichungen (C) .

§. 29 . L e h r s a t z . W e n n die Durchsehni t ts l in icn von drci E b e n e n , deren- resp ,

Determinanten | , n, y', £", »", untcr s i ch paral le l s i n d , odcr in eine L i

nie z u s a m m e n f a l l e n , so müssen fo lgende drc i B e d i n g u n g s g l e i c h u n g e n statt f inden:

$ sin ct 4 - / sin ß 4~ i" *i'1 V — °

(C) t) sin oc 4~ y' sin ß 4 " v" sin y ~ o

g sin « 4 " <f' t>ifl ß 4" <f' S'11 y = °

w o « , ff, y dic re sp . W i n k e l b e d e u t e n , w e l c h e die 2te E b e n e mit der 3 t e n , die 3te

mit der l s t e n , die l s t e mit der 2ten macht .

M a n d e n k e s ich durch dcn Anfangspunct O dcr Coordinaten c ine E b e n c ge legt ,

auf w e l c h e r die drei Durchsehni t t s l in icn s e n k r e c h t s tehen, so w e r d e n , w i e man le icht

übers ieht , die dre i r e s p . P e r p e n d i k e l Oy/, O.B, OC auf die drc i E b e n e n in d ieser E b e n e

l i egen m ü s s e n . Nun s ind aber zufolge ( § . 23.) die Determinanten der D u t c h -• >Wi v o *!.tl!> :r.:.t(fi't''PiViwit *V.n 5,jjlot t*ll?'>VO;:wi •••mit

schnitts l inien

v i " - t v " i ' f - i ' ? i'y"-*'i"

Page 293: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

allgcmeiuc EIemenlargcomeirie* 2Ü9

§. 30. TJmgekehrl folgt aus den divi Gleichungen

( D ) xi + x'i' 4 . x 7 ' = o , x v 4 - x V 4 - x ' V ' = o , x £ 4 - x ' f 4 - x"g" = 0 f

dnfs dic Durchschniltslinicn dcr drci Ebenen , deren resp. Determinanten / , y,-

f, *i, £ j' I"? v", s ind , unter sicb parallel sein müssen.

D i e Determinanten dieser drei Durchschnittslinien sfnd nämlich nach dem V o r

hergehenden resp. proportional den Gröfsen £ , 3 ? 3 F , 5?', 3 ' ? 3 " ' A u s

den Gleichungen ( D ) ergicbt sich aber , wenn man dieselben sunimirt, nachdem man

sic zuvor mit £ , oder mit X', 3 ' ; oder mit 3 " multiplicirt hat,

j ? = 0.

Es ist also # 3 t 4 - 4 - £ 3 = 0, weil aber auch f £ 4 - 4 - £ ' 3 = 0 ,

| " 3 £ 4 _ v " 5 ) 4 . < ^ ' 3 = 0 , und folglich eine Ebene, auf welcher die Durchschnittslinie

dcr 2ten und 3ten Ebene senkrecht steht, parallel mit den drei Perpendikeln OA, OB,

OC i s t , so müssen diese drei Perpendikel , weil sie den Punct O gemeinschaftlich ha

ben , in einer und derselben Ebene liegen.

E!>cn so folgt aus K = i'S' + v$' + c f 3 ' = 0, und

iX' + *S>' + = 0, r%' 4 n"$' + c f ' 3 ' = o,

dafs die Durcbschnittslinic der 3ten und lsten Ebene auf der Ebene der drei Perpen

dikel senkrecht stehen mufs ; diefs folgt auch für die dritte Durchschnittslinie aus den

Gleichungen

r r 4 - , " s r + f 3 " = <>, ? r + » s r 4 - < ? 3 ' = <>,. i'x" + »'s>- + ^ 3 " = 0.

Es stehen also alle drei DurclischnittsIinien auf der Ebene der Perpendikel senkrecht,

und sind folglich unter einander parallel.

§. 31 . I laben die drei Ebenen nur eine gemeinschaftliche Durchschnittsl inie, so

müssen nicht nur die drei U e d i n g u n g s g l e i c h u n g e n ( C ) ( § . 2 9 . ) statt f inden, sondern

es mufs auch , wenn die auf diese drei Ebenen aus O gezogenen Perpendikel OA3

OB, OC resp. durch p, p', p" bezeichnet werden,

p sin» 4 " p' sinß 4 * p" siny — 0 sein.

Page 294: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

270 1 Vierle Vorlesung. Über analytische

Bedeuten nämlich x 9 y 9 z die Coordinate« emes Punctes der gemeinschaftli<lien

l)urcbschnittslinie, se erhält man, wenn inan die drei Gleichungen (C) xesp. duiclv

Xf r, z multipIicirt, und dann addirt:

(ix + *iy + sin «. 4" (fx 4" ,*'y + £z) sinß + (f'.x 4- V'/ 4~ £"s) *?/zy — o,

oder wegen der Gleichung (A) (§. 26.)

p sin X 4 p' s*n ß ~h p'' sin ? = °* $. 32. Auf gleiche Weise erhält man aus den drei Gleidhungeu (D):

' xtf* 4 .»j* + .gz) + .x'cr* 4- Vy + f* ) + x"(r* + ri'y + ^s) - o.

Sind nun x, y , z die Coordinaten eines Punctes der Durchschnittslinie der 2ien

und 3ten Ebene, so hat man

(E) X(ix + tiy + gz) 4- X>' 4- X"p" - o,

Ist also aufser den dre.i Gleichungen: (F) x# + x'f + x"f' = o, xv 4- xV 4- x%" = o, x£ 4 x'cf + x"<f' = 0

noch die vierte (G) Xp 4* X'p' + x"y/ = 0 gegeben, so folgt aus (E) und (G)

ix 4- 4- Z-' ~P*

oder: dafs jeder FuHCt der gemeinschaftlichen Durchschnittslinie der 2ten und 3t<n

Ebene, zugleich ein Punct der ersten Ebene sein, und folglich diese DurChsebnit(s-

linie zugleich in allen drei Ebenen liegen mufs.

§. 33. Aufgabe. Aus den gegebenen Coordi-naton dreier Puncte A 9 B 9 C den

Flächeninhalt des Dreiecks ABC zu bestimmen.

Es seien die gegebenen Coordinaten von A 9 B9 C resp. x 9 y , z; x49 y 9 z \ x", y", i";

so erhält man, wenn man die Determinanten von A B == c durch |', j,', und von

AC = b durch f9 tt", g' bezeichnet, nach (§. 16.) 1 1 't » >i

r — x — x . Y — Y z — z 9» x — x » Y — r v z —z

* - ^ T > ' = ^ > i ~ =-fc—' * = V ' ^ =

Weil nun (§. 20.) SinA = VlWg' — Z'*")2 + (£T — 4* <*V — * ' * 'H

so ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC = 1 oc sin A = i r[(cn'.Og'-cg.biy 4- (cf.6#* - c*'.6^> 4- C c t W - r,'.&*>|.

Page 295: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

E s i s t a b e r cv'.bg'—cg.by" = (y'—y)(z"-z) — (z'-z)(y"—v)

= /z" - z'y" 4 - y"z - zy + yz - zy' = (§ . 9.) -V 4 - A ' + A "

E b e n s o e r b ä l t niarr:

c c f ' . 6 r - o f . o < f ' = ( z ' - s ) ( a " - . r ) ~ (x'-x)(z"-z) = Y' + Y + Y'

u n d ci'.bft'' — cr|.bi" = Cx'—x)(y"—y) — (y'^y)(x"-x) = Z' + Z + Z'.

D e m n a c h i s t , w e n n S d e n d o p p e l t e n F l ä c h e n i n h a l t d e s D r e i e c k s b e d e u t e t :

S = ri(X + X 4 - Xy 4 - C Y 4 - Y' 4 - Y ' > 4 " C Z + Z' + Z ' > J .

§ . 3 4 . W e n n m a n v o n d e n ' d r e i S c h e i t e l p u n c t e n d e s D r e i e c k s ABC a u f e i n e d e r

T T a u p t e b e n e n z . B . a u f d i e E b e n e yz P e r p e n d i k e l f ä H t , s o b i l d e n d i e d r e i D u r c h

s c h n i t t s p u n c t e A', B', C d e r s e l b e n m i t d e r E b e n e yz e i n D r e i e c k , d a s m a n d i e P r o »

j c c t i o n d e s D r e i e c k s i n d e r E b c n c yz n e n n t . D i e r e s p . C o o r d i n a t e n d i e s e r d r e i P u n c t e

A', B', C s i n d o f f e n b a r o, y , z; o, y', z'; o, y", z'. E b e n s o s i n d . r , o , z\ x', o, z';

x", o, z" d i c r e s p . O r d i n a t e n d c r S e h e i t e I p u n c t e A\ B", C" d e r Projectioti i n d e r

E b e n e z x , u n d x , y , o ; x', y', o; x", y'', o d i e r e s p . O r d i n a t e n d e r S c h c i t e I p t i n c t e

A", B", V" d e r P r o j e c t i o n d e s D r e i e c k s ABC i n d e r E b e n e xy.- B e z e i c h n e t m a n

n u n d e n d o p p e l t e n F l ä c h e n i n h a r * d i e s e r d r e i P r o j e c t i o n c n r e s p . d u r c h X, Y, Z , s o

e r g i e b t s i c h a u s d e m f i i r S g e f u n d e n e n A u s d r u c k e , w i e m a n l e i c h t ü b e r s i e b t :

X = X + X + X', Y = Y + Y 4 - Y " , Z = Z + Z' 4 - Z'.

Z u g l e i c h f o l g t d a r a u s , d a f s S2 = X 2 4 - Y2 4 ~ Z z , o d e r d a f s d a s Q u a d r a t d e s

F l ä c h e n i n h a l t s e i n e s D r e i e c k s g l e i c h i s t d e r S u m m e d e r Q u a d r a t e s e i

n e r P r o j e c t i o n e n i n d e n d r e i H a i i p t e b e n e n j e d e s A x e n s y s t e m s .

§ . 3 5 . B e t r a c h t e t m a n d a s D r e i e c k ABC a l s d i e B a s i s e i n e r d r e i s e i t i g e n P y r a m i

d e , d e r e n S p i t z e i m M i t t e l p u n c t c O d e r C o o r d i n a t e n l i e g t , u n d b e z e i c h n e t d e n d o p

p e l t e n F l ä c h e n i n h a l t d e r S e i t e n f l ä c h e n d e r s e l b e n OBC, OCA, OAB r e s p e c t i v e d u r c h

F, F, F', s o i s t :

F zzz p x * 4 _ y « + Z2, F = p Y ' 2 4 - Y'2 4 - Z ' 2 , F' = fJF^Y''3 + Z"2.

Page 296: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

272 Vier le Vorlesung. Üher analytische / *

Man erhält nämlich F, indem man in dem Ausdrucke fiir S statt der Coordina

ten xj y, z von A, die Coordinaten von o, o, .o von O suhslituirt, wodurch die

Gröfsen X, Y', Z'; X', Y", X' verschwinden, und S in F ~ p Y « + Y* + Z'

ifl>ergeht. Auf ähnliche W e i s e erhält man F, F'.

Zugleich übersieht m a n l c i c h t , dafs der doppelte Flächeninhalt der resp. P r o j c c -

tionen der drei Dreiecke OBC, OCA, OAB in den drei IIauptebenen _Y, Y, Z\

X Y', Z'; X', Y", Z" sein imifs,

§. 36. A u f g a b e . Aus den gegebenen Coordinaten x,y, z; . v ' , r ' , z': x",y", z"

dreier Piinete in einer Ebene die Determinanten derselben i, t|, und das aus dem

Mittelpuncte O des Axensyslenis auf die gegebene Ebene gefällte Perpendikel zu

bestimmen.

Zufolge (§ . 26.) bat man zur Bestimmung der Gröfscn £, n, g, p, aufser der !5e-

dingungsgleichung (§ . 16.) i2 4" 4- P2 — 1 , folgende drei Gleichungen: »H> W , . A

ix + vy + ~ p

'ix' + i y + Z* - P (H)

ix" 4- vy" H- lz" ~ p.

Summirt man diese dr.ci Gleichungen, nachdem man sie resp. mit AC, X, X': mit

Y, Y', Y'; und mit Z, Z', Z'' muljiplicirt hat, mit Berücksichtigung Aer (§. <>.)

vorgetragenen Lehrsätze , so ergeben sich folgende drei Gleichungen:

'iK = p(X+X' 4- X); vK = p(Y + Y' 4- Y"); £K = p(Z 4- Z 4- Z)

oder iK = pX, vK = pY, gK = pZ. (I)

Daraus , wegen der Bcdingungsgleichung # * + ^ 4 " < f ^ ~ '

p = _ ^ 4 _ _ ^ = (§ 34.) f . XX* + Y2 + & 6

Substituirt man diesen W e r t h von p in ( D ) , so hat man :

> - X Y j _ Z * ~ S » * ~ S' < ~~ s

woraus zugleich der bereits bewiesene Satz S1 = X2 + Y2+~Z2 folgt.

Page 297: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Aus der Gleichung p = ^ oder K = pS geht hervor , weil S der doppelte Flü

cheninhalt des Dre iecks ABC3 und p ein Perpendikel auf die Ebene desselben oder

die Höbe einer Pyramide , deren Basis das Dre ieck ABC3 und deren Spitze der A n -

fangsj>unct O der Coordinaten ist , dafs rs~ i ,i , ., /t I It , T tl 1 It It i

K = x y z 4" x y z •f- x y z — zyz — zy z — z y z

das sechsfache Yo lumen der Pyramide OABC ist.

Bezeichnen wir dic Seiten OA, OB, OC der Pyramide durch r , r', r", und ihre

respectiven Determinanten durch ?, v, f, v', i", v", so ist wegen (§ . 16.)

x — ri, y = rv, z = r£, x* = y ' = rv, z' = r'g' e t c . , und es wird

(F) K = rr'r"(iv'g' + f » " £ + f > ^ — c Y f ' — / V ' * — f v ^ ) = rr'v" ff.

Sind die Seiten der Pyramide 0 ^ , OZ?, OC alle = 1 , so wird K = woraus

sicli ergiebt , dafs $ das sechsfache Yolumen einer dreiseitigen Pyramide , welche

den Mittelpunct O einer K u g e l , deren Kadius = 1, zur Spitze hat , und deren Basis

das aus den Sehnen dcr Bogen des sphärischen Dre iecks ABC gebildete Dre ieck ist.

s W i r haben bereits (p. 230 , §. 6 2 ; p. 232 , §. 65.) für das sechsfache Yolumen dcr

Pyramide OADC zwei Ausdrücke , die wir dort mit h bezeiehnet , gefunden, so dafs

% = y{\ — cos2a — coszb — cos2c +• 2 cosa cosb cosc)

und = 2 Ysin \s . sin Ci s — a) sin (| s — b) sin Ci s — c),

w o a + b + c = s, und a, b, c Aie Bogen BC3 CA, AB des sphärischen Dre iecks

bedeuten.

§. 37. Substituirt man in dem Ausdrucke £ für die Determinanten der Radien

OA, OB, OC die W i n k e l ß, ß', ß", welche dieselben mit der Ebene xy machen,

und die W i n k e l X , X', x", die ihre Projectionen in der Ebene xy mit der A x e der x

bilden, so ist (§ . 18.)

.f = cosß cosX £ — cosß' cos\' £' = cos.ß" CO«X"

.fl zzz cos ß sin X y = co.v ß' sin X' v|' zzz c o s ß" s u l \"

P = sin ß ? = sin ß' ?" — sin ß"'

Page 298: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Man erhält a l so , wci l ( § . 9.) ff = £1 + £3' + TB"> « » c r

3 — />f" — vY ' = cos ff' cos ß" (cos x' sin X" — sin X' cos X") = Co1? ff' co« ff" .«Tz (X' — X');

eben so 3' = 2"*1 — v"£ — cosß" cosß sinQ>- —

und 3" = — "£ ~ cosß cosß' sin&—X),

ff = sinß cosß' cosß"sin(>^"—X') + sinß' cosß" cosß sin(X—X') + sinß'' cosß cosff'.vm(x'—X)

= cosß cosß' cosß"{ianß sin(X" — X') + ianß' « / z ( X - X " ) + Lanß" * / / # ( x ' - X ) )

§. 38. Es ist so eben (§ . 3C.) gezeigt worden, dafs die Determinanten der Ebene

eines Dre iecks resp. durch die Exponenten der Verhältnisse der Project ioncn des

Dreiecks in den drei IIauptebcnen yz, zx, xy zu dem Dre iecke bestimmt werden,

und dafs das Quadrat des Dreiecks dcr Summe der Quadrate seiner Projectionen in

den drei Hauptebenen gleich ist. Dieser Satz gilt aber nicht nur von einem ebenen

D r e i e c k e , sondern von j e d e r ebenen gradlinigen Figur. Tbei l t man nämlich dieselbe

in lauter Dre iecke A 1 , A 2 , A 1 , e tc . , deren resp. Project ioncn in den drci IIaiiptebe-

nen wir durch X, X1, X2, c t c . ; Y, Y1, Y2, c t c . ; Z, Z1, Z2, ctc. bezeichnen

wollen, so hat man, wenn die Determinanten der Ebene der Figur f, y, nach (§ . 30.)

• = A = X1 = X 2 • = Y = Y1 = 5 t . , = Z = Z1 = Z2

A A 1 A 2

e € " * A A 1 A 2

e C , ' . £ A A 1 A 3

Daher auch

• - x + x > + X2 + ctc- • _ y + y ,+ y; + etc. . _ z + z , + z , + ctc. • ~~ A + A 1 + A 2 + etc. ' * A + A 1 + A 2 + e tc . ' £ A + A 1 + A 2 + etc.

und folglich auch

(A 4- A 1 + A 2 + etc . ) 2 = ( X f X 1 + X 2 + etc . ) 2 + ( Y + Y 1 + Y 2 + etc . ) 2 + ( Z + Z r f Z 2 + etc . ) 2

Dicse beiden Sätze gelten, wie grofs auch die Zahl der Seiten des Vie lecks sein

m a g , und auch, wie sich vermittelst der Exhaustionsmethode zeigen läfst, fiir j ede

ebene krummlinige Figur.

§. 39. A u f g a b e . Es seien A, B, C drei Puncte auf der um dcn Mittelpunct

O der A x e n beschriebenen Oberfläche d e r K u g e l , und i, v, i', v, f', die

resp. Determinanten der drei Radien OA, OB, O C = 1. Man soll daraus 1) die Sei -

Page 299: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

allgemeine Elenicntargeometrie. 273

tcn des sphärischen Dreiecks ABC; 2) die W i n k e l desselben, und 3) die Neigungs

winkel j edes dcr drei Radien gegen die Ebene der beiden andern Radien bestimmen.

I. W e n n die Seiten BC, CA, AB des sphärischen Dreiecks resp. durch a, b, c

bezeichnet werden , so ergiebt sich unmittelbar aus (§ . 20 . ) , indem man r o n den

(§ . 9 etc.) eingeführten Zeichen Gebrauch macht :

cosa = I T + »V + cfcf = a?1'2

cosh = f i 4- f,% 4- g £ = &,* (A )

cosc = ii' + nn' 4" = 2S0-T. Eben so erhält man :

sina = K"[3B2 4- 5)2 4- 32] jw6 = K"L3S'a + P'a+3*J] <B> ««c = K-[^+S)"3+?"]- .

*

II . Aus (§ . 29.) ergiebt s i c h , dafs die resp. Determinanten der Ebenen a, b, c

folg*nde sind: J L sin a 9 sin a

J L 3' sin b ' sin b

r J l J l . sin c"

(C)

Bezeichnet man nun im allgemeinen die gegenseitigen Neigungswinkel der Ebenen

der Bogen b, c, c , a; a, b durch A\ B', C, so hat man nach ( § , 20.)

r . ^ - * ' r + + 3'3" C ö S :—f *

sin o sni c

c o s B = «•* + r g ^ L O sm c sin a *

r r _ 36 3e' 4- $ff 4- 33' COS L — "—-. .—y •

sw a sin b

D i e W i n k e l A, C sind nun entweder die W r inkel des sphärischen Dreieck«

oder ihre Supplemente. Um diese Zweideutigkeit verschwinden zu machen, wollen wir

Page 300: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

« S z r a y _ r r + / g r + t"s" _ «

§. 40. Aus den so eben gefundenen Ausdrücken für die Cosinusse und Sinusse

der Seiten und Supplemente der W i n k e l eines sphärischen Dreiecks lassen sich

annehmen, dafs der Funct B mit dem Puncte C zusammenfalle. Man hat alsdann

i' — i', v' = v'\ g = g'9 woraus sich £'' = —%' , W — —£V, 3 " = = — 3 ' > u n ^

sinb = sinc ergiebt , so dafs

c o s j t - _ g J + sr* + 3 ' a _ _ r r J L ) 2 . r _ S L ) 3 4 . r 3 ' _ t *

C O S A ~ sin- b [{sin b} + {sin b} + J ~ ~ h

und folglich ^4' — 180°. Es wird aber in diesem Falle der W i n k e l des sphärischen

Dre iecks A — o, so dafs A' das Supplement desselben ist. W o r a u s also hervorgeht,

dafs A', B', C' die Supplemente der W i n k e l des sphärischen Dreiecks sind.

Aüs den obigen Ausdrücken für cosA*, cosB', cosC fo lgt :

A = , - cOS> j = i - $ E + g S L + 2 Z r sm b sin c

= ( 3 E » + g ' 3 + 3 ' 2 ) C T » + 3 T 2 + 3 " 2 ) - C ^ 3 E " + $)'$>" + 3 ' 3 > * m 2 b sin 2 c

= C § . i 5 . ) < 3 > ' 3 " - 3 ' . r > 2 + Q ' 3 T - r 3 " ) 2 + ( 3 B ' , r - f r y . ,

sin2 b sin2 c

E s i s t a b e t ( § . i2 . ) s r 3 " - 3 ' F = * f f > 3 ' r - 2 ' 3 " = * s , r s r - s n r = * » .

Demnach S l ^ = f ^ L + I ^ L ± ^ Ü = , ;g . .

' SM b SM C SM b SM C

G & Eben so erhält man Sin Br = — , Sin C — - — = ^ ^ r . (E)

sin c sin a sin a sin b

III. Bezeichnet man die Neigungswinkel der Iladien OA, OB, OC gegen die

Ebenen der gegenüberliegenden Seiten a, b, c durch « , ß, y, so erhält man nach

(§. 21.) aus den Ausdrücken (C) für die Determinanten dieser Ebenen : Sin. = ' * + T » + ^ = J -

sm a sin a

S i n ß = e e + <? + f 3 ' = * ^ o * z « o

Page 301: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

allgemeine Elenientargcomclrie. 277

auch dic (p. 2CC etc.) bewiesenen Tier Haupt fomcIn der sphärischen Tr igonometr ie

herleiten.

t . Aus den Formeln (F,) crgieht sich unmittelbare

sin a : sin b : sin c — sin A' : sin B' : sin C'. (G)

2. W e i l , wegen ( A ) , cosb cosc — cosa = 2>^ .25 0 ' 1 — S 0 ' 0 . ^ 0 ' 2

= (fi + v"v + föXtf + nn + - (i2 Jr flp 4 - ^ ) U'i" + i*" + iT

und wegen ( D )

sinb sinc cosA' = 3t'3T + $'ST + 3'3">

zufoTge (§ . 13.) aber

ae'3B" + 3r3r 4- 3'3* — 2> 2 ' 0.^ 1 — 2>^.$1'2,

so hat m a n :

cos b cos c — cos a = sin b sin c cos A

Eben sc* cos c cos a — cos b — sin c sin a cos B' (H)

cos a cos b — cos c — si/i a sin b cos C,

3. Aus den Formeln (D) und (B) hat man cos B' cos C — cos A

_ r.r# + r # + q " 3 ) (3E3E' + fflff' + 3 3') - (3E3 + ff2 + B2) (36'r + r . r 4- 3'3") siri~ a sin b sin c

(3T3 - 3 "OT 3 - 3 3?') + (3"S - S"3X3 3S'-g 3 ' ) + ~ ff- 3> 35') sin2 a sin b

_ fff.ffT + ff*'-ftV + ff<T.fff' _ &*tfT + * V + sV') fiiVi2 a i / « ö a /« c « 6 sin c

ff ff . R . •.- . ( f f + Vv* + = (E) sin B sin C cos a a sui b sui c sin a sin<

Es ist also cos B' cos C — cos A' = sin Bf sin C cos a

eben so cosC cosA — cosB' = sinC sinA cosb (I )

und cos A cos B' — cos C = sin A sin B' cos c.

4. Eliminirt man, aus den beiden letzten Gleichungen ( I ) , cosC, und substituirt

sincsinA ß- i r S 0 > erhält man nach den nöthigen Reduct ionen : sin a

sin A cot B' Ar cot b sin c + cos A cos c = o,

Page 302: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

27S - Vierle Yorlcsung. L'bcr analytische " -»

Durch die Elimination des Winke l s B' würde man

sinA .cotC 4" cotc sinb 4~ cosA cosb ~ o

erhalten haben. Diese beiden Gleichungen g e b e n , wenn nach und nach a, b, c in

b, C1 a; in c , a, b, und ebenso A', B', C in B', C1 Ai in C3 A3 B' verwandelt, noch

vier analytisch versch iedeneGIe ichungen :

sin B' co(C 4" cot c sin a 4" cos B' cos a —- o

sin B' cot A' 4" cot a sin c 4 - cos B' cos c — 0

sin C cot A 4~ cot a sin b 4" cos C cos b = o

sin C cot B' 4~ cot b ein a 4 - cos C cos a = o. *

§. 41. A u f g a b e . Aus den gegebenen Ortern dreier Puncte A1 B1 C auf einer

Kugelftäche und den gegenseitigen Verhältnissen der Cosinusse ihrer Winkelent f cr -

nungen von einem vierteu Puncte 7 7 , die T^age dieses Punctcs zu bestimmen.

Es sei O der Mittelpunct der Kugel und zugleich des A x e n s y s t e m s ; ^s seien

*, Z; i\ V1 £; v", Z' die resp. Determinanten der Radien OA1 OB1 OC= 1, * _ ^

und I1 V1 Z die Determinanten des Halbmessers OH; setzen wir überdiefs BC — u,

CA = b, AB = c ; IJA = «, IJB = ß, JJC = y, und nehmen a n , dafs

co.s« : cosß : cosy = f , g, h,

so dafs , wenn f = X c o s « , g — X cosß, und h — X cosy sein mufs ; so wird zu

folge (§ . 20.) sein:

ii 4- vv 4- zz ~ cos* i'i + v'v 4- gZ= cosß ( K ) * i

f'i 4" v"v 4" cosy.

Durch die Summation dieser drei Gle i chungen, nachdem man sie respective,

mit Berücksichtigung der ( § . 9.) eingeführten Zeichen und dort bewiesenen Lehr

sätze , durch 3S, 36', 36"; alsdann durch $ ) 9 $)', und endlich durch 3, 3', 3" multi-

plicirt hat , erhält man folgende drei Gleichungen:

Page 303: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

allgemeine Elemcntargcoinctrie. 27*J

i K — £ cos « + & cos ß Ar 38" cos y

'fi ff = ff co.9 * + ff' cos ß A,- ff" cos y (L )

£ f f = 3 co.?« + 3' C 0 , 9 ^ ~f~ 3" c o*y .

Addirt man dic Quadralc dieser Gleichungen zusammen, so ergiebt sich zufolge

( § . 3<).), wenn man die Summe durch X2 multiplicirt, folgende Gleichung:

X 2ff 2 — j2 sin-2a _ j _ ^ m 2 O + A2 «n s c + 2gJi(cos b cos c — cosa) ••4 **

+ 2hf(cosc cosa — cosb) Ar 2fg(cosa cosb — cosc)> f ^ _ A

wodurch dic GröfseX bestimmt ist. Man hat also auch cos « = - , cosß = '-, cosy — -,

und auf die W e i s e ist die L a g e des Punctes IJ gegeben.

Die Auflösung der obigen Aufgabe kann mit Nutzen in der Lehre von den Pa

rallaxen gebraucht werden. IIier mag sie zunächst zur Auflösung der bekannten g e o

metrischen Aufgabe : um eine gegebene dreiseitige Pyramide cinc Kugelfläche zu b e

schre iben, benutzt werden.

Nebmen wir in dieser Absiebt a n , dafs der Scheitelpunct O der dreiseitigen P y

ramide , deren Basis das gradlinigte Dreieck AB'C sein m a g , dcr Anfangspunct der

Coordinaten s e i , und nennen wir den Mittelpunct der gesuchten Kugel E, indem wir

OA'=f, OB' = g, OC = Ji1 B'OC = a, COA' = b, AOB' = c, EOA' = *, EOB' = ß,

EOC=y setzen, so erhalten w i r , indem wir dcn Durchmesser der gesuchten Kugel

durch D bezeichnen: f = D cos*, g = D cosß, Ji = Jj cosy.

Indem wir nun O als den Mittclpunct ciner Kugc l betrachten, deren I I a l b m e s s e r = J ,

und deren Oberfläche die Geraden OJ, OB', OC, OE in den Puncten A, B, C, H

schneidet , so wird BC—a, CA = b, AB = c se in, so dafs der Ausdruck von D

odcr des Durchmessers der gesuchten Kugel gänzlich derselbe i s t , wie der im vor i

gen §. gefundene Ausdruck für X, nämlich:

( j 2 sin7 a Ar g2 sin2 b Ar Ji2 sin" c Ar 2 gJi (cos b cos c — cos a) 1

\ Ar 2 Jif(cos c cosa — cos b) Ar 2fg (cos a cos b — cos c))

y(\ — cos2 a — cos2 b — cos7 c A^ 2 cos a cos b cos c).

Page 304: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

2Stt • ' , Vierte Vorlegung. Über analytische *

Von der V e r w a n d l u n g der C o o r d i n a t e n und D e t e r m i n a n t e n ,

§. 42. Es seien in der (§ . 39.) zum Grunde gelegten Figur die Bogen gröfsester

Kreise BC9 CA, AB jeder = 90°, so können die Halbmesser OA, OB, OC als die

r e ch twink l i ch tenAxene inesneuenCoord inaten -Sys temsbet raehte t werden, so dafs die

Determinanten des Halbmessers OH, welche in Bezug auf das Grundsystem |, n,

w a r e n , in Bezug auf das neue System cosx, cosß, cosy werden. Bezeichnen wir

diese Determinanten resp. durch $, >i, £ , so werden die Gleichungen ( K ) ( § . 41.)

'i = i i + * . i + Z i

i = i ' i + » ' i + C i • z = .r'i + v i + Z t

und die Gleichungen ( L ) , ...

H = x'i + &'i + 3c"z = 3 > * + + W'Z

Z% = 3 i + 3 ' i + 3 " £

W e i l $ nuch nach ( § . 36.) durch y^'(l — c o s ° - a — cos2b— cos*c ^-2cosa cosb co.s c )

ausgedrückt werden k a n n , und die Bogen a, b, c hier alle — 9 0 0 sind, so wird K~ I.

Es scheint hier noch wegen des Vorzeichens von $ eine Zweideutigkeit statt zu fin

den, die aber durch die Betrachtung eines besondern Falles völlig verschwindet. Läfst

man nämlich das neue System mit dem Grundsysteme zusammenfallen, so wird / = 1 ,

' = *» Z! = 1 ) u " d »He übrigen Determinanten werden Null se in , so dafs

* = Hg + iw'Z + r*Z' - £ « T ~ - z;*"i - = = + 1 wird.

Man übersieht le i cht , dafs , wenn A 1 , B 9 C1 die Durchschnittspuncte der positi

ven Seiten der A x e n des Grundsystems mit der Kugelfläche s ind, die Determinan

ten der A x e n O A l t OB1, OC1 in Bezug auf das neue Axensystem respective

Page 305: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

allgemeine EIcnientargeometrie. 281

COsA1A = i, COsA1B = f, COsA1C = £"

COsB1A = V3 COsB1B = v, COsB1C =. »"

cos C^t = cosB^B = cosC C = f gein müssen,

dafs folglich i = + #''v + r<r

V = + VtI + v'Y (D)

^ = Ü + + «

Vergleicht man diese Ausdrücke für / , y, £ mit den so eben gefundenen, SO er

geben s i ch , w c i l f f = Ar i, folgende sehr nützliche Gleichungen:

A " ! " ' ' v'{'-fi" = Z, v"{-C"v = i', *<r-sY = |"

~c -> v < r r - = », ^ - f i = v, < ? r -i? = v ( c )

£ n" — vi" — £, — t " / = C3 in — *? — £"•

§. 43. Bezeichnen wir jetzt die Coordinaten eines Punctes P in Bezug auf da«

Grundaxensystem durcn x , y , 2 ; und in Bezug auf ein neues S y s t e m , dessen Mkte l -

punct O' durch die Coordinaten a, b, c, und dessen A x e n durch die resp. Determi

nanten i, V1 £; ?, v i", v", f gegeben s ind, durch x', y', z', so wird man (§ . 16.)

für die Determinanten der Geraden O'P = r in Bezug auf da« Grundaxensystem fol

gende Ausdrücke haben: x — a y — b z — c ,j.

, •l , (d)

r r r

und die Determinanten derselben Linie 0'P in Bezug auf das neue Axensystem w e r

den sein: x ' Y' z' r N

7' r' T- « Substituirt man nun in den Gleichungen (a) (b) ( § . 42.) dic Ausdrücke (e) für

'i, 'v, £, und die Ausdrücke (d) für i, *, £, und multiplicirt alsdann die Gleichungen

durch r, so erhält man folgende Gleichungen: . 36

Page 306: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

x = i(x-a) + v(y-b) + {(z — c)

y'zZZ f ( * _ f l ) + „>ty-b)+ ^ C s - c ) ( 0

z' = i"(x-d) + v"ty-b) + f ' ( s - c ) .

und — « = ix' + # y ' 4 " # " z '

y — & = v x ' 4- » y + Vs ' (g)

* — c = sV H- Cy 4 - ^ V .

Man kann die drei Gleichungen (f) auch folgendermafsen ausdrücken:

x' = ix 4~ "J' H - ^ Ä ~r* a '

y = f x 4_ 4- <T* + 6' (h)

z' = f\v 4- v"y 4- s"'s + c',

wo a\ b', c die Coordinaten des MitteIpuncts der A x e n des Grundsystcins in Bezug

auf das neue System bedeuten.

§. 44. W e i l die A x e n 0'A, O'B, 0'C des neuen, wie die des Grundsystems

senkrecht auf einander stehen, so hat raan wegen (§ . 2 1 , 3.) für die Determinanten

derselben folgende drei Bedingungsgleichungen:

fi" + v'v" + = o, f i 4- Vf 4- Ci = o, ii' H- w' 4- it = O. (i)

Durch diese lassen sich mit Zuziehnng der der drei Gleichungen:

4- *2 4- ^ = 1, f> + v'2 4- C2 = i , t' + v"2 + i"2 ~ *

die neun Determinanten auf drei zurückführen.

Statt der obigen sechs Bedingungsglcichungen hat man a u c h , weil / , i', i";

v, v, V; £, C C die resp. Determinanten dcr A x e n des Grundsystems in Bezug auf

das neue System s ind, folgende sechs Bedingungsgleichungen:

i- 4- r* + r> = i , * + *'* + = & + C2 + £'2 = i

» £ + « Y + » v = o , a+{f+rr = o, iv+tv+rv" = o,

welche mit den erstem sechs Gleichungen identisch sind.

§. 45. Dafs die Richtung des neuen Axensystems durch drei Gröfsen völlig be

stimmt werden k a n n , ergiebt sicb auf folgende W e i s e . Man lege durch den Mittel-

punct 0 d^r A x e n x, y, z drei andere senkrecht nufeinandcrstehende A x e n , die

Page 307: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

mit den Axen des neuen Systems einerlei Richtung hahcn, und die wir die A * e n der

x',y, z' nennen wollen. Bezeichnen wir nun den Neigungswinkel der Ebene x*y' g e

gen die Ebene xy oder den W i n k e l , den dic positiven Thei le der A x e n der z', und

der z mit einander bilden durch » ; durch 4> d e n W i n k e l , den die gemeinschaftliche Durch

schnittslinie der beiden Ebenen x'y', xy mit dcr A x e dcr x, und durch 0 den W i n k e l ,

den sie mit der A x e der x' bildet, so ist die Richtung dcs neuen Axensystems durch

die drci Gröien « , 0 völlig bestimmt. Um jedoch alle Zweideutigkeit zu vermei

d e n , mufs man die beiden auf verschiedenen Seiten des Pnnctes O liegenden T h e i l e

der Durchschnittslinie <ler beiden Ebenen x'y', xy von einander unterscheiden.

Man bewege in dieser Absicht eine aus O gezogene Linie in der Ebene x'y', und zwar

s o , dafs sie um aus dcm positiven Thei le d«r A x e der x' in den positiven Thei l der

A x c d e r j ' zu k o m m e n , einen W i n k e l von 90° beschreibt. Diese Linie geht , indem

sie den ganzen Kreisumfang um O beschreibt , zweimal durch die Ebene xy, w o sie

mit der Durchschnittslinie der beiden Ebenen xy, x'y' zusarnmenfänt. W i r wollen

nun diejenige Seite dieser Durchschnittslinie als positiv betrachten, die zum Übergan

ge der bewegl ichen Lin ie , aus der negativen Seite der Ebene xy in die positive, dient,

dafs also der durch bezeichnete W i n k e l von der A x e der x und diesem positiven

Thei le OQ der gemeinschaftlichen Durchschnitlslinie gebildet wird, und zwar so , dafs

derselbe = 90° w i r d , wenn OQ mit dem positiven Thei le der A x e dcr y zusammen

fällt. D c r W i n k e l $ hingegen ist derjenige W i n k e l , den OQ mit der A x e der .v'

macht und so bestimmt wird, dafs <P = 270° oder — 90° wird, wenn OQ mit dcr A x e

der y4 zusammenfällt.

D i e Determinanten {, y , f etc. müssen demnach Functionen der drei W i n k e l -

gröfsen u, 4>, Q s e in , die w i r j e t z t bestimmen wollen. Man beschreibe um den Mit-

telpunct O dcr Coordinaten die Oberfläche einer K u g e l , deren Halbmesser = 1, und

bezeichne die Durchschnittspuncte der Kugelfiäche mit den positiven Theilen der

A x e n des Grundsystems respeetive durch A 1 , B1, C1, und des neuen Axensystems

durch A , B, C, so ist

Page 308: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

| = cos A A1, f = cos B A1, i"

9 r= cos A B1, n' Z= cos B B1, n"

Z=COsAC1, Z = COsCB1, f

Nennt man ferner Q den Durcbschnittspunct des positiven TbeiIs dcr gemein

schaftlichen Durchschnittslinie der beiden Ebenen xy, x'y' mit der Kugel f läche, so

sind die Bogen AA1, AB1, AC1 etc. dic Seiten der ncun sphärischen Dre iecke

AQA1, AQB1, AQC1, BQA1, BQB1, BQC1; CQA1, CQB1, CQC1 u n d m a n h a t ( § . 4 0 . )

cos AA1 = cos AxQ cos AQ + sin A1Q sin AQ cos A1QA

cos AB1 zzz cos B1Q cos AQ + sin B1Q sin AQ cos B1QA

cos A C1 = cos C1Q cos AQ + sin C1Q sin AQ cos C1QA

cos BA1 = cos A1Q cos BQ + sin A1Q sin BQ cos A1QB

COsBB1 = cosBfi cosBQ + SmB1Q sinBQ COsB1QB a'

cos B C1 = cos C1Q cos BQ + sin C1Q sin BQ cos C1QB

COsCA1 = COsA1Q cosCQ + SmA1Q sinCQ cosA^QC

COsCB1 = cosB^Q cosCQ + SmB1Q sinCQ COsB1QC

COsCC1 = COsC1Q cosCQ + sinC1Q sinCQ cosCxQC.

W e I I n U n A 1 Q = J, B t Q = 90° — J, C 1 Q = OO0, A Q = ?», B Q = P + 90 0 ,

C Q = 90 0 , A 1 Q A = A 1 Q B = ISO0 — « , B Q A = B 1 Q B = « , C 1 Q A = C 1 Q B = M 0 — » ,

A 1 Q C = 90° — « , B 1 Q C = 90° + « , C Q C 1 = A Q B 1 = » , so erhält man:

i = cos 4> cos Q — sin sin <P cos w i' = — cos b sin — sin J cos <Q cos a i" = sin 4» sin u

y = sinb cos# + cos4' sinty cos» v= — sin& sin^A^cos<^ cos$> cosu n"=— cos<b sinu

=zsin<P sinu cos$> sinu ^ * = c o « » .

§. 46. W i r haben oben (§ . 26.) gesehen , dafs alle Punctc , deren Coordinaten

x, y, z in einer durch die Gleichung $x + ny + £z = p gegebenen Beziehung zu

einander stehen, in einer Ebene liegen müssen , die durch die Determinanten »/, g

= cos CA1

= cos C B1

= cosC~Clt

Page 309: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

. . allgemeine EIcmentargeomctrie. 285

und den Abstan<Tp des Anfangspunctes O v o n d i e s e r Ebene Kestimhrt wird. Eben so

ergiebt sich (§ . I C ) aus der Gleichung

(x — ay + (y — by + (z — cy = Pv dafs jeder Punct P , dessen Coordinaten x, y, z, auf einer Kugelfläche l iegen miifs,

deren MittcIpunct durch die Coordinaten a, b, c bestimmt ist , und deren Halbmesser

= f ist. A u f ähnliche W e i s e mufs sich überhaupt j ede F l ä c h e , wenn sie ein Gegen

stand analytischer Untersuchung werden soll, durch eine Gleichung zwischen den drei

Coordinaten eines beliebigen Punctes auf derselben darstellen lassen.

§. 47. W e n n die Coordinaten eines Punctes den Gleichungen zweier Flächen ent

sprechen, so mufs derselbe zugleich in beiden Flächen, und folglich in der gemein

schaftlichen DurchschnittsIinie derselben l iegen. Z w e i Gleichungen zwischen den

Coordinaten eines Punctes bestimmen daher eine Curve ; vorausgesetzt , dafs die,

den beiden gegebenen Gleichungen entsprechenden Flächen einander schneiden. U m

gekehrt sind zur Bestimmung einer Curve im Raume im allgemeinen immer wenig

stens zwei Gleichungen erforderlich. Lassen sich diese beiden Gleichungen auf zwe i

andere zurückführen, von denen die eine von dcr Form Ax + By + Cz = X) ist,

so liegen alle Puncte der Curve iu einer E b e n e , und diese Curve wird eine e b e n e

C u r v e genannt. Im entgegengesetzten Falle heifst sie e i n e L i n i e m i t d o p p e l t e r

K r ü m m u n g . So sind z. B. die beiden Gleichungen:

(x — ay + (y — by + (z — c ) 3 = r?; ( x — « ) 2 + ty — ß)2 + C= — ? ) 2 = f,

die Gleichungen zweier Kugclf lächcn, deren gemeinschaftliche Durchschnittslinie, wenn

cs deren g iebt , bekanntlich ein Kre is , also eine ebene Curvc ist , was sich auch dar

aus ergiebt , indem man die eine dieser Gleichungen von der andern z. B. die lste

von dcr 2tcn abzieht. Man erhält alsdann:

2(a-")x + 2(b — ß)y + 2 ( c - y ) z + « * - a 2 + ß* — b2 + y 2 — c2 = f — r2,

eine Gleichung von der Form Ax + By + Cz = J).

§. 48. Die beiden Gleichungen einer ebenen C u r v e , welche allgemein durch

0 ( # , y , z) = Oy und fx + fy + gz=p dargestellt werden können , lassen sich durch

Page 310: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

286 Vierte Vorlesung, Uber analytische

Verwandlung der Coordinaten, indem man die Ebene , deren Gleichung / " A - + = P

ist, zu einer der drei Hauptebenen eines neuen Axensystems z. 11. der Ebene .V 1 K1

macht , auf die zwei Gleichungen J ( ^ 1 , yt) = o , Z1 = o zurückführen.

D a d i e Gränzen dieser Vorlesung zu beengt s ind, um die Lehre von den krum

men Linien und Flächen mit einiger Umständlichkeit abzuhandeln, so wollen wir uns

hier nur darauf beschränken, die wesentlichsten und nothwendigsten Elementarsätze

der Theor ie dcr ebenen Curven und Flächen vom zweiten Grade vorzutragen.

Von den ebenen Curven des zweiten Grades.

§. 49. Jede ebene krumme Linie vom zweiten Grade is<t unter der allgemeinen

Formel :

(a) Ax2 Ar By + 2 Cxy + 2 Ex + 2 Fy + G = o

begri f fen, w o die Coefficienten A, B, C1 E, F1 G beliebige constan<e Gröfsen, und

x, y die rechtwinklichten Coordinaten eines beliebigen Punctes der Curve bedeu

ten.

Verwandelt man die Coordinaten dieser Curve , indem man in der Ebene dersel

ben ein anderes Axensystem der x',y annimmt, dessen A x e n durch die respectiven

Determinanten i, y: i', y', und dessenMittclpunct durch die Coordinaten a, b bestimmt

s ind , so erhält man (§ . 43.)

(b) x = ix' Ar (y + a> J — + » ' / 4-

Die Determinanten i", tf' sind hier nämlich, weil die A x e der z ungeändert bleibt

= o. Eben S 0 i s t £ = 0 , g = o , und g' = 1.

Substituirt man nun die W e r t h e von A-, y (b) in der Gleichung ( « ) , so verwandelt

sich diese lbe , wie man leicht übersieht, in fo lgende:

(c) 2U' a + 2 3 / 2 + 2&x'y' Ar 2 Qx' + 2 %y' Ar @ = o,

Page 311: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

so dafs 51 = Af + Bf + 1 CIv

«25 = Jf2 4 - tfV 4- 2 CYV

C = AH' + Bv»' + C ( * v ' + * #

Cd) g = ^tfa 4 - Bib' + C(?b 4- *fl> 4 - Ei 4- jPf

5 = Afa + Bv'b+ C(i'b-]rv'a) + Ef 4- 7' 1V

@ = Aa2 4 - 7i£- + 2 Cab + 2Ea + 2i^> + G.

§. 50. Aus den ohigcn sechs Gleichungen lassen sich nun mit Zuziehung der

drei Bedingungsgleichungen (§ . 44.)

sechs Gröfsen y, f, v', a, b el iminiren, so dafs dieselben auf folgende drei GIei-

1) 91 + 95 = A + B; 2) 9195 — ~ AB — C2 ...

3) 9 5 S 2 + 2J$ 2 4 - 2 g @ g — (5(93 — @ 2 )© = BE* + AF2 + 2CEF — (AB — 0)G\

I. Die erste dieser GIcichnng 214*95 = A+B ergiebt sich unmittelbar aus den

nedingungsgleichungen 4" f 2 = 1 , v2 4- V = 1 , iv 4 - f V = o.

II . , D i e zweite erhält man folgendermafsen:

21© = A2Fi'2 4- 7 » 2 V + *C*it,fn' + AB(Vn'2 4- * 2 f 2 ) 4- 2 ^ C if(iv' 4- >/f)

+ 2BCvr,'(in' 4- *f)

£2 = ^ / Y 2 + ^ 2 V V + C 2 ( / 2 V 4- 2ii'nv' + f2*2) + 2ABifnv'

4- 2ACif<Hn + vf) 4- 2BCvn'(iv + f,).

Folglich 0(95 — S 2 = (AB—&)(i2v'2 — 2 ifvn' + f2^) = (AB — C2)(ZJ — vgy.t

Es ist aber (§ . 42.) Zv — wf = £ * = 1, also 2) 9193 — = AB ~~ C2,

III. Aus den beiden Ausdrücken (d) für ßr, § ergiebt sich mit Berücksichtigung

der drei Bcdingungsglcichungen (0

£i + = + C h + ^ + S»' = 4- Bb +

Daraus 4- S f ) B — ( @ * + %v')C = (AB-C<)a + - W

(€» + S * V ^ (@* + S f ) C = {AB-&)b 4- - ^ 1 .

+ ,2 - i , f» 4- P = 1 ,

f2 + v'a — 1 , 4 - z= o

V 4- V = 1 , 4- fv' = o

Page 312: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Es ist aber © — G = Aa? 4 7?Z>2 + 2Cab 4 2i7« 4 2Fb

= (Aa + Cb + 2E)a + (Bb+Ca + 2F)b = C $ f 4 $ ^ 4 ^ « 4 ( e * 4 $ > ' 4 7 ^

Demnach w i r d , wenn wir JB — C 2 = 3193 — durch D bezeichnen,

J D ( 0 - G ) = (@f 4 %| ' 4 E)Da + (gv 4 S»' 4 F ) # 6

= <G* 4 4 E) [ (g* + $ f ) ^ - 4 ff*')<? 4 FC - EB]

4 ( « . f + S»' + /0 [(@* + %r'U - (€* 4 $ f t C 4 EC — FJ\

= ( ( @ # + S ^ ) 2 - ^ 2 ) ^ + («£«4S*') 2 — F ^ - 2 ( ( g / 4 5 / ' ) ( @ * 4 S 0 - F F ) C = @ 2 ( S / 3 4 ^ * 2 ~ 2 Civ) 4 S 2 W 4 ^ * ' * - 2 CTO 4 2 g g ( B / f + ^.»»'— LXin + ni'))

— (#Z2* + ^ F ' — 2.CFZ^.

Es ist aber

Br 4 ^ — 2 CIv = ^ 4 B — U** 4 i ?^ + 2 Civ) = + B — 21 = 35

eben so

Bt2 4 J**— 2CiW = A 4 i? — W a 4 #» ' 2 4 2 C f O = A 4 7? — 33 = 21

und Bi? 4 At,*' — C(i* 4 vf) = — (Bvn' 4 4 C(in 4 »#')) ~ — S

Folglich Z> (© — G) — 23 g 2 4 2 1 — 2 g.@g — (Z?7?2 4 JF* — 2 CFZO

oder 2 3 g 2 4 2 ^ 2 — 2 £ < £ 5 — ^ 3 3 — g 2 ) © = BE* + AF2 — 2CEF-(AB-G)C,

§. 51. Aus den so ebenen gefundenen drei Bcdingungsgleichungen zwischen den

Coefficienten der Grundformel (a) und dcr durch Verwandlung der Coordinaten her

geleiteten (c) geht hervor, dafs im allgemeinen die Formel (a) sich auf die Formel (c)

zurückführen läfst, wenn auch drei von den aechs Gröfsen 2I9 33, Q£, % , ® be

stimmt sind. W i r woUen daher jetzt folgende Aufgabe auflösen.

D i e a l l g e m e i n e G l e i c h u n g d e s z w e i t e n G r a d e s :

^ v 2 4 By2- 4 2Cxy 4 2Ex 4 2Fy 4 G = o,

i n d i e e i n f a c h e r e 21jc'2 4 33j' 2 4 2 @ x ' = o z u v e r w a n d e l n .

W e i l die drei Gröfsen £ , %, ® = o, so sind die drei Bedingungsgleichungen

1) 21 4 9 5 = J + B, 2) 9|t8 = AB — C2, 3) 33g2 = JF*4 BE2 — CEF— (AB-C*)G.

Aus den beiden ersten Gleichungen ersieht man , dafs 21, 23 die beiden Wurzeln

der quadratischen Gleichung:

Page 313: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

allgemeine Eleinentargeomclrie. 2S9

P — (A + B)t + (AB-O) — o,

also -| (A + Ti) Hh | Y"(A — B)2 4- 4 C2 sein müssen.

Es sind also 91, 23 immer mögliche Gröfsen.

Der Coeffic'ient @ wird immer reell se in , wenn AB — C2 = D eine negative

Gröfse i s t , weil alsdann wegen 9123 — AB — C2, 31 und 93 ungleichartig sein müs

sen, und folglich die Gröfse 93 so angenommen werden kann, dafs sie mit AF2+BE

— 2CEF — (AB — C2)G = K gleichartig, also g 2 positiv und g reell ist. W e n n

aber AB — C2 und folglich auch 9193 positiv i s t , so werden Q|, 93 beide zugleich p o

sitiv oder negativ sein. Ist demnach K = AF2 + BE2 — 2CEF — (AB — C*)G

nicht mit 93 und folglich auch nicht mit 21 93 otIcr mit A^-B g leichartig, so kann

@ keine reeUe Gröfse sein. O + ' ^ O . ! •

§. 52. Bezeichnen wir den W i n k e l , den die A x e der x' mit der A x e der x

macht , durch « , so ist der W i n k e l , dfn sie mit der A x e der y bi ldet, = 90° — «.

Es sei ferner der W i n k e l , den die A x e der y' mit der A x e der x macht = « 4- 90°,

so ist der W i n k e l , den sie mit der A x e d e r j ' bildet = « . Es ist also £ — cosa,

n — co.s'(90 0 — a) z= sina, |' = cos(90°4- «) = — sin*, v = cosa. Substituirt man

diese W c r t h e von i, ti, f , »' in der Gleichung:

£ - AH + Bm 4- C(in' + vf)

so wird dieselbe, weil 6 = 0,

0 = — A cos « sin» + B sinu cos» 4" C(cos** — sm 2 *) .

2 C Folglich \(A — B) sin2u = C cos2* oder tan2u z= j ^ ,

wodurch also die Bichtung des neuen Axensystcms bedingt w i r d , um dic allgemeine

Form (a) der Gleichung des zweiten Grades auf die einfachere

(g ) tyx'2 + 93v' a 4- 2gx' = 0 zurückzuführen.

Es sind also noch die Coordinaten a, b des Mittelpnnctes des neuen Axensystems

zu best immen, wozu die beiden Gleichungen (III. §. 50.) gebraucht werden können.

Diese sind nämlich, % = 0 gesetzt,

Page 314: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

(AB — C^a = (Bi — Cn)Q + FC — EB

(AB — &>b = (An — Ci)Q Ar EC — FA. f

§. 53. Es läfst sich demnach die allgemeine Gleichung

(a) Ax2 + Bv2 Ar 2 Cxy + 2 Ex 4- 2 Fy 4- G = o

immer auf die einfachere Form 2Lr' 2 4~ 3 5 / ' 2 4~ 2@*r ' — o zurückführen, den FaIl

ausgenommen, wenn AB— C2 positiv oder = o, und zugleich AF2 4- BE2 — 2CEF

— (AB — C*)G odcr K mit A 4~ B ungleichartig ist. In diesem Falle wird für j e

den reellen positiven oder negativen Werth von x, y d e r , vermittelst der Gleichung

(a), bestimmte resp, W e r t h von y, x imaginär sein. Diefs läfst sich unmittelbar durch

die Verwandlung dcr Gleichung (a) auf f o l g e n d e W e i s e dartbun: Es ist nämlich, wenn

AB — & = D und AF- Ar BE2 — 2 CEF — F)G = K gesetzt wird,

Ax2 4- By2 4- 2 Cxy Ar 2 Ex + 2 Fy Ar G = Ax2 + 2(Cy + E)x + By2 4" 2 Fy + G

- { A x + C y + E ) Z + A ( ß y 2 + 2 F y + c) — <6> + ^2J

= 4- Cy 4- F)2 4- (AB — 0)y2 4- 2UF - CE)y Ar AG — F2J = |u* + C > 4- E)2 Ar ~((DyA-AF—CE)2+D(AG — m—(AF-CE)^

Es ist aber D(AG-E2) (AF-CEf=A(DG-AF^-BE2 4- 2 GFF) = — AK.

Man erhält also statt der Gleichung (a) f o lgende :

ijU* 4- Cy A- E)2 A- fi((Dy Ar AF-CEf-AK^ = o (b)

Auf ähnliche W e i s e verwandelt sich auch (a) in : ^CBy Ar Cx Ar Ff + j^((Dx + BE-CFf-BK^ = o. (c )

Ist demnach D positiv also A und B unter s i ch , und folglich auch mit A 4- B

gleichartig , so wird , wenn zugleich A Ar B mit K ungleichartig i s t , sowohl — AK

als auch — BK posit iv , und daher die Gleichung (b) sowohl als ( c ) , also auch

(a) für alle reelle VVerthc von x, y unmöglich sein.

Page 315: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Ist D positiv un<l Tv rr o , so mufs zugleich

A x + Cy + E = o, Dy + AF — CE = o

oder By + Cx + F = o , Dx + TJiJ — C F = o sein.

Aus den ersten beiden Gleichungen sowohl als aus den beiden letzten f o lg t :

CF — TiE _ CE — AF x = D , y D .

Es giebt also nur einen einzigen Punct in der Ebene xy, deren Coordinaten der

Gleichung Ca) entsprechen.

W e n n D negativ und K = o, so erhält man wegen (b)

ji j - r J - T? - °y + J F - C E A x + Cy + E - _ ^ ^ - _ ^

jjP C 7 * *

oder Ax + ( C + - ^ 7 i ) j + E + p j ^ ^ g = o (d)

und aus der Gleichung (c)

By + Cx + F - ^ L . + *F - C F

My ^ x -r ± — ± r ( C , A ß > )

T>TP , CW oder By + (C ± fC* - AB)x + F ± _ = o. (e)

D ie beiden Gleichungen (d) sind mit den beiden Gleichungen (e) identisch, wie

man sich leicht überzeugt , weil

A : (C + yC* — AB) = (C + ^C' — AB) : B

A j • tv - J F ~ C E \ - (C - yrc* im • (F + B E ~ C F )

und A : (E + r { C i _ A ß ) ) ~ CC + - AB) . (F ± ^ - _ - ) ,

Die Gleichung (a) ist demnach, wenn D negativ und K = o i s t , die Gleichung

zweier geraden Linien.

Ist sowohl D als K = o, so ist sowohl AF — CJE als auch BE ~- CF = o,

und man erhält die beiden identischen Gleichungen: m

Ax + Cy + E = Oy By + Cx + F = 0 .

Es ist also in diesem Falle (a) die Gleichung einer geraden Linie.

§ . 54. Aus den vorigen §§ . ergiebt sich demnach, dafs die Gleichung einer krum-

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292 Yiertc Voriesung. Lberana iy t i s che

men Linie vom zweiton Grade ,>ieh allgemein auf die Form 2hv'- + 2 3 / ^ - r 2 G f . v ' = o

zurückführen läfst. W e i l man aber dic drei beständigen Gröfsen 21, 23, S auf zwei

reduciren k a n n , so läfst sich diese Gleichung auch unter folgende Form

y*-p(2* + f) (0

bringen, w o p, a zwei gerade Linien bedeuten, und das Zeichen — oder + - gilt oder

a = GO ist , j e nachdem in der allgemeinen Formel 00? BC — C2 oder D positiv,

negativ oder = o ist. Von diesem Umstande hängt auch die Natur der Curve vom

zwei tenGrade ab, und erhält deshalb versch iedeneNamen. Sie wird nämlich E l l i p s e ,

H y p e r b e l oder P a r a b e l genannt, j e nachdem D posit iv , negativ oder = o ist.

Aus dcr Gleichung ( f ) , unter d e r F o r m y2=^-(2a^Zx) dargestellt, ergiebt sich, dafs

Y = o w i r d , wenn x — o oder = tfc 2 a . In diesen beiden Puncten wird die A x e

der x oder die Abscissenlinie von der Curve geschnitten, und der dazwischenliegende

TheiI + 2 a wird die H a u p t a x e dcr Ellipse oder der Hyperbe l , und dic Puncte

selbst werden ihre S c h c . i t e l p u n c t e genannt. D ie gerade L i n i e p nennt man dcn

h a l b e n P a r a m e t e r der Curve.

v2

W e i l für die Parabel in der Gleichung (f) a unendlich i s t , also verschwindet,

so ist derselbe y2 — 2px.

In dieser giebt es nur einen Werth von xy nämlich o , für welchen y = o wird.

Die Parabel hat also nur einen Scheitclpunct.

§. 55. Aus dor Betrachtung der Gleichung y2 = - ^ ( 2 « + x) übersiebt mnn s o

gleich, dafs in der Ellipse für alle positive W e r t h c von .r, zwischen o und 2a, y2 p o

sitiv ist , und folglich y zwei reelle gleiche und entgegengesetzte Wer the hat. Für

alle übrigen aufserhalb der Grenzen o, 2a liegenden Werthe von x wird y2 negativ,

also y imaginar se in ; woraus sich ergiebt, dafs die Ellipse eine in sich zurückkeh

rende Curve i s t , die einen endlichen Raum einschliefst.

Für die l iypcrpe l wh*d ,für. alle Werthe von x zwischen .v = o und x = — 2a,

Page 317: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

allgemeine Elenientargeometrie. 293

weil für dieselben der cino Factor negativ , der andere 2 « - f - x aber posit iv , y* ne -

gntiv, also y imaginär. Für alle übrigen negativen Wertl ie von x hingegen ist 2a + x

negativ, also y2 positiv. Diefs ist auch dcr Fall für alle positiven WertTie von .r.

Für die Parabel der C I e i c h u n g j 2 = 2px haty für alle positive W c r t h e von x

zwei gleiche aber entgegengesetzte rccl lc Werthe . Für alle übrigen negativen W e r t h e

von x ist y imaginär.

W e i l ebene Figuren, die sich durch nichts als ihre Dimensionen unterscheiden,

einander ähnlich sind, so müssen Ellipsen und Hyperbe ln , deren resp. Parameter und

Hauptaxen proportional s ind, Parabeln aber alTe einander ähnlich sein.

§. 56. Aufser den Scheitelp*uncten in den Curven des zweiten Grades sind beson

ders noch diejenigen Puncte in der Hnuptaxc merkwürdig, deren Abscisscn der Ordi

nate y p zugehören. Man erhält diese Absc issen , indem man in der Gleichung

r 2 y- = p(2x _j_ ^ - } , p für y substituirt. Es ist alsdnnn fiir dic EUip.se

x2 — 2 a x 4~ aP — Oj

und daraus x = a + Y~a2 — ap.

Es giebt also für die Ellipse zwei solcher Puncte in der Abscissenl inie , voraus

gesetzt, dafs p < a. Man nennt diese beiden Puncte die Brennpuncte der Elipse, e i

ne Benennung, die davon herrührt, weil eine F läche , welche durch die Umdrehung

um die A x e , worin diese beiden Puncte l i egen , entsteht, die Eigenschaft hat, dafs

die von einem dieser beiden Puncte ausgebenden Lichtstrahlen von dieser Fläche so

zurückgeworfen werden , dafs sie nach den Gesetzen der Katoptrik sich in dem an

dern Brennpnncte vereinigen. x2

Aus der Gleichung für die Hyperbel y2 = p(2x + — ) folgt ebenso, p für v siibs-a £

tituirt, x2 + ^ax — ap = o,

und darnus x = —a + y"a2 + ap.

Es hat also die Hyperbel ebenfalls zwei Brennpimcte , w e l c h e , wie man aus dem

Ausdrucke für x sieht, nicht wic für die Ellipse in der Hauptaxe zwischen den beiden

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294 Vier ie Vorlesung. Über analytische

ScheiteIpuncten, sondern aufserhalb derselben auf beiden Seiten in der Verlängerung

der Hauptaxe l iegen.

Für die Parabel erhält man aus der Gleichung: üi

y2 = 2px, p 2 = 2px, also x = | p .

D i e Brennpunete der Hyperbel haben die Eigenschaft , dafs Lichtstrahlen von ei

nem derselben auf die Fläche des durch Umdrehung entstandenen Hyperbeloids g e w o r

f e n , so zerstreut werden , dafs sie rückwärts verlängert , sich in dem andern Brenn-

puncte vereinigen. .

Die aus dcm Brennpuncte der Parabel auf die Fläche des durch Umdrehung um

die A x e der Hauptaxe hervorgebrachten Paraboloids fallenden und darauf zurückge

worfenen Strahlen sind unter sich parallel.

§. 57. Eine gerade L in ie JFP~r aus dem Brennpunete F zu irgend einem Pnne-

te P der Ellipse g e z o g e n , dessen Coordinaten x, y, wenn man y"a2 — ap d u r c h m b e -

ze ichnet , ist (§ . 16.)

= y((x — a + TO)2 + y2) = Y"((x — a + m)2 + 2 p x — £ x2)

= K * « 1 — x2 — 2 (a — TO — p) x 4- ( « — m)2)

W e i l nun, wie man sich leicht überzeugen kann,

(a — m — p)2 = (1 — L) (a — TO)2,

so erhält man FP2 oder

1(1 r 2 =

")x — (a — TO — p)Y' a

i - P a

, also

(1 — ^)x — (a — TO — p)

r ( i - £ ) = x y(\ — C) + « ( 1 — K ( I — ^ ) ) = - x + a — TO.

Setzt man in dieser Gleichung, w e i l , wenn die Abscisse des einen Brennpunctes

JP z= a Y"az — ap — a — m ist, die Abscisse des andern Brennpunctes F"zz= a + m

Page 319: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

, m . , r = — x y a + 77t. a

Daraus fo lgt , dafs r + r' = 2 « oder : D i e E l l i p s e i s t e i n e e h e n e C u r v e ,

i n w e 1 c h e r d i e S u m m e d e r E n t f e r n u n g e n j e d e s h e 1 i e b i g e n P ii n c t e s v o n

z w e i f e s t e n P u n c t e n i n d e r s e l b e n E b e n e e i n e r g e g e b e n e n g e r a d e n L i

n i e g l e i c h i s t .

§. 58. A u f ähnliche W e i s e erhält man für die Hyperbe l , Aveil die Abscisse ihres

einen Brennpunctes = — a + Y~a2 + ap, wenn man ebenfalls wieder Kürze halber,

Y"aJ + ap = m setzt y

JPp* oder r 2 = (x + a — m)2 + y2 = (x + a — m ) 2 + 2 px + 1^-

2

a P\ ~ 2 _J_ O fr, ™ J_ ~ __L (r, w\2 = (1 + x2 + 2 (a — m + p)x + (a — m>

D a n u n , wie man leicht übersiebt,

(a — Tti + p ) 2 = (1 + E) (a — m ) 2 i s t ,

so ergiebt sich [(1 + E) x 4- (a — m + p ) J 2

r 2 = . _ } folglich 1 + E

' a

r = x r ( l + + a y(l + ^ ) — a = ^ * + 7W — « .

Für den andern Brennpunct, dessen Abscisse = — a — Y"a2 + ap = — a — m hat man

r ' 2 = (x + a + m)2 + j 2 = (1 + E) x* 4- 2 (a + m + p ) * + C« + m ) 2

W+l)x + (* + m+p)Y = , also r' = xr(l + £ ) + «K"(1 + + a.

i + £ a a

a

Es ist demnach r' — r = 2 a oder d i e H y p e r b e l i s t c i n e e b e n e C u r v e , i n

w e l c h e r d e r U n t e r s c h i e d d e r E n t f e r n u n g e n j e d e s b e l i e b i g e n P u n c t e s

v o n z w e i g e g e b e n e n P u n c t c n e i n e c o n s t a n t e G r ö f s e i s t .

sein mufs , — m fiir m, so erhält man für den aus den Brennpuncte F noch P g e z o

genen Hadiusvector FP

Page 320: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

§. 59. D ie Abscisse des Brennpuncies F der Parabel, wenn ibre G l c i c h u n g y - = 2px,

ist ( § . 5G.) = §p. Es ist daher der aus dem Puncte F nach irgend einem Puncte

der Parabel, dessen Coordinaten x,y, gezogene Radiusvector FP — Y^x — i i 7 ) 2 + / "

= Y"{x2 —px + £p 2 + 2px) = x 4~ ip. Eegt man demnach durch einen Punct der

Abscissenlinie oder der A x e der x, dessen Abscisse = —-£p eine senkrechte gerade

L i n i e , so ist die Entfernung jedes Punctes der Parabel von ihrem Brennpuncte der

Entfernung desselben von diesem Perpendikel gleich. D i e P a r a b e l i « t d e m n a c h

e i n e e b e n e C u r v e , i n w e l c h e r j e d e r P u n c t v o n e i n e r g e g e b e n e n G e r a

d e n u n d e i n e m g e g e b e n e n P u n c t e i n d e r s e l b e n E b e n e g l e i c h w e i t c n t -

f e r n t i s t.

§. CO. Bezeichnen wir dcn W i n k e l , den der Radiusvector FP = r einer Curve

vom zweiten Grade mit der Abscissenlinie v o m Brennpuncte gegen den Scheitel zu, des

sen Abscissc = o, macht, durch <p, so ist, wenn x, y d ieCoordinaten des Punctes Fsänd

für die Ellipse x — a 4~ Y"a2 — ap = — r cos $

für die Hyperbel x 4~ a — Y"a? 4" ap = — r cos Q>

und für die Parabel x — ~p = — 7 ' cos$.

Es ist aber auch , wie wir gegeben haben , wenn für die Ellipse Y^a2 — ap, und

für die Hyperbel Y"a? 4" ap durch m bezeichnet w i r d :

TYl für die Ellipse r = — x 4 - a — m

* a 1

für die Hyperbel r = — x 4" m — a ,« • %

und für die Parabel r = x 4 - f p . ; •r

T\~ f i - T-11. m ™? m

« a nun fur die Ellipse — x = m r — cos G> 1 a a a

f j - TT 1 1 m rn? m iur die Hyperbel — x — m — r — cos O

f. •'• , j a a a

und für die Parabel x = — r cosQ,

so ergiebt s i ch , weil für dic Ellipse a — — = F , U n d für die Hyperbel — a=p,

Page 321: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

k i Hn ii*MtfHitfi iWSMifaji

297

für beide Curvcn

m rf\ _L — cos$) =• p oder r = 1 «

a 4 i m ^ 1 4" — cos <p

a Für die Parabel erhält man r 4* r c o s £ = p oder r =

1 4" C'OA' 0 Man über

sieht le icht , dafs m = y V J — a p für die Ell ipse, und m = y^a 2 4" für die H y

perbel , die Entfernung des Brennpunctes von dem Mittelpuncte der Hauptaxc dieser

beiden Curven ist. Der Exponent des Verhältnisses dieses Abstandes zur halben

Hauptaxe wird die E x ^ e n t r i c i t ä t der Curvc genannt, und gewöhnlieh durch e b e

zeichnet. Diese Excentricität e = — ist für die Ellipse = Y"(1 — - ) , für die H^per-a a y 1

pel = y(l + ^ ) u n ( l für die Parabel , wenn man dieselbe als eine Ellipse oder eine

Hyperbel mit einer unendlich grofsen Hauptaxe betrachtet, = 1. Es ist demnach P (g) i 4" e c o s 1P

d iea l l gemeineGle i chung für al leKegelschnitte , und zwar für die Ellipse, wenn e < 1,

fiir die Hyperbe l , wenn e > 1, und für die Parabel , wenn e = 1. Für den Kreis

wird e = o , und für die gleichseitige Hyperbel e = 2.

§. 61. W i r haben oben (§ . 54.) gesehen , dafs die Gleichung y2 zzz p(2x + ~)

Xf2 . y2 oder die mit ihr identische — " X ^ - 4- 2x = 0 die Gleichung der Ell ipse, Hyperbel

eder der Parabel ist, j e nachdem das obere oder untere Zeichen gilt oder a auch un

endlich ist. Man kann diese Gleichung auch auf folgende Art darstellen:

(x X af _ ^ az — ap

Diese verwandelt s i c h , wenn man x 4Z a = A-' und respective für die FlIipse

Ä 2 — ap zzz m2j und für die Hyperbel a2 4- ap — m2 setzt , in fo lgende :

x'2 <v2

TT2 + aTZTn7, = «• (h)

D i e s e Gleichung gilt sowohl für die Ellipse als für die Hyperbel , für jene näm-38

Page 322: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

298 ' V ier i c Vorlesung. Über analytische

lich ist m < a und für diese > a. Sie ist aus dcr Gleichung (f) hervorgegangen,

indem man den Anfangspunct dcr Coordinaten aus dem Scheitelpuncte in den MittcI-

punct der Curve verlegte. Man hätte dieselbe auch unmittelbar, wie die Gleichung (f)

( § . 54 . ) , aus der allgemeinen (a) herleiten können.

Setzt man in dieser Gleichung x = o, so erhält man y = _+ Y"a? — jn2. Dieser

W e r t h von y ist nur für die El l ipse , wenn m < a, mögl ich. Man nennt denselben

die halbe kleine A x e oder auch die halbe Nebenaxe . Für die Hyperbel ist dieses y

unmögl i ch , weil m > a, und für diese wird Y"m? — ä2 die Nebenaxe genannt.

Bezeichnet man die Nebenaxe sowohl der Ellipse als der Hyperbel durch b, so ist

b2

für j ene ä2—m2, und für diese rri2 — a2 oder b2 = ap, also p = —, woraus der Satz

hervorgeht , d a f s d c r h a l b c P a r a m e t e r d i e d r i t t e P r o p o r t i o n a l l i n i e d c r

h a l b e n g r o f s c n u n d d e r h a l b e n N e b e n a x e i s t .

§ . 62. Legt man durch den Mittelpunct der Hyperbel , deren Gleichung ^ — — j ,

zwe i Gerade, welche die A x e der x auf beiden Seiten derselben unter dem Winke l x

schneiden, so dafs tan» = - , so werden dieselben nach entgegengesetzter Richtung

Ct

vom Mittelpuncte aus ins Lnendl iche verlängert, die beiden von einander abgesonder

ten Zwe ige der Hyperbel so einschliefsen, dafs sie verlängert, sich densolben immer

mehr und mehr nähern, und ihnen so nahe kommen k ö n n e n , dafs ihr Abstand

kleiner als j ede gegebene Entfernung wird. Es ist nämlich, wenn man die zur Abscisse x gehörige Ordinate eines Punctes

' 7 7 dcr beiden geraden Linien durch y ' bezeichnet, = + tan» = 4 " o d e r y ' = + — .

J x — — a J — a

Aus der Gleichung der Hyperbel = * aber f o l g t , dafs y = ± bY~£ _ i

- + *£ KY_iL2. Demnach ist / - y = + (1 _ T1TT Y Es ist aber *~ a : . O, > j f 2 /

Page 323: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

-<asuda^ mm

allgemeine Elementargeometrie. 299 _ r, - 2i =

( ,_r, .p) ( , , r , _ : : ) .v 2

1 + r; i + r,_ A? 2

also y' — r = + — . J v — x 1 + ' 1 r<_*

- — : . Der Unterschied y' — y nimmt daher ah,

wenn x wächst , und kann kleiner w e r d e n , als j * d c gegebene Gröfse. Dieser Bez i e

hung wegen zurHyperbe l werden die beiden obigen geradenLin ien die A s y m p t o t e n

dcr Hyperbel genannt.

§. 63. Macbt man die beiden Asymptoten zu A x « n schiefwinklichter Coordinaten,

so dafs die resp. Entfernungen irgend eines Punctes P der Hyperbel von der einen

Asymptote in der Richtung der andern Asymptote durch x', y' bezeichnet w e r d e n , so

erhält man für die Hyperbel die äufserst elegante Gleichung:

4x'y' = m 2 = a2 + b2 (i)

w o m die Entfernung des Brennpunctcs v o m Mittelpuncte bedeutet.

Es sei nämlich O der Miltelpunct der I Iauptaxc , P ein Punct dcr H y p e r b e l , PQ

ein Perpendikel auf die Hauptaxe , und P T i eine Linie auf eine der Asympto ten , die

man zur A x e der schiefwinklichten Coordinaten x' bestimmt, parallel mit der andern

Asymptote , so ist OQ — x, PQ = y, OR = x', PR = y , und man übersieht

leicht, wenn d c r W i n k e l ROQ = <x, dafs x = x' cos*^ycos<*, yzzzx'sin*—y'sin«.

Substituirt man nun diese W e r t h c von x, y in der Gleichung '— —

wandelt sich dieselbe in

— 1, so ver-

*•* - + y < - T - + > * y ( ^ + - P ) =

Es ist aber (§ . 62.) tan«. = - . Daher C O S „ * a a2

sin2 « cos2 * — o, - „ b2 a~

sm2a

4 x'y' i und die obige Gleichung wird _ _ ^ = 1 oder 4xy' == a2 + b2 = m*

§, 64. W i r haben oben (§ . 51, 52.) gesehen, dafs^mkrtdenAnfangspunctderrecht-

Page 324: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

AsR:-A -- r_y ' *

300 Yierte Yorlcsung. Uber analytische

winklichten Coordinaten und die Uichtung der A x e n so hestiinmen kann, dafs die all

gemeine Gleichung (a) Ax2 + By2 + 2Cxy + 2Ex + 2Fy + G =• o des K e

gelschnitts sich auf die einfachere Form (f) %x'2 4 ~ ^f2 4 ~ 2 ^ a - ' = o zurückführen

läfst. W i r d j edoch der Mittelpunct oder die Richtung des rechtwinklichten A x e n s y s -

tems verändert, so verändert sich auch die Form der Gleichung ( f ) , Man kann indefs,

j eden beliebigen Punct der Curve des zweiten Grades zum Mittelpuncte eincs schief-

winklichten Axensystems angenommen, die Richtung der A x e n so best immen, dafs

die Gleichung zwischen den schiefwinkIichten Coordinaten der Curve dieselbe einfache » t i i i >

Form $lx'2 4 ~ 2 5 / ' 2 + 2Qx' = o beibehält ; was wir jetzt zeigen woflen.

Es seien g, Ji die rechtwinklichten Coordinaten des Anfangspunctes des scbief-

winkIichten Coordinatensystems der x', y'; « der W i n k e l , den die A x e der x' mit der

A x e der x des rechtwinklichten Systems , und w der W i n k e l , den die A x e der y mit

der A x e der x' macht , und zwar s o , dafs dcr W i n k c I , den sie mit der A x e der x

bi ldet , et + w is t , so übersieht man leicht , dafs / , • > . n

x — x cos x + y cos (<* 4 ~ w ) ~f" g> y — x s^n x ~ f " J' S i n C « 4 - w ) 4 " Ju

Substituirt man nun diese beiden Wertbe von x, y in der Gleichung Ax2 4 " By2

4 - 2Ex = o, so verwandelt sich dieselbe in :

2U^ 4 - 2 3 / 2 4 - 2 &x'y' 4 - 2 Qx' 4 - 2 %f 4 - © = o, w o 31 = ^ c o 5 2 « 4 - S « r t 2 w € = (^§r + 7 J ) c o « « 4 - J B / i « « *

2 3 = A cos? ( « 4 - » ) 4 - T i ( « 4 - » ) 5 = (Ag 4 - F ) c o Ä ( « 4 - » ) 4 - V i / ; * / w ( « 4 ~ w )

Qt = A cos « ca*(<* 4 " w ) 4 " ^ Ä sin(» 4 - w ) © = Ag2 4 - 2 ? / i 2 4 " 2 EgJu

Soll also © = 0 w e r d e n , so mufs wegen der letzten Gleichung der A n -

fangspunct der schiefwinkIichten Ordinaten in der Curve selbst l iegen.

Aus der Gleichung % = 0 fo lgt : tan(x + *>) = — d^~tiJ?f und wegen £ = 0, J3Ih

hat man tan * = — _ _ 4 _ — — ^ 7 * • ,

tan ( « 4 - « ) ^ g r F

D a r a u s e r g i e b t s i c h , weil co*=« = r — _ ? — — c o s 2 ( « + «0 = r ^ ~ , — ^ 7 — ; — . 0 1 4 - tan2 * v 1 ' 1 4 - tan2 (oc 4 - « ) *

Page 325: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

+ ii')3 + A2Ii2' ( g- + Ey + ^2A2

COÄ2 (K + w) = c«+») - - u * +

U<g- + Ey + #A2' v ^ (Ag + Ey + &fr' Demnach

^ . U ö - 2 + ^ 2 4 - 2 i ^ + ^2) ^ J F r

(Ag + E)2 + ^*A2 (Ag + Ey 4- ^/r"

^flc^r» + #/<2 4- 2 7% + ^2) B E 2

(AgA-Ey + Ti*/*2 (^H-7^)2 + B2Ii2

© zzz (Ag+'-Ey + BAh2 =

E2

y((Jg 4- Ey 4- ^z*2) y ( G 4- Ey 4- ^A*' Es läfst sich demnach j ede Curve des zweiten Grades auf unzählig viele A r

ten durch eine Gleichung zwischen schiefwinklichten Coordinaten von der Form

%x'2 4- 23 j ' ' 2 4" 2©Ar' = 0 darstellen, wenn nur der Miitelpunct des Axensystems in

der Curve angenommen wird.

§. 65. Da wegen der Gleichung 2 L r 2 4" 2 5 / - + 2fx' 0, für zwei Werthe , j , 2 g

von . v ' , y - o w i rd , nämlich für x =o, und x — — , s o e r s i e h t m a n daraus, dafs

die A x e der .v' die Curve des zweiten Grades in zweien Puncten schneidet. Die

Abscisse x' des zwischen diesen heiden Puncten in der Mitte liegenden Punctes Al

ff.

ist also = — Substituirt man nun diese Abscisse x' und die dazu gehörige Ord i

nate y' zzz 0 in den beiden Gleichungen:

x =• x' cos ot 4- y' cos (» 4- oi) 4" g , y = x' sin «• 4- y' ^in (<* 4- <«0 + Ä,

so erhält man für den Punct M die rechtwinklichten Coordinaten: a &

x = ~ cos * 4- gy y sin « 4- Iu

* , $_y((Ag + Ey + A*h2) . H Ag 4-E ff

Es ist aber ^ = L J — -> ^ s o ^ co,s« = ^—El und | = ^

folglich x zzz _ 4 ^ p ^ 4- g = — 2' y ~ h ~ Ä = 0.

2 _ (Ag+Ey • 0 _ ^2&2

cos2«. zzz s s '—L—zrrr,i szn-ct =

Page 326: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

tan (oc 4 - w ) = ( § . G4.) = — x+g

Daraus ergiebt sich

x = _ Ag*+71k* + Eg Ag 4- E

Daraus geht hervor, dafs sich dic A x e n dcr x' für alle beliebigen schiefwinkIich

ten A x e n s y s t e m e , vermittelst welcher sich die allgemeine Gleichung der Curven des

zweiten Grades auf die Formel %lx'2 + %$y'2 4~ 2,Qx' = o zurückführen läfst, in e i

nem gemeinschaftlichen Puncte M schneiden, der die Hauptaxe der rechtwinklichten

Coordinaten halbirt, und zugleich der Mittelpunct aller schiefwinkIichten A x e n oder

Durchmesser ist.

W e i l die A x c der schiefwinkIichten Ordinatcn y' die A x e der x unter dem W i n -

keT-* + w schneidet , so i s t , wenn man die Entfernung ucs Durohschnittspunctes die

ser beiden A x e n v o m Scheitelpuncte durch x bezeichnet,

Ag 4- E ' Bk '

Eg . Jg + E*

oder wenn man die Gleichung ff) ( § . 54.) durch + — 4- 2x = o darstellt, so dafs x — a p

A = ~i~ — , B rr E = — 1 , so erhält man x = -, a $ •. — «' p ±_ a — g

A u f diese W e i s e läfst sich für jeden Punct der Curve des zweiten Grades , den

man zum Anfangspuncte eines schiefwinkIichten Coordinatensystems annimmt, die

Lage der A x c n x', y' so best immen, dafs die Gleichung der Curve die Form

«Hx<2 4. rßy'2 4- 2Qx' — o behält.

§. 66. D a aufser dem Puncte P dcr Curve , dcn man zum Anfangspuncte der

schiefwinkIichten Coordinaten annimmt, und für welchen x' = o i s t , alle übrigen

Puncte , weil für dieselben x' positiv i s t , auf einer und derselben Seite der A x e der

y' l i egen , so mufs diese A x e eine Tangente der Curve für den Punct P sein.

U m demnach durch jeden Punct P einer Curve des zweiten Grades eine Tangen

te zu l e g e n , ziehe man von demselben zum Mittelpuncte C der Curve eine gerade

L i n i e , ferner v o m Puncte P das Perpendikel PQ auf die Hauptaxe , und bestimme in

Page 327: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

der über den Scheitel A, dessen Abscisse = 0 , hinaus verlängerten A x e der x einen

Punct A 7 s o , dafs : CA = QA : AN, so wird NP die verlangte Tangente scin.

Ist die Curve eine Parabel , so hat m a n , weil a unendlich, x = — — g " * Es l I h -

• a wird also NA = AQ scirr.

§. 67. Zieht man durch den Punct P der Curve ein Perpendikel auf die T a n g e n

te NP, und bezeichnet den Durchschnittspunct desselben mit der IIauptaxe durch L,

so wird dic Linie PL die N o r m a l e , LQ die S u b n o r m a l e genannt. Ebcn so

nennt man PN die T a n g e n t e , und NQ die S u b t a n g e n t e dcs Punctes P. Man

übersieht leicht, dafs für einen Punct , dessen rechtwinklichte Coordinaten x, y, wciI

wegen dcr Gleichung Hh — 4 - 2 2x = o, A= + - , B = - , E = - i , sein wird : a & ~~a P

fi,... : ,. . - ^ Subtangente = y col (« 4 - m) = T^r^h = -v^L=—:

° J 1 ' AxArE p(a + x) Subnormale = y tan(* 4- <u) = — i^L+JQ — V. (a 4^_gj

J B a

. T a n g c n , c = ^ t _ = / « ^ W W = J V ^ L ^ i + ^

ö sm(* Ar <») J Ax + L J p (a + x) N o r m a I e = _ i _ = r ( 0 * r + ^ ' + J y ) = r V f a T * ) ' + « ^

cos(« 4~«) a

Das obere Zeichen in diesen Ausdrücken gilt für die Ell ipse, das untere für die

Hyperbel . Für die Parabel w i r d , weil a = O O , ^ = 0 , so dafs für diese Curve

Subt. = = 2x, S 1 1 b n . = p , Tang . = y y(l + Norm. = py(\Ar~~).

Statt p kann man auch für die Ellipse a m •• und für die Hyperbel m . a l setzen.

ct a

§. 68. W c i I die Subnormale der Ellipse oder QL = a * ~~Jn~- ( « x^ imi]f wenn

wie vorhin der Scheitel der Ellipse durch A bezeichnet wird,

A r s . ^ a*—TO* % , (a*-in*^a A-Tn-x AQ = x, so ist AL = ——— (a — x) + x = 1 j *

Page 328: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Werden nun die beiden Brennpuncte der Ellipse durch F3 F angedeutet , so erhält

nian , weil AF = a — m , AF' = a + m,

T , r (a~—J7i-)a + xm2 , . ni .m . . FL = - ' (a — m ) = — .. (— x 4 - a — m)

a2 a Ka ' '

.r w , (a2 — mz)a + xma m , m » LF = « 4" na — ~ — = — • H ~ * + a 4. m)

Es ist aber (§ . 60 . ) , PF = r = — * 4* a — ra, PF* = r' = — 4- « 4- m. 3 ' 7

a a

Folglich FL : F Z = P F : P F , woraus sich ergiebt , dafs sinFPL = sinLPF,

und weil £ zwischen F und F fällt, dafs der W i n k e l FPL dem W i n k e l L P F

gleich ist. 7 ? i 2 " ß 3

Für die Hyperbel ist die Subnormale QL = - (ß + ^t}, und <r-OT* — . . . „ ( m s — « = ) c s 4 - ^ n = . r

AL = --r (a + 4- x - — . a z a-

Daraus , weil A F = m — a, und AF' = — m—n - — ' ' - f ^ s » n - f n « ••iU-

r , r On2 — a-)a 4~ m z x , _ m ,111 . FL — - -—- m 4- a = — . x — a 4- 7 7 ? )

a z a a

( / 7 2 2 — a - ) a 4* w a * v 1 ? _ ' ? i / 7 7 2 , , FL = • h f w + « ~ — • •V 4- « 4- 7 7 7 ) . a V i

Daher i s t , weil ( § . 6 0 . ) , PJP = — a 4~ 7 7 i , P F = —.v 4" a — jn wie fiir die 7 V J ' a a

1

Ellipse FL : F Z - = PF : P F , und folglich sinFPL - sinLPF.

In der Hyperbel l iegt aber der Punct Z nicht zwischen F und F , woraus sich

ergiebt, dafs die Summe der beiden W i n k e l FPL 4- FPL = 180° , und dafs fo lg

lich die Tangente der Hyperbel PN den W i n k e l FPF halbiit.

r Für die Parabel ist die Subnormale QL = p, AF = f p , also FQ = x — ip,

FL = x + i p . Es ist aber auch FP = x + | p , also W i n k e l FPL = W . F Z P .

L e g t man nun durch den Punct P eine Gerade PS parallel mit der A x e der x, so

dafs W . FLP = W . Z P S , so ist FPL = Z P S .

Page 329: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

allgemeine EIcmentargcoiiieirie. 305

Man kann sich rler eben vorgetragenen Sätze bedienen, um für jeden Punct einer

Curve des zweiten Grades eine Tangente zu ziehen.

69. AYir haben oben (§ . 4 9 , 50.) dic drei Bedingungsgleichungen gefunden, w e l

che zwischen den Coefficientcn der Gleichung (a ) , und der aus ihr durch Verände

rung des Axensystems hervorgegangenen Gleichung (c) statt finden müssen. Es wur

den dort beide Axensysteme als rechtwinkHcht vorausgesetzt. Nehmen wir jetzt an,

dafs das Coordinatensystem der .v', y' ein schiefwinklicbtes sei, und dafs, wie (§ . 64.)

| — cos», v sin», i' = cos(*Ar*>), y' = sin(*Aru)i - s o werden wir für 2f, 23, CT,

Q, © dieselben Ausdrücke (d) wie dort finden. Aus diesen sechs Gleichungen

lassen sich nun die in # , y; i, y enthaltene W i n k e l « und die Gröfsen a, b elimini-

r e n , so dafs dieselben, wie dort a u f d r e i Bcdingnngsgleichungen znrückgrführt w e r

den können. r\ J

Aus den ersten d r e i d l e i c h u n g e n :

21 = AZ* 4- By* + 2Cfr

25 = At- + By* + 2 Cfn

e = AW + B>,y' + C(in' + i'y)

erhält man nämlich unmittelbar:

9I»;'2 + 23v2 — 2 @ V = A(U — if')* = A sin* «

3l f* + 231* — 2e#f = BQy — rfy z= B sin2 «

und folglich 1) 21 + 25 — 2 £ cos *> = (A + B) sm* «.

2) 2125 — = (AB — C-) (fr ' — * f ) * — (AB — Cz) sin* *.

Aus den beiden Gleichungen:

g = ^ + Fv& + C(ib + »«) + Ei Ar F v

5 = Ai'a Ar Bv'b Ar C(| '6 4- y'a) + F f + Fv

erhalt man:

$v zzz (Ja 4_ C1A 4- E) (iv — nf) = (^ff 4- C7> 4- E) sin «

~ £ l ' + = < C ß + B h + ^ Cl' ' — »*') = (Ca 4- 2tt 4- F ) * " 2 «

und daraus, wenn AB — C 2 = D,

Page 330: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

( f fy — B 4- ( g f — %i)C = C o « + F P — F O sin «

— ( g f — $ £ ) ^ — ( £ V — 8 * ) C = (Db + FA — EC) sin „

Aus der letzten Gleichung ® = ^ a 2 + BV- + 2Cab + 2Ea + 2 F & + G

folgt aber © — G = (Aa + C7> + 2E)a + (Ca + P& 4 " 2F)b, und daraus , weil

2|23 _ £2 zzz (AB — C 3 ) räJ » = D sin3 « , erhält man (2193 — S 2 ) ©

— ( ^ P — C a ) C — (Aa 4- CZ> 4- 27i1) «Vz u . Da. ,?m u 4 - {Ca 4- P o + 2F^ sin « . #Z> w « »

= ( f fy g „ 4_ E sin « ) . F « wrt « — ( £ # ' — %i — F sin ») Db sin «

= — 4 - F ((£» ' — 3* — E sin<*)B 3- — + ^ « « * ) 0

+ tiH' ~ — F « n » ) ( ( £ ! ' — 4 - F « n « ) ^ 4 - ( g * — — F

= c e » — + c e r — s o a ^ + 2 ( g » ' — g * ) c e r — s « c

— ( P F 2 4 - ^ F * — 2 C FF) « « « « = @ a (^rf* 4 - P » ' 3 + 2 C*V)

4- 3 * (^| 2 + Bv* 4- 2 C|«) 4 - 2 ( .7#r + BW + C( f / 4 - * / )

— ( P F 2 4 - ^ F 2 — 2 C F F ) «

= 9 3 g 2 4 - 2I52 — 2 € ® 5 — ( S F 2 + ^ F 2 — 2 C 7 F F ) * « a »•

Demnach ist dio dritte Bedingungsgleichung:

2 I § 2 4 - 93@ 2 — 2 £ £ £ — (2193 — £ 2 ) @ = (^/F 2 4 - BC- — 2 CEF-(AB-C^)G) si,r-».

Es müssen also, wenn 2!>v'2 + 9 3 / 2 + 2Hx'v' 4 - 2 @ a ' 4- 2 g / 4 - C3 = o j ede

durch eine beliebige Verwandlung der Coordinaten aus einer und derselben Gleichung

hervorgegangenen Gleichung vorstellt , die Werthe der drei Gröfsen:

i) 2 I 4 - 9 3 - 2 g cosa 2 ) 9193 — g 2 21% 2 4- 33@ a — 2 g g g — (2193 — € a ) © sinsu ' sin*u 3 sin2»

unveränderlich sein.

W i r haben oben ( § . Cl . ) gesehen, dafs die Gleichung zwischen rechtwinklichten

Coordinaten der Ellipse und Hyperbel auf die allgemeine Form ~ + — J t ^ ~ 1

(h) gebracht werden kann, w o für die Ellipse m- < a2, und für die Hyperbel m2 > a*.

D i e Linie a wird die Hauptaxe und Y"a* — m* = b für dieEll ipse und ^m2 — a* =b

für die Hyperbel , die Nebenaxe genannt. In jener für m = o, in dieser für m2 = 2 a 2 , wird

Page 331: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

die Nebenaxe der Hauptaxe gleich. Alsdann ist die Ellipse ein K r e i s und die H y

perbel eitie g l e i c h s e i t i g e H y p e r b e l ; im erstern Falle ist die Excentricität e zzz o,

im letztern = 2 , wie bereits oben (§ . 60.) bemerkt worden.

x2 » Verwandelt man die Gleichung — 4 : ^ = 1 durch Veränderung der Coordinaten

>2 ' a

in Hh zzz 1 , so mufs wegen der ersten beiden Bedingungsgleichungen se in :

JL + JL az — fra i | 1 1 .

: = — T- T— und -zrrz:—=—; = ^r r^ *'ie dritte ist mit der zweiten jiin2w a- — bz Ä a b 2 sinu* a~b2

identisch. Aus den obigen beiden Gleichungen ergeben s i ch :

<ja + 1 ) 2 = " 2 i b2 , ah sinu = ab.

Daraus fo lgt , 1) d a f s f ü r d i e E l l i p s e d i e S u m m e u n d f ü r d i e H y p e r b e l

d e r U n t e r s c h i e d d e r b e i d e n c o n j u n g i r t e n A x c n , u n d 2) d a f s d e r F l ä

c h e n i n h a l t d e s P a r a l l e l o g r a m s a u s d i e s e n b e i d e n A x e n f ü r j e d e s b e l i e

b i g e A x e n s y s t e m u n v e r ä n d e r l i c h e G r ö f s e n s e i e n .

§. 70. Die Curven des zweiten Grades werden gewöhnlich K e g e l s c h n i t t e g e

nannt, weil sie durch den Schnitt einer Ebene mit einer Kegelfläche entstehen; was

wir jetzt zeigen wollen.

Unter Kcgclf läche versteht man im allgemeinen j ede F läche , welche entsteht, in

dem sich eine gerade Linie so bewegt , dafs sie immer durch einen festen Punct O

geht. W i r d die.se Bewegung noch dadurch bedingt , dafs die bewegl iche L in ie mit

eincr durch O gezogenen festen Linie einen constantcn W i n k e l macht , so wird die

Kegelfiäche eine gerade Kegelfläche genannt. Nehmen wir O zum Anfangspuncte der

rechtwinklichten Coordinaten, die feste Linie zur A x e der z, und bezeichnen den un

veränderlichen W i n k e l , den die erzeugende Gerade mit der A x e der z macht durch « ,

so übersieht man leicht , dafs zwischen den Coordinaten jedes Punctes dieser K e g e l

fläche die Gleichung x2 + j = — z*tan-x zzz 0 statt finden mufs. Nun sei die Glei

chung der E b e n e , welche dic Kegelfläche schneidet ?'x + v"y + C'z = P- W i r

Page 332: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

308 % Vierte Vorlesung. Über analytische + • •

wollen jetzt z e i g e n , dafs die gemeinschaftliche Durchschnittslinie der heiden Flächen,

deren Gleichungen

(i) fx + v"y + Z'z = p, (k ) x2 + y2 — z2 tan2» = o

eine Linie dcs zweiten Grades ist , und zwar eine Ell ipse, Parahel oder eine I Iyper-

h e l , j e nachdem der Neigungswinkel der A x e der z gegen die schneidende Ebene

grö fscr , gleich oder kleiner als * ist.

Es seien Z, » , <?; 2', »' <?'; 2", » " , <T <l>c Determinanten eines neuen rechtwinklich-

ten Coordinatensystems, dessen Anfangspunct durch die Coordinaten g, h, h bestimmt

w i r d , so verwandeln sich die beiden Gleichungen ( i ) , ( k ) , wenn man nach (§ . 43.)

in denselben die W c r t h e von

x = ix' + ?/ 4* 2"~ 4- tT

y = vx' 4~ v'y' + v''z' + h

z — gx' H- gy' + i"z' + h u

substituirt, in (1) z' + g2' + Zi»'' + l€" =

(m) 3ftf'3 + %'2 + £^ + 2 @ y V + 2 $z'x' + 2 ®#'/ + 2 0 V + 2 SWy + 2 9U' + Q = o, 91 = 4- * <fJ ta/i2 » —

1 — ^2Cl + tan2»)

23 = — £2 tan2 ot =z 1 — ^ 2 ( 1 + tan2»)

ra 4- ^ — <T' tan2 K = 1 — £*"2(1 + / a « 2 « )

£ = /1" 4~ — sY'(i 4- / A « 3 « )

17 4- »"» — tfV tarc2 « = — i " i ^ 4- / « W 8 « )

# ' + w ' — tan2 ot = — ^ ( i + to2«)

£ = + im — k{tan*», 9ft = g2' + hti' — lflan*«, 3ß = # f ' 4" Äv" — H"tan2»

und Q = 4- ;4a — k2 tan2».

Nimmt man nun den Anfangspunct der Coordinaten in der Durchschnittslinie

selbst an , so müssen die Coordinaten desselben g, Zt, l- den beiden Gleichungen (i)

(k ) entsprechen, oder es mufs

+ v"h 4- = p und + h2 — l2 tan2» = o sein.

Daraus ergiebt sich z ' = 0 , Q = o . Diese Wer the und die Werthe (n) von

31, 93, etc. in (m) substituirt, erhält man :

Page 333: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

allgemeine EIementargeoinefrie« 309

(o) ( t - <*(1 + tan**))x'* + (1 - ^ 2 CI + tan**))y'* - 2 ^ ( 1 + tan^)x'y'

+ 1(gi Ar hy, — H laiF*)x Ar %(gi' A- M — H tan*u)y' = 0 .

Diese Gleichung ist im Allgemeinen <lie Gleichung einer krummen Linie v o m

zweiten Grade , und zwar (§ . 54.) einer Ell ipse, Hyperbel oder Parabel, j e nachdem

(t — + tan**)) (1 — ^ 2 O + tan**)) — <?c? 2(l + tan**y

= 1 — + ^ ) (1 + tair«) = 1 — (1 — <f'0 (1 + tan-*)

pos i t iv , negativ odcr — o ist. W e i l aber £*' dcr Cosinus des Winke l s ist , den die

A v e der z mit der A x e der z' macht , also y(\ — <f 2) der Cosinus des Neigungswin

kels der A x e der z gegen die Ebene x'y', so w i rd , wenn man diesen W i n k e l durch

a beze ichnet , der obige Ausdruck — 1 — —s..-w. also posit iv , negativ oder = o , ie COS OC ° ' J

nachdem u > oder < oder — « i s t , wie bewiesen werden sollte.

§. 71. Restimmt man die Lage der A x e n dcr .v', y' s o , dafs die erstere die A x e

der z schneidet, und die letztere mit dcr Ebene xy parallel i s t , so mufs gy— k Z = o ,

und £ = o sein. W e i l aber £? Ar w' A~ = o, so mufs a u c h , wenn C =• o,

£? 4- w' — o, und 9 : £ = — £': y , also wegen gn — h£= 0 auch gg Ar hv' = 0 sein.

D ie Gleichung (o) wird alsdann:

ClO ( 1 — £ ' 0 + tan**))x'2 Ar y'2 + 2(g£ Ar hv — l£ ian**)x = 0. \

Bezeichnen wir nun den W i n k e l , dcn die A x e der z' mit der A x e der z macht

durch « , und die Entfernung 0'0 des Anfangspunctes O' der Coordinaten x', y', z' vom

Anfangspunctc O der Coordinaten x, y, z durch cj, so ist < ? = cosu, und weil die

A x e der x' den Schenkel dcs Kegels unter einem Winke l « + w schneidet , und die

Puncte 0, O' beide in diesem Schenkel l iegen, gg + n v + = q cos(*A^a>), Es

ist demnach: A tA T < - N _ c o s 7 * — c o s ? u sin (a + *) sin (» — «) 1 — <f-- (1 + lan' « ) = o = 5 — L

COS2 ot COS: oc

- (gi + hn — K • i a n 2 8O ~ ( c o s C" + w) ~~ • c o s »Cl + tora2«)) = cos (« + «0 — ^ C£ COS OC

cos (« 4- w) co5 « — cos u _ sin (« + u) sin « a • r M> — —!— ---— — _ = — tan*'Sin^*^fr

C O * « COf «

Page 334: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

V 'V *

Betrachtet man diese als identisch mit der Gleichung (§ . 54, f.) + ~ - + ^ 2x = o,

so ergiebt sich daraus die halbe grofse A x e a = ( j e r j i a j ^ e p a r a m e t e r ° ° 2 « r t (w — «0

p zzz q sin(x + e>) tan». D e r A u s d r u c k fiir a ist positiv, negativ oder = 0 0 , und fo lg

lich die Curve eine Ellipse, Hyperbel oder Parabe l , j e nachdem u > oder < oder = «

i s t , wie bereits bewiesen worden.

T • . Q sin 2 <* • . i lst w = 9 0 , so ist a = — = q sin#* p = q cos*.tan« = q sin», also 2 cos oc 1 x x J

a — p oder die Curve i s t , wie obnc diefs bekannt i s t , ein K r e i s , wenn die Ebene

die A x e des Kegels unter einem rechten W i n k e l schneidet.

Für die gleichseitige Hyperbel mufs wegen der Gleichung (p) - O S * - y 2 - C ° ^ - = — 1,

also COs2O zzz 2 cos2» sein. W e i l aber für alle W i n k e l * < 45°, 2 c o s 2 « > 1 , so

kann aus keinem geraden K e g e l , dessen Schenkel mit der A x e W i n k e l < 45° ma

chen, eine gleichseitige Hyperbel geschnitten werden.

Von der Quadratur der Kegelschnitte»

§. 72. W e n n man über der grofsen A x e einer Ellipse, die zur Abscisscnlinie g e

nommen wi rd , einen Kreis beschreibt , so werden die Ordinaten der zu einer und

derselben Abscisse gehörigen Puncte P, P des Kreises und der Ellipse sich zu e in

ander verhalten, wie die halbe grofse A x e a zur halben kleinen A x e Z>, und man

überzeugt sich leicht mit Hülfe der Exhausionsmethodc , dafs der zwischen dem B o

gen AP, v o m Scheitel A bis zum Puncte P, der Ordinate PQ, und der Abscisse AP

enthaltene Kreisausschnitt APQ zum elliptischen Ausschnitt APQ sich ebenfalls wie

a : b verhalten mufs.

I)ie Gleichung (p) wird demnach, wenn man sie durch qtanusin(ot^-u) dividirt:

2 . 9 m ( o > - t t ) ^ ; _ _ 2 x . _ o >

v 1 a « ' « 2 « 1 a sin ( « 4 - w) £a / i «

Page 335: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

allgemeine EIemcnlaigeometric . 3 U

Dasselhe gilt a u c h , wenn AFQ der Ausschnitt einer gleichseitigen Hyperbel ,

deren halbe A x e = a9 und APQ der Ausschnitt einer Hyperbel ist , deren halbe

IIauptaxe = a, und deren halbe Nebcnaxc =

Bezeichnet man den Mittelpunct derEl l ipse sowohl als der Hyperbel durch C9 so ist

der Kreisausschnitt AFQ = Kreissector ACP' — Dre ieck P'QC

und wenn CQ = xr FQ = /, PQ =?, 9 ' I

a Y v v Kreisausschnitt APQ = — Arc. smJ- — At Ct £

Folg l i ch , weil APQ : APQ =y' '.y = a : b, so hat m a n :

eIlipt. Ausschnitt APQ = ~ Arc. sin ^ — ~ (a)

Daraus ergiebt s i ch , wenn F der Brennpunct der Ellipse, »

Sect. PF = APQ + Dre ieck PFQ = y ^ r c . | - ^ + ( x ~ ™ \ Y

/ M . Y c r .

— — (Arc. sin^ — ^ ) . (b)

§. 73. Auf gleiche W e i s e erhält man, wenn APQ den zwischen den Bogen AP9

des Theils AQ der Abscisse und dcr Ordinate FQ enthaltenen Ausschnitt der gleich

seitigen Hyperbel bedeutet, wenn man sich der (p . 160.) erklärten Ausdrücke bedient, JiPQ = Dre ieck FQC — hyperb. Sect. ACF = (p. 161 , §. 87.) - ^ ' — ^ Arg. sinhy-. (c)

Folglich der Ausschnitt der ungleichseitigen Hyperbel

APQ = Xi - f Jrg. sinh \. Daraus ergiebt s i ch :

Sect. AFP = ^ ~ Y JrS- sin7i^ + Dre ieck PFQ xy ab A . , Y . Y (ae — x ) ab / C y , . , Yx

= •f - 2* + 2 = Y(J ~ Ar8- *»ÄV - (P. 161, §. 88.) (f - log nat^r^). (d)

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Entwickelt man nach (p. 19S, §. 8.) den Ausdruck ( b ) , so erhält man :

ab{ Y 1 Y* 1.3 V 5 1.3.5 y? ) Scct. ^ = f j ( l - , ) | + , . - ^ + z . _ £ + , . _ J - + c t c . J

q(1^e)JL/1^3y3 1 _ ^ . r 3 , ^ X 2 J ^ 2p \32 ~ ^ 5 2. 4 6 2 ~ 7 2. 4. ü M ^ 7

_ p 1 / 1 T 1. 3 y5 T 1. 3. 5 y7 \ — 2O4r5 + 2jj *2 y3 + * * 2Ti "P + *' 2 TC '6 + etCV* 6 2

Nimmt man nun a unendlich a n , so wi rd , weil — = 7 7 , wenn p endl ich, auch &

unendlich, und weil « ( 1 — e 2 ) = p , also 1 — e 2 = 0 , e = 1 sein. Man erhält auf

die W e i s e den parabolischen

Seetor APF = £ y + = ^ + 2 *7 ' J 2 . p 2 1

§. 74. Setzt man in (b) Arc. sin- = F, so wird der zu d ies cmBogen g e h ö r i g e W i n -

kel die e x c e n t r i s c h c A n o m a l i e des Punctes P genannt, so wie man den W i n k e l

P7 den der lladiusvector FP des Punctes P mit dem Radiusvector des Scheitels A

bi ldet , die w a h r e A n o m a l i e nennt. Aufserdcm nennt man auch den W i n k e l eines

Kre issectors . dessen Halbmesser = y~ab, undder dcmFläclveninhaltc nach, dem ellip

tischen Sector AFPg]elvh i s t , die m i t t l e r e A n o m a l i e , so dafs , wenn man den

dazu gehörigen Kre i sbogen , dessen Halbmesser = 1, durch M bezeichnet,

Sect. AFP = i i n d ^ _ g — e s - n £ i s L

§. 75. Zwischen der wahren und excentrischen Anomalie und dem Radiusvcctor

giebt es mehrere bemerkenswerthe Bez iehungen , von denen wir hier die wichtigsten

mittheilcn wollen.

Aus der Gleichung (1) r = ;— folgt r + er cosv = p, und weil r cosv 0 1 4- e cos v 0 '

zzz x — ae, so ist

(2) r = p — c (x — ae) = a (1 — — ) = a (1 — e cos E).

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Daher

• . ^ V i—e . _ V V ( 1 - « ) . y r (5) sin\E = sin\v\ r n " — smlvt = sm%p[ ^r—.—-v 1 * z 1 A~ e cos v * p 2 a (1 4* e)

^ V 1 4- c T (1 + « ) , r (6) cos | F = cos i v f — c o s i v ' • —~ = c o s i v ' C v ' * 2 1 4- e cos v p z a (1 — e) r l € y\ _L- e

—— . tan i v und tan \ p = I j — . tan Z E. - ' - 1 4" e 1 — e Setzt man e = *m* , so erhält man:

(8) tan i E = fcw | v . tan (45° — £ « ) ; tan 1 = tarc | F . tan (45° 4- § *)

i . r, 1 — tan * « J J 1 4- / « / z | * , _ oder tatiiE = ;—. 7 - . / < 7 w | ^ ; tatiiv = ^—.tan\E a 1 4- /<z/i i e 1 — tan 1 r *

. Tn r s/n v r sin v (9) sin E = — 7 = . v ' b a cos t

Mit Hülfe der Gleichung (II ) (p. 190.) erhält m a n , wenn tan%e z= $,

4 p = i E 4- 6. sin E 4- i 6-. sin2E + | ß . sin3E + etc. < 1 0 )

i F = | v — tl. * ^ « + | . 6 Z « 2 — y . sm 3 p 4~ e t c *

§. 76. Substituirt man, in dem für den parabolischen Sector AFP ( § . 73.) gefun

denen Ausdrucke ^ + r sinp für •y, so ergiebt s i ch , weil für die 4 YJLp

n i i • _ P MKP , _ Parabel r sinv = 4 ^ = P ^ « « i ^ 1 + co* v ^ V2

parabolischer Sect. AFP = ( / a w | v 4" 4 ^a /^|< ' ) '

§. 77. Für die Hyperbel erhält man ähnliche Beziehungen zwischen der wahren

Anomalie v und der Gröfse E, womit wir Arg, sinh^ bezeichnet haben. Zunächst ist

= sinhE; daraus fo lgt , weil cosh*E= 1 + sinh2E = 1 + ^ = ^ = C O J Ä ^

\ g2 Aus (1) und (2) folgt -—j = 1 — ecosE, also

1 + e cos p

n\ 7 ? _ 1 /A 1 —e2 ^ — e + c o s v

(3) cos L = - (1 — M ) = -—, e v 1 4- e cos p 1 + e cos v

/4\ A r> 0 — c o s v ) , . . . . lArCOSV ,. , . (4) 1 — cos E = ~ (1 — e), 1 + cos E = ^ (1 + e) v i + e cos P J 1 + e cos p '

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Aus der Gleichung (1) r = ,—~- folgt r + ercosv = p , und , weil für die

° 1 4 " e cos v ° r

Hyperbe l , die Abscissen x vom Mittelpunctc C an g e n o m m e n , r cosv = ae — x,

(2) r = p — ae* + e x = a (e 2 — 1) — a e 2 + = « (e coshJE — 1).

e 2 — 1 Aus (1) und (2) folgt -— = ecoshE—1, also

1 + e cos v (3) coshE = ^ c o s v ~

1 4 " e cos v

(4) c M & f f - l = ( « - l ) , r r < i ° * y ; coshE+l = ( e 4 - l )

v 1 4- e co* p 1 4" e c o 6 ' v Daraus

(5) jzVz/z | E = .«Vz-5 Y'-—~ — — sin I v Y"'^- — = |- *> —>-1, -* ~ 1 4 - e cos v * p * a (e + 1 )

e J _ 1 y^A« ( e 4 ^ 1) r (6) coshiE = coslvf z—j— — cosip| = c o * i f F - 7 rr

* * i 4 - e c 0 * v p a ( e — 1)

(7) tartA I E = / a « ^ pK^e- , 1 oder to £ v = /<xrcA\F^Ce ?• * 2 e 4 " 1 e — *

/ ö v . , ^ ;• sin v r sin v (8) s1n/1 j f i = -. = — — . v ' b a ^ - l )

§. 78. W e i l für die Ellipse tan^E=Y"^— tan * P1 und sin E = 2 cos \ E sin \ E

— 2cos2E.tanlE = -•• ^ fan_zJE^ s o erhalt man, wenn man Y"\-,- - = X, /a/2|v = -f 2 l + / a « 2 | £ ' l + e ' 2

setzt,

ellipt. Sect. AFP = (E — e sin E) = ab (Arc. tanM — ^ 4 ^ X ^

(p. 134, F.) = ab^(l-e)U + (e-$)>?? 4 " ( f - e ) * V + (e-f)X1/ + etc .|

= a ^ ^ ~ t + (e-i)t* + ( * - e ) x Y 4 - ( « - | ) x V 4 - etc . j

o d e r , weil ab» - a y T = P . K ^ = 5 T T X ^ = r T ^ T a u n d 1 ^ 5 = 4 + * ' 1 4 - e (1 4 - e)3 ( 1 4 - c)3 X2

= ( T + i ? [ ( 1 + e ) ' + + ( l - e ) X % 5 4 - ( c - | ) X 4 * 7 4 - e t c ]

Page 339: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

allgemeine Elcinentargeometrie. * 3i5

rQ \ . • tan\v, und

e 4 - 1

sinhE = 2 cosh\E.8in7i \E = 2 coah2 \E.tanh\E = JZT^^J.^' w e n n TTp4 = x

und tan\v = t,

hyp. Sect. AFP = ^ { e s i n h E - E ) = ab(^L^ - 3Z0 *a/ ^ ± ^ )

_ P2 JJ^e + *)* + + («-*)*V + (e-J)xV + etc.] (e +

Aus beiden Ausdrücken, sowohl für den elliptischen als für den hyperbolischen

Sector ergiebt sich, wenn man e = 1 setzt, 7 ) 2 3 p 2

parabolischer Sector AFP = {t Ar%t ) = — {tan%v + ftarf*p),

wie bereits oben (§. 76.) gefunden worden.

§. 79. Bemerkenswerth sind noch die sehr eleganten Formeln, mit deren Hülfe

man dcn Flächeninhalt eines, zwischen den Radiisvectoribus r, r' zweier beliebigen

Puncte P , P ' eines Kegelschnitts, und dem Bogen P F , enthaltenen Sectors aus den

Ciröfsen r + r' + f, und r 4~ r' — g findet.

Es seien die rcsp. Coordinaten der Puncte F, F eines Kegelschnitts x , y ; x ' , y ,

die wahren Anomalien v , v'\ die excentrischen E , Ff, so ist für die Ellipse:

g* zzz (x'—x)2 + (y'—yT = (§• 75, 2.) a2(cosE' — cosE)2 + b*(sinE'-sinE)2

. E - E 1 . , E 4 A r E , b2 ^E + E, . 2 . * E - E fM a F + V? zzz 4 a2 sin2 — 2 — ( s i n — 2 *~ ä2 — i ] ~ 4 ( 1 s i n — 2 — ( — e c o s

E A r E „ n . E - E . _ und, wenn man e cos—-— = cosG setzt, <p zzz 2 « sm sini*.

Zufolge (§. 75, 1.) ist aber r + r' = 2a(l — e{cosE+cosE)^

E A - E E'—E E — E zzz 2 a ( l — € cos cos — ) = 2 a{\ — cos — cos G).

Daraus folgt also jr~ _ jß E — E E E

T 4_ r' 4- § — 2rt(l — cos cos G + sin sinG) = 2 a(1 — cos(G^ ^—^

, , , E - E n . E - E . n „ ,r £ ' — E r + r—p zzz 2 a ( l - c o s — ^ — cosG — sm ^—sinG) = 2a(l-cos(G ^ — »

Page 340: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

316 Vierte Vorlesung. Über analytische

Demnach i s t :

G + = Jrc. « » . ( I - Z±£±f) = 2 Jrc. sm.V^+J: 2 v 2 « y 4 a

>-T F - E . r + r ' — o , n . . K^ + r ' — £ G — . — v r — —• Arc. cos.(l L ^ _ ^ = 2Arc. sm.f —— *.

2 v 2a 4a Nun ist aber Sect. P F F = Sect. A F F - Sect. APF, fo lg l ich , wenn A den

Scheitel der Ellipse bezeichnet ,

Sect. PFF = y ( F - E - e ( s i n F - s i n E ) = ^ (F—E— 2e cos sin * ^ ~ )

= ^ (JSr-E-2coaGsM ^ = ^ ) = ? | ( F - F - ^ ( G + ^ p ? ) + „ « ( G - ^ = ^ )

5f = - 2 A i , c . „•»r -+ ;+f - 2^ , - c . M «r + : ' -^ 4 ^ - ^ . « » w « . 4 ß

•— * m 2 Arc. sin Y' * " * 4* « ' n 2 ^ r c . sin Y~' 4 « * 4 « j {

W e g e n der Tn diesem Ausdrucke vorkommenden Bogen ist zu bemerken , dafs

r J - y' 4- o E — E A r c . co*.(l L

( y ) — G 4- — — , wenn E' > E, immer positiv genommen X- Ct 2t-

werden mufs ; hingegen ist Arc. c o* . (T— r ~ L ~ — ==dL(G — — 0 ~ ^ ) entwcderpos i t iv 2, Cl J-

oder negativ, j e nachdem v ' — v > oder < ISO^ ist. Das erstere ist von selbst klar.

V o m letztern überzeugt man sich folgendermafsen. Zufolge (§ . 76 , C.) is t :

cos v Vr = cos | E (1 — e ) , cos § v' y V = c o s i E' Ya (1 — e) sin | v V = « n £ E p t ( l + e ) , * m * v' y > ' = * m - I E (1 4 - e ) .

Daraus erhält m a n :

cos i (v' — t») = a |(1 — <?) co* | F co* | F + (I 4^ c) *m \ F sin ±E^

F—F 7 7 " _ L TP Tt* 7? F E = a ( c o * ^ e co* ^L+J?) = 2 a * m | ( G + - 2 ~ ) « « 1 ( G — ^ — ) .

j p v j^» W e i l nun sin\(G H ^—-) immer positiv i s t , so mufs sin\(G 2~~^ m * '

Page 341: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

cosi{v'—v) gleichartig sein, Es ist aber cos\(v—v) positiv odcr negat iv , j e nach

dem v'—v < odcr > 180° ist. Es mufs also sin ± i(G — J~~Z~), folglich + (G—^~~£\

1 2 '

positiv odcr negativ sein, j e nachdem v'—v positiv oder negativ ist, was zu beweisen war .

§. 80. Ganz auf ähnliche W e i s e findet man für dcn hyperbolischen Sector PFP''. jg jß jg jg

o = 4 a sinhG.sinh — s — , wenn ecosh ~~—- = cosh G gesetzt wird. Z

Eben so erhält man wegen (§ . 77 , 2.) jg j?

r + r' = a {e cosh E' Ar e cosh E — 2) = 2 a (cosh G. cosh —^—~ —

D e m n a c h : Jg Jß Jg J? Jg Jp

r+r '4^> = 2 a(cosh G. cosh —^-^ + sinh G. sinh - — 2 1) = 2 a(cosh(G Ai - — ) — 1 ) E-E E-E E E

rArT—§ = 2 a(cosh G. cosh — sinh G. sinh — ^ 1) = 2 a(cosh{G — — - — ) — 1 ) A l s o :

G Ar = 4rg. cosh.{X + r +2 ^ + S) = 2jrg. sinhYr^~£(^*

G _ 1^ZM = A r g . c o s h . [ X + L4Vpi) = 2 j i r g u s i n h p ^ r ^ l .

Nun ist aber der hyperbolische Sector PFP' = ^(esinhE — esinhE — EArF)

^ a i peco8h:^^ainh:¥^

= ^sinh(G + — ^ ) - „•^(G - E=iE)-E+

= *^[sin 2Arg. sinhJT' *^~- — 2jrg. sinhX'

2 ) ° 4a 4a - 2^rn«-. «„/,.r^t' + 2 ^ . „W,.rC+JL=l'|

= (p.5. "8.) „,jr .r(i+'-+;l+ ) - r ^ p . r ( i + ^ -%^(K-(i+^B)+r^^)+% «rf(rd+'J )+ P>J

Page 342: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

§. 81. Z u f o l g e ( p . l 3 9 , § . 6 4 . ) i s t ^ r c . « r t ^ + etc.

1 y L l . 1 . 1 . 3

auch ist %sin2 Arc. sin.s = sfl — s2 = s — ^s — 2 ~ 4 — 2 ~ 4 ~ 6 * 7 — e t ° *

1 1 . 3

folglich Arc. sin.s ~~\sin 2Are. sin.s = 2 ( f * 3 + s * 2 * 5 + ^ * 2 " 4 * 7 e t c ' ^

= i * 3 d + i4sa + + ^ T o * 6 + e t c - >

1 1 . 3 1 . 3 . 5

Beze i chnetman nun d c n W e r l h d e r R e i h c 1 + j'2s2^~7'^4:si^~9'^~^s6^'etc''

Yr 1' i, Yr.^~f~~i für 5 substituirt, resp. durch P , C7, so dafs 4a <ia T = 1 + | . i L ± L ± i + , . ^ ( L + L + i / + 3 ^ { r + r' + ?S + BtQm

^ * 2 4 « ^ * 2 . 4 ^ 4 f l ; ^ 9 2 . 4 . 6 V 4a ' ^

XJ = 1 + * . 1 r _ + L = l + x}j± ( ^ + r + f ) » , b 3 ^ / + r - f 5

^ 5 - 2 4 a * ^ 7 2 . 4 ^ 4 a j ^ * 2 . 4 . C ^ 4 a ' ~

so erhält man :

• Sect. ellipt. PFF = ab.i[{^tl^ T ± C^=*)* u], « n d , weil = Vp1

Sect. elIipt. PFP' = K 2 [ ( r + r + j ) * T ± (r + r ' — * ) * Z / ] . § . 8 2 . Für die Hyperbel ergiebt s i c h , weil

\ \ t \ j > \t 3

§ *m/i 2Arg, sinh*s = * ^ " 1 + = s + ^ s 3 — 2 ~ 4 Ä * 2 ~ 4 ~ 6 * 7 — C t C *

y / r ^ . sin.s = * — $ . i * * + f - ^ * 5 ~ * * 2 ^ T 6 * 7 + e t c *

1 1 . 3

• also | * / r c 7 i 2Arg. sinh.s — ^ r ^ . « V i . « = 2 ( | * 3 — f « ^ * 5 + > ' ' j f " 4 * 7 — C t C * ^

wenn r = 1 - 4 l r + r ' + f , , L i f + r ' + f » _ f . 3 . 5 r + r ' + , S

? * 2 4 a 7 ' 2 . 4 ^ 4 a ; 9 ' 2 . 4 . 6 V 4 a ;

r ; ' - i , i . l L + r ' + ? , , 1 . 3 r + / + M t U . 5 j + r ' - ^ .

^ fi2 ' " * ' 2 T 4 ^ 4 ^ j * ' 2 ^ T o ^ 4 «

Sect. Pi57> = E £ [ ( r + r' + , ) * ^ ± (r + r ' - f ) 1 * 7 ' }

Page 343: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

* §. S3. W i r d die Parabel als eine Ellipse oder Hyperbel betrachtet, deren Hauptaxe

unendlich grofs ist , so erhält m a n , weil alsdann T, XJ sowohl als auch F3 XJ der

Einheit gleich s ind:

Scct . parab. PFP = ^ [ ( r + r ' + f ) * ± (r + / ' - p ) 1 ] .

E s läfst sich j e d o c h dieser Ausdruck auch unmittelbar auf folgende W e i s e herleiten.

W e i l für die Parabel Sect. PFF = Sect. AFP — Sect. AFP = (§ . 76.)

£(tan\v+$tan*\v—ta}i\v — }tan^v)i so h a t m a n , w c n n / < m f v = / , tan\v' = t'

gesetzt w i rd :

Scct . PFP = £ (3(t' - 1 ) + - ff) = £ (*' - *) (3 + 1 ' * + t't + t2)

= ^ (« + + * + t* + * + t't) r ( l + 1 ' 2 + * + * - 2 (1 + U')).

N T u n i s t aber r = ^rr^ = x — = £ ( 1 4 " *2)> «Jso c o $ f t ; = K " ^ - u n d

1 + cos p 2 cos2 f p 2 ^ ' J 3 2/*

1 4 - = — ; eben so cos*v' = und 1 + *' 2 = p - 2r p

Daher 1 + « ' = c o 8 % ? — ? = -Y77.co8*(v'-v), und fo lg l ich :

CO<S ^ V CO* ^ P p ' °

Sect. FFP = ^ (r + r ' + Vr7cosl(p-t>)).y"(r+r-2 K " r 7 c o * | ( v ' - v ) ) .

7* • l | j F* j . A • j . j * ' p E s ist aber, wenn man ~ f = f * , 2 ? = f * — f setzt, weil (p. 215, § .29.)

x / . ^ r i * - ( f * - f )

c o * i ( v — v ) = f 7 y , Sect. PFP = t ^ ( i * + ( S * - , ) + r S * - ^ — * ) ) ^

= ^ o * + ( f * - f ) + r f * . r C 5 * - f ) M K ' 5 * - r c ! * - ? ) )

= ^ ( r T * 3 - r F ^ = 7 ) = ^ [ ( r + r ' + ^ ) 1 - ( ' + r ' - , ) 1 ! w ie vorhin.

M a n findet d i e s e n Gegenstand mit gröfster Vollständigkeit abgehandelt in der

Theoria motus corporum oehst. auct. G a u f s 1809.

Page 344: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

• Einiges über die Flächen des zweiten Grades,

§. 84. Die Gleichung zwischen den rechtwinklichtcn Coordinaten x, y, z einer

jeden Fläche des zweiten Gradcs ist unter der allgemeinen Form

(1) Jx2 + By2 + Cz2 + 2 Eyz + 2 Fzx + 2 Gxy + 2 L.r + 2 My + 2 A7Z + Q = o

begriffen, und läfst sich durch die Veränderung des Coordinatensystems, wenn #, y,

v', 2", v", C die respectiven Determinanten der neuen A x e n der .r', y', z' und die

Coordinaten ihres Anfangspunctes g, 7z, Z- s ind , weil alsdann (§ . 43, g.)

x = ix' + 2'y' + i"z' +

(2) y = „x' + r|y 4- v'V + /i * = + 4- ^z 4-

in eine ähnliche

(3) 2bv'2 4- 23v'-' + ^ v 2 4- 2 qy'z 4- 2 g s V + 2 @ * y 4- 2 £ V + 2 «0?/ 4" 2 3U' + D = o,

verwandeln. Man findet dieselbe , indem man die W e r t h e von x, y, z in der Glei

chung (1) substituirt, so dafs die Coefficicntcn 21, 23, ctc. auf folgende Art be

stimmt werden :

/81 = M2 + Bv2 + C i 2 +2Etf + 2 F & +2G2v

95 = M'2 +B*'2 4-CY2 + 2En'f + 2FC? + 2Gf»'

€ = J f 2 + TU'2 4- C{'2 + 2Ev"f+ 2 ZYT+ 2 GfV (4)jg = ^ r + B » v + w + ^ f 4 - ^ 4 - ^ r + r o + c(iV'4-.T)

Is = A n + BtTi+ci'{+ E{v"{+ r*) + 4- r<o 4- c(r» + »7)

1® = Mr 4- 2?«' 4- CiC 4- iJ(*r 4- <?*') + F{& 4- #<T) 4- G(& 4- »f) j£ = (^•+GA4-FZ- + Z)/+(%4-J5/i4-7^4-M> 4 ^ i ^ 4 ^ 7 ^ G * + W

(5) Ju)I = (Jg+Gh + Fl+L)f+(Gg + Bk + E& + M)v+(Fff + E/i + C& + H)C

Im = (^4-GA + ^4-Z)r+(%+75/iH-^4-iV/j^4-(7^ (6) a = ^4-jff^4-C^4-2^//i6 4-2F% + 2G^ + 2^4-2iW/i4-2

§• 85. D i e Gleichungen (2) sind oben (§ . 43.) unter der Voraussetzung bewiesen,

dafs das neue Axensys l em der .r', y', z', wie das Grundaxensystcm rcchtwinklicbt i s t ;

sie geltcn a b e r a u c h f ü r j e d e s schiefwinklichte Axensystem von x', y', z'. Um sich

davon zu überzeugen, ziehe man von dem Mittelpuncte O des Grundaxcnsystems zu

dem Mittelpuncte O' des neuen Axensystems die Grade 00' von O' in der Richtung

Page 345: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

der A x e der x' bis R die Gerade OR = x', von R in der llich<ung der A x e der y' bis

Q die Gerarle RQ = y', und von Q bis zum Puncte P in der llicbtung der A x e d e r

z' die Gerade QP = z', so ist der Puurt P mit dem Puncte O durch die gebrochene

Linie OO'RQP verbunden. Nun übersiebt man aber leicht, dafs die rechtwinklichten

Coordinaten des Punctes P in Bezug aufs Grundaxensystem respective die Summe d e r

Projectioncn der Thei le der gebrochenen Linie OO'RQP in den drei Hauptaxen d e r

x, y , z sein müssen, woraus also die Hichtigkeit der Gleichungen ( 2 ) auch für ein

schiefwinklichtcs Axensystem x', y', z' folgt.

§. 86. Ans den Gleichungen (4) erb;ilt m a n , wenn man Kürze halber,

B C - F r = J 1 CA-F>=B', AB—G2=C, FC—AE=E, G E - B F = F ' , E F - C G = G '

und

© G - e 2 = 9 r , £ 2 M $ 2 = 2 3 ' , 2 t 2 3 - © 2 = £ ' , § © - 9 1 ® = £ ' , © g - 9 3 $ = ff, @ 3 - G © = © '

setzt , und sich der (§ . 9.) eingeführten Zeichen 3 £ = v'i"— 9 ) — <T|" — ? i " ,

3 = ?v' — r,'t, 2c' = v"i — s r = i"z — n , a ' = i"» — » ' V , a e " = * < r — < v ,

5 ; ' ' = if— iC, 3 " = — bedient , folgende Gleichungen:

3 i ' = + B'$2 + C ' 3 2 + 2 F ' 5 ) 3 + 2 i > * 3 3 B + 2 G ' 3 B #

2 3 ' = A T 2 + # 9 T 2 + C%'2 + 2 F 5 ) ' 3 ' + 2 F 3 ' 3 B ' + 2 G W

G' = ^ T ' 2 + B T 2 + C ' 3 " 2 + 2 EZ'3"+ 2 F 3 " 3 T + 2 G'S"ST < 7 ) g ' = ^ r r + J 5 T ^ ' + c ' 3 T + ^ w + 3 T ) + ^ ( 3 ' ^

y = j r & + W $ + c 3 " 3 4 ^ i r 3 + 3 " s » + r ( 3 " a e + r 3 ) + G ' ( r # + # " 3 )

© ' = ^ • 3 B a E ' + c 3 3 ' H - F { 9 ) 3 ' + 3 s > ' ) + F ( 3 3 e ' 4 ^ 3 ' ) + w + j ^

§. 87. Aus den Gleichungen (4) erhält man auch mit Berücksichtigung d e r ( § . 9.)

eingeführten Bezeichnung:

4 - fB& + 0 " 2 + 2 @ r r + 2 3 r 3 e + 2 © $ a r = ^ 2

W 2 + + + 2 e 3 r 3 r + 2 8 3 r # 4 - 2 © # # ' = 7 ? Ä 2

2 i 3 2 + 3 3 3 ' 2 + £ 3 " 2 4 . 2 ® 3 ' 3 " + 2 3 3 " 3 + 2 © 3 3 ' = C j ? 2

( 8 ) 2 1 5 ) 3 4 - W + W + W 3 " + 3 ' S H + W ' 3 + 3 " # ) + © ( 8 > 3 ' + 3 # ' J =

2 l 3 3 e + » 3 ' 3 E ' + € 3 " 3 ß " + @ ( 3 ' 3 B " + 3 P ' 3 " ) + S C 3 " 3 B + £ " 3 ) + 0 ( 3 * ' + « 3 ' ) =

2 1 3 6 5 ) 4 - » 3 E ' # ' 4 - S S T + + S ( a T 3 ^ r # ) + Q@2>' + S3>') = Gfr.

41

Page 346: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

322 Vierte Vorlesung. Lber analytische r

Bezeichnet man die W i n k e l , welche die A x e n der y', z'; der z', x'; und der x', y

mit einander machen resp> durch « , ß, y, s o erhält man durch die Addition der er

sten drei der obigen Gleichungen nach (§ . 3 9 , B , §. 4 0 , 2.)

I. 91 sin2» + 23 sin2ß + (£sin2y 4" 2 Q£(cosß cosy — cos») 4" 2 $(cosy cos» — eosß)

+ 2 & { c o s » cosß- — cosy) = (A + B + C)fr.

§. 88. Auf ähnliche W e i s e ergeben sich aus (8) die Gle i chungen:

2iv2 4- 23T2 + e # r a + 2 g'#r + 2 $r# + 2 @v#' =

31V + S3V J 4- S V ' 2 4- 2 ^ V » " + 2 5 V , + 2 @ V = W

2lV2 4- 93'<T2 4- e ? * * 4- 2 $v<r 4- 2 + 2 © ' & ' = C*Ä» ( 9 ) a v + 93v<r + sv<r 4- 4- M + svv+r») + ® v + svo = # B *

ar# + 95W4- evr4- e w + f O + S'(f*+*7) 4- ©w + /o = 9T** 4- « 7 » ' 4- € ' * V 4- &iY 4- * r ' f j 4- fc'tf'» 4- »7) + @ W 4- n?) = « ' Ä a -

*

Aus den ersten drei Gleichungen ergiebt sich unmittelbar durch die Addition die

Gle ichung:

II . 3i' 4- 95' + € ' 4- 2 & c o s * 4- 2 $ ' c o s / 9 4- 2 © ' c o*y = (yT 4~ B' 4- C)f f* .

89. Durch die Surnmation der sechs Gleichungen ( 7 ) , nachdem man sie zuvor

resp. mit 51, 93, 2 £ , 2 j > 2 © multinlicirt hat , erhält man mit Berücksichtigung

der Gleichungen (4)

21'2t 4- 23*93 4- £ ' £ + 2 4- 2 5'5 4- 2 ©*©

= tf*(^ + 777? 4- CC + 2 F ' F 4- 2 / ' 1 1 F 4- 2 G ' G ) .

Es ist aber :

y ^ f 4- GG' 4- F F ' = A(BC - E2) 4- G ( F F - CG) + F(GE — BF)

= ABC 4- 2EFG — AE2 — BF2 — CG2. Beze ichnetman diesen Ausdruck, Kürze

halber, durch Z>, und eben so 9I93S + 2@5® — 3|@- — « ß g a — £ © * durch © , so hat man:

4 G G ' 4- F 7 * = BB' 4- 7i'F'4- G G ' = CC'+ F F + F F ' = D SI3l' 4- 0 © ' 4- 5 5 ' = 2393' 4- gg'4-©©' = GG' 4- 55' 4- = £>

und es ist 3 S) = 3 Z)Ä», und folglich © = Z># 2 oder

III. 3193€ 4- 2 £5© — 2 l € 2 — 93S 2 — = (^7JC 4- 2 F F G — . 7 F 2 — £ F 2 — CG2)Ra.

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§. 90. Setzt man Jg 4- Gh + Fh + E = JT, G > + i?Ä + Eh + Jtf = s$ ' ,

F ^ + F& 4- (.'/• + A = Di', so werden die drci Gleichungen (5)

£ = £'£ + s^', 4- SRV, also £ £ + 2fl36' + SR3E" = £ ' £

S0; = £ f + + g i / , £5; 4. S»S>' + W = ÜR'ft

9? = 2 ' f ' + 3 R V + SRV, #3 + S&3' + 9*3" = 9*'&

Ans den drei Gleichungen (5) Jg+Gh + Fl-%-L, Gg + Bh + Eh = W-M,

Fg + Eh + Ci = W-N aber erhält man:

Dg = J(V-L) 4- G'(W-M) 4- F ( S T - J V )

J9A = G * ( 2 - Z ) + # Y 3 K ' - J t f ) 4- F ( 9 T - A )

/>^. = F(2 —L) 4- F ' t3B ' -J f c f ) + C ( 3 T - J V ) .

\ i m ergiebt sich aus der Gleicbung (G)

D - £ = (2 ' 4- Z ^ 9 - 4- (W 4- Jtf)A 4- (3T + A ) *

also # ( Q — = (2 ' + L) Dg 4- (SB' 4- M) Dh + (SB' 4- A 7 ) 0 * .

In dieser Gleichung die obigen W e r t b e von Dg, Dh, Dh substituirt, verwan

delt sich dieselbe in :

D(Q — Q) = J ? 2 4- B*&t'* + CTC2 4- 2E'ffldV 4- 2 F D T 2 ' 4- 2C - ' f iW

— (yTZ= 4- B'M2 4- C A 7 2 4- 2E'MN + 2FNL 4- 2G'LM).

Diese Gleichung verwandelt s i ch , wenn man die W e r t h e von 9FÄ, 1

substituirt, wegen der Gleichung ( 7 ) , und weil DQ = ^2^Q in fo lgende:

IV . 9i'fi2 4- 2 3 ' ä t t ^ O a 4- 2$'3B9i + 2 g ' 9 i 2 4- 2$'25tt — S ) U

= P(JL2 4- Ä'Jtf 2 4- CJV 9 4- 2EMN 4- 2 F 1 A 7 Z 4- 2 G ' Z J t f — DQ). .4

§. 91. Die vier Bedingungsgleichungen I , I I , I I I , I V , welche zwischen den C c -

efficienten der Gleichungen (1), (3) statt finden müssen, können als das Resultat der

Elimination der neun Determinanten *i, etc. des neuen Axensystems und der

Coordinaten g, li, h des Anfangspunctes desselben aus den zehn Gleichungen (4),

( 5 ) , (G) mit Zu / i ehung der sechs Gleichungen £2 4- n2 4- & = 1, / ' 2 4- t1'2 + {2 =

| - 2 + V ' 2 4 - f 2 = l , i'i'+v'>i"+fi" = co3*, ri+v'y + a^cosß, i f + * * + * ? = 0 0 * *

angesehen werden.

Page 348: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

- ^ * * a w : » a » * ;JST ^

324 ' Vierte Vorlesung, t ibor analytische *

Ist das neuc Avensystcm rechtwinkTicht, so werden , wciT alsdann die Cosinusse

von « , ß, v = o , die Sinusse — 1, und % = 1 die vier Bedingungsgleichungen:

I. 51 + 93 + S = A + B + G, If. 21' + 95* + V = A + B' + G ,

III. 2l9>G + 2 £ 5 © — 2 ^ — 9 3 § 2 — S © 2 = ABC + 2 F F G — AE2 — BF2 — C G 3

I V . 2T£ 2 + 23'atf2 + S'9? 2 + 2 £'3tt9? 4 - 2 $'3tß + 2 ©'2'5K — £ Q

= ^ Z 2 + BAP + C A 2 + 2 F ' A / A - f - 2 f j V Z r f - 2 G X M - 7jg>.

§. 92. A u f g a b e . D ie allgemeine Gleichung ( 1 } zwischen den rechtwinklichlen

Coordinaten ^ . v 2 + By2 + + 2 F v s + 2Fzx + 2 G * v + 2^x + 2My + 2Nz + Q = 0

in die einfachere ( 1 0 ) 2hv'2 + 9 3 / 2 + £ s + 2 i V = 0 , w o . r ' , / , z ebenfalls recht-

wink!ichte Coordinaten bedeuten, zu verwandeln.

I. Setzt man in den so eben gefundenen vier BedingungsgTeichungen © ,

SD?, 0 ? , €1 = 0 , s o e r ! i ! > H i n a n zur Bestimmung d e r vier C o e f f i c i e r r t e n 21, 93, 2

folgende vier Gleichungen: * v "

1) 31 + 93 4 - € = A + B + G; 2 ) 23£ + €91 + 2193 = A' + B' 4 - (T

3 ) 2|23S = ABC H- 2 F F G — ^ F 2 — BF2 — G G 2

4) 936.E 2 = ^ / £ 2 4 - F ' j t f 2 + CN' + 2 E'MN + 2 F T v F 4 - 2 G r F i T f — F@.

Aus den ersten drei Gleichungen ergiebt s i c b , dafs 21, 23 , 6 die drei Wurze ln

dcr cubiscben Gleichung

(11) * 3 (A + B 4 - G ) / 2 4 - (A 4 - £ ' 4 - C)t — (ABC 4 - 2 F F G - AE2 — F F 2 — GG 2 ) = 0

sind, von denen wenigstens eine reell sein mufs. Es sei die reelle Wurze l 21, so er

hält m a n , wenn man die Gleichung ( 1 1 ) durch / — 2( dividirt, die Gleichung ( 1 2 )

t2 — 2 m / + r z = o , deren Coefficienten 2 r a = 93Gt, 7i = 23S reel leGröfsen sein müssen.

Die Gleichung ( 1 1 ) läfst sich auch auf folgende W e i s e darstellen:

(13) (t — A) (t — B) (t — C) — E\t — A) — F2(t — B) — G2(t - C) — 2 F F G = 0 .

Daher t - A = F*-m + &(t-C) + 2EFG (t-B)(t-C)-E2

folglich auch

_ F * ( 9 5 - B l + & ( * 8 ^ C ) 4 - 2 E F G - A _ F*($--B) + G%&_-G) + 2EFG A ^ 3 — F ) (93 - Cy=r& ; * — A W=B) (S — C)~fo (€ — .£) ($-C)-E?

Page 349: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Subtrahirt man nun die letzte dieser Gleichungen von der ersten, dividirt den

Rest durch €—95, und setzt 7 / * 2 — « = X, so dafs 93 = m-|-y^X, £ = m — y O s so ergiebt s i ch :

_ 7 ^ ( g - f l ) f g - Z ? ) + G^93 — C ) ( g - C ) + 27',TO(33 4 - g — B-C) + .g*(7*» + G2)

~~ t%zzKn%-C)-&]i(&-B){&-C)-E:q

_ (.m+F)(F&+F)+(G<S+C/)(G&+G*)_ (F+mFF+ (G'+mGf-X(F*+G2)

~ [&-(B+CJi8 + A] [&-(B+V)&+A'} [(m?+*—m(ß+C)+A\2—[2m—(ß+C)]*\'

Der W e r t h dieses Quotienten wird posit iv , wenn X oder m 2 — n negativ ist; er

ist aber = — 1, es mufs daher X. oder m2 — n positiv sein. Daraus folgt also,

dafs die beiden Wurzeln m + Y'7n2— n der Gleichung t2 — 2mt + n = o, und fo lg

lich alle drei Wurzeln 21, 95, £ der cubischen Gleichung (11) rcelI sein müssen.

I I . Sind nun die drei Wurze ln 21, 23, € nicht alle zugleich positiv oder negativ,

so läfst sich die Wurze l 21 immer so auswählen, dafs 23€ und folglich auch 93£.E 2

nach Gefallen positiv oder negat iv , und folglich £ möglich ist. Im entgegengesetzten

Falle aber mufs 93Gt-E2 imiqer positiv sein. Es sind aber die drei Wurze ln der Glei

chung ß — *t2 + ßt— y = o (11) alle drei posit iv , wenn die drei Gröfsen « , ß, y

positiv s ind ; hingegen negativ , wenn » negativ, ß positiv,. y negativ ist. Es mnfs

demnach, wenn die allgemeine Gleichung (1) auf die einfachere Form (3) gebracht

werden so l l , wenn alJe drei Gröfsen «*, ß, y positiv sind oder « und y negativ,

und ß positiv i s t , die Gröfc J*r=23&.S 2 positiv sein.

III . Aus den sechs Gleichungen (§ . 84, 4.) ergeben sich, wie man leicht übersieht,

folgende neun Gleichungen:

9 ß 4- ©36' 4- § r = (Ai 4- Gn + *V)ff; 9536' 4- 4- ©36 = {A( 4" GY 4" F{)%

+ & y + = (Gi + Bn + iSflÄ; 935?' + + ©5? = ( G f + Bn 4- Ef)%

313 + ©3' + 53 " = (Fi + En 4- C{)%; 933' + ®¥ + ©3 = (Fi' + En + C<T;ff

€36" + g3B 4- ®3E' = (Ai' 4- Gn" + Ff')ft

W 4- W + &2>' = (Gi" 4- Bn" 4- Et')%

€3" 4- §3 + ®3' = (Ff + iV'4-1?)*. Diese neun Gleichungen verwandeln s i ch , wenn © = r 0 sind, und das

Axensystem der x',y', z' rechtwinklicht ist , weil alsdann 36, g?, 3'> 36', 3? c t c * resp. den Gröfsen i, v, 4\ f , {, etc. gleich s ind, und Ä = *> >n folgende:

Page 350: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

(A-%}£ + Gv + Fl - o, (A — 93)r + Gv' + Fg = o , ( ^ - £ ) ' + Gv" + F f = o

6 7 + ( / ; - 2 i > 4 - F ^ = o , G f + ( f l - S 3 ) * + F f = o , G r + ( S — € K ' + F f = o

FiArFv + (C-%)g=o, F f + Fv ' + ( C _ 2 3 ) f = o , F r + F ^ + ( C - g ) f = o.

Aus den ersten drei Gleichungen ergeben sich zufolge ( § . 10.) folgende Propor

tionen :

# : = [ ( 5 - 2 1 ) ( C - 2 l ) - F 2 ] : [ F F - G ( C - 2 0 ] : [ G F - F ( 5 - 3 I ) ]

= [EF-G(C-%)] : [(C-%)(A-%-F*] : [ F G - F ( ^ - 2 0 I

= [ C F - F ( 5 - 2 i ) ] : ]FG-F(A-%)] : [ ( ^ — 3 I ) ( B - 2 I ) - G * ] .

])araus erhält man :

|*: ; = [(B - SI) (C— 21) - F * ] : [ (C - 2 1 ) { ^ - 21) - F 2 ] : [ ( ^ - 9 0 ( 5 - 3 0 - G * ] .

Es ist aber ( 5 _ 2 i ) ( C — 2 l ) — F 2 + ( F - 2 1 ) ( ^ — 2 1 ) - F a + ( ^ — 2l)(7i — 2l) — G -

= J + K + C — 2%A + B + C) 4 - 321 2

= 23E + €21 + 2123 — 221(21 + 23 + 6 ) + 321 = = 23£ ~ 5HS — 2123 + 212 = (23 — H)(S — 21).

D e m n a c h :

* - p f l - 9 Q f C — 9 Q - f f » * " "I' K ( r - 2 1 ) r ^ - 2 1 ) - F 2 - _ yA-<&)(B-W)-G* # ~ ' ( & - i U ) ( G - 2 f ) ' * (35 — 9IX€—"ä) * * ' ( 2 3 - 2 0 ( G - 2 l '

A u f ähnliche W e i s e ergiebt sich aus dcn folgenden drei Gleichungen:

r - Y*B~-*)<Cm~9)~~E* ' - K " ( G - 2 5 ) ( ^ - 2 3 ) - F f ~ _ r ^ - W # - 2 3 J - C _ '

* " ( £ - 2 3 ) ^ — 23) ' * ' v & - 2 3 A ^ - 2 3 j ' C ' ^ _ $ X 3 i - 2 3 )

und aus den l e t z t e m :

_ y - ( B - g ) ( C - g ) - F 2 „ _ y(C-£)(A—£)—F* ?„ _ y(.<f-&(n-S)-G*

* ~~ 1 (21 - e j (23 - e ) ' v ~~ ( H - S x 2 3 - G ) ' ^ ~ ~ ' (H — Sj(© — G7 '

Auf die W e i s e sind die resp. Determinanten des neuen Axensysteii is bestimmt,

welche offenhar reell sein müssen, weil die Verhältnisse $:y:£; f:v':g; i'':v":g'

reell sind.

Sind von den drei Grofsen 21, 23, £ zwe i oder alle drei einander g le i ch , z. B.

23 und £ , so werden die Xenner der Brüche unter d«m W u r z e l z e i c h e n , die den

Determinanten f , j y p9 entsprechen, gleich Nul l ; es werden aber auch die

Zähler , weil s i e , wie man leicht übersieht, alle gleichartig sein müssen, und ihre

Summe = o i s t , ebenfalls = o sein müssen, und folglich die Determinanten unbe-

Page 351: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

allgemeine EIemenlargeometrie. 327

stimmte W e r t h e haben, was bei Flächen der FaII ist , die durch Umdrehung um die

A x e der x' entstehen.

93. Es sind jetzt noch die Coordinaten g, h, k des Anfangspunctes des neuen

Axensystems zu best immen; dazu sind die Gleichungen (5), (ti) zu gebrauchen. MuI-

tiplicirtman die drei ersten resp. mit 2, f, 2"; alsdanndurch n, *i', vu; und endlich durch

g, g\ so erhält man, wenn das neue Axensysteiii rechtwinklicht , wegen der He-

dingungsgleicbung (§ . 44.), und weil 9ft und 9? = o :

j g 4_ Gh + Fk + L = 22

(14) Gg 4- Bh + Ek 4- M = »2

Fg + Eh + Ck + JV = £ 2 ,

und weil wegen Q, = o, die Gleichung (6) sich unter der F o r m :

(Ag\Gh + Fk + 2L)g + (Gg + Bh + Ek + 2M)h + Fg + Eh + Cl + 2N + Q = o

darstellen läfst, so wird dieselbe :

( f f + Z)g 4- (*ß 4" M)A + (£2 4- JV;* 4- Q = o.

Drei dieser Gleichungen sind hinlänglich, die Coordinaten g, 7z, k zu bestimmen.

Nimmt man dazu die drei ersten, so ergiebt s i ch , wenn man ABC+2EFG—AF*

Bj?z _ C G 2 = D setzt :

Dg = (&-L)AT 4- ( , e - J / ) G ' 4- (@-X)F

Dh = (22-L)G' 4- (ri-M)B' + ( ^ g - A ) 7 u '

79,6 = (2l>-L)F 4- ( , S - J t f J G ' 4- ( ^ 8 - A ) C .

Ist Z) = O3 so mufs man dieselben, weil alsdann die Werthe von / j , /• unbe

stimmt b le iben, mit IIidfe dcr vierten Gleichung und zweien der erstern drei be

stimmen.

§. 94. Ist D nicht = o , so läfst sich die allgemeine Gleichung (1) auch auf die

Form (15) 2 lx ' 2 4- 23'jK2 + $ s ' a 4" Ü = o bringen. In diesem Falle werden für die

Gröfsen % 93, £ , / , v, etc. dieselben W e r t h e , wie vorher gefunden werden. Die

Coordinaten aber ergeben sich unmittelhar aus den Gleichungen (14), indem man

% = o setzt. Man hat nämlich:

Page 352: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

— D g = A L + G'M4rF'N', —Dh = G ' L + & M + E*N; — D l = F L + t f M + C N

und aus der Bedingungsgleichung IV. ( § . 91.) ergiebt s i ch , weil g , 3ft, 9ft = o

— D.O. = A'L2 A- B M 2 Ar C'N2 Ar 2EMN A- 2 F A L Ar 2G'LM — DQ.

§. 95. D i c Gleichung Ax2 Ar B y 2 Ar Cz2 Ar Q = o (14) für rechtwinklichte C o o r

dinaten wird du.ich Veränderung des Axensystems mit Beibehaltaltung seines A n -

fangspunctes, indem man x = ix' + i ' y + i " z ; y = vx' + v ' y + v z ; s = < ^ v ' + f / + f s '

setzt, in %x'2 Ar 93j'2 + 6-' 2 + 2 % V + 2%z'x' + 2®x'y Ar Q = o

verwandelt , w o

31 = AZ2 Ar By* Ar Cg € = A ? f Ar BvW Ar C f f

25 = A f 2 Ar Bv'2 Ar Cg2 % = A t i Ar Bv"v + C f £

€ = AV* + Bv"2+ Cg' 0 = AW + Bw' Ar C £ f

Setzt man nun ® , © = o, so erhält man aus der 2ten und 3ten, der 3ten iuid

l s t e n , der l s t cn und 2ten der drei letztern ol>igen Gleichungen respect ive :

A£ : Bv : C£ = £ : $ : 3; A i ' : Bv : Cg = 3B': S>': 3'; ^ : Bv": C f = 38": 5)": 3".

Sind also die Determinanten i, v, g der neuen A x e der x g egeben , so ist auch,

weil nach ( § . 39, C ) 3 c , JP, 3 "*en Determinanten der Ebene der yz proportional sind,

die L a g e dieser Ebene bestimmt. Nimmt man in derselben eine der A x e n y ' , z', z. B.

die der y ' nach Belieben a n , doch so dafs ihre Determinanten i', y ' , g' dcr Gleichung

© zzz o entsprechen, so sind auch die Gröfsen 3£", 3" bestimmt, woraus sich die

Determinanten i", v", f der A x e der z' herleiten lassen.

§. 96. D i e Gleichung A x 2 + B y 2 + C z 2 + Q = o läfst s i c h , wenn A , B , C posi

tive Gröfsen und Q negativ i s t , unter der F o r m :

v 2 Z2

W ^ + h + e - = «

darstellen, und ist die Gleichung für die Oberfläche eines Ellipsoids. Die Gröfsen

a, b, c werden im allgemeinen die c o n j u g i r t e n A x e n des Ell ipsoids, und wenn

x, y , z rechtwinklichte Coordinaten s ind , die H a u p t a x e n genannt. Im vorigen

§. haben wir nun gesehen, dafs die Gleichung ( 14 ) für rechtwinklichte Coordina

ten x, y , z sich immer in eine ähnliche für schiefwinklichte Coordinaten x', y ' , z'

Page 353: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

x2 , v : '2 <'6) + ' F + T- = 1

verwandeln, wo eine dcr drei conjungirten Axen in Absicht der Richtigkeit nach B e

lieben angenommen werden kann. Zufolge der drei ersten (§ . 91.) gefundenen B e -

dingungsglcichungen erhält man:

<n ™n2* 1 sjn^ß _ L SM2Y — J_ 1 JL _ t _ _1 > a<& + &25>2 ^ c 2Ä 2 a2 ^ b2 + c 2

1 1 L 1 _ 1 . 1 2 ) ^ 7 C 7 A 2 C 2 O 2 S v 2 ' « 2 ^ 2 J t 2 ~~ PT^ + c 2 « 2 + « 2 6 3

1 _ 1 3 ) ^ 7 C 7 F ~ ~ äHFc?'

Daraus ergiebt sich unmittelbar: rtfcc& =• abc, Ci2 + b v + C 2 = a2 + &2 + c*;

( b c « « « ) 3 + (iasinßf + ( a t * m y ) 8 = 6 2 c 2 + c 7 a 2 + «2Z>2.

• Es ist abcr., wie man leicht aus (F. §. 36.) ersieht, flbc$ das Yolumen eines

ParnlIclcpipcdi, dessen Seiten die drei conjungirten A x e n ö , fc, c. Dieses Volumen

ist also für j ede beliebige drei conjungirte Axen eine constante Gröfse, eben so auch

die Summe der Quadrate der Seiten dieses ParuHelcpipedi, und die Summe der Qua

drate seiner Seitenflächen.

§. 97. Denkt man sich einen festen Körper als aus unendlich vielen materiellen

Puncten bestehend, deren gegenseitige Lage unveränderlich is*, und bezeichnet man

die Massen dicsor Puncte durch ?n9 m„, m.39 ...7nn: ihre respectiven rechtw. Coor

dinaten durch . V 1 , . v 2 , A \ , c t c . , V 1 , y s , •Y39 etc . , Z1, z2, e tc . , und die Summen

2x2m, 2 v - m , S i 2 m , Eyzm, Ezxm, Xxym rcsp. durch A9 B, C, E9 F9 G9 so w e r

den sich diese Gröfsen offenbar verändern, wenn die Puncte m x , ? « 2 , m^, etc. auf

ein anderes rcchtw. Coordinatensystem bezogen werden. Bezeichnen wir nun die

Coordinaten in Bezug auf ein neues System, das mit dem Grundsystcme denselben

Anfangspunct hat, resp. durch x\, x'2, . < , etc . , y\ty'39y'?* e<c., z\9 z'2, z\9 etc. , und

die Gröfsen Zx'2m, Vy*m, Zz'*7U, Z r V w 5 S s V / w , Ex'y'm durch 21, 93, £ , ©>

so wird, weim |, v, £\ f , n9 i\ I " , > / , {' •lic respectiven Determinanten dcr Axen der

.r', y ' . z' s ind, nach (§ . 43. h.), 42

,.v -i.'i< ..h • ' > * * M * * * ^ f u ^ j ^ _ ^gg^g^

Page 354: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

A = BC-E2 = Zy2m."Zz2m -

B' = CA-F2 = Ez2m. Ex2m -- (2zxm)2 = 2 Y 2 m.m v ' x,(« x «

C = AB-G2 = 2x2m. Ey*m -- (2xym)2 = 2 Z 2 mm

E = FG-AE= Tzxm.Txym — Ex*m.Evzm, ~ 2Y^ Z^ 7n.m J \f* X f*

F - GB-BF= 2 vym. Eyzm — 2y*m.2zxm = A\ m\ m

G = EF-CG = Eyzm. Ezxm — Vz2m.Zxym — S X Y mm .

x'x = i x x + ^ x + K

y'x = f - v x + *>x + ^ x

*k = ^ * x + ' X + ^ x s o i r > > wo X alle Zahlen von 1 bis n bedeutet.

Substituirt man diese Werthe von jc^, y 9 z^ in 91, 93, C3, so erhält

man, wie man leicht übersieht, die oben ( § . 84, 4.) gefundenen Gleichungen, woraust

sich ebenfalls die (§ . 91.) aufgeführten Bedingungsgleichungen I, II, III ergeben. Es

läfst sich jedoch in dcm gegenwärtigen Falle von den obigen drci Gleichungen ein

unmittelbarer Beweis geben, womit wir uns jetzt beschäftigen wollen.

§. 98. Bezeichnet man dcn Radiusvector oder den Abstand des Punctes m vom X

Anfangspuncte O dcr Coovdinaten im allgemeinen durch r. so ist r2 ~x\ ~K) '5+ : , *j 7A. A. A.

und folglich A Ar B Ar C = S.v"w + ^y7m Ar 2z2m ==2r2/«. Demnach is t dic Gr<ifse

AArB^-Cdie Summe d e r M a s s c n aller materiellen Puncte m%, m2, m,, etc.

jede mit dem Quadrate ihrer Entfernung vom MitteIpunete O multipli

cirt, also durchaus von der Enge des Coordinatensystems unabhängig. §. 99. Setzen wir nach der ( § . 9.) eingeführten Bezeichnungsart

y z — z r = X- , z x — x. z = y , X- V — Y^ X = Z^ , *' X fA. K ft X,« X fA X fx X, t X fA ' X ,« X, t

wo X, fi alle aus den Zahlen 1, 2 , Z...n, je zwei und zwei, und zwar so genom

menen Zahlen bedeuten, dafs X < so ergiebt sich:

Page 355: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

Aus den ersten drei Gleichungen ergiebt sich unmittelbar:

A' + B' + C=Z(Xl +Yl +Zl \mm. \ X, c X5^t X,f*J X f*

Es ist aber zufolge ( § . 34.) V(X^ ^ + ^ + Z^ ^ der doppelte Flächeninhalt

eines Dreiecks Omjn . Demnach i s t d i e G r ö f s e A + tf + C d i e S u m m e a l l e r X y.

m ö g l i c h e n P r o d u c t e a u s d e n M a s s e n j e z w e i e r d e r n m a t e r i e I l e n P u n c t e ,

j e d e s m i t d e m Q u a d r a t e d e s d o p p c l t e n F l ä c h e n i n h a l t s m u l t i p l i c i r t , d e s

s e n S p i t z e d e r A n f a n g s p u n c t O d<?r C o o r d i n a t e n i s t , u n d d e s s e n B a s i s

d u r c h d i e z w e i P u n c t e rtu, m b e s t i m m t A v i r d . A ' ft,

§. 100. Substituirt man in dem Ausdrucke AA + BB + CC + 2EE + 2FF

4- 2GG = ZD9 die durch A, B. C9 E, F, G ( § . 97.) bezeichneten und für A9 F1 C

etc. so ebcn gefundenen W c r t h e , so erhält man ZD ~

2/A*; x2±Y2 Y2^rZ2 z*+2Y^ Z^ vz+27, X = . r + 2 X Y 1 xY\minm \ X,f* v >.,ft" v X,f* v 1 A , , t * X,,w v v X,jt* X,ju. v v A9ft A,ft, ? v vJ A p, v

= S / X x + Y- Y + Z z Ymm m , ^ X,f* v ' X , M ' r X,fit vJ X fA v

wobei zu bemerken is t , dafs man für X , p9 r alle Zahlen von 1 bis n nehmen mufs,

doch s o , dafs X < Nimmt man noch überdiefs an, dafs auch p < v, so erhält man :

D x + Y^ Y + Z^ z \rn.m m .

\ X,jc* v 1 X , < v X,^t vJ X f* *

E s i s t d e m n a c h d i e G r o f s o J 9 , zufolge ( § . 9,3G.), g l e i c h d e r S u m m e a l l e r

P r o d u c t e d e r M a s s e n v o n j e d r e i u n d d r e i d e r m a t e r i e l l e n P u n c t e , j e d e s

d i e s e r P r o d u c t c m m m m u l t i p l i c i r t m i t d e m Q u a d r a t e d e s s e c h s f a c h e n X fA v

V o l u m e n s d e r P y r a m i d e , d e r e n S p i t z e d e r M i t t e l p u n c t O d e s A x e n s y -

s t e m s i s t , u n d d e r e n B a s i s d u r c h d i e d r e i P u n c t e m., m , m b e s t i m m t A f*. V

w i r d .

§. 101* Aus den bewiesenen Eigenschaften der drei GrÖfsen A + B 4- C9

A'+ B' + C, ABC + 2EFG — AE2 — BF — CG2 ergiebt sich zugleich, d a f s d i e

Coefficienten der Gleichung ( § . 92. (11)).

t3 _ (J + B + CV2 + (A + B' C ')t — (ABC + 2 EFG - AE2 - BF2 — CG) = 0

Page 356: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

332 Vierte Vorlesung. TJber analytische

abwechselnd positiv und negativ s i n d , und dafs die drci Wurze ln derselben nicht nur

reelle Gröfsen s ind , wie dort bewiesen w o r d e n , sondern zugleich positiv sein müs

sen , wodurch denn mit aller Strenge der von E u l e r entdeckte Satz bewiesen ist,

dafs jeder beliebige Punct eines festen Körpers zum Anfangspuncte eines rechtwink

lichten Coordinatensystems angenommen werden k a n n , dessen L a g e so bestimmt

i s t , dafs

Ey'z'm = o , J^z'x'm = o , Hx'ym — o.

Diese d r e i r c c h t w i n k l i c h t c n A x e n w c r d e n d i e H a u p t a x e n genannt, und wcnn der

Mittelpunct derselben überdiefs noch so bestimmt ist, dafs S x m = o, Eym — o, "E,zm — o,

so heifsen sie die n a t ü r l i c h e n R o t a t i o n s a x e n . Der MitteIpunl O dieses A x e n -

systems wird alsdann der S c h w e r p u n c t des festen Körpers genannt. Dieser Punct

hat die Eigenschaft , dafs irgend eine beliebige Ebene durch denselben ge legt , die

Summe der Massen aller materiellen Puncte , jede mit der Entfernung von dieser

Ebene multiplicirt = o sein mufs. * A - - < * •« - - v - - . /

§. 102. Es giebt für jedes feste Sysfem materieller Puncte odcr für j cdcn festen

Körper einen solchen Punct , und zwar nur einen. Es seien nämlich die Coordinaten

dieses Punctes a, b, c die Determinanten der durch denselben gelegten Ebnen y , {,

so ist die Entfernung p eines Punctes , dessen Coordinaten x, y , z von dieser Ebene

( § . 26.) = i ( x - a ) + 'n(y-h). + i ( z - c ) .

Folglich Zpm = £E(x — a)?n + v T ( j - b ) m + i E ( z - c ) m .

Da nun für alle möglichen Werthe von # , Eprti = o sein mufs , so mufs

auch S ( x — a)m = o , E(y — b)m = o, E(z — c)m = o , also 2x7/i-aEm, Eym = b2m,

Xzm = c S m oder a = 1 ^ = ^EmJ ° ^ s e * n ' ^ s n a t a i s o J c d e d e r C o o r -

dinaten a , 6 , c e i n e n reellen Wer th .

§ . 103. Durch Herrn Prof. J a c o b i im Crellschen Journale für Mathem. B. 2 p.

188 auf drei interessante in A"ov. Comment. tom. XX. Acad. petrop. ao 1775. p.

189 — 270 enthaltene Abhandlungen von E u l e r und L c x e l l aufmerksam gemacht,

Page 357: Vorlesungen über mathematische Analysis : mit anwendungen auf Geometrie, Mechanik und Wahrscheinlichkeitslehre. Erster Band

benutze ich <len noch übrigen Raum dieses Bogcns um das Wesent l i che derselben

h i e r , mit Hülfe dcr in dieser Vorlesung behandelten Sätze , vorzutragen.

§. 101. A u f g a b e . Es seien # , v, Z\ 2', Z'; 2", v", Z" die resp. Detarminanten

eines Axensystems der recbtwinklichten Coordinaten x',y'Tz gegeben , das mit dem

rcchtwinklichten Grandaxensysteme der x,y, z denselben Anfangspunct O hat; man

soll die Determinanten 2, v, i einer Geraden PO durch P finden, die eine solche

L a g e hat , dafs ein rcchtwinkIichtes Axcnsystem durch Drehung um dieselbe aus der

L a g e des Grun(laxensystems in die des neuen Axensystems gebracht werden kann.

W e i l die Determinanten der Rotationsaxe PO in Bezug auf das Grundaxcnsystcm.

mit denen in Bezug auf das ncuc Axensystem dieselben sein müssen, so hat man

zufolge ( § . 42 .) folgende drei Gleichungen:

i = 22 + vv + ZZ oder ( | - 1 ) | + «9 + Z£ = o

v = i'i + v'v + z'i ä 4- < y - i > + ci= o

i = ri+ *"n+ z"i ri + A + ( r - i ) < ? = o.

Daraus ergiebt sich vermittelst zweier dieser Gleichungen, z. B. dcr beiden letztern:

i • v : i = [(v-l)(f-i)-v"n : tf#"-l'(<r-l)] : [ I V - T ( V - I ) J ,

woraus man (§ . 22 .) die Determinanten # , v, Z selbst erhält.

Substituirt man nun in der ersten Gleichung:

* ( ( * ' - i x r - i ) - * Y ) , x ( ^ r - w - i ) ) , M i v ' - i v - i ) )

rcsp. für 2> v, Zy und dividirt alsdann durch X, so e rhä l tmandieBed ingungsg le i chung :

(a) ( ! - l ) ( V - l ) ( < r - 1 ) - * " < f ' ( i - l ) - # ' ( V - l ) - # V < r - 1 ) + vff'+&n" ~ o

welche zwischen den Gröfen 2, v, Zi 2\ e t c * statt finden mufs , damit die gegebene

Aufgabe möglich sei.

§. 105. Bezeichnet man die W i n k e l , welche die drei A x c n der Coordinaten

x', y', z' mit der Ebene xy machen , resp. durch ß, ß', ß'\ und die W i n k e l , die ihre

Projectionen in dcr F,bene xy mit der A x e der .v b i lden, durch X, x', x", so hat

man nach ( § . 4.)

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. v / / z ( X - X " ) 5 ; > 2 i X ' - X ) ' ^ ~ ~ s / V i ( x ' - X ) . v / r a ( X " - X ) ' ' M r t ( X " - X ' ) * z 7 z ( X - X " )

u n d , weil tanß cosß = s / / z ^ , / < z « ß ' cosß ' = sinß', tanß" cosß" = sinß",

sin2ß = c o / ( X _ x " ) c o / ( X ' _ X ) , Ä z ' « 2 ^ ' = c o / ( X ' - X ) c o * ( X " - x ' ) , sin-ß"= o o / ( X " - X ' j c o / ( X - X " ) .

W e g e n der Bedingungsgleichung ( § . 44.) ^ 2 + ^" + ^ ' 2 = ! hat man auch:

(f) c r > / ( A - X " ) c o / ( X ' - x ) 4- C 0 2 ( X ' — X ) c o / ( X " - X ' ) - f c o / ( X " - X ' ) c o ^ ( X - X " ) = •J,

woraus man vermuthen k ö n n t e , dafs die drci Gröfsen X , x ' , x " von einander a b

hängig se ien , so dafs , wenn zwei derselben gegeben s ind , die dritte ebenfalls b e -

| = cosß cos\ f = cosß' cosX' £" = cosß" cosX"

(b) tj zzz cosß sin\ v' = cosß' sin\' v" = cosß" sinX"

i zzz sinß <f = sinß' v" = sinß";

woraus wegen der Bedingungsgleichungen:

f f + »V' + fC = o, i"i + + Ci o, if + + <f<T = o

folgende drei Gleichungen hervorgehen:

cosß' cosß" c o * ( X " - X ' ) +• sinß' sinß" = o

(c) eosß " £0*0 c o s ( X — X " ) räß" szwß = o

cosß cosß4 cos(X'— X ) Ar sinß sinß' = o

oder tanß'lanß"zzz — c o s ( X " — X ' ) , tanß"tanß =— c o s ( X — X " ) , tanßtanß' =— c o s ( X - X ) .

Daraus / < w 2 £ / « « 2 j S ' tarc2ß" = — c o * ( X " - X ' ) c o * ( X - X " ) c o * ( X ' - X ) , und folglich

, e o . 9 ( X - X " ) c o , 9 ( X ' - X ) Q o c 0 * ( X ' - X ) c 0 . 9 ( X " - X ' ) c o f i ( X " - X ' ) r o a ( X - X ' )

7 ^ - T ^ > tan2ß = ——~T, -,tan2ß=~—- Trr—^k • c 0 . 5 ( X — X ) cos(X— X ) c o s ( X — X )

§. l < ) G . Zufolge ( § . 4 2 , c.) hat man :

iY _ •/f = < f , f v ,7 z = i„' _ = c .

Folglich sinß = cosß' cosß' s i n ( X " — X ' )

(d) sinß' = cosß''cosß sin(X—X")

sinß" = cosß cosß' sin(X'—X).

Aus j e zweien dieser drei Gleichungen mit Zuziehung der drei Gleichungen ( c )

ergiebt s i ch :

tanß' tanß"= cos2ß sin{X — X " ) . v m ( X ' - X ) = — cos(X"-X')

(e) tanß"tanß zzz cos2ß'sin(X'—X) s/n{X"-X') = — cos(X-X")

tanß tanß' — cos2ß"sin(X"—X') sin{X—X") = — cos(X'—X). Daraus :

c o j ( x " - X ' ) , cos(*.—x") cos(X'-X) VOS'ß = . _ _ : r r r ~ f C0S9ß=Z - : . 7 T , COS*fi :

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«W^emcnie Elementargeometrie. 335

stimmt ist. Bei näherer Untersuchung findet man j edoch , dafs diese GIcichuug eine

sogenannte identische Gleichung ist, d. h., dafs dieselbe für alle beliebige W e r t h e von

X, x', x" stntt flnden mufs. Man kann nämlich die obige Gleichung unter der F o r m :

( , w-v , • H O C ^ \ \ , f o / ( X " - X ' ) c o / ( X - X " ) - 1 ) | c o / ( X _ * ) + c o / ( X * - X ) j . ^ ( * - X ) + -^_^pA_.^j = o

darstellen. Es ist aber (p. 124, D.) der zweite Factor des Produetcs linker IIand:

C O i * ( X ' - X ) + C 0 / ( ( X " - X ' ) + X — X") — c o / ( X ' - X ) + C O / ( X - X ' )

für alle beliebige W e r t h e von X, x', x", — o. Es lassen sich demnach die neun D e

terminanten des neuen Axcnsystcms auf die drei GrÖfsen X, x', x" zurückführen, so

vvie wir bereits dieselben ( § . 45.) durch die Gröfsen w , <fr, 0 bestimmt haben.

§. 107. Das von ( § . 104.) an Vorgetragene macht im Wesentl ichen bis auf die V e r

schiedenheit der Bezeichnung den Inhalt der erwähnten ersten Abhandlung von

E u l c r aus. A b e r , sagt dieser grofse Mathematiker am Ende derselben, obgleich wir

diese W e r t h c in der Gleichung (a) substituiren, so sieht man doch auf keine W e i s e ,

wie sich die einzelnen Thei le dcrselban aufheben. Deshalb wird es nöthig se in , auf

die Gleichung (f) und darauf Bücksicht zu nehmen, dafs ( x " - x ' ) + ( X - x " j + ( x ' - X ) = o,

und schliefst mit den W o r t e n : At vero nemofacile stupendum hunc laborem in se

suscipere volet; qiiamobrem egregia ista proprietas omnium corporum rigidorum

multo magis ardua est ccnsenda et Geometris pidcherrimam occasionem praebere

potest, vires suas in ista proprielate penitus enucleanda exercendi.

L e x e l l gab in einer darauf folgenden Abhandlung zwei Beweise dieses Satzes,

die mit den nöthigen Vorbereitungen über drei Bogen einnehmen.

§. 108. F ü r j e m a n d c n der mit dem Inhalte von ( § . 42.) bekannt i s t , hat dieser

Beweis nicht die mindeste Schwierigkeit . Es ist nämlich:

(g) ( * - i ) ( « ' - i ) ( f - 1 ) - '"en-i) - &x*'-<) - * ' * ( f - 1 ) + » f r + = # * ' f + * ^ + r * f - ^

= tf-*-*-f + * + * ' + f - 1 = o.

§. 109. A u f g a b e . Es seien die W i n k e l , welche die durch die Rotationsaxe

und die A x e n der x, y, z bestimmten Ebenen resp. mit den durch die Rotationsaxe

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336 Vierte Vorlesung, t b c r analytische allgemeine Elementargeometrie.

und den A\en der x', y', z' bestimmten Ebnen machen, und die unter sich gleich sein

müssen, = 0. Man soll aus diesem W i n k e l und den Determinanten / , y , £ der Rota -

tionsnxo die Determinanten des rechtwinklichten Axensystems der x', y', z' herleiten.

A u f l ö s u n g . Denkt man sich ura dcn Anfangspunct O d c rCoord inaten e i n e K u -

gcl mit dem Radius — 1 beschrieben, und bezeichnet die respectiven Pole der Ebenen

yz, zx, xy durch A9 B, C; der Ebenen y'z', z'x', x'y' durch A, B', C, und den PoI

der Rotationsaxe durch P, so ergiebt sich aus dem sphä'rischenDreiecke PAA'(y.227, A . )

sinAP.sinÄP.cosAPA — cosAA' — cosAP.cosAP. Es ist aber APyI' — 0 ,

cos AA' = #, cos AP = cos AP — i, also (1 — i2) cos <P = i — #2. i

Eben so ci-halt man aus den beiden Dreiecken PBB', PCC die Gleichungen

(1 — if1) f o s 0 = y' — i,2, ( l — f ) cosV = f — f .

Folglich i = P + cos 0(1 — k1), »' = y 2 + cos0(1 — r ) , £*' = + c o s 0 ( l — , und

l _ * = ( l - c o 6 - 0 ) ( l - f O , 1—« '— ( l - c o s 0 ) ( 1 — ^ ) , 1 — f — ( i _ C 0 5 ^ ) ( i _ _ ^ ) .

Daraus . •» + ^ = #(1 — £) = #(1 — c o « 0 ) (1 — #2)

(h) g£ + & = '>(1 - O = < 1 ~ CüSQ) (1 ~^2)

« " + n - - f ) - £(1 ~ co* 0) (1 - £ ) .

Rczeichnct man nun die zu den drci sphärischen Dreiecke PAA', PBB', PCC'

gehörigen pyramidalischen Gröfsen nach ( § . 36, F.) rcsp. durch 5v, j>', so ergiebt sich

wegen dcr rrsp. Determinanten der Radien OP, OA9 OA: OP, OB, OB'; OP, OC, OC

R = &-ig, ^' = # ^ - ^ r , A" = i r - f t " .

Es ist abcr ( § . 39, E.) £ = (1 — P) sin<p, %'= (1 — ip) sinQ, 5 T = ( t — £' ) sinq>, also

g, — ng — sin 0(1 — f O , — £|' = «Vz (1 — y2), y f — in" = sin 0(1 — g).

Vermittelst dieser und der drei Gleichungen (h) findet man nun noch die übrigen

sechs Determinanten y , g', |'; so dafs :

# = ^ + ( 1 — / - ' ) cos0

tf = iy{\ —cos<p) Ar gsinQ

gz= i (l — cos <P) — r sin 0

i' = vi(l-cosQ)-gsinQ

y' — v2 + (1 — v2) c o s 0

i' — ~ c o s 0 ) 4 - isin 0

i" — gi(X — cos 0 ) 4 - «.sm 0

tf = gy(l — cos 0 ) — £ sz"ra 0

f = ^ + ( i - f ) ^

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