Literaturberiehte. 5

den Kugeloktanten durehl'~uff, anabh~ngig yon einander alle Werte zwischen r.

O und ~ annehmen. Aaf S. 53 (w 3) ist dem Referenten nicht ~,erst~ndlieh,

warum das Funktionsze{ehen F eingefhhrt wird fhr eine Funktion, die doeh (bei Festhalttmg der im Texte vorliegenden Definition) nichts anderes vorstellt, Ms den (mit verkehrtem Zeichen genommenen) log nat ; erst auf der n~chsten Seite wird dann nnvermittelt start F . . . log geschrieben. Es ist auch nicht

korrekt, wenn S. 53 (Z. 5 v. u.) die Konvergenz d e r R e i h e f h r S ( l @ e 2zV '~ )

fi~r jedes x behauptet wird, w'ahrend doeh klar ist, daft log na~ (1 + e 2~ I/2~)

fiir x = ~ die bekannte harmonisehe Reihe, also eine divergente ]{eihe liefert,

ganz abgesehen yon der Zulassung komplexer Werte far x. Auf S. 61 (Z. 3) wird mit dem Worte ,folglieh" eine Sehlugweise versehleiert, deren Bereehfigung wohl starken Zweifeln begegnen muff. Dal3 der Ausdraek V in (31. (41), bei welehem unter dem IntegrMzeiehen eine beliebige Fanktion f yon drei ~er- sehiedenen Argamenten vorkommt, eine LSsung der Differentialgleiehung (40) ist, kann doeh nieht einfaeh daraus gesehlossen werden, dal~ ein ~ihnlieher Ausdr~ek, bei welehem a b e r f blog yon e i n e n l Argament abh~ngt, dieser DifferentiMgleiehung gent~gt. Ebensowenig kann die Behauptung, dag der Ausdruek (t3) der Differentialgleiehung (42) gentigt, als hinreiehend bewiesen gelten. Hingegen seheint dem tleferenten die Entwieklung yon S. 70 (Z. 2 v. u.) bis S. 71 (Z. 12 v. u.), welehe der Herausgeber in den Anmerkungen (S. 162) als ibm unverst~ndlieh geblieben bezeiehne~,, gleiehwohl einen vollwertigen zweiten Beweis der Formel (62~ darzustellen. Die letztere Formel bezieht sieh aaf die Bereehnung des K6rperraumes P, der yon einem ver~nderliehen Dreieek D N F durehstriehen wird, wenn die Seite D E = h desselben festgehalten wird, w~hrend der gegeniiberliegende Eekpunkt F sieh gesetzmiigig im Raame bewegt. Die Seiten D I e = ~. and EI~ . . . . z des veranderliehen Dreieekes sind mit- hin als bekannte Funktionen jenes Winkels ~ zu betraehten, den die Ebene ~tes ver~nderliehen Dreieekes mit einer festen dureh DE hindurehgelegten Ebene einsehliegt; ebenso sind die Winkel ~ =<)2 DEN and ~ ~<~ E D F als bekannte Fanktionen yon m anzuseben. Die Formel (62) gibt den unendlieh kleinen Zuwaehs des KSrperraumes P an, der einem unendlieh kleinen Zawaehs d~ entsprieht. Die erw~hnte Entwieklung des Textes enth~lt nun einen zweiten Weg zur Bereehnnng dieses Zuwaehses -con P: Nit Vernaeh- 15ossigung yon unendlieh kleinen GrSl3en hSherer 0rdnang kann derselbe gesetzt werden gleieh jenem KSrperraum, der dureh starre t~otation des Dreieekes D E F mn DE als Aehse nm den Winkel da erzeagt wird; letzterer KS1]?erraum aber kann aus den za dto gehSrigen Elementen "zweier gerader Rotationskegel (mit den HShen h- -x und x auf DE) zasammengesetzt werden, derenBereeh- nung naeh Formel (58) vorzunehmen ist, und man finder so wieder Formel (62).

Josef Griinwald.

V o r l e s u n g e n f iber m a t h e m a t i s c h e S t a t i s t i k . (D ie L e h r e yon den stat is t ischen Mal~zahlen.) V o n B l a s e h k e . L e i p z i g 1906.

z a dem vor vier Jahren in der Teubner'sehen Sammlang mathematiseher Lehrbficher ersehienenen Buehe yon C z a b e r 5ber Wahrscheinliehkeitsrechnang

6 Literaturberichte.

gesellt sigh nun das zweite Lehrbuch, welches seiner Anlage naeh fiir die Bediirfnisse der Studierenden des Versicherungswesens bestimmt ist und die inathematische Theorie der mensehlichen Massenerscheinungen behandelf.

B l a s c h k e beriihrt in seinem Lehrbuehe wohl alle in das Gebiet der mathematischen Statistik gehSrenden Probleme. Beginnend mit einer Dar- legung der Begriffe der Sterblichkeitsziffer und der Sterbenswahrscheinlichkeit gelangt er zu einer eingehenden ErSrterung der Gesamtheiten, insbesondere den zweim~tehtigen Gesamtheiten, fiir deren Diskussion die geometrischen Dar- stellungen yon B e c k e r und Z e u n e r herangezogen werden und der (Drei- mi~chtigen) Gesamtheiten von Versichertem Dieser Darste]lung der Z~hlung der den wirkenden Ursaehen unterworfenen Individuen folgt die AufzShlung der Artender statistischen Mal3zahlen, welche aus den Gesamtheiten abgeleitet werden k5nnen und sei es die Anderungen (intensive Mal?zahlen), sei es die Eigenschaften (extensive MalJzahlen) der gezhhlten ]ndividuen wiederspiegeln und die Anftihrung der Methoden der tabellenmhl3igen ])arstellung derselben in den bisher konstruierten Absterbeordnungen. Es folgt die Beleuchtung der statistischen Magzahlen aus dem Gesichtspunkte ihrer wahrseheinliehkeits- theoretischen Bereehtigung, welehe zu einer eingehenden Darstellung der Dispersionstheorie AnlaLi gibt. Insbesondere zeigt die Diskussion dGr exten- siren statistischen Mal~zahlen, dal~ die Absterbeordnung als Fehlerverteilungs- geseiz gedeutet werden kann und legt die Aufstellung statistiseher Gesetze nahe. Diese werden denn aueh zum Gegenstand der Untersuehung eines eigenen Abschnittes gemaeht. Es folgt die ]3esprechung der Anwendungen der statistisehen Ergebnisse auf die Praxis der Versieherungsrechnung. l)en Abschlug des Buehes bildet eine systematische Darstellung der Ausgleiehs- methoden, welche darauf beruht, dag die Ausgleiehung selbst als Gin Urteil tiber die wahrscheinliehsten Werte der Wahrscheinlichkeiten aufgefailt wird.

Der ant verhMtnismliNg engem Raume zusammengedl:i~ngte reiche lnhalt des Buehes ist in iiberaus zweckmi~giger Weise angeordnet. Allerdings diirfte sieh dieses Buch gerade als Lehrbuch mit Rficksicht auf dig knappe mathe- matische Darstellang nicht sehr eignen und ware das Studium einer exten- siveren, wenngleich weniger umfassenden Darstellung als Vorbereitung zur Lektiire des Buehes yon B l as c hke unbedingt zu empfehlen, zumal such die Ausdrucksweise eine nicht immer einfaehe genannt werden kann. E. ]/:

Lehrbuch der da r s t e l l enden Geometr ic far dan Gebrauah an technischan Hochschulen~ mit t laran gewarblichan und tee]mischan Lahranstalten, Kunstgewerbeschulam For tbi ldungssclmlen u. s. w. und ftir das Selbststudium. Von Er ich G e y g e r , Obar]ehrer a. d. k. Baugewerkssehula in Kassel. I. Tail. [ X V I I I und 321 S. mit 290 Fig.] GSsehan~ Leipzig 1906. Preis 8 3I.

Inhalt: [. Die kollineare Beziehung ebener Figuren in l?erspektiver Lage (Affiniffi~ auch bei allgemeiner Lage). II. Perspektive, involutorisehc und harmonische Grundgebilde 1. StufG. [In Nr. 13 wird die Anderung des Wertes eines DoppelverhMtnisses bei Ver~nderung eines Punktes sehr mn- stiindlieh und durehaus night Mar gegeben. 0ber den Fundamentalsatz wird natiirlieh sehr raseh hinweggegangen.] III. Kegelsehnitte als KreisprejektionGn.