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Vorlesungszyklus - Maus
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Funktionale Zusammenhänge
Funktionale
Zusammenhänge
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Funktionale Zusammenhänge
Die uns umgebende Welt steckt voller funktionaler Zusammenhänge:
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Funktionale Zusammenhänge – Beispiele
Die uns umgebende Welt steckt voller funktionaler Zusammenhänge:
Bremsweg
Bremsweg → Geschwindigkeit?
ODER
Geschwindigkeit → Bremsweg?
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Funktionale Zusammenhänge – Beispiele
Füllhöhe
Würde grundsätzlich auch die Zuordnung
Füllhöhe → verstrichene Zeit
einen Sinn ergeben?
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Funktionale Zusammenhänge – Beispiele
Füllhöhe
Würde grundsätzlich auch die Zuordnung
Füllhöhe → verstrichene Zeit
einen Sinn ergeben?
Es muss nicht immer sein:
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Funktionale Zusammenhänge – Beispiele
Füllhöhe
Würde grundsätzlich auch die Zuordnung
Füllhöhe → verstrichene Zeit
einen Sinn ergeben?
Es muss nicht immer sein:
ISBN-Nummer
Buchtitel → Preis
ODER
Buchtitel → ISBN-Nummer → Preis
nach: Büchter & Henn
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Unterschiedliche
Betrachtungsebenen
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
2 Betrachtungsebenen
quantitativ qualitativ
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
2 Betrachtungsebenen
Unterschiedliche Tiefen der Betrachtung:
Je mehr mathematische Werkzeuge zur Verfügung stehen,
desto tiefer können Betrachtungen und Einsichten sein
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar
als Formeldarstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Es können nur grundsätzlicheAussagen getroffen werden, z.B.:
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar
als Formel darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Es können nur grundsätzlicheAussagen getroffen werden, z.B.:
Die Füllhöhe nimmt zu.
Da der Graph nicht gleichmäßig verläuft, wird es „Störungen“ geben.
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar
als Formel darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Möchte man tiefere Einsicht in den Vorgang gewinnen,benötigt man quantitative Informationen:
ZAHLEN
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar
als Formel darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Nun können etwa folgende Fragen beantwortet werden:
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar
als Formel darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Nun können etwa folgende Fragen beantwortet werden:
Wann wurde welche Füllhöhe erreicht?
Wie schnell steigt der Füllpegel ? (absolut bzw. durchschnittlich)
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar
als Formel darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Für einen solchen unregelmäßigen Verlauf wird es in der Regel keine „Formel“ geben, die diesen Verlauf beschreibt.
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar
als Formel darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Das Schnurproblem
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Auf dem Boden wird an zwei vorgegebenen Punkten eine Schnur befestigt, die ein Meter länger ist als der Abstand zwischen den beiden Punkten. Anschließend wird die Schnur in der Mitte in die Höhe gezogen.
Frage: Was geschieht mit der „Schnurhöhe“, wenn die Länge der Schnur zunimmt?
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
begründeteVermutungen
aufstellen
nimmt ab
bleibt gleich
wird größer
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar
als Formel darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Sammeln von konkretenMessdaten
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar
als Formel darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Aufstelleneiner Formel
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar
als Formel darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
Erklärung finden
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar
als Formel darstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
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Funktionale Zusammenhänge – Betrachtungsebenen
qualitativ
quantitativ
nicht als Formel darstellbar
als Formeldarstellbar
Formel liefert eine Erklärung
für …
Formel liefert keine Erklärung
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Schicke Überleitung
Um diese Schlussfolgerung ziehen zu können, müssen Schüler folgendes wissen bzw. erkennen können:
1. Mit zunehmender Schnurlänge a wächst der Radikand streng monoton.2. Die Wurzelfunktion ist streng monoton steigend.
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Schicke Überleitung
Und weiter gedacht:
Im Unterricht wird man schnell und oft auf Fragen stoßen, deren Antwort nicht ganz so leicht aus dem Funktionsterm „abgelesen“ werden kann, z.B. Fragen nach optimalen Verpackungsgrößen.
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Schicke Überleitung
Fazit:
Der Schulunterricht in der Sekundarstufe wird schnell die Kenntnis des Funktionsbegriffs erforderlich machen.
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Funktionsbegriff(e)
Funktionsbegriff(e)
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Funktionsbegriff(e)
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Funktionsbegriff(e)
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Funktionsbegriff(e)
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Funktionsbegriff(e)
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Funktionsbegriff(e)
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Funktionsbegriff(e)
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Funktionsbegriff(e)
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Funktionsbegriff(e)
Gibt es eigentlich einen Unterschied zwischen den Begriffen „Funktion“ und
„Abbildung“?
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Funktionsbegriff(e)
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Zwischenbilanz
Zwischenbilanz
39
Zwischenbilanz
Wie könnte nun ein guter Mathematikunterricht aussehen?
konkreter Kontext
(innermathematisch)
(außermathematisch)
konkrete Fragestellung
(erarbeiten lassen)
Funktionsterm(aufstellen lassen)
mathematischer Werkzeugkasten
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Zwischenbilanz
Werkzeug
KV Extremwert-untersuchungen
Flächenberechnungen
Schnittwinkel-berechnungen
Tangenten bestimmen
Parameterunter-suchungen
…
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Zwischenbilanz
Werkzeug
KV Extremwert-untersuchungen
Flächenberechnungen
Schnittwinkel-berechnungen
Tangenten bestimmen
Parameterunter-suchungen
…
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Kurvendiskussion
Kurvendiskussion
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Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Kurvendiskussion?
JA!
Aber:
WIE?
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Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Kurvendiskussion?
JA!
Aber:
WIE?Dazu zunächst ein Paar Expertenmeinungen aus
der Praxis zum Status Quo:
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Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Mathematiker Pro Kommentar
Es werden zumindest technische Fertigkeiten vermittelt.
Dieser Aspekt gehört nicht zu den primären Zielen, die der Mathematikunterricht vermitteln sollte.
In vielen Fällen könnte dies auch von einem CAS übernommen werden.
In vielen Bundesländern ist dies auch schon gängige Praxis (z.B. Niedersachsen).
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Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Mathematiker Contra Kommentar
Es werden keine Kurven diskutiert. Der Untersuchungsgegenstand ist in der Tat nicht immer eine Kurve im eigentlichen mathematischen Sinne. Stört in der Praxis aber nicht wirklich.
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Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Mathematiker Contra Kommentar
Es werden keine Kurven diskutiert. Der Untersuchungsgegenstand ist in der Tat nicht immer eine Kurve im eigentlichen mathematischen Sinne. Stört in der Praxis aber nicht wirklich.
Es werden keine Kurven diskutiert. Stimmt. Es findet keine Diskussion statt. Es wird lediglich ein Algorithmus abgearbeitet. Dies gilt es zu ändern.
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Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Mathematiker Contra Kommentar
Es werden keine Kurven diskutiert. Der Untersuchungsgegenstand ist in der Tat nicht immer eine Kurve im eigentlichen mathematischen Sinne. Stört in der Praxis aber nicht wirklich.
Es werden keine Kurven diskutiert. Stimmt. Es findet keine Diskussion statt. Es wird lediglich ein Algorithmus abgearbeitet. Dies gilt es zu ändern.
Selten anwendungsrelevanteKontexte. Und wenn, dann sind das künstliche Scheinprobleme.
Stimmt. Dies gilt es zu ändern.
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Der Mathematik-Didaktiker Pro Kommentar
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Kleiner Einschub:
Heuristik: ???
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Kleiner Einschub:
Heuristik: Die Kunst
mit begrenztem Wissen
und wenig Zeit
zu guten Lösungen zu kommen.
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Der Mathematik-Didaktiker Contra Kommentar
Kein Erlernen und Erleben heuristischer Denk- und Arbeitsweisen.
Stimmt. Die Schüler werden nicht aufgeforderteigene, andere , elegante, … Lösungsansätze zu finden.Für die Schüler gibt es nicht wirklich etwas zu entdecken!Dies gilt es zu ändern.
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Der Mathematik-Didaktiker Contra Kommentar
Kein Erlernen und Erleben heuristischer Denk- und Arbeitsweisen.
Stimmt. Die Schüler werden nicht aufgeforderteigene, andere , elegante, … Lösungsansätze zu finden.Für die Schüler gibt es nicht wirklich etwas zu entdecken!Dies gilt es zu ändern.
Damit zusammenhängend: Dietypische Kurvendiskussion ist einseitig ergebnisorientiert angelegt.
Stimmt. Dies gilt es zu ändern.Auch in der Schule gilt: „Der Weg ist das Ziel.“
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Der Mathematik-Lehrer Pro Kommentar
Typ ASchüler sind beschäftigt und im Allgemeinen nicht überfordert.
1. Seien wir ehrlich: manchmal ist es notwendig, dass man die Schüler auf einfache Weise lange beschäftigen kann. Aber: dies kann natürlich nicht der grundsätzliche Anspruch an einen Aufgabentyp sein.
2. Lieber das Niveau senken als sich Gedanken zu machen, wie man den Stoff vernünftig aufbereiten kann?
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Der Mathematik-Lehrer Pro Kommentar
Typ AEs handelt sich um einen korrekturfreundlichenUnterrichtsgegenstand.
Das ist ein Aspekt der Arbeit eines Lehrers, der in der Praxis ein großes Gewicht besitzt.
Eine schriftlicheLeistungskontrolle sollte stets korrekturfreundlich konzipiert werden, ohne dabei anspruchslos zu sein.
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Der Mathematik-Lehrer Contra Kommentar
Typ BEintönig und erstarrt. Stimmt. Dies gilt es zu
ändern.
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Der Mathematik-Lehrer Contra Kommentar
Typ BEintönig und erstarrt. Stimmt. Dies gilt es zu
ändern.
Keine inhaltliche Tiefe. Stimmt. Dies gilt es zu ändern.
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Der Mathematik-Schüler Pro Kommentar
Typ AIm Gegensatz zu Beweisen und „Denksport-Aufgaben“ sind das „richtige“ Aufgaben:
„Und das ist auch gut so!“
„Brot für die Armen.“
Man weiß, was man machen soll und was für die Klausur zu lernen ist.
Solche Aufgaben(teile) muss es auch weiterhin geben!
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Der Mathematik-Schüler Contra Kommentar
Typ BKeine umfassendenDenkanstrengungen:
Da lächelt der Mathematik-Didaktiker ´:
„Eine Kurvendiskussion, bei der es nichts zu entdecken gibt, langweilt mich.“
Dies gilt es zu ändern.
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Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Zusammenfassung
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Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Änderungsprogramm für didaktisch erstrebenswerte Kurvendiskussionen
Bei der Untersuchung von Funktionen und deren Graphen sollte eine wirkliche Diskussion stattfinden.
Es sollte die Möglichkeit von „heuristischen Entdeckungsreisen“ gegeben sein.
Mehr (echte und sinnvolle) anwendungsbezogeneKontexte.
Aufgaben variieren und anhaltenden Eintönigkeit vermeiden.
Mehr Prozessorientierung bei der Aufgabenstellung.
Mehr inhaltliche Tiefe.
Und nicht vergessen: Nicht nur fordern, auch fördern !!!!62
Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Der Weg zum Ziel
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Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
Es ist möglich, durch leichte Akzentverschiebungen und Ergänzungen den „herkömmlichen“ Aufgaben eine neue Qualität zu verleihen:
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Kurvendiskussion: Ja! Aber: wie?
qualitative Analysis: Integration neuer Technologien: veränderte Aufgabenstellungen
stärkere Betonung nicht-algorithmischer
Elemente
GeogebraCAS…
aktive Mathematik:
Erkunden Vermuten Begründen Darstellen
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Kurvendiskussion: Beispiel
Ein konkretes Beispiel
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Kurvendiskussion: Beispiel
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Kurvendiskussion: Beispiel
Vorteile dieses Einstiegs und dieser Aufgabenstellung:
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Kurvendiskussion: Beispiel
Vorteile dieses Einstiegs und dieser Aufgabenstellung:
Durch den frühen Blick auf die Funktionsgraphen bekommt der Schüler sofort einen Eindruck von den wichtigsten Eigenschaften der Funktion. Der Graph ist hier nicht irgendein nebulöses Ziel, sondern Basis der Untersuchungen.
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Kurvendiskussion: Beispiel
Vorteile dieses Einstiegs und dieser Aufgabenstellung:
Durch den frühen Blick auf die Funktionsgraphen bekommt der Schüler sofort einen Eindruck von den wichtigsten Eigenschaften der Funktion. Der Graph ist hier nicht irgendein nebulöses Ziel, sondern Basis der Untersuchungen.
Dadurch wird eine heuristisch-aktive Bearbeitung möglich:
1.2.3.
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Kurvendiskussion: Beispiel
Vorteile dieses Einstiegs und dieser Aufgabenstellung:
Durch den frühen Blick auf die Funktionsgraphen bekommt der Schüler sofort einen Eindruck von den wichtigsten Eigenschaften der Funktion. Der Graph ist hier nicht irgendein nebulöses Ziel, sondern Basis der Untersuchungen.
Dadurch wird eine heuristisch-aktive Bearbeitung möglich:
1. Punkt (0/4) ablesen und Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen2. Schnittstelle 2 ablesen und in die entsprechende Gleichung einsetzen3. Per Geogebra / Funktionsplotter gezielt und (schriftlich) begründet ausprobieren
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Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile:
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Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Diese Frage ist sehr offen formuliert, so dass Schüler zum Erkunden, Vermuten und Begründen aufgefordert sind. Dies kann wird eine „richtige“ Diskussion zur Folge haben.
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Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Diese Frage ist sehr offen formuliert, so dass Schüler zum Erkunden, Vermuten und Begründen aufgefordert sind. Dies kann wird eine „richtige“ Diskussion zur Folge haben.
Auch hier gibt es zumindest zwei unterschiedliche Herangehensweisen:
1. Wer will, kann hier den „sicheren“ Weg einer „normalen“ Kurvendiskussion gehen. Vorteil: Man wird durch die Abbildung zu Beginn der Aufgabe geleitet.
2. Mit Hilfe eines Funktionsplotters kann der Parameter a schnell variiert werden. Die beobachteten Invarianten müssen dann z.B. mit Hilfe des Funktionsterms begründet werden.
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Kurvendiskussion: Beispiel
Die Aufgabe:
Die Vorteile: Der rechnerische Weg ist die sichere Variante, bei der auch eher leistungsschwache Schüler wissen, wie zumindest der Lösungsweg aussieht:
fa´(-x) = -fa´(x).
Bei der Variante ohne Rechnung muss der Schüler Überblick und Kombinationsgeschick beweisen, z.B.:
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1. Analysis verständlich unterrichten: Rainer Dankwarts & Dankwart Vogel, Spektrum Akademischer Verlag, München 2006, 1. Auflage
2. Elementare Analysis: Andreas Büchter & Hans-Wolfgang Henn, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2010
3. Zum vereinfachten Grenzwertbegriff in der Differentialrechnung: Werner Blum, MU: Mathematikunterricht, Jahrgang 25, Heft 1, 1979, KlettVerlag Stuttgart, S. 42-50
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Abschnitt Quelle
Funktionale Zusammenhänge Büchter & Henn
Kurvendiskussion Danckwerts & Vogel
Extremwertprobleme Danckwerts & Vogel
Kriterien Danckwerts & Vogel
Ableitung Danckwerts & VogelBlum
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