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Simulation der Ausbreitung radioaktiver Schadstoffe

Transportmodelle

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Inhalte der Vorlesung

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Ziele und Kontext von Ausbreitungsrechnungen

Ausbreitungsphänomene,Modellierung physikalischer Prozesse

Freisetzung, Zerfall

Topographie, Geländemodelle, Koordinatensysteme

Windfeldmodelle

Transportmodelle

Dosisberechnung, chemische Prozesse in der Atmosphäre

Simulationssysteme

Softwareparadigmen / Frameworks

Werkzeuge zur Modellierung (UML)

Architektur von ABR_V2.0

Modelle in der ABR_V2.0

Benchmarks / Validierung

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Partikeltransport

• Fragestellung:– wie hoch ist die Schadstoffbelastung an einem definierten Ort?

• Ausgangslage:– Emission von Stoffen

» Kraftwerken» Fabriken» Ställen» Ackerflächen

– Treibende Kraft:» Wind» Zustand der Atmosphäre

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Partikeltransport

• Zu betrachtende Prozesse:– Transport– Deposition– Chemische Umwandlung– Radioaktiver Zerfall– Interzeption

» Ablagerung in einen porösen durchströmten Medium

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Partikeltransport

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𝝏𝑪𝝏𝒕

= 𝝏𝝏𝒙 (𝑲 𝒙

𝝏𝑪𝝏 𝒙 )+ 𝝏

𝝏 𝒚 (𝑲 𝒚𝝏𝑪𝝏 𝒚 )+ 𝝏

𝝏 𝒛 (𝑲 𝒛𝝏𝑪𝝏 𝒛 )

Mit: Konzentration stationärer turbulenter Diffusionskoeffizient molekulare Diffusionskoeffizient (ortsunabhängig)

Stationäre Turbulenzgleichung (Ficksche Gleichung)

Advektion Diffusion

• Ausbreitungsprozesse:- Advektion- Diffusion- Turbulenz

𝝏𝑪𝝏𝒕

=− �⃗�(�⃗�∗𝑪)𝝏𝑪𝝏𝒕

=𝑫𝒎∗∆𝑪

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Partikeltransport

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Hierbei ist die Konzentration am Ort . ist ein zeitabhängiger Quell- und Senkterm, die Windgeschwindigkeitskomponenten und Diffusionskoeffizient in horizontaler und vertikaler Richtung

Dispersionsgleichung

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Partikeltransport

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• Diffusions-Advektionsgleichung

𝝏𝑪𝝏𝒕

=− �⃗�∗𝒈𝒓𝒂𝒅𝑪 −𝒅𝒊𝒗 ( �⃗� )+𝑸𝑺

Advektiver Transport

TurbulenterTransport

QuellenSenken

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Partikeltransport

• Unterschiedliche Lösungsansätze– Gauß-Fahnenmodell– Gauß-Puffmodell– Lagrange-Partikelmodell

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Gauß-Fahnenmodell

• Randbedingungen und vereinfachende Annahmen– Konstante Emissionsbedingungen– Konstante Ausbreitungsbedingungen– Ebenes Gelände– Turbulente Diffusion in Windrichtung gegenüber der

Advektion vernachlässigbar» Windgeschwindigkeit > 1 m/s

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Gauß-Fahnenmodell

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𝑪 (𝒙 , 𝒚 , 𝒛 )= 𝑸 ′

𝟐𝝅𝒖𝝈 𝒚 (𝒙)𝝈 𝒛(𝒙)∗𝒆𝒙𝒑 [− 𝒚 𝟐

𝟐𝝈 𝒚𝟐 (𝒙 ) ]∗𝒆𝒙𝒑 [ (𝒛−𝑯 )𝟐

𝟐𝝈𝒛𝟐(𝒙) ]

Analytische Lösung der Konzentration am Ort (x,y,z)

Dabei beschreibt einen Emissionsstrom, die effektive Emissionshöhe, Ausbreitungsparameter in horizontaler und vertikaler Richtung

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Gauß-Fahnenmodell

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Die Konzentrationsverteilung in horizontaler und vertikaler Richtung hat die Form der Gauß‘schen Normalverteilung

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Gauß-Fahnenmodell

• Geltungsbereich der Ausbreitungsparameter– Aus Experimenten und Messungen bestimmt– Entfernungsbereich: 100 m bis 10 km– Quellhöhe: > 50 m– Rauigkeitlänge: ~ 1 m

• Ausgedehnte Quellen (Linien-, Flächen- oder Volumenquellen) können durch eine Gruppe von Punktquellen realisiert werden

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Gauß-Fahnenmodell

• Anwendungsbereich– Bestimmung von Immissionsklimatologien

» Statistische Kenngrößen von Häufigkeitsverteilungen der Immissionskonzentration

– Erste Abschätzung der Unfallsituation» Radiologische Lage

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Puff-Modell

• Verfolgung der Ausbreitung einer zum Zeitpunkt t am Ort () freigesetzten Schadstoffmenge

• Dabei werden in zeitlichen Abständen immer wieder neue Schadstoffwolken emittiert und verfolgt– Quasi kontinuierliche Emission

• Der advektive Transport entspricht dabei der Schwerpunktsbewegung des Schadstoffpuffs

• Aufweitung der Wolke entspricht der Gauß‘schen Verteilung

• Puff- Modelle– Sehr weit verbreitet (immer noch)– Unterschiedlicher Ausprägung

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Puff-Modell

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• Schadstoffkonzentration zum Zeitpunkt einerSchadstoffmenge die zum Zeitpunkt am Ort (0,0,H) emittiert wurde.

𝒓 𝒊 (𝒙 , 𝒚 , 𝒛 ,𝒕 )=∫𝒕𝟎

𝒕

𝒅𝒕 ′∗�⃗�(𝒙 , 𝒚 ,𝒛 ,𝒕 ′ )

Bei einem inhomogenen Windfeld errechnet sich die Positiondes Schwerpunkts des i-ten Puff durch:

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Puff-Modell

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uT Advektionslänge Ausbreitungsfaktoren

Geometrie eines Puffs

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Puff-Modell

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• Zur Bestimmung• des Ortes,• der Orientierung und• der Ausdehnung des Puff

während des Transports in einem variablen Wind werden 2 Trajektorien für jeden Puff berechnet Nach jedem Zeitschritt werden die Änderungen der Orientierung und Länge des Puff entsprechend den Transportvektoren und

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Lagrange Partikelmodell

• Im Gegensatz zu den Gauß‘schen Verfahren werden nicht Schadstoffpuffs oder –fahnen und deren Ausbreitung verfolgt

• Es werden Trajektorien von Partikeln berechnet• Stochastische Beschreibung des turbulenten

Transports• Durch die Betrachtung einer Vielzahl von

Teilchentrajektorien und deren Überlagerung ergibt eine statistische Verteilung

• Damit kann zu jedem Zeitpunkt in jeder Gitterzelle die Schadstoffkonzentration ermittelt werden

• Räumliche und zeitliche Auflösung– 20 m bis mehrere 100 km– Von 10 min bis mehrere Tage

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Lagrange Partikelmodell

• Partikel des Modells sind Simulations- und keine realen Partikel

• Simulationspartikel steht stellvertretend für eine große Anzahl von realen Spurenstoffteilchen

• Partikel kann unterschiedliche Spurenstoffteilchen repräsentieren– Voraussetzung: gleiches oder sehr ähnliches

Ausbreitungsverhalten, wie z.B. gleiche Korngröße bei Stäuben

– Bei radioaktiven Stoffen:» Beschränkung auf die Nuklidgruppen

• Edelgase• Aerosole• Organisch gebundenes Iod• Elementares Iod

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Lagrange Partikelmodell

• Vorteil:– Einbeziehung der tatsächlichen Geländeform– Und dessen Auswirkung auf das Windfeld

• Weitere Bezeichnungen– Windfeld-Ausbreitungsmodell– Lagrange-Teilchensimulationsmodell– Monte-Carlo-Teilchensimulationsmodell

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Lagrange Partikelmodell

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[x(tn),y(tn),z(tn)]

X

Y

Z

Kamin

[x(t0),y(t0),z(t0)]

X

Y

Z

Kamin

mA(t0)mB(t0)mC(t0)mD(t0)

X

Y

Z

Kamin

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Lagrange Partikelmodell

• Einsatzbereich– Ausbreitungsrechnungen für genehmigungsbedürftige

Anlagen in strukturiertem Gelände– Berechnung der Gebiete mit Grenzwertüberschreitungen für

die Sicherheitsanalyse bei chemischen und kerntechnischen Anlagen

– Vorhersage von belasteten Gebieten bei Störfällen mit Freisetzung von schädlichen Gasen und Aerosolen für Feuerwehr und Katastrophenschutz

– Grundlage für die Berechnung von Geruchsbelästigungen– Bestimmung der Ausbreitung aus diffusen Quellen wie

Kläranlagen, Deponien, Kompostieranlagen, Massentierhaltungen und chemischen Anlagen

– Umweltverträglichkeitsprüfungen

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Lagrange Partikelmodell

• Ortsänderung eines Partikels

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𝒙𝒏𝒆𝒖=𝒙𝒂𝒍𝒕+∆ 𝒕∗ [𝑽 +𝒖+𝑼 ]Mit: neue Position vorherige Position Zeitschrittweite mittlere Windgeschwindigkeit Turbulenzgeschwindigkeit Zusatzgeschwindigkeit

• Mit der Zusatzgeschwindigkeit können äußere Prozesse, wie z.B. die thermische Überhöhung oder Sedimentation schwere Aerosole parametrisiert werden

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Lagrange Partikelmodell

• Außerdem wird für jedes Partikel der Vektor der Turbulenzgeschwindigkeit gemäß einem Markov-Prozess verändert

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𝒖𝒏𝒆𝒖=ψ∗𝒖𝒂𝒍𝒕+𝒘

• Bei einem Markov-Prozess wird mit einer Schrittweite für eine zeitabhängige Variable eine autokorrelierte Zeitreihe gebildet nach:

𝒖𝒏+𝟏=𝝆𝒖𝒏+𝜺𝒏+𝟏

Mit einer fest positiven Zahl kleiner 1 und der Zufallsvariablen

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Lagrange Partikelmodell

• Markov Zeitreihe– und normalverteilten Zufallszahlen

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Lagrange Partikelmodell

• Trajektoriengleichung

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Mit:

OrtsvektorGeschwindigkeitZeitpunktZeitschrittweiteTurbulente Verschiebung

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Lagrange Partikelmodell

– Einfache Berechnung des advektiven Transports– Turbulenter Transport

» die Bewegungen bei der turbulenten Diffusion sind innerhalb eines größeren Zeitraums miteinander korreliert

» Grund: Massenträgheit der Teilchen» Sachverhalt durch Lagrange Autokorrelationsfunktion

beschrieben» Die dafür maßgebliche Zeit : Lagrange Korrelationszeit

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Lagrange Partikelmodell

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𝑻 𝑳 ,𝒊=∫𝟎

𝑹𝑳 ,𝒊 (𝒕 )𝒅𝒕𝐦𝐢𝐭 𝒊=𝒖𝒇 ,𝒗 𝒇 ,𝒘 𝒇

fluktuierende oder turbulente Windgeschwindigkeit

- Für Zeiten größer als die Lagrange-Korrelationszeit kann die Modellierung analog der molekularen Diffusion erfolgen

- Für Zeiten kleiner als die Lagrange-Korrelationszeit muss das „Gedächtnis“ über einen Markov-Prozess berücksichtigt werden

• Lagrange-Korrelationszeit

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Lagrange Partikelmodell

• Ausbreitungsmodell PAS– Ortsbestimmung

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𝒙 𝒋+𝟏=𝒙 𝒋+𝒖 𝒋∆ 𝒕+ [𝑹𝒓𝒏𝒅∗𝝐 ]

𝒚 𝒋+𝟏=𝒚 𝒋+𝒗 𝒋∆ 𝒕+ [𝑹𝒓𝒏𝒅∗𝝐 ]

𝒛 𝒋+𝟏=𝒛 𝒋+𝒘 𝒋∆ 𝒕+[𝑹𝒓𝒏𝒅∗𝝐 ]

Windgeschwindigkeitskomponente Zeitschrittweite Zufallszahl Einheitslänge (1 m)

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Lagrange Partikelmodell

• Ausbreitungsmodell PAS– Da der Markov-Prozess vernachlässigt wird muss gelten

» Zeitschrittweite > Lagrange-Korrelationszeit» Zeitschrittweite so klein, dass keine Masche

übersprungen wird– Fluktuationsberechnung

» Addition der Zufallswerte innerhalb eines definierten durch die Ausbreitungsparameter definierten Intervalls gleichmäßig verteilt sind

» Die Standardabweichung der Verteilung der Zufallswerte entspricht der durch die Ausbreitungsparameter charakterisierten Normalverteilung

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Lagrange Partikelmodell

• Ausbreitungsmodell PAS– Fluktuationsberechnung

» Für die Intervallbreiten gilt dann:

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𝒍𝒊=√𝟑∗𝝈 𝒊(𝒙 ,∆𝒕)

» Für den turbulenten Diffusionskoeffizienten gilt:

𝝈𝒊 ( �⃗� , ∆ 𝒕 )=√𝟐𝑲 𝒊∆ 𝒕Mit dem turbulenten Diffusionskoeffizienten

» Für die Ausbreitungsparameter gilt:

𝑲 𝒊=|�⃗�|∗𝒑𝒊𝟐∗𝒒𝒊∗( χ 𝑬𝝐 )

𝟐𝒒𝒊−𝟏

Mit der Entfernung vom Emissionsort den Ausbreitungskoeffizienten nach Pasquill-Gifford oder Karlsruhe-Jülich

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Lagrange Partikelmodell

• Ausbreitungsmodell PAS– Relativer Fehler der Konzentration in einer Gitterzelle

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𝑭 𝒓𝒆𝒍≈𝟏

√𝑵 𝒊

Mit der Anzahl der Teilchen in der Gitterzelle

– Daraus folgt für das Monte-Carlo-Verfahren» In jeder betroffenen Gitterzelle müssen genügend Partikel

enthalten sein» Test haben gezeigt, dass es ausreichend ist, wenn bei

jedem Zeitschritt 50.000 Partikel freigesetzt werden

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Vergleich

• Gauß-Verfahren• Numerische Lösung der

stark vereinfachten Dispersionsgleichung

Einfache HandhabungKurze RechenzeitenGute Übereinstimmung mit

Messungen- Nur für

Standardbedingungen geeignet

- In gegliedertem Gelände nur z.T. einsetzbar

• Lagrange-Verfahren• Berechnung von

Partikeltrajektorien im 3dim. Windfeld

Realistische ModellannhmenÖkonomische RechenzeitenBerechnungen von

verschiedenen Mittelwerten und Zeitreihen

Für fast alle Bedingungen einseztbar

- Z.T. lange Rechenzeiten und große Rechenkapazität enerforderlich

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Euler-Verfahren

• Gehört zur Gruppe der Windfeld-Ausbreitungsmodelle• Im Euler (K)-Modell wird die Dispersionsgleichung

unter Zuhilfenahme eines Windfeldmodells numerisch gelöst

• Allerdings: K-Modelle sind sehr selten

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Ausbreitungsparameter

• Beschreiben die Aufweitung der Wolke• Gauß-Modell

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• Lagrange-Modell (PAS)

𝝈𝒚=𝒑𝒚 ∗𝒙𝒒 𝒚𝐮𝐧𝐝𝝈𝒛=𝒑 𝒛∗𝒙

𝒒𝒛

𝑲 𝒊=|�⃗�|∗𝒑𝒊𝟐∗𝒒𝒊∗( χ 𝑬𝝐 )

𝟐𝒒𝒊−𝟏

Ausbreitungskoeffizienten nach Pasquill-Gifford oder Karlsruhe-Jülich

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Ausbreitungsparameter

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Ausbreitungsparameter

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Karlsruhe-Jülich

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Deposition

• Trockene Deposition• Nasse Deposition

• Führt zur Verringerung der Schadstoffkonzentration in der Wolke– Abreicherung– Depletion

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Deposition

• Trockene Deposition– Ablagerung von Aerosolen im Kontakt mit dem Boden– Massenstromdichte ist proportional der Konzentration in

Bodennähe– wird als Depositionsgeschwindigkeit bezeichnet

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𝑭 𝒅 (𝒙 , 𝒚 )=𝒗𝒅∗𝒄 (𝒙 , 𝒚 ,𝟎)

– Bestimmung der Depositionsgeschwindigkeit» Experimentell» Abhängig vom

• Betrachteten Spurenstoff• Boden- Pflanzen- und Grenzflächenbeschaffenheit

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Deposition

• Sedimentation– Gravitatives Absinken von schweren Aerosolteilchen– Sinkgeschwindigkeit

» In der Depositionsgeschwindigkeit enthalten» Für Werte < 0,1 cm/s kann die Sedimentation im

allgemeinen vernachlässigt werden» Ansonsten gilt:

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𝒗 𝒔𝒗𝒓

=𝟏𝟒𝟔𝟐∗𝑵 𝑹𝒆(𝒅)𝒅𝒓

𝒅

ReferenzgeschwindigkeitReferenzdurchmesserReynoldszahlAerosoldurchmesser

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Deposition

• Nasse Deposition– Auf der Erdoberfläche im Niederschlagsgebiet (Regen,

Schnee) abgeschiedene Masse– Umfasst die Vorgänge

» Auswaschen => washout» Ausregnen => rainout

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washout rainout

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Deposition

• Nasse Deposition– Washout

» Alle in der Wolke ablaufenden Prozesse» Bis zum Ausfallen aus der Wolke

– Rainout» Aufnahme von Spurenstoffen in fallendem Niederschlag

– Quantitative Beschreibung ist noch Gegenstand der Forschung

» Daher sollte laut VDI hier der Auswaschkoeffizient verwendet werden

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Deposition

• Der Auswaschkoeffizient ist abhängig von– Tropfengröße– Tropfenfallgeschwindigkeit– Einfangquerschnitten– Größenverteilung der Aerosole

• Bei bekanntem folgt für die Massenstromdichte

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𝑭 𝒅 (𝒙 , 𝒚 )=𝝑∗∫𝟎

𝒉𝑴

𝒄𝒘 (𝒙 ,𝒚 , 𝒛 )𝒅𝒛

Mit der durch nasse Deposition verringerten Immissionskonzentration

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Deposition

• Depositionsgeschwindigkeiten– radioaktiven Wolke

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Gruppe Trockene Deposition Nasse Deposition

Edelgas - -

Iod (elementar) 0,01 8,0E-5*

Iod (organisch) 0.0005 8,0E-7*

Aerosole 0,001 8,0E-5*

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Deposition

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Depositionsgeschwindigkeit von Aerosolen

Abhängig vomaerodynamischenDurchmesser beimittlerer Rauigkeit

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Deposition

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• Washout-Koeffizienten von Gasen

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Chemische Umwandlung

• Exotherm– Reaktion bei der Wärme frei wird

• Endotherm– Reaktion bei der Energie aufgewendet werden muss

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𝑸=∆𝑯𝑹=∆𝑯 𝒇𝟎(𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒌𝒕𝒆)−∆𝑯 𝒇

𝟎(𝑹𝒆𝒂𝒌𝒕𝒂𝒏𝒅𝒆𝒏)

- Dabei bezeichnet die Bindungsenthalpie, als die Energie die für die Entstehung des Produkts bei gegebenem Druck und Temperatur aufgewendet werden musste

- Die Werte sind tabellarisch verfügbar für eine Temperatur von 298,15 K und für einen Druck von 1013 hPa

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Chemische Umwandlung

• Die Spontanität einer exotermen Reaktion wird durch die Entropieänderung beschrieben

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∆𝑺≥𝒅𝑸𝑻

𝑻∗𝒅𝒔 ≥𝒅𝑸=𝒅𝑯

• Entsprechend gilt für die Gibbs-Energie

∆𝑮=∆𝑯−𝑻∗∆𝑺

∆𝑮𝑹=∆𝑮 𝒇𝟎(𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒌𝒕𝒆)−∆𝑮 𝒇

𝟎(𝑹𝒆𝒂𝒌𝒕𝒂𝒏𝒅𝒆𝒏)

spontan ablaufende Reaktions

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Chemische Umwandlung

• Beispiel

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𝑵𝑶𝟑+𝑯𝟐𝑶❑→𝑯𝑵𝑶𝟑+𝑶𝑯

Zugehörige Gleichung für die Gibbs Energie

Entsprechend den tabellierten Werten ergibt sich

d.h. endotherme Reaktion

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Chemische Umwandlung

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Chemische Umwandlung

• Ablauf einer endothermen Reaktion nur bei Zuführung einer Energie von außen– Photoneneinfang– Absorption solarer Strahlung

• Reaktionsgeschwindigkeit oder Reaktionsrate– Konzentrationsänderung– Positiv bei Erzeugung – Negativ bei Vernichtung– Anhängig

» Druck» Temperatur» Konzentration der an der Reaktion beteiligten Stoffe

Name Universität Stuttgart - 1XX-123 – Modulthema - 11. Apr 2023

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Chemische Umwandlung

• Reaktionen die die Dekomposition eines einzelnen Moleküls beschreiben heissen unimolekular

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k ReaktionskonstanteR Reaktionsrate

• Reaktionen bei der zwei Moleküle beteiligt sind heissen bimolekular

• Reaktionen bei der drei Moleküle beteiligt sind heissen termolekular

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Chemische Umwandlung

• Konzentration– Unimolekulare Reaktion

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Chemische Lebensdauer

• Aktivierungsenergie – Notwendige Energie für eine Reaktion

» Überwindung der Aktivierungsschwelle

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Chemische Umwandlung

• Temperaturabhängigkeit der Reaktionskonstante

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Aktivierungsenergie GaskonstanteA präexponentieller Faktor

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Radioaktiver Zerfall

• Zerfallsgleichung

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Radioaktiver Zerfall

• Problemstellung– Partikeltransport

» Nuklidgruppe– Dosisberechnung

» Nuklid– Zusammenhang

» Aktivität einer Nuklidgruppe ist die Summe der Aktivitäten der Nuklide

– Durch den radioaktiven Zerfall ändert sich sowohl die Aktivität des einzelnen Nuklids, als auch die Aktivitätskonzentration der Nuklidgruppe

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Radioaktiver Zerfall

• Lösungsansätze– Umstellung des Transportmodells

» Verfolgung der einzelnen Nuklide– Berechnung des Zerfalls und Neuberechnung der

Gruppenaktivität» Einfach bei nur einer Freisetzungsphase» Bei mehreren Freisetzungsphasen

• Kombination unterschiedlicher Nuklidvektoren– Berechnung des Transports der schon vorhandenen

Wolke– Berechnung des Transports der neuen Wolke– Summation der Nuklidaktivitäten– Berechnung der Gruppenaktivität

» Analoges Vorgehen bei der Berücksichtigung des Zerfalls der am Boden abgelagerten Nuklide

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