Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Phänomen Zufall 1.Pseudozufallszahlen 2.Würfeln 3.Münzwurf 4.Ziehen von Kugeln aus einer sog. Urne

WahrscheinlichkeitsrechnungDas Phänomen Zufall

1.Pseudozufallszahlen2.Würfeln3.Münzwurf4.Ziehen von Kugeln aus einer sog. Urne

WahrscheinlichkeitsrechnungZufallsexperimente

ZufallsexperimentDefinition: Unter einem Zufalls-experiment versteht man einen in der realen Welt ablaufenden Vorgang, bei dem ein nicht vollständig vorhersehbarer Ausgang (Realisierung) aus einer Menge von möglichen Ausgängen realisiert wird.

WahrscheinlichkeitsrechnungZufallsexperimente

Der Ereignisraum.Beispiel: Das Zufallsexperiment besteht im 3-maligen Würfeln mit einem WürfelEreignisraum ist:={ {x1,x2,x3} | x1,x2,x3 {1,2,3,4,5,6}}. Die Liste {x1,x2,x3} entspricht dabei dem Ausgang beim ersten Wurf wird die Augenzahl x1 gewürfelt, beim zweiten Wurf wird die Augenzahl x2 gewürfelt, beim dritten Wurf wird die Augenzahl x3 gewürfelt.Die TeilmengeS = {{x1,x2,x3} | mit x1+x2+x3 = 5} von entspricht dann dem Ereignis es wird die Augensumme 5 gewürfelt.

WahrscheinlichkeitsrechnungDer Begriff der Wahrscheinlichkeit

Definition:Jedem Ereignis A wird eine Zahl P[A]

zugeordnet mit den folgenden Eigenschaften:1.P[] = 12.Für alle Ereignisse A gilt P[A] 03. Für endlich viele disjunkte Ereignisse A1, A2, …

gilt: P[A1 A2 … ] = P[A1] + P[A2] + …

P heißt Wahrscheinlichkeit bzw. Wahrscheinlichkeitsmaß

WahrscheinlichkeitsrechnungLaplace Experimente

Definition:Unter einem Laplace-Experiment versteht man ein Zufallsexperiment mit endlich vielen möglichen Ausgängen 1, , .. n, bei dem auf Grund von geometrischen oder physikalischen Symmetrieüberlegungen alle Elementarereignisse {1} gleich wahrscheinlich sind.

Laplace1749 - 1827

WahrscheinlichkeitsrechnungLaplace Experimente

Beispiele für Laplace-Experimente:1. das mehrfache Werfen einer (homogenen) Münze

bzw. eines (homogenen) Würfels.2. das Ziehen von (bis auf ihre Farbe gleichartigen)

Kugeln aus einer Urne3. das Ziehen von (gleichartigen) Losen aus einer

Urne4. das zufällige Verteilen von Spielkarten auf

mehrere Spieler

WahrscheinlichkeitsrechnungZufallsexperimente mit Mathematica

Random[ ] liefert eine auf dem Intervall [0,1] gleichmäßig verteilte Pseudozufallszahl

Random[Integer,{1,6} ] liefert eine Integer-Zufallszahl im Intervall von [1,6]

Random[Real,{1,6} ] liefert eine Real-Zufallszahl im Intervall von [1,6]


Beispiele

1. Das Zufallsexperiment besteht im Würfeln mit einem Würfel.

Random[Integer,{1,6}]

2. Das Zufallsexperiment besteht im einmaligen Würfeln mit k Würfeln.

k=5;Table[Random[Integer,{1,6}],{k}]

2a. Das Zufallsexperiment besteht im k-maligen Würfeln mit einem Würfel.


Beispiele

3. Das Zufallsexperiment besteht im n-maligen Würfeln mit k Würfeln.

4. Das Zufallsexperiment besteht im n-maligen Würfeln mit k Würfeln und der anschließenden Beobachtung der dabei jeweils gewürfelten Augensumme.

k=5; n=10;Table[Table[Random[Integer,{1,6}],{k}],{n}]

k=3; n=20;Table[Apply[Plus,Table[Random[Integer,{1,6}],{k}]],{n}]

WahrscheinlichkeitsrechnungZufallsexperimente mit MathematicaGrafische Darstellung

der Ergebnisse

Das Zufallsexperiment besteht im n-maligen Würfeln mit einem Würfel

k = 1000;Wuerfel = Table[Random[Integer, {1, 6}], {k}]

Eins = Count[Wuerfel, 1]Zwei = Count[Wuerfel, 2]Drei = Count[Wuerfel, 3]Vier = Count[Wuerfel, 4]Fuenf = Count[Wuerfel, 5]Sechs = Count[Wuerfel, 6]


der Ergebnisse


<< Graphics`Graphics`

BarChart[{Eins, Zwei, Drei, Vier, Fuenf, Sechs}/k, BarSpacing -> 1.2, BarStyle -> {GrayLevel[0.3], GrayLevel[0.4], GrayLevel[0.5], GrayLevel[0.6], GrayLevel[0.7], GrayLevel[0.8]}]


der Ergebnisse


1 2 3 4 5 6

0.05

0.1

0.15

WahrscheinlichkeitsrechnungKombinatorik

Das UrnenmodellDie Kombinatorik liefert wichtige Modelle zum Berechnen von Laplace-Elementen

Aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln werden k Kugeln gezogen. Dabei kann das Ziehen mit oder ohne Zurück-legen erfolgen, und die Reihenfolge eine oder keine Rolle spielen.


Das UrnenmodellEiner Urne mit n verschiedenen Kugeln werden nacheinander k Kugeln entnommen. Dabei ist prinzipiell zwischen zwei Arten der Ziehung zu unterscheiden:

Ziehung ohne Zurücklegen, d.h. jede Kugel kann höchstens einmal gezogen werden, da sie nach der Ziehung ausscheidet

Ziehung mit Zurücklegen, d.h. jede Kugel ist bei der nächsten Ziehung wieder dabei.


Das UrnenmodellZusätzliche Unterscheidung:Soll die Reihenfolge der gezogenen Kugeln berücksichtigt werden oder nicht?

Geordnete Stichprobe, die Reihenfolge der gezogenen Elemente wird berücksichtigt

Ungeordnete Stichprobe, die Reihenfolge der gezogenen Elemente spielt keine Rolle


Das UrnenmodellBeispiele

Wie viele 4-stellige Zahlen lassen sich mit den Ziffern 1, 3, 5, 7 darstellen, wenn jede Ziffer genau einmal auftreten muss?

Fünf Personen möchten sich im Kino auf fünf (nebeneinander liegende) Plätze setzen. Auf wie viele Arten geht das?


Das UrnenmodellEine Anordnung von n verschiedenen Elementen in einer bestimmten Reihenfolge heißt Permutation der n Elemente

Satz: Die Anzahl P der Permutationen von n Elementen ist:P(n) = n (n-1) (n-2) …. 1 = n!


Das UrnenmodellProblem: Was passiert, wenn sich unter den Kugeln n1 gleiche befinden?

Beispiel: Wie viele 5-stellige Zahlen kann man aus den Ziffern 2, 2, 2, 3, 5?Alle Anordnungen, die durch Vertauschen der gleichen Kugeln untereinander entstehen, fallen zusammen. Bei n1 gleichen Kugeln gibt es P(n1) = n1! Möglichkeiten, die gleichen Kugeln untereinander zu vertauschen.

P(n;n1) = !nn!

)P(nP(n)

11


Das Urnenmodell

Unter den n Kugeln befinden sich jeweils n1, n2,…nk gleiche Kugeln. Dann gibt es

P(n;n1;n2;…nk) =

verschiedene Anordnungsmöglichkeiten

!n...!n!nn!

k21


Das Urnenmodell

Beispiel 1: Wie viele Worte der Länge 2 lassen sich mit dem Alphabet {x,y,z} bilden, wenn 2 mal derselbe Buchstabe verboten ist?

Beispiel 2: Bei wie vielen Zahlen zwischen 0 und 9999 kommen in der Dezimalschreibweise mit lauter verschiedene Ziffern vor?


Das UrnenmodellAnzahl der Möglichkeiten beim Ziehen von k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln

Ziehen mit Zürücklegen

Ziehen ohne Zurücklegen

mit Beachtung der Reihenfolge nk

ohne Beachtung der Reihenfolge

k)!(nn!

k

1kn

kn


Die Binomoninalkoeffizienten

Das Pascalsche Dreieck0-te Zeile 1

1-te Zeile 1 12-te Zeile 1 2 13-te Zeile 1 3 3 14-te Zeile 1 4 6 4 15-te Zeile 1 5 10 10 5 1

Man denke sich hier die Zeilen von n = 0 bis 5 durchnummeriert und die Spalten ergeben den jeweiligen k-Wert, wobei die linke 1 jeder Zeile jeweils für k = 0 steht.


Die Binomoninalkoeffizienten

Für die Berechnung der einzelnen Koeffizienten führt man die abkürzende Schreibweise ein:

k)!(nk!n!

kn

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Definition: Zufallsvariable (Zufallsgröße)Definition: Es sei die (diskrete) Ergebnismenge eines Zufallsexperiments.Dann heißt jede Funktion (Abbildung) X : R

Eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße auf

Anmerkung:Die Begriffe Zufallsvariable oder Zufallsgröße sind irreführend, da es sich weder um eine Variable noch um eine Größe, sondern um eine Funktion handelt.Zufallsvariable werden mit großen Buchstaben, wie X, Y, Z bezeichnet.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Definition: WahrscheinlichkeitsverteilungDefinition: Es sei (,P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und X : R sei eine Zufallsvariable auf .

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X ordnet den möglichen Werten xi von X mit i = 0 1, 2,..,n die Wahrscheinlichkeiten P(X=xi) zu.

Ergebnisse eines Zufallsexperiments

Werte der Zufallsvariablen

Wahrscheinlich-keiten

1

(1,2)X1

3

P(X = x1)P(X=3)

WahrscheinlichkeitsrechnungDefinition: Der Erwartungswert einer Zufallsgröße

Definition: Eine Zufallsgröße X nehme die Werte a1, a2, .., am mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=a1), P(X=a2),…,P(X=am) an. Dann wird der zu erwartende Mittelwert E(X) der Verteilung als Erwartungswert der Zufallsgröße X bezeichnet. Es gilt:E(X) = a1P(X=a1) + a2P(X=a2)+.. +amP(X=am)=

ai P(X = ai)

Der Erwartungswert wird auch mit bezeichnet.

WahrscheinlichkeitsrechnungVorbetrachtungen zum Bernoulli-Experiment

In einer Urne befinden sich 10 Kugeln, davon 3 rote. Wie ziehen 5 mal mit Zurücklegen und notieren das Ergebnis mit Beachtung der Reihenfolge.

A. Genau die ersten beiden Kugeln sind rot. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit

B. Genau die 1.und die 4. gezogene Kugel sind rot. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit

C. Genau 2 der 5 gezogenen Kugeln sind rot. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit

WahrscheinlichkeitsrechnungDas Bernoulli-Experiment

Definition: Ein Zufallsexperiment mit nur 2 möglichen Ergebnissen (welche oftmals z.B. als Treffer und Niete bezeichnet werden) heißt Bernoulli-Experiment.Wenn das Ereignis A eintritt, spricht man von Erfolg mit der Erfolgswahrscheinlichkeit P(A) = pWenn das Ereignis A nicht eintritt, spricht man von Misserfolg mit der Erfolgswahrscheinlichkeit P( ) = 1-p.

AEinmaliges Ziehen aus der vorherigen Urne und überprüfen, ob man rot gezogen hat, ist ein Bernoulli-Experiment.Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg (rot) ist p = 0,3.Die Wahrscheinlichkeit für Misserfolg ist (nicht rot) ist q = 1 – p = 0,3.

WahrscheinlichkeitsrechnungDas Bernoulli-Experiment – weitere Beispiele

Einfache Beispiele sind:a)Das wiederholte Werfen einer Münze oder eines Würfels.b)Das wiederholte Ziehen mit Zurücklegen von Kugeln aus einer Urne.c) Das laufende Befragen von zufällig ausgewählten Personen (Meinungsumfrage).d)Das laufende Überprüfen der Qualität eines Produktionsprozesses (Qualitätskontrolle).

Kein Bernoulli-Experiment istMehrmaliges Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen

WahrscheinlichkeitsrechnungDas Bernoulli-Kette

Definition: Ein n-stufiges Bernoulli-Experiment heißt Bernoulli-Kette der Länge n

BeispielFünfmaliges Ziehen aus einer Urne mit 10 Kugeln, davon 3 rote, und überprüfen, ob man rot gezogen hat. Dies ist eine Bernoulli-Kette der Länge 5.

WahrscheinlichkeitsrechnungDas Bernoulli-Formel

Definition: Bei einer Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p kann man die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl k der Treffer nach der Bernoulli-Formel berechnen

BeispielFünfmaliges Ziehen aus einer Urne mit 10 Kugeln, davon 3 rote. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 der gezogenen Kugeln rot sind?

knkknk p)(1pqpk)(XPkn

kn

%30,90,70,32)(XP 3225

WahrscheinlichkeitsrechnungDie Binomialverteilung

Definition: Die nach der Bernoulli-Formel berechnete Wahrscheinlichkeitsverteilung P (X = k) heißt Binomialverteilung Bn;p (k).

BeispielFünfmaliges Ziehen aus einer Urne mit 10 Kugeln, davon 3 rote. Berechnet wird die Wahrscheinlichkeit, dass genau 0,1,2,3,4 oder 5 der gezogenen Kugeln rot sind. Man erhält folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung

k 0 1 2 3 4 5

P(X=k) 16,8% 36,0% 30,9% 13,2% 2,8% 0,2%

WahrscheinlichkeitsrechnungDie Binomialverteilungk 0 1 2 3 4 5P(X=k) 16,8% 36,0% 30,9% 13,2% 2,8% 0,2%

WahrscheinlichkeitsrechnungDer Erwartungswert einer Binomialverteilung


k P (X = k) k*P(X=k)

0 q 0

1 p p

E(X) = p


0 q2 0

1 2pq 2pq

2 p2 2p2

E(X) = 2pq +2p2

=2p (q+p) = 2p



0 q3 0

1 3pq2 3pq2

2 3p2 q 6p2 q

3 p3 3p3

E(X) = 3p(q2 + 2pq +p)

=3p (q+p)2 = 3p2

Gegeben Sei ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p. Für den Erwartungswert der Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge gilt:

= E(X) = n p

WahrscheinlichkeitsrechnungVarianz und Standardabweichung als Maße für die Streuung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Varianz und Standardabweichung einer ZufallsgrößeEine Zufallsgröße X mit dem Erwartungswert nehme die Werte a1, a2,.., am mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=a1), P(X=a2),…,P(X=am) an.Als Varianz V(X) der Zufallsgröße X bezeichnet man die zu erwartende mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße X, also:V(X) =(a1 - )2 P(X=a1) + (a- )2 P(X=a2) + …+(am - )2 P(X=am)

Die Quadratwurzel aus der Varianz einer Zufallsgröße heißt Standardabweichung :

= V(X)

WahrscheinlichkeitsrechnungVarianz und Standardabweichung als Maße für die Streuung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Varianz und Standardabweichung einer ZufallsgrößeMan kann die Formel V(X) =(a1 - )2 P(X=a1) + (a2- )2 P(X=a2) + …+(am - )2 P(X=am)für die Berechnung der Varianz vereinfachen

V(X) = [(a1)2 P(X=a1) + (a2)2 P(X=a2) + …+(am )2 P(X=am)] - 2

WahrscheinlichkeitsrechnungBei zunehmendem Stichprobenumfang werden die Histogramme von Binomialverteilungen immer breiter und flacher und sie nehmen immer stärker eine symmetrische Gestalt an.

WahrscheinlichkeitsrechnungVarianz und Standardabweidung bei Binomialverteilungen

Streuen die Ergebnisse der beiden Zufallsversuche im gleichen Maße um den Erwartungswert?


Wir betrachten das Ereignis X: Anzahl der Würfe mit der Augenzahl 6 beim 3fachen Würfeln

k P(X = k) k2 P(X=k)0 1 (1/6)0 (5/6)3 0 125/216 = 0

1 3 (1/6)1 (5/6)2 1 75/216 = 75/216

2 3 (1/6)2 (5/6)1 4 15/216 =60/216

3 1 (1/6)3 (5/6)0 9 1/216 = 9/126

Damit ergibt sich für

V(X) = 144/216 – (3 1/6)2 = 90/216 = 5/12


k P(X = k) k2 P(X=k)0 q3 0 q3

1 3pq2 1 3pq2

2 3p2q 4 3p2q

3 p3 9 p3

k P(X = k) k2 P(X=k)

0 q 0 q

1 p 1 p

k P(X = k) k2 P(X=k)0 q2 0 q2

1 2pq 1 2pq

2 p2 4 p2

1-stufiges Bernoulli-Versuch: = 1 p 2-stufiges Bernoulli-Versuch: = 2 p

3-stufiges Bernoulli-Versuch: = 3 p


Gegeben ist ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 – p.Die Zufallsgröße X : Anzahl der Erfolge hat die Varianz V(X) = n p q und die Standardabweichung = qpn

WahrscheinlichkeitsrechnungWahrscheinlichkeiten von -Umgebungen

Die Histogramme von Binomialverteilungen werden immer flacher und breiter, wenn der Stichprobenumfang n zunimmt. Dem Maximum einer solchen Verteilung kommt keine allzu große Wahrscheinlichkeit zu; vielmehr treten die Nachbarwerte des Maximums mit vergleichbaren Wahrscheinlichkeiten auf.


Unter einer Umgebung des Erwartungswertes versteht man die Intervalle, die in der Form - r X + r notiert werden können

Die halbe Breite dieser Treppenfiguren be-zeichnet man als Radius der Umgebung des Erwartungswertes bezeichnet.


Dieser Radius einer Umgebung wird mit der berechneten Standardabweichung ver-glichen. wird als Maßeinheit genommen. Es wird angege-ben, wie oft diese Maßeinheit in den Radius passt.

Beispiele:

(1) r = 0,5; also r/ = 0,5 / 4,58 0,11; d.h. r 0,11 (2) r = 1,5; also r/ = 1,5 / 4,58 0,33; d.h. r 0,33


Regeln über -Umgebungen von

Jedem Radius einer Umgebung des Erwartungswertes lässt sich eine bestimmte Wahrscheinlichkeit für diese Umgebung zuordnen. Umge-kehrt gehören zu bestimmten Wahr-scheinlichkeiten für Umgebungen um den Erwartungswert bestimmte Radien.

Dies gilt nahezu unabhängig von der Erfolgswahrscheinlichkeit p, die dem n-stufigen Bernoulli-Versuch zugrunde liegt, und dem Stichprobenumfang n.

Diese Regel gilt umso genauer, je größer n ist, insbesondere falls = > 3 (so genannte Laplace-Bedingung)qpn


Wahrscheinlichkeiten von Umgebungen um den Erwartungswert bei Binomialverteilungen (-Regeln)

Radius der Umgebung

Wahrscheinlichkeit der Umgebung

1 0,682 0,9553 0,997

Wahrscheinlichkeit der Umgebung

Radius der Umgebung

0,90 1,64 0,95 1,96 0,99 1,58

WahrscheinlichkeitsrechnungHypothesentest bei großem Stichprobenumfang

Testen einer zweiseitigen HypotheseMit einem medizinischen Test soll festgestellt werden, ob eine Person eine bestimmte Krankheit hat oder gesund ist. Im Falle eines statistischen Tests ist die Nullhypothese also "Die Person ist krank". Aus dem tatsächlichen Gesundheitszustand des Patienten (gesund/krank) und dem Testergebnis (positiv/negativ) sind folgende Kombinationen möglich (dargestellt als sogenannte Confusion Matrix):

Person ist krank(a+c) Person ist gesund(b+d)Test positiv (a+b) richtig positiv(a) falsch positiv(b)

Test negativ(c+d) falsch negativ(c) richtig negativ (d)


Die Nullhypothese

In der Statistik ist die Nullhypothese eine Annahme über die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen, die als wahr betrachtet wird, bis sie durch einen statistischen Test widerlegt werden kann. Die Alternativhypothese steht dabei für eine Menge von Ergebnissen, die der Nullhypothese nicht entsprechen. Die Aufgabe, zwischen Null- und Alternativhypothese zu entscheiden, wird als Testproblem bezeichnet. Spricht das Stichprobenergebnis gegen die Annahme, so wird die Hypothese abgelehnt; andernfalls wird sie beibehalten.


Testen einer zweiseitigen Hypothese

Person ist krank(a+c) Person ist gesund(b+d)Test positiv (a+b) richtig positiv(a) falsch positiv(b)

Test negativ(c+d) falsch negativ(c) richtig negativ (d)

In den Fällen a (Person ist krank und die Krankheit wird erkannt) und d (Person ist gesund und der Test meldet keine Krankheit) ist die Einteilung richtig. In den Fällen b (Falsche Diagnose auf Krankheit) und c (Krankheit wird nicht erkannt) liegt ein Fehler vor. Den Fehler durch das in Fall b erhaltene falsch positiv Ergebnis bezeichnet man auch als Fehler 2. Art und den Fehler durch das in Fall c erhaltene falsch negativ Ergebnis als Fehler 1. Art.

WahrscheinlichkeitsrechnungHypothesentest

Der Hypothesentest beinhaltet: 1.die Formulierung einer Hypothese aufgrund theoretischer Vermutungen oder anderem Wissen 2.die Umsetzung der Sachhypothesen in statistische Hypothesen3.Wahl einer Entscheidungsregel, ab wann eine Hypothese angenommen bzw. verworfen wird 4.Wahl und Rekrutierung (ggf. durch bestimmte Verfahren) einer Stichprobe von Versuchspers.5.Berechnen der Stichprobenkennzahl (Versuchsergebnis) 6.Anwenden der Entscheidungsregel auf die Stichprobenkennzahl 7.Entscheidung (Ablehnen oder Annahme der Hypothese). Wir haben in einem ersten Schritt bereits eine Sachhypothese aufgestellt, diese ist nun in eine statistische Hypothese zu überführen. Die Verwendung statistischer Grundlagen für das Testen von Hypothesen macht diesen Schritt notwendig. Statistische Methoden bieten viele unterschiedliche Möglichkeiten, objektive Kennwerte auf ihre Auftretenswahrscheinlichkeit hin zu überprüfen oder mehrere Kennwerte miteinander zu vergleichen. Daher bietet sich in statistischer Hypothesentest als Mittel der Wahl an. Bei der Überprüfung von Hypothesen können wir zwei Fehler begehen: Die Nullhypothese wird verworfen, obwohl sie in der Wirklichkeit zutrifft Die Alternativhypothese wird verworfen, obwohl sie in der Wirklichkeit zutrifft



Wahrer Sachverhalt H0 Wahrer Sachverhalt H1durch einen stat. Test fällt eine Entscheidung für die Nullhypothese H0

1-alpha beta (Fehler 2. Art falsch negativ)

durch einen stat.Test fällt eine Entscheidung für die alternative Hypothese H1

alpha (Fehler 1. Art, falsch positiv)

1-beta

Ein alpha-Fehler ist schwerwiegend: Die Hypothese H1 mit ihren Konsequenzen wird fälschlicherweise als richtig angesehen. Ein beta-Fehler (H0 wird fälschlicherweise nicht abgelehnt) hat keine Auswirkungen, da man keine Entscheidung trifft, also nicht etwa H1 favorisiert.


Fehler 1. ArtVom Fehler 1. Art (alpha) spricht man, wenn man einen Effekt annimmt, der in Wirklichkeit gar nicht vorhanden ist. Mathematisch formuliert:die so genannte Ausgangshypothese "H0" abgelehnt wird, obwohl sie richtig ist. Die Ausgangshypothese (H0, "null" für keinen Unterschied) ist hierbei die Annahme, die Testsituation befinde sich im "Normalzustand", d.h. in den oben genannten Beispielen "es brennt nicht", "der Angeklagte ist unschuldig", "der Patient ist gesund" oder "die Person hat Zugangsberechtigung". Wird also dieser "Normalzustand" nicht erkannt, obwohl er tatsächlich vorliegt, handelt es sich um einen Fehler 1. Art.Beispielsweise wird eine Person zu Unrecht als krank bezeichnet, obwohl sie tatsächlich gesund ist. Falsch Positive (englisch: false positives) sind zu Unrecht als krank bezeichnete Gesunde.


Fehler 2. ArtEin Fehler 2. Art (beta) liegt im umgekehrten Fall vor, wenn man es versäumt, einen Effekt als signifikant zu erklären, obwohl es ihn tatsächlich gibt, bzw.:wenn die Ausgangshypothese nicht abgelehnt wurde, obwohl sie falsch ist. Hier wird also nicht erkannt, dass nicht der "Normalzustand" vorliegt. Die solcherart falsch klassifizierten Zustände werden falsch negativ genannt.Beispielsweise wird eine Person zu Unrecht als gesund bezeichnet, obwohl sie tatsächlich krank ist. Falsch Negative (englisch: false negatives) sind nicht entdeckte Kranke.


Beispiele für FehlerAidsWelche Konsequenzen ein falsch positiver Test haben kann, zeigt das Beispiel eines Menschen der sich auf HIV testen ließ. Der Test war positiv. Daraufhin beendete der Mensch sein Leben durch Selbsttötung. Hinterher stellte sich heraus, dass er gar nicht von HI-Viren befallen war. Der Test war falsch positiv ausgefallen.Bei einer angenommenen Genauigkeit von 99,9 % des kombinierten AIDS-Tests sowohl für positive als auch negative Ergebnisse und der aktuellen Verbreitung von AIDS (Stand 2003) in der Deutschen Bevölkerung (80.000.000 Einwohner, davon 40.000 HIV-positiv) wäre ein allgemeiner AIDS-Test verheerend. Von 40.000 tat-sächlich Erkrankten würden bei lediglich 40 HIV-Infizierten Menschen die Krankheit fälschlicherweise nicht erkannt. Etwa 80.000 Personen würden jedoch fälsch-licherweise als HIV-Positiv diagnostiziert. Von 120.000 positiven Ergebnissen wären etwa 66 % falsch positiv. Somit liegt die Wahrscheinlichkeit dass jemand der positiv getestet wurde auch wirklich HIV-positiv ist bei nur 33%. Ein zweiter Test kann die Unsicherheit hingegen drastisch reduzieren. Die Wahrscheinlichkeit dass jemand HIV-positiv ist wenn er zwei mal positiv getestet wurde liegt schon bei 99.8%.





Ein Würfel soll daraufhin überprüft werden, ob die 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1/6 angezeigt wird. Dazu wird 100mal gewürfelt. Es wird ein Fehler von 5 % zugelassen. Bei dem Test wurde 20mal die 6 gezählt

WahrscheinlichkeitsrechnungHypothesentestTesten einer zweiseitigen Hypothese

Nullhypothese Wahrscheinlichkeit, mit der X eintritt: H0:p=1/6

Gegenhypothese Wahrscheinlichkeit, mit der X nicht eintritt: H1:p1/6

Prüfvariable Stichprobenumfang: X = 100 Wiederholungen

Ablehnungsbereich Werte für Anzahl der 6 außerhalb des 5% Bereichs

Annahmebereich Werte für Anzahl der 6 innerhalb des 5% Bereichs

Irrtumswahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese zu verwerfen, obwohl sie zutrifft (Fehler 1. Art)

Wahrscheinlichkeit Dass die Nullhypothese angenommen wird, obwohl sie nicht zutrifft (Fehler 2. Art)

Statistische Sicherheit 1 -


Berechnung:Nullhypothese und Gegenhypothese: H0 = 1/6 H1 1/6Stichprobenumfang: n = 100Irrtumswahrscheinlichkeit: = 0,05Maximale Anzahl der 6 nach kumulierter Binomialverteilung für n = 100; p = 1/6 P(X kmin) 0,05, ergibt: k = 10minimale Anzahl der 6 nach kumulierter Binomialverteilung für n = 100; p = 1/6 P(X kmax) 0,05, bzw. P(X kmax-1) 0,95 ergibt: kmax - 1 = 23 bzw. kmax = 24


Ergebnis:Liegt das Ergebnis der 6 bei 100 Wiederholungen zwischen 11 und 23, so ist der Würfel bei einer Irrtums-wahrschienlichkeit von 10% in Ordnung. Da die Anzahl beim Test 20 war, wird der Würfel zugelassen.


Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2.Art:Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art kann nur dann berechnet werden, wenn die tatsächliche Wahrscheinlichkeit bekannt ist, mit der eine 6 angezeigt wird. Diese Wahrscheinlichkeit sei p = 0,2, dann gilt für die kumulierte Binomialverteilung

n = 100, p = 0,2, k = 10,ergibt: P(X 10) = 0,0057n = 100, p = 0,2, k = 24,ergibt: P(X 24) d.h. n = 100, p = 0,2, k-1= 23, ergibt. 1-P(X 23) = 1 – 0,8109 = 0,1891P(X 10)+ P(X 24) = 0,0057 + 0,1891 = 0,1948, d.h. = 19,48%

WahrscheinlichkeitsrechnungÜbungen für die Klausur

3.Aufgabe: In einer Urne sind 6 rote und 4 weiße Kugeln. Es werden nacheinander 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse?

a) Man zieht nur rote Kugeln b) Man zieht zuerst alle weißen, dann eine rote Kugel.c) Die erste Kugel ist weiß.d) Man zieht abwechselnd weiße und rote Kugeln.

Es handelt sich hier um den Fall geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen Anzahl aller möglichen Ausfälle: 109876P(A) = 65432/(109876) = 1/42P(B) = 43216/(109876) = 1/210P(C) = 49876/(109876) = 2/5P(D) = P(rwrwr)+P(wrwrw) = 64534/(109876)+ 46352/(109876)= 1/21+1/42 = 1/14


4.Aufgabe: Die Buchstaben des Wortes ANANAS werden geschüttelt und neu angeordnet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse?

a) Es entsteht wieder das Wort ANANAS.b) Die Buchstabenkombination beginnt 3-mal A.c) Es entsteht ein Wort mit dreifachem A direkt nacheinander.

Es handelt sich hier um den Fall geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen Anzahl aller möglichen Ausfälle: 654321P(A) = 322111 /(654321) = 1/60P(B) = 321321 /(654321) = 1/20P(C) = 4P(B) = 1/5, da es für das dreifache A insgesamt 4-mal so viele Möglichkeiten wie bei Ereignis B gibt.


8.Aufgabe: Nach Untersuchung des Stat. Bundesamtes haben 56% der Männer Übergewicht. Eine Stichprobe von 12 Männern wird zufällig genommen. Betrachten Sie die Verteilung der Zufallsgröße X:Anzahl der übergewichtigen Männer in der Stichprobe.

a) Bestimmen Sie das Maximum der Verteilung.b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung.c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind in der Stichprobe mehr übergewichtige

Männer als Männer mit Normal- und Untergewicht?

a) Dieses ist der Erwartungswert E(X) = np mit n=12 und p =0,56 ergibt sich np = 6,72, damit ist E(X) = 7.

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P(X=k)

0,0

0,001

0,006

0,024

0,068

0,139

0,207 0,226

0,179

0,102

0,39

0,009

0.001

b) c) P(X>6) = 0,555

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Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Phänomen Zufall 1.Pseudozufallszahlen 2.Würfeln 3.Münzwurf 4.Ziehen von Kugeln aus einer sog. Urne