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Wahrscheinlichkeitstheorie
Statistische Methoden IWS 2002/2003
Zur Geschichte der Statistik
I. Beschreibende Statistik
1. Grundlegende Begriffe
2. Eindimensionales Datenmaterial2.1. Der Häufigkeitsbegriff2.2. Lage- und Streuungsparameter2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve)
3. Mehrdimensionales Datenmaterial3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung3.2. Indexzahlen3.3. Saisonbereinigung
II. Wahrscheinlichkeitstheorie1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume
1.1. Kombinatorische Formeln1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein-
lichkeiten2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume
2.1. Der diskrete Fall2.2. Der stetige Fall2.3. Unabhängigkeit und bedingte
Wahrscheinlichkeit3. Zufallsvariablen
3.1. Grundbegriffe3.2. Erwartungswert und Varianz
3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz
Beschreibende Statistik(= Deskriptive Statistik)Beschreibung von Datenmaterial
Schließenden Statistik(= Induktive Statistik)Analyse von Datenmaterial,Hypothesen, Prognosen
1. Semester
2. Semester
Wahrscheinlich-keitstheorie
Laplacescher Wahrscheinlicheitsraum
WahrscheinlichkeitstheoretischeInterpretation von Mengenoperationen
Vereinigung
Durchschnitt
Differenz
Komplement
Wahrscheinlichkeitsräume
Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes
Daraus ergeben sich:
Urnenmodelle
AchtungAchtung
Aufgabe!
Die Normalverteilung(Gauß-Verteilung)
(Gaußsche Glockenkurve)
Die Poisson-Verteilung
Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:
Notation
Die Binomialverteilung
Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:
Notation
Die geometrische Verteilung
Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:
Die hypergeometrische Verteilung
Notation
Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze.
Aus der Urne werden nacheinander m Kugelnohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen?
Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!
AchtungAchtung
Aufgabe!
AchtungAchtung
Aufgabe!
noch eine
Wahrscheinlichkeitsdichten
Die Exponential-Verteilung
Die Gauß- oder Normalverteilung
Gauß-Bildnisund –Kurve auf100 DM-Schein
Die Cauchy-Verteilung
Die Student- oder t-Verteilung
Hängt von Parameter n ab!
Die Chi-Quadrat-Verteilung
Hängt ebenfalls von Parameter n ab!
UnabhängigkeitVier Spielkarten zeigen auf der Vorderseite die folgenden Aufschriften:
1 1 1
Eine Karte wird zufällig gezogen.
Ereignisse A, B und C
A : „Oben steht eine 0“B: „In der Mitte steht eine 0“C: „Unten steht eine 0“
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Trotzdem sind die Ereignisse A, B und C nicht unabhängig:
d. h. C kann nicht eintreten, wenn A und B eintreten.
Man hat zwar:
Allgemein definiert man:
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nicht-rauchern eingeteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:
Also haben wir:
Allgemein definiert man:
AchtungAchtung
Aufgabe!
AchtungAchtung
Aufgabe!
Pfadregel
Dann hat man:
1.1.2 1.2.2 2.1.1 2.1.2 2.1.3 3.2.1 3.2.2 3.3.11.2.1 3.3.2
1.1 1.2 2.1 3.1 3.2 3.3
1 2 3
START
p(1)p(2)
p(3)
p(1.1.2 1.1) p(2.1.1 2.1) p(3.3.1 3.3)
p(1.2 1) p(3.3 3)p(2.1 2)
(Eigentlich z. B. b(1.2.1) statt 1.2.1)
Baumdiagramm
1.1.1 1.2.3 3.1.
Wir betrachten eine Urne mit einer roten und 3 grünen Kugeln.
1. Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen, ihre Farbe notiert. Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt.
2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird erneut eine Kugel zufällig gezogen und deren Farbe notiert.
Urne mit roten und grünen Kugeln
START
0 1
0 01 1
3/4 1/4
4/5 1/5 3/5 2/5
Baumdiagramm
AchtungAchtung
Aufgabe!
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend
Anteil der Haushalte, die ein Auto > DM 40 000,- anschaf-fen, in den verschiedenen Einkommensklassen
Es ergibt sich:
Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit:
5
Allgemein:
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
Satz von Bayes
In einer Stadt vermutet man, dass für die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht:
wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen.
Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Aus-länder ist?
D: „Der Gast ist ein Deutscher“I: „Der Gast ist ein Italiener“A: „Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener“S: „Der Gast bestellt Spaghetti“
Nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit hat man:
Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes
Satz von Bayes
Lernen aus ErfahrungBeispiel
Eine Urne enthält 4 Kugeln.Wir wissen, dass eine der folgen-den Situationen A1, A2 oder A3vorliegt:
A1: eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grünA2: zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grünA3: drei Kugeln sind rot, eine ist grün
Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Möglichkeiten sind un-bekannt. Wir setzen:
P(A1) = p1
P(A2) = p2
P(A3) = p3
Wir ziehen aus der Urne m Kugeln mit Zurücklegen.
Nehmen wir nun an, dass das Ereignis B geschieht.
„Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel“
B
Dann hat man:
Nach dem Satz von Bayes erhalten wir:
Ebenso:
Für große m nähert sich die bedingte Wahr-scheinlichkeit für „A3 gegeben B“ dem Wert 1,während sich die bedingten Wahrscheinlich-keiten für A1 und A2 dem Wert 0 annähern.
Unabhängig von den Werten fürp1, p2 und p3 hat man:
Grundbegriffe
der (deskriptiven) Statistik der Wahrscheinlichkeitstheorie
VerteilungsfunktionBeispiel „Würfel“
VerteilungsfunktionBeispiel „n-facher Münzwurf“
Verteilungsfunktion der Normalverteilung I
Verteilungsfunktion der Normalverteilung II
VerteilungsfunktionBeispiel „Haushaltsgröße“
Beispiel „Haushaltsgröße“
Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980(laut Schlittgen)
Verteilungsfunktion
Zufallsvariablen
VerteilungVerteilungsfunktion
WahrscheinlichkeitsfunktionDichtefunktion
Verteilung
Die Verteilung einer ZV ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen
diskret stetig
diskret
f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion
von X
stetig
f nennt man Dichtefunktion
von X
Verteilungsfunktion
diskret stetig
diskret
stetig
Erwartungswert und Varianz I
Der endliche Fall
Erwartungswert
Varianz
Die Binomialverteilung
Erwartungswert
Varianz
Gegeben seien n Zufallsvariablen
Dann gilt immer:
Wenn gilt
dann hat man auch
Gleichheit von Bienaymé
Der diskrete unendliche Fall
Dabei nehmen wir an, dass
Erwartungswert
Varianz
Erwartungswert und Varianz II
Die Poisson-Verteilung
Erwartungswert
Varianz
Der stetige Fall
f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte.Dabei nehmen wir an, dass
Erwartungswert und Varianz III
Erwartungswert
Varianz
Die Gauß- oder Normalverteilung
AchtungAchtung
Aufgabe!
AchtungAchtung
Aufgabe!
noch eine
Dichte
Verteilung
Verteilungsfunktion
Erwartungswert
Varianz
Die hypergeometrische Verteilung
Notation
Erwartungswert
Varianz
Die geometrische Verteilung
Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:
Erwartungswert
Varianz
Die Exponential-Verteilung
Dichte
Verteilung
Verteilungsfunktion
Erwartungswert
Varianz
Beispiele Poisson-verteilter Zufallsvariablen
Anzahl der pro Zeiteinheit abgestrahlten Teilchen einesradioaktiven Präparats
Anzahl der pro Zeiteinheit an einer Tankstelletankenden PKW
Anzahl der Sechser pro Ausspielung im Lotto
Anzahl der pro Jahr von einer Versicherung zuregulierenden Schadensfälle
Anzahl der innerhalbeines Tages geborenen Kinder
Bäckerei BröselBröselX : Anzahl der Kunden in der Bäckerei Brösel zwischen 7.00 Uhr und 7.15 Uhr
n : Anzahl der betrachteten Haushalte
Annahmen
Die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Haushalt zu der Zeit bei Brösel einkauft, ist bei allen Haushaltengleich
Die Haushalte entscheiden unabhängig voneinander, ob sie bei Brösel einkaufen oder nicht
Dann gilt:
d. h.
Nun wird die Anzahl n der betrachteten Haushalte vergrößert.
Die „Einkaufswahrscheinlichkeit“ p hänge dabei so von n ab, dass gilt:
Dann konvergiert die Verteilung von X gegen eine Poisson-Verteilung. Genauer: Man hat im Limes n gegen unendlich
Der Zentrale Grenzwertsatz
AchtungAchtung
Aufgabe!
Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung
AchtungAchtung
Aufgabe!
noch eine
BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln
Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet
Schätzer von
Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung
Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y
hat man
