Was sind eigentlich … Messunsicherheiten?von Dr. Ingo Poschmann

Teil 1 – Grundsätzliche Bemerkungen

Teil 2 – Generelles Vorgehen

Teil 3 – Analytische Ermittlung der Messunsicherheit am Beispiel der Leitfähigkeit

Teil 4 – Ermittlung der Messunsicherheit mit statistischen Methoden

Was sind eigentlich … Messunsicherheiten?Teil 1 – Grundsätzliche Bemerkungen

Die Messunsicherheit beschreibt die Genauigkeit einer Messung oder einer Prüfung. Die Prüfung ist eine Tätigkeit, die zu einer Feststellung führt, inwieweit ein Prüfobjekt eine Forderung erfüllt und kann qualitativer oder quantitativer Art sein. Die Messung ist eine Tätigkeit, die zu quantitativen Aussagen über eine Messgröße führt – üblicherweise durch Angabe eines Zahlenwertes mit einer Einheit. Die Herangehensweise bei der Bestimmung von Messunsicherheiten für Mess- und Prüfergebnisse ist sehr ähnlich, daher ist im folgenden Text mit dem Wort Prüfung auch die Messung gemeint.

Prüfungen können nie hundertprozentig genau sein. Schwankungen der Werkstoffeigenschaften im Probenvolumen, geringste Änderungen im Prüfprozess oder zeitliche Änderungen im Prüfgerät führen stets zu Schwankungen der Prüfergebnisse. Damit ergibt sich die Frage: Welche Auswirkungen haben solche Schwankungen auf die Prüfergebnisse?

Der „wahre Wert“ einer Werkstoff- oder Bauteileigenschaft kann aus wirtschaftlichen Gründen nie exakt ermittelt werden – dafür wären sehr, sehr viele Messungen nötig. In der Praxis werden kleine Stichproben - beispielsweise ein Zugversuch oder drei Spektralanalysen - durchgeführt. Damit stellt sich eine weitere Frage: Wie gut repräsentieren die Ergebnisse dieser kleinen Stichproben die „wahren“ Bauteil- oder Werkstoffkennwerte?

Beide Fragen können mit Hilfe statistischer Methoden beantwortet werden. Von zentraler Bedeutung ist dabei die Messunsicherheit u. Sie beschreibt ein Intervall ±u, das den Mittelwert x der Stichprobe umgibt (Vertrauensintervall) und in dem sich der wahre Wert µ mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (Vertrauensniveau) befindet.

Den Mittelwert ermitteln wir, interessieren tut uns der wahre Wert, und die Messunsicherheit teilt uns mit, wie gut der Mittelwert den wahren Wert „getroffen“ hat. Typischerweise wird ein Vertrauensniveaus von 95% gefordert. Das bedeutet, dass der wahre Wert µ mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit innerhalb des Bereiches x ± u liegen muss. Je höher das geforderte Vertrauensniveau, desto breiter das Vertrauensintervall.

Warum sind Messunsicherheiten so wichtig? Ihre Bedeutung soll durch drei Beispiele veranschaulicht werden: Wenn zwei Labore ihre Prüfergebnisse vergleichen wollen, dann sollten natürlich auch ihre

Prüfprozesse vergleichbar sein. Wenn beide Labore an derselben Stahlprobe einen mittleren Kohlenstoffgehalt von 0,40% bzw. 0,43% ermittelt haben, ist der Unterschied von 0,03% dann eine signifikante Abweichung oder liegt er im Rahmen „normaler“ Streuungen?

Bei Konformitätsbewertungen (also Bewertungen, ob ein Produkt eine Anforderung erfüllt) spielen Messunsicherheiten eine zentrale Rolle. Wie bewerten wir z.B. ein Bauteil, das eine Härte von mindestens 300 HV haben muss, wenn im Zeugnis eine mittlere Härte von 305 HV mit einer Messunsicherheit von ± 15 HV angegeben wurde?

Bei der Dimensionierung von Bauteilen ist die Messunsicherheit ebenfalls von Bedeutung. Ein Konstrukteur soll beispielsweise eine Brücke für eine bestimmte Anzahl von Menschen auslegen. Für den Konstrukteur ist es wichtig zu wissen, ob das Ergebnis der Ermittlung der „mittleren Masse“ eines Menschen 80 ± 5 kg oder 80 ± 15 kg beträgt.

Die drei Beispiele zeigen, dass zu einem Prüfergebnis immer auch die Angabe der zugehörigen Messunsicherheit gehört, denn nur so können Prüfungen korrekt bewertet, verglichen und fundierte Entscheidungen getroffen werden.

Manchmal können Messunsicherheiten auch große Bedeutung für unser ganz normales Alltagsleben haben. Wie genau messen eigentlich die Radargeräte, die zur Tempokontrolle benutzt werden? Punkt oder nicht Punkt? Das ist dann manchmal die Frage …

Was sind eigentlich … Messunsicherheiten?Teil 2 – Generelles Vorgehen

Der erste Teil des Beitrages begann mit dem Satz: Die Messunsicherheit beschreibt die Genauigkeit einer Messung... Aber was bedeutet Genauigkeit? Ein Messergebnis ist genau, wenn es sowohl richtig als auch präzise ist!

Die Richtigkeit ist an Maß dafür, wie gut der Mittelwert mehrerer Messungen einen Sollwert (z.B. den „richtigen Wert“ einer Referenzprobe) trifft. Die Präzision beschreibt die Streuung der einzelnen Messwerte um diesen Mittelwert unter der Voraussetzung, dass man die Messungen unter identischen Bedingungen wiederholt.

Die Messunsicherheit setzt eine möglichst hohe Richtigkeit des Messprozesses voraus und beschreibt auf der Basis dieses „richtigen Messprozesses“ die Abweichungen der einzelnen Messwerte bzw. Mittelwerte vom wahren Wert (siehe Teil 1). Die Messunsicherheit beschreibt also nicht die Ungenauigkeit oder Fehlerhaftigkeit von Messprozessen, sondern ganz im Gegenteil das Maß an (möglichst hoher) Sicherheit, das mit der Messung verbunden ist!

Das generelle Vorgehen bei der Ermittlung von Messunsicherheiten können wir in 7 Schritten zusammenfassen:

Schritt 1Festlegung des Messverfahrens, mit dem wir z.B. eine physikalische Größe ermitteln wollen. Am Beispiel erklärt: Wenn wir die Masse m eines Körpers messen wollen, so könnten wir z.B.: Dichte ρ und Volumen V ermitteln und damit berechnen: m = ρ · V Gewichtskraft F und Fallbeschleunigung g ermitteln und damit berechnen: m = F / g

Schritt 2Korrekte Einstellung der Messgeräte, denn die Bestimmung aussagefähiger Messunsicherheiten setzt eine richtige Messung voraus. Diese Einstellung kann mit Referenzproben oder Referenzverfahren erfolgen oder durch eine Kalibrierung der Geräte – z.B. durch ein akkreditiertes Kalibrierlabor, das wiederum Referenzproben oder Referenzverfahren benutzt …

Schritt 3Ermittlung aller Einflussgrößen, die Auswirkungen auf die Messung haben. Auch hier am Beispiel erklärt: Wenn wir die Gewichtskraft F mit einer Waage messen, dann müssen mir uns u.a. Gedanken machen über: die Genauigkeit der Mechanik bzw. Elektronik der Waage die Art und Weise wie und wo wir den Körper auf die Waage stellen die Genauigkeit der Referenzmasse, mit der die Waage überprüft wird der Auftrieb des Körpers

Schritt 4Ermittlung der Verteilungsfunktionen für diese Einflussgrößen (Normalverteilung, Rechteckverteilung, Dreieckverteilung, …) und der Standardabweichungen, mit denen die Einflussgrößen streuen. Bezogen auf eine normalverteilte Größe bedeutet das, dass mit einer Sicherheit bzw. Signifikant von ca. 68% (± 1·σ) gearbeitet wird.

Schritt 5Überprüfung auf Korrelationen zwischen den Einflussgrößen. Das bedeutet, es ist zu prüfen, ob die Einflussgrößen abhängig (korreliert) oder unabhängig voneinander sind. Wird z.B. für die Überprüfung von zwei Einflussgrößen ein und derselbe Referenzkörper benutzt, dann sind diese Größen nicht mehr unabhängig voneinander. Korrelierte Einflussgrößen machen die Bestimmung der Messunsicherheit komplizierter - also möglichst vermeiden!

Schritt 6

Berechnung der einfachen Messunsicherheit aus den Standardunsicherheiten der Einflussgrößen. Für Einflussgrößen, die voneinander unabhängig sind, gilt: Die mittlere Messunsicherheit ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Standardabweichungen

der Einflussgrößen. Dieses Vorgehen ist das“ übliche Vorgehen“ Die maximale Messunsicherheit ergibt sich aus der Addition der Standardabweichungen

Schritt 7Festlegung der erweiterten Messunsicherheit und damit eines erweiterten Vertrauensintervalls in dem ein erhöhtes Vertrauensniveaus (eine erhöhte Signifikanz) gilt. In der Laborpraxis ist ein Faktor 2 üblich, mit dem die einfache Messunsicherheit multipliziert wird. Dieser Faktor 2 (oder ± 2·σ oder ca. 95%) bedeutet, dass sich der wahre Wert der Messgröße mit etwa 95%iger Wahrscheinlichkeit (Vertrauensniveau) innerhalb des Intervalls befindet, das durch die Messunsicherheit definiert wird (Vertrauensintervall).

Das Higgs-Teilchen - der etwas anderer Blick auf Messunsicherheiten.

Derzeit ist das Higgs-Teilchen oder auch Gottesteilchen, wie es aus Marketinggründen genannt wird, in aller Munde. Zwei Forscherteams mit jeweils ca. 2500 Wissenschaftlern arbeiten an den beiden Detektoren (ATLAS und CMS) des LHC und haben beide ein Teilchen mit einer Energie von 125 GeV nachgewiesen (so wie es für das Higgs-Teilchen vorausgesagt wird) - das eine Team mit einer Signifikanz von 5·σ, das andere Team mit einer Signifikanz von 4,9·σ.

Erst wenn die Signifikanz für beide Teams über 5·σ liegt, wird das Ergebnis als die Entdeckung des Higgs-Teilchens anerkannt. Was bedeutet das? Das bedeutet, erst wenn sich beide Teams mit einer Signifikanz von mehr als ± 5·σ oder 99,999943% ihrer Messungen sicher sind, gibt es Nobelpreise –wahrscheinlich einen für Peter Higgs (obwohl noch 5 andere Theoretiker diese Idee hatten) und sicher einen für einige Experimentalphysiker des CERN.

Was sind eigentlich … Messunsicherheiten?Teil 3 – Analytische Ermittlung der Messunsicherheit am Beispiel der Leitfähigkeit

Im Teil 3 des Blogs wollen wir die Unsicherheit bei der Messung der elektrischen Leitfähigkeit σ diskutieren. Dafür verwenden wir die folgende Formel, die einem einfachen Modell entspricht, das nicht alle Einflussgrößen beinhaltet, aber das Wesentliche zeigt:

Die Formel besagt, dass der ohmsche Widerstand R eines Leiters gleich seiner Länge l dividiert durch seine Leitfähigkeit σ und seinen Querschnitt A ist. Wir stellen die Formel nach σ um und nehmen an, dass unser Leiter einen quadratischen Querschnitt mit der Kantenlänge a hat (das macht die Formeln etwas einfacher). Mit A = a2 erhalten wir:

Die Formel erfüllt die Anforderungen an ein mathematisches Modell nach GUM-Leitfaden. Zudem liefert uns die Formel unsere Messvorschrift. Und die lautet: „Miss die Länge l und die Kantenlänge a des Leiters. Ermittle seinen ohmschen Widerstand R. Berechne aus l, a und R die Leitfähigkeit σ.“

Wir wollen zwei verschiedene Varianten für die Ermittlung der Messunsicherheiten diskutieren. Variante 1 ist ein analytischer Ansatz, der das mathematische Modell nutzt. Variante 2 ist ein statistischer Ansatz, der Referenzmaterial voraussetzt. Variante 2 wird Gegenstand von Teil 4 dieses Beitrages werden.

Variante 1 erfordert ein wenig höhere Mathematik (Ermittlung des totalen Differentials für σ) und einige weitere Rechenschritte. Das Ergebnis ist die nachfolgende Formel, in der ul, uR, ua die einfachen Unsicherheiten bei der Messung von Länge l, Widerstand R und Kantenlänge a sind. Die kombinierte maximale Messunsicherheit uσ für die Leitfähigkeit ist dann:

Die drei Brüche in der Formel sind die sogenannten Empfindlichkeitskoeffizienten cl, cR, ca, die mit Hilfe der gemessenen Werte berechnet oder experimentell ermittelt werden. Kompakt geschrieben, erhalten wir folgende Formel (die Betragszeichen „verhindern“ negativen Unsicherheitsbeiträge):

Wie werden die Messunsicherheiten ul, uR, ua bestimmt? Wird die Länge der zu messenden Metallstabes mit einem Lineal ermittelt, dann entspricht die Unsicherheit der Längenmessung der halben Skalenteilung STl des Lineals dividiert durch 3 (Rechteckverteilung der Messwerte). Die einfache Messunsicherheit der Widerstandsmessung wird z.B. als Wert ZR dem Zertifikat des benutzten Multimeters entnommen. Wird die Kantenlänge a mit einem analogen Messschieber gemessen und gelegentliches Verkannten des Messschiebers berücksichtigt, dann entspricht die Unsicherheit der halben Skalenteilung STm des Messschiebers dividiert durch 6 (Dreieckverteilung der Messwerte).

Mit den oben angegebenen Formeln für uσ wird die maximale Messunsicherheit ermittelt (alle Unsicherheiten addieren/verstärken sich). In der Realität werden sich die Unsicherheitsmechanismen aber nicht ständig maximal verstärken. Dem trägt die nachfolgende Formel Rechnung, die eine kombinierte mittlere quadratische Messunsicherheit beschreibt:

Die Verwendung mittlerer quadratischer Unsicherheiten ist die übliche Verfahrensweise bei der Messunsicherheitsberechnung. Unsere Messunsicherheit uσ beschreibt ein Vertrauensintervall, in dem der wahre Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 68% liegt. Ist eine größere Sicherheit nötig, dann muss die Messunsicherheit mit einem Faktor k erweitert werden:

U ist die erweiterte Messunsicherheit, und k = 2 findet man häufig, wenn sich der wahre Wert der Messgröße mit 95%iger Wahrscheinlichkeit innerhalb des Intervalls befinden soll, das durch U definiert wird.

Allerdings ist die Anwendung „einfacher“ Erweiterungsfaktoren wie 2, 3, … oft nicht ganz korrekt!

Was sind eigentlich … Messunsicherheiten?Teil 4 – Ermittlung der Messunsicherheit mit statistischen Methoden

Teil 4 des Blogs widmet sich der Bestimmung der Messunsicherheit mit statistischen Methoden und unter Verwendung von Referenzmaterial. Wie schon im Teil 3 soll das Vorgehen am Beispiel der Messung der elektrischen Leitfähigkeit σ erläutert werden.

Wieder ermitteln wir die Leitfähigkeit durch Messung der Länge l und der Kantenlänge a des Leiters sowie seines ohmschen Widerstandes R und berechnen die Leitfähigkeit σ mit der Formel:

Für die Ermittlung der Messunsicherheit wählen wir nun aber keinen analytischen Ansatz auf Basis des mathematischen Modells (siehe Teil 3), sondern nutzen ausschließlich statistische Überlegungen unter Verwendung von Referenzmaterial. Wir betrachten nachfolgend nur die kombinierte mittlere quadratische Messunsicherheit.

Wir benötigen Referenzmaterial, das den Messbereich für die Leitfähigkeitsmessungen „abdeckt“. Gegebenenfalls ist eine Referenzprobe für den gesamten Messbereich ausreichend (Ein-Punkt-Verfahren), oder der Messbereich muss mit mehreren Referenzproben „abgedeckt“ werden (Mehr-Punkt-Verfahren). Wir verwenden nachfolgend das Ein-Punkt-Verfahren.

Der „wahre Wert“ (siehe Teil 1) der Leitfähigkeit unserer Referenzprobe muss möglichst genau bekannt sein – optimalerweise dokumentiert in einem Zertifikat, in dem die Art der Ermittlung der Leitfähigkeit und die Rückführbarkeit der Messmethode angegeben werden ebenso wie die Einzelwerte der Messungen und die Messunsicherheit mit Vertrauensintervall und Vertrauensniveau.

Die kombinierte Messunsicherheit bei statistischer Analyse unter Verwendung von Referenzmaterial setzt sich in unserem Fall aus 3 Unsicherheitsbeträgen zusammen:

1) Durch m Messungen an der Referenzprobe wird die Genauigkeit (siehe Teil 2) des verwendeten Prüfverfahrens ermittelt. Die Streuung sRef der Messwerte der Referenzprobe liefert die Basis für den ersten Unsicherheitsbeitrag.

2) Die Unsicherheit uZert, die mit der Ermittlung der Leitfähigkeit der Referenzprobe verbunden ist, entnehmen wir im einfachsten Falle direkt dem Zertifikat des Referenzmaterials.

3) Durch n Messungen an der zu untersuchenden Probe wird die Leitfähigkeit dieser Probe ermittelt. Die Streuung sProb der Messwerte der Probe liefert die Basis für den dritten Unsicherheitsbeitrag, der die Probeneigenschaften erfasst.

Für die kombinierte Messunsicherheit der Leitfähigkeitsmessung ergibt sich die folgende Formel:

Dabei sind tm und tn sind die sogenannten Student-Faktoren, die die Tatsache berücksichtigen, dass die Anzahl der Messungen m und n häufig klein sind. Die Rechnungen vereinfachen sich, wenn m und n gleich sind.

Wenn uZert nicht unmittelbar aus dem Zertifikat des Referenzmaterials zu entnehmen ist, dann müssen die p im Zertifikat angegebenen Einzelwerte und ihre Streuung sZert „von Hand“ berechnet werden. Die Formel ändert sich dann wie folgt:

Bei beiden Formeln kann es sich sowohl um einfache als auch um erweiterte Messunsicherheiten handeln – je nachdem, ob die Student-Faktoren tm, tn und tp ein 68%-Vertrauensniveau oder ein höheres Vertrauensniveau berücksichtigen. Den Erweiterungsfaktor k kann man in diesem Falle durch die Stundent-Faktoren ersetzen.

Mehr über die verschiedenen Herangehensweisen bei der Ermittlung von Messunsicherheiten im Werkstoff Service Anwenderseminaren „Messunsicherhieten“.Informationen zu den Seminaren finden Sie unter www.messunsicherheit.info.

Autor: Dr. Ingo Poschmann | W.S. Werkstoff Service GmbH in 45327 Essen | http://www.werkstoff-service.deStichworte: Messunsicherheit, Messunsicherheiten, werkstofftechnik, werkstoffprüfung, prüfung, messung, Konformitätsbewertungen, Prüfergebnisse, mathematisches Modell nach GUM-Leitfaden, Empfindlichkeitskoeffizienten, statistischen Methoden, Dieser Artikel kann auch auf dem www.Werkstoff-Blog.de kommentiert und diskutiert werden. Zitieren nur nach Rücksprache mit dem Autor und schriftlicher Erlaubnis.