Wechselstromkreise

Christopher Bronner, Frank EssenbergerFreie Universität Berlin

29. September 2006

Inhaltsverzeichnis1 Physikalische Grundlagen 1

2 Aufgaben 5

3 Messprotokoll 53.1 Geräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.4 Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Auswertung 104.1 Aufgabe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Aufgabe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 Aufgabe 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Diskussion 14

1 Physikalische GrundlagenGleichspannung. Die Beziehung zwischen der Spannung die an einem Bauele-ment abfällt und dem Strom, der durch es hindurch fließt, sieht in den dreihier betrachteten Fällen von Widerstand, Kondensator (Kapazität) und Spule(Induktivität) aus wie folgt:

• Widerstand: UR = −RIR

• Kapazität: IC = −CU̇C

• Induktivität: UL = −L ˙IL

Wechselspannung. In einem Wechselstromkreis haben Spannung und Strom dieForm

1

U(t) = U0 cos(ωt) (1)I(t) = I0 cos(ωt + ϕ) (2)

wobei die Frequenz gleich, die Phase jedoch konstant um ϕ verschoben ist.Man nennt hier U0 und I0 die Amplituden von Spannung und Stromstärke. Mankann Wechselspannungen aber auch als Realteil einer komplexen Exponential-funktion vom Betrag der Amplitude interpretieren.

U(t) = Re(U0eiωt) =: Re(Ũ(t)) (3)I(t) = Re(I0eiωt) =: Re(Ĩ(t)) (4)

Das Äquivalent zum Ohmschen Widerstand im Gleichstromkreis ist die Im-pedanz im Wechselstromkreis. Sie ist definiert als das Verhältnis der Amplitudenvon Spannung und Stromstärke über bzw. durch ein Bauteil.

X :=U0I0

(5)

Die Impedanz hängt eng mit dem komplexen Widerstandoperator Z einesBauteils zusammen. Ausserdem ist die Phasendifferenz zwischen Spannung undStrom für ein Bauteil charakteristisch.

Bauteil Impedanz X Widerstandsoperator Z Phase ϕWiderstand R XR = R ZR = R πKapazität C XC = 1ωC ZC =

1iωC −

π2

Induktivität L XL = ωL ZL = iωL +π2

Tabelle 1: Bauteile

Am Widerstand sind Strom und Spannung im Prinzip in Phase, haben jedochentgegengesetztes Vorzeichen, da die Spannung am Widerstand einen Span-nungsabfall darstellt. An der Kapazität “eilt der Strom der Spannung vorraus”,an der Induktivität dagegen ist es umgekehrt: “Der Strom hinkt der Spannunghinterher”.

Wechselstromnetzwerke lassen sich mathematisch ähnlich Gleichstromnetz-werke behandeln. Dabei rechnet man mit den Impedanzen im Prinzip so, alswären sie Widerstände. Der Unterschied besteht darin, dass die imaginäre Ei-genschaft bei Spule und Kondensator auftauchen muss. Mann rechnet daher erstmit den komplexen Widerstandsoperatoren wie mit Ohmschen Widerständenund erhält im Allgemeinen eine komplexe Größe. Deren Betrag ist die Impe-danz der Gesamtschaltung.

XReihe =∣∣∣∑ Zi∣∣∣ (6)

1XParallel

=∣∣∣∣∑ 1Zi

∣∣∣∣ (7)2

Die Beziehung für die Phasendifferenz ϕ zwischen Strom und Spannung ineinem Wechselstromnetzwerk errechnet sich für Reihen- und Parallelschaltungenwie folgt.

ϕReihe = arctanIm

∑Zi

Re∑

Zi(8)

ϕParallel = arctanIm

∑1Zi

Re∑

1Zi

(9)

Leistung. Die Leistung ergibt sich wie im Gleichstromnetzwerk aus dem Zu-sammenhang

P (t) = U(t)I(t) (10)

Leistung, Spannung und Stromstärke sind Funktionen der Zeit mit der selbenPeriodizität (Frequenz ω). Ist ist also sinnvoll, über eine Periode T = 2πω zumitteln. (Dabei benutzt man Gln. 3, 4.)

< P >:=1T

T∫0

P (t)dt =12U0I0 cos ϕ (11)

Mit der Definition für die Effektivwerte Ueff :=

√1T

T∫0

U2(t)dt (Ieff analog)

und deren Anwendung auf unsere Wechselspannungen und Ströme, also Ueff =1√2U0 (Ieff analog), erhält man sehr einfach die mittlere Leistung

< P >= UeffIeff cos ϕ (12)

Es fällt auf, dass im Falle von Kapazität und Spule, wo cos ϕ = 0 ist, imMittel keine Leistung aus der Spannugnsquelle entzogen wird. Allerdings gilt dasnur für ideale Kondensatoren und Spulen. In der Realität verbrauchen Spulenund Kondensatoren auch Leistung. Ein Maß für die verbrauchte Leistung ist derVerlustfaktor.

d =1

tan ϕ(13)

Um der Realität in dieser Hinsicht gerecht zu werden, ersetzt man Induk-tivitäten und Kapazitäten durch Ersatzschaltungen. Diese können entweder alsReihen- oder als Parallelschaltung auftreten. Es ist

XReihe =√

R2r + (ωLr)2 (14)

1XParallel

=

√1

R2p+

1(ωL)2

(15)

3

Für die Phasenverschiebungen gilt

ϕReihe = arctan−ωLrRr

(16)

ϕParallel = arctan−RpωLp

(17)

Spannungsteiler. Wegen ihrer unterschiedlichen Frequenzabhängigkeit eignensich die folgenden drei Schaltungen als Filter für Frequenzbereiche.

Kreis FiltertypR-C HochpassR-L Tiefpass

R-C-L Bandpass

Tabelle 2: Frequenzweiche

Wheatstonesche Brücke. Diese Schaltung erlaubt die Bestimmung unbe-kannter Impedanzen aus einer anderen bekannten Impedanz bei bekannter Fre-quenz.

Abbildung 1: Wheatstonesche Brückenschaltung

Der Zeiger, in dem ein Voltmeter verbaut ist, wird über einen Widerstandgeschoben, bis die Spannung verschwindet. Dann sind die Teilspannungen überden beiden linken und den beiden rechten Ästen gerade gleich und bei gleichemStrom (in den jeweiligen Ästen) ergibt sich das Verhältnis

4

XX =RARB

X0 (18)

RX =R1R0R2

− R′ (19)

2 Aufgaben1. Aufbau eines R-C-Kreises. Einstellung der charakteristischen Frequenz mit

UR = UC . Messung der Generator- und der Teilspannungen und Bestim-mung der Phasenverschiebung. Unabhängige Messung von R und C miteinem Multimeter und Vergleich der Beobachtungen am R-C-Kreis mitden theoretischen Erwartungen.

2. Messung des Frequenzganges UR/UG (Verbraucherspannung zu Genera-torspannung) an einer Tonfrequenzweiche (Drei-Wege-Weiche mit R-L-Tiefpass, R-C-L-Bandpass und R-C-Hochpass) und Vergleich mit demtheoretischen Verlauf durch unabhängige Messung der Werte der Wider-stände, Kapazitäten und Induktivitäten mit Digital-Multimetern.

3. Messung der Induktivität und des Verlustwiderstandes einer der beidenSpulen auf Aufgabe 2 mit einer Wechselstrombrücke und Vergleich mitder unabhängigen Messung (Digitalmultimeter) von L und dem Gleich-stromwiderstand R der Spule.

3 MessprotokollTutor: TheisDatum: 29. September 2006Beginn: 14.45, Ende: 18.00

3.1 Geräte• Steckbrett mit Reitern, div. Widerständen, div. Kondensatoren, div. Spu-

len (beschrieben im jeweiligen Aufgabenteil)

• Multimeter Metra Hit 12S für Widerstandsmessung. ∆R → 0, 5% + 3dgs.

• Multimeter Voltcraft 3860M für Spannungs- und Strommessung. ∆UAC →2, 5% + 5dgs., ∆IAC → 2, 5% + 3dgs.

• Multimeter Escort ELC 131D zur Messung von Kapazität und Induktivi-tät.100µF-100nF:∆C → 0, 7% + 5dgs.10nF und 1000µF: ∆C → 1% + 5dgs.1H-100H: ∆L → 0, 7% + 5dgs.

5

100mH und 1000H: ∆L → 1% + 5dgs.10mH: ∆L → 2% + 5dgs.

• Oszilloskop Hameg 203-4 : 3% Fehler + Ablesefehler (±0,1 Skt.)

• Frequenzgenerator

3.2 Aufgabe 1Wir haben auf dem Steckbrett einen R-C-Kreis an eine sinusförmige Spannungs-quelle angeschlossen und die Spannungen über Widerstand und Kondensatorsowohl mit jeweils einem Multimeter gemessen als auch zur Bestimmung derPhasenverschiebung an das Oszilloskop angeschlossen.

Abbildung 2: RC-Kreis

Wir haben zunächst Widerstand und Kapazität mit einem Multimeter direktgemessen:

R = 989Ω, C = 0, 980µFDanach haben wir die Frequenz des Funktionsgenerators variiert, bis die

Spannungen über Widerstand und Kondensator gleich waren. UC = UR =2, 437V . Der Punkt zwischen Widerstand und Kondensator war geerdet (durchden Anschluss am Oszilloskop), was aber nichts ausmachte, da die Spannungenja auf beiden Seiten gleich war und das Potential somit sowieso Null. Die Über-nahmefrequenz betrug ν = 163 Hz. Die Spannung am Generator haben wir zuU0 = 3, 451 V direkt gemessen.

Die beiden Kurven auf dem Oszilloskop haben wir so zunächst kalibriert,dass die Nulllinie (abgeklemmter Anschluss) auf der Nulllinie der Skala lag.Dann haben wir die Nulldurchgänge einer vollen Periode für beide abgelesen.Beide betrugen 6 cm. Die Phasenverschiebung zwischen UC links und UR rechtsbetrug 1,5 cm. Dabei war die Skala auf 1 mscm eingestellt.

6

3.3 Aufgabe 2Hier haben wir jetzt die Frequenzweiche aufgesteckt.

Abbildung 3: Frequenzweiche

Auch hier haben wir zuerst alle Bauteile direkt gemessen.R1 = 8, 33Ω, R2 = 8, 44Ω, R3 = 8, 36ΩC1 = 44, 94µF , C2 = 3, 320 µFL1 = 4, 766 mH, L2 = 495, 4µHDann haben wir die Frequenz in (mit Hinblick auf die logarithmische Aus-

wertung) sinnvollen Schritten verändert und die Spannungen am Generator U0und über den Verbraucherwiderständen U1, U2 und U3 gemessen.

7

U1/mV U2/mV U3/mV U0/mV ν/kHz

198,0 43,0 2,8 308,1 0,050196,0 50,9 3,4 306,1 0,060191,1 65,3 4,5 302,4 0,080185,2 78,4 5,5 298,1 0,100155,9 126,2 9,8 277,4 0,199109,0 169,5 16,7 243,9 0,40082,1 185,6 23,3 226,8 0,60065,7 193,3 30,2 221,3 0,80154,9 197,6 37,9 221,5 1,00833,6 203,7 82,5 252,0 2,00821,0 172,7 174,7 290,0 4,0113,6 121,3 212,7 284,0 6,029,6 87,8 221,7 271,0 8,007,3 67,6 223,8 260,7 10,005,6 50,3 224,1 274,7 12,954,9 43,1 223,9 241,9 14,864,0 36,4 223,3 236,7 17,363,0 31,0 222,6 232,4 20,2242,8 201,9 54,0 230,1 1,40236,1 203,7 71,9 243,9 1,79331,7 203,2 92,6 258,1 2,20928,5 200,3 113,7 269,5 2,62024,0 187,6 151,3 284,0 3,40422,0 178,6 156,8 287,7 3,79020,1 167,9 180,3 289,5 4,19

Tabelle 3: Uind über ν

Wie aus der Tabelle ersichtlich haben wir erst eine grobe Messreihe durch-geführt und anschliessend in dem Bereich, in dem große Änderungen der Span-nungen auftraten, zur späteren besseren Auswertung noch ein paar Messwerteaufgenommen.So sah die Frequenzweiche in Labor aus:

8

Abbildung 4: Frequenzweiche im Labor

3.4 Aufgabe 3In dieser Aufgabe haben wir eine Brückenschaltung zur Bestimmung einer In-duktivität gesteckt.

Abbildung 5: Wheatstonesche Brückenschaltung

Der Widerstand R′ zur Anpassung der Phase wurde durch einen regelbaren

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Widerstand realisiert. Zuerst haben wir wieder die Referenzspule L0, R0 unddie unbekannte Spule LX , RX vermessen.

L0 = 1, 494 mH, R0 = 7, 32ΩLX = 4, 767mH, RX = 5, 84ΩUm RA, RB und R′ zu bestimmen, drehten wir immer den einen Drehwi-

derstand zu einem relativen Minimum und dann den anderen und so immerwieder im Wechsel hin und her, bis das absolute Minimum gefunden wurde. Da-bei begannen wir die Messung des Querstroms mit groben Spannungen, dannfeinen Spannungen, dann groben Stromstärken und feinen Stromstärken bis wirschließlich ein Minimum von Iquer = 0, 1µA erreichten. Die Frequenz bei diesemVersuch betrug ν = 513 Hz. Nachdem das Minimum gefunden war, haben wirdie Widerstände, die zur Berechnung nötig sind, gemessen.

RA = 0, 768 kΩ, RB = 241, 9Ω, R′ = 18, 02Ω

4 Auswertung

4.1 Aufgabe 1Der theoretische Wert ergibt sich aus der Gleichheit von UR = UC . Ersetzt manbeide nach U = XI, wobei X die Impedanz ist, erhält man nach Kürzen mit I:

XR = XC (20)

R =1

ωC(21)

ν =1

2πRC(22)

Danach ergibt sich mit den gemessenen Werten von R und C der theoretischeWert der Übernahmefrequenz

ν = (164 ± 3) Hz (23)Der tatsächlich gemessene Wert beträgt

ν = 163Hz (24)

Das Multimeter, das wir zur Messung der Frequenz verwendet haben (wirhaben uns natürlich nicht auf die Angabe auf dem Funktionsgenerator verlas-sen!) hat leider keine Fehlerangabe bzgl. der Frequenz und deshalb müssen wirdiesen Wert als exakt annehmen. Trotzdem stimmen die beiden Werte sehr gutüberein (zumal der abgelesene Wert sogar noch zwischen 163 Hz und 164 Hzgeschwankt hat).

Zur Bestimmung der Phasendifferenz haben wir die Periodendauer und denZeitunterschied zwischen den beiden Signalen bestimmt: T = (6, 0 ± 0, 3) ms,∆t = (1, 5 ± 0, 2)ms. Nun kann man die Phasendifferenz bestimmen. Das Mi-nuszeichen fügen wir ein, da das zweite Signal (UR) dem ersten (UC) zeitlichhinterherhinkt.

10

ϕ = ω∆t =2π∆t

T= −(1, 57 ± 0, 22) (25)

Dies entspricht voll und ganz der Erwartung.

ϕ = −π2≈ −1, 57

4.2 Aufgabe 2Betrachtet man einen der drei Pässe der Frequenzweiche, dann ergibt sich zumeinen die Gleichung für die Generatorspannung U0 und zum anderen eine Glei-chung für die Spannung über dem jeweiligen Verbraucher.

U0 = XiIi (26)Ui = RiIi (27)

Dabei ist Xi die Impedanz des iten Passes. Wenn wir nun die Stromstärkeeliminieren, erhalten wir einen Zusammenhang für das Verhältnis der Spannungüber dem Verbraucher zu der Generatorspannung.

UiU0

=RiXi

(28)

Mit den Regeln für das Rechnen mit komplexen Widerstandsoperatoren undImpedanzen ergeben sich die drei Impedanzen zu

X1 =√

R21 + (2πνL1)2 (29)

X2 =

√R22 +

(2πνL2 −

12πνC1

)2(30)

X3 =

√R23 +

(1

2πνC2

)2(31)

Setzt man nun die drei Impedanzen für die einzelnen Pässe in die Gl. 28ein, erhält man drei Funktionen UiU0 (ν), die zusammen mit den entsprechendengemessenen Werten in den folgenden Grafiken dargestellt sind.

11

Abbildung 6: Tiefpass also ln[U1U0 ] über ln[ν]

Abbildung 7: Bandpass also ln[U2U0 ] über ln[ν]

Abbildung 8: Hochpass also ln[U3U0 ] über ln[ν]

12

Abbildung 9: Alle drei Pässe zusammen

13

Die Ergebnisse entsprechen in sehr zufriedenstellender Weise den theoreti-schen Vorraussagen.

4.3 Aufgabe 3Für die unbekannten Größen in der Wheatstoneschen Brückenschaltung gel-ten folgende Beziehungen zu den gemessenen Parametern.

LX =RARB

L0 (32)

RX =RARB

R0 − R′ (33)

Die entsprechenden Fehler lauten

δLX =√

δR2A + δR2B + δL

20 (34)

∆RX =

√∆R′2 +

R2AR20

R2B(δR2A + δR

2B + δR

20) (35)

Damit erhält man als Wert aus der Messung der Brückenschaltung:

LX = (4, 7 ± 0, 2) mH

RX = (5, 2 ± 0, 4) Ω

Die direkt mit einem Multimeter gemessenen Werte lauten:

LX = (4, 8 ± 0, 1) mH

RX = (5, 84 ± 0, 06) Ω

Die Ergebnisse für die Induktivität stimmen sehr gut überein, die für denGleichstromwiderstand der Spule sind zumindest verträglich.

5 DiskussionAls maßgebliche Fehlerquelle kann bei allen durchgeführten Experimenten derhohe Gerätefehler der diversen Multimeter und der des Oszilloskops gesehenwerden. Wir glauben jedoch auch hier, dass diese nicht die tatsächlichen Mes-sungenauigkeiten dieser Geräte widerspiegeln, da die Ergebnisse an sich sehr gutwaren. Nichtsdestotrotz müssen sie natürlich voll berücksichtigt werden. Leiderstand für die Frequenzmessung mit dem Multimeter auch diesmal wieder keineFehlerangabe zur Verfügung, wobei diese Messung wohl recht präzise ist undder Fehler wohl ohnehin nicht besonders ins Gewicht fallen dürfte.

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Des Weiteren vermuten wir, dass in unseren doch recht umfangreichen Schal-tungen mit vielen Kabeln und Reitern die Widerstände dieser Bauteile schon insGewicht fallen könnten, was auch eine Überschlagsrechnung in Aufgabe 1 zeigt:Die beiden gleichen Spannungen von UC und UR müssten mit der BeziehungU0 =

√U2C + U

2R die Generatorspannung ergeben, jedoch ergibt sich danach

U0 = 3, 446 V , was zum tatsächlich gemessenen Wert U0 = 3, 451V einen Span-nungverlust in der Schaltung von etwa 5mV nahelegt. Da die erste Schaltunggerade im Vergleich mit der der Frequenzweiche noch relativ einfach ist, kanndieser Effekt wohl schon ins Gewicht fallen.Bei Aufgabe zwei hätten wir wohl in unseren theoretischen Überlegungen dieVerlustwiderstände der Spulen mit einer Ersatzschaltung berücksichtigen müs-sen, was wir erst nach der Messung feststellten und dann wegen der nicht gemes-senen Widerstände von L1 und L2 nicht durchführen konnten. Möglicherweiseerklärt das auch die Abweichung von der erwarteten Kurve gerade bei niedrigenFrequenzen im Tiefpass.In der praktischen Durchführung ist noch zu beklagen, dass die zur Verfü-gung stehenden Kabel teilweise zu dünne Stecker hatten und daher manchmal"Wackelkontakte" auftraten. Auch die Unzuverlässigkeit des einen Funktions-generators bei niedrigen Frequenzen war ärgerlich, jedoch nicht weiter tragisch,da wir einfach den Generator wechselten und sowieso die Frequenzen mit einemMultimeter überprüften.Abschließend kann der Versuch im Hinblick auf die gemessenen Werte und ihrehohe Konsistenz mit der Theorie aber als (sehr) erfolgreich bezeichnet werden.

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