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Wiederholung „Mathematische Ökonomie“ Wintersemester 2007/2008 PD Dr. Alexander Spermann Einführung

Wiederholung Mathematische Ökonomie Wintersemester 2007/2008 PD Dr. Alexander Spermann Einführung

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Page 1: Wiederholung Mathematische Ökonomie Wintersemester 2007/2008 PD Dr. Alexander Spermann Einführung

Wiederholung „Mathematische Ökonomie“

Wintersemester 2007/2008

PD Dr. Alexander Spermann

Einführung

Page 2: Wiederholung Mathematische Ökonomie Wintersemester 2007/2008 PD Dr. Alexander Spermann Einführung

Allokationsbegriffe im Überblick

Allokation I

Aufteilung der verfügbaren Zeit auf Arbeits- und Freizeit

Allokation II

Aufteilung des Einkommens auf Konsumausgaben und Ersparnis

Allokation III

Aufteilung der Konsumausgaben auf die einzelnen Gütergruppen

Allokation IV

Aufteilung des Vermögens auf die verschiedenen Anlageformen

Allokation V

Risikoallokation bei Entscheidungen unter Unsicherheit (Erwartungsnutzenkonzept)

Einführung

Page 3: Wiederholung Mathematische Ökonomie Wintersemester 2007/2008 PD Dr. Alexander Spermann Einführung

Allokationsbegriffe im Überblick:Grafische PräsentationQuelle: Westphal, Uwe (1988),Makroökonomik, S. 126

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A n lag e fo rm en

V erm ö g en

E rsp arn is

... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G ü te rg ru p p en

K on su m au sg ab en

E in kom m en

A rb e its ze it F re ize it

V erfü g b are Z e it

Einführung

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2

1

1

2

p

p

dx

dx

Modell 3Zwei-Güter-Modell

Modell 2Intertemporales Modell

Modell 1Einkommen-Freizeit Modell

U (x1, x2) U (c1, c2) U (y, F)+ + + + + +

- p1/p2

x2

x1

c2

c1

y=c

F

Steigung der Budgetgeraden

12

1

22

2211

xp

p

p

yx

xpxpy

1. Periode: y = c1+s2. Periode: s(1+r) = c2

intertemporale Budgetrestriktiony (1+r) - (1+r) c1 = c2

Steigung der Budgetgeraden

)1(1

2 rdc

dc

T = 24 hw (T-F) = y = pc, mit T-F=N

Steigung der Budgetgeraden

wdF

dy

-(1+r) -w

Einführung

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Modell 1: Einkommen-Freizeit Modell und Arbeitsmarkt

A

C

Kompens. BudgetgeradeB

y

F

-w (1-tL) -w

A => B: SE + -B => C: EE - +A => C: GE ?Empirisch: SE > EE

F NS

w/p

NS

NS

NcS

SE

Elastizität:

N

w

dw

dN

sNw,

Einführung

EE

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Modell 2: Intertemporales Modell und Kapitalmarkt

-(1+r(1-tR))

c2

c1

A => B: SE + -B => C: EE - +A => C: GE ?Empirisch: SE > EE

c1 s

SE

r

S

S

Sc

Elastizität:

S

r

dr

dSSr,

Einführung

EE

BA

C

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Modell 3: Zwei-Güter Modell mit Gütermarkt

x2

x1

A

B

C

2

11

p

tp p1

A => B: SE - +B => C: EE - -A => C: GE - ?

x1 x2

p1

x1

EE SE

t1

D = Hicks-NE

NE= Marshall-NE

Elastizität:

x

p

dp

dxxp,

Einführung

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1.Sitzung: Arbeitsmarkt: Arbeitsangebot und-nachfrage

T e i l A : A r b e i t s a n g e b o t

1 . F o r m a l e A n a l y s e d e s E i n k o m m e n - F r e i z e i t M o d e l l s

N u t z e n f u n k t i o n : U ( Y , F ) Y = E i n k o m m e n F = F r e i z e i t ( i n S t u n d e n )

B u d g e t r e s t r i k t i o n : Y = w ( T - F ) w = L o h n

T = Z e i t ( 2 4 S t u n d e n )

1 . 1 L a g r a n g e f u n k t i o n Z

FTwYFYUZ ),(

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1.2. Einsetzverfahren (Lösung durch totale Ableitung)

U (Y(F), F) Nutzenfunktion U

in Abhängigkeit von Y und F

wobei Y(F) = w(T - F)

2. Zeichnen Sie folgende Arbeitsangebotskurven in Reallohn-Beschäftigungs-Diagramme:

2.1 Elastisch

2.2 Unelastisch

2.3 Fall a: SE>EE

2.4 Fall b: SE<EE

2.5 Fall c: SE=EE

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Teil B: A rbeitsnachfrage

1. G ew innmaximale B eschäftigung als O ptimierungskalkül der U nternehmen

B estimmen Sie die gew innmaximale B eschäftigung eines U nternehmens im Fall eines kompetitivenG ütermarktes in folgenden Teilschritten:

1.1 B estimmen Sie die U msatzfunktion (H inweis: I n einem kompetitiven G ütermarkt ist der Preisein D atum)!

1.2 B estimmen Sie die G ew innfunktion bei konstantem K apitalstock!

B estimmen Sie die B edingung erster O rdnung!

1.3 I nterpretieren Sie die B edingung für die gew innmaximale B eschäftigung für einen gegebenenReallohn!

1.4 B estimmen Sie und interpretieren Sie die Steigung der A rbeitsnachfragefunktion!

1.5 D rücken Sie die A rbeitsnachfragefunktion als I nverse der B edingung erster O rdnung aus!

D ie erste A bleitung der inversen Funktion x entspricht dem Reziprok der 1. A bleitung der originärenFunktion y:

y f x

x f y

( )

( )1

d x

d y d y d x

1

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Musterlösung 1.Sitzung: Arbeitsmarkt: Arbeitsangebot und -nachfrage

Teil A: Arbeitsangebot

1YU 2UFw / multiplizieren mit 1/w 1und 2 nach auflösen, daraus folgt:

1.1 Lagrangefunktion Z

Z UYFYwTF(,)

1 ZYUY0 wobei

2Z

F 0wUF wobei

Y

UUY

F

UU F

2UwF 1 und 2 gleichsetzen wUUFY

UUwFY

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1.2. Einsetzverfahren (Lösung durch totale Ableitung)

U Y F F( ( ), ) Nutzenfunktion U

in Abhängigkeit von Y und F

wobei )()( FTwFY

dU

dFUdY

dFUY F 0

UdY

dFUY F

dY

dFU UF Y

dY

dFw , da die Budgetrestriktion lautet.

wUUFY

wUUFY

)( FTwY

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2.1 2.2 2.3

2.4 2.5

w

N

w

N N

w

N N

w w

SN

SN

SNSN

rt)(kompensieN SC

SN

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Musterlösung 1.Sitzung: Arbeitsmarkt: Arbeitsangebot und -nachfrage

Teil B: Arbeitsnachfrage

1. Gewinnmaximale Beschäftigung als Optimierungskalkül der Unternehmen

Bestimmen Sie die Bedingung erster Ordnung im Fall eines kompetitiven Gütermarktes in folgenden Teilschritten

1.1 Bestimmen Sie die Umsatzfunktion (Hinweis: In einem kompetitiven Gütermarkt ist der Preis ein Datum!)

0

0

),(

)(

LL

L

f

f

KLfq

qpqR

1.2 Bestimmen Sie die Gewinnfunktion bei konstantem Kapitalstock!

KrLwKLfpKrwLqp

cqR

),(

)(

q

L

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1.3 Bestimmen Sie die Bedingung erster Ordnung!

p

wf

wpf

wfpdL

d

L

L

L

0

1.4 Interpretieren Sie die Bedingung für die gewinnmaximale Beschäftigung für einen gegebenen Reallohn!

Fall 1: Fall 2:

fw

pLL f

w

pLL

1.5 Bestimmen Sie und interpretieren Sie die Steigung der Arbeitsnachfragefunktion!

w/p

0LLf

L

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)(1

p

wfL L

Lfp

w

1.6 D r üc k en S ie d ie A r be itsnac hfr age funk tion a ls I nv e r se de r B ed ingung e r ste r O r dnung aus!

B e isp ie l für d ie K onstr uk tion e ine r I nv e r sen

y x x f y y 1 5 2 5( ) d x

d y 5

1

1 5

255

1)( xxy f 51

x

y

d

d

y x

Ü ber tr agung auf K onstr uk tion de r A r be itsN E -funk tion

D ie e r ste A b le itung de r inv e r sen F unk tion x entspr ic ht dem R ez ipr ok de r 1 . A b le itung de r o r ig inä r en F unk tion y :

y f x

x f y

( )

( )1

d x

d y d y d x

1

045

045

w/p L

w/p L