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Wiederholung „Mathematische Ökonomie“
Wintersemester 2007/2008
PD Dr. Alexander Spermann
Einführung
Allokationsbegriffe im Überblick
Allokation I
Aufteilung der verfügbaren Zeit auf Arbeits- und Freizeit
Allokation II
Aufteilung des Einkommens auf Konsumausgaben und Ersparnis
Allokation III
Aufteilung der Konsumausgaben auf die einzelnen Gütergruppen
Allokation IV
Aufteilung des Vermögens auf die verschiedenen Anlageformen
Allokation V
Risikoallokation bei Entscheidungen unter Unsicherheit (Erwartungsnutzenkonzept)
Einführung
Allokationsbegriffe im Überblick:Grafische PräsentationQuelle: Westphal, Uwe (1988),Makroökonomik, S. 126
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A n lag e fo rm en
V erm ö g en
E rsp arn is
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G ü te rg ru p p en
K on su m au sg ab en
E in kom m en
A rb e its ze it F re ize it
V erfü g b are Z e it
Einführung
2
1
1
2
p
p
dx
dx
Modell 3Zwei-Güter-Modell
Modell 2Intertemporales Modell
Modell 1Einkommen-Freizeit Modell
U (x1, x2) U (c1, c2) U (y, F)+ + + + + +
- p1/p2
x2
x1
c2
c1
y=c
F
Steigung der Budgetgeraden
12
1
22
2211
xp
p
p
yx
xpxpy
1. Periode: y = c1+s2. Periode: s(1+r) = c2
intertemporale Budgetrestriktiony (1+r) - (1+r) c1 = c2
Steigung der Budgetgeraden
)1(1
2 rdc
dc
T = 24 hw (T-F) = y = pc, mit T-F=N
Steigung der Budgetgeraden
wdF
dy
-(1+r) -w
Einführung
Modell 1: Einkommen-Freizeit Modell und Arbeitsmarkt
A
C
Kompens. BudgetgeradeB
y
F
-w (1-tL) -w
A => B: SE + -B => C: EE - +A => C: GE ?Empirisch: SE > EE
F NS
w/p
NS
NS
NcS
SE
Elastizität:
N
w
dw
dN
sNw,
Einführung
EE
Modell 2: Intertemporales Modell und Kapitalmarkt
-(1+r(1-tR))
c2
c1
A => B: SE + -B => C: EE - +A => C: GE ?Empirisch: SE > EE
c1 s
SE
r
S
S
Sc
Elastizität:
S
r
dr
dSSr,
Einführung
EE
BA
C
Modell 3: Zwei-Güter Modell mit Gütermarkt
x2
x1
A
B
C
2
11
p
tp p1
A => B: SE - +B => C: EE - -A => C: GE - ?
x1 x2
p1
x1
EE SE
t1
D = Hicks-NE
NE= Marshall-NE
Elastizität:
x
p
dp
dxxp,
Einführung
1.Sitzung: Arbeitsmarkt: Arbeitsangebot und-nachfrage
T e i l A : A r b e i t s a n g e b o t
1 . F o r m a l e A n a l y s e d e s E i n k o m m e n - F r e i z e i t M o d e l l s
N u t z e n f u n k t i o n : U ( Y , F ) Y = E i n k o m m e n F = F r e i z e i t ( i n S t u n d e n )
B u d g e t r e s t r i k t i o n : Y = w ( T - F ) w = L o h n
T = Z e i t ( 2 4 S t u n d e n )
1 . 1 L a g r a n g e f u n k t i o n Z
FTwYFYUZ ),(
1.2. Einsetzverfahren (Lösung durch totale Ableitung)
U (Y(F), F) Nutzenfunktion U
in Abhängigkeit von Y und F
wobei Y(F) = w(T - F)
2. Zeichnen Sie folgende Arbeitsangebotskurven in Reallohn-Beschäftigungs-Diagramme:
2.1 Elastisch
2.2 Unelastisch
2.3 Fall a: SE>EE
2.4 Fall b: SE<EE
2.5 Fall c: SE=EE
Teil B: A rbeitsnachfrage
1. G ew innmaximale B eschäftigung als O ptimierungskalkül der U nternehmen
B estimmen Sie die gew innmaximale B eschäftigung eines U nternehmens im Fall eines kompetitivenG ütermarktes in folgenden Teilschritten:
1.1 B estimmen Sie die U msatzfunktion (H inweis: I n einem kompetitiven G ütermarkt ist der Preisein D atum)!
1.2 B estimmen Sie die G ew innfunktion bei konstantem K apitalstock!
B estimmen Sie die B edingung erster O rdnung!
1.3 I nterpretieren Sie die B edingung für die gew innmaximale B eschäftigung für einen gegebenenReallohn!
1.4 B estimmen Sie und interpretieren Sie die Steigung der A rbeitsnachfragefunktion!
1.5 D rücken Sie die A rbeitsnachfragefunktion als I nverse der B edingung erster O rdnung aus!
D ie erste A bleitung der inversen Funktion x entspricht dem Reziprok der 1. A bleitung der originärenFunktion y:
y f x
x f y
( )
( )1
d x
d y d y d x
1
Musterlösung 1.Sitzung: Arbeitsmarkt: Arbeitsangebot und -nachfrage
Teil A: Arbeitsangebot
1YU 2UFw / multiplizieren mit 1/w 1und 2 nach auflösen, daraus folgt:
1.1 Lagrangefunktion Z
Z UYFYwTF(,)
1 ZYUY0 wobei
2Z
F 0wUF wobei
Y
UUY
F
UU F
2UwF 1 und 2 gleichsetzen wUUFY
UUwFY
1.2. Einsetzverfahren (Lösung durch totale Ableitung)
U Y F F( ( ), ) Nutzenfunktion U
in Abhängigkeit von Y und F
wobei )()( FTwFY
dU
dFUdY
dFUY F 0
UdY
dFUY F
dY
dFU UF Y
dY
dFw , da die Budgetrestriktion lautet.
wUUFY
wUUFY
)( FTwY
2.1 2.2 2.3
2.4 2.5
w
N
w
N N
w
N N
w w
SN
SN
SNSN
rt)(kompensieN SC
SN
Musterlösung 1.Sitzung: Arbeitsmarkt: Arbeitsangebot und -nachfrage
Teil B: Arbeitsnachfrage
1. Gewinnmaximale Beschäftigung als Optimierungskalkül der Unternehmen
Bestimmen Sie die Bedingung erster Ordnung im Fall eines kompetitiven Gütermarktes in folgenden Teilschritten
1.1 Bestimmen Sie die Umsatzfunktion (Hinweis: In einem kompetitiven Gütermarkt ist der Preis ein Datum!)
0
0
),(
)(
LL
L
f
f
KLfq
qpqR
1.2 Bestimmen Sie die Gewinnfunktion bei konstantem Kapitalstock!
KrLwKLfpKrwLqp
cqR
),(
)(
q
L
1.3 Bestimmen Sie die Bedingung erster Ordnung!
p
wf
wpf
wfpdL
d
L
L
L
0
1.4 Interpretieren Sie die Bedingung für die gewinnmaximale Beschäftigung für einen gegebenen Reallohn!
Fall 1: Fall 2:
fw
pLL f
w
pLL
1.5 Bestimmen Sie und interpretieren Sie die Steigung der Arbeitsnachfragefunktion!
w/p
0LLf
L
)(1
p
wfL L
Lfp
w
1.6 D r üc k en S ie d ie A r be itsnac hfr age funk tion a ls I nv e r se de r B ed ingung e r ste r O r dnung aus!
B e isp ie l für d ie K onstr uk tion e ine r I nv e r sen
y x x f y y 1 5 2 5( ) d x
d y 5
1
1 5
255
1)( xxy f 51
x
y
d
d
y x
Ü ber tr agung auf K onstr uk tion de r A r be itsN E -funk tion
D ie e r ste A b le itung de r inv e r sen F unk tion x entspr ic ht dem R ez ipr ok de r 1 . A b le itung de r o r ig inä r en F unk tion y :
y f x
x f y
( )
( )1
d x
d y d y d x
1
045
045
w/p L
w/p L