Wiederholung Vektoren Klasse 10 Mathe Punkte im

Wiederholung Vektoren Klasse 10 Mathe

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Punkte im kartesischen Koordinatensystem:

Koordinaten besonderer Punkte im Koordinatensystem:

• Punkte auf der x1-Achse: P(p1|0|0)

• Punkte auf der x2-Achse: P(0|p2|0)

• Punkte auf der x3-Achse: P(0|0|p3)

Mittelpunkt M einer Strecke 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :

Da 𝑎+𝑏

2 der Mittelwert zweier Zahlen a und b ist, erhält man den Mittelpunkt M einer Strecke 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ mit

A(a1|b2|a3) und B(b1|b2|b3) wie folgt: M(𝑎1+𝑏1

2|𝑎2+𝑏2

2 |

𝑎3+𝑏3

2)

Abstand 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ zweier Punkte A und B:

Der Abstand 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ der Punkte A(a1|b2|a3) und B(b1|b2|b3) kann man berechnen, indem man den Satz

des Pythagoras anwendet:

𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗2 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗2 + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗2 = (b2-a2)2 + (b1-a1)2 und daraus ergibt sich

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗2 = 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗2 + 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = (b2-a2)2 + (b1-a1)2 + (b3-a3)2

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = √(b2 − a2)2 + (b1 − a1)2 + (b3 − a3)2

Bearbeite zum Training „Punkte im Raum“ die nachfolgenden Aufgaben 1 bis 4.

x1

x2

x3

P(p1|p2|p3)

• Punkte in der x1- x2-Ebene: P(p1|p2|0)

• Punkte in der x1- x3-Ebene: P(p1|0|p3)

• Punkte in der x2- x3-Ebene: P(0|p2|p3)

Jeder Punkt ist im räumlichen

Koordinatensystem durch seine drei

Koordinaten p1, p2 und p3 eindeutig festgelegt.

x1

x2

x3

A

D

B

b3-a3

b1-a1

b2-a2 C

Quelle: Eigener Entwurf


2


3


4

Quelle: Eigener Entwurf

Vektoren als Verschiebungen:

Gegeben seien die Punkte A(2|3|2), B(3|2|2),

C(4|3|2), D(3|4|2) und A´(3|1|4).

Die Verschiebung von A(2|3|2) zu A´(3|1|4) ergibt sich durch

den Vektor (1|-2|2), da 2 + 1 = 3, 3 + (-2) = 1 und 2 + 2 = 4.

Durch diese Verschiebung ergeben sich die neuen Punkte

B´, C´ und D´: B´(4|0|4), C´(5|1|4) und D´(4|2|4).

Dementsprechend beschreibt jeder Vektor 𝑣 = ( 𝑣1𝑣2𝑣3

) eine Verschiebung im Raum. Die Verschiebungs-

pfeile 𝐴𝐴´⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐵𝐵´⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐶𝐶´⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ und 𝐷𝐷´⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (siehe oben) sind parallel zueinander, gleich lang und haben alle die

gleiche Richtung. Alle veranschaulichen den gleichen Vektor 𝑣 = ( 1−22

). Im Koordinatensystem werden

Vektoren als Pfeile dargestellt, d.h. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ( 𝑏1 − 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏3 − 𝑎3

). Der Abstand von Punkt und Bildpunkt wird auch

als Betrag des Vektors bezeichnet, d.h.|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2

Bearbeite zum Training „Vektoren“ die nachfolgenden Aufgaben 1 bis 6.

x1

x2

x3

A D B

C

A´ B´

C´

D´


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Bearbeitet nun anschließend die nachfolgenden Aufgaben: S.178, Nr.11 und 12, S.179, Nr.15 und 19.

Seite 178, Aufgabe 11:

Das Viereck ABSD ist ein Parallelogramm mit dem Diagonalenschnittpunkt M. Berechne die

Koordinaten der fehlenden Punkte.

a) A(1|2|3), B(2|5|3), C(4|8|6) b) B(3|9|2), C(1|5|6), M(5|6|2)

c) A(3|3|6), D(5|-1|6), M(8|1|2) d) C(-1|3|5), D(1|9|-4), M(15|3|-2)

Seite 178, Aufgabe 12:

Gegeben sind die Punkte A(2|4|5), B(5|8|5) und D(2|0|2).

a) Zeige, dass das Dreieck ABD gleichschenklig, aber nicht gleichseitig ist.

b) Bestimme die Koordinaten des Punktes C so, dass das Viereck ABCD eine Raute ist.

Seite 179, Nummer 15:

Wahr oder falsch? Begründe deine Entscheidung.

a) �⃗� + (- �⃗� ) = 0

b) �⃗� + 𝑣 + ( - 𝑣 ) = �⃗�

c) Der Vektor ( 710

) hat den siebenfachen Betrag des Vektors ( 110

).

d) Der Vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ mit A(2|3|4) und B(4|-2|1) ist der Ortsvektor von C(2|-5|-3).

e) Die Koordinaten des Vektors - 𝑣 sind negativ.

Seite 179, Nummer 19:

In einem Viereck ABCD gilt 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = r · 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, r > 0.

a) Zeichne ein Viereck für r = 0,5. Wie heißt ein solches Viereck?

b) Welches besondere Viereck ergibt sich für r = 1?

Rechnen mit Vektoren:

Gegeben seien die Vektoren 𝑎 = ( 132

) und �⃗� = ( 2

−13

). Hieraus ergibt sich:

𝑎 + �⃗� = ( 132

) + ( 2

−13

) = ( 1 + 2

3 + (−1)

2 + 3 ) = (

325

)

Geometrische Veranschaulichung der

Addition von Vektoren:

Einen Pfeil des Vektors 𝑎 + �⃗� erhält man

durch Hintereinandersetzen des Pfeils von

�⃗� an einen Pfeil von 𝑎 .


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und 𝑎 - �⃗� = ( 132

) - ( 2

−13

) = ( 1 − 2

3 − (−1)

2 − 3 ) = (

−14

−1 )

Neben der Addition und Subtraktion von Vektoren, sind auch Skalarmultipikationen (mit einer

reellen Zahl) möglich, zum Beispiel die Skalarmultiplikation des Vektors 𝑎 = ( 0,5

1,51

) mit 3:

3 · ( 0,5

1,51

) = ( 3 · 0,5

3 · 1,53 · 1

) = ( 1,5

4,53

)

Gilt für zwei Vektoren �⃗� = r · 𝑎 , dann sagt man, 𝑎 und �⃗� sind kollinear bzw. die zugehörigen Pfeile

sind parallel.

Der Gegenvektor des Vektors 𝑎 mit 𝑎 = ( 0,5

1,51

)

ist der Vektor - 𝑎 = ( −1−2−3

).

𝑜 = ( 000

) heißt Nullvektor. 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ heißt Ortsvektor des Punktes A. Einen Ausdruck wie r · 𝑎 + s · �⃗� + t · 𝑐

nennt man Linearkombination der Vektoren 𝑎 , �⃗� und 𝑐 (r, s, t Є ℝ).

Da wir mit Vektoren koordinatenweise rechnen, sind die gleichen Rechengesetzte wie bei den reellen

Zahlen gültig: Klammern werden zuerst berechnet, die Skalarmultiplikation wird vor der Vektor-

addition durchgeführt, Kommutativgesetz der Addition und der Skalarmultiplikation, Assoziativgesetz

der Addition und Skalarmultiplikation sowie das Distributivgesetz der Skalarmultiplikation.

Bearbeite zum Training „Rechnen mit Vektoren“ die nachfolgenden Aufgaben 1 bis 5 sowie zum

Training „Punkte und Vektoren“ die Aufgaben 1 bis 4.


Subtraktion von Vektoren:

Die Subtraktion 𝑎 - �⃗� ist als Addition des

Vektors 𝑎 mit dem Gegenvektor von �⃗�

festgelegt: 𝑎 - �⃗� = 𝑎 + (- �⃗� )


Skalarmultiplikation:

Der Pfeil des Vektors 3 · 𝑎⃗⃗⃗ ist drei Mal so

lang wie der Pfeil des Vektors 𝑎 und zeigt

in dieselbe Richtung.

Multipliziert man mit einer negativen

Zahl, so zeigt der Pfeil des Skalarprodukts

in die entgegengesetzte Richtung.


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Geraden im Raum:

Gegeben sind die Punkte A(2|3|2), B(1|1|1) und C(3|-1|1). Liegen diese drei Punkte auf einer

Geraden?

Überlegungen:

• Zwei Punkte legen eine Gerade eindeutig fest, zum Beispiel legen die Punkte A und B die

Gerade g eindeutig fest:

g: 𝑥 = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + t · 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗

g: 𝑥 = ( 232

) + t · ( −1−2−1

) (Parameter t Є ℝ)

• Nun müssen wir mithilfe einer Punktprobe testen, ob der Punkt C auf der Geraden g liegt:

( 3

−11

) = ( 232

) + t · ( −1−2−1

) Hieraus ergibt sich 𝑡 = −1𝑡 = 2𝑡 = 1

und damit ergibt sich eine falsche Aussage.

C liegt nicht auf der Geraden g

Parametergleichung einer Geraden:

g: 𝑥 = 𝑝 + t · �⃗� , t Є ℝ ist eine Gerade durch den Punkt P (mit seinem Ortsvektor 𝑝 ) mit dem

Richtungsvektor �⃗� (�⃗� ≠0⃗ ). 𝑝 heißt Stützvektor.


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Gegenseitige Lage von Geraden:

Geraden können zueinander wie folgt liegen:

• zueinander parallel und verschieden

• sich schneiden

• zueinander parallel und identisch

• windschief


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Zur Überprüfung der gegenseitigen Lagebeziehung zweier Geraden könnt ihr das nachfolgende

Schema nutzen:

Gegeben sind die Geraden g und h mit g: 𝑥 = 𝑝 + r �⃗� und h: 𝑥 = 𝑞 + s 𝑣

Sind die Richtungsvektoren �⃗�

und 𝑣 Vielfache voneinander?

Liegt der Punkt P mit dem

Ortsvektor 𝑝 auf der Geraden h?

Hat die Gleichung

𝑝 + r �⃗� = 𝑞 + s 𝑣 eine Lösung?

g || h und

g identisch h

g || h und

g verschieden h

g und h schneiden

sich

g und h sind zueinander

windschief

ja

ja ja nein

nein

nein

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