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Wim de Boer, Karlsruhe Kosmologie VL, 13.11.2009 1
Vorlesung 4:
Roter Faden:
1. Evolution des Universums
Roter Faden:
1. Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen2. Evolution des Universums in der ART
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Friedmannsche Gl. und Newtonsche Mechanik
Die Friedmannsche Gleichungen der ART entsprechen
1. Newtonsche Mechanik2. + Krümmungsterm k/S2
3. + E=mc2 (oder u=c2)4. + Druck ( Expansionsenergie im heißem Univ.)5. + Vakuumenergie (=Kosmologische Konstante)
Dies sind genau die Ingredienten die man brauchtfür ein homogenes und isotropes Universum,das evtl. heiß sein kann (Druck ≠ 0)
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Heute:diese Zeit ausrechnenunter Berücksich-tigung derDunklenEnergie
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Zum Mitnehmen
1. Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen beschreiben Evolution eines homogenen und isotropen Universums.
Daraus folgt mit p = α c2 : (t) S(t) -3(1+α)
S(t) t 2/3(1+α)
2. Wenn Strahlung dominiert ( α = 1/3 ), dann gilt: S(t) = k0 t ½
3. Wenn Materie dominiert (α = 0 ), dann gilt: S(t) = k1 t 2/3
4. Wenn Vakuumenergie dominiert ( = k), dann gilt: S(t) = k2 eHt
(exponentielle Zunahme (Inflation) mit H = konstant)5. Alter des Universums für = 0.7: t 1/H0 14 .109 yr statt t= 2/3H0 10 .109 yr (älteste Galaxien > 13 .109 yr !)
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Minkowski 4-dimensionale Raum-Zeit
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Metrik = Vorschrift zur Längenmessung
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Mathematische Beschreibung der Krümmung
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Krümmung im 3-dim. Raum -> 4. Koordinate -> 4-dim. Euklidischer Raum
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Robertson-Walker Metrik = Metrik in 4D-comoving coor.
Für ein homogenesund isotropes Universum gilt:Metrik unabh. von ,θ, d.h. d = dθ = 0
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Längen im gekrümmten Raum
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Friedmann Gleichungen
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Erste Friedman Gleichung nach Newton
DimensionsloseDichteparameter:
M mv
=Friedmannfür k=-2E/m
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Differenziere (1) und benutze u=c2
ergibt die zweite Friedm. Gl
Berücksichtigung der Expansionsenergie
(1)
(2)
dE=-pdV oder dE/dt = -p dV/dt - dV dp/dt Letzter Term doppelter Differentialterm, daher vernachlässigbar.
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Kosmologische Konstante
p
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Kosmologische Konstante
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Energieerhaltung aus Friedmann Gl.
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Zeitentwicklung der Dichte
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Zeitentwicklung der Dichte
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Zeitentwicklung des Universums
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Zeitentwicklung des Universums
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Wie groß ist das sichtbare Universum für =1?
Jetzt mit S(t) = kt2/3(1+)
Daraus folgt: = d = dt / S(t) oder mit S(t) = kt2/3(1+)
= c d = c1/ kt2/3(1+)dt = (3+3)/(1+3 )(c/k) t(1+3 ) /(3 +3 )
Oder R0= S(t) = (3+3 )/(1+3 ) c t0 =
3ct0 für =0 (Materiedominanz) ct0 für =1/3 (Strahlungsdominanz) 0 ct0 für =-1 (Vakuumenergie) Wie berechnet man R0 für Kombination aller drei????
Nützlich: berechne nicht alles als Fkt. von S und t, sondern H und z, denn dies sind die beobachteten Größen.Beachte: Wellenlänge skaliert mit S!! D.h. 1+z=λobs/λemit=S0/S.ODER BEI z=1 war das Univ. nur halb so groß, bei z=1000 1/1000.
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Inflation bei konstantem 0
Oder S(t) e t/ mit Zeitkonstante = 1 /HAlter des Univ., d.h.beschleunigteExpansion durch Vakuumenergie jetztsehr langsam, aber zum Alter t10-36s sehr schnell! Dieser Inflationsschubam Anfang, die durch die Symmetriebrechungeiner vereinheitlichter “Urkraft”, wie durchGUT’s (Grand Unified Theories) vorhergesagt,ist die einzige Erklärung warum Univ. sogroß ist und soviel Materie hat.
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Alter des Universums mit ≠ 0
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Alter des Universums mit ≠ 0
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Alter des Universums mit ≠ 0
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Zum Mitnehmen
1. Friedmann-Lemaitre Feldgleichungen beschreiben Evolution eines homogenen und isotropen Universums.
Daraus folgt mit p = α c2 : (t) S(t) -3(1+α)
S(t) t 2/3(1+α)
2. Wenn Strahlung dominiert ( α = 1/3 ), dann gilt: S(t) = k0 t ½
3. Wenn Materie dominiert (α = 0 ), dann gilt: S(t) = k1 t 2/3
4. Wenn Vakuumenergie dominiert ( = k), dann gilt: S(t) = k2 eHt
(exponentielle Zunahme (Inflation) mit H = konstant)5. Alter des Universums für = 0.7: t 1/H0 14 .109 yr statt t= 2/3H0 10 .109 yr (älteste Galaxien > 13 .109 yr !)
