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Prof. Dr. Stefan NickelDipl. Kfm. Hans-Peter Ziegler
WS 2008 / 2009
Wissenschaftliches ArbeitenQuantitative Methoden
Seite 2Wissenschaftliches Arbeiten – Quantitative Methoden, WS 2008 / 2009
Dipl. Kfm. Hans-Peter Ziegler
Gliederung
I. Motivation
II. Lesen mathematischer Symbole
III. Wissenschaftliche Argumentation
IV. Matrizenrechnung
V. Metriken
VI. Algorithmen
VII. Optimierungsprobleme & Optimierungsverfahren
VIII. Praktischer Umgang mit Daten
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Dipl. Kfm. Hans-Peter Ziegler
Gliederung
I. Motivation
Seite 4Wissenschaftliches Arbeiten – Quantitative Methoden, WS 2008 / 2009
Dipl. Kfm. Hans-Peter Ziegler
I. Motivation: Ziel der Veranstaltung
Was ist das Ziel dieser Veranstaltung?
Das Ziel ist die „Verbesserung der Fähigkeiten zum selbständigenwissenschaftlichen Arbeiten“.
Wie sieht die Zielgruppe aus?
Der Kurs ist vor Allem auf Studierende ausgelegt, die gerade mit dem Hauptstudium beginnen / begonnen haben.
Seite 5Wissenschaftliches Arbeiten – Quantitative Methoden, WS 2008 / 2009
Dipl. Kfm. Hans-Peter Ziegler
I. Motivation: Ziel der Veranstaltung
Wie wird das Ziel erreicht? Welche Vorteile bringt diese Veranstaltung mir, als Student?
Im Rahmen des Kurses werden grundlegende mathematische Kenntnisse vermittelt und elementare Verfahrensweisen zum wissenschaftlichen Arbeiten vorgestellt. Diese erleichtern im weiteren Verlauf des Studiums
• das Verständnis des Vorlesungsstoffs
• das Lesen wissenschaftlicher Arbeiten(in Hinblick auf die zukünftige Seminararbeit)
• das eigenständige Erstellen wissenschaftlicher Texte(in Hinblick auf die zukünftige Diplomarbeit)
Seite 6Wissenschaftliches Arbeiten – Quantitative Methoden, WS 2008 / 2009
Dipl. Kfm. Hans-Peter Ziegler
I. Motivation: Ziel der Veranstaltung
Am Ende des Semesters gibt es eine Abschlussprüfung.
Jeder Kursteilnehmer, der diese Prüfung besteht, erhält einen Schein (mit Note) über die erfolgreiche Teilnahme am Kurs.
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Dipl. Kfm. Hans-Peter Ziegler
Gliederung
I. Motivation
II. Lesen mathematischer Symbole
i. Das griechische Alphabet
ii. Aussagen
iii. Mengen
iv. Summen
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II. Lesen mathematischer Symbole: Das griechische Alphabet
alpha lambda phi
beta my chi
gamma ny psi
delta xi omega
epsilon o
zeta pi
eta rho
theta sigma
iota tau
kappa upsilon
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Dipl. Kfm. Hans-Peter Ziegler
II. Lesen mathematischer Symbole: Das griechische Alphabet
Gamma
Delta
Theta
Lambda
Pi
Sigma
Phi
Psi
Omega
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Definition:
„Eine Aussage ist die gedankliche Widerspiegelung eines Sachverhalts in Form eines Satzes einer natürlichen oder künstlichen Sprache. Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch. Man spricht vom Prinzip der Zweiwertigkeit. Man nennt „wahr“ bzw. „falsch“ den Wahrheitswert der Aussage und bezeichnet ihn mit W (oder 1) bzw. F (oder 0).“
[vgl. Bronstein, Semendjajew et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2001]
„Eine Aussage ist die Zuerkennung eines n-stelligen Prädikates an n Subjekte. Jeder Aussage wird ein Wahrheitswert W = wahr oder F = falsch zugeordnet, und zwar nur einer von beiden.“
[vgl. Stöppler: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Lineare Algebra und ökonomische Anwendung. 1972]
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Beispiele:
• Dieses Kind ist 7 Jahre alt.1 Subjekt: Kind1 Prädikat: …ist 7 Jahre alt
• Max ist älter als Moritz2 Subjekte: Max, Moritz1 Prädikat: …ist älter als…
• Max ist größer als Moritz und kleiner als 1.80m3 Subjekte: Max, Moritz, 1.80m2 Prädikate: …ist größer als…, …ist kleiner als…
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Operationen mit Aussagen
• Negation: Sei A eine Aussage, dann wird die Negation von A mit bzw. bezeichnet. Da A entweder wahr oder falsch ist, wird die Negation durch die folgende Wahrheitstafel definiert:
Sprechweise: „Nicht A“
Beispiele:
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Operationen mit Aussagen
• Konjunktion: Sind A und B zwei Aussagen, so kann man eine zusammen-gesetzte Aussage bilden, die nur dann wahr ist, wennA „und“ B gleichzeitig wahr sind. „und“ wird mit bezeichnet.
Sprechweise: „A und B“
Bemerkung:
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Beispiele:
„Die nach dem Wirtschaftlichkeitsprinzip handelnden Unternehmen maximieren den Faktorertrag und minimieren den Faktoreinsatz.“
„5 ist gerade und 7 ist durch 2 teilbar.“
„Heute habe ich Uni und morgen ist Freitag.“
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Operationen mit Aussagen
• Disjunktion: Für zwei Aussagen A und B heißt die Disjunktion A „oder“ B:, d.h. ist wahr, wenn mindestens eine der
Aussagen wahr ist.
Sprechweise: „A oder B“
Bemerkung:
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Beispiele:
„Die nach dem Wirtschaftlichkeitsprinzip handelnden Unternehmen maximieren den Faktorertrag oder minimieren den Faktoreinsatz.“
„5 ist gerade oder 7 ist durch 2 teilbar.“
„Heute habe ich Uni oder morgen ist Freitag.“
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Operationen mit Aussagen
• Implikation: Die Aussage A impliziert logisch die Aussage B.
Sprechweise: „Wenn A, dann B“„A impliziert B“„Aus A folgt B“„B ist notwendig für A“„A ist hinreichend für B“
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Beispiele:
„Die nach dem Wirtschaftlichkeitsprinzip handelnden Unternehmen minimieren den Faktoreinsatz, wenn sie den Faktorertrag maximieren.“
„5 ist gerade ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass 7 durch 2 teilbar ist.“
„Morgen ist Freitag ist eine notwendige Bedingung dafür, dass ich heute Uni habe.“
Seite 19Wissenschaftliches Arbeiten – Quantitative Methoden, WS 2008 / 2009
Dipl. Kfm. Hans-Peter Ziegler
II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Operationen mit Aussagen
• Äquivalenz: Die Aussagen A und B heißen logisch äquivalent, wenn entweder A und B wahr oder A und B falsch sind.
Sprechweise: „A ist äquivalent mit B“„A dann und nur dann, wenn B“„A genau dann, wenn B“„A ist notwendig und hinreichend für B“
Seite 20Wissenschaftliches Arbeiten – Quantitative Methoden, WS 2008 / 2009
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Beispiele:
„Die nach dem Wirtschaftlichkeitsprinzip handelnden Unternehmen maximieren den Faktorertrag genau dann, wenn sie den Faktoreinsatz minimieren.“
„5 ist gerade ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass 7 durch 2 teilbar ist.“
„Ich habe heute Uni ist äquivalent mit der Aussage, dass morgen Freitag ist.“
Seite 21Wissenschaftliches Arbeiten – Quantitative Methoden, WS 2008 / 2009
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Beschränkte Quantifizierungen:
Häufig ist es vorteilhaft, sich bei Quantifizierungen nur auf die Elemente einer vorgegebenen nichtleeren Menge zu beziehen:
All-Quantor „für alle Elemente aus der Menge …“
Existenz-Quantor „es gibt ein Element aus der Menge …“
Bemerkung:„Es ist nicht wahr, dass für alle Elemente in M die Aussage p(x) gilt.“ist äquivalent zu „Es existiert ein Element in M, für die die Aussage p(x) nicht gilt.“
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Beispiele:
„Für alle Zahlen aus der Menge der ganzen Zahlen gilt, dass sie gerade sind.“
„Es existiert mindestens eine Zahlen aus der Menge der ganzen Zahlen für die gilt, dass sie gerade ist.“
„Egal durch welche Zahl aus der Menge M man 10 dividiert, das Ergebnis ist immer kleiner als 3.“
„In der Menge M gibt es Zahlen, durch die man 10 dividieren kann, um ein Ergebnis zu erhalten, das kleiner als 3 ist.“
„Alle Zahlen zwischen 2 und 4 sind gleich 5 sind.“
„Die Zahl 5 liegt zwischen 2 und 4.“
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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen
Definition:
„Eine Menge A ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohldefinierter Objekte a unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente der Menge ... Mengen können beschrieben werden durch Aufzählung aller ihrer Elemente in geschweiften Klammern oder durch eine definierende Eigenschaft, die genau den Elementen der Menge zukommt.“
[vgl. Bronstein, Semendjajew et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2001]
„Eine Menge ist die Zusammenfassung wohldefinierter Objekte, die Elemente der Menge. Sie wird entweder durch Aufzählung oder durch Aussagen, die Zugehörigkeiten eindeutig festlegen, gegeben.“
[vgl. Stöppler: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Lineare Algebra und ökonomische Anwendung. 1972]
Seite 24Wissenschaftliches Arbeiten – Quantitative Methoden, WS 2008 / 2009
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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen
Beispiele:
•3 Elemente: 2, 4, 7
•4 Elemente: Uwe, Gabi, Elke, Claudia
•Unendlich viele Elemente: alle reellen Zahlen
•2 Elemente: 2, 4
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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen
Teilmenge: Sind A und B Mengen und gilt
so heißt A Teilmenge von B: . Mit anderen Worten: A ist Teilmenge von B, wenn alle Elemente von A auch zu B gehören.
Gibt es für in B weitere Elemente, die nicht in A vorkommen, so heißt A echte Teilmenge von B, und man schreibt:
Beispiel: ,C ist echte Teilmenge von A.
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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen
Operationen mit Mengen
• Vereinigung: Seien A und B Mengen. Die Vereinigungsmenge oderVereinigung ist definiert durch
Sprechweise: „A vereinigt mit B“
Bemerkung:
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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen
Beispiele:
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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen
• Durchschnitt: Seien A und B Mengen. Die Schnittmenge oderder Durchschnitt ist definiert durch
Sprechweise: „A geschnitten mit B“
Bemerkung:
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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen
Beispiele:
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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen
• Komplement: Das relative Komplement einer Menge B bzgl. einer Menge A oder die Differenz von A und B, bezeichnet mit , ist die Menge all der Elemente, die in A, aber nicht in B liegen:
Das absolute Komplement einer Menge A, bezeichnet mit ist das relative Komplement von A bzgl. der universellen Menge U (auch häufig mit Grundgesamtheit G bezeichnet), nämlich die Menge all der Elemente, die nicht in A liegen(aber in U):
Sprechweise: „A ohne B“
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II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen
Beispiele:
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II. Lesen mathematischer Symbole: Summen
Die wichtigsten Summenformeln:
• Arithmetische Summen:
Wichtiger Spezialfall:
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II. Lesen mathematischer Symbole: Summen
• Geometrische Summe:
Wichtiger Spezialfall:
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II. Lesen mathematischer Symbole: Summen
• Sonstige wichtige Summen: