Prof. Dr. Stefan NickelDipl. Kfm. Hans-Peter Ziegler
WS 2008 / 2009
Wissenschaftliches ArbeitenQuantitative Methoden
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Gliederung
I. Motivation
II. Lesen mathematischer Symbole
III. Wissenschaftliche Argumentation
IV. Matrizenrechnung
V. Metriken
VI. Algorithmen
VII. Optimierungsprobleme & Optimierungsverfahren
VIII. Praktischer Umgang mit Daten
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Gliederung
I. Motivation
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I. Motivation: Ziel der Veranstaltung
Was ist das Ziel dieser Veranstaltung?
Das Ziel ist die Verbesserung der Fhigkeiten zum selbstndigenwissenschaftlichen Arbeiten.
Wie sieht die Zielgruppe aus?
Der Kurs ist vor Allem auf Studierende ausgelegt, die gerade mit dem Hauptstudium beginnen / begonnen haben.
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I. Motivation: Ziel der Veranstaltung
Wie wird das Ziel erreicht? Welche Vorteile bringt diese Veranstaltung mir, als Student?
Im Rahmen des Kurses werden grundlegende mathematische Kenntnisse vermittelt und elementare Verfahrensweisen zum wissenschaftlichen Arbeiten vorgestellt. Diese erleichtern im weiteren Verlauf des Studiums
das Verstndnis des Vorlesungsstoffs
das Lesen wissenschaftlicher Arbeiten(in Hinblick auf die zuknftige Seminararbeit)
das eigenstndige Erstellen wissenschaftlicher Texte(in Hinblick auf die zuknftige Diplomarbeit)
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I. Motivation: Ziel der Veranstaltung
Am Ende des Semesters gibt es eine Abschlussprfung.
Jeder Kursteilnehmer, der diese Prfung besteht, erhlt einen Schein (mit Note) ber die erfolgreiche Teilnahme am Kurs.
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Gliederung
I. Motivation
II. Lesen mathematischer Symbole
i. Das griechische Alphabet
ii. Aussagen
iii. Mengen
iv. Summen
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II. Lesen mathematischer Symbole: Das griechische Alphabet
alpha lambda phi
beta my chi
gamma ny psi
delta xi omega
epsilon o
zeta pi
eta rho
theta sigma
iota tau
kappa upsilon
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II. Lesen mathematischer Symbole: Das griechische Alphabet
Gamma
Delta
Theta
Lambda
Pi
Sigma
Phi
Psi
Omega
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Definition:
Eine Aussage ist die gedankliche Widerspiegelung eines Sachverhalts in Form eines Satzes einer natrlichen oder knstlichen Sprache. Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch. Man spricht vom Prinzip der Zweiwertigkeit. Man nennt wahr bzw. falsch den Wahrheitswert der Aussage und bezeichnet ihn mit W (oder 1) bzw. F (oder 0).
[vgl. Bronstein, Semendjajew et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2001]
Eine Aussage ist die Zuerkennung eines n-stelligen Prdikates an n Subjekte. Jeder Aussage wird ein Wahrheitswert W = wahr oder F = falsch zugeordnet, und zwar nur einer von beiden.
[vgl. Stppler: Mathematik fr Wirtschaftswissenschaftler: Lineare Algebra und konomische Anwendung. 1972]
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Beispiele:
Dieses Kind ist 7 Jahre alt.1 Subjekt: Kind1 Prdikat: ist 7 Jahre alt
Max ist lter als Moritz2 Subjekte: Max, Moritz1 Prdikat: ist lter als
Max ist grer als Moritz und kleiner als 1.80m3 Subjekte: Max, Moritz, 1.80m2 Prdikate: ist grer als, ist kleiner als
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Operationen mit Aussagen
Negation: Sei A eine Aussage, dann wird die Negation von A mit bzw. bezeichnet. Da A entweder wahr oder falsch ist, wird die Negation durch die folgende Wahrheitstafel definiert:
Sprechweise: Nicht A
Beispiele:
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Operationen mit Aussagen
Konjunktion: Sind A und B zwei Aussagen, so kann man eine zusammen-gesetzte Aussage bilden, die nur dann wahr ist, wennA und B gleichzeitig wahr sind. und wird mit bezeichnet.
Sprechweise: A und B
Bemerkung:
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Beispiele:
Die nach dem Wirtschaftlichkeitsprinzip handelnden Unternehmen maximieren den Faktorertrag und minimieren den Faktoreinsatz.
5 ist gerade und 7 ist durch 2 teilbar.
Heute habe ich Uni und morgen ist Freitag.
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Operationen mit Aussagen
Disjunktion: Fr zwei Aussagen A und B heit die Disjunktion A oder B:, d.h. ist wahr, wenn mindestens eine der
Aussagen wahr ist.
Sprechweise: A oder B
Bemerkung:
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Beispiele:
Die nach dem Wirtschaftlichkeitsprinzip handelnden Unternehmen maximieren den Faktorertrag oder minimieren den Faktoreinsatz.
5 ist gerade oder 7 ist durch 2 teilbar.
Heute habe ich Uni oder morgen ist Freitag.
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Operationen mit Aussagen
Implikation: Die Aussage A impliziert logisch die Aussage B.
Sprechweise: Wenn A, dann BA impliziert BAus A folgt BB ist notwendig fr AA ist hinreichend fr B
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Beispiele:
Die nach dem Wirtschaftlichkeitsprinzip handelnden Unternehmen minimieren den Faktoreinsatz, wenn sie den Faktorertrag maximieren.
5 ist gerade ist eine hinreichende Bedingung dafr, dass 7 durch 2 teilbar ist.
Morgen ist Freitag ist eine notwendige Bedingung dafr, dass ich heute Uni habe.
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Operationen mit Aussagen
quivalenz: Die Aussagen A und B heien logisch quivalent, wenn entweder A und B wahr oder A und B falsch sind.
Sprechweise: A ist quivalent mit BA dann und nur dann, wenn BA genau dann, wenn BA ist notwendig und hinreichend fr B
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Beispiele:
Die nach dem Wirtschaftlichkeitsprinzip handelnden Unternehmen maximieren den Faktorertrag genau dann, wenn sie den Faktoreinsatz minimieren.
5 ist gerade ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafr, dass 7 durch 2 teilbar ist.
Ich habe heute Uni ist quivalent mit der Aussage, dass morgen Freitag ist.
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Beschrnkte Quantifizierungen:
Hufig ist es vorteilhaft, sich bei Quantifizierungen nur auf die Elemente einer vorgegebenen nichtleeren Menge zu beziehen:
All-Quantor fr alle Elemente aus der Menge
Existenz-Quantor es gibt ein Element aus der Menge
Bemerkung:Es ist nicht wahr, dass fr alle Elemente in M die Aussage p(x) gilt.ist quivalent zu Es existiert ein Element in M, fr die die Aussage p(x) nicht gilt.
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II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen
Beispiele:
Fr alle Zahlen aus der Menge der ganzen Zahlen gilt, dass sie gerade sind.
Es existiert mindestens eine Zahlen aus der Menge der ganzen Zahlen fr die gilt, dass sie gerade ist.
Egal durch welche Zahl aus der Menge M man 10 dividiert, das Ergebnis ist immer kleiner als 3.
In der Menge M gibt es Zahlen, durch die man 10 dividieren kann, um ein Ergebnis zu erhalten, das kleiner als 3 ist.
Alle Zahlen zwischen 2 und 4 sind gleich 5 sind.
Die Zahl 5 liegt zwischen 2 und 4.
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