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Wo ist Physik relevant in den Geowissenschaften Die folgende Auflistung gibt einen Uumlberblick zu den vielfaumlltigen geowissenschaftlich relevanten Prozessen und Methoden bei denen physikalische Grundlagen von groszliger Bedeutung sind
-Thermodynamik Reaktionskinetik (Entstehung und Umwandlung von Gesteinen Mineralneubildung und -umwandlung Schadstoffe im Grundwasser und deren Bindung bzw Freisetzung an Mineraloberflaumlchen)
-Elastizitaumlt seismische Wellen Gebirgsbildungen Erdbeben
-Radioaktiver Zerfall Datierung von Gesteinen
-Stroumlmungsmechanik Ozeanographie Oberflaumlchenwaumlsser Grundwasser Wassertransport in Blaumlttern Bionik
-Gravitation Rotation Gebirgsbildungen Gezeiten Sedimentationsprozesse
-Magnetfelder Erdmagnetfeld Weltraumwetter Plattentektonik-Kontinentaldrift
-Elektrostatik Elektromagnetik elektrische Erkundungsmethoden Entstehung des Magnetfeldes (Geodynamo)
-Wellen seismische Wellen Wasserwellen elektromagnetische Wellen (Georadar Mikroskopie kosmische Strahlung Roumlntgenstrahlung zur Kristallanalyse mittels Beugung)
Skalare Vektoren Matrizen
bull Skalare (Tensoren 0-ter Stufe)Dichte Temperatur Energie
bull Vektoren (Tensoren 1-ter Stufe)Materialtransport (zB Platten Grundwasser) Magnetfeld Schwerefeld
bull Matrizen (Tensoren 2-ter Stufe)Spannungen Verformungen
Energien
bull Driftende Lithosphaumlrenplatteca Ekin = 400 J
bull PkWca Ekin = 400000 J
bull Andere zum VergleichBlitz ca 109 ndash 1010 JGewitter ca 1012 ndash 1013 JHiroshima Bombe ca 1014 JAusbruch Mt St Helens ca 1016 ndash 1017 JChile-Beben 1960 ca 1019 JJaumlhrlicher Energieverbrauch der USA ca 1020 JTaumlgliche Sonneneinstrahlung auf der Erde ca 1022 JMeteoriteneinschlag (10 km Durchmesser v=20kms) ca 1023 JE=mc2 der gesamten Erdmasse ca 54x1041 J
Spannungen (Tensor 2-ter Stufe)
bull Definition Spannung = Kraft Flaumlche = FA
Zerlegung in Normal- und TangentialspannungFlaumlche A
Kraft F
Kraft
Normalspannung σyy
Tangentialspannungen
σyz
σyxY
x
Z
Δx
Δz
Δy
Spannungstensor
σxx σxy σxz
σyx σyy σyz
σzx σzy σzz
Normalspannungen
σxx σyy σzzTangentialspannungen
σxy = σyx
σyz = σzy
σxz = σzx
Warum ist σij = σji
Kraft Fy = σzy Δx Δy
Δz2 Drehmoment Dy= Fy (Δz2)
= σzy (Δx Δy Δz)2
Kraft Fz = σyz Δx ΔzDrehmoment Dz
= σyz (Δx Δy Δz)2
Δy2
Warum ist σij = σji
AntwortDrehmomente muumlssen gleich sein(sonst rotiert der Koumlrper)
σyz (Δx Δy Δz)2 = σzy (Δx Δy Δz)2
rarr σyz = σzy
σxz
σxy
σyz
σyx
σzx
σzy
Man kann immer ein Koordinatensystem finden so dass nur Normalspannungen existieren
σxx σxy σxz
σyx σyy σyz
σzx σzy σzz
σx 0 0
0 σy 0
0 0 σz
σx σy σzHauptspannungen
Xlsquo
Ylsquo
σylsquoylsquo = σy
σxlsquoxlsquo = σx
x
y
σ
σσyy
σyx
σxy
σxx
Einige spezielle Faumllle
Einaxiale Spannungerzeugt
reine Laumlngenaumlnderung
Reine Scherspannungerzeugt
reine Winkelaumlnderung
Hydrostatischer Druckerzeugt
reine Volumenaumlnderung
Animation siehehttpwwwrmutphysicscomcharudvirtualexperimentlabphysics1moduluspropertiehtm
Einaxiale Spannung und Verformung
b
L
E ElastizitaumltsmodulK Kompressionsmodulmicro Schermodulν Poisson-Zahl der Querkontraktion
ΔL L relative Laumlngenaumlnderung(parallel zur einaxialen Spannung)Δb b relative Dickenaumlnderung(senkrecht zur einaxialen Spannung)
L
σx σx
ΔLσy
σy
σx = (K + 4micro3) ΔLL
Δb=0
L
σx σx
ΔLσy = 0
σx = E ΔLL E=2micro(1+ν) ν = -
Δb2
Δbb ΔL L
b
Einaxiale Spannung und Verformung
p
ΔV
V-ΔV
p
p p
Hydrostatischer DruckP = K ΔVV
P = ndash σx = ndash σy = ndash σz
Scherspannung
σ = μ γ
x
yσ
γ
Inelastische Prozesse RHEOLOGIE
k η
F = k ΔLLd(ΔLL)
dtF = η
k Federkonstanteη Viskositaumltt Zeit
F FF
F
t
t
F
ΔLLt
t
F
ΔLL
Beispiele in Geowissenschaftenhttpjspc-wwwcoloradoedu~szhongmantlehtml (Konvektion im Erdmantel)httpwwwgeologyummaineedugeodynamicsmicrodynamicsmoviesPorphNoRotmov (Mineralwachstum)
L L L L
Potential und Kraumlfte
httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005indexhtml
Houmlhenlinien sind Linien gleichen Potentials AumlquipotentiallinienDie Richtung der Kraumlfte ist senkrecht zu den Aumlquipotentiallinien
Gravitationsfeld fuumlrPunktmassen(auch guumlltig fuumlr kugelfoumlrmige homogene Massen)
mmiddotMKraft F = G = m a
r2
MPotential Φ = G
r
a = ndash dΦdr
Gravitationsbeschleunigungdurch die Masse M
Rotation
Zentrifugalkraft (Traumlgheitskraft)
Fz = m r ω2
ω = dφdt Winkelgeschwindigkeit m r2 Traumlgheitsmoment
Zentripetalkraft
r
Bei der Bewegung von Himmelskoumlrpern ist die Zentripetalkraft die GRAVITATION
Zentrifugal-beschleunigung
Rotierende Erde
ω
Die Erde ist durch die Eigenrotation ein abgeplatteter Koumlrper (Rotationsellipsoid)
e
r
φ
Fz =m r ω2 ZentrifugalkraftGravitationskraft
Schwerkraft= Gravitationskraft + Zentrifugalkraft (vektoriell)
M 1Potential Φ = G + ω2 e2 cos2φ e 2
Schwerebeschleunigung in Richtung e = ndash dΦde M = G ndash ω2 e cos2φ e2
GezeitenkraumlfteGezeitenkraumlfte entstehen durch das Zusammenspiel von Gravitationskraftund Zentrifugalkraft
Die Zentrifugalkraft entsteht durch dieRotation von Himmelskoumlrpern um ihrengemeinsamen Schwerpunkt
An verschiedenen Punkten der Erde istdie Gravitationskraft durch Mond bzw Sonne ist aufgrund der Abstandsunter-schiede an verschiedenen Punktenungleich Im Schwerpunkt der Erdeheben sich Gravitationskraft undZentrifugalkraft auf
Die Gezeitenkraft ist die Vektorsummevon Gravitations- und Zentrifugalkraft
Aufgrund der Eigenrotation der Erdekommt es zu einer etwa 12-stuumlndigenGezeitenperiode
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Federpendel
RuhelageMasse m
Federmit
Federkonstante k
Auslenkung a aus der Ruhelage a(t) Funktion der Zeit
Loumlsung dieser Differentialgleichung
a(t) = ao sin(ω t)
Diese Loumlsung in die Differentialgleichung eingesetzt ergibt
ndash m ω2 ao sin(ωt) + k ao sin(ωt) = 0
nach kuumlrzen von ao und sin(ωt) ω2 = km
mit ω = 2πT ergibt sich die Periode derSchwingung (Eigenperiode) kmT 2
bzw
Traumlgheitskraft Federkraft oder kurz m auml(t) + k a(t) = 0
Bewegungsgleichung Summe aller Kraumlfte = 0
)()(
2
2
takdt
tadm 0)(
)(2
2
takdt
tadm
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Pendelschwingung
Torsionsschwingung
Saitenschwingung
Biegeschwingung
Erzwungene Schwingungen
schwache Daumlmpfung kann zu riesigen Amplituden fuumlhrenwenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
2
2 )()(
)()(dttwd
mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
einf
alle
nde
Wel
le
refle
ktie
rte
Wel
le
gebr
oche
ne W
elle
Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Skalare Vektoren Matrizen
bull Skalare (Tensoren 0-ter Stufe)Dichte Temperatur Energie
bull Vektoren (Tensoren 1-ter Stufe)Materialtransport (zB Platten Grundwasser) Magnetfeld Schwerefeld
bull Matrizen (Tensoren 2-ter Stufe)Spannungen Verformungen
Energien
bull Driftende Lithosphaumlrenplatteca Ekin = 400 J
bull PkWca Ekin = 400000 J
bull Andere zum VergleichBlitz ca 109 ndash 1010 JGewitter ca 1012 ndash 1013 JHiroshima Bombe ca 1014 JAusbruch Mt St Helens ca 1016 ndash 1017 JChile-Beben 1960 ca 1019 JJaumlhrlicher Energieverbrauch der USA ca 1020 JTaumlgliche Sonneneinstrahlung auf der Erde ca 1022 JMeteoriteneinschlag (10 km Durchmesser v=20kms) ca 1023 JE=mc2 der gesamten Erdmasse ca 54x1041 J
Spannungen (Tensor 2-ter Stufe)
bull Definition Spannung = Kraft Flaumlche = FA
Zerlegung in Normal- und TangentialspannungFlaumlche A
Kraft F
Kraft
Normalspannung σyy
Tangentialspannungen
σyz
σyxY
x
Z
Δx
Δz
Δy
Spannungstensor
σxx σxy σxz
σyx σyy σyz
σzx σzy σzz
Normalspannungen
σxx σyy σzzTangentialspannungen
σxy = σyx
σyz = σzy
σxz = σzx
Warum ist σij = σji
Kraft Fy = σzy Δx Δy
Δz2 Drehmoment Dy= Fy (Δz2)
= σzy (Δx Δy Δz)2
Kraft Fz = σyz Δx ΔzDrehmoment Dz
= σyz (Δx Δy Δz)2
Δy2
Warum ist σij = σji
AntwortDrehmomente muumlssen gleich sein(sonst rotiert der Koumlrper)
σyz (Δx Δy Δz)2 = σzy (Δx Δy Δz)2
rarr σyz = σzy
σxz
σxy
σyz
σyx
σzx
σzy
Man kann immer ein Koordinatensystem finden so dass nur Normalspannungen existieren
σxx σxy σxz
σyx σyy σyz
σzx σzy σzz
σx 0 0
0 σy 0
0 0 σz
σx σy σzHauptspannungen
Xlsquo
Ylsquo
σylsquoylsquo = σy
σxlsquoxlsquo = σx
x
y
σ
σσyy
σyx
σxy
σxx
Einige spezielle Faumllle
Einaxiale Spannungerzeugt
reine Laumlngenaumlnderung
Reine Scherspannungerzeugt
reine Winkelaumlnderung
Hydrostatischer Druckerzeugt
reine Volumenaumlnderung
Animation siehehttpwwwrmutphysicscomcharudvirtualexperimentlabphysics1moduluspropertiehtm
Einaxiale Spannung und Verformung
b
L
E ElastizitaumltsmodulK Kompressionsmodulmicro Schermodulν Poisson-Zahl der Querkontraktion
ΔL L relative Laumlngenaumlnderung(parallel zur einaxialen Spannung)Δb b relative Dickenaumlnderung(senkrecht zur einaxialen Spannung)
L
σx σx
ΔLσy
σy
σx = (K + 4micro3) ΔLL
Δb=0
L
σx σx
ΔLσy = 0
σx = E ΔLL E=2micro(1+ν) ν = -
Δb2
Δbb ΔL L
b
Einaxiale Spannung und Verformung
p
ΔV
V-ΔV
p
p p
Hydrostatischer DruckP = K ΔVV
P = ndash σx = ndash σy = ndash σz
Scherspannung
σ = μ γ
x
yσ
γ
Inelastische Prozesse RHEOLOGIE
k η
F = k ΔLLd(ΔLL)
dtF = η
k Federkonstanteη Viskositaumltt Zeit
F FF
F
t
t
F
ΔLLt
t
F
ΔLL
Beispiele in Geowissenschaftenhttpjspc-wwwcoloradoedu~szhongmantlehtml (Konvektion im Erdmantel)httpwwwgeologyummaineedugeodynamicsmicrodynamicsmoviesPorphNoRotmov (Mineralwachstum)
L L L L
Potential und Kraumlfte
httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005indexhtml
Houmlhenlinien sind Linien gleichen Potentials AumlquipotentiallinienDie Richtung der Kraumlfte ist senkrecht zu den Aumlquipotentiallinien
Gravitationsfeld fuumlrPunktmassen(auch guumlltig fuumlr kugelfoumlrmige homogene Massen)
mmiddotMKraft F = G = m a
r2
MPotential Φ = G
r
a = ndash dΦdr
Gravitationsbeschleunigungdurch die Masse M
Rotation
Zentrifugalkraft (Traumlgheitskraft)
Fz = m r ω2
ω = dφdt Winkelgeschwindigkeit m r2 Traumlgheitsmoment
Zentripetalkraft
r
Bei der Bewegung von Himmelskoumlrpern ist die Zentripetalkraft die GRAVITATION
Zentrifugal-beschleunigung
Rotierende Erde
ω
Die Erde ist durch die Eigenrotation ein abgeplatteter Koumlrper (Rotationsellipsoid)
e
r
φ
Fz =m r ω2 ZentrifugalkraftGravitationskraft
Schwerkraft= Gravitationskraft + Zentrifugalkraft (vektoriell)
M 1Potential Φ = G + ω2 e2 cos2φ e 2
Schwerebeschleunigung in Richtung e = ndash dΦde M = G ndash ω2 e cos2φ e2
GezeitenkraumlfteGezeitenkraumlfte entstehen durch das Zusammenspiel von Gravitationskraftund Zentrifugalkraft
Die Zentrifugalkraft entsteht durch dieRotation von Himmelskoumlrpern um ihrengemeinsamen Schwerpunkt
An verschiedenen Punkten der Erde istdie Gravitationskraft durch Mond bzw Sonne ist aufgrund der Abstandsunter-schiede an verschiedenen Punktenungleich Im Schwerpunkt der Erdeheben sich Gravitationskraft undZentrifugalkraft auf
Die Gezeitenkraft ist die Vektorsummevon Gravitations- und Zentrifugalkraft
Aufgrund der Eigenrotation der Erdekommt es zu einer etwa 12-stuumlndigenGezeitenperiode
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Federpendel
RuhelageMasse m
Federmit
Federkonstante k
Auslenkung a aus der Ruhelage a(t) Funktion der Zeit
Loumlsung dieser Differentialgleichung
a(t) = ao sin(ω t)
Diese Loumlsung in die Differentialgleichung eingesetzt ergibt
ndash m ω2 ao sin(ωt) + k ao sin(ωt) = 0
nach kuumlrzen von ao und sin(ωt) ω2 = km
mit ω = 2πT ergibt sich die Periode derSchwingung (Eigenperiode) kmT 2
bzw
Traumlgheitskraft Federkraft oder kurz m auml(t) + k a(t) = 0
Bewegungsgleichung Summe aller Kraumlfte = 0
)()(
2
2
takdt
tadm 0)(
)(2
2
takdt
tadm
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Pendelschwingung
Torsionsschwingung
Saitenschwingung
Biegeschwingung
Erzwungene Schwingungen
schwache Daumlmpfung kann zu riesigen Amplituden fuumlhrenwenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
2
2 )()(
)()(dttwd
mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
einf
alle
nde
Wel
le
refle
ktie
rte
Wel
le
gebr
oche
ne W
elle
Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Energien
bull Driftende Lithosphaumlrenplatteca Ekin = 400 J
bull PkWca Ekin = 400000 J
bull Andere zum VergleichBlitz ca 109 ndash 1010 JGewitter ca 1012 ndash 1013 JHiroshima Bombe ca 1014 JAusbruch Mt St Helens ca 1016 ndash 1017 JChile-Beben 1960 ca 1019 JJaumlhrlicher Energieverbrauch der USA ca 1020 JTaumlgliche Sonneneinstrahlung auf der Erde ca 1022 JMeteoriteneinschlag (10 km Durchmesser v=20kms) ca 1023 JE=mc2 der gesamten Erdmasse ca 54x1041 J
Spannungen (Tensor 2-ter Stufe)
bull Definition Spannung = Kraft Flaumlche = FA
Zerlegung in Normal- und TangentialspannungFlaumlche A
Kraft F
Kraft
Normalspannung σyy
Tangentialspannungen
σyz
σyxY
x
Z
Δx
Δz
Δy
Spannungstensor
σxx σxy σxz
σyx σyy σyz
σzx σzy σzz
Normalspannungen
σxx σyy σzzTangentialspannungen
σxy = σyx
σyz = σzy
σxz = σzx
Warum ist σij = σji
Kraft Fy = σzy Δx Δy
Δz2 Drehmoment Dy= Fy (Δz2)
= σzy (Δx Δy Δz)2
Kraft Fz = σyz Δx ΔzDrehmoment Dz
= σyz (Δx Δy Δz)2
Δy2
Warum ist σij = σji
AntwortDrehmomente muumlssen gleich sein(sonst rotiert der Koumlrper)
σyz (Δx Δy Δz)2 = σzy (Δx Δy Δz)2
rarr σyz = σzy
σxz
σxy
σyz
σyx
σzx
σzy
Man kann immer ein Koordinatensystem finden so dass nur Normalspannungen existieren
σxx σxy σxz
σyx σyy σyz
σzx σzy σzz
σx 0 0
0 σy 0
0 0 σz
σx σy σzHauptspannungen
Xlsquo
Ylsquo
σylsquoylsquo = σy
σxlsquoxlsquo = σx
x
y
σ
σσyy
σyx
σxy
σxx
Einige spezielle Faumllle
Einaxiale Spannungerzeugt
reine Laumlngenaumlnderung
Reine Scherspannungerzeugt
reine Winkelaumlnderung
Hydrostatischer Druckerzeugt
reine Volumenaumlnderung
Animation siehehttpwwwrmutphysicscomcharudvirtualexperimentlabphysics1moduluspropertiehtm
Einaxiale Spannung und Verformung
b
L
E ElastizitaumltsmodulK Kompressionsmodulmicro Schermodulν Poisson-Zahl der Querkontraktion
ΔL L relative Laumlngenaumlnderung(parallel zur einaxialen Spannung)Δb b relative Dickenaumlnderung(senkrecht zur einaxialen Spannung)
L
σx σx
ΔLσy
σy
σx = (K + 4micro3) ΔLL
Δb=0
L
σx σx
ΔLσy = 0
σx = E ΔLL E=2micro(1+ν) ν = -
Δb2
Δbb ΔL L
b
Einaxiale Spannung und Verformung
p
ΔV
V-ΔV
p
p p
Hydrostatischer DruckP = K ΔVV
P = ndash σx = ndash σy = ndash σz
Scherspannung
σ = μ γ
x
yσ
γ
Inelastische Prozesse RHEOLOGIE
k η
F = k ΔLLd(ΔLL)
dtF = η
k Federkonstanteη Viskositaumltt Zeit
F FF
F
t
t
F
ΔLLt
t
F
ΔLL
Beispiele in Geowissenschaftenhttpjspc-wwwcoloradoedu~szhongmantlehtml (Konvektion im Erdmantel)httpwwwgeologyummaineedugeodynamicsmicrodynamicsmoviesPorphNoRotmov (Mineralwachstum)
L L L L
Potential und Kraumlfte
httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005indexhtml
Houmlhenlinien sind Linien gleichen Potentials AumlquipotentiallinienDie Richtung der Kraumlfte ist senkrecht zu den Aumlquipotentiallinien
Gravitationsfeld fuumlrPunktmassen(auch guumlltig fuumlr kugelfoumlrmige homogene Massen)
mmiddotMKraft F = G = m a
r2
MPotential Φ = G
r
a = ndash dΦdr
Gravitationsbeschleunigungdurch die Masse M
Rotation
Zentrifugalkraft (Traumlgheitskraft)
Fz = m r ω2
ω = dφdt Winkelgeschwindigkeit m r2 Traumlgheitsmoment
Zentripetalkraft
r
Bei der Bewegung von Himmelskoumlrpern ist die Zentripetalkraft die GRAVITATION
Zentrifugal-beschleunigung
Rotierende Erde
ω
Die Erde ist durch die Eigenrotation ein abgeplatteter Koumlrper (Rotationsellipsoid)
e
r
φ
Fz =m r ω2 ZentrifugalkraftGravitationskraft
Schwerkraft= Gravitationskraft + Zentrifugalkraft (vektoriell)
M 1Potential Φ = G + ω2 e2 cos2φ e 2
Schwerebeschleunigung in Richtung e = ndash dΦde M = G ndash ω2 e cos2φ e2
GezeitenkraumlfteGezeitenkraumlfte entstehen durch das Zusammenspiel von Gravitationskraftund Zentrifugalkraft
Die Zentrifugalkraft entsteht durch dieRotation von Himmelskoumlrpern um ihrengemeinsamen Schwerpunkt
An verschiedenen Punkten der Erde istdie Gravitationskraft durch Mond bzw Sonne ist aufgrund der Abstandsunter-schiede an verschiedenen Punktenungleich Im Schwerpunkt der Erdeheben sich Gravitationskraft undZentrifugalkraft auf
Die Gezeitenkraft ist die Vektorsummevon Gravitations- und Zentrifugalkraft
Aufgrund der Eigenrotation der Erdekommt es zu einer etwa 12-stuumlndigenGezeitenperiode
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Federpendel
RuhelageMasse m
Federmit
Federkonstante k
Auslenkung a aus der Ruhelage a(t) Funktion der Zeit
Loumlsung dieser Differentialgleichung
a(t) = ao sin(ω t)
Diese Loumlsung in die Differentialgleichung eingesetzt ergibt
ndash m ω2 ao sin(ωt) + k ao sin(ωt) = 0
nach kuumlrzen von ao und sin(ωt) ω2 = km
mit ω = 2πT ergibt sich die Periode derSchwingung (Eigenperiode) kmT 2
bzw
Traumlgheitskraft Federkraft oder kurz m auml(t) + k a(t) = 0
Bewegungsgleichung Summe aller Kraumlfte = 0
)()(
2
2
takdt
tadm 0)(
)(2
2
takdt
tadm
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Pendelschwingung
Torsionsschwingung
Saitenschwingung
Biegeschwingung
Erzwungene Schwingungen
schwache Daumlmpfung kann zu riesigen Amplituden fuumlhrenwenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
2
2 )()(
)()(dttwd
mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
einf
alle
nde
Wel
le
refle
ktie
rte
Wel
le
gebr
oche
ne W
elle
Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Spannungen (Tensor 2-ter Stufe)
bull Definition Spannung = Kraft Flaumlche = FA
Zerlegung in Normal- und TangentialspannungFlaumlche A
Kraft F
Kraft
Normalspannung σyy
Tangentialspannungen
σyz
σyxY
x
Z
Δx
Δz
Δy
Spannungstensor
σxx σxy σxz
σyx σyy σyz
σzx σzy σzz
Normalspannungen
σxx σyy σzzTangentialspannungen
σxy = σyx
σyz = σzy
σxz = σzx
Warum ist σij = σji
Kraft Fy = σzy Δx Δy
Δz2 Drehmoment Dy= Fy (Δz2)
= σzy (Δx Δy Δz)2
Kraft Fz = σyz Δx ΔzDrehmoment Dz
= σyz (Δx Δy Δz)2
Δy2
Warum ist σij = σji
AntwortDrehmomente muumlssen gleich sein(sonst rotiert der Koumlrper)
σyz (Δx Δy Δz)2 = σzy (Δx Δy Δz)2
rarr σyz = σzy
σxz
σxy
σyz
σyx
σzx
σzy
Man kann immer ein Koordinatensystem finden so dass nur Normalspannungen existieren
σxx σxy σxz
σyx σyy σyz
σzx σzy σzz
σx 0 0
0 σy 0
0 0 σz
σx σy σzHauptspannungen
Xlsquo
Ylsquo
σylsquoylsquo = σy
σxlsquoxlsquo = σx
x
y
σ
σσyy
σyx
σxy
σxx
Einige spezielle Faumllle
Einaxiale Spannungerzeugt
reine Laumlngenaumlnderung
Reine Scherspannungerzeugt
reine Winkelaumlnderung
Hydrostatischer Druckerzeugt
reine Volumenaumlnderung
Animation siehehttpwwwrmutphysicscomcharudvirtualexperimentlabphysics1moduluspropertiehtm
Einaxiale Spannung und Verformung
b
L
E ElastizitaumltsmodulK Kompressionsmodulmicro Schermodulν Poisson-Zahl der Querkontraktion
ΔL L relative Laumlngenaumlnderung(parallel zur einaxialen Spannung)Δb b relative Dickenaumlnderung(senkrecht zur einaxialen Spannung)
L
σx σx
ΔLσy
σy
σx = (K + 4micro3) ΔLL
Δb=0
L
σx σx
ΔLσy = 0
σx = E ΔLL E=2micro(1+ν) ν = -
Δb2
Δbb ΔL L
b
Einaxiale Spannung und Verformung
p
ΔV
V-ΔV
p
p p
Hydrostatischer DruckP = K ΔVV
P = ndash σx = ndash σy = ndash σz
Scherspannung
σ = μ γ
x
yσ
γ
Inelastische Prozesse RHEOLOGIE
k η
F = k ΔLLd(ΔLL)
dtF = η
k Federkonstanteη Viskositaumltt Zeit
F FF
F
t
t
F
ΔLLt
t
F
ΔLL
Beispiele in Geowissenschaftenhttpjspc-wwwcoloradoedu~szhongmantlehtml (Konvektion im Erdmantel)httpwwwgeologyummaineedugeodynamicsmicrodynamicsmoviesPorphNoRotmov (Mineralwachstum)
L L L L
Potential und Kraumlfte
httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005indexhtml
Houmlhenlinien sind Linien gleichen Potentials AumlquipotentiallinienDie Richtung der Kraumlfte ist senkrecht zu den Aumlquipotentiallinien
Gravitationsfeld fuumlrPunktmassen(auch guumlltig fuumlr kugelfoumlrmige homogene Massen)
mmiddotMKraft F = G = m a
r2
MPotential Φ = G
r
a = ndash dΦdr
Gravitationsbeschleunigungdurch die Masse M
Rotation
Zentrifugalkraft (Traumlgheitskraft)
Fz = m r ω2
ω = dφdt Winkelgeschwindigkeit m r2 Traumlgheitsmoment
Zentripetalkraft
r
Bei der Bewegung von Himmelskoumlrpern ist die Zentripetalkraft die GRAVITATION
Zentrifugal-beschleunigung
Rotierende Erde
ω
Die Erde ist durch die Eigenrotation ein abgeplatteter Koumlrper (Rotationsellipsoid)
e
r
φ
Fz =m r ω2 ZentrifugalkraftGravitationskraft
Schwerkraft= Gravitationskraft + Zentrifugalkraft (vektoriell)
M 1Potential Φ = G + ω2 e2 cos2φ e 2
Schwerebeschleunigung in Richtung e = ndash dΦde M = G ndash ω2 e cos2φ e2
GezeitenkraumlfteGezeitenkraumlfte entstehen durch das Zusammenspiel von Gravitationskraftund Zentrifugalkraft
Die Zentrifugalkraft entsteht durch dieRotation von Himmelskoumlrpern um ihrengemeinsamen Schwerpunkt
An verschiedenen Punkten der Erde istdie Gravitationskraft durch Mond bzw Sonne ist aufgrund der Abstandsunter-schiede an verschiedenen Punktenungleich Im Schwerpunkt der Erdeheben sich Gravitationskraft undZentrifugalkraft auf
Die Gezeitenkraft ist die Vektorsummevon Gravitations- und Zentrifugalkraft
Aufgrund der Eigenrotation der Erdekommt es zu einer etwa 12-stuumlndigenGezeitenperiode
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Federpendel
RuhelageMasse m
Federmit
Federkonstante k
Auslenkung a aus der Ruhelage a(t) Funktion der Zeit
Loumlsung dieser Differentialgleichung
a(t) = ao sin(ω t)
Diese Loumlsung in die Differentialgleichung eingesetzt ergibt
ndash m ω2 ao sin(ωt) + k ao sin(ωt) = 0
nach kuumlrzen von ao und sin(ωt) ω2 = km
mit ω = 2πT ergibt sich die Periode derSchwingung (Eigenperiode) kmT 2
bzw
Traumlgheitskraft Federkraft oder kurz m auml(t) + k a(t) = 0
Bewegungsgleichung Summe aller Kraumlfte = 0
)()(
2
2
takdt
tadm 0)(
)(2
2
takdt
tadm
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Pendelschwingung
Torsionsschwingung
Saitenschwingung
Biegeschwingung
Erzwungene Schwingungen
schwache Daumlmpfung kann zu riesigen Amplituden fuumlhrenwenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
2
2 )()(
)()(dttwd
mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
einf
alle
nde
Wel
le
refle
ktie
rte
Wel
le
gebr
oche
ne W
elle
Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Δx
Δz
Δy
Spannungstensor
σxx σxy σxz
σyx σyy σyz
σzx σzy σzz
Normalspannungen
σxx σyy σzzTangentialspannungen
σxy = σyx
σyz = σzy
σxz = σzx
Warum ist σij = σji
Kraft Fy = σzy Δx Δy
Δz2 Drehmoment Dy= Fy (Δz2)
= σzy (Δx Δy Δz)2
Kraft Fz = σyz Δx ΔzDrehmoment Dz
= σyz (Δx Δy Δz)2
Δy2
Warum ist σij = σji
AntwortDrehmomente muumlssen gleich sein(sonst rotiert der Koumlrper)
σyz (Δx Δy Δz)2 = σzy (Δx Δy Δz)2
rarr σyz = σzy
σxz
σxy
σyz
σyx
σzx
σzy
Man kann immer ein Koordinatensystem finden so dass nur Normalspannungen existieren
σxx σxy σxz
σyx σyy σyz
σzx σzy σzz
σx 0 0
0 σy 0
0 0 σz
σx σy σzHauptspannungen
Xlsquo
Ylsquo
σylsquoylsquo = σy
σxlsquoxlsquo = σx
x
y
σ
σσyy
σyx
σxy
σxx
Einige spezielle Faumllle
Einaxiale Spannungerzeugt
reine Laumlngenaumlnderung
Reine Scherspannungerzeugt
reine Winkelaumlnderung
Hydrostatischer Druckerzeugt
reine Volumenaumlnderung
Animation siehehttpwwwrmutphysicscomcharudvirtualexperimentlabphysics1moduluspropertiehtm
Einaxiale Spannung und Verformung
b
L
E ElastizitaumltsmodulK Kompressionsmodulmicro Schermodulν Poisson-Zahl der Querkontraktion
ΔL L relative Laumlngenaumlnderung(parallel zur einaxialen Spannung)Δb b relative Dickenaumlnderung(senkrecht zur einaxialen Spannung)
L
σx σx
ΔLσy
σy
σx = (K + 4micro3) ΔLL
Δb=0
L
σx σx
ΔLσy = 0
σx = E ΔLL E=2micro(1+ν) ν = -
Δb2
Δbb ΔL L
b
Einaxiale Spannung und Verformung
p
ΔV
V-ΔV
p
p p
Hydrostatischer DruckP = K ΔVV
P = ndash σx = ndash σy = ndash σz
Scherspannung
σ = μ γ
x
yσ
γ
Inelastische Prozesse RHEOLOGIE
k η
F = k ΔLLd(ΔLL)
dtF = η
k Federkonstanteη Viskositaumltt Zeit
F FF
F
t
t
F
ΔLLt
t
F
ΔLL
Beispiele in Geowissenschaftenhttpjspc-wwwcoloradoedu~szhongmantlehtml (Konvektion im Erdmantel)httpwwwgeologyummaineedugeodynamicsmicrodynamicsmoviesPorphNoRotmov (Mineralwachstum)
L L L L
Potential und Kraumlfte
httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005indexhtml
Houmlhenlinien sind Linien gleichen Potentials AumlquipotentiallinienDie Richtung der Kraumlfte ist senkrecht zu den Aumlquipotentiallinien
Gravitationsfeld fuumlrPunktmassen(auch guumlltig fuumlr kugelfoumlrmige homogene Massen)
mmiddotMKraft F = G = m a
r2
MPotential Φ = G
r
a = ndash dΦdr
Gravitationsbeschleunigungdurch die Masse M
Rotation
Zentrifugalkraft (Traumlgheitskraft)
Fz = m r ω2
ω = dφdt Winkelgeschwindigkeit m r2 Traumlgheitsmoment
Zentripetalkraft
r
Bei der Bewegung von Himmelskoumlrpern ist die Zentripetalkraft die GRAVITATION
Zentrifugal-beschleunigung
Rotierende Erde
ω
Die Erde ist durch die Eigenrotation ein abgeplatteter Koumlrper (Rotationsellipsoid)
e
r
φ
Fz =m r ω2 ZentrifugalkraftGravitationskraft
Schwerkraft= Gravitationskraft + Zentrifugalkraft (vektoriell)
M 1Potential Φ = G + ω2 e2 cos2φ e 2
Schwerebeschleunigung in Richtung e = ndash dΦde M = G ndash ω2 e cos2φ e2
GezeitenkraumlfteGezeitenkraumlfte entstehen durch das Zusammenspiel von Gravitationskraftund Zentrifugalkraft
Die Zentrifugalkraft entsteht durch dieRotation von Himmelskoumlrpern um ihrengemeinsamen Schwerpunkt
An verschiedenen Punkten der Erde istdie Gravitationskraft durch Mond bzw Sonne ist aufgrund der Abstandsunter-schiede an verschiedenen Punktenungleich Im Schwerpunkt der Erdeheben sich Gravitationskraft undZentrifugalkraft auf
Die Gezeitenkraft ist die Vektorsummevon Gravitations- und Zentrifugalkraft
Aufgrund der Eigenrotation der Erdekommt es zu einer etwa 12-stuumlndigenGezeitenperiode
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Federpendel
RuhelageMasse m
Federmit
Federkonstante k
Auslenkung a aus der Ruhelage a(t) Funktion der Zeit
Loumlsung dieser Differentialgleichung
a(t) = ao sin(ω t)
Diese Loumlsung in die Differentialgleichung eingesetzt ergibt
ndash m ω2 ao sin(ωt) + k ao sin(ωt) = 0
nach kuumlrzen von ao und sin(ωt) ω2 = km
mit ω = 2πT ergibt sich die Periode derSchwingung (Eigenperiode) kmT 2
bzw
Traumlgheitskraft Federkraft oder kurz m auml(t) + k a(t) = 0
Bewegungsgleichung Summe aller Kraumlfte = 0
)()(
2
2
takdt
tadm 0)(
)(2
2
takdt
tadm
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Pendelschwingung
Torsionsschwingung
Saitenschwingung
Biegeschwingung
Erzwungene Schwingungen
schwache Daumlmpfung kann zu riesigen Amplituden fuumlhrenwenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
2
2 )()(
)()(dttwd
mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
einf
alle
nde
Wel
le
refle
ktie
rte
Wel
le
gebr
oche
ne W
elle
Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Man kann immer ein Koordinatensystem finden so dass nur Normalspannungen existieren
σxx σxy σxz
σyx σyy σyz
σzx σzy σzz
σx 0 0
0 σy 0
0 0 σz
σx σy σzHauptspannungen
Xlsquo
Ylsquo
σylsquoylsquo = σy
σxlsquoxlsquo = σx
x
y
σ
σσyy
σyx
σxy
σxx
Einige spezielle Faumllle
Einaxiale Spannungerzeugt
reine Laumlngenaumlnderung
Reine Scherspannungerzeugt
reine Winkelaumlnderung
Hydrostatischer Druckerzeugt
reine Volumenaumlnderung
Animation siehehttpwwwrmutphysicscomcharudvirtualexperimentlabphysics1moduluspropertiehtm
Einaxiale Spannung und Verformung
b
L
E ElastizitaumltsmodulK Kompressionsmodulmicro Schermodulν Poisson-Zahl der Querkontraktion
ΔL L relative Laumlngenaumlnderung(parallel zur einaxialen Spannung)Δb b relative Dickenaumlnderung(senkrecht zur einaxialen Spannung)
L
σx σx
ΔLσy
σy
σx = (K + 4micro3) ΔLL
Δb=0
L
σx σx
ΔLσy = 0
σx = E ΔLL E=2micro(1+ν) ν = -
Δb2
Δbb ΔL L
b
Einaxiale Spannung und Verformung
p
ΔV
V-ΔV
p
p p
Hydrostatischer DruckP = K ΔVV
P = ndash σx = ndash σy = ndash σz
Scherspannung
σ = μ γ
x
yσ
γ
Inelastische Prozesse RHEOLOGIE
k η
F = k ΔLLd(ΔLL)
dtF = η
k Federkonstanteη Viskositaumltt Zeit
F FF
F
t
t
F
ΔLLt
t
F
ΔLL
Beispiele in Geowissenschaftenhttpjspc-wwwcoloradoedu~szhongmantlehtml (Konvektion im Erdmantel)httpwwwgeologyummaineedugeodynamicsmicrodynamicsmoviesPorphNoRotmov (Mineralwachstum)
L L L L
Potential und Kraumlfte
httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005indexhtml
Houmlhenlinien sind Linien gleichen Potentials AumlquipotentiallinienDie Richtung der Kraumlfte ist senkrecht zu den Aumlquipotentiallinien
Gravitationsfeld fuumlrPunktmassen(auch guumlltig fuumlr kugelfoumlrmige homogene Massen)
mmiddotMKraft F = G = m a
r2
MPotential Φ = G
r
a = ndash dΦdr
Gravitationsbeschleunigungdurch die Masse M
Rotation
Zentrifugalkraft (Traumlgheitskraft)
Fz = m r ω2
ω = dφdt Winkelgeschwindigkeit m r2 Traumlgheitsmoment
Zentripetalkraft
r
Bei der Bewegung von Himmelskoumlrpern ist die Zentripetalkraft die GRAVITATION
Zentrifugal-beschleunigung
Rotierende Erde
ω
Die Erde ist durch die Eigenrotation ein abgeplatteter Koumlrper (Rotationsellipsoid)
e
r
φ
Fz =m r ω2 ZentrifugalkraftGravitationskraft
Schwerkraft= Gravitationskraft + Zentrifugalkraft (vektoriell)
M 1Potential Φ = G + ω2 e2 cos2φ e 2
Schwerebeschleunigung in Richtung e = ndash dΦde M = G ndash ω2 e cos2φ e2
GezeitenkraumlfteGezeitenkraumlfte entstehen durch das Zusammenspiel von Gravitationskraftund Zentrifugalkraft
Die Zentrifugalkraft entsteht durch dieRotation von Himmelskoumlrpern um ihrengemeinsamen Schwerpunkt
An verschiedenen Punkten der Erde istdie Gravitationskraft durch Mond bzw Sonne ist aufgrund der Abstandsunter-schiede an verschiedenen Punktenungleich Im Schwerpunkt der Erdeheben sich Gravitationskraft undZentrifugalkraft auf
Die Gezeitenkraft ist die Vektorsummevon Gravitations- und Zentrifugalkraft
Aufgrund der Eigenrotation der Erdekommt es zu einer etwa 12-stuumlndigenGezeitenperiode
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Federpendel
RuhelageMasse m
Federmit
Federkonstante k
Auslenkung a aus der Ruhelage a(t) Funktion der Zeit
Loumlsung dieser Differentialgleichung
a(t) = ao sin(ω t)
Diese Loumlsung in die Differentialgleichung eingesetzt ergibt
ndash m ω2 ao sin(ωt) + k ao sin(ωt) = 0
nach kuumlrzen von ao und sin(ωt) ω2 = km
mit ω = 2πT ergibt sich die Periode derSchwingung (Eigenperiode) kmT 2
bzw
Traumlgheitskraft Federkraft oder kurz m auml(t) + k a(t) = 0
Bewegungsgleichung Summe aller Kraumlfte = 0
)()(
2
2
takdt
tadm 0)(
)(2
2
takdt
tadm
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Pendelschwingung
Torsionsschwingung
Saitenschwingung
Biegeschwingung
Erzwungene Schwingungen
schwache Daumlmpfung kann zu riesigen Amplituden fuumlhrenwenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
2
2 )()(
)()(dttwd
mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
einf
alle
nde
Wel
le
refle
ktie
rte
Wel
le
gebr
oche
ne W
elle
Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Einige spezielle Faumllle
Einaxiale Spannungerzeugt
reine Laumlngenaumlnderung
Reine Scherspannungerzeugt
reine Winkelaumlnderung
Hydrostatischer Druckerzeugt
reine Volumenaumlnderung
Animation siehehttpwwwrmutphysicscomcharudvirtualexperimentlabphysics1moduluspropertiehtm
Einaxiale Spannung und Verformung
b
L
E ElastizitaumltsmodulK Kompressionsmodulmicro Schermodulν Poisson-Zahl der Querkontraktion
ΔL L relative Laumlngenaumlnderung(parallel zur einaxialen Spannung)Δb b relative Dickenaumlnderung(senkrecht zur einaxialen Spannung)
L
σx σx
ΔLσy
σy
σx = (K + 4micro3) ΔLL
Δb=0
L
σx σx
ΔLσy = 0
σx = E ΔLL E=2micro(1+ν) ν = -
Δb2
Δbb ΔL L
b
Einaxiale Spannung und Verformung
p
ΔV
V-ΔV
p
p p
Hydrostatischer DruckP = K ΔVV
P = ndash σx = ndash σy = ndash σz
Scherspannung
σ = μ γ
x
yσ
γ
Inelastische Prozesse RHEOLOGIE
k η
F = k ΔLLd(ΔLL)
dtF = η
k Federkonstanteη Viskositaumltt Zeit
F FF
F
t
t
F
ΔLLt
t
F
ΔLL
Beispiele in Geowissenschaftenhttpjspc-wwwcoloradoedu~szhongmantlehtml (Konvektion im Erdmantel)httpwwwgeologyummaineedugeodynamicsmicrodynamicsmoviesPorphNoRotmov (Mineralwachstum)
L L L L
Potential und Kraumlfte
httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005indexhtml
Houmlhenlinien sind Linien gleichen Potentials AumlquipotentiallinienDie Richtung der Kraumlfte ist senkrecht zu den Aumlquipotentiallinien
Gravitationsfeld fuumlrPunktmassen(auch guumlltig fuumlr kugelfoumlrmige homogene Massen)
mmiddotMKraft F = G = m a
r2
MPotential Φ = G
r
a = ndash dΦdr
Gravitationsbeschleunigungdurch die Masse M
Rotation
Zentrifugalkraft (Traumlgheitskraft)
Fz = m r ω2
ω = dφdt Winkelgeschwindigkeit m r2 Traumlgheitsmoment
Zentripetalkraft
r
Bei der Bewegung von Himmelskoumlrpern ist die Zentripetalkraft die GRAVITATION
Zentrifugal-beschleunigung
Rotierende Erde
ω
Die Erde ist durch die Eigenrotation ein abgeplatteter Koumlrper (Rotationsellipsoid)
e
r
φ
Fz =m r ω2 ZentrifugalkraftGravitationskraft
Schwerkraft= Gravitationskraft + Zentrifugalkraft (vektoriell)
M 1Potential Φ = G + ω2 e2 cos2φ e 2
Schwerebeschleunigung in Richtung e = ndash dΦde M = G ndash ω2 e cos2φ e2
GezeitenkraumlfteGezeitenkraumlfte entstehen durch das Zusammenspiel von Gravitationskraftund Zentrifugalkraft
Die Zentrifugalkraft entsteht durch dieRotation von Himmelskoumlrpern um ihrengemeinsamen Schwerpunkt
An verschiedenen Punkten der Erde istdie Gravitationskraft durch Mond bzw Sonne ist aufgrund der Abstandsunter-schiede an verschiedenen Punktenungleich Im Schwerpunkt der Erdeheben sich Gravitationskraft undZentrifugalkraft auf
Die Gezeitenkraft ist die Vektorsummevon Gravitations- und Zentrifugalkraft
Aufgrund der Eigenrotation der Erdekommt es zu einer etwa 12-stuumlndigenGezeitenperiode
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Federpendel
RuhelageMasse m
Federmit
Federkonstante k
Auslenkung a aus der Ruhelage a(t) Funktion der Zeit
Loumlsung dieser Differentialgleichung
a(t) = ao sin(ω t)
Diese Loumlsung in die Differentialgleichung eingesetzt ergibt
ndash m ω2 ao sin(ωt) + k ao sin(ωt) = 0
nach kuumlrzen von ao und sin(ωt) ω2 = km
mit ω = 2πT ergibt sich die Periode derSchwingung (Eigenperiode) kmT 2
bzw
Traumlgheitskraft Federkraft oder kurz m auml(t) + k a(t) = 0
Bewegungsgleichung Summe aller Kraumlfte = 0
)()(
2
2
takdt
tadm 0)(
)(2
2
takdt
tadm
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Pendelschwingung
Torsionsschwingung
Saitenschwingung
Biegeschwingung
Erzwungene Schwingungen
schwache Daumlmpfung kann zu riesigen Amplituden fuumlhrenwenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
2
2 )()(
)()(dttwd
mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
einf
alle
nde
Wel
le
refle
ktie
rte
Wel
le
gebr
oche
ne W
elle
Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Einaxiale Spannung und Verformung
b
L
E ElastizitaumltsmodulK Kompressionsmodulmicro Schermodulν Poisson-Zahl der Querkontraktion
ΔL L relative Laumlngenaumlnderung(parallel zur einaxialen Spannung)Δb b relative Dickenaumlnderung(senkrecht zur einaxialen Spannung)
L
σx σx
ΔLσy
σy
σx = (K + 4micro3) ΔLL
Δb=0
L
σx σx
ΔLσy = 0
σx = E ΔLL E=2micro(1+ν) ν = -
Δb2
Δbb ΔL L
b
Einaxiale Spannung und Verformung
p
ΔV
V-ΔV
p
p p
Hydrostatischer DruckP = K ΔVV
P = ndash σx = ndash σy = ndash σz
Scherspannung
σ = μ γ
x
yσ
γ
Inelastische Prozesse RHEOLOGIE
k η
F = k ΔLLd(ΔLL)
dtF = η
k Federkonstanteη Viskositaumltt Zeit
F FF
F
t
t
F
ΔLLt
t
F
ΔLL
Beispiele in Geowissenschaftenhttpjspc-wwwcoloradoedu~szhongmantlehtml (Konvektion im Erdmantel)httpwwwgeologyummaineedugeodynamicsmicrodynamicsmoviesPorphNoRotmov (Mineralwachstum)
L L L L
Potential und Kraumlfte
httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005indexhtml
Houmlhenlinien sind Linien gleichen Potentials AumlquipotentiallinienDie Richtung der Kraumlfte ist senkrecht zu den Aumlquipotentiallinien
Gravitationsfeld fuumlrPunktmassen(auch guumlltig fuumlr kugelfoumlrmige homogene Massen)
mmiddotMKraft F = G = m a
r2
MPotential Φ = G
r
a = ndash dΦdr
Gravitationsbeschleunigungdurch die Masse M
Rotation
Zentrifugalkraft (Traumlgheitskraft)
Fz = m r ω2
ω = dφdt Winkelgeschwindigkeit m r2 Traumlgheitsmoment
Zentripetalkraft
r
Bei der Bewegung von Himmelskoumlrpern ist die Zentripetalkraft die GRAVITATION
Zentrifugal-beschleunigung
Rotierende Erde
ω
Die Erde ist durch die Eigenrotation ein abgeplatteter Koumlrper (Rotationsellipsoid)
e
r
φ
Fz =m r ω2 ZentrifugalkraftGravitationskraft
Schwerkraft= Gravitationskraft + Zentrifugalkraft (vektoriell)
M 1Potential Φ = G + ω2 e2 cos2φ e 2
Schwerebeschleunigung in Richtung e = ndash dΦde M = G ndash ω2 e cos2φ e2
GezeitenkraumlfteGezeitenkraumlfte entstehen durch das Zusammenspiel von Gravitationskraftund Zentrifugalkraft
Die Zentrifugalkraft entsteht durch dieRotation von Himmelskoumlrpern um ihrengemeinsamen Schwerpunkt
An verschiedenen Punkten der Erde istdie Gravitationskraft durch Mond bzw Sonne ist aufgrund der Abstandsunter-schiede an verschiedenen Punktenungleich Im Schwerpunkt der Erdeheben sich Gravitationskraft undZentrifugalkraft auf
Die Gezeitenkraft ist die Vektorsummevon Gravitations- und Zentrifugalkraft
Aufgrund der Eigenrotation der Erdekommt es zu einer etwa 12-stuumlndigenGezeitenperiode
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Federpendel
RuhelageMasse m
Federmit
Federkonstante k
Auslenkung a aus der Ruhelage a(t) Funktion der Zeit
Loumlsung dieser Differentialgleichung
a(t) = ao sin(ω t)
Diese Loumlsung in die Differentialgleichung eingesetzt ergibt
ndash m ω2 ao sin(ωt) + k ao sin(ωt) = 0
nach kuumlrzen von ao und sin(ωt) ω2 = km
mit ω = 2πT ergibt sich die Periode derSchwingung (Eigenperiode) kmT 2
bzw
Traumlgheitskraft Federkraft oder kurz m auml(t) + k a(t) = 0
Bewegungsgleichung Summe aller Kraumlfte = 0
)()(
2
2
takdt
tadm 0)(
)(2
2
takdt
tadm
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Pendelschwingung
Torsionsschwingung
Saitenschwingung
Biegeschwingung
Erzwungene Schwingungen
schwache Daumlmpfung kann zu riesigen Amplituden fuumlhrenwenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
2
2 )()(
)()(dttwd
mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
einf
alle
nde
Wel
le
refle
ktie
rte
Wel
le
gebr
oche
ne W
elle
Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Einaxiale Spannung und Verformung
p
ΔV
V-ΔV
p
p p
Hydrostatischer DruckP = K ΔVV
P = ndash σx = ndash σy = ndash σz
Scherspannung
σ = μ γ
x
yσ
γ
Inelastische Prozesse RHEOLOGIE
k η
F = k ΔLLd(ΔLL)
dtF = η
k Federkonstanteη Viskositaumltt Zeit
F FF
F
t
t
F
ΔLLt
t
F
ΔLL
Beispiele in Geowissenschaftenhttpjspc-wwwcoloradoedu~szhongmantlehtml (Konvektion im Erdmantel)httpwwwgeologyummaineedugeodynamicsmicrodynamicsmoviesPorphNoRotmov (Mineralwachstum)
L L L L
Potential und Kraumlfte
httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005indexhtml
Houmlhenlinien sind Linien gleichen Potentials AumlquipotentiallinienDie Richtung der Kraumlfte ist senkrecht zu den Aumlquipotentiallinien
Gravitationsfeld fuumlrPunktmassen(auch guumlltig fuumlr kugelfoumlrmige homogene Massen)
mmiddotMKraft F = G = m a
r2
MPotential Φ = G
r
a = ndash dΦdr
Gravitationsbeschleunigungdurch die Masse M
Rotation
Zentrifugalkraft (Traumlgheitskraft)
Fz = m r ω2
ω = dφdt Winkelgeschwindigkeit m r2 Traumlgheitsmoment
Zentripetalkraft
r
Bei der Bewegung von Himmelskoumlrpern ist die Zentripetalkraft die GRAVITATION
Zentrifugal-beschleunigung
Rotierende Erde
ω
Die Erde ist durch die Eigenrotation ein abgeplatteter Koumlrper (Rotationsellipsoid)
e
r
φ
Fz =m r ω2 ZentrifugalkraftGravitationskraft
Schwerkraft= Gravitationskraft + Zentrifugalkraft (vektoriell)
M 1Potential Φ = G + ω2 e2 cos2φ e 2
Schwerebeschleunigung in Richtung e = ndash dΦde M = G ndash ω2 e cos2φ e2
GezeitenkraumlfteGezeitenkraumlfte entstehen durch das Zusammenspiel von Gravitationskraftund Zentrifugalkraft
Die Zentrifugalkraft entsteht durch dieRotation von Himmelskoumlrpern um ihrengemeinsamen Schwerpunkt
An verschiedenen Punkten der Erde istdie Gravitationskraft durch Mond bzw Sonne ist aufgrund der Abstandsunter-schiede an verschiedenen Punktenungleich Im Schwerpunkt der Erdeheben sich Gravitationskraft undZentrifugalkraft auf
Die Gezeitenkraft ist die Vektorsummevon Gravitations- und Zentrifugalkraft
Aufgrund der Eigenrotation der Erdekommt es zu einer etwa 12-stuumlndigenGezeitenperiode
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Federpendel
RuhelageMasse m
Federmit
Federkonstante k
Auslenkung a aus der Ruhelage a(t) Funktion der Zeit
Loumlsung dieser Differentialgleichung
a(t) = ao sin(ω t)
Diese Loumlsung in die Differentialgleichung eingesetzt ergibt
ndash m ω2 ao sin(ωt) + k ao sin(ωt) = 0
nach kuumlrzen von ao und sin(ωt) ω2 = km
mit ω = 2πT ergibt sich die Periode derSchwingung (Eigenperiode) kmT 2
bzw
Traumlgheitskraft Federkraft oder kurz m auml(t) + k a(t) = 0
Bewegungsgleichung Summe aller Kraumlfte = 0
)()(
2
2
takdt
tadm 0)(
)(2
2
takdt
tadm
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Pendelschwingung
Torsionsschwingung
Saitenschwingung
Biegeschwingung
Erzwungene Schwingungen
schwache Daumlmpfung kann zu riesigen Amplituden fuumlhrenwenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
2
2 )()(
)()(dttwd
mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
einf
alle
nde
Wel
le
refle
ktie
rte
Wel
le
gebr
oche
ne W
elle
Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Inelastische Prozesse RHEOLOGIE
k η
F = k ΔLLd(ΔLL)
dtF = η
k Federkonstanteη Viskositaumltt Zeit
F FF
F
t
t
F
ΔLLt
t
F
ΔLL
Beispiele in Geowissenschaftenhttpjspc-wwwcoloradoedu~szhongmantlehtml (Konvektion im Erdmantel)httpwwwgeologyummaineedugeodynamicsmicrodynamicsmoviesPorphNoRotmov (Mineralwachstum)
L L L L
Potential und Kraumlfte
httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005indexhtml
Houmlhenlinien sind Linien gleichen Potentials AumlquipotentiallinienDie Richtung der Kraumlfte ist senkrecht zu den Aumlquipotentiallinien
Gravitationsfeld fuumlrPunktmassen(auch guumlltig fuumlr kugelfoumlrmige homogene Massen)
mmiddotMKraft F = G = m a
r2
MPotential Φ = G
r
a = ndash dΦdr
Gravitationsbeschleunigungdurch die Masse M
Rotation
Zentrifugalkraft (Traumlgheitskraft)
Fz = m r ω2
ω = dφdt Winkelgeschwindigkeit m r2 Traumlgheitsmoment
Zentripetalkraft
r
Bei der Bewegung von Himmelskoumlrpern ist die Zentripetalkraft die GRAVITATION
Zentrifugal-beschleunigung
Rotierende Erde
ω
Die Erde ist durch die Eigenrotation ein abgeplatteter Koumlrper (Rotationsellipsoid)
e
r
φ
Fz =m r ω2 ZentrifugalkraftGravitationskraft
Schwerkraft= Gravitationskraft + Zentrifugalkraft (vektoriell)
M 1Potential Φ = G + ω2 e2 cos2φ e 2
Schwerebeschleunigung in Richtung e = ndash dΦde M = G ndash ω2 e cos2φ e2
GezeitenkraumlfteGezeitenkraumlfte entstehen durch das Zusammenspiel von Gravitationskraftund Zentrifugalkraft
Die Zentrifugalkraft entsteht durch dieRotation von Himmelskoumlrpern um ihrengemeinsamen Schwerpunkt
An verschiedenen Punkten der Erde istdie Gravitationskraft durch Mond bzw Sonne ist aufgrund der Abstandsunter-schiede an verschiedenen Punktenungleich Im Schwerpunkt der Erdeheben sich Gravitationskraft undZentrifugalkraft auf
Die Gezeitenkraft ist die Vektorsummevon Gravitations- und Zentrifugalkraft
Aufgrund der Eigenrotation der Erdekommt es zu einer etwa 12-stuumlndigenGezeitenperiode
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Federpendel
RuhelageMasse m
Federmit
Federkonstante k
Auslenkung a aus der Ruhelage a(t) Funktion der Zeit
Loumlsung dieser Differentialgleichung
a(t) = ao sin(ω t)
Diese Loumlsung in die Differentialgleichung eingesetzt ergibt
ndash m ω2 ao sin(ωt) + k ao sin(ωt) = 0
nach kuumlrzen von ao und sin(ωt) ω2 = km
mit ω = 2πT ergibt sich die Periode derSchwingung (Eigenperiode) kmT 2
bzw
Traumlgheitskraft Federkraft oder kurz m auml(t) + k a(t) = 0
Bewegungsgleichung Summe aller Kraumlfte = 0
)()(
2
2
takdt
tadm 0)(
)(2
2
takdt
tadm
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Pendelschwingung
Torsionsschwingung
Saitenschwingung
Biegeschwingung
Erzwungene Schwingungen
schwache Daumlmpfung kann zu riesigen Amplituden fuumlhrenwenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
2
2 )()(
)()(dttwd
mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
einf
alle
nde
Wel
le
refle
ktie
rte
Wel
le
gebr
oche
ne W
elle
Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Potential und Kraumlfte
httpearthreforgMAGICbooksTauxe2005indexhtml
Houmlhenlinien sind Linien gleichen Potentials AumlquipotentiallinienDie Richtung der Kraumlfte ist senkrecht zu den Aumlquipotentiallinien
Gravitationsfeld fuumlrPunktmassen(auch guumlltig fuumlr kugelfoumlrmige homogene Massen)
mmiddotMKraft F = G = m a
r2
MPotential Φ = G
r
a = ndash dΦdr
Gravitationsbeschleunigungdurch die Masse M
Rotation
Zentrifugalkraft (Traumlgheitskraft)
Fz = m r ω2
ω = dφdt Winkelgeschwindigkeit m r2 Traumlgheitsmoment
Zentripetalkraft
r
Bei der Bewegung von Himmelskoumlrpern ist die Zentripetalkraft die GRAVITATION
Zentrifugal-beschleunigung
Rotierende Erde
ω
Die Erde ist durch die Eigenrotation ein abgeplatteter Koumlrper (Rotationsellipsoid)
e
r
φ
Fz =m r ω2 ZentrifugalkraftGravitationskraft
Schwerkraft= Gravitationskraft + Zentrifugalkraft (vektoriell)
M 1Potential Φ = G + ω2 e2 cos2φ e 2
Schwerebeschleunigung in Richtung e = ndash dΦde M = G ndash ω2 e cos2φ e2
GezeitenkraumlfteGezeitenkraumlfte entstehen durch das Zusammenspiel von Gravitationskraftund Zentrifugalkraft
Die Zentrifugalkraft entsteht durch dieRotation von Himmelskoumlrpern um ihrengemeinsamen Schwerpunkt
An verschiedenen Punkten der Erde istdie Gravitationskraft durch Mond bzw Sonne ist aufgrund der Abstandsunter-schiede an verschiedenen Punktenungleich Im Schwerpunkt der Erdeheben sich Gravitationskraft undZentrifugalkraft auf
Die Gezeitenkraft ist die Vektorsummevon Gravitations- und Zentrifugalkraft
Aufgrund der Eigenrotation der Erdekommt es zu einer etwa 12-stuumlndigenGezeitenperiode
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Federpendel
RuhelageMasse m
Federmit
Federkonstante k
Auslenkung a aus der Ruhelage a(t) Funktion der Zeit
Loumlsung dieser Differentialgleichung
a(t) = ao sin(ω t)
Diese Loumlsung in die Differentialgleichung eingesetzt ergibt
ndash m ω2 ao sin(ωt) + k ao sin(ωt) = 0
nach kuumlrzen von ao und sin(ωt) ω2 = km
mit ω = 2πT ergibt sich die Periode derSchwingung (Eigenperiode) kmT 2
bzw
Traumlgheitskraft Federkraft oder kurz m auml(t) + k a(t) = 0
Bewegungsgleichung Summe aller Kraumlfte = 0
)()(
2
2
takdt
tadm 0)(
)(2
2
takdt
tadm
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Pendelschwingung
Torsionsschwingung
Saitenschwingung
Biegeschwingung
Erzwungene Schwingungen
schwache Daumlmpfung kann zu riesigen Amplituden fuumlhrenwenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
2
2 )()(
)()(dttwd
mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
einf
alle
nde
Wel
le
refle
ktie
rte
Wel
le
gebr
oche
ne W
elle
Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Rotation
Zentrifugalkraft (Traumlgheitskraft)
Fz = m r ω2
ω = dφdt Winkelgeschwindigkeit m r2 Traumlgheitsmoment
Zentripetalkraft
r
Bei der Bewegung von Himmelskoumlrpern ist die Zentripetalkraft die GRAVITATION
Zentrifugal-beschleunigung
Rotierende Erde
ω
Die Erde ist durch die Eigenrotation ein abgeplatteter Koumlrper (Rotationsellipsoid)
e
r
φ
Fz =m r ω2 ZentrifugalkraftGravitationskraft
Schwerkraft= Gravitationskraft + Zentrifugalkraft (vektoriell)
M 1Potential Φ = G + ω2 e2 cos2φ e 2
Schwerebeschleunigung in Richtung e = ndash dΦde M = G ndash ω2 e cos2φ e2
GezeitenkraumlfteGezeitenkraumlfte entstehen durch das Zusammenspiel von Gravitationskraftund Zentrifugalkraft
Die Zentrifugalkraft entsteht durch dieRotation von Himmelskoumlrpern um ihrengemeinsamen Schwerpunkt
An verschiedenen Punkten der Erde istdie Gravitationskraft durch Mond bzw Sonne ist aufgrund der Abstandsunter-schiede an verschiedenen Punktenungleich Im Schwerpunkt der Erdeheben sich Gravitationskraft undZentrifugalkraft auf
Die Gezeitenkraft ist die Vektorsummevon Gravitations- und Zentrifugalkraft
Aufgrund der Eigenrotation der Erdekommt es zu einer etwa 12-stuumlndigenGezeitenperiode
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Federpendel
RuhelageMasse m
Federmit
Federkonstante k
Auslenkung a aus der Ruhelage a(t) Funktion der Zeit
Loumlsung dieser Differentialgleichung
a(t) = ao sin(ω t)
Diese Loumlsung in die Differentialgleichung eingesetzt ergibt
ndash m ω2 ao sin(ωt) + k ao sin(ωt) = 0
nach kuumlrzen von ao und sin(ωt) ω2 = km
mit ω = 2πT ergibt sich die Periode derSchwingung (Eigenperiode) kmT 2
bzw
Traumlgheitskraft Federkraft oder kurz m auml(t) + k a(t) = 0
Bewegungsgleichung Summe aller Kraumlfte = 0
)()(
2
2
takdt
tadm 0)(
)(2
2
takdt
tadm
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Pendelschwingung
Torsionsschwingung
Saitenschwingung
Biegeschwingung
Erzwungene Schwingungen
schwache Daumlmpfung kann zu riesigen Amplituden fuumlhrenwenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
2
2 )()(
)()(dttwd
mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
einf
alle
nde
Wel
le
refle
ktie
rte
Wel
le
gebr
oche
ne W
elle
Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Rotierende Erde
ω
Die Erde ist durch die Eigenrotation ein abgeplatteter Koumlrper (Rotationsellipsoid)
e
r
φ
Fz =m r ω2 ZentrifugalkraftGravitationskraft
Schwerkraft= Gravitationskraft + Zentrifugalkraft (vektoriell)
M 1Potential Φ = G + ω2 e2 cos2φ e 2
Schwerebeschleunigung in Richtung e = ndash dΦde M = G ndash ω2 e cos2φ e2
GezeitenkraumlfteGezeitenkraumlfte entstehen durch das Zusammenspiel von Gravitationskraftund Zentrifugalkraft
Die Zentrifugalkraft entsteht durch dieRotation von Himmelskoumlrpern um ihrengemeinsamen Schwerpunkt
An verschiedenen Punkten der Erde istdie Gravitationskraft durch Mond bzw Sonne ist aufgrund der Abstandsunter-schiede an verschiedenen Punktenungleich Im Schwerpunkt der Erdeheben sich Gravitationskraft undZentrifugalkraft auf
Die Gezeitenkraft ist die Vektorsummevon Gravitations- und Zentrifugalkraft
Aufgrund der Eigenrotation der Erdekommt es zu einer etwa 12-stuumlndigenGezeitenperiode
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Federpendel
RuhelageMasse m
Federmit
Federkonstante k
Auslenkung a aus der Ruhelage a(t) Funktion der Zeit
Loumlsung dieser Differentialgleichung
a(t) = ao sin(ω t)
Diese Loumlsung in die Differentialgleichung eingesetzt ergibt
ndash m ω2 ao sin(ωt) + k ao sin(ωt) = 0
nach kuumlrzen von ao und sin(ωt) ω2 = km
mit ω = 2πT ergibt sich die Periode derSchwingung (Eigenperiode) kmT 2
bzw
Traumlgheitskraft Federkraft oder kurz m auml(t) + k a(t) = 0
Bewegungsgleichung Summe aller Kraumlfte = 0
)()(
2
2
takdt
tadm 0)(
)(2
2
takdt
tadm
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Pendelschwingung
Torsionsschwingung
Saitenschwingung
Biegeschwingung
Erzwungene Schwingungen
schwache Daumlmpfung kann zu riesigen Amplituden fuumlhrenwenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
2
2 )()(
)()(dttwd
mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
einf
alle
nde
Wel
le
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ktie
rte
Wel
le
gebr
oche
ne W
elle
Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
GezeitenkraumlfteGezeitenkraumlfte entstehen durch das Zusammenspiel von Gravitationskraftund Zentrifugalkraft
Die Zentrifugalkraft entsteht durch dieRotation von Himmelskoumlrpern um ihrengemeinsamen Schwerpunkt
An verschiedenen Punkten der Erde istdie Gravitationskraft durch Mond bzw Sonne ist aufgrund der Abstandsunter-schiede an verschiedenen Punktenungleich Im Schwerpunkt der Erdeheben sich Gravitationskraft undZentrifugalkraft auf
Die Gezeitenkraft ist die Vektorsummevon Gravitations- und Zentrifugalkraft
Aufgrund der Eigenrotation der Erdekommt es zu einer etwa 12-stuumlndigenGezeitenperiode
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Federpendel
RuhelageMasse m
Federmit
Federkonstante k
Auslenkung a aus der Ruhelage a(t) Funktion der Zeit
Loumlsung dieser Differentialgleichung
a(t) = ao sin(ω t)
Diese Loumlsung in die Differentialgleichung eingesetzt ergibt
ndash m ω2 ao sin(ωt) + k ao sin(ωt) = 0
nach kuumlrzen von ao und sin(ωt) ω2 = km
mit ω = 2πT ergibt sich die Periode derSchwingung (Eigenperiode) kmT 2
bzw
Traumlgheitskraft Federkraft oder kurz m auml(t) + k a(t) = 0
Bewegungsgleichung Summe aller Kraumlfte = 0
)()(
2
2
takdt
tadm 0)(
)(2
2
takdt
tadm
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Pendelschwingung
Torsionsschwingung
Saitenschwingung
Biegeschwingung
Erzwungene Schwingungen
schwache Daumlmpfung kann zu riesigen Amplituden fuumlhrenwenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
2
2 )()(
)()(dttwd
mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
einf
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Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Federpendel
RuhelageMasse m
Federmit
Federkonstante k
Auslenkung a aus der Ruhelage a(t) Funktion der Zeit
Loumlsung dieser Differentialgleichung
a(t) = ao sin(ω t)
Diese Loumlsung in die Differentialgleichung eingesetzt ergibt
ndash m ω2 ao sin(ωt) + k ao sin(ωt) = 0
nach kuumlrzen von ao und sin(ωt) ω2 = km
mit ω = 2πT ergibt sich die Periode derSchwingung (Eigenperiode) kmT 2
bzw
Traumlgheitskraft Federkraft oder kurz m auml(t) + k a(t) = 0
Bewegungsgleichung Summe aller Kraumlfte = 0
)()(
2
2
takdt
tadm 0)(
)(2
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Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Pendelschwingung
Torsionsschwingung
Saitenschwingung
Biegeschwingung
Erzwungene Schwingungen
schwache Daumlmpfung kann zu riesigen Amplituden fuumlhrenwenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
2
2 )()(
)()(dttwd
mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
einf
alle
nde
Wel
le
refle
ktie
rte
Wel
le
gebr
oche
ne W
elle
Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Schwingungen(siehe auch Hauptvorlesung Experimentalphysik 1)
Pendelschwingung
Torsionsschwingung
Saitenschwingung
Biegeschwingung
Erzwungene Schwingungen
schwache Daumlmpfung kann zu riesigen Amplituden fuumlhrenwenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
2
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mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
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einf
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Wel
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rte
Wel
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oche
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Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Erzwungene Schwingungen
schwache Daumlmpfung kann zu riesigen Amplituden fuumlhrenwenn im Bereich der Eigenfrequenz angeregt wird
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
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mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
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einf
alle
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oche
ne W
elle
Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Das Seismometer(erzwungene Schwingung)
Seismometer-Demo siehe httpwwwifgtu-clausthaldejavaseissdem_how-dhtmlADWN
Das gezeigte Modell findet man auf der unten genannten Webseite der TU Clausthal als Java-Applet
Wir konzentrieren uns auf den Ausschlag des Seismometers x(t) als Folge einer harmonischen sbquoBodenlsquobewegung w(t)=wosin(ωt)
Man sieht dass das Amplitudenverhaumlltnis xowo von der Frequenz ω der Bodenbewegung abhaumlngtund auch von den Eigenschaften des GeraumltsEigenfrequenz ωo = 2πTo = radic(km)sowie Daumlmpfung δ
Bewegungsgleichung inhomogene Differentialgleichung
2
2
2
2 )()(
)()(dttwd
mtxkdttdx
dttxd
m
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
einf
alle
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ktie
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Wel
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gebr
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elle
Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
WellenEine Schwingung (Oszillation) kann sich im Raum ausbreiten wenn eine
Kopplung vorhanden ist (zB elastische Kopplung)
Man erhaumllt eine Abhaumlngigkeit des sich ausbreitenden Zustandes von
Ort x und Zeit thttpimagesgoogledeimgresimgurl=httpwwwchemgapediadevsenginemediavscdeph14epeinfuehrungwellenoptikprojektejpakma_zwellepngampimgrefurl=httpwwwchemgapediadevsenginevluvscdeph14epeinfuehrungwellenoptikinterferenzvluPagevscdeph14epeinfuehrungwellenoptikydsversuch5vscmlhtmlampusg=__PQ_O0jlo4KHc0mQd4ooKR8JHPEo=amph=286ampw=468ampsz=5amphl=deampstart=4amptbnid=IAtzRfApMeOThMamptbnh=78amptbnw=128ampprev=images3Fq3Dwellen2Bzeigerformalismus26gbv3D226hl3Dde
Wellenlaumlnge λ
Periode TFrequenz f = 1T
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle v = (λ4)(T4) also v = λ T = λ f (Phasengeschwindigkeit)
tZeit
Ort = const
x
Zeit = const
x
Ausbreitung in x-RichtungT4
λ4
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
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Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
WellenMathematische Beschreibung
Loumlsung der Wellengleichung A(xt) = Ao sin(kx ndash ωt)
k=2πλ Wellenzahlω=2πT Kreisfrequenz
part2A(xt) part2A(xt) = v2 partt2 partx2
Wellengleichung einer ebenen ungedaumlmpften Welle
Zweite partielle Ableitungen der Loumlsung in die Wellengleichung eingesetztergibt
minus ω2 Ao sin(kx ndash ωt) = minus v2 k2 Ao sin(kx ndash ωt)
und damit v = ωk = λ T
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
bdquohartesldquo
Medium
bdquoweichesldquo
Medium
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Medium
einf
alle
nde
Wel
le
refle
ktie
rte
Wel
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gebr
oche
ne W
elle
Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
WellenWas passiert mit Wellen bei ihrer Ausbreitung
Animation httpwwwwalter-fendtdeph14dhuygenshtm
Huygenssches Prinzip Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt von Elementarwellen angesehen werden die sich mit gleicher Geschwindigkeit und Wellenlaumlnge wie die urspruumlngliche Welle ausbreiten Die Einhuumlllende dieser Elementarwellen stellt die neue Wellenfront dar
sin α v1
sin β v2
v1
v2
V Geschwindigkeit im Medium
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
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Medium
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Medium
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Medium
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Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Wellen
Elektromagnetische Wellen
Elastische Wellen
Wasserwellen
Waumlrmewellen
Gravitationswellen
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
bdquohartesldquo
Medium
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Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Elektromagnetische WellenzB Licht Radar Roumlntgenstrahlen Waumlrmestrahlung
Geschwindigkeit im Vakuum c = 3108 ms (Lichtgeschwindigkeit)
In Materie breiten sich elektromagnetische Wellenlangsamer aus(frequenzabhaumlngig)81
εr
Permittivitaumlt εr
von Wasser Frequenz f (Hz)
Elektrische Feld E und Magnetisches Feld B
breiten sich in E x B Richtung aus
E un B sind in Phase wenn das Medium
nicht elektrisch leitend ist
ε = ε0 εr Permittivitaumlt (Dielektrizitaumltskonstante)
εr relative Permittivitaumlt (=elektrische Polarisierbarkeit)
μ = μ0 μr magnetische Permeabilitaumlt
μr relative Permeabilitaumlt (=Magnetisierbarkeit)
ε0 = 885410-12 AsVm μ0 = 4π10-7 VsAm (Konstanten)
σ Elektrische Leitfaumlhgkeit
ω = 2πf (f Frequenz)εr μr σ sind selbst auch frequenzabhaumlngig
(siehe zB εr fuumlr Wasser) Frequenzabhaumlngigkeit nennt man DISPERSION
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
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Medium
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Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
Elastische WellenzB Seismische Wellen Schallwelle
P-Welle S-Welle
V = radic(K+4μ3)ρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
V = radicμρ
K Kompressionsmodul
μ Schermodul
ρ Dichte
Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
httpwwwitpuni-hannoverde~zawischaITPbeugghtml
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Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
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Beugung und Interferenz
Die Spalte sind Ausgangspunkt fuumlr Elementarwellen
httpwwwpk-appletsdephyinterferenzinterferenzhtml
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Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
Ae Ar
A2
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bdquoweichesldquo
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Reflexionskoeffizient und Phasensprungbei senkrechtem Einfall
Reflexionskoeffizient R = (Z2-Z1) (Z1+Z2)
Z Wellenwiderstand des Mediums
Wir betrachten die Phaseder reflektierten Welle bezogen auf die einfallende Welle
zB im rechten Fall (Reflexion aneiner bdquohartenldquo Grenzflaumlche)
In Physikbuumlchern steht dazu bdquohier findet ein Phasensprung von π (=halbe Wellenlaumlnge) stattldquoDer Geophysikbuumlchern steht dagegenbdquohier findet kein Phasensprung stattldquo
Der Unterschied ist die BetrachtungsweiseDer Physiker betrachtet den Vorgang meist In einem festen Koordinatensystem der Geophysiker dagegen laumlsst das Koordinatensystem mit dem Strahlweg mitwandern
Fuumlr die Amplituden an der Grenzflaumlchemuss gelten Ae + Ar = A2
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