Workshop "Mathematische Ökonomie"

Wiederholung „Mathematische

Ökonomie“Wintersemester 2007/2008

Alexander Spermann

1. Sitzung zur komparativen Statik: IS/LM-Modell

FMrYLFGrIYCY

dxdxxxUU

yxxyF

xyxyF

dxdy

),( :LM0)()( :IS

fest! Regel-Funktionen Impliziteder Anwendungdurch Kurve-LMder und Kurve-ISder Steigung die SieStellen Modell-IS/LM Anwendung 2.2

Regel!-Funktionen Impliziteder Verwendungunter zkurveIndifferender /on Substitutider Grenzrate die SieBerechnen ).,(tion Nutzenfunk die Sie Betrachten

Modell-Güter- Zwei:Anwendung 2.1

Regel-Funktionen Impliziteder Anwendung 2.

9),( 1.2

3),( 1.1

Funktionen implizite folgendefür / SieFinden

Regel-Funktionen Implizite 1.

1221

22

4

y

x

yx

y

FF

dxdy

dyFdxF

FyxFxfy

0

:alDifferenti totaledasist dann ,0 undexistiert Funktion implizite wenn 0),( :Funktion Implizite

tausgedrückit von x Abhängigkein explizit y wird )( :Funktion Explizite

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32

xx

5 2 4 2

.352242Regel-Cramer 3.1

ersion)(Matrixinvverfahren Inversions :4 Lösungswege)ntenmethod(Determina RegelCramer :3 Lösungsweg

nnsverfahreEliminatio Gauss`sche :2 LösungswegsverfahrenEinsetzung :1 Lösungsweg

:systemsGleichungslinearen eines Lösung

teDeterminan-Jacobi und Regel-Cramer 3.

2

1

21

21

bzwxxxx 1

22

5 24 23 22 2

12 2

5 24 25 34 2

2

1

x

x

AA

AtenmatrixKoeffizienverändertex i

i

AKoeffizienten-matrix

XSpalten-vektor

der Variablen

BSpalten-vektor

derKonstanten

Matrizenschreibweise

212

2

211

2

2

1

1

1

2221

212

211

1812

128

3

2

:nAbleitunge Partielle

9124)2(

32 (1)

systemsGleichungs einesn Ableitunge partiellen diesortiert teDeterminan-Jacobi Die

teDeterminan-Jacobi 3.2

xxxy

xxxyxyxy

xxxxy

xxy

J

yxyx

x x x x

1

1

2

1

1 2 1 2

28 12 12 18

yx

yx

3

1

2

2

2

analoge Schreibweise: J

( , )( , )y yx x

1 2

1 2

abhängig funktional sind Funktionen beide

0)3624()3624(Joben siehe:Bsp.

abhängigun funktionaldann ,0J :Kriterium

abhängig)linear -nichtoder (linear it Abhängigke efunktional aufsystemen GleichungsTest von

2121

xxxx

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1998)Bailey :(Quelle

leSpezialfäl 4.4kGeldpolitider Wirkung4.3tikFiskalpolider Wirkung4.2

Kurve-LM und-ISder Steigung 4.1

),( :LM0)()( :IS

Regel-Cramerder und teDeterminan-Jacobider Verwendungunter hreibweiseMatrizenscin Modell-IS/LM 4.

FMrYLFGrIYCY

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Musterlösung1. Sitzung zur komparativen Statik: IS/LM-Modell

yFxF

yyx

yx

FF

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yxxyF

FxF

xxFF

dxdy

xyxyF

y

x

y

x

y

x

y

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22

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9),(

2.1

112

121

12

03),(

1.1

22

3

33

4

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)0,0( 0

),( :LMKurve-LM :Beispiel

011

0)()( :ISKurve-IS :Beispiel

2.2

ryr

y

r

y

r

y

r

y

r

y

LLLL

FF

dYdr

FMrYL

IC

IC

FF

dYdr

FGrIYCY

r

Y

IS

r

Y

LM

2.1

,dann ist

dxdx

FF

UU

UxUx

Spezialfall U x xdxdx

xx

x

x

2

1

1

2

1

2

1 22

1

2

1

1

2

:

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dMdG

drdY

LL

IC

dMdrLdYLdGdrIdYCdY

MrYLGrIYCY

rY

ry

ry

rY

=

- 1:hreibweiseMatrizensc

:LM :IS

:ationDifferenti implizite Totale

),( :LM0)()( :IS

hreibweiseMatrizenscin IS/LM 4.

Jacobi endogen exogen

0

0:Kurve-LMder Steigung

01

0)1(:Kurve-ISder Steigung

1.4

r

y

rrY

r

Y

rY

LL

dYdr

dMdLdYL

IC

dYdr

dGdrIdYC

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)0 ;01( ; 01 1

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0

:kGeldpoliti 4.3

0J

0 1

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)0 ,0I ,0 ,01( ; 0)1(

)0 ,0( ; 0J

0

tikFiskalpoli 4.2

r

JCJC

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01

)1(

1 lim)1(

lim lim b)

unwirksam)ik (Geldpolit 0 0 a)

)2

am)itik wirks(Fiskalpol 01

1

1

1lim)1(

lim lim )

unwirksam)itik (Fiskalpol 0GY 0 )

)1

leSpezialfäl 4.4

YY

r

rY

IYrrY

r

IIr

r

Y

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YrY

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r

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r

LLILCLILC

IMYI

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ensnachfragInvestitioderzitätZinselasti

CLLICLILC

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ageGeldnachfrderzitätZinselasti

rrr

rrr

LM

ISLM

IS

b) Liquiditätsfallea)

a) Investitionsfalle b)

IS

IS

LM LMLM

LM