38
Zeitreihenanalyse 6 6.1 Auto- und Kreuzkorrelation 6.2 Filtertechniken 6.3 Harmonische Analyse 6.4 Spektralanalyse

Zeitreihenanalyse 6 6.1 Auto- und Kreuzkorrelation 6.2 Filtertechniken 6.3 Harmonische Analyse 6.4 Spektralanalyse

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Page 1: Zeitreihenanalyse 6 6.1 Auto- und Kreuzkorrelation 6.2 Filtertechniken 6.3 Harmonische Analyse 6.4 Spektralanalyse

Zeitreihenanalyse

6

6.1 Auto- und Kreuzkorrelation

6.2 Filtertechniken

6.3 Harmonische Analyse

6.4 Spektralanalyse

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Auto- und Kreuzkorrelation6.1

Zeitreihen sind Datenkollektive, deren Bezugseinheiten Zeitpunkte oder Zeiträume sind:

Eigenschaften von Zeitreihen: - deterministische Abhängigkeit: linearer oder zyklischer Trend, d.h. benachbarte Werte unterscheiden sich um annähernd festen Be- trag (plus geringe Zufallsabweichung) - stochastische Abhängigkeit: benachbarte Wer- te sind ähnlich oder gegensätzlich ähnlich - stochastische Unabhängigkeit: nachfolgender Wert ist unabhängig vom vorherigen Wert

stochastische Abhängigkeiten sind Stör-faktoren in der Korrelationsanalyse und Test-statistik

stochastische Abhängigkeiten sind aber auch ein Kennzeichen des zugrunde liegen-den Prozesses

nX ..1,)(

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Auto- und Kreuzkorrelation6.1

in der Natur weisen viel Prozesse stochastische Abhängigkeiten zwischen zeitlich oder räumlich benachbarten Objekten auf: - stochastische Abhängigkeiten in Zeit und Raum - über Transfer von Masse, Energie oder Information - Zustand eines Objektes jedoch nicht exakt aus dem Zustand der Nachbarn zu bestimmen (deterministisch), sondern nur mit gewisser (hoher) Wahrschein- lichkeit (stochastisch) - Wiederholbarkeit eines solchen Prozesses ist nie exakt gegeben

Beispiel Kernspaltung von 235U:

- ein Neutron reicht aus, um bei einer kritischen Masse von Uran eine Ketten- reaktion hervorzurufen, die zur Spaltung aller Atomkerne von 235U führt - Zustand eines U-Atoms abhängig von Zuständen der Nachbarn - Prozess besitzt starke Erhaltungsneigung ohne weitere äußere Einwirkung

radioaktive Strahlung

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Auto- und Kreuzkorrelation6.1 exogene Steuerung von stochastischen Prozessen: - externe Faktoren wirken einmalig oder kontinuierlich ein: Forcing - mit Regressionsanalyse statistisch zu beschreiben - z.B. Neutronenbeschuss bei Kernspaltung, Binnenwanderungssaldo und Siedlungsstruktur, …

endogene Steuerung von stochastischen Prozessen: - Entwicklung des Prozesses innerhalb des Systems durch interne system- immanente Wechselwirkungen - z.B. Kettenreaktion bei Kernspaltung, Rückkopplungen im Klimasystem bei erhöhtem CO2-Gehalt

- Tendenzen und Zustände zeitlich oder räumlich benachbarter Objekte setzen sich fort: Erhaltungsneigung - statistische Beschreibung der Erhaltungsneigung ist die stochastische Ab- hängigkeit

Prozesse mit Erhaltungsneigung in der Geographie: - räumlich: Regionalisierungen (z.B. Entwicklungs- vs. Industrieländer) - zeitlich: typische Ausprägungen (z.B. KLINO: Mittelwerte über 30 a) - stochastische Unabhängigkeit: Untersuchungen von Individuen (z.B. Einzel- handelsforschung)

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Auto- und Kreuzkorrelation6.1

Grundvoraussetzung für die Zeitreihenanalyse ist Stationariät: - Mittelwerte der Variablen X(ti) sind identisch für alle ti

- Varianzen der Variablen X(ti) sind identisch für alle ti

- in der Praxis schwer zu überprüfen, da meist nur ein Wert pro Zeiteinheit gegeben (Zeitreihendefinition) - graphische Darstellung liefert ersten Hinweis, aber nicht immer eindeutig:

stationäreZeitreihe

instationäreZeitreihe

Erhaltungsneigung kann auch über mehrere Zeitschritte andauern: - i.d.R. singt die Erhaltungsneigung mit Vergrößerung des Zeitschrittes - maximale Zeitschrittweite m mit signifi- kantem Einfluss von x(ti-m) auf x(ti) kenn-

zeichnet die Länge des zeitlichen Ge- dächtnisses

mX1 < mX2

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Auto- und Kreuzkorrelation6.1

Autokorrelationsfunktion: - misst Stärke und Art der Erhaltungsneigung für variable Zeitverschiebungen τ - in stationären Zeitreihen ist die Kovarianz zwischen den Variablen X(ti) und

X(ti+k) nur abhängig vom Zeitschritt k und somit ein Maß für die stochastische

Abhängigkeit innerhalb der Zeitreihe - die normierte Kovarianz wird definiert als Autokorrelationsfunktion:

- bei Stationarität der Zeitreihe zu schätzen aus Verschiebung der Zeitreihe gegen sich selbst um Zeitschrittweite k:

- für k = 0 gilt:

k Lag"" zumfizient ationskoefAutokorrel ,)var(

)cov( kk X

k

nk1

k-n1

1

2

1'

tbis tmit Zeitp. Abhängige )(

tbis tmit Zeitp. gige Unabhän ][

:mit

)(

)()(

var

cov

kX

kX

xx

xxxx

(X)

)(X[k],X(k)r n

ii

kn

ikii

k

100 r

k = 0

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Auto- und Kreuzkorrelation6.1 Autokorrelationsfunktion: - in der Praxis sind Mittelwerte und Varianzen der Variablen X[k] und X(k) nicht exakt identisch - deshalb wird rk in Analogie zum Korrelationskoeffizient nach Pearson meist

wie folgt geschätzt:

- unter der Nullhypothese H0 : ρk = 0 , k = 1 .. q ist die folgende Prüfgröße

approximativ standardnormalverteilt bei n–k > 30:

- Standardfehler von rk wird geschätzt durch:

- Länge des Gedächtnisses also definiert durch maximale Schrittweite m mit statistisch signifikantem Autokorrelationskoeffizienten rm

- identische Vorgehensweise für räumliche Autokorrelation, aber 3-dimensional

n

kiik

kn

iikkn

i

kn

ikkiki

kn

ikkiki

k xkn

xxkn

x xxxx

xxxxr

1)(

1][

1 1

2

)(

2

][

1)(][

* 1,

1,

)()(

)()(

kr

kk

rz

ˆ

0: i wobe21

1

1

1

2

r

k

jj

r sn

rs

k

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Auto- und Kreuzkorrelation6.1 Autokorrelationsfunktion: - Beispielzeitreihen:

- Autokorrelationskoeffizienten bis k = 10:

- Signifikanztest für Zeitreihe (d) bis k = 3 (zα=5% = 1,96):

tte) Zeitschri2über s(Gedächtni 2

annehmen 66,122,0

39,0ˆ23,0

50

]513,0)77.0[(21

annehmen 44,221,0

513,0ˆ 21,0

50

)77.0(21

annehmen 50,514,0

77,0ˆ 14,0

50

021

03

22

12

2

11

3

2

1

m

Hzs

Hzs

Hzs

r

r

r

Test wegen Zeitreiheninstationarität nicht aussagekräftig

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Auto- und Kreuzkorrelation6.1 Autokorrelationsfunktion: - Autokorrelationsfunktionen der Beispielzeitreihen

Originalzeitreihen Autokorrelationsfunktionen

a) linearer Trend bewirktdurchweg hohe rk

b) rk zeichnet Periodizitätnach (λ = 12 Zeiteinheiten)

c) stark abfallende rk

d) alternierende rk kenn-zeichnet hochfrequentenZyklus

e) weißes Rauschen weistkeinerlei Erhaltungsneigungauf

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Auto- und Kreuzkorrelation6.1

Interpretation der Autokorrelationsfunktion: - Autokorrelationskoeffizienten rk formal auf alle Zeitreihen anzuwenden

- inhaltliche Interpretation als Erhaltungsneigung aber abhängig von der zugrunde liegenden Theorie des Prozesses:

- wegen der sukzessiven Verringerung der Freiheitsgrade mit k werden für rk

nur Schrittweiten bis

betrachtet - insbesondere lineare Trends und Trends höherer Ordnung verzerren die Auto- korrelationsfunktion - wenn diese Trends extrahiert werden (Hochpassfilterung), kommt stocha- stische Abhängigkeit u.U. im Trendresiduum zum Vorschein

hoher rk-Wert aus stündlichen Pegelständen inhaltlich als Erhaltungsneigung zu interpretieren

hoher rk-Wert aus Pegelständen jeweils zum 1. eines Monats keine inhaltliche Interpretation sinnvoll

4

nk

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Auto- und Kreuzkorrelation6.1

Bedeutung der Autokorrelationsfunktion für den Zusammenhang zwischen ZVA: - Korrelation zwischen zwei ZVA kann maßgeblich bedingt sein durch gleich- gerichtete (r > 0) oder entgegen gesetzte (r < 0) Instationaritäten, die auf von einander unabhängige Prozesse zurückzuführen sind - 1. Möglichkeit: Trend extrahieren und dann Korrelationskoeffizient berechnen:

- 2. Möglichkeit: beim Test des Korrelationskoeffizienten die durch die Autokorrelation redu- zierte Anzahl der Freiheitsgrade berücksichtigen:

mit:

Orig

inalte

itreihen

linearer T

rend

abg

ezog

en

Natalität und Verstädterung

r = -0,92

r = 0,25

YX

YX

k

kk

kk

r rr

rr

1

1

max:!

krk

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Auto- und Kreuzkorrelation6.1

Kreuzkorrelationsfunktion: - Einfluss und Wirkung zwischen Prozessen muss nicht zwangsläufig instantan erfolgen - es sind auch Reaktionszeiten (“Lags“) denkbar, die durch eine Verschiebung der Zeitreihen zweier ZVA X und Y gegeneinander erfasst werden können:

- analog zur Autokorrelation berechnet sich die Kreuzkorrelationsfunktion zu:

- im Gegensatz zur Autokorrelation ist auch die Berücksichtigung von negativen Zeitverschiebungen sinnvoll:

n

kiik

kn

iikkn

i

kn

ikkiki

kn

ikkiki

k ykn

yxkn

x yyxx

yyxxc

1)(

1][

1 1

2

)(

2

][

1)(][

* 1,

1,

)()(

)()(

k > 0 : Einfluss von X auf Yk < 0 : Einfluss von Y auf X }

Kreuzkorrelations-funktion is häufigasymmetrisch

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Auto- und Kreuzkorrelation6.1 Interpretation der Kreuzkorrelationsfunktion: - Interpretation wieder nur sinnvoll, wenn Theorien über den zugrunde liegen- den Prozess vorhanden sind - für k = 0 entspricht ck dem Korrelationskoeffizient nach Pearson

- maximale Zeitverschiebung wieder nur bis:

- Instationaritäten (Trends) bewirken auch Verzerrungen in der Kreuzkorrela- tion, was wieder durch Trendextraktion (Hochpassfilterung) zu verhindern ist:

- bei der Kreuzkorrelation wird nicht gefordert, dass die Variablen X und Y die gleiche räumliche Bezugseinheit besitzen: Telekonnexion - d.h. X und Y können auch die gleiche Variable in unterschiedlichen Raumein- heiten repräsentieren

4

nk

Natalität und Verstädterung:

- bei Originalzeitreihen Kreuz- korrelation nur über Trend- nach Trendextraktion wird Reaktionszeit der Natalität auf Verstädterung von 4-6 Jahren sichtbar- andersherum (k < 0) keine sinnvolle inhaltliche Inter- pretation möglich

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Auto- und Kreuzkorrelation6.1 Interpretation der Kreuzkorrelationsfunktion: - Indikator für positive und negative Rückkopplungen zwischen Systemkompo- nenten:

- entsprechende Kreuzkorrelationsfunktionen mit / ohne Vorzeichenwechsel:

positive Rückkopplung:

Destabilisierung, nichtlineares Fehlerwachstum

negative Rückkopplung:

Stabilisierung,Dämpfung

A+ O+

A-O-

ck

k-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

+1,0

+0,5

-0,5

-1,0

positive Rückkopplung:

ck ohne Vorzeichenwechselfür negative und positive k

negative Rückkopplung:

ck mit Vorzeichenwechselfür negative und positive k

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Filtertechniken6.2

Zeitreihen (oder räumliche Daten) setzen sich aus Varianzanteilen mit unterschiedlichen Zeitskalen / Raumskalen (Perioden, Frequenzen) zusam-men: - ausgelöst durch überlagerte Einflussfaktoren (Kenntnis des zugrunde liegen- den Prozesses):

- für manche Fragestellungen interessiert nicht die Gesamtvarianz der Zeit- reihe, sondern nur bestimmter Varianzanteil auf dezidierten Zeitskalen:

TemperaturzeitreiheWürzburg

Tem

per

atu

r

Zeit

Jahresgang der Sonne

Tagesgang der Sonne

CO2-bedingter Erwär-mungstrend

nur lange Zeitskalen (tiefe Frequenzen) : Tiefpassfilterung

nur kurze Zeitskalen (hohe Frequenzen) : Hochpassfilterung

Zeitskalen in einem nach oben und un-ten begrenzten Bereich (Frequenzband) : Bandpassfilterung

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Filtertechniken6.2 Filterfunktionen R(f) / R(T):

Filterfunktion im Varianzspektrum: Resultierende Zeitreihe:

alle Frequenzen /Perioden

kommen durch

hohe Frequenzen /kurze Perioden

werden herausge-filtert

tiefe Frequenzen /lange Perioden

werden herausge-filtert

besonders hoheund tiefe Frequenzen /

kurze und lange Periodenwerden herausgefiltert

Originalzeitreihemit kompletterVarianz

tiefpassgefilterteZeitreihe

hochpassgefilterteZeitreihe

bandpassgefilterteZeitreihe

f = FrequenzT = Periode

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Filtertechniken6.2

Tiefpassfilterung: - einfachste Form der Tiefpassfilterung ist übergreifende Mittelung (“running mean“, gleitendes Mittel):

- statt des festen Vorfaktors (2∙m+1)-1 können auch Filtergewichte wk in Abhän-

gigkeit von k verwendet werden, die eine geglättete gefilterte Zeitreihe erzeugen:

eFilterweit halbe :

iheten Zeitressgefilterder tiefpa Werte: ~itreiheOriginalzeder Werte:

:mit

,...,1,12

1~

m

a

a

mnmiam

a

i

i

m

mkki

m

i

m

mkk

m

mkkik

m

i

w

mnmiawa

1

:mit

,...,1,~

übergreifende Mittelung

Gaußsche Filterung

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Filtertechniken6.2 Tiefpassfilterung: - Gaußsche Filtergewichte:

- eigentlich unendliche viele Gewichte, aber meist Abbruch bei:

- Gaußsche Filtergewichte für unter- schiedliche Perioden T*:

- w0 heißt auch Zentralgewicht

- z.B. Herausfilterung der Varianz unterhalb von 9 Zeitschritten (m=4):

0*)(gilt diefür Periode, :

ungrmaverteilStandardnoder ert Funktionsw :

:mit

*

6

TTRT*

z

Tkzwk

10: 0w

wk k

k -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

wk 0,0075 0,0361 0,1101 0,2130 0,2666 0,2130 0,1101 0,0361 0,0075

m

mkkw 1

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Filtertechniken6.2 Tiefpassfilterung: - statt Gaußschen Filtergewichten auch Binomialkoeffizienten b aus dem Pascalschen Dreieck möglich: Binomialfilterung

- häufig sollen auch nur die Instationaritäten herausgearbeitet werden: Trend- polynom 1. oder höherer Ordnung

Eigenschaften der Tiefpassfilterung: - symmetrische Filtergewichte stellen sicher, dass keine Phasenverschiebun- gen auftreten - Normierung auf 1 erhält die Mittelwerte der Zeitintervalle [i-m, .., i+m] - gefilterte Zeitreihe ist an beiden Seiten um jeweils m Daten verkürzt

wieder auf 1 normieren:

N

i

k

b

bw

1

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Filtertechniken6.2

Hochpassfilterung: - einfach durch Subtraktion der tiefpassgefilterten Zeitreihe von der Originalzeit- reihe:

- dabei bleibt allerdings der Mittelwert der Zeitreihe nicht erhalten - falls dies unerwünscht ist, einfach Gesamtmittelwert wieder aufaddieren:

- häufig sollen nur die Instationaritäten der Zeitreihe eliminiert werden: Trend- polynom k-ter Ordnung abziehen:

mnmiaaa m

ii

m

i ,...,1,~

mnmiaaaa m

ii

m

i ,...,1,~

ataaa

mnmiaaaak

j

j

iji

ii

m

i

1

0

,...,1,ˆ

mit:

ti = Zeitpunkte

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Filtertechniken6.2

Bandpassfilter: - einfachster Ansatz ist doppelte Tiefpassfilterung und anschließende Subtrak- tion der resultierenden Zeitreihen:

- dabei muss zwingend m1 < m2 gelten,

d.h. m2 bewirkt die stärkere Glättung

- unbefriedigend, da kein spektraler Bereich im Zentrum des herausge- arbeiteten Frequenzbandes unver- ändert bleibt

- bessere Methoden arbeiten mit trigonometrischen Funktionen (s. Schönwiese 1992)

mnmiaaaa m

i

m

i

mm

i ,...,1,~~ 2121 ,ai

ãim1

ai

ãim2

äim1,m2 = ãi

m1 – ãim2 + ā

1.

Sc

hri

tt2

. S

ch

ritt

3.

Sc

hri

tt

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Harmonische Analyse6.3

jede stetige, unendliche Zeitreihe a(t) kann durch Superposition von Sinus- und Cosinusfunktionen der Teilperioden Pi reproduziert werden:

- Berechnung der trigonometrischen Funktionen heißt harmonische Analyse, wenn die i natürliche Zahlen sind - bei exakt periodischen Zeitreihen reicht eine endliche Zahl von trigonometri- schen Funktionen:

- bei nicht exakt periodischen Zeitreihen unendliche Reihe bzw. nur annähernd reproduzierbar

Beobachtungsdaten (Punkte) lassen sich in diesem Fall bereitsdurch Superposition von 2 Sinus-funktionen beschreiben

Periode :

)()(

T

Ttata

Prozessesliegenden

zugrunde des Periode : Ti

TPi

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Harmonische Analyse6.3 Fourier-Analyse: - Rechenverfahren zur Bestimmung der Sinus- und Cosinusfunktionen heißt Fourier-Analyse - Reihe der Funktionen heißt Fourier-Reihe (im Bogenmaß):

- Ai und Bi sind die Fourier-

Koeffizienten:

Funktionenn ometrischeder trigon Anzahl :

kt Zeitpun:

Frequenz :

Periode :

22

:mit

)cos()sin(2

)(11

0

n

t

f

T

fT

tiBtiAB

tan

ii

n

ii

ttitaT

B

ttitaT

A

T

i

T

i

d)cos()(2

d)sin()(2

0

0

Ai und Bi werden groß, wennsin und cos einen guten Fit anZeitreihe a(t) darstellen

mit größerem i erhöht sichFrequenz der sin/cos-Funktionen:

2π sin(1∙ω∙t)

sin(2∙ω∙t)

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Harmonische Analyse6.3 Zeitreihen in den Geowissenschaften: - liegen in diskreter Form vor: aj(tj)

- umfassen endliches Zeitintervall: L=n∙Δt - fast nie exakt periodisch

Fourier-Bessel-Entwicklung: - angenäherte harmonische Analyse - nur auf bekannte deterministische Zyklen anzuwenden: Tagesgang, Jahresgang - Entwicklung für i = 1 .. N Stützwerte der Periode T (im Gradmaß):

- Anzahl der Teilschwingungen Pi von T (“Harmonische“) ist N/2:

2,

2,...,1,

360cos)(

2

0,12

,...,1,360

sin)(2

:mit

360cos

360sin)(

2

21

21

2

1

2

1

N

N

N

kkkki

N

N

kkkki

N

iji

N

ijijj

BB

Niti

Tta

NB

AN

itiT

taN

A

tiT

BtiT

Aata

Pmin = 2 ∙ ΔtPmax = T

fmax = (2 ∙ Δt)-1 : Nyquist-Frequenz

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Harmonische Analyse6.3

Fourier-Bessel-Entwicklung: - Bsp. Aufspaltung des Jahresgangs in harmonische Teilschwingungen:

56

45

34

23

12

01

26

5,25

34

43

62

121

gungenTeilschwin62

N

12N

12t12T

Monat1

HT

P

HT

P

HT

P

HT

P

HT

P

HT

P

t

Pmin = 2 MonatePmax = 12 Monatefmax= 0,5

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Harmonische Analyse6.3 Fourier-Bessel-Entwicklung: - durch das i-te Glied der Reihe erfasster Varianzanteil der Gesamtvariant s2:

- Ci2 repräsentieren die Amplituden der i-ten Teilschwingung

- Varianzanteile sind von additiver Eigenschaft - Zeitpunkt ti

max, bei der die i-te Teilschwingung ihr Maximum aufweist ist

gegeben durch:

- nur anzuwenden bei deterministisch erzeugten Zeitreihen (Tagesgang, Jahresgang, Gezeiten) - häufig kann deterministische periodische Ursache komplexe Überlagerung von Perioden erzeugen, die nur mit mehreren Harmonischen reproduziert ist - Verfahren der Zerlegung in harmonische Teilschwingungen kann auch als Zeitreihenfilter genutzt werden, indem bei der Rekonstruktion der Zeitreihe eine oder mehrere Teilperiode Pi ausgelassen werden:

222

2

2

,2 iii

i BACs

C

i

ii

B

A

i

Tt arctan

360max

32

3

32

3

360cos

360sin)(

N

iji

N

ijijj ti

TBti

TAata Bandpassfilter

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Harmonische Analyse6.3

Fourier-Bessel-Entwicklung: - Problem der Frequenzmissdeutung (“aliasing“): bei diskreten Zeitreihenwerten kann zeitliche Schwankung der wahren Periode T1 als niederfrequentere

Schwankung der Periode T2 > T1 missinterpretiert werden:

- durch geeignete Mittelwertbildung oder Filterung zu verhindern

• : diskrete MesswerteT1 : reale PeriodeT2 : vorgetäuschte Periode

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Harmonische Analyse6.3 Fourier-Bessel-Entwicklung: - Bsp. harmonische Analyse eines Temperaturtagesgangs:

...215cos09,0

15cos30,1

...215sin84,0

15sin13,22,38)(

...,09,0,30,1

...,84,0,13,2

24,...,2,1360

cos2

360sin

2

21

*

11

21

*

11

*

*

t

t

t

tta

BBaB

AAaA

i

tiTN

B

tiTN

A

jj

N

jjj

N

jjj

jij

jij

%909,096,32

85,0

2,%7979,0

96,32

50,2

2

96,3

85,009,084,0,50,2)30,1()13,2(

2

2

2

2

2

2

2

1

2

22

2

222

1

2

11

s

C

s

C

s

CBAC

Superposition der 1. und 2.Harmonischen (24h und 12h)erfasst 88% der Gesamtvarianz

24

24

24,...,1,

1

N

T

jt

ht

j

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Spektralanalyse6.4

in Geowissenschaften häufig Transformation der Zeitreiheninformation in eine spektrale Darstellung:

- die spektrale Darstellung gibt Aufschluss über die typischen Zeitskalen der Variabilität innerhalb einer Zeitreihe und somit über die zugrunde liegenden Prozesse - Ergebnis ist das sog. Varianzspektrum (“power spectrum“), welches die relativen spektralen Varianzanteile darstellt - im Gegensatz zur harmonischen Analyse für beliebige nicht periodische Zeitreihen - Ausgangspunkt ist, dass sich jede beliebige Zeitfunktion a(t) in einen Aus- druck der spektralen Dichte transformieren lässt (Fourier-Transformation):

nderFrequenzbä :

1

)()(

i

iijj

fT

f

fAta

Einheit imaginäre : 1

d)()( 2

i

tetafg tfiimaginäre Zahl: Produkt aus reeller Zahlund imaginärer Einheit: x∙i , x ≠ 0

komplexe Zahl: Summe aus reeller Zahlund imaginärer Zahl: z = x∙i + y

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Spektralanalyse6.4 spektrale Varianzanalyse: - klassisches Verfahren ist eigentlich die Fast-Fourier-Transformation (FFT), aber diese besitzt keinen direkten Bezug zur Varianz und keine Signifikanz- prüfung - diese Nachteile vermeidet die spektrale Varianzanalyse (“power spectrum analysis“ = PSA) - basiert auf der Fourier-Transformation der Autokorrelationsfunktion: normier- tes Spektrum:

- Fourier-Transformation einer diskreten endlichen Zeitreihe ist relativ aufwendig - nur mit Tischrechnern oder Großrechnern zu berechnen und je nach Anwen- dungssoftware durchaus markante Unterschiede im Ergebnis - es existiert auch die Möglichkeit, zwei verschiedene ZVA spektral zu verglei- chen: Kreuzspektralanalyse

1)(1d)(1

N

iii fAffd

spektrale Korrelation = Kohärenz

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Spektralanalyse6.4

spektrale Varianzanalyse: - Schätzung des Varianzspektrums Sp für Frequenzintervalle h = Δfh = 0,1,…,M

mit der maximalen Zeitverschiebung M (vgl. Autokorrelationsfunktion):

- Filterfunktion D(k) heißt “hamming window“ und ermöglicht erst die Anwen- dung der Fourier-Transformation auf endliche Zeitreihen

tionFilterfunk :

0,0

0,cos12

1)(

nanzfunktioAutokovari : )()(1

1)(

:mit

, )1()()()0(2

1)(

0,cos)()()0(2

1)(

0, )()()0(2

1)0(

1)(][

1

1

22

1

1

22

1

1

22

kMk

MkM

kkD

aaaakn

ks

MhkskDsM

MSp

MhM

khkskDs

MhSp

hkskDsM

Sp

kn

ikkikiA

M

k

k

AA

M

kAA

M

kAA

Page 32: Zeitreihenanalyse 6 6.1 Auto- und Kreuzkorrelation 6.2 Filtertechniken 6.3 Harmonische Analyse 6.4 Spektralanalyse

Spektralanalyse6.4

spektrale Varianzanalyse: - Varianzspektrum Sp(h) , h=0,1,..,M ist eine Schätzfunktion basierend auf einer STP-Zeitreihe und einem erfassten Frequenz- / Periodenbereich - diese Frequenzen (f) / Perioden (T) sind Intervalle als Funktion der sog. Har- monischen h:

- maximale und minimale Frequenzen / Perioden:

- Spektrum ist begrenzt auf höchste auflösbare Frequenz fmax (Nyquist-

Frequenz), so dass die gesamte spektrale Varianz s2a+ nicht mit der Zeit-

reihenvarianz s2a identisch ist:

- die kleinste auflösbare Frequenz ist fmin+ , wobei in fmin= 0 das Residuum der

nicht aufgelösten niederfrequenten Varianz akkumuliert wird - angegeben werden jeweils die mittleren Frequenzen h der Frequenzintervalle fh

h

tMT

tMh

f hh

2,

2

tTtMTTt

ftM

ff

2,2,2

1,

2

1,0

minmaxmax

maxminmin

M

haa shSps

0

22 )(

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Spektralanalyse6.4

spektrale Varianzanalyse: - Bsp. Zeitreihe mit 200 Jahresmittelwerten (z.B. Temperatur):

- Sp(h) wird als Rohspektrum be- zeichnet und vor der Interpreta- tion häufig mit einem sog. “hanning window“ geglättet:

Jahre 100

1,Jahre 100

Jahre 2

1,Jahre 2

Jahr 1

504

200

minmax

maxmin

fT

fT

t

nM

n

Varianzspektrum besteht aus 51 Schätzwerten für die Harmonischen h = 0, 1, …, 50

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 f ∞ 10,0 5,0 3,0 2,5 2,0 T

CO2-Trend

Ozean

TBO

)()1(2

1)(

)1()0(2

1)(

)1()(2)1(4

1)0(

~

~

~

MSpMSpMSp

SpSphSp

hSphSphSpSp

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Spektralanalyse6.4 spektrale Varianzanalyse: - unendliche Zeitreihen der GG und zugehörige Varianzspektren:

Sinusfunktion durch eine Harmonsichereproduzierbar und nur ein Spektral-beitrag

Superposition von 2 Sinusfunktionen äußert sich in zwei Spektralbeiträgen

zyklische Schwankungen mit Zufalls-effekten ist durch breiteren Bereich imVarianzspektrum gekennzeichnet

reine Zufallsdaten enthalten identischeVarianzanteile in allen Frequenzberei-chen: weißes Rauschen / weißes Spektrum

Zufallsdaten mit Autokorrelation (z.B. Trend)haben Varianzanteile zu langen Perioden hinverschoben: rotes Rauschen / rotes Spektrum

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Spektralanalyse6.4

spektrale Varianzanalyse: - Varianzspektren Sp(h) sind hingegen Schätzwerte zur Beschreibung von STP über endliche Zeitfenster - Hypothesenprüfung, inwieweit bestimmte Maxima in Sp(h) auf zugrunde liegende Prozesse in der GG zurückzuführen sind:

- Nullhypothese kann ein weißes Rauschen zugrunde legen (einfachster Fall):

- bei Autokorrelation muss Nullhypothese hin- gegen rotes Rauschen zugrunde legen (häufiger Fall in den Geowissenschaften):

H0 : Maxima sind zufälligH1 : Maxima sind nicht zufällig

%5

%5

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Spektralanalyse6.4

spektrale Varianzanalyse: - für rotes Rauschen muss das rote Spektrum der GG geschätzt werden: für die GG-Autokorrelation wird sog. Markov-Kette angenommen (Markov-Modell des roten Rauschens):

- für das Markov-Modell berechnet sich das theoretische rote Spektrum zu:

- viele Statistikbücher enthalten Tabellen der Werte des Markov-Spektrums für variable Werte k/M unter unterschiedliche STP-Autokorrelationen

ngVerschiebu maximale :

1k bei STPder fizient ationskoefAutokorrel : )1(

:mit

,...,1,0,)1()(

M

r

Mkrkr

A

k

AA

1

00 1 2 3 4 5 5 6 7

k

rA

.const1

:mit

cos)1(2)1(1

)1(1

2

2

MSp

Mk

rr

rSp

M

kSp

W

AA

AWR

SpR

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Spektralanalyse6.4

spektrale Varianzanalyse: - zur Hypothesenprüfung, ob sich ein gegebenes Maximum im STP-Varianz- spektrum nun signifikant vom weißen oder roten Hintergrundrauschen absetzt, kann Konfidenzintervall des Spektrum (weiß / rot) unter H0 über einen χ2-Test

geschätzt werden:

M

Mn

M

kSp

M

kCL WR

22

:mit

2

,/

Bsp. Zentralengland-temperatur 1660-1969:

n = 310M = 100R = SpR

signifikante Zyklen beiα = 5%:

100 Jahre 2,15 Jahre

α = IrrtumsniveauΦ = Freiheitsgrade

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“Take-away“

Die Erhaltungsneigung von Daten im Raum oder in der Zeit wird durch die Autokorrelationsfunktion ausgedrückt.

Bei der Bestimmung von Zusammenhängen zwischen zwei ZVA lassen sich bei der Kreuzkorrelation auch Zeitverzögerungen in der Reaktionszeit berücksichtigen.

Die Filtertechniken erlauben die Eliminierung bzw. Betonung bestimmter Varianzanteile in Datenreihen.

Jede Zeitreihe lässt sich in eine endliche (periodisch) oder unendliche (nicht periodisch) Reihe von trigonometrischen Funktionen zerlegen.

Bei der harmonsichen Analyse lässt sich diese Zerlegung in Teil-schwingungen vornehmen, die ganzzahlige Vielfache einer Grundschwin-gung der Periode T sind.

Eine verallgemeinerte Form der spektralen Varianzzerlegung ist durch die spektrale Varianzanalyse gegeben, wobei das resultierende Varianz-spektrum eine Schätzung darstellt, die über eine Markov-Kette zu testen ist.

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