Zellmembrane Natalie Emken Seminar DGL in der Biomedizin, SS 09 27. Mai 2009

ZellmembraneZellmembraneNatalie Emken

Seminar DGL in der Biomedizin, SS 0927. Mai 2009

GliederungGliederung1. Die Zellmembran2. Diffusion3. Erleichterte Diffusion4. Carrier-vermittelter Transport5. Aktiver Transport6. Das Membranpotential7. Osmose8. Kontrolle des Zellvolumens9. Quellenangaben

1. Die Zellmembran1. Die Zellmembran

Die Zellmembran umgibt die lebende Zelle und begrenzt deren inneren Vorgänge von der äußeren Umgebung

Die Austauschvorgänge zw. der Zelle und ihrer Umgebung spielen sich an der äußeren Zellhülle, der Zellmembran ab

Die Zellmembran ist selektiv permeabel: Selektiv werden verschiedene Stoffe durchgelassen oder aufgehalten

Sie ist dadurch zugleich Trennwand und Träger vieler Stoffwechselprodukte

1. Die Zellmembran1. Die Zellmembran 1.1 Aufbau1.1 Aufbau

Abb. 1: Schematische Darstellung einer Zellmembran (Quelle: http://www.was-ist-q10.de/images/aerzte_10_01.GIF)

1. Die Zellmembran1. Die Zellmembran 1.2 Aufgaben der Membranproteine1.2 Aufgaben der Membranproteine

Die Plasmamembran und die Membran verschiedener Organellen verfügen jeweils über eine charakteristische Proteinausstattung

Sie wirken als Träger- und Transportmoleküle Sie durchbrechen die wasserunlösliche Lipidschicht und

schaffen dadurch Poren und Kanäle Sie beteiligen sich am Stoffwechsel der Zelle Sie tragen zur Festigkeit der Membran bei

1. Die Zellmembran1. Die Zellmembran 1.3 Transportmechanismen1.3 Transportmechanismen

Vernachlässigt man zunächst die Frage der Energieabhängigkeit, so lassen sich konzeptionell drei Transporttypen unterscheiden Uniport Antiport Symport

Man unterscheidet dabei jedoch zwischen aktiven und passiven Transportprozessen

1. Die Zellmembran1. Die Zellmembran 1.3 Transportmechanismen1.3 Transportmechanismen

Passive Transportmechanismen sind: Einfache Diffusion Erleichterte Diffusion Carrier-vermittelter Transport Osmose

Aktive Transportmechanismen sind: Ionenpumpen, bei denen unter Hydrolyse von ATP zu ADP

bestimmte Ionen entgegen ihren jeweiligen Konzentrationsgradienten transportiert werden

Z.B. die Natrium-Kalium-ATPase und die Calcium-ATPase

Sei u die Menge eines chemischen Stoffes, Ω sei ein Teil des Raumes. Dann gilt:

∂Ω ist der Rand von Ω n ist die reguläre äußere Einheit zu ∂Ω f ist die lokale Produktion von u pro m³ J ist der Fluss von u

Falls J ausreichend glatt ist, gilt

Falls die Größe in der u gemessen ist, fest aber beliebig ist, gilt der folgende Erhaltungssatz

2. Diffusion2. Diffusion

dAdVfdVudtd

nJ

dVdA J nJ

J

ftu

Die einfachste Beschreibung für den Fluss chemischer Stoffe ist

(Ficksches Gesetz) Wenn das Ficksche Gesetz gilt wird der Erhaltungssatz

zur Reaktions-Diffusionsgleichung

Falls D konstant ist, so folgt weiter

uDJ

2. Diffusion2. Diffusion 2.1 Ficksches Gesetz2.1 Ficksches Gesetz

fuDtu

fu²Dtu

2. Diffusion2. Diffusion 2.2 Diffusionskoeffizienten2.2 Diffusionskoeffizienten

Für große kugelförmige gelöste Moleküle gilt k ist die Boltzmann-Konstante T ist die absolute Temperatur der Lösung µ ist die Viskosität der Lösung a ist der Radius des gelösten Moleküls

Für nichtkugelförmige Moleküle gilt f ist der Funktionalkoeffizient von Stokes der Teilchen

Mit der Molekularmasse und Molekulardichte

akT

D6

fkT

D

³aM3

4

31

63

/

M²kT

D

2. Diffusion2. Diffusion 2.3 Diffusion durch eine Membran2.3 Diffusion durch eine Membran

Annahme: Die Membran (mit Dicke L) grenzt zwei große Bereiche einer verdünnten Chemikalie ab cl= Konzentration im linken Bereich (bei x=0) cr= Konzentration im rechten Bereich (bei x=L)

Entsprechend zur Diffusionsgleichung gilt

in Abhängigkeit von den Randbedingungen c(0,t)= cl , c(L,t)= cr

²xc²

Dtc

2. Diffusion2. Diffusion 2.3 Diffusion durch eine Membran2.3 Diffusion durch eine Membran

Im stabilen Zustand, ,

folgt dass

J ist konstant oder Wir erhalten also

Der Fluss von Chemikalien ist konstant

0

tc

0

²xc²

DxJ

bax)x(c

llr cLx

cc)x(c

rl cc

LD

J

3. Erleichterte Diffusion3. Erleichterte Diffusion

Bei der erleichterten Diffusion spielen die zwei Faktoren Diffusion und Reaktion eine Rolle

Sie ereignet sich, wenn der Fluss einer Chemikalie durch eine Reaktion, die im diffusen Medium stattfindet, verstärkt wird

Beispiel: Fluss von Sauerstoff in Muskelfasern (der Sauerstoff ist an Myoglobin gebunden und wird als Oxymyoglobin transportiert)

3. Erleichterte Diffusion3. Erleichterte Diffusion 3.1 Erleichterte Diffusion von Sauerstoff3.1 Erleichterte Diffusion von Sauerstoff

22 MbO Mb O c,e,s

(3)

(2)

(1)

f²xc²

Dtc

f²xe²

Dte

f²xs²

Dts

c

e

s

sekckf

k+

k-

Annahme: Wir haben einen „Slab reactor“, welcher diffundierendes Myoglobin enthält

Die Sauerstoffkonzentration links (bei x=0) wird bei s0 und rechts (bei x=L) bei sL gehalten (s0>sL)

Falls f die Aufnahmerate von Sauerstoff in Oxymyoglobin beschreibt, dann gelten

folgt aus der Reaktionsgleichung

O2 + Mb MbO2,


Es ist sinnvoll De=Dc zu setzen, da Myoglobin und Oxymyoglobin nahezu identisch in Molekularmasse und –struktur sind

Es ist außerdem sinnvoll die Randbedingungen zu spezifizieren, da das Myoglobin und das Oxymyoglobin in dem „Slab“ bleiben

Die totale Menge des Myoglobin bleibt außerdem bei der Reaktion am stationären Zustand erhalten (e+c=e0), so dass (2) überflüssig ist und

Lxxxc

xe

und bei 00

xxcxx cDsDcs stt 0


Integration von bzgl. x liefert

J ist die Summe aus dem Fluss des freien Sauerstoff und dem des gebundenen und bildet damit den Fluss des totalen Sauerstoffs

Durch erneute Integration bzgl. x=0 und x=L können wir J bzgl. der Grenzwerte beider Konzentrationen ausdrücken

Jdxdc

Ddxds

D cs

)cc(L

D)ss(

LD

J Lc

Ls 00

xxcxx cDsDcs stt 0


Durch die dimensionslosen Variablen

erhalten wir aus (1) und (3) die Gleichung

Mit diesen Zahlen können wir e1 und e2 abschätzen, welche sehr klein sind und darauf hinweisen, dass für Sauerstoff und Myoglobin im gesamten Medium gilt

Lyxec

u,skk

und 0

²LkD

e²Lke

De

euue

cs

yyyy

20

1

21 1

und wobei

,

kk

KsK

sec mit 0


Durch Substitution in die Gleichung für den gesamten Fluss J erhalten wir nun

Bei Anwesenheit von Trägerstoffen ist die Diffusion durch den Faktor verstärkt

KsKs²K

Ke

DD

,ssL

D

KsKsKe

DDc

ssL

D

sKs

sKs

eL

Dss

LD

J

Lo

o

s

c

Ls

LosLo

s

L

L

o

ocLo

s

und wobei

0

0

0

1

1

3. Erleichterte Diffusion3. Erleichterte Diffusion 3.2 Erleichterte Diffusion bei der Muskelatmung3.2 Erleichterte Diffusion bei der Muskelatmung

Um ein Membranpotential aufrecht zu erhalten, wird ATP konstant verbraucht

Dieser Verbrauch von Energie erfordert die konstante Umwandlung von Zucker

Dabei verbrauchen die Muskelfasern Sauerstoff Zucker kann zwar auch anaerob umgewandelt werden,

jedoch wirkt das dadurch entstehende Abfallprodukt (Milchsäure) toxisch

Aus diesem Grund muss der Sauerstoff vom Äußeren der Zelle zum Zentrum der Zelle vordringen, um Sauerstoffschuld zu verhindern


Um zu erklären wie das Myoglobin die Versorgung einer Muskelzelle mit Sauerstoff fördert und dabei hilft Sauerstoffschuld zu verhindern, untersuchen wir ein Modell des Sauerstoffverbrauch

Es berücksichtigt den Effekt der Sauerstoffdiffusion und der Myoglobindiffusion

Annahmen: Eine Muskelfaser ist ein langer kreisförmiger Zylinder (mit Radius

a=2,5x10-³cm) Diffusion findet nur in radialer Richtung statt Die Sauerstoffkonzentration am Rand ist fest und konstant Die Verteilung chem. Stoffe verläuft polysymmetrisch


Mit diesen Annahmen sind die stationären Zustandsgleichungen, die die Diffusion von Sauerstoff und Oxymyoglobin beschreiben, gegeben durch

Der neue Ausdruck g beschreibt den konstanten Sauerstoffverbrauch und die Randbedingungen sind

01

gf

drds

rdrd

rDs

01

f

drdc

rdrd

rDc

00 rdrdc

drds

ardrdc

,ss a bei 0 und bei


Durch dimensionslose Variablen, erhalten wir

Hieraus folgt außerdem, dass

kg

²akD

e²ake

De

dydu

ydyd

yeuu

dyd

ydyd

ye

cs

und

, mit 20

1

21

11

1

ayrec

uskk

und ,0

dydu

ydyd

ye

dyd

ydyd

ye

1121


Durch zweimalige Integration bzgl. y erhalten wir

Hierbei sind A und B durch die Randbedingungen bestimmt

Geringe Sauerstoffschuld tritt ein, falls σ=u=0 bei y=0 Für diese Grenzwerte setzen wir A=B=0 Die Konzentration am Rand muss dann mindestens so

groß wie σ0 sein, wobei wir den quasi Steady-state benutzt haben

²yBylnAuee421

1

2

10

00 41 e

ee

mit ,

1

111

uuu


Abb. 2: Funktion der Kritischen Sauerstoffkonzentration, abhängig von dem Sauerstoffverbrauch (Quelle: KEENER J. & J. SNEYD (2001): Mathematical Physiology, S.44)

4. Carrier-vermittelter Transport4. Carrier-vermittelter Transport

Manche Substanzen sind in der Zellmembran unlöslich, durchströmen sie aber dennoch Carrier-vermittelter Transport

Carrier sind auf ganz bestimmte Moleküle spezialisiert (ähnlich wie Enzyme), für die sie eine Bindungsstelle besitzen

Jeder zu transportierende Stoff ist auf sein entsprechendes Carrier-Protein angewiesen

Es gibt 3 Typen von Trägervermittelten Transport Uniport Symport Antiport

4. Carrier-vermittelter Transport4. Carrier-vermittelter Transport 4.1 Glucosetransport4.1 Glucosetransport

Tritt auf, wenn die Bindungsstellen des Trägermoleküls abwechselnd von der extrazellulären Seite und der intrazellulären Seite der Membran zugänglich sind

Bei diesem Prozess handelt es sich um einen Uniport

Abb. 3: Glucosetransport in der Zellmembran (Quelle: http://www.biochem.arizona.edu/classes/bioc462/462a/NOTES/LIPIDS/Fig12_27ModelGluT1transpt.GIF (abgerufen am. 10.05.2009))


Wir können den Prozess des Glucosetransport folgendermaßen formulieren:

Annahmen: Die Population des Enzym-Trägerproteins C hat zwei konformative

Stadien Ci und Ce

Das Glukose-Substrat Si an dem Inneren kann mit dem Enzym Ci gebunden sein, um den Komplex Pi zu formen

Das Glukose-Substrat Se an dem Äußeren kann mit dem Enzym Ci gebunden sein, um den Komplex Pe zu formen

Si + Ci Pi Pe Se + Ce

Ci Ce

k

k kkk k

k

k


Die DGL sind gegeben durch

(4.6)

(4.5)

(4.4)

(4.3)

(4.2)

(4.1)

eeeeie

iiiiei

eeeeie

iiiiei

eeee

iiii

cskpkkckcdt

dc

cskpkkckcdtdc

pkcskkpkpdt

dp

pkcskkpkpdtdp

Jcskpkdtds

Jcskpkdtds


Zwei Degenerationen: Der totale Betrag vom Rezeptor bleibt erhalten und daher

gilt Der totale Betrag von Glucose bleibt erhalten und daher

gilt

Zusammen mit den Gleichungen (4.1-4.6) am stationären Zustand bilden sie ein lineares System für die fünf Unbekannten

0cccpp eiei

.constppss eiei

Jc,c,p,p eiei und

4. Carrier-vermittelter Transport4. Carrier-vermittelter Transport 4.1 Glukosetransport4.1 Glukosetransport

Wir können also J berechnen und es gilt

Für den dimensionslosen Fluss gilt dann

kkKkkK

,²KKKsKKs

ssCKkKJ

d

ddedi

ied

und wobei 02

1

KKKs,Ks

,²

j

deeii

ei

ie

und wobei 11

4. Carrier-vermittelter Transport4. Carrier-vermittelter Transport 4.2 Symport und Antiport4.2 Symport und Antiport

Modelle für Symport und Antiport folgen in ähnlicher Weise

Das Trägerprotein besitzt in diesem Fall mehrere Bindungsstellen, welche zum intrazellulärem und extrazellulärem Raum ausgerichtet sein können

Ein Austausch der Konstellation tauscht die Lage aller beteiligten Bindungsstellen vom Inneren zum Äußeren oder anders herum

Ein Beispiel für einen Antiport ist der Natrium-Calcium-Austauscher in Muskeln- und Nervenzellen

Ein Beispiel für einen Symport ist der natriumangetriebene Glukose-Symporter


Falls es k Bindungsstellen gibt, die am Austausch beteiligt sind, so gibt es 2k mögliche Kombinationen von gebundenen und ungebundenen Seiten

Schlüsselannahme für das Modell: Es ist nur der vollständig gebundene oder vollständig ungebundene Träger an einem konformativen Austausch beteiligt

Abb. 4: Stadien und mögliche Übergänge eines Transporters mit zwei Substraten S und T und einer Bindungsstelle für jedes (Quelle: KEENER J. & J. SNEYD (2001): Mathe-matical Physiology, S.47)


Wir ignorieren im folgenden die Zwischenprodukte, da die Analysis dieses völlig allg. Reaktionsschemas kompliziert ist

Das Reaktionsschema vereinfacht sich dann zu mS + nT + C P

Die Ergebnisse für einen Symport und einen Antiport sind jetzt ähnlich dem des Uniport

k

k

²KKKtsKKtststs

CKkKJdd

ni

med

ne

mi

ne

mi

ni

me

d

02

1


Für den Fluss des Symport erhalten wir

wobei der Fluss von s mJ und der Fluss von t nJ ist und

Für den Fluss des Antiport erhalten wir

k/kKk/kKkkkkk dppcc und und

²KKKtsKKtststs

CKkKJdd

ne

med

ni

mi

ni

mi

ne

me

d

02

1

5. Aktiver Transport5. Aktiver Transport

Der oben beschriebene trägervermittelte Transport erfolgt immer unter elektrochemischen Gradienten und ist somit durch Diffusion gekennzeichnet

Viele Prozesse, die gegen Gradienten arbeiten, beanspruchen einen Energieaufwand

Als wichtigstes Beispiel für den aktiven Transport dient die Natrium-Kalium-Pumpe

Sie reguliert das Zellvolumen und hält ein Membranpotential aufrecht

Der Antrieb dieser Pumpe verbraucht allerdings meistens einen Drittel des Energiebedarfs

5. Aktiver Transport5. Aktiver Transport 5.1 Die Natrium-Kalium-Pumpe5.1 Die Natrium-Kalium-Pumpe

Die Natrium-Kalium-ATPase ist ein in der Zellmembran verankertes Transmembranprotein

Das Enzym katalysiert unter Hydrolyse von ATP den Transport von Natrium-Ionen aus der Zelle und den Transport von Kalium-Ionen in die Zelle gegen den Konzentrationsgradienten

Je Molekül ATP werden 3 Natrium-Ionen aus der Zelle und 2 Kalium-Ionen in die Zelle befördert

Die Pumpaktivität dieser Pumpe nutzt Energie bei der Dephosphorylation von ATP in ADP durch das allgemeine Reaktionsschema ATP + 3Nai

+ + 2Ke

+ ADP + Pi + 3Nae+ + 2Ki

+


Abb. 5: Na+-K+-ATPase (Quelle: http://www.bioc.uzh.ch/bipweb/lexikon/proteine/nakatpase/nakatpase.gif (abgerufen am 16.05.2009))


Zur Umwandlung in ein mathematisches Modell, ziehen wir ein vereinfachtes Modell in Betracht

Es existiert demnach nur eine einzige Bindungsstelle für Natrium und Kalium Eins-zu-eins Austausch

Wir bezeichnen das Trägermolekül mit C und nehmen folgende Reaktionen anNai

+ + C NaC NaCP Na e+ + CP

ATP ADP

CP + Ke+ KCP P + KC

KC Ki+ + C


Wir setzen auf diese das Massenwirkungsgesetz an J beschreibt wieder die Rate mit der das Natrium und

Kalium bereit steht bzw. beseitigt wird Der Fluss von Ionen durch die Pumpe im stationären

Zustand ist dann gegeben durch

545343

21215432

5432211211

1122

21210

kkkkkkK

kkkkkkK,kkkK

,kkkK,kkkK,kkkK

,KKKKKK

KKKKCJ

k

ppn

pp

keinie

eiei

P

und

wobeiNaNaKK

PK NaK Na


Da ATP viel dynamischer ist als ADP, erwarten wir, dass die rückwärts gerichtete Reaktionsrate k-p im Vergleich zur vorwärts gerichteten Reaktionsrate gering ist

Falls wir also die entgegengesetzte Reaktion ignorieren(K-1=0), erhalten wir

Diese Gleichung ist unabhängig von der extrazellulären Natrium-Konzentration

,

KKKKKKKCJ

kinie

ei

122210

NaKKK Na

5. Aktiver Transport5. Aktiver Transport 5.2 Die Calcium-ATPase5.2 Die Calcium-ATPase

Andere wichtige Pumpen sind die Ca2+-ATPase und Transporter, die die intrazelluläre Ca2+-Konzentration gering halten

Inneres freies Calcium wird bei geringen Konzen-trationen, gegenüber den hohen extrazellulären Calciumkonzentrationen, aufrecht erhalten

Man geht davon aus, dass viele Signalwege über eine feine Regulation der örtlichen Calciumkonzentration gesteuert werden

Die am besten zu verstehende Ca2+ Pumpe ist eine ATPase in dem sarkoplasmatischen Retikulum der Muskelzellen

6. Das Membranpotential6. Das Membranpotential

Zwischen Außen- und Innenseite der Membran besteht bei allen Zellen eine elektrische Spannung

das Membranpotential Da das Cytoplasma einer Zelle im Vergleich zur

extrazellulären Flüssigkeit negativ geladen ist, begünstigt das Membranpotential den passiven Transport von Kationen in die Zelle hinein und von Anionen aus ihr heraus

Dadurch treiben zwei Kräfte die Diffusion an, das chemische Konzentrationsgefälle und das elektrische Membranpotential

der elektrochemische Gradient

6. Das Membranpotential6. Das Membranpotential

Das Membranpotential ist eine Konsequenz der oben beschriebenen aktiven Transportprozesse, die Ionen aktiv transportieren

Z.B. der Ablauf der Natrium-Kalium-Pumpe führt dazu, dass mit jeder „Umdrehung“ insgesamt eine positive Ladung aus dem Cytoplasma in die extrazelluläre Flüssigkeit verschoben wird

Wir definieren den Potentialunterschied durch die Zelle als V=Vi-Ve

6. Das Membranpotential6. Das Membranpotential 6.1 Das Nernst-Gleichgewichtspotential6.1 Das Nernst-Gleichgewichtspotential

Die Nernst-Gleichung ist eine der wichtigsten Gleichungen in der Elektrophysiologie

Sie gestattet die Berechnung der Spannungsänderung in Abhängigkeit von der Konzentrationsänderung der beteiligten Ionen

Mit der Nernst-Gleichung lässt sich die Gleichgewichtslage dieses Vorgangs beschreiben

6. Das Membranpotential6. Das Membranpotential 6.1 Das Nernst-Gleichgewichtspotential6.1 Das Nernst-Gleichgewichtspotential Modellierung:

Die Diffusion von S bewirkt einen Ladungsaufbau Dieses Ladungsungleichgewicht baut abwechselnd ein

elektrisches Kraftfeld auf Dies setzt sich der weiteren Diffusion von S entgegen Ein Gleichgewicht stellt sich ein, wenn das Kraftfeld exakt

die Diffusion von S ausgeglichen hat

Zellmembran, permeabel für S, aber nicht S‘

Inneres Äußeres

S S ii 'SS ee 'SS

iV eV

Das Gleichgewichtspotential Vs eines Ions ist durch das Nernst-Potential gegeben

R ist die allgemeine Gaskonstante T ist die absolute Temperatur F ist die Faraday-Konstante k ist die Boltzmann-Konstante q ist die Landung von dem Ion S

Eine besonders wichtige Beziehung ist Na ist die Avogadro-Zahl


i

e

i

es S

Sln

zqkT

SS

lnzFRT

V

aNR

k

Herleitung der Nernst-Gleichung: Wie bereits beschrieben, wird der Fluss durch den

elektrochemischen Gradienten angetrieben Der Beitrag zu dem Fluss durch das Kraftfeld ist durch

Plancks Gleichung gegeben

u ist die Beweglichkeit des Ions z ist die Ladungszahl des Ions c ist die Konzentration von S Ф ist das elektrische Potential → beschreibt das Kraftfeld


czz

uJ

Es gibt eine Beziehung zwischen der Ionenmobilität u und der Fickschen Diffusionskonstante

Durch Kombination mit dem Fickschen Gesetz erhalten wir die Nernst-Planck-Gleichung

Falls der Ionenfluss und das Kraftfeld quer zur Membran verlaufen, können wir die obige Gleichung als die ein-dim. Relation betrachten

c

RTzF

cDJ


FzRT

uD

dxd

cRTzF

dxdc

DJ


Für den Gleichgewichtszustand, d.h. wenn kein Nettostrom fließt, muss gelten

Integration von x=0 bis x=L liefert dann

Und mit V=Фi-Фe können wir schließlich aus der Nernst-Planck-Gleichung die Nernst-Gleichung ableiten

dxd

RTzF

dxdc

c

dxd

cRTzF

dxdc

D

10

0

eicc RT

zFcln e

i

6. Das Membranpotential6. Das Membranpotential 6.2 Die Goldman-Hodgkin-Katz (GHK)-Gleichung6.2 Die Goldman-Hodgkin-Katz (GHK)-Gleichung

Eigentlich bestimmt die lokale Ladungsdichte das elektrische Potential Ф, so dass J durch ein gekoppeltes System von Gleichungen bestimmt werden muss

Ein nützliches Resultat erhalten wir jedoch, falls das Kraftfeld als konstant angenommen wird

Für einen Potentialunterschied V= Ф(0)-Ф(L) in einer Membran mit Dicke L und den Konzentrationen links [S]=ci und rechts[S]=ce erhalten wir

Und durch Einsetzen in die Nernst-Planck-Gleichung folgt

L

V

x

D

J

RTL

zFVc

dx

dc

dx

dc

RT

zF

dx

dcDJ

0


RTzFVRTzFV

cc

RT

zFV

L

DJ

cRTL

zVFx

DzVF

JRTLxc

RTL

zVFx

ei

i

exp

exp

expexp

1

1

RTzFVRTzFV

ccV

RT

²F²zPI

ei

SS

exp

exp

1tätPermeabili

die ist LD

PS

Die Lösung dieser gewöhnlichen DGL mit den Randbedingungen c(0)=ci und c(L)=ce ist gegeben durch

Durch Multiplikation mit zF wird diese Flussdichte zur elektrischen Stromdichte und wir erhalten die GHK- Strömungsgleichung


Für eine Ansammlung von Ionen, alle mit Ladungszahl z=±1, können wir das GHK-Potential direkt berechnen

Falls die elektrochemische Triebkraft Null ist, gilt

Dieser Ausdruck kann nach V aufgelöst werden, so dass für das GHK-Potential gilt

Beispiel:

LD

P

RTVF

RTVF

ccP

RTVFRTVF

ccP j

jz

je

ji

jz

je

ji

j

mit exp

exp

exp

exp

11 110

1 1

1 1

z z

jej

jij

z z

jij

jej

cPcP

cPcPln

F

RTV

iee

eiir PPP

PPPln

FRT

VClKNaClKNa

ClKNa

ClKNa

Der Membranstrom IS kann auch durch die sogenannte elektrochemische Triebkraft V-VS ausgedrückt werden IS=g(V-VS) (g=1/r ist die Membranleitfähigkeit)

Wenn diese Null ist, wird die zufällige Ionenbewegung, die zu einer Ausgleichung der Ionenkonzentrationen auf beiden Seiten der Zellmembran führen würde, durch eine elektrische Potentialdifferenz ausgeglichen

Die Summe aller Ionenströme ist dann Null


Osmose ist passiver Transport von Wassermolekülen Modellierung:

Eine lineare Beziehung zwischen dem Druckunterschied und dem Fluss von Wasser durch eine Membran ist gegeben durch Q ist der Fluss des Wassers von Kammer 1 in Kammer 2 P1 und P2 sind der entsprechende Druck

r ist der Flusswiderstand der Membran

7. Osmose7. Osmose

21 PPrQ

Semipermeable Membran

Kammer 2Kammer 1

Q

P1

P2

H2O

Durch Hinzufügen eines gelösten Stoffes in die 1. Kammer wir der effektive Druck der Lösung gesenkt

Falls πs dieser effektive Druck ist, ist die Flussrate des gelösten Stoffes geändert und es gilt wobei πs=kcT der osmotische Druck ist k ist die Boltzmann-Konstante c ist die Konzentration des gelösten Stoffes (Moleküle pro VE) T ist die absolute Temperatur

(πs=RcT, falls c in Mol pro VE ausgedrückt ist)

Der Fluss von Wasser infolge des osmotischen Drucks wird Osmose genannt

7. Osmose7. Osmose

21 PPrQ s

7. Osmose7. Osmose

Falls P1=P2, saugt der Effekt des osmotischen Drucks Wasser in die 1.Kammer und bewirkt eine Zunahme ihres Volumens

Der Osmotische Druck wird durch die Anzahl von Partikeln pro VE des Fluids ermittelt und nicht durch die Masse der Partikel

H2O

H2O

Semipermeable Membran

Osmotischer Druck πs

Konzentrierte Lösung

verdünnte Lösung

8. Kontrolle des Zellvolumens8. Kontrolle des Zellvolumens

Die Konzentrationsunterschiede, die durch ionische Pumpen aufgebaut und aufrecht erhalten werden, sind notwendig für die Zelle, um ihr Volumen zu kontrollieren

Eine Zelle ohne starre Zellwand ist unfähig irgendwelchen hydrostatischen Druckunterschieden zu wiederstehen

Eine hohe intrazelluläre Konzentration an Ionen und großen Molekülen kann also dazu führen, dass zu viel Wasser in die Zelle eintritt und sie anschwillt und platzt


Abb. 6: Schematische Darstellung eines „Pump-Leak Modells“ (Quelle: KEENER J. & J. SNEYD (2001): Mathematical Physiology, S.60)


Zusammen mit den aktiven Strömungen der Natrium-Kalium-Pumpe ergeben sich die Gleichungen

Der osmotische Druck ist gegeben durch

i

e

i

e

i

e

lnF

RTVgI

pqlnF

RTVgI

pqlnF

RTVgI

ClCl

KK

NaNa

ClCl

KK

NaNa

2

3-p ist die Rate bei der die Ionenaustauschpumpe arbeitet-q ist die Ladung von einem einzigen Ion

- X ist die Anzahl von Großen negativ geladenen Molekülen (mit Ladungszahl ≤-1) welche in der Zelle eingeschlossen sind - w ist das Zellvolumen

wX

RTdtdw

r eieiei ClClKKNaNa


Wir können diese Strom-Spannungs-Gleichungen als DGL ausdrücken

zA zqw

dtd

I A

(3) ClCl

Cl

(2) KK

K

(1) NaNa

Na

Cl

K

Na

i

ei

i

ei

i

ei

lnF

RTVgzqw

dtd

pqlnF

RTVgzqw

dtd

pqlnF

RTVgzqw

dtd

2

3


Bevor wir dieses System von Gleichungen analysieren, ist es nützlich ein paar physikalische Beobachtungen machen

Die extrazellulären und intrazellulären Medien befinden sich nahezu in Elektroneutralität

Nur nahe der Membran ist diese Elektroneutralität leicht gestört

Diese Störung ist jedoch so gering, dass sie hier vernachlässigt werden kann und es gilt

(4)

(5) 0

0

wX

zxiii

eee

ClKNa

und ClKNa


Um diese Gleichungen besser zu verstehen führen wir erneut dimensionslose Variablen ein

Die Gleichungen zur Elektroneutralität und des osmotischen Drucks werden dann zu

e y,RTgpFq

P,RTqV

eNa

setzen undClXw

y

,ye,yee

iP

e

iP

e

i 123

ClCl

KK

NaNa

K

Na

KNaKNa

, (2) und (1)

gg

,ee

yy

zy

y

ee

Pe

Pe

x

23

0211

01


Für die eindeutige positive Nullstelle von (1) ergibt sich

Für zx≤-1 hat diese quadratische Gleichung eine positive Nullstelle, falls α<1 ist, d.h.

Dies ist genau der Fall, wenn gilt

0142

4

²z²

²zzy x

-14 in(2)

1

23

ee

Pe

Pe ee

PKNaKNa

KNa

KNagg

ee

23


Abb. 7: Funktion des Zellvolumen, abhängig von der Pumprate (Quelle: KEENER J. & J. SNEYD (2001): Mathematical Physiology, S.64)

Abb. 8: Funktionen des Membran-potential und des Natrium- und Kalium-Gleichgewichtspotential, abhängig von der Pumprate(Quelle: KEENER J. & J. SNEYD (2001): Mathematical Physiology, S.64)


Abb. 9: Funktionen des Membranpotential und des Natrium- und Kalium-Gleichgewichts-potential, abhängig von der Pumprate (Quelle: KEENER J. & J. SNEYD (2001): Mathe-matical Physiology, S.66)

Hier ist die Pumprate als P=ρu³ dargestellt, wobei

eiu

NaNa

9. Quellenangaben9. Quellenangaben

BIRBAUMER N. & R. F. SCHMIDT (2003): Biologische Psychologie, Berlin. HELMICH U. (2007): Arbeitsweise der Natrium-Kalium-Pumpe, online

unter: http://www.u-helmich.de/bio/neu/1/11/112/vertiefung/vert01.html (abgerufen am 17.05.2009)

KEENER J. & J. SNEYD (2001): Mathematical Physiology, Pasadena. LÖFFLER, HEINRICH & PETRIDES (2006): Biochemie und Pathobiochemie. UNIVERSITÄT STUTTGART (o.J.): Transport durch Membranen, online

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Zellmembrane Natalie Emken Seminar DGL in der Biomedizin, SS 09 27. Mai 2009