Zum Phragm6n-LindelSfschen Ideonkreis. Von A. WEINSTEIN in Hamburg.

Sei f ( z ) eine im Streifen S: 0 ~ y =< n regulitr analytische Funk- tion der komplexen Variablen z ~ - x + i y , die niemals Null ist. Es sei auf der Begrenzung y = 0, bzw. y = n des Streifens S

t f ( z ) l = 1.

Im Innern gelte ffir grol~e IxJ (gleichmagig in y) die Ungleiehung

If(z)]-~ cr 0 <_ a < l .

Dann folgt unmittelbar naeh der wohlbekannten Methode yon Phragmdn und LindelOf~), dal3 f eine Konstante vom Betrage 1 sein mug.

Setzt man f = e u+iv, so ergibt sieh hieraus der folgende Satz: Eine regulare harmonisehe Funktion u, die am Rande y ~--- O, y = des Streifens S der homo qenen l inearen Randbed ingung u = 0 genfigt und die im Innern ftir groge Ix! kleiner als e a l x l bleibt, ist identisch gleieh Null.

Verschiedene Fragestellungen der Potentialtheorie fiihren auf har- monische Funktionen, die am Rande unseres Streifens (oder am Rande eines Winkelraumes) allgemeineren linearen holnogenen RandSedingungen

yon der Form au + B ~ = 0 genfigen massen, wahrend im Innern das

Waehstum ihrer Betritge wieder dureh Ungleiehungen eingesehrankt wird~). Eine solehe Fragestellung kann naturgem~tg zum Phragm~n-Linde-

16fsehen Ideenkreis gez~hlt werden; die Probleme lassen sieh aber im Gegensatz zum eben erwahnten einfaehsten Fall (u = 0 am Rande) nieht als rein funktionentheoretisehe Aufgaben formulieren.

Wit wollen in der vorliegenden Note zeigen, dag man mit den zur L0sung der potentialtheoretisehen Aufgaben benutzten Uberlegungen aueh funktionentheoretisehe Resultate erhalten kann. Es trifft z. B. folgende Aussage zu, die zum eigentliehen Phragm~n-Lindel6fsehen Ideenkreis geh6rt:

Es sei f ( z ) eine im Streifen S: 0 < y < n regul~tre und yon Null versehiedene Funktion yon z = x + i y . Fiir y = 0 und y = z sei

(1) I f(z)I = 1.

~) Acta Mathematica 31 (1908), S. 381--406. Vgl. auch P6LYA-SZEG6, Aufgaben und Lehrs~ttze aus der Analysis, Bd. I (1925), S. 150, Aufgabe 333.

2) A. WEIXST~IX, L'Enseignement math~matique, t. ~6 (1927), S. 309.

264 A. Weinstein.

Ferner sei fiir alle hinreichend groi~e Ix! gleichmiifiig in y in S

('2) Jf(z) l < e

wo die positive Konstante A kleiner als die (willkiirliche) ganze Zahl n + l ist. Dann ist

n

i 2~(a k ekZ+ bke -kzj

(3) f ( z ) =

wobei [C[ = 1 ist und a.k und bk reelle willkiirliche Konstante bedeuten. Man setze zum Beweis f = e"+iL Die harmonische Funktion ~t

verschwindet fiir y = 0 bzw. ~. Fiir ein festes x ist u(x, y) in eine Fourierreihe

o o

(4) u(x, y) = .~.,ck sink!/ k = l

entwickelbar, wobei die Koeffizienten ck(x) durch die Formel

2j. (5) ck = -~- u(x, y ) s i n k y d y

0

gegeben werden. Dutch Differentiation crhi~lt man daraus unnfittelb~lr

d ~ck __ sin Icy dy .... d x ~ - - r~d 8x" n ,, ~,qosinl, 'ydy 0 0

~1"~" I=" = - - t~ (,*', !/) s i l l / , ' y d!/

)'1 t- O

w o r a u s s i e h f i i r rk d e v A I I s ( h ' l l t ' k

k 2 f'k �9

((-;) ~'/~ - - - - - - - - ak e k~ + bk e - / ' ' ' '

ergibt. 1st nun ([iir groin(; Ixt) lu l<e al'H, so fol,,,'t durch Vergh, ich yon

(5) mit ((1), (lat; l'iir / ,~ . .n + l , a/,: und b1r verschwinden miissen, woraus unmittelbar die zu l)eweis('n(h~ Formel ('5) folg(.