Nath. NBCIU. 88,329-334 (1979)

Zum Problem mit schiefer Ableitung

Von WOLFGANG H~~PPNER in Berlin

(Eingegangen am 14.1. 1977)

Es seien H i ( i = O , 1 ) HILBERTriiUme, und ei (i= 1, 2) seien schwach stetige Darstellungen einer kompakten topologischen Gruppe G als beschrgnkte Opera- toren in Hi. 1st dann A : Ho -. H I ein linearer Operator, der mit der Wirkung von G kommutiert, d. h. , gilt el(g) - A = A - eo(g), BEG, so sind Ker A und Coker A invariant unter der Wirkung von G. 1st A uherdies ein FREDHoLMoperator, so wird der G-Index von A definiert durch

ind,A = Charakter Ker A - Charakter Coker A ,

und er ist damit ein Element des Darstellungsringes R(G). Die wohl wichtigsten Reispiele fur den G-Index liefern G-invariante elliptische Pseudodifferential- operatoren auf geschlossenen G-Mannigfaltigkeiten. Die Indextheorie fur diese Operatoren wurde von M. F. ATIYAH und I. M. SINGER (8. [l]) entwickelt.

Mit der vorliegendeii Arbeit sol1 ein Beispiel fur das Auftreten des G-Index 1)ei elliptischen Randwertproblemen diskutiert werden. Die Berechnung des G-Index erfolgt in diesem Beispiel mit klassischen Methoden &us der Funktionen- theorie.

1. Aufgabenstellung

Es bezeichne R die offene Einheitskreisscheibe in der komplexen Ebene C. sei ein Vektorfeld v gegeben durch v = z p , ~ E Z . Wir hetrachten die Rand- Auf

wertaufgahe

(1-1) 4 u = F in R, du/dv,,,=f,

fur F E C-(D), f c C-(aR). Es ist bekannt (8. HORMANDER [2], VEKUA [6]), daB dieses Randwertproblem elliptisch ist. Der (gewohnliche) Index von (1.1) wird in [2] berechnet, und wir werden uns im weiteren an die dort verwendeten Methoden und Bezeichnungen anlehnen. Die Randwertaufgabe (1 .1 ) gibt uns den Operator

(1.2) A : C-(Q -c=(D) 0 cyan) ,

330 Hoppner, Zum Problem mit scliiefer Ableitung

der definiert wird durch

u - (du, duldvla,) . Wegen der Elliptizitat von (1.1) konnen wir die Bestimmung von Ker A und Coker A in den Raumen C - vornehmen. Da die an A beteiligten Differential- operatoren reelle Koeffizienten besitzen, konnen wir uns auf C-(a, R) bzw. C-(aQ, R) beschranken. Die Gruppe S1= {exp (iy), 0 s y 5 2.2) wirkt auf 0 als Gruppe von Drehungen vermoge z -exp (iv) * z. Entsprechend wirkt S1 auf C-(a) bzw. C-(aQ) durch

[eo(expiv) *f l (z )=f (expiy . x ) , expiycS1, f c C - .

Der LAPLAcEoperator kommutiert mit po,

eo(expiy) df=d (eo(expiy) - f ) , expiycS1, f c C - ( D ) . Der Randoperator C"(B) 3 u +du/dv,a, E C"(i3Q) kommutiert init der Einschrankung von eo auf gewisse zyklische Un&rgruppen Zdp, von Sl. Damit kommutiert A mit der Einschrankung von eo auf Zq(p,, und der Z,(,,-Index von A ist damit definiert.

Wir unterscheiden im weiteren die Fiille p < O , p = 1 und p=-1.

2. Der Fall p<O

Wir setzen q = - p und identifizieren die zyklische Gruppe Z,+ mit der Menge der ( q + 1)-ten Einheitswurzeln,

(2.1) Gelegentlich werden wir die Abkurzung

(2 .2) espiyk=gk, k=O,. . . , q ,

verwenden . Wegen (exp icp, * z)'= ex11 i p y , - zp= exp i yk * x p , k= 0, . . . , q, kommutiert A

mit der Wirkung der Gruppe Zq+l. Sei nun uCC~(JZ, R), ucker A. D a m ist u harmonisch, und die Funktion

@(z) = au/ax + i-Vulay= 2aulaz ist in 52 holomorph. Die Randbedingung duldvlan = = O bedeutet, daB Re [@(z) - 9]=0 auf i3.Q. Nach [ 2 ] schreiben wir @(z) in der Form

z,+l={eXpiy~, T k = h k / ( q + 1 ) , k=O,. . . , 4).

P @(z) = c aizi+O(z"+') ,

j = O

Damit erhalten wir fur @(z) * zq die Darstellung 0-1

wo h(z) holomorph, und h(0) = 0. Fur IzI = 1 verschwindet der Realteil der rechts stehenden Summe, so daB die Randbedingung die Form Re [h(z) +aq],,,= 0

Hoppner, Zum Problem mit schiefer Ableitung 331

annimmt. Damit wird h ( z ) +aq eine rein imaginlire Konstante, woraus h(z)= 0 folgt. Wir gewinnen fur @(z) also die Darstellung

P--i . @ ( ~ ) = u , z Q + C ( u ~ z ~ - G ~ z ~ ~ - - ~ )

i =O (2.3)

mit einer rein imaginiiren Konstanten a,. Vermoge der Zuordnung

+ auiax + i- lauiay = 2au/%z

wird eine reell-lineare Abbildung von C-(a, R ) in C - ( a , C) definiert. Der Kern von a/az besteht aus den Konstanten und ist daher invariant unter PO.

In C-(a. C) fiihren wir eine weitere Darstellung el von Z,,, ein. Wir setzen

(2.4) [e1(9,) - fl ( z ) = g k - f ( g A S k E Z q , , *

c-(a, R) %c-(a, R ) 2/az/ l a i az c-(n, C) -%C=-(Q, C)

D a m wird das Diagramm

kommutativ. Schrlinken wir e o auf Ker A und el auf a/az (Ker A ) ein, so erhalten wir damit

(2.5) Charakter e o (Ker A = 1 +Charakter a/az (Ker A ) . Wir wollen den Charakter von el I a/az(Ker A ) bestimmen. Das Bild von

Ker A unter a/& besteht aus den holomorphen Funktionen der Gestalt (2.3). Dicser Raum besitzt uber R die Basis A", h,, . . . , h,-.,, h:, . . . , hi-i, wobei

h,,(z)=iz*, h i ( z )=z i - z *q - - j , hi+(z)=i(zj+z'q--j), j = o , . . . , 4 - 1 .

[e1(gk).h,,](z)=exi)iP',.i.ex~)iq~,.zq=ho(z), k = O , . . . , q ,

[pl(g,) - h;] (2) = exp ip, - [exp ijpl, - zi - exp i (2q -j) P ) ~ - 22q--i]

Nun ist

und

= exp i (j + 1 y k * zj - exp [ - i (j + 1) y E ] - i?--j

- -cos (j+ 1 ) ~ ) ~ - h;(z) +sin (j+ 1) P ) ~ * hi+(z),

j=O,. , . , q-1, k=O,. . . , q .

[el(g,) - hi+] ( z ) =COB (j+ l)pl , * h,f(z) -sin (j + 1 ) ~ ) ~ * h;(z), j = o ( . . . . q - 1 , k=O,.. . , q .

Entsprechend gilt

Damit erhalten wir q - i

Spurpl(g,)Iaiaz(KerA)=l+2 ~ c o s ( j + l ) q ~ ~ , k=O, . . . , q . j =O

Fur k =I= 0 ergibt das Spur ei(gk) = - 1.

332 Hoppner, Zulu Problem mit schiefer Ableitung

Erinnern wir uns noch an die Formel (2.5), so folgt

{;-2p fur k=O (Charakter Ker A ) (gk) = fur k = l , . . . , p .

Da der Kokern von A im Falle p < 0 trivial ist (8. [2]), folgt der

Satz 2.1. Das Problem (1.1) besitzt fiir p< 0 den 2, -,-Index

3. Der Fall q =1

Unser Randwertproblem (1.1) ist hier dss klassische NEnMANNsChe Problem. Damit besteht der Kern von A aus den Konstanten, und der Kokern von A l a B t sich mit den auf 852 konstanten Funktionen identifizieren. Der Operator A kommutiert mit der Wirkung der Grupps S1. Diese Wirkung ist auf den Konstan- ten aber trivial, woraus ind,, A=O folgt.

4. Der Fall p >1

Wir identifizieren die zyklische Gruppe Zp-l mit der Menge der (p-1)-ten Einheitswurzeln,

(4.1)

und fuhren die Ahkurzung

( 4 4 expicpk=gk, k=O, . . . , p - 2 ,

ein.

A mit der Wirkung der Gruppe Zp-l.

Z,-,=(expiyk, yk=2nk/(p-1), k=O, . . . , p-2}

Wegen (exp ipk - z), = exp ipvk - z p = exp icpk zp , k = 0, . . . , p - 2, kommutiert

Der Kern von A besteht aus den konstanten Funktionen (s. [2]), so daB

(4.3)

Wir wollen den Charakter des Kokerns von A bestimmen. Da die Gleichung du=P in C-(a) stets gelost werden kann, geniigt es, die Bedingungen zu ermitteln, unter denen eine holomorphe Funktion @(z) existiert mit

Charakter Ker A = 1 .

Re [zp * @(z)llan= f € C - ( X 2 ) . Nun wird d w Randwertprohlem

(4.4) Y ( z ) holomorph in Q, R e [Y(z)llan=f

Hoppner, Zuin Problem init schiefer Ableitung 333

bis auf eine additive, rein imaginiire Konstante durch die komplexe Form des PoIssoNschen Integrals gelost :

2%

1 expiq+z 272 exp ip - z ~ ( z ) = - J f (exp ip) - d ~ (5. Z. B. [4]) (4.5)

0

Das Paar (0. f)cC"(J=T) @ C"(aQ) gehort demnach genau dann zum Bild von A , wenn

Y ( O ) = ! Y ( O ) = . . . = Y ( p - ' ) ( o ) = o . Nun ist

5' (exptp+ ._

dzk exp tp - z

z ) - - 2k! - expip k = l , 2 , . . .

(exp ip - 2)' +' ' und damit

=2k!-exp(- ikp) , k = l , 2 , . . ,

Das Paar (0, f )EC-(Q) @ C-(aQ) liegt also genau dann im Bild von A , wenn

(4.6) 'Ln

[ f(exi)ig7).ex~)(--kp)/lp=O, k = O , . . . , p - 1 . 6

Der Kokern von A laat sich deshalb mit einem Komplement E des durch (4.6) definierten Teilraumes von C"( aQ) identifizieren. Ein solches Komplement E wird von den Funktionen

f ,(expip)=l, hl(expip)=sinp, . . . , h,_,(exi)ip)=sin(p-l)p,

f,(expip)=coup, . . . , fp - - i ( exp iq )=cos (p - l )y ,

0 ~ p < 2 . 2 ,

aufgespannt, und da dieses Komplement invariant unter Po ist, gilt

(4.7) Charakter Coker A = Charakter I E .

Nun ist en(gi) * f O = f O , k=O, . . . , p - 2 , und

[e&d - fjl ( e x ~ i p ) =fj(exp - 9 k * exp iq) = cos j (qk + q ) = cos jpk - fj(exp iq) -sin y k - hj(exp ip), k=O, . . . , p - 2 . j = 1 , . . . , p-1,

Entsprechend gilt

[g0(gk) - hi] (exp ip) = cos jpk - hj(exp ip) +sin jpk - fj(exp iq), j = l , . . . ,p-1, k = O , . . . , p - 2 .

Daraus folgt P-- l

j = 1 Spureo(gr) 1 E = l + 2 C c o s j q k , k=O,. . . , p - 2 ,

das heifit Spur ~ ~ ( g n ) = 21, - 1, sowie Spur p o ( g k ) = 1, k = 1,. . . , p - 2 .

334 Hoppner, Zum Problem niit schiefer Ableitung

Zusammen mit (4.3) ergibt das den

Satz 4.1. Das Problem (1 .1) besitzt far p w l den Z , _ , - I d e x

5. Bemerkungen

5.1. Wir haben unsere obigen Rechnungen auf den reellen Fall beschrgnkt. Da die an A beteiligten Differentialoperatoren reelle Koeffizienten besitzen, gelten unsere Indexformeln auch fur A : C-(a, C) +C"(B, C ) @ C"(iX?, C).

5.2. Das Randwertproblem (1.1) bleibt elliptisch, wenn wir anstelle von d einen beliebigen, eigentlich elliptischen Differentialoperator P der Ordnung zwei nehmen. Kommutiert P init der Wirkung der Gruppe 21-p bzw. Z,-,(p-=O bzw. p > l ) , und hat der Hauptteil von P reelle Koeffizienten, so lLBt sich P in der Klasse der eigentlich elliptischen 2, -,- bzw. Z,_,-invarianten Differential- operatoren homotop mit il verbinden. Da der G-Index bei aolchen Homotopien stabil bleiht (8. [ l]), gelten unsere Indexformeln auch fur diesen allgemeineren Fa1 I.

5.3. Der Cliarakter der regularen Darstellung T einer endlichen Gruppe G (s. z. €3. [3]) hat im Einselement den Wert IGI und verschwindet in allen ubrigen Punkten. Das heifit, der 2, -,-Index von A liegt fur p < 0 in dem von T erzeugten Unterring von R(2, -J. Entsprechendes gilt fur p =- 1 .

Literatur

[l] M. F. ATIYAH and I. &I. SINQER, The index of elliptio operators I, Ann. of Math. 87, 484 -830

r2, L. HORMANDER, Lineal partial differential operators, Berlin, Heidelberg, New York 1963. [3] J.-P. SERRE, Representations lineaires des groups finis, Paris 1967. [4] W. I. SMIRNOW, Lehrgang der hoheren Mathematik, Teil 111/2, Berlin 1967.

(1968).

[5] ki. H. BEKY.4, Howe MeTOAbI pelueHIlH aJIJIIllITElYeCKHX J'paBHeHIlft, MOCKBa, AeHIlHrpm 1948.

Akademie der Wissenschaften der DDR Zentralinstittct fur Mathematik u1uE Heehanik 108 Berlin, MohrenstraJe 39