Zum Schwarzschen Spiegelungsprinzip {Die Randwe~e von meromorphen Funktionen}

Yon C. CARATHI~ODORY, Miinchen

1. Die Entdeckung der Lebesgueschen Integrationsmethoden war der AnlaB, die Theorie der analytischen Funktionen an vielen Stellen in bemerkenswerter und unerwarteter Weise zu bereichern. Aber es gibt noeh heute, nach fast fiinfzig Jahren, Fragen ganz elementaren Charak- ters, ffir welche die Lebesgueschen Resultate noch nicht ausgebeutet word~n sind. So kann man das Spiegelungsprinzip von H. A. Schwarz auf einen Satz zuriickfiihren, der yon ebensolchem allgemeinem Interesse ist wie dieses.

Nach dem Resultat von Schwarz ist eine im Kreise [ z [ < 1 analytische Funktion, die auf einem Bogen A B der Kreisperipherie stetig und reell ist, regul/~r in jedem Punkte yon A B. Obwohl nun der Schwarzseho Be- weis in seiner urspriinglichen Fassung ohne die Forderung der Stetigkeit yon f(z) auf A B nicht denkbar ist, ist es nicht schwer, eine Variante dieses Beweises zu konstruieren, bei welcher die Stetigkeit iiberhaupt keine l~olle spielt.

Zu diesem Zweck braucht man nur den Begriff der Randwerte (oder wie manche Autoren sagen, der H/iufungswerte) einer Funktion systematisch zu benutzen.

2. Wir gehen yon folgender Definition aus:

Definition. Ist /(z) eine beliebige reelle oder komplexe Funktion, die in einem Gebiete G definiert ist, und bezeichnet man mit ~ irgendeinen Rand- pun]ct yon G, so wollen wi t sagen, daft eine Zahl ~ ein Randwert yon ~ (z) im Punkte ~ ist, wenn es mindestens eine Folge yon Punkten z v in G gibt, ]~r welche die Gleichungen

lim zv ~- ~ lim/(z~) -~ a (2.1) y ~ o ~ y ~ o o

gleichzeitig bestehen.

Mit Hilfe dieser Definition gilt nun der

Satz 1. I m Inneren des Einheitskreises I z ] < 1 sei die analytische Funktion / (z) meromorph. Au f einem Bogen A B der Kreisperipherie seien alle Randwerte yon f (z) reell oder co. Dann ist die Funktion / (z) in jedem Punkte ~ yon A B regular und reell oder sie besitzt einen Pol in ~.

263

Die Funkt ion

g ( z ) - / ( z ) - - i (2 . ] ) /(z) + i

ist in jedem Punkte des Kreises [ z I < 1 meromorph. In jedem Punkte yon A B sind alle Randwerte yon [ g (z) ] identisch gleich Eins, weft durch die Abbildung

w - - i O ) - -

w + i

die reelle Achse der w-Ebene in den Kreis I ~o I ~- 1 t ransformiert wird. Is t dann ~ ein innerer P u n k t des Bogens A B, so kann man die natiirliche Zahl n so grol~ w~hlen, dab erstens die eine Seite des Kreisbogenzweiecks CD, welches die gemeinsamen inneren Punkte der beiden Kreise

1 I z l < l , I z - - $ 1 < (2.2)

n

enth~lt, aus einem Teilbogen CD yon A B besteht und dab zweitens die Relat ion

�89 I g (z) I < 2 ( 2 . 3 )

tiberall in diesem Kreisbogenzweieck verifiziert ist. Im entgegengesetzten Fall kOnnte man jeder natiirlichen Zahl n einen Punk t z~ des Einheits-

1 kreises zuordnen, fiir welche I Zn -- ~ I ~ - - ist und eine der Relationen

n

I g(z~) ]'<1 oder I g(z~) I ~ 2 erfiillt ist. Dann mfil3te aber I g(z) I ent- gegen der Voraussetzung einen Randwer t im P u n k t e ~ haben, der yon 1 verschieden ist.

Wir bilden je tz t dutch die Funkt ion

z = ~ ( u ) ( 2 . ~ )

das Kreisbogenzweieck CD auf den Kreis I u I < 1 ab, so daI~ die Seite CD des Zweiecks dem Halbkreise C1E1DI entspricht, der in der Halb- ebene ~ u > 0 liegt, und setzen

h(u) = g (v (u) ) �9 (2.5)

Nach unserer Kons t rukt ion ist nun �89 [ h (u) [ ~ 2 ; irgendein Zweig des Logari thmus I h (u) ist somit regular in I u ] ~ 1 und besitzt dort einen beschr~nkten reellen Tell. Wi t ftihren die Bezeichnung ein

~(r,O) = ~( lh ( re ia ) ) ( 0 < r < l ) . (2.6)

264

Is t dann u ein beliebiger Punk t des Kreises I u ] < 1 und w/~hlt man r > [ u I aber < 1, so hat man nach der Formel des Poissonschen Integrals

2~

2 + 2(r,O) r e i a ~ U d t $ . (2.7) r e i ; ~ - - u

o

zt 3~ D a n u n f f i r 0 < v ~ < = ~ undf i i r 2 < v ~ < 2 ~ a l l e R a n d w e r t e v o n ] h ( u ) ]

gleich Eins und folglich lira 2(r,O) = 0 ist, hat man, indem man in (2.7)

die GroBe r gegen Eins konvergieren liil~t und die Bezeichnung

einffihrt,

@) : lim ~(r, O) t = l

377

l h (u ) - - lh(O) -- lh(O) I / ' 2 e ~ H- u (2.8) 2 4- ~ - (O) ei ,~ _ u dO .

Aus dieser Darstellung von 1 h(u) folgt nun unmittelbar, daL~ diese Funkt ion auf dem Halbkreis C1E1D1 regular ist ; dasselbe gilt yon h (u) und es muI~ also auch g(z) auf dem Kreisbogen C D analytisch sein, ein Resultat , das auch fiir /(z) gilt. Hiermit ist der angektindigte Satz bo- wiesenl).

3. Bei der Auswertung des Poissonschen Integrals (2.7) haben wir die Voraussetzungen des Satzes 1 nicht roll ausgenutzt. Das Schlui3- resultat (2.8) h~tten wir schon erzielen k0nnen, wenn nicht s/~mtliche Randwerte yon ](z), sondern lediglich diejenigen, die man bei radialer Anni~herung erh/ilt, reell sind. Diese letztere Voraussetzung reicht aber nicht mehr aus, um schlieBen zu konnen, dab /(z) keine singul/iren Stellen auf dem Rande besitzt. Zum Beispiel ist

( l § 2

- x i ~ j

l ( z ) = e

wesentlich singul~tr fiir z ~ l , aber die Grenzwerte l i ra / ( re i~) existie-

1) Man beachte, dab wir bisher yon der Lebesgueschen Theorie keinen Gebrauch gemacht haben, und dab unsere obigen Schlfisse yon derselben Art sind, wie diejenigen, die auch Schwarz zur H a n d hat te .

265

ren ffir jeden Weft yon v~ und sind reell (und sogar endlieh). Wenn man abet die Moglichkeit des Auftretens yon Singulariti~ten zul~Bt, so zeigt sich, dab man schon bei fiberraschend geringen Annahmen fiber das Ver- halten yon /(z) in der N~he des Randes eine befriedigende Antwort auf alle Fragen erhi~lt, die zu stellen man geneigt sein k5nnte. Wit wollen mit folgenden Voraussetzungen arbeiten:

Annahme: Die analytische Funktion /(z) soll meromorph im Inneren des Kreises [ z [ < 1 sein. Jedem Punlcte ~ eines Kreisbogens A B der Kreis- peripherie [ z [ ~ 1, der nicht au/ einer /esten Punlctmenge eo vom linearen Marie Null liegt, soll mindestens eine ffegen ~ konvergierende Folge von Punk- ten z~ des Einheitskreises zugeordnet werden k6nnen, die zwischen zwei in sich begegnenden Sehnen des Einheitskreises liegen, und [i~r welche lira ] (z~) existiert und reell oder gleich c~ ist.

Wie schwach diese Voraussetzungen sind, zeigt schon der Umstand, dab die Modulfunktion v(z), die man durch die konforme Abbildung der oberen w-Halbebene in fiblicher Normierung auf ein in den Kreis ] z I ~ 1 eingeschriebenes Moduldreieck erh~lt, den obigen Bedingungen gerecht wird. Denn auf jedem Radius des Kreises I z ] ~ 1, der in einem Punkte endet, konvergiert v (z) gegen 0, 1 oder c~, wenn dieser Radius nur endtich viele Dreiecke der Modulfigur durchsetzt, und auf einem solchen Radius existieren unendlich viele Punkte, in denen ~ (z) reell ist, wenn er durch unendlich viele solche Dreiecke hindurchgeht.

Da nun der Kreis I z] ~-- 1 eine natfirliche Grenze ffir die Funktion v(z) ist, zeigt dieses Beispiel, dab sogar alle Punkte des Bogens A B bei den yon uns gemachten Voraussetzungen singul~re Punkte yon f (z) sein k(innen. Es wird sich aber herausstellen, dab diese singul~ren Punkte yon ganz besonderer Art sind. Das Resultat, das wir erhalten werden, ist n~m- lich mit dem Satze yon Casorati-Weierstrafl fiber isolierte wesentlich sin- gul~re Stellen aufs ~ul]erste verwandt. Dieser letztere Satz kann folgen- dermaBen ausgesprochen werden: Ist eine analytische Funktion /(z) in einem punktierten Kreise 0 < I z -- $0 I < Q eindeutig und meromorph, so sind nur zwei verschiedene Mtiglichkeiten vorhanden. Entweder fiber- deckt die Menge Waller Randwerte yon / (z) im Punkte $0 die ganze Zahl- ebene mit Einschlu{~ des Punktes c~, oder /(z) ist regular (oder hat einen Pol) im Punkte ~0. Eine Aussage ganz ~hnlichen Charakters bildet aber der Inhalt yon

Satz 2. Unter den angegebenen Voraussetzungen /ar /(z) sind in jedem PunIcte ~o des Kreisbogens A B nur /olgende drei M6glichkeiten vorhanden :

266

a) die Gesamtheit W aller Randwerte von /(z) in ~o t~berdeclct die ganze Zahlebene mit Einschlufl des Pun]~tes co. Wit wollen dann sagen, daft ~o eine wesentlich singuldre Stelle ,,erster Art" ist ;

b) die Punlctmenge W aberdeclct eine der beiden durch die reelle Achse be- grenzten Halbebenen mit Einschlu[3 der reellen Achse und enthalt lceinen inneren Punkt der anderen Halbebene. Der Punkt ~o soll dann eine wesentlich singuldre Stelle ,,zweiter Art" genannt werden.

1 c) Eine der Funktionen [ (z) oder /(~)) ist reguldr im Punkte ~o und der

Spiegelungssatz besteht in einer Umgebung yon ~o.

4. Bes teht der vorhergehende Satz, und ist ~ eine end|iche Zahl mit nicht verschwindendem Imagin~rteil , die kein Randwer t yon [(z) im Punk te ~o ist, so muB auf der Kreisperipherie I z l ~ 1 eine Umgebung yon So existieren, in welcher ~ nicht als Randwer t angenommen werden kann. Dann gibt es aber in dieser Umgebung, deren Punk te sicher keine wesentlich singul~re Stellen erster Art sind, keinen einzigen Randwer t yon /(z), der in derselben Halbebene wie ~ liegt. H a t man umgekehr t die Richt igkei t dieser le tz teren Aussage festgestellt, so folgen daraus alle Be- haup tungen des Satzes 2. In der Ta t ist in diesem Falle der P u n k t ~o eine wesentlich singul~re Stelle zweiter Art, auBer wenn eine Zahl fl im Inneren der Halbebene liegt, die a nicht enth~lt, so dab fl ebenso wie ~ kein Rand- wef t yon ] (z) in S0 ist, oder wenn das gleiche yon einer reeUen Zahl ~, oder yon der Zahl co gilt.

Sind aber zwei Zahlen ~ und fl, die durch die reelle Achse get rennt werden, keine Randwer te yon / (z) in $0, so mtissen nach unserer Annahme ftir alle Punk te S des Randes in einer gewissen Umgebung yon $o alle mOg- lichen Randwer te reell oder gleich co sein, und nach dem Satze 1 muB dann [ (z) in $0 regular sein oder einen Pol besitzen. Is t endlich eine reelle Zahl ~ (oder die Zahl co) kein Randwer t yon / (z) in $0, so gibt es eine Um- gebung des Punk tes ~, (bzw. yon co), welche aus lauter P u n k t e n besteht , die ebenfalls keine Randwer te yon /(z) in $0 sind ; un te r diesen sind dann auch zwei Zahten a und fl vorhanden, die durch die reeUe Achse getrennt werden, so dab der soeben gemachte Schlui3 wiederum anwendbar ist.

5. Alles kommt also darauf hinaus, den folgenden Satz zu beweisen:

Satz 3. Ist /(z) eine analytische Fun]ction, far welche die Voraussetzun- gen de8 w 3 gelten, und ist ~ eine Zahl mit nicht verschwindendem Imaffindr- teil, die kein Randwert von [ (z) im Punkte ~o des Bogens A B darstellt, so gibt

267

es au/ der Kreisperipherie I z [ -~ 1 eine Umgebung yon ~o, in welcher samtliche Randwerte von / (z), [alls sie nicht reell sind, in der durch die reelle Achse berandeten Halbebene liegen, die ~ nicht enthdlt.

Erstens bemerken wir, dal~ die Funk t ion

1

l ( ~ ) - '~ (5.1)

im P unk t e $0 den Randwer t co nicht besitzt. Dann beweist man, ebenso wie in w 2, dab ein Kreisbogenzweieck CD existieren muB, in dessen Innerem die Funk t ion (5.1) beschr~nkt ist. Wir bilden dieses Kreisbogen- zweieck durch die Funk t ion (2.4) auf den Kreis I u I < l a b , so dal~ CD in C~E~DI fibergeht. Ferner be t rach ten wir die Abbildung

~ - - -f- 1 =- -- w - o r W - - ~

durch welche die reelle Achse der w-Ebene in den Kreis I o~ ] = 1 fiber- geffihrt wird und setzen

/ ( ~ ) - ~ h ( u ) = g ( ~ ( u ) ) (~ 2) g ( z ) = / ~ ) : : - ~ , , . .

Durch die Abbildung z = ~ (u) wird der in CD liegende Teil der Null- menge eo, die in den Annahmen fiber /(z) eine Rolle spielt, in eine Null- menge e r des Bogens C1E~D ~ t ransformiert . In allen fibrigen P u n k t en dieses Bogens exist ier t nach Voraussetzung eine Folge yon P u n k t en uv, die in einem Winkel liegen und ffir welche lim h(u,) exist iert und den absoluten Bet rag Eins hat. ~=~

Nun ist aber h (u) nach unserer Kons t ruk t ion eine im Kreise I u I < 1 beschr~nkte Funkt ion, und es exist iert eine Zahl M , ffir welche

]h(u) l < M ( ] u l < l ) (5.3)

ist. Ffir die Funk t ion h (u) gilt also der Fatousche Satz : In allen P u n k t en ~j des Kreisbogens C1E1D1, die nicht auf einer Nullmenge e ~I liegen, kon- vergieren mi t lira u v = ~ die Zahlenfolgen h (u~) gegen einen und den-

selben Wer t , falls nur die u v in einem Winkel mi t der Spitze in ~ liegen. Setzt man also

e = e 1 § , (5.4)

268

so ist auf jedem Radius, dessen E n d p u n k t auf C1E1D 1, aber nicht auf e liegt,

l i m l h ( u ) l = 1 . (5.5) [ul-~l

Es sei je tz t e eine beliebige positive Zahl. Ferner sei A ei~m Menge yon abzghlbar vielen Teilb0gen von CIE~D1, deren Gesamtliinge die Zahl e nicht fibersehreitet, und die tiberdies einerseits die Punk tmenge (5.4) iiberdeeken, andererseits aber so gew/~hlt sind, dab die durch die Relat ion (5.5) ausgedrfickte Konvergenz in den nicht auf A liegenden P u n k t e n yon C~E~D 1 gleichmgBig stat tf indot. Das letztere ist wegen des bekannten Satzes yon Egoroff immer m(~glich.

Wir be t rachten auf jedem Kreis ] u [ = r ( 0 < r < l) die Punk tmenge A ~, die durch die Radien des Kreises I u [ < 1, deren En d p u n k t e in A liegen, ausgeschnit ten wird, und bezeichnen mi t / 'r die fibrigen Punk te desselben Kreises. Hierauf bes t immen wir auf dem Kreise ] u I < r zwei regul/ire analyt isehe Funkt ionen k~(u) und ~ ( u ) , die keine Nullstellen haben sollen und durch folgende Vorschrif ten eindeutig bes t immt sind : In jedem Punk te von A ~ sell

I k~(u) ] = 1 und ] ~r(U) ] = M (5,6)

sein ; und in jedem Punk te yon F~ soll (yon einer Nullmenge abgesehen)

I k~(u) I = max (1, Ih (u ) I ) , I .~(u) I = 1 (5 .v)

sein. Nach dem Prinzip des Maximums ist dann ffir ] u [ < r < 1

I h(u) I ~ [ kr(u)I' ] ~ ( u ) I (5.s)

Nun existieren die beiden Grenzfunkt ionen .

k (u) ----- lim kr (u) , u (u) ---- lim ~ (u) ; (5.9) r = l r = l

yon diesen ist k (u) nicht nur unabh/~ngig yon der Wahl yon A, sondern aueh regular auf dem rechten Halbkreis und es ist dor t [ k (u) I - - 1, w/ihrend fiir x (u) die aus einer Absch/~tzung des Poissonschen Integrals, das ftir l x (u) gebildet wird, zu en tnehmende Relat ion

~:M l+lu!_ [ ~(u) l < e , - I . I

besteht . Aus den le tz ten Beziehungen erh~lt m an zun~chst

269

r l M l + i u l

I h(u) I < I ~(u) i s ~-I~l ,

und wenn man hierin e gegen Null konvergieren l~Bt,

]h(u) 1<[ k(u) . (5.10)

Die Randwerte yon Ik(u) t auf dem Kreisbogen C1E1D 1 sind alle gleich Eins. Also sind die Randwerte yon h(u) in keinem Punkte dieses Kreisbogens ihrem absoluten Betrage nach gr013er als Eins und dasselbe gilt yon den Randwerten yon g(z) auf dem Teilbogen CD yon A B. Auf demselben Bogen CD liegen dann die Randwerte von /(z) auf der ab- geschlossenen Halbebene, die den Punkt ~ nicht enth/~lt.

Hiermit ist das angekfindigte Resultat bewiesen.

6. Die Modulfunktion v(z) liefert ein einfaches Beispiel, ffir welches sgmtliche Punkte des Kreises I z ] = 1 wesentlich singul~re Stellen erster Art sind.

Ein Beispiel, bei welchem die Voraussetzungen des w 3 bestehen, und sgmtliche Punkte yon ] z I ~- 1 wesentlich singul~re Stellen zweiter Art sind, erh~lt man auf folgende Weise: in der oberen Halbebene der w-Ebene betrachten wit ein Kreisbogendreieck, dessen Seiten Orthogonalkreise der

Y~ Y~ g~ reellen Achse sind und dessen Winkel z. B. die W e r t e ~ , ~ , 6 betragen.

Dieses Dreieck bilden wir konform auf ein Kreisbogendreieck der z-Ebene ab, das drei Spitzen besitzt, die auf dem Kreise ]z] ~ 1 liegen und dessen Seiten diesen letzten Kreis senkrecht schneiden. Die analytische Fortsetzung/~ (z) der Abbildungsfunktion stellt die konforme Abbildung einer Riemannschen F1/iche der w-Ebene dar, die einfach zusammen- h~ngend und regular verzweigt ist und in den Ecken des urspriinglichen Dreiecks, sowie auch in den Ecken aller weiteren Dreiecke, die man durch fortgesetzte Spiegelungen an den Seiten erhalten kann, logarithmische Verzweigungsstellen besitzt.

Der Kreis I z [ ~- 1 bildet eine natiirliche Grenze der Funktion /t (z) ; alle Werte yon # (z) haben einen positiven Imagin~rteil. Jeder Punkt des Einheitskreises ist, wie man leicht auch direkt beweisen kann, eine wesentlich singul~re Stelle zweiter Art.

Um nun zu zeigen, daft die Voraussetzungen des w 3 hier erffillt sind, benutzen wir folgende SchluBweise: Fast alle Radien des Kreises ] z I < 1 werden durch die Funktion w ~ g(z) auf Kurven der w-Ebene abge- bildet, die gegen einen wohlbestimmten Endpunkt konvergieren. Dieser Endpunkt kann nur mit dem Punkt w ~ c~, mit einem Punkt der reellen Achse oder mit einer Ecke der Triangulation zusammenfallen. Letzteres

270

ist aber nur dann mOglich, wenn der zugeh6rige Radius dos Kreises [ z [ < 1 nur endlich viele Dreiecke der Modulfigur, die bei der obigen Kons t ruk t ion benutz t worden ist, durchsetzt ; da es aber nur abz~hlbar viele Radien gibt, die diese Eigenschaft haben, sind die Voraussetzungen des w 3 alle effiillt.

Die yon uns be t rach te ten Funkt ionen kOnnen auch isolierte wesentlich singul~re Stellen aufweisen. So ha t z. B die Funk t ion

. l q -z

w ~ e

im P unk t e z--~ 1 Funk t ion

eine wesentlich singul/~re Stelle erster Ar t und die

l + a

el-Z+ 1 W ~ i

l + z

e l - z - ]

im selben Punk te eine wesentlich singul/~re Stelle zweiter Art. In den tibrigen Punkten des Kreises I z] = 1 ist die erste dieser Funk t ionen durchwegs regul/~r, w/~hrend die zweito Pole besitzt, die sich im Punk te z = 1 h/~ufen.

Auch k6nnen si~mtliche Punk te des Kreises, bis auf einen isolierten wesentlich singul/~ren P u n k t ers ter Art, wesentlieh singul/tre Stellen zweiter Ar t sein. Um dieses zu erreichen, normieren wir die Funk t ion /z(z), die wir soeben be t rach te t haben, so dab bei Winkelann/~herung an den P u n k t z ~ 1 diese Funk t ion gegen einen endlichen reellen Wer t kon- vergiert. Dann besitzt die Funk t ion

.1-t-z

f ( z ) = e ~ ~-~ + ~ (z)

im P unk t e z --~ 1 sowohl Randwer te mit positivem, als auch solche mit negat ivem Imagin/~rteil. Der P u n k t z ~-- 1 ist also eine wesentlich singu- 1/ire Stelle erster Art. In den iibrigen Punk ten des Einheitskreises gibt es Randwer te mit positivem, aber keine mit negat ivem Imagin/~rteil ; sie sind also wesontlich singul/~re Stellen zweitor Art.

Durch diese Beispiele, die man leicht vermehren kann, sieht man, dab die Vertei lung der singul/~ren Stellen des Randes an keine Bedingungen gebunden zu sein scheint, auf~er denjenigen, die aus dem Wor t lau t des Satzes 2 flieflen.

7. Der Satz 2 des w 3 kann als Sonderfall eines ganz allgemeinen Theo- rems angesehen werden, durch welches die Randwer te einor beliebigen im

271

K_reise I z ] < 1 meromorphen Funk t ion l(z) in Beziehung zu den spe- ziellen Grenzwerten dieser Funkt ion, die man bei radialer Annaherung er- halt, gebracht werden konnen.

Um dieses Theorem zu beweisen, leiten wir zuni~chst einige Hilfss~ttze ab.

Ist erstens /(z) im abgeschlossenen Kreis I z I < 1 reguliir, so gilt be- kanntl ich die Gleichung 2~

1(0) : ~--~-//(ei~) d~ . 0

Die rechte Seite dieser Gleichung stellt den Schwerpunkt einer gewissen Verteilung yon positiven Massen dar, die sich auf der Kurve f(e ia) herin- den. Daraus folgt, dab der P u n k t / (0) nicht auBerhalb der konvexen Hi'dle dieser Kurve liegen kann.

Zweitens sei /(z) regul/ir und beschr~nkt im Kreise ] z ] < 1, so dab man hat

I l(z) I < i . ( 7 . 1 )

Wir geben uns auf dem g a n d e I z [ = 1 des Einheitskreises eine offene Punktmenge A, die aus hOchstens abz/~hlbar vielen Teilb(~gen besteht, deren Lgngen die Summe e besitzen, und nehmen an, dab for jeden Punkt e i a der Peripherie, der nicht auf A liegt, der Grenzwert

lim /(r e ia) ( 0 < r < l ) ( 7 . 2 ) r = l

existiert, und dab die Konvergenz yon (7.2) fiir alle diese Punkte eine gleichm/~Bige ist. Ferner bezeichnen wir mi t W die Menge aller Grenz- werte (7.2) und mit W* die konvexe Htille dieser Punktmenge.

Is t dann r eine beliebige positive Zahl < 1, so betrachte man auf dem Kreise ] z ] ---- r die offene Punktmenge A r, die wir schon im w 5 benutz t haben, und neben der analyt ischen Funk t ion / (re ~) eine stetige Funk- t ion 9,(v~), die in jedem Teilintervall yon A, linear in 0 ist und in allen fibrigen Punkten des Kreises mit /(re ~a) zusammenf/~llt.

Aus den Relat ionen

27r 27r 27r

' i " ' = ' + o' 9,(~)) dz~ Z T g t )

o o o ( 7 . 2 )

folgt dann mit den Bezeichnungen

272

277" 27v

wl = lim ~r(0) d0 , w,, : lim re i'~) -- q~r (v~)) d~

o o ( 7 . 2 )

die Gleichung / ( 0 ) : w~ ~- w2 �9 ( 7 . 3 )

Nun ist wl ein Punk t der konvexen Hiille W* und

t w 2 i g 2 ~ M , ( 7 . 4 )

da I ](reia) -?~(v~) 1 < 2 M ist.

8. Diese Abschiitzung benutzen wir, um folgenden Satz zu beweisen:

Satz 4. I m Kreise ] z ] < 1 sei die analytische Funktion [ (z) reguli~r und beschrdnkt. I n jedem nicht au[ einer Nullmenge e z liegenden Punkt e ia eines Bogens A B des Kreisrandes soll der Grenzwert

l i m / ( r e i~)

existieren und in einer Punktmenge W der w-Ebene enthalten sein. Dann ist jeder Randwert von ](z), der in einem beliebigen inneren Punkte ~o des Bogens A B angenommen wird, ein Punkt des Inneren oder des Randes der konvexen Halle W* von W.

Es sei zo irgendein Punk t des Kreises I z ] < 1. Durch die M0biussche Transformation

Z o - - U Z - -

1 - - Z o U

werden die beiden abgeschlossenen Kreise ] z I < 1 und I u ] < 1 einein- deutig aufeinander abgebildet, wobei der Bogen A B in einen Bogen A 1B 1 tibergefiihrt wird, dessen L/~nge wit mit

8 2 Y t . . . .

2

bezeichnen. Gleichzeitig wird die Nullmenge e~, die auI A B liegt, in eine Nullmenge e~ des Bogens A1B1 verwandelt . Nun betrachten wir die Funkt ion

h (u) = ! - 1 - - ~ o u

| 8 Commentar i i Mathemat tc i Helvet ic i 2 7 3

Wir k0nnen die Punktmenge % und das Komplement des Bogens A~B~ mit einer Folge A yon Interval len iiberdecken, deren Gesamtlgnge s ist, und ftir welche die Annahmen gelten, die wir im w 7 gemacht haben. Ge- mi~l~ (7.3) k0nnen wir also schreiben

/ (z0) = h (0) ---- Wl § w~ ,

wobei wl ein P u n k t yon W* ist und auBerdem die Ungleichheit

[ w 2 ] ~ 2 e M gilt.

Um dann die Behauptung des Satzes 4 zu verifizieren, braucht man nur noch zu beachten, dub r gleichzeitig mit ] $0 -- z0 [ gegen Null konver- giert. Die Annahme, dub /(z) im ganzen Kreise I z 1 < 1 beschr~nkt sein soll, kann man fibrigens mit Hilfe der Methode des w 2 durch die schw~- chere Annahme ersetzen, dub ] (z) in einer Umgebung yon ~0 beschrs ist.

9. Das allgemeine Resultat , das wir im Auge haben, flieBt leicht aus dem Satz 4. Wlr betrachten auf der Riemannschen Zahlkugel eine ,,normale (~berdeckungsfolge"

K 1 , K 2, K 3 . . . . (9.1)

von offenen Punktmengen, z.B. yon Kreisen, d. h. eine abzghlbare Mengo yon Kreisen yon der Eigenschaft, dub man jedem beliebigen noch so kleinen Kreise ~ der Kugel, der den Mit te lpunkt P besitzt, mindestens einen Kreis Kv dor Folge (9.1) zuordnen kann, der im Innern yon ~ liegt und den P u n k t P in seinem Inneren enth~ilt 1).

Es sei nun [ (z) eine beliebige analytische Funkt ion , die im Innern yon I z I < 1 meromorph ist. Jedem Kreise K~ der Folge (9.1) ordnen wir auf der Kreisperipherie I z [ = 1 eine Punk tmenge A~ zu, die aus allen Punk ten ~ dieser Linie besteht, ftir welche der Grenzwert

l i ra / ( r~) ( 0 < r < l ) (9.2) r = l

entweder nicht cxistiert, oder, falls er vorhanden ist, mit einem Punkte des Inneren yon K v zusammenfiillt.

1) B e z e i c h n e t m a n m i t r 1 ~ r 2 ~ r 3 ~ �9 �9 �9 d ie g e g e n N u l l k o n v e r g i e r e n d e n R a d i e n e i n e r F o l g e y o n k o n z e n t r i s c h e n K r e i s e n t ie r K u g e l u n d m i t P 1 , P 2 , ' ' - a b z ~ h l b a r v i e l e i i b e r a l l d i c h t l i e g e n d e P u n k t e t i e r K u g e l , so b i l d e n d ie K r e i s e z ( P v ; r j ) m i t den M i t t e l p u n k t e n P v u n d d e n R a d i e n r j e ine d e r a r t i g e n o r m u l e U b e r d e c k l m g s f o l g e .

274

Ferner sei auf [z[ = 1 eine Folge

(~1 >(~ >03 >''" (9.3)

yon ineinandergeschachtelten KreisbOgen definiert, die einen gemein- samen inneren Punkt $o besitzen und deren L~ngen gegen Null konver- gieren.

Wir betrachten ftir jeden Wert von v die Folge der Durchschnitte

Av ~1, A ~ 2 , . �9 A~ ~ . . . . (v ~ 1,2 . . . . ) (9.4)

und bezeichnen mit n~ (j = 1 , 2 . . . . ) ( 9 . 5 )

diejenigen ganzen Zahlen (falls es solche gibt), fiir welche unter den Punktmengen A,j 5v (p --~ 1, 2 . . . . ) mindestens eine das lineare Mal3 Null besitzt.

10. Nachdem wir auf diese Weise die nj bestimmt haben, betrachten wir die offene Punktmenge

u = K . 1 ~- Ko 2 ~- K . 3 : ~ . - (lO. 1)

und ihre abgeschlossene Komplement~trmenge H. Unter Umst/inden kann U die leere Menge sein und H mit der Gesamt-

kugel zusammenfallen. Zum Beispiel existiert ffir die Modulfunktion v (z), die wir im w 3 betrachtet haben, der Grenzwert

lim v(r$)

nur dann, wenn dieser Grenzwert mit einer der drei Zahlen 0, 1, cr zu- sammenf~llt. Und eine einfache Betrachtung zeigt, dal3 dies dann und nur dann der Fall sein kann, wenn ~ mit einer der abz/~hlbar vielen Spitzen der Dreiecke der Modulfigur koinzidiert. In diesem Falle ist also ftir jedes v und jedes p das lineare MaI3 yon A v 6 v positiv und die Punkt- menge U existiert iiberhaupt nicht.

Die Punktmenge H dagegen mu{3 stets Punkte enthalten. Denn sonst wiirden endlich viele Kn i existioren, deren Vereinigung die ganze Zahl- kugel iiberdeckt, und es miii3te einen Bogen 6~ geben, innerhalb dessen diejenigen Punkte ~, fiir welche der Grenzwert (9.2) entweder nicht exi- stiert oder gleieh einer beliebigen Zahl ist, eine Nullmenge bilden, was un- m6glich ist.

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Jeder Punkt o9 yon H ist notwendig ein Randwert yon /(z) im Punkte $0. Um dies zu zeigen, betrachten wir einen Kreis K v unserer ~ber- deckungsfolge (9.1), der o9 in seinem Inneren enth~tlt und selbst in einer vorgeschriebenen Umgebung yon o9 enthalten ist. Nehmen wir nun an, o9 w~re nicht ein Randwert yon ](z) im Punkte ~o �9 Dann gibt es eine Umgebung yon ~o, innerhalb welcher

1 / (~) - o9

beschr~nkt ist, und mindestens einen Bogen ~,0, auf welchem der Fatousche Satz gilt. Andererseits ist die Zahl v nach Voraussetzung keine Zahl aus der Folge (9.5). Fiir p ~ Po muB also auf jedem Bogen 5~ mindestens ein Punkt Sv liegen, fiir welchen

lim / (rSv) r = l

existiert und in K v enthalten ist. Folglich gibt es auch Randwerte yon ] (z) in So, deren Abstand von o9 beliebig klein ist. Und da die Menge der Randwerte yon / (z) in ~o notwendig abgeschlossen ist, muB, entgegen der obigen Annahme, der Punkt o9 doch unter diesen Randwerten vorkommen. Hiermit ist unsere Behauptung bewiesen.

11. Unter der Voraussetzung, dab die Punktmenge H nicht die ganze Zahlkugel ausfiillt, kann man ihre Komplement~rmenge U als Summe yon h0chstens abziihlbar vielen paarweise punktffemden Gebieten G/dar- stellen. Ist dann die Zahl a kein Randwert yon / (z) im Punkte $o, so muB der Punkt, der dieser Zahl entspricht, in einem dieser Gebiete, z. B. in G 1, liegen.

Mit no bezeichnen wit eine in G1 liegende abgesehlossene Kreisscheibe, deren Rand den Punkt ~ enth~lt. Man kann dann den Satz 4 des w 8 auf die Funktion

1 - - ( 1 0 . 1 ) g (z) / ( z ) -

anwenden, indem man ffir den Bogen A B ein geeignetes Intervall ~ w~hlt, und daraus schlieBen, dab die ganze Kreisscheibe ~o aus lauter Punkten besteht, die keine Randwerte yon /(z) im Punkte So darstellen. Dazu muB man bedenken, dab g (z) in einer Umgebung yon ~o beschri~nkt ist und dab die abgeschlossene Punktmenge ~o durch end l ich v i d e Kreise Kni fiberdeckt werden kann. Die radialen Grenzwerte yon /(z), liings

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Radien genommen, die in Punkten von 5~ mfinden und die nicht auf einer gewissen Nullmenge liegen, sind also in einer Punktmenge enthalten, der kein Punkt yon u0 angeh(irt. Diese letztere Punktmenge wird nun durch die Abbildung

1 v - ( l o . 2 )

in eine andere verwandelt, die mit ihrer konvexen Htille keinen Punkt der Halbebene enth/~It, in welche der Kreis uo durch (10.2) transformiert wird. Also kann, wie bewiesen werden sollte, auch kein Punkt yon xo Randwcrt yon [ (z) im Punkte ~o sein. Dieses Resultat wird noch folgen- dermaf~en vervollst~ndigt.

Ist ein beliebiger Punkt fl des Gebietes G1 gegeben, so kann man immer eine Kette yon abgeschlossenen Kreisscheiben

X 0 ~ ; g l ~ ~ 2 ~ " �9 " ~ ~ m

finden, die alle in G1 liegen und yon denen sich zwei aufeinanderfolgende teilweise tiberdecken, so dab der letzte Kreis u~ den Punkt fl enth/~lt und xo den Punkt ~ auf seinem Rande besitzt. Durch diese Konstruktion wird gezeigt, dab kein Punkt des Gebietes G1 Randwert yon ] (z) im Punkte ~0 sein kann.

So gelangen wir zum folgenden

Satz 5. Es sei eine analytische Funkt ion ] (z) meromorph im Kreise I z I < 1 und ~o sei ein beliebiger Punk t des Randes I z I : 1. Dann kann man nach den Vorschriften der letzten Paragraphen die Punkte der Rie- mannschen Zahlkugel als Summe

von paarweise punl~t]remden Mengen darstellen, wobei H abgeschlossen und nicht leer ist und die Gi, die u. U. auch fehlen k6nnen, Gebiete bedeuten, die mit Hilfe der radialen Grenzwerte lim / (r eta) der betrachteten Funkt ion f (z) berechnet werden, r= l

Dann ist /fir ]edes beliebige der Gebiete Gi entweder jeder ihrer Punkte Randwert yon /(z) in ~o, oder aber kein einziger Punkt yon Gi hat diese Eigenscha/t. Die Menge der Randwerte von /(z) in ~o besteht also jeden/alls aus der abgeschlossenen Menge H , der noch gewisse unter den Gebieten Gi hinzuzu/agen sind.

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12. Aus dem Beweis des vorigen Satzes kann man gewisse Schlfisse fiber die Verteilung der radialen Grenzwerte lim f (re ia) ziehen, die in

mancher Hinsicht wertvoll sin4. Zum Beispiel bilden ffir die Funktion #(z), die in w 6 betrachtet wurde, diejenigen Punkte $ ~ e ia, ffir welche

lim # (re ~ a) r = l

existiert und in einem noch so kleinen vorgeschriebenen Intervall der reellen Achse enthalten ist, eine Punktmenge, die auf jedem Bogen des Einheitskreises ein yon Null verschiedenes lineares Ma6 besitzt.

Auch kann man Beispiele yon meromorphen Funktionen f (z) finden, die in jedem yon z--~ 1 verschiedenen Punkte des Kreises l z l z 1 regular, und die so beschaffen sind, da6 ffir (0 z 1 die Punktmenge H mit einem vorgeschriebenen Kontinuum zusammenf~llt.

Die Bildung solcher Beispiele und aueh anderer, bei welchen H kein Kontinuum ist, also z.B. aus endlich vielen irgendwie gelegenen Kreisen besteht, ist unerl~il]lich, um die Tragweite des Satzes 5 richtig zu ver- stehen.

(Eingegangen den 20.August 1946.)

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