Zur algebraischen Geometrie. IX. l~ber z u g e o r d n e t e F o r m e n u n d a l g e b r a i s c h e S y s t e m e

y o n a l g e b r a i s c h o n M a n n i g f a l t i g k e i t e n .

Von

Wei-Liang Chow und B.L. van der Waerden in Leipzig.

Es ist prinzipiell wiehtig, geometrische Gebilde durch Koordinaten darstellen zu kSnnen. Ist das niimlich fiir eine bestimmte Art yon Ge- bilden G einmal geschehen, so hat es einen Sinn, yon einer algebraischen Mannigfaltigkeit oder einem algebraischen System yon Gebilden G zu sprechen und die gesamte Theorie der algebraischen Mannigfaltigkeiten (Zerlegung in irreduzible, Dimensionsbegriff, Begriff der allgemeinen Elemente einer irreduziblen Mannigfaltigkeit) darauf anzuwenden. Erwiinscht ist dabei, dab die Gesamtheit aller Gebilde G der betrachteten Art (eventueU nach Hinzufiigung yon geeigneten Grenzgebilden) eine algebraische Mannig- faltigkeit darstellt, also dutch algebraische Gleichungen in den Koordinaten ehamkterisiert werden kann.

Die Punkte des projektiven Raumes S~ werden dutch n ~ 1 homo- gene Koordinaten, die Teibraume S~ dutch ihre Pliickerschen Koordinaten; die Hyperflachen yore Grade g dutch die Koeffizienten ihrer Gleiehungen gegeben. In allen diesen Fiillen ist fttr die Gesamtheit aller dargestellten Gebilde die eben gestellte Bedingung erfiillt.

Es soll nun ein Mittel angegeben werden, die r-dimensionalen Mannig- ~aItigkeiten M eines festen Grades g in S~ dutch Koordinaten darzustellen. Wit werden dabei so verfahren: Wix stellen die Bedingung dafiir auf, da~ r ~- 1 Hyperebenen u (~ u(1), . . . , u (r) einen Punkt mit M gemeinsam haben. Diese Bediagung wird dutch eine einzige Gleichung F (u) ---- 0 yore Grade g in jeder der Variablenreihen u (~ . . . . , u (~) gegeben, welche in ebenso- viele irreduzible Faktoren zerfiillt, als M irreduzible Bestandteile besitzt. F (u) heiBt die zugeordnete Form der Mannigfa]~igkeit. Die Grenzfiille, in denen einige yon diesen irreduziblen Bestandteilen von M und dement- sprechend auch einige Faktoren 4er Form F (u) mehrfach geziihlt werden, sind mit eingeschlossen. Die Koeffizienten der zugeordneten Form F(u) werden nunmehr a]s Koordinaten yon M genommen.

]~Ian sieht leicht ein, dal3 die Mannigfaltigkeit M dutch ihre zuge- ordnete Form, also dutch ihre Koordinaten eindeutig bestlmmt ist. Nieht so leicht ist aber der Nachweis, da~ die Gesamtheit aller M yore Grade g und yon der Dimension ~ im Koordinatenraum eine a~ebraisohe Mannig-

Wei-Liang Chow u. B. L. v. d. Wmerdem Zur algebraischen Geometrie. IX. 693

]altigkeit darstelIt. Dieser Naehweis, der dem ersten Veriasser gelungen ist, wird in w 1 dargestellt. In w 2 wird der Begriff eines algebraisehen Systems yon Mannigfalt~gkeiten M n~iher erSrtert und zu der Theorie der algebraischen Korrespondenzen in Beziehung gesetzt.

w

Die zugeordnete Form einer Mannigfaltigkeit M.

Eine ~-dimensionale irreduzible algebraische Mannigfaltigkeit M i m n-dimensioaalen projektiven Raum S~ sei dutch die Formen /~ aus K [x] ---- K [x o, x 1, . . . . x,] definiert. Ein allgemeiner ]inearer Unterraum S~-r, der dutch die r allgemeinen Linearformen

l~ = 2: u~ ~ x i (i = 1 , . . . , ~)

definiert sein mSge, schneider M in einer nulldimensionalen, in bezug aui K(u r . . . . . u (r)) irreduziblen l~iannigfaltigkeit~), die aus endlichvielen in bezug auf K (u(*), . . . , u(')) konjugierten, in bezug auf K allgemeinen Punkten yon M besteht. Diese Punkte seien mit

bezeichner Bildet man die g Linearformen

L,(u(o)) = ..~ ~(~ uJO), ~=irJ

we die ~0) Unbestimmte sind, so ist ihr Produkt g

G (u(O~) = / / L ~ (u(o)) i = 1

.eine Form in u (~ die mit allen ihren Kon~ugierten in bezug auf K(u(~), . . . . u(r)) iibereinsr Daraus folgt, da]] eine gewisse Potenz von G (u (~ eine Form mit Koeffizienten aus K (u(~),..., u (r)) is~, und wenn man diese noch mit einem geeigneten Polynom aus K [u (~) . . . . , u(~)] multi- pliziert, so bekommt man eine Form in u(~ mit Koeff!zienten aus K [u(~),..., u(r)], die nut dutch Potenzprodukte der L~ (u (~ teilbar is~. Da ~e zwei solehe Formen einen gemeinsamea Faktor haben, der wieder eine so]ehe Form is~, so gibt es eine bis auf einen konsta~ten Faktor aus K eindeutig be- s~immte Form F (u(o)), die diese Eigenschaft besitzt und als Polynom aus K [u(o), u ~ . . . . . u( ~)] irreduzibel ist. Diese Form wird die zugeardnete Form yon M genannt, und ihr Grad heil]t der Grad yon MS).

1) Fiir den Beweis siehe B. L. v. d. Waerden, ZAG. V, Ma~h. Ann~len 110, S. 140. 2) Die Anzahl der verschiedenen Schnittpunkte pff), die bisher immer als Grad

yon M bezeichnet wurde, sollte man besser den'reduzierten Grad nennen. Im l~all eines vollkommenen GrundkSrpers K ist F (u (~ - - (7 (u (~ und der Grad gleich dem reduzierten Grad.

~athemat is~he Annalen. 113. 4 5

694 Wei.Li~ng Chow und B. L. van der W~erden.

Es ist klar, dab zwei verschiedene irreduzible Mannigfaltigkeiten nieht dieselbe zugeordnete Form besitzen kSnnen. Denn man kann durch Faktor- zerlegung aus der zugeordneten Form einen allgemeinen Punkt der irredu- ziblen IYlannigfaltigkeit erhalten, und zwei irreduzible Mannigfaltigkeiten m/issen gleieh sein, wenn sie einen gemeinsamen al]gemeinen Punkt haben.

Die zugeordnete Form F (u (~ ---- F (u (~ u ~1~, . . . , u (r~) einer irreduziblen Mannigfaltigkeit, die definitionsgemiil] homogen in u C~ ist, ist abet aueh homogen in den ttbrigen u% und zwar yon demselben Grad wie in u(% Das folgt daraus, dal~ die u-Resultante D (u) von ],, l~, l~ . . . . ,1,. m i t der

hinzugenommenen Linear![orm l o = ~ u~~ auch eine Form in u r176 mit j = o

Koeffizienten aus K[u(1), . . . . u(n] ist, die nur durch Potenzprodukte der L~(u ~~ teilbar ist. Diese u-Resultante D(u) ist nun aber der grSBte gemeinsame Teiler des Resultantensystems yon [.,, 1o, l~, . . . , l,, und mul~ daher yon derselben Beschaffenheit in bezug auf alle ur sein; genauer: D wird bei Vertausehung yon irgend zwei u(O h6chstens um einen kon- stauten Faktor aus K ge~indert. Wegen der Irreduzibilit~t yon F mu~ D bis auf einen Fal~tor aus K [,u ~), . . . , u Ct~] eine Potenz yon F sein. Dieser Faktor kann abet nut eine Konstante aus K sein. Denn wenn D(u) einen yon u (~ freien, abet etwa yon u(~) abh~ngigen Faktor bes~iBe, so wiirde D(u) wegen der Symmetrie auch einen yon u (~) freien, aber yon u (~ abh/ingigen Faktor besitzen. Dieser Faktor kSnnte wieder nur eine Potezz yon /7 sein, also w~re Y yon u(~) und ebenso yon u(Z),..., u (~) unabh~ngig, was offenbar absurd ist. AJso ist D (u) eine Potenz yon E. Folglieh ist F auch yon derselben Beschaffenheit in bezug auf alle uC*~, insbesondere homogen von demselben Grad in bezug auf alle u(O.

Eine beliebige rein r-dimensionale algebraisehe Mannigfaltigkeit M ist eine Summe yon endlichvielen r-dimensionalen irreduziblen Mannig- faltigkeiten M~, M~, . . . . M~, wobei jede Mannigfattigkeit Mi mi$ einer beliebigen Vielfaehheit oder Multiplizit~t n~ versehen werden m6ge. Die zugeordnete Form von M~ sei F~(u(o, u(~), . . . , u(')) veto Grade g~. Dann heil]t

h F(u(% u% . . . , u(~)) = / 7 F~ (u% u(' , . . . , u(~)) "~

~ 1

die zugeordnete Form yon M und ihr Grad g = ~ n~g~ der Grad yon M. Es ist klar dal~ auch hier, wie bei irreduziblea Mannigfaltigl~eiten, eine Mannigfaltigkeit dutch ihre zugeordnete Form eindeutig fes~gelegt ist. ~Die Form ist homogen veto selben Grad in bezug auf alleu('). Im ~o]- genden werden Formen, die homogen yon demselben Grade g in bezug auf alle u(O sind,, kurz als Formen vom Grade g aus K [u (~ u(~), . . . , u( ~)] bezeichnet.

Zur algebraischen Geometrie. IX. 695

Jetzt wird gefragt, welche die Bedingungen sind, denen eine beliebig vor- gegebene Form veto Grade gaus K[u (~ u (1), . . . , u ~)] geniigen muB, damit sie die zugeordnete Form einer r-dimensionalen Mannigfaltigkeit ist. Die Antwort wird durch den folgenden Satz gegeben.

Satz 1. Damit eine Form F (u(~ u (1), . . . , u (~)) vom Grade g a u s K [u (~ u (1) . . . . , u (r)] die zugeordnete Form einer r-dimensionalen algebraischen Mannig/altigkeit ist, ist notwendi9 und hinrewhend, daft die /olgenden Be- dingungen er]iiUt sind:

1. F ( u (~ = F (u (~ u (t) . . . . . u(~)), betraehtet als Form in u (~ zer/gllt in einem ErweiterungskSrper yon K (u (x), . . . , u (~)) vollstandig in I_,inear/aktoren:

g g n

F (u (~ = / / L , (u(O>) = / 7 (X p~o 2.~ ~ 1 ~ l j ~ 0

2. L~(u (k)) = 0 /u'r i = 1,2 . . . . . g; k = 1 . . . . ,r . 3. Sind ~1), .. v(Y ) (j = 0, 1, n) Elemente irgend eines Erweiterungs-

kSrpers yon K (T (l)) und ist L~ (v (k)) .~ 0 ]iir k - - - - 1 , . . . , r (alles /i~,r ein /estes i) , so ist F ( u (o), v(1),..., v(~)) als Form in u(~ durc, h L~(u(O)) teilbar.

Beweis . Zuniiehst ist zu bemerken, dal~ man sieh auf den Fall be- schr~nken kann, we die Form F irredazibel ist. Der allgemeine Fall liillt sich niimlieh auf diesen Fall zurtickftihren, indem man die Form F in ihre irreduziblen Bestandteile zerlegt. Denn gelten die obigen drei Bedingungen filr eine Form F, so gelten sie ftir jeden ihrer Bestand- teile, and umgekehrt. Far 1. und 2. ist dies ohne weiteres klar. Fiir 3. sieht man es so. F~ sei ein irreduzibler Faktor yon T, dessert Zer- legung in Linearfaktoren laute

g' F~ = 17 L~ (u(o)).

t----t

Bedingung 3. sei fiir F erfiillt; wit wollen zeigen, dal~ 3. anch fiir F~ erfiillt ist. Die v(~) seien also LSsungen des hnearen Gleiehungssystems

(1) L~(v (k)) = 0 (k = 1 , . . . , r)

flit ein festes i (1 ~ i ~ g'). Aus der Theorie der linearen Gleiehungen entnehmen wit, d~$ alle LSsuzgen dieses Gleiehungssystems dutch Para- meterspezialisierung aus einer allgemeinen LSsung entstehen, in welehe gewisse unbestimmte Parameter linear eingehen. Eine spezielle LSsung dieses Gleichungssys~ems ist naeh 2. d k) = ~t(~). Wit haben nun zu be- weisen, da$ F~ (u(O), va) , . . . , v(~)) dureh L~(u ~~ teilbar ist, wenn v(k) die allgemeine LSsung des erwiihnten linearen Gleichungssystems ist. Naeh Voraussetzung ist 2(~(~, v(~ . . . . . V ~)) dutch L~(u(o)) teflbar; folglieh mul~ ~enigstens ein irredn~.ibler Fal~or yon F dureh L~(u (~ eeitbar sein. Dieser Faktor sei F~." Die Teilbarkeit. bleibt erhalr wenn man die in der allgemeinen LSsung v (k) steekenden unbestimmten Parameter so spezi-

45*

696 Woi-Liang Chow und B. L. van der Waerden.

alisie~, dal~ vC~) in u Ck~ fibergeht. Also hat F~(u(~ u(~) . . . . . u c~)) mit F 1 (u(O), u0) . . . . . u (~)) einen Faktor Li (u (~ gemeinsam. Da abet F 1 und F 2 beide irreduzibel sind, so folgt F , -~ F~ (bis auf einen konstanten Faktor). A]so ist F 1 (u r v(l~, . . . , v or)) clutch L i (u ~o)) tel]bar, womit 3. itir F , be- wiesen ]st.

Jetzt sei F irreduzibel. Die g Punkte p('>, . . . , p(g) sind dann in be- zug auf K (u (1) . . . . , u(~) zueinander konjugiert. Folglieh gibt es dann eine irreduzible Mannigfaltigkeit M, die alle ~0(') als allgemeine Punkte besitzt. Wegen 2. schneidet sin allgemeiner ( n - r)-dimensionaler linearer Unter- raum S ~ _ , mit den Gleichungen

j-~-o

die Mannigfaltigkeit M in mindestens g allgemeinen Punkten. Die Be- dingung 3. besagt nun, dab S ,_~ keinen weiteren allgemeinen PunkO yon M entb/ilt. Denn wenn S,~-r einen sllgemeinen Punkt g ----- (go, g,, . . . , gn) yon M enth~lt, so gibt es wegen der algebraisehen ~quivalenz der allge- meinen Puukte einen Isomorphismus, der den KSrper K (g) in K (p(o) iiber- fiihrt. Dieser l~il~t sich zu einem Isomorphismus yon K (q, uO), . . . , uC~) mit

einem KSrper K(p(o,v(1), . . . , v ~)) fortsetzen. Die Relationen ZuJ.k)qj ~ 0, die ausssgen, dal~ der Punkt g in S~_~ liegt, bleiben beim Isomorphismus erhslten; also gilt fiir /r ~ 1, 2 , . . . , r

�9 . (~) ~(o 2, vy /~j oder L~ (v (~)) ---- 0. y~0

Daraus folgt wegen 3., dal~ F(u (~ v('), . . . , vC~)) dutch Li(u(O)) teilbar ist. Wonder man nun den obigen Isomorphismus in umgekehrter Richtung an, so folgt, daI] iv (u(% u('), . . . . u ~)) duroh ~ u J ~ q~ teilbar ist, d .h . wegen 1., dal] ~ mit einem der Punkte ~(o zus~mmenfiillt.

Da nun ein sllgemeiner (n -- ~)-dimensionaler ]inearer Unterraum nut endliehviele allgemeine Punl~e sus M ausschneidet, mug M r-dimensional sein. Dal~ F die zugeordnete Form yon M ist, ist jetzt leicht zu sehen. Denn die g Punkte ~(~),..., p~) sind wegen 2. nichts anc~eres als die g Sehnittpunkte yon M mit dem dutch u(~) . . . . . u(~) definierten allgemeinen S~-r . iv ist also eine Form in u (o~ mit Koeffizienten aus K[u<'~, . . . , u~)], die nut dureh Potenzprodukte der L~ tel!bar und als Polynom aus K[u(0), u(~ . . . . . u( r irreduzibel ist, . d . h . nseh Definition die zugeordnete Form von M.

Da~ die Bedingungen ]. und 2. fiir die zugeoxdnete Form einer Mannigfaltigkeit M such notwendig sind, fo]gt sofort aus der Definition tier zugeordneten Form. Da~ 3.. auch notwendig is~, sieht man so. Es geniigt offenbar, 3. zu beweisen fiir den Fall,. da~ vJ *~ die aIlgemei~e

Zur a lgebra i schen Geomet r i e . IX . 697

L6sung des Gleichungssystems (1) bilden. In dem Fall sind die v~ k> a]ge- braisch-unabh~ngige GrS~en. Denn man kann, wie oben schon beme~kt, aus der allgemeinen LSsung v( ~ dutch Parameterspezialisierung die speziellere LSsung u ~k> bilden, und sogar die uJ k> sind noch a]gebraisch-unabhi~n~g, weft unbestimmt. Also g]bt es einen Isomorphismus K ( v r v ~)) ---~ K(u o) . . . . , uc~)), welche~ vck) in u ck~ ~berfiihrt. Dieser Isomorphismus l~13t sich zu einem Isomorphismus K (va) . . . . , v(~), ~0c~) :~ K (uo) . . . . , uC~), q) erweitern. Der Punkt q ]ie~ auf Grund des Isomorphismus in allen Ebenen u ~) . . . . . u ~'~ und auf M; daher ist q einer der Punkte ~c~ und .F(u~o>, ~ ) , . ~c~)) en~h~lt den Faktor ~ ~o) � 9 ~.u~ . Maeh~ man nun den Iso- morphismus wieder riiekg~n~g, so s die Behauptung, dal~ F (uco), ~c~) . . . . . vc~)) dutch L~ (~o)) teilbar ist.

Jetzt werden wit zeigen, dal~ die im obigen Sa~z aufges~ell~en Be- dingungen sich dutch homogene ~lgebraische Relationen zwischen den Koeffizienten ax tier Form ausdrtickeu lassen. Der Gedankengang ist dabei Iolgender: Zun~kehs~ zeigen wit, clal~ die Bedingungen 1., 2., 3. sich dutch homogene a]gebraische Re]atioaen zwischen den a~, den ur und den Koeffizieaten pip der Linearfaktoren L~ yon F ausdriicken lassen,

- (0 sodann eliminieren wit die y~ aus diesen Bedingungen, und schliel]lich verlangen wit, dal~ die entstehendea Bedingungen identisch in den uJ ~ effiillt seien.

Um die Bedingung 1. dutch homogene algebraisehe Rela~ionen aus- zudrfieken, setzen wir an

. . . , ~ ~/ ~ ],

vergleichen die Koeffizienten der Potenzprodu~e der u~ ~ links und rechts:

und eliminieren schlielllich den Faktor ~, wodurch die Gleichungen homogen ~erden: (2) ~ ~ - ~ ~ = O.

Die Bedingung 2. hat yon selbst sohon die Gest~l~ eiaes homogenen Relationensystems:

F~" .a~ =0 ( i : 1 . . . . ,9; /~= 1 , . . . , r ) . j-----O

Die Beclingung 3. muff vorher auf eine e~was anclere Form gebracht ~erden. Die Aussage, clal] F (u~0), vo>, .. :, ~c,>) dutch d~e Linearform'Lt (u r176 ~ilbar ist, is~ gleiohbedeutend mit der anderen, da~ are Nullstellen der ~Linearform zugleioh Nullstellen yon F(~co), va) . . . . , vcv) sind, d .h . dal~ ~us /5~ (v<0)) = 0 folgt F (v r176 v r . . . . , vr ~)) : 0. Demnaoh is~ die Be-

698 Wei-Liang Chow und B. L. van der Waerden.

dingung 3 gleichwertig mit der folgenden Bedingung: Sind v(~ v ( ' , . . . , v(~ aus einem ErweiterungskSrper yon K (p(O) entnommen und ist Li (v (k)) = 0 fiir k ---- 0, 1 , . . ,, r, so ist F (r v (1~, . . . , v(~)) = 0.

Die al]gemeine LSsung des linearen Gleichungssystems

L , (v) = 27 pJ'~ v~ = o j ~ o

lautet (i) vj = sj~pt , sj~ = ~ s U.

1~.~ 0

Also ist die Bedingung 3 auch gleiehbedeutend mit der folgenden Forde-

rung: Sind s~ ) ~ = - - o t ~ ( k = 0 . . . . , r ; j , 1----0 . . . . ,n ) lauter neue Unbe-

stimmte und setzt man v~ k) --s(~) (o �9 ----- 2, ~tp~ ( k - - 0 , 1 . . . . . r), so wird (4) F (v(0), v(1), . . . , v(')) = 0.

(k) (k) (.3 Setzt man nun vj ---- Z sj~ Pz in diese Gleichtmg wirklich ein und ver- gleicht die Koeffizienten der neuen Unbestimmten auf beiden Seiten, so erh~It man ein System yon homogeneu Bedingungsgleichungen

(~) z~ Ca. vJ,~) = o.

Demnaeh sind die Bedingungen 1., 2., 3. mit den Gleiehungen (2), (3), (5) gleichbedeutend. Betraehtet man diese nun ale Gleichungen zur Be- stimmung der pJo und stellt die Bedingungen flit ihre L6sbarkeit auf, so er]~iilt man ein System yon homogenen Gleichungen in a~, u (~) . . . . , u(r). Orduet man schliel~lich diese nach Potenzprodukten der Unbestimmten u~ k) und setzt die Koeffizienten der einzelnen Potenzprodukte Null, so erhMt man ein System yon homogenen Bedingungsgleiehungen ftir die a~ allein.

Damit ist bewiesen:

S a t z 2: Notwendig und hinreichend da/iir, da~ eine Form F vom Grade g aus K [u (~ u (1), . . . , u (r)] die zugeordnete _~orm einer Mannig]altig- keit M yore Grade g und dec Dimension r i s t , ist ein System yon homo- genen Bedingungsgleichungen flit die Koe[]izienten dec Form F.

In dem einfaehsten Spezialfall, wo die Mannigfaltigkeit M eine ge- fade Linie des Raumes S . ist, lautet d i e Form F

F " ' "-' (o) (x)

Ihre Koeffizienten sind die Pliiekersehen Koordinaten p~ der Geraden M. Die Umformung der Bedingtmgen 1., 2., 3. in der oben angegebenen Weise ergib~ eirt System yon kubischen Relatioaen z~isehen den p~j., welehe nattixlieh den bekamaten finearen und quadratischen Relationen

~iquivalent sein miissen.

Zur algebraischen Oeometrie. IX. 699

Wie man aus den Gleichungen einer Mannigfaltigkeit die zugeordnete Form erh~ilt, n~imlich d~ch Bildung des Resultantensystems aus diesen Gleichungen und r -~ 1 allgemeinen linearen Gleichungen, haben wir anfangs schon erSrtert. Wit untersuchen nun, wie man umgekehrt aus der zu- geordneten Form die Gleichungen der Mannigfaltigkei~ erhalten kann.

S a t z 3: Die Gleichungen f~, (y) ~- 0 einer r-dimensionalen Mannig- /altigkeit M werden erhalten, indem man in der zugeordneten Form F (u (~ .... , u(r))

/iir die ul k) die Gr6flen k ~(k)~

j ~ o

einsetzt und die erhaltene Form G (y,s) identisch in den sjz gleich Null setzt. B ew eis: Es geniigt offenbar, den Fall einer irreduziblen Mannig-

faltigkeit M zu betrachten. DaB die Gleichung G(y, s)----0 flit einen allgemeinen Punkt y ---- p(o der Mannigfaltigkeit tatsiichlich erfiillt ist, das besagt gerade die in (4) umgeformte Bedingung 3. Ist sie abet fiir eiaen allgemeinen Punkt effiillt, so auch fiir jeden speziellen Punkt y.

Nun sei umgekehrt G (y, s ) ~ O, d. h. F (v(~ v(1), . . . . v (~)) ~-- 0 ftir

vl ~)~- Z YjS(i ). Wir lrSnnen die s~ ) beliebig spezialisieren, also Iiir v(~) irgend ( rd-1)Hyperebenen durch den Punkt y wi~hlen. Wit kSnnen diese r-4-1 Hyperebenen so wi~hlen, dal~ sie mit der r-dimensionalen hiannigfaltigkeit M keinen Punkt aul}er y gemeinsam haben. Denn: man kann die erste Ebene v(0) so w~hlen, dab die einen beliebigen Punkt yon M nicht enthiilt, also mit M nut einen (r -- 1)-dimensionalen Durch- schnitt M' hat; sodann kann man die zweite Hyperebene v(~) so wiihlen, dal~ sie je einen beliebigen Punkt in jedem irreduziblen Bestandteil von M' nich$ enth~ilt, also mit M' nut einen ( r - 2)-dimensionalen Durchschnitt hat, usw. Nun ist F (v(0), v(~), . . . , v (~)) -= 0, und F (v(O), v(~), . . . , v(~)) ist ein Teller des Resultantensystems der Gleichungen von M und der Glei- chungen der Hyperebenen v(~ sty); also ist dieses Resultantensystem Null. Es gibt somit einen gemeinsamen Punkt yon M und den ttyper- ebenen v(o),..., v(~), welcher auf Grund der Wahl dieser Hyperebenen nut der Punl~ y sein kann. Folglich ist y ein Punkt yon M.

w

Algebraische Systeme yon Mannigfaltigkeiten.

Die zugeordnete Form einer ~Iannigfaltigkeit M wird dutch die Gesamtheit ihrer Koeffizienten a~ gegeben. Faint man diese als Koordinaten eines Punktes a in einem Bildraum !8 auf, so entspricht jeder Mannig- fal~igkeit M genau ein Bildplml~t a und umgekehrt. Unter einem alge-

700 Wei-Liang Chow und B. L. van der Waerden.

braischen System yon Mannig/altigkeiten M verstehen wit nun eine solche Menge yon Mannigfaltigkeiten M, deren Bildmenge in !B eine algebraische Mannigfaltigkeit ist.

Nach Satz 2 bilden alle Mannigfaltigkeiten M (yon gegebener Dimen- sion und gegebenem Grad) ein algebraisehes System. In derselben Weise kann man beweisen, dai] alle Mannigfaltigkeiten M, die auf einer ge- gebenen Mannigfaltigkeit M o in Sn liegen, ein algebraisches System bilden. Man braueht zu dem Zweek nut in dem Beweis yon Satz 2 zu den Gleichungen (2), (3), (5) diejenigen Gleichungen hinzuzuffigen, die aus- sagen, da$ die Punkte Tr T(g ) s~mtlich auf M o liegen. Sind die Koordinaten von M o bekannt, so kann man diese Gleiehungen fiir T r . . . . , p(g) nach Satz 3 ohne weiteres aufstellen. Eliminiert man dann wie im Beweis yon Satz 2 aus dem gesamten Gleichungssystem die Koordinaten yon T r . . . , T@, so erh~lt man ein System von algebra]schen Relationen zwischen den Koordinaten yon M und denen yon M0, welche ausdriicken, dab M auf M o liegt.

Ist ~ ein aIgebraisehes System yon Mannigfa|tigkeiten M in S~, so gibt es stets eine algebraisehe Korrespondenz zwischen einer algebraischen l~Iannigfal~igl~eit ~ und dem Raum S,, in welcher j edem Punkte x yon alIe P n n ~ e einer Mannigfaltig]reit M(x} yon S entsprechen, derart, da~, wenn x die Mannigfaltigkeit ~ durchl~uft, M (x) das ganze System durchl~iuft. Man kann fiir ~ n~mlich die Bildmannigfaltig]reit des Systems im Bi|dmum ~ w~hlen; der Punkt x ist dann der Bildpunkt a yon M und die Gleichungen der Korrespondenz sind diejenigen Gleichungen, welche naeh Satz 3 einen Punkt y yon M mit den Koordinaten a~ verblnden.

Eliminiert man die Koordinaten a~ aus diesen Gleic~aungen, so fo|gt, da~ jedes algebraische System yon Mannigfaltigkeiten M eine Tr~ger- mannig~altigkeit ~ besRzt, welche yon den Mannig~a]tigkeiten M ganz iiberdeekt wird. % ist die Bildmannigfaltigkei~ yon ~ in der obigea Korresl0ondenz.

Wit fragen nan, inwiewei~ aueh umgekehrt jede Korrespondenz zwisehen zwei Mannigfaltigkeiten ~ und 2: ein algebraisehes System yon Mannigfaltigkeiten ~ auf der Tr~germannigfaltigkeit 2: definiert, derart, dal~ den einzelnen Punkten yon ~ in der Korrespondenz gerade die einzelnen Mannigfaltigkeiten M des Systems ent sErechen. Wit k5nnen uns dabei auf ]rrec~uzible Korrespondenzen ~ b&chrgnken. ~ und ~: sind dana audh irreduzibel. Nach tier allgemeinen Theorie de~ Korrespondenzen entsprich~ jedenfalls jedem Punkt z yon 2 eine algebraische Mannig- faltigkeit 2:~ auf ~. Diese, Mannigfaltigkeiten ~:~ bilden abet keineswegs immer ein algebraisches System, denn es kSnnen unter ihnea bel~ann~lieh

Zur algebraischen Geometric. IX. 701

]~annigfaltigkeiteu yon verschiedenen Dimensionen vorkommen (vgl. das Beispiel am Schlul~). Abet aueh wenn alle %= dieselbe Dimension haben, bilden sie noch nieht immer ein algebraisches System, denn es kann noch vorkommen, dab einzelne ~:~ einen hSheren Grad haben a]s andere. Yerbindet man z. B. alle Punkte einer ebenen Kurve dritter Ordnung C 3, die einen Knotenpunkt 0 besitzt, mit dem Punkt O, so erh~ilt man eine Korrespondenz, in welcher einem allgemeinen Punkt yon C 3 eine Gerade, dem Knotenpunkt O aber zwei Geraden (die Doppelpunktstangenten) entspreehen. Man mul~ also einsehr~nkende Voraussetzungen machen, damit die %~ ein algebraisches System bilden. Und zwar gilt der fo|gende Satz:

S a t z 4: Wen~ jedem Pu~k$ x yon 9. in eine~ irreduziblen Korre- spondenz R eine r-dimensionaIe Mannigfaltigkeit ~= yon Pu~kten au/ ~ts19richt u,~d wenn o keine rnehr]achen Punkte enthgtt, so bilden die BiId- ~nannigfaltigkeiten 9:x ein a~ebraisches System, vorausgesetzt, daft man ~re irreduziblen Bestandteile jeweiIs mit den in ZAG. VI, w 4 eben ]//r diesen Fall de[inierten Multlplizit~ten z~hlt.

Dabei wird der GrundkSrper K, wie iibrigens auch in ZAG. VI, als volllcommen vorausgesetzt.

B e w e i s : Wit gehen yon einem allgemeinen Punkt ~ yon ~ und der zugeordneten Mannigfaltigkeit ~:~ aus. Um ihre zugeordnete Form zu er- halten, hat man die Sehnittpunkte ?(~) . . . . , ID (g) von ~ mit r allgemeinen Hyperebenen u(~), . . . , u (~) zu bestimmen und das Produkt

(1) F(uc0~) = e H L,(u~0~) = e I I ( X ~ '~

zu bilden. Die Beziehungen zwischen den a~, den u (k) und p(~) we~den naeh w 1, Gleichung (2), dutch ein System yon homogenen Relationen

(2) H (u(1), . . . , u (T) , (~., ~(1), . . . . ~(g)) = 0

~usgedr~ickt,,welche der Gleichung (1) ~quivalent sind.

Geht man nun dutch ~elationstreue Spezialisierung yon dem all- gemeinen Punkt ~ zu einem speziellen Punlr~ ~ und yon ~:~ zu 2:| fiber, so, werden die Vielfaehheiten der irreduziblen Bes~andteile yon 2:~ nach ZAG. VI, w 4 dadurch gefunden, da~ man 2:| wieder mit den allgemeinen Hyperebenen u(~), . . . . u(~ schneide~ und zusieht, wie die ~(~ relations~zeu ia.gewisse Schnittpunkte q(~ iibergehen. Die Yielfachheit eines Bestand- ~ils yon ~ ist dann die Zahl, die angibt, wie oft ein Schni~tpaukt �9 ~eses Bestandteils mit den Hyperebenen under den Punkten q(~)vor- kommt. E~weitert man nun diese relationstreue Spezialisierung dutch ~in~, dazu passende Spezialisierung a~ -+ a~,, so bleiben bei dieser Speziali-

702 Wei-Liang Chow und B. L. van der Waerden.

sierung die Relationen (2), also auch die Zerlegung (1) erhalten. Die Vielfachheiten der Bestandtei]e yon ~ sind also gleich den Vielfachheiten, mit denen ihre zugeordneten Formen in tier Zerlegung der zugeordneten Form iv' (u(0)) mit Koeffizienten a~ vorkommen. Das heiBt abet, die spezialisierten a~ sind genau die Koordinaten der spezialisierten Mannig- faltigkeit ~ .

Nun wird abet durch das al]gemeine Punktepaar (~,a)eine irre- duzible Korrespondenz zwisc]~en ~ uncl dem Bildraum !B erzeugk Die einzelnen Punktepaare (x, a') dieser Korrespondenz sind genau diejenigen, we]che durch relationstreue Spezialisierung aus dem al]gemeJnen Punkte- paar ($,a) entstehen. Die Punkte a', die in dieser Korrespondenz vor- kommen, bilden eine algebra]sehe Mannigfaltigkeit 9j im Bildraum !~. Also bilden die Mannigfaltigkeiten 2:~ ein al~ebraisches System in unserem Sinne.

L~l~t man die Voraussetzungeh~ dab ~ keine mehrfachen Punkte enth~lt and da~ jedem einzelnen Punkte x yon ~ eine genau r-dimen- sionale 1VIannigfaltigkeit 2:= entsprieht, fallen, so b]eibt nut der letzte Tell des Beweises in Kraft. Es gibt demnach auch dann eine irre- duzible Korrespondenz, deren allgemeines Punktepaar (~, a) ist and in welcher jedem speziellen Punkt $ yon ~ eine oder mehrere, eventuell auch unendlichviele Punkte a' entspreehen. Zu jedem solc]~en Punkt a' gehSrt eine Mannigfaltigl~eit M (a') yon der Dimension ~, und wit kSnnen zeigen, da~ die Vereinigungsmenge dieser Mannigfaltigkeiten M (a') genau die Manni~altigkeit ~ Jst. Ist n~mlich y ein Punk~ yon ~:~, so ist (x, y) eine relationstreue Spezialisierung des allgemeiaen Punktepaares (~, ~) der Ko~respondenz R u n d diese l~il~t sich erg~inzen zu einer relations- treuen Spezialisierung (~, ~, a) -> (x, y, a'), wobei a' der Bfldmannigfaltigkeit angehSr~ und wobei insbesondere diejenigen algebraisehen Relationen erhalten bleiben, die ausdriicken, dal~ y auf M (a) liegt. Also liegt y auf der Mannigfaltigkeit M(a'). Umgekehrt liegen alle Punkte yon M (a') aueh auf ~:=, denn diejenigen algebraischen Relationen zwischen ~ und a, welche ausdrticken, dal] M (a) auf %~ liegt, bleiben bei der Spezialisierung

-~ x, a ~ a' erhalten. Damit ist bewiesen: S a t z 5. Wenn in einer irreduziblen KorresTondenz ~ zwisvhen

and ~ einem allgemeinen Pun~t ~ yon ~ eine r-di~nensionale Mannig~a~tigkeit M(a) au~ .W, en~sTrivh~ , de~en Bil&punkt a sei, so de]imier$ gas allgemeine PunkteTaar (~,a) eine irreduzibte Ko~'re~ondenz zwischen ~ and einem B'ildraum ~I in ~, welohe jedem spe$iellen Punkt ~ einen oder mehrere Punkte a' zuordnet, zu denen Mannig]altigkeiten M ( d ) geh6ren, desert Vereini~ungsmenge gerade die4"enige.Mannigfalt~glce~t ~ ist, die dem Punks o~

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in der Korrespondenz ~ entspricht. Die Mannig]altigkeiten M(a') bilden ein irreduzibles algebraisches System 6.

Wenn dutch irgendeine Vorschrift de.n allge.neinen Punkt ~ einer Mannigfaltigkeit ~ ein Punk% ~ *nit Koordinaten aus K(~) zugeordnet wird, und wenn zt der allge.neine Punk% einer Mannigfaltigkeit ~ ist, so werden wir des geschmeidigen Ausdrucks wegen folgende Ausdrucksweise benutzen: ,,Wenn ~ die ganze Mannig/altigkeit ~ durchlau]t, so durchldufl ~7 die Bildmannig/altigkeit 9~". Gemeint ist damit der fo]gende priizise Sachverhalt: (~,~2) ist das allgemeine Punlaepaar einer irreduziblen Korrespondenz zwischen ~ und 9~, und diese Korrespondenz ordnet jede.n Punkt yon ~ mindestens einen Punkt yon 9~ und umgekehrt jedem Punkt yon 9~ mindestens einen Punkt yon ~ zu.

Allgemeiner: Wenn durch irgendeine Vorschrift de.n allgemeinen Ptmkt ~ einer Mannigfaltigkeit ~ eine r-di.nensionale Mannigfaltigkeit M~ zugeordnet ist, deren Gleichungen dem KSrper K (~) angehSren, und wenn Mf das a]lgemeine Element eines aIgebraischen Syste.ns ~ yon Mannig- faltigkeiten ist, so werden wit folgende Ausdrucksweise benutzen: ,,Wenn die ganze Mannig/altigkeit f! durchl~iu[t, so durchl~iu]t M$ das System 6". Ist ~ die Tr~igermannigfa]tigkeit von 6, so werden wit auch sagen: ,,M~ durchlau/t ~". Mit tier ersten Aussage ist gemeint, dal~ es eine irreduzible Korrespondenz zwischen ~ und ~ gibt, welehe dem allgemeinen Punkt $ die Mannigfaltigkeit M~ und jede.n spezie|len Punkt von mindestens eine Mannigfa]tigkeit M des Systems ~ zuordnet. Ordnet man welter ]eder Mannigfaltigkeit M alle Punkte yon M zu, so erh~lt man eine Korrespondenz zwisehen ~ und der Tr~igermannigfaltigkeit ~. Die beiden Korrespondenzen werden, wenn a~ die Koordinaten einer Mannigfaltigkeit M yon 6, x~ die Koordinaten eines Punktes yon und y~ die eines Punktes yon ~: sind, dutch Gleichungen

/ ~ ( x , a ) = 0 bzw. g , ( a , y ) = 0

gegeben. Eliminiert man die a~ aus diesen Gleichungen, so erh~lt man eine Korrespondenz R zwischea 11 und ~:, welehe einem Punkte z alle Punkte y aller zugeordneten i~Iannigfaltigkeiten des Syste.ns ~ zuordnet. Diese Korrespondenz ~ steht so,nit zum System ~ genau in der dutch Satz 5 dargelegten Beziehung.

Das folgende Beispiel m6ge die eben eingeftihrte Sprechweise sowie den Satz 5 erl~iutern. Gegeben seien im Raum S.~ zwei windsehiele Geraden g, h und eine Ebene 2, welche g und h in G und H schneider. Dureh einen allgemeinen Punkt ~ yon ~ geht eine und nut eine Gerade MG welche g und h schneider. Durehl~iuft ~ nun die ganze Ebene, so durchl~uft M& die ganze Geradenkongruenz *nit den Leit-

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strahlen g, h. Das heiBt, M~ ist das allgemeine Element dieser Kongruenz. Jedem Punkte x von ~ entspricht eine einzige Gerade der Kongruenz mit Ausnahme tier Punkte G und H, denen je ein ganzes Geraden- biischel entspricht. Ordnet man nun jedem Punier x von ~ alle Punkte y zu, die mit x zusammen auf irgend einer g und h treffenden Geraden liegen, so erh~ilt maa eine Korrespondenz R zwischen ~ und S s, in welcher die einem willkiirlichen Punkt z yon ~ entsprechenden Punkte y im allgemeinen eine Gerade bilden. Die dem Punkte G oder H entsprechenden Punkte y bilden abet keine Gerade, sondern je eine Ebene, welche die Vereinigungsmenge der durch G bzw. H gehenden Kongruenzstrahlen ist, wie es nach Sa~z 5 auch sein mu~.

(Eingegangen am 24. 5. 1936.)