Zur Affilomatik der Verim pfunpberdche Von P. JORDAN in Hamburg

Die Theorie der Gruppen, Ringe, Verb~nde, Idealbereiche, Halb- gruppen, Alternativringe, Gruppenkeime, Fastringe usw. bietet eine Reihe allgemeiner, grunds~tzlicber Ziige dar, deren Analyse - - ohne Spezialisierung - - flit beliebige ,,Verkniipfungsbereiche" durehgefiihrt werden kann. Man k0nnte zwar denken, dab eine derart verallgemeinerte Theorie einen zu abstrakten Charakter gewinnen wiirden, um gehaltvoll und inhaltreich zu sein. Ich glaube abet, dab die im Nachfolgenden erl~uterten Gesichtspunkte sich als fruchtbar erweisen werden auch in dem Sinne, dab sie bekannte Tatsachen deutlicher beleuchten, be- kannte Beweisfiihrungen zu vereinfachen (oder durch angemessenere zu ersetzen) erlauben und heuristiscbe Anregungen fiir die Aufdeckung neuer Zusammenh~nge bieten: Der Eindruck, dab dies der Fall sei, stiitzt sich atff die Ergebnisse mehrj~hriger Besch~ftigung (w~hrend des Kriegos), in welcher ich einige Fragen der abstmkten Algebra in diesem Sinne n~her analysiert babe. Im Folgenden sollen jedocb im Wesentlichen nut die grunds~tzlichen ~berlegungen als solche vor- gefiihrt werden; die dazu erw~hnten Beispiele beschr~nken sich auf einfachste F~lle.

w 1. Als Verkn~pf~ngsbereich bezeiehnen wir eine Menge yon Ek- mengen a, b, c . . . . . zwischen denen m~lestens eine ,,Ver]mlipfung" definiert ist, d.h. eine Funldion q~ (a, b), welche jedem Paare a, b yon Elementen (a~ahms los ) ein dritte~ Element

(1) ~ (a, b) = c

zuordnet. Es kann sich auch um unendlich vide Verkniipfungen handeln (etwa be/Gruppen mit Operatoren). Es empfiehlt sich, aueh die leere Menge yon Elementen als einen Verkniipfungsbereich zu bezeichnen. Hat die Verkniipfung ~ (a, b) die Eigenschaft

(2) q~ (a, b) = q~ (a, c)

fiir beliebige Elemente a, b, c des Bereiches ~, so nennen wir ~ (a, b) ~- q~ (a) eine Z~uordnung. Hiiufig gebrauchen wir statt ~ (a, b) andere Zeichen, wie a - - b, ab, a ~ b, [a, b] usw.

Die a~nahmelose Durchf~thrbarkeit aller betraehteten Verkniipfungen muB gefordert werden, damit iiberhaupt allgemeine S/~tze ausgesprochen werden k6nnen. Man dad deshalb z.B. die K~rper nicht als Verkniip- fungsbereiehe mit Subtraktion und Division (flit Divisoren ~= 0) deli-

Zur Axiomatik der Verkn~pfungsbereiche 55

nieren; wir kommen darauf zurfick. ~ r u ~ n kann man auffassen z.B. als Bereiche mit einer einzigen Verknfipfung ~ (A, B) = A B -1, woraus sich A B ---- ~ (A, ~ (~ (B, B), B)) bilden l~Bt; oder als Bereiche mit einer Verkniipfung P (A, B) ---- A B und einer Zuordnung ~ (A) -~ A -1.

Als Verb~nde bezeichnen wir in bekannter Weise Bereiche mit zwei kommutaf iven und assoziativen Verkniipfungen, die dem Axiom

(3) (a ~ b) ~ a -~ (a ~ b) ~ a ~- a

geniigen; genauer als diatributive Verb~nde solche, in denen ferner

(4) a ~ (b ~ c) = (a ~ b) ~ (a ~ c)

ist, woraus sich aueh die dazu dua/e Beziehung (mit Vertauschung yon und ~) als Folgerung ergibt.

Als Unterbereich 1I eines Verkniipfungsbereiehes !~ bezeichnen wir eine Teilmenge der Elemente yon fi9 mit der Eigenschaft, da0 fiir jede der zur Definition yon fi9 geh0renden Verkniipfungen ~ (a, b) ---- c stets c in 11 ist, falls a und b zu 1I geh5ren. Der Durchschnitt einer Menge yon Unterbereichen yon !B ist also wieder ein Unterbereieh; bezeichnen wir mi t 111 f~ 112 den Durchschnitt der Unterbereiche 111,112, und mit 111 ~ 112 den yon 111,112 erzeugten Unterbereich, d.h. den Durchschnit t aller 111 112 umfassenden Unterbereiche, so bilden die Unterbereiche eines Verlcnt~1~fungsbereiches ~ elne~ Verband in bezug au f ~ , ~ . Ins- besondere ist ein Unterbereich 11' eines Unterbereiches 11 yon !~ auch Unterbereich yon !B.

Wir sprechen yon einer Sippeneinteilung der Elemente a, b, c . . . . yon ~ , und nennen a versippt m i t a ~ ~ a, wenn aus a * - a und b' -= b stets

(5) q~ (a', b') -~ q~ (a, b)

folgt, und zwar fiir jede zur Definition yon ~ geht)rende Verkniipfung (a, b). Jeder Bereich D ges ta t te t trivialerweise 1. eine Zusammenfassung aller Elemente in nu t eine Sippe; 2. eine Gleiehsetzung jedes einzelnen Elementes mi t je einer Sippe.

Ein Bereieh ~, der sonst keine Sippeneinteilung gestat tet , soll e i n f a c h genannt werden.

Die verschiedenen Sippen eines Bereiches !l~ - - in bezug auf eine best immte Sippeneinteilung - - bilden offenbar selber einen Ver- kniipfungsbereich (Verallgemeinerung des Begriffs der Faktorgrupp~ oder des Restklassenringes). Wir nennen ihn eine D a r s t e l l u n g des Verkniipfungsbereiehes ~. Umgekehr t ergibt jede dutch Isomorphie definierte D a r s t e l l u n g yon !8 aueh eine eindeutig best immte Sippen- einteilung in ~.

Aus einer Menge yon D a r s t e l l u n g e n ~l ,~)z, ~s . . . . eines Ver- kniipfungsbereiehes !B kann man einen Durchschnitt bilden, indem man

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ftir jedes Element a yon ~ die Durchschnitte der entsprechenden Sippen bildet. Bezeichnen wir den Durchschnitt yon ~1 und ~z mit ~1 ~ ~2 und enteprechend mit ~1 ~ ~ den Durchschnitt aller D a r s t e l l u n g e n ~ mi t ~1 ~ ~ ' ~ 1 und ~2 ~ ~ ~ ~2, so bildendie D a r s t e l l ~ g e ~ eines Verkn~tpf~ngsbereiches ~ einen Verband in bezug auf ~, ~. Ins- besondere ist eine D a r s t e l l u n g einer D a r s t e l l u n g von ~ auch D a r s t e l l u n g yon ~.

Wit kc~nnen also aus einem Verkntipfungsbereich ~ andere, ,,ab- gdeitete" Bereiche bilden, indem wir yon ~ entweder D a r s t e l l u n g e n bilden oder Unterbereiche. Werden abet aus ~ zun~tchst alle Unter- bereiche und von diesen alle D a r s t e l l u n g e n abgeleitet, so ents teht eine Menge / ' von Verkntipfungsbereichen, welche durch nochmalige weitere Aussonderung yon Unterbereichen nicht mehr erweitert werden kann: Zugleich mit irgendeinem Bereich ~ enth~lt 11 ebenso alle Unter- bereiche, wie alle D a r s t e l l u n g e n yon ~. (Spttter werden wir dies so ausdrticken kC~nnen, dab wit sagen: / ' ist eine G a t t u n g yon Ver- kntipfungsbereichen.)

Die Begrtindung hierftir ergibt sich aus folgender Bemerkung: Is t ~ ' ~ ~ ein Unterbereich yon ~, und ~ eine D a r s t e l l u n g yon ~, so wird durch einen gewissen Unterbereich ~ <~ ~ yon ~ eine Da r - s t e l l u n g yon ~ gegeben: ~ ' entht~lt diejenigen Elemente von ~, d.h. Eippen yon ~, welche Elemente yon ~ ' enthalten. Andererseits folgt aus dem Vorhandensein eines echten Unterbereiches ~P ~ ~ in

das Vorhandensei~ eines ech~en Unterbereiches ~ ~ ~, enthai tend die Elemente derjenigen Sippen von ~, welche Elemente yon ~ ' sind.

Aus dem Gesagten folgt:

,~atz 1. I~t ~ elne D ~ r ~ e l l ~ n ~ eine~ Verkn~pf~n~bereiche~ ~, ~o i~t der Verband der Unterbereiche yon f~ eine Dars te l lun~ de~ Verbandes der Unterbereiche yon ~.

Is t ~ D a r s t e l l u n g yon ~ , und gleichzeitig ~ D a r s t e l l u n g yon ~1, so nennen wir ~ , ~ form~leich. Die iiblichen Bezeichnungen Iso- morphie und Homomorphie haben ja den bekannten Nachtei], yon verschiedenen Verf~ssern in permutierter Bedeutung angew~ndt zu werden.

w 2. Ftir das Sp~tere mtissen einige einfache Punkte scharf prt~zisiert werden. Wir entnehmen aus ~ eine woh]geordnete Elementenmenge ~) ~J~ ~ {a, b, c, ... } und bilden A u s s a g e n tiber ~ .

Die einfachste Form einer A u s s a g e en~s~eht so, dab wir aus endlich vielen Elementen a, b . . . . . z yon ~)~ eine Funktio~ �9 (a, b . . . . . z) bilden

~) Soweit unsere ~ber]egungen Grundlagenfragen der Logik und Mengenlehre bertihren, sollen diese stets im ,,naivcn" Sinne behandelt werden.

Zur Axlomatik der Verkniipfungsbereiche 57

dutch Anwendung yon Verknfipfungen ~, ~, ~ . . . . in ,~; also z.B.

(6) ~ (a, b . . . . . z) ~-- ~ (~ (a, b), ~ (b, ~ (c, c))) ,

und dann die ~bereinstimmung dieses Elementes �9 mit einem eben- falls aus a, b, . . . . z erzeugten anderen Element ~ behaupten. Also beispielsweise r (a, b) ---- r (b, a) oder r (a, a) -~ ~ (b, b), oder die Distributivit~t r (a, ~ (b, c)) = ~ (r (a, b), ~ (a, c)).

Endlich oder unendlich viele solche A u s s a g e n fiber ~ konnen durch UND kommuta t iv und assoziativ verknfipft werden. AuBerdem gestatten wir ihre Verknfipfung durch ODER : Mindestens eine der dutch ODER verknfipften A u s s a g e n soll zutreffen. In bekannter Weise bilden die so entstebenden m0glicheri A u s s a g e n fiber ~J~ einen distributiven Verband. Wit nennen ihn den Verband der G r u n d a u s s a g e n fiber .~.

Wir werden im Nachstehenden auBerdem fiber ~ A u s s a g e n solcher Gestalt betraehten, dutch welche festgestellt wird: WENN die Grund- aussage 1I 1 fiber .~X zutrifft, DANN trifft aueh die Grundaussage 112 zu. Auch solehe , , F o l g e n - A u s s a g e n " fiber ~ sollen dutch UND und ODER verknfipft werden; sie bilden dann ebenfalls einen distributiven Verband.

Zur Pr~izisierung der letzteren Behauptung und der analogen obigen Behauptung fiber die Grundaussagen wollen wir uns klar machen: 1. Trivialer Weise ents teht ein distributiver Verband !8, wenn wit die Gesamtheit der nach dem angegebenen Schema entstehenden Grund- aussagen bzw. Folgenaussagen aufschreiben. 2. Diese A u s s a g e n sind aber teilweise logisch gleichbedeutend; z.B. die Aussage:

I ~(a,a) : ~(b,b)---* r : r a)

(7) UND ~(a, a) ~- ~(b, b) - -~ ~(a, a) --=- ~(b, b)

ist logisch gleichbedeutend mit der A u s s a g e

(8) ~ (a, a) ----- r (b, b) -> ~ (a, b) = r (b, a) U N I ) ~ (a, a) = ~ ( b , b ) .

Ferner ist im Gebiet der Grundaussagen beispielsweise

(9) ~(a,b)---- ~ (b ,a ) UND a = b

gleichwertig mit der A u s s a g e

(10) a = b.

Man kann nun aber im bezeichneten Verbande $ e i n e Sippenein- teilung durehffihren, indem man die logisch gleichbedeutenden Aus - s a g e n je in eine Sippe zusammenfgBt. Dann ents teht eine D a r s t e l l u n g des Verbandes $, und die D a r s t e l l u n g ist ihrerseits wieder ein distributiver Verband.

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Also bilden auch die nur nach ihrem logischen Inhal t , n ich t nach ihrer Formulierungsweise unterschiedenen Grundaussagen fiber EP~ einen dis t r ibut iven Verband; und ebenso die Folgenaussagen fiber ~fft.

Endl ich werden wir auch L o s b a r k e i t s - A u s s a g e n betrachten, die allgemein so beschrieben werden konnen: Wir be t rachten neben der wohlgeordneten Elementenmenge 9~ ----- { a, b, c . . . . } zwei wohlgeordnete Mengen Z ---- { x, y, z . . . . } und M ~-- { a, fl, 7 . . . . } yon Ze i chen x, y , z . . . .

und a, fl, r , . . . deren Einsetzung in Funkt ionszeichen �9 (a, b, . . .) anstelle yon E lementen zugelassen wird. Dann sei ein G r u n d - A u s s a g e a fiber die Vereinigungsmenge ~ ~ Z ~ M ~-- { a, b, c . . . . ; x, y, z . . . . ; a, fl, y . . . . } vorgelegt. Die L 0 s b a r k e i t s - A u s s a g e bes teht in der Behauptung, dab es in ~ (also n icht notwendigerweise in ?~ selbst) eine E l e m e n t e n m e n g e x, y , z . . . . gibt, ffir welche die Grundaussage a zutrifft, wenn ffir a, fl, r ..- beliebige Elemente yon ~ eingesetzt werden. Diese LOsbarkeitsaussagen fiber ?~ (und ~) bilden einen d is t r ibut iven Verband.

Man beachte, dal3 in diesen Aufstel lungen keine V e r n e i n u n g (keine Ungleichung) mi t be t rach te t ist. Aussagen mi t Verneinungen sind n~mlich n icht geeignet fiir die hier beabsichtigte Systematisierung, die trotz ihres abs t rak ten Charakters auf ganz bes t immte logische Verh~iltnisse hinzielt.

Grundaussagen sind offenbar Sonderf~lle sowohl yon Folgenaussagen als auch yon L6sbarkeitsaus~agen; sie k6nnen etwa als Folgenaussagen mi t der Voraussetzung a = a oder als L6sbarkeitsaussagen ohne ge- suchte Elemente x, y, z , . . . und ohne variable Elemente a, fl, y . . . . ausgesprochen werden.

w 3. Unsere Absieht ist nunmehr die Kennzeichnung gewisser Typen yon Axiomen, welehe bes t immte Klassen von Verkniipfungsbereichen abgrenzen. Wir fassen diese Typen sehr allgemein, so da~ sie viele tier in der abs t rak ten Algebra untersuchten Begriffsbest immungen in sich fassen; jedoeh soil es sich um ~eine Hervorhebung ganz bes t immter Verhgltnisse handeln. Z.B. geh6rt nich t zu den hier zu be t rach tenden Klassen die Klasse derjenigen Ringe, welehe einen euklidischen Algo- r i thmus besitzen; oder derjenigen, welche eine his auf Einhei ten ein- deutige Pr imfaktorzer legung zulassen. Diese Kennzeichen gewisser Ringe sind trotz ihrer Wieht igkei t bekanntermaBen wenig geeignet zu umfassender Veral lgemeinerung und Systematisierung.

Wir definieren drei Formen yon Axiomen.

I. G a t t u n g e n . Ein G a t t u n g s - A x i o m ffir den Bereich ~ ha t folgende Gestal t : Es werde aus ~ eine wohlgeordnete Menge 9Yt = {a, b, c . . . . } yon Elementen ausgewRhlt, wobei auch beliebig of t das

Zur Axiomatik tier Verknfipfungsbereiche 59

gleiche Element auf t re ten daft . Es werde sodann eine Gr u n d a u s s a g e a fiber ~ ausgesprochen. Der Inhal t des Az ioz~ ist dan5 die Behauptung, dab a immer zutrifft, wenn die Menge ~ irge~wie aus ~ ausgew~hlt wird. Die Menge aller Bereiche ~, d i e einem best immten G a t t u n g s - Axiom geniigen, nennen wir eine G a t t u ng yon Verknfipfungsbereichen.

Der Durc~chnitt einer Menge yon G a t t u n g e n ist wieder eine Gat tung: Sind die G a t t u n g e n P1, F i gekennzeichnet dutch die Axiome ~[1, ~z, so ist der Durchschni t t Fa ~ Ps gekennzeichnet dutch das Axiom 21 U N D ~2. Entsprechend ist die engs te / '1 und /'2 um- fassende G a t t u n g / ' 1 ~ F~ gekennzeichnet durch das Axiom ~ O D E R ~2. Daher gilt

Satz 2. Die Unter-Oattungen einer Gat tung bilden einen distribu- tiven Verband.

Man beachte, dab das Problem der Widerspruchsfreiheit yon Axiomen hier nicht auf t r i t t ; jedes G a t t u n g s - A x i o m wird erfiillt dutch den nur aus einem einzigen Element 0 bestehenden Bereich ~ -- (0), welcher (zusammen mit dem leeren Bere i ch )du rch das Axiom a = b zu kena- zeichnen ist.

I I . Arten. Die NormMform eines F o l g e n - A x i o m s oder Art- Axioms ist die gleiche, wie bei einem G a t t u n g s - A x i o m , abgesehen yon der Verallgemeinerung, dab s t a t t einer Grundauss&ge a eine Folgen- aussage zugelAssen ist. Beispiele fiir Ar t e n yon Verkniipfungsbereichen (definiert dutch ein A r t - A x i o m ) sind etw~ folgende:

1. die formal-reelle~ Ringe mit der Eigenschaft, daft aus S = a t + a s W ... + a~ 0 auch al = a~ . . . . . a~ = 0 folgt.

1 $

2. Die unverknoteten abelschen Gruppen mit der Eigenschaft, daft (bei addit iver Schreibweise) aus n a = 0 (n = natiirliche Zabl > 0) auch a = 0 folgt.

3. Dureh ein Ar t -Axiom pflegt man die Dedekindschen Verb~nde zu kennzeichnenX) : I s t c ~ a = c, so ist a ~ (b ~ c) = (a ~ b) ~ c. Aber man kann dieses Folgenaxiom durch ein G a t t u n g s - A x i o m ersetzen2), n~mlich a ~ (b ~ (a ~ c)) = (a ~ b) ~ (a ~ c).

4. Wir nennen einen Schiefring formal komplex, wenn es in ihm eine Zuordnung a t gibt derart, dab

(11) ~ ( a + b ) t - ~ a t + b t ; (ab)t~btat; [ att = a,

wobei das Folgenaxiom

1) Obwohl nach obiger Terminologie a//e dutch UND verkntipften Axiome einer Klasse yon Bereichen zusammen als ein einziges Axiom zu bezeichnen w~ren, erlauben wir uns gelegentliche Bevorzugung der iiblichen Sprechweise.

2) Vgl. P. JoRva_~. Diese Zs. S. 71.

60 P. Jordan

(12) a*a + b t b + c~c + . . . . 0 - - ~ a =- b = c . . . . 0

besteht. Formal komplex ist z.B. der Kfirper aller komplexen Zalflen; fetner ein Gruppenring odor ein yeller Matrizenring, deren Koeffizienten- tinge ihrerseits formal komplex sind. - - Die Beniitzung dieses Be- griffes erlaubt eine sehr vereinfaehte Begriindung tier Darstellungs- theorie dot Gruppen in gerade domjenigen Umfang, welcher ftir die Physik (Quantentheorie) wichtig ist 1j.

5. Die Ringe ohne Nullteiler # 0 bilden eine A r t , gekennzeiehnet dureh das Folgen-Axiom ab = 0 --> a = 0 0 D E R b = 0.

6. Kommuta t i ve Ringe, welche halbeinfach sind, erfiillen das Folgen- Axiom a 2 = 0 --> a = 0.

7. Innerhalb der endlichen Halbgruppen sind die endlichen Gruppen gekerm_zeiehnet durch da sA r t -Ax iom: Aus A B = A C (ODER B A =

CA) folgt B = C. Trotz dieser Kermzeiehnung als A r t bflden sie eine G a t t u n g , da sie auch als solche gekennzeiehnet werden k•nnen.

Wie die Gat tungen kfinnen aueh die A r t e n verkniipft werden dutch und ~.

Satz 3. Die U n t e r - A r t e n einer A r t bilden einen distributiven Ferband.

I I I . F a m i l i e n . Endlieh spreehen wir yon einem L t i s b a r k e i t s - odor Fami l ie n- Axiom, wenn als Grundlage start einer Grundaussage odor einer Folgenaussage eine LOsbarkeitsaussage benutzt wird. Die dadureh gekennzeiehnete Klasse yon Bereichen ~ nennen wir eine Famil ie .

Satz 4. Die U n t e r o F a m i l l e n elner Eami l i e bilden e inen distributiven Verband.

Beispiele sind: 1. Die v. NEmsa_~sehen ,,reguliiren" Ringe (odor Schiefringe), in

denen es zu jedem a (mindestens) ein a' mit a a ' a = a gibt.

2. Die projekt iven Oeometrien, naeh v. NEUMAI~ kennzeiehenbar als die komplementierbaren Dedekind~chen l/erb~nde, d.h. solehe, in denen es zu jedem Element a (mindestens) ein x gibt derart, dab

(13) ~ (a,,x), ,a = a , / (a,~x),,a = a

fiir jedes Element a.

3. In einem Verband bedeut~t die Existenz eines , ,untersten ElemeD- t e s " 0 m i t 0,., a = a fiir jedes a eine Fami l ien-Eigensehaf t . - - Ent- spreehend in einem Ring die Existenz einor Haupte inhe i t e mit ea = a fiir jedes a.

1) Vgl. P. JORDAN, Zs. f. Naturf. (Ira Erscheinen~)

Zur Axiomatik der Verkniipfungsbereiche 61

4. Die K6rper kSnnen gekennzeichnet werden als eine F a m i l i e yon Ringen mit dem L(isbarkeits-Axiom: Fiir jedes Elementepaar a, b gilt die A u s s a g e : Es gibt x mit a x ~ b O D E R es ist a ---- a - - a .

5. Die Gruppen konnen gekennzeichnet werden als F a m i l i e yon Halbgruppen mit Exi s t enz eines Einheitselementes und einer Inversen zu jedem Element.

Die durch die drei definierten Typen yon Axiomen best immten Eigenschaften eines Bereiehes , ,vererben" sich nun in bestimm~er Weise auf die aus !B abgeleiteten Bereiche. Offenbar gilt:

Satz 5. Al le A r t - E i g e n s c h a f t e n eines Bereiches ~ k o m m e n auch den

Unterbereichen yon ~ zu.

Satz 6. ARe ~ ' a m i l i e n - E i g e n s c h a f t e n eines Bereiches !B lr

auch den D a r s t e l l u n g e n von !8 zu.

Und da eine G a t t u n g sowohl A r t als auch F a m i l i e ist:

Satz 7. Al le Ga t tungs -E igenscha f t en eines Bereiches ~ kommen auch

den Unterbereichen und Dars t e l lungen yon ~ zu.

Der Beweis bedarf keiner Erl/tuterung. Der Sinn der obigen sehr allgemeinen (und daher etwas umst/indlichen) Definition der drei Typen yon Axiomen ist der, dab daraufhin jeder dieser drei S/itze eine Umkehrung zul/iBt, wie in w 5 gezeigt werden wird.

w 4. Wir besprechen einige wichtige Fiille von Axiomen obiger Gestalt.

1. Die Endl ichkei t eines Bereiches !8 ist G a t t u n g s - E i g e n s c h a f t ; sie 1/il~t sich im Rahmen des obigen Schemas so ausdriicken: Fiir eine unendliche Folge a 1, a S, a3 . . . . yon Elementen gilt mindestens eine der Gleichungen a k ---- a t.

Entsprechend ist die Abzahlbarkeit yon !B durch ein G a t t u n g s - Axiom ausdriiekbar.

2. In abelschen Gruppen (additiv geschrieben) bedeute t die Nicht- existenz yon mehr als r linear unabh//ngigen Elementen eine G a t t u n g s- Eigenschaft, ausdriickbar dadurch, dal~ fiir r + 1 Elemente a0, al . . . . . ar stets mindest~ns eine der Gleichungen.

(14) no a o q- ~h al ~ . �9 �9 nr ar ~ - 0 ~ ao - - ao

mit natiirlichen Zahlen no, nl . . . . . nr ~ 0 erfiillt ist.

3. Verbotsaxiome. Wir erhalten eine Ar t yon Verkniipfungsbereichen ~ , wenn wir einen best immten Bereich !~ 0 beschreiben, und alle die- jenigen Bereiche !~ betrachten, welche ~o nicht als Unterverband ent- halten. Dieses Axiom kann in die obige Normalform eines Folgen- Axioms gebraeht werden. Dazu nehmen wir die Beschreibung yon �9 o - - die also z.B. dann, wenn nur eine Verknfipfungsweise bet rachte t

62 P. Jordan

wird, in der Angabe tier Elemente a~-----~ (%, az) fiir jedes Ele- mentepaar a~, ~z besteht - - und schreiben fiir eine Elementenmenge ~/~-~ {al, a2, a s , . . . } aus ~, welche ebenso geordnet ist, wie die Menge {az, a 2, aa . . . . } aller Elemente yon D0, die Gleichungen

(15) q~(at, , az) ---- aj

auf. Das fragliche Folgenaxiom lautet: WENN she Gleichungen (15) gelten, DANN gilt mindestens eine der Gleichungen a, = a, mit r =~ s.

4. Solche Verbotsaxiome sind insbesondere aus der Theorie der Ferb~nde gel~ufig. Die gestreclden Verb~nde sind gekennzeichnet durch das Verbot eines Unterverbandes (I); die Dede/dndschen dutch das Verbot yon (II~; die distributiven dutch Verbot yon (II) und (III). Jedoch sind diese drei

(I) (II) (III) A r t e n sogar auch Ga t tungen ; die gestreclden Verbiinde n/imlich shad beschreibbar dutch das Axiom: Fiir a, b gilt a ^ b - ~ a ODER a~b = b.

Weitere naheliegende Verbote sind etwa solche, durch welche ge- atreclde Unterverb~nde eines bestimmten Ordnungatyps verboten werden; z.B. kann verboten werden die Existenz einer Ket te

(16) a ~ a 2 ~ a 8 ~ a t

yon mindestens 4 Gliedern (wobei das Zeichen a~ ~ a2 Abkiirzung fii~ a 1 = a~^a2 u n d a 1 ~ a I ist); oder die Existenz einer unendUchen Kette

(17) ax ~ as ~ a8 . . . . . . ,

oder die Existenz yon

(18) a z ~ a 2 ~ a s ~ . . . . . . ( b ~ c,

wobei die Kette der a, unendlich ware. Die Verbote (16) und (17) geben wiederum sogur G a t t u n g e n s ta t t

A r t e n . Man kann ja (16) such so ausdriicken, dal3 fiir 4 Elemente a, a', a", a" ' mindestens eine der drei Gleichungen

(19) a = a a ' -= a,,a',,a" -= a,,a',,a".,a'"

besteht; und entsprechend kann das Verbot der Kette (17) ausgedriickt werden.

Ob die durch, das Verbot (18) gekennzeichnete A r t ebenfalls eine G a t t u n g ist, bleibe dahingestellt.

Zur Axiomatik der Verkniipfungsbereiche 63

5. Wit beweisen

8atz 8. Ein Yerbotsaziom far den Verband ~ der Unterbereic~ yon bedingt eine Oatt~ngs-Eigenschafl far ~ selbst.

Beweis: Ist in ~ dss Vorkommen eines Unterverbandes ~0 verboten, so m0ge aus einer Zeichenmenge a, p, y . . . . eine Menge ~ y o n Unter- mengen m l , m~, m s , . . , derart ausgesondert werden, daft ~ einen Verband - - und zwar eine formoleiche D a r s t e l l u n g des Verbandes ~o - - bildet in iolgendem Sinne: Zu 9~ so]] auch der Durc~chnitt jeder beliebigen Teilmenge mj, mr, ml . . . . yon 9X geh0ren; und die Zeichen ~, ~ so]]en so angewandt werden, dsB mj~ m z der Durchschnitt von mj, m sis t , und mtv m s die kleinste in ~ enthaltene Umfassungsmenge zu mj, m~.

Wird nun fiir a,/~, y . . . . eine beliebige Elementenmenge aus ~) ein- gesetzt, so sei ~ (mj) der yon mj erzewte Unterbereich yon D; dann kann man das fragliche Axiom so ausdriicken, dal3 mindestens eine der ~bereinstimmungen ~ (m~) ---- D (ms) mit j ~ l besteht. Da es nun offenbar eine Grundaussage fiber die Elementenmenge { mj, m z } be- deutet, wenn die Gleichheit ~ (mj) -~ ~ (ms) behauptet wird, so ist unser Satz bewiesen.

Die gleiche Beweismethode liefert folgenden, den Satz 8 umfassenden 8atz 9. Eine A r t-Eigenachaft des Verbandes fB der Unterbereiche yon

bedim, It eine Gattungs-Eigenschafl far ~ selbst. Man mull fiir den Beweis yon Satz 9 denjenigen yon Satz 8 nut in

folgender Weise abi~ndern: Das in bezug auf ~ ausgesprochene A r t - Axiom A enthalte die Voraussetzung a und den Folgesatz b ; die Voraus- setzung a ist eine Grundaussage in bezug auf eine Elementenmenge ul, u2, u3, ... aus ~, wobei diese Elemente also Unterbereiche yon sind. Man wahle nun nach obiger Vorschrift einen beliebigen Verband v yon Teilmengen aus der Elementen-Menge ~; zu den Elementen dieses Verbandes v mfigen die Element-Mengen m~, m2, ms, ... geh~ren. Wit wahlcn daruus eine solche Menge ~ = {m,, m~, m~ . . . . } aus, fiir welche - - wenn wit sic als Elemente des Verbandes v betrachten - - gersde die Grundaussage a zutrifft. Dsnn gilt gemall A offenbar die Grundaussage b fiir die Menge ~ (m~), ~ (m~), ~ (my) . . . . der durch die Elementenmengen m a usw. erzeugten Unterbereichc, und dsmit ist ein G a t t u n g s - A x i o m fiir ~ susgesprochen.

Die Gesamtheit der in dieser Weise entstehenden G a t t u n g s - Axiome fiir ~ ist aber nicht rmr eine Folge des urspriinglichen A r t - Axioms A fiir ~, sondcrn such ein gleichwertiger Ersatz fiir A.

6. Beispiele zu Satz 8 (bzw. 9):

a) Diejenigen abclschen Gruppen, deren Untergruppen-Verbiinde distributiv sind, bilden eine G a t t u n g . Diese G a t t u n g wird realisiert

64 P. Jordan

durch die additive Gruppe aller rationalen Zahlen und die additive Gruppe aller rationalen Zahlen modulo 1, und alle Untergruppen davon.

8) Endlichgliedrig 1) nennen wit einen Bereich, in welchem jede Kette

(20) ~1 ~ ~ C ~3 C . . . . . .

yon Unterbereichen !8 k abbrieht. Diese G a t t u n g s - E i g e n s e h a f t ist insbesondere fiir die Theorie der unendliehen abelschen Gruppen wichtig. Die endliehgliedrigen Bereiche haben offenbar die Eigenschaft, durch endlich viele Elemente erzeugbar zu sein.

Ebenfalls bemerkenswert ist die G a t t u n g der Bereiche !8, in denen jede Kette (21) !81 ~ !8~ ~ !Sa ~ . . . . . .

yon Unterbereichen abbricht. Die additive Gruppe der ganzen rationalen Zahlen ha t die Ga t t u n g s -

Eigenschaft, dal3 in ihr keine unendliehe absteigende Menge yon Unter- gruppen vom Ordnungstyp o~0 ~-2 vorkommt, die also so auss~he:

(22) q~l ~ q~2 D q~3 ~ . . . . . . ~ q~* ~ ~** .

7. Endlieh sei noeh darauf eingegangen, wie der K6rper-Begriff als G a t t u ngs-Begriff gefallt werden karm. Wir definieren die KOrper als Ringe, in denen es eine eindeutige Zuordnung z ' = r (z) gibt, die folgendem Axiom geniigt: Fiir jedes y ist

z z ' y = y ODER

(23) zy-= yUND z' := z - - z ODER z = z - - z U N D z 'y - - y .

Es ist also q (z) gleich 0 bzw. gleieh 1 fiir z = 1 bzw. z = 0, und

1 Die eingefiihrte Permutat ion zwischen 1 und 0 hat son~t ~ (z) = 7"

folgenden Sinn: Im Rahmen unserer Begriffsbestimmungen ist es un- vermeidbar, dal] de rnu r aus 0 bestehende Ring 9~ (0) mit zur G a t t u n g der Korper gez/ihlt wird. Die Definition dureh Aixom (23) bewirkt aber, daft er jedenfalls nicht zu den UnterkSrpern eines K0rpers mit mindestens zwei Elementen gehort.

8..ii.hnliehe Betraehtungen, wie wir sie oben fiir den Verband der Unterbereiche yon !8 ausgefiihrt haben, konnen wir fiir den Verband der D a r s t e l l u n g e n yon ~ durchfiihren. Zwar kann sich dabei dann niehts Neues ergeben, wenn !8 insbesondere eine abelsche Gruppe ist, da bei einer solehen eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen

x) Bozoichnung in Anlehnung an FU]ZTEa.

Zur Axiomatik dor Verkniipfungsbereiche 65

Untergruppen und I ) a r s t e l l u n g e n (Faktorgruppen) besteht. Im all- gemeinen jedoch bedeuten Axiome, die sich auf den Verband der I ) a r s t e l l u n g e n beziehen, etwas ganz anderes, als solche, die sieh auf den Verband der Unterbereiche beziehen.

Beispiele solcher Axiome sind die Ideal-Kettens~tze in Ringen: Die Verkniipfung yon Ring-Idealen durch I)urchschnittsbildung

und Addition ~ oder ~ entsprieht unserer allgemeinen Verkniipfung yon I ) a r s t e l l u n g e n dureh ~ und ~, da ja ein Ideal eines Ringes !R in einer zu einer best immten I) a r s t e l lu ng yon ~ geh6renden Sippen- einteilung gerade die das Nullelement 0 ~ a - a enthaltende Sippe darstellt.

Die beiden Ideal-Kettens~tze in Ringen sind also spezielle F~lle yon Verbots-Axiomen - - also zun~chst Art-Axiomen, aber in diesen zwei F~llen sogar G a t t u n g s - A x i o m e n - - im D a r s t e l l u n g e n - Verband des fragliehen Ringes. Fiir den Ring selbst bedeuten sie je ein F a m i l i e n - A x i o m . Denn es gilt der dem Satz 9 ~hnliehe

Satz 10. Eine Art-Eigenschaft des Verbandes !~ der Darstel lc~ngen yon !B bedeutet eine J~amilien-Eigenschafl far !8 selbst. Ein Beweis hierfiir wird sich im Folgenden ergeben (w 5).

Beispielsweise bilden unter den endlichen Gruppen diejenigen eine :Fami l ie , deren Normalteiler-Verband nicht nur ein Dedeldndseher, sondern sogar ein distributiver Verband ist. Der Umfang dieser F a rail i e ist bislang nicht bekannt, und man kann nicht sagen, ob diese F a m i li e vielleicht sogar eine G a t t u n g ist. Man weiB, soweit mir bekannt, lediglieh, dab zu dieser F a m i l i e die G a t t u n g derjenigen endliehen Gruppen geh6rt, deren Ordnungen nicht durch ein Quadrat teilbar sind (Remak).

In der Theorie der Ringe ergeben sich besondere Verh~tltnisse daraus, dab die I ) a r s t e l l u n g e n bzw. die Ideale nicht nur die Verkniipfungen ~, ~, sondern auBerdem noeh eine Multiplikation gestatten. Nennen wir diesen, drei Verkniipfungen enthaltendenVerkniipfungsbereiehder Ideale eines Ringes ~ den Verein der Ideale yon ~, so gilt

Satz 11. Eine A r t - Eigenschaft des Vereins der Ideale eines Ringes bedeutet eine Famil ien-Eigenschaf t far 9l selbst.

Beispielsweise bilden diejenigen Ringe eine F a m i l i e , fiir welche erstens der Verband der Ideale distribu~iv, und zweitens (24) (a~) (a b) = ab

ist. Dies ist im wesentlichen gerade die Klasse derjenigen Ringe, deren Ideale eine eindeutige Primfaktorzerlegung erlauben bzw. bei Nicht- erfiillung des Kettensatzes den durch den Veffeinerungssatz yon SCHREY~.R-ARTI~ gekennzeichneten Sachverhalt darbieten - - bei Vor=

5

66 P. Jo rdan

handensein yon Nullteilern in einer etwas verallgemeinerten Form. (Ich hoffe, diese Verh~ltnisse in einer besonderen Note zu beleuchten.)

w 5. Die eingefiihrten Begriffsbildungen erhal ten ihre eigentliche Rechtfer t igung dadurch, dab die S~tze 5--7 eine Umkehrung gestat ten. Wir beweisen :

Satz 12: Ist ~ eine Menge yon Verknilpfungsbereichen derart, daft zugleieh mit einem Bereiche !B stets auch jeder Unterbereich !8' ~ !8 und jede D a r s t e l l u n g ~ von !~ zu ~ geh6rt, so ist ~)~ eine Ga t tung yon Verknapfungsbereiehen.

Zum Beweis ffihrt folgende Erw~gung: Es sei !80 ein fest vorgegebener Verknfipfungsbereich mit Verknfipfungen ~, ~ . . . . . und mit Elementen al, a2, a 3 . . . . Andererseits sei !8 ein Bereich mit ebensovielen Ver- kniipfungen ~, ~ , . . . , und mit Elementen a, b, c . . . . Es sei ferner eine wechselseitige Abbildung der Elemente yon f80 und ~ angegeben, und zwar derart , dab jedem Element a u yon !80 ein eindeutig bestimmtes a~ von !8 entspricht. (W~hrend umgekehr t a, = a, trotz p =4= ~ sein kann.) Wir bet rachten folgende Aussage : ,,Bei dieser Abbildung liefert ~ eine D a r s t e l l u n g yon ~0."

Behauptung: Dies ist eine Grund-Au~sage fiber die Elementenmenge a, b, e , . . . (also die Menge samtlicher Elemente yon !~). In der Ta t : Greifen wir aus fig0 ein beliebiges Elementenpaar at , a, heraus, und ist dabei ~ (at, a , ) = a~, so wird durch die fragliche Aussage die Gleichung ~ (a,, a,) ---- aQ behaupte t ; und entsprechend fiir die weiteren Verkniipfungen ~ . . . .

Infolgedessen konnen wir behaupten: Wenn eine Menge ~X yon Verkniipfungsbereichen vorgegeben ist, so ist es eine Grund-Aussage tiber die Elementenmenge m ~ D , wenn gesagt wird: ,,Der dutch m erzeugte Unterbereich !8 ( m ) ~ ! ~ ist D a r s t e l l u n g yon (mindesten8) einem der in ?~ enthaltenen Bereiche." Wenn nun ?)~ zu jedem darin enthal tenen ~o auch alle D a r s t e l l u n g e n yon ~0 enthglt, so bedeute t die soeben vorgeffihrte Aussage, dab ~ (m) sogar formgleich einem der in ~/~ enthal tenen Bereiche ist. Und wenn ~ zu jedem ~0 auch alle Unterbereiche yon ~0 enth~lt, so sehen wir, dag folgende axiomatische Festsetzung einerseits ein Grund-Axiom ist - - also eine G a t t u n g kennzeichnet - - und andererseits gleichbedeutend mit der Fest- stellung des Enthaltenseins yon ~ unter den zu ~ geh6renden Be- reichen ist: ,,Jeder Unterbereich yon !8 ist formgleich einem der Bereiche Yon ~ . "

Damit ist die behauptete Umkehrung bewiesen.

Wir bemerken: Zu jeder A r t yon Verknl~pfungsbereichen geh6rt ins- besondere der nut aus einem einzigen Element bestehende Bereich !~ o.

Zur Axiomatik der Verkniipfungsbereiche 67

Denn in diesem ist jed~s Folgen-Axiom (iibrigens aueh jedes Los- barkeits-Axiom) erfiillt.

Satz 13. 1st 92 eine Menge yon Verkn~pfungsbereichen derart, da~ zugleich mit einem Bereich ~ stets auch jeder Unterbereich !8' ~ ~ zu 92 geh6rt; und enthi~lt 92 insbesondere den Verkn~pfungsbereich ~o, 8o ist 92 eine A r t yon Verknfepfungsbereichen.

Beweia: Der obige Beweis zu Satz 12 kann teilweise i ibernommen werden. Es is~ naeh obigem eine Grund-Aussage fiber die Elementen- menge m ~ !l~, wenn gesagt wird: ,,Der dutch m erzeugte Unterbereich

( m ) ~ !8 ist D a r s t e l l u n g yon mi ndestens einem der in ~ enthaltenen Bereiche."

Sei also !~ (m) D a r s t e l l u n g gewisser zu 92 gehOriger Bereiche fi91, ~2, tl~, . . . . Wir erg~tnzen die soeben ausgesprochene Grund-Aussage fiber m dutch eine Folgen-Aussage: , , W e n n ~ (m) keinem der ~1, ~2, ~3, .. . formgleich ist, ,o ist ~ (m) = !~ ~

Das ist in der Tat eine unserem Muster entsprechende Folgen- Aussage fiber m: Wird ~ (m) als eine D a r s t e l l u n g z.B. yon @1 aufgesehrieben, derar t also, dab jedem Element A yon !l~ ein ein- deutig best immtes Element a (A) von ~ (m) entspricht, so bedeute t die Voraussetzung der obigen Folgen-Aussage, dab mindestens eine der Gleichungen a (A) = a (A') mit zwei verschiedenen Elementea A,A ~ gilt. - - Dami t ist auch Satz 13 bewiesen.

Als Beispiel betrachten wir solche Bereiche positiver ganzer rationaler Zahlen, in welchen die Addition unbesehr~nkt ausffihrbar ist. Diese Menge 92 yon Verknfipfungsbereichen enthiilt zwar zu jedem ~ auch alle !8' g ! ~ , ist aber t rotzdem keine Art , well der nur aus der Zahl 0 bestehende Bereich ~o nicht dazu geh0rt. Wird !~ ~ zu ~ hinzugeffigt, so ents teht eine A r t , wobei das Folgenaxiom gilt: Au8 a + b = b folgt a = b (also aus dem Vorhandensein der Zahl 0 in ~ fogt !8 ---- ~0).

Satz 14. Ist 92 eine Menge yon Verkntllaf~zngsbereichen derart, da~ zugleich mit einem Bereich ~ auch jede D a r s t e l l u n g ~o yon ~ zu 92 gehSrt, 8o ist ?92 eine F a m i l i e yon Verknt~pfungsbereichen.

Beweis: Die Aussage, dab der Verkniipfungsbereich ~ eine D a r - s t e l l u n g eines gegebenen (zu 92 geh0rigen) Bereiches ~0 sei, karm in Gestalt eines LOsbarkeits-Axioms ausgedrfickt werden: Es seien al, a2, a 3 . . . . die Elemente von !~0; und ihre Verknfipfungen seien

(25) ~(a0, ao) := a~ ; 2 = 2(o, a), . . . . . . . . .

Dann sagen wir: Es existieren in ~ Elemente Xl, x~, x3 . . . . derart , dab ffir jedes Element x aus !B einerseits die Gleichungen

5*

68 P. Jordan

(26) ~ ~ (x~, x~) = x . ; ~ = ~ (e, ~), / (zQ, xo) = x~ ; ~ = / t ( 5 , a) ,

gelten, und andererseits eine der Gleichungen

(27) x = xQ. Aus Satz 14 ergibt sich auch die Richtigkeit der S/itze 10 und 11.

Wit kOnnen niimlich dem Satz 1 gegeniiberstellen:

Satz 15. Ist ~) eine D a r s t e l l u n g yon ~, 80 ist der Verband der Dar- s t e l l u n g e n yon ~ ein Unterverband des Verbandes der D a r s t e l l u n g e n y o n ~.

Entsprechend s Ringe:

Satz 16. Ist !Rein Ring und 9~ ein daraus gebildeter Restklassenring, so ist der Verein der Ideale yon ~ formgleich einem Unterverein des Vereins der Ideale yon 9~.

GemiiB Satz 14 bilden also die Bereiche ~, deren D a r s t e l l u n g e n - Verb~inde (bzw. die Ringe ~, deren Ideal-Verein) eine gewisse A r t - Eigenschaft besitzen, eine F a m i l i e .

Weitere bemerkenswerte Folgerungen aus unseren allgemeinen S~tzen seien nur kurz angedeutet. Wir betraehten den Verband der abstrakten Unterbereiche eines Bereiches !~, womit wir folgendes meinen: Von dem Verband 1I (!B) aller Unterbereiche yon fB bilden wir eine Da r - s t e l l u n g , indem wir alle solchen Unterbereiche, welehe einander formgleich sind, in eine Sippe zusammenfassen. Diese abstrakten Unter- bereiche - - als solche seien die fragliehen Sippen bezeiehnet - - bilden naeh Satz 13 entweder fiir sich allein oder nach Hinzuffigung yon ~o eine A r t yon Verknfipfungsbereichen. Aus Satz 3 ersehen wit also

~qatz 17. D/e abstrakte~ Unterbereiche eines Bereiches ~ bilden einen distributiven Verband.

Is t ~ beispielsweise eine endtiche abelsche Gruppe, so ist die Richtig- keit dieses Satzes eine triviale Folgerung aus der bekannten Gruppen- struktur. Nehmen wit dagegen eine beliebige Gruppe, so wird der Satz kaum anders als dutch Betrachtungen tier hier vorgetragenen Art beweisbar sein.

Ein triviales Beispiel: Die unendliche zyklische Gruppe bildet zusammen mit der aus nu t einem Element E bestehenden fit = (E) eino A r t.

w 6. Die in w 5 besproehene~ Umkehrsiit~e 12--14 stellen fiir be- s t immte Klassen yon Verknfrpfungsbereichen die grundsiitzliche M6g- lichkeit lest, sie axiomatisch zu kennzeichnen in der Normalform unserer Axiome fiir G a t t u n g e n bzw. A r t e n oder F a m i l i e n , und erweisen somit die logische Geschlossenheit unserer Aufstellungen.

Zur Axiomatik der Verkniipfungsbereicho 69

Jedoch liefern die obigen Beweise dieser SKtze kein Mittel, eine der Normalform entsprechende axiomatische Kennzeichnung in fiber- sehbarer Form wirklich anzugeben, weil im Beweis diese Kennzeichnung auf dem Umweg fiber eine explizite Kenntni8 aller Vertreter der frag- hchen G a t t u n g oder A r t oder F a m i l i e durchgeffihrt wird. Aus der grunds~tzlichen Garantie, dab eine axiomatische Kennzeichnung nach unserem Schema mOglich ist, gewinnt man aber die heuristische Ver- mutung, dab dann auch eine einfachere derartige Kennzeichnung moglich sei; und das Suchen danach kann tiefere Einblicke vermitteln.

Wir formulieren also als Heuriati,ches Prinzip: Wenn eine als G a t t ~ n g oder A r t oder F a m i l i e

erweisbare Klazse yon Verkn~pfungsbereichen axiomatinch einfach ge- kennzeichnet werden kann, *o wird auch eine Kennzeichnung gem~fl unaerer Normalform - - die also die fragliche Menge yon Bereichen von vornherein als G a t t u n g , Ar t , F a m i l i e erkennen l~flt - - in ein- facher Weise m6glich sein.

Das kann natfirlich nicht allgemein bewiesen, sondern nur an Bei- spielen erprobt werden; unter Umst~nden sind nichttriviale Ent- deckungen erforderlich, um eine solche naturgem~e Kennzeichnung zu erreichen. Wit besprechen einige F~lle.

1. Die geordnae~ (oder ordnungaf~higen) Ringe sind offenbar eine Ar t , da sich die Ordnung auf jeden Unterring fibertr~gt. Die M6glich- keit, sie durch das oben erw/ihnte Folgen-Axiom ffir formalreelle Ringe zu kennzeichnen, ist jedoch erst sp~t entdeckt worden (ARc-ScreWIeR).

Auch die Bewertungen yon Ringen liefern A r t e n , deren Kenn- zeichnung dutch Folgen-Axiome m~glich sein sollte.

2. Die Imlbeinfachen Schiefringe mit Minimalkettenbedingung sind durch die fibliche Definition der Halbeinfachheit (Nichtexistenz eines nilpotenten Ideals) in einer Form gekennzeichnet, die nicht unmittel- bar erkennen l~Bt, dab es sich urn eine F a m i l i e handelt. Die v.N~u- ~A~sche Kennzeichnung (Existenz yon a' zu a derart, dab aa~a = a) l~flt diese Ringe yon vornherein als F a m i l i e erkennen.

3. Diejenigen zyklischen Gruppen, deren Odnung eine Primzahl- potenz ist, bilden offenbar eine G a t t u n g . Man kann sie dadurch kennzeichnen, dab ihre Untergruppen-Verbi~nde ge, treckt sind.

4. Diejenigen endlichen Gruppeu, deren Ordnung dutch eine gewisse Primzahl p nicht teilbar ist, bilden eine G a t t u n g . Eine einfache Kenn- zeichnung wird m0glich auf Grund des Satzes, dab jede Gruppe, deren Ordnung durch p teilbar ist, ein Element vom Grade p enth~lt; die fragliche G a t t u n g ist danach kennzeichenbar dutch die G a t t u n g s - Eigenschaft, dab ffir jedes Element 24 die durch A erzeugte Unter- gruppe gleich der dutch A p erzeugten ist.

70 P. Jordan, Zur Axiomatik der Verkniipfungsbereiche

5. Diejenigen endlichen Ringe, welche keine Nullteiler =~ 0 enthalten, bflden nach dieser Definition zun~chst eine Ar t . Da sie jedoch K~rper sind, bilden sie sogar eine G a t t u n g. Die sie kennzeichnende G a t t u n g s - Eigenschaft kann so ausgesprochen werden: In einem solehen Ringe seien ~, ~ zwei Unterringe. Dann ist ~ : 0 0 D E R el ~ ~_ ~2.

6. Die iibliche Definition der au/168baren Gruppen, wonach die end- liche Gruppe @ genau dann aufiOsbar ist, wenn @ : (E) ODER ein- aufl0sbarer Nor~lteiler in @ vorhanden ist, l~Bt nicht erkennen, dab es sich um eine G a t t u n g yon Gruppen handelt; vie|mehr ist es Saehe eines ausdrficklichen (wenn auch recht trivialen) Beweises, dab jede Untergruppe und jede Faktorgruppe einer aufl0sbaren Gruppe eben- falls auflOsbar ist. Eine Definition, welche dies sofort erkennen l~Bt, indem sie unserer Normalform eines G a t t u n g s - A x i o m s entspricht, ist folgende: Sei ~ [f~] die Kommutatorgruppe von ~ ; und ~ [ ~ [q~]] :

~n+ 1 [~]. Dann ist @ auflOsbar, wenn fiir ein gewisses n die Beziehung ~" [@] ---- (E) besteht.

Es ist nun ein lehrreiches Beispiel ftir die heuristische Tendenz der erl~uterten Betrachtungsweise, dab diese (noeh recht triviale) Fest- stellung sich, wie ich von Herrn Z~SENKAUS lerne, in nichttrivialer Weise versch~rfen l~Bt zu einer sehr eleganten Kennzeichnung der aufl6sbaren Gruppen durch ein G a t t u n g s - A x i o m .

Der Begriff der nilpotenten Gruppen entspricht in seiner fiblichen Fassung schon ohne weiteres unserer Normaliorm yon G a t t u n g s - Axiomen. Andere bemerkenswerte G a t t u n g e n yon Gruppen sind insbesondere yon Hall untersucht worden.

Eine genauere Betrachtung l/~Bt, wie mir scheint, in fast jedem Kapitel der modernen Algebra zahlreiche Gelegenheiten linden, die in dieser Arbeit besprochenen Begriffsbildungen anzuwenden und dabei eine erh0hte Durchsichtigkeit zu gewinnen.