Zur Behandlung der DivisionZur Behandlung der Division

Klassifikationstypen und heuristische Strategien

Wiederholung: Erkennen der Operation und Wiederholung: Erkennen der Operation und des Klassifikationstypesdes Klassifikationstypes

Am Inselsberg ist ein neuer Skilift in Betrieb genommen worden. Es ist ein Sessellift mit 12 Gondeln. In jeder Gondel haben 4 Personen Platz.Wie viel Personen können damit transportiert werden?

Papa hat die Urlaubsstrecke in die Schweizer Alpen geplant und die Gesamtstrecke von 1089 km in Abschnitte geteilt. Am ersten Tag will die Familie die 378 km bis nach München reisen und dort bei Tante Helga übernachten. Am zweiten Tag geht es 247 km bis nach Basel. Welche Wegstrecke muss die Familie dann noch zurücklegen?

Wiederholung: Erkennen der Operation und Wiederholung: Erkennen der Operation und des Klassifikationstypesdes Klassifikationstypes

Am Inselsberg ist ein neuer Skilift in Betrieb genommen worden. Es ist ein Sessellift mit 12 Gondeln. In jeder Gondel haben 4 Personen Platz.Wie viel Personen können damit transportiert werden?

Multiplikation: räumlich-simultaner (statischer) Aspekt

Papa hat die Urlaubsstrecke in die Schweizer Alpen geplant und die Gesamtstrecke von 1089 km in Abschnitte geteilt. Am ersten Tag will die Familie die 378 km bis nach München reisen und dort bei Tante Helga übernachten. Am zweiten Tag geht es 247 km bis nach Basel. Welche Wegstrecke muss die Familie dann noch zurücklegen?

Subtraktion: Vereinigen (Teilmenge gesucht)

Wiederholung: Erkennen der Operation und Wiederholung: Erkennen der Operation und des Klassifikationstypesdes Klassifikationstypes

Lena hat im Sportgeschäft ein Paar Alpinskier für 149.- €gesehen. Wenige Tage später werden die gleicher Skier im Winterschlussverkauf für 129.99 € angeboten. Wie viel Geld kann Lena sparen, wenn sie die Skier im Winterschlussverkauf nimmt?

Paul wünscht sich neue Skier. Es hat im Winterschlussverkauf ein Paar im Angebot für 149.- €gesehen. Sein Geburtstagsgeld in Höhe von 85.- € reicht dafür leider noch nicht. Wie viel Geld muss Paul noch von seinem Spargeld hinzutun?

Wiederholung: Erkennen der Operation und Wiederholung: Erkennen der Operation und des Klassifikationstypesdes Klassifikationstypes

Lena hat im Sportgeschäft ein Paar Alpinskier für 149.- €gesehen. Wenige Tage später werden die gleicher Skier im Winterschlussverkauf für 129.99 € angeboten. Wie viel Geld kann Lena sparen, wenn sie die Skier im Winterschlussverkauf nimmt?

Addition/ Subtraktion: Vergleichen (Operator gesucht)

Paul wünscht sich neue Skier. Es hat im Winterschlussverkauf ein Paar im Angebot für 149.- € gesehen. Sein Geburtstagsgeld in Höhe von 85.- € reicht dafür leider noch nicht. Wie viel Geld muss Paul noch von seinem Spargeld hinzutun?

Subtraktion: Ergänzen/ Addition: Ausgleichen

LLöösungsstrategien zu Divisionsaufgabensungsstrategien zu Divisionsaufgabenvorvor der Behandlung der Operationder Behandlung der Operation

Beispielaufgabe:Mama hat eine Tüte Bonbons

mitinsgesamt 18 Stück geöffnet. Jedes der 6 Kinder bekommt gleich viele.

� reine Schätzstrategie: das Ergebnis wird geschätzt und über eine wiederholte Addition geprüft

� Schätzen und Verteilen: das Ergebnis wird geschätzt und dabei wird ein Verteilen gleich vorgenommen

Beispielaufgabe:Mama hat eine Tüte mit 18 Bon-Bons geöffnet. Jedes Kind be-kommt 3 Bonbons.

� Rückwärtsstrategie: es werden Teilmengen in der Größe des Divisors gebildet

� Vorwärtsstrategie: es werden so lange Teilmengen in der Größe des Divisors hingelegt, bis die Gesamtzahl erreicht ist

Grundvorstellungen der DivisionGrundvorstellungen der Division

� Was ist Dividieren?

es ist das Zerlegen einer endlichen Menge in gleichmächtige, paarweise elementfremde Teilmengen � kann aus unterschiedlichen Sachkontexten hergeleitet werden können

Aufteilen Verteilen

Beispiele zum AufteilenBeispiele zum Aufteilen

� In einer Kiste liegen 18 Mandarinen. Immer 6 werden in einen Beutel verpackt. Wie viele Beutel können gefüllt werden?(zeitlich-sukzessiver Kontext)

� In der Klasse 2 a lernen 24 Kinder. Die Lehrerin sagt: Bildet Vierergruppen. Wie viele Gruppen entstehen?(räumlich-simultaner Kontext)

� Papa hat ein Brett von 3 m Länge im Baumarkt gekauft. Um die Bretter anschrauben zu können, muss er 60 cm lange Stücke abschneiden.(Aufteilen bei Längen entspricht dem Messen)

Beispiele zum VerteilenBeispiele zum Verteilen

� In einer Kiste liegen 18 Mandarinen. Sie sollen in 3 Beutel gleichmäßig verpackt werden. Wie viele Mandarinen kommen in einen Beutel?

� In der Klasse 2 a lernen 20 Kinder. Die Lehrerin sagt: Wir wollen 4 gleich starke Gruppen bilden. Wie viele Kinder gehören zu einer Gruppe?

� 20 Plättchen liegen geordnet auf dem Tisch. Sie liegen in 5 Reihen, in jeder Reihe liegen gleich viele. Wie viele Plättchen gehören zu einer Reihe?

Grundvorstellungen der DivisionGrundvorstellungen der Division

AufteilenWas charakterisiert das

Aufteilen?

gegeben ist die Gesamt-menge (entspricht in der formalen Aufgabe dem Dividenden) und die Anzahl der Elemente in der Teilmengegesucht ist die Anzahl der Teilmengen

VerteilenWas charakterisiert das

Verteilen?

gegeben ist die Gesamt-menge (entspricht in der formalen Aufgabe dem Dividenden) und die Anzahl der Teilmengen gesucht ist die Anzahl der Elemente in der Teilmenge

Weitere Grundvorstellungen zur Division,Weitere Grundvorstellungen zur Division,die die ergerg äänzendnzend zu behandeln sindzu behandeln sind

Division als Umkehrung der Multiplikationeine Multiplikationsaufgabe wird genutzt, um die Division zu begründenBeispiel: 18 : 3 � gesucht ist die Zahl, die mit 3 multipliziert 18 ergibtGrund: Rechnen von Grundaufgaben

Division als wiederholte Subtraktionformale Beziehung zur Subtraktion zur Einführung der Division nutzenBeispiel: 18 : 3 � Wie oft können wir 3 von 18 abziehen, bis wir Null erhalten?Grund: halbschriftliche und schriftliche Division

Weitere Grundvorstellungen zur Division,Weitere Grundvorstellungen zur Division,die die ergerg äänzendnzend zu behandeln sindzu behandeln sind

Division als multiplikativer Vergleich

Beispiel: Arne und Thomas sammeln Briefmarken. Arne hat 3 mal soviel Marken mit Rennautos wie Thomas. Arne kann 21 Marken in seinem Album finden. Wie viele Briefmarken mit Rennautos hat Thomas?

Grund: Sachsituationen im täglichen Leben

Welchem Klassifikationstyp entspricht jede Welchem Klassifikationstyp entspricht jede Aufgabe?Aufgabe?

Gr. A� Jonas hat eine

Schachtel mit 20 Murmeln gefunden. Die 5 Kinder beschließen nun, damit zu spielen.

� Maria sagt zu ihrem Bruder, Mama und Papa: Kommt, wir spielen zusammen „Mau, mau“. Dazu gibt sie die 32 Karten gleichmäßig aus.

Gr. B� Zu einem Memoryspiel

gehören 48 Kärtchen. Jedes Kind bekommt gleich viele Kärtchen, nämlich immer 8.

� Theo hat 15 Luftballons aufgeblasen. Immer 5 Luftballons werden an einer Girlande befestigt. Mit den Girlanden wird der Raum geschmückt.

Formulieren Sie die Aufgabe so um, dass der Formulieren Sie die Aufgabe so um, dass der jeweils andere Aspekt zum Ausdruck kommt.jeweils andere Aspekt zum Ausdruck kommt.

Gr. A

� Maria sagt zu ihrem Bruder, Mama und Papa: Kommt, wir spielen zusammen „Mau, mau“. Dazu gibt sie die 32 Karten gleichmäßig aus.

Gr. B

� Theo hat 15 Luftballons aufgeblasen. Immer 5 Luftballons werden an einer Girlande befestigt. Mit den Girlanden wird der Raum geschmückt.

Welchem Klassifikationstyp entspricht jede Welchem Klassifikationstyp entspricht jede Aufgabe? Aufgabe? LLöösungensungen

Gr. A� Jonas hat eine Schachtel

mit 20 Murmeln gefunden. Die 5 Kinder beschließen nun, damit zu spielen.

Verteilen

� Maria sagt zu ihrem Bruder, Mama und Papa: Kommt, wir spielen zusammen „Mau, mau“. Dazu gibt sie die 32 Karten gleichmäßig aus.Verteilen

Gr. B� Zu einem Memoryspiel

gehören 48 Kärtchen. Jedes Kind bekommt gleich viele Kärtchen, nämlich immer 8.Aufteilen

� Theo hat 15 Luftballons auf-geblasen. Immer 5 Luftballons werden an einer Girlande befestigt. Mit den Girlanden wird der Raum geschmückt.Aufteilen

Formulieren Sie die Aufgabe so um, dass der jeweils Formulieren Sie die Aufgabe so um, dass der jeweils andere Aspekt zum Ausdruck kommt.andere Aspekt zum Ausdruck kommt.

LLöösungsung

Gr. A

� Maria sagt zu ihrem Bruder, Mama und Papa: Kommt, wir spielen zusammen „Mau, mau“. Dazu gibt sie die 32 Karten gleichmäßig aus.

Aufteilen:� Es sind 32 „Mau-mau-

Karten“. Maria sagt: „Jeder braucht 8 Karten, um mitspielen zu können.“ Wie viele Personen können insgesamt mitspielen?

Gr. B

� Theo hat 15 Luftballons aufge-blasen. Immer 5 Luftballons werden an einer Girlande befestigt. Mit den Girlanden wird der Raum geschmückt.

Verteilen:� Theo hat 15 Luftballons

aufgeblasen. Sie sollen an den 3 Girlanden gleich-mäßig festgebunden wer-den. Wie viele Luftballons kommen an jede Girlande?

Heuristische Strategien bei der DivisionHeuristische Strategien bei der Division42 : 742 : 7

Nachbaraufgabe

49 : 7 = 7 42 : 7 = 6, 42 sind 1 x 7 weniger

Umkehraufgabe

6 * 7 = 42 also ist 42 : 7 = 6

Verdoppeln oder Halbieren

21 : 7 = 3 21 ist die Hälfte von 42, also ist Ergebnis das Doppelte von 3

Heuristische Strategien bei der DivisionHeuristische Strategien bei der Division42 : 742 : 7

schrittweises Rechnen

Dividend wird in eine Summe oder Differenz zerlegt und durchden Divisor geteilt (Distributivgesetz)42 : 7 = (35 + 7) : 7 = 5 + 1 oder 42 : 7 = (49 – 7) : 7 = 7 – 1

gleichsinniges Verändern von Dividend und Divisor

wenn Dividend und Divisor mit derselben Zahl multipliziert oderdurch dieselbe Zahl dividiert werden, bleibt das Ergebnis gleich(Anwendung nur bei speziellen Zahlen möglich)42 : 7 42 : 6 (42 : 6) : 2 = (42 : 2) : (6 : 2) = 21 : 3 = 7

Die besondere Zahl NullDie besondere Zahl Null

Erklärung mit der Umkehroperation Multiplikation

8 : 2 = 4, denn 4 * 2 = 8

8 : 8 = 1, denn 1 * 8 = 8

0 : 8 = 0, denn 0 * 8 = 0

aber: 8 : 4 = 2, denn 2 * 4 = 8

8 : 1 = 8, denn 8 * 1 = 8

8 : 0 ist nicht definiert, denn � * 0 = 8 hat keine Lösung

0 : 0 ist nicht definiert, denn für alle natürlichen Zahlen n gilt

n * 0 = 0 (also lässt sich 0 : 0 nicht eindeutig ein Ergebnis

zuordnen)

Die besondere Zahl NullDie besondere Zahl Null

Erklärung über die wiederholte Subtraktion

0 : 8 � Wie oft muss ich 8 von Null abziehen, um Null zu

erhalten? Null mal

8 : 0 � Wie oft muss ich 0 von 8 abziehen, um Null zu

erhalten? Geht nicht, ist also nicht definiert