334 E. KREYSZIG, Zur Behandlung elliptischer partieller Differentialgleichungen . . .

ZAMM 40 (1960) Heft 7/8, Seite 334-342

Zur Behandlung elliptischer partieller Diff erentialgleichungen mit funktionentheoretischen Methoden

Von ERWIN KREYSZIG

Die Losungen elliptischer partieller Differentialgleiehungen lassen sich auf funktionentheoretischer Grundlage untersuchen. A l s wiehtiges Hilfsmittel dienen hierbei Bergman-Integraloperatoren, die ana- lytische Funktionen in Losungen solcher Gleiehungen transformieren. In der vorliegenden Arbeit wird zu- nachst auf die Anwendung funktionentheoretiseher Methoden bei stationaren zweidimensionalen Xtromungen kompressibler Flussigkeiten hingewiesen. Der zweite Absehnitt betrif ft eine allgemeine Methode zur Ein- fuhrung von Integraloperatoren. Xehlieblieh werden einige grundlegende Eigenschaften harmonischer Funk- tionen dreier Veranderlieher unter Vei wendung von Integraloperatoren untersucht.

T h e solutions of elliptic partial differential equations may be investigated by using the theory of functions. An important tool i s B e r g m a n integral operators which transform analytic functions into solutions of such equations. T h e first part of the present paper describes the use of function-theoretical methods in dealing with stationary two-dimensional flows of incompressible fluids. T h e second part concerns a general method of intro- ducing integral operators. Finally, some fundamental properties of harmonic functions of three variables are investigated by using integral operators.

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1. Zwei Wege zur funktionentheoretischen Behandlung partieller Differentialgleichungen Die einfache Beziehung zwischen den harmonischen Funktionen zweier reeller Variabler

und den analytischen Funktionen einer komplexen Variablen bildet ein Beispiel fur den Zu- sammenhang zwischen der Theorie der Losungen einer partiellen Differentialgleichung und der Funktionentheorie. Die praktische Bedeutung dieses Zusainmenhangs fur die Theorie der Stromungen inkompressibler Flussigkeiten und andere zweidimensionale Potentialprobleme ist wohlbekannt. Es zeigt sich, da13 sich auch die Theorie der ein- und mehrwertigen Losungen allgemeinerer elliptischer partieller Differentialgleichungen zu einem guten Teil auf funktionen- theoretischer Grundlage entwickeln 1a13t. Man kann namlich grundlegende Methoden und Resultate der Theorie der komplex-analytischen Funktionen in systematischer Weise zur Ge- winnung von Satzen uber Eigenschaften der genannten komplexen oder reellen Losungen be- nutzen. In den letzten beiden Jahrzehnten sind zahlreiche Untersuchungen in dieser Richtung angestellt worden, vor allem von S. BERCMAN und seiner Schule. Einen zusammenfassenden uberblick uber den gegenwartigen Stand der Entwicklung gibt ein in Kiirze erscheinender Bericht von BERGMAN [l].

Zur Behandlung partieller Differentialgleichungen mit funktionentheoretischen Methoden oder unter Benutzung funktionentheoretischer Ergebnisse kann man die folgenden beiden Wege einschlagen :

(A) Nach dem Vorbilde der klassischen Funktionentheorie lafit sich eine ,,modifizierte Funktionentheorie" der ,,pseudoanalytischen" komplexen Funktionen f (z) = u(x, y) + i u(x, y), z = z + i y, entwickeln, bei denen u und u stat t der CAUCHY-RIEMANN-Gleichungen ein System zweier allgemeinerer partieller Differentialgleichungen 1 . Ordnung befriedigen.

(B) Man kann Integraloperatoren einfuhren, die koniplex-analytische Funktionen in Losungen gegebener partieller Differentialgleichungen transformieren.

Die vorliegende Arbeit befaat sich vor allem mit einigen Grundproblemen, die bei der Wahl des zweiten dieser beiden Wege auftreten. Die bisherigen Anwendungen von Integraloperatoren zeigen deutlich, da13 man, uin die Moglichkeiten, die diese Operatoren bietcn, auch praktisch voll ausschopfen zu konnen, die grundlegenden Eigenschaften der verwendeten Operatoren in allen Einzelheiten kennen mu13; die Definition eines Operators und die Kenntnis seiner ver- schiedenartigen Darstellungen bilden stets nur den Ausgangspunkt und bleiben ohne eingehende weitere Untersuchungen praktisch wertlos. Dies erklart auch, daB, obwohl die ersten Anfangc der Operatorentheorie schon uber 50 Jahre zuruckreichen (vgl. z. B. [2]), der Gedanke an prak- tische Anwendungen erst gefaI3t werden konnte, als diese Theorie wenigstens in einigen wesent- lichen Grundziigen entwickelt war (vgl. [3], [4] und die dort angegebene Literatur).

E. KREYSZIQ, Zur Behandlung elliptischer partieller Differentialgleichungen . . . 335

Die Reichhaltigkeit des in [ 11 gebotenen Materials zur Theorie der Integraloperatoren sollte ubrigens nicht daruber hinwegtauschen, dafl zur Zeit viele grundlegende Probleme noch gar nicht oder in fur praktische und numerische Zwecke nicht ausreichender Weise behandelt wurden.

Systeme der in (A) genannten Art treten bei verschiedenartigen Anwendungen auf. Wir wollen dies an Hand eines Beispiels kurz erlautern. Die Kontinuitatsgleichung einer zwei- dimensionalen stationaren rotationsfreien Stromung einer Flussigkeit, auf die keine auBeren Krafte einwirken, lautet

Hierbei sind x und y karlesische Koordinaten, @(x, y ) ist das Gescliwindigkeitspotential der Stromung und p die Dichte der Flussigkeit. Diese Gleichung laQt sich als Integrabilitatsbedingung des Systems

auffassen, wobei ?F/(x, y) die Stronifunktion der Stromung ist. Da e eine Funktion des Betrages q des Geschwindigkeitsvektors q = (ql, q2) ist, so sind diese beiden Gleichungen nichtlinear. Lineare Gleichungen erhalten wir durch den Ubergang zur Hodographenebene, d. h. durch Einfuhrung der Variablen q und 0 = arctg (q2/q1); es ergibt sich

_ _

(e @A + (e @Y)Y = 0 *

@@$=!PY, eCPy=-!Pz

p M 2 - 1 9 CDq = ___ Y o , @@ = - Y . . . . . . . . . .

e 9 e (1.1).

M = q/c ist die N I A c H - Z ~ ~ , c = (dp /de )1 /2 die lokale Schallgeschwindigkeit und p der Druck. Ini Unterschallbereich konnen wir die Koeffizienten dieser Gleichungen durch Einfuhrung der diinensionslosen Variablen

4 CI = J s-' (1 -- M'(s) ) ' /~ ds . . . . . . . . . . . . . (1.2)

U

auf die (abgesehen voni Vorzeiclien) gleiche Form bringen; wjr erhalten

mit @@ = S(u) !Po, cB0 = - S(u) Y@

S(U) = @-1 (1 - M2)1/2 . . . . . . . . . . . . . . (1.3). Diese Gleichungen liaben die Form

U E = S(q) u,, , uq = - S(7) UC . . . . . . . . . . . (1.4)

und konnen als Verallgenieinerung der CAUCHY-RIEMANN-Gleichungen aufgefaflt werden. So liegt es nahe, Losungspaare dieser Gleichungen zu ,,pseudoanalytischen Funktionen"

f(0 = u(E, T I ) + i u(E, 11) der koniplexen Variahleri 5' = 6 + i zusainmenzufassen und die Theorie dieser Funktionen nach den1 Muster der Funktionentheorie zu entwickeln. Dies beginnt damit, dafl man die Ab- leitung einer solchen Funktion f ( ( ) durch

f ' ( 5 ' ) = u, + i ut = S uq - ( i /S ) u,,

und das Integral uber ein rektifizierbares Kurvenstuck C mit dem Anfangspunkt 5, und dem Endpunkt durch

W ) = J I ( [ ) a = J [ u d6 - s u $4 + i J [u dE + ( U / S ) dql c C' G

definiert. Wie man leicht zeigt, gilt der Satz 1. Die Ableitung und das Integral einer pseudoanalytischen Funktion sind pseudo-

analytische Funktionen. Differentiation und Integration sind inverse Prozease. Vom praktischen Standpunkt aus gesehen, bedeutet dies, dafl man aus einem bekannten

Paar von Losungen der Gleichungen (1.4) durch Integration beliebig viele weitere Paare solcher Losungen erhalten kann. Die ersten Ansatze zu einer derartigen Behandlung des Systems (1.4) stainmen schon von PICARD und BELTRAMI, weitergehende Untersuchungen von BERS und GELBART [5], [6]. Es zeigt sich, daB man in der Theorie der pseudoanalytischen Funktionen viele Resultate erhalt, die Ergebnissen der klassischen Funktionentheorie entsprechen. Zum Beispiel zeigten BERS und GELBART unter Benutzung der Idee des GouRsATschen Beweises des CAUCHY- schen Satzes : 1st f (5 ) eine in einem einfachzusammenhangenden Gebiet G pseudoanalytische Funktion, so hat das Integral von f([) ubcr eine ganz in G verlaufende rektifizierbare geschlossene Kurve den Wert Null.

336 E. KJXEYSZIG, Zur Behandlung elliptischer partieller Differentialgleichungen . . .

Es folgt nun ein kurzer Hinweis zur praktischen Verwendung der Integraloperatoren, wobei wir das vorstehend gewahlte Anwendungsgebiet beibehalten und wiederum alle uber- flussigen Einzelheiten beiseite lassen. Wir gehen von (1.1) aus, eliminieren @ durch Differen- tiation, fiihren statt q die durch (1.2) gegebene Variable u ein und setzen Y = S-lin Y* mit S gemaB (1.3); dann ergibt sich

mit . (1.5)

Die explizite Form von F hangt von der Beziehung zwischen p und Q ab. 1st z. B. p = C e x

( x das Verhaltnis der spezifischen Warmen), so erhalt man durch Separation der Variablen zwei unendliche Folgen von Partikularlosungen

Yt ) = y,(u) cos n 0 , !Pi2) = pn(0) sin R 0 , n = 0, 1, . . . , wobei die vn hypergeometrische Funktionen sind. Unter Verwendung dieser Losungen hat CHAPLYGIN [7] die folgende Naherungsmethode zur Losung von Randwertproblemen bei kompressiblen Stromungen entwickelt : Man bestimmt zunachst das komplexe Potential des zugehorigen inkompressiblen Problems und stellt die Stromfunktion Y dieses Problems in der Form

03

(2 = 2 (an !@ + b, Ft') n = O

N

mit

dar. Dann ist Y::) = a n cos n 0 , 9 ~ 2 ) = un sin n 0

a7

y/ = S-1/2 Y* = S-112 2 (a, Yi1) + b, y I ( 2 ) )

n=O

eine Naherungslosung des gegebenen kompressiblen Problems. Verschiedene praktisch wichtige Problenie konnen mit dieser CHAPLYGIN-Methode be-

friedigend behandelt werden. Bei anderen Problemen fallen jedoch die folgenden Schwierigkeiten ins Gewicht : 1. Y erfiillt bei Ruckubertragung in die physikalische Ebene die Randbedingungen nur naherungsweise. 2. Die inkompressible Stromung hat Singularitaten in der Hodographen- ebene, so da13 die obigen Entwicklungen fur 9 und Y jeweils nur in einem Teil des betrachteten Bereichs konvergieren und man auf ein Fortsetzungsproblem gefuhrt wird. Selbst wenn man dieses fur den inkompressiblen Fall mit funktionentheoretischen Methoden gelost hat, so bilden die zugehorigen, in den verschiedenen Teilbereichen giiltigen Funktionen, die dem kompressiblen Fall entsprechen, im allgemeinen nicht die Fortsetzungen voneinander.

Um Losungen im grol3en zu erhalten, mu13 man sich also nach einem anderen Zuordnungs- prinzip zwischen den harmonischen Funktionen und den Losungen der Gleichung (1.5) umsehen. Ein solches 1aRt sich nach BERGMAN [S] in der folgenden Weise gewinnen: Man nimmt keine Separation der Variablen vor, sondern setzt die Losung von (1.5) in der Form

00

Y* = zL(u) h,(u, 0) (hn harmonisch) n=O

an. Dann ist 03

A Y * + F Y * = ~ [ ( I ~ + F L ) h n + 2 1 & ( h , ) u ] = 0 , n = O

wenn I0 = 1 ,

h, beliebig harinonisch, Id+l = I : + FAn

@n)u = - hn-1/2

gewahlt wird. Dabei hangen die I , nur von F ab und sind durch die Zusatzbedingung I , (- cm) = 0 eindeutig bestimmt. F hangt seinerseits nur von der Form der Beziehung zwischen dem Druck und der Dichte der betreffenden Stromung ab, so da13 die A, nach Vorgabe einer solchen Bezie- hung ein- fur allemal vertafelt werden konnen. Setzen wir h, = Re f,, wobei fo(() eine beliebige analytische Funktion von c = u + i 0 ist, und h, = Re f n mit

E. KREYSZIQ, Zur Behandlung elliptischer partieller Differentialgleichungen ... 337

dann ist die Rekursionsbeziehung fur die k, erfullt, und wir erhalten unter der Voraussetzung, dalj fo(0) = 0 ist,

Dies wird in den obigen Ansatz eingesetzt, und man bestimmt den Bereich der gleichmaljigen Konvergenz durch die Betrachtung einer geeigneten Majorante (vgl. [S]), worauf wir hier nicht naher eingehen wollen. Setzen wir

m

E(oy 0, = 2 n12" (- I)" A, (5 - z)" , n=O

so hat die erhaltene Losung die Form

Y* = Re p(f6) = Re] E(o, 0, z) &(z) dz . . . . . . . . . (1.6),

wobei 1; auf Grund des gegebenen Stromungsproblems geeignet zu bestimmen ist, vgl. [S]. In (1.6) haben wir einen In t egr a 1 o p e ra t or p vorliegen, der eine beliebige im Nullpunkt regulare analytische Funktion in eine Losung einer gegebenen elliptischen Differentialgleichung trans- formiert. E heiljt die E rzeugende dieses Operators, und &, heiBt die Zugeordne te der be- treffenden Losung.

Der vorstehende uberblick sollte auf einige Anwendungsmoglichkeiten der Theorie der pseudoanalytischen Funktionen und der Integraloperatoren hinweisen. In den folgenden Ab- schnitten behandeln wir einige Grundprobleme der Operatorentheorie.

0

2. Eine Methode zur Gewinnung von Integraloperatoren Wir betrachten die partielle Differentialgleichung

d P + a !P3 + p Yv + y Y = 0 . . . . . . . . . . . (2.1) und setzen voraus, daB (Y, /I und y analytische Funktionen der reellen Variablen x und y sind. Setzen wir diese Funktionen ins Komplexe fort, indem wir auch komplexe Werte von x und y zulassen und fuhren wir die (fur komplexe x, y unabhangigen) Variablen

z = x + i y , z * = x - i y

ein, so ergibt sich aus (2.1) wegen

a i a und ,az* = 2 (z + $) -=-(--i$) a i a a Z 2 ax

die Gleichung w,,* + a w, + b up,* + c w = 0 y Y(x, y) = w(z, z*) .

Diese laljt sich noch vereinfachen. Wir setzen

und erhalten

z* w = u exp {- 0 i a(z, [) d(}

. . . . . . . . . . L(u) 5 UZZ. + B u,. + c u = 0 * (2.21,

wobei B und C analytische Funktionen von z, z* sind. Um Operatoren zu gewinnen, machen wir nun den Ansatz

2 u = Pcf) 3 J E(z, z*, f) f(y(Z, f)) H(t) dt . . . . . . . . - (2.31,

k

wobei f eine beliebige analytische Funktion einer komplexen Variablen bedeutet und y(z, f) fur k 5 f 5 1 und alle endlichen komplexen z regular ist. Beim Einsetzen dieser Darstellung in (2.2) tritt ein Glied auf, das die partielle Ableitung f z enthailt. Dieses wird unter Benutzung von f, = f t qZ/yt partiell nach t integriert. So erhalt man

23

338

wobei

E. KREYSZIQ, Zur Behandlung elliptischer partieller Differentialgleichungen . . .

4 2 , z*, f ) = Ez* H yz/yt

und M(E) ein linearer Differentialausdruck in E ist, dessen Form noch von der Wahl von p(z, t ) und H(t) abhangt. Demnach gilt der

Satz 2. Ist E(z, z*, t ) eine Losung der linearen partiellen Differentialgleichung

fur die L(E) + M(E) = 0 . . . . . . . . . .

A(z, z*, k ) = 0 und A(z, z*, 1) = 0 . . . . . . .

. , ’. (2.4),

. . . (2.5)

gilt, so ist (2.3) eine Losung der Gleichung (2.2). Um Operatoren P( f ) zu crhalten, benotigt man also Losungen der Gleichung (2.4). Dabei

wird man y(z, t), H(t) und die Integrationsgrenzen k und 1 so wahlen, daB (2.4) eine einfache Form besitzt und (2.5) eine rnoglichst geringfiigige Bedingung hinsichtlich der Erzeugenden E des Operators bedeutet. Auf diesem Wege kann man verschiedenartige Operatoren zur Erzeugung von Losungen der Gleichung (2.2) aus analytischen Funktionen erhalten. Be i sp ie l : Fur p(z, t ) = z (1 - t2)/2, h ( f ) = (1 -- t2)-lI2 und k = - 1, Z = 1 erhalt man den BERGM AN-Operat Or

1

U ( Z , z*) = B(f) J” E(z, z*, t ) f ( ~ ( 1 - t2)/2) (1 - t2)-’/’ d f . . . . . (2.6). - 1

In (2.4) ist dann

und aus (2.5) ergibt sich die Bedingung, daB E,*/2 z t fur z = 0, t = 0 stetig sein mull. Die Wahl des Operators richtet sich nach den1 verfolgten Zweck. Um aus funktionen-

theoretischen Ergebnissen Satze uber das Verlialten der genannten Losungen zu gewinnen, mu13 der Operator so beschaffen sein, daB er grundlegende Eigenschaften der analytischen Funktionen f invariant 1aBt oder in iiberschaubarer Weise transformiert. Hat der inverse Operator

f ( z ) = P - y u )

eine einfache Gestalt, so kann man z. B. das Koeffizientenproblem der Losungen u(z, z*) mit funktionentheoretischen Mitteln behandeln und auf diese Weise aus den Koeffizienten c,, der Entwicklung

m o o u(z, z*) = 2’ 2 c,, z” z * n

mn=o n = O

einer Losung u auf die Anzahl und die Natur und Lage der Singularitaten der betreffenden Losung schlieBen; vgl. z. B. [9].

Wahlt man fur E eine bestimintc Klasse spezieller Funktionen (z. B. Polynome von f, deren Koeffizienten von z und z* abhangen), so ergeben sich aus dieser Wahl Bedingungen uber die Form der Koeffizienten von (2.2). So erhebt sich das grundlegende Problem der Bestimmung der Klassen spezieller Erzeugender E und der zugehorigen Klassen partieller Differentialglei- chungen (2.2), deren Losungen sich in der Form (2.3) mit einer solchen Erzeugenden darstellen lassen. Hieruber ist zur Zeit noch sehr wenig bekannt. Ein erstes abschlieflendes Resultat in dieser Richtung, und zwar uber Operatoren (2.6) mit Erzeugenden der Form

findet man in [ 101. Besonders bemerkenswert ist, daB die zugehorigen partiellen Differential- gleichungen (2.2) unendliche Folgen unabhangiger Partikularlosungen besitzen, die zugleich gewohnliche lineare Differentialgleichungen befriedigen, so daB man auf diese Weise die FUCHS- sche Theorie bei der Untersuchung dieser Losungen heranziehen kann; vgl. [12].

Der vorstehende Gedankengang 1aBt sich verallgemeinern und bei der Einfuhrung von Operatoren fur elliptische Gleicliungen 4. Ordiiung sowie fur Systeme zweier elliptischer Glei- chungen 2. Ordnung verwenden. Im Falle solcher Systeme erhalt man Operatoren, die analyti- sche Funktionen zweier komplexer Variabler in Losungen der genannten Gleichungen trans- formieren. Da die Theorie der genannten analytischen Funktionen jedoch noch nicht so weit entwickelt ist wie die klassische Funktionentheorie, so haben diese Operatoren zur Zeit eine geringe praktische Bedeutung.

E. KREYSZIG, Zur Behandlung elliptischer partieller Differentialgleichnngen . . .

3. Die Laplace-Gleichung in 3 Veranderlichen

Auch fur partielle Differentialgleicliungen in 3 unabhangigen Variablen existieren Integral- operatoren, die analytische Funktionen in Losungen solcher Gleichungen transformieren. Trotz der erheblichen prinzipiellen Schwierigkeiten, die sicli beim Ubergang von 2 zu 3 oder mehr unabhangigen Variablen ergeben, lassen sich auf diese Weise init Hilfe funktionentheoretischer Methoden Ergebnisse gewinnen, die von praktischem Interesse sind.

339 ~ _ _ _ .___.____

Wir betrachten die LAPLACE-Gleichung

Y z z + Y y g + Y z z = 0 . Mit

erhalten wir H,, - H ~ ~ . = 0 , N ( X , Z, Z * ) = Y(X, y, z) . . . . . . . (3.1).

1st f(u, 5) eine analytische Funktion von

und 5, so ist u = x + zg + z"5-1

H ( X , Z , Z*) = Q(f) E f (u, 5) 5-l d[ . . . . . . . . . (3.2) 2 n i ' S 1:/=1

eine Losung von (3.1). Dieser Operator Q(f ) wurde schon von WHITTAKER [a], allerdings nur fur lokale Untersuchungen, und spsterhin von BERGMAN [13] benutzt. Indem nian fur f Polynome, rationale Funktionen, algebraische Funktionen usw. wahlt, gelangt nian zu einer systematischen Klassifikation der harmonischen Funktionen H derart, daI3 die Funktionen jeder solchen Klasse gewisse grundlegende Eigenschaften niiteinander genieinsam haben.

Wahlt man f(u, [) = uTnCn (n ganz, m = 0, 1, . . .) ,

so erhalt man im wesentlichen Kugelfunktionen. Interessanter sind Funktionen H , deren Z u- g e o r d n e t e f(u, 5) Singularitaten besitzen. Betrachten wir zum Beispiel

wobei p ein Polynorn in u und 5 niit korriplexen Koeffizienten ist, das fur alle (x, y, z) in einem gewissen Bereich B des xyz-Raunies lauter einfache Nullenstellen besitzt. Dann konnen wir mit Hilfe des Residuensatzes einen expliziten Ausdruck fur die zugehorige Funktion H erhalten. Nun hangen die Nullstellen von p von x, y, z ab und liegen fur gewisse Punkte (x, y, z ) auf dem Integrationsweg I[] = 1. Diese Punkte bilden gewisse Regelflachen, die den (im allgemeinen mehrfach uberdeckten) reellen xyz-Raum derart in eine endliche Anzahl von Teilen zerlegen, daI3 H in diesen verschiedenen Teilen durch verschiedene analytische Ausdrucke gegeben ist. Jede dieser so erhaltenen Funktionen konnen wir analytisch in den ganzen Raum fortsetzen und deren Singularitaten untersuchen. Ahnlich ist die Lage bei komplizierteren rationalen Funktionen f .

Umgekehrt kann man gewisse Typen algebraischer Kurven im reellen xyz-Rauni vorgeben und dazu Funktionen f derart bestinimen, daI3 die zugehorigen, wie soeben beschriebenen fort- gesetzten Funktionen H langs dieser Kurven singular und sonst regular sind. Z. B. gilt der einfache

Satz 3 . Es sei K ein beliebiger gegebener Kreis irn xyz-Raum. Dann lassen sich die (komplexen) Koeffizienten a, b, c von

f (4 0 = [ / [ a + (b + 4 5' + c PI so bestimmen, dull die zuyehorige harmonische Funklion H genau langs K singular ist.

Der Beweis ergibt sicli rnit I-lilfe des Residuensatzes, aus dein folgt, dal3 die Singulari- taten von H in den Punkten liegen, in denen die Diskriminante des Polynoms a + ( b + u) 5 + c (2

verschwindet. Um die Untersuchungsmethoden und die lypischen Eigenschaften der mittels Integral-

operatoren gewonnenen harmonischen Funktionen noch etwas naher zu beleuchten, betrachten 23 *

340 E. KRXYSZIG, Zur Behandlung elliptischer partieller Differentialgleichungen . . .

wir nun die Funktionenl) m = 1 , 2 , . . . n ganz k = x + iA = konst.

und deren Singularitaten. Den Integranden bezeichnen wir mit F. Es ist

1 2ni H,,(X, z, Z*) = __ 1 (u - k)-m ("-1 d( . . . (3.3)

ICI=1

F = Z-" [(c - cl) (c - [,J]-" [m+n-l 9

wobei

c1 = (2 Z)-1 (R - p ) , 5% = - (2 Z)-l ( R + p ) [ R = (pz + y2 + ~ ' ) l ' ~ 9 p = 2 - k]

die Wurzeln der Gleichung p + z-1 p [ + z-1 z * = 0

sind. F hat im Punkte [ = cl das Residuum m - 1 n-1-1

A,, = (- 1),+1 Z-nL c (" +;- l) (- m-A-1 ) (C, - cz)-m-l 9

rl=o

oder wegen cl - cz = R/Z

und im Punkte 5 = tz das Residuum

Za R-"; . . . (3.5). m - 1 n-A-1

m-A-1 Bmn = R-" 51 2 (- l)R+l a=o

Fur n 5 - m hat F einen weiteren Pol im Punkt = 0, und das Residuum ist

m + A - 1 -m--A

Crnn=Z-mC;"5i 2 ( ~ )(I m - n - A "-"')(&r . . . . . (3.6).

1=o Es ist

(x $ Re k ) .

Auf Grund des Residuensatzes gelten also die Darstellungen

Hmn = {;I: (J: > Re (n>-m) . . . . . . (J: < Re k)

. . (3.7)

bzw. A m n + C m n

Brnn + C m n

(X > Re k ) (J: < Re k)

(n 2 -m) . . . . . . (3.8). H m n =

Wir betrachten die Singularitaten der Funktionen auf der rechten Seite von (3.7) und (3.8) im ganzen Raum. Aus dem Residuensatz folgt zunachst, daI3 diese vier Funktionen langs des Kreises (bzw. fur reelles k in dem Punkt)

x = Re k , yz + z2 = (Im k)' . . . . . . . . . . . (3.9)

singular sind. Weitere Singularitaten konnen in Punkten des x-Achse (y = z = 0, d. h. Z = 0) auftreten. Aus der Form der Residuen folgt, daI3 dies keine wesentlichen Singularitaten sein konnen. Um das Verhalten der Funktionen in einem solchen Punkt P zu untersuchen, konnen

Ein Nachteil der Integraloperatoren im Zusammenhang mit praktischen Problemen ist die Tatsache, daI3 die erhaltenen Losungen im allgemeinen nicht in einfacher Weise mit bekannten speziellen Funktionen zusammenhiingen. Es ist deshalb bemerkenswert, da13, wie man zeigen kann, sich die Funktionen Hmn durch hypergeometrische Funktionen darstellen lassen, worauf wir in der vorliegenden Arbeit nicht nilher eingehen wollen.

E. KFLEYSZIO, Zur Behandlung elliptischer partieller Differentialgleichungen . . . 341

wir demnach F = (x, y, z) in irgendeiner Weise gegen P streben lassen, etwa langs einer Geraden x = konst. in der xz-Ebene. Fur y = 0 wird

> . . . . . . . . . (3.10),

wobei p = x - k, q = - p ist und 9?l bzw. 8, die Gebiete Re p > 0 bzw. Re p < 0 bezeichnen. Weiterhin seien El bzw. E, die Teile der x-Achse in !JIl bzw. !JIz.

Aus (3.4) und (3.10a) folgt: Fur n 2 0 ist A,, in !JIl regular. Fur 0 > n > - rn ist

(3.4) beginnt mit dem -2 = - n entsprechenden Glied, und in diesem Glied hat (cl Z)- , fur F E El wegen (3.10a) eine Nullstelle der Ordnung - 2 n (> 0), wahrend etwa vorhandene weitere Glieder Nullstellen von noch hoherer Ordnung besitzen. Da der Faktor [T in (3.4) fur g E einen Pol der Ordnung - n besitzt, so ergibt sich insgesamt, daR A,, fur n > - m in g1 regu- lar ist. Fur n 5 - m ist A,, singular langs El und regular in !Jll - !Ill, wie man aus (3.4) und (3.10a) sieht.

Wir betrachten A,, in %,. DaR A,, fur n 5 0 in $3, regular ist, sieht man unmittelbar aus (3.4) und (3.10a). Aus

und (3.4) folgt m-1 1

A,, = (- l)m+l R - m c 2 2 (" +;-') (- m--2-1 - ') (") v (Z C,/R)' . . (3.11). a=o u=o

Von dem Vorfaktor abgesehen, hat ( Z [,/R)' den Koeffizienten

und es ist

K m a u = O , v = O , l , . . . , n - 1 , ( n = 1 , 2 , . . . , m-1).

Fur 0 < n < m ist also ( Z [ , / R ) n die niedrigste in (3.11) auftretende Potenz von Z[ , /R . Mit (3.10) folgt hieraus, daR A,, fur n < m in 912 regular ist. Fur n 2 m ist Kmno + 0. Hieraus ergibt sich, daR A,, fur n 2 rn langs 21z singular und in '& - 21z regular ist.

Das Verhalten von B,, ergibt sich unmittelbar aus den bisherigen Betrachtungen, indem man bedenkt, daI3 Bmn durch Vertauschung von und 5, aus A,, hervorgeht. Das Verhalten von C,, laRt sich in ahnlicher Weise untersuchen wie dasjenige von A,,. SchlieI3lich muR man noch die Summen A,, + C,, und Bmn + C,, in (3.8) daraufhin untersuchen, daI3 sich bei der Summierung z. B. von A,, und C,, nicht die vorhandenen Singularitaten paarweise alle weg- heben. Es zeigt sich, daR dies nicht der Fall ist. Damit konnen wir das Ergebnis folgendermaRen zusammenfassen :

Satz 4. Die harrnonischen Funkfionen (3.3) sind liings der Ebene x = Re k unstetig. Setzt man f = (x, y, z) und

H2; Hmn = {P;;

fur F in den Gebiet sl: fur in dem Gebief FR,: x < Re k ,

x > Re k

342 W. BOLLERMANN, EinschlieBung von Eigenwerten unter Verwendung des Maximum-Minimum-Prinzips _______ ~~

so sind Hgk und H$L fiir n > -- m durch (3.7) und fur n 5 - m durch (3.8) gegeben. Diese Funk- tionen sind langs des durch (3.9) dargestellten Kreises (bzw. Punktes) singular und verhalten sich, im ganzen xyz-Raum betrachtet, wie folgt :

I . Fiir n I m ist H% langs des Teiles %I2: x < Re k der x-Achse singular und im Bereich : x > Re k der x-Achse singular und im U (5R2 - D,) regular, wahrend HE; langs des Teiles

Bereich (5Rl - !?Il) U R, regular ist. II. Fur - m < n < m sind H$)% und HgL im Bereich 5Rl U I I I . Fur n 2 - m sind H:; und HZA langs der x-Achse singular und im ubrigen Teil des

Schlierjlich sei noch angemerkt, darj sich die vorstehenden Methoden zum Teil verall-

regular.

Bereiches 5Rl U g2 regular.

gemeinern und bei der Untersuchung von Gleichungen der Form

Yz, + !Pgy + !Pzz + a(r2) Y = 0 , r2 = x2 + y2 + 22

und anderer Gleichungen in drei unabhangigen Variablen verwenden lassen.

Literatur [l] S. BERGMAN, Integral Operators i n the Theory of Linear Partial Differential Equations. Erg. d. Math.

[2] E. T. WHITTAKER, On the partial differential equations of mathematical physics. Math. Ann. 57 (1903),

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Manuskripteingang : 25.6.1959

Anschrift: Prof. Dr. E. KREYSZIG, Dept. of Mathematics, Ohio State University, Columbus, Ohio, USA

ZAMM 40 (1960) Heft 7/8, Seite 342-340

Zur Einschlieflung von Eigenwerten unter Verwendung des Maximum-Minimum-Prinzips*)

Von WERNER BOLLERMANN

Es wird ein Yerfahren zur Ermittlunq von uuteren Xchranken fiir Eigenwerte hergeleitet, die bei Eiqen- wertaufqaben qewohnlicher linearer Differential~leichunqe?~ des selbstadjunqierten und volldefiniten T y p s auftreten.

A method is derived for finding lower bounds for eiqenvalues pertaining to eiqenvalue problems of ordinary linear differential equations that are self-adjoint and full-definite.

BblBOjpiTCH cnoco6 HJIH OnpeaeneIIMR HEIWHEIX rpaHllU CO6CTBeHHbIX 3HaqeHHb) BcTpesam- I4HXCH B 3aAazIaX 0 CO6CTBeIIIIbIX 3HaYeHHHX 06hIHHOBeHIIbIX JlHHehbIX HH@@epaHUIIaJIbIxbIX ypaBHeHMH caMoconpmwx~Ioro II IIOJIHO onpeHenearIoro Tma.

1. Einleitung Das RITZ-GALERKINSChe Verfahren liefert bekanntlich bei Eigenwertaufgaben gewohnlicher

linearer Differentialgleichungen in der selbstadjungierten und volldefiniten Form obere Schranken fur die Eigenwerte. Innerhalb dieser Arbeit sol1 bei inoglichst geringer Einengung des Anwendungs-

*) Kurzfassung der Dissertation des Verfassers: Hannover 1958, Ref. Prof. Dr.-Ing. H. UNQER und Prof. Dr.-Ing. K. JAECKEL.