2. mgew. Math. Mech. Bd.33 Nr.7 Juli 186s Kleine Mitteilungen 249

Wegen

braucht man das universale Strahlbiischel nur fur - 1 s 2 1 zu zeichnen und hat beim Vbergang von x zu 1/x bloB die Reihenfolge der Punkte A, auf dem Pauspapier umzukehren.

Fiir variables z bescbreibt der Punkt P((, 0 ) eine Kurve mit der Parameterdarstellung

aus der folgt : r] = f 4 . Sie ist a190 rational von der ( n + l)-ten Ordnung und hat im Ursprung einen n-fechen Punkt mit den Tangenten q = Xk * 4, wobei

Wien. A. H u b e r .

(0 f (%) = 0.

Zur Diisenstromung mit Reibung. Bei der thermodyntlmischen Berechnung von

Stromungsmaschinen wird i. a. die Reibung an den Kanalwiinden durch Einfiihrung eines sog. Ge- schwindigkeitsbeiwertes unter der Annahme beriick- sichtigt, daB bei konstantem Druckim Spelt zwischen Duse und Laufrad eine dem Geschwindi keitsverlust entsprechende Enthalpiezunahme und Entropie- vermehrung des Arbeitsmittels eintritt ; der Be- stimmung des Durchaatzes werden ublicherweise unter Verwendung eines sog. Sicherheitsfaktors die- jenigen ZustandsgroBen im engsten Querschnitt zugrunde gelegt, die sich bei isentropischer Stromung unmittelbar aus den kritischen Werten ergeben. - In der vorliegenden b m e n Notiz ist versucht worden, nach Ableitung der fur die Diisenstromung mit Rei- bung giiltigen Beziebungen eine fur technische Zwecke geeignete Niiherungslosung aufzustellen.

Bei dcr hier vorausgesetzten Expansionsstromung m8ge die an der Kanalwand durch Reibung erzeugte Wiirme dem Gas verlustlos wieder zugefiihrt werden; der Kanal moge die Gestalt einer Lavalduse haben, das Druckgefiille zwischen Diiseneintritt und -&us- tritt sei als iiberkritisch vorausgesetzt. Der gas- dynrtmische Zustand im engsten Querscbnitt und somit auch der Massendurchsatz ist infolge der adiabatischen nichtisentropischen Strbmung zu- niichst unbekannt; die Bestimmung dieser Werte kann nicht durch die Losung einer einfachen Extre- maIa,ufgs;be erfolgen, wie dies bei der Betracbtung der reibungsfreien Stromung geschieht.

Wird f i i r die von der Diisenoberfliiche dO = nD - d x (kreisformiger Querscbnitt, D : Diisen- durcbmesser, x: Diisenabzisse, in Stromungsricbtung positiv gerechnet) herriihrende Reibungskraft d R der Ansatz

d R = c B n D g W a . d x

(CR: Reibungsbeiwert, p : Dichte, w : Geschwindigkeit) gemacht, so gilt wegen drn = pF * d x (m: Masse des Mediums, F: Dusenquerschnitt) fur die der Massen- einheit durch die Reibung zugefiihrte Energie de:

2

daher ist nech dem 2. Hauptsatz der Wiirmelehre n D 2 F T * d 5 = ~ ~ - ~ * - - . d x . . . . (1)

soll die in der Zeiteinheit durch einen Kanalquer- schnitt stromende Masse rh, die bei gegebenem Aus- gangszustand vom Zustand im engsten Diiseo- querschnitt (Index ,,mint') abhiingt, durch den Ver- Iustfaktor ( auf die leicht berechenbare isentropiscbe Stromung bezogen worden. Die thermische Zustands- gleichunp;, in den Variablen p, T und 8 geschrieben

1

( c ~ , ,,: spezifische Wiirmen j e Masseneinheit, der In- dex ,,O" bezieht sich auf den Ausgangszustand) und die Energiebeziehung

t 9 - w , a = 2 c p . ( T o - T ) . . . . .(4), vervollstiindigen das zur Bestimmung der Unbe. kannten T , e, 8 und u) notwendige Qleichungssystem.

Die Dusenabmessungen sollen auf den engsten Querschnitt bezogen werden.

Ferner soll die sog. Kesseltemperetur (Ruhezustand) eingefiihrt

und Too = To + w02P cs

6 = T/TO, , u = ( 5 - s 0 ) / ( c p - c,,) gesetzt werden. Dann nehmen die aus (1) und (4) bzw. (2) und (4) sich ergebenden Reziehungen die Form an:

4% 1-8 1 du -CR--.-=- x - 1 6 6 df . * . . ( 5 ) ,

Nach (5) und (6) gehorcht die Temperatur im Kanal der fur einen vorgegebenen Diisenquerschnitt nu- mensch zu losenden Gleichung

I 1

6' 4% =2---

in welcher der Abwertungsfaktor 5 nicht auftritt (6' = ds/d(). Am (8) ergeben sich nacbstehende Folgerungen :

a) Da die ortliche Schrtllgeschwindigkeit c lediglich von der Temperatur und die Stromungsgeschwindig- keit nach (4) nur vom Temperaturgefiille abhiingt, wird die kritische Temperatur

durch die Reibung nicht beeinflu&; daher wird nach (8) der kritische Zustand (c = to) hinter dem engsten Diisenquerschnitt - in Stromungsricbtung gereohnet - an der Stelle 5kr erreicht, an der

bzw. d ' = X C R a . . . . . (10)

( T : Temperatur, 8 : Entropie je Masseneinheit). In der Kontinuitiitsbeziehung

P p w = ri, (Tmin, amin) = ( * lia ( C R = 0) . (2)

250 Buchbeaprechungen Z. MgeW. Math. Mech. Bd. 95 Nr. 7 Jull 1063

ist, wobei Fmin = 2 Rmin: Dmin gesetzt iet und Rmin den Kriimmungshalbmesser am engsten Diisen- querschnitt bedeutet.

b) Fiir die Temperatur &,,in im engsten Diisen- querschnitt (6’ = 0, S = 1) liefert der Ansatz

unter Beriicksichtigung von (S), (9), (10) und (11) nach umfangreichen elementaren Umformungen den Ausdruck

Nach Ermittlunp der Temperaturverteilung nach (8) kann die Entropie nach (5) durch einfache Quadratur bestimmt werden, wobei sich der thermodynamische Zustand des Mediums im engsten Querschnitt und nach (6) der Verlustfaktor 5, also der Gasdurchsatz ergibt.

Zur Vermeidung der ausgedehnten numerischen REtchnungen kann unter ersichtlichen Vernach- lgssigungen ((u = 0 in (6)) ein hinreichend befrie- digender Niiherungswert der Entropie berechnet werden, zu welchem Zweck ein Ersatz der in (6) auf- trotenden Temperaturfunktion notwendig ist :

Tm AnschluB an S t o d o 1 a kann im unterkriti- schen bzw. schwachuberkritischen Gebiet die fur den Durchsatz charakteristische Funktion

durcb eine Ellipeen leichung mit guter Anniiherung wiedergegeben werfen:

wobei die Konstante fkr mit der in (7) eingefiihrten Konstanten K wie folgt zusemmenhiingt :

Mit (13) liefert (6) und (5) einenersten NiiherungRwert f i i r die Entropie im engsten Querschnitt:

mit

Fur technische Berechnungen diirfte bereits der aus (14) in Verbindung mit (12) bestimmte thermo- dynamische Zustand im engsten Kandquerschnitt und der damit nach (6) und (2) sich ergebende Gas- durchsatz hinreichend genau ermittelt sein. Eine weit ere Verbesserung konnLe bei variabler oberer Urenze des Integrals in (14) wia iiblich nach der Methode der sukzessiven Approximation gewonnen werden; die hierzu notwendige Rechenarbeit wiirde jedoch a n Umfang nicht derjenigen nacbstehen, die bei der ohne Vernachliissigung durchgefuhrten Rech- nung erforderlich ist.

Bei einer nicht erweiterten Duse bzw. einer Laval- diise mit unterkritischem Gegendruck tritt an Stelle von (12) die Bedin ung, daB am Kanalaustritt der vorgegebene Spaltiruck herrschen mull; in Ver- bindung mit (14) ergibt sich aus dieser Forderung eindeutig der gasdynamische Zustand am Diisen- austritt.

Berlin-Lichtenberg. W. B a d e r.

Differentiation durch Integration Zur Differentiation empirischer als Tabelle gegebener

Funktionen werden in der Regel die Ableitungen der Interpolationspolynome benutzt. MeBfehler der em- pirischen Funktion lassen dabei die Differential- quotienten nur ungenau angeben. Verbindet man je- doch die Differentiation mit einer Integration, so werden durch diese die MeBfehler ausgeglichen.

Fur die Ableitung y’ der gegebenen Funktion y setzt man ein Polynom b, + b,x + * * * + bnx” an und be- stimmt dessen Beiwerte b aus dem Minimalprinzip

V = f l f { b , + b , x + ~ ~ ~ + b ~ x n -y’}Bdx=Min. -1

Durch Differentiation von V nach den be erhalt man die n + 1 linearen Gleichungen fur die be:

+1 J x Q * { b , + b i z + . . . + b n z n } d x =

-1

( e = O ; 1 ; 2 ; . . . . n).

Fur n = 3 ergeben sich z. B. die Beiwerte

15 35 bl = s (3 KS - KO); b, = - 8 (5 K, - 3 K1).

Nach Berechnung der Beiwerte be ermoglicht der Ver-

gleich von J (b, + b, x + . . . + bnxn) * d x mit y(x) eine Fehlerabsch Btzung.

2?

Harmover. H.v. S a n d e n .

BUCHBESPRECHUNGEN M. Bergstrasser, E v o I v e n t e n g e o m e t r i e

f ii r S t i r n r ii d e r g e t r i e b e. (VDI-Forschungs- heft 436.) 24 + 38 Seiten m. 41 Abb. u. 3 Zahlen- tafeln. Diisseldorf 1952. Deutscher Ingenieur-Verlag G. m. b. H. Preis i5,- DM, fiir VDI-Mitglieder 13,50 DM.

Das Heft gibt eine klare Gliederung der Grund- begriffe und Paarungsgleiohungen fur Geradzahn- Stirnrader, der Vergleichsbeiwerte, des Bereehnungs- ganges und der Verzahnungebedingung, der allgemei-

nen Korrektur schragverzahnter Stirnrader und der mathematischen Grundlagen. Die Untersuchung uber die Geometrie der Verzahnungen wird der Fachwelt aus dem Grunde vorgelegt, weil in ihr eine von der iiblichen Darstellungsweise abweichende Frage- stellung erortert wird, die zu niitzlichen Paarungs- gleichungen fur die Behandlung der allgemeinen Evolventenverzahnung fiihrt. uber den Wert der Kor- rektur der Verzabnung ist man sich in der Praxis seit langem im klaren. Es ist zu begriilen, daB in dem vor-