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Zur d y n a m i s c h e n Theor ie der Raumgi t t erbeugung . II.
Von E. Fues in Breslau.
Mit 9 AbbiIdungen. (Eingegangen am 28. Februar 1938.)
Zur Berechnung der Beugungskopplung yon n starken Wellen im Gitter werden einige Hilfsvorstellungen und Rechenverfahren entwicke]t.
1. Einleitung. Vor kurzem wurde im ersten Teil dieser Arbei~ 1) die gemeinsame
Wurzel der Theorie der Wellenausbrei~ung in Gittern einerseits, der dynami- schen Theorie der Beugung am Gitter andererseits, dargestellt. Eine ein- fache StSrangsrechnung, wie sie in der Elektronentheorie der ~Ietalle und in der Theorie der Lichtausbreitang in Schallfeldern Oblich ist, erlaubt, das Binnenproblem der Ausbreitang yon Wellenbiindeln im Gitter zu 15sen; die gew6hnlichen Ansgtze fiir den WellenObergang in andere ~iedien lassen andererseits erkennen, in weleher Weise eine auf die Kris~allberandung yon aui3en einfallende Welle mit FIilfe solcher Wellenbiindel inn Gitter
hinein fortgesetzt werden muB. In einem GitterwellenbOndel sind n ,,starke" Wellen dynamisch ver-
koppelt, d.h. so, da~ sis sioh dutch fortgese~zte Beugung gerade gegen- seitig aufreehterhalten. Dieses Koppltmgsproblem fiihrt indessen auf eine algebraische Gleiehung n-ten Grades [Gleichung (17) bzw. (24) in Tell I], deren LSsung iOr n ~ 4 nicht allgemein angegeben werden kann and schon f~r n ~ 2 auf komplizierte and aus diesem Grunde for ein allgemeines Verst~ndnis nichtssagende Formeln fiihrt. )clan kann zwar aus ihnen in jed.em praktischen Falle dutch numerische Rechnung jede gewOnsehte Auskunft olme Schwierigkeit erhalten, doch ist es bei der Vielfi~ltigkeit der Fl~chen n-ter Ordnung gar nicht einfach, die for das betreffende Problem wesentlichen WOnsche anzugeben. FOr die allgemeine Behandlung wird man daher ein qualitatives Verfahren vorziehen, welches an anschau- lichen Modellen der Eigenwert- bzw. ,,Dispersionsfl~che" erlaubt, die typischen F~lle zu ordnen und der Rechnung in jedem Einzelfalle wohl- umrissene Teilffagen zu stellen. In der vorliegenden Arbeit sind solche Hilfsvorstellungen entwickelt und einige l~echenmethoden zusammen- gestellt, die es ermOglichen sollen, gewisse Seiten des allgemeinen Kopplungs-
~) E. Fues, Zur dynamisehen Theorie der Raumgitterbeugung 1, ZS. f. Phys. 109, 14, 1938; im folgenden als ,,L" zitiert.
Zur dynamischen Theorie der lqaumgitterbeugung. IX. 237
problems in Angriff zu nehmsn. Es is~ zu herren, dat~ sigh aus ihrer Zu- sammenftigmlg eine begriindete Einsieht in den Meehanismus der Beugungs-
kopplung und damit eins zuverl~ssige Beurteilung des n-Strahlenprobisms ergibt. Ztmiiehst ist in der vorliegenden Arbeit (wie in Teil I) die dynamisehe Kopplung yon ~ skalaren Wellen be~rach~et, doch ist sp~ter (Absehnitt 5) gezeigt, wie die Ergebnisse auf die Beugung elektromagnetischer Wellen zu erweitern sind. Die Kopplung vektorieller Wsllen ist demselben Ver- fahren, nut mit zwei- oder dreimal so umfangreieher Algebra, zug~nglieh. Ale ein Hauptergebnis der vorliegsnden ]~etrachtmlgen darf ausgesproehen
werdsn, daJB sin Gitter mit ]~asis dem Kopplungsproblem um niehts grSBere Sehwisrigkiten bereitet, als ein einfaehes Translationsgitter.
2. E~genwert~ bzw. Frequenz[liiche ~ber dem ~-Raum. Darstellung der Gitter- wellenb~ndel dutch Zustandspunkte in den Sperrbereichen des [-Raumes.
Es ist zur Erledigung des t~andproblems mit n Strahlsn notwendig, sine ~bersicht zu gewinnen, welche Gitterwellen bzw. welehe Oitterwellen- bgndel mit siner vorgegebenen Frequsnz -~ertr~iglich sind. Diesem Zweck dient in dsr ~blichen dynamischen Theorie die Betraehtung dsr ,,Dis- persionsflaehs"; in unserer Darstellung entspricht ihr das Studium der Eigenwert- (d. h. der to2/@-) Fl~iche ~ber dem ]~-l%aum, oder - - in grS~erer Sloezialisierung - - des Fl~che einer bestimmten Frequenz o9 ~m t~-Raum. Es erleiehtert die Einfiihrung, wenn wir von niederdimensionalen ~-l%gumsn zum dreidimsnsionalen fortsehreiten, tiber dem letztlich die Eigenwert- flgohe in einer visrten Dimension darzustellen w~ire. Denn erstens ist fi~r ein- und zweidimensionale ~-Bereiehe der gauze Sachverhalt noeh dutch zeiehnsrische Hilfsmittel zu erhellen, zweitens daft am ehesten vorausgesetzt werden, da~ dis Eigenschaften tier oft besproehenen Mathieusehen Differentialgleichung (dem eindimensionalen ~-l~aum entspreehend) clem Leser gel~iufig sind. Wir steigen deshalb ira folgenden yon einer zu zwei und d_rei ~-Dimensionen aufl).
Bei der eindimensionalen Hillschen oder einfacher noeh bei der Mathieusehen Differentialgleiehung
u" + @2/c~ + ~ c o s 9 s x/a) u = 0
1) Die Darstellung lehnt sich an die grundlegenden Betrachtungen yon L. Bri l louin an (Quantenstatistik, S. 281ff., Berlin, Julius Springer, 1931). Sie wird ganz ~hnlich vorgehen wie A. Sommerfe td und A. H. Bethe in ihrem Artikel tiber Elektronentheorie der Metalle (Handb. d. Phys. Bd. XXIV/2, Berlin, Julius Springer, 1933). Doch erfordert unser Zweek ein n~iheres Ein- gehen auf manche Einzelheiten.
238 E. Fues,
haben wir als ,,nullte" N/~herungslSsungen die Wellen
us = e ~ ; k~ = ~/c~,
denen sich die vollstgndigen LSsungen
Uk x = ~tt 0 + ~ U 1 + ~2 U2 + . . .
in hSherer Niiherung stetig anschliel~en. Der Eigenwert zu jedem u ~ wird in nullter und erster N~herung (lurch die in Fig. 1 eingezeichnele Parabel
F i
o ~ A
N Y
r
e g s g ~ff ~ B g
Fig. 1. Eigenwertkurve der M a t h i e u s c h e n Dif~erentialglelchung tiber dem eindimensionalen ~-Raum.
o~/c ~ = k~ mit Scheitel A angegeben, umgekehrt kann aus ihr abgelesen werden, welches k~ tier nullten Ngherung mit einem vorgegebenen oJ ver-
trgglich ist.
Allerdings ist die Zuordnung der LSsung uk~ zu einem bestimmten k~
lediglich dadurch hegrtindet, dal~ in der Fourier-l~eihen-Darstellung yon uk~ die Welle % = e ~ x mit ganz aberwiegender Amplitude (und daher schon in nullter Ngherung) vorkommt neben schw~eheren anderen Wellen der Art e ~k~+h'2~, wo he einen Gittervektor in dem (in Fig. 1 durch
B, C . . . . . B, C . . . . markierten) linearen Gitter tier Punkte h~ = n b = n 9. s / a (n = ~ 1, ~2 , 4- 3 . . . . ) bedeutet. Man w~re also, wenn man auf den Grad der Anngherung nicht achtet, ebenso berechtig~, den Eigen- wert ~ / c ~ einer Ausbreitungskonstanten (k~ § n . 2 s /a) zuzuordnen, was dureh die schwach eingezeiehneten Parabeln mit Scheitel in B, C , . . . angedeutet ist. Doeh wird man davon solange keinen Gebrauch machen, sis in nullter N~herung eine Ausbreitungskonstante k~ wirklich aus-
gezeichnet ist.
Zur dynamischen Theorie tier Raumgitterbeugung. II. 239
Wie in I. erSrtert, ist das nur solange der Fall, als k x nicht gewissen
(in Fig. 1 als I, I I . . . . . I, I I . . . . markierten) Sperrbereichen angeh6rtl). F~llt es dagegen in einen Sperrbereich, wie z. B. das k~ des Punktes 1 in II, so kann als nullte Naherung der LSsung nicht mehr eine einzelne Wel.le e i k~ ~ gelten, sondern nut noch eine bestimmte Linearkombination dieser Welle mit der mit ihr verkoppelten und fast entarteten Welle e i ~. ~ des (um h~ = - - 4 z/a welter links fast auf gleicher HShe liegenden ) Punktes 2. Solcher Linear- kombinationen gib~ es zwei; sie gehSren abet weder zum ungestSrten Eigen-
wer~ der Welle 1 noch dem der Welle 2, sondern in erster N~herung zu ab- weichenden Eigenwerten, was durch die hakenar~igen Unterbrechungen der Eigenwertparabel in den Sperrbereichen angedeutet ist. Jede der beiden Linearkombinationen stellt im eindimensionalen Falle die nullte N~herung eines ,,Gi~terwellenbimdels" dar, yon denen in I. ausf•hrlich die Rede war. Durch den Zustandspunkt 1 soll daher im folgenden dasjenige Gitterwellen- b~ndel gekennzeichnet werden, das sich in nullter N~herung aus den Wellen 1 und 2 zusammensetzt, abet in ers~er N~herung zur Frequenz ~1 gehSrt; entsprechend soll der Punkt 2 das andere aus denselben Wellen kombinierte \u bedeuten, das abet zur Frequenz ~% gehSrt. Punkte im Sperr- bereich bedeuten also nicht Wellen, sondern Wellenb~ndel! Die Tatsache der Entartung, sowie die qualitative Abweichung der Hakenkurve yon cler Parabel werden nun besonders einleuchtend, wenn man f~r die Welle 2 ihre
obenerwiihnte verschobenv Darstellung durch den im selben Sperrbereich mit 1 gelegenen Zustandspnnkt P.' auf der Parabel mit Scheitel C benutzt (oder flit Welle 1 den Punk~ 1" auf der nach links verschobenen Parabel
mit Scheitel U). Diese verschobene Darstellung bringt sachlich nichts Neues, abet sie l ~ mit einem Blick in den kritischen Sperrbereich qualitativ i~bersehen, welche Linearkombinationen die Gitterwellenbtindel aufbauen, ii~ welchem Sinne die Frequenzabweichungen zu erwarten sind, wieviel Gitter- wellenb~ndel unter Beteiligung einer bestimmten Einzelwelle es gibt, und
- - das wird fiir das l~andproblem wesentlich sein - - welche B~ndel zu einer bestimmten Frequenz existieren. Sie l ~ t sch]iei~lich die Frequenzlitcken deu~lich erkennen, zu welchen keine Biindel homogener Wellen vorhanden sind, sondern nur inhomogene, exponentiell abfallende Schwingungszust~nde. Sie ist insbesondere geeignet, alle diese Auski~nfte im raehrdimensionaten [-Raum zu erbringen!
1) Die Sperrbereiche werden bei der Mathieu-Gleichung rait wachsendem n immer schmaler. Bei der ttillschen Differentialgleichung braucht alas nicht der Fall zu sein. In Fig. 1 ist eine schwache Abnahme ihrer Breite angedeutet.
240 E. Fues,
st . . . . ' ~ber tier zweidimens~onalen ~-Ebene baut sich die ,,unge or~e Eigen- wertfli~che der zweidimension~len ti i l lschen Differentialgleiehung
A u + [o)2/c 2 + ~Z (~)] u = 0
als Rotationsparaboloid (D2/C 2 = k: -~ ky
mit dem Scheitel im Ursprung auf, dessen einzelne Funkte die Zuordnung einer aus u o ~-e i~r stetig hervorgehenden Gitterwelle u~ zu einer Fre- quenz co erkennen lassen. Doch gilt das nur, solange die L0sungen u sieh stetig an Einzelwellen nullter N~herung ansehlie~en, also (nach I., Ab- sehnitt 2), solange ~ nieht in einem Sperrbereich der ~-Ebene endigt [d. h. in naehster NiChe einer der Ebenen 2 ([I~) + D 2 = 0, wobei t) ein Gitter- vektor irn ~)-Gitter ist, dem 2 7c-faeh linear vergrSl3erten reziproken Gitter des zweidimensionalen KristallsJ. Trifft abet letzteres zu, so is~ die Welle e ~ ~ ~ mit e ia+o) ~ nahezu entartet und da dutch ]3eriicksichtigung der Gitter- struktur alle Wellen e i(~+~)r mit beliebigen D miteinander verkoppelt werden, so ergibt sieh als LSstmg ein Gitterwellenbtindel, das sieh stetig an eine Linearkombination yon e lf~ trod e i(~+o)r als nvllte 1Ngherung an- sehliel~t. Ganz i~hnlieh wie in Fig. 1 kann man diese Entartnng und die dabei ins Spiel kommenden ( 9 - ~-]3eziehm~gen lelchter iibersehen, wenn man ftir die ungestSrte Eigenwertdarstellung der Welle ~ + I) nicht das
Parabotoid mi~ Scheitel im Ursprung A, sondern ein am A C = --~) ver- sehobenes Paraboloid mi~ Seheitel C benutz~ (Fig. 2). Die beiden Paraboloicle durchdringen sich in einer l~arabel, deren Projektlon P auf die ~-Ebene als Mitlello~ zu I~ gezeiehnet ist. In der Umgebung dieses Lores liegt ;ier Sperrbereieh II der ~-Ebene, und man sieht, dab sowohl [1 als (das yon C aus aufgetragene) [2 = [1 + t~ in ibm endigen. (In Fig. 2 sin4 iibrigens nieht alle Sperrbereiche eingetragen, sondern nut eine l~arallelschar I, II . . . . yon solehen.) Uber den Sperrbereichen werden nun die Eigenwert- /Mchen dutch d~e Stfrung erster Ndherung (die in hSherer l~iiherung nur unwesen~lich abge~nder~ wird) unterbrochen und wulstartig ab- bzw. au/- gebogen derart, dab z. ]3. der Sehnit~ S - S durch r beiden Paraboloide qualitativ mi~ Fig. 1 (mi~ ver~nder*er ]3edeutung tier Abszisse) iiberein- stimmt. D.h. die beiden Paxaboloide durehdringen sieh nich$ in einer seharfen Kante, sondern vereinigen sieh oberhalb and unterhalb des Ortes derselben zu abgerundeten W~llsten, die gewissermaBen ein Ausweiehen der Eigenwertfl~ehe vor de r EnLartung zum _A_usdrlrck bringen. Die Rech- hung zeigt (&bsehnit~ 8), dub die Abrunclung tier Wtilst.e um so weit- rgumiger erfolgL das Ausweichen der beiden Flaehen~ste um so aus-
Zur dyn~mischen Theorie der Raumgitterbeugung. II. 241
gesproehener ist, je grSBer die der Sperrflgehe I) zugeordnete Struktur- amplitude ]S~] ist. Ihr proportional wird namtieh der Abstand der Wfilste voneinander ! Eine Sperrfliiehe dagegen, deren Strukturfaktor verschwinde~, ist so gut wie nieht vorhanden. Wegen der bekannten Eigensehaft d e r Parabotoide, als aehsenparallele ebene Schnitte lauter kongruente Parabeln zu ]iefern, paBt Fig. 1 aueh auf den Sehnitt S' - - S', wenn sie nut urn einen gewissen Xgetrag tiber die $-Ebene emporgehoben wird. g
242 E. Fues,
Die Schnitte konstanter Frequenz dureh die erweiterte und deformierte Eigenwertfl~che projizieren sich in den dreidimensionalen [-Raum als Fliichen konstanter Frequenz. Sie allein sind in ihm noeh ansehaulich zu maehen, wi~hrend die allgemeine ~--eo-Beziehtmg eine vierdimensionale Darstellung erfordern wtirde. Die Fl~ehen konstanter (und spezieller) Frequenz sind identiseh mit der Ewaldschen ,,Dispersionsfliiche"; es seheint dem Verfasser ein Hauptgewinn der bier vorgesehlagenen Betraeh- ~ungsweise zu sein, daft mit ihrer Hil/e eine begr~ndete Erwartung abet das qualitative Verhalten der Dispersionsfl5che /olgt, die in mancher Beziehung zu einer 0rdnung der Erscheinungen ausreichen mag. Dies gilt aueh noch bei Kopplung von mehr als zwei Strahlen, d. h. im Durchdringungsbereich mehrerer Sperrgebiete, wozu wir jetzt tibergehen.
3. NShere Betrachtung der Eigenwertfli~che und ghrer Schnitte im Durch- dringungsgebiet mehrerer Sperrbereiche.
Um die gleichzeitige Wirksamkeit ~ehrerer Sperrebenen zu studieren, sei ztm~chst wieder eine zweidimensionale ~-Ebene zugrunde gelegt, und die vollst~ndige Eigenwertfliiche fiber ihr zu Hilfe gezogen. In Fig. 3 a weist R1 nach dem Schnittpunkt zweier Sperrgeraden hin, was als Anzeiehen ftir die Verkopplung der Welle # ~* ~ mit zwei weiteren Wellen e i ~2 ~ and e i ~a aufzufassen ist. Diese werden im allgemeinen auch unter sieh verkoppelt sein (Umweganregung!), so dab auch dureh die Pfeilspitzen yon R2 und Ra je zwei Sperrgerad'en hindurchgehen. Wir beabsiehtigen die Eigenwert- fliiche in der Umgebung von R1, also im Durchdringungsgebiet der beiden Sperrbereiehe an seiner Spitze, zu untersuchen. Zu diesem Zweck denken wit uns in Fig. 3b im Ursprung A -----A 1 der {-Ebene das Paraboloid eo2/c2 = ~2 und zwei kongruen~ versehobene Paraboloide in den Seheiteln A 2 und A s erriehtet. Sie c[urchdringen sich in Parabeln, deren Projektionen auf die {-Ebene in die drei Sperrgeraden der Fig. 3b fallen. In einer ge- wissen H5he fiber der [-Ebene liegt der gemeinsame Schnittpunkt 0 o der drei Paraboloide; derselbe projiziert sich nach 0, yon dem aus die (gegen
[ gezi~hlt werden sollen. Die Reehnung des I Rjl kleinen) Zusatzvektoren ~-
Absehnittes 4 wird uns die Eigenwertfl~iehe fiber der I-Ebene, also einem 2/a-fach linear-vergrSBerten Aussehnitt der Umgebung yon 0 liefern.
Um vorliiufig yon umstgndlichen Rechnungen abzusehen, versuehen wir qualitativ deren Ergebnisse vorwegzunehmen: Die drei P~raboloide werden yon jedem auf der {-Ebene errichteten Lot in drei Punkten getroffen, die wir in der Reihenfolge von unten naeh oben mit P(~) p(2) pr bezeiehnen.
Zur dynamischen Theorie der Raumgitterbeugung. II. 243
Man kann nun die Gesamtfl~che 4er drei Paraboloide in drei Fl~chenschalen _F(~)F('2)F (~) zerlegen, so dab F (~) die Gesamtheit aller Pm~kte P(~) umfaBt und mit F (fl) jeweils nur Zweige der drei Durebdringungsparabeln gemeinsarn hat. Die Fl~chen F (~) besitzen allerdings Grate (in Fig. 4 ausgezogen) and Rinnen (punktiert); in Fig. 4 sin4 dieselben yon oben gesehen ge- zeiehnet, wobei die Linien um so dicker wiedergegeben sind, je n~her
Zs
b
Fig. 3. Kopplung dreier Strahlen u) in unverschobener, b) in Yerschobener Darstellung.
Fig. 4. Undeformierte Eigenwertfi~iche tiber der t-Ebene im Kopplangsgebiet
dreier Strahlen.
sie deln Besehauer entgegenkommen, d.h. je hSher sie aufsteigen. Die Fig chert F (~) stellen die erweiterte, aber noeh unde/ormierte Eigenwert- flache dar, und der ng, chste Schritt, der za tun ist, besteht, wie wit wissen,
in einer Abrundung der Grate und Binnen. Sie muB um so weitreiehender erfolgen, je grS~er der Strukturfaktor ]S~ 12 der betreffenden Sperrebene ist. Durch die Abrundung entfernen sieh gleiehzeitig die Grate yon F (*) yon den Rinnen yon F (~+ 1) so dab ein zur Projektion beider Linien senkrechter Sehnitt alas hakenfSrmige Aussehen der Fig. 1 erhglt. Man versteht auch otme weiteres, dab tier Scheitel 0 (~) der ~tache F (1) nach unten, dagegen
244 E. Fues,
der Tiefstpunkt 0 ('~) der drei 1Rinnen von F (~) naeh oben gedr~ngt wird, so dai3 nunmebr das Lot fiber 0 auf der t~-Ebene die Eigenwertfl~ehe in drei getrennten Punkten 0(1)0~ (~) schneider. Dagegen bleibt die genaue I tShe dieser Punkte ohne Beehnung unbestimmt, ebenso die Gestalt der Fl~ehen F (~) in unmittelbarer Umgebung der Punkte 0 (~).
Wit -~-erallgemeinern jetzt die zuletzt gewonnene Vorstellung der Eigenwertfl~che - - vorl~ufig noeh fiber der tI-Ebene - - auf den Fall der Beugungskopplung yon n Strahlen und vereinfaehen sie dabei so weir, dab sie ohne Mi/lhe dureh einfaehe perspektivisehe Zeiehnung verdeutlieht werden kann.
Die Paraboloidseheitel A1A2... As liegen wie in Fig. 3b s~mtlieh " auf einem Kreis nm 0 mit I-Ialbmesser IR~I. Da aber nur die n~iehste Um- gebung des gemeinsamen Durehdringungspunktes 0 o der Paraboloide interessiert, ersetzen wir dieselben in ibm dnroh ihre Tangentialebenen. Die Spuren der letzteren in der f-Ebene berfihren (als Mittellote auf den Streeken OA~) s~mtlieh den Kreis um 0 mit ttalbmesser IRj]: 2, der somit In- oder Ankreis des Y'on ihnen in der 1-Ebene gebildeten, gesehlossenen oder offenen n-Eeks ist. Diese Figur, als Basis einer Pyramide mit Spitze O~ aufgefaBt, veransehaulieht mit aller Deutliehkeit die Durehdringung tier erweiterten, aber noeh nieht deformierten Eigenwertfl~ehe bei 0o, bzw. ihre fibereinander gelegenen Sehalen F C'), an denen nut noeh die erw~hnte .~brundung tier Grate und ~innen vorzunehmen ist. In Fig. 5a bis e ist dies gesehehen, und zwar sowohl in der perspektivisehen Darstellung der Fl~ehen F ('~, als in der Zeiehnung ihrer Basisspuren S (~) in der t-Ebene. Zuerst sind in Fig. 5a und e noehmals die beiden typisehen F~lle dreier Strahlen (der ,,Inkreisfall" und ,,Ankreisfall") wiedergegeben. Zwisehen ihnen liegt als Grenzfall 5b mit einer ins Unendliehe gerfiekten Eeke des Grunddreieeks. Doeh darf dieser Fall nieht als Dreistrahlkopplung angesehen werden, weil, wie man sieh am Grundril] tier Figur leieht t~berzeugt, not- wendig dabei ein vierter Strahl ins Spiel kommen mul], so dab Fig. 5 d entsteht.
Man erkennt, dab auf diese Weise in allen F~llen leieht ein ansehauliehes ]3ild der Eigenwertfl~ehe gewonnen werden kann, wenn noeh die gemeinsame Wirkung aller Abrundungen im Durehdringungsgebiet feststeht. Oben wnrde sehon erw~hnt, dal~ die Abrundung jedes Grates oder jeder l~inne (d. h. der n~ehste Abstand yon tier Durehdringungskante) proportional der Strukturamplitude einT, uriehten ist. I)as genfigt, um die Fl~ehen 2' (~) und ib~e Spuren ~o = eonst in gent~gender Entfernung yon 0 o angeben zu
Zur dynamischen Theorie der Raumgitterbeugung. I1. 245
kOnnen. Dooh 1st nicht ohne weiteres zu erkennen, wie sieh die versohieden- a~tigen Abmmdungen and die gegenseitige Stellung der Grate und Rinnen zueinander in tier Umgebung yon 0 o auswirken. Insbesondere gilt es zu ent- scheiden, wie tie~' unterhalb 0 o die Kuppen der unteren Flgchen F ~'), wie hooh tiber 0 o die _~Iulden der obersten Flgchen F (~) liegen; ferner ist Betrag m~d Richtung ihrer Exzentrizitgt anzugeben. Bei den mittleren Flgehen, .die offenbar mehrfache Sattelflgchen sind, gilt es zu entscheiden, welches
m ,2~ 4--
.NAz
b c d F~g. 5- Spuren und Fl~ehenzweige der Eigenwertfl~tche fiber der f-Ebene
a) im Inkre i s fa l l der Kopplu~g dreier Strahlen~ b) i m Grenzfa l l . ,, ~ . > c) im Ankre i s fa l l ~ ~ ~ , . d) in einem Sonderfa l l der Kopplung yon v i e r S t rah lem
die am meisten emporgehobenen Tgler, die am tiefsten heruntergedriickten Grate sind, welche Sattelpunkte beim Aufstieg yon verschiedenen Seiten zuerst erreicht werden und we ihre Projektion ~uf der ~-Ebene liegt. (Von all diesen Daten h~ngt offenbar die Beurteilung der Schnitte konstante~ Frequenz ab, die zur Auskunft fiber die Fragen des Randproblems ben5tigt werden.)
Wie die Durchrecbamng des Dreistrahlfalles (Absdmitt 4) erkennen l~l~t, k~nnen einige qualitative Antworten auf diese Fragen anschaulich
246 E. Fues,
ausgedriickt werden. Die Ausgl~ttung der Fl~chen/~) hiingt n~mlich von zwei Daten ab: Erstens yon den Kopplungsamplituden Sjk, we!che alas AusmaB der Abrundung des Grates bzw. der ~inne zwisehen Rj und Rk in groBer Entfernung von 0 e bestimmt. Zweitens yon der Stellung der Strahlen Rj, insbesondere den yon ihnen eingeschlossenen Winkeln (0r g~, ~a in Fig. 5a). Es gilt nun: Die Abrundung einer Eeke Ea des Spurdreieeks verrnag sich, bei Anniiherung der Schnittebene eo = const an 0 o um so mehr gegeniiber den gleichartigen Einfltissen der Gegenecken durehzusetzen, je grSBer der Betrag flh = I Sj~]~: Is in ~h [ (h i 1 zyklisch) ist. Z.B. sehiebt die Abrundung eines Grates der Fliiche F (1) in Fig. 5 a gleichzeitig den Gipfel- punkt dieser Fli~che yon derjenigen Eeke weg, yon welcher der Grat ausgeht, die drei Grate wirken einander jedoch entgegen. Der Grat mit dem grSBten flj wird nun den Gipfel am meisten yon seiner Eeke wegschieben. Entsprechendes silt ftir die Mulde der Flache 2 "(8). Schlie~lich wird sich an der dreifachen Sattelfl~che F (~ die ErhShung einer l~inne, z.B. der aus der Ecke E 1, dann am st~rksten im Durehdringungsgebiet auswirken, wenn fll ~ f12 und fll ~ fla. (Der genaue Sachverhalt geht aus Absehnitt 4 hervor.) Das bedeutet, dab man bei einem Aufstieg von E l dureh die yon deft zu den S~tte]n emporfiihrende :Rinne R 1 zuerst an den h6chstgelegenen Sattel kornmt ; dab dagegen der tiefste Sattel yon der Rinne aus E2 hinf;ber zu der nach E 3 iiberschritten wird, denn an diesen Sattel schlie~t sich unrnittelbar der am starksten erniedrigte Grat G 1 an.
Bei der K0pplung yon mehr als drei in der f-Ebene gelegenen Strahlen wird die Wechselwirkung allerdings komplizierter, man wird abet dureh ahnliche Gedankengfinge eine Ordnung der rnSgliehen F~lle erreichen kSnnen.
Fiir das vollst~indige Bild der Eigenwertfl~.che um 0 o ist ein Satz yon besonderer Bedeutung: Es ist physikalisch nahezu ausgeschlossen, da~ sich jemals zwei Fliichen F (") durchdringen. Hiiehstens kommt es in (auf der Symmetrie des Gitters beruhenden) Ausnahmef~llen vor, da~ einige der- selben sich in einem Punkte ber~thren. (Z. B. tun es im Falle der Fig. 5 e die beiden Mittelfliichen F (2) und F (~), vgl. Abschnitt 4.) Im allgemeinen aber halten sie (wie schon im Zweistrahlenproblem) einen gemessenen Abstand voneinander, der fiir gewisse Strahlengfinge eine Frequenzliicke und das Auftreten inhomogener Wellen bedeutet. Der physikalische Grund dieses Verhaltens ist der folgende: ]n jedem ~Iehrfaehpunkt der Eigenwertfliiehe muB die Linearkon~bination der beteiligten Strahlen mlbestimmt bleiben, d.h. es mu~ eine kontinuierllche Folge von Amplitudenverh~ltnissen der n Wellen des Biindels mSglich sein. Das ist bei dem komplizierten Wechsel-
Zur dynamischen Theorie der l=[aumgitterbeugung. I]. 247
spiel der gegenseitigen Zustreuung eine so harte Forderung, da~ sie nur
unter besonders gfinstigen Umsti~nden, d .h . praktisch unter besonders
hoher Symmetrie der Strahlen und Kopplungen, verwirklieht werden kannl).
F fir die Ubertragung in den dreidimens~onalen ~-Raum ist es nun yon
Bedeutung, dal~ sehon fiber der [-Ebene die Sehnitte o = const aueh ohne
Zuhilfenahme der votlst~ndigen Eigenwertfl~ehe gefunden werden kSunen.
In geniigend hoch fiber oder tier unter 0 o gelegenen Schnittebenen (drei-
dimensional: Sehnittr~umen) hat man Netze yon Spurgeraden (ein Fach-
werk yon Spurebenen) als Spur der unde/ormierten Eigenwertfi~ehe. Z. ]3.
in der ~-Ebene (ira ~-:Raum) das n-Eck (n-Flach) der Grundrisse (ent- sprechend) der Fig. 5. Irl seinen Eeken (Kanten und Eeken) ist die einem
Zwei- (Zwei- bzw. Drei-) Strahlenproblem entsprechende, vSllig bekannte
Abrundung anzubringen. Schrittweise Anni~herung an 0 o verkleinert das
l~etz (Fachwerk) proportional dem hbstand yon diesem Punkt, wobei jedoch die Abrundungen nieht mit verkleinert werden dfirfen] In der un-
mittelbaren Umgebung yon 0 o hat man zu beachten, dal~ die Spur stets den Charakter einer Kurve (Fl~ehe) n-ter Ordnung behalten (also mit einer
Schnittgeraden immer nut n 1)unkte gemeinsam haben) mul l Wenn man
nun noch eine ~us ihrer Gleiehung (vgl. Abschnitt 4) sieh ergebende Gebiets-
teilung der [-Ebene (des ~-Raumes) zu Hilfe zieht, so ist damit die ])is-
persionslinie (-fl~che) qualitativ in den Hauptzfigen festgelegt.
g. Bemerkungen zur Berechnung der Eigenwertfliiche und ihrer Schni~tfigur bei Kopplu~g yon n Strahle~.
Die Eigenwertfl~che sei jetzt im Durchdringungsgebiet der ( n - 1) un- verschobenen Sperrfl~ichen 2 ([Djl) -t- D]I : 0 (Standpunkt der Fig. 3a) oder - - in der Darstellungsweise der Fig. 3b - - in der Umgebung des gemeinsamen Schnittes der n ,,Parabo]oide"
= ('92/02 = ([ + ~)jl)2; (]" = 1, ~ . . . . . n ; ~)11 : 0) , (1)
rechnerisch untersucht. Von Paraboloiden in Anftihrungsstriehen wurde ge- sproehen, weil die F15chen (1) Hyperf]{ichen im vierdimensionalen E k x k v kz-Raum sind, deren Sehnittfiguren ffir spezielle E sich allerdings als Kugeln konstanter
1) Mathematisch gesehen muB in einem m-fachen Punkt der Eigenwert- fl~che die Determinante (8) des Abschnitts 4 nicht blol] verschwinden, sondern den Rang n - m besitzen. ]3as kann wohl ausnahmsweise bei spezie]ler Wahl tier Sjk und ftir ein bestimmtes 1 eintreten. Doch kommt es - - da nur die Diagona]glieder mit [ ver~nder]ich und alle anderen Glieder lest sind - - ~ulJerst schwer ftir eine kontinuierliche [-Folge vor. Vgl. hierzu da's Beispiel des Vier- strahlenfalles in Abschnitt 4, wo allerdings eine solche (physikalisch unwahr- scheinliche) Ausnahme unter anderem aufgezeigt ist.
248 E. Fues,
Frequenz in den dreidiinensionalen ~-Raum projizieren. Den Vektor ~ be- schreiben wir nach Fig. 3b als
--- ~1 + - ~ l, (2)
so dal~ gleichzeitig ~g
Wir setzen beztiglieh der Wahl des Punktes 0 folgendes lest:
A. Bei KoppIung zweier Strahlen weisen die Vektoren R1 und R~ nach dem- jenigen Punkt 0 der Mittellotebene zwischen den Scheiteln A 1 und A2 der sich dttrchdringenden Paraboloide, dessen Umgebung gerade interessiert. Man erfai]t aber, gerade weil 0 au~ der Mittellotebene Enoch frei beweglich ist, alle MSglich- keiten, wenn man das Interesse nur auf die Punkte des Lotes in 0 auf E richter un4 man kann in diesem Sinne das Problem zweier Strahlen stets zu einem ein- dimensionalen machen. Dasselbe ~ilt fiir alle Probleme mit Strahlgesamtheiten, bei denen nur eine einzige Net~ebene reflektiert; insbesondere gilt es auch ftir die Kopplung zweier Vektorwellen, die mathematisch derjenigen yon vier skalaren Wellen iiquivalent istl).
B. Bei Kopplung dreier Strahlen weisen die Vektoren R~R~Ra nach einem Punkt 0 der Schnittgeraden der drei M'ittellotebenen zwischen A 1, A s und Aa,
dessen Umgebung in Frage kommt. Well 0 ~ ~ auf dieserSehnittgeraden G n o e h f r e i b e -
weglich ist, bedeutet es keine Einschr~nkung der Allgemeinheit, wenn die Betraehtuug auf die Ebene durch O senkreeht zu G be- s chr~inkt wird. In dgesem Sinne ist das Kopplungsproblem dreier skalarer Wellen
a b stets ein zweidimensionales. Dasselbe g~lt in Fig. 6. allen FglIen, in denen n Strahlen nut dutch
Netzebenen einer Zone (mit G als Zonen- aehse) verkoppelt sind. Deshalb ist im besonderen aueh die Kopplung dreier Vektorwellen (die der Kopplung yon sechs bzw. neun skalaren Wellen ~iquivMent ist), mathematiseh gesehen, ein ebenes Problem.
C. Bei Kopp~ung yon vier Strahlen sei 0 der gemeinsame Durehdringungs- punkt tier vier Mittellotebenen des Tetraeders A I A ~ A 3 A 4.
D. Bei Kopplung yon mehr als vier Strahlen beschr~nken wir uns mit Rtiek- sicht auf die praktischen Bedtirfnisse auf den Fall, dal~ sgmtliche Mittellotebenen zwisehen allen beteiligten Paraboloidseheiteln A 1 . . . A n durch einen gemein- samen Punkt 0 des ~-Raumes gehen, der gleichzeitig Endpunkt der yon A~ aus gezogenen Vektoren R~. ist. Das bedeutet in der Darstellung der ~-Ebene, dal~ wir nur Durchdringungen der Art yon Fig. 6a betrachten, nicht solche der Art von Fig. 6b.
Aus (2) und (3) entnimmt man ~2
1) Dabei ist an elektromagnetische (reine Transversal-)Wellen gedacht; n elastische (Transversal- und Longitudinal-) Wellen w~ren fiir die Rechnung ~iquivalent mit 3 n skalaren Wellen!
Zur dynamischen Theorie der l=[aumgitterbeugung. II. 249
oder - - da GrSBen der Ordnung x2 ohnehin vernachl~ssigt werden - -
= + (5) Mit dem Ansatz
~,~1~ = .~] + ~ ~ (6) und der Abkfirzung
sj,~ :~,. s~.~ (7) nimmt Gleiehung (17) des Teiles I nunmehr die Form an:
o'--Rll $1~ . . . S i n
$21 ~ - - s . . . S,2~ = 0. (8)
S n l Sn~ . . . a ---s I
Gleichung (8) stellt entweder, bei gegebenem l, die im Verh<nis 1/u tiberhOhte Eigenwertabweichung a (gegeniiber dem Ausgangswert s dar, gibt also die Eigenwertfliiche im l-Raum. Oder sie kann bei gegebener Frequenz, also festem a, als skalare Gleichung ftir I aufgefa6t werden, d. h. Ms Gleichung der F1-/iche konstanter Frequenz im I-Raum (d. i. der 2/e-fach linear-vergrSf3erten ~-Umgebung des Punktes O). Die erste Auffassung liegg nahe bei der Untersuchung der vollst&ndigen LOsungsmannigfaltigkeit des Binnenproblems. Die letztere Deutung ergibt sich naturgem/iB bei der praktischen Durchrechnung eines Rand- problems, bei welchem die Frequenz der einfallenden Strahlung gegeben ist und ftir die Pfeilspitze yon I nur eine eindimensionale Mannigfaltigkeit, n/imlich das Lot auf der Kristalloberfl~che im Punkte ]~t in Betracht kommt (vgl. I, Absctmitt 3). Die ins Spiel tretenden Wetlenbiindel u o = I a~ e i~i~ werden in diesem Falle durch die Durchstogpunkte des Lotes mit der FrequenzflSche bezeichnet; ihre Teilamplituden a i folgen aus dem (8) zugeordneten linearen Gleiehungssystem
((/--~1[)a1+ $12(~2 + " ' " + S l n C l n ~ O,
$ 2 1 a l 4- ( d - - R ~ I ) a~ 4- . . . 4- S~na n ~ O, (9)
S n ~ a 1 4 - S n ~ a 2 4 - ' ' ' 4 - ( a - - s an = 0.
Das Problem der zwe~ Strohlen l~f~t sich (wie sehon in I. gezeigt? allgemein erledigen. Aus
/ ( ~ - - s .2 (~(s I4 - [ (Rl l ) (R2I)_!SI~] = 0 ( i0) S
S* a - R~ I
ergibt sieh als Gleiehung der Eigenwertfl~ehe
s 4- ~2 r ( ~ l - - ? [ )2+ ISi ~ (11) 2 - 1 ~ - ~' �9
1) Es sei fibrigens bemerkt, dab die Weglassung yon x2~2/4 gleichbedeutend ist mit der Ersetzung der Paraboloide durch ihre Tangentialebenen im Durch- dringungspunkt, und dab damit fiir das Randproblem gewisse Feinheiten der streifend (fast genau parallel zur Kristalloberflfiche) verlaufenden Strahlen mSglicherweise unterdri~ekt werden. Doeh ist dem Verfasser kein Fa l l bekannt, in dem diese Effekte wesentlich w~ren.
Zeitschrlft fiir Physlk. Bd. 109. 17
250 E. Fues,
Fig. 1 ergibt sieh als Schnitt senkrecht zum Vektor R1 + R2, wenn wir uns auf IIIR1 - - R2 = D beschr/inken, also (R1 + R2) [ = 0 setzen. ]:)ann folgt
= ~: VlZl ~ + ( ~ t / 2 ) ~. (1~)
Man erkennt daran ftir l = 0 die Frequenzltieke - - [ S ] < a < + ] S l, zu weleher nur imaginare t-Werte, also inhomogene Wellen zugeordnet sin& Und man sieht, dab sich an der Gestalt der Schnittfigur nichts andert l~ngs der ganzen Mittel- lotebene, solange nicht weitere Strahlen ins Spiel kommen. Fassen wir da- gegen (12) fiir festes a als Fli~che konstanter Frequenz im I-Raum auf, so ist diese durch das zur Mittellotebene parallele Ebenenpaar
I~I = + ~ (13) gegeben.
Das Problem dreier Strahlen l&13t sich unschwer auf eine Normal[orm bringen, aus welcher eine qualitative Er6rterung leicht abgelesen werden karm un4 die quant i ta t ive Berechnung verhSltnism~i3ig einfaeh vonstat ten geht. Wie bei der Festsetzung (]3) S. 248 besprochen, l~l~t sich die Dreistrahlkopplung stets als ebenes Problem betrachten, weft man sein Augenmerk auf eine ~-Ebene durch O parallel zur Ebene A I A 2 A s beschranken kann. Fiir Yektoren t in dieser Ebene sind die Komponenten R~.I_ senkrecht zu ihr belanglos, yon EinfluB sind lediglieh die Komponenten I~ = RJJl, weft sie allein in den Diagonalgliedern der Gleiehungen (8) und (9) auftreten. Wir bemerken im voraus, dab
: ~ ~ ~j - o (14)
und
angenommen werden kann, well die drei Yektoren [i einerseits in einer Ebene liegen, andererseits sieher keine zwei yon ihnen parallel sind; (denn es soll sich um ein eehtes Dreistrahlprobtem handeln, der Fail tier Fig. 5b also aus- geschlossen sein). Eine einfaehe geometrische Uberlegung ]iefert
s~. = sin c 9 / ~ sin ai, (16)
werm ~i den Winkel zwischen den Strahlen ~ und ~m (im Sinne der Fig. 9 und 10) bedeutet. Setzen wir ferner
xj : sj (~ - - ~jl], (17) so gilt nach (14) und (15)
~] ~. = ~ (18)
und Gteichung (8) n immt naeh Einfiihrung der weiteren Abkfirzungen
fi~ : sls2s3" ISk~12: s~ / (19) ~' = sls2s.s ($12S23S31 + S ~ S 3 ~ S ~ ) !
die Form an XlX2X 3 = ~ fij~d - - :d. (SO)
Wir denken uns .jetzt einen best immten Sehnitt a : o% dureh die Eigenwert- fliiche, zun~chst in ihrer undeformierten Gestalt. Er besteht offenbar in einem Spurdreieek der Tangemialebenen a = ~ [ an die drei Paraboloide mit der Ebene
Zur dynamischen Theorie der Raumgitterbeugung. II . 251
a = ao. Die Dreiecksseiten sind die Linien a o - - f j I = 0, also (wenn wir dell Index Null am festen Wert a ktinftig wieder weglassen), die Linien xj = 0. Fiir Punkte der I-Ebene, die nicht auf diesen Dreiecksseiten liegen, bedeuten
~L
e
cl
f Fig. 7. ErSrterung des Dreistrahlproblems (ira ]nkreisfall)
mlt Hilfe der Gebietsteilu~g der /-Ebene.
die drei t~oordinaten x1 (yon denen eine (iberzi~hlig ist und mit t-Iilfe yon (18) jederzeit eliminiert werden kann), ihre mit sjl;j multiplizierten, yon O weg ge- rechneten Abst~rtde yon den Dreiecksseiten.
252 E. Fues,
Die Diskussion der Kurve drit ter Ordnung, welehe die delormierte Eigc . . . . . . . flRehe als Spur S hintertal~t, wird nun dutch die Form der Gleiehung (20) sehr erleiehtert. Zeichnet man nRmlich aufe r den Dreiecksseiten %. = 0 noch die Gerade L = X' fi~ x 3 - - y = 0, so ist durch die vier Geraden eine Gebietsteilung der I-Ebene gesehaffen, die schachbrettart ig erlaubte und verbotene Gebiete for S aneinander reiht. Fig. 7 erlgutert wohl besser als viele W0rte, wie sich hieraus sehon qual i ta t iv die Gestalt yon S ergibt. Sie zeigt, wie mit waehsendem
das Spurdreieck zuerst auf einen Punkt (ftir a = 0) zusammensehrumpft, dann in verkehrter Gestalt wieder w~ichst; dab ferner die Gerade L = 0 bei
. . . . . . .
i~ i~. \ \ \ \ \ \ \ \ \ ~ ~ ~, \ , \ \ \ , . - - . . i~.:~ } \ \ "~,'\\\xJ \\\.~\.\. x ...... I-'~-_-----~z- -~ ) '~ ", ~ b , . ~ " " - - ~ - - - - : : : ~ I-e------__~_..J" } ~. k~\ ~ k%~X "-. ~--------. . . . .
7 " ................. ",~,-~-~~ -~
i ~ ! [ ~ ! . ] ~ ' ~ , ~ ~ -.,,\. ',,, ', ' , o'=~OgGq~O-~r \ \ " , \ \ \ I f I I : I ~ : : ! : N N ' . ' ~ . N- -
Fig. 8. Eigenwertflgehe und Dispersionslinien im lnkreisfall dreier Strahlen, dargestellt dureh die tt0henlinien ~ = const.
einem best immten a in das Dreieck eindringt, yon da aus die Kurven um- zubilden beginnt und nach vollzogenem Umwandlungsprozefi das Dreieck wieder verl~l]t. Die Reihenfolge, in der die Eeken betroffen werden, entseheidet fiber die Orientierung der Umwandlungselemente.
Da in der Ecke Et %. = x~ = 0; x~ ~ a ist, so folgt, daft dieselbe yon der Geraden L = 0 bei a = Y/fiT. erreicht wird. Ha t man ,qlso positives y unct ist flj > Do > fit > 0 (das gilt z .B. , wenn slle Strukturampli tuden reelI positiv sind und die Winkel cr a lle < .n, ,,Inkreisfall"), so werden die Ecken in der Reihenfolge ] ---> lc ---> t erfaf t . Hierauf beruht die Behauptung des Abschnitts 3, da f die Rinnen R k und ~ durch den niedersten Sattel verbunden sind, dagegen Rj auf den h6heren Sattel ffihrt, usf.
Anders im Ankreis[all, d. h. wenn ein Winkel %. > ,% s~ < 0, daher fi~.fl~ und 7 < 0 (fiir reelle positive Sjk)~). In diesem Falle, der durch Fig. 5c schon
1) Dieser Fall ist yon J . W e i g l e und- H. M t i h s a m , i e l v . Phys. Acta 10, 139, 1937 behandelt worden, bei denen sieh Zeichnungen ghnlieh Fig. 9 linden.
Zur dynamischen Theorie der Raumgi t te rbeugung. II. 253
er l~m~rt wurde, ist das Wechselspiel der Oeraden L mi t dem Spurdreieck anders. Zuerst schneider L das Dreieck, bis sich dasselbe mi t wachsendem durch Schrumpfung entzieht, u m aber in umgekehr te r Gestalt yon L wieder eingeholt und aufs neue geschni t ten zu werden.
In j edem Falle f t ihren Schni t te x~ = const, mi t x ~ - - a - - x j - - x z. zu einer quadratischen Gleichung f~tr x z. Die numerische Berechnung der Dis- pers ionskurven ist also sehr einfach. Auf diese Weise s ind Fig. 8 und 9 gewonnen.
Fig. 9. Eigenwertfl~che und Dispersionslinien im Inkreisfall dreier Strahten, dargestellt durch die HShenlinien o = const.
die als H6henl in ienbi lder yon Eigenwertfl[ichen tier Art wie Fig. 5a und 5c- aufzufassen sind. In Fig. 8 sind zur le ichteren Unterscheidung der TSler yon den t t6henr t i cken die Niveaulinien zu negat iven a-Werten gestriehelL Die Rinne /~1 der Mittelfl~iche F(~) von rechts oben her ff ihrt wegen fi, > flo > /~a > 0 ta t ss zum hSheren Sattel. F(1) und F(3) zeiehnen sich fast n ieht ab ; nu t fiir ~ ~ - - 12 e rkennt m an die IKuppe yon F(~). aus O naeh links un t en (win d~,~. Eeke E 1 weg), und ftir r ~ + 10 dm .~lulcle yon F(3) nach reehts oben (naeh G~
254 E. Fues,
hin) verschobenl). In Fig. 9 dagegen sind wegen der vielfachen Uber- schneidungen fiir Mle ~-Werte die Spuren yon F(t) ausgezogen, die yon F(~) punktiert, die yon 2'(3) gestrichelt gezeichnet. Die Figur bedarf wohl keiner weiteren Erl~uterung.
Eine so vollst~ndige Diskussion ist i n Falle yon mehr als drei verkoppeiten Strahlen sehr erschwert. Man erkennt zwar sofort, dal3 die Sunme aller Wurzeln den Wert besitzt
g(a) = ( ~ ~j) i, (21) j
doch ist dan i t fiir das einzelne Wellenbiindel wenig gewonnen. Die Einfltisse der S~ellung der Strahlen ~i einerseits, der Kopplungsamplituden Sjk anderer- seits werden etwas durchsichtiger, wenu n a n Gleiehung (8) nach Potenzen yon I ordnet:
Bezeichnet n a n n~mlich die Determinante (8) ftir [ = 0 n i t D1... n (~), so schreibt sich (8) wie folgt:
D 1 . . . . ~ (O*) - - ( ~ ~DI, ,, ( j - - l ) ( j -~ 1) . . . '~ (0") ~:j) ][ J
- ~ - ( ~ J O l . . . ( h - - 1 ) ( h + l ) . . . ( j - - 1 ) ( j + l ) . . . n [ [ ~ h ~ J ] ] ) [ [ I I ] ] . . . . . 0. (22) h ~ j
[[RhR~]] ist dabei das tensorielle t~rodukt der Vektoren Rh und ~j ; [[RhR~]] [[HJ] bedeutet das skalare Produkt der beiden Tensoren. In den weggelassenen Gliedern treten entsprechend hShere Tensoren auf. Die Strukturamplituden sind aus den Ausdruck (22) formal verschwunden, sie sind implizite in den Funktionen D (a) untergegangen. Die Form (22) l~I3t aber erkennen, wie Stellung der Tangentialebene, Kr i innung , und hShere Eigensehaften der Eigenwert- fliiche des ~t-Strahlenproblens von den charakteristisehen Funktionen D (a) der Kopplung yon ( n - 1), ( n - 2) . . . . Strahlen beeinflufit sind. Sie wird deshalb bei einer systenatischen ErSrterung des n-Strahlenproblems nanche Aufschliisse geben.
Wir beschr~nken uns bier auf eine Entwicklung der Gleichung (8) fiir kleine I. Diese Untersuchung darf in ihrer Bedeutung freilich nicht iibersch~tzt werden, wei] der [-Raum ja schon eine 2/u-fache u des ~-Raunes darstellt, in wetchem der Bereich kleiner I also auflerordentl~ch eng ist. Trotzden wird n a n versuchen, aus einer solchen Entwicklung die ersten Aufschltisse zu erhalten, die in vielen Fiillen auch ausreichen, wenn niinlich zwischen den Verlauf in der n~chsten Ungebung yon O und den (bekannten) Aulaenbezirken zweifelsfrei interpoliert werden kann.
Man kSnnte ftir kleine I die Entwicklung (22) bei Gliedern niederen Grades in [ abbrechen, freilich nur fiir (r-Werte, die so nahe bei den Wurzeln ~(0 a) yon D1 ... n (~) = 0 liegen, dal~ auch das erste Glied yon gentigend kleiner GrSl~en- ordnung ist. In verschiedenen Fiillen hat sich jedoch eJn anderes N~therungs- verfahren gut bewiihrt, das den Vorzug hat, gleichzeitig die Amplituden- verhgltnisse i n Wellenbiindel zu liefern und welches i n folgenden kurz dar- gestellt sei :
1) Die Kurven der Fig. 9 sind vom gleichen Typ wie die yon G. Mayer , ZS. f. Krist. 66, 616, 1928, ftir den Fall dreier ebener Vektorwe]len angegebenen.
Zur dynamisehen Theorie der t laumgit terbeugung. IL 255
Man denke sieh die durch (9) best immten Ampli tuden aj als Komponenten eines Vektors 9/ im u-dimensionalen Baum. In diesem Raum sei ferner 1 der Einheitstensor, S----(Sj~) ein ( g e r m i t e s e h e r ) Tensor mit Sjj = 0, L der Tensor mit L~.j = Lj = RjI und L~k = 0 (der also yon vornherein auf Diagonal- form ist). Die Gleiehungen (9) lassen sich dann zusammenfassen in:
(S + a 1) 9/ = Lg/. (23) Entwiekelt man nun
a = ~ o + ~ i + ~ 2 + ' ' ' } (24) 9/ 9/o § 9/i + 9/2 §
nach Potenzen yon I bzw. L, so gelten der Reihe naeh die N~iherungsgleiehungen :
(S + ao) 9/0 = 0,
(S + %) 9/1 = (L - - ~0) 9/0 (25, 0 i 2) (S + ~o) 9/2 = (L - - ~1) 9/1 - - ~29/o,
Die Gleichung null ter N~herung ergibt aus
Is + % i l = D ( ~ ) = 0 (26)
im allgemeinen n verschiedene Eigenwerte a(oa) (~ = 1, 2, . . . , ~) und zu jedem passend je einen Eigenvektor 9/(a), der auf allen anderen 9/~fi) (hermitiseh) ortho- gonal stehL
Die Gleiehung erster Niherung (25, 1), mit einem best immten a(o~) ge- schrieben, ist nur 15sbar, wenn die reehte Seite orthogona] auf 9/(a) steht. Das ftihrt zur Best immung yon a(~) auf die Bedingung:
~ 7 ) [9/(o ~)l ~ = 9/(o ~)~ L 9/7). (27) Ist sie erf~illt, so ergibt sich damit 9/(~) aus (25, 1).
Die Gleiehung zweiter Niiherung (25, 2) ist wieder nur 16sbar, wenn die reehte Seite orthogonal auf 9/(o ~) steht, l~Ian erhalt deshalb zur t~estimmung yon a~) die Bedingung
Man erkennt, dal3 auf diese Weise a(i~) linear, a(~ ~) quadratiseh in I resultiert.
Es wird jedoch (wegen der Symmetrieverhiil tnisse im reziproken Gitter verhiiltnism~gig h~iufig) vorkommen, dag m Werte a(0z) zusammenfallen. Darm versehwinden aueh die ersten bis m-ten Unterdeterminanten yon (26) und die 9/(a) 9/(/~) bleiben zu einem gewissen Grade willktirlieh. Man hat dann zun~ehst 0 , 0 " ' "
vorI~u/ige (aber aufeinander herrnitisch orthogonale) Eigenvektoren (1)9/o . . . .
. . . . (n)9/o zu w:ihlen und die Linearkombinat ion 9/0 = ~ ('~ (09/o often-
zuhalten, am welehe sieh die Eigenvektoren in erster N~iherung stetig ansehliegen. Gleichung (25, 1) lautet je tz t :
(s + ~o) 9/1 = (L - - ~1) ~E] (~)b(~)~o (29)
und ist nur daim naeh 9 / 1 aufl6sbar, wenn die reehte Seite auf allen zu ~o ge- h6rigen vorl/iufigen (,o)9/0 senkreeht steht. Das fiihrt auf ein homogenes lineares Gleiehungssystem ftir die m Gr61ten (~)b, und mit der Bezeietmung
(~)9/* L (0)9/0 = (Z~)L (30)
256 E. Fues,
auf die neue Bestimmungsgleichung m-ten Grades ffir 31:
(11) L _ 4" h0? ( " L . . . (I )L (21) L (22) L
- 3 1 [ ( 2 ) 2 0 1 9 . . . I a
(~m) L = o. (31)
�9 o �9 : * . . . . o �9 . . . . . . . . . . . . . . . . .
: 0nl)/ (m~)L , . . (ram)L-- 31 [(m)92op
Von ihr nehmen wir zun~ichst an, dab sie die Entartung der a-Werte endgtiltig 91(~) (r (@920 aufhebt, also m verschiedene ol-(a) mit zugehOrigen - 0 = ~ liefert.
Das Ergebnis des geschilderten Rechenverfahrens ist, wenn wieder
92(d )* L 92(s = L(~ ~) (32) geschrieben wird :
L( ~176 I L(I ~
92(~) = 927)+ ~ " L (fla) 91(o D _ 4r ) J [927)p + . . . .
Gerade in den praktiseh wichtigen Ffil]en wird aber die Entartung auch durch (31) noeh nieht aufgehoben, sondern in erster N~herung bestehen bleiben. Man kann dann zu jedem vorl~ufigen (@920 aus (25, 1) ein zugeh5riges (e)92~ bestimmen und mit einerLinearkombination 9Io -~ ~ (@b (@ ~[o; 921 ~ ~ (e)b(~ in (25, 2) eingehen, deren rechte Seite wieder auf s~mtliehen (~)2o orthogonal sein muB. I)as liefert eine Sfikulargleiehung ~hnlich (31), welehe die Entartung endgfiltig aufhebt
Auf solche Weise ist z .B. das t)roblem yon vier symmvtrischen Strahlen 1) untersucht worden, dessen Gleiehung (8) ffir I ~ 0 wie folg~ angesetzt wurde:
a 1 ~ 1[ 1 a 1
1 a 1 = O. (35)
1 ~ 1
(Die Kopplungsfaktoren zwisehen Nachbarstrahlen sind gleieh Eins, diejenigen in der DiagonMe gleieh c~ gesetzt.) Man finder folgende Zweige der Eigenwert- fliiche [92 bedeutet Z'Rj; ferner ~ ~ R1 + R 2 - - R 3 - - R ~ ; G ~ R1 + R4 - - R2 - - R~] :
1 1 {(~I) ~ + (r + . . . , F (I) ~ a O) = - - 2 - - ~ + - 4 - 92I 3 2 ( ~ + 1 ) } !
(2) (2)
F(s) ~ a (a )= ~ - 4 - ~ I I - ~ 3 2 ( ~ - 1 ) {(!Dl)~-((gl)~}~:U-R~-"" I~ (36)
F (~) _~ a(~) = 2 - - c ~ + 2 I + 3 2 ( s {(~I)e-t-(~l) ~} §
R = ( ~ _ 1)--------- ~
1) Zu seiner Veranschaulichung k6nnen die perspektivisehen Zeichnungen der Fig. 5d dienen. Es fallt nieht sehwer, sie auf eine quadratische Basis zu beziehen. Natiirlieh sind die Grate und Rinnen abgerundet zu denken.
Zur dynamischen Theorie der Raumgitterbeugung. II. 257
Man erkennt, dall die F1/ichen /~(2) und /r(3) sich im Punkt l = 0 bertihren. Mathematisch gesehen ist das die Folge der hochsymmetrischen Kopplung in (35). Fiir I =/= 0 trennen sich p(2) und F(3), ohne sich weiter zu durchdringen. Eine Durchdringung wiirde allerdings stattfinden, wenn die Symmetrie der Kopplung in (35) beibehalten, dagegen die geometrische tier Strahlen R~- (als Kanten einer ,zierseitigen symmetrisehen Pyramide mit quadratischer Basis) aufgegeben wtirde. Eine solche Unabhfi.ngigkeit der Kopplungssymmetrie yon der Strahlengeometrie wh'd aber noch viel seltener sein, ja praktiseh fiberhaupt nicht vorkommen.
5. Kopplung elektromagnetischer Wellen.
v. L aue hat 1) naeh dem Vorgang yon L o h r 2) der dynamischen Theorie der l~6ntgenwellen im Gitfer eine unserer Auffassung nahe verwandte Form gegeben (ohne allerdings den inneren Zusammenhang mit den Theorien der Elektronenleitung zu betonen). Durch eine sehr einfache und sehliissige Anwendung der M a x w e l l s c h e n Gleichungen auf ein Medium gi~terartig ver~nderlicher Dielektrizit/itskons~ante hat er die Fortpflanzung elektro- magnetischer Gitterwellen und Gitterwellenbiindel untersucht. Er kommt, iibrigens in vSlliger Ubereinstimmung mit der Dipolgittertheorie E w a l d s a), fiir die Amplituden der Teilnehmer eines ~)-Wellenbiindels (3 ist, wie
iiblich, der Vektor der elektrischen Versehiebung) zu eizlem linearen Glei- chungssystem [Gleichung (I), S. 139 a. a. 0.], das wit hier in unseren Be-
zeichnungen wiederholen:
[ ( T - RII ' ] ~)1-[ -$12~)211]- [ - " '" -~ Sl,n~)n[1] = 0,
S~)~E~1 + [ a - - R ~ I ] ~ + -.- + S2~,~t~j = 0, (87)
, ~ ~ , . o ~ ~ , o . . . . . . . ~ . . . . . . . . .
(I)abei bedeutet unser ~r bis auf OrSgen der 0rdnung ~ das Lauesehe Rf~Pj-k, unser ~(cr--R~.[) soviel wie k~ - - R~ ( 1 - - %) bei v. L a u e . ~ j [ml ist derjenige Anteil yon ~)~, weleher senkreeht zur Strahlrichtung ~m steht; die einzelnen ~-Wellen sind naeh ihrer Herleitung transversal, so dal~ ~)~ [~1 identisch mit ~)m ist.)
Wit setzen nun fiir jeden Strahl Rj zwei zu ihm and zueinander senk- rechte, im tibrigen beliebige Einheitsvektoren ?" und j" fest, nach welchen wir sowohl 3 i als ~n [j] zerlegt denken. Es sei also
= "~ "'" "" Dj, j' "" ~ ; ( ~ . i') i ' + t ~ ~ ) ~ = + Dj,, ~ , (~8) ~,,,[j] = (Dn, n' + Dn,,n", j ' ) j '@ (Dn, n'-4- D~,, ,n",j")j".
1) M. v. L aue, Die dynamische Theorie der R6ntgeninterferenzen m neuer Form, Ergebn. d. exakL Naturw. 10, 133, 1931. - - ~) E. Lohr , Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Math.-Naturw. Klasse 133, 157, 1924. - - a) P. P. E w a l d . zuletzt, ZS. f. Kristallk. (A) 97, 1, 1937.
17"
258 E. Fues,
Dann lassen sich die n zweidimensionalen Vektorgleichungen (37) in doppelt soviel skalare Gleichungen fiir die einzelnen Faktoren yon ~' bzw. ?"' zer- legen, welche die folgende Form annehmen:
[ o - R~ 1] D~, + + S, 2 (1' 2') D=, + S, ~ (1' 9,") D~,, + . . . . 0, / [~ + aq~ [] D~,, + S 1 ~ (l"2')D~, + S1~ (1"2") D=,, + . . . . 0,
8~1 (2'l ' )D 1, + S~ (2' I") D,,, § [a - ~lJD~, + + . . . . 0,, (39) S~, (2" 1 ')D~, + S~ 1 (g" 1") D~ ,, + + [o - R= I] D~,, + . . . . 0. I
] . . . . . . . . . . . . . . . . �9 �9 �9 . . . . . . . . �9 . . . . . -
Aus den 2 n Gleichungen (39) bestimmen sich die Amplituden Dj, Dj,,, abet nut, wenn die Determinante des Systems verschwindet. Man erh~lt also start (8):
o-!i11I S~2(1' 9.') S,~(I' 2") or-R11 81~ (1" 2' ) 81~ (1" 2" )
s~l(~,' 1') s~1(2' 1") ( , - s l ~ l S~ ~(2"1') 89_1 (g" 1") o-a't2 1
Sin (1' n') S~,~ (1' n") & ~ (~" n') 81 ~ (1" n") & ~ (9,' n') &~ (a' n")
I ! r ! i &,,(9,"n') &u(9, n ) =0.
s . 1 (n' i') & 1 (n' 1") & ~ (n' ~') & ~ (n' ~") o - R~ I Snl (n"l ') S,~l (n"l") Sn~(n"2') Sn2(n"9," ) O - ~n�93
Die Eigenwertfl~che und ihre Schnitte (Dispersionsflachen) sind 2 n-schalig. Dutch die Gleichungen (39) werden nicht blol] die Amplitudenbetriige be- stimmt, mit welchen die Partialwellen in das Wellenbfindel eingehen, sondern gleichzeitig ihre Schwingungsrichtung. Hinsichtlich 4er ttermitizit~t der Koeffizientenma~rix hat sich nichgs ge~ndert; als Gleichung far o auf- gefaBt, besitzt (40) 2 n reelle Wurzeln. Zu jedem I gibt es also 2 n Wellen- bis verschiedener Zusammense~ztmg und Polarisation, deren jedes abet im Mlgemeinen zu einer anderen Frequenz geh6rt. Umgekehrt miissen beim Randproblem, zu gegebener Frequenz und gegebenem ft 2 n vet- schiedene Wellenb~ndel aufgesueht werden, welche den einfallenden Strahl gemeinsam fortsetzen.
Obwohl diese Verh~ltnisse aus den frtiheren Darstellungen der dynami- schen Theorie teils bekannt sind, mag es erlaubt sein, hier ausdrt~cklich darauf hinzuweisen, dab die beschriebene Strahlkopplung eine Doppel- bzw. 2 n-fach-Brechung der l~Sntgenwellen im Kristall bedeutet, deren Ursache in einem ganz anderen Mechanismus liegt, als die gewShnlich betrach~ete Aniso~ropie tier Elek~ronenbindung. Die bier zu~uge getretene Vielfachbrechung ist -- auch hinsichtlich 4er Polarisationen -- durchaus ein Ergebnis des dynamischen Wechselspids der einander zustreuenden
(4o)
Zur dynamischen Theorie der Raumgitterbeugung. II. 259
Wellen; v. Laue hat bei der Begrfindung des Ansatzes (37) die Elektronen als frei, die Dielektrizit~itskonstante des Mediums skalar angesetztl).
Nun ist schon yon verschiedenen Forschern bemerkt worden, dab das Kopplungsproblem (37) sich in zweimal die einfachere Form (9) spalten l ~ t , wenn die Strahlen ~R~ alle in ehler Ebene liegen. ])ann gilt n~imlich (9) bzw. (8) einmal, wenn die elektrischen Schwingungsriehtungen aller Strahlen n senkrecht zur Ebene tier ~ . liegen, ein zweites Mal (mit ab- ge~nderten Streuamplituden), wenn die ~ 4n dieser Ebene liegen. In
diesen F~llen gelten also hinsichtlich jeder der beiden Dispersionsfi~chen dieselben Verh~ltnisse wie f~r skalare Wellen, deshalb genOgt hier die Diskussion tier Eigenwertfl~iche in den Abschnitten 2 bis 4 zur Ver- anschaulichung aller MSgliehkeiten.
Anders im Falle beliebiger schiefer Strahlenb~ndel, in welchem unsere Betrachtung der Eigenwertfl~ehe offenbar erg~nzt und auf den besonderen t~au tier Gleichung (40) abgestimmt werden muB. Doch soll das an anderer Stelle geschehen.
1) Eine Erweiterungseiner Ans~tzeist unter seinerLeitungvon L. Posener , Ann. d. Phys. 19,849, 1934 gemacht worden. - - Von der hier betonten dynaraischen Doppelbrechung handelt auch die Arbeit yon J. Weigle in ttelv. Phys. Acta 11, 159, 1938, die w~ihrend der Drueklegung dieser Zeilen erschienen ist.
![2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung · kkk II I g =+ k I: Elastische Steifigkeitsmatrix, ... Microsoft PowerPoint - Steifigkeitsmatrix und Lastvektor - WS 1516 [Kompatibilitätsmodus]](https://img.pdfslide.org/doc/110x75/5b15d2fd7f8b9ae4038bb658/2-stabilitaetsprobleme-und-theorie-ii-ordnung-kkk-ii-i-g-k-i-elastische.jpg)
