Zur Entwicklung mathematischen Denkens zwischen Wellenreiten und Traditionen Bernd Zimmermann, Friedrich-Schiller-Universität Jena Karlsruhe 22.05.2003

Zur Entwicklung mathematischen Denkens

zwischen „Wellenreiten“ und Traditionen

Bernd Zimmermann, Friedrich-Schiller-Universität Jena

Karlsruhe 22.05.2003

Karlsruhe 2003 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

• Mengenleh(e?)re?

• „Back to basics“?

• Anwendungsorientierung (vgl. PISA)?

• Computerorientierung?

• Entwicklung und Förderung

mathematischen Denkens?!


Anlässe zum Nachdenken

über mathematisches Denken


Anlass 1: Bruchrechnung

„Der deutsche Osthandel erlebte in diesem Jahr einen kräftigen Schub. Nach Schätzung des Ost- und Mitteleuropa Vereins (OMV) wird der Osthandel erstmals ein Zehntel des gesamten deutschen Außenhandels ausmachen, nachdem er jahrelang nicht über ein Fünftel hinauskam.”

(aus der Süddeutschen Zeitung)


Anlass 2: Empirische Untersuchung

vor und nach Unterricht im Bruchrechnen

(Hasemann)

1. Schraffiere in folgender Figur zunächst die Hälfte und sodann zusätzlich ein drittel von ihr. Welchen Anteil hast du insgesamt schraffiert?

?31

21 2.

3. Sieben Äpfel sind unter vier Kindern aufzuteilen. Wieviel bekommt jedes?


Anlass 2: Empirische Untersuchung

vor und nach Unterricht im Bruchrechnen

Ergebnisse

Vorherzu 1 (geometrisch):

überwiegend richtig

Zu 2 (symbolisch): überwiegend falsch

Zu 3 (handlungsorientiert): überwiegend richtig

Nachher zu 1 (geometrisch):

überwiegend falsch

Zu 2 (symbolisch): überwiegend richtig

Zu 3 (handlungsorientiert): überwiegend falsch

Moral: Zu viel Syntax, zu wenig Semantik!


Anlass 3: Mentale „Trampelpfade“

Heinrich der Achte hatte sechs Frauen.

Wie viele Frauen hatte Heinrich der Vierte??

(nach Jan de Lange)

Neu(est)er Anlass (4):


Eine PISA-AufgabeEine Robbe muss atmen, auch wenn sie schläft. Martin hat eine Robbe eine Stunde lang beobachtet. Zu Beginn seiner Beobachtung befand sich die Robbe an der Wasseroberfläche und holte Atem. Anschließend tauchte sie zum Meeresboden und begann zu schlafen. Innerhalb von 8 Minuten trieb sie langsam zurück an die Oberfläche und holte Atem. Drei Minuten später war sie wieder auf dem Meeresboden, und der ganze Prozess fing von vorne an.Nach einer Stunde war die Robbe:a) auf dem Meeresbodenb) auf dem Weg nach obenc) beim Atemholend) auf dem Weg nach unten?


Einige Fragen

• Wie viel Zeit benötigt die Robbe zum atmen?

• Wie lange liegt die Robbe am Boden?

• Wieso konnte der Junge (nachts?) bis zum Grund des Meeres sehen?

• Wie könnte man die Aufgaben „geeignet“ variieren?


Einige Erfahrungen aus SF

(Annahme: die meisten PISA-Aufgaben sinnvoll!)

• SF ist Aufsteigernation (700 Jahre Kolonie, industrielle Revolution erst nach 1945)

• Schulsystem und Bildung aus Deutschland lange Vorbild!• In SF haben Bildung, Lehren und Lernen einen extrem hohen

Stellenwert!• Lehrerberuf in SF mit am höchsten angesehen (bei durchschnitt

lich ca. 1/3 geringerem Einkommen als in D !)• Gesamtschule Klasse 1-9 für alle, danach über 50% aufs

Gymnasium; Studierquote 70% (30% in D)• Zentralabitur und rigorose Auswahlverfahren an allen Unis und

für alle Fächer (nur 10-30% der Erstbewerber zugelassen für Lehramt!)


Anlass 5: Weitere Erfahrung aus Finnland

In einer TIMSS-Nachfolgeuntersuchung schnitten finnische Achtklässler gegenüber denen aus anderen Ländern am besten bei Aufgaben aus der Wahr-scheinlichkeitsrechnung ab. Die finnischen Schüler hatten dieses Gebiet als einzige noch nicht im Unterricht behandelt! Dr. Pekka Kupari (Mathe-PISA-Zentrale SF)


Problemorientierung!?

Welche Möglichkeiten gibt es zur Initiierung („Nichtverhinderung“)

von

Denkprozessen?

Was ist Problemorientierung?


Was ist ein Problem?

Eher eine Aufgabe:• "In a discus-throwing competition, the winning throw

was 61.60 m. The second-place throw was 59.72 m. How much longer was the winning throw than the second-place throw?A. 1.18 m B. 1.88 m C. 1.98 m D. 2.18 m."(Aus TIMSS 1994; "Performance Expectation: Solving Problems"!).

Eher ein Problem:• „Wie viele rechte Winkel kann ein Vieleck haben?“

(Szambien 1992, 1996; vgl. MN 8, S. 163 A2 ).


„gute“ Probleme – einige Kriterien

• Nicht sofort Lösung parat (hängt von der jeweiligen Person ab)

• Erfordert selbständiges Denken• Lässt mehrere Lösungswege zu• Beinhaltet Differenzierungsmöglichkeiten

nach Denkstil und Leistung• Ist ausbaufähig (variier- und

verallgemeinerbar)


Wie lässt sich das unterrichten?

Klassische

Methode:

Mögliche

Effekte:

s. „Anlässe“


Mögliches Ergebnis von „Eintrichterbemühungen

“


Mögliche methodische Alternativen

32,

73,

65

21

„dichter bei 1“ als

73

65

32,

73

Bsp. 1: Ordnen von Brüchen

Hauptnennermethode


Bsp. 2: Division von Brüchen:

23

115

21135

3):(32112):(235

3:3)2(112:2)3(5

3:3)2(112:3)2(5

3:2)(112:2)(5

32:

115

94

32

32:denn,

32

3:92:4?

32:

94

95

32

65:denn,

65

3:2)(92:2)(5?

32:

95

)dc

fe

ba(

cbda

d:bc:a

dc:

ba

„Zähler durch Zähler, Nenner durch Nenner“


Für die Gäste einer Geburtstagspartie

sollen 10 Stück Kuchen eingekauft

werden. Dafür stehen 21 Euro

zur Verfügung. Man kann zwei

verschiedene Kuchensorten kaufen; ein Stück Bienenstich kostet 2 Euro, ein Stück Torte 2,3 Euro.

Es sollen möglichst viele Stücke Torte eingekauft werden. Wie viele sind das?

Bsp. 3: Kuchenproblem (TIMSS Japan)


Aki (8te Klasse):

Torte Bienenstich Summe

Stück Kosten Stück Kosten

10 23 0 0 23

9 20,70 1 2 22,70

...... ....... ..... .... ..........

4 9,20 6 12 21,20

3 6,90 7 14 20,90


Dieter (8te Klasse):

• x 2,30 + (10 – x) 2 21

• x 0,30 1

• x = 3


Clara (4. Klasse):

• „Zunächst 10 Bienenstich ‚kaufen‘. • Dann habe ich noch einen Euro über.• Tausche Torte gegen Bienenstich, kostet 30

Cent mehr. • Die passen in den einen Euro 3 mal rein, 4

mal liegt schon drüber. • Also: von den 10 Bienenstich 3 Stück gegen

3 Tortenstücke eintauschen und fertig!”Vgl. MN9, S. 246


Bsp. 4: Wanderungen im Zahlenhaus

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10Vgl. MN5, S. 93, Ü. 18


Mögliche Fragen• Wie viele verschiedene Wege findet ihr? • Durch wie viele verschiedene Räume kommt ihr

dabei?• Auf jedem Weg sollen die Zahlen addiert werden.

Welches ist die größte, welches die kleinste Zahl?• Kommen dazwischen alle Zahlen als Wegsummen

vor?• Gibt es verschiedene Wege mit gleicher Summe?• Welche Variationen der Aufgabe findet ihr?


Bsp. 5: Sortierspiel

?


Sortierspiel

1 2 +

1 2 + 3 + 4 +MN 7, S. 250, Projekt


Bsp. 6: LGS

I) x+2y=1 2x+2y=1

II) x+2y+3z=1 2x+2y+3z=1 3x+3y+3z=1

III)x+2y+3z+4u=1 2x+2y+3z+4u=1 3x+3y+3z+4u=1 4x+4y+4z+4u=1

IV) x+2y+3z+4u+5v=1 2x+2y+3z+4u+5v=1 3x+3y+3z+4u+5v=1 4x+4y+4z+4u+5v=1 5x+5y+5z+5u+5v=1

• Was ist die Lösung eines entsprechend „gebauten” LGS mit n Variablen und n Gleichungen? Du kannst dir bei der Suche nach einer Vermutung ggf. von einem Computeralgebrasystem (CAS) helfen lassen. Begründe deine Vermutung.

• Setze oben in der letzten Spalte (rechts vom Gleichheitszeichen) die Zahlen 1; 2; 3; ...n (bzw. n; (n-1); (n-2); ...3; 2; 1; n Mal n bzw. n Mal a) ein. Welche Lösung erhältst du in diesen Fällen? Begründung?

• Erfinde selber „gemusterte Gleichungssysteme” (du kannst dich z. B. durch figurierte Zahlen anregen lassen!) mit einfachen Lösungen!

MN9, S. 48, Ü16


Bsp. 7: Ulam Spirale


Bsp. 8: Pythagoras und al

Sijzi

Vgl. MN 9, S. 129 A2


Bsp. 8: Pythagoras und al

Sijzi

Wer war al-Sijzi?

• Abu Sa’id Ahmad ibn Muhammad

ibn ’Abd al-Jalil al-Sijzi,

lebte im 10. Jahrhundert• aus Sijistan im heutigen Südostiran

bzw. südwestlichen Afghanistan• Übersetzung des Aufgabentextes:

PD Dr. Sonja BrentjesVgl. MN 9, S. 129 A2


Warum Problemorientierung?

• Lernpsychologie, Ergebnisse moderner Hirnforschung (Konstruktivismus und Konnektionismus)

• Gesellschaftliche Erfordernisse (z. Z. reichlich „Probleme“!)

• Geschichte der Mathematik– Fortschritt in der Mathematik primär durch Lösen von

herausfordernden Problemen

– als Quelle für eine (nicht nur) kognitionspsychologische Langzeitstudie

Können vor Wissen

Spitzer, M.: Lernen; Spektrum 2002


Anwenden

Berechnen Konstruieren

Ordnen

Begründen Finden

SpielenBewerten

Mögliche Invarianten: wesentliche

mathematische (Denk-) Tätigkeiten

Beweise

Heuristik

Axiomatik

Riten, ReligionÄsthetik

Kalküle, Algorithmen

ArchitekturGeometrie

Würfelspiel; Würfelspiel; U.-Mathem.U.-Mathem.


Wichtige heuristische Methoden

• Inhaltliches Lösen

• Darstellungswechsel

• Rückwärtsarbeiten (analytische Methode)

• Analogisieren

• atomistische Methoden

• Variieren und Verallgemeinern

• Abstrahieren


Entwicklung einer Schulbuchreihe


Probleme mit der Problemorientierungen:

Implementierungsschwierigkeiten

• „Zeitmangel“?• „Richtige Probleme sind nur etwas für

besonders begabte Schüler“?• „Eigentlich machen wir das doch schon

längst!“?• „Vermittlung von Grundwissen und

Routinetechniken ist am wichtigsten“?• Stellenwert von Bildung und Lernen in

der Gesellschaft?


Ich höre, und ich vergesse,

ich sehe, und ich erinnere

mich,

ich tue, und ich verstehe!

Konfuzius, (551- 479 v. Chr.)

Aus der Geschichte der Philosophie

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