Zur E n t w i c k l u n g sich erneuernder Besf i inde

(1. Tail)

Edgar Neuburger (Mfinehen)

1. Einleitung

Diese Arbeit befaBt sieh mit der auf deterministisehem Modell beruhenden Voraus- sch/itzung der Entwicklung yon sieh erneuernden Best/inden, wobei besonders zwei Gesichtspunkte interessieren: zum einen werden -- unter der Voraussetzung der Bestandskonstanz -- die Frequenzen und Zeitr/~ume ermittelt, in denen sieh der Anfangsbestand in den Beharrungszustand einsehwingt, zum anderen werden die Konsequenzen des in praxi meist vorliegenden Sachverhalts untersucht, dab die Erneuerungen nieht mit konstantem und einheitlichem Zugangsalter erfolgen, sondern dab die Zug/i, nge fiber die verschiedenen Alter verteilt sind, dab also eine Zugangs- altersverteilung gegeben ist; insbesondere interessiert, inwieweit eine Bestands- entwicklung mit beliebiger Zugangsaltersverteilung dutch Einffihrung geeigneter Ausseheidewahrseheinliehkeiten aueh als Zugang mit einheitliehem Alter behandelt werden kann. Obwohl diese Arbeit sieh nur mit der Hauptgesamtheit befagt, deren Mitglieder wir im Hinbliek auf eine Mufige Anwendung als ,,Aktive" bezeiehnen kBnnen, und aueh lediglieh auf die Bestandsverteilung selbst eingeht, also weitere zugehSrige ver- sieherungstechnische Werte nicht betrachtet, muff sie aus Platzgrfinden in zwei Teilen erscheinen: einem theoretisch orientiertem ersten und einem im n/ichsten Heft erseheinenden 2. Teil, der konkrete Beispiele bringt, insbesondere das Ein- sehwingen solcher Best/inde, auch in Abh/~ngigkeit von untersehiedliehen Zugangs- altersverteilungen, zahlenm/~Big aufzeigt. Die Untersuehung des Verhaltens der Nebengesamtheiten oder/und der letzthch besonders interessierenden versieherungs- technischen Werte soll nachgeholt werden. Fiir die kritisehe Durchsicht des Manuskripts bin ieh Herrn Pilzweger, Mathema- tisches Institut der Universitiit Miinchen, sehr zu Dank verbunden.

2.1. Mathematische Hil[smittel

Hier sollen ohne Beweise einige mathematisehe Hilfsmittel zusammengestellt werden, die das Lesen der Arbeit erleiehtern. Mit n > 1 eine nattirhche Zahl (n e N) bildet die Menge aller n-tupel (vgh im folgenden z.B. [1], Anhang, oder [2])

X2

x = eCn (1)

n

mit xi komplex einen n-dimensionalen Vektorraum fiber dem K6rper C der kom- plexen Zahlen, wenrt die Addition yon 2 Vektoren sowie die Multiplikation airier komplexen Zahl mit dem Vektor komponentenweise defmiert warden. Mit x, y E Cn

533

ist das Skalarprodukt von x und y defmiert gemiiB n

(x, y} = ~ x~ y~ (2) i = l

(es bedeutet Yl den konjugiert komplexen Wert yon yi) mit den Eigenschaften

(x, x) >= 0; (x, x) = 0 genau dann, wean x ---- 0 (2x, y ) = 2 ( x , y ) ffir 2 e r

(x + y, z) = (x, z) + (y, z) (3)

(x, y) = (y, z) .

Ist (x, y) --~ O, so sagt man, x und y siud orthogonal. Mit n, m e N heist

"a l l a12 . . . a l m ] a21 a22 a2m /

A : " " " (4)

a n l an2 anm)

eine Matrix vom Typ (n, m). Damit sind Vektoren spezielle Matrizen, n/imlich solche vom Typ (n, 1). Zwei Matrizer~ vom gleichen Typ werden komponentenweise addiert. Multiplikation einer komplexen Zahl (Skalar) mit einer Matrix erfolgt ebenfalts komponentenweise. Ffir zwei Matrizen A und B, die 1. vom Typ (n, k), die 2. vom Typ (k, m), ist die Multi )likation AB defmiert gemaB

k k k " au bu ~ all bi2 . - . ~ all bim

i ~ l i = l i = l k k k

a2i bil ~ a21 bl2 . . . ~ aei bim i = l i = / i = l

AB : (5)

k k k anibil ~ a n t b i 2 . . - ~anibim

i ~ l i=1 i = l

AB ist also eine Matrix vom Typ (n, m). A T bedeutet die Transponierte yon A, d.h., alle Elemente yon A werden an der Diagonalen gespiegelt. Wird zustitzlich noch zu den konjugiert komplexen Werten iibergegangen, so schreibt man A*; es ist also A* : A T : A T (A komponentenweise verstanden). Eine quadratische Matrix (d.h. vom Typ (n, n)) definiert eine (stetige) lineare Transformation im (~n. Bei Matrizen mit reellen Elementen bedeutet A ~ 0, dab alle Elemente nicht-negativ sind, A > 0, dab sie ss positiv sind. -- Das Skalarprodukt (x, y) 1/iBt sich nun auch in der Form y*x schreiben. Des weiteren gilt offenbar (Ax, y) = (x, A ' y ) . 2 a(~ mit Ax : Ax heii]t Eigenwert der Matrix A, x rechter Eigenvektor. Mit y*A = Ay* heiBt y linker Eigenvektor zum Eigenwert 2; gleichbedeutend damit ist offenbar: A*y ----- Ay. Bezeichnet I die Einheitsmatrix, dann ist Ax : 2x/iquivalent

m i t (A - - 2 I ) x -~ 0. (6)

Diese Gleichung besitzt nur dann eine nicht-triviale LSsung (also x ~= 0), falls ffir die Determinante A (2) ---- I A - 2I I -- 0 gilt. A (2) heil~t das charakteristische Polynom,

534

A (X) = 0 die charakteristische Gleichung yon A; besitzt diese Gleichung n verschiedene Wurzeln 41, j -= 1 . . . . , n, wie ffir unsere Anwendungen vorausgesetzt werdenkann, dana bilden die n zugehSrigen (und his auf einea Fak to r festgelegten) rechten bzw. l inken Eigenvektoren x(l) bzw. y(J) eine Basis des q~n, d.h. , jeder Vektor x ~ C n karm in der Form

x = ~ ci x (1) (7) i=1

mit geeigaeten ci e r dargestellt werdea. Siad die y0) bzw. x0) die linken bzw. rechten Eigenvektoren yon A, dana sind wegen 41<x(l),y(J)> ~ <Ax(l) ,y(~)}-~ <x(l), A*y(J)> ~-- 4j<x(l), y(J)}, also <x(l), y(J)} = 0 ffir i # j die hnken Eigenvek- toren y(J) und rechten Eigenvektoren x(i) fiir i # j orthogonal. Sei A > 0 eine Matrix mit reellen Elementen; sie he is t positiv regul/~r, werm ein n e ~ exlst iert mit A n > 0. Ffir solche Matrizen gilt ein Satz yon Frobenius: Ist A positiv regul/ir, dann exist iert ein Eigenwert 4o E]K+ der Vielfachheit 11) mit zuge- hSrigem Eigenvektor x > 0; ist 4' =~ 4o ein anderer Eigenwert yon A, so ist [ 4' I < ~o (Beweis z.B. [1], An_hang, oder [3], Kap. XI I I ) . Zudem liegt der maximale Eigen- wert ~o zwischen der grSl3ten und kleinsten Spal tensumme yon A (vgl. [3], Kap. X I I I , w 2, Bern. 2). Siad also, wie es in unserer Anwendung der Fall ist, s/imtliche Spalten- summen gleich 1, so ist 4o --~ 1 maximaler Eigenwert yon A, der die Betr/~ge der fibrigen Eigenwerte echt iibertrifft.

2.2. Neuzugang mit einheitlichem Zugangsalter

Wit wollen zun/ichst den bekanntea Fall rekapitulieren, da$ siimtliche Neueintr i t te im Alter a erfolgen, das wir o.E.d.A, mit 0 vereinbaren k6nnen: a ~- 0. Des weiterea wollen wir das h6chste Alter als Anw/irter, abweichend yon der fiblichen Gepflogen- heir, mit z bezeichnea, so dab hier z + 1 als Pensionierungsalter erscheint. Seiert Lx(m), m > 0, 0 g x g z die Anzahl der Anw/~rter im Alter x nach m Jahren, bezeichne also

L0(m) L1 !m)

L(m) = . (1)

(Lz(m)

den Anwartschaf tsbestand nach m Jahren. Bei Bestandskonstanz gelten dann, wenn

]x+l wie fiblich P x - ~ , 0 ~ x _~ z~) die Bleibewahrscheinlichkeit als Anwarter ,

d e m g e m ~ qx = 1 -- Px, 0 _~ x ~ z (mit q~. = 1) die Ausscheidewahrscheinlichkeit (ohne Unterscheidung der Ausscheideursachen) bedeuten, fiir alle ganzzahligen

1) Das heillt, das charakteristische Polynom z] (;t) von A ist durch ;t -- ;to, nicht aber durch (;t -- 2o) 2 teilbar; R+ = {x e R: x > 0}; R KSrper der reellen Zahlen.

3) lx, 0 g x < z A- 1 bedeutet also die ,,Anzahl" der Aktiven des Alters x mit lz > 0, [z+l = 0 sowie lx > lx+l ffir x = 0, 1 . . . . . z; es wird lo = 1 gesetzt.

535

m >= 0 die folgenden Gleichungen:

Lo(m -k 1) = ~ qx Lx(m) x=O

L l ( m q- 1) = poLo(m) L2(m A- 1) ---- p l L l (m)

m ---- 0 , 1 , 2 . . . . (2)

Lz(m + 1) =- p z - 1 L z - l ( m )

Ffihr t m a n die Bes tandspro jek t ionsmat r ix

"qo ql . . . . . . . . qz Po 0

p l 0 M =

ein, so laute t Gleichung (2):

p~.-1 0

(3)

L ( m n u 1) = M L ( m ) . (4)

M i s t eine quadrat ische Matr ix mi t n ~- 1 Zeilen und Spal ten (n ---- z). 3) Offenbar ist mi t L (m) e R~_ +1 auch L (m ~- 1) e IK~ +1, so daB durch M eine (stetige) lineare Abbi ldung M: R n+l - + R n+l mi t M(]K~_ +1) c r y _ +1 definiert ist (vgl. z .B. [3], I , S. 52ff., [2], S. 295ff.). Die Spa l t ensummen yon M ergeben 1, so daB M T eine stochastische Matr ix ist. Aus L(1) = ML(0) , L(2) =- M2L(0), usw. folgt ffir beliebige m > 0 (mit der Fest - se tzung M ~ ---- I) :

L ( m ) = M m L ( O ) . (5)

K e n n t m a n also den Anfangsbestand, so 1/iBt sich der Bes tand nach m J a h r e n durch Gleichung (5) ermit teln. Gleichung (5) 1/iBt aieh nun besonders gut untersuchen, wenn wir L (m) mi t I t i lfe der reehten Eigenvektoren D(J), 0 < j < n, darstellen. Seien 2j, 0 < j < n die Eigenwerte yon M, yon denen wir voraussetzen, dab sie alle unterschiedlich sind4). Diese Voraussetzung ist in prax i in aller Regel erffillt. DaB der maximale Eigenwer t 40 = I i s t und ffir die anderen Eigenwerte

I X i [ < I ffir i = l , 2 , . . . , n (6)

gilt, ergibt sich aus dem in Abschni t t 2.1 zi t ier ten Satz yon Frobenius nebs t an- schlieBender Bemerkung, wean wit noch beachten, dab die posit ive Regulari t i i t yon M aus Satz 4.3.4 [4] folgt. Hie rnach ist z.B. hinreiehend, dab ffir mindestens ein x, 0 --< x < z - - 1, qx # 0 und qx+l # 0.

3) Zur Anlehnung an die fibliche Bezeichnungsweise ffihren wir n = z -- a ein, was mi~ unserer Verabredung a = 0 zu n = z fiihrt. Entspreehend dem fiblichen Gebrauch werden jedoeh aueh weiterhin n und z nebeneinander gefiihrt.

a) Es geniigt vorauszusetzen, dab M eine Matrix yon einfacher Struktur ist, d.h., dab M n-{-1 linear unabhgngige Eigenvektoren besitzt.

536

Unter den getroffenen Vereinbarungen stellen die D(I), 0 < j < ne ine Basis im C n+1 dar, so dab jeder beliebige Vektor aus (~n+1 als Linearkombination der DO) dar- gestellt werden kann. Insbesondere k6nnen wir also sctzen:

n

L(0) = ~c jD(J ) , (7) j=o

wobei die cj die Komponentcn yon L (0) bezfiglich der Basis {D (J)} darstellen. Bezeichnen wir mit h(J), 0 g j ~ n, (lie linken Eigenvektoren yon M, so folgt, bilden wit ihr Skalarprodukt mit L (0) :

u

<L (0), h(i)> = Z cj <DO), h(1)> = el <DO), hO)>, (8) j=o

da die hO) und D(J) ftir i # j orthogonal sind (vgl. Abschnitt 2.1). Wir erhalten also

<L(0),h0)> 0 g i _<n. (9) cl - - <D(1), h(1) > ,

Wegen M m D (J) = 1~ m-1 (M D (J)) = Mm-12i D (J) = 2~ D 0) (10)

folgt dann fiir L (m) : n

L(m) = MmL(0) = ~ ~ cj D(J). (11) j=o

Kennen wir also die Eigenwerte und Eigenvektoren von M, dann lassen sich daraus gem/~B G1. (9) die Koeffizienten und mit derer Hilfe die Best/inde L (m) in einfacher Weise gem/~l] G1. (11) berechnen. Da nun gem~fl G1. (6) ffir i = 1, 2 . . . . , n I ~il < 1 isg, haben wir ffir diese i 2m __> 0 ffir m -> 0, woraus resultiert:

L = lira M TM L (0) = co D (~ . (12) i n - + o o

L stellt den stabilen Anwartschaftsbestand (Beharrungszustand) dar:

ML = McoDCO) = coD( o ) = L . (13)

Damit liefert der rechte Eigenvektor zum Eigenwert 1 auch den Bestand der An- w/s im Beharrungszustand. Die hierffir notwendige Bedingung D(o) > 0 wird durch den oben zitierten Satz yon Frobenius nebst anschlieBender Bemerkung garantiert. Zur Berectmung der Eigenwerte Xj ist zun/ichst die charakteristische Gleichung

~ ( 2 ) = IM - AI] = o (14)

aufzustellen. Es ist nach dem Laplace'schen Entwicklungssatz (vgl. z.B. [5], Kap. 3, w 3,4):

qo -- ~. qt q2 . . . . . . . . . q~ qo -- 2

p~ -- ~. 0 A (~) = 0

J

[ p~-1 - - 2

(15)

537

Mit

= (qo - - 2) ( - - 2) n - - 130 ql ( - - 2) n-1 + 130 Pl q2 ( - - 2) n-2 -J- """

+ (-- 1) t P0Pl . . . pl-1 ql(-- 2) n-I + " " + (-- 1)riP0 P l . . . pz-1 qz n

= (-- 2) n+l + q0(-- 2) n + ~ (-- 1) l P0 P l . . . Pi-1 ql(-- 2) n-l . i = l

x + i - - 1 ] x + l

lpx = ]'-I Ps -- 8~X IX

- - - - , 0 _ x _ < z , 0 g i _ < z - - x (16)

folgt fiir die charakteristische Gleichung yon M: 11

A (2) = (-- 2) n+l + (-- 2) n ~ ip0 qt 2 n-I ~--- 0 i ~O

n oder 2 n+l -- ~ lPo qi 2 n-I = 0

i=O

Wegen n n

lpo qt = ~ ([i -- il+l) = 1 1=0 i = 0

ist 20 ---- 1

(17)

(is)

(19)

ein Eigenwert, so dab sich die charakteristische Gleichung auch in der Form

( 2 - - 1) lpo 2 n-1 ---- 0 i

oder

schreiben 1/~Bt. Gleichung

(20)

(2- -1) i2 n-I = 0 (21) i

Die Eigenwerte 21, 1 ~ j =< n, berechnen sich demnach aus der II^

~ l~ 2n-~ = 0. (22)

Im 2. Teil dieser Arbeit sind beispielshaft die Eigenwerte auf der Grundlage der Tafeln fiir die Pensionsversicherung von IIeubeck-Fischer (also mit ix = la~ a) flit einige Zugangsalter aufgefiihrt. Die Eigenwerte zerfallen in konjugiert komplexe Paare: Gilt MD = 2D, dann folgt: MI) ---- 2D, also, da M reell ist, MD = 2D; mit 2 und D ist auch 2 und I) ein Eigenwert bzw. Eigenvektor. Die Eigenwerte von M liegen, wie erw/ihnt, alle im Einheitskreis 12 [ < 1. ~ber die Menge aller Punkte, die dort die charakteristischen Wurzeln behebiger stochastischer Matrizen einnehmen, vgl. die in [3], Kap. XIII , SchluB vonw 6 aufgefiihrten Litera- turhinweise. Die Berechnung der rechten Eigenvektoren gestaltet sich einfach : Aus

MD(J) = 2j D(J) (23)

folgt unter Beachtung von G1. (3) z

Y qx D~) = ~j D~), (24) X = 0

538

Px-1 D(xJ)-i = ~tj D~), i _< x g z , (25)

woraus die rekursiven Darstellungen

D~) = Px-1 D~ ) ' 1 --< x _< z, (26) ).j

resultieren. Da Eigenvektoren lediglich bis auf einen konstanten Faktor bestimmt sind, setzen wir

D(o j) = 1, 0 < j < n, (27)

woraus folgt:

D )--xp0_ ix (2S)

G1. (24) stellt nun offensichtlich eine Umformung yon G1. (17) dar. Die rechten Eigenvektoren entsprechen also den diskontierten Aktiven mit den komplexen Diskontierungsfaktorert 1/~lj. Aus diesem Grund wurde D zur Bezeich- nung der rechten Eigenvektoren benutzt. Ffir j ---- 0 erhalten wir

D(~ : j . (29)

Ffir die linken Eigenvektoren h(J) yon M folgt ffir 0 _--< j g n aus

h (J)* M = ~j h (J)* (30)

wegen Gl. (3) ffir 0 -< x --< z -- 1

h(~ ) qx ~- h~)+l Px = ~j h~) (31) oder

1 . h(j) (32) =nxi . 1

Mit h(~ ) = 1, 0 < j < n, stellt offenbar G1. (32) die bekannte gekursionsformel ffir den Barwert einer fiber die Dauer der Anwartsehaft laufenden und bei Ausscheiden zum Ende eines Jahres auszahlbaren Versicherung mit dem Diskontierungsfaktor 1/AI dar, so da6 mit dem bekannten Formelapparat der Versicherungsmathematik und der fibhchen Bezeiehnungsweise ffir 0 --< x <_ z und 0 < j < n grit:

h ? = @)

=

z

M(x j) ---- Z C(s l) (33) S = X

= ix - fx+l )#+i

Der Vortefl dieser Darstellung besteht darin, dab die Programme ffir die Berechnung der Gr6Ben D~ ) und A~ ) allseits vorliegen, so dab also die linken und rechten Eigen- vektoren bei Kenntnis der Eigenwerte ohne groBen Aufwand berechnet werden k6nnen; es ist allerdings darauf zu achten, dal3 die ~tj i. allg. komplex sind. Schliell- lich sei noch darauf hingewiesen, dal] die linken Eigenvektoren in die rechten und umgekehrt durch Matrizeninversion ineinander fibergehen (vgl. G1. (4.26)).

539

Ffir j = 0 folgt M(~ ~ = ix, also fiir 0 < x _< z

h(~ ~ = hx = 1 ; (34)

dieses Resultat ergibt sieh auch sofort aus der Tatsache, dab M T eine stoehastische Matrix ist (vgl. [3], Kap. XIII , w 6, Ziffer 1). Nun sind auch die Komponenten yon L(0) bezfiglieh der Basis {D(J)} gem/~B G1. (9) angebbar, wobei wir wieder eine in der Versicherungsmathematik m6glichst fibliche Schreibweise benutzen: Es ist fiir 0 =<_i < n :

Z Z .

<D (l), h(i)> = ~ ~x~(i)--xA(i) = ~ M(~) ---= R(~ ) , (35) x = O x = 0

speziell

und

mithin

g

<D(~ h(~ = ~ lx, (36) X = 0

z

<L(O), hO)> = ~ Lx(O) AO), (37) x = O

1 z

e, - - R(j' Lx(~ (3S)

Speziell fiir i = 0 erhalter~ wir: z

5Lx(0) X = 0

e 0 - - g

I i x X ~ O

(39)

so dab gem/~B G1. (12) und (29) ffir den Anwartsehaftsbestand im Beharrungszustand das bekarmte Resultat

z

y L~ (0) L -- x=o f (40)

Z A

~ lx X = O

folgt; im Beharrungszustand entspricht also der Altersaufbau der zugrundeliegenden Ausscheideordnung, gewichtet mit einem Faktor, der die Bestandskonstanz garantiert.

2.3. Neuzugang mit vorgegebener Zugangsaltersverteilung

Sei Ux, 0 --< x _< z, der Bruchteil der Neuzug/inge mit Alter x im Vergleich zum Gesamtzugang, stelle also {Ux} die Zugangsaltersverteilung dar. Ohne Einschr/~n- kuag der Allgemeinheit kSrmen wir von Uo # 0 ausgehen (d.h., das 1. Alter mit Neuzugang gilt als Alter 0). Des weiteren haben wir

z

E ux = 1. (1) x = 0

540

Dann gelten bei Bes tandskons tanz fiir m = 0, 1, 2 . . . . die folgenden Gleichungen: z

Lo(m + 1) -= uo ~ qx Lx(m) X=0

z

L1 (m A- 1) = Po Lo (m) A- u l ~ qx Lx (m) (2) X=0

Z Lz(m A- 1) = p z - l L z - l ( m ) -[- Uz ~ q x L x ( m ) ,

X=0

die sich wiederum in Matr izenform schreiben lassen, werm wir die Matr ix

uo qo Uo ql uo q2 . . . . . . . . . . uo qz ~ Po § u l qo ul ql u l q~ . . . . . . . . . . u l qz i

u~ qo p i 3- u~ qi uz q2 . . . . . . . . . . u2 qz B = (3)

Uz qo . . . . . . . . . . . . . . . . pz-1 A- Uz qz-1 Uz qz

einfiihren. G1. (2) laute t darm fiir m = 0, 1, 2 , . . . :

L (m A- 1) ~- B L (m) , (4) woraus

L (m) ~-- B m L (0), m = 0, 1, 2 . . . . . (5) resultiert . Auch B ist eine (stetige) lineare Abbfldung B: R n+l --> R n+l mi t B(R~_ +1) c R~_ +i. Es ist B > 0 mi t Spa l t ensummen 1, d.h. , B T ist eine stochastische Matrix. Zur Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren von B stellen wir folgende Vor- be t rach tungen an: Sei

"U0

ul 1 u2 1 0

0

Uz

(6) G =

D a n n ist, wie sich leicht verifizieren I/~gt,

1

U0

U l

U0

U2

G - 1 ~ l l 0

Uz

110

1 0

1

0

(7)

541

und

sowie

G-1B__--M (s)

G - 1 B G = M G =

z ~ q x U x ql q2 . . . . . . . qz

X~0

u0 P0 0 u l p l Pl 0 0 u2P2 P2

Uz-1 Pz-1 Pz-1

(9)

N u n ist die charakter is t ische Gleichung yon B dieselbe wie die yon G -1BG, ls sich jedoch aus G - 1 B G leichter e rmi t te ln ; gem/ift An_hang laute t sie:

n /z-I ) 2 n+l --i=~0 lX~= :x ip x q x + l 2 n- i ~---0. (10)

Man m5ge bier und im folgenden die Ergebnisse mi t deaen yon Abschni t t 2.2 mi t uo = 1, Ux = 0 ffir 1 _< x --< z vergleichen. 2o = 1 ist eine LSsung yon G1. (10), da B T eine stochastische Matr ix ist; 2o ist zudem maximale charakter is t ische Wurzel yon B (vgl. [3], Kap . X I I I , w 6, Aussage 1). Auch durch direkte Ausrechnung liil~t sich 2o = 1 durch Bests der Gleichung

n z - I ~ u x l p x qx+l = 1 (11)

i=0 x=0

verifizieren; daft 2o max imal ist, folgt auch aus der oben zi t ier ten Bemerkung zum Satz yon Frobenius. I s t B posi t iv regular, dann gilt

1211 < 1 fiir i = 1 , 2 , . . . , n . (12)

Da B > 0, ist das genau dann der Fall wenn - - falls zJ(2) ia der F o r m

A (2) = 2 n+l -4- a l 2nl -~ a22 n2 - ~ ' ' " ~- a t2 n ' -~ 0 (13)

( n + 1 > n l > n 2 > " " > nt ; ai # 0 fiir i = 1,2 . . . . , t )

dargestel l t wird - - tier grSftte gemeinsame Teiler der Zahlen

n -~- 1 - - n l , n l - - n2, n2 - - n3, �9 �9 �9 nt-1 - - n t

gleich 1 ist (vgl. [3], Kap . X I I I , w 5, Satz 8 und zugehSrige Ausfiihrungen). Hierfi ir hinreichend ist wieder, dal~ fiir ein s, 0 --< s ~< z - - 1, qs =# 0 und qs+l 0= 0 sind. Derm mi t qs+l # 0 ist auch s+lPO # 0 und spo # 0 sowie wegen uo =4 = 0 auch

Z--S z--s--1 Ux sPx qx+s > uo sPo qs 4 = 0 und ~ Ux s+lPx qx+s+l > uo s+lPo %+1 # 0 .

x=0 x=0

Wit gehen dami t im folgenden davon aus, da$ B posi t iv reguls ist. Zus/~tzlich nehmen wir wieder an, daft alle Eigeawer te vor~ B verschieden sind (bzw., aus- reichend, daft B von einfacher S t ruk tu r ist).

542

Wegen 40 = 1 1/iBt sich Gleichung (10) auch in die Form

bringen, so dab zur Ermit t lung der fibrigen Eigenwerte von B die Gleichung

) x i P x 4 n - i ~ - 0 (15 ) i = o

zu 15sen ist. Im 2. Tail dieser Arbeit sind ftir einige Verteilungen {Ux} die Eigen- werte angegeben, wobei beaehtenswert ist, dal~ in allen F/illen die dem Betrage nach zweitgrSl~te charakteristische Wurzel yon B auffallend kleiner als die dem Betrage nach zweitgrSl~te charakteristische Wurzel yon M ausf/illt; hierauf wird im 2. Teil noeh einzugehen sein. Die rechten Eigenvektoren l(J), 0 ~ j < n, yon B berechnen wir mit Hilfe von G1. (8). Hiernach gilt ffir j = 0, 1, . . . , n:

MI(J) = 2j G-110), (16)

was unter Beachtung yon G1. (2.3) und (7) zu den folgenden Gleichungen ffihrt (vgl. auch G1. (2.24) und (2.25)):

l(o~) ~ q x l ~ ) = 4j (17)

x = 0 UO

-- 2j ux 1(~) ~- 4j l(x j) l ~ x _ ~ z (18) p x - 1 1 ~ ) 1 = uo

Hieraus gewinaen wir die rekursiven Gleiehungen

1 ~ ) - px-ll(xJ~l + Ux 1(]), 1 < x _<z (19) 4j uo o -~ -- �9

Setzen wir 1(~ ) : = uo fiir j = 0, 1 , . . . , n , (20)

so erhalten wir aus der rekursiven Darstellung (19): x ) = ~ x-sP~ U s Us 1~) = D(J) O, 1, (21) s_~o 2 ~ - ~ x ~ - o D~J) ff ir x . . . . . z .

Da D(x i) = ]x/4~ ist, lassen sich gemi~B G1. (21) die rechten Eigenvektoren l(J) yon B unmit telbar berechnen, hsbesondere ist

l(x ~ Us~ ffir x = 0 , 1 . . . . . z . (22) s=O l S

Die linken Eigenvektoren hO) von B lassen sich direkt aus der Gleichung

h(J)* B =- 2 i h(J)* (23)

ermitteln. Ausfiihrlich lautet diese Gleichung: z

nsh (i) + q s ~ 4 . h (j) s = 0 , 1 , z - - 1 (24) x=O

u I l d

X=0

543

Setz tman

so folgt

und

z

h ~ ) u x = l ffir j = 0 , 1 . . . . . z, (26) X = 0

1 h(,J) = ~ - (27)

A I

q~ --4- P s ~ s + l , . . . . . 0 , 1 , z - - hi' = ~ ~ s 1. (23)

Ein Vergleich mit G1. (2.32) zeigt, dal3 sieh die linken Eigenvektoren yon B wie die yon M berechnen, so dal3 formal fiir h(J) die Gln. (2.33) gelten; die Ux gehen lediglich implizit fiber die Eigenwerte Xj in die linken Eigenvektoren h(J) ein. Insbesondere gilt wieder

h ( 0 ) = h x = l ffir x - - - -0 ,1 , . . . , z . (29)

Auf die M6glichkeit, auch hier die linken Eigenvektoren aus den rechten und um- gekehrt durch Matrixinversion zu berechnen, sei hingewiesen (vgl. G1. (4.26)). Da wit B als Matrix yon einfacher Struktur vorausgesetzt haben, stellen die rechten Eigenvektoren l(l) eine Basis des (~n+l dar, so dal3 gilt (vgl. Abschnitt 2, Gln. (7)--(1)):

I1

L(0) = ~ cj 10) (30) j=o

mit

insbesondere (vgl. G1. (2.39))

<L(0), h0)> cj -- <l(J), h(J)) ' (31)

Lx (0) X = 0 Co - - (32)

X = 0

tIieraus folgg wegen G1. (12) ffir den Bestand im Beharrungszustand (vgl. G1. (2.12) und (2.40)):

z

:~Lx(O) L = l i m ~ n e j l ( j ) = col(O)_ x=o 1. (33)

z

m - ~ j=0 ~ lx X = 0

Damit 1/~Bt sich wegen G1. (22) der Bestand im Beharrungszustand ohne Kenntnis der Eigenwerte yon B fiir beliebige Zugangsaltersverteflungen {Ux} unmittelbar be- rechnen. Interessant ist noch die Frage, ob bei vorgegebener Ausscheidcordnung und der Forderung der Bestandskonstanz jeder beliebige Ausgangsbestand L (0) eia Bestand im Beharrungszustand sein kann; d.h., also: existiert ffir beliebiges L e ~ + 1 eine Altersverteilung des Neuzugangs {Ux} derart, dab

L ---= B L ? (34)

544

DaS die Frage in dieser Allgemeinheit zu verneinen ist, sieht man sofort am Beispiel Lo---- 1, Lx---- 0 ffir x = 1 . . . . . z. Notwendig ist gem/iS Gleichung (17) hierfiir, dab gilt:

Lo uo - ; (35)

~ q x Lx x = 0

insbesondere also : Z

Lo < ~. qx Lx, (36) x = 0

da uo < 1 sein mu$; diese Bedingung leuchtet ein: die Anzahl der Zug/~nge karm nicht geringer als die Anzahl der AnwArter im Alter 0 sein, da die Anw/irter dieses Alters sich lediglich aus dem Neuzugang rekrutieren. Des weiteren ist wegen 0 < Ux < 1 ffir x = 1, 2 . . . . . z gem/~$ G1. (19) notwendig, da6 ffir x = 1,2 . . . . ,z gilt:

z

Px-1 Lx-1 < Lx < Px-1 Lx-1 + ~ qx Lx. (37) x = 0

Auch diese Bedingungen sind einleuchtend: der Bestand des Alters x mu$ mindestens die Uberlebenden des Alters x -- 1 umfassen, karm abet andererseits nicht grSBer sein als die Zahl dieser Uberlebenden zuzfiglieh des gesamten Neuzugangs. Die Bedingungen (36) und (37) sind umgekehrt auch hinreiehend dafiir, dab bei geeigneter Zugangsverteilung {ux} der Ausgangsbestand L bereits im Beharrungs- zustand ist. Defmieren wir n/imhch uo gem~$ G1. (35) und ffir x ---- 1, 2, . . . , z Ux ge- mAS

Lx -- px-1 Lx-1 -, (38) U X ~ Z

qxLx x = O

dann i s t wegen G1. (36) und (37) 0 < Ux _--< 1 ffir x ~ 0, 1 . . . . . z erffillt sowie eben- falls

z z

y L x - - ~ p x L x z ~ U x - - x=O x=o = 1. (39)

z

X = 0 x = 0

{Ux} ist also eine zulAssige Zugangsaltersverteilung. Ffir den Bestand im Beharrungs- zustand erhalten wir gem/~6 G1. (19), (35) und (38) das rekursive System

lx = px-llx-1 A- Lx -- px-1 Lx-i lo, x = 1, 2, . z . (40) L O ""

Mit lo = Lo erhalten wir daraus 1 = L , (41)

d.h., bei der Wahl der Zugangsaltersverteilung {Ux} gem/~S G1. (35) und (38) stellt der Ausgangszustand auch den Beharrungszustand dar. Des weiteren sei noch darauf hingewiesen, daS bei beliebigem Ausgangszustand, B als Matrix einfacher Struktur vorausgesetzt, dieser Beharrungszustand angestrebt wird, so daS auch die Frage beantwortet ist, unter welchen Voraussetzungen eine

545

vorgegebene Bestandsverteilung Beharrungszustand sein kann: genau dann, wenn die Bedingungen (36) und (37) erffillt sind.

2.4. Zuri~ck/iihrung des Neuzugangs mit beliebiger Altersverteilung au] den Fall des Neuzugangs mit einheitlichem Zugangsalter

Hier untersuchen ~ die Frage, inwieweit es bei theoretisehen Untersuehungen ohne Einschr/~nkung der Allgemeinheit zul/tssig ist, den Neuzugang mit einheitlichem Zu- gangsalter vorauszusetzen. Aueh ffir die Simulation einer Bestandsentwieklung auf dem Reehner w/~re es yon Vorteil, o.E.d.A, ein einheitliches Zugangsalter voraus- setzen zu kSnnen. Die Frage 1/~$t sieh in zweierlei Richtung stellen:

1. Existiert eine Ausscheideordnung {qx} derart, dab der Beharrungszustand unter Zugrundelegung dieser Ausseheideordnung und eines Neuzugangs mit einheitlichem Zugangsalter dem Beharrungszustand einer vorgegebenen Ausscheideordnung {qx} und einer vorgegebenen Altersverteilung des Neuzugangs {Ux} entspricht ? Bejahendenfall~ hieBe dies, dal3 fiir asymptotische Betrachtungen, also Unter- suchungen fiber den Beharrungszustand, yon einem eirtheitlichen Zugangsalter aus- gegangen werdeu kSnnte.

2. Existiert bei gegebenem Ausgangsbestand eine Ausscheideordnuug {qx} derart, dab unter Zugrundelegung dieser Ausseheideordnung und eines einheitliehen Zu- gangsalters die selbe Bestandsentwicklung erfolgt wie bei vorgegebener Ausscheide- ordnung {qx} und einer vorgegebenen Zugangsaltersverteilung {Ux} ?

Beide Fragen lassen sieh zusammenhiingend beantworten. Gegeben ist also mit n e N eine Ausseheideordnung {qx}, eine Verteilung des Neuzugangs {Ux} sowie ein Ausgangsbestand L (0) e ]Kn+l, mithin aueh die Best/inde naeh m Jahren

n

L(m) = B m L(0) ~- ~ ~t~ a e 11(9 l=o

und dem Bestand im Beharrungszustand L = r162 = ~1(0) mit geeignetem cr ~t+ (vgl. Absehnitt 2.3). Gesucht ist eine Ausseheideordnung {q~} derart, da$ mit

M' = (1)

~ t ~ ~

Pz-1 01

gilt:

und

L (m) = ~V[ ' m L (0) ffir m = 0, 1 . . . . (2)

L = lira L (m). (3) E l i - - ~ O O

p �9 1 p Die Ausffihrungen yon Abschnitt 2.2 treffen aufM' voll zu, so dab mit 1 x = Px-t x- i , t Px -~ 1 -- q~, D' (J) als rechte Eigenvektoren sowie 2j als Eigenwerte yon M' ffir den

Beharrungszustand als notwendige Bedingung folgt (l' liegt lediglich bis auf einen

546

Faktor fest) : 1

- - L = 1 = 1' . (4) 0r

Somit liegt 1' gem/iB G1. (4) lest, und da nach Abschnitt 2.2 (vgl. iasbesondere G1. (2.40)) l' dem Altersaufbau der gesuchten Ausscheideordnung entspricht, auch die einzig m6gliche in Frage kommeade Ausscheideordnung, mithin auch

, lx+l 0 --< x ~< z -- 1 (5) Px- Ix '

t

und q~ = I -- Px, 0 ~< x <_ z - - 1; (6)

q~. ist definitionsgem/s gleich 1. Nun miissen die Pi und q~ als Wahrscheinliehkeiten ffir x ---- 0, 1 . . . . , z -- 1 die Forderungen

t t

0=<px < 1 , 0__<qx=<l (7)

erfiillen, entsprechend also

l x > l x + l ffir x = 0 , 1 , . . . , z - - 1 . (8)

Diese Relationen sind im allgemeinen fiir beliebige Verteilungen {Ux} nicht erfiillt. Derm nach G1. (3.18) ist mit j = 0 gMchbedeutend damit (vgl. G1. (3.20)).

Ux+l=<qxlx fiir x = 0 , 1 . . . . . z - - 1 (9)

bzw. gem/~g G1. (3.21) X

Ux+l < qx ~ ~-~p~ u~ s=O

fiir x = 0 , 1 . . . . , z - - 1 . (10)

Gem/iB G1. (9) ist unter Beachtung von G1. (3.20) daffir notwendig (aber rdcht hin- reichend) z.B. die Bedingung

Ux+l~qxuo ffir x = 0 , 1 , . . . , z - - 1 (11)

und daraus resultierend 1

u0 > % - - . qx

X = 0

(12)

Offensichthch stellen schon diese Beziehungen eine urmatfirliche Einschr/inkung fiir die Verteilung {Ux} dar; bei den fiblichen Ausscheideordnungen {qx} bedeute~ diese Einschr/inkung, dab nach wie vor der Hauptzugang im Alter 0 erfolgt. Das kleinste u0 und die gr6Bten Ux, 1 --< x _< z, sind erreichbar, wenn man in den Gin. (11) und (12) das Gleichheitszeichen zul/~Bt, also setzt:

1 qx-1 u0-- z , ux - - z ffir x = 1 , 2 . . . . . z. (13)

x = 0 x = 0

Man iiberzeugt sich leicht, dab dann (mit Gleichhei~szeichen) auch die G1. (10) sowie G1. (3.1) erf/ill~ sind. Der Vollst/indigkei~ wegen sei noch darauf hingewiesen, dab umgekehrt der Vektor 1', falls er die G1. (8) erffillt, eine zul/~ssige Ausscheideordnung darstellt, gem/~B der

547

bei einheitlichem Zugangsalter der gleiche Beharrungszustand erreicht wird wie bei der vorgegebenen Ausscheideordnung {qx} und der Zugangsaltersverteilung {Ux}. Allerdings unterscheiden sich i. allg. die Einschwingvorg/~nge, wie durch Gegeniiber- stellung der Gh (2.22) (bier ist ix dutch lx zu ersetzen) und (3.1) folgt. Wegen der schon his jetzt erfolgten starken Einschr/~nkung der zul/issigen Zugangsverteilungen {Ux} erscheint eine weitere Untersuchung iiberflfissig. Es sei nur noch darauf hinge- wiesen, da$ bei Nichterffillung yon Gh (8) zwar formal wie in Abschnitt 2 gerechnet werden karm, dab aber i. allg. dann einige Eigenwerte hi mit [hi] > 1 auftreten, d.h., die Bestandsentwicklung wird instabil (schwingt sich auf), 1' stellt nicht den Beharrungszustand der Entwicklung dar (vgl. G1. (2.12)). Hierzu bringt Teil 2 tier Arbeit ebenfalls ein Beispiel. Unsere arrfangs aufgestcllte Fragc 1/~Bt sich nun so beantworten: Nur unter/~ul3erst engen Einschr/inkungen fiir die Zugangsverteilung {Ux} existiert eine Ausscheide- ordnung {~} derart, dab der Beharrungszustand unter Zugrundelegung dieser Ausscheideordnung und eines Neuzugangs mit einheitlichem Zugangsalter dem Beharrungszustand der vorgegebenen Ausscheideordnung {%} und der vorgegebenen Zugangsaltersverteilung {ux} entspricht. Auch dann liegt i. allg. eine unterschied- fiche Bestandsentwicklung vor. Nachdem damit unsere anfangs aufgestellten Fragen i. allg. zu verneinen sind, werden wit versuchen, sie etwas weiter zu stellen. Um das Ergebrds vorwegzunehmen: Wit werden nun zeigen, dab bei vorgegebener Ausscheideordnung {%}, Zugangs- altersverteilung {Ux} und Anfangsbestand L(0) immerS) eine (nicht-singul/~re) Matrix T und eine Ausscheideordnung {q~} existiert derart, dab fiir die Entwicklung des Bestandes L'(m) aus dem transformierten Anfangsbestand L ' (0 )= TL(0) bei Anwendung der Ausscheideordnung {q~} und eines einheitlicher~ Zugangsalters fiir den Neuzugang und fiir die Entwicklung des Bestandes L(m) aus dem Anfangs- bestand L(0) bei Anwendung der Ausscheideordnung {%} und der Zugangsalters- verteilung {Ux} gilt:

L(m) = T -1 L'(m). (14)

Ubersiehtlieh dargestellt: Sei M' die gem/~B G1. (2.3) zur Ausscheideorduung {~} gehSrende Bestandsprojektionsmatrix. Dann kSnnen wir den Bestand L(m) nach m Jahren aus dem Anfangsbestand L (0) gem/~B dem folgenden Schema gewirmen:

L (0) _T L'(0) ~ L'(m) ~ L (m). (15)

Wird also tier Anfangsbestand einer geeigneten linearen Transformation unter- worfen, dann last sich die Bestandsentwicklung mit einheitlichem Zugangsalter durchffihren, wobei dann der Bestand nach m Jahren durch Riicktransformation gewonnen wird. Hieraus folgt noch: Eigenschaften der Bestandsentwicklung, die invariant gegeniiber linearen Transformationen sind, lassen sich ohne Einschr/~nkung der Allgemeinheit unter der Armahme eines einheitlichen Zugangsalters unter- suchen. Gesueht ist also eine Ausscheideordnung {qx} bzw. die dazugehSrige Bestands- projektionsmatrix M' mit einem Aufbau gem/~l~ G1. (2.3) sowie eine nicht-singul~re Matrix Tmi t der Eigenschaft

B = T-~M'T. (16)

5) Es sei an unsere generelle Voraussetzung erinnert, dall die Eigenwerte von B verschieden sind, bzw. ausreichend, dab B yon einfacher Struktur ist.

548

Denn dann gilt, wie im Schema (15) behauptet:

L(m) = B m L(0) = T-1M'mTL(0) . (17)

Notwendig ffir das Bestehen yon G1. (16) ist, dab B und M' die gleichen Eigenwerte haben, also dieselbe eharakteristische Gleichung erffillen. Da die von B gem/~B G1. (3.14) gegeben ist, die yon M' gem/~13 G1. (2.21) mit geeignetem 1' start 1, folgt als not- wendige Bedingung fiir G1. (16) :

z - - i

l i = ~ p x U x , i = O , 1 , . . . , z . (18) x = 0

1' gem/~B G1. (18) erfiillt G1. (8), stellt also eine zul/~ssige Ausscheideordnung dar; denn:

z - I - - 1 z - - i - 1

1~ = ~ lpxUx -k ipz-i Uz-i > ~i+ipxUx = 1;+t (19) x = 0 x = 0

wegen ipxUx > 0 ffir alle x und lpx > l+iPx fib x = 0, . . . , z und i = 0, 1 . . . . . n -- 1. Aus G1. (18) folgt noch mit lz+ 1 = 0:

/ /

, l x + l , , , lx+l �9 , p x = l - - p x , l P x = - l ~ - ffir x = 0 . . . . . z und P x - ix

i = 0 . . . . . z + 1 -- x . (19)

M_it dieser Ausscheideordnung haben B und M' dieselben Eigenwerte hi. Wegen unserer generellen Voraussetzung, dab B eine Matrix einfacher Struktur ist, die also besonders flit den Fall unterschiedlicher Eigenwerte gegeben ist, gilt mit

Ih0 hz 0

h2 A

0 hn

A = H B K und A = H ' M ' K ' .

(20)

(21), (22)

Hier sind K und K' definiert gem/~B

K = (1(% 1(i) . . . . . l(n)) ; K ' = (I'm), l'lZ) . . . . . l'(n)), (23)

also als Matrizen mit den rechten Eigenvektoren von B bzw. M' als Spalten, w/~hrend fiir H und H' gilt:

H =

h(0)* <1 (% h (o)>

h(i)* <l(i), h(i)>

h o~) * <l(n),h(n)>

, H ' =

h ' (0) *

<1' (% h' (o)> h'(1)*

<l'(i), h'(1)>

h,('n), <1' (n), h' In)>

(24)

H bzw. I t ' besitzen also bis auf einea Faktor die linken Eigenvektoren von B bzw. M' als Zeilen.

549

Aus den G1. (21) und (22) folgt nun unmittelbar ffir die gesuchte Transformations- matrix T (vgl. G1. (26)):

T = K ' H , T-I = K H ' . (25)

Damit ist die gesuehte Ausseheideordnung {q~} und die lineare Transformation T explizit angegeben, bei deren Anwendungen gem~B dem Schema (15) und einem einheitlichen Zugangsalter die Bestandsentwicklung bei vorgegebener Ausseheide- ordnung {qx} und Zugangsaltersverteilung {Ux} resultiert. Es sei noch angemerkt, dab wegen

K H : H K = I (26)

durch Matrizeninversion die linken Eigenvektoren aus den rechten mid umgekehrt bereehnet werden k6nnen.

A (2) =

A n h a n g : Die E i g e n w e r t e y o n B (vgl. G1. (3.10)) z--1 !

qx Ux -- ,I. ql qz . . . . . . % x=O

Uo Po -- Ul 131 Pl -- 2 0

0 i

Uz-1 pz-1 pz-1

= (__ ~)n+l_3 V x~=2 xl l x (__ ~,)n__ 1.10P0

q2 q3 . . . . . . . . . qz - - 2

P2 - - 2 . .

0

�9 ..-~- (-- 1)J+lujpj

+ (-- 1)= uz-1 Pz-1

ql q2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . qz - - 2 0

px

Pj-1 --~ 0 0 Pj+l --2

ql q2 . . . . . . . . . qz - - ~ 0

0

0

-2 0

= (_ Z)=+i +

0 Pz-1 --

...

. . .

z ) n--1

j=O

550

mit

ql

p l

A j =

und

Nun gilt:

q2 . . . . . . . qi-~

0

qJ qj+l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . qz:

P~-~ --~ 0

0 pj+l

0 P~-1 --

An-I ----- ~n-i .

qj+l qj+2 . . . . . . . . qz p j+l --

0 Aj = ;~J I

0 1 pz - i -- ~1

= ~t] [qj+l ( -- Jr) n-j-1 - - qJ+2 pj+l ( -- A)n-l-2 d - " " d- ( -- 1) k qj+k+l Pj+I Pj+2 ...

p i+k(- - /t) n-I-k-1 -[- "" -~ ( - - 1) n-l-1 qz pj+l P j+2 ... pz-1 (-- ,~)0] n-j--1

= AJ ~ ( - - 1) 1 qJ+i+l ipi+l (-- ;t) n-j- i-1 i=O

n-j--1 = (-- 1) n-j-1 "~ qj+i+l ipj+l ,~n-i-1 .

i=0

Es folgt:

A(X) = ( - - 2)n+1+ xUx (__A)n_~(__ 1)l+lulpi(__ 1)n-J- l~qi+l+l ip i+lAn- i -1 j=o i=o

= (-- t) T M At- x UX (-- /~)n _~_ (__ 1)n ~ uj ~ qj+i+l i+lPj A n-i-1 j=o i=o

~__. (__~)n+l_~ 0qxU x (__/~)n~_(__l)ni__~0/ j=~011jqj+i+li+lpj ~n-i-1

n z-i ) ~ q x , p x

551

LITERATURVERZEICHNIS

[1] Karlln, S., A first course in stochastic processes. New York und London 1969. [2] Lang, S., Linear algebra. Menlo Park (Cal.), 1970. [3] Gantmacher, F. R., Matrizenrechnung. Berlin 1970. [4] Pollard, J.H., Mathematical models for the growth of human populations. Cambridge 1973. [5] Behnke, H. (Hrsg.), Grundzfige der Mathematik, Bd. I. GSttingen 1966.

552