BECKERT, H. : Realisiorung der Schalentheorie von E. TRBFBTZ 40 1

ZASIJL. 8. angew. Atath. AIcch. OR (1989) 11, 401 -408

BECKERT, H.

Zur Realisierung der Sehalcntheorie von E. Treff tz

I n dieser Arbeit wird eine Kornsche Ungleichung zur ersten Randwertaufgabe fiir die 1935 von E. T r e f f t z aufgestellte lineare Schalentheorie hergeleitet, wodurch diese den klassischen Losungstheorien und Naherungsmethoden der Variationn- rechnung und Funktionalanalysis zuganglich wird. Die Theorie gilt unter Vernachlassigung quadratischer Glieder in h lR ( h = Schalendicke, R = Inf . der Normalkriimnvungen) und unter einer von h abhangigen Kriimmungsbeschrankung R > R,(h).

In this paper Korn’s inequality for the first boundary value problem in Tref f tz’s theory for thin shells (1935) is derived so that the classical Hilbert-space methods for existence and approximation theory can, be applied. The theory is valid if quadratic terms in h/R (h = thickness of the shell, 11= Inf . of normal curtsatures) are neglected and furlWer under a lower bound R,(h) depending on h, R > R,(h).

Teopmi Tpeil,@rya 143 r. 1935 AJIFI HpHnofi macTnHr,i TaK, TO MOXHO npnxenmb Kaaccxuecwe MeTom1 D

ecmz npene6peraIoTcx magpaTm1e TepMmm B h / R (rge h - ToaqMHa nnacTmm JI R - inf HOpMaJIhIIOfi I<pmmnhr) M Tome, fcmi mfeeTcfi 3aBmmiaR OT h HnmI-IaR rpnar , R,(h), w> R,(h).

B HaCTOfiwefi CTaTbe BbIBeAeTCFI HepaBeIICTBO EOpHa AJIH IIepBOfi KpaeBOfi 3aAarIM (3aEiuH GLlpHXJIe) B

rMnb6epTOM IIpOCTpaHCTBe gnFi CJJ~eCTBOBaHMFi M MeTOAbI TeOpMkI npa6nnme~u~1. T e o p m 060CHOBaHa,

A .

In den meisten bisher entwickelten linearen Schalentheorien wird naturgema13 von der dreidimensionalen linearen Elastizitatstheorie ausgegangen. Unter zusatzlichen unterschiedlichen Voraussetzungen gelangt man dann iiber Entwicklungsreihen entlang der Normalenrichtung zu zweidimensionalen linearen Naherungstheorien und Schalen- biegungsgleichungen zwischen den Schnittkraften und Schnittmomenten und den Verschiebungen und Winkeldre- hungen und deren Ableitungen bzw. in invarianter Form zwischen den entsprechenden Tensoren, vgl. u. a. [7], [8], [lo, [ l l ] , [14], [15], [16]. Im Bereich der nichtlinearen Schalentheorie, wo man das Problem auf die Bestimmung der Koeffizienten der ersten und zweiten Fundamentalformen der Flachentheorie ausrichtet, sei auf die Arbeiten [4], [5], [6] verwiesen. Die Theorie von I?. JOHN z. B. basiert auf Entwicklungen nach einem Parameter 0 = ( h / R ; h lR; g), (h = Schalendicke, R = maxiinale Kriimmung, D = Abstancl vom Rand der Schale sowie q = maximale Dehnung) und bezieht sich auf das Schaleninnere, wobei weiter wichtige Abschatzungen fur die Spannungen und deren Ableitungen hergeleitet werden. 1935 veroffentlichte E. TREFFTZ [19] seine originelle lineare Schalentheorie, welche leider, wie es scheint, nicht die geniigende Aufmerksamkeit gefunden hat. I n Hinblick auf die hundertste Wiederkehr des Geburtsjahres 1888 des groI3en deutschen Meisters der Kontinuumsmechanik E. TREFFTZ, der 1933 auf vielstimmigem Wunsch der Fachwelt die Herausgeberschaft unserer Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik ubernahm und sie in aufopferungsvoller, mustergultiger Weise weiterfiihrte, ist es mir ein willkomme- ner AnlaB, diese Theorie in Erinnerung zu rufen und aufzuzeigen, daB sie von durchsichtigen Voraussetzungen aus- gehend ohne weitere Abstriche eine streng mathematische Realisierung gestattet. Damit nimmt die Trefftzsche Theorie gegenuber den meisten linearen Schslentheorien eine bemerkenswerte Sonderstellung ein. Wir gehen zu- nachst im ersten Teil kurz auf die Trefftsche Schalentheorie ein, um die ihr zugrundeliegenden einfachen Voraus- setzungen noch einmal darzustellen.

Trefftz legt das orthogonale Netz der Krummungslinien 6, = const, 6, = const auf der Mittelflache 31 einer Schale r cler Dicke h zugrunde und geht von einer linearen Verteilung der Spannungen senkrecht zu M aus; d. h. fur die Normal- und Schubspannungen, welche auf die Schnitte 6, = const, 6, = const wirken, gelte im Abstand von it?:

Hieraus lassen sich die Schnittkrafte Sl1, S,,, Xzl, X,, und Schnittmomente M,, M,, N,, N,, welche auf ein Schalen- element wirken, durch Integration iiber die Schalendicke leicht berechnen, etwa

a, = a, + a;c, z = z + t“ , 0, = 0, + a;c. (1)

+h/2

S,, = .I (3, + a;[) (1 + k) d( = Olh + a; - 12R,’

(2) - hi2 1

M I = .I’(U, + 4 5 ) (1 -+ &)c d5 = g (2 + a;), 1 hI2

- h / 2

mit den Hauptkrummungsradien R, und R,. Die Auflosung dieser 8 linearen Gleichungen (2) nach den 6 Spannungs- gro5en (1) fiihrt auf die zwei Identitaten zwischen den Schnittkraften und Momenten, welche als Ausdruck der Symmetrie der Scherspannungen die Bedingungen fur das Drehungsgleichgewicht urn die Normale ausdrucken. Trefftz macht sich nun den bemerkenswerten Umstand zunutze, tlaB diese Identitatcn gerarle die esplizite Darstel- lung der antisyrnmetrischen Teile

-__- ____ _________ 102

der Scherschnittkrafte und Torsionsmomente durch ihre symmetrischen Teile

ZAMM - Z. angew. Math. PIIcch. 69 (1989) 11 -__-

gestatten. Daraus folgt, daB man sich in der weiteren Theorie auf die Berechnung der sechs SchnittgroBen Ell, Szz, 8, M,, M z und N beschranken kann. Trefftz erhalt d a m unter Vernachlassigung der in hlR quadratischen GroBen aus ( 2 ) die eindeutigen Auflosungen:

Um den gewunschten Ausdruck fur die durch die SchnittgroBen gespeicherte Formanderungsenergie zu erhalten, geht Trefftz von dem klassischen Energieausdruck der linearen ebenen Elastizitatstheorie

(a, + az)2 - 2(01a, - 9)

am. Nach Multiplikation mit dem Volumenelement bzgl. dcs MaBtensors qtg = S,,ef:

von r untl nachfolgendcr Integration ergibt sich

Setzt man hier 0% = Zl + a:(, i = 1, 2; t = Z + 7'5, wo fur die Tjd, a;, 7, z' die Ausdrucke (4) einzusetzen sind, so ergibt sich (lurch Integration riach 5 bei Vernachlassigung von quadratischen Gliedern in h/Rt der gesuchte Nahe- rungsausdruck von E. TREFFTZ fiir tlas elastische Potential einer Schale unter tlem EinfluB der Schnittkriifte SI1, SZ2? 8, M1, M2 und N

[: h 11 (6) 12

- 2 - ( L Y ~ ~ S ~ ~ - S B ) + (MIMz - N 2 ) e1e2 d6, d6,.

(6) gilt unter den Voraussetzungen (1) und der weiteren, daB der Beitrag der Querkrafte in (6) zu vernachlassigen ist, und besitzt dann die gleiche Bedeutung fur die Schalentheorie wie der durch die Spannungen beschriebene Aus- druck fur das elastische Potential in der linearen Elastizitiitstheorie.

Fur ein endliches Stuck Po der Schale bezeichne H die Arbeit, welche die Randkrafte bei langs ar, vorge- schriebenen Verschiebungen U,, U,, U , und Winkeldrehungen yl, y 2 der Normalen, bei welcliem sich die positive Normalenrichtung in Richtung tl bzw. tz der orientierten Kriimmungslinien bewegt, leisten, dann erfiillen die Schnittkrafte in (6) im Gleichgewicht das Variationsproblem

P - H + Min (7) unter der Nebenbedingung, daB die mechanischen Gleichgewichtsbedingungen K , = 0, D, = 0, i = 1, 2, 3 erfiillt sind. Diese am unverzerrten Schalenelement von Trefftz hergeleiteteii Bedingungen sind bekanntlich, bis auf die letzte, lineare Differentislgleichungen erster Ordn ung zwisohen den Schiiittkriiften, Schnittmomenten, Querkraften und den iiul3eren Kraftkomponenten. Die skalare Gleichurig

ist eine der bei Inversion von (4) resultierenden Identitaten und wird ron selbst erfiillt, wenn man die asymmetri- schen Teilc T und L durch die symmetrischen Teile S und N in der beschriebenen Weise errechnet.

BECKERT, H. : Realisierung der Schalentheorie von E. TREFPTZ 403

Trefftz weiidet jetzt das Castiglianosche Prinzip oder allgemeiner die Lagrangesche Multiplikatorenmethode

-_ ___._____

der mehrdimensionalen Variationsrechnung an, indem er die Multiplikatoren u1 d6, df12 ; uz d6, dG2 ; U, d6, d&; y1 de1 d82; y2 d8, d&

einfiihrt. Nach Integration ergibt sich der Lagrangesche Ausdruck

J = jj (KlUl + K2uz + K3u3 + DlP, + Qy2) df4 d82 u

und das Variationsproblem ohne Nebenbedingung F - H + J + Extr.

Aus dem notwendigen Verschwinden der ersten Variation von (8)' erhalt Trefftz seine Schalenbiegungsgleichungen I, I1 und weiter, daB die gewahlten Faktoren (+) u,, u,, %, q,, p2 mit den Verschiebungen in die Richtungen tl, ta der Kriimmungslinien bzw. Normalenrichtung Sn und vl, y , mit den Winkeldrehungen der Normalen Sn iibereinstimmen. Das System I trifft unter den genannten Voraussetzungen zu, wenn auch noch die Glieder der GroBenordnung hlR weggelassen werden. Bei I1 sind die Terme der Ordnung h/R mit beriicksichtigt.

Mit den Ahkiirzungen der rechten Seiten von I lauten die Schalenbiegungsgleichungen I1 von Trefftz :

I1

11 a

Sind Xll, SZ2, 8, ,!Ifl, M , und N bekannt, dann erhalten wir aus ihnen S12, X2,, N , und N , nach (3), (3') zuriick:

I n die Schalentheorie von Trefftz gehen von der Geometrie die vier Funktionen el(@.,, G2), e,(6,, $12), Rl(61, a2), R2(@,, 6,) als Uestimmungsstucke der Mittelfkche M von r ein, welche sich auf das Kurvensystem 6, = const,

___~___ __ ZAMM . Z. nngow. Nath. Pllech. 09 (1989) 11 - __.._

404

6, = const der Kriimmungslinien beziehen. Damit wird bekanntlich fur dieses System die erste und zweite Funda- mentalform der E'lachentheorie auf M festgelegt. Nach einem schon auf 0. BONNET zuriickgehenden Satz kann man bekanntlich M durch Quadratur eines Systems gewohnlicher Differentialgleichungen aus den Kocffizienten der ersten und zweiten Fundamentalform von 111 zuriickgewinnen, was aurh fiir die Trefftzsche Schalentheorie von Bedeiitung ist; fiir Einzelheiten vgl. etwa [9].

~ _ _ _ _

Die Realisierung der Schalentheorie von Trefftz hat offenbar so zu erfolgen, daB wir die Schalenbiegegleirhuiigen I, I1 nach den SchnittgroBen S,,, ... , N aufl6sen und dies in das Trefftzsche Funktional (6) einsetzen :

(10) Es ergibt sich unter dern Intogralzeichen eine quarlratische Form in den Veranderlichen u1(O1, @,), u,(@,, 8,) und deren ersten Ableitungen sowie in u3(&, 6,) und deren Ableitungen bis zur zweiten Ordnung nach Elimination der Winkeldrehungen cp,, q2 vermoge I(a). Unser Ziel mull es sein, entsprechend zur linearen Elastizitatstheorie eine analoge Kornsche Ungleichung fur (10) herzuleiten, womit die Tiir zu den klassischen Losungs- und Naherungs- theorien, zu den Randwertaufgaben und Schwingungsproblemen geoffnet wird. Wir werden dieses Ziel schrittweise iiber Zwischenprobleme und einen wichtigea Hilfssatz von M. R. HESTENES erreichen [17]. Wir legen keinen Wert, unsere Satze unter moglichst schwachen Regularitatsvoraussetzungen zu beweisen, indem wir verlangen : et(6,, @,), R,(8,, 6,) c C ' i lL(D) iiber einem regularen Parameterbereich D. Da U in (5) positiv ist nnd nach Potenzen von h/B, entwickelt bei Vernachlassigung quadratischer Terme in F iibergeht, mu13 fiir hinreichend kleine Werte von h/n, F positiv sein

Wir erkenncn dies auch aus einer leichten, fur die folgenrlen Schritte nutzlichen Umformung von P:

E'(811, 4 2 , 8, Jfl, H2, w = au1, u,, u3) -

F > 0; VS71 -k 8,"~ + ... + N 2 > 0 . (11)

Es werden zunachst die Gleichungen I, bei welchem auch die Glieder der GroBenordnung h/B vernachlassigt werden, in zwei Spezialfallen ( V,), (V,) zugrundegelegt :

n a tler Kopplungsterni in (C)

zu Termen der GroBenordnung h/ R fiihrt, wollen wir ihn hier konsequenterweise vernachlassigen.

gen Mit den Abkiirzungent,, E,, q,, q2, w, y fur die rechten Seiten in I und denen in (29) erhalten wir die Auflijsun-

S,, = A(&, + me1); S,, = A(mt2 -+ E ~ ) ; Jf, = B(q2 + mqJ;

i I

Da TI% > 1, folgen aus P = 0 nach (12) sofort El = &, = q,= q2 = w = y = 0.

(12)

Ad (Vl) Zur Herleitung der Kornschen Ungleichung setzen wir voraus

iiber eincm Yarameterbereich D von r. Wir wollen hier zunachst rpl, cp2 noch nicht mit Hilfe yon TIa eliminieren, statt (10) also unter (V,) die Form

(10') ziigruiitle legen. ALLS den ersten drei Gleichungen I folgt bei J' = 0 nach (13) das spezielle lineare elliptische System crstcr Ortl~iuiig rom Beltramisehen Typus rnit der Determinante gleich 1

u,(% GZ), "2(0l , @2), Vl(81, %,)> (P2(81, 8 2 ) c f%(Q

F(&, Szz, 8, .* - 9 w = &I(% u2, ( P l 9 972)

- BECKGILT, .___ H. : Rrnlisierung . -__ der Schalcntheorie - --__.____ von E. TREFFTZ _ _ _ - 405

Nach L. LICIITENSTEIN [ 181 existieren unter unseren Regularitatsvoraussetzungen iinendlich viele iiber D+ 3 D definjerte zwcimal h-stetig differenzierbare Funktionen

5 = v,(4,%) > 2J = v(%, 0,) Y = Ivo,ye, - q9*ye1I # 0 , (15) Losungen des Systems

(16) el e2

e2 e l y o , = ~- ye*; yo* = - - Po, ,

welche eine umkehrbar eindeutige Abbildung im GroBen von ..6 auf einen Bereich Es bestehen liierbei die Identitiiten

derselben Klasse vermitteln.

zwischen den auf T verpflanzten Funktionen

u,(% 8 2 ) = u(x, Y) 3 U Z ( ~ 1 , 0 2 ) = v(2, Y) und den entsprechenden Beltramischen Operatoren a, 8 bestehend aus den ersten Ableitungen in (14), [l]. Aus (14) gewinnen wjr so das aquivalente System (18) iiber T

I I

au a~ = au + bv ,

ax a~ au av -+- = cu t dv. ay ax

_ -

u, v c H?,Z(D) .

Bus Symmetriegriinden folgt m s I und (6') fur die Winkeldrehungen q~,, p, ein analoges System (18) ; es geniigt daher, sich auf die Funktionen ul, u, zu beschriinken. Nach der Regularitatstheorie elliptischer Systeme sind die Losungen ul, u2 von (18) bew. (14) regular und der Vekuaschen Theorie zuganglich. Mit x = 2 + iy, V ( z ) = u + iw erhalten

wir nach Einfiihriing des komplexen Differentialoperators: ~ - = -< ( ~ 5 -- + i&) mit A, = 1/4 (a+d+ic-ib),

Bl = 114 (a - d -1- ic 4 i 0 ) tlas zii (18) iquivalente System

a i ' a ax

vgl. [13]. Wie J. N. VEKUA gezeigt hat, gestattet eine regulare Losung von (19) U ( z ) die Darstellung

V(z) = 944 exp 4 2 ) (20) mit einer in T analytischen Funktion ~ ( z ) und einer in der ganzen Ebene stetigen auBerhalb T analytischen Funk- tion ~ ( z ) , welche im Unendlichen verschwindet, [13]. Aus U(z)IsT = u + ivlsT = 0 -+ v(z) lsT = 0 und daher p(z) = 0, z E T.

-

Es gilt also S a t z 1: Verschwindet unter (V,) f u r die Funktionen ui(O1, 8.J c Hy,2(D) , rpc(6,, 6,) c H!,,(D) die Formanderungs-

Es gilt also stets Q1(ul, u,, yl, v2) > 0, es sei denn u( 5 0, qi =- 0. Nach einem bekannten Satz von C. B. MOBREY ist der Lagrangesche Vektoroperator L2(u1, u2, q,, q,) von

Q1(ul, u,, q1, p,) elliptisch. Zum Nachweis der starken Elliptizitat ist sein Symbol zu berechnen. Da der Kopplungs- term vernachlassigt wurde, zerfBllt offenbar L,(u,, u2, yl, v,) in zwei zueinander symmetrische Systeme

energie (lo), dann mu# ui(G1, 6,) = 0, pi(a1, 0,) E 0 zutreffen.

L h , , uz), L%Pl, cpz) fur u1, u2 bzw. y1, 'P2 , welche sich nur hinsichtlich ihrer GroOenordnung bzgl. rler Schalendicke voneinander unterscheiden. Im Trefftz- schen Fiinktional (6') verhalten sich die Schnittkrafte zu den Momententermen beziiglich der Schalendicke wie h zu hs.

Zur Berechnung des Symbols geniigt es, den momentfreien Operator L~(u, , u,) zu untersuchen, wobei wir den Faktor e,e, nicht zu beachten brauchen.

Beitrage zum Symbol von den ersten drei Gliedern in (6') :

29 Z. angew. Uath. Mach., Bd. 69, If. 11

Nach der Zerlegung a = a, + a2 + 0; mit

verbleibt

Man erkennt jetzt leicht, daB a, > 0 fiir 151 # 0; lql # 0, da 2rn2 + 2 > 4m fur na > 1 zutrifft. Wegen der Kompaktheit der Kugeln /[I2 = lqI2 = 1 wird das Minimum c > 0 von a(r1, c2, q,, q2) angenommen,

womit die starke Elliptizitat von Li(ul, u2), LE(q,, 9,) bewiesen ist. S a t z 2: Unter (V,) sind die Systenae Li(ul, u2), L;(y,, q2) bei Vernachlassigung von Qliedern der GroJenordnung

h/Rostark elliptisch. Es bestehen die Gardingschen. Ungleichungen mit den Abkiirzungen u = (u,, u2), q = (cp,, pi2) c C Hi,2 X H?,2

Ql(U1, u2) L c,llull~,2 - cllull:,2 >

&l(Ul, u2) 1 &llull;,2 2

Ql(U1, u2) 2 c1llull?,e 7

Q;(FlqZ) 2 c:llyll?,z - c*l lcp l l~ ,z - (20')

(21)

Naeh Hilfssatz 1 ist der kleinste Eigenwert 1, von L;(u,, u2) iiber Hy,2 x By,2 positiv. Es gilt also

v u c @,2 x @,2 9

&&I, p2) 2 c;llqll:,2 *

entsprechend fur Lg. Ein bekanntes nutzliches Theorem von M. R. HESTENES [17] besagt dann, Q1(wl, uz) bzw. &;((p1v2) sind nach (20) uber Iiy,2 x H?,2 sogar positiv definit,

(22) Offenbar stehen die Konstanten cl, c; bzgl. der Schalendicke im GroBenverhaltnis h :h3.

Ad (VZ) Wir vernachlassigen hier die Glieder ul/R, u,lR in Ia, indem wir vorubergehend fur die Winkeldrehungen vl, y2

in ql, q2 und y einsetzen, um pl, cp2 zu eliminieren. Die Momente M,, M,, N iiiingen jetzt nur noch von den ersten und zweiten Ableitungen von ~3(8~, 8,) ab. Bei Vernachlassigung auch des Terms u31R1 vereinfacht sich das Poten- tial P auf die Bestandteile der Momente. Es ist leicht, das Symbol des entstehenden Lagrangeschen Operators vierter Ordnung fur u3(tY1, G2) L4(2c3) aus dem Symbol von Lz(pl, cp2) zu berechnen. Wir brauchen namlich nur in

o(t1, c2, ql, q,), dem Symbol von Lg(rpl, v2) den CrroBen 11% uber qc die Ableitungen - 1 '5 zuzuordnen, dies ergibt ei a6,

wobei

also schlieBlich die starkc Elliptizitat von L4(u3) :

Dein Symbol 04(c1, 5') eritspricht bei e l = 1 der bihrtrmonische Operator der Platte, zu welchem im betrachteten Fall (lei. schwach gekriirnmteri Schale (etwa einer schwach gektiimmten Zylinderschale) nach der Trefftzschen

407

Theorie ein Termkomplex von dritten und zweiten Ableitungen in u3(6,, a,) hinzutritt. Wegen der Positivitat des sich auf die Biegemomente beziehenden Potentials (lo') &,(u3) und der starken Elliptizitat von Lp(u3) kann man auf einen kleinsten positiven Eigeriwert A$ fiir das Eigenwertproblem unter homogenen Dirichletbedingungen schlieBen, also gilt

-- _____ BECRERT, H. : Realisierung der Sohalentheorie von E. TREFFTZ __

QZ(U3) I ~~rlU.311:,2 > u3 E H W ) * (24)

& 2 ( 4 22 c z l l ~ 3 l l ; , 2 ; u3 E H20,2(0 ' (24)

Nach der Gardingschen Ungleichung und dem Theorem von M. R. HXSTENES ist entsprechend (22) &,(u3) iiber H; , z (B) definit,

Randwert- und Schwingungsprobleme fur belastete oder schwingende schwach gekriimmte Schalen sind im Rahmen dieser Trefftzschen Theorie analog losbar wie die entsprechenden ProbIeme in der Plattentheorie.

Fassen wir fur das Folgende zusammen: S a t z 3: Bexeichnet man das Potential F bei Vernachlassigung der Terme ul/RL, u2/Ri, u3/Rz und des Kopplungs-

terms (+ +) mit Q3(u1, u,, u3), so gilt nach Addition von (22) und (24)

C.

Wir schatzen jetzt die Formanderungsenergie P = &(ul, u,, %3) ab, wenn wir die Zwischenvoraussetzuiigen (Vl), (V,) aufgeben und den voIIen Sate der Schalenbiegegleichungen I, I a in P einsetzen. Die Beriicksichtigung der Terme ui /Rj in I und l a fuhrt bei Bildung von &(ul, u,, u3) zusatzlich auf eine Form Z(/) mit Gliedern des Typs

wid mit von e, und deren erste Ableitungen abhangigen Koeffizienten. Unter Benutzung der elementaren Unglei- chung 2ab 5 v2a2 + b2 1/v2; v > 0 konnen wir offenbar Z ( / ) mit einer geeigneten festen Konstanten k , > 0 wie folgt abschatzen

mit u = (ul, ug, u3), wobei k, von Schranken der Funktionen ei(6,, G2) und deren erster Ableitungen und von h abhangt. Die Addition von (25) und (26) ergibt

(27)

S a t z 4: Unter den Schalenbiegungsgleichungen I, I a besteht bei Vernachlassigung von Gliedern der Groflenordnung

( 2 8 )

2 &(% UZ, US) = &3(u1, uZ, u3) + Z ( f ) 2 clllull?,2 -k %lU3112,2 - kl

und damit

hlR fur hinreichend schwache Krumrnungen R > R, die Kornsche Ungleichung

c1 2 c2 2 &(%, uZ> u3) 2 -2 llu111,2 + y l l u 3 1 1 2 , 2 2 u H!,2 x @ , 2 x H?,2 , u3 E H : , 2 *

k c v c1 Beweis: Um (28) zu erfiillen, bestimmen wir v so groB, daB 2 < $ , und danach R,, so, daB k, - < - V L R: 2 gilt. q.e.d.

D. Wir wentlen uns jetzt den allgemeinen Schalenbiegungsgleichungen 11, I1 a von Trefftz zu, bei welchen die Glieder der GroBenordnung h/R noch Beriicksichtigung finden, wahrend die in h/R quadratischen Terme vernachlassigt werden. Der Kopplungsterm (+ +) in F(S,,, XZz, ... , M,, N ) ist natiirlich jetzt mit zu beriicksichtigen. Wir zeigen, da13 wir ausgehend von Sate 4 auch unter den erweiterten Gleichungen 11, IIa eine analoge Kornsche Ungleichung herleiten konnen. Zu diesem Zweck losen wir zunachst die Gleichungen I1 nach den SchnittgroBen Xll, SZ2, S, ill,, N,, und N auf und erhalten nach elementaren Rechnungen, wenn wir wieder die rechten Seiten von I1 mit el, E,,

ql, q2 bezeichnen,

(29) 811 = K(A(e2 + mcl) + ph2aql) , Ml = Z(B(q2 + my,) + pael) ,

S,, = K(A(el -t- me2) - ph2ay,) , M , = K(B(q1 + my,) - pa")

AS' und N entnimmt man aus 11. Es gelten die Abkiirzungen

29.

~ _ _ _ - - ~- _____ 408 Z$MN . Z. angew. Math. A3ech. 69 (1989) 11

Den Kopplungsterm ( + +) konnen wir sofort wie folgt abschatzen

____ _.__ -~ - .--__ -- - -

ssyoF?Ij %;3 (&Ml - S 2 2 3 f 2 ) p1e2 w (1492 5 liul lc2 { l l 4 1 ? , 2 t /l%Il;,z~ , (30) D

mit einer Konstanten k , des Typs k,. Bur p = 0, d. h. bei Vernachlassigung der Glieder der GroBenordnung hlR gehen die Gleichungen (29) in die Gleichungen (12) iiber, es gilt hierfiir die Kornsche Ungleichung (28). Wenn wir jetzt a u c h die Glieder der GroBenordnung h/R berucksichtigen und den vollen Satz der Schalenbiegungsgleichungen 11, IIa in F(Sl,, Sz2, 8, M,, H2, N ) einsetzen - wir fnhren dann die neue Bezeichnung ein

- tlann tritt bei Bildung von (31) wie vorhin bei &(u,, u,, u3) zusiitzlich eine Form @./.) mit dem Vorfaktor ,u auf. W L sz2,s, 411, H,, N ) = a.1, u,, u3)

@('/-)I 5 k31iuI (l lUll?,z 4- 11'%11;,2) ,

(31)

Wir kbrinen diese offenbar wie in (26) absrhatzen

(32) mit einer Konstanten k3 tles Typs k2 uiid erhalten weiter

&(Ui ,Uz , u3) 2 &(Ui , u2, 2%) - k & (/lull?,e f ~ ~ ' % ~ ~ , ~ ) - lpl kz(llullf,z -k I l u s l l i , ~ ) 2 (33)

u E HY,e x HY,*, u, E f12,2, ab liinreichend kleinem pa fiir p <pa, womit die gewunschte Kornsche Ungleichung fiir die erste Randwertaufgabe bewiesen ist. Auf Grund der unterschiedlichen Abhangigkeit der Schnittkrafte und Mo- mentenanteile wie auch des Kopplungsterms von cler Schalendicke in der Pormanderungsenergie P ist es nicht moglich, die Abhangigkeit der Konstanten el, c2 von der Schalendicke h genauer anzugeben. Man kann deshalb die Giiltigkeitsgrenzen von ( 3 2 ) nicht durch eine Schranke ftir h / R allein ausdriicken.

H a u p t s a t z : D ie Formi inderungsenerg ie F(S,,, Sz2, 8, ... , N ) = &(u,, u2, u,) von E. T r e f f t z geniigt b r i Zugruiadelegung der ullgemeinen SchnknbiegeglPichungen TI, IT a f iir die erste Randwertaufgabe der Kornschew Uiz - gleichung (33) f u r hinreicherd schwach gekriirninte Schalen R > R,(h) mit einer von der Schalendicke h abhangigen unteren Schranke R, bei Vernachlussigung quadratischer Glieder der GroJenordnung hlR.

Im Resitze der Kornschcn Ungleichungen (28), (33) kann man die bekannten Existenz- und NBherimgstheorieii tler Variationsrechriung und Punktionalanalysis fiir die erste Randwertaufgabe unter den Vorgaben

auch fur belastete Schalen in dem gleichen Umfang anwenden wie bei den entsprechenden Problemen der linearen Elastizitatstheorie. Den vollen Satz der Schnittkrafte und Momente erhalt man aus (9). Entsprechendes gilt fur die Beharidlung von Schwingungsproblemen.

Literatur

1 BECKERT. H. : Uber lineare Svsteme narticllcr Differentialdcid~uneen crstcr Ordnunn niit zwci unabhanei~en Variablen. Math. Nachr. 5 (1951), 173-208. "

" u 0 u

2 FLUGCE. W. : Statik und Dvnamik der Schalen. Surineer. Bcrlin/Gottinncn/Heidelbcrn 1962. u , 3 GREEN,A. E.; ZERNA, W.:"Theoretical elasticitg.i)xf&d 1954. ' 4 JOHN, F. : Estimates for the derivatives of the stresses in a thin shell and interior shell equations. Comm. Pure. Appl. Math. IS

5 JOHN, F.: Refined interior equations for thin elastic shells, Comm. Pure Appl. Math. 24 (1971), 583-615. G KOITER, 1%'. T.: On the nonlinear theory of thin shclls. I, TT, 111. Koninkl. Nederl. Akad. Wet. Amsterdam. Proceed. BGD (1905),

u

(1965), 238-267.

7 8

9

10 11 12

13

14 15 I6 17

18

19

1-83. KOITER, W. F.: Foundation and basic equations of shell theory. IUTAM Sympos. Copenhagen 1!W, pp. 93-105. KOITER, W. F.: On the foundations of the linear theory of thin shells. I, 11. Ibninlrl. Ncdcrl. Akad. Wet. Amsterdam 73 (1970), 169-195. KOMMERELL, V.; KOMMERELL, K.: Theorie der Raumkurven und krummen Flbchen. 11. \.Yalter do Gruyter 11. Co., Leipzig 1931. Bd. 21. GOLDENWEIZER, A. L. : Theory of thin shells. Pcrgamon Press, Oxford/London/New York 1961. KLINGBEIL, E. : Das Variationsproblem der allgemeinen linearen Schalentheorie. ZAMM 44 (1964), 379 -391. MARGIUERRE, K. : Zur Theorie der gekrummten Platte grofier Formanderung. Proceed. of Fifth Int. Cong. for Applied Mcchanirs 1938, Sew York 1939, pp. 93-101. VEKUA, J. N. : Systeme von Differentialgleichnngeri erster Ordiiung vom elliptischcn Typus nnd Randwertau€gabrn. Math. Porschungsber. VEB Deutsrher Verl. d. Wiss., Berlin 1956. WLASSOW, W. S. : Allgemeine Schalentheoria und ilire Anwenclung in der Technik. Akad. Verlag, Berlin 1958. ZERNA, W.: Zur neuei.cn Entwieklung in der Sclialentheorie. ZAMM 41 (Igtil), 97 -101. ZIRNA, W. : Mathcnmtiscli strcrigc Theorie elastischer Schalen. ZAMM 42 (1962), 333 -341. HISTENES, M. R.: Applications of the theory of quadratic: forms in Hilbert space t o thc celculus of vnrintions. Pncif. J. AIath. I (1951), 524-581. LlCIlTEYSTl?TN, L. : Itandwrrtnufgnben clrr Tlicorir linearer elliptisclier Differentialgleicliungcii. Journal f. Rein61 u. Angewandiv J1atli. 112 (1813), 1 --40. TREFFTZ, E. : Ableit ling der 8cliJlenlrit.gungsgleicliurlgen mit dem Castigliannsclien Prinzip. ZAMM 15 (1935), 101 - 108.

Eingegangcn am 8. August 1988

d m c h r q t : Prof. Dr. HERBERT BECKNILT, Rascliwitzer Str. 12, DDR-7113 Markkleeberg