Ans dem MAx-PL.~NOK-Institut ffir StrSmungsforschung, GiSttingen (Direktor: Prof. Dr. W. TOlmMI]~)

Zur tensoriellen Besehreibung zeitlieher Ableitungen Von

E. Koppe und G. Zimmermann, G6ttingen

(Eingegangen am 19. Mai 196d)

Zusammenfassung. Ein Grundtypus der zeitlichen Ableitung eines Tensorfeldes wird angegeben, der an spezielle Problemstellungen angepal.3t werden kann. Welter wird untersucht, wie man dutch Einfiihrung der Zeit als gleichbereehtigte Koordinate zu einer befriedigenden Ableitungsdefinition gelangt.

Summary. A basic type of time-derivative of a tensor field is presented which may be adapted to particular problems. In addition, it is discussed how one may ~rrive at a satisfactory definition by giving time coordinate equal rank with space coordinates.

I. Einleitung Bei der Beschreibung zeitabh~ngiger Vorg~nge in der Kontinuums-

mechanik erweisen sich im allgemeinen Definitionen zeitlicher Ableitungen als zweckm~l~ig, die fiber die blol~en partivllen Ableitungen hinausgehen. (Man vergleiche etwa [1] bis E4].) In der Literatur findet sich eine ganze l%eihe solcher zeit]icher Ableitungen, die meist ffir spezielle Zwecke definiert sind. Man bemerkt jedoch, dal~ sich viele dieser Ableitungen auf einen gemeinsamen Kern zuriickffihren lassen, aus den] sie durch Hinzuftigen spezieller Zusatzglieder hervorgehen. Dieser Kern kann offenbar als eine einfache und allgemeingfiltige Ableitung angesehen werden.

In dieser Arbeit sol1 gezeigt werden, wie man durch wenige, physikalisch und mathematisch einleuchtende Forderungen auf einen solchen Grundtyp einer zeitlichen Ableitung geffihrt wird. Diese Ableitung kann durch Hinzunahme passender Zusatzglieder speziellen Zwecken angepal~t werden.

Es stellt sich heraus, dab trotz weitgehender Einffigung der Ableitung in den Tensorkalktil die Tatsache, dal~ die Zeit als Parameter und nicht als gleichberechtigte Koordinate auftritt , gewisse Schwierigkeiten bereitet. In einem weiteren Abschnitt wird desh~lb untersucht, wie man durch Einftihrung der Zeit als gleichberechtigte Koordinate zu einer befriedigenden Ableitungsdefinition kommt.

II. Tensorielle Zeitableitung Eine Zeitableitung, die die typischen Merkmale eines Differential-

quotienten hut und mit dem Tensorkalkfil vertri~glich ist, k~nn dutch folgende Forderungcn charakterisiert werden:

E, KOt 'PE u . G. Z I r~ , I~NAIqN : Z u r t e n s o r i e l l e n B e s c h r e i b u n g z e i t l i c h e r A b l e i t u n g e n 17

1. Die Bildung der Ableitung sei eine lineare Operation. 2. Es gelte die Produktenregel.

3. Die Zeitableitung soll unabh/~ngig yon speziellen Koordinaten- systemen sein.

4. Die Zeitableitung sei ftir die Anwendung auf Tensoren definiert und soll Tensoren in Tensoren iiberfiihren.

5. Die Zeitableitung soll invariant gegen 1Jbersehiebung mit dem Mal~- tensor sein.

Bei der Beschreibung grol~er Deformationen ist es oft zweskm~l~ig oder notwendig, neben raumfesten aueh k6rperfeste Koordinatensysteme zu verwenden. Daneben werden auch Koordinatensysteme verwendet, die weder raum- noch kSrperfest sind, etwa starre Systeme, die an der reinen Rotationsbewegung des Mediums teilnehmen.

Es treten also drei Arten yon Koordinatensystemen auf, a) raumfeste; ein Raumpunkt tr/~gt st/~ndig dieselben Koordinaten,

Bezeichnung x i, ~ etc. ; b) kSrperfeste; ein KSrperpunk'~ tr/igt st/~ndig dieselben Koordinaten,

Bezeichnung q~, q~ etc. ; c) beliebige; sie schliel3en im Grenzfall die Koordinatensysteme der

Arten a) und b) ein. Bei einer allgemeinen Deformation ist zu erwarten, dab z.B. die

kSrperfesten Koordinatensysteme irgendwie krummlinig werden. In diesem Fall ist die Benutzung des Tensorkalktils besonders ratsam. Grunds/~tzlich sei dabei den Koordinatensystemen der Arten b) und e) die ~etrik yon aul3en aufgepr//gt. Diese Wahl ist nicht notwendig aber sehr zweekm//Big. Die CHRISTOFFEL-Symbole und damit die kovarianten Ableitungen sind dann ebenfalls definiert. Nach dieser Verabredung kSnnen Tensoren beim Ubergang zwischen Koordinatensystemen versehiedener der oben genannten Arten genauso transformiert werden, wie etwa beim Ubergang zwischen zwei raumfesten Systemen, ohne I~tieksicht darauf, dal3 in der Transforma- tion die Zeit als Parameter auftritt.

Es kann also vorausgesetzt werden, dal3 alle physikalischen GrSften und Gesetze durch Tensoren und Beziehungen zwisehen ihnen gegeben sind.

Von einer Zeitableitung ist danach insbesondere zu fordern, dab sie mit dem Tens~rkalkiil vertr//glich ist. Dies geschieht gerade in den For- derungen 4. und 5.

Die den Forderungen 1. bis 5. entspreehende Zeitableitung sei daher yon nun an als tensorielle Zeitableitung bezeichnet. Als Symbol sei in Anlehnung an die Bezeiehnung der kovarianten Ableitung It benutzt.

Zur Auffindung der tensoriellen Zeitableitung bietet es sieh an, //hnlieh .~ ie bei der Entwicklung der kovarianten Ab]eitung in der RIE~IA~rschen ~eolnetrie, yon einer der partiellen Zeitableitungen auszugehen und sie durch Hinzunahme geeigneter Zusatzglieder den Forderungen anzupassen. Da es bei endliehen, also nieht-infinitesimalen Verformungen zweckm/~Big erseheint, die Anderung einer GrSfte im K6rper, also bei festem K6rper- punkt, zu Verfolgen, wird yon der partiellen Ableitung bei fester K6rper-

Acta 5iech. I/1 2

18 E. Kot)PE u n d G. ZIlVIMER~iIAb!N:

koordin~te ausgegangen. Dies fiihrt die tensorielle Zeitableitung auf einen Ansatz der Form

..i.. ( a T " i ' " ' k " ) ~ " T .,l~.. L t ~ - ~ t qk - r . �9 �9 - ~ F ~ , T . r . . . . ~ . , ~ _ . . . _ F [ k T . . i . . . r . . _ . . ,

(~1.1) (T-i"..k.. ~ Tensorkomloonente in bezng auf das zugrunde gelegte Ko- ordinatensystem.)

Mit diesem Ansatz sind jedenfalls die Forderungen 1. und 2. erftillt. Die Koeffizienten Ft~k der Zusatzglieder F~r T"r".~.. werden dabei in

Analogie zu den CHI~ISTOF~Ez-Symbolen als ,,zeit]iche Cm~ISTOFFEL- Symbole" bezeichnet. Die Symbole fiir diese Koeffizienten wurden ent- slorechend gew/ihlt.

Die Ft~ sind nun so zu bestimmen, daB auch die iibrigen Forderungen erfiillt sind.

Die Forderung 5. lautet in Gleichungsform

---- T ~ (T~''..~..l~) g~k ( ..... ..c. g~o)l~ (II 2)

oder, damit gleichbedeutend, g~7~i~ = 0. ( I I . 3)

Explizit ( ~g~ I - - F~i g ~ - - F[~ g~ = 0. (II.4) \ ~ t ]qS

Dies System yon sechs Gleichungen 1/iBt sich nicht nach den neun GrSBen /1[i g~.~, auflSsen. Es ist jedoch erfiillt, wenn die F[i dureh

( ae~ / = r[~ e~ (I1 a) ~[-/qS definiert werden, in Analogie zu entspreehenden Gleichungen fiir die CHt~STO~FnL- Symbole.

Wie eine nicht schwierige, aber aufwendige Reehnung zeigt, sind mit dieser Festsetzung die Forderungen l. his 5. s/~mtlich erfiillt. Die Forderun- gen bleiben erfiillt, wenn man in dem Ansatz (II.1) die dutch (II.5) definierten ,,zeitlichen CitRISTOFFEL-Symbole" Ft~k ersetzt dutch

wo F~ die Komponenten eines beliebigen Tensors zweiter Stufe sind. Dieser Tensor kSnnte dazu dienen, die tensorielle Zeitableitung Spezial- zwecken anzupassen. Da kS uns aber gerade auf eine einfache, noch nicht spezialisierte Definition einer Zeitableitung unkommt, behalten wir die Definition (II.1) der tensoriellen Zeitableitung mit den ,,zeitliehen CH~ISTO~F~L-Symbolen" aus (II.5) bei.

Unter den Forderungen 1. bis 5. wird man diejenige n~ch Vert~uschb~r- keit der tensoriellen Zeitableitung mit der kovarianten Ableitung vermissen. Wie man jetzt nachrechnet, ist eine solche Vertauschbarkeit der Differen- tiationsreihenfolge nicht gegeben. Vielmehr gilt

T . .~ . . I ,~+ "". .k. . l~u~l, T"C'..k..It~ -~ '~'" T i. (11.7)

(u r ~- K o m p o n e n t e n des Geschwindigkeitsvektors).

Zur tensoriellen Beschreibung zeitlicher Ableitungen 19

Dieser Umstand muB als ein schwerwiegender Nachteil der tensoriellen Zeitableitung angesehen werden.

Er liif~t sieh auch nieht durch e i n e Erweiterung der Definition der tensoriellen Zeitableitung, wie sie die G1. (II .6) ausdrfiekt, beseitigen. Bevor in Teil 3 eine MSglichkeit, diese Schwierigkeit zu beseitigen, diskutiert wird, seien die Ft~k noch fiir einige Sonderf/~lle yon Koordinatensystemen ausgerechnet.

a) Das Koordinatensystem sei raumfest. Da in diesem Fall die Ver- wendung yon raumfesten Koordinaten als unabh~ngige Variable angezeigt ist, muB zun/~chst eine Beziehung zwischen den partiellen Zeitableitungen bei fester Raumkoordinate und bei fester KSrperkoordinate angegeben werden. Wenn

x r = zr(q s, t), q~ ~ OS(x r, t), (II .8)

die Beziehung zwischen Raumkoordinaten x r u n d K6rperkoordinaten qs gibt und wenn y irgendeine Funkt ion des Ortes und der Zeit ist, so gilt, da y vermSge (II. 8) sowohl als Funkt ion von (x r, t) als auch als Funkt ion yon (qs, t) aufgefal~t werden kann,

\ ~t ]qS ~- ( ~ - ) x r " (II .9) Wenn noch

( ~x~l = u i (II 10) ~t ]qS

( ~ Geschwindigkeitskomponente in bezug auf das Koordinatensystem x r) beachtet wird, gilt

~y (~-)q.~ : ~ / u ~ -~ (-~-)z r . (II. 11)

Zur Berechnung der I~[k setzen wir nach (II. 5) fiir die be]iebige GrSBe y die raumfesten Basisvektoren ein:

( ~ei I ~{~i U~ + ( ~i t (II 12)

Es ist

Dann ist

d . h .

~ i ~X k - - F ~ i Cr~

~-~-/z~ ~ O.

Fli e~ = F{~ u ~ e~,

• ; i ~- 1 ~ i u k

in beliebigen raumfesten Koordinatensystemen. cartesischen raumfesten Systemen

F[~= o, d . h .

Insbesondere

(II. 13)

(11.14)

( n . 15)

( n . ~6)

ist in

(II. 17)

(II . is)

2*

20 E. Ko~PE und G. ZIVI~E~AX~-:

b) Das Koordinatensystem sei kSrperfest. Dana gilt

r/ ,

(e = Ortsvektor, it = Geschwindigkeitsvektor). Oaraus folgt

-~:~ --- U r l i (II. 20)

in beliebigen k5rperfesten Koordinatensystemen. Wie aus der hier kurz skizzierten tensoriellen Zeitableitung durch

Hinzunahme yon Zus~tzgliedern spezielle Zeitableitungen hervorgehen, diskutiert -- unter Verwendung etwas anderer Bezeichnungen -- z .B . W. P~AG~ [1 ].

III. Die Zeit als vierte Koordinate Als wesentlicher Nachteil der tensoriellen Zeitableitung hatte sich

erwiesen, dab sie nicht mit der kovarianten Able!tung vertauschbar war. Diese Nichtvertauschbarkeit riihrte daher, daI] die kovariante Ableitung die Stufenzahl des abgeleiteten Tensors um eins erhSht, im Gegensatz zur tensoriellen Zeitableitung, die die Stufenzahl des abgeleiteten Tensors unge/indert 1/iBt.

Als Ausweg bietet sich an, die tensorielle Zeitableitung zu einer voll- giiltigen kovarianten Ableitung auszubauen. Es soll daher jetzt versucht werden, l~aum und Zeit in einer ftir die Kontinuumsmechanik zweck- m/if~igcn Weise zu einem vierdimensionalen RIE~A~schen Raum zu- sammenzufassen.

Zun/r einige Bemerkungen zur Schreibweise: Gr6i]en des drei- dimensionalen Raumes seien durch einen daruntergesetzten Querstrich gekennzeichnet. Die dreidimension~le kovariante Ableitung sei [~: die tensorielle Zeitableitung ]~ geschrieben. Die vierdimensionale kovariante Abteitung sei mit t1~ bzw. /l~ bezcichnet. Lateinische Indizes sotlen yon eins bis drei, griechische yon eins bis vier laufen.

Bei dem Versuch, die Zeit als vierte Koordinate in den r/iumlichen Kalkiil cinzubeziehen, gehen wir yon dem verformten KSrper, bezogen auf ein kSrperfestes Koordinatensystem, aus [5]. Der Ausbau zu einem vierdimensionalen R~um soll m6glichst wenig an der geometrischen Struktur /~ndern. Das heiBt also, der Raum der q~ mit der yon auBen ~ufgcpr/~gten Metrik soll derart in einen vierdimensionalen RIEMAN~schen Raum eingebcttet wcrden, dab

1. ~', mit ~i ~ q, (i ~ 1 . . . . . 3) und ~a ~ t e i n Koordinatensystem in diesem Raum bildet, und

2. die Hyperfl/~chen $4 ~ t = konst, eineindeutig abbildbar sind auf den verformten KSrper zur Zeit t.

Aus den Forderungen 1. und 2. lassen sich ftir die geometrischen Gr6~en des vierdimensionalen Raums bereits einige Folgerungen ziehen. Der obigen Zielsetzung entsprechend werden wir weitere Festsetzungen treffen.

Wir erhalten so zun/Cchst eine l~eihe yon Definitionen, deren Vertr/iglich- keit untereinander nicht yon vornherein feststeht und sp/iter n~chgewiesen wird.

Zur tensoriellen Beschreibung zeitlicher Ablei~ungen 2I

Wegen 2. entsprechen den ersten drei Basisvektoren ed~') (i = 1, . . . , 3) des vierdimensionalen Raums vollst/indig die Basisvektoren des drei- dimensionalen k6rperfesten Koordinatensystems:

ei(~t ) z ~i(q r, t). (III . i)

Daraus ]/~Bt sich ffir die Betr/~ge und skalaren Produkte der ersten drei Basisvektoren, also fiir die entsprechenden Komponeliten des MaBtensors, folgern

g~ ~(~') = gi ~(q~, t). (III . 2)

Ober die Funktionen g4" (z = 1 . . . . . 4), wegen der Symmetrie vier noch unbestimmte Funktionen, ist zun~chst keine Aussage mSglich. Der Versuch die Zeit senkrecht stehen zu lassen, n/imlich g4 l~ ~- 0 zu setzen, zieht nach sich, dab die Komponenten des RIEMA~C~schen Kriimmungs- tensors im allgemeinen nicht verschwinden, kovariante Ableitungen also nicht vertausehbar sin&

Ober den inversen Tensor g'~ ist vorl/~ufig keine Aussage mSglieh, jedenfalls gilt nicht unbedingt gik = g~.

Fiir die Ableitungen der Basisvektoren treffen wir folgende Festsetzung: Die Komponenten der Ableitung eines der ersten drei ]3asisvektoren e~ (i -- 1, 2, 3) nach einer der ersten drei Koordinaten in Richtung eines der ersten drei Basisvektoren sollen dieselben sein wie im entsprechenden dreidimensionalen Tall. Das heigt, in

sei o~- -- kie~

1"~.,~ (~,) = i ~ i (qr, t). (III .3)

Entsprechendes soil gelten fiir die Ableitung nach der vierten Koordinate bzw. der Zeit im dreidimensionalen Tall. Das heiBt, in

~ei t

sei

Dabei sind g~ ~,/~k die Komponenten des MaBtensors und die C~RISTOFFEL- Symbole zweiter Art in bezug auf das zugrundegelegte dreidimensionale kOrperfeste Koordinatensystem. Die ]'t~k sind die zu der in 2. definierten tensoriellen Zeitableitung gehSrigen ,,zeitlichen CHRISTOrFEL-Symbole".

Mit den CgxIsToFF~r,-Symbolen zweiter Art sind auch die Komponenten des Rns~_41u~schen Kriimmungstensors gegeben:

Um zu erreiehen, dab im Vierdimensionalen kovaria~te Ableitungen miteinander vertausehbar sind, insbesondere die ersten drei (r/~umliehen) 1]~ mit der vierten (zeitliehen) [h, wird verlangt

/ G , = a -= o. ( I I I . 6)

22 E. Ko~I-E und G. ZI~EI~A~I,~:

1Jber die Komponenten des M~Btensors und die CI~RISTOF~EL-Symbole zweiter Art sind folgende Voraussetzungen gemacht:

Diese schon definierten Teile erftillen wegen ihrer dreidimensionMen Bedeutung bereits folgende Bedingungen:

~ffik r r ]

~gi ~ r

In einem R I , M a ~ s e h e n Raum bestehen zwischen den Komponenten des Mal~tensors und den CumsToFF~L-Symbolen zweiter Art die Beziehungen

ag, ~ , - g,~o F & + ~ F,5.. (111.9)

Zur Berechnung der vollstgndigen Systeme der g,, und F~;~ sind also die Gln. ( In . 9) unter Be~ehtung der Bedingungen (n I . s) zu 16sen. Die Forderung

R'~, ~ ~ 0

ist anschlief~end zu erfiillen bzw. n~chtrgglieh nachzurechnen. Der eigentliehe l~eehengung, der keine wesentlichen mathematisehen

Schwierigkei~en bietet, wird hier nur kurz ~ngedeutet. 1. Aus

~gi

folgt mit (III.8) F~t = 0.

2. Aus

folgt mit (III. s)

8 g i l~ Q o

• k 4 4 ~ 0.

3. Beaehtet msn (I i . 10) und die bisherigen Ergebnisse, so ist

ag4k 4Q

eine DifferentiMgleichung fiir die g41~ mit der LSsung g4~----_uk. 4. Aus

8g4 ~:

folgt dann bj = V~, + u~ 2:,

(b* = u_q, Komponenten des Beschleunigungsvektors).

5. Aus

~g4~ - - 2 g4.o F ~ folgt ~z

g,~,, = u,, ur + f ( ~ ) .

Z~r tensoriel len Beschre ibung zei t l icher Able i tungen 23

6. Aus ~g44

folgt 2 _ur _b r § f ' ---- 2 _ur FI4 § 2 (u~ u r § f) I�89

Schliei~lich folgt aus 4. und 6.

f ' = 2 f F444.

Die Wahl der einfachsten L6sung fiir diese Gleichung, n/~mlich

f(~4) ~_ konst. : c, F444 ---- 0

bedeutet, wie sich unten zeigt, eine Beschritnkung der zul/~ssigen Zeit- transformationen auf so]che mit konstanter MM~stabs/~nderung fiir die Zeit:

i = ~ (t - to).

Durch Nachrechnen wird dann ermittelt, dM~ wie verlangt

R~, ~ ~ 0 ist.

Z u s a m m e n s t e l l u n g

F z } g ~ = g ~ , r~k _ ~ ,

g~k ~-- _uk, F~k =- _tk,F~ F ~ = O, (III .10)

[Jber die Konstante c kann noch ffei vefftigt werden. Die Berechnung der Determinante g--~ Ig~[ ergibt

g = cg (III.11)

(g = Ig~k[), und daraus folgt wegen g ~= 0 die Bedingung c ~= 0. Die Berechnung des Inversen des MM~tensors ergibt

!

= -- - - uk- / (III . 12) g4 k 1 G

g 4 a c 1 . ]

Wie schon aus (III . 10) hervorgeht, hat die Konstante c die Dimension eines Geschwindigkeitsquadrats.

Die hier ermittelten vierdimensionalen geometrischen GrSl~en sind nach Herleitung unabhiingig vom zugrundegelegten kSrperfesten Ko- ordinatensystem qk dutch dreidimensionale GrSBen ausgedrtiekt, was im folgenden durch eine explizite Nachpriifung noeh einmat bestgtigt wird.

Ein vierdimensionales Koordinatensystem setzt sieh ja jeweils aus einem dreidimensionalen k6rperfesten Koordinatensystem und einer Zeit t zusammen. Ftir zwei versehiedene vierdimensionale Koordinatensysteme gilt also

* * *r * (~r, ~) -- (qr, t) bzw. (~r, ~4) = (q, t) (III . 13)

24 E. K o y ~ und G. ZII~ClEI~'_~ANN:

mit dem Z u s a m m e n h a n g

r = Or (~8) ( [ I I . [4)

~-- ~(~).

Zwisehen den met r i sehen Gr613en

g41~ = u~. und g~1~ = uT~

@ * '

(u, ~r + ~). g44 := (u_~ ur 4- C) g4~ -- _

mu[? der Z u s a m m e n h a n g bes tehen

g'~ -- ~ e~ go~" ( I I1 .16)

Ffir die dreidimensionaLen GrSgen gilt definitionsgem~l~

Oqr ~qs

Die explizite Naehreehnung , die wiederum ohne Schwierigkei ten durch- zufi ihren ist, wird n u t fiir die T r a n s f o r m a t i o n yon g4~ angegeben, da sieh da raus Riieksehliisse auf die K o n s t a n t e c ergeben. Es war

I g4~ = l bzw. ~ - - .~. ( I I I . 18)

C

Es muB gel ten _ _ ~ ~ g OO.

Das heiBt, wegen .~ : 0 0~r

oder , (4tt' -~. %-= \ 05 ~ / c

Darmus ergibt sieh fiir die Abh/~ngigkeit t : ~(t) f~2".

d'c ] /' ~- _ _ , / c

dt c

o d e r

~ ' e ( ~ tO). t = ~ ( t ) = -2 -

Mit anderen Wor ten , es sind nur Maf~stabs/fnderungen ffir die Zei t zugel~ssea. D a hier solehe MaBstabs~nderungen nicht in B e t r a e h t k o m m e n , sei f [ i r das Folgende c = 1 gesetzt .

Zur tensoriellen Besehreibung zeitlicher Ableitungen 25

Da hier bei der Entwieklung des vierdimensionalen Kalktils yon dem verformten KSrper, bezogen auf k6rperfeste Koordinaten, ausgegangen wurde, sind die zul/issigen vierdimensionalen Koordinatensysteme zungehst beschrgnkt auf solehe, die sich aus einem k6rperfesten dreidimensionalen Koordinatensystem und der Zeit zusammensetzen. Es zeigt sieh jedoeh, dal3 aueh vierdimensionMe Koordinatensysteme zugelassen sind, die sieh aus raumfesten dreidimensionalen Koordinaten und der Zeit zusammen- setzten.

Reehnet man ausgehend yon einem zugelassenen vierdimensionalen Koordinatensystem speziell auf eartesisehe raumfeste Koordinaten urn, so ergibt sieh

Naehdem die Aufgabe, ausgehend yon einem k6rperfesten Koordinaten- system Raum und Zeit zu einem vierdimensionalen R I E ~ s c h e n Raum zusammenzufassen, gel6st ist, stellt sieh die Frage, wie dreidimensionale Tensoren und tensorielle Beziehungen vierdimensionM wiedergegeben werden k6nnen.

Es zeigt sieh, dab ein allgemeingiiltiges, allseits befriedigendes {5"ber- tragungssehema kaum angegeben werden kann. Vielmehr ist es zweek- mgl?ig, yon Fall zu Fall eine geeignete l~bertragung der Tensoren ins Vierdimensionale vorzunehmen, was bier an einigen Beispielen demonstriert werden soll.

Im Dreidimensionalen ist das Gesehwindigkeitsfeld _n = u ~ r gegeben dutch

Es erweist sieh in der Anwendung als zweckmgl]ig, diese Definition un- ge/indert ins Vierdimensionale zu tibernehmen:

or -- (III . 19)

Wegen aP" er ~ 4 - - e4

folgt hieraus fiir die vierdimensionalen kontravarianten Gesehwindigkeits- komponenten

u~ = o, [ (III . 20) / U 4 = I .

Dieses Ergebnis wird anschaulich gemaeht, wenn man dureh l~ber- sehieben mit dem MaBtensor (III . 10) zu den kovarianten Komponenten iibergeht :

Ui = ~i~

u~ = (Ur U_~ + C).

Aueh die Bildung der kovarianten Ableitung zeigt den engen Zusammen- hang zwisehen der dreidimensionMen und der vierdimensionMen Gesehwin- digkeit : u~l[ k = u~l~ ' uill 4 _ u~l, '

26 E. KOPPE und G. ZIMMER1VfANN:

An die Stelle yon (II. 20) tri t t in der vierdimensionalen Sehreibweise

uq I~ = V ~ u ~~ Nit Hilfe der so definierten Gesehwindigkeit wolien wir nun die Kontinuitgts- gleiehung vierdimensional sehreiben. Sie lautet dreidimensional

D i e Dichte e wird ungegndert ins Vierdimensional iibernommen: ~ = Q. Fiir die dre]dimensionMe Ableitung ]t lgBt sieh nieht ohneweiteres die vierte kovariante Ableitung sehreiben, da diese die Stufenzah] gndert, die Ab]eitung It jedoeh nieht. Die tensorielle Zeitableitung ]t wird jedoeh naeh den obigen Definitionen riehtig wiedergegeben dureh den Operator

l i eu ~. Dann kann also die Kontinuitgtsgleiehung mit vierdimensionalen

GrOgen in der folgenden Weise gesehrieben werden:

~o11~r + Q u'fr~ = o (III .21) oder

(o r = 0. ( I I I . 22 )

Eine andere, in der Kontinuumsmeehanik wesentliche Gleichungsgruppe bilden die Bewegungsgleiehungen:

(_~i~ = Spannungstensor; Pi = Vektor der Volumkraftdiehte). Die Tensoren _~ ~ und P~ (ibertragen wir auf folgende Weise ins Vie>

dimensionMe :

(II i .23) J p ~ = p~, p 4 = o .

Dann ist

und die Bewegungsgleiehungen lauten mit Hilfe def vierdimensionalen GrSgen

u~ll~ u ~ = ~ l l ~ + P~

oder, unter Beaehtung yon (~o ~)II~ = 0,

bZW. ( ~ _ ~ u i u~)[[~ @ p i = 0 . (III .24)

Zu diesen drei Gleiehungen gehSrt nun im Vierdimensionalen noeh .eine vierte :

(r4~ _ ~ u4u~)ll,~ q_ p4 = 0. (III .25)

Nach der Definition (II1.23) ist

v4~ll,.= 0, P ~ = 0. Ebenso ist

Zur tensoriellen Besehreibung zeitlicher AbleiSungen 27

Das heiBt (111.25) reduziert sich auf

u )fl } = 0 oder, mit u 4 ~ 1

(q u -)ll = 0.

Das ist ~ber gerade die Kontinuit/~tsgleichung. Unter Beachtung der Definitionen der vierdimensionalen GrSgen geben die Gleichungen

also gerade die Bewegungsgleichungen und die Kontinuit/~tsgleiehung wieder. Ein anderes Beispiel ffir die Anwendung des vierdimensionalen Kalktils

ergibt sich, wenn wir versuehen, funktionale Abh~ngigkeiten yon Tensoren untereinander ins VierdimensionMe zu tibertragen. Dies wird z .B . bei der Formulierung yon Stoffgesetzen notwendig sein. Im einfachsten Fall, bei Proportionalitgt, hat eine solche Beziehung flit Tensoren zweiter Stufe im Dreidimensionalen die Geslbalt

T_ik = ~x g~,S~ + fl S_~ (o~, fl bel. Konstante). (111.26)

Dies 1/igt sich mit Hilfe eines ,,Proportionalit/~tstensors" auch in Iolgender Weise schreiben

T ~ = _F~k ~ . Sz~, (III .27)

wo

ist Die wesenttiehe Eigensehaft des ,,Proportion~lit/~tstensors': ist dabei,

dab er sich wie eine Konstante verh/~lt, d. h. dab seine kovariante Ableitung verschwindet.

Im Vierdimensionalen kSnnte man Beziehungen yon der Form (III . 27) wiedergeben mit Hilfe eines vierdimensionalen ,,Proportionalit~tstensors" F *~ ' , der sich in derselben Weise aus dem vierdimensionalen MM~tensor zusammensetzt, wie der Tensor F~*~,~ aus dem dreidimensionalen MaB- tensor g~k.

Von besonderer Bedeutung erweist sich nun, dab man den vier- dimensionalen Magtensor [s. Definition (III . 12)] in zwei Anteile zerlegen kann, die ihrerseits verschwindende kovariante Ableitung besitzen, und daher selbst fiir die Bildung yon ,ProportionMit~tstensoren" in Frage kommen

g~ = G ~'- + U TM (III . 29) mit

G~k = g lk, Uik = ui us,

G i4 ---- 0, Ui4 ---- ---ui' / (III .30)

G ~ - = 0 , U 44 = 1.

Wie man leicht nachrechnet, ist

G~I],, = i~'ll~ = O. (III .31)

Mit Hilfe des Tensors G '~" ist es m6glieh, ProportionMits zwischen Teilen vierdimensionMer Tensoren zu formulieren.

28 E. KOPPE u. G. ZIMi}IERMANN : Zur tensoriellen Besehreibtmg zeitlieher Ablei~ungen

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Dr. Ebevhard t;oppe, 34 GSttingen, Stettiner Stral3e 35,

Dr. G. Zimr~ermann, 34 GStlingen, Jennerstra[3e 21