M. Planck. 499

X. Zur l?be@.de der Fl~e$gl%e~tsstmhle.n; vim M a x Plarcck.

tflieran Tar. V Fig. 6.)

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Einleitung.

Die Gesetze der stationaren Rewegung einer incompres- sibeln nichtreibenden Fliissigkeit , welche zum Theil von festen Wilnden, zum Theil von ruhender Fllissigkeit begrenzt ist, sind zuerst von H. v. Helmhol tz ' ) aus den allgemeinen hydrodynamischen Gleichungen entwickelt und auf specielle Arten von Bewegungen angewandt worden. Diese Beispiele der Strahlenbildung hat spater G. Kirchhoffa) noch erheb- lich vermehrt , indem derselbe mittelst der Methode der ahnlichen Abbildung eine Reihe von hierher gehorigen Losungen der hydrodynamischen Gleichungen kennen lehrte, - Liisungen, welche meines Wissens bisher die einzigen auf diesem Qebiete goblieben sind.

So fruchtbar sich indess die erwilhnte Methode auf dem ihr zustehenden Gebiete erweist, so ist ihre Anwendung doch auf eine ganz specielle Classe von Fliissigkeitsstrahlen beschriinkt, namlich auf solche, bei denen die Bewegung der Flussigkeitstheilchen nur von zwei rechtwinkligen Coordinaten x und y, nicht aber von der dritten z abhllngt. Eine weitere Ausbildung dieser Methode behufs der Darstellung dge - meinerer Bewegungen lLsst sich aber aus dem natiirlichen Grunde nicht erwarten, weil der Grundsatz, auf den sie basirt ist, die Losung der Differentialgleichung fiir das Geschwindigkeitspotential durch complexe Grossen, sich principiell nur fur Functionen von zwei Variabeln verwertheo lasst, da j a fur die Bedeutung, welche die complexen Grossen ftir die Ebene haben, kein Analogon fdr den Raum von drei Dimensionen existirt.

I m nachfolgenden Aufsatze beabsichtige ich eine Me- thode zur Auffindung der Bewegung einer Strahlen bilden-

1) v. Helmholtz, BerL Monataber. 1868. p. 215. 2) G. Kirchhoff, Vorlesungen iiber math. Physik, 1877. p. 291.

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500 M. Plunck.

den Fliissigkeit mitzutheilen , deren Anwendung sich nicht gerade wesentlich auf Functionen von x und y allein be- schrhkt . Allerdings muss ich gleich hier am Anfang be- merken, dass es mir bis jetzt nicht gelungcn ist, FtClle all- gemeinerer Bewegungen aufzufinden, als die , welchc dcr Beliandlung durch die Methode der ahnlichen Abbildung bereits zuganglich sind; indess schcint mir doch der Umstand, dass daq anzugebcnde Verfahren , abgesehen von seiner Leistungsfahigkcit auf schon bekannten Gebieten, wenigstens Aussicht hat, einmal auf allgemeinere Falle iibertragen zu werdcn, seine Mittheilung an dieser Stalle zii motiviren.

Wir fugen zunachst den gleich am Eingang crwahnten beschrankenden Annahmen noch die liinzu , dass auf die Massentheile der Fliissigkcit kcinerlei Krafte aus der Ferne wirken, und dass ein einwerthiges Geschwindigkeitspotential y existirt. Dann ist zur vollstandigen Darstellung einer Fliissigkeitsbewegung stets nothwendig und hinreichend, dass c/ als Function der Raumcoorr1in;tten bekannt ist.

1. Fixirung der Anfgabe.

Wir nehmen an, das Geschwindigkeitspotential h h g e nur yon G und y, nicht aber von z ab, wodurch die Gleidiung der Continuitat sich reducirt auf:

D m n ist die Bewegung aller Fliissigkeitspunkte , die auf einer zur XY- Ebene senkrechten Geraden liegen , die namliche.

Zu dieser Qleichung, die im ganzen Innern der Flussig- keit gilt, treten noch die Grenzbedingungen, die wir nun festsetzen wollen. Dtis Gebiet der Fliissigkeit, das bis ins Unendliche reichen kann , sei im Endlichen begrenzt theils durch feste Wande, theils durch ruhende Fliissigkeit , in welcher ein constanter Druck herrscht. Diese (in dem be- trachteten Falle cylindrischen) Grenzflachen der Flussigkeit setzen sich jedenfalls zusamnien aus S t r o m l i n i e n ; ihrc Gleichungen sind also von cler Form: y = const., wenn I P

M. Planck. 501

eine Function von x und y bezeichnet, die im ganzen Innern der Gleichuna:

geniigt; denn diese Gleichung sagt aus, dass die Bewegungs- richtung jedes Fliissigkeitspunktes in einer Flache 9 = const. liegt.

Fur die Theile der Grenzflachen, welche an ruhende Flussigkeit grenzen, oder mit anderen Worten: fiir die freie Oberflache des Strahles gilt, da in ihr der Druck con- stant ist, nach der allgemeinen Relation zwischen Druck und Geschwindigkeit die Bedingung, dass in ihr die Grosse der Oeschwindigkeit constant ist; wir setzen daher fiir sie:

(3)

und nehmen zugleich an, dass uberall im Innern der Fliissig- keit der Druck grosser ist, als an der freien Oberflache, woraus folgt , dass die Geschwindigkeit dort uberall kleiner als Eins ist. Bezeichnet also i,o = q p o eine bestimmte Grenz- flache, so muss fiir den Theil derselhen, welcher-der Ober- flache des Strahles entspricht, zugleich die Gleichung (3) erfiillt sein, wahrend fur den anderen Theil, welcher als feete Wand auftritt, keine weitere Bedingung zu befriedigen ist. Hieraus ergehen sich die erforderlichen Grenzbedingungen.

Jede Function rp, welche der Gleichung (1) geniigt und ausserdem die Eigenschaft hat, dass fur die Werthenpaare von x und y , welche die Bedingung (3) erfullen, die durch (2) bestimmte Function y einen constanten Werth yo an- nimmt, entspricht einer Flussigkeitsbewegung mit Strahlen- bildung. Hierbei bezeichnet dann t i ! = wo eine G-renzflilohe der Fliissigkeit, welche in allen den Punkten, deren Coor- dinaten zugleich die Gleichung (3) befriedigen , die freie Oherflache des Strahles bildet, in ihren iihrigen Theilen aber als feste Wand zu denken ist.

Die Schwierigkeit, Losungen dieser Aufgabe zu finden, liegt wesentlich in der Erftillung der Grenzbedingungen ; daher sollen zunilchst diestt letzteren durch geeignete Trans- formationen in eine einfachere Form gebracht werden. Zuvor

502 M. PYanck.

wollen wir jedoch die beiden Gleichungm (1) und (2) noch auf eine etwas andere Form bringen. Es ist klar, dass durch zwei Functionen und q), die folgende Relationen eingehen:

(4)

sowohl (1) als auch (2) befriedigt wird; wir brauchen daher fur das Innere der Fllissigkeit nur diese letzten beiden Gleichungen zu befriedigen , und wollen sie ihrer grosseren Einfachheit wegen an die Stelle der obigen setzen.

9 2. Eiiifiihriing der unabhtingigen Variabeln t p und t.

Indem wir zunachst statt der rechtwinkligen Coordinaten z und y die durch die Gleichungen (4) bestimmten Functionen

und q als unabhangige Variable einfuhren, bedienen wir uns der allgemeinen Transformationsformeln, welche die Ver- haltnisse ergeben:

Dadurch erhalten wir fur das Innere der Flussigkeit aud (4) die Gleichungen:

Auch die Grenzbedingungen stellen sich wieder unter einer ganz ahnlichen Form dar. Da cp und q nach (2) orthogonal sind in Bezug auf x und y, so haben wir fur das Quadrat der Stromungsgeschwindigkeit allgemein:

Die Grosse (az /dq)a + ! dy /dy )2 variirt also nach unseren Festsetzungen iiber die Geschwindigkeit i m Innern der Fllissigkeit zwischen 1 und a, sie wird an der Oberflache des Strahles = 1, und die Grenzbedingungen erfordern, dass die- sem speciellen Werth ein constanter Werth ?I,, von q ent- spricht. Um diese Bedingung schliesslich auf ihre einfachste Eorm zu bringen, fuhren wir alle Gleichungen noch einmal auf zwei neue unabhhgige Variable zuruck.

5 3. Eiufuhrung d e r unabhgngigen Variabeln 1 und p.

Wir definiren die beiden neuen Variabeln il und p voll-

V ere in f ac hung d er Gren zb ed ingungen.

standig, indem wir setzen:

mit der nllheren Bestimmung, dass p zwischen 0 und 2 n liegt. Daraus folgt:

und, rnit Hulfe von (5) und (4):

Es ist also nach (7) el. der reciproke Werth der G r o s s e der Geschwindigkeit, weshalh il zwischen 0 und 00 variirt, wah- rend der Winkel p die Ri c h t u n g der Stromung bezeichnet, wenn sein Werth von der Richtung der positiven X-Axe an gegen die der positiven Y-Axe hin als positiv gezkhlt wird. Bus (6) und (8) folgt zuniichst:

a al 2 = - aY a* cos ,u , - = e1 sin p . (9)

Differenziiren wir diese beiden Qleichungen nach sp, dagegen die Gleichungen (8) nach y und setzen jedesmal die beiden Ausdriicke fiir i32y/i3y d r i ~ , resp. i 3 2 x l d ~ d v einander gleich, so erhalten wir mit Weglassung des Factors e i auf beiden Seiten:

- cos,u.- + s inp@ = s i n p - + c o s p ~ a 1. a l a 89, a v a* a*

woraus unmittelbar folgt: _ - a i -+ - - a r a i a v a* - as,

oder , wenn wir schlieeslich zu den unabhangigen Variabeln I und p iibergehen, ganz ebenso, wie oben die Gleichungen (6) aus (4) erhalten wurden:

504 M. Planck.

und mit Elimination von q.~:

Die Grenzhedingungen erfordern jetzt, dass fur einen Theil der Grenzfliiche y = VI,, 1 = 0 ist; denn dem letzteren Werth entspricht die Grijsse Eins der Geschwindigkeit.

Unsere Aufgabe ist also jetzt auf folgende einfachere redacirt. Bestimmt man eine Function y von A und p aus der Gleichung (11) derart, dass fur 13 0 w einen constanten Werth ?/to annimmt, dann stellt die Gleichung y = vo eine Grenzflache der Flussigkeit dar, welche uberall da, wo sie zugleich der B'edingung 1 = 0 genugt, die freie Oberflache des Strahles bildet, wtihrend sie im ubrigen ale feste Wand auftritt.

1st eine solche Function I+ gefunden, so lasst sich daraus zunbchst sp mittelst der Gleichungen (10) durch einfache Quadratur als Punction von 1 und p berechnen, und end- lich auch x und y als Functionen der namlichen Variabeln aus den Gleichungen:

oder mit Hulfe von (8), (9) und (10):

Hierdurch ist naturlich auch 'p als Function von x und y bestimmt und somit die Aufgabe vollsthndig gelost.

M. Pkrll ck. 505

5 4. Erful lung der Grenzbedingungen. Fal l einer ebenen Wand.

Die Anwendbarkeit der im letzten Paragraph erhaltenen Gleichungen zur Auffindung von Strahlenbewegungen sol1 im Folgenden an einigen Beispieleq gezeigt werden.

Den Grenzbedingungen wird unter anderem genugt, wenn wir annehmen, dass q~ von einem einzigen Argument ab- hangig ist, welches die Form eines Productes 1. m hat, wo 1 und m gewisse Functionen von 1 und p sind, und zugleich fur I = 0 I = 0 wird. Denn dann ist 11 von der Form: 11 (1. m) und fur A = 0 hat man: 71’ = y(0) = const., eine Grenzflache der Flussigkeib. Diese Flache zerfallt, wie man sieht, in die beiden Theile 1 = 0 und m = 0; der erste ist, weil fur ihn b = 0, die freie Oberfliche des Strahles, der zweite dagegen ist feste Wand.

Wi r wollen nur den speciellen Fall weiter verfolgen, dass 1 nur von A , m nur von p abhangt; in diesem Falle wird die feste Wand dargestellt durch eine E b e n e (naturlich senkrecht auf der ,Y Y-Ebene); denn die Gleichung der festen Wand: m = 0 , fuhrt dann zur Bedingung: p = const., in welcher ausgesprochen ist , dsss die Richtung der Stromung an allen Punkten der Wand die namliche ist.

Um nun Integrale der Gleichnng (11) zu finden, die den angenommenen Beschrhkungen geniigen, denken wir uns in diese Gleichung fur q~ den Werth tp (Z.m) eingesetzt und zugleich statt 1 und p die Grossen 1 und m als unabhbngige Variable eingefuhrt. Bezeichnen wir zur Abkurzung die Differentialquotienten von ~p nach seinem Argument (1. rn) mit 11)‘ und ~ p ” , und analog die von 1 und p nach ihren Argumenten 1 nnd m mit b’ und ,u’, so wird die Gleichung (11):

Die einzige zu erfiillende Grenzbedingung ist die, dass fur 1 = 0 A = 0 wird.

Setzen wir endlich noch: 1 1

P = L und 7 = M, (14)

a a ai am so wird: m L - (y‘. L) + lLM - - (v’. LV) = 0,

506 M. Runck.

oder: Daraus :

w ' . ( i n L g + 1M- d m + ~ ~ " . ( r n 2 L 2 + PM3) = 0 . a1 ""1 a L a M m L - -t- I M - ai a m

= - ? = .fV. m ) - rnPL4-k 12w *' (15)

Kann man also zwei Functionen L und M von I und m derart finden, dass die linke Seite der letzten Gleichung die Form f(/. m) annimmt, so lasst sich daraus als Function von 1 . m berechnen. Dabei ist wesentlich, dass L und M gar keinen besonderen Grenzbedingungen zu geniigen brauchen, denn A kann aus L nach (14) durch geeignete Wahl der Integrationsconstante immer so bestimmt werden , dass fur 1 = 0, i l = 0 wird.

Es entspricht also j e d e Liisung der letzten Differential- gleichung einer Fliissigkeitsbewegung von der gesuchten Art.

5. Specielle Losungen.

E s ist leicht, einfache Losungen der Gleichung (15) zu finden. Schon die einfachste unter ihnen:

a L aN - a i m L - - + I X a m - 0 ,

entspricht interessanten Fliissigkeitsbewegungen. Eine andere Losung ist z. B.:

1 - 1 2 1 fm' (16) L=.----9 M = --, C C

wobei c constant. ein, so ergibt sich:

Setzt man nilmlich diese Werthe in (15)

Daraus :

indem wir iiber die Integrationsconstante willkilrlich ver- fiigen. Endlich: (1 7) wobei wir zur eindeutigen Bestimmung von 91 festsetzen wollen, dass y zwischen 0 und 7z liegt.

Aus den Werthen von L und M in (16) lasst sich fermr der Zusammenhang der Grossen A, Li mit 1 und m berechnen.

= arc tg (Zm) ,

M. Ranch. 507

Wir erhalten namlich durch Einsetzung dieser Werthe in (14):

c 14-1 1 = --log ._ u = c .a rc tgm. 2 1-1’ also :

Hierbei ist fir 1 = 0, wie es sein muss, A = 0, wilhrend wir in dem Ausdruck filr p uber die Integrationsconstante willkurlich verfiigt haben. Ausserdem wollen wir festsetzen, dass der arc zwischen 0 und IC zu nehmen ist. Dann lie@ p zwischen 0 und c.n. Daraus ergibt sich schliesalich:

2 1

ec - 1

e c + 1

1 = aA ’ 772 = tg:, -

und durch Substitution in (17):

zwischen 0 und IC zu nehmen. Nachdem als Function von il und p bekannt is t , hat man noch nach den Gleichungen (lo)! (12) und (13) sp, 2 und y als Functionen der namlichen Variabeln zu berechnen.

F u r c = 2 (p zwischen 0 und 2 4 erhalt man hieraus die zuerst von v. H e l m h o l t z untersuchte Bewegung, bei der die Fliissigkeit aus einem unbegrenzten Becken in einen durch zwei parallele feste Ebenen begrenzten Canal hinein- striimt.

F u r c = 1 (p zwischen 0 und n) ergibt sich der von K i r c h h o f f 8 ) ausfiihrlicher besprochene Fall des Ausflusses aus einer Oeffnung in einer ebenen Wand, die sich nach allen Seiten ins Unendliche erstreckt. Diesen letzteren Fal l wollen wir hier noch etwas wejter verfolgen.

3 6. Oeffnung in ebener Waiid. Setzen wir in dem letzten Ausdruck von yi c = 1 , so

ergibt sich: 1) 17. Helmholtz , 1. c. p. 226. 2) G. Kirchhoff, 1. c. p. 296.

508 M. PEancR.

und durch Differentiation: e4'- 1 av = ____ ?-Y = _-_____ --,

8;. e4' + 2eaL COB 2 p + 1 EL e'"+ 2 e z > . c o s 2 p + 1 ) 2e'"sin 2 p

und hieraus folgt nach (10) durch Integration:

indem wir filr I = 0 und p = O , ~ = 0 annehmen. und y endlich ergibt sich aus (12) und (13):

Fur a

Hierbei ist, damit x fur u = n / 2 stetig bleibt, zwischen + "12 und - n / 2 zu nehmen. Dann p = n/2, x = 0. Ferner:

der arc ist fiir

e2 ' + 2 e A sin u + 1 , 9 = - eL sinp + 4 log --I- -~ e 2 ' - 2 e L s i n p + 1

Hierbei ist fur p = 0, y = 0 angenommen. Durch diese Gleichungen sind y und q in ihrer Ab-

hgngigkeit von z und y bestimmt, und somit ist die Aufgabe als gelost zu betrachten.

Die hierdurch dargestellte Bewegung ist in Fig. 5 schema- tisch veranschaulicht. Die Flussigkeit stromt von der Seite der negativen y aus der Unendlichkeit her mit der Anfangs- geschwindigkeit 0 gegen die X-Axe hin, die in ihrer ganzen Ausdehnung als feste Wand zu denken ist, mit Ausnahme einer einzigen Oeffnung, die sich von 2 = - n12 - 1 bis .z = + n / 2 + 1 erstreckt. Durch diese Oeffnung stramt die Flussigkeit in einem Strahle BUS, dessen Breite schnell ab- nimmt und sich asymptotisch dem Werthe 7c nahert. Im allgemeinen lassen sich, du die unabhangigen Variabeln il und p beide eine bestimmte mechanische Bedeutung haben, die charakteristischen Eigenschaften der Bewegung aus den obigen Gleichungen unschwer ermitteln.

Die Grenzen der Flussigkeit werden dargestellt durch die Flachen 7p = 0 und y = n , deren jede, wie man a m dem Ausdruck (18) fur y unmittelbar erkennt, in die beiden

K. Vierordt. 509

TheiIe: A = 0 und tg p = 0 zerfallt. Wiihrend die letztere dieser Bedingungen den beiden Stucken der X-Axe entspricht, welche als feste Wand auftreten: (p = 0 oder p = a, d. h. Stromungsrichtung parallel der positiven oder der negativen X-Axe) liefert die erste ( A = 0, d. h. Stromungsgeschwindig keit = 1) die Gleichungen der freien Oberflache des Strahles. Nehmen wir beispielsweise A = 0 und ,u < a12 an, so Vr- halten w i r den auf der Seite der negativen x gelegenen Theil dieser freien Oberflache. Hierfiir ist nach den obigen Glei- chungen :

W = O , 9 = - logcosp, x = - cosp - 7z ‘ /= - _-

2 ’ 1 + a i 2 . sin p + 4 log ---. 1 - 9111 p

Durch Elimination von p wurde man aus den beiden letzten Gleichungen die Gleichung der freien ,Grenze in x und y erhalten. Driickt man x und y anstatt durch p , durch y aus, mittelst der drittletzten Gleifhung, so erhalt man:

wobei die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist, da s inp > 0. Uiese Gleichungen sind, bis auf unwesentliche. Ab-

weichungen, die auf der Bezeichnung beruhen, identisch mit den Kirchhoff’schen Gleichungen fiir den niimlichen Fall.

Mi inchen , Januar 1884.

Zur Erregung von Schallen und Tonen von innerhalb breiter Grenzen vertnderlicher Stiirke kann, ausser schwin- gungsfahigen Platten, die durch Fallkugeln in tonende Schwingungen versetzt werden, auch das Schallpendel als sehr bequemer Apparat mit grossem Vortheil verwendet werden. - Die hier mitzutheilenden Versuche - ich arbeite bei meinen phonometrischen Studien mit Apparaten von