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3. Z w l’heorie der Korrhbiwntionstome; von L. Hermnmn.

I.

Vor kurzem hat Cl.’ Schaefer ’ ) die Helmholtzsehe Theorie der Kombinationstone verallgemeinert , und sie zu- gleich, wie auch F. A . Schulz e 2) , von der lastigen Annahme einer unsymmetrischen Elastizitat zu befreien versucht. Insbe- sondere hat Schae fe r gezeigt, daB die Hinzufugung irgend eines quadratischen Gliedes zu der gewohnlichen Resonanzgleichung

(1) (m)s”+ nzt = f‘sinpt + 9 sin qt ,S)

welche an sich keiiie Kombinationstone ergibt, solche auftreten 1aBt. Unter quadratischem Gliede ist ein solches verstanden, das aus einem oder mehreren Produkten zweier Derivierten beliebiger Ordnung der Elongation I besteht, also 2 ’ b x(a) x(B1, so datl das Helmholtzsche Zusatzglied b x 2 nur den Spezial- fall a = p = 0 darstellt. Voraussetzung fbr solche Ansatze

, ist stets, daB sie physikalisch interpretierbar sein mussen. Schae fe r hat zwei andere derartige Falle teilweise durch- gefiihrt, namlich b i2 und b (iZ + 2 x x”). Beide stellen bei geeignet gewahltem Vorzeichen eine reibungsartige Veran- derung der Reschleunigung dar, welche jedoch nicht wie sonst der Geschwindigkeit proportional ist, sondern von deren Qua- drat abhaingt.

Den Porzeichenweciisel, den Schae fe r zunachst im Falle 2, x r 2 eingefiihrt hat, um das kinetische Verhalten symmetrisch zu machen, hat unabhangig von ihm Schu lze in derselben

1) CI .Schaefer , Aim. d. Phys. 33. p. 1816. 1910. 2) F. A. S c h u l z e , Ann. d. Phye. 34. p. 817. 1911. 3) Hier uiid iiberall im folgenden ist die Masse m = 1 gesetzt zu

denken. Annalen der Physik. IV. Folge. 37. 28

426 L . Hermann.

Absicht auch auf die He lm h o 1 t z sche Gleichung mit dem Gliede b xa angewendet.

Indessen sind die Umstande wesentlich verwickelter , a19 sie von beiden E’orschern dargestellt werden.

Von einer wirklichen Ausfuhrung des Vorzeichenwechsels kann naturlich weder im Schaeferschen noch im Schulze- schen Falle die Rede sein.’) Schae fe r hat sich demgemaB damit begnugt , das Auftreten der Kombinationstone, welches nach dem eingangs erwahnten Satze anzunehmen ist , durch eine sinnreiche schematische Betrachtung nachzuweisen, welche Schu lze auch auf seinen Fall ausgedehnt hat; auf diesen letzteren werde ich mich im folgenden beschranken. Da die Integration immer nur fur das kurze Interval1 zwischen zwei Durchgangen stattfinden kaun, muB gefragt werden, wieweit diese Streckenintegrale sich kontinuierlich aneinander an- schlie6en. Fu r den Gesamtvorgang ist Kontinuitat anzunehmen, dti jedesmal xo = 0 und IL.‘” der Endwert voii .T’ in der vorigen Strecke ist. Dies beweist aber nichts fur die Einzelschwin- gungen, da sie nicht gleichzeitig mit der Gesamtschwingung Kull werden. Speziell fur den Differenzton bleibt die Ampli- tude, da sie von Anfangsbedingungen durchweg un?bhangig ist (vgl. Formel (3)), in ihrer absoluten GroBe unverandert, wechselt aber fur jede Strecke ihr Vorzeichen, d. h. es ent- steht, sooft die Gesamtschwingung durch Null geht, eine plotzliche Pilasenumkehr der Differenzschwingung, die mit einem Tone un- vereinbar ist. Dieser Umstand wird auch dadurch nicht be- seitigt, daB der Vorgang eine Gesamtperiode hat (wenigstens wenn keine Dampfung da ist oder eine solche lange genug gewirkt hat), so daB man mit d c h a e f e r das Verhalten jeder Amplitude in dieser Periode durch eine Four ie rsche Reihe darstellen kann, deren konstantes Glied u#, in unserem Falle die Amplitude des wirklicheii Differenztoiies ware. Hier wiirde ein Widerspruch zwischen zwei berechtigten Schliissen be- stehen, wenn nicht, wofiir vieles spricht, a,, entweder Null oder

11 Man miiBte dazu das ganzt. Integral vor sich haben, wahrend man doch nur Naherungswerte erlangen kann; ferner miifhe der Zeitwert ermittelt werden, an welchem m i n ersten Male wieder L’= 0, resp. (fur Gleichung(2))) z = O wird: die Gleichungen sind aber f i r t kaum ISsbar, und die beatenfalls erhalteueu SIilieruugswerte uniibersehbar.

Zur l'heorie der KombinationstoTte. 42 7

verschwindend klein ware; ersteres wurde offenbar der Fall sein , wenn die Durchgange in gleichen Zeitintervallen er- folgten, aber auch ungleiche, frequente Intervalle mussen sich fur a,, im wesentlichen ausgleichen. Da schon die He lmho l t z - sche Amplitude (ohne Zeichenwechsel) bekanntlich bedenklich klein ist, so wurde im besten Falle etwas der Erfahrung noch weit mehr Widersprechendes herauskommen.

Es durfte nicht ganz uberfliissig sein, bei dieser Gie- legenheit das von mir bis zum ersten Naherungsgliede voll- atandig, d. h. mit Angabe der Konstanten . dnrchgerechnete Integral der H elm h o 1 t z schen Gleichung

(2) (m) r"+ n2 x * b x2 -- f'sin p t + g sin 9 t hier anzugeben, da ich es in dieser Weise nirgeiids ge- funden habe.') Als Bnfangsbedingungen sind gewahlt xo = 0 und z',, = I+,, In dem Ausdruck (3) habe ich folgende Ab- kurzungen benutzt :

Aus diesem Ausdruck laBt sich leicht das Integral der homogen gemachten Gleichung (2) ableiten, welches YOU Interesse ist, weil sich in ihm der Schulzesche Vorzeichenwechsel et.was uberblicken laBt. Man braucht nur u und ,3 = 0 zu setzen, wodurch C = r ~ , / n wird, und erhalt dann (ebenfalls bis zum

" I

ersten Naherungsgliede):

(4) z = ' 0 [sinnt--(l b vo ?a 2?18

-~

11 Auch S c h a e f e r gibt die

4 3 - -cosnt +

Amplituden uur schematisch an. 28 *

42 8 L. Hermann.

Offenbar muB dieser Ausdruck l) ein Naherungswert sein fur die von mir aus (2) fur f = g = 0 abgeleitete elliptische Funktion.

Wie schon W a e t z m a n n 3, hervorgehoben hat, treten in dem Helmholtzschen Integral (3) neben den Kombinations- schwingungen nach 2 p , 2 q, p & y auch solche nach 2 n, p & n, 9 + n auf, und zwar slmtlich in ungefahr derselben GrijBen- ordnung, so da6 ein Gewirr van Tonen entstehen mu6te. Wae tzmann hat daher in die Helmholtzsche Gleichung (2) Pin lineares Dlmpfungsglied eingefiigt ; dann verschwinden nach kurzer Zeit alle mit dem Faktor C behafteten Glieder, so daB nur die Schwingungen nach 2 p , 2 y, p 2 q ubrig bleiben. Zugleich verschwindet in den @-Funktionen der Bestandteil cos n t (oder vielmehr sein Analogon bei dem Dampfungs- gliede + qx') und es treten Amplituden- und Phasenlnde- rungen ein. Die Notwendigkeit , ein lineares Diimpfungsglied einzufiihren, also Thehen dem quadratischen, wiirde ubrigens aus gleichem Grunde auch fur die S c h ae f e r sche Gleichung bestehen.

Es bleibt nun noch ubrig, auch dem andern Schae fe r - schen Falle mit dem Gliede b (ia + 2 zx") naherzutreten. Nach Schae fe r (p. 1225) ist hier das Verhalten auch ohne 'For- zeichenwechel symmetrisch. Betrachtet man aber zunachst die homogene Gleichung, also

(5 ) .r" + n 2 z + b (.z,'? + 2 a.y") = 0 , so ergibt sich folgendes. Die rucktreibende Kraft ist

An den Durchgangsstellen (.T = 0) ist sie also - b i z , d. h. stets nach der negativen Seite gerichtet, was eine erhebiichc

1) Diese relativ einfache Gleichung ist geeignet, das in der vor- letzten Anmerkung Gesagte zu belegen. Schon um die Zeit 8 fur m = 0 zu erhalten, miifhe man eine kubische Gleichung fur sin 12 3 losen, dann fur diesen Zeitwert z' bestimmen und als zjl (statt 0") in die folgeiide Strecke einzuseteen, fur welche in (41 b negativ und t - 4 statt t zu nehrrien ist, usf.

'1) L. Hermann, Ann. d. Phys. 25. p. 699, 702. 1905. Y! E. W x e t z i n a n n , .inn. 11. Phys. 24. p. i0 . 19Oi.

Zur Theorie deer Kombinationstone. 4? 9

Asymrnetrie bedeutet. kehrstellen (z' = 0) asymmetrisch, denn sie ist daselbst

Ebenso ist sie aber auch an den Um-

9Z*X 1 9 x fur positive z: - ___ fur negative x : + I -- - 2 6 ~

Die Asymmetrie la& sich auch durch einen Vorzeichenwechsel des b-Gliedes nicht beseitigen. Aus Kontinuitatsgriinden k6nnte derselbe nur an den Stellen stattfinden, wo xIZ + 2 XI"= 0 ist, oder (vgl. (6)) z'= f n I l@. Solche Stellen liegen im allgemeinen zwischen den Kulminations- und Durchgangsstellen. Dieser Vorzeichenwechsel wiirde aber, wie eine niihere Untersuchung ergibt, erstens keine Symmetrie herstellen, und zweitens die durch (5) bedingte bedenkliche Asymrnetrie der Dampfung nicht beseitigen. Die Durchglnge durch Null wurden auch dann alternierend mit Dampfung und mit dem Gegenteil von Diimpfung (Beschleunigungszuwachs im Sinne der Geschwindig- keit) erfolgen.

Ich glaube also sagen zu diirfen, daB es bisher nicht ge- lungen ist, theoretisch binare Kombinationsschwingungen ab- zuleiten, ohne mit Helmholtz asymmetrische Elastizitat an- zunehmen. Hiichstwahrscheinlich ist dies aber iiberhaupt unmiiglich. Erstens habe ich schon vor langer Zeit gezeigtl): da8 eine nicht lineare, aber symmetrische Elastizitat zwar ternare, quinare UBW., aber keine binhen Kombinationstone ergibt. Zweitens habe ich vor 3 Jahren auch durch An- schauung und Modellversuche dargetan ", welche Rolle gerade die Asymmetrie, sei es der Elastizittit, sei es der Einwirkung, fur die Entstehung binarer objektiver Kombinationswirkungen spielt. Auch bleiben die terntiren etc. von dem Einwand der Unstetigkeit (vgl. oben) frei, da sie nur gerade Potenzen von b' haben.

11. Gegen die Helmholtzsche Theorie der Kombinationstone

habe ich zuerst vor 20 Jahren den Einwand erhobenS). daS die sich aus ihr ergebenden Amplituden den Faktor 6 der Gleicbung (2) haben, welcher bei dem von Helmholtz zur

1) L. Hermann, Arch. f. d. ges. Pbysiologie 49. p. j o i . 1891. 2) L. Hermann, Ann. d. Phys. 26. p. 711. 1908; ausfubrlicber Arch.

L. Hermann, Arch. f. d. ges. Physiologie 49. p. 499. 1891.

1 + 2 b x '

-___

f. d. ges. Physiologie 122. p. 440ff. 1908.

430 L. Bermann.

Inteiration angewandten Niiherungsverfahren stillschweigend als sehr klein vorausgesetzt zu sein schien'); dal3 also die aus der Theorie itbgeleiteten Kombinationstone im Vergleich mit den Primartonen, im Gegensatz zur Wirklichkeit z), sehr geringe Amplitude und vollends Intensit& haben wiirden. Spaterg habe ich aus der Integration der (2) entsprechenden homogenen Gleichung einen oberen Grenzwert von b ab- geleitet, dessen Einsetzung in die Helm holtzschen Ausdriicke das Gessgte bestatigte.

Die von Waetz man n mit Recht verlangte Einfugung eines Dampfungsgliedes + qz' in die linke Seite von (2) macht das Ergebnis nicht etwa giinstiger, sondern noch unghstiger fur die Theorie. Die in Betracht kommenden Amplituden in (3), welchen ich fur den Dampfungsfall ein * hinzufiige, nehmen dann iibereinstimmend mit Waetzmanns Angaben folgende Werte an (A* Amplitude des Differenztones p - q = Q):

Mit ihnen wird das Verhiiltnis der Amplituden des Differenz- tones zu den Primartonen noch betrachtlich kleiner als ohne Dampfung.

1) W a e t z m a n n scheint anderer Ansicht zu sein, wiihrend S c h a e f e r offenbar iiber das H e l m h o 1 tzsche Ntiherungsverfahren tihnlich urteilt wie ich. Wenn man aus einer Gleichung Einzelgleichungen entnimmt, welche gleiche Potencen einer konstanten GroBe enthalten, so ist diea nur zulilesig, wenn man diese Gr6Be als sehr klein ansieht, mag es nun die Helmholtzsche HilfsgroBe 8, oder S c h a e f e r s kleine Bnfangselon- gation e, oder endlich b selbst sein; ich habe niimlich schon in meiner ersten Arbeit gezeigt, da6 man genau das H e l m holtzsche Endresultat erhiilt, wenn man von vornherein setzt x = x, + b xg + bP s, + . . . Frei- lich hangt streng mathematisch die Entscheidung von einer schlieBlichen Konvergenepriifung ab.

2) Schon bevor ich auf die Harbarkeit der Differenztone verklingen- der Stimmgabeln hingewieaen habe, hatte , wie ich erst jetzt bemerke, C. S t u m p f erwtihnt, dal( die leisesten Tone Differenztone hervorbringen (Tonpsychologie 1. p. 248. 1890).

3) L. H e r m a n n , Ann. d. Phys. 25. p. 697. 190s.

&ir Theorie der /io,,iCinationsti;ne. 431

Neuerdings habe ich mir aber selbst einen Einwand ge- macht , welcher die, Zuverlassigkeit des von mir gefundenen Grenzwertes von b in Frage stellt. Ich war namlich davon ausgegangen , daB das vorausgesetzte asymmetrisch elaetische tiebilde notwendig zu eigenen Schwingungen fiihig sein miisse, und habe daher festgestellt, unter welchen Bedingungen die elliptische Funktion, welche das Integral der annullierten Gleichung (2) darstellt , eine periodische Bewegung ergibt ; dabei stellte sich ein von den Anfangsbedingungen, d. h. von den dem Gebilde zugemuteten Elongationen abhhgiger oberer Grenzwert von 6 heraus. Da aber auch ein, z. B. wegen hoher Dampfung , zu Eigenschwingungen unfahiger Resonator er- zwungene Scliwingungen machen kann, ist die fur f = 9 = 0 gefundene Grenze von b nicht anwendbar auf die Gleichung(2). Hierzu kommt noch, daB, wie Wa e t z m a n n richtig bemerkt, auf eine Dampfung keine Riicksicht genommen war.

Seitdem ist, wie Wae tzmann mitteilt, von Bohl ein an- scheinend noch nicht veroffentlichter ,,Konvergenzbeweis" l) fur die Helmholtzsche Naherungsreihe geliefert worden. Vermut- lich wird dieser Arbeit eine zuverlassige Grenze fur 6 ent- nommen werden kannen, mittels deren man von neuem an eine numerische Priifung der Theorie gehen kann.

Indessen ist damit der Einwand, da8 die Differenztone aufierordentlich schwach gegen die Primartone sein miifhen, keineswegs erschuttert, sondern nur die numerische Bewertung des Amplitudenverhaltnisses. Das letztere betragt (mit Damp- fung) nach (7)

b ( I* - - A * d* v, 6,' - n')2-+-l?? &' .

Nun ist in (2) 6z von gleicher Dimension mit n2 und sinngemah klein gegen letzteres, also das Produkt von 6 mit einer der

1) Dieser iibliche und auch von Waetzmenn gebrauchtc Ausdruck konnte bei Nichtmathematikern den Eindruck erwecken, dab die H e l m - holtzsche Reihe schlechtweg, d. h. fur jeden Wert von b, konvergent eei, ich also unberechtigterweise die Konvergenz in Zweifel gezogen habe. Daher mochte ich hervorheben, daB es sich wohl sicher nur urn die Fest- stellung von Bedingungen fur die Konvergenz handelt , miigen sich die- selben auf Grenzen fur b oder t oder beides beziehen.

__-

432 L. Hermann.

in Betracht kommenden Elongationen klein gegen na. Ein solches Produkt ist aber der Zahler des . soeben angegebenen Amplitudenverhaltnisses, dieses also sehr klein , wenn n klein gegen Q.

Gegenuber meinem Einwande glaubt W a e t zm annl ) die Theorie mittels verschiedener Annahmen aufrecht erhalten zu konnen. Erstens sei der tiefe Eigenton, welchen ich mit Helmhol tz dem Trommelfellapparat, als dem asymmetrischen Resonator, zugeschrieben hatte, und welcher in der Rechnung eine Rolle spielt, nicht bewiesen; das Trommelfell konne auch in Teilen schwingen, d. h. eine Reihe von Eigentonen zur Ver- fugung haben, darunter auch geniigend hohe, um auch hohe Differenztone zustande kommen zu lassen; j a es konne mog- licherweise durch seinen Spannmuskel sich jederzeit dem Be- durfnis anpassen. Ferner seien vielleicht auch mannigfache andere asymmetrisch elastische Gebilde an der Entstehung der Differenztbne beteiligt. Ich glaube nicht, daB diese Annahmen, selbst wenn nicht einzelnen von ihnen physiologische Bedenken entgegenstanden, alle Schwierigkeiten beseitigen wiirden; es sei hier nur darauf hingewiesen, daS, abgesehen von der sehr ucwahrscheinlichen momentanen Anpassung, die vielen Eigen- tone doch siimtlich jederzeit sich geltend machen miifiten, so da6 diejenigen, welche den hohen Differenztonen einige Starke verleihen, die tiefen unverhaltnismaBig begunstigen muBten, was wiederum zu Widerspriichen mit der Erfahrung fiihren wiirde.

Es la6t sich leicht zeigen, worauf ich indessen hier nicht naher eingehe, da6 die Leistung des Trommelfells, jede Ton- oder Partialtonhohe annahernd gleich gut auf das innere Ohr wirken zu lassen, mit der Resonanztheorie nur vereinbar ist, wenn man ihm einen sehr tiefen Eigenton, d. h. fast gar keine Spannung, dagegen eine ungemein starke Dampfung zuschreibt ; die letztere mul3 allerdings die Elongationen sehr klein machen; aber bei der enormen Empfindlichkeit des Ohres ist dies kein Einwand. Ein so beschaffenes Gebilde kann aber schlechter- dings nicht gleichzeitig das Horen von Primartbnen und das- jenige von Differenztonen vermitteln; dies zeigt sich in der Tat

.

1) E. Waetzmann, Ann. d. Phya. 28. p. 1069. 1909.

Zur Theorie cler Kombi7iationstorie. 433

bei jedem naheren Eingehen auf quantitative Verhaltnisse. Ein Beispiel hierfur, bei welchem die streitige GroSe li ganz elimi- niert ist, sei kurz angefiihrt. Wenn eine kleine Terz am Harmonium einmal in der zwei- und dann mit denselben Noten in der dreigestrichenen Oktave produziert wird, so andert auch der Differenzton seine Hiihe um eine Oktave; seine absolute und relative Starke andert sich dabei nicht wesentlich, vor allem nicht gesetzma6ig. Sind nun a1 und F1 die Amplituden der Primartone in der tieferen, aa, $2 dieselben in der hoheren Oktave, so ist das Amplitudenverhaltnis der beiden Diff erenz tone

oder bei kleinem n

Der Betrag der Wurzel liegt, je nach der GroBe, die man 7,

im Vergleich zu Q zuschreibt, zwischen den auf3ersten Grenzen 2 und 1. wesentlich kleiner sein sollten als H ~ , 8, (eher lie6e sich mit Riicksicht auf (7) das Gegenteil vertreten), so mii6te die Ampli- tude des tieferen Differenztones 2-4mal so gro6 sein als die des hoheren, wovon zum mindesten nichts zu merken ist. Man konnte eine analoge Betrachtung auch fur die Intensitaten an- stellen, aber hier bewegt man sich bekanntlich ziemlich im Dunkeln.

Wenn das Trommelfell als Entstehungsort fiir die Differenz- tone kaum noch in Betracht kommen kann'), so fallen auch, wie ich schon friiher bemerkt habe, die quantitativen Einwande gegen die Theorie ziemlich weg. Dann mii6ten diese Tone, falls sie wirklich objektiv sind, in einem anderen, ebensogut wie das Trommelfell jederreit beim HSren mitwirkenden Gebilde von asymmetrischer Elastizitat entstehen , da sie niemals versagen. Ich habe. da man der Luft doch schwerlich asymmetrische

1) DaO daselbe fur das Horen der Differenztone keine Rolle spielt,

Da man keinen Grund angeben kann, warum ul,

~~ ~

babe ich schon 1891 gezeigt.

434 L. H e i m a m . Zur Theorie der Kombinationstone.

Elastizitat fur schwache Schwingungen zuschreiben kann, auf die Kopfknochen hingewiesen , besonders weil , wie ich schon 1891 gefunden habe, zwei an die Zahne gehaltene tonende Stimmgabeln auch bei verschlossenen Ohren sehr kraftige Differenztone geben; ein Gedanke, welchem auch W a e t z - mann zustimmt. Ob man aber auf einen solchen Eorper die Resonanzgleichung anwenden darf, erscheint mir nicht sicher. Fur mich ist iibrigens die Moglichkeit, da8 die Differenztone, obwohl sie objektiv entstehen konnen, fiir gewohnlich sub- jektiven Ursprungs sind , noch keineswegs endgiiltig beseitigt. Ich denke auf den Gegenstand in anderem Zusammenhang demnachst zuruckzukommen.

K ij ni g s b e r g i. Pr., Physiolog. Institut.

(Eingegangen 28. Sovember 1911.)