I N G E N I E U R - A R C H I V X X V I I . B A N D D R I T T E S H E F T 1 9 5 9

Zur Theorie der rollenden Reibung

Von tI. Buffer

1. Ubersieht. Wegen ihrer technischen Bedeutung haben sich schon mehrere Forscher mit denjenigen Fragen auseinandergesetzt, die in mittelbarem oder unmittelbarem Zusammenhang mit dem Vorgang der rollenden Reibung stehen. Einen geschichtlichen Riickblick hierzu hat L. F @ p l 1 gegeben. Trotz zahlreicher experimenteller und theoretischer Untersuchungen gibt es jedoch noch verschiedene Probleme, fiir die bisher noch keine befriedigende oder noch gar keine L6sung gefunden wurde. WZihrend fiir gleiche elastische Konstanten der beiden in Beriihrung stehenden oder auf- einander abrollenden Walzen die wesentlichen Fragen gekl~irt sind, stehen diese im Falle verschie- dener elastischer Konstanten noch often.

Im folgenden wird eine Ubersicht der mit der rollenden Reibung zusammenh/ingenden Pro- bleme gegeben, wobei eine Einteflung in drei Hauptf/ille vorgenommen wird.

Fall I: Beide Walzen werden durch die Kraft P zusammengedriickt (Abb. la). A. Bei gIeichen elastischen Konstanten der Walzen tr i t t lings der Beriihrungsfliche keine Schub-

spannung auf, und es gilt die gew6hnliche Hertzsche Druckverteilung. B. Bei verschiedenen elastischen Konstanten ist eine Schubspannung vorhanden, die ihrerseits

die Druckverteilung beeinflult. Zu unterscheiden ist hier zwischen dem reinen Haftfall und dem gemischten Fall, bei dem das Beriihrungsgebiet sich in eine Haft- und in zwei Gleitzonen gliedert.

P

2

O.,

P

b C

Abb. 1. Beanspruchung der beiden Walzen. a) dutch die Normalkraft P ; b} durch die l~ormalkraft P und die Schubkraft Q (kein Rollen); c) dutch die Normalkraft P und die $chubkraft Q, wobei beide Walzen aus abrollen (Rad 2 sei das Treibrad).

a) Haftfall: Dieser wurde yon K . Desoyer 2 untersucht. Allerdings enthahen seine Ausgangs- gleichungen Fehler, wie ich in Ziff. 2 zeigen werde, so dab er kein richtiges Resuhat erzielt.

b) Gemischter Fall: .4. Schiifer 8 behandelte dieses Problem unter Zugrundelegung der Hertz- schen Druckverteflnng, was jedoch streng genommen nicht zulissig ist.

Fall I I : Beide Walzen werden erst dutch die Kraft P zusammengedriickt und dann mit der Schubkraft Q belastet, wobei kein Rollen stattfindet (Abb. 1 b).

z L. F6ppl, Die strenge LSsung fiir die rollende Reibung, Miinchen 1947. 2 K. Desoyer, Osterr. Ing.-Arch. 11 (1957), S. 146. 3 A . Schiifer, Die X~eibung beim Walzendruck bei verschiedenen Etastizit/itsmoduln. Diss. TH Miinchen

(1948). I0

138 H. Buffer: Zur Theorie der rollenden Reibung Ingenieur-Archiv

A. Bei gleichen elastischen Konstanten gilt die Hertzsche Druckverteilung, denn die Schubspan- nungen haben bier keine l~iickwirkungen auf den iibertragenen Druck, wie erstmals H. Fromm 1 nachgewiesen hat.

a) Haftfall: Dieser (nur bei unendlich groBem Reibungskoeffizienten mSgliche) Fall ist relativ einfach zn behandeln (s. G1. (55)).

b) Gemischter Fall: Das Beriihrgebiet zerfallt hier in eine mittlere Haftzone und ia eine vordere und eine hintere Gleitzone.

c) Gleitfall: Die LSsungen fiir den Spannungszustand in den Walzen wurden unter Zugrunde- legung des Coulombschen Reibungsgesetzes angegeben yon L. FSppI ~ und F. Karas 3.

B. Bei verschiedenen elastischen Konstanten unterscheidet man ebenfalls a) den Haftfall, b) den gemischten Fall und c) den Gleitfall. Fall I I I : Dieser Fall unterscheidet sich yon Fall II dadurch, dab die beiden Walzen aufeinander

abrollen (Abb. lc). A. Bei gleichen elastische= Konstanten gilt wieder clie Hertzsche Druckverteilung, die durch die

Schubspannungen nicht beeinfluBt wird. a) Haftfall: Dieser ist nur bei unendlich groSem Reibungskoeffizienten m~glich und wurde yon

L. F~ppl 4 (S. 11) gel0st. b) Gemischter Fall: Das Beriihrgebiet zerf~illt bier in eine Haftzone auf der Anlaufseite und eine

anschlieBende Gleitzone. Die LSsung hat G. Heinrich 5 angegeben. c) Gleitfall : Hier gilt das unter Fall lI , A, c) Gesagte. B. Fiir verschiedene elastische Konstanten liegen Untersuchungen yon K. Desover G vor, und zwar a) fiir den Haftfall, b) fiir den gemischten Fall und c) fiir den Gleitfall, der identisch ist mit Fall lI , B, c). Allerdings sind die yon Desoyer angege-

benen Ergebnisse wegen Fehler in den Ausgangsgleichungen nicht korrekt.

Die vorliegende Arbeit besch~ftigt sich in der Hauptsache mit den unter I, B, a):und II, A, a) sowie III, B, c) genannten Problemen. Fiir die Druck- und Schubspannungsverteil~ng l~ings der Beriihrungsfl~iche ergeben sich im Haftfall zwei gekoppelte singul~ire Integralgleichungen, die sich in zwei Punkten yon den -con K. Desoyer hergeleiteten Gleichungen unterscheiden und infolgedessen zu anderen Ergebnissen fiihren. Dariiberhinaus wird fiir die betrachteten F/ille die tangentiale Randspannung innerhalb und auBerhalb der Beriihrungszone ermittelt.

2. Ran&leformation. Da die Beriihrungsl/inge 2 a sehr klein ist im Vergleich zu den Walzen- halbmessern, kann man beziiglich des Spannungszustandes zwei unendliche Halbscheiben zugrunde- legen, die im Intervall - - a <~ x __< a mit der Druckspannungp und der Schubspannung q bean- sprucht werden.

Abb. 2. Bezelchnungen an der nalbsehelbe.

Fiir die Beriihrbediagung und die Haftbedingung ist die Kenntnis der tangentialen Randdehnung (ex)y=0 und der Ableitung der Verschiebung~ nach x, @/ax erforderlich. Die Ver- schiebung ~ zahle hierbei positiv ins Innere der Halbscheibe (wegen der Bezeichnungen, siehe Abb. 2),

1 H. Fromm, Z. angew. Math. Mech. 7 (1927), S. 27 . 2 L. FSppl, Forsch. Ing.-Wes. 7 (1936), S. 141. a F. Karas, Forsch. Ing.-Wes. 12 (1941), S. 266. 4 Siehe FuBnote 1, Seite 137.

G. Heinrich, Osterr. Ing.-Arch. 4 (1950), S. 363. 6 Siehe Ful~note 2 yon S. 137.

XXVII. Band 1959 H. Bufler: Zur Theorie der rollenden Reibung 139

1Nach dem Hookeschen Gesetz gelten folgende Spannungs-Dehnungs-Beziehungen: 1

1 sy = ~- [ay - - v (~r~ + a~)], (2)

I s~ = ~- [~ -- ~ (~ + %)]. (3)

Hierin bedeutet E den Elast izi t~tsmodul und v die Querdehnzahl. Setzt man einen ebenen Formanderungszustand voraus, so erhalt man wegen s~ = 0 aus (1), (2), (3)

~ = ~ [(1 - - ~) ~ - - ~ (1 + ~) %], (4)

~ = ~ [ ( i - - ~ ) % - - v ( i + v) ~]. (5)

Fiir einen ebenen Spannungszustand gilt dagegen wegen ~r~ = 0

i [~r~ -- v ~y] (6) 8 x ~ - ~ -

1 [o'y - - v ~r~] (7)

Wie ein Yergleich der Ausdriicke (4), (5) mi t (6), (7) zeigt, gehen die Formeln (4), (5) des ebenen Formanderungszustandes in diejenigen des ebenen Spannungszustandes (6), (7) formal dadurch fiber, dab man # = 0 setzt. Es geniigt daher, die Rechnung zunachst nu t f/Jr den e b e n e n F o r m - a n d e r u n g s z u s t a n d durchzufiihren und erst die Ergebnisse auch auf den ebenen Spannungszu- stand auszudehnen 1

Fiir die tangentiale Randdehnung (e~)y=0 der Halbseheibe erhalt man wegen (az)z=0 = - - P aus (4)

1 (G,)z=o = ~- [(1 - - # ) (~r~)y =o + v (1 + v) p ] . (8)

Die Spannung (~r~)z =o bet ragt hierbei +1

2 ~ q(~)du (9) (~)~=0 - - p @ ) - - ~ - ~ _ ~ �9

- - 1

(Das Zeichen ~ besagt, dab das Integral wegen der Singularitat des In tegranden bei ~ = } ffir x 2 < 1 als Cauchyscher Haup twer t zu verstehen ist.) Der Querstrieh fiber einer Koordinate bedeutet bier wie im folgenden den mi t der Strecke a (zun/ichst noch unbekannte halbe Lange des Berfihrgebietes) dimensionslos gemachten Ausdruck, also

~ = x ff u y , , y (10)

a a a

Der erste Anteil in (9) riihrt w m Normaldruck p her (hydrostatischer Spannungszustand2); der zweite k o m m t yon der Schubspannung q; dean fiir eine mi t der positiven x-Achse gleiehgerichtete, bei x = 0 angreifende Sehubkraf t Q (je Scheibendicke) gilt a

2 Q 1 (~)y = o = - - - - -- ,

~ a x

woraus ffir eine kontinuierliche Lastvertei lung durch In tegra t ion fiber den gesamten Lastbereich fiir den Aufpunkt x

+1 2 (~ q(~) dK (~)y = 0 - ~ ~ _ ~

d - - 1

1 Streng genommen ist der sich tats/ichlich in den Walzen einstellende Spannungszustand in der Umgebung der Beriihrungsfl/iche dreidimensional. Um das Problem jedoeh zweidimensional behandeln zu k6nnen, werden als Vereinfaehung die beiden Grenzf/ille des ebenen Spannungszustandes und des ebenen Form/inderungs- zustandes zugrundegelegt. Bei relativ diinnen Scheiben ist in Wirkliehkeit der erstgenannte Fall zust/indig, bei sehr breiten Walzen dagegen der zweite.

L. F6"ppl, Drang und Zwang, Bd. 3, S. 37, Miinehen 1947. 3 L. F6ppl, a. a. O. S. 29.

10"

140 H. Buffer: Zur Theorie der rollenden Reibung Ingenieur-Archiv

folgt. Gleichung (8) mi t (9) ergibt somit

(s,~)y = o = - - ~ (1 - - v - - 2 vs) p( .~) _ _ v~)

- - 1

(11)

Zwecks Ermi t t lung der Randverschiebung ~ bzw. der Ableitung 8rl/Ox ffir die Halbscheibe greifen ~ auf (5) zuriick:

@ _ 1 [ (1 - - v S) ~ry - - v (1 -1- v) ~ ] ( 1 2 ) 8y - - ~y

Der Beitrag, der yon 19 herrfihrt, wird zweckmiif ig dadureh ermit teh , dab man von einer im Koordinatenursprung angreifenden Normalkraf t P (je Scheibendicke) ausgeht 1, welche in der Halb- scheibe die Normalspannungen

2 P ~2~

und 2 P ya

(ry - - Jr a (~2 _}_ y2)2

zur Folge hat. Nach Einsetzen in (12) und In tegra t ion zwischen der oberen Grenze :~ : 0 und der unteren

Grenze ~ : it erh/ilt man die Randverschiebung /z relat iv zur Linie y = h

~(e) _ (1 - - v S) In g2 § ~ - - d- (1 d- v) ~ .

N i m m t man /~im Vergldch zu x sehr groB, so folgt

~](l~) P [ ( 1 - - V S) ~" ~ .

I )a raus b e k o m m t man, wenn man auf eine kontinuierliche Lastvertei lung iibergeht, +1

--1

Der Differentialquotient 8~(v)/8x ist somit +1

@(P)8~ -- 2 (I.--E v2) a i P(~)x--u du . (13) --1

Urn den B d t r a g zu ~ zu ermitteln, der yon der Schubspannung q kommt , sei yon einer im Be- reich ~ ~< ~ _< ~ konstanten, mi t der posit iven x-Achse gleichgerichteten Schubspannungsverteflung q0 ausgegangen. Diese fiihrt zu den Normalspannungen 2

(r~ ---- - - 2 q o l n r ! 2~ (cos 2 a s - - cos 2 al) / ' 2 - - :'

und

wobei

ist.

Cry = 2~rq~ (cos 2 a 1 - - cos 2 as) ,

r 1 = a . Vy 2 -}- (~ -}- ~)s, cos 2 cq = 1 2 y2 y~ + (~ + ~)~ ,

2 y2 ~S = a " I/Y S + (~ - - x ? , cos 2 a s = 1 y~ + (~-- ~)~

Setzt man diese Ausdriicke in (12) ein und integriert fiber Y, so b e k o m m t man + (~ + ~ ]

~(qo) = q~ (1 - - v - - 2 v S) J d - v (1 ~ - v) l n ~ ~ E j - -~ (~__ ~)2 ] wobei

J = (~ - - 5) aretg ~_--Y Y - - - - (~ -q- ~) arctg ~ q_

L. FSppl, a. a. O. S. 61. L. FSppl, a. a. O. S. 39.

XXYII. Band 1959 H. Bufler: Zur Theorie der rollenden Reibung 141

ist. iNimmt man als obere Grenze des Integrals ~ = 0, als untere Grenze ~ ---- 0% so folgt

~(q0) =E-q~ (1 - - v - - 2 v2) a . fiir x > c

- - f f i r ~ < - - 3

und nach Differentiation

@(qo) [q~ (1 - - v - -2~ )a fiir [ x [ < ~ , (14)

lo ~ far [5 ] > ~.

Bei einer ver/inderlichen Lastverteilung q ---- q(~) kann man eine Aufteilung der Belastung in einzelne Laststreifen q(x) dx = a q(~c) d~ vornehmen. Fiir jeden einzelnen Streifen gilt dann die Beziehung (14), die aussagt, dab 0~ /~ proportional der Belastungsordinate an der betrachteten Stelle ist und unabhangig yon den Belastungen auBerhalb davon. Man kann daher allgemein schreiben

~(~) (1 - - v - - 2 v ~) a ( 1 5 ) ex - E q(~)"

Insgesamt gilt somit nach Oberlagerung yon (13) und (15) +1

~-~@-- Ea [- - (1--v- -Zv2) q(x)-k2(1--v2) ! P(~t) drt ~ - - g . (16)

--1

Die den Ausdrficken (10) und (16) entsprechenden Gleichungen fiir den e b e n e n S p a n n u n g s - z u s t a n d erhiilt man, wie eingangs erw~hnt, dadurch, dab man v 2 ----- 0 setzt:

+ 1 11 (~) , =o = - - ~ (l--v) p( ; ) + ~ d ~ , (17)

--1

§

~ - ~ - - ( 1 - - ~ , ) ~ ( ~ ) + ~ - - I

Gleichung (17) stimmt mit Gleichung (22) yon K. Desoyer iiberein, Gleichung (18) weicht dagegen im Vorzeichen bei q yon seiner aus Gleiehung (3) mit (1), (2) resnltierenden Formel ab, was auf einen dort vorhandenen Vorzeichenfelxler zuriickgeht, der bereits in Gleichung (13) yon G. Heinrich 1 enthalten ist. Ferner gewinnt Desoyer die fiir den ebenen Form/inderungszustand maBgebenden Gleichungen aus denjenigen Abb. 3.Beriihrbedingung.ZUr Herleitung der des ebenen Spannungszustandes unrichtigerweise dadurch, dab er statt E den Wert E / ( 1 - - v ~) setzt. Die Unzul/issigkeit dieses Schrittes zeigt der Vergleich der Formeln (17), (18) (ebener Spannungsznstand) mit den Formeln (11), (16) (ebener Formanderungszustand).

3. Beriihrbedingung. Zur Herleitung der Beriihrbedingung gehen wir yon Abb. 3 aus. ~ Die elastische Ann/iherung der Kreismittelpunkte M 1 und M~ ist, wenn 0 den (nachtraglich noch zu bestimmenden) Mittelpunkt des Beriihrgebiets bedeutet

A = AiA 2 + ~i ~ ~" Ferner gilt aus geometrisehen Griinden in erster N/iherung

a 2 _

Da fiir jeden Punkt des Beriihrgebiets A = konst ist, mug aueh OA/O~ = 0 sein, woraus die Be- dingung

(~1 + ~2) ~- - - a~ + ~ (5 0 -~ ~) fiir ~2 < 1 (19)

Siehe FuBnote 5 yon Seite 138. Siehe L. F6ppl, Drang und Zwang, Bd. 3, S. 67.

142 H. Bufler: Zur Theorie tier rollenden Reibung Ingenieur-Archiv

folgt. En tnehmen wit nun 0~h/a~ ~ und ~72/~2 aus (16) (ebener Formlinderungszustand) bzw. (18) (ebener Spannungszustand) und beachten, dab gemiiB Abb. 4

x 2 = x , u s = u , q2 = q , P2 = P ,

x l -= - - x , ua -= - - u , q l ~ - q , P l -= P ,

ist, wobei der Index 1 sich auf die obere, der Index 2 sich auf die untere Walze bezieht, so erhiilt man nach Einsetzen in (19) die B e r i i h r b e d i n g u n g in der Form

§

~ P(g) d ~ - - C q(~) = B a (xo § ~) fiir x 2 < 1 (20) g , - - f f

- - 1

Hierin bedeuten

z~ (1 1) E E " [ E 1 ( 1 - v~) § E 2 ( 1 - ~) beim ebenen Formiinderungszustand, (21)

B = 2- ~ § ~ 1 2 " / E 1 § E2 beim ebenen Spannnngszustand. und

[ E 1 (1 - - v 2 - - 2 v~) - - E 2 (1 - - v 1 - - 2 v~) beim ebenen r u u~ormiin%rungszustan', C

]El (1 - - ~ o ) - E~ (1 - - v,) (22) f t ~ : beim ebenen Spannungszustand.

Der ffir C m6gliche Bereich ist

~ < C < ~ 2 - - - - 2 "

Falls Walze 1 (bzw. 2) als starr im Vergleich zu Walze 2 (bzw. 1) zu betrachten ist ( E ~ / E ~ - ~ oo

bzw. E e / E ~ = ~ ) und Walze 2 (bzw. 1) die Qnerdehnzahl null besitzt, so gilt C = ~/2 (bzw. C =

/ /

Abb. 4. Randspamaungen und Koordlnaten an beiden Scheiben (Walzen).

--~r/2) ; bestehen dagegen beide Walzen aus demselben Material (E~ - - E2, v~ = v2), dann wird C ---= 0.

4. IIaftbedingung. Wenn die beiden Walzen aufeinander abrollen, miissen in der Haftzone die sich beriihrenden Punkte dieselbe Geschwindigkeit haben. Diese Bedingung fiihrt, wie yon D e s o y e r gezeigt wird, in erster Niiherung zu

S S ( ~ - - ~x,)y = 0 - - 2 .u r I bzw. (e~l - - ex : )y = o = ~ (23)

fiir ~2 < 1

X 2 ~ - X ~

X 1 ~ - - - - - X ~

ist, so lautet die H a f t b e d i n g u n g

je nachdem, ob Rad 1 oder Rad 2 (im Sinne der Abb. lc) antreibt. Wesentlich dabei ist, dab der Schlupf S konstant bleibt.

Wir brauchen jetzt lediglich die Dehnungen aus (10) (ebener Formiinderungszustand) bzw. (17) (ebener Spannungs-

+ 1

i q(~) " - S* (im Haftgebiet) (24) _ _ a u § X - - U

- - 1

wobei, falls Rad 2 im Sinne der Abb. l c antreibt (diesen Fall wollen wir hier nut betrachten)

S* S E E [E l (1 - - v~) § E 2 (1 - - ~) beim ebenen Formiinderungszustand, (25)

= 4 r~ 1 3: ~E 1 § E2 beim ebenen Spannungszustand.

C ist identisch mit dem in (22) angegebenen Ausdruck.

zustand) zu entnehmen und in (23) eiazusetzen. Beachtet man dabei wieder, dab

u 2 = u , q2 = q , P2 --~P,

u 1 - - - - - - u , qx = q , Pl = P

XXVlI. ~,~d 1959 H. Bufler: Zur Theorie der rollenden Reibung 143

5. Der gleitfall. Die beiden Walzen werden mit der Kraft P aufeinandergedrfickt und das Antriebsmoment des Rades 2 sei so groB, dab im ganzen Beriihrgebiet Gleiten eintritt (Fiille II, B, c) und III, B, c))~. Unter Zugrundelegung des Coulombschen Reibungsgesetzes gilt dann

q(~) = + #o P(~) (26)

mit #o als Gleitreibungskoeffizienten. Das positive Vorzeichen in (26) ist durch die Antriebsrichtung des Rades 2 gemaB Abb. 1 c bedingt. Gleichung (26) ersetzt die Haftbedingung.

Die Beriihrbedingung (20) geht mit (26) fiber in eine singulare Integralgleichung 2. Art ffirp + 1

i p(Ct) d u - - C p(~) = Ba (~0 -4- ~) ffir ~2 < 1. (27) /*0 - - 1

Die entsprechende Gleichung yon Desoyer 2 weicht yon Gleichung (27) durch das umgekehrte Vor- zeichen bei/~o ab. Der Grund hierfiir ist der Vorzeichenfehler in seiner Formel ffir a~/ax. Dutch einfache Umrechnung seiner Ergebnisse 8, fiir die Druckverteilung p(~), die halbe Breite des Be- riihrgebietes a u n d die Lage des Mittelpunktes 0 (x o, siehe Abb. 3) ergeben sich mit den hier ange- wandten Bezeichnungen die korrekten Gleichungen

_ _ B a (1 --N)O p(~) V~G~_+ c2/~ ) ~ (1 - t - ; ) , (28)

V P (29) a = 2 @(l__v~) B

2o __ xo __ 1 - - 2 v q, (30) a

wobei

- ~ ( o < ~ < 1). tg ~ v~ -- C #o

Die Sehubspannung q(}) ist dureh (26) mit (28) festgelegt:

B a [1 ~- ~ "1 q('~) = + ~o V~+ + c2e~ \i-#-~ ~) t + ~).

AuBer der oben bestimmten Druck- Beurteilung der Beanspruchung wichtige halb und aul]erhalb der Beriihrungszone.

( ~ x ) y = 0 = - - P ( X )

(31)

(32)

und Schubspannungsverteilung interessiert der ffir die Verlauf der tangentialen Randspannung (~,)y = o inner- Wegen (9) k6nnen wir sehreiben

+ 1

+ 2 i q ( u ) j x2 (33) -- =--~ au ffir < 1 -- J~ X - - U - -1

bZW. + 1

(<r~)y=O = _d- 2~ f q (U )d u fiir ~2> 1; (34)

- -1

denn bei ~2 > 1 ist wegen der freien Oberfl~che p ---- 0. Das obere Vorzeichen in (33) uud (34) be- zieht sich hierbei auf Walze 1, das untere auf Walze 2. Mit (32) wird

§ §

J - -1 - - 1

Das hier auftretende Integral l~igt sich folgendermaBen umschreiben: + 1

\ ~ / ~ dg = - J x + (1 § ~) Ja" - - 1

i Das ebene Problem eines starren Stempels beliebiger Gestalt, der auf dem Rand einer elastischen Halbscheibe gleitet, ist (nach ganz anderen Methoden) behandelt yon N. I. Muskhelishvili, Some Basic Problems of the Mathematical Theory of Elasticity, Groningen 1953.

2 Beim Vergleich der entsprechenden Formeln yon Desoyer, bier (50), mit den hier abgeleiteten sind wegen der verschiedenen Festlegung der x-Achse die Indeces 1 und 2 zu vertausehen.

8 K. Oesoye,, a. a, O. Gleichungen (59), (58), (56).

144 H. Buffer: Zur Theorie der rollenden X~eibung Ingenieur-Axchiv

Hierin bedeuten J~ und Ja die im Anhang abgeleiteten Integrale (4*) und (6*), falls man dort a = setzt. ~ Dami t erh/ilt man aus (33) und (34) unter Beriicksichtigung von (28) und (31)

I--p(~) ( 1 T 2~t~ C) --~2 Ba/zo (~ -~- l - - 2 t$ ) fiir

( ~ ) y = 0 = [ _ _ + 2 B a / z o [ _ _ ( ~ 1 ) ( ~ _ ~ - 1 ~ 1 ) q - ~ ~ 1 - 2 v q] ffir

~2< 1,

~ 2 > 1, (35)

wobei das obere Vorzeichen fiir Walze 1, das untere fiir Walze 2 gilt. Fails beide Walzen aus dem- selben Material bestehen (C = 0, ~ = 1/2), so folgt aus (28) die bekana te Hertzsehe Druckvertei lung

und aus (35)

,- V ~ far 2 ~x:~: (~)y=0 = - 4 - ~ / t o a B _ x -2 - -

Ix - - f ~ - ~x - - 1 fiir

~ 2 < 1 ,

~ 2 > 1. (37)

Die Formeln (36) und (37) f indet man auch sonst. $

In Abb. 5 ist der Verlauf der mit der Bezugsspannung Po = ~P E (i/r 1 -k lira) dimensionslos gemachten Druckspannung p(~) fiir die in Tabelle 1 zusammengestel l ten F~ile a his d aufgetragen

p

�9 c b

-1 0 1

Abb, 5. Verlauf des Drucks p in der ]3erllhrungszone ~ilr die in Tabelle 1 angegebenen F/ille a his d bei vollst/indigem Glelten

(Belastung nach Abb. lb oder lc).

uad zwar unter Zugrundelegung eines Reibungs- koeffizienten yon /z o = 1. Die Kurve b gilt dann, wenn beide Walzen aus demselben Material be- stehen. Die Kurven a u n d c beziehen sich dagegen auf den Fall, dab eine der beiden Walzen s tarr ist (C = __ :r/2). Zum Yergleich hierzu ist die Kurve d eingetragen; sie wurde fiir C = + Jr/2 beiVoraussetzung der Hertzschen Druckvertei lung, welche sich fiir C # 0 nur im reibungsfreien Fail (/z o = 0) einstellt, errechaet. Da die Kons taa te C im Bereich - - ~r/2 ~< C ~ Jr/2 liegt und/z 0 in der Praxis stets kleiner als 1 ist, stellen die Kurven a u n d c prakt isch k a u m erreichbare Grenzkurven dar. In Wirklichkeit wird daher meist nu t eine geriagfiigige Abweichung yon dem Spannungs- verlauf, der sich qnter Zugrundelegung der Hertz- schen Druckverte i lung ergibt, vorhanden sein. Jedenfalls bleibt die Gr61]e des sich im allgemeinen

etwas aus tier Mitte verlagernden Druckmaximums in guter Naherung unverander t (vgl. die Ex t r emkurven a u n d c mi t d).

Tabelle 1. Zusammenstellung einiger Spezialfiille.

Fall

a

b

c

d

E

E

CZ3

E (bzw. ~ )

GO

E

E

oo (bzw. E)

/ ~o

1

1

1

0

C

2

0

2

+ ~

0,35

0,50

0,65

0,50

1 Die mit einem Stern gekennzciehneten Gleichungsnummern beziehen sieh auf den Anhang. Siehe FuBnoten 2 und 3 yon Seite 138.

--0,175

0

0,175

X X V I I . Band 1959 H. Bufler: Zur Theorie tier rollenden Ileibung 145

Abb. 6 zeigt schlieglich die tangentiale Randspannung (a,)r= 0 im Rad 2 ffir die oben diskutierten F~lle a, b und c.

o,5i

(66~_~)y=0 Po

l 1 I I -2 - i ~' 2

Abb. 6. Verlauf der tangentialen Randspannung (ax)y = 0 im t tad 2 fiir die F~ille a, b und c bei vollst/indlgem Gleiten (Belastung naeh Abb. lb oder 1@

6. Der Haftfall. I m Haftfal l miissen die Beriihr- und die Haftbedingung entsprechend (20) und (24) erfiilh werden:

+ 1 + 1

! x--u p(~)- du -- C q(}) = B a @o -~ x) ' i x--.J(~) d5 s C p(x) : S* fiir x ~ < I

--1 --i

Diese beiden gekoppelten Integralgleichungen fiir p und q lassen s auf eine singulare Integral- gleichung 2. Art fiir die Funkt ion

F(~) = p(~) + i q@) (38) zuriickfiihren:

+ 1 S* i

F ( x ) - -ci g--~tF(g) dg - - C C B a (x o ~- ~) f ib ~2 < 1 . (39)

- - 1

Gleiehung (39) ist yore Typ + 1

F(~) + Z~ r .-.f(~)- d~ = C(~) far ~ < 1 , (40) - - 1

H. S6hngen 1 gibt dafiir eine strenge L6sung in geschlossener Form an. Zun~ichst b e k o m m t man durch Koeffizientenvergleich

= (41) )' = --~-C

mit Ize/C] ~ 2 wegen (22) und

S * . B a _ G(~) = G o -4- G1 ~ = ~ - - - t -~- x o - - i ~ ~ . (42)

1 H. Siihngen, Math. Z. 60, (1954) S. 31.

146 H. Bufler: Zur Theorie der rollenden Reibung I~g~=i~ur-Ar~hi~

Nach Satz 7 der Arbeit yon S6hngen gilt: Ist G(~) in (--1, 1) eine Funktion der Klasse L p (p > 1) und werden solche L~suagen yon (40) gesucht, die in (--1, 1) einer Klasse Lq(q > 1) angeh~ren, so gilt, wean fiir l =4= :[: i

1--iX - - e ~2~ mit - - l < ~ a < 0 (43)

1 + i 2 ----

ist: Ist ,~ = i21 ,nit - - 1 =< 2a ~ 1, so hat die homogene Gleiehung nur die triviale L6sung. Liegt nieht in diesem Bereieh, so wird die allgemeine Lfsung der homogenen Gleiehung gegeben dureh

wobei

ist, und der Ausdruek

G(x) F(~) = ~ + ;2

sinJrc~ [i + ~ Fo(~) = - C ~ 0 - ~) \~----~/ '

+ 1

c = f F(})d~, - - 1

+ 1

1-? ~ ~ ~ ~ -k ~ l ~--~} x__Ttau 4- Fo(x) - - 1

liefert die allgemeine L6sung der inhomogenen Gleichung. Die Konstante + 1

C = f F(~)d~ - - 1

kann dabei beliebig vorgegeben werden. Da :~/C 1 >= 2 ist, ist die L6sung (45) zust~ndig. Far ~ ergibt sieh aus (43) und (41)

1

wobei

(44)

(45)

(46)

(47)

- C + 1 e 2 ~ = ~ (48)

- - - - 1 C

ist. Die Konstante C errechnetsich nach (46) und (38) zu + 1 + a

C = f F(~c) d ~ c = l f (p_4_iq) dx=__l (p_k iQ) . (49) a . a

- - 1 - - a

Hierbei bedeuten P und Q die Normal- und Schubkraft je Walzendicke. Far die Funktion F(x) erhahen wir zun/ichst nach (45) mit Beriicksichtigung yon (44) und

(49) sowie (42): G(~) 2 1 [1-}-~a 1 j//_ F(~)- -1+ X2 1+ ~ z~ l - -~] 1 - - ~ v~ + ( 1 - ~ ) J ~ ] + G l [ J 2 - ( 1 - } ) J a +(1-x)~ ' la]}

_ ( P _ ~ . Q \ s i n ~ [ 1 + ~ \ ~ (50)

I . (5o) bedeut~= J . J~ ~ d J~ die im Anhang angegebenen Integrale (4"), (5*) und (6*). Beaehtet man die Beziehungen (47) und (48), so wird im einzelnen

Ji : (1 - - i 2 fl) ~ C z , ]

J3 = - - f ~ - - C2 + i C (F-~-)I-- x ~ (far ; * < l ) . J

Die allgemeine LSsung fiir e(~) lautet dana wegen (50), (51), (41) und (42)

F(~) ---- p + i q -- V~_ c 2 VI~__ ~ (l + 4 fl~) - - 2 S* fl + P

XXVlI. Band I959 I{. Buffer: Zur Theorie der rollenden Reibung 147

Vor der aIlgemeinen Diskussion dieser Gleichung sei noch auf den Spe z i a l f a l l g l e i che r e l a s t i s c h e r K o n s t a n t e n der beiden Walzen eingegangen. Wegen C = 0 (d. h. /3 ~-0) geht (52) fiber in

1 1 {[P B~ ] [~Qa ~l} F(~) = p + i q - - ~ g ~ x x r q- - - B a x o x - - B a ~ ~ + i - - S * . (53)

Die Forderung, dab bei ~ = -b 1 der Druck p verschwinden mult (Randbedingungen), verlangt:

woraus ~ 0 = 0 und a -~ ~/2~BP, 1 ~

B a " 1 P(~) = 7 - V1 - - x

als die Hertzsche Druckverteilung folgt.

(54)

Die Schubspannungq sei zunachst fiir den Fall untersucht, dab ke in R o l l e n stattfindet, sondern bei volikommener Haftung auf die mit der Kraft P bereits zusammengedriickten Walzen die Querkraft Q wirkt [Fall II, A, a)]. Da unter diesen Umstanden keine Relativdehnung (s,~ - - 8 x t ) y = 0 m/Sglich ist, folgt wegen (23) S* = 0, und wir bekommen damit aus (53)

q ( x ) _ ~ Q 1 (55) 0z a U~_~2

Diese Verteilung ware wegen der Singularitaten bei ~ = ~ 1 nur bei einem unendlich grogen Reibungskoeffizienten miiglich, so dab sich in der Praxis neben einem mittleren Haftgebiet zwei seitiiche Gleitzonen ausbilden. Falls die beiden Walzen jedoch aufeinander a b r o l l e n [Fall III, A, a)], ist ein Schlupf vorhanden, der im Haftfall ein reiner Form/inderungsschlupf ist. Wegen (53) gilt hier

Q S*~ 1 a

q(~) = u 1 ; 1 • Fordert man, dab auf der Anlaufseite (unter Zugrundelegung des Rades 2 als Antriebsrad ent- sprechend Abb. 1 c), also bei Y = 1, die Schubspannung null wird, so ergibt sich

s* =Q-- G

und

1 Q ~/~--~ (56) q(x) - ~ ~ 7 ~

in {)bereinstimmung mit der yon L. Fiippl x angegebenen Formel. Wir wollen uns nun dem Fa l l v e r s c h i e d e n e r e l a s t i s c h e r K o n s t a n t e n der beiden Walzen

zuwenden und untersuchen, bei welchen Bedingungen hier Liisungen mSglich sind. Aus physi- kalischen Grfinden mfissen wit fordern, dab bei ~ = ~ 1 der Druck null werden muB (Rand- bedingungen). Wegen (52) ist dies jedoch nur mfglich, wenn

B a 20 = 0 , (a)

B a ( l + 4 f l 2 ) - - 2 S * f i + P B a (b) 2 a

Q-- + 2 B axofl = 0 (c) a

2 B a t i k S * = 0 . (d)

Aus den Bedingungen (a) his (d) erhalt man

B ~ (1 + 4/~) (57) x 0 = 0 , Q = o , S* = 2 B a i l , P = ~ - .

Dieses Ergebnis besagt, daB bei vollkommenem Haften und unter Voraussetzung eines konstanten Schlupfes die Handbedingungen nut dann erffillbar sind, fails keine Querkraft wirkt [Fall I, B, a)]. Die halbe Breite der Berfihrungszone ergibt sich aus (57) zu

~/( 2 P (58) a = 1 +4fi2) B "

1 Siehe Fuilnote 1 yon Seite 137; (dort S. 11),

148 I-I. Bufler: Zur Theorie der rollenden Reibung Ingenieur-Archiv

and far die Druck- und Schubspannungsverteilung erh/ilt man wegen (52) mit (57) die Formeln

[fi ( 1 + 5 ) ] (59) B a ~ l - - ~ c o s In =

l q - ~ -

Die ~bertragung einer Normal- und Querkraft [F~ne II, B, a) und III, B, a)] ist also bei voll- kommener tIaftung fiir verseMedene elastisehe Konstanten der Walzen nieht m6glieh, selbst wenn man einen unendlieh groflen lteibungskoeffizienten voraussetzt. Der Grund hierfiir liegt darln, dab die ~3bertragung einer Querkraft auf unendlich groSe Druckspannungen an den Ecken fahren wiirde, was mit den Randbedingungen nicht vertr/iglich ist i.

Wie aus (59) und (60) hervorgeht, wechseln p und q in unmittelbarer N~ihe der Ecken ~ : -b 1 theoretisch unendlich oft das u Der oszillierende Spannungsverlauf kana dutch die wechselseitige Beeinflussung yon p und q erkl/irt werden und beruht auf der Voraussetzung eines konstanten Schlupfes. Da jedoch 1/ings der Beriihrungsfl~iche kein Zug iibertragbar ist, folgt daraus, dab diese Voraussetzung nicllt korrekt erfallt ist. Nach (59) und (60) liegt die erste Null- stelle yon p im Falle C ----~r/2 bei

= • i - - 2 e g~ = _}_ [i - - 2 , 5 . 1 0 - ~ ] ,

also praktisch bei ~ = d: 1, so dab das sinusartige Verhalten auf die unmittelbare Umgebung der Eckpunkte, wo p und q fast schon auf den Weft null abgesuaken sind, beschrankt ist. Das erste negative Maximum vonp tritt far C : ~r/2 bei ~ = • [1 - - 3,7.10 -5] aufund betr~igt, wie eine einfache ltechnung zeigt, weniger als 1% des Drucks bei ~ : 0. Aus diesen Griinden kann man sagen, dab die Gleichungen (59) und (60) trotzdem brauchbare LSsungen far den Fall I, B, a) darstellen.

Im folgenden soil der Verlauf der tangentialen Randspannung (a~)y = 0 berechnet werden. Da- fiir gelten die Gleichungen (33) und (34). Wir gehen zweckm~igig yon der aus (52) mit (57) folgeaden komplexen Funktion

F ( ~ ) - ] f ~ V l - - x ~ ) (61)

aus, welche far den betrachteteja Fall zustandig ist, und bilden zun~iehst + i +i 1-4-u 3

(fi du -- B a du. (62) - - I - - i

Die L~sung fiir das vorstehende Integral findet man im Anhang, Gleiehung (7*). Setzt man dort a = - i fl und beaehtet die Beziehung (48), so folgt

1 d- x - - t g~_~_ ~ V x q_ ~) far < 1,

J~ = - - ~n ~ - - C s ( i - - i 2 fl) d- - �9 - ~ / ~ - - i \ - - "~ i s 1 q - x - - - ~ [ V x - - 1 [ ~ ) f.r > 1,

und man erh~ilt far den Imaginarteil von (62) d-I q-1

@ : ~ F(~ ) ,_ i _q(~ ) _ __ au = d ~ X - - U X - - I t

- - 1 - - 1

c -2 i + x ~ , [ _ _ ~ l - - x eos[/~ln[ 1 +_~] far < 1 : B a 2/~ - - J l/~2 - - C~ [ ~1 - - ~]J (63)

~ - ~ x - - l s m /31n ~ ffir ~ S > l .

Nach Einsetzen yon (63) in (33) und (34) unter Beriicksichtigung yon (59) ergeben sich die Formeln

4 ( 2 ) t ( a ~ ) y = 0 : • E-EC--I far i S < l ,

( 6 4 )

[ ~ r ~-1~ 1sin ~ In ( ~ ) l } far ~2 2 2/~ [~[ (a~)~=0 = • a - - > 1,

wobei das obere u far Walze 1, das untere fiir Walze 2 zustandig ist.

1 u hierzu H, Buffer, Z. angew. Math. Mech. 39 (1959) S. 218.

XXVII. Band 1959 H. Bufler: Zur Theorie der rolienden Beibung 149

Po'Po

Abb. 7. D r u c k p und Schubspannung q in der Beriihrungszone fiir die F/ille a, b und o t ei vollkommenem Haften und flir den Fall d bei verschwindender Reibung (Belastung nach Abb. la).

~ y - - o

0,25

- 0 , 5

Z

2

~b

m

Abb. 8. Tangentiale Randspannung (Crx)y = 0 im Rad 2 filr dic F/ille a, b und c bei vollkommenem Haften (Belastung nach Abbo la).

o 0,5

Abb. 9. Vcrh/iltnis q/p in der Berilhrungszone bei vollkommenem Haften (Belastung nach Abb. la).

150 H. Buffer: Zur Theorie der rollenden tleibung Ingen~eur-Arohlv

Abb. 7 zeigt den Verlauf der ffir die frfiher schon betrachteten F/ille a, b u n d c (siehe Tabelle 1 ; der Ileibungskoeffizient ju 0 wird bier jedoch so groB angenommen, daft kein Gleiten mSglich ist)

berechneten Spannungen p und q, welehe mit Po = VPE((1/~ -4-1/r2) dimensionslos gemaeht sin& Zum Yergleich hierzu ist der Fall d eingetragen, der statt a und c gilt, wenn keine Reibung vor- handen ist. Man sieht daraus, dab infolge der Ileibung ein grSBeres Druckmaximum auftritt als sich nach der Hertzschen Formel ergibt. Abb. 8 zeigt den Verlauf der tangentialen Randspannung (~)y = 0 im Rad 2 ffir die F/ille a, b und c. In Abb. 9 ist schlieBlich das Verh/iltnis p/q aufgetragen, und man erkennt daraus, dab der reine Haftfall nur bei einem unendlich grogen Reibungskoeffi- zienten msglich w/ire, so dab sich in Wirklichkeit neben einem mittleren Haftgebiet zwei seitliche Gleitzonen bilden. Auf dieses Problem, das eine gesonderte Untersuchung erfordert, soil jedoch an dieser Stelle nicht mehr eingegangen werden.

7. Anhang: Zusammenstellung und Ableitung einiger Integralformeln. Aus einer Arbeit yon H. Siihngen 1 entnehmen wit folgende Formeln:

+ c o

I f eSZez),~d z ( : 2 ~ ) 1 ganzzahlig nnd ~- (1 -~ ~--- ( - 1)n- 1 sin ~z s (0 < ~ s < n , n positiv), (1")

- -oo

1 ( ~ e ( 1 - - s ) z _~ J e~ e--~dz=e-~".etgzrs ( 0 < ~ s < l ) . (2*)

--cO

Hierbei kann s reell oder komplex sein; z und r sind reell. Femer wird das anschliegend abgeleitete Integral

+co 1 i e ( 1 - - s ) z e ~ S 8

) e+~--~- d~ ==~,~ ~ ~ ( 0 < M s < 1) (3*) --cO

benStigt. Zum Beweis yon (3*) betraehten wir voriibergehend z als komplexe Ver/inderliehe. Der Integrand f(z)-= h(z)/g(z) besitzt dann in der oberen Halbebene Pole erster Ordnung bei z , = ~ - l - i ~ ( 1 - ~ 2 n ) mit n = 0 , 1 , 2 , . . . , falls 0 < ~ s < l . Nach dem Residuensatz wird, wenn sich das Umlaufintegral fiber die obere Halbebene erstreckt,

~f(z) d z = 2 ~ i ~ - ' t l e s - = 2 ~ r i } ? / h ( z ) \ ~ = 2 ~ i I ~ ) ~ = o e . . . . . 27~ie--~(t+i~)~e--i2 ~=0 . . . . sinz~se_~ ~" ~r

Durch Aufteilung des Integrationswegs erh/ilt man

+co f f /(Od~+ f(Re'~)RieS~dq). Cf(z) d== --CO 0

reelle Aehse /~ + co Halbkreisbogen

Wie man leicht nachweisen kann, verschwindet jedoch der Halbkreisbogenanteil, womit (3*) bewiesen ist.

S/imtliche weitere benStigte Integrale lassen sich auf die Grundformen (1"), (2*) und (3*) zuriickffihren. Mittels der Substitution

e z - - 1

e ~ 1

wird ~ 1 +co

- - 1 --cO

und es folgt dureh Anwendung yon (1") + 1

fl /1--~\~ .- 2 Jr J l = / ~ ) d u = sin~cr ( - - 1 < 9 l a < 1 ) .

Ebenso erh/ilt man q-1 +co q-oo

~ dg = 2 - - 2 1) 8 dz \1 ~- / (e z -4- 1) 8 dz (e ~ + - - 1 --co --co

1 Siehe FuBnote 1 yon Seite 145; (dort Gleichungen (19) und (20)).

(4*)

XXVIL Ba~d 1959 H. Bufler: Zur Theorie der rollenden Reibung 151

und nach u yon (1") +1

J 2 = ~ u a t t = s i n z ~ (--l<~a< 1). (5")

- - i

BeimIntegralJ~= f \ ~ ] dghatmanzwisehendenF~illenx2<lundx2>lzuunterseheiden~" - - 1

I m F a l l ~2 < 1 subs t i t u i e r en wir m i t

e z + l ,

und b e k o m m e n zun~ichst

e2- - 1 I \

e~ + i ~a)

~-co

e ~ (1 - - . ) Ja = - - (i + e ~) (e" + 1) (e" - - e~) dz.

- - c o

N a c h P a r t i a l b r u c h z e r l e g u n g des I n t e g r a n d e n f o l g t + c o + c o

Ja = e ~ + ~ - d z -- e �9 -- e-- ~ d z . (b) - - o o - - c o

I m Fa l l .~2 > 1 schre iben wir e ~ @ 1 e~ e --i (c)

~ = ; . + i - ' mad m a n erh/ i l t in ana loger Weise

+oo +oo feZ(l-a) fez(1-~) Ja = e~ + ~ dz -- e~ -t- e~ dz. (d)

- - c o - - c o

W e n d e t m a n au f die u n t e r (b) u n d (d) s t ehenden I n t e g r a l e die Formeln (1"), (2*) u n d (3*) an, so e rg ib t sich schlieBlich bei B e a c h t u n g y o n (a) bzw. (c)

J+ 1 (I --U'Ic~\I g/ d~ -- ~ {i -/1 - 2]~ }2 ({ H- \1 § ~] cos = a f i i r < 1 ,

- - ~ sin ~r ~ {~ - - l~ ~ }2 (6")

mi t de r E insch r t i nkung 0 < ~ a < 1 . Es soil n u n noch das I n t e g r a l

+z

J4 = -(f Vi- 2 - - I

a u s g e w e r t e t w e r d e n 2. I m Fa l l ~ 2 < 1 wi rd mi t t e l s der S u b s t i t u t i o n (a)

+co ez ( 3 / 2 - - c 0

J~ -~ - - 2 (1 -}- e~) (e ~ - 1) ~ (e z - - e~) dz - - c o

und nach Partialbruchzerlegung des Integrandea +oo +co +oo feZ(l /2-a) e~ j" eZ(l/2-r 2 e' f

J a = - - 2 . ( e ' - ~ l ) 2 dz -f- 2 1 - + ~ e ~ + 1 dz l + e~ - - c o - - o o - - c o

I m Fa l l e ~2 > 1 e r h a l t e n wi t m i t (c) a u f en t sp r echende Weise +co -Fzo +oo fez(l/2-~x) 2 e~ f e"(1] 2-a)

Ja = - - 2 (e~ -~ 1) 2 dz 1 - - e ~, e z - t - 1

- - c o - - c o

1 Nur fiir X2 < 1 ist Ja ein uneigentliches Integral. 2 Nur fiir x2 < 1 ist Ja ein uneigentliches Integral.

e Z ( 1 / 2 - - ~ )

e z _ _ e x.

2e- ~ f e ~(1/2-~) dz -}- ~ e ~ + ee dz. (f) - - o o

152 H. Bufler: Zur Theorie der r011enden Reibung Ingenieur-Archiv

Die unter (e) und (f) stehenden Integrale lassen sich mit Hi l fe yon (1"), (2*) und (3*) berech- nen. Es folgt

[ e ,~_~ [1 -t- sin ~ a e - t ( W 2 +~)] fiir ~2 < 1,

cos~2~ - ? a A - c o s t a l e~ J4 [ ~ [ - - 1 -~-e -$(1/2+~)] f i ir ~ > 1 .

Beachtet man nun, dab wegen (a) bzw. (c)

fiir ~ < 1 e~ 1-~-~

l + e ~ 2 und fiir ~ 2 > 1

so erh~lt man:

er __ V1 _ ~2 l ~ e r 2

e~ 1 § ~ e~/2 ~ U ~ 1 1 - - e~ 2 1 - - e~ ! ~ I 2

+1

( 1 - ~ / ~ V ~ d~ = : ~ (1 + 2 J4----- j \1 § x - - u cos~ .

--1

J < 1 , 7C

_ _ ~ . / ~ 1 Ix - - 1\ ~ ~2 (7*) + ~ ~ + ~ ~ v x - /~4~ ) f~r > ~

1 1 mit der Einschr/inkung - - y < ~ a < ~-.

8. Zusammenfassung. Naeh einer t~bersicht der mit der rollenden Reibung zusammenhiingenden Probleme werden fiir verschiedene elasfische Konstanten der beiden Walzen die Beriihr- und Haftbedingung sowohl fiir den ebenen Spannungszustand als auch den ebenen Formanderungs- zustand exakt abgeleitet. Die das Problem beschreibenden Integralgleichungen fiir den Druckp und die Schubspannung q innerhalb der Beriihrungszone fiihren in den hier allein betrachteten Grenzfiillen des vollkommenen Gleitens und vollkommenen Haftens auf geschlossene L6sungen. AuBer p und q wird die ffir die Beurteihng der Beanspruchung wichtige tangeutiale Rand- spannung (a~)y=0 berechnet. Die Ergebnisse werden diskutiert und fiir die m6glichen Extrem- fiille (eine der beiden Walzen ist start; beide Walzen bestehen aus demselben Material) in Dia- grammen niedergelegt. Es zeigt sich, dab im reinen Gleitfall gegeniiber der Her t z schen Verteilung im wesentlichen nut eine Verlagerung des Druckmaximums erfolgt, wiihrend der reine Haftfall bei der Walzenpressung zu einer Erh6hung des Druckmaximums infolge der Reibung fiihrt.

(Eingegangen am 21. Juli 1958)

Anschrift des Verfassers: Dr.-Ing. Hans Bufler, Miinchen, Techn. Hochschule, Inst. fiir Techn. Mechanik