zur Vollversion - Netzwerk-Lernen · trigonometrische sowie Exponential- und Logarithmusfunktionen an (M 9 M 11) , I, III K 3, K 6 L 4 wenden ihre Kenntnisse über expo-nentielles

Reihe 18

S 1Verlauf Material LEK Glossar Lösungen

Funktionen und ihre Graphen

II/A

80 RAAbits Mathematik September 2014

Funktionen und ihre Graphen – Helfer im Alltag

Florian Borges, Traunstein

Ihre Schüler ermitteln Symmetrien an Funktionsgraphen, das Verhalten einer Funktion an

den Grenzen des Definitionsbereichs sowie im Unendlichen, lokale und globale Extrema,

Wendepunkte und Nullstellen. Sie erarbeiten sich die Besonderheiten bei verschiedenen

Funktionsfamilien exemplarisch. Lebensnahe Anwendungen runden den Beitrag ab.

Klasse: 11/12 (G8)

Dauer: 10–11 Stunden

Inhalt: Symmetrie des Graphen, Nullstellen,

Polynomdivision, Grenzverhalten, Stei-

gung, Ableitungsregeln, Extrempunkte,

Wendepunkte, Krümmung, verschiedene

Funktionstypen sowie Anwendungs-

beispiele aus Wirtschaft, Medizin, Sport,

Physik und Technik

Ihr Plus: ideal zur Vorbereitung auf das Abitur

Wiederholungsblatt und LEK auf

CD-ROM 55

x2+1

sin(x)

2 cos(x)

x5+x3–3x

Gy

Ex

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https://www.netzwerk-lernen.de/::14436.html

Reihe 18S 3

Verlauf Material LEK Glossar Lösungen


II/A


Weitere Ziele

Øfinden zielstrebig besondere Punkte des Graphen wie Nullstellen (etwa durch Poly-

nomdivision), y-Abschnitt, Extrema und Wendestellen,

Øvertiefen typische Eigenschaften verwandter Funktionen und

Ølernen, sich in Anwendungsbezügen mit den behandelten Hilfsmitteln zurechtzufin-

den.

Bezug zu den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz

Allg. mathe-

matische

Kompetenz

Leitidee Inhaltsbezogene Kompetenzen

Die Schüler ...

Anforderungs-

bereich

K 2, K 5 L 4 … erkennen experimentell sowie

algebraisch Zusammenhänge von Funk-

tionen und deren Symmetrieeigen-

schaften (M 1, M 2),

II

K 2, K 5 L 4 … bestimmen unter Verwendung von

Faktorisierung und Polynomdivision

besondere Punkte eines Graphen (M 3),

I

K 1, K 5 L 1, L 4 … untersuchen das Grenzverhalten von

Graphen an den Definitionsrändern sowie

im Unendlichen (M 5),

I

K 2, K 5 L 4 … wiederholen Ableitungsregeln und

untersuchen Graphen auf Extrempunkte

sowie Wendepunkte (M 6–M 8),

III

K 3. K 5 L 4 … modellieren den Verlauf einer Straße

anhand von Steigungs- sowie Krümmungs-

tabellen (M 7, M 8),

III

K 2, K 5 L 4 … wenden Sätze und Kriterien aus M 1–

M 8 auf rationale/gebrochenrationale,

trigonometrische sowie Exponential- und

Logarithmusfunktionen an (M 9–M 11),

I, III

K 3, K 6 L 4 … wenden ihre Kenntnisse über expo-

nentielles Wachstum sowie exponen-

tiellen Zerfall in den Bereichen Wirtschaft,

Medizin, Physik und Technik an (M 12).

II, III

Abkürzungen

Kompetenzen

K 1 (Mathematisch argumentieren); K 2 (Probleme mathematisch lösen); K 3 (Mathe-

matisch modellieren); K 4 (Mathematische Darstellungen verwenden); K 5 (Mit symbo-

lischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen); K 6 (Kommu-

nizieren)

Leitideen

L 1 (Zahl und Zahlbereich); L 2 (Messen und Größen); L 3 (Raum und Form); L 4 (Funk-

tionaler Zusammenhang); L 5 (Daten und Zufall)

Anforderungsbereiche

I Reproduzieren; II Zusammenhänge herstellen; III Verallgemeinern und Reflektieren

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Reihe 18S 4

Verlauf Material LEK Glossar Lösungen


II/A


Auf einen Blick

Einstieg: Erkennen von Besonderheiten eines Funktionsgraphen

Material Thema Stunde

M 1 Symmetrische Graphen sind schön!

Symmetrie zum Koordinatensystem

1.

M 2 Punkt- und Achsensymmetrien bei Funktionsgraphen

Weitere Symmetrien

M 3 Graphenschnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (inkl. Polynom-

division)

2.

M 4 Tippkarte zum Thema Polynomdivision (M 3)

M 5 Verhalten des Graphen an den Definitionsrändern

Verhalten an den Definitionsrändern und im Unendlichen

3.

M 6 Die Ableitungsregeln und die Tangentensteigung 4.

M 7 Auf und nieder! – Steigung und Extrempunkte

Steigung, Monotonieverhalten und Extrema

5.

M 8 Radfahren kinderleicht! – Krümmung und Wendepunkte

Krümmung und Wendepunkte

6.

Lernzirkel zu typischen Eigenschaften verschiedener Funktionsfamilien


M 9 Polynom- und gebrochenrationale Funktionen

Eigenschaften der Funktionsfamilie

7.

M 10 Trigonometrische Funktionen


8.

M 11 Exponential- und Logarithmusfunktionen


9.

Abschluss im Plenum


M 12 Anwendungen

Anwendungsaufgaben aus den Bereichen

Wirtschaft, Medizin, Sport, Physik und Technik

10. und

11.

Die Lösungen zu den Materialien finden Sie ab Seite 18.

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Reihe 18 Verlauf Material

S 5LEK Glossar Lösungen


II/A


M 5 Verhalten des Graphen

an den Defi nitionsrändern

Die Abbildung zeigt ausschnittsweise den

Graphen von1

f(x) 2x 1

= +−

mit Dei nitionsmenge df = r { }\ 1 .

Offensichtlich strebt der Funktionswert links

von der Dei nitionslücke („Pol“) bei 1 gegen −∞ ,

rechts davon gegen ∞ sowie rechts und links

für x → ±∞ gegen den Grenzwert 2. Bevor wir

diese Vermutung begründen, muss der Begriff

„Grenzwert“ klar dei niert sein:

Defi nition

Eine Funktion f hat für x a→ den Grenzwert c genau

dann, wenn f(x) beliebig nahe bei c liegt, falls man x hin-

reichend nahe bei a wählt.

Schreibweise: x alimf(x) c

→=

1f(x) 2

x 1= +

− besteht aus zwei Summanden: Der erste ist

1

x 1− und strebt für betrags-

mäßig über jede Schranke hinauswachsende x-Werte gegen 0, der zweite ist konstant

2, und es ergibt sich: xlim f(x) 2→±∞

= .

In der Nähe der Polstelle bei x = 1 kommt es darauf an, ob man sich dieser von links

nähert (dann ist x „eine Idee“ kleiner als 1, der Nenner von 1

x 1−somit um „eine Idee“

kleiner als 0, der Bruchterm 1

x 1− strebt also gegen −∞ ) oder von rechts (dann ist x

„eine Idee“ größer als 1, der Nenner von 1

x 1− somit um „eine Idee“ größer als 0, der

Bruchterm 1

x 1− strebt also gegen +∞ ). Der konstante Summand 2 spielt hier keine

Rolle.

Also: x 1

limf(x)<

→

= −∞ und x 1

limf(x)>

→

= ∞ .

Weitere Beispiele:

1. Bei Polynomfunktionen hat für x → ±∞ stets die höchste Potenz von x „Recht“:

a) 5 3

xlim ( 3x 1000x 2000)

→∞− + + = −∞ ; 5 3

xlim ( 3x 1000x 2000)→−∞

− + + = +∞

b) 4 3

xlim ( 3x 1000x 2000)

→∞− + + = −∞ ; 4 3

xlim ( 3x 1000x 2000)→−∞

− + + = −∞

y

x

G

E

f

f

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S 12LEK Glossar Lösungen


II/A



Lineares und exponentielles Wachstum – die kontinuierliche Verzinsung

Eine Bank biete einen Jahreszins von 100 % an (utopisch, aber gut zu rechnen). Dann

wird einer Einlage von 100 € nach einem Jahr der Zins von 100 € gutgeschrieben. Hebt

man diese Zinsen gleich ab und lässt den Guthabenstand auf 100 €, dann sammeln sich

im „Sparstrumpf“ daheim nach n Jahren genau 100 • n € Zinsen an. Das nennt man line-

ares Wachstum (jährlich um 100 € mehr). Lässt man die Zinsen auf dem Konto liegen,

dann werden sie schon im nächsten Jahr mitverzinst. Man nennt das den Zinseszins.

Wenn sich ein geschäftstüchtiger Mann

nach 1 Monat Zinsen gutschreiben lässt

(dann natürlich 12/100 %, also ein Zwölftel

des Jahreszinses), nach zwei Monaten wie-

der einschließlich Zinseszins für den ersten

Monat usw., dann wird durch die häui -

gere Gutschrift der Kontostand tatsächlich

schneller wachsen, bei täglicher, stündli-

cher, sekündlicher Gutschrift würde sich

der Effekt weiter verstärken, er hat aber

Grenzen: Selbst bei „kontinuierlicher“ Ver-

zinsung wächst das Vermögen nicht unbe-

grenzt. Wird der Zins in n gleich großen

Bruchteilen eines Jahres verbucht, dann

beträgt der Kontostand nach diesem Jahr

n n

n100 1100 € 1 100 € 1 100 € e 271,83 €

100 n n

→∞ ⋅ + = ⋅ + → ⋅ ≈ ⋅ ( e 2,718281...= )

Eine Besonderheit der e-Funktion xf(x) e= : Die Ableitung dieser Funktion ist sie selbst: xf'(x) f(x) e= = . Sie liefert immer positive Werte und hat einen eher langweiligen Gra-

phen, ebenso ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus eln(x) log (x)= zu eben

dieser Basis e, dessen Ableitung die Hyperbelfunktion 1

x (x ≠ 0) ist.

Weit spannender sind die Graphen verknüpfter Funktionen wie2 xf(x) (x 1) e= − ⋅ :

Aufgabe

Untersuchen Sie folgende Funktionen zunächst auf max. Dei nitionsbereich, Symmetrie

zum Koordinatensystem, Verhalten an den Dei nitionsrändern, Schnittpunkte mit den

Achsen sowie Extrem- und Wendepunkte. Skizzieren Sie die Graphen.

1. 2x

1g (x) e−=

2. 2 x

2g (x) x e= ⋅

3. 3g (x) x ln(x)= ⋅

4. x

4 2

eg (x)

x=

y

x

ex

ln(x)

Merke („Die e-Funktion hat Recht!“):

1. Die e-Funktion „überholt“ irgendwo jede

Potenzfunktion, also x

nx

elim

x→∞= ∞ ∀ n ∈ n.

2. Die ln-Funktion wächst langsamer als jede

Potenzfunktion, also nx

ln(x)lim 0

x→∞= ∀ n ∈ n.

y

x

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Reihe 18 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen

S 2


II/A


35g (x) 3x 2x 1= + − ; sowohl ungerade als auch gerade Hochzahlen

(0) bei x, also keine Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse.g3 ist punktsymmetrisch zum Punkt (0|–1).

3 3 1 05g (x) 3x 2x 1 3x 2x 1x= + − = + −

37g (x) 3x 2cos(x)= + ; die Funktion 33x ist ungerade, die Funktion

2cos(x) ist gerade, also nicht symmetrisch.

29g (x) 3x 2cos(x)= + ; Summe gerader Funktionen, also

Symmetrie zur y-Achse.

E

Gy

x

36g (x) 3x 2sin(x)= + ; Summe ungerader Funktionen ist

ungerade, also punktsymmetrisch zum Ursprung.

Gy

Ex

Gy

Ex

28g (x) 3x 10sin(x)= + ; die Funktion 23x ist gerade, die

Funktion 2sin(x) ist ungerade, also nicht symmetrisch.

Gy

Ex

Gy

Ex

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S 7


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M 8 Radfahren kinderleicht! – Krümmung und Wendepunkte

a) 3 2 21 1 1

1g (x) x x 2x g '(x) x 2x 2 g ''(x) 2x 2 0; x 1

3= − − ⇒ = − − ⇒ = − = ⇒ =

x 1< x 1>

Vorzeichen von 1g ''(x) – +

Graph von 1g (x) rechts gekrümmt links gekrümmt

WP bei 2

1| 23

− ; Skizze: siehe Lösungen M 7 a)

b) 5 3 4 2 32 2 2 1 2,3g (x) x x 2x g' (x) 5x 3x 2 g'' (x) 20x 6x 0 x 0; x 0,3= − − ⇒ = − − ⇒ = − = ⇒ = = ±

x 0,3 0,55< − ≈ − 0,3 x 0− < < 0 x 0,3 0,55< < ≈ 0,3 x<

Vorzeichen

von 2g ''(x)– + – +

Graph von

2g (x)rechts

gekrümmtlinks

gekrümmtrechts

gekrümmtlinks

gekrümmt

Wendepunkte bei 1 2,3x 0; x 0,3= = ±

Skizze: siehe Lösungen M 7 b)

M 9 Polynom- und gebrochenrationale Funktionen

1. 4 2g(x) x 5x 4= − + hat nur gerade Hochzahlen bei x, also ist g( x) g(x)− = , und damit ist der Graph achsensymmetrisch zu x = 0; die führende Potenz von x ist 4 und damit gerade, also gilt

xlim g(x)→±∞

= ∞ , der y-Abschnitt ergibt sich wegen g(0) 4= zu 4, die

Nullstellen lassen sich durch Substitution finden: Sei z := x2

21,2

1 1,2 2 3,4

5 25 16 5 3z 5z 4 0; z ;

2 2z 4; x 2; z 1; x 1;

± − ±− + = = =

= = ± = = ±.

3 2g'(x) 4x 10x 2x(2x 5) 0= − = − = für x 0= mit VZW von + nach

– (also Hochpunkt) – sowie für

x 2,5= ± jeweils mit VZW

von – nach +, also Tiefpunkte.

2g''(x) 12x 10 0= − = für 5

x6

= ±

jeweils mit VZW, also Wende-

punkte.

2. siehe nebenstehende Skizze

y

x

zu Aufg. 2

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S 9


II/A



1.2x

1g (x) e−= ; df = r; Symmetrie zur y-Achse,

1xlim g (x) 0→±∞

= ; y-Abschnitt bei 1; 2x

1g '(x) 2xe 0−= − =

bei x = 0 mit VZW von + nach –, also Hoch-

punkt; ( )2 2 2x 2 x x 2

1g ''(x) 2e 4x e 2e 1 2x 0− − −= − + = − − =

für x 0,5= ± mit VZW ⇒ Wendepunkte.

2.

Graph:2 x

2g (x) x e= ⋅ ; df = r; keine Symmetrie (e-Fkt.!),

doppelte Nullstelle bei 0; 2xlimg (x)

→∞= ∞ ; 2

xlim g (x) 0→−∞

= .

( )x 2 x x

2g '(x) 2x e x e x 2 x e 0= ⋅ + ⋅ = + ⋅ = für x = 0

mit VZW von – nach +, also Tiefpunkt, sowie bei

x = –2 mit VZW von + nach –, also Hochpunkt.

( )2 x

2g ''(x) x 4x 2 e 0= + + ⋅ = für 1,2x 2 2= − ±

jeweils mit VZW, also Wendepunkte.

3.

3g (x) x ln(x)= ⋅ ; df ]0; [= ∞ ;

keine Symmetrie (ln!),

3xlimg (x)

→∞= ∞ ; 3

x 0

limg (x) 0>

→

= ;

Nullstelle bei x = 1 wegen ln; 3g '(x) ln(x) 1 0= + =

bei 1

xe

= mit VZW von – nach +, also Tiefpunkt;

3

1g ''(x) 0

x= ≠ ,

also keine Wendestellen.

4. x

4 2

eg (x)

x= ; df = r \ {0}, keine Symmetrie, doppelte Polstelle bei 0, also ohne VZW,

keine Nullstellen, weil Zähler immer positiv;

4xlimg (x)

→∞= ∞ ; 4

xlim g (x) 0→−∞

= ; 4x 0lim g (x)→±

= ∞ ;

( ) x2 x x

4 4 3

x 2 ex e 2xeg '(x) 0

x x

−−= = =

bei x = 2 mit VZW von – nach +, also Tiefpunkt; 2

x

4 4

x 4x 6g ''(x) e 0

x

− += ≠ , also keine Wendepunkte.

Graph:y

x

G

E

y

x

G

E

Graph:y

x

G

E

y

x

Graph:G

E

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