Reihe 15S 1

Verlauf Material LEK Glossar Lösungen

Binomialverteilte Zufallsgrößen betrachten

I/E

67 RAAbits Mathematik Juni 2011

Klasse: 10

Dauer: 7 Stunden

Inhalt: Binomialverteilte Zufallsgrößen, Prognose, Standardmodell, Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette, Galton-Brett, Erwartungswert

Ihr Plus: Experimentelles Vorgehen, entdeckendes Lernen

Die hungrige Maus und mehr –

binomialverteilte Zufallsgrößen betrachten

Karin Richter; Silvia Schöneburg, Halle

Die hungrige Maus hat Schnupfen. Deshalb kann sie sich nicht auf ihren Geruchssinn verlassen, sondern muss an jeder Wegkreuzung nach Gutdünken entscheiden, ob sie links oder rechts geht. Sie geht nur vorwärts. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird sie den Käse finden? Hat sie überhaupt eine reale Chance?

Viele Zufallsexperimente lassen sich als eine Bernoulli-Kette der Länge n modellieren und führen dann auf eine Binomialverteilung. Das Labyrinth der Maus ist ein Beispiel dafür. Lassen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler mit Excel die Einzelwahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung berechnen und das zugehörige Histogramm zeichnen.

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Reihe 15S 2

Verlauf Material LEK Glossar Lösungen

Binomialverteilte Zufallsgrößen betrachten

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67 RAAbits Mathematik Juni 2011

Didaktisch-methodische Hinweise

Die experimentelle und selbst entdeckende Auseinandersetzung mit der hungrigen Maus macht die Schülerinnen und Schüler in einprägsamer Weise mit binomialverteilten Zufalls-größen vertraut. Auch Schrotkörner, die durch ein Galton-Brett fallen, lernen die Schüle-rinnen und Schüler kennen. Zugleich werden am Labyrinth der Maus, einem Modell für eine Bernoulli-Kette, die wesentlichen Züge einer binomialverteilten Zufallsgröße deutlich.

Entdeckendes Lernen

Die Arbeitsblätter lassen viel Spielraum, selbstständig zu experimentieren und die gewonnenen Einsichten zu reflektieren. Anhand des Maus-Experimentes sollen die Schülerinnen und Schüler beschreiben, was eine Bernoulli-Kette ist, was sie unter einem Laplace-Modell verstehen und wie man eine Binomialverteilung darstellen kann (ent- weder tabellarisch oder durch ein Histogramm). Auch die beiden Pfadregeln im Baum- diagramm werden wiederholt. Schließlich erkennen die Lernenden, dass das Pascal’sche

Dreieck eine Darstellung der Binomialkoeffizienten n

k

ist.

Theoretische Zusammenhänge werden anhand anschaulicher Beispiele verständlich. Dadurch kann man sie auf andere Bereiche übertragen. Die gedankliche Entwicklung erfolgt schrittweise – vom Spezialfall der symmetrischen Binomialverteilung hin zu einer allgemeinen Binomialverteilung, bei der p ≠ 1 – p.

Die Art der Aufgabenstellung fördert die Kompetenz des mathematischen Argumen-tierens und Kommunizierens. Die Arbeitsmaterialien sind so aufbereitet, dass sie unter-schiedlichste Sozial- und Arbeitsformen zulassen.

Lerntagebuch

Setzen Sie ein Lerntagebuch ein. Dies bietet sich aufgrund des hohen Maßes an Selbst-tätigkeit und entdeckendem Lernen bei der Auseinandersetzung mit diesem Beitrag an.

Mithilfe eines Lerntagebuches sollen die Schülerinnen und Schüler ihre individuellen Lernprozesse zum Themengebiet Binomialverteilung dokumentieren und reflektieren, Ideen, Gefühle, aber auch Fehler und Probleme festhalten. Es dient als Stütze bei selbst gesteuertem und kreativem Arbeiten, fordert und fördert gleichzeitig aber auch die Fähigkeit, seine Gedanken schriftlich ausdrücken zu können.

Weisen Sie die Schülerinnen und Schüler darauf hin, dass keineswegs fertige, stilistisch wohldurchdachte Texte erwartet werden. Im Gegenteil, Skizzen, Anmerkungen und auch unfertige Texte sind sogar erwünscht.

Natürlich bedarf auch der Umgang mit einem Lerntage-buch einer gewissen Zeit der Gewöhnung, bis man mit diesem Arbeitsmittel vertraut ist. Zeigen Sie Ihren Schülerinnen und Schülern Ausschnitte aus Lerntage-büchern. Erläutern Sie die Vor- und Nachteile einer solchen Dokumentationsweise und/oder geben Sie den Lernenden eine Art Strukturierungshilfe für ihre Lernta-gebücher.

Die hier vorliegenden Arbeitsmaterialien unterstützen die Phase des Vertrautwerdens und geben zum Teil ganz genaue Aufträge, die im Lerntagebuch behandelt werden sollen. Achten Sie bitte darauf, dass das Lernta-gebuch kontinuierlich geführt wird.

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Reihe 15 S 5

Verlauf Material LEK Glossar Lösungen

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Auf einen Blick

Stunde 1: Ein Experiment als Einstieg (Ziehen mit Zurücklegen) und

Stunde 2 – 4: Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet die Maus den Käse?

Material Thema

M 1 Strumpf mit farbigen Chips – Ziehen mit Zurücklegen

Ziehen mit Zurücklegen; Prognose; relative Häufigkeit; Bernoulli-Kette der Länge n; empirisches Gesetz der großen Zahlen

M 2 Links oder rechts? − Wege-Problem einer hungrigen Maus

Experimentell die (symmetrische, P(L) = P(R) = 1/2) Binomialverteilung erarbeiten; Pascal’sches Dreieck

M 3 Der Maus auf der Spur – mathematisches Handwerkszeug

Wichtige Begriffe der Stochastik durch Beispiel erklären: Bernoulli-Versuch, Laplace-Modell, Bernoulli-Kette der Länge n, Baumdiagramm zu einem mehrstufigen Zufallsversuch, 1. und 2. Pfadregel, Pascal’sches Dreieck, Wahrscheinlichkeitsverteilung (Tabelle, Graph)

M 4 Ein Linkspfoter – unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten

Experimentell die unsymmetrische (P(L) ≠ P(R)) Binomialverteilung erarbeiten; die Formel zur Berechnung von Binomialwahrscheinlichkeiten herleiten; mit Excel arbeiten: den Einfluss des Parameters p untersuchen und die Daten geeignet darstellen

Stunde 5/6: Galton und de Moivre – Wissenschaftler und der Erwartungswert

Material Thema

M 5 (Fo) Forschen mit Grips – Pascal, Bernoulli, de Moivre, Galton

Die Persönlichkeit der beteiligten Mathematiker/Naturwissenschaftler kennenlernen

M 6 Francis Galton und sein Qui(n)cunx

Sich einen historischen Text erschließen; Säulendiagramm und Erwar-tungswert der Binomialverteilung

M 7 Würfel und Gewichte – der Erwartungswert

Ein stochastisches Problem von Abraham de Moivre untersuchen; die Formel für den Erwartungswert auf anschaulichem Wege herleiten

Stunde 7: Eine Anwendung des Gelernten

Material Thema

M 8 (LEK)

Schulsprecher gesucht! – Das Gelernte anwenden

Die Wahl des Schulsprechers mithilfe der Binomialverteilung modellieren

Minimalplan

Die Arbeitsblätter M 2 – M 4 bauen aufeinander auf, sodass Sie sie zusammenhängend behandeln sollten. Verzichten Sie bei Zeitnot auf M 6, den historischen Exkurs, und ggf. auch auf M 8, die LEK (Anwendungsaufgabe) zur Binomialverteilung.

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Reihe 15 Verlauf MaterialS 1

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M 1 Strumpf mit farbigen Chips – Ziehen mit

Zurücklegen

Vorbereitung

Vor dir liegen gelbe und blaue Chips. Präpariere für deine Partnerin/deinen Partner versteckt einen Strumpf mit diesen Chips, und zwar so, dass der Strumpf insgesamt genau 20 Chips enthält. Tausche den Strumpf mit ihr/ihm. Ihr sollt beide eine Prognose (= Vorhersage) abgeben, wie viele gelbe und wie viele blaue Chips euer jeweiliger Strumpf enthält.

Folgendes Experiment hilft dir dabei:

Ziehen mit Zurücklegen

– Ziehe blind und willkürlich einen Chip aus dem Strumpf.

– Schreibe dir seine Farbe auf.

– Lege den Chip in den Strumpf zurück.

– Schüttele den Strumpf kräftig, damit sich sein Inhalt gut durchmischt.

Aufgabe

a) Wiederhole dieses Vorgehen so lange, bis du glaubst, eine gute Prognose über die Farbverteilung der Chips in deinem Strumpf abgeben zu können.

b) Kannst du deiner Vorhersage wirklich trauen? Fange mit der Untersuchung deines Strumpfes noch einmal von vorne an und verschaffe dir wie unter a) eine zweite Prognose. Diskutiere mit deiner Partnerin/deinem Partner, warum die beiden Prognosen unterschiedlich ausfallen können. Überlegt, wie eine Versuchsserie für eine sicherere Strumpf-Prognose aussehen müsste.

c) Überprüfe deine Prognose: Nimm alle 20 Chips auf einmal aus deinem Strumpf. Berechne für die nun vor dir liegenden 20 Chips die Wahrscheinlichkeit, aus diesem Haufen zufällig einen blauen/gelben Chip zu ziehen.

d) Vergleiche berechnete Wahrscheinlichkeit und Prognose. Was fällt dir auf? Formuliere, welche Gesetzmäßigkeit der Stochastik sich dahinter verbirgt.

Fertige eine Tabelle an, in die du die Farbe des gezo-genen Chips einträgst.

Gib für die Ziehungsserie die absolute und relative Häufigkeit an, einen blauen/gelben Chip zu ziehen.

Wie hängen relative Häufigkeit und Wahrscheinlich-keit zusammen?

Nummer der

Ziehung

Farbe des

gezogenen

Chips

1

2

3

4

5

6

7

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M 2 Links oder rechts? –

Wege-Problem einer hungrigen Maus

Die hungrige Maus Jenny hat Schnupfen. Deshalb kann sie sich nicht auf ihren Geruchssinn verlassen, sondern muss an jeder Wegkreuzung nach Gut-dünken entscheiden, ob sie links oder rechts geht. Sie geht nur vorwärts.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird sie den Käse finden? Hat sie überhaupt eine reale Chance?

Aufgabe

a) Versuche, einen Weg zu finden, der die Maus zum Käse-Fach führt und notiere diesen in geeigneter Weise.

b) Wie viele verschiedene Wege zum Käse gibt es insgesamt?

c) Berechne, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Maus den Käse erreicht.

zu a):

Den Weg kannst du durch eine Folge der Buchstaben L und R beschreiben. L steht für links, R für rechts (Blickrichtung = von der Maus aus gesehen).

zu b):

Es gibt einen Zusammenhang mit dem Pascal’schen Dreieck. Finde heraus, worin dieser besteht.

zu c) (Weg 1):

Die Maus muss sich 6-mal entscheiden, ob sie links oder rechts geht, wobei beide Rich-

tungen gleich wahrscheinlich sind (1

P(L) P(R)2

= = ). Deshalb kann man das Experiment

als Laplace-Experiment auffassen.

( ) Anzahl der Wege, die zum Käse führenP Maus findet Käse

Anzahl aller möglichen Wege=

zu c) (Weg 2):

Man kann sich das Problem in einem Baumdiagramm veranschaulichen. Es gilt:1

P(L) P(R)2

= = . Jetzt braucht man nur noch die 1. und 2. Pfadregel.

Das Baumdiagramm hat natürlich noch mehr (insgesamt sechs) Ebenen und ist aus Sicht der Maus beschriftet.

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Reihe 15 Verlauf MaterialS 3

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M 3 Der Maus auf der Spur –

mathematisches Handwerkszeug

Aufgabe: Tina und Tom haben in ihrem Mathematikbuch geblättert. Ihre Ideensammlung siehst du hier. Entwirf eine Tabelle, um ihre Ideen zu ordnen. In die linke Spalte schreibst du den mathematischen Begriff; in die rechte Spalte ein konkretes Beispiel. Orientiere dich an der Maus-Aufgabe.

Manchmal musst du das Gegenstück zu einem Feld selbstständig ergänzen.

Mögliche Wege der

Maus

Jenny:

L L L L L L R L L L L L L R L L L L L L R L L L L L L R L L L L L L R L . . . R R R R R L R R R R R R

Bernoulli-Versuch:

Ein zufälliger Versuch mit genau zwei möglichen Ausgängen:

P(Ausgang 1) = p,

P(Ausgang 2) = 1 – p.

Anzahl k

der L-Ent-

scheidungen

im Weg der Maus

P(k-mal L

im Weg der Maus)

0 1/64 = 0,015625

1 6/64 = 0,09375

2

3

4

5

6

P(Maus findet Käse)

= P(…-mal L und

…-mal R im Weg der

Maus) = ……………….

1. Pfadregel: …..

2. Pfadregel: …..

Laplace-Modell:

Endlich viele mögliche Ausgänge, die alle ...

Baumdiagramm zu einem mehrstufigen Zufallsversuch

Bernoulli-Kette der Länge n:

Ein Bernoulli-Versuch wird n-mal hinter-einander wiederholt.

Achtung: Die einzelnen Wiederholungen beeinflussen einander nicht. Die Einzel-versuche haben alle die gleiche Wahr-scheinlichkeit.

Pascal’sches

Dreieck

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Reihe 15 Verlauf MaterialS 6

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67 RAAbits Mathematik Juni 2011

M 5 Forschen mit Grips –

Pascal, Bernoulli, de Moivre, Galton

Blaise Pascal (1623–1662) Foto: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/

3/38/Blaise_Pascal.jpeg

Jakob Bernoulli (1655–1705)Foto: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

history/Mathematicians/Bernoulli_Jacob.html

Abraham de Moivre (1667–1754)Foto: University of York: Portraits of Statisticians

Sir Francis Galton (1822–1911)Foto: National Portrait Gallery, London

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Reihe 15 Verlauf Material LEK Glossar LösungenS 1

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67 RAAbits Mathematik Juni 2011

Lösungen und Tipps zum Einsatz

M 1 Strumpf mit farbigen Chips – Ziehen mit Zurücklegen

Lassen Sie jede Schülerin und jeden Schüler einen (sauberen) Strumpf mit in den Unterricht bringen. Außerdem benötigen Sie für je zwei Schülerinnen und Schüler etwa 40 gelbe und 40 blaue Chips. Chips in dieser Anzahl lassen sich in Warenhäusern und Spielwarenläden kaufen.

Das Arbeitsblatt ist für Partnerarbeit konzipiert. Die Lernenden überprüfen ihre Vorher-sagen mithilfe einer Berechnung selbstständig. Sie reflektieren die erzielten Ergebnisse.

Aufgabe

a) Eine Prognose könnte z. B. lauten, dass etwa gleich viele gelbe und blaue Chips im Strumpf sind, also etwa je 10 Stück.

b) Die relativen Häufigkeiten hängen von der konkret zugrunde gelegten Versuchs-reihe ab. Bei einer zweiten Versuchsreihe können die Ergebnisse schon wieder ganz anders aussehen. Wichtig ist, dass die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass ihre Prognosen sicherer werden je höher die Anzahl der Versuche pro Versuchsreihe ist.

c) Die relativen Häufigkeiten berechnet man folgendermaßen:

Anzahl der gelben ChipsP(Chip ist gelb)

Anzahl aller Chips im Strumpf

Anzahl der blauen ChipsP(Chip ist blau)

Anzahl aller Chips im Strumpf

=

=

d) Lassen Sie die Lernenden folgende Sätze in ihrem Lerntagebuch festhalten. Bei Zeitnot kopieren Sie den Abschnitt in Klassenstärke. Die Lernenden kleben ihn in das Heft ein.

1. Beim Ziehen eines Chips aus einem Strumpf und dem Feststellen der Farbe des Chips handelt es sich um ein Zufallsexperiment. Die gezogene Farbe hängt vom Zufall ab.

2. Eine Prognose ist eine Vorhersage über den Ausgang eines Zufallsexperimentes.

3. Speziell der Strumpf-Versuch ist ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ausgängen (Chip gelb oder Chip blau). Solche Zufallsexperimente nennt man Bernoulli-Experimente (Jakob Bernoulli: 1655–1705).

Führt man ein Bernoulli-Experiment n-mal durch, so spricht man von einer Bernoulli-

Kette der Länge n. Bei Bernoulli-Ketten müssen die Trefferwahrscheinlichkeiten der einzelnen Bernoulli-Experimente gleich sein. Außerdem müssen die Einzelexpe-rimente voneinander unabhängig sein. Deshalb muss man beim Ziehen aus dem Strumpf den Chip nach jedem Zug wieder in den Strumpf zurücklegen.

4. Empirisches Gesetz der großen Zahlen:

Nach einer hinreichend großen Anzahl n von Durchführungen eines Zufallsexperi-mentes stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten h(A) eines Ereignisses A.

Wenn also unter 20 Ziehungen 9 gelbe Chips waren, muss man dieses Experiment (20 Ziehungen) z. B. 50-mal oder häufiger durchführen, um mit hinreichender Sicherheit sagen zu können, dass im Strumpf tatsächlich 9 gelbe Chips sind.

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