PHYSIK II

Zusammenfassung zur Vorlesung von Prof. Dr. D. Pescia

Lukas Cavigelli, Januar 2011

lukasc@ee.ethz.ch

QUANTENMECHANIK

KONSTANTEN

Massenzahl: #Protonen + #Neutronen

Kernradius: ⁄

Massenzahl: Elektronenvolt:

Rydbergkonstante:

Red. Planck Wirkungsquant.: Plank’sches Wirkungsquantum:

EINFÜHRUNG

TUNNELEFFEKT

Coulomb Barriere (Potential Barriere):

Mit : # Elementarldg im Kern, : #austretende Elementarldg Bsp:

:

ANOMALIE DER SPEZIFI SCHEN WÄRME

Klassisch: spez. Wärmekapazität

konstant (

)

Modern: spez. Wärmekapaz. temperaturabh.

ATOMSPEKTREN

Balmer Serie (Frequenzen der Spektrallinien des H-Atoms):

.

/ mit , : Riedbergkonstante

FRANK-HERTZ VERSUCH

Spitzen bei , gemessene Wellenlänge:

Dies folgt aus der Bedingung

BLABLA

Beugung an einem 1D-Gitter:

Einfallende Welle: ( ) ( )

Gebeugte Welle (Helmhotz-Wellengleichung):

( ) ( ) Schrödingergleichung:

( ) ( )∑ ( ( ))

⏟ ( )

WELLENMECHANIK

POSTULAT: DE BROGLIE: WELLENFUNKT ION

Wellenfunktion für freie Teilchen:

( ) ( )

Nach de Broglie: ⁄

Klassisch: | | √

POSTULAT: MAX BORN

Statistische Deutung der Wellenfunktion. : eine Region des Konfigurationsraum (euklidischer Raum) Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Gebiet :

( ) ∫ | ( )|

∫ | ( )|

wobei ∫ | ( )|

die W-keit beschreibt, dass sich das

Teilchen irgendwo befindet, kann als gewählt werden. Das bedeutet u.a., dass eine Wellenf. normierbar sein muss. W-keit, dass sich das Teilchen in um befindet:

( ) | | Die W-keitsdichte ist folglich | | . Die kompl. Wellenfunktion ist demnach die W-keits-Amplitude. Mathematischer Trick: Falls das Integral divergiert kann u.U. ein

Kasten mit Kantenlänge gewählt werden mit

| |

BSP: FREIES TEILCHEN

Wellenf. eines freinen Teilchens: ( ) Normierung: Kasten mit Volumen und den Randbed.: ( ) ( ) ( ) ( )

Dadurch ergeben sich mögliche -Werte des Systems:

( ) * +

kann so gewäht werden, dass ebene Wellen in normiert:

( )

√ ( ) ( )

KOROLLAR ZUM BORN-POSTULAT

Erwartungswert oder Mittelwert:

⟨ ( )⟩ ( ) ∫ ( )| ( )|

∫ | ( )|

Wahrscheinlichkeitsdichte: | ( )|

∫ | ( )|

Beispiel: Erwartungswert von für freie De-Broglie-Teilchen:

⟨ ⟩ ∫

.

/. Das bedeutet, dass das

Teilchen innerhalb völlig delokalisiert ist.

POSTULAT: SUPERPOSIT IONSPRINZIP

Linearkombinationen von Wellenfunkt. sind Wellenfunktionen. Die Amplituden werden addiert, nicht deren Quadrat! Die Wellenfunktionen bilden einen Vektorraum (Hilbertraum der normierbaren Wellenfunktionen) ( ) ist die Wellenf., der Zustandsvektor. Ortsdarstellung der Zustände eines Teilchens: wenn Zustandsvektor als Funktion des Ortes gegeben. Skalarprodukt: zwischen zwei Zuständen

( ( ) ( )) ∫ ( ) ( )

Norm: ‖ ‖ ∫ ( ) ( ) . In der QM: ‖ ‖ Erwartungswert:

⟨ ( )⟩ ∫ ( ) ( ) ( )

∫ ( ) ( ) ( ( ) )

( )

BSP: WELLENPACKET

( ) ∫ ( ) ( ( ) )

( ) Amplitude, so dass das Teilchen den Impuls hat- | ( )| : dazugehürige W-keitsdichte

( ) ( ) ( )

[( ) ]

⏟

Betrachten wir diese Amplitude zu einer best. Zeit und ist der Maximalwert bei , so sind die Konten bei

Das Intervall

ist die hauptsächliche räumliche

Ausdehnung des Wellenpaketes. Je kleiner , d.h. je scharfer die Werte von definiert, desto grösser die räumliche Ausdehnung des Teilchens. Es existiert die Beziehung . Daraus folgt die Heisenberg’sche Unschärferelation:

........ blabla .......

⟨ ⟩ ( )

( )

|

Der Erwartungswert des Wellenpakets bewegt sich klassisch

POSTULAT: SCHRÖDINGE RGLEICHUNG

Ansatz einer Helmholtz-Gleichung für den zeitunabh. Teil:

( ) ( ) ( ) ( )

Weiters gilt die De-Broglie Hypothese

.

Somit lautet die zeitunabh. Schrödingergleichung für ( ):

( )

( ) ( )

Setzt man so erhält man die zeitabh. Schrödinger-Gl.:

( )

( ) ( ) ( )

Das ist keine Wellengleichung! Zusammen mit ( ) ( ) ( ) erhält man die W-keitsstromdichte:

( )

( ( ) ( ) . ( )/

( ))

Für und gilt:

Bsp De-Broglie „Welle“:

Stromdichte beträgt

. Das ist die Stromdichte einer

Einheitsladung mit Dichte

mit Geschw.

Stationäre Zustände der SG:

| ( )|

Ansatz: ( ) ( )

mit , konst. („Energie“) Das ergibt für die Schrödingergleichung:

(

( ))

⏟

( ) ( )

muss Eigenwert des Hamilton Operator 0

( )1 sein und ( ) die dazugehörige Eigenfunktion.

Das Eigenwertspektrum des Operators bildet alle möglichen stabilen Zustände eines quantenmechanischen Systems. Derjenige mit der niedrigsten Energie ist der Grundzustand, die höherliegenden EW sind angeregte Zustände. Korrespondenzprinzip zw. KM und QM:

( )

⏟

*

( )+

⏟

BSP: STATIONÄRE ZUSTÄNDE

Stationäre Zustände eines freien Teilchens im Kasten

Dabei ist

und die EW-Gl. ( )

( )

Gl. wie harm. Oszillator, deshalb sind Lsg. De-Broglie-Wellen. Die mögl. EW sind durch die period. Randbedingungen best.:

(

)

POSTULAT: PHILOSOPHI SCHES

Die Menge aller hermiteschen Operatorn bilden die Observablen eines QM-Systems. Bem.: Die Eigenwerte eines hermiteschen Operators sind diskret und reell Das Resultat einer Messung einer Observablen (z.B. Energie, Dreh- & Impuls, Spin, ...) ist einer von den Eigenwerten. Das System nimmt aufgrund einer Messung den dazugehörigen Eigenzustand an. (Jump-Postulat)

POSTULAT XXXXX:

( ) ∑ |( )|

Das Resultat einer Messung ist ein . |( )|

ist die W-keit zu messen.

POSTULAT 5

- Hermitesche Opertoren stellen die Observablen das. - Die Eigenwerte sind die möglichen Messwerte.

* + Dabei ist ein EW und die entsprechende Eigenfunktion.

( ) ∑ |( )|

- Das Resultat einer Messung ist . - Die W-keit zu messen ist |( )|

- ( ) ist die Ampiltude.

EINDIMENSIONALE PROB LEME

Stationäre Zustände eines Teilchens im äusseren Potentialfeld:

[

( ( ))] ( )

und bzw. müssen stetig sein. ( ) ( )

Im ebenen Potential: ( ) √ ( ) ⁄

KASTEN MIT UNDURCHLÄ SIGEN WÄNDEN

Masse im Potentialtopf: ( )

( )

Gesucht: Energie Eigenwerte

PDE: 0

1 ( )

RB: .

/ .

/

Lösung: ( ) ( ) ( )

RB anwenden:

{

.

/ .

/

.

/ .

/

∫ | ( )| ⁄

⁄

Zwei Lösungssätze: .

/

.

/

Daraus folgt:

oder

und √

.

/

√

.

/

Die möglichen Energieniveaus sind quantisiert.

Vollständige Wellenfunktion: ( ) √

.

/

Anwendung: Bem.: Energieniveaus haben eine Unschärfe von ca. in Molekülen. Bem.: RB bei H-Atom: Wellenfkt verschwindet genügen schnell.

TUNNELEFFEKT

Schrödingergleichungen dieser Situation:

( )

( )

( )

( )

( )⏟

Wellengleichungen:

( )

( )

( )

mit √ ⁄ und √ ( ) ⁄

Randbedingungen Übergange:

( ) ( )

( ) ( )

??????:

Lösungen:

| |

| |

( )

( )

( )

( )

| |

| |

( )

( )

Stromdichten:

[ ( )

( ) (

( ))

( )]

( )

(| | | | )

( )

mit : einfallender Strom, : reflektierter Strom Neue Terminologie:

Reflexionskoeffizient:

| |

| |

Durchlasskoeffizient:

| |

| |

√

√ ( )

QM HARMOMISCHER OSZI LLATOR

Für den eindimensionalen harm. Oszillator gilt:

( )

Die zeitunabh. Schrödingergleichung lautet:

( )

(

⏟

) ( )

Gesucht sind Lösungen der SG, die quadratisch integrierbar:

∫ | ( )|

Variablensubstitution:

( )

√

( )

Ansatz: ( )

Daraus folgt: ( ) Ansatz für ( ): ( ) ∑

(Potenzreihenansatz)

Aus der DG: ∑ , ( )( )

( )-

Daher:

( )( )

zwei Klassen: mit oder ohne Vorzeichenwechsel (Parität)

Aus Tabelle: ∑

Also gilt: ( ) →

Lösung des Problems:

Wenn wir bei irgendeinem stoppen, also irgendein , so ergibt sich eine Quantisierung. und jeder 2. Koeff. =0

(

)

Die dazugehörige Eigenfunktion ist:

( )

( ) mit das hermitesche Polynom -ten Grades:

( ) ( )

Die Normierbarkeit erzwingt eine Diskretisierung. Eigenfunktionen zu :

( ) .

/

√ (.

/

)

HEISENBERG’SCHE UNSC HÄRFERELATION

√⟨( ⟨ ⟩) ⟩ √⟨( ⟨ ⟩) ⟩

| |

Heisenberg’sche Unschärferelation:

DAS WASSERSTOFFATOM

Coulomb-Potential bleigt:

( )

blablabla Energie der stat. Zustände im H-Atom:

( )

-fach entartet

mit Hauptquantenzahl

für das H-Atom Rydberg

Ha

( ) √

( )

( )

( ) ( ( ))

mit ( )

Quantenzahlen: : Hauptquantenzahl, Energie : Bahn-Drehimpuls, Form : magn. Drehimpuls, Orientierung

Wellenfunktion:

Bedeutung der Quantenzahlen:

Es gelten: . /

( )

und

( ) sind die mögl. EW des Quadrates des Drehimpulses. sind die möglichen EW der -Komponente des Drehimpulses, die sogenannten „magn. Quantenzahlen)

Bem.:

Wieso sind Orbitale Überlagerungen von Kugelfunktioen?

Bsp.: ⟨ | |

⟩ (

) (

) (

)

ENERGIE IM H-ATOM

Diskrete Energieniveaus:

( ) ( )

: Potenzstop, : Drehimp.-QZ, Haupt-QZ:

Beim H-Atom:

( )

, Ry: Rydberg, Ha: ???

ATOME, MOLEKÜLE, FES TKÖRPER

Stern-Gerlach Experiment:

, weil ( )

mit Spin des Elektrons, falls es existiert. Schrödinger: ( )-Werte für

in Gegensatz Schrödinger

Spin des Elektrons ist

REPETITION LICHTWELLEN

( )

( )

∫ ∫ ( )

Intensität: | | Kreiswellenzahl:

(evtl. ergänzen, Physik I S. 118) Kirchhoff’sche Näherung = sehr weit weg

MATH

Laplace Operator:

.

/

mit 0

( )

. ( )

/

( )

1

Hermitescher Operator: wenn ( ) ( )

Erwartungswert: ∑

Bedingungen Skalarprodukt: 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3. ( )

TIPPS SERIE 2

: Operator stellt Messgrösse dar.

Bsp.:

(Eigenwertgleichung) : Eigenwert : Eigenfunktion zum Eigenwert A4: Skalarprodukt Für Vektoren: ( ) ∑

Für Funktionen: ( ( ) ( ))) ∫ ( ) ( )

A5: Hermitescher Operator

( ) ( ) Matrix symmetrisch

.

/ ∫ ( ) 0

( )1

⁄

⁄

|

⏟

.

/ .

/

∫ 0

1 0

1

A6: Messwrte immer reell EW von hermiteschen Operator immer reell.

Sei

( ) ( ) ( )

Zu jedem Operator gibt es eine orthonormierte Basis von

Eigenfunktionen. ( ) mit ( )

Entwicklung nach Eigenfunktionen.

Wahrscheinlichkeit den Wert zu messen: | |

also ( ) ( )

Mittelwert: ⟨ ⟩ ( ) (

) | | | |

a: Messwerte, c: W-keiten d. Messw.

A1: ⟨ ⟩ ( ) ∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

Trick: ∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )( ) ∫ ( )( )

∫ ( ) ∫ ( )

∫ ( )

( ( ) ( ) ) A3: Kontinuitätsgleichung

∫ ∫

∫

∫

Hier: (Wahrscheinlichkeit)

(

( ))

Komplex-konjug. Schrödinger-Gl. gilt imer auch:

(

( ))

NACHBESPRECHUNG SERI E 3

Entwicklung nach Eigenfunktionen.

Das EF: ( )

Zustandsfkt Zust.-vektor ( )

( ) ( ) ?!?!?! | |

⟨ ⟩ ( ) ∫ ∑ | |

Parität : Raumspiegelung: ( ) ( ) Eigenwerte: 1 (gerade Funktionen), -1 (ungerade Funktionen)

Gegeben: Zustandf.

√

√

√

1. Berechnung von ⟨ ⟩ aus Zustandsfunktion:

⟨ ⟩ ( )

∫ ( √ )

(

√ )

∫( √ )

√

∫

2. ... aus Zustandsvektor;

( )

√

√

√

√ ( ( ) ( ))

√

√ ( ( ) ( ))

√

√ ( )⏟

√

√ ( )⏟

⟨ ⟩ ∑| |

| √

√ |

| √

√ |

( ) √

VORBESPRECHUNG SERIE 4

A1: Schrödingerleichung für Teilchen im konst. Potential

(

) ( ) ( )

Lsg: ( ) √ ( )

⏟

√ ( )

⏟

Potentialbarriere (überall 0, ausser auf Interval um 0): Bereich 1: links, Bereich 2: im Potential, Bereich 3: rechts

( )

√

( )

√ ( )

( ) (keine li-laufende Welle(=Reflexion) mögl.)

Stetigkeitsbedingungen: ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

Reflexion: |

|

.

/ ( )

.

/ ( )

Transmission: |

|

.

/ ( )

A3: Drehimpulsoperator Ort: ( ) ( )

Impuls: ( ) ( ) (

) ( )

Drehimpuls: ( ) (

)

SERIE 5

Entartung: Ein Eigenwert sei -fach entartet:

( ) sind Basis des Eigenraums zum Eigenwert

(d.h. sind linear unabhängig und falls eine Eigenfunktion

mit Eigenwert ist, dann gibt es Koeffizienten mit

Aufgabe 1: Spezialfall: Ein Eigenraum ist nicht entartet

. Falls eine Eigenfunktion mit EW ist, dann gibt es einen Koeffizienten mit . Aufgabe 2: Integralformeln

∫

√

√

∫

∫

√

√

VORBESPRECHUNG SERIE 6

Aufgabe 1:

Energieniveaus von H:

Übergang : .

/

Frequenz:

Wellenlänge

Aufgabe 2: Eigenfunktionen zum Drehimpulsoperator: Kugelfl.-Funkt.

:

( )

Aufgabe 3:

Sei ein Operator nur abhängig von , ...

Eigenwertproblem: ( ) ( ) ( )

Separationsansatz: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1D harm. Oszillator: .

/ ( ) ( )

Lsg. 1D HO: .

/

2D harm. Osz.:

.

/

( )

Schrödingergleichung: ( ) ( ) Aufgabe 4:

- Klassisch Translation:

- Klassisch Rotation:

, J:Drehimpuls, I: Trägheitsmoment

- QM Translation:

- QM Rotation:

Schrödingergleichung: ( ) ( ) Eindeutigkeitsbedingung: ( ) ( )

TIPPS SERIE 7

Zeitabhängige Schrödingergleichung

Zustandsfunktion Zustandsvektor ( )

(

)(

) (

)

Zweizustandsproblem:

(

) ( ) (

)

Eigenwertbestimmung:

(

)

Eigenvektoren: Einsetzen der Eigenwerte in die Ausgangsgleichung.

Berechnung der ⟨ | | ⟩

Aufgabe A1b: Taylorentwicklung: √

Aufgabe 2:

Drehimpuls ist ein Vektoroperator (

)

Gleichzeitige Messung von nicht mögl. es gibt kein

gemeinsames VONS Die Komponenten kommutieren nicht.

Stattdessen: Messung einer Koordinate von (Konvention:

Betrachtung des z-Koordinate) und .

Spezialfall: Eigendrehimpuls von Elektronen (Spin) ist ein

Zweizustandsproblem. Spin up

, Spin down

Matrixschreibweise:

.

/

Spin up: . / (denn

), Spindown: .

/

Pauli-Spinmatrizen:

Die Koordinaten und sind nicht messbar, aber man

benötigt dennoch Operatoren für Erwartungswertbestimmung,

Bestimmung von

, Bestimmung von Energie

im Magnetfeld (

).

(

)

(

.

/

.

/

.

/)

Bsp:

oder auch

Aufgabe 3: Ein Elektronenzustand ist eindeutig bestimmt durch 4 Quantenzahlen: Für Hauptquantenzahl : Mögliche ⏟

⏟

⏟

Für Drehimpulsquantenzahl : Mögliche Mögliche : Pauli-Prinzip: pro Zustand ist nur ein Elektron erlaubt. Schalenmodell: Schale

Schale Elektronen in Schale #Elektronen total

1s (n=1,l=0) 2 2

2s (n=2,l=0) 2 4

2p (n=2,l=1) 6 (m=-1,0,1, s=-1,1) 10

3s (n=3,l=0) 2 12

3p 6 18

4s 2 20

3d 10 30

4p 6 36

5s 2 38

4d 10 48

5p 6 54

6s 2 70

4f 14 68

5d 10 80

Weiter ginge es mit Bsp: Argon (Z=18). Konfiguration:

VORBESPRECHUNG SERIE 8

Aufgabe 1: Periodische Randbedingung einführen (Ring-Anordnung) Sei die -Grundzustandsfunktion um den Kreis .

Gesamtlösung: (Tight-Binding-Approximation)

√ ∑

: Anzahl Protonen Insgesamt versch. Lösungen (wegen Spin)

Zugehörige Energien: ( )

Betrachte Elektronen in einem -Molekül. Auffüllen der Energieniveaus nach Schalenmodell. (Beginnen mit kleinster Energie, Pauli-Prinzip (2 pro Niveau)) Wichtig: entspricht nicht der Reihenfolge der Energiezustände. Meist (negativ) Aufgabe 2:

mit : Anzahl Elektronen, : Anzahl Protonen „normalisierte Bindungsenergie“ Zu zeigen: und besonders stabil Aufgabe 3: Ritz’sche Ungleichung

∫

VORBESPRECHUNG SERIE 9

Aufgabe 1: 2-Niveau-System

Definiere: . / .

/

Gegeben: ( ) ( )

( ) ( )

(

)

a) Eigenvektoren und Eigenwerte bestimmen.

b) Zeitabhängige SG:

( ) ( )

Zeitunabhängige SG: ( ) ( ) Lösung der ZASG ist trivial, wenn ZUSG gelöst ist. Sei ( ) ( ) mit EW Lösung der ZUSG. AB: Der Anfangszust. sei gegeben: ( ) ( ) (meist ein bestimmter Eigenzustand) Lösung der ZASG:

( ) ( )

( )

Zeitabhängige Entwicklungskoeffizienten: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

mit ( ) , ...

Wahrscheinlichkeit zur Zeit den Zustand zu messen: ( ) | ( )|. Aufgabe 2: Ladung im EM Feld. Herleitung Hamiltonian:

(

⏟

)

⏟

mit und

Spezialfall:

( )

(

( ))

( )

( )

⏟

( )⏟

Aufgabe: Berechne: ( ) und ( ) für

Wassstoff im konst. B-Feld: ( )

( )

( ( ) )

( )

weil keine Winkelabhängigkeit im -Zustand.

( ) ( ) ( )

( )

ZFSG KRIEGER-SKRIPT

MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN

GRUNDBEGRIFFE & AXIOME

Hilbertraum: Vektoren: | ⟩ , unendlichdimensional, normierbar (⟨ | ⟩ ). Ein Zustandsraum ist ein Unterraum von , auf dem die relevanten Zustandsvektoren leben. Observablen & Operatoren: Jede physikalische Observable

wird durch einen hermite’schen Operator beschrieben, der in wirkt. Dessen Eigenwerte sind reell. Messungen & Eigenwerte: Jede Messung einer Observablen

kann nur einen Eigenwert des Operators liefern. Messung & W’keit: Sei eine Observablen und | ⟩ die

Eigenwerte und Eigenvektoren zum entspr. Operator . Wird dann eines normierten Zustandes | ⟩ gemessen, so misst man mit der W’keit ( ) den Eigenwert :

( ) |⟨ | ⟩|

Ist der EW -fach entartet, so gilt mit den Eigenvektoren

| ⟩ :

( ) ∑ |⟨ | ⟩|

Für ein kontinuierliches, nicht entartetes Spektrum gilt: Die W’keit das System im Intervall , - zu messen ist:

( ) ⟨ | ⟩ Wechselwirkung der Messung: Nach einer Messung der Zustandes | ⟩, die als nicht-entarteten EW (EV: | ⟩) ergab, ist das System im Zustand | ⟩. Ist der EW entartet, so befindet sich das System in einem Zustand des Eigenraums zu . Zeitliche Entwicklung: Ein System sei durch den Hamilton-

Operator beschrieben. Dann ist die zeitlich Entwicklung gegeben durch folgende DGL:

| ( )⟩ ( )| ( )⟩

Korrespondenzprinzip: Sei eine Observable der klassischen

Mechanik. Dann lässt sich der Operator der QM konstruieren: 1. Der Ortsvektor wird durch den Ortsoperator ersetzt.

2. Der Impulsvektor wird durch den Impulsop. ersetzt.

3. Aus einer Phasenraumintegration wird eine Spurbildung.

HILBERTRAUM

Skalarprodukt: ⟨ | ⟩ ∫ ( ) ( ) Rechenregeln zum Skalarprodukt:

⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ | ⟩ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩

⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩

|⟨ | ⟩| √⟨ | ⟩√⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ Normierungsbedingung:

∫ | ( )|

∫ ( ) ( )

Rechenregel für Hilbertraum: ⟨ | ⟨ | ⟨ | | ⟩ (| ⟩ )

Orthonormierung: Eine Familie | ⟩ ( : abzählbare Indexmenge) von Vektoren ist orthonormiert, wenn:

⟨ | ⟩

Basis: Eine Familie v. Vektoren ist eine Basis von , wenn:

| ⟩ ∑ | ⟩

Komplexe Koeffizienten :

⟨ | ⟩ ∫ ( ) ( )

Skalarprodukt zweier Vektoren:

Sei | ⟩ | ⟩ | ⟩ ∑ | ⟩ und | ⟩ ∑ | ⟩ , dann:

⟨ | ⟩ ∑ und ⟨ | ⟩ ∑ | |

Vollständigkeitsrelation: Sei *| ⟩+ eine orthonormierte Basis, dann gilt: | ⟩ ∑ | ⟩ ∑ ⟨ | ⟩| ⟩ (∑ | ⟩⟨ | )| ⟩ | ⟩ ∑ | ⟩⟨ | ∑ ( )

( ) ( ) In Worten: Erfüllt eine orthonormierte Funktionenmenge *| ⟩ + die Vollständigkeitsrelation, dann bildet sie dis Basis des . Umgekehrt gilt: jede Basis des erfüllt die VR. Orthonormierte, kontinuierliche Basis: Eine durch den kontin. Index gekennzeichnete Funktionen- menge * ( )+ heisst orthonorm. kontin. Basis, wenn gilt:

⟨ ⟩ ∫ ( ) ( ) ( )

Sie genügt damit der Vollständigkeitsrelation. Übersicht:

Diskrete Basis *| ⟩+ Kontin. Basis * +

Orthonorm. ⟨ | ⟩ ⟨ ⟩ ( )

Vollst.-Rel. ∑ | ⟩⟨ | ∫

( )

Entwicklung | ⟩ ∑ | ⟩ ⟨ | ⟩

∫ ( ) ( ) ( )

Skalarprod. ⟨ | ⟩ ∑

( )

∫ ( ) ( )

OPERATOREN AUF

Lineare Operatoren: | ⟩ | ⟩.

- Es gilt Linearität: ( | ⟩ | ⟩) | ⟩ | ⟩

- Produkt = Verkettung (i.A. nicht kommut.): | ⟩ ( | ⟩)

Kommutator:

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ], lin. im 2. Arg., [ ] [ ]

Vertauschung: ein Op vertauscht mit jeder Op.-Funkt. ( )

[ ( )] [ ] [ ( )]

Antikommutator:

{ }

Hermite’sche Konjugation: Es gilt für einen belieb. Operator :

| ⟩ | ⟩ ⟨ | ⟨ | ⟨ | ⟨ |

⟨ | | ⟩ ⟨ | | ⟩ ( )

( )

( ) ( )

Hermite’sche Operatoren – Definition: Ein Operator ist

hermite’sche (=selbstadjungiert), wenn . Eigenschaften:

EW reell, EV orthog., ⟨ | | ⟩ ⟨ | | ⟩ ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩

Hermite’sche Operatoren – Zerlegung von Op-Produkten:

( )⏟

( )⏟

-

Es gilt für die Teile: ( )

und ( ) ( )

Für die anti-hermite’schen Op gilt: EW imaginär, Hermite’sche Operatoren – Observable:Ein hermite’scher

Operator ist eine Observable, wenn seine EV eine Basis bilden

Unitäre Operatoren: Ein Operator heisst unitär, wenn:

Operatorfunktionen: Definition als Potenzreihe:

( ) ∑

. Es gelten die Regeln des Kommutators.

Sei nun | ⟩ | ⟩ die Eigenwertgleichung zu . Dann gilt:

( )| ⟩ ( )| ⟩. Die EV sind dieselben wie für .

Ableitung von Operatoren: Wie gewohnt, auch linear.

Spur eines Operators: ( ) ∑ ⟨ | | ⟩ . Dabei ist *| ⟩+

eine beliebige (günstig zu wählende) Basis.

Es gilt: ( ) ( )

DARSTELLUNGSTHEORIE

| ⟩ (⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩) ⟨ | (⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩)

Jeder Op kann bzgl. der Basis *| ⟩+ als -

Matrix über dargestellt werden: ⟨ | | ⟩

Basiswechsel: blabla

EIGENWERTGLEICHUNG

| ⟩ | ⟩ Die Eigenwerte sind Lösungen von ( ) .

Kontinuierliche EW: Sind hermitesch mit [ ] , dann

ist das Spektrum (Menge der EW) kontinuierlich, also * +

EV kommut. Observablen: Sei [ ] , so folgt aus der EW-

Gl. | ⟩ | ⟩, dass auch | ⟩ ein EV von zum EW ist:

( | ⟩) ( | ⟩)

Wirkung kommutierender Observablen auf Eigenräume:

Wenn [ ] , dann ist jeder Eigenraum von gegenüber

der Wirkung von invariant.

Kommutierende Observablen & Basen: Sei [ ] , so kann

man aus ihren gemeinsamen Eigenvektoren | ⟩ eine

orthonormierte Basis des Zustandsraumes konstruieren.

Für | ⟩ gilt: |

⟩ | ⟩ und |

⟩ | ⟩

Vollständiger Satz kommutierender Observablen: blabla

ERWARTUNGSWERT & STA NDARDABWEICH.

Erwartungswerte einer Observablen :

⟨ ⟩ ⟨ | | ⟩

⟨ | ⟩ ∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

Standardabweichung einer Observablen:

√⟨( ⟨ ⟩) ⟩ √⟨ ⟩ ⟨ ⟩

Ist | ⟩ ein Eigenvektor zu , so gilt

TENSORPRODUKT VON ZU STANDSRÄUMEN

blabla

WICHTIGE OPERATOREN

ORTS- & IMPULSOPERATOR

Ortsdarstellung: ⟨ | ⟩ ∫ ( ) ( ) ( )

Impulsdarstellung: Gibt die W’keitsverteil. im Impulsraum an.

⟨ | ⟩

√ ∫ ( )

( ) , ( )-

Der Ortsoperator (in Ortsdarstellung):

⟨ | | ⟩ ⟨ | ⟩ ( ) ( )

Für die Eigenwerte gilt dann: | ⟩ | ⟩

Der Impulsoperator (in Impulsdarstellung):

⟨ | | ⟩ ⟨ | ⟩ | ⟩ | ⟩

In der Ortsdarstellung: ⟨ | | ⟩ ⟨ | ⟩ ( )

KONJUGIERTE OPERATOREN

Definition: Zwei Operatoren sind konjugiert, wenn:

[ ] [ ] [ ]

blabla

PROJEKTOREN

Ein Projektor hat Form und Eigenschaften, wie folgt:

| ⟩⟨ |

TRANSLATIONSOPERATOR

blabla

PARITÄTSOPERATOR

Parität: . In Kugel-Koord.: ( ) ( ) Definition Paritätsoperator:

| ⟩ | ⟩ ⟨ | | ⟩ ⟨ | ⟩ ( )

Eigenschaften: hermitesch und unitär

Eigenraum zu EW : gerade Funktionen ( ( ) ( )) Eigenraum zu EW : ungerade Funktionen ( ( ) ( ))

Vertauschungsrel.:

DICHTEOPERATOR

blabla, left to the reader as an exercise xD

WICHTIGE SÄTZE DER Q UANTENMECHANIK

SCHRÖDINGERGLEICHUNG

Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung: (linear!)

Sei der Hamilton-Operator, dann:

| ⟩ | ⟩

(

⏟

) | ⟩ .

/ | ⟩ | ⟩

Zeitabhängige Schrödingergleichung:

| ( )⟩ ( )| ( )⟩ | ( )⟩

( )| ( )⟩

Zeitentwicklungsoperator (Propagator): ( )

( )

Superpositionsprinzip: (auch für zeitabh. SG) | ⟩ | ⟩ | ⟩

Wahrscheinlichkeitsdichte: ( ) | ( )| |⟨ | ⟩|

Wahrscheinlichkeitsstromdichtevektor:

( )

[ ]

( .

/)

Kontinuitätsgleichung:

( ) ( )

ERHALTUNGSGRÖSSEN

Der Erwartungswert eines Operators ist erhalten, wenn er mit dem Hamilton-Operator vertauscht:

[ ]

⟨ ⟩

UNSCHÄRFERELATION

Allgemeine Unschärferelation: Seien zwei beliebige Observable, dann gilt:

|⟨[ ]⟩|

Folgerungen: Man kann nur zwei kommutierende Observable gleichzeitig beliebig genau messen.

Für konjugierte Operatoren ([ ] ) gilt:

Energie-Zeit-Unschärfe:

mit

⟨ ⟩

Folgerung: kurzzeitige Verletzung der Energierhaltung möglich.

SATZ VON EHRENFEST

Sei der Hamiltonian wie folgt:

. /

Weil zeitunabhängig, kann man

und

durch ihre

Kommutatoren mit ausdrücken. Dann ist Ort und Impuls ähnlich der klassischen Mechanik:

⟨ ⟩

⟨ ⟩ und

⟨ ⟩ ⟨ . /⟩

Dies entspricht den klassischen Beziehungen:

( ) und

VOLLST. SATZ KOMMUT. OBSERVA BLEN

Um einen Zustand vollständig zu präparieren, muss man an ihm eine simultane Messung aller Observablen aus einem Satz kommutierender Observabler messen. Diese Messung bestimmt den Zustand des System ohne weitere Freiheitsgrade.

SATZ VON BLOCH, BLOC H-FUNKTIONEN

Sei ein Potential ( ) mit Periodizität gegeben ( ( ) ( )), dann haben Lösungen der stationären SG die Form:

( ) ( )

mit ( ) ( )

INTERPRETATIONEN DER QUANTENMECHANIK

Schrödinger: Bisher würde das Schrödingerbild beschrieben.

Heisenberg: Mit | ( )⟩ ( )| ( )⟩ sei ein Zustand und

mit ein Operator im Schrödingerbild bezeichnet. Dann gilt für das Heisenbergbild:

| ⟩ ( )| ( )⟩ | ( )⟩

( ) ( )

Die Heisenberg-Zustände gehorchen folgenden Operatoren, welche die Schrödingergleichung ersetzen:

[ ]

| ⟩ | ⟩

Dirac/Wechselwirkung: Aufspaltung der Schrödinger-Hamiltonian in zeitabhängigen und zeitunabhängigen Term:

( ) ( )

( )

Der unitäre Operator ( )( ) sei definiert als:

( )( )

( ) ( )( )

den ergeben sich Zustände und Operatoren im diracbild zu:

| ( )⟩ ( ) ( )| ( )⟩

( ) ( ) ( )

( )( ) Die Pendants zu den Schrödingergleichungen sind hier:

| ( )⟩

( )| ( )⟩

0

( )1

( )

ZWEITEILCHENZUSTÄNDE

Man betrachte ein System von zwei Teilchen ohne Spin, gegeben durch eine Wellenfunktion ( ).

( ) | ( )|

Unkorrelliertes Zweiteilchensystem: Zwei unkorrelierte Teilch befinden sich in und . Sie werden in den Ortsbasen ,| ⟩- und ,| ⟩- in den Einteilchenräumen

und durch Einzelwellenfunktionen ( ) ⟨ | ⟩

und ( ) ⟨ | ⟩ beschrieben. Der Zweiteilchenzustand | ⟩ lässt sich nun als Produkt schreiben: | ⟩ | ⟩ | ⟩ ( ) ⟨ | ⟩ ( ) ( )

KORRESPONDENZPRINZIP

Phasenraumfunktion ( ) Observable (Operator) Dichteverteilungsf. ( ) Statistischer Operator Poisson-Klammer

* + ∑ (

)

Kommutator

[ ]

( )

Phasenraumintegration

∬ ( ) ( )

Spurbildung ( )

Stationäres Ensemble * +

[ ]

IDENTISCHE TEILCHEN

Annahme: gelöstes Einteilchenproblem; ( ) |

( )⟩ | ( )⟩

Mit ( ) dem Hamilton-Operator des -ten Teilchens, ein

vollständiger Satz von Quantenzahlen, die den Zustand | ( )⟩

beschreiben und der Energieeigenwerte des Zustandes:

| ⟩

identisch: alle Quantenzahle gleich. ununterscheidbar: z.B. nach einem Stoss zwischen zwei Teilchen ist unklar (gleich wahrscheinlich) welches Teilchen wie reflektiert wird. Symmetrieeigenschaften ununterscheidbarer Teilchen: blabla Bosonen: Sind im Raum der symmetrischen Vielteilchen-

Zustände | ( )⟩. Das sind identische Teilchen mit ganzzahligem

Spin. Z.B.: Photonen, Phononen, -Teilchen, ... Alle Bosonen sind symmetr. unter beliebigen Permutationen :

| ( )⟩ |

( )⟩

Fermionen: Sind im Raum der antisymmetr. Vielteilchen-

Zustände | ( )⟩. Das sind identische Teilchen mit

halbbzahligem Spin. Z.B.: Elektronen, Protonen, Neutronen, ... Alle Fermionen verhalten sich unter beliebigen Permutat. :

| ( )⟩ ( ) |

( )⟩

Pauli-Prinzip: blabla Fock-Zustände: blabla

EINFACHE SYSTEME

FREIES TEILCHEN

Teil der Masse und Energie im potentialfreien Raum:

√

( )

( )

Lösung der SG (einfache Wellengleichung):

(

) ( )

mit

und

. Das ist nicht normierbar

Superposition von ebenen Wellen:

( )

( ) ∫ ( )

(

)

Damit ist Normierbarkeit erreichbar.

DELTA-POTENTIAL

TEILCHEN IM KASTEN & POTENTIALSTUFEN

ZWEIZUSTANDSSYSTEME

(

) ⟨ | | ⟩

Eigenwerte:

( )

√( )

| |

INTERFERENZEFFEKTE

POLARISIERTE PHOTONE N

DICHTEMATRIX-DARSTELLUNG

AUFEINANDERFOLGENDE MESSUNGEN

MACH-ZEHNDER-INTERFEROMETER

HARMONISCHER OSZILLA TOR

GRUNDLAGEN

Hamilton-Operator: Ein Teilchen der Masse im harmonischen Potential und schwingt mit Frequenz :

Die Schrödingergleichung lautet also:

*

+ ( ) ( )

Ausgangslage:

.

/ | ⟩ | ⟩ mit

√ , √

Def: Aufsteigeoperator:

√ ( )

und Absteigeoperator:

√ ( )

Daraus folgt:

√ ( ) und

√ ( )

Besetzungszahloperator:

Die Operatoren sind nicht hermitesch: , -

Kommutatorrelationen beim harmonischen Oszillator: , - , - , -

Lösung der harmonischen Oszillators:

Eigenwerte: .

/

Grundzustand: ⟨ | ⟩ .

/ ⁄

-ter Zustand: ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩

√ (√

)

mit ( ) das hermitesche Polynom, | ⟩

√ ( )

| ⟩

HERMITE’SCHE POLYNOME

Explizite Formel: ( ) ( )

⁄

⁄

Rekursive Formel: ( ) ( ) ( )

Regel Integration: ∫ ( )

( )

Regel Differentiation:

( ) ( )

Herm. Polyn. sind part. Lsg. zu

3D HARMONISCHER OSZI LLATOR

(

)

( )

| ⟩ | ⟩| ⟩| ⟩

Die Eigenzustände sind entartet! Für n=0: 1-fach, n=1: 3-fach, n=2: 6-fach, ...

GELADENER HARMONISCH ER OSZILLATOR

Das Teilchan habe Ladung und sei im E-Feld . Zusätzliche potentielle Energie: ( )

Hamilton-Op:

Quadr. ergänzen:

.

/

Verschobener Op. einf.:

Somit: 0

1 ( ) ( )

Daraus folgt: .

/

DREHIMPULS

GRUNDLAGEN

Bahndrehimpulsoperator:

mit der Orts-Op und der Impuls-Op Vertauschungsrelationen der Drehimpuls-Op:

[ ] [ ] [ ]

Drehimpulsebetragsquadrat :

0 1

Auf- und Absteiger :

[ ] [ ]

[ ] 0 1 0

1

SPEKTRUM DER OPERATO REN

Eigenwertgleichung zu :

| ⟩ ( ) | ⟩ | ⟩ | ⟩ wobei | ⟩ den gemeinsamen Eigenvektor der Operatoren

und bezeichnet. Dabei ist das Energieniveau (=EW

des Hamilton-Op), der Eigenwert ( ) von und

der Eigenwert der Operators . Es gilt die Konvention .

Eigenschaften der Operatoren :

Sei | ⟩ eine gemeinsamer Eigenvektor von und mit den Eigenwerten ( ) und 1. Es gilt:

2. Für | ⟩ gilt:

2a: | ⟩

2b: | ⟩ ist Eigenvektor ungleich null zu den Eigenwerten ( ) und ( )

3. Für | ⟩ gilt:

3a: | ⟩

3b: | ⟩ ist Eigenvektor unlgeich null zu den Eigenwerten ( ) und ( ) 4. kann nur ganz- oder halbzahlige, positive Werte annehmen. Ist ganz(halb-)zahlig, so ist auch ganz(halb-)zahlig.

DREHMOMENT

Kugelflächenfunktion ( ):

( )

√

( )

( ) ( ( ))

Legendre-Polynome ( ): gibt die Form, die Orientierung

( )

( )

EIGENZUSTÄNDE IM ORT SRAUM

PHYSIKALISCHE DISKUS SION

SPIN ⁄

Definition: Halbzahliger Dremoment, also

| ⟩

| ⟩ | ⟩

| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩

Den Spin stellt man in der Basis *| ⟩ | ⟩+ dar, als „Spinor“. Also:

| ⟩ . / | ⟩ .

/ | ⟩ .

/

.

/

.

/

.

/

.

/ .

/

| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩ Magn. Momente, Stern-Gerlach-Experiment:

Ofen mit ca. 1000K,

,

Magnetisches Moment: , wobei gyromagn. Mom.

Das führt zur potentiellen Energie ( )

Auf die Atome wirkt Kraft ( ) ( )

und das Drehmoment ( )

Daraus folgt

( ), also eine Präzession um z-Achse

Mit ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ folgt: ( )

ADDITION VON DREHIMP ULSEN

WASSERSTOFFATOM

ZWEIKÖRPERPROBLEM

KLASSISCHE PROBLEMST ELLUNG

HAMILTON-OPERATOR

LÖSUNG DER RADIALGLE ICHUNG

Separationsansatz, dann:

*

( )

( )+ ( ) ( )

Substitution: ( )

( ) und einsetzen ( )

:

*

( )

+ ( ) ( )

Randbed.: ( ) . Es folgen die „Bahnradien“

mit Bohrradius

Es ergeben sich auch die Energien

Es gilt (Quantenzahl), glaube ich... Lösung mit Potenzreihenansatz

EXPLIZITE LÖSUNGEN

Eigenzustände des Coulomb-Potentials:

( )

Damit ergeben sich die Lösungen:

⟨ | ⟩ ( )

( )

( )⁄

∑ (

)

mit den Koeffizienten:

( ) (

) ( )

( )

( )

( )

ZEEMAN-EFFEKT

Selbe Eigenfunktionen wie , aber andere EW:

Die Entartung des EW wird dabei aufgehoben!

FESTKÖRPERPHYSIK

Mit der adiabatischen & ein-Elektron-Näherung

SG:

( ) ( ) ( )

mit

RB bel. wählbar, z.B. periodisch: ( ) ( )

Es folgen diskrete Werte für

Volumen pro Zustand: ( )

Dichte der Zust. im k-Raum:

( ) mit d: Dimension

Zustandssumme in 3D: ( )

.

/

(( )

)

und mit √ ⁄ folgt: ( )

.

/ ⁄

Zustandsdichte 3D: ( )

( ) ⁄

√

für 2D: ( )

und 1D: ( )

√

√

MEHRTEILCHENSYSTEME

Termschema Energie der stat. Zustände im H-Atom:

( )

-fach entartet

mit Hauptquantenzahl

für das H-Atom Rydberg

Ha

-Zustand, -Zustand, ... d, f, ... Termschema:

2s und 2p sind zweifach-entartet, 3s, 3p und 3d sind 3-fach entartet

( ) √

( )

( )

( ) ( ( ))

mit ( )

: Hauptquantenzahl, Energie : Bahn-Drehimpuls, Form .., n-1 : magn. Drehimpuls, Orientierung Wellenfunktion:

DAS -MOLEKÜL

Hamilton-Matrix:

( ) (

) (

)

∫

∫

∫

∫

( )

( *

+ )

Daraus entsteht das Eigenwertproblem:

( ( ) ( )

( ) ( )) ( )

durch Symmetrie des

-Moleküls gilt:

(

)

( )

Dabei ist .

/ und ∫

der Mittelwert der Coulomb-Wechselwirkung des Atomkerns mit dem Elektron mit der Elektronendichte

( ) . Weiters gibt ∫

die Amplitude

dass das Elektron mit Zustand unter der Wirkung es Hamiltonoperators in der Nähe von zu finden ist.

FESTKÖRPER

Möglichkeiten zurDiagonalisierung der Matrix: a) brute-force-lösen der Determinantengleichung b) erraten der EZ, dann EW berechnen Translationssymmetrie:

| | |

| |

|

Das bedeutet, die Koeff.

mit : Atomabstand. D.h.:

.

/

√

wobei für jeden Eigenzustand charakteristisch ist. Aus

folgt eine Bestimmungsgleichung für : ( )

mit den Lösungen

mit , - oder

equivalent

mit 0

1. Jeder EW ist durch eine

bestimmte Wellenzahl gezeichnet, d.h. ist eine zur

Klassifizierung der EW brauchbare Quantenzahl. Die zu

gehörige Eigenfunktion lautet

√ ∑

. Diese

Form ist in der Festkörperphysik als Blochsche Konstruktion der Eigenzustände bekannt. Die EW lassen sich jetzt direkt best.:

√ , -

√

√

Die Lösung dieser Gleichung ist:

( ) mit

.

Diese sind die Energie-Niveaus eines einzelnen Elektrons in einem Ring mit Inonen in der. sog. Tight Binding Approximation. Das Matrixelement bewirkt, dass sich das atomare Energieniveau der freien Atome zu einem Energieband ( )

verbreitert. Im 3D-Gitter werde die -Werte zu -Vektoren, die

innerhalb eines bestimmten Polyeders im -Raum verteilt sind

(die sog. (erste) Brillouin-Zone) und ( ) zu ( ).

Beispiel Natrium: Na hat die Elektronenkonfiguration , - Wir müssen nur die Valenzelektronen beachten. Die mögl.

Basiszustände für das Einelektronenproblem am Gitterplatz lautet . Und somit ( ) ( ) ( )

Die Eigenzustände sind die Blochsummen:

( )

√ ∑ ( ) . Die Matrixelemente des Hamilton-

Operators sind: . verbinden

mit den nächsten Nachbarn. Die Bestimmungsgleichung für die Energie-Eigenwerte lautet:

. ( ) ( )/ . ( )

( )/ . ( ) ( )/

Die Lösung dieser Gleichung ergibt das -Energieband des Na-

Kristalls: ( ( ) ( ) ( ))

Füllt man das Band mit weiteren elektronen auf, so muss berücksichtigt werden, wiviele Elektronen pro Atom jedes Na-Atom zum Kristall beiträgt. In diesem Fall trägt jede Na-Atom 1 Elektron bei. Jedes Band hätte auf Grund des Pauli-Prinzips Platz für 2 Elektronen. Da wir jedoch nur Elektronen haben, ist das Band nur bis zur Hälfte gefüllt, und somit bis zum Schwerpunkt des Energiebandes, der mit übereinstimmt. Dieser Energiewert, der die Grenze zwischen besetzten und unbesetzten Zuständen darstellt, heisst Fermi-Niveau und wird meist mit bezeichnet. Hätten wir zwei -Elektronen pro Atom, wäre das Bandmaximum. Sind andere Valenzelektronen (p, d, ...) vorhand, erwartet man weitere Bänder, die dann auch gefüllt werden müssen. Bandstrukturen von Festkörpern können deshalb sehr kompliziert werden, da noch Bandüberlapp vorkommt.

Prüfung: evtl. quadratisches Gitter