Vol. IX, 1958 183

Zwe i r e ih ige D e t e r m i n a n t e n aus T h e t a i u n k t i o n e n Herrn HELLr~Ura K~,S~R zum sechzigsten Geburtstag

Von LOTHAR KOSCHMIEDER in Bagdad

1. In zwei Mitteilungen, von denen die eine sehon erschienen isiS), die andere dem- ai~chst in den , ,Mathematisehen NachMchten" erscheinen wird, habe ieh das Vor. ~eielaen zweireihi~er Hankelscher Dete rminanten untersueht , die aus elliptischen

,

�9 t~akt~oaen bestehen Ich m6chte nun die Thetafunkt ionen ~) in die Be t rach tung ein- b~zie h aen; hier werde ich fiber zwei von ihnen, niimlich

co

(1.1) vq~(v) = 2 ~, ( - - 1) n q(n+~/~)' sin (2n -}- 1) ~ v , Z t = 0

(1.2) 02(v) = 2 ~, q(n+~l~)' cos (2n + 1) a v n=O

llllter der Annahme 0 < q ~ 1 die beiden S/s beweisen :

Die Determinanten

Iv% (v - w) zg~ (v) (l.a) D1 = ~ (v) e~ (v + w) '

(1,r D2 = v% (v - - w) ~ (v) i ~2(v) ~%(v+w)

~ nd ftir all~ reellen Weft~ yon v und w negativ mit Ausnahme der ganzzahligen Werte l, die D1 = 0 und Du ---- 0 ergeben.

~" 2, I)er B e w e i s dieser Behauutun~en sti i tzt sich auf die zwisehen den Thetafunk- or~ea bestehenden Beziehunge~n zw~iten GradesS), y o n denen die hier in Bet racht ~araenden lauten

(~'~) ~ ~l(v + w) ~1 (v - w) = ~ (v ) ~ (w) - ~ (~ ) a~(w),

(~'~) ~ ~ (~ + w)~(~ - w) = ~ ( v ) ~ ( ~ ) - ~o~(~)o~(~).

Aus (2.1) sehlieBt man (2.a)

= -- ~ ~i tw~.

Z. ~ 1.are einfachsten Eigensehaften werden hier als bekannt vorausgesetzt. Der Leser finder sic a)'~. n 17. TRICOMI'S Funzioni ellittiche, Bologna 1937, S. 127--158, entwiekelt. 7~lehe etwa t t WEBER, Elliptische Funktionen und algebraisehe Zahlen, Braunschweig 1908 ~. l~Ian benutze die dortigen Formeln (3), (4) [v~11, ~10 dort sind hier ~ , vq2] und S. 74, (13).

] 84 L. KOSCHMIEDER MICH. Nh~it'

N u n isg abe r 4) ~93 - - -~ga (0) = 9'3 (l) der gr5i~te W e r t der Funk t . i on tg.a (w), also d~s erste Glied reeh ts nega t iv , ~ul3er w e n n v = l oder w = l i s t ; d a n n is t es null . ])as zweite Glied is t s te ts n e g a t i v ; n u r w e n n w = 1 ist, h a t es den W e r t 0. D ~ m i t is$ die U n g l e i c h u n g D1 < 0 ftir w . 1 bewiesen. DaB d a n n aueh D2 < 0 ist, folgt, inder~ m a n v in (] .3) du reh v ~- ,~ e rse tz t u n d die B e z i e h u n g e n beniigzt,

(v 3. W g h l t , n a n v = m u , w = u, so s ieht m a n : Die Funktionen I. ~m(u) ~ ~91(~rtct)'

I f . Fm (u) - - t92 (mu) bilden ffir m = 1, 2 . . . . je eine Turdnsche Folge ~) lgngs der ganZeo reel len u -Aehse m i t A u s n a h m e der P u n k t e u ----- l, in d e n e n DI u n d D~ n u l l sin&

�9 : ~ , 4 Wie ieh in A,2. zeigte, g i l t y o n d en ell~pti~chen F u n k t i o n e n I. o)m (u) ~ sn . .

�9 ~ , l ~

I I . epm(u) - - e n m u rail, p o s i t i v em e e h t e m Modu l lc dasse lbe ; dies b e r u h t glewhfN a u f der Ze iehenfes l igke i t e iner a l l geme ine ren als der d o r t m i t ~n(u) bezeiehne~eg D e t e r m i n a n t e . Mit d en A b k f i r z u n g e n

Shy = Sl, en v = Cl, d n v - - dl , s n w = s2, e n w = c2, d n w =- d~

is t n ihn l i ch ~)

8~ - 4 sn (v - i w) sn (v - - w) = 1 - lc=<4 '

u n d h ie r~us f inder m a n le icht

? _ _ 2 o

sn ( v - - w ) s n v = _ s ~ ( 1 - l c2s] ) (4o l ) A I = ]

, sn v sn (v + w)] ~ - J~=a~4 '

(4.2) A 2 = o n ( v - - w ) c n v i=._8~,(d~. +k~ '=81 )

cn v on (v -r- w) l 1 -- k%~s~

Bcide D e t e r m i n a n t e n s ind also n ich t -pos i t iv , u n d gleich nu l l n u r f f i rw = 21K7) �9

Mit v = m u , w - - u erhi i l t m a n die e ingangs ange f i i h r t en u n d bei ihrer besm~der~{ I F o r m in A,2. a u f dems e l b en Wcge g e w o n n e n e n Ergebn i s se t iber die Fo lgen {snraa]

5. Die m i t Jacob i s dritter F u n k t i o n gdbi lde te D e t e r m i n a n t e

d n (v - - w) d n v t (5.1) Aa = d n v d n (v § w) /

is t in bezug a u f v (und w) per iodisch m i t der Per iode 2 K u n d h ins ich t l i ch v(ulld r gerade. M a n d,~rf dahe r v (und w) a u f d e n Bere ich y o n 0 bis K be sch rgnken (~v~s na t i i r l i ch auch bei Z]l u n d AI2 m6gl ich gewesen wgre). Der W e r t y o n Zla is~, d a6)

4) I)cn Verlauf dcr Thctafimktioncn bci rcdlem Argument schildcrt G.-H. HALPItlgN in s eiue1~ Tr~it('; de~ fone~ions elliptique.% I, P~ris 1886, S. 285--286.

~) Best.immung dieses Bcgriff~s in A, S. 3. 6) Sichc TRICOMI2), S. 254. 7) Die Argumente der elliptischen unterscheiden sich yon denen der Theta-Funktionen u~ de~

5lalteil 2 K.

V01. I)~, 1958 Determinanten aus Thetafunktionen 185

dn (v + w) dn (v - - w) - - i : : ~ ,~7~ ist,

2 2

(5.2} A s = - - 1 - ~ , 7 4 '

~ach dec Formel a) cnv /dne ~ sn {v + K) k~nn m~n star t dessen schreiben (5.~) gJa ~-~ ~ k 2 dn% sn%v

1 -- k2 sn~vsn'~w [sn(v + K) -k sn v] [sn(v q- K) - - s n v ] .

I[:~w q= 21 K, so ist ~uf der rech~en Seite der Brucil positiv. Die erste eckige K bun mer . at dasselbo fes~o Zeichen; die zweito ist positiv m 0 ~_ v < K/2, null fiir v ~- K/2. l~ K/2 ~ v _ ~ K nega~iv. Aa hat, das duzu cntgegengesetzte Vorzeichen,

Fiir v ~ nu, w ~ u bestgtigt man das in A,3. ~estgestellte, d ~ ngmlich, sm~ eit das Oebiet 0 < u < Kin in Betra.cht kommt , bei dcr dortigen Bezeichnung

(1 ~ ) , K < u < l , 7t, ~ 7 t

l~t USW

~' Die Formeln (4.1), (4.2) gelten auch in der~ Grenz/i~llen k = 0, in dem snu, enu ut sie u, cos u, und/~ -~ 1, in dcm sic zu~fi u und I/~s u ent~rten. Bei der zweiten

sartUng mul3 man zwar ,~uf den ~bergung yon {5.2} zn (5.3) verzichten, well h : . , ~o, wcnn k -+ 1. Abet" (5.1) ergibr in diesem Falle unmit telb~r

(tie reehte Seite ist niemals positiv, und null nu t f[ir w = 0.

Eingegomgen ~m 10. 19. 1957

;,---: . . . . . ~) S~ehe T t ~ c o ~ ) , S. 119.