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Zylinder und Kegel Zylinder: Jeder Zylinder hat zwei kreisförmige Grundflächen (G), die zueinander parallel sind. Die gekrümmte Seiten-fläche heißt Mantelfläche (M). Der Abstand der beiden Grundflächen voneinander ist die Höhe (h) des Zylin-ders. Alle Flächen zusammen bilden die Oberfläche (O) des Zylinders. Aufgabe: Zeichne die Abwicklung eines Zylinders mit dem Radius (r) = 2 cm und der Höhe (h) = 8 cm.

a.) Wie viel cm2 Pappe benötigt man für den Zylinder? b.) Entwickle eine Formel für die Mantelfläche (M) und die Oberfläche (O) des Zylinders.

h

2

2

2

O 2 r 2 rh

O 2 2 2 2 8

O 25,13 100,53

O 125,66 cm

= π + π

= ⋅ π ⋅ + ⋅ π ⋅ ⋅

= +

=

Oberfläche des Zylinders

2

O 2 Grundfläche Mantel

O 2 r 2 rh

O 2 r (r h)

= ⋅ +

= ⋅ π + π

= π ⋅ +

2G r= π ⋅ 2G r= π ⋅ M 2 r h= ⋅ π ⋅ ⋅

2 r⋅ π ⋅

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Volumen des Zylinders Volumen eines Prismas: V G h= ⋅ Volumen des Zylinders: 2V r h= π ⋅ Wiederholung der Volumenmaße:

3 1000 3 1000 3 1000 3 1.000.000.000 31mm 1cm 1dm 1m 1km

1ml 1l

⋅ ⋅ ⋅ ⋅→ → → →

Aufgabe: Bestimme das Volumen der Beispielaufgabe mit r = 2 cm und h = 8 cm.

2

2

3

3

V r h

V 2 8

V 100,531cm

V 0,101dm 0,101Liter

= π ⋅

= π ⋅ ⋅

=

= =

Das Volumen des Zylinders ist 0,101 dm3 = 0,101 Liter.

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Kreisteile und Zylinder 1.) Eine zylindrische Regentonne hat einen Innendurchmesser von 60 cm und eine Höhe von 85 cm.

a.) Wie viel Liter Wasser (V) fasst sie? b.) Wie hoch (h) stehen 150 Liter Regenwasser in ihr?

2.) Das abgebildete Werkstück stellt einen Quader dar, in den ein Zylinder

eingefräst wurde. (Maße in Zentimeter!)

a.) Welches Volumen (V) besitzt das Werkstück? b.) Das Werkstück soll komplett mit Farbe bestrichen werden. Wie

groß ist die zu bestreichende Fläche (O)? 3.) Wie groß sind das Volumen (V) und die Oberfläche (O) der abgebilde-

ten Antriebswelle (Maße in Millimeter!)? 4.) Im Zuge des Straßenbaus soll eine Kurve erneuert werden. (Siehe

Zeichnung rechts, Maße in Meter!).

a.) Wie groß ist die zu asphaltierende Kurvenfläche (A)? b.) Die Kurve soll innen und außen mit Leitplanken versehen wer-

den. Wie viele Meter Leitplanken (b) müssen angebracht wer-den?

c.) Der Asphalt wird mit einer 8 cm dicken Schicht in der Kurve auf-getragen. Wie viel Kubikmeter Asphalt (V) werden benötigt?

5.) Für integrierte Schaltungen in Computern werden extrem dünne Dräh-

te verwendet. Ein solcher Draht hat einen Durchmesser von 0,01 mm.

a.) Wie viel Meter Draht (h) haben ein Volumen von 1 cm3? b.) Der Draht besteht aus fast reinem Gold. 1 cm3 Gold wiegt 19,3

Gramm. Wie viel wiegt 1 Kilometer Draht (M)? 6.) Im Bild rechts ist ein Hohlzylinder aus Gusseisen dargestellt.

a.) Wie schwer ist der Hohlzylinder (M), wenn 1 cm3 Gusseisen 7,3 Gramm wiegt?

b.) Der Hohlzylinder soll komplett mit einer Rostschutzschicht verse-hen werden. Wie viele cm2 (O) müssen gestrichen werden?

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Kreisteile und Zylinder (Lösungen) zu 1.) a.) b.)

2 2

2

3

2

32

V r h V r h

VV 30 85 h

r150000

V 240.331,838 cm h

V 240,332 dm 240,332 Liter

3

h 53,

0

05 cm= =

= π ⋅ = π ⋅

= π ⋅ ⋅ =π

= =π ⋅

=

zu 2.) a.) b.)

Würfel Zylinder Würfel Würfel Zylinder Zylinde

3

r

2

2

2

V V V O M (2 G 2 G ) M

V 6 6 6 2 6 O 4 6 6 (2 6 6 2 2 ) 2 2 6

V

V 140,602 c

216 75,3

m O 266

98 O 144 (48 25,13) 75

,27 cm

,4

= − = + ⋅ − ⋅ +

= ⋅ ⋅ − π ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= =

+ ⋅ ⋅ − ⋅ π ⋅ + ⋅ π ⋅ ⋅

= − = + − +

zu 3.)

Zylinder klein Zylinder groß Zylinder groß Zylinder klein

3 2

2 2 2

V 2 V V O O 2 M

V 2 10 40 16,5 124 O 2 16,5 2 16,5 124 2 2 10 40

V 2 12566,37 106057,03

V 131.189,77 mm O 19.592,55 mm

O 1710,6 12855,4 5026,55

= ⋅ + = + ⋅

= ⋅ π ⋅ ⋅ + π ⋅ ⋅ = ⋅ π ⋅ + ⋅ π ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ π ⋅

= =

⋅

= ⋅ + = + +

zu 4.) a.) b.) c.)

Sektor außen Sektor innen außen innen Fahrbahn

22

3

2

2

A A A b b b V A h

60 140 40 140 60 140 40 140A b V 2443,46 m 0,08 m

360 360 180 180

A 4398,23 1954,77 b 146,61 97,74 V 195,477 m

A 2443,46 m b 244,35 m

= − = + = ⋅

π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅= − = + = ⋅

= − = =

= =

+

zu 5.) a.) b.)

2

3

2 2

2

32

V r h V r h

Vh V 0,005 1.000.000

r1000

h V 78,54 m

h 12.732.395 mm V 0,07854 cm

h 12.732,

m0,005

M 0,07854 19,3

M 1,516 g

4 m =

= =

=

= π ⋅ = π ⋅

= = π ⋅ ⋅π

= =π ⋅

⋅

=

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zu 6.) a.) b.)

Zylinder groß Zylinder klein Zylinder außen Zylinder innen Kreisring

2 2 2 2

V V V O M M 2 A

V 175 640 160 640 O 2 175 640 2 160 640 2 ( 175 160 )

V 61.575.216 51.471.854 O 703.716,7

V 1

5 643.398,18 2 15.786,5

= − = + + ⋅

= π ⋅ ⋅ − π ⋅ ⋅ = ⋅ π ⋅ ⋅ + ⋅ π ⋅ ⋅ + ⋅ π ⋅ − π ⋅

= − + + ⋅

=

=

3 2

3 2

3 2

0.103.362 mm O 1.378.687,93 mm

V 10.103,362 cm O 13.786,88

M 10.103,362 cm 7,3 g O 1,38 m

M 73.754,543 g 73,755 k

c

g

m

= ⋅ =

= =

=

= =

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r

h

s

α

s

r

Der Kegel Mantelfläche und Oberfläche: Nach Pythagoras ergibt sich:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

s h r

h s r

r s h

= +

= −

= −

Wenn man einen Kegel aufklappt (abwickelt), so erhält man folgendes Bild: Der Mantel des Kegels ist ein Kreissektor, der bestimmt wird durch die Größe des Winkels α (Mittelpunktswinkel). Da die Mantelfläche (M) des Kegels einem Dreieck ähnelt, kann man

sie berechnen mit:

S

b s 2 rs

sM D A

2 2r

⋅ ⋅ π ⋅ ⋅≈ ≈ = = = π ⋅ ⋅

Die Oberfläche (O) des Kegels wird dann berechnet mit:

2

O Grundfläche Mantel

O r rs

O r (r s)

= π + π

= π ⋅ +

= +

außerdem:

360

r 32

60r 2

s

s

α °=

π π

⋅ °α =

Volumen des Kegels: Das Volumen eines Kegels wird berechnet mit:

22r h

V r h33

1π ⋅ ⋅= = ⋅ π ⋅ ⋅

Aufgabe: Löse die Volumenformel des Kegels nach r und h auf:

2 2

2 2

2

r h r hV V

3 33 V r h 3 V r h

3 V 3 Vh r

hr

π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅= =

⋅ = π ⋅ ⋅ ⋅ = π ⋅ ⋅

⋅ ⋅= =

π ⋅π ⋅

s = Mantellinie

2 rπ

2 rπ

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Aufgabe: Ein Kegel hat einen Radius (r) von 3,5 cm und eine Höhe (h) von 8,5 cm. Bestimme die Oberfläche und das Volumen dieses Kegels.

22 2 2

22 2

2 3

r hs h r O r (r s) V

3

3,5 8,5s 8,5 3,5 O 3,5 (3,5 9,2) V

3

s 9,2 cm O 139,64 cm V 109,039 cm

π= + = π ⋅ + =

π ⋅ ⋅= + = π ⋅ ⋅ + =

= = =

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Mantelfläche (M) und Oberfläche (O) eines Kegels Auf dem Arbeitsblatt sieht man drei Kreise mit s = 5 cm, die für die Mantelfläche von Kegeln dienen sollen. Schneide dazu die Kreise aus, schneide danach aus den Kreises Sektoren mit folgenden Winkelgrößen aus:

1. Kreis: Sektor mit α = 150° 2. Kreis: Sektor mit α = 210° 3. Kreis: Sektor mit α = 270° Forme die Sektoren zu einem Kegel. Was stellst du fest?

Berechne mit Hilfe der Formeln rsrO;srM;s

360r 2 π+⋅π=⋅⋅π=°⋅

=α die Mantelfläche (M) und die

Oberfläche (O) deiner Kegel.

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Arbeitsblatt Kegel 1.) Berechne von einem Kegel:

a.) Die Länge der Seitenlinie (s), das Volumen (V) und die Oberfläche (O) aus: Radius (r) = 6 cm; Kegelhöhe (h) = 8 cm.

b.) Die Kegelhöhe (h), das Volumen (V) und die Oberfläche

(O) aus: Durchmesser (d) = 18 cm; Seitenlinie (s) = 41 cm.

c.) Den Radius (r), das Volumen (V) und die Oberfläche

(O) aus: Seitenlinie (s) = 25 cm; Kegelhöhe (h) = 20 cm.

d.) Die Kegelhöhe (h), die Seitenlinie (s) und die Oberflä-

che (O) aus: Radius (r) = 9 cm; Volumen (V) = 400 cm3.

e.) Die Seitenlinie (s), die Kegelhöhe (h) und das Volumen

(V) aus: Radius (r) = 5 cm; Oberfläche (O) = 200 cm2.

2.) Ein kegelförmiges Trinkglas soll 0,15 Liter fassen und am oberen Rand einen Durchmesser (d) von 5 cm

aufweisen.

Wie hoch muss das Glas (ohne Fuß) sein? 3.) Aus einem Viertelkreis, einem Halbkreis und einem Dreiviertelkreis, jeweils mit dem Radius 10 cm, wer-

den offene Kegel geformt.

Berechne jeweils ihr Volumen (V) und ihre Oberfläche (O). Beachte dabei den Unterschied zwischen dem Radius der Mantelfläche (s) und dem Grundkreisradius (r).

4.) Über ein Förderband werden 525,9 m3 Salz kegelförmig aufgeschüttet. Welche Bodenfläche (A) bedeckt

der Salzhaufen, wenn er 6,2 m hoch ist? 5.) Ein kegelförmiges Senklot aus Stahl mit einem Durchmesser (d) von 43 mm ist

insgesamt 75 mm hoch.

a.) Wie groß ist sein Gewicht (M), wenn 1 cm3 Stahl 7,8 Gramm wiegt? b.) Das Senklot soll mit eingefärbt werden. Wie viel cm2 müssen mit

Farbe versehen werden? 6.) 6 cm lange Bleistiftminen mit einem Durchmesser von 2 mm werden bei der Produktion auf 5 mm Länge

angespitzt.

Wie viel Prozent des Gesamtvolumens gehen dabei als Abfall verloren?

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Arbeitsblatt Kegel (Lösungen) zu 1.) a.)

22 2 2 2

22

3 2

2 2

r hs h r V O r rs

3

6 8s 6 8 V O

s 10 cm V 301,593 cm O 301

6 6 1

,5

03

9 cm=

π ⋅ ⋅= + = = π + π

π ⋅ ⋅= + = = π ⋅ + π

=

⋅

=

⋅

b.)

22 2 2 2

22 2

2

2

3

r hh s r V O r rs

3

9 40h 41 9 V O 9 9 41

3

h 40 cm V 3392,92 cm O 1413,72 cm= =

π ⋅ ⋅= − = = π + π

π ⋅ ⋅= − = = π ⋅ + π ⋅

=

⋅

c.)

22 2 2 2

22

2

2 2

3

r hr s h V O r rs

3

15 20r 25 20 V O

r 15 cm V 4712,389 cm O 188

15 15 2

4

53

,96 cm=

π ⋅ ⋅= − = = π + π

π ⋅ ⋅= − = = π ⋅ + π ⋅ ⋅

= =

d.)

22 2 2 2

2 2 22

22

r hV s h r O r rs

33 V

h s 4,7 9 O 9 9 10,2r

3 400h

9s 10,2 cm O 542,87 cm

h 4,7 cm

π ⋅ ⋅= = + = π + π

⋅= = + = π ⋅ + π ⋅ ⋅

π ⋅

⋅=

π ⋅= =

=

e.)

22 2 2 2

2 2

3

2 2

2

r hO r rs h s r V

3

O r 5 5,9s h 7,7 5 V

r 3

200 5s h 5,9 cm V 154,462 cm

s 7,7 m5

c

π ⋅ ⋅= π + π = − =

− π π ⋅ ⋅= = − =

π

− π ⋅= =

=

π ⋅=

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zu 2.)

2

2 2

r h 3 V 3 150V h h

3 r 2,5h 22,9 cm

π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

π ⋅ π ⋅

zu 3.)

Grundkreis Grundkrei

Viertelkreis 90 Halbkreis 180 Dreiviertelkreis 270

r r rb b b

180 180 18010 90 10 180 10 270

b b b180 180

r s 10 cm r s 1

180

0 cm r s 10 cm

b 15,7 cm b

r 2,5 c

31,4 cm b 47,1cm

m r

⇒ α = ° ⇒ α = ° ⇒ α = °

π ⋅ ⋅ α π ⋅ ⋅ α π ⋅ ⋅ α= = =

π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅= = =

= = = = = =

= =

=

=

s Grundkreis

3 3 3

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

h 10 2,5 h 10 5 h 10 7,5

r h r h r hV V V

3 3 3

2,5 9,7 5 8,7 7,5 6,6V V V

3

(Offener

5 cm r 7,5 cm

h 9,7 cm h 8,7 cm h 6,6 cm

V 63,486 cm V 227,765 cm V 3

3 3

O rs

88,

O rsKegel! O r

77 m

)

2 c

s

= − = − = −

π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅= = =

π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅= = =

= π = π

= =

= = =

=

= π

= =

2 2 2O 78,54

O 2,5 1

cm O 157,08 cm O 23

0 O 5 10 O 7

5,62

5 1

cm

, 0= π ⋅ ⋅ = π ⋅

= = =

⋅ = π ⋅ ⋅

zu 4.)

2

22 2

r h 3 V 3 525,9V r r

3 h 6,2

A

r 9 m

A 25r 4,49 7A m

π ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

π ⋅ π ⋅

= π ⋅ == π ⋅

=

zu 5.)

2 2kleiner Kegel großer Kegel k kleiner Kegel großer Kegel

22gk

k gk

g

2 22 2

g

s

V V V s 7 21,5 O M M

r hr hV O r s r s

3 3

21,5 7 21,5 68

22,

V s 68 21,5 O 21,5 22,6 21,5 71,33 3

V 3388,

6 mm

s 71,3 m469 329 ,56 m16 1

= + = + = +

π ⋅ ⋅π ⋅ ⋅= + = π ⋅ ⋅ + π ⋅ ⋅

π ⋅ ⋅ π ⋅ ⋅= + = + = π ⋅ ⋅ +

=

π ⋅ ⋅

= +

=

3 3 2 2V 36305,03 mm 36,305 cm O 6342,4 mm 63,42 cm

O 1526,5 4815,9

M V

M 36,

M 283,179 g

305 7,8

= +

= ⋅ ρ

=

= ⋅

= = = =

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zu 6.)

2Zylinder (Höhe 5mm) Kegel Mine

22 2

Mine

22

3

3Mine

V V V V r h

r hV r h V 1 60

3

1 5

V

V 1 53

V 15,708 5,236

Pw 100p

G10,472 10

10,472 mm

0

V 188,5 mm

188,

(Abfall)

5

%

p

p 5,56

= − = π ⋅ ⋅

π ⋅ ⋅= π ⋅ ⋅ − = π ⋅ ⋅

π ⋅ ⋅= π ⋅ ⋅ − =

⋅=

=

=

= −

⋅=