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Aufgabe 78Induktiv: Intervallschätzer
Bei der Prüfung der Füllmenge von Fruchtsaftflaschen ergaben
sich folgende Werte:
ccm 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207Anzahl 2 1 3 1 3
1 2 1 1 0 1
Nach Angaben des Abfüllers ist die Füllmenge normalverteilt mit
einer Varianz von�2 D 2;25.
a) Man gebe ein Schätzintervall für den Erwartungswert � zum
Niveau 1 � ˛ D 0;94.b) Welcher Stichprobenumfang n garantiert eine
Länge von 1 für das Schätzintervall?
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steText Box# -------------------# Loesung in R:#
-------------------
a = c(197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207)h =
c(2, 1, 3, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 0, 1)
x = rep(a, h) # Aufstellen der Urlisten = length(x) #
Stichprobenumfangc = qnorm(0.97) # x_1-alpha/2x.m = mean(x) #
Stichprobenmittelsigma = sqrt(2.25) # hier gegeben
KI = x.m + sigma*c/sqrt(n) * c(-1,1)KI
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6)
Aufgabe 79Induktiv: Intervallschätzer
X1; : : : ; X31 beschreibe eine einfache Stichprobe aus einer
beliebig verteilten Grundgesamt-heit. Aus den Ergebnissen wurden Nx
D 9 und s2 D 31=4 errechnet. Zur Irrtumswahrschein-lichkeit ˛ D
0;05 bestimme man
a) ein Schätzintervall für den Erwartungswert �,b) unter der
Annahme, dass die Grundgesamtheit normalverteilt ist, ein
Schätzintervall für
die Varianz �2.
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steText Box# Aufgabe 51 (Konfidenzintervall)
# a)c = qt(1-(0.05)/2, 30)delta = sqrt(31/4)*c/sqrt(31)m = 9KI =
c(m-delta, m+delta)KI
# b)c1 = qchisq(0.025, 30)c2 = qchisq(0.975, 30)z = 30*31/4KI =
c(z/c2, z/c1)KI
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Aufgabe 80Induktiv: Intervallschätzer
Ein Barista dosiert in einer Espressobar die Menge Kaffeepulver
in Gramm bei 10 zufälligausgewählten Espressobezügen
folgendermaßen:
7.3 8.2 7.0 9.2 8.1 6.9 7.1 8.5 9.0 8.5
Berechnen Sie für diesen Barista ein Konfidenzintervall für die
Varianz der Kaffeemenge proEspresso zum Konfidenzniveau 0,95.
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steText Box# ------------------------------------# Loesung in R
(nicht klausurrelevant)# ------------------------------------
library(asbio)x = c(7.3, 8.2, 7.0, 9.2, 8.1, 6.9, 7.1, 8.5, 9.0,
8.5)ci.sigma(x, conf=0.95)
## 95% Confidence interval for population variance ## Estimate
2.5% 97.5% ## 0.7217778 0.3414855 2.4055789
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6)
Aufgabe 81Induktiv: Tests Fehler 1. Art
In einem Spielkasino werden Zweifel geäußert, dass ein
bestimmter Würfel fair ist, d.h. alleZahlen gleich häufig
auftreten. Der Spielleiter fordert einen Zweifler auf, ein
Signifikanzni-veau ˛ zwischen 0;01 und 0;40 anzugeben, zu dem die
HypotheseH0, dass der Würfel fair ist,getestet werden soll. Welches
˛ wird der Zweifler wählen, wenn er möchte, dass der Würfelaus dem
Spiel genommen wird?
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Aufgabe 82Induktiv: Tests Erwartungswert
Ein Arbeiter braucht für die Bearbeitung eines Werkstücks im
Durchschnitt 7 Minuten (420sec. D �0). Ein Fachmann schlägt, um
eine Zeitersparnis zu erreichen .� < �0/, eine
andereBearbeitungsart vor und will die Effektivität seines
Vorschlags mithilfe einer Stichprobe vomUmfang n D 16 testen.
Führen Sie diesen Test (Hypothese H0 W � D �0 gegen H1 W � <�0)
zum Signifikanzniveau ˛ D 0;05 bzw. 0;01 durch. Dabei sei ferner
vorausgesetzt, dassdie Grundgesamtheit normalverteilt ist. Die
Stichprobe ergab folgende Werte: Nx D 408 unds D 25;7 .
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Aufgabe 83Induktiv: Tests Erwartungswert
Die Personalabteilung eines Großunternehmens hat den Verdacht,
dass die Mitarbeiter dieMittagspause (maximal 1 Stunde) im
Durchschnitt überziehen. Mit einer einfachen Stichprobeder
Pausenlänge von 20 Mitarbeitern soll getestet werden, ob die Zeiten
eingehalten werdenoder ob im Mittel überzogen wird. Es ergibt sich
für die Pausendauer ein Stichprobenmittelvon 70 Minuten und eine
Stichprobenstandardabweichung von 15 Minuten. Die Pausendauereines
Mitarbeiters kann als normalverteilte Zufallsvariable angenommen
werden.
Formulieren Sie Nullhypothese und Gegenhypothese und testen Sie
zum Signifikanzniveauvon 5 %.
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Aufgabe 84Induktiv: Intervallschätzer
Angeblich sollen Studierende sich in der Nacht vor einer Klausur
kürzer in der Tiefschlafphasebefinden also im Durchschnitt aller
Nächte. Eine einfache Stichprobe von 61 Studenten wirddiesbezüglich
untersucht. Im Durchschnitt wurde in dieser Stichprobe 48 Minuten
Tiefschlafin den letzten 24h vor der Klausur gemessen, mit einer
Stichprobenvarianz von 196.
Bestimmen Sie ein 95 %-Konfidenzintervall für die
Tiefschlaflänge aller Studierenden am Tagvor der Prüfung.
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Aufgabe 85Induktiv: Intervallschätzer
Die Hochschule X möchte wissen, wie gut Ihre Sudenten über
internationale aktuelle Nach-richten aus der Politik informiert
sind. 30 zufällig ausgewählten Studierenden werden Fragenzu 100
Nachrichten der letzten beiden Monate gestellt. Im Durchschnitt
können die Befragten58 Fragen richtig beantworten bei einer
Stichprobenstandardabweichung von 3,2.
a) Berechnen Sie ein 99 %-Konfidenzintervall für die
durchschnittlich von allen Studentender Hochschule richtig
beantwortete Anzahl der Fragen.
b) Im Landesdurchschnitt aller Studenten aller Hochschulen
ergeben sich 65 Punkte. Tes-ten Sie zum Signifikanzniveau von 5 %,
ob der der Durchschnitt der Punktzahl an derHochschule X niedriger
ist als im Landesdurchschnitt.
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Aufgabe 86Induktiv: Intervallschätzer Tests
Studierende beschweren sich, dass die Klausuren in Statistik zu
schwer seien. Der Dozentmöchte das natürlich im Sinne der
Studierenden verbessern und lässt durch das Prüfungsamtdie
Metallklammern der Klausuren durch eine leichtere Variante aus
Kunststoff ersetzen. DieStudierenden glauben aber nicht, dass
dadurch die Klausuren leichter werden. Der Dozentmöchte das
beweisen und zieht eine einfache Stichprobe von 10 Klausuren, bei
der er folgendeGewichte misst:
65.28 65.84 64.47 63.82 66.64 62.55 65.74 64.90 65.87 65.29
Gehen Sie im folgenden davon aus, dass es sich beim Gewicht der
Klausur um eine normaver-teilte Zufallsvariable handelt.
a) Bestimmen Sie zum Konfidenzniveau 0,95 ein symmetrisches
Schätzintervall für denErwartungswert des Gewichts einer
Klausur.
b) Mit Metallklammer hatten die Klausuren früher ein
durchschnittliches Gewicht von65,86 g. Testen Sie zum
Signifikanzniveau von 5 % auf Basis der Stichprobe, ob dieKlausuren
jetzt leichter sind.
c) Was bedeutet bei dem Test von b) der Fehler 2. Art?
steSnapshot
steText Box# ---------------------# Loesung in R#
---------------------
x = c(65.28, 65.84, 64.47, 63.82, 66.64, 62.55, 65.74, 64.90,
65.87, 65.29)
# Teilaufgabe a)KI = t.test(x,
conf.level=0.95)$conf.intKI[1:2]
# Teilaufgabe b)t.test(x, mu=65.86, alternative = "less")#
damit: p-value < alpha, also: H0 verwerfen
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Aufgabe 87Induktiv: Intervallschätzer
Die deutsche Nationalmannschaft hat in 50 zufällig ausgewählten
Länderspielen die folgendenToranzahlen geschossen:
Anzahl der Tore pro Spiel 0 1 2 3 4Anzahl der Spiele mit diesem
Ergebnis 18 22 5 3 2
Gehen Sie im folgenden davon aus, dass die erhobenen Toranzahlen
aus einer einfachen Stich-probe der Grundgesamtheit aller
Länderspiele der deutschen Nationalmannschaft stammen.
a) Bestimmen Sie das 95 %-Konfidenzintervall für den
Erwartungswert � der Toranzahl inallen Länderspielen.
b) Die Standardabweichung der Tore pro Spiel in der
Grundgesamtheit aller Länderspielesei jetzt mit � D 1; 0 gegeben.
Wie groß muss der Umfang einer Stichprobe sein, damitdas 95
%-Konfidenzintervall für � nicht breiter als 0,5 Tore ist?
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ste10t.test(x, conf.level=0.95)
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Aufgabe 88Induktiv: Konfidenzintervall Anteil
Am Tag der Bundestagswahl werden kurz nach dem Schließen der
Wahllokale 300 zufälligausgewählte Wahlberechtigte gefragt, ob sie
gewählt hatten. 250 der Befragten bejahten das.
Schätzen Sie mit der Approximation der Normalverteilung zum
Konfidenzniveau 99 % einKonfidenzintervall für die Wahlbeteiligung
aller Wahlberechtigten.
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Aufgabe 89Induktiv: Tests Anteil
Herr Meyer betreibt einen Schnellimbiss für Vegetarier. Eines
Tages wird er von einem Kun-den wegen Betrugs und
Etikettenschwindels verklagt. Der Kunde kann per Fotos
nachweisen,dass 8 von 25 von ihm bestellten Gemüsesuppen gar nicht
vegetarisch waren, da sich eineFliege darin befand. Das Gericht
verlangt auf Basis dieser als einfach akzeptierten Stichprobeeinen
Hypothesentest, mit dem der Anteil � aller Gemüsesuppen mit Fliegen
als über dengesetzlich zugelassenen 10 % nachgewiesen wird.
a) Ist die Approximation durch die Normalverteilung in diesem
Fall gerechtfertigt?b) Formulieren Sie H0 sowie H1.c) Führen Sie
den Hypothesentest zu einem Signifikanzniveau von ˛ D 2; 28%
durch.
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Aufgabe 90Induktiv: Tests Fehler
Herr Untermann möchte auf der Karriereleiter in seiner Firma,
einem Telekommunikations-unternehmen, etwas vorankommen und schlägt
deshalb folgende Maßnahme vor: Der Daten-durchsatz der bisher
üblichen Flatrates beim Internetzugang von Kunden soll ab einem
Volu-men von 1GB downloads pro Monat extrem gedrosselt werden. Die
alten Konditionen könnendie Kunden dann optional zukaufen. Bisher
hat Herr Untermanns Firma einen Marktanteilvon 45 % bei dieser Art
flatrates. Eine Stichprobe unter allen potentiellen Kunden vom
Um-fang n D 2500 ergab, dass immerhin noch 43% der potentiellen
Kunden diese Leistung mitden verschlechterten Konditionen
nachfragen wollen. Herr Untermann schließt daraus, dasssich die
Kunden von der Verschlechterung der Vertragsbedingungen nicht
abschrecken lassenund freut sich auf die Mehreinnahmen durch seinen
Plan.
a) Formulieren Sie in diesem Szenario die Nullhypothese H0 und
die Alternative H1.b) Worin besteht in diesem Beispiel das Risiko,
den Fehler 1. Art zu begehen?c) Was bedeutet hier der Fehler 2.
Art?d) Würden Sie an der Stelle von Herrn Untermann ein möglichst
kleines Signifikanzniveau˛ zugrunde legen und dadurch einen
größeren Fehler 2. Art (ˇ) in Kauf nehmen oderumgekehrt ˇ klein
halten und dabei ein größeres ˛ zulassen?
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Aufgabe 91Induktiv: Tests Kontingenz
100 zufällig ausgewählten Personen einer bestimmten
Bevölkerungsschicht werden zwei Fra-gen vorgelegt, nämlich ob sie
(mindestens) ein Smartphone besitzen bzw. ob sie soziale Netzeim
Internet an mehr als 3 Stunden am Tag nutzen. Es ergeben sich
folgende Antworten:
Smartphone
>3h soziale Netze ja nein
ja 12 24nein 38 26
Testen Sie zum Signifikanzniveau ˛ D 5%, ob in dieser
Bevölkerungsschicht die beidenMerkmale „Smartphonebesitz“ bzw.
„starke Nutzung sozialer Netzwerke“ voneinander unab-hängig
sind.
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Aufgabe 92Induktiv: Tests Kontingenz
Wie hängen der Bierkonsum in Litern pro Woche und die
Selbsteinschätzung als Fußballfanzusammen? Personen einer einfachen
Stichprobe wurden diesbezüglich befragt:20 Fußballfans und 120
Nichtfußballfans gaben einen Bierkonsum von höchstens 1 l pro
Wo-che an. Zwischen 1 und 3 l pro Woche trinken 210 Fußballfans und
200 Nichtfußballfans.150 Fußballfans und 90 Nichtfußballfans gaben
einen Bierkonsum von mindestens 7 l an. 145Fußballfans und 65
Nichtfußballfans lagen in der verbleibenden Zwischengruppe.
Es soll nun auf Basis der Stichprobe die Unabhängigkeit der
Fußballaffinität vom Bierkonsumin der Gesamtbevölkerung getestet
werden.
a) Formulieren Sie H0 bzw. H1.b) Was bedeutet hier der Fehler 1.
bzw. der Fehler 2. Art?c) Führen Sie den Test zum Signifikanzniveau
von 10 % durch.
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ste10siehe Aufgabe 16
-
Pro
f.D
r.S
tefa
nE
tsch
berg
er–
Hoc
hsch
ule
Aug
sbur
g–
Sta
tistik
–S
omm
erse
mes
ter
2015
–A
ufga
bens
amm
lung
–(S
eite
101
von
106)
Aufgabe 93Induktiv: Tests Kontingenz
500 Vollzeitbeschäftigte eines Krankenhauses wurden für eine
Studie zur Abhängigkeit vonÜberstunden und dem Geschlecht zufällig
ausgewählt. Die Probanden wurden nach Ihrerdurchschnittlichen
Wochenarbeitszeit im letzten Jahr befragt. Dabei wurde die
Wochenarbeits-zeit in die drei Klassen „unter 40“, „von 40 bis
unter 45“ und „45 und mehr“-Wochenarbeitsstundeneingeteilt;
außerdem wurden die Mitarbeiter nach Geschlecht unterschieden. Die
Ergebnisseder Stichprobe sind der folgenden Tabelle zu
entnehmen:
durchschn. Wochenarbeitszeit [h]
unter 40 40 bis unter 45 45 und mehr
Frauen 165 55 25Männer 175 45 35
Testen Sie bitte zur Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 %, ob in
diesem Krankenhaus die wö-chentliche Arbeitszeit unabhängig vom
Geschlecht ist.
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-
Pro
f.D
r.S
tefa
nE
tsch
berg
er–
Hoc
hsch
ule
Aug
sbur
g–
Sta
tistik
–S
omm
erse
mes
ter
2015
–A
ufga
bens
amm
lung
–(S
eite
102
von
106)
Aufgabe 94Induktiv: Tests Kontingenz
Ist die Fahrtzeit mit dem PKW für eine vorgegebene Strecke vom
Geschlecht des Fahrers bzw.der Fahrerin abhängig? Diese Frage soll
mit einer einfachen Stichprobe untersucht werden. Esergibt
sich:
Fahrtzeit
kurz mittel lang
Mann 524 455 221Frau 413 263 124
a) Formulieren Sie H0 bzw. H1.b) Was bedeutet der Fehler 1. Art
hier?c) Testen Sie zum Signifikanzniveau von 5 %, ob die Fahrtzeit
unabhängig vom Geschlecht ist.
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steLine
stepen
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Aufgaben zu R GrundlagenAufgabe 1: RStudio und erste
VersucheAufgabe 2: Zuweisungen und Variablen Aufgabe 3: Vektoren
Aufgabe 4: Mehrere Merkmale: Data Frames Aufgabe 5: Skalenniveaus
und Data Frames Aufgabe 6: Datenimport aus Textdateien Aufgabe 7:
R-Skripten als Logbuch Aufgabe 8: Deskriptives mit R
Aufgaben zur deskriptiven StatistikAufgabe 9: HäufigkeitAufgabe
10: LageparameterAufgabe 11: LageparameterAufgabe 12: Lage Streuung
Aufgabe 13: Lage StreuungAufgabe 14: Lage Streuung Vtgl.fkt.Aufgabe
15: Lageparameter KonzentrationAufgabe 16: Konzentration Aufgabe
17: KonzentrationAufgabe 18: Lage KonzentrationAufgabe 19:
PreisindexAufgabe 20: PreisindexAufgabe 21: KorrelationAufgabe 22:
RangkorrelationAufgabe 23: Lage KorrelationAufgabe 24:
KontingenzkoeffizientAufgabe 25: KontingenzkoeffizientAufgabe 26:
KontingenzkoeffizientAufgabe 27: Korrelation RegressionAufgabe 28:
Korrelation RegressionAufgabe 29: Korrelation RegressionAufgabe 30:
Korrelation RegressionAufgabe 31: Korrelation RegressionAufgabe 32:
RegressionAufgabe 33: Regression
Aufgaben zur KombinatorikAufgabe 34: KombinationenAufgabe 35:
KombinationenAufgabe 36: KombinationenAufgabe 37:
ZählprinzipAufgabe 38: Kombinationen ZählprinzipAufgabe 39:
Zählprinzip
Aufgaben zur WahrscheinlichkeitstheorieAufgabe 40:
Laplace-WahrscheinlichkeitAufgabe 41: WahrscheinlichkeitenAufgabe
42: WahrscheinlichkeitAufgabe 43: bedingte
WahrscheinlichkeitAufgabe 44: bedingte WahrscheinlichkeitAufgabe
45: bedingte WahrscheinlichkeitAufgabe 46: bedingte
WahrscheinlichkeitAufgabe 47: bedingte WahrscheinlichkeitAufgabe
48: bedingte WahrscheinlichkeitAufgabe 49: bedingte
WahrscheinlichkeitAufgabe 50: VerteilungenAufgabe 51:
VerteilungenAufgabe 52: VerteilungenAufgabe 53: VerteilungenAufgabe
54: VerteilungenAufgabe 55: VerteilungenAufgabe 56:
VerteilungenAufgabe 57: VerteilungenAufgabe 58: VerteilungenAufgabe
59: VerteilungenAufgabe 60: VerteilungenAufgabe 61:
VerteilungenAufgabe 62: VerteilungenAufgabe 63: VerteilungenAufgabe
64: VerteilungenAufgabe 65: VerteilungenAufgabe 66: Erwartungswert
VarianzAufgabe 67: Erwartungswert VarianzAufgabe 68: Erwartungswert
VarianzAufgabe 69: Erwartungswert VarianzAufgabe 70: Erwartungswert
VarianzAufgabe 71: Erwartungswert VarianzAufgabe 72: Erwartungswert
VarianzAufgabe 73: Erwartungswert VarianzAufgabe 74:
KovarianzAufgabe 75: Kovarianz
Aufgaben zur induktiven StatistikAufgabe 76:
PunktschätzerAufgabe 77: PunktschätzerAufgabe 78:
IntervallschätzerAufgabe 79: IntervallschätzerAufgabe 80:
IntervallschätzerAufgabe 81: Tests Fehler 1. ArtAufgabe 82: Tests
ErwartungswertAufgabe 83: Tests ErwartungswertAufgabe 84:
IntervallschätzerAufgabe 85: IntervallschätzerAufgabe 86:
Intervallschätzer TestsAufgabe 87: IntervallschätzerAufgabe 88:
Konfidenzintervall AnteilAufgabe 89: Tests AnteilAufgabe 90: Tests
FehlerAufgabe 91: Tests KontingenzAufgabe 92: Tests
KontingenzAufgabe 93: Tests KontingenzAufgabe 94: Tests
Kontingenz
Aufgaben zu Statistik PLUSAufgabe 95: HKAAufgabe 96: HKAAufgabe
97: LDAAufgabe 98: LDA
