Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften
Ubungen zu ”Mengen”
Aufgabe 1:
Geben Sie folgende Mengen durch Aufzahlen ihrer Elemente an:A = {x ∈ N0 | 0 < x < 4, 8}B = {t ∈ N0 | t ist Teiler von 24}C = {z ∈ Z | z ist positiv, durch 3 teilbar und kleiner als 21}D = {x ∈ R | x2 − 1 = 0}E = {x ∈ R | (x − 1)2 = 0}F = {x ∈ R | x + 8 = 9}
Aufgabe 2:
Schreiben Sie als Aufzahlung
(i) {k | −2 ≤ k ≤ 4, k ∈ Z}
(ii) {(2k + 1)2 | k ∈ N0}
(iii) {n | n2 < 5, n ∈ Z}
Aufgabe 3:
Schreiben Sie mit Hilfe einer definierenden Eigenschaft
(i) {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}
(ii) {5, 10, 15, 20, . . .}
(iii) {1, 4, 9, 16, 25 . . .}
(iv) {1, 4, 9, 16, 25}
(v) {1,1
2,
1
3,
1
4, . . .}
Aufgabe 4:
Gegeben seien die Mengen A = {0, 1, 2} und B = {1, 2, 3}.Bilden Sie die folgenden Mengen:
(i) A ∩ B
(ii) A ∪ B
(iii) A \ B und B \ A
1
Aufgabe 5:
Gegeben sei die Grundmenge M = {x ∈ Z| − 5 ≤ x ≤ 7} sowie die Mengen A = {−1, 0, 1, 2},B = {2, 3, 4, 5} und C = {0, 2, 6}.Fuhren Sie die folgenden Mengenoperationen durch:
(i) A ∩ B
(ii) A ∩ Cc
(iii) (A ∩ Bc) ∪ B
(iv) Ac ∪ B
(v) A ∪ C
(vi) B ∪ C
(vii) (A ∪ B) ∪ C
(viii) (A ∩ B) ∩ C
(ix) Ac ∩ B
(x) (Ac ∩ Bc) ∪ Cc
(xi) ((A ∩ B) ∪ C)c
Aufgabe 6:
Prufen Sie, ob folgende Mengenformeln gultig sind (Benutzen Sie Mengendiagramme zur Veranschau-
lichung)
(i) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ B
(ii) (A ∪ B) ∩ C ⊆ A ∩ (B ∪ C)
(iii) (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)
Aufgabe 7:
Sei C ⊂ A und C ⊂ B.
(i) Ist dann C ⊂ A ∩ B?
(ii) Ist dann C ⊂ A ∪ B?
(iii) Ist C = A ∩ B moglich?
(iv) Ist das immer der Fall?
Aufgabe 8∗:
Gegeben sind die vier Mengen
A = {1, 2} , B = {{1}, {2}} , C = {{1}, {1, 2}} , D = {{1}, {2}, {1, 2}}
Diskutieren Sie die Gultigkeit folgender Beziehungen:(i) A = B , (ii) A ⊆ B , (iii) A ⊂ C , (iv) A ∈ C , (v) A ⊂ D
(vi) B ⊂ C , (vii) B ⊂ D , (viii) B ∈ D , (ix) A ∈ D
2
Aufgabe 9∗:
Beweisen Sie folgende Mengenformeln:(i) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(ii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Aufgabe 10∗:
Beweisen Sie, dass die eine der folgenden Mengenformeln immer richtig, die andere manchmal falsch
ist:(i) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ C
(ii) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C
Aufgabe 11∗:
Richtig oder falsch?
(i) (A ∪ B)× C = (A× C) ∪ (B × C)
(ii) (A ∩ B)× C = (A× C) ∩ (B × C)
Aufgabe 12∗:
Veranschaulichen Sie die Mengen jeweils an einer Skizze
(i) (A ∪ B)× N = (A× N) ∪ (B × N)
(ii) (A ∪ B)× (M ∪ N)
(iii) (A ∩ B)× (M ∩ N)
3
Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften
Ubungen zu ”Zahlen”
Aufgabe 1:
Stellen Sie die folgenden Summen in Kurzschreibform dar:
(i) 12 + 14 + 16 + ...+ 138
(ii) 1 + 4 + 9 + 16 + ...+ 144
(iii) 1 + 6 + 11 + ...+ 116
(iv) 1− 2 + 4− 8 + ...+ 1024
Aufgabe 2:
Stellen Sie die folgenden Produkte in Kurzschreibform dar:
(i) 3 · 5 · 7 · ... · 31
(ii) 11 · 14 · 17 · ... · 98
(iii) 1 · 8 · 27 · 64 · ... · 1000000
(iv) 5 · 9 · 13 · ... mit insgesamt 8 Faktoren
Aufgabe 3:
Berechnen Sie:
(i)4∑k=1
(k + 2k2)
(ii)5∏n=3
(n2 − 16)
(iii)5∑k=2
(2k + 1)
(iv)5∑k=2
2k + 1
(v)5∏n=2
(1n+ 1)
Aufgabe 4:
Schreiben Sie die folgenden Summen aus:
(i)n∑k=1
(3k + 2)
1
(ii)5∑
k=−53,
(iii)n∑k=1
2k −n−2∑k=−1
2k+1
(iv)n∑k=0
(−1)kx2k
Aufgabe 5:
Benutzen Sie die Potenzrechenregeln, um den Ausdruck zu vereinfachen:
(i)26 · 5m − 5m
5m+2, (ii)
(15x2y−3)−4
(25x3y−6)−2
(iii)an + 2an−1
an−2 + 2an−3, (iv)
(a2b
cd3
)3:
(ab2
c2d2
)4
Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die Losungsmenge der quadratischen Gleichung (durch quadratische Erganzung):
(i) x2 + 6x + 5 = 0, (ii) x2 + 6x + 9 = 0, (iii) x2 + 6x + 13 = 0
(iv) x(x − 2) = 3, (v) x2 − 5x + 6 = 0, (vi) x2 − 3x + 3 = x − 1
Aufgabe 7∗:
Zerlegen Sie den quadratischen Ausdruck in ein Produkt von Linearfaktoren:
(i) x2 − 8x + 15 , (ii) 4t2 − 4t + 1 , (iii) 18u2 − 9u + 1
Aufgabe 8∗:
Berechnen Sie mit Hilfe des binomischen Satzes 9993 = (1000− 1)3 und 10014.
2
Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften
Ubungen zu ”Ordnung und Betrag”
Aufgabe 1:
Losen Sie folgende Ungleichungen, indem Sie Aquivalenzen wie”a · b = 0 ⇔ a = 0 oder b = 0 “,
oder”a · b > 0⇔ . . . “, oder
”a · b < 0⇔ . . . “ usw. ausnutzen:
(i) x + 5 > 2
(ii) 2x − 2 < 3x + 4
(iii) (x − 1)(x − 3) > 0
(iv)x − 1
x − 3> 0
(v) x3 + 5x2 ≥ 0
(vi) x2 − 4x < 0
(vii)2x
3x + 4≥ 0
Aufgabe 2:
Losen Sie folgende Ungleichungen durch Fallunterscheidung oder durch Umformung in Ungleichungen;
auf welche x ∈ R muss hierfur eingeschrankt werden?
(i)2x − 5
x − 4> 1
(ii)3
x − 5<
2
x + 3
(iii)x + 3
x≥
x
x + 3
Aufgabe 3:
Formen Sie in betragsfreie Ausdrucke um, indem Sie Fallunterscheidungen verwenden
(i) |x + 4|
(ii) |2x − 7|
(iii) 2 + |2− x |x
(iv) a − |a − |a||
(v)a + b + |a − b|
2
1
Aufgabe 4:
Deuten Sie die auftretenden Betrage geometrisch als Abstande von Punkten auf der Zahlengeraden,
und bestimmen Sie so die Losung der Gleichung bzw. Ungleichung:
(i) |x − 3| = 8 ; |x + 3| = 8 ; |x | ≤ 5 ; |x − 3| < 8 ; |x + 3| > 8 ; x2 > 9 (⇔ |x | > 3)
(ii) |x + 1| = |x − 1| ; |x − 1|+ |x − 2| > 1 ; |x − 1|+ |x − 2| = 1 ; |x − 1|+ |x + 1| < 2
(iii) Formen Sie zuerst so um, dass der Koeffizient bei x gleich 1 ist und Sie einen Ausdruck der
Form |x − a| erhalten: |3− 5x | = 2 ; |4− 2x | < 3 ; 5− 2|x − 3| ≤ 6.
Aufgabe 5:
Losen Sie die folgenden Betragsgleichungen:
(i) |2x + 5| = 7
(ii) x + |x − 1| = 3
(iii) |3x − 6|+ 2x = 10
(iv) 2x − |3− x | = 18
(v) 2x + |2x + 4| = −4
Aufgabe 6∗:
Bestimmen Sie die Losungsmengen der Ungleichungen
(i) |x | − |x − 4|+ |x − 6| < 5
(ii) x2 + 4x + 3 < |x2 + 4x + 3|
(iii)|x3 − 125|
1 + |x3 + 111| > 0
Aufgabe 7∗:
Bestimmen Sie die Losungsmenge von1
x + 1− x ≤ −
1
2.
2
Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften
Ubungen zu ”Abbildungen und Funktionen”
Aufgabe 1:
Bestimmen Sie den den maximalen Definitionsbereich der Funktion f , deren Zuordnungsvorschrift
f (x) gegeben ist durch:
i)√
1− x2 ii)√
1−√
1− x2 iii)√
1− x +√x − 2
iv)√
3|1− x | v)1
|x − 1| +|x |x + 2
Aufgabe 2:
Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f , wenn f (x) gegeben ist durch:
(i) a) |x | b) |x − 1| c) |x + 1| d) |x |+ 1
(ii) a)1
xb)
1
|x | c)1
x + 1d)
1
x+ 1
(iii) ||x | − 1|
(iv)|x2 − 9|x − 3
Aufgabe 3:
Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Achsen, wenn f (x) gegeben ist durch:
i)x2 − 1
x2 + 1ii)
1
1 + x2iii) x2(2x + 1)
Aufgabe 4:
Fuhren Sie folgende Polynomdivisionen durch:
(i) (x2 + 4x + 4) : (x + 2)
(ii) (x3 − 6x2 + 11x − 6) : (x − 1)
(iii*) (4x3 − 3x + 1) : (x + 1)
(iv*) (x3 − x + 1) : (x2 − 1)
Aufgabe 5:
Bestimmen Sie alle Nullstellen von p(x) = x4 + 7x3 + 17x2 + 17x + 6.
Aufgabe 6:
Gegeben seien die Funktionen f (x) = 4x + 9, g(x) = −4x + 13
sowie h(x) = ex . Bilden Sie die
zusammgengesetzten Funktionen
(i) (f ◦ g)(x)
(ii) (f ◦ h)(x)
1
(iii) (g ◦ h)(x)
(iv) (h ◦ g)(x)
(v) (h ◦ h)(x)
Aufgabe 7:
(i) Sei die Funktion f : R \ {2} → R gegeben durch: f (x) =1 + x
2− x
Bilden Sie: f (3t) , f (x − 1) , f (1
x)
(ii) Bilden Sie die zusammengesetzten Funktionen f (g(x)) und g(f (x)):
a) f (x) =√x2 + 1 , g(x) =
x
x − 1
b) f (x) = x2 , g(x) = 2x − 1
Geben Sie jeweils den Definitionsbereich der zusammengesetzten Funktion an.
Aufgabe 8:
Welche der Funktionen f : D → R ist streng monoton (und besitzt daher eine Umkehrfunktion)?
(i) f (x) = x + x2 mit
a) D = {x |0 ≤ x ≤ 3}b) D = {x | − 1 ≤ x ≤ 3}
(ii) f (x) =1
x2mit
a) D = {x |x > 0}b) D = R \ {0}
Aufgabe 9∗:
(i) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von
f : R \ {2} → R , f (x) =1
2− x
(ii) Sei f : [−52,∞[→ R definiert durch f (x) = 1− (2x + 5)3
a) Geben Sie an, in welcher Weise f aus welchen Funktionen zusammengesetzt ist
b) Zeigen Sie, dass f streng monoton ist. Untersuchen Sie dazu die Funktionen, aus denen f
nach a) zusammengesetzt ist.
c) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f .
2
Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften
Ubungen zu ”Trigonometrie”
Aufgabe 1:
Bogen und Gradmaß
(i) Geben Sie das Bogenmaß des Winkels α vom Gradmaß 135◦ an.
(ii) Geben Sie das Gradmaß des Winkels α vom Bogenmaß 5 an.
(iii) Geben Sie Grad- und Bogenmaß des Winkels α an, der aus einem Kreis mit Radius r = 3 einen
Bogen der Lange 5 herausschneidet.
Aufgabe 2:
cos x und sin x sind als die Koordinaten des Punktes Px auf dem Einheitskreis definiert (vgl. Skript);
daher: cos2 x + sin2 x = 1.
(i) Bestimmen Sie cos x und sin x fur (1) x =1
2π, (2) x =
3
2π, (3) π und (4) 2π.
(ii) Begrunden Sie (am Einheitskreis):
sin(π
2− x)
= cos x , cos(π
2− x)
= sin x
sin(π − x) = sin x , cos(π − x) = − cos x
Aufgabe 3:
Skizzieren Sie den Graphen der Funktion uber einem geeigneten Intervall und diskutieren Sie die
Wirkung der Koeffizienten und der additiven Konstanten:
f1(x) = sin x , f2(x) = 2 sin x , f3(x) = −2 sin x
f4(x) = sin(2x) , f5(x) = sin
(1
2x
)f6(x) = sin
(x +
π
2
), f7(x) = sin
(x −
π
2
).
Aufgabe 4:
Bestimmen Sie alle x mit sin x =1
2
Aufgabe 5:
Gerade und ungerade Funktionen:
Zeigen Sie (beweisen Sie):
(i) Falls f : R→ R und g : R→ R gerade Funktionen sind, dann sind f + g und f g auch gerade.
(ii) Falls f : R → R und g : R → R ungerade Funktionen sind, dann ist f + g ungerade und f g
gerade.
Schreiben Sie hierzu zunachst auf, was”
f bzw. g ist gerade“bedeutet.
1
Aufgabe 6∗:
Beziehungen zwischen sin, cos, tan, cot. Vereinfachen Sie:
(i) cos x + sin x tan x
(ii)1
1 + tan x+
1
1 + cot x.
Aufgabe 7∗:
Anwendung der Additionstheoreme fur cos und sin:
(i) Berechnen Sie cosπ
3und sin
π
3:
cosπ
6, sin
π
6, cos
2π
3, sin
2π
3
(ii) Zeigen Sie, daß fur x, y ∈ R gilt:
sin x + sin y = 2 sinx + y
2cos
x − y2
(iii) Vereinfachen Sie:√
1 + cos x ·√
1− cos x
Aufgabe 8∗:
Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.
(i) Vereinfachen Sie den Ausdruck sin(arcsin x+arccos x), und zeigen Sie damit, dass fur alle x ∈ Rmit |x | ≤ 1 gilt:
arcsin x + arccos x =π
2.
(ii) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion der Funktion
f :
[0,
√π
2
[→ R mit f (x) =
1
3tan x2.
2
Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften
Ubungen zu ”Differenzierbarkeit”
Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die 1. Ableitungen der folgenden Funktionen:
(i) f (x) = 4x3 + 12x − 3
(ii) f (x) = 4ex + 2
(iii) f (x) = 3 sin(x)
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die 1. Ableitungen der folgenden Funktionen mit Hilfe der Produkt- und Quotienten-
regel:
(i) f (x) = (3x + 7x5) · cos(x)
(ii) f (x) = x2 · ex
(iii) f (x) = cos(x)ex−1
(iv) f (x) = x+√9x2+2x5x4
Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die 1. Ableitungen der folgenden Funktionen mit Hilfe der Kettenregel:
(i) f (x) = (3x7 − 4x)3
(ii) f (x) = sin((x + 7)2)
(iii) f (x) = e2x+3
Aufgabe 4:
Bilden Sie die ersten vier Ableitungen der Funktion f : [0, 2π)→ [−1, 1], mit f (x) = sin(x)
Aufgabe 5:
(i) Bestimmen Sie die Steigung des Graphen der Funktion
f : R→ R mit f (x) = 3x2 − 2x
in x0 = 12
(also im Punkt (12, f (1
2)) ), und geben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen
in (12, f (1
2)) an.
(ii) f : R→ R ist gegeben durch:
f (x) = x3 − 6x2 + 8x
(1) Bestimmen Sie x0 ∈ R so, dass der Graph von f in (x0, f (x0)) die Steigung −1 hat.
1
(2) Bestimmen Sie x0 ∈ R so, dass die Gerade y = −x die Tangente an den Graphen von f
im Punkt (x0, f (x0)) ist.
Aufgabe 6:
Berechnen Sie die Ableitung vonx2√x3
oder von x2√x3, indem Sie
(i) direkt die Differentiationsregeln anwenden,
(ii) erst mit Hilfe der Potenzregeln vereinfachen, und dann die erforderliche Differentiationsregel
benutzen.
Aufgabe 7:
Vereinfachen Sie (falls moglich) folgende Funktionsausdrucke zuerst mit Hilfe der Potenzregeln, und
berechnen Sie dann die Ableitung:
(i)3√x2 (ii)
3√x2 + 1 (iii) 3
√(x + 1)2 (iv)
3
√1
x2
(v)1
x + 1(vi)
1
(x + 1)2(vii)
1√1 + x
(viii) 5√
3x(x − 1)7
Aufgabe 8:
Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
(i) x√x + 1 (ii)
x
x − 1(iii) tan x − cot x (iv)
x√4− x
(v) arcsin x arccos x (vi) sin[sin(sin x)] (vii) x arcsin x +√
1− x2
(viii)1√
1 + x2(x +√
1 + x2) (Achtung! etwas schwierig) (ix) arctan
1 + x
1− x
Vereinfachen Sie die Ableitungen, wenn es moglich ist.
Aufgabe 9:
Berechnen Sie die Ableitung von f ◦ g einmal, indem Sie zunachst aufmultiplizieren, und einmal mit
der Kettenregel:
f (x) = x2, g(x) = x +1
x
2
Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften
Ubungen zu ”Anwendungen der Differentialrechnung”
Aufgabe 1:
Sei n ∈ N. Wie lautet die n-te Ableitung von
(i)x
1− x
(ii) sin 2x
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie in Abhangigkeit von a ∈ R die relativen Extrema von f (x) = x4 + ax2.
Aufgabe 3:
Berechnen Sie die relativen Extrema von f (x) = x4 − 8x2 + 16.
Aufgabe 4:
Was ist der maximale Flacheninhalt eines Rechtecks mit dem Umfang 1?
Aufgabe 5:
Gegeben sei die Funktion f (x) = −x2 + 4x , P (u | v) sei ein Punkt auf dem Graphen der Funktion f
mit 0 ≤ u ≤ 3. Der Urpsrung, der Punkt P sowie der Punkt N(u | 0) bilden ein Dreieck. Welchesn
Flacheninhalt kann hat dieses Dreieck maximal?
Aufgabe 6:
Sei f (x) =1
2+
x
x2 + 1. Bestimmen Sie Extrema und Krummungsverhalten des Graphen von f
Aufgabe 7:
Bestimmen Sie die Nullstellen und lokale Extrema von
(i) f : R→ R, x 7→ sin(x2),
(ii) g :]0,∞[→ R, x 7→ sin(1/x),
und zeichnen Sie die Graphen der Funktionen.
Aufgabe 8∗:
Es sei f : [a, b] → R eine n-mal differenzierbare Funktion mit n + 1 Nullstellen. Zeigen Sie mit Hilfe
des Mittelwertsatzes, dass mindestens ein y ∈]a, b[ mit f (n)(y) = 0 existiert.
1
Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften
Ubungen zu ”Integralrechnung”
Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen:
(i) f (x) = x4 + 4x2 − 16
(ii) f (x) = 4 sin(x)
(iii) f (x) = 5x
Aufgabe 2:
Gegeben sei die Funktion f (x) = 6√x. Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion von f , deren Graph
durch den Punkt P (1 | 0) verlauft.
Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Stammfunktionen folgender Funktionen, indem Sie ggf. die”einfachen Regeln“
benutzen:
(i)1
(x + 1)2,
4
(x − 3)5 ,1√x + 2
,1√2x + 5
(ii) sin(x + 2) , cos(3x − 1)
(iii)1
1 + x2,
1
1 + (x − 2)2 ,1√1− x2
,1√
1− (x − 1)21
4 + x2,
1√9− x2
,1
4 + (x − 2)2 ,1√
9− (x − 1)2
Aufgabe 4:
Berechnen Sie die Integrale durch partielle Integration. Sie konnen benutzen, dass (ln x)′ = 1xund
(ex)′ = ex ist.
(i)∫xex dx
(ii)∫x ln x dx
(iii)∫x2 cos x dx
(iv)∫arctan x dx
(v)∫x arctan x dx
Aufgabe 5:
Berechnen Sie durch Substitution:
(i)
∫1
(3x + 2)2dx ,
∫(x + 1)n dx ,
∫(x2 + 7)8x dx
1
(ii)
∫cos5 x sin x dx ,
∫sin(ax) dx ,
∫cos(ax) dx
(iii)
∫sin(ax + b) dx ,
∫sin3 x dx
∫x2√x3 + 2
dx
(iv)
∫sin x
(3 + cos x)2dx ,
∫1
9x2 + 4dx
Aufgabe 6:
Benutzen Sie die Formel
∫f ′(x)
f (x)dx = ln |f (x)|+ C, um folgende Integrale zu berechnen:
(i)
∫tan x dx
(ii)
∫2
3x − 5 dx
(iii)
∫2x
x2 + 3dx
Aufgabe 5∗:
Berechnen Sie das bestimmte Integral:
(i)
2∫−1
x2√1 + x3 dx, (ii)
π∫0
x cos x dx,
(iii)
√π∫
0
2x cos(x2) dx, (iv)
0∫−1
x√x + 1 dx.
Aufgabe 6∗:
Berechnen Sie folgendes Integral, indem Sie den Integranden zuerst in eine Summe zerlegen, so dass
ein Summand ln, der andere arctan liefert:
(i)
∫x + 1
(x + 3)2 + 1dx
(ii)
∫3x + 1
x2 + 4dx
2
Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften
Ubungen zu ”Logarithmus- und Exponentialfunktion”
Aufgabe 1:
Logarithmus- und Exponentialfunktion differenzieren.
(i) Beachten Sie, dass es manchmal zweckmaßig ist, einen Ausdruck zuerst mit Hilfe der Eigen-
schaften von ln zu vereinfachen, und erst dann zu differenzieren:
Bestimmen Sie die Ableitung, wenn f (x) gegeben ist durch:
(a) ln(1 + x2) (b) ln√
1 + x2 (c) ln(ln x) (d) ln(x2 ln x) (e) x [sin(ln x) − cos(ln x)]
(f)1
4lnx2 − 1
x2 + 1(g) ln
3√x5
(ii) Bestimmen Sie die Ableitung, wenn f (x) gegeben ist durch:
(a) e−x (b) e3x−1 (c) esin x (d) e1x (e) e3x cos 2x (f) x2e−x (g) ln(x2e−x)
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:
(a) 2x (b) x x (c) x xx
(d) sin xarctan x
Hinweis: ab = eb·ln a.
Aufgabe 3:
Partielle Integration:
(i)∫x ln xdx
(ii)∫
ln xdx
(iii)∫x2exdx
(iv)∫ex cos xdx
Aufgabe 4:
Finden Sie eine geeignete Substitution:
∫(ex − 2)ex
ex + 1dx
Aufgabe 5∗:
Bestimmen Sie das globale Maximum der Funktion f (x) = x√x .
1
Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften
Ubungen zu ”Lineare Gleichungssysteme”
Aufgabe 1:
2x1 −x2 = 1
−7x1 +3, 5x2 = 7
Aufgabe 2:
3x1 −2x2 = −1−x1 +3x2 = 5
2x1 +x2 = 4
Aufgabe 3:
2x1 +x2 +x3 = 6
2x1 −2x2 = 6
x1 +x3 = 5
Aufgabe 4:
x1 +3x2 −5x3 +4x4 = 1
2x1 +3x2 −4x3 +4x4 = 1
3x1 +2x2 −x3 −2x4 = −4x1 +4x2 −7x3 +6x4 = 2
Aufgabe 5∗:
3x1 −2x2 = −1−x1 +3x2 = 5
x1 +4x2 = 2
Aufgabe 6∗:
−x1 +x2 x3 = −4x1 +x2 +2x3 = 3
2x1 +x2 +3x3 = 7
Aufgabe 7∗:
−x1 +x2 = 0
x1 +x2 +2x3 = 2
2x1 +x2 +3x3 = 3
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Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften
Ubungen zu ”Vektoren”
Aufgabe 1:
Drucken Sie fur ein Parallelogramm ABCD mit−→AB = ~a und
−→AD = ~b die Vektoren
−→AC,−→CB,−−→BD mit
Hilfe von ~a und ~b aus.
Aufgabe 2:
Gegeben seien die Vektoren ~a =
112
; ~b = 3−11
, ~c =−133
. Prufen Sie die drei Vektoren auflineare Abhangigkeit.
Aufgabe 3:
Man entscheide, ob die folgenden Vektoren linear unabhangig sind:
(i) (3,√7,−5)T , (0, 0, 0)T in R3,
(ii) (1, 2, 3)T , (4, 5, 6)T in R3,
(iii) (1, α)T , (α, 4)T in R2 (α ∈ R fest),
(iv) (√7)T , (3
√5)T in R1.
Aufgabe 4:
Stellen Sie (falls moglich) ~a als Linearkombination von ~b, ~c und ~d dar.
(i) ~a =
123
, ~b =101
, ~c = 10−1
und ~d =010
(ii) ~a =
123
, ~b =201
, ~c = 0−10
und ~d =402
(iii) ~a =
123
, ~b =240
, ~c =001
und ~d =−1−22
Aufgabe 5∗:
Beweisen Sie: Verbindet man die Mittelpunkte der benachbarten Seiten eines beliebigen Vierecks in
der Ebene miteinander, so erhalt man ein Parallelogramm.
Aufgabe 6∗:
~a,~b seien Vektoren, die nicht beide Null sind. Diskutieren Sie Bedingungen fur das Bestehen folgender
Beziehungen:
(a) |~a + ~b| = |~a|+ |~b| , (b) |~a + ~b| = |~a| − |~b| ,
(c) |~a + ~b| > |~a|+ |~b| , (d) |~a + ~b| < |~a|+ |~b| ,
(e) |~a + ~b| = |~a| , (f) |~a + ~b| = 0
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Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften
Ubungen zu ”Skalar- und Vektorprodukt”
Aufgabe 1:
Sei α der Winkel bei A in dem Dreieck 4ABC mit
A = (2,−1, 1)T , B = (1,−3,−5)T , C = (3,−4,−4)T
Bestimmen Sie cosα (nicht berechnen).
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie einen Vektor ~x , der linear abhangig von
110
und011
ist, senkrecht steht auf101
und die Lange 1 hat.
Aufgabe 3:
Wo liegen alle Vektoren, die mit einem festen Vektor ~a 6= 0 ein festes Skalarprodukt haben?
Aufgabe 4:
Berechnen Sie
(i) Das Kreuzprodukt
102
× 3211
.
(ii) Das Kreuzprodukt
231
× 0411
.Aufgabe 5:
Geben Sie alle Losungen von ~x × ~a = ~b an fur
(i) ~a =
101
, ~b =010
(ii) ~a =
101
, ~b =011
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Ubungen zu ”Geraden und Ebenen”
Aufgabe 1:
(i) Geben Sie die Parameterdarstellung an
a) der Geraden durch die Punkte P = (1, 2)T , Q = (−2, 5)T
b) der Geraden mit der Gleichung y = −x + 3c) der Strecke von A = (−1, 2)T nach B = (3, 1)T
(ii) Welche der Geraden mit den Parameterdarstellungen
g1 : x =
14−115
+ t−64, 5−9
, g2 : x =
46, 50
+ t 4−36
g3 : x =
694
+ t−304
, g4 : x =
3−610
+ t−618
sind parallel?
(iii) Liegen die drei Punkte A = (2, 2, 3)T , B = (−2, 3, 1)T , C = (−6, 4, 1)T auf einer Geraden?Diskutieren Sie verschiedene Moglichkeiten, dies zu prufen.
Aufgabe 2:
(i) Liegen die vier Punkte
A = (0, 2, 2)T , B = (2, 0,−1)T , C = (3, 4, 0)T , D = (0,−1, 1)T
in einer Ebene?
(ii) Geben Sie die Normalenform der Gleichung der Ebene in vektorieller Schreibweise an, wenn die
Ebene die Gleichung 2x − y + 2z = 12 hat.
(iii) Durch folgende Gleichungen sind vier Ebenen gegeben:
e1 : x + 2y − 2z = 5 , e2 : 3x − 6y + 3z = 2 , e3 2x + y + 2z = −1 , e3 : x − 2y + z = 7
Stellen Sie fest, welche der Ebenen parallel bzw. senkrecht zueinander sind.
Aufgabe 3:
(i) Welche Punktmenge beschreibt die Gleichung x + y = 3
a) in der Ebene,
b) im Raum?
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(ii) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden ~x =
3−38
+ λ−130
und der Ebene ~x =
211
+ µ−101
+ ν 2−12
,indem Sie die Ebene zunachst in Normalenform bringen.
Aufgabe 4:
Haben die Geraden mit den Parameterdarstellungen
~x =
694
+ t−304
, ~x =
3−610
+ s−618
einen Schnittpunkt?
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Aufgaben zum Vorkurs Mathematik fur Natur- und Ingenieurwissenschaften
Ubungen zu ”Komplexe Zahlen”
Aufgabe 1:
Berechnen Sie i2, i3, i4, i5, . . .. Was fallt auf? Berechnen Sie weiter i3 − i4, i3(i + i6), i + i2 + i3.
Aufgabe 2:
Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in ihrer”Normalform“ a + bi dar und zeichen Sie die
Zahlen in die komplexe Ebene ein:
(a*) (1 + 2i)4 , (b) (3 + 2i)2 + (7− 3i)(−2 + i) ,
(c)2 + 6i
3− 5i , (d)1
1− i ,
(e)3 + 2i
(1− 2i)(3 + i) , (f)(6− 3i)(2 + 4i)
3− 4i ,
Aufgabe 3:
Berechnen Sie die komplexe Zahl z , die Losung folgender Gleichung ist:
(i) (1 + 3i)z + 3 + i = z ,
(ii)1− iz1 + iz
=1 + i
1− i ,
(iii)
(−3 + 11i3− i +
−11 + 10i1− 4i
)z = 24− 10i
Aufgabe 4:
Berechnen Sie die kartesischen Koordinaten der folgenden komplexen Zahlen, und zeichnen Sie die
Zahlen als Punkte in die komplexe Zahlenebene ein:
(a) i3 + i4 , (b) 3i , (c) (3 + 2i) · (2− 3i) , (d) (1 + 2i) · (1− 2i) ,
(e)5− 5i2 + i
, (f)1
i, (g)
1− iz1 + iz
=1 + i
1− i ,
Aufgabe 5:
Losen Sie durch quadratische Erganzung die quadratische Gleichung:
(i) z2 − 4z + 7 = 0 ,
(ii) z2 − 2αz + α2 + β2 = 0
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Ubungen zu ”Komplexe Polarkoordinaten”
Aufgabe 1:(a) |z | = 2 , (b) |z − 2i | = 1 , (c) |z + 2| = 1 ,
(d) |z + 2| < 1 , (e) |z + 1− i | ≥ 1 ,
Aufgabe 2:
Berechnen Sie mit Hilfe von Polarkoordinaten fur z1 = 2i und z2 = −1 + i die Werte w1 = z21 ,
w2 = z1 · z2 und w3 = z82 .
Aufgabe 3∗:
Tragen Sie die Zahlen z als Punkte in die komplexe Ebene ein, und geben Sie den Betrag, das Argu-
ment und die Polarkoordinatendarstellung an:
(a) z = −3 , (b) z = −3i , (c) z = 1− i , (d) z = −1 + i ,
(e) z = |1 + i |
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