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292 AI~CH. MATH.

Der Hahn-Banach-Satz von Rod6 fiir unendlichstellige Operationen

V o n

H E II~'Z K61~-I(~

Herin WOLFGA.~'G GASCHi2TZ in alter Freundschaft zum 60. Geburtstag gewidmet

Der Satz yon Hahn-Banach wurde yon Rod~ [2] auf ein neues ~ iveau der Ab- straktion erhoben. Sein Satz ist ein ebenso umfassendes wie einfach zu formu~erendes und schSnes Resultat. Es handelt yon einer kommutierenden Familie yon endlich- stelligen Operationen auf einer abstrakten Menge. I m Hinblick auf die im Anschlul3 an Simons [5], [6], [7] ebenfalls yon Rod~ ent~dckelte superkonvexe Analysis [1], [3], [4] ist es yon Interesse, den neuen Satz auf unendlichstellige Operationen aus- zudehnen. Das ist das Hauptziel dieser Note. Man muB dabei hinsichtlich des De- finitionsbereiches der betrachteten unendlichstelligen Operationen Vorsicht walten lassen, und der Beweis wird komplizierter als bei Rod~. Unser Resultat ist auch nicht das volle, den Umst~nden nach zu erhoffende Analogon des Satzes yon Rod~. Dieses ist vielmehr falsch, wie anschlieBend ein Gegenbeispiel lehren wird.

1, Formulierung der Resultate. Es sei E eine nichtleere Menge. Ffir m e r~ sei E ~ das m-fache Produkt yon E. Unter einer m-stelligen Operation auf E verstehen wir eine Funktion ~: Era--> E. Wir schreiben

a(xi . . . . ,xm) = ~((x~)~) ---- ~ (x~) = a(xi ) f ib (x~)~eE ~ . i = l i

Es sei ~ ( E ) die Gesamtheit der m-stelligen Operationen auf E. Wir sagen, daI3 a e ~ (E) und z e ~ (E) kommutieren, wenn

a(-~(x~y)) = z(a(x~1)) fiir jedes System (x~j)~,~- yon Elementen i j j i x~ I ~ E (i----1 . . . . . m ; j - - ~ l . . . . , n ) .

Und ~ir nennen A c~ .J f2n(E) kommutat iv , wenn jedes Paar yon Elementen a, T e A kommutiert . ,,e.u

Fiir ein Paar yon Funk%ionen P, Q: E --> [ - - 0% oo[ mit P _< Q und ein a e .q~ (E) bestehe a (P , Q) aus allen (cci)~ e R~ (das heiBt e ~m mit Komponenten :q . . . . . ~m _-->0) mi t

m Q(a(x~)) <-< ~ :q Q(x t ) trod

i i~l

m

P(a(X~))__>~a~P(x~) f'aralle (x~)~eE'~;

Vol. 35, 1980 Der Hahn-Banach-Satz yon Rod6 293

dabei sei ~de iiblich 0 ( - - ~ ) : = 0. Wir kSnnen nun den Satz yon Rod6 formu- lieren.

1.0. Satz. Au[ der nichtleeren Menge JE seien

P, Q: E - + [ - - o o , oo[ Funktionen mit P ~_ Q;

A c U ~ra(E) eine kommutative .Familie -~-~ O. m ~Nl

Dann exi.stiert eine JFunktion ]: E -> [-- oo, oo[ mit P ~_ / ~= Q, derart daft/iir all�9 ~ e A (~-(2~(E) und (a~)~=_~(P,Q) ( m = 1,2 . . . . ) gilt

/(a(xi)) = ~ o:~/(x~) ]iir aUe (x~)~eE ~. i i = 1

Wir wenden uns nun dem entsprechenden Prob lem f'fir unendlichstellige Opera t ionen zu. Es sei ~deder E eine nichtleere Menge und E r176 die Gesamthe i t der nnendl ichen Folgen (x~)~ yon Elemen~en xt e E (i ---- 1, 2 . . . . ). F u n d a m e n t a l fiir unseren Zweck ist die nachs tehende

Definition. Un te r einem Schrankensys tem auf E vers tehen wir eine Gesamthei t von nichtleeren Tei lmengen yon E m i t den Eigenschaf ten

1) { x } e ~ f t i ra l le x e E ;

2) fiir T1 . . . . . Yreq~ ist T I W ' " U T r ~ ;

3) aus T e ~ und O ~ S c T f o l ~ S e ~ .

E in einfaches Beispiel eines Schrankensys tems au f E ist ftir eine Funk t i on Q : E --~ [ - 0% oo [ die Gesamthei t ~ der nichtleeren T c E, dera r t dab Q ] T nach oben beschrank t ist.

Fiir �9 Schrankensys tem ~ auf E sei ~ : = U T~176 c E ~176 also die Gesamthe i t

der (ira Sinne yon ~g) beschr~nkten unendliehen Folgen aus E. Die von uns be- t r ach te ten unendlichstell igen Opera t ionen sind die Funk t ionen a: ~ - - > E mi t a ( T ~176 eW f'tir alle T e ~ . Ih re Gesamthe i t werde mi t ~~176 (g) bezeiehnet. Wir k6rmen definieren, dab a �9 if2 ~ (E, q~) und w ~ .Qoo (E, ed) kommut ie ren , wenn

a(~(x~l)) = v(a(x~l) ) fiir jedes Sys tem (x~1)~,i yon E lemen ten

xi1�9 einem T e % ~ (i,?'---- 1,2 . . . . );

es sind n/imlich die beiden auf t re tenden i ter ier ten K o m p o s i t a wohldefiniert, e twa das link�9 well v(x~i) �9 z ( T ~162 �9 ff (i ---- 1, 2 . . . . ) und also (v(x~i)) ~ �9 ~ ist. Und

~dr nennen wieder 2 c ~oo (E, if) k o m m u t a t i v , wenn jedes P a a r yon E lemen ten ~, z e A kommut ie r t .

Es sei wieder ~ ein Schrankensys tem auf E. Fiir ein P a a r von 1%nkt ionen P, Q: E --> [ - - 0% oo[ mi t P ~ Q, dera r t dab Q [ T u n d also auch P I T nach oben be- sehr~nkt ist fiir jedes T e ~ , und ftir �9 a �9 f2~ q~) bes t �9 a ( P , Q) aus allen

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(a~)~ e l~ (das heiBt �9 P mit Komponenten ~ 0) mit

Q(a(x~)) ~ Z ~Q(x~) und i 3 = 1

P(a(xi)) ~ : r fiir alle ( x i ) ~ � 9 i i = 1

man muB hierzu bemerken, dab ftir eine Folge (aih �9 l~_ und ftir eine nach oben oo

beschr~nkte Folge (z~)~ �9 [-- oo, ~ [ ~ die Reihe ~ a , z , im weir�9 Sinne gegen �9 Element �9 [--oo, oo[ konvergiert, i=~

Wir k6nnen nun unseren Hauptsatz formulieren.

1.1. Satz. Auf der nichtleeren Menge E seien

5 ein Schrankensystem;

P, Q: E--> [ - - ~ , r Funktionen mit P ~_ Q, derart daft Q IT nach oben

beschrdnkt ist /iir jedes T �9 5 ;

A r s 5) eine/commutative Familie -~ O.

Dann existiert eine Funktion /: E -> [-- r ~ [ mit P ~ / ~ Q, derart daft/iir all�9 (~ �9 A und (g~)~ �9 a (P, Q) gilt

oo

/(a(xi)) ~ i / ( x i ) /iir are ( x ~ ) i � 9 und dabei i i = 1

f(~(x~)) = ~. ~/(z~) wenn ~P(x~) > -- oo /iir e i n n �9 N. i i = l i = n

Wir werden in Abschnitt 3 ein Beispiel daf'tir liefern, dab unter den Vorausssetzun- gen des Satzes im allgemeinen keine Funktion /: E --> [-- ~ , c~[ mit P ~ ] ~ Q existiert, derart dab fiir alle a �9 A und (~i)i ~ a(P, Q) ~l t

co

/ ( a ( x t ) ) - - - - ~ / ( x t ) ftir alle ( x ~ ) i � 9 i i ~ l

Da sich endlichstellige Operationen in evidenter Weise als unendlichstellige Ope- rationen auffassen lass�9 k6nnen wir den vorstehenden Satz sofort auf den Fall ausdehnen, dab endlichstellige und unendlichstellige Operationen nebeneinander auf- treten. Fiir �9 Schrankensystem 5 auf E best�9 g2~(E, 5) aus den ~ �9 ~ ( E ) mit a{T m) �9 5 f'fir all�9 T �9 5 (m ----- 1, 2, ...). Wir k6nnen ~fie oben definieren, warm a �9 ,Qm(E, ~) und T �9 5) (m, n = 1, 2 . . . . . oo) kommutieren, und warm �9 A c (,.J g2~ (E, ~) ~) -(2~ (E, 5) kommutat iv heiBt. Wir erhalten dann den nachstehen-

den Satz

1.2. Satz. Auf der nichtleeren Menge E seien

5 �9 Schrankensystem;

P, Q : E ---> [-- c~, oo[ Fun]~tionen mit P ~ Q, derart daft Q IT nach oben beschrdn~ ist /i~r ]edes T �9 ~ ;

A c ~.J~2m(E, 5) W ~'~(E, 5) eine ~,ommutative Familie ~ O. m e ~

Vol. 35, 1980 Der Hahn-Banach-Satz yon Rod~ 295

Dann existiert eine Funktion / : E ---> [-- ~ , oo[ mit P <= / ~ Q, derart daft/i~r alle a e / 1 ( ~ ( E , ( d ) und (:r ( m = 1,2 . . . . ) gilt

/(a(x~))= ~:c~/(xi) /i~r alle (xt)~eE m, i ~=i

und /i~r alle ~e/1 n~'2~(E,~) und (~r gilt

/(ai(xi)) ~_ ~a~](xi) ]i~r aUe (x~)ie~ ~~ und dabei i i = 1

/(a (x~))= Zcc,](x,) wenn ~ o~,P(xi) > -- oo /fir ein n ~ . i i = l i = n

In der Tat, wenn man f'tir a e f2~(E) (m - - 1, 2 . . . . ) die unendlichstellige Opera- tion ~: E r176 -> E defuliert durch

oo

a (xi):---- (7 (xi) fiir (x i ) (eE ~ i = 1 i = 1

d a n n i s t a ( T ~) = ~ ( T m) fiir T e ~ , und daher ist a e ~ n ( E , ~ ) ~quivalent mit e ~ ( E , ~). Fiir (:q)i �9 R~- ist welter (ai)~ �9 ~ (P, Q) ~quivalent mit

(~i . . . . . ~ , 0, 0 . . . . ) e ~ (P, Q).

Und endlich sehen wit, wenn wit f'fir a e ~ ( E , ~) noch ~ :---- (~ setzen, dab

dann und nur dann kommutieren, wenn die zugehSrenden ~, T ~ (E, ~) kommutie- ren. Mithin ist die Kommuta t iv i t s einer :Familie /1 c ~ J ~ ( E , Cd)u~C~(E,~)

~quivMent mit der yon A : = { ~ : a e/1} c ~ ( E , ~). Wir erhalten hiernach, wenn ~ir 1.~ ~uf A anwenden, Satz 1.2 fiir die Familie A.

Wit bemerken zum Absehlul~, dab die neuen Resultate 1.1 und 1.2 den S~tz yon Rod~ 1.0 als Spezialfall enthMten. Es seien nCmlich P, Q: E--> [ - - ~ , ~ [ mit P _~ Q und A c L . J ~ ( E ) ~ie in 1.0 gegeben. Wit kSnnen natiirlich annehmen

a(P, Q) - 0 fiir alle a e/1. Es bestehe nun (d ~us allen niehtleeren T c E, derart dab Q IT naeh oben beschr~nkt ist. :Dana ist ~ eia Sehrankensystem auf E. Und um 1.0 aus 1.2 zu erhalten, brauchen wir nur einzusehen, dai] f'tir alle a ~ A ~ ( E ) gilt ~ e ~ ( E , ~) (m ---- 1, 2 . . . . ). Wenn aber (:q)( ~ (~(P, Q) ist, dann haben wir

Q(a(x~))~a~Q(x~) fiir (x~)(eE ~, i i = 1

so dal~ wir fiir T e ~ erhalten

(2:) Qla(T'n)<= ~ Sup(Q[T) <: r

und also a ( T ~) e ~ . Es ist also in der T~t ae~m(E , ~).

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2. Beweis des Hauptsatzes. Es seien wie in 1.1 das Sehrankensystem ~ auf E, die Funktionen P, Q : E -> [ - - 0% oo[ mit P _~ Q und Sup Q IT ~ oo ftir jedes T e sowie die nichtleere kommuta t ive Familie A c ~Q~o (E, ~) gegeben. Der Beweis ver- l iuf t zun~chst ~4e in Rod~ [2]. Nach dem Satz yon Zorn kSnnen ~dr annehmen, dab /I eine maximal �9 kommuta t ive FamiIie c ~ ' ~ ( E , ~) ist. Dann ist also ein a �9 -(2 ~ (E, 5), das mit alien Elementen yon 2 kommutiert , selbst Element yon d .

1) Es bestehe / i l aus den ~ � 9 ~), die mit allen Elementen yon A kom- mutieren, also mit

(p(a(x~)) = (~(q~(x~)) fiir alle a � 9 und (x~)~ �9 ~

Man verifiziert dann die folgenden Aussagen.

1.i) Aus ~, ~ � 9 I f o l g t ~ o y J ~ A 1. Und a u s a � 9 f l � 9 folgt

:c fl e cf o ~ ( P , Q ) .

1. ii) Es seien T�9 und ~ e A 1 (i---- 1,2 . . . . ) mit . U q ~ ( T ) ~ f t i r alle T � 9

])ann ist ~: ~ (x) = "~ (q~ (x)) f'fir x �9 E wohldefiniert und 9 �9 A 1. Und aus (/54)~ �9 ~(P, Q) i oo

und ai �9 9i (p, Q) (i - - 1, 2 . . . . ) rnit (:d)~ �9 folgt ~ fl~ o~ ~ �9 9 (P, Q).

1. iii) ])er Spezialfall ~i _-- Identi t~t und cd ---- 1 (i ----- 1, 2, ...) yon 1. ii) liefert: Fiir T e A ist 9: 9(x) = "~(x,x . . . . ) fiir x e E wohldefiniert und 9 � 9 Und aus

o o

(fl~h �9 T(P, Q) folgt ~f l~eq~(P, Q). i = l

1. iv) Wir bilden zu 9 g A1 nach dem vorletzten Absatz in Abschnitt 1 die un- endlichstellige Operation

~ � 9 -~c2~176 ~ ( x l ) = ~(xl) fiir (z~)~e~d ~176

])ann kommutier t ~ mit allen Elementen yon A und ist also in A. Und ftir a �9 9 (P, Q) ist (~; 0, 0 , . . . ) �9 ~(P , Q).

1. v) :Fiir 9, v / �9 A~ haben wir ~, ~ e A, so dab ~ und ~ kommutieren. Daher kommutieren auch ~ und ~. Das bedeutet ~ o %0----~p o 9.

2) Es best , he H aus den Funktionen h: E --> [-- 0%00[ mit P -< h _< Q, derart daft fiir all�9 ~ e A und (:~)~ �9 a(P , Q) gilt

o o

h(a(x~)) <=~:x~h(x~) fiir all�9 (x~)~e~ "~~ i 4=1

H ist nichtleer: weil P �9 H. In der punktweisen 0rdnung =< ist H nach unten in- duktiv, denn man verifiziert, dal~ fiir eine nichtleere Ket te K c H das punktweise In~ h wieder in H ist; dabei ha t man Sup Q I T ~ oo fiir iedes T e ~ zu benutzen. h e J ~

H besitzt also minimale Element�9 Wit beweisen, daI~ jedes minimale ] �9 H das in 1.1 Verlang%e leistet.

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3) Es sei ] �9 H minimales Element yon H. Fiir ~ �9 A 1 und z �9 ~ ( P , Q) ist darm ](q~(x)) = :r FOX all�9 x e E. Beweis: I m Fall �9 r162 = 0 haben wir

0 = :r ~ P(~0(z)) </(cp(x)) < Q(q~(x)) <= ccQ(x) = 0

fOx aUe x �9 E und also die Behauptung. I m Falle :~ > 0 definieren wir F : E--> [ - - 0% oo[

durch F ( x ) = _1 ](~c(x)) fiir x e E . Dann ist zun/~chst F(x) => l - -P(~(x) ) _-> P(x) t

fiir alle x � 9 und nach 1. iv) haben ~4r F ( x ) = ~ / ( ~ ( x , x, . . . ) ) ~ / ( x ) ~ Q(x)

ffir alle x �9 E. Weiter ist F e H, denn fiir a �9 A und (:r �9 (~(P, Q) und (xi)i �9 ist

i q" ~ i i ~ l (X i = 1

Naeh der Minimalit/it yon / mul3 also 2' = / sein. Das heil~t abet / (q)(x)) = ~](x) fiir all�9 x �9 E, was zu beweisen war.

4) Wir fixieren nun �9 minimales Element ] e H. Es ist zu beweisen, dal3 fiir all�9 a � 9 und (~i)~ e a ( P , Q) und (xi)i � 9 gilt

~t/(x~) ~_/(e(xi)), sobald ~. .~P(x~) > - - ~ fiir ein n � 9 N .

Dami t ist ~quivalent

~ i ] ( x i ) + ~:r ~/(a(x~)) fiir all�9 n � 9 N . i < n i~_n i

Wir haben also f'tir all�9 n �9 ~ die folgende Behaup tung zu beweisen: Fiir alle a �9 A und (:r e a ( P , Q) und (x~)~ �9 rd~ ist

i < n i~_n i

Wit fiihren diesen Beweis dureh vollst~ndige Induk t ion nach n �9 N. Fiir n ---- 1 ist die Behaup tung nach den Definitionen richtig. Es bleibt also der Indukt ionssehni t t n ~ n - 1 zu leisten. Wit fixieren hierzu n �9 N. Wir fixieren ferner a �9 A und (~i)~ e a(P, Q) und (x~)i �9 (d ~. Zu beweisen ist

(*) ~ ~/(x~) + ~ ~P(x~) _</(~(x0). i-<_n i > n i

Wir kSnnen hierzu annehmen ~n > O, denn im :FaRe :r ~- 0 ist (*) naeh Indukt ions- voraussetzung richtig. Wir kSnnen ferner annehmen

i < n ~>n

Endlich sei x~ �9 X (i = 1, 2 . . . . ) mit X e ~ und Q 1 x < a �9 ~.

5) Wir definieren eine Hilfsfunktion F : E --> [ - - ~o, r in der folgenden Weise. Unte r einem D a t u m fOx z �9 E vers t �9 wir �9 System ((z/)~; ~, v2; ~, ~), bestehend

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Es folgt

aus (z~)~erg ~176 und f , ~oeA 1 und ~sq)(P,Q), O < B e ~ ( P , Q ) , de ra r t dab

i) zi = ~ (xd fiir i < n , und also ~ a ~ l ( z ~ ) = ~ : ~ a ~ / ( x ~ ) > - - ~ ; i < n i < n

ii) z , = ~p(z);

iii) ~a~P(z~) > -- ~ . i > n

Ffir jedes z e E exist ieren Da ten ; beispielsweise zi = x~ ftir i ~ n, zn = z und = ~ = I d e n t i t a t u n d ~ = B = 1.

W i r definieren n u n / v : E --> [ - - r162 ~ [ du t ch

1

~ n ~ " i<n

worin das In f in imum fiber alle D a t e n ((z/)~; ~p, ~p; ~, ~)) Ftir z e E zu e rs t recken ist. Man e rkenn t sofort F ~ p ; denn die in de r Defini t ion reeh ts s tehende Differenz is t nach I n d u k t i o n s v o r a u s s e t z u n g s te ts ~ an P (zn) = :on P (Y~ (z) ) ~ an ~ P (z), so dab wir ~ (z) ~ P (z) e rha l ten .

6) W i r b e h a u p t e n F ~ / und also F _~ Q. I m Fal le a~ = 0 f'tir alle i > n is t fiir jedes z e E die in de r Def ini t ion yon F(z) rechts s tehende Differenz s te ts ~ r = anl(v2(z))= ~nBl(z), so dal~ ~-ir _F(z) ~ ](z) erhal ten. Wir kSnnen also anneh- men ai > 0 fiir mindes tens ein i > n. Es muB dann P(xz) :> - - r sein. Es exist ie- ren also E lemen te v e E mi t P ( v ) > - ~r uqr fixieren ein solches v e E . Wi r fixieren ferner ~ e z ~ und 0 < B e v2(P, Q). 3[i t diesen GrSgen bi lden wir f t ir z e E das D a t u m

ffir i < n ] Ffir i = n ~ und ~ - - - - I d e n t i t ~ t , ~--- -1 .

! ffir i > n

1 §

W i r e rha l t en mi th in

1 , - - ( ~ O ( [ ( v ) - - P(v)) f f i r a l l e z e E , F(z) <_/(z) T ~ . ~

dies also ffir alle v ~ E mi t P(v) > - - oo und alle ~ e ~ 1 und 0 < ~?~yJ(P,Q).

W i r untersche iden nun zwei F~lle. i) Es exis t ieren ein v? e AI und ein ~7 �9 Y~(P, Q) mi t ~ > 1. Nach 1. i) i s t fox p e N die p - fach i te r ie r te F u n k t i o n ~p~ : = y~ o .-- o y~ wieder in ~1, und es is t zip e ~ P ( P , Q). W e n n wi t das Vors tehende ftir ~P und ~P s t a r t fi ir yj und ~ und mi t fes tem v e E in Anspruch nehmen, d a n n e rha l ten ~dr bei p - ~ o o das Resu l t a t F(z)~_](z) . ii) F a r alle ~ e A l und ~ T e ~ ( P , Q ) is t ~ < 1.

Vol. 35, 1980 Der Hahn-Banach-Satz yon Rod6 299

= ~

fiir ~ ' > p ,'--1:

oO

Aus 1. iii) folgt d a n a : fiir alle z e A und (fl,)~ �9 z ( P , Q) ist ~ f l , < 1. Wir schlieBen i = l

hieraus f'or festes e > 0 durch Zuri ickgehen auf die Definit ion: Wenn ] - - e > P w~re, dann w~re [ - - e �9 H . Alsdann h~tte m a n wegen der Minimali t~t yon ] aber ] - - e = / oder 1 = - 0% also auch P = - 0% was nicht der Fal l ist. Es k a n n also n icht ] - e > P sein. Zu jedem e > 0 exist ier t also ein v � 9 mi t [ ( v ) - e < P (v), also mi t ] (v) > P (v) > - - 00 und ] (v) - - P (v) < e. Wenn ~ i r die End- formel des vors tehenden Absatzes mi t festen ~ �9 A1 und 0 < ~ �9 v?(P, Q) in An- spruch nehmen, d a n a erhal ten wir mi th in

1 F ( z ) < / ( z ) + - - ( ~ r fiir jedes e > 0 ,

an~/ \ i>n /

also F ( z ) < ](z) FOr alle z e E.

7) Wir beweisen nun, da$ fOr �9 �9 A und (fli)i �9 ~(P , Q) und (vj) i �9 ~ gilt O o

(**) F(T(vj)) < y~ ~F(v j ) . i i=1

E s s e i e t w a v j � 9 (2"= 1 , 2 , . . . ) m i t Y � 9 Q ] Y < b � 9 U n d e s sei

d : = b + - - * a - - - - ~ n O~rt i > n

O 0

Wir fixieren ein c �9 R mi t ~. f l iF(v i ) < c, und hierauf Zahlen c1 �9 R mi t

F ( v J ) < c / ( ~ = 1 , 2 . . . . ) und ~ j c J < c . j = l

D a n a w~hlen wir for jedes vj �9 E (j = 1, 2 . . . . ) ein D a t u m ((zi)~; 9~, ~vJ; ~J, ~ ) mi t

o) l(o(~i)) - ~ ~,/(~) - Y. ~, P (~i) < ~. ~J ~ . i i < n i > n

Wir h a b e n also

i) z~ ---- ~i(x,) fiir i < n, und also ~: r > - - 00;

ii) z/. ---- ~o~'(v/); i<,~

iii) ~ a , P ( z i ) > - - oo. i > n

Es sei wei ter ~ �9 T~" (i = 1, 2 . . . . ) mi t T~" ~ ~ (j ---- 1, 2 . . . . ). Wi t fixieren nun ein p �9 ~l u n d bilden modifizierte Daten , die yon T abh~ngen. Und zwar sei

ftir 1 G ~ ~ p : ~ = ~ und ~ = ~ p ~ ;

( i = 1 , 2 . . . . ); ~ 1 = ~ und ~1=~71;

_~_{x~ fiir i # : } ~ = ~ = I d e n t i t ~ t z i - - v i fiir i = ; ~J = ~ J = l .

D a n n ist offenbar ((Si)i; ~1, v~l; ~i, ~t) ein D a t u m fiir v i (] = 1, 2 . . . . ). Wir wollen aus diesen D a t e n ein D a t u m for v : = T(vj) e E herstellen.

i

300 H. K6NIG ARCH. MATH.

Wir bilden hierzu

Xi:=~*o-"o~1-1ov~r247 und V:=~io~2o . . . . ~ : = ~ . . . ~ - ~ + ~ . . . . . ~ ~ := ~ ....

was unproblemat isch ist, weil die Fak to ren yon einer Stelle an trivial werden. Nach 1. i) haben wir Z 1 e A 1 m i t 0 < S Y e z i ( P , Q ) (] = 1 , 2 . . . . ) und ~veA1 mit 0 < r~ e v (P , Q). Wir definieren weiter 9 : E --> E durch

q)(x)=z((Z~o~J)(x)) ffir xeE, und ~ ' : = ~ f l . ~ - ~ J .

Hier ist 1. ii) anwendbar (verbunden mit 1. i)), denn ffir ?" ~ p + 1 ist ~ i = Iden- tit~,t and Zt = ~, sowie ~ = 1 und ~ = ~. Wir erhMten ~lso q~ e A 1 und ~ e q:(P, Q). Wir bilden endlich

v~ : = ZJ (ii) (i, i ---- 1, 2 . . . . )

Hierzu ist zu bemerken

und z t : = ~ ( ~ ) ( i = 1 , 2 , . . . ) .

5ie fiir ] > = p + l und i c T ~ <)X<.)Ye% ~,

fiir ] > = p + l und i ~=~

so dab die z~ : = z (~) in der Ta t wohldefmiert sind. Und Mr haben z~ e T (Z ~) J

(i = l, 2 . . . . ) und also (z~)~ s ~'~. Wir notieren die naehst~henden Eigensehaf~en.

i) I m Falle i < n ist 5[-----~l(x~) und also

~= zJ(~)= (zJo~J)(z~) (j= 1,2,...),

z~ = ~C~) = ~((z j o~J) Cz~)) = ~(x,). ] i

ii) Im Fa]le i----n ist 5:~-~--~J(vj) und a]so nach l.v)

< = z s ( ~ ) = ( W o ~ S ) ( v A = ~ ( v ; ) 0 = 5,2 . . . . ),

z . = z(v~) = ~(~(vA) = w(z(vA)) = ~(v) . j ~" 1

iii) Im Falle i > n haben ~ir o o

i i=l ~'=1

~--~flir ---- f l ir + N uP(x~). j=1 j=1 i=p+1

Es ist mithin

" ( t ( ) i > n ~=1 \ i > n / ] = p + l

Vol. 35, 1980 Der Hahn-Banad~-Satz yon Rod6 30i

iv) I m Falle i < n haben ~ i r c o

/(~) = / ( ~ (z~)) = ~/(z~) = Y. fl~ ~ / ( z ~ ) = ~ fl~ CJ/(~(z~)) i=1 j=t

~=i i=i =:o+1

Es ist mithin

i < n j = l \ i < n ] \ j = p + l

Auf Grund yon i), ii), iii) ist in der Tat ((z~)i; ~, ~v; ~, z/) ein D a t u m ftir v : = v(vj) e E . Es ist mithin

J 1 F(v ) ~ - - (/(a(zi)) - - ~ o~/(z~) - - ~ a~ P(z~)).

O~n~ ~ z < n i > n

Wir haben nun

/(~(~)) =/(a(~(~))) =/(T((r(v~))) i i .~ i z

~=i i j= l i

= ~ ~ / ( z j ( . (~))) = ~ fl~. r (~g)) j = l i ~ = l i

~=i i j = ~ + l =

iris ~7 ~- -k ~ . :q a . ~'=1 \ i > n /

Wit kombinieren dies mit o), iii), iv) und erhalten

l ( ( , ( z ~ ) - ~ d ( z ~ ) - - Y ~ P ( z ~ ) < ~ , ~ , ~ U ~ d +~,,r~ fl~ it i i < n i > n j : l = p + l

i=i i i i i

denn fdr ~ _~ p ist ~ ~" ---- U ~ ---- ~. Es ist mithin

I Bei p --> ~ erhalten wit F(v ) N c. Dami t ist (**) bewiesen.

8) Nach 5), 6), 7) haben wir F s H und 2' < 1. Wegen der Minimalit~t yon ] muB also 2" = ] sein. Aus der Definition y o n / v , angewandt auf z = zn und dessen D a t u m ((xi)~; ~, ~v; ~, r/) mi t ~ = ~v = Iden t i tg t und ~ = ~ = 1, erhal ten wir mit-

302 H. K6NIG ARCH. MATH.

hin

/(Xn) = F (x~) g 1__ (/(a (x~)) - - ~ ~ ] (x~) - - ~. ~ P (x~)). O~n ~ i < n i > n

Das ist aber die behauptete Ungleichung (*). Damit ist der I-Iauptsatz 1.1 be~'iesen. Wir sehen also, dab die Beweisidee yon Rod~ [2] mit den erforderlichen Modifika- tionen auch den Fall unendlichstelliger 0perat ionen zu behandeln erlaubt.

3. Ein Gegenbeispiel. Wir konstruieren in diesem Abschnitt das im Anschlu$ an Satz 1.1 versprochene Beispiel. Es sei E = [ - - ~ , 0] ~~ die Gesamtheit der Folgen x----(~t)z m i t - - ~ _ ~ z ~ 0 ( / = 1 , 2 . . . . ). Wir definieren P,Q: E - - > [ - - ~ , ~ [ durch

P ( x ) = I n f ~ 1 und Q(x)=limsup~ z fiir x=(~z)~eE. l e ~ l---~r

Es ist also - - r ~ P ~ Q ~ 0. Und es sei W das aus allen T c E, T - - 0 bestehende Schrankensystem auf E. Dann ist also Q ] T ~ 0 < ~ ftir jedes T e ~. Und -(-2- ~ (E, c~) besteht aus allen unendlichstelligen 0perat ionen a: E ~ --> E auf E.

Fiir a = (at)~ e l ~ definieren wir ~: E ~ --> E durch die komponentenweise zu bildende l~eihe

(x~) = Z ~s x~ ftir (x~h e E ~ , S i = 1

also ausfiihrlich durch

~(x,)=(~z)z mit ~ z = ~ a s ~ (Z=1,2 . . . . ) f ~ r i i=] .

,~ = (~)z (i = ~, 2, . . .) ,

wie bisher mit der Konvention 0 ( - - ~ ) : = 0. Es sei ,11 := {~:a e l~+)c~2~(E, ~). D~nn ist A kommuta t iv ; denn ftir a, v e l~ u n d x~; = ( ~ ) z e E (i, ] = 1, 2 . . . . ) haben wir

O('~(x~)=(~)~ mit ~= ors ~ i , i i S = l \ j = l /

und hierin bleibt die rechte Seite bei Vertausehen der Reihenfolge der Summationen unge~ndert.

3.1. Lemma. IViir ;yel~ ist b ( P , Q ) = (a}.

Bewe i s . i) Es seien x~ = (~)~ e E (i = 1, 2, ...) und ~(xi)----: x = (~)z. Nach der Definition haben wir fiir n e ~ i

~z = ~ . ~ < 5 ~ (z = 1, 2 . . . . ), i = l i ~ l

Q (x) = limsup ~z ~ ~. as limsup ~ = a~ Q (xi), l.--~oo i = l l-.-*m i = l

Vol. 35, 1980 Der Hahn-Banach-Satz von Rod~ 303

und also Q ( x ) ~ a~Q(xi). Weiter ha.ben wir ~ > ~ a~P(x~) und also P ( x ) > i = 1 ~=I O o

~a~P(x i ) . Es ist mithin a e S ( P , Q ) . i = 1

ii) Es sei :r = (6r e ~(P , Q). Wi t fixieren ein n e N und setzen

x n : = ( - - 1 , - - i . . . . ) e E und x~:----(0,0 . . . . ) e E fiir i ~ n .

] )ann ist ~(xi)-----: x---- ( - - a n , - - a n . . . . ) e E. Wir haben P(xn) ---- Q(xn) - - - 1 und i

P(x~) = Q(x~) = 0 fiir i ~ n sowie P(x) = Q(x) = - an. Fiir :r ~ (P , Q) ist mit- hin r162 ---- an for a l l e n ~ ~ , also :r = a.

3.2. Satz. Es existiert keine Funktion [: E--> [--r162 ~ [ mit P ~ ] ~ Q, derart daft /iAr alle a e lL gilt

](b(x~)) = ~ a~/(x~) ]iir aUe (x~)~eE r i i = 1

das heiflt, derart daft/is alle a ~ A und (:q)~ e a(P, Q) gilt o ~

l ( a ( x i ) ) = ~ : r liir alle (xt)iecd ~176 i ~ = 1

B e w e i s . Es sei entgegen der B e h a u p t u n g / : E ---> [ - - 0% oo[ eine solche Funkt ion. i) l~iir x e E und 0 ~ t ~ oo ist l ( t x ) = t](x). W e n n wir ngmlich x l : = x und xi : = 0 for i _~ 2 so~ie a : = (t, 0, 0 . . . . ) e 11+ setzen, dann haben wir ~(xi) = tx

i

und also in der Ta t /(tx)----t/(x). ii) Es sei ~ i : - - - - - - [ ( - -e~) fOr e~ := (5t~)~ (i = 1, 2 . . . . ). Es ist also

- - l = P ( - - e i ) ~ - - ) . i ~ Q ( - - e ~ ) = O oder 0 ~ t _ ~ l ( i - - 1 , 2 . . . . ).

Wir behaupten Oo

](x)----~).i~ i ftir alle x----(~t)~eE m i t - - ~ < ~ 0 (/----1,2 . . . . ), i = L

worin die rechte Seite nator l ich stets im weiteren Sinne konvergiert . Zum Beweis fixieren wir ein u = (aih ~ l~ mit a~ > 0 for alle i ~ ~ . Ftir

1 a~:=--#~e]oo, 0] ( i = 1 , 2 . . . . )

ist dann

i l

so dab wit naeh i) in der Ta t erhalten

i i=i i = 1 i = l

304 H. K6NIG ARCH. MATH.

iii) Fiir n e ~ sei x n - - - - ( ~ ) z � 9 mit ~ - - - - 0 fiir l < n und ~:~------1 fiir l ~ n . Dann ist P ( x n ) - - - - Q ( x n ) = - 1, und nach fi) ist

] ( x ~ ) = - - ~.~, also ~ 2 ~ = 1 f ' d ra l l e n � 9 i=n i=n

Das ist aber unm6glich. Dami t ist der Satz be~-iesen.

Literaturverzeiehnis

[I] GF-~D RODE, Ein Grenzwertsatz fiir stfitzende Funktionen auf superkonvexen R~iumen. Dissertation, Universi~.t des Saarlandes, Saarbrficken 1977.

[2] GERD RODE, Eine abstrakte Version des Satzes yon Hahn-Banach. Arch. Math. 31,474--481 (1978).

[3] GERD RODIn, Superkonvexe Analysis. Erscheint in _Krch. Math. [4] GERD ~ROD'k., Superkonvexe .amalysis und schwache Kompaktheit. Erscheint in Arch. Math. [5] S. SrMo.~s, A convergence theorem with boundary. Pacific J. Math. 40, 703--708 (197"2). [6] S. SL~o.~-s, Maximinimax, minimax, and antiminimax theorems and a result of R. C. James.

Pacific J. Math. 40, 709--718 (1972). [~ S. SIMol~s, On Ptak's combinatorial lemma. Pacific J. Math. 40, 719--721 (1972).

Eingegangen am 18. 4. 1980

Anschrift des Autors:

Heinz K6nig Universit~t des Saarlandes Fachbereieh Mathematik D-6600 Saarbriicken


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