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Page 1: Die Schrödinger Gleichung Egon Berger Didaktik der Physik 19.06.07

Die Schrödinger Gleichung

Egon BergerDidaktik der Physik

19.06.07

Hi

Page 2: Die Schrödinger Gleichung Egon Berger Didaktik der Physik 19.06.07

x

E

1. Historisch grundlegende Experimente

2. „Ableitung“ der Schrödinger Gleichung

3. Anwendung der SG:

1. Unendlich tiefe Potentialkasten

2. Endlich tiefe Potentialkasten

3.Harmonische Oszillator

Inhalt:

Hi

E

xE

x

4. Superposition ebener Wellen

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Die graphische Interpretation der Wellenfunktion:

• Betrag

• Phase

• Nulldurchgänge

• Krümmung

• Exponentielles Abfallen

Im Vordergrund steht:

)(x

x

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Wiederholung: Die Quantentheorie des Lichtes

• Beugung und Interferenz (1800)

• Hohlraumstrahlung (1900)

• Photoelektrische Effekt (1902)

• Comptoneffekt (1922)

Licht ist eine Welle

Licht besteht aus Teilchen,den sog. Photonen.

Unsere heutige Vorstellung:

Licht besitzt sowohl Wellen- als auch Teilchencharakter.

kpE

1. Historisch grundlegende Experimente

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Die de-Broglie-Wellenlänge:

Louis de Broglie machte 1924 den Vorschlag die duale Beschreibung durch Wellen- und Teilchenmodell, die sich bei Licht bewährt hatte, auch auf Teilchen wie Elektronen, Neutronen oder Atome zu übertragen.

Deren Wellencharakter wurde bis damals nie beobachtet.Beispiel:

Ein Elektron besitze eine kin. Energie von 100eV.

aus folgtseine de-Broglie-Wellenlänge l=0,12 nm.

seine Frequenz n=2,4*10^16 Hz.

E

kp

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Davisson und Germer: Beugung von Elektronen

Sie demonstrierten 1926 den Wellencharakter von Teilchen.

Ergebnis: Beugungsringe –genau wie bei Röngtenstrahlung.

Experiment:

dünne Schicht(Al-Puder)

e--Strahl

Schirm

l=1nm - 5pm l (100eV)=0,12nmWas heißt: Wellencharakter haben?

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• Einfall einer ebenen Welle

• Wellengleichung

• Ausbreitung von Kugelwellen

• Interferenz

• Intensitätdünne Schicht(Al-Puder)

)sin(),( wtxkAtxE

... ),,( ),,( 21 txEtxE KK

n

Kn txEtxE ),(),(

2),(~ txEI Schirm

Röntgen-Strahlung: Zustandekommen der Beugungsringe

2

2

22

2 ),(1),(ttxE

cxtxE

Page 8: Die Schrödinger Gleichung Egon Berger Didaktik der Physik 19.06.07

• Einfall einer ebenen Welle

• Wellengleichung

• Ausbreitung von Kugelwellen

• Interferenz

• Intensitätdünne Schicht(Al-Puder)

)sin(),( wtxkAtx

... ),,( ),,( 21 txtx KK

n

Kn txtx ),(),(

2),(~ txI

Schirm

Elektronen-Strahl: Gleiche Ergebnisse → e- ist eine Welle

?

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Licht: Elektronen:

)sin(),( wtkxAtxE Beschreibung:

2~ EI

Zusammenstellen der Ergebnisse:

)sin(),( wtkxAtx

Intensität:2~ I

Wellengleichung:Im Vakuum

2

2

22

2 ),(1),(ttxE

cxtxE

Folgt aus den Maxwell- gleichungen für den ladungs- und stromfreien Raum (Physik 2).

?

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Wir suchen eine Gleichung, von der wir eine Lösung kennen.

Nämlich:

Ist es vielleicht möglich diese Gleichung durch eine ihrer Lösungen zu rekonstruieren?

)sin(),( wtkxAtx

2. „Ableitung“ der Schrödinger Gleichung

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)sin(),( tkxAtxE

Differentiation nach x bzw. t ergibt:

)cos(),(

)cos(),(

tkxAttxE

tkxAkxtxE

Also erfüllt E(x,t) die Differentialgleichung

ttxEk

xtxE

),(),(

Aber: Linkslaufende Wellen kommen als Lösungen nicht vor!

Wir testen diese Strategie am Beispiel der e.m. Welle!

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Darum differenzieren wir die ebene Welle

),(),(

),(),(

22

2

22

2

txEttxE

txEkxtxE

)sin(),( wtkxAtxE ein zweites Mal:

Dies führt auf die Differentialgleichung

2

2

2

2

2

2 ),(),(ttxEk

xtxE

und entspricht der Wellengleichung im Vakuum.

mit 22

2 1c

k

Dispersionsrelation

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Da uns die Rekonstruktion geglückt ist, versuchen wir nun auf diese Weise eine Wellengleichung für Teilchen zu erhalten.

)sin(),( wtkxAtx

Jedoch zuerst: Wie lautet die Dispersionsrelation für Teilchen?

VmpE 2

2

k

Vmk

2

22

Für freie Teilchen gilt:

2

2k

m

kDispersionsrelation

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Nun gehen wir aus Symmetriegründen gleich zur zweiten Ableitung über:

),(),(

),(),(

22

2

22

2

txttx

txkxtx

2

2k

m

Dispersions-relation

24

22

2k

m

Auch negative Frequenzen würden die Gleichung erfüllen:

2

2k

m

Unphysikalisch!

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Weiters möchte man allein schon mit bestimmen können.

),( tx ),( 0tx

Zu diesem Zweck darf nur die erste Zeitableitung vorkommen.

Wir versuchen also

ttx

xtx

),( und ),(

2

2

miteinander zu kombinieren.

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Die Ableitungen ergeben:

? )cos(2

),(

)sin(),(

2

22

2

tkxAmk

ttx

tkxAkxtx

Wir versuchen nun eine andere mögliche Wellenfunktion:

)(),( tkxieAtx Bemerkung:

In der klassischen Physik wird diese Funktion nur verwendet, weil damit leichter zu rechnen ist. Physikalische Relevanz hat jedoch nur der Realteil.

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Zweimalige Differentiation von

22

2

kx

)(),( tkxieAtx ergibt:

kp

2

2

p

2

))((2

xVEm

Ei

tiE

E

it

ExV

xm)(

2 2

22

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Diskussion von Y(x,t):

Zeit Ort :

In unserem Experiment:

2~ Intensität

Was geschieht wenn jeweils nur ein Elektron auf die Folie trifft?

Hypothese:

entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass das Elektronen an der Stelle [x,x+Dx] auftrifft.

xtx 2),(

Physlet: Doppelspalt

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Postulat:Der Zustand eines aus einem Massenpunkt bestehenden quantenmechanischen Systems zum festen Zeitpunkt t0 ist durch Angabe der (komplexen) Wellenfunktion

beschrieben.

),( tx

Statistische Interpretation:Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu t0 im Volumen d3x um

x0 zu finden ist:

Normierung:

xdtx 32),(

1),(32 xdtx

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Postulat:Die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion ist durch die Schrödingergleichung

gegeben.

),( tx

),()(2

),( 22

txxVm

txt

i

Erwin Schrödinger (* 1887 in Wien; † 1961 in Wien)

1926 formulierte Schrödinger die nach ihm benannte Schrödinger-Gleichung. Sie bildet eine der Grundlagen der Quantenmechanik. Diese Arbeiten brachten ihm Weltruhm und schließlich auch den Nobelpreis für Physik im Jahre 1933 ein.

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Lösungen der SG:

),()(2

),( 22

txxVm

txt

i

=H … Hamiltonian

Separartionsansatz: )()(),( xtftx

Einsetzen ergibt:

)()(

1)()(

1 xHx

tft

itf

)()( tEftft

i

)( )( xExH

Lösung:tEi

etf

)(

zeitunabhängige SG

)(),( xetxtEi

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)()()(2 2

22

xExxVxm

E

a0 x

)(xVsonst

axfür

0 0

0),( txAußerhalb des Potentialkastens:

Innerhalb: )()( xExH

=0

3. Anwendung der Schrödinger Gleichung 1. Der unendlich tiefe Potentialkasten:

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)(2)( 22

2

xEmxx

)(2

2

xp

)(2 xk

Lösung:ikxikx BeAex )(

Randbedingungen: 0)()0( a

0)0( BA

0sin 2)( kaiAeeAa ikaika

AB

... ,3 ,2 ,1 nnka

3,... 2, 1,n )sin(2)( xaniAxn

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Energie En?

)()(2 2

22

xExxm nnn

)()1(2 2

222

xan

m n

SG:

nE

)(),( xetx n

tEi

n

n

Normierung: Axdtx 1),( 2

3,... 2, 1,n )sin(2)( xaniAxn

)(2

22

22

xnam n

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Aufenthaltswahrscheinlichkeit und Energieeigenwerte:

)(sin~),( 22 xantxn

E

a0 x

2~ nEn

1E

4E

3E

2E

116 E

19 E

14 E

Bemerkung:Anzahl der Nulldurchgänge von Y entspricht dem Anregungsniveau.

Bemerkung:Die Phase geht nicht inein.

2),( txn

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Darstellung von in C:),( txn

Wir hatten:

)sin()(),(2

2

2 xanAexAetx

tnam

n

tEi

n

n

Physlet 7.6

Geogebra: Unendlich tiefer Potentialtopf

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Anwendung der SG2. Der endlich tiefe Potentialkasten:

)(

)(

x

x

u

g

x

x

e

e

x

x

e

e

)sin(

)cos(

qxA

qxA

Bemerkung:Eindringen der Wellenfunktion in die Wände mit exponentiellem Abfall. Physlet 7.2

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Unbekanntes Potential

Physlet 7.5 Pot1

Was sagt die Krümmung der Wellenfunktion aus?

)()()(2 2

22

xExxVxm

SG:

)())((2

)(2

2

2

xxVEm

xx

kinE

kinExx

für Maßein ist )(2

2

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Lösung:E

x

V(x)

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Anwendung der SG3. Der harmonische Oszillator.

)21( nEn)(x

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Weitere Unbekannte Potentiale

Physlet 7.5

Aufgaben:

Physlet P.7.1

Physlet P.7.2

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4. Superposition ebener Wellen

)sin()cos(),( tkxitkxtx

Kann geschrieben werden als:

)()( tkxiAex

Physlet 7.7

Physlet P.7.3

Physlet P.7.4

Geogebra: Superposition

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Vielen Dank für die

Aufmerksamkeit


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