Download pdf - Etwas Signal- und Systemtheorie „for Dummies“tlange/pdf/Etwas Signal- und Systemtheori… · FB Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“

FB Elektrotechnik

1Prof. Dr.-Ing. Tatjana Lange Signal- und Systemtheorie „for Dummies“

Fachhochschule MerseburgFachhochschule Merseburg

Oh No !!!!

Etwas Signal- und Systemtheorie

„for Dummies“

Etwas Signal- und Systemtheorie

„for Dummies“

Version 01 - Juli 2002

Prof. Dr.-Ing. Tatjana LangeFachhochschule MerseburgFB Elektrotechnik

FB Elektrotechnik



analogeSignale

stochastisch

Gegenstand der Betrachtung sind analoge Signale:Gegenstand der Betrachtung sind analoge Signale:

periodisch

u(t)

t

u(t)

t

aperiodisch- einzelner Impuls

u(t)

t

FB Elektrotechnik



( ) ( )( )( )( )( )

............

72cos08,0

52cos11,0

42cos14,0

22cos28,0

12cos55,033,0

0

0

0

0

0

+⋅⋅π+⋅⋅π−⋅⋅π−⋅⋅π+

⋅⋅π+=

f

f

f

f

ftup

( )012cos55,0 f⋅⋅π+

Hzt

fp

3331

0 ==

( )022cos28,0 f⋅⋅π+

( )052cos11,0 f⋅⋅π−

( )072cos08,0 f⋅⋅π+

( )042cos14,0 f⋅⋅π−

Spektrum

1kH

z

2kH

z

3kH

z f

Ak

mst p 3=

( ) ( )tkfAtuk

kp 00

2cos π=∑+∞

=

Jede periodische Zeitfunktion kann durch die Summe unendlichvieler Cosinus-Schwingungen unterschiedlicher Amplitude undunter Frequenz ( und Phase) dargestellt werden.

Die Amplituden der Cosinus-Schwingungen stellt man alsLinien über der Frequenzachsedar.

! diskretes (Linien-)Spektrum

FB Elektrotechnik



1kH

z

2kH

z

3kH

z f

Ak

1kH

z

2kH

z

3kH

z

1kH

z

2kH

z

3kH

z f

1kH

z

2kH

z

3kH

z f

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-0,2

0-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

T=1mstp=2ms

T=1mstp=3ms

T=1mstp=4ms

T=1mstp=5ms

FB Elektrotechnik



-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

1kH

z

2kH

z

3kH

z f

1/T

1/tp

~ U0T/tp

T tp

Erkenntnisse:1. Die Nulldurchgänge der Hüllkurve über den Fourier-Koeffizienten hängen nur von der

Impulsbreite T, aber nicht von der Periode tp ab.2. Die Frequenz der Grundwelle f0 hängt nur von der Periode tp ab.3. Je größer die Periode tp, um so geringer der Abstand zwischen den Frequenzen der

Grundwelle und der Oberwellen. Der Abstand zwischen den Linien im Spektrum wirdimmer kleiner.

4. Mit größer werdender Periode werden die Werte der Fourier-Koeffizienten bzw. dieAmplitude der Hüllkurve immer kleiner. Die Form der Hüllkurve bleibt jedoch erhalten.

U0

FB Elektrotechnik



1kH

z

2kH

z

3kH

z f

1/T

1/tp

~ T/tp

T tp

Grenzwertbetrachtung:Strebt die Periode gegen Unendlich (tp → ∞),

• so strebt der Abstand zwischen den Spektrallinien gegen Null (∆f=(k+1)f0-kf0 → 0)• strebt die Amplitude der Hüllkurve gegen Null; die Form der Hüllkurve bleib jedoch erhalten !!!

Damit verwandelt sich das diskrete Linienspektrum in eine kontinuierliche spektrale Dichtefunktion(kurz: spektrale Dichte, Spektrum).Eine gegen Unendlich strebende Periode bedeutet, daß nur noch ein einzelner Impuls (oder aperiodischeFunktion) betrachtet wird (die anderen Impulse „verschwinden im Unendlichen“), der imFrequenzbereich durch die spektrale Dichte beschrieben ist.

∆f

1kH

z

2kH

z

3kH

z f

1/T

T

tp → ∞tp → ∞

FB Elektrotechnik



Der Verlauf der spektralen Dichtefunktion gibt Auskunft über die Verteilung der(unendlich kleinen aber differentiell unterschiedlichen ) Amplituden der unendlichvielen Cosinus-Schwingungen über die Frequenz. Die Maßeinheit ist [V/Hz].Man spricht in diesem Zusammenhang auch von der Amplitudendichte U(f).

Merke: Die Maßeinheit der Fourier-Koeffizienten Ak (für periodische Signale) ist [V].

↔

u(t)

t f

U0T

T

aperiodischeFunktion

U(f)

↔

tppu (t)

t ff0

U0 Ttp

T

[V] [V]

[V] [V/Hz]

1. Ein periodischesZeitsignal besitzt eindiskretes Spektrum.

2. Ein aperiodische Signalbesitzt einkontinuierlichesSpektrum.

Zusammenfassende Erkenntnis:

FB Elektrotechnik



Fouriertransformation - Warum tun wir uns das an ?

ZL

Ru1(t) u2(t)Induktion verursachtPhasendrehung um 90° !!!

( ) ( )tfUtu 001 2cos π=

( ) ( )LfjR

RtfUtu

0002 2

2cosπ+

⋅π=

u1(t)

Das Systemverhalten ist frequenzabhängig.

Darstellung des komplexenWiderstands in derkomplexen Zahlenebene:

j

R

ZL

LfLZL ⋅⋅π=⋅ω= 2

u2(t)

u2(t)

u1(t)

( ) ?2 =tu ( ) ( )LjZR

Rtutu

+⋅= 12

frequenzabhängiger Übertragungsfaktor G(f0)

FB Elektrotechnik


Fachhochschule MerseburgFachhochschule MerseburgAllgemein:

SystemG(f0)

( ) ( )tfUtu 001 2cos π= ( ) ( ) ( )tffGUtu 0002 2cos π⋅=

periodische nicht-harmonische Signale

( ) ( )∑∞

=

π=0

01 2cosk

k tkfUtu ( ) ( ) ( )∑ π⋅= tkfkfGUtu k 002 2cosSystemG(kf0)

periodische harmonische Signale

aperiodische Signale

SystemG(f)

( ) ( ) dfefUtu ftj∫+∞

∞−

π= 211 ( ) ( ) ( ) dfefGfUtu ftj∫

+∞

∞−

π= 212


∞−

π= 222( ) ( ) ( )fGfUfU 12 =

FB Elektrotechnik



Rechenweg:

( ) ( ) ( )fGfUfU 12 =

u1(t) u2(t)

U1(f) U2(f)

G(f)System

Fouriertransformation Fouriertransformation

1G(f)

U1(f)

U2(f)

( ) ( ) ( )fGfUfU 12 =

„Graphische Multiplikation“

!

1

2

3 !!

FB Elektrotechnik



MeßanordnungMeßanordnung

~ Meßobjekt

Meßgerät, z.B.• Oszillograph• Vektorvoltmeter

u1(t)=U10cos(2πfkt) u2(t)=U20(fk)cos(2πfk(t- ∆tk))= U20(fk)cos(2πfkt- 2πfk∆tk)Cosinus-Generator

durchstimmbareFrequenz

U10=const., z.B. 1V ϕk

ZL

Ru1(t) u2(t)

( ) ( )fjZR

RfG

L+=

System

G(f) ? Rechnen

Messen

FB Elektrotechnik



Merke: Die Beziehung U2(f)=U1(f)G(f) gilt nur für lineare, zeitinvariante Systeme(Beispiel. elektronischer Verstärker im linearen Arbeitsbereich).

linearesSystem

nichtlinearesSystem

u1(t) u2(t)System

zeitinvariantesSystem

nichtzeitinvariantesSystem

u1(t) u2(t)System

FB Elektrotechnik



Jetzt etwas Mathematik:Jetzt etwas Mathematik:

( ) ( )kk

kp tkfAtu ϕ+π=∑+∞

=0

0

2cos

ptf

10 =

Fourier-Reihe für periodische Signale (Funktionen):

t

tpu(t)F-01

( ) ( ) ( )[ ]∑+∞

=

π+π=0

00 2sin2cosk

kkp tkfbtkfatu

FB Elektrotechnik



Komplexe Form der Fourier-Reihe:

( )( ) ( )

tkfj

C

jktkfj

C

jk

tkfjtkfj

kkk

eeA

eeA

eeAtkfA

k

k

k

k

kk

00

00

22

22

0

22

22cos

π−ϕ−

πϕ

ϕ+π−ϕ+π

⋅+⋅=

+=ϕ+π

−

434 21321

( ) ( ) ∑∑+∞

−∞=

π+∞

=

=ϕ+π=k

tkfjkk

kkp eCtkfAtu 02

00

2cos

kjkk e

AC ϕ=

2

kjkk e

AC ϕ−

− =2

0≠k

( ) ( )0

00000 cos

cosϕ

=ϕ= CAAC

( ) dtetut

C tkfj

t

t

pp

k

p

p

02

2/

2/

1 π−+

−∫=F-03

Berechnung der Koeffizienten:kk CA ⋅= 2

F-02

{ } { } kjkkkk eCCjCC ϕ=+= ImRe

Für reale { }kk CC Re=gilt:

0;2 0 =ϕ= kk CA

Euler‘sche Formel

2cos

jxjx eex

−+ +=

!

FB Elektrotechnik



↔

u(t)

t f

U0 T

T

aperiodischeFunktion

U(f)

1/T

Mit tp → ∞ erhält man schließlich eine aperiodische Funktion imZeitbereich und ein kontinuierliches Spektrum im Bildbereich:


∞−

π= 2

Das Fourier-Integral ersetzt die Fourier-Reihe:

( ) ( ) dtetufU ftj∫+∞

∞−

π−= 2F-04 F-05!

FB Elektrotechnik



Beispiel fürSymmetrie:

u(t)

t

U0

T

U(f)

f

U T0

1T

2T

3T

u(t)

U0

T1

T

f

Zeitbereich Frequenz- bzw. Bildbereich

u(t)U0

tT

Beachte Symmetrie:


∞−

π= 2 ( ) ( ) dtetufU ftj∫+∞

∞−

π−= 2

FB Elektrotechnik



Standardsignale und ihre Spektren (1)Standardsignale und ihre Spektren (1)

u(t)

t

U0

U0/2

TH

U(f)

fBH

U0TH

U0TH/2

Zeitbereich Spektrum

HH B

T1≈

U(f)

f

U0 .δ(f-f )2 0

U0 .δ(f+f )2 0

+f0-f0

u(t)

t

tp

U0

( ) ( )tfUtu 00 2cos π=

0

1

ft p =

!

FB Elektrotechnik



Standardsignale und ihre Spektren (2)Standardsignale und ihre Spektren (2)

Zeitbereich Spektrum

u(t)

t

U0

TH

U(f)

f

U T0 H

1

HT2

HT3

HT

U(f)

ff0

Fläche der Stöße = f A0 0

u(t)

t

Fläche der Stöße = A0

tp

0

1

ft p =

In der Realität werden die Dirac-Stöße durchschmale Impulse ersetzt.

( ) ( )HH fTsiTUfU π⋅= 0

FB Elektrotechnik



Einige wichtige Eigenschaften der FouriertransformationEinige wichtige Eigenschaften der Fouriertransformation

(a) Wenn und eine zeit- und frequenzunabhängigeKonstante ist, dann gilt:

( ) ( )fUtu 11 ↔ k

( ) ( )fUktuk 11 ⋅↔⋅

(b) Wenn und , dann gilt:( ) ( )fUtu 11 ↔ ( ) ( )fUtu 22 ↔

( ) ( ) ( ) ( )fUfUtutu 2121 +↔+

(c) Die Fläche unter der Frequenzfunktion ist gleich dem Wert derZeitfunktion bei :

( )fU

( )tu 0=t( ) ( ) ( )dffUutu ∫

+∞

∞−

=== 00

(d) Die Fläche unter der Zeitfunktion ist gleich dem Wert derFrequenzfunktion bei :( )fU

( )tu0=f

( ) ( ) ( )dttuUfU ∫+∞

∞−

=== 00

FB Elektrotechnik



u(t)

t

U0

U0/2

TH

U(f)

fBH

U0TH

U0TH/2

HH B

T1≈

!

Wichtige Näherungsbeziehung:

( ) ( )( ) ( ) HH

H

TUTtufU

BfUtuU

⋅=⋅=≈=⋅=≈==

0

0

00

00

Zur Not kann jedes Signal näherungsweise als ein glockenförmigerImpuls betrachtet werden.

FB Elektrotechnik



G(f)

fBH=50 kHz

2

u1(t)

tTH=1µs

1V

u1(t)

tTH=1ms

2V

u1(t)

t

40 µs

1V

Beispielaufgabe:Gegeben ist die in der Abbildung dargestellteÜbertragungsfunktion G(f) eines Tiefpaß.

Skizzieren Sie näherungsweise das Signal am Ausgang desTiefpaß für folgende drei Fälle:

(A) Am Eingang des Tiefpasses wirkt ein dreieckförmigerImpuls mit der Halbwertsbreite TH=1µs und einer

Amplitude von U0=1 V - siehe Abbildung A.(B) Am Eingang des Tiefpasses wirkt ein glockenförmiger

Impuls mit der Halbwertsbreite TH=1ms und einerAmplitude von U0=2 V - siehe Abbildung B.

(C) Am Eingang des Tiefpasses wirkt eine cosinusformigeSpannung - siehe Abb. C

Fall (A) Fall (B) Fall (C)

FB Elektrotechnik



LösungFall A u1(t)

tTH=1µs

1V

1. Schritt: Ermittlung des Spektrums des Eingangssignals (näherungsweise !!!):

fBH≈1 MHz

U1(f=0)≈1V/MHz

2. Schritt: (graphische) Multiplikation mit derÜbertragungsfunktion des Tiefpasses: G(f)

fBH=50 kHz

2

Beachte: Unterschiedliche Maßstäbe auf denFrequenzachsen.Im Durchlaßbereich des Tiefpasses ist die spektraleAmplitudendichte des Eingangssignals U(f) ≈1V/MHz=const.

U1(f)

fBH=50 kHz

U2(f) U2(f=0)≈2V/MHz3. Schritt: Rücktransformation (näherunsweise):

1

3

u2(t) u2(t=0)≈0,1V

TH≈20µs

Ergebnis:

2

FB Elektrotechnik



1. Schritt: Ermittlung des Spektrums des Eingangssignals (näherungsweise !!!):

2. Schritt: (graphische) Multiplikation mit derÜbertragungsfunktion des Tiefpasses:

2Beachte: Unterschiedliche Maßstäbe der Frequenzachsen.Im Frequenzband des Eingangssignals ist der Verlauf derÜbertragungsfunktion nahezu konstant.(für -1kHz <f < +1kHz gilt G(f) ≈ 2 =const.)Das Signal wird ohne frequenzmäßige Einschränkungdurchgelassen, jedoch um den Faktor 2 verstärkt.

fBH=50 kHz

G(f)

3. Schritt: Rücktransformation (näherunsweise):

1

3

Ergebnis:

2

u1(t)

tTH=1ms

2V

f

U2(f=0)≈4V/kHz

BH=1kHz

U2(f)

f

U1(f=0)≈2V/kHz

BH=1kHz

U1(f)

u2(t)

tTH=1ms

4V

LösungFall B

FB Elektrotechnik



2. Schritt: (graphische) Multiplikation mit derÜbertragungsfunktion des Tiefpasses: G(f)

fBH=50 kHz

2

3. Schritt: Rücktransformation (näherunsweise):

1

3Ergebnis:

2

u(t)

t

tp

U0 U(f)

f

U0 .δ(f-f )2 0

U0 .δ(f+f )2 0

+f0-f0tp=40µs f0=1/tp=25kHzf0=25kHz

G(f=25kHz)=1

U(f)

f

U0 .δ(f-f )2 0

U0 .δ(f+f )2 0

+f0-f0f0=25kHz

u(t)

t

tp

U0

tp=40µs

LösungFall C

Lösungsvariante 1 - „regulärer“ Weg

FB Elektrotechnik



u1(t)

t

tp

U0

Zur Erinnerung:Der Wert der Übertragungsfunktion G(f) an der Stelle f=fi gibt (definitionsgemäß) das Verhältniszwischen den Amplituden des cosinusförmigen Ausgangssignals u2(t)= U20cos(2πfit) und descosinusförmigen Eingangssignals u1(t)= U10cos(2πfit) an (=Übertragungsfaktor).

Es gilt also:

G(f)

fBH=50 kHz

2

G(f=25kHz)=1u1(t)= U10cos(2πfit) u2(t)= U20cos(2πfit)

( )iff

i U

UffG

===

10

20

In der Aufgabe wirkt auf den Eingang des Systems ein cosinusförmiges Signal. Am Ausgang mußalso wieder ein cosinusförmiges Signal gleicher Frequenz erscheinen.Dessen Amplitude hängt von der Frquenz ab. In der Aufgabe ergibt sich die Frequenz derCosinus-Schwingung aus der Periode, also f0=1/tp=25kHz.Der Wert der Übertragungsfunktion bei f=25kHz ist lt. Skizze gleich G(f=25kHz)=1.Folglich erscheint am Ausgang des Systems das gleiche Signal wie am Eingang !!!

u2(t)

t

tp

U0

Lösungsvariante 1 - „Abkürzung“LösungFall C

FB Elektrotechnik



Multiplikation eines Signals mit einer Cosinus-FolgeMultiplikation eines Signals mit einer Cosinus-Folge

zeitlicher Signalverlauf

uN(t)

uT(t)

uM(t)

UT(f)

UM(f)

UN(f)

f

f

f

t

t

t

Modulation

Frequenzmultiplex

Multiplikationim Zeitbereich

Verschiebungdes Spektrums

Spektrum

uN(t) uT(t)

uM(t)

Nutzsignal

Trägersignal

moduliertesSignal

FB Elektrotechnik



Multiplikation eines Signals mit einer Abtastfolge - AbtastungMultiplikation eines Signals mit einer Abtastfolge - Abtastung

uN(t)

uA(t)

uD(t)

UA(f)

UD(f)

UN(f)

f

f

f

t

t

t

Periodifizierung

Digitalisierung

periodische Folge

Multiplikationim Zeitbereich

Verschiebungdes Spektrums

Abtasttheorem

zeitlicher Signalverlauf Spektrum

uN(t) uA(t)

uD(t)

Nutzsignal

Abtastfolge

bzw. abgetastetesSignal

DiskretesSignal

FB Elektrotechnik



u(t) U(f)

P{u(t)}=up(t) A{U(f)}=Ua(f)

A{u(t)}=ua(t) P{U(f)}=Up(f)

Periodifizierung:Periode tp=1/f0

Periodifizierung:Periode fp=1/t0

Abtastung:Abtastintervallt0=1/fp

Abtastung:Abtastintervall f0=1/tp

Merke:• Periodifizierung im Zeitbereich bedeutet Abtastung im Frequenzbereich• Abtastung im Zeitbereich bedeutet Periodifizierung im Frequenzbereich

FB Elektrotechnik



tTH=50 µs

U0=2 V

u (t)

f

U(f)

BH≈20kHz

U(f=0)≈100V/MHz

2. Schritt:Periodifizierung im Zeitbereich bedeutet Abtastung im Frequenzbereich.Dabei berechnet sich der Abstand zwischen den Abtastnadeln aus der Periode wie folgt:

kHzst

fp

5200

110 =

µ==

f

U(f)

BH≈20kHz

U(f=0)≈100V/MHz

5kHz 15kHz

1. Schritt: Ermittlung des Spektrums der Originalfunktion u(t)

Ergebnis:

Beispielaufgabe:Gegeben ist das in der Skizze dargestellte Signal im Zeitbereich.Dieses Signal wird periodifiziert mit einer Periode tp=200µs.

Skizzieren Sie näherungsweise das Spektrum des periodifizierten Signals.

tTH=50 µs

U0=2 V

u (t)

Lösung:

FB Elektrotechnik



Digitalisierung analoger Signale - AbtasttheoremDigitalisierung analoger Signale - Abtasttheorem

UD(f)UN(f)

f f

uA(t)

t

uD(t)

t

uN(t)

t

analogesSignal

Abtastfolge

Diskretes bzw.abgetastets

Signal

G(f)

f

uN(t)

t

UN(f)

f

Tiefpass

Durchlaßbereich

Sperrbereiche

zeit

lich

erSi

gnal

verl

auf

Spek

tren

FB Elektrotechnik



analogeSignalquelle Tiefpaß

Grenz-frequenz fg

AbtasterTiefpaßGrenz-

frequenz fg

AbtastimpulseAbtastfrequenz f0 > 2fg

Digitalisierung analoger Signale

Schritt 1: Abtastung

Abtasttheorem !!!Abtasttheorem !!!

Digitalisierung analoger Signale

FB Elektrotechnik



+ 3

+ 2

+ 1

+ 0

- 1

- 2

- 3

1 1 1

1 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Schritt 2:Quantisierung

undbinäre Codierung

Quantisierer / Codierer

anderer Zeitmaßstab

FB Elektrotechnik



TP AbtasterTiefpaßGrenz-

frequenz fg

Quant./Coder Decoder

DigitaleSignal-

verarbeitung

Digitale Signalübertragung

Digitale Signalfilterung

Digitale Signalspeicherung

Digitale Signalerkennung

DigitaleSignalverarbeitung

Quantisierungsverzerrung !!!anderer Zeitmaßstab