FachhochschuleSolothurnNordwestschweizTechnik - Wirtschaft - Soziales
Binäre Repräsentation von InformationBinäre Repräsentation von Information
Bits und BytesBinärzahlenASCIIGanze ZahlenRationale ZahlenGleitkommazahlen
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MotivationMotivation
Prinzip 8 der von-Neumann Architektur:
(8) Alle Daten werden binär kodiert
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Repräsentation von Information: Bits und Repräsentation von Information: Bits und BitfolgenBitfolgen
Bits kleinstmögliche Informationseinheit, die zwei
Möglichkeiten zulässt ja oder nein, hell oder dunkel, gross oder klein
Zur Darstellung reicht ein Code mit zwei Zeichen, meist 0 und 1
technisch realisiert durch elektrische Ladung (0 = ungeladen, 1 = geladen), oder elektrische Spannungen (0 = 0 Volt, 1 = 5 Volt)
Bitfolgen Für Informationen mit mehr als zwei Möglichkeiten Bei drei oder vier Möglichkeiten benötigt man 2 Bits, für 5
bis 8 Möglichkeiten benötigt man 3 Bits usw. Beispiel: Himmelsrichtungen
00 = Süd, 01 = West, 10 = Nord, 11 = Ost Bitfolgen lassen sich als Zahlen im Dualsystem
interpretieren Es gilt: Es gibt genau 2N Bitfolgen der Länge N
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BinärziffernBinärziffern
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1024
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Binärdarstellung positiver ganzer ZahlenBinärdarstellung positiver ganzer Zahlen
Will man nur positive Zahlen darstellen, so kann man mit N Bits 2N Zahlen, d.h. den Bereich der Zahlen von 0 bis 2N - 1 darstellen
Beispiel: N = 3:000 = 0001
=
1010
=
2011
=
3100
=
4101
=
5110
=
6111
=
7
Beispiel: N = 4:0000 = 00001
=
10010
=
20011
=
30100
=
40101
=
50110
=
60111
=
71000
=
81001
=
91010
=
101011
=
111100
=
121101
=
131110
=
141111
=
15
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Binärdarstellung positiver ganzer ZahlenBinärdarstellung positiver ganzer Zahlen
Will man nur positive Zahlen darstellen, so kann man mit N Bits 2N Zahlen, d.h. den Bereich der Zahlen von 0 bis 2N - 1 darstellen
Die einzelnen Ziffern einer n-stelligen Zahl sind die Koeffizienten der Potenzen der Basis: Beispiel: Dezimalzahlen
4711 = 4 * 103 + 7 * 102 + 1 * 101 + 1 * 100
4 * 1000 + 7 * 100 + 1 * 10 + 1 * 1 Beispiel: Binärzahlen
11012 = 1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20
1 * 8 + 1 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 1310
Darstellung: Die tiefgestellt Zahl gibt die Basis der Zahl an
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Verfahren zur Umwandlung in Verfahren zur Umwandlung in BinärdarstellungBinärdarstellung
Bei fortgesetztem Dividieren durch 2 ergeben die Reste nacheinander die Ziffern der Darstellung der ursprünglichen Zahl z im Zweiersystem
Beispiel: Die Umwandlung der Dezimalzahl 2001 ins Binärsystem ergibt 11111010001
z z div 2 z mod 2
2001 1000 11000 500 0500 250 0250 125 0125 62 162 31 031 15 115 7 17 3 13 1 11 0 1
Analoges gilt für die Umwandlung in andere Zahlensysteme, z.B. Umwandlung ins Oktalsystem: fortlaufendes Dividieren durch 8 Umwandlung ins Haxadezimalsystem: fortlaufendes Dividieren durch 16
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Umwandlung in das Binärsystem: Umwandlung in das Binärsystem: HintergrundHintergrund
Bei der Division einer natürlichen Zahl durch eine andere natürliche Zahl d, so erhalten wir einen Quotienten q und einen Rest r:
z = q * d + r (wobei 0 < r < d)
Sei div die ganzzahlige Division und mod die Berechnung des Rest der Division(Beispiel: 35 div 8 = 4 und 35 mod 8 = 3)
Dann gilt z = (z div d) * d + (z mod d)
Dies nutzen wir aus für die Umwandlung einer natürlichen Zahl z in die entsprechende Binärzahl bnbn-1...b1bo
z = (bnbn-1...b1bo)2 = bn* 2n + bn-1 * 2n-1 + ... + b1 * 21 + bo
= (bn* 2n-1 + bn-1 * 2n-2 + ... + b1 * 20 )* 2 + bo
= (bnbn-1...b1)2* 2 + bo
Somit ist die letzte Ziffer b0 genau der Rest, der beim Dividieren durch 2 entsteht (z mod 2) und die restlichen Ziffern bnbn-1...b1 muss sich als Binärdarstellung von z div 2 ergeben.
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Oktal- und HexadezimalsystemOktal- und HexadezimalsystemNeben dem Dezimal- und Binärsystem sind in der Informatik in
Gebrauch
Oktalsystem - Zahlen zur Basis 8 Verwendung der Ziffern 0 bis 7 Die einzelnen Ziffern einer mehrstelligen Oktalzahl sind
Koeffizienten der Potenzen zur Basis 8
Beispiel 47118 = 4 * 83 + 7 * 82 + 1 * 81 + 1 * 80 = (2505)10
Hexadezimalsystem - Zahlen zur Basis 16 Verwendung der Ziffern 0 bis 9 und der Buchstaben A bis F
(für 10 bis 15) Die einzelnen Ziffern einer mehrstelligen Hexadezimalzahl
sind Koeffizienten der Potenzen zur Basis 16
Beispiel 2C7316 = 2 * 163 + 12 * 162 + 7 * 161 + 3 * 160 = (11379)10
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Umrechnung Binär- in Hexadezimal- und Umrechnung Binär- in Hexadezimal- und OktalzahlenOktalzahlen
Die Bedeutung von Oktal- und Hexadezimalsystem liegt darin, dass man zwischen Binärsystem und Oktal- bzw. Hexadezimalsystem einfach umrechnen kann
Der einfachen Lesbarkeit wegen gruppiert man grosse Bitfolgen in 4er-Gruppen und erhält die Hexadezimaldarstellung
Jeder Gruppe gibt man einen Namen unter Verwendung der Ziffern 1 bis 9 und der Buchstaben A bis F:
0000 = 0 0100 = 4 1000 = 8 1100 = C0001 = 1 0101= 5 1001 = 9 1101 = D0010 = 2 0110 = 6 1010 = A 1110 = E0011 = 3 0111 = 7 1011 = B 1111 = F
Die Bitfolge 0100 1111 0110 0001 0110 1100 0110 11002
lässt sich dann kompakter schreiben als 4 F 6 1 6 C 6 C 16
Analog kann man Dreiergruppen von Binärziffern zusammenfassen und erhält daraus eine Oktalzahl
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ÜbungsaufgabenÜbungsaufgaben
Wandeln Sie folgende Binärzahlen in Dezimalzahlen um
101 = 5
1101 = 13
11111110 = 254
11011011 = 219
11000011 = 195
Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in Binärzahlen, Oktalzahlen (Basis 8) und Hexadezimalzahlen (Basis 16) um
101 = 1100101 = 145 = 65
255 = 11111111 = 377 = FF
167 = 10100111 = 247 = A7
4582 = 1000111100110 = 10746 = 11E6
256 = 100000000 = 400 = 100
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Zeichendarstellung: ASCIIZeichendarstellung: ASCII Binärzahlen werden zur Informationsspeicherung verwendet.
Information, die man mit der Tastatur eintippt wird als Text (Zeichenfolge) interpretiert.
Jedes Zeichen wird als Bitfolge codiert
Die ASCII-Codierung benutzt 7 Bits eines Byte (27 = 128 Möglichkeiten) zur Darstellung eines Zeichens
Prinzipien: die Kleinbuchstaben sind in der alphabetischen Reihenfolgen
durchnumeriert (ASCII 97 = „a“, ... ASCII 122 = „z“)
die Grossbuchstaben sind in der alphabetischen Reihenfolgen durchnumeriert (ASCII 65 = „A“, ... ASCII 90 = „Z“)
die Ziffern 0 bis 9 stehen in der natürlich Reihenfolge (ASCII 48 = „0“, ... ASCII 57 = „9“)
Die Zeichen ASCII 0 bis ASCII 31 sowie ASCII 127 dienen Steuerungszwecken. Eingabe über Tastatur durch Drücken der Steuerungstaste („Strg“ bzw „Ctrl“)
ASCII 1 = Ctrl-A, ..., ASCII 26 = Ctrl-ZASCII (American Standard Code for Information Exchange)
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ASCII-TabelleASCII-Tabelle
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Informationsdarstellung: Text - ASCIIInformationsdarstellung: Text - ASCII Fortlaufenden Text kodiert man einfach durch
aneinanderreihen der Codes einzelner Zeichen incl. des Codes für Lehrzeichen (Zeichenkette = string) Beispiel: „Knut liest“ wird kodiert als
ASCII-Code 075 110 117 116 032 108 105 101 115 116
Bitfolge 01001011 01101110 01110101 01110100 00100000
01101100 01101001 01100101 01110011 01110100
Hexcode 4B 6E 75 74 20 6C 69 65 73 74
Bemerkung: Wenn Sie jemand auffordert, ihm ein Dokument in ASCII zu schicken, so meint er in der Regel: Schicken Sie mir den reinen Text ohne Formatanweisungen.
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ASCII-ErweiterungenASCII-Erweiterungen Das achte Bit eines Byte wurde bei ASCII früher als Kontrollbit für die Datenübertragung genutzt: Es wurde auf 0 oder 1 gesetzt, damit die Anzahl der 1en immer gerade war (even parity). Trat bei der Datenübertragung ein kleiner Fehler auf (1 Bit gedreht), wurde dies erkannt
Wegen verbesserter Qualität der Datenübertragung wurde das Kontrollbit überflüssig. Man konnte es für die Kodierung verwenden, so dass nun 28 = 256 Zeichen zur Verfügung stehen
Die International Standardization Organization (ISO) hat verschiedene ASCII-Erweiterungen normiert. In Europa ist die ASCII-Erweiterung Latin-1 nützlich, die z.B. sprachspezifische Zeichen enthält, wie z.B. Umlaute („ä“, „ö“, „ü“, „Ä“, „Ö“, „Ü“)
Probleme: Einige Rechner (z.B. unter UNIX-Betriebssystem) verwenden
nur die genormten ASCII-Zeichen 0 bis 127 (Umlaute nicht so einfach darstellbar); andere haben eigene Erweiterungen.
Beim Austausch von Daten, Emails usw. müssen Sender und Empfänger die gleiche ASCII-Erweiterung verwenden (Lösung: Umcodierung einer Datei in ASCII mittels der Programme uuencode und Dekodierung mittels uudecode)
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UnicodeUnicode
Wegen der Problematik der ASCII-Erweiterungen entstand in den letzten Jahren ein neuer Standard: Unicode
Ziel: sämtliche relevanten Zeichen aus den unterschiedlichen Kulturkreisen in universellem Code zusammenfassen
Unicode verwendet 16-Bit-Codierung (maximal 216 = 65536 Zeichen) Die ersten 128 Zeichen sind identisch mit ASCII die nächsten 128 Zeichen sind identisch mit ISO-Latin 1
Programmiersprachen lassen meist keine Zeichen aus ASCII-Erweiterungen zu (Ausnahme: Java)
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Bearbeitung binär codierter InformationBearbeitung binär codierter Information
ASCII, Unicode für Beschreibung von Daten nicht für Berechnung geeignet
Datentypen in Programmiersprachen werden speziell repräsentiert, damit man mit ihnen rechnen kann Ganze Zahlen (Integer): Zweierkomplement Gebrochene Zahlen Gleitkommazahlen Boolesche Werte
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Arithmetische Operationen auf Arithmetische Operationen auf Binärzahlen: AdditionBinärzahlen: Addition
Zwei aus mehreren Ziffern bestehende Binärzahlen werden addiert, wie man es von Dezimalzahlen gewohnt ist Ein an einer Ziffernposition entstehender Übertrag wird
zur hächsthöheren Ziffernposition addiert Ein Übertrag entsteht, wenn bei der Addition zweier
Ziffern der Wert grösser oder gleich dem Basiswert ist Bei Binärzahlen entsteht ein Übertrag schon bei 1+1
Beispiel Binär Oktal Hexadezimal Dezimal
10010 2 7 5 2 2 7 C A 2 7 5 2+ 100111 4 2 6 1 A F 9 3 4 2 6 1= 111001 7 2 3 3 D 7 5 D 7 0 1 3
Problem: Wenn durch Übertrag die reservierten Stellen für die Zahl nicht ausreichen, kann es zu Fehlern kommen!
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Darstellung ganzer ZahlenDarstellung ganzer Zahlen Als ganze Zahlen bereichnet man die Vereinigung der natürlichen Zahlen und der negativen Zahlen
Für positive ganze Zahlen, kann man die Binärdarstellung verwenden
Kommen negative Zahlen hinzu, müssen wir ein Bit für das Vorzeichen verwenden
Erste Überlegung: Vorzeichendarstellung Nehme gewöhnliche Binärzahlen und füge ein Bit für
Vorzeichen hinzu Beispiel: Bei 4 Ziffern kann man den Bereich von -7 bis
+7 darstellen
Diese Darstellung hat eine Reihe von Nachteilen Die Null wird durch zwei Bitfolgen für +0 und -0
dargestellt: 0000 und 1000 Addition muss berücksichtigen, welches Bit das
Vorzeichen darstellt
Alternative: Zweierkomplementdarstellung
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Die Zweierkomplementdarstellung für Die Zweierkomplementdarstellung für ganze Zahlenganze Zahlen
Zahlenbereich bei N Bits: -2N-1 bis +2N-1-1
Bei der Zweikomplementdarstellung wird das erste Bit negiert betrachtet wird. Die restlichen Bits behalten ihre Bedeutung. Die Ziffernfolge
bnbn-1...b1b0
bezeichnet also folgende Zahl
z = -bn * 2n + bn-1 * 2n-1 + ... + b1 * 21 + b0
Wir betrachten dies am Beispiel mit 4 Bits (Darstellung 16 ganzer Zahlen)1000 = -8 1100 = -4 0000 = 0 0100 = 4
1001 = -7 1101 = -3 0001 = 1 0101 = 51010 = -6 1110 = -2 0010 = 2 0110 = 61011 = -5 1111 = -1 0011 = 3 0111 = 7
Prinzip: Seien N Bits für die Zahlendarstellung zur Verfügung Zähle von 0 aufwärts bis obere Grenze (2N-1-1) anschliessend wird an der unteren Grenze (-2N-1)
fortgesetzt bis -1
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ZweierkomplementdarstellungZweierkomplementdarstellung
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Zahlenbereiche für ganze Zahlen in Zahlenbereiche für ganze Zahlen in ProgrammiersprachenProgrammiersprachen
Je nach dem, wieviel Bit für die Zahlendarstellung zur Verfügung gestellt wird, können in den einzelnen Programmiersprachen unterschiedliche Zahlenbereiche genutzt werden
Bereich Bits Datentypen inDelphi Java
-128...127 8 Bit Shortint byte-32768...32767 16 Bit Integer short
-231...231-1 32 Bit Longint int-263 .. 263-1 64 Bit long
0...255 8 Bit Byte0...65535 16 Bit Word
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Gebrochene (rationale) ZahlenGebrochene (rationale) Zahlen Zwischen je zwei Zahlen gibt es unendlich viele rationale Zahlen
Eine feste Anzahl von N Bits reicht also nicht aus, um alle rationalen Zahlen eines Intervalls exakt darzustellen
Rationale Zahlen werden als Kommazahlen mit einer festen Anzahl n von Stellen vor dem Komma und m Stellen nach dem Komma repräsentiert
Die Ziffernfolge
bn bn-1 ... b1 b0 , c1 c2 ... cm wobei bi,ci, in {0,1}
steht dabei für den Zahlenwert
z = bn * 2n + ... b1 * 21 + b0 * 20 + c1 * 2-1 + c2 * 2-2 + ... + cm * 2-m
Beispiele:gebrochene Binärzahlgebrochene Dezimalzahl
0.1 0.50.01 0.250.11 0.75
111.111 7.8750.0001100110011... 0.1
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Gleitpunktdarstellung für Reelle ZahlenGleitpunktdarstellung für Reelle Zahlen Gesucht ist eine Darstellung, die bei festem Bitformat ein möglichst grosses Intervall der reellen Zahlen umfasst und deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr hoch ist, bei
grossen Zahlen niedriger
Eine Gleitpunktzahl besteht aus drei Teilen: dem Vorzeichenbit V dem Exponenten E der Mantisse M
Eine normierte Gleitpunktzahl mit Vorzeichen V, Mantisse m1...mn und Exponent E stellt folgenden Zahlenwert dar:
(-1)V * (1 + m1 * 21 + ... + mn * 2n) * 2E
Da die Null formal nicht darstellbar ist, wird die kleinste darstellbare Zahl also Null interpretiert.
Die IEEE (Institute for Electrical and Electronics Engineers) hat zwei Normen verabschiedet
Short Real: Vorzeichen: 1 Bit, Exponent: 8 Bit, Mantisse: 23 Bit
Long Real: Vorzeichen: 1 Bit, Exponent: 11 Bit, Mantisse: 52 Bit
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Zahlenbereiche für reelle Zahlen in Zahlenbereiche für reelle Zahlen in ProgrammiersprachenProgrammiersprachen
Je nach dem, wieviel Bytes für die Zahlendarstellung zur Verfügung gestellt werden, können in den einzelnen Programmiersprachen unterschiedliche Zahlenbereiche genutzt werden
Bytes Datentypen inDelphi Java
6 Real4 Single float8 Double double
10 Extended
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Repräsentation von Information: BytesRepräsentation von Information: Bytes Ein Rechner arbeitet immer mit Gruppen von Bits, entweder
8 Bits, 16 Bits, 32 Bits oder 64 Bits
Eine Gruppe von 8 Bits nennt man Byte
Eine Datei ist eine beliebig lange Folge von Bytes. Unter der Grösse einer Datei versteht man die Anzahl der darin enthaltenen Bytes
Für grosse Dateien verwendet man die bekannten Präfixe kilo (für tausend), mega (für million) usw. allerdings für Zweierpotenzen
k = 1024 = 210 (k = Kilo)M = 1024 * 1024 = 220 (M = Mega)G = 1024 * 1024 * 1024 = 230 (G = Giga)T = 1024 * 1024 * 1024 * 1024 = 240 (T = Tera)P = 1024 * 1024 * 1024 * 1024 * 1024 = 250 (P = Peta)E = 1024 * 1024 * 1024 * 1024 * 1024 * 1024 * 1024 = 260
(E = Exa)
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Codierung logischer WerteCodierung logischer Werte
Da es nur zwei Wahrheitswerte gibt, könnte man diese durch 1 Bit darstellen
Da aber ein Byte die kleinste adressierbare Einheit ist, spendiert man ein ganzes Byte für einen Wahrheitswert
Gängige Codierung: F = 0000 0000 und T = 1111 1111
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Daten - InformationDaten - Information
Information hat eine Bedeutung und einen Zweck (z.B. Austausch von Nachrichten) Heute ist es 15° kalt Der Umsatz im Jahr 1999 betrug 1.530.932 Fr. und
im Jahr 2000 betrug er 2.234.432 Fr.
Information wird im Rechner durch Daten (Folgen von Bits) repräsentiert.
Zu den elementaren Fähigkeiten eines Rechners gehören das Lesen von Daten das Speichern von Daten (intern im Hauptspeicher oder auf
externem Medium) die Verknüpfung von Daten durch arithmetische oder
logische Operationen
Die Tätigkeit des Rechners wird ebenfalls durch Daten (das Programm) gesteuert
Um Informationen zu verarbeiten, muss man die informationsverarbeitenden Operationen durch Operationen auf den entsprechenden Daten nachbilden Beispiel: Berechnung der Umsatzsteigerung zwischen
1999 und 2000
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Informationsverarbeitung - Informationsverarbeitung - DatenverarbeitungDatenverarbeitung
DatenDaten
Repräsentation Abstraktion
DatenDatenDatenverarbeitung
InformationInformation InformationInformationInformationsverarbeitung
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Repräsentation von InformationRepräsentation von Information
Um die geeignete Repräsentation hängt ab von der Information selbst der gewünschten Verarbeitung
Um Informationen zu Vermitteln genügt die Repräsentation als Text (z.B. Versenden als Email oder Schreiben eines Briefes)
Um Information zu berechnen benötigt man entsprechende Datenstrukturen Beispiel: Umsatzentwicklung: Repräsentation als
Gleitkommazahl
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Abstraktion bzw. Interpretation von Abstraktion bzw. Interpretation von InformationInformation
Information hat eine Bedeutung und einen Zweck, Daten dagegen haben keine Bedeutung
Um aus den Daten deren Bedeutung zur erkennen muss man sie interpretieren Die Interpretation von Daten nennt man auch
Abstraktion
Beispiel:
0100 0100 0110 0101 0111 0010 0010 0000 0100 0010 0110 0001
0110 1100 0100 1100 0010 0000 0110 1001 0111 0011 0111 0100
0010 0000 0111 0010 0111 0101 0110 1110 0110 0100 0010 1110
Etwas lesbarer als Hexadezimalzahl
44 65 72 20 42 61 6C 6C 20 69 73 74 20 72 75 6E 64 2E
Interpretationsmöglichkeiten Als Folge 1-Byte-Zahlen: 68 101 114 32 ... Als Folge von 2-Byte-Zahlen: 17509 29216 16993 ... Als Folge von 8-stelligen Zweierkomplementzahlen: 68
101 114 32 ... Als ASCII: Der Ball ist rund.