Funktionalanalysis 1 und 2
Ernst Albrecht
e
Vorlesungen im Wintersemester 2007/8 und im
Sommersemester 2008
Universitat des Saarlandes
Saarbrucken
Stand: 8. Oktober 2008
Inhaltsverzeichnis
Einige Grundlagen aus der Algebrentheorie 1
Kapitel 1. Banachraume: Definition und erste Eigenschaften 7
Kapitel 2. Elementare Hilbertraumtheorie 18
Kapitel 3. Der abstrakte MittagâLeffler-Satz und der Satz von Baire 35
Kapitel 4. Der Satz von BanachâSteinhaus 42
Kapitel 5. Die Satze von der offenen Abbildung und vom abgeschlossenen Graphen 47
Kapitel 6. Der Satz von HahnâBanach 55
Kapitel 7. Banachalgebren: Erste Eigenschaften 64
Kapitel 8. Der Spektralradius 71
Kapitel 9. Kompakte Operatoren 77
Kapitel 10. Grundlagen aus der Fredholmtheorie 88
Kapitel 11. Lokalkonvexe Vektorraume 97
Kapitel 12. Schwache Topologien 104
Kapitel 13. Gelfandtheorie in kommutativen Banachalgebren 109
Kapitel 14. Der Silovrand 116
Kapitel 15. CââAlgebren: Definition und erste Eigenschaften 121
Kapitel 16. Konvexitat in lokalkonvexen Vektorraumen 130
Kapitel 17. Topologien auf dem Dualraum 143
Kapitel 18. Der biduale Raum, Reflexivitat 149
Kapitel 19. Kleiner Exkurs in die MaĂtheorie 153
Kapitel 20. Vektorwertige Funktionen 171
Kapitel 21. Der analytische Funktionalkalkul 179
Kapitel 22. Der Spektralsatz fur normale Operatoren 188
Kapitel 23. Der Spektralsatz fur unbeschrankte selbstadjungierte Operatoren 198
Literaturverzeichnis 217
Index 218
iii
Einige Grundlagen aus der Algebrentheorie
In diesem vorbereitenden Abschnitt stellen wir einige Grundlagen aus der Theorie derAlgebren bereit, die wir im Verlauf der Vorlesung benotigen werden.
Im Folgenden sei K ein beliebiger Korper.
0.1. Definition. A heiĂt eine KâAlgebra, wenn A ein KâVektorraum ist und auf Aeine Multiplikation (x, y) 7â xy von AĂA nach A gegeben ist, so dass fur alle x, y, z âA, λ â K gilt:
(a) x(yz) = (xy)z(b) λ(xy) = (λx)y = x(λy)(c) x(y + z) = xy + xz(d) (x+ y)z = xz + yz.
0 6= 1 â A heiĂt Einselement von A, falls fur alle x â A gilt: 1x = x1 = x. Es gibthochstens ein Einselement in A, denn sind 1 und 1p Einselemente in A, so ist 1 = 1·1p = 1p.Die Algebra A heiĂt kommutativ, falls xy = yx fur alle x, y â A. Ist A eine KâAlgebra mitEinselement 1, so heiĂt ein Element x â A linksinvertierbar, falls ein y â A existiert mityx = 1. y heiĂt dann linksinverses Element zu x. Es kann mehrere linksinverse Elementezu x geben. Analog definiert man rechtsinvertierbar und rechtsinverses Element. Hat x einlinksinverses Element u und ein rechtsinverses Element v, so heiĂt x invertierbar. Es folgtu = u1 = u(xv) = (ux)v = 1v = v. Wir nennen dann u = v das zu x inverse Elementund bezeichnen es mit xâ1.
Ein Untervektorraum B von A heiĂt Unteralgebra von A, falls fur alle x, y â B auchxy â B gilt. B ist dann â versehen mit den auf B eingeschrankten algebraischen Opera-tionen der Addition, Multiplikation und Multiplikation mit Skalaren â selbst wieder eineAlgebra.
Ist (Bi)iâI eine Familie von Unteralgebren von A, so ist auchâiâI Bi wieder eine
Unteralgebra.
Sei nun S eine beliebige nicht leere Teilmenge von A. Dann sind die Mengen
S p := x â A; â s â S : xs = sx und Sq := (S p)p
offensichtlich Unteralgebren von A. Wir nennen S p die Kommutantenalgebra und Sq dieBikommutantenalgebra zu S. Besitzt A ein Einselement 1, so ist 1 â S p â© Sq. Ist Skommutativ, d.h. gilt xy = yx fur alle x, y â S, so ist S â S p und Sq ist kommutativeUnteralgebra von S p. Die Algebra
ăSă :=âB; S â B â A, B ist Unteralgebra vonA
ist offensichtlich die kleinste S enthaltende Unteralgebra von A. Es ist
ăSă =
nâj=1
zjaj; n â N, zj â C, aj ist endliches Produkt von Elementen ausS
.
1
2 EINIGE GRUNDLAGEN AUS DER ALGEBRENTHEORIE
ăSă heiĂt die von S erzeugte Unteralgebra von A. Wir fassen einige elementare Eigen-schaften von S p und Sq in dem folgenden unmittelbar einsichtigen Lemma zusammen.
0.2. Lemma. Sei A eine KâAlgebra und sei S eine beliebige nicht leere Teilmenge vonA.
(a) Ist S kommutativ, so ist S â Sq â S p und Sq ist kommutativ.(b) Ist S â S1 â A, so ist S p1 â S p und Sq â Sq1.(c) Hat A ein Einselement und ist x â S in A invertierbar, so ist xâ1 â Sq.(d) Ap =: Z(A) heiĂt das Zentrum von A und ist eine kommutative Unteralgebra von
A.
0.3. Adjunktion der Eins. Besitzt die Algebra A kein Einselement, so kann manA auf folgende Art und Weise in eine Algebra A1 mit einem Einselement einbetten. WirsetzenA1 := AĂK. A1 ist dann ein Vektorraum mit den komponentenweisen Operationender Addition und der Multiplikation mit Skalaren. Durch
((x, z), (y, w)) 7â (xy + wx+ zy, zw) fur x, y â A, z, w â K ,
wird eine Multiplikation auf A1 erklart, die den Bedingungen (a) â (d) genugt und, wennwir A mit einer kanonischen Einbettung AĂ 0 in A1 identifizieren, die Multiplikationvon A fortsetzt. Damit wird A zu einer Unteralgebra von A1. Man rechnet unmittelbarnach, dass 1 := (0, 1) Einselement fur A1 ist. Wegen (x, z) = (x, 0) + (0, z) = (x, 0) + z1und der obigen Identifikation schreiben wir auch einfach x + z1 statt (x, z). Mit dieserIdentifikation gilt A1 = A â K · 1. Wir nennen diese Konstruktion eine Adjunktion derEins.
0.4. Definitionen. SeiA eine KâAlgebra. Ein Untervektorraum I vonA heiĂt Links-ideal (bzw. Rechtsideal), falls
AI := ax; a â A, x â I â I bzw. IA := xa; a â A, x â I â I .Wir nennen ein Linksâ (bzw. Rechtsâ)Ideal I von A echt, falls I von A verschieden ist.I heiĂt ein zweiseitiges Ideal in A, falls I sowohl ein Linksâ als auch ein Rechtsideal vonA ist. Jedes Ideal ist offensichtlich auch eine Unteralgebra. Ist x â A, so ist Kx + Ax(bzw. Kx+xA, bzw. Kx+xA+Ax+LH(AxA)) das kleinste Linksâ (bzw. Rechtsâ, bzw.zweiseitige) Ideal in A, welches x enthalt, und ist in jedem Linksâ (bzw. Rechtsâ, bzw.zweiseitigen) Ideal enthalten, das auch x enthalt. Ein Linksâ (bzw. Rechtsâ)Ideal I vonA heiĂt modular, falls es ein Element u in A gibt, so dass fur alle x â A gilt: xâ xu â I(bzw. x â ux â I). Jedes solche u nennt man dann eine modulare rechte (bzw. linke)Einheit fur I. Besitzt die Algebra A ein Einselement 1, so ist 1 offensichtlich fur jedesmodulare Linksâ bzw. Rechtsideal eine modulare rechte bzw. linke Einheit. Insbesondereist dann jedes Ideal in A modular.
0.5. Lemma. Sei A eine KâAlgebra mit Einselement 1 und x â A. Dann gilt:
(a) x ist genau dann linksinvertierbar, wenn x in keinem echten Linksideal enthaltenist.
(b) x ist genau dann rechtsinvertierbar, wenn x in keinem echten Rechtsideal enthal-ten ist.
(c) x ist genau dann invertierbar, wenn x in keinem echten Linksâ oder Rechtsidealenthalten ist.
(d) 1 ist in keinem echten Linksâ oder Rechtsideal enthalten.
Beweis. Wir zeigen (a). (b) erhalt man dann analog und die ubrigen Aussagen folgenunmittelbar aus (a) und (b).
EINIGE GRUNDLAGEN AUS DER ALGEBRENTHEORIE 3
q =âq: Ist y â A mit yx = 1, so ist A = A1 = A(yx) = (Ay)x â Ax in jedemLinksideal enthalten, das x enthalt.
q â=q:Ax ist ein Linksideal, welches x enthalt. Nach Voraussetzung muss also Ax = Agelten. Insbesondere existiert ein y â A mit yx = 1. €
0.6. Definitionen. Sei A eine KâAlgebra.
(a) Eine kommutative Unteralgebra B von A heiĂt maximal kommutative Unteralge-bra von A, falls B in keiner von B verschiedenen kommutativen Unteralgebra vonA, enthalten ist.
(b) Ein echtes Linksideal I vonA heiĂt maximales Linksideal, falls es in keinem von Iverschiedenen echten Linksideal enthalten ist. Analog definiert man Maximalitatfur Rechtsideale, zweiseitige Ideale, und modulare Linksâ oder Rechtsideale.
0.7. Satz. Sei A eine KâAlgebra und sei S eine beliebige nicht leere kommutativeTeilmenge von A. Dann gibt es eine maximale kommutative Unteralgebra K von A mitS â K. Sq ist in jeder maximal kommutativen Unteralgebra enthalten, die S enthalt.
Beweis. Wir setzen K := K; S â K â A,K kommutative Unteralgebra. Es ist K 6=â wegen Sq â K und K ist durch die Inklusion teilweise geordnet. Sei J eine totalgeordneteTeilmenge von K. Dann ist K0 :=
âK;K â J offensichtlich wieder eine kommutativeUnteralgebra, die S enthalt und damit eine obere Schranke fur J aus K ist. Nach demZornschen Lemma besitzt K also wenigstens ein maximales Element, das dann naturlicheine maximale kommutative Unteralgebra von A ist. Die ubrigen Aussagen folgen nunleicht. €
0.8. Satz. Sei A eine KâAlgebra.
(a) Ist I ein modulares Linksideal und ist u eine modulare rechte Einheit fur I, soist u auch fur jedes I enthaltende Linksideal wieder eine modulare rechte Ein-heit. Insbesondere ist also jedes I enthaltende Linksideal wieder ein modularesLinksideal. Es ist u /â I.
(b) Jedes echte modulare Linksideal I ist in einem maximalen modularen Linksidealenthalten.
(c) Jedes maximale modulare Linksideal I ist auch ein maximales Ideal von A.(d) Besitzt A ein Einselement 1, so ist jedes Linksideal in A in einem maximalen
Linksideal enthalten.
Entsprechende Aussagen gelten auch fur Rechtsideale.
Beweis. (a) ist klar, auĂer der letzten Aussage, die wir beweisen wollen. Ware u â I,so wurde fur alle a â A folgen: a = aâ au+ au â I + I = I, im Widerspruch dazu, dassI nach Voraussetzung ein echtes Linksideal ist.
(b) Sei also I ein echtes modulares Linksideal und sei u eine rechte modulare Einheit furI. Wir setzen K := K; I â K â A, K echtes Linksideal. Es ist K 6= â wegen I â K undK ist durch die Inklusion teilweise geordnet. Sei J eine totalgeordnete Teilmenge von K.Dann ist
K0 :=âK; K â J
offensichtlich wieder ein I enthaltendes Linksideal mit u als rechter modularer Einheit.Nach (a) ist u in keinem der Ideale aus K und damit auch nicht in deren VereinigungK0 enthalten. Damit ist gezeigt, dass K0 eine obere Schranke zu J aus K ist. Nach demZornschen Lemma besitzt K also wenigstens ein maximales Element, das dann naturlichein maximales I enthaltendes Linksideal sein muss (welches nach (a) auch wieder modularmit u als modularer Einheit ist). Damit folgen auch die Aussagen (c) und (d). €
4 EINIGE GRUNDLAGEN AUS DER ALGEBRENTHEORIE
0.9. Definition. Sei A eine KâAlgebra mit Einselement 1. Wir definieren das Links-und das Rechtsradikal durch
Lâ rad(A) := x â A; (1â yx)â1 existiert inA fur alle y â Aund
Râ rad(A) := x â A; (1â xy)â1 existiert inA fur alle y â A .0.10. Satz. Sei A eine KâAlgebra mit Einselement 1. Dann gilt:
(a) Lâ rad(A) = Râ rad(A) =: rad(A).(b) rad(A) =
âI; I ist maximales Linksideal inA=
âI; I ist maximales Rechtsideal inABeweis. (a) Wir zeigen:
â x, y â A : (1â xy)â1 existiert â (1â yx)â1 existiert.(0.1)
Es genugt hierzu q âq zu zeigen. Die Ruckrichtung erhalt man dann, indem man dieRollen von x und y vertauscht. Es existiere also: u := (1â xy)â1 in A. Dann folgt:
(1 + yux)(1â yx) = 1â yx+ yuxâ yuxyx = 1â yx+ yu(1â xy)x = 1â yx+ yx = 1 .
Ferner(1â yx)(1 + yux) = 1â yx+ y(1â yx)ux = 1â yx+ yx = 1 .
(b) Wir zeigen nur die erste Gleichung. Der Beweis der zweiten Gleichung verlauftanalog.
q âq: Sei also x â â©I; I ist maximales Linksideal inA und sei y â A beliebig.
Annahme: 1â xy ist nicht in A linksinvertierbar. Dann ist 1â xy nach Lemma 5.a undSatz 8.d in einem maximalen Linksideal I0 enthalten. Wegen x â I0 folgt dann auchyx â I0 und hieraus 1 = (1 â yx) + yx â I0 im Widerspruch zu teil (d) von Lemma 5.Also hat 1â xy ein linksinverses Element u.Wir zeigen (ebenfalls durch indirekten Beweis), dass u auch rechtsinvers zu 1â xy ist.
Annahme: u ist nicht in A linksinvertierbar. Dann ist u nach Lemma 5.a und Satz8 in einem maximalen Linksideal I0 enthalten. Wegen x â I0 folgt dann auch uyx â I0
und hieraus 1 = u(1 â xy) = u â uyx â I0 im Widerspruch zu Teil (d) von Lemma5. Also hat u ein linksinverses Element, welches mit dem rechtsinversen Element 1 â xyubereinstimmen muss. Nach (a) ist x â rad(A).
q âq: Sei nun umgekehrt x â rad(A) gegeben.Annahme: Es gibt ein maximales Linksideal I0, welches x nicht enthalt. Dann muss
wegen der Maximalitat von I0 gelten: I0 + Ax = A. Es gibt also Elemente u â I0 undy â A, so dass u+yx = 1. Also ist u = 1âyx. Dies ist jedoch ein Widerspruch, da u wegenLemma 5.c nicht invertierbar sein kann, aber 1 â yx invertierbar ist wegen x â rad(A).Also ist x doch in allen maximalen Linksidealen enthalten. €
0.11. Folgerung. Sei A eine KâAlgebra mit Einselement 1. Dann ist rad(A) einzweiseitiges Ideal in A.
Dies ergibt sich unmittelbar aus Satz 10, da beliebige Durchschnitte von Linksâ bzw.Rechtsidealen wieder Links- bzw. Rechtsideale sind.
0.12. Definition. Seien A und B zwei KâAlgebren. Eine lineare Abbildung Ί : A âB heiĂt:
âą (Algebren-)Homomorphismus, falls Ί linear ist und Ί(xy) = Ί(x)Ί(y) fur allex, y â A gilt.
⹠(Algebren-)Monomorphismus, falls Ί ein injektiver Algebrenhomomorphismus ist.⹠(Algebren-)Epimorphismus, falls Ί ein surjektiver Algebrenhomomorphismus ist.
EINIGE GRUNDLAGEN AUS DER ALGEBRENTHEORIE 5
⹠(Algebren-)Isomorphismus, falls Ί ein bijektiver Algebrenhomomorphismus ist.
Besitzen A und B Einselemente 1 bzw. 1p, so nennen wir einen AlgebrenhomomorphismusΊ : A â B unital, falls Ί(1) = 1p gilt.
0.13. Lemma. Seien A und B zwei KâAlgebren und sei Ί : A â B ein Algebrenho-momorphismus.
(a) ker(Ί) := x â A; Ί(x) = 0 ist ein zweiseitiges Ideal in A. Dieses ist echt, fallsΊ 6⥠0.
(b) ran(Ί) := Ί(A) = Ί(x); x â A ist eine Unteralgebra von B.(c) Ist Ί surjektiv und I ein Linksâ (bzw. Rechtsâ, bzw. zweiseitiges) Ideal in A, so
ist auch Ί(I) ein Linksâ (bzw. Rechtsâ, bzw. zweiseitiges) Ideal in B.
Dies zeigt man leicht durch direktes Nachrechnen.
0.14. Definition. Sei A eine KâAlgebra und sei I ein zweiseitiges Ideal in A. Aufdem Quotientenvektorraum A/I definieren wir durch
[x] · [y] := [xy] fur [x] = x+ I, [y] = y + I â A/Ieine Multiplikation, durch die A/I zu einer Algebra wird. Wir nennen A/I die Quotien-tenalgebra von A nach dem zweiseitigen Ideal I.
Wir zeigen nur die Wohldefiniertheit der Multiplikation. DaĂ diese dann den Be-dingungen (a) â (d) in Definition 1 genugt, rechnet man dann leicht nach. Seien also[x] = x + I, [y] = y + I â A/I beliebig und seien xp, yp â A mit [x] = [xp], [y] = [yp].Dann liegen xâ xp und y â yp in I und es folgt
xy â xpyp = (xâ xp)ïžž ïž·ïž· ïžžâI
y + xp(y â yp)ïžž ïž·ïž· ïžžâI
â I d.h. [xy] = [xpyp] .
Der kanonische Epimorphismus Ï : A â A/I mit Ï(x) = [x] fur alle x â A ist einAlgebrenepimorphismus mit ker(Ï) = I. Besitzt A ein Einselement 1, so ist Ï(1) = [1]das Einselement von A/I. Es gilt der
0.15. Homomorphiesatz. Fur jeden Algebrenhomomorphismus Ί : A â B von einerKâAlgebra A in eine KâAlgebra B ist das folgende Diagramm kommutativ:
Ί : A â ran(Ί) â BÏ Ï
A/ ker(Ί)
Hierbei sei Ï der kanonische Epimorphismus und Ï([x]) := Ί(x) fur [x] = x + ker(Ί) âA/ ker(Ί). Ï ist ein Algebrenisomorphismus.
Eine KâAlgebra A mit Einselement 1 heiĂt halbeinfach, falls rad(A) = 0. Sie heiĂteinfach, falls 0 und A die einzigen zweiseitigen Ideale in A sind.
0.16. Lemma. Sei A eine KâAlgebra mit Einselement 1.
(a) Sei I ein zweiseitiges Ideal in A. Genau dann ist A/I einfach, wenn I ein ma-ximales zweiseitiges Ideal in A ist.
(b) A/rad(A) ist halbeinfach.
Beweis. (a) Sei Ï : A â A/I der kanonische Epimorphismus.q âq: Ist A/I nicht einfach, so gibt es ein nicht-triviales Ideal J in A/I, d.h. ein Ideal mit[0] 6= J 6= A/I. J0 := Ïâ1(J ) ist dann ein zweiseitiges Ideal in A. Wegen J 6= [0]ist I = ker(Ï) $ J0 und wegen J 6= A/I ist J0 := Ïâ1(J ) 6= A. Also kann I keinmaximales Ideal sein.
6 EINIGE GRUNDLAGEN AUS DER ALGEBRENTHEORIE
q âq: Sei nun A/I einfach und sei J0 ein echtes zweiseitiges I enthaltendes Idealin A. Dann ist Ï(J0) ein echtes zweiseitiges Ideal in A/I. Da A/I einfach ist, mussÏ(J0) = [0] und damit J0 = Ïâ1([0]) = I sein. Also ist I ein maximales zweiseitigesIdeal in A. (b) Sei [x] â rad(A/rad(A)), x â [x] und sei y â A beliebig. Dann existiert([1]â [x][y])â1 in A/rad(A). Es gibt also ein z â A und ein u â rad(A) mit z(1â xy) =1 + u = 1â (â1)u. Wegen u â rad(A) ist die rechte und damit auch die linke Seite dieserGleichung invertierbar. Es gibt also ein v â A mit vz(1 â xy) = 1. Analog zeigt man,dass 1â xy auch rechts invertierbar ist. Da dies fur alle y â A gilt, folgt x â rad(A) unddamit [x] = [0] in A/rad(A). Also ist rad(A/rad(A)) = [0]. €
Eine kommutative KâAlgebra A mit Einselement 1 heiĂt Korper (uber K), falls jedesvon 0 verschiedene Element aus A in A invertierbar ist.
0.17. Lemma. Sei A eine kommutative KâAlgebra mit Einselement 1 und sei I einzweiseitiges Ideal in A. Genau dann ist A/I ein Korper, wenn I maximal ist.
Beweis. q âq: Sei A/I ein Korper und sei [0] 6= [x] â A/I beliebig. Nach Vorausset-zung existiert [x]â1 in A/I. Nach Lemma 5 ist also [x] in keinem echten Ideal von A/Ienthalten. Also muss A/I einfach sein. Nach Lemma 0.16 (a) folgt hieraus die Maxima-litat von I.
q âq: Sei nun I ein maximales Ideal in A/I. Nach Lemma 0.16 (a) ist A/I danneinfach. Ist also [0] 6= [x] â A/I, so ist [x] in keinem echten Ideal von A/I enthalten unddaher nach Lemma 0.5 invertierbar. Also ist A/I ein Korper. €
KAPITEL 1
Banachraume: Definition und erste Eigenschaften
Im folgenden bezeichne K stets den Korper R der reellen oder den Korper C der kom-plexen Zahlen. Wir wiederholen zunachst einige elementare Definitionen und Tatsachenuber normierte Raume.
1.1. Definition. Sei E ein KâVektorraum. Eine Abbildung p : E â [0,â) heiĂtHalbnorm auf E, falls gilt
(N2) âx â E âλ â K : p(λx) = |λ|p(x),(N3) âx, y â E : p(x+ y) †p(x) + p(y).
Gilt zusatzlich
(N1) âx â E : p(x) = 0 ââ x = 0,
so heiĂt p eine Norm auf E und (E, p) ein normierter Raum.
Normen werden haufig auch durch â · â bezeichnet.Ist R eine KâAlgebra und ist auf R eine Norm â · â gegeben mit âxyâ †âxâ · âyâ fur
alle x, y â R, so nennen wir die Norm â · â submultiplikativ und (R, â · â) eine normierteKâAlgebra.
Ist (E, â · â) ein normierter KâVektorraum, so wird durch dâ·â : E Ă E â [0,â) mitdâ·â(x, y) := âx â yâ fur alle x, y â E eine Metrik auf E definiert. Eine Menge Ω â EheiĂt offen bezuglich â · â, falls es zu jedem x â E ein Δ > 0 gibt mit
UΔ(x) := u â E ; âuâ xâ < Δ â Ω .
Eine Menge A â E heiĂt abgeschlossen bezuglich â · â, falls E \A offen ist. Die hierdurchauf E gegebene Topologie bezeichnen wir auch mit Ïâ·â und nennen sie die Normtopologie.Eine Folge (xn)
ân=1 aus E heiĂt CauchyâFolge, falls gilt
âΔ > 0 ân0 â N ân,m â„ n0 : âxn â xmâ < Δ .
Eine Folge (xn)ân=1 aus E heiĂt konvergent in (E, â · â), falls es ein y â E gibt mit
âΔ > 0 ân0 â N ân â„ n0 : âxn â yâ < Δ .
Man rechnet leicht nach, daĂ y hierdurch eindeutig bestimmt ist. Wir schreiben dannxn â y fur nââ oder y = limnââ xn und nennen y den Grenzwert der Folge (xn)
ân=1.
Die abgeschlossene Einheitskugel x â E ; âxâ †1 von E bezeichnen wir auch mitBE. Eine Menge B â E heiĂt normbeschrankt (oder kurz: beschrankt), falls es ein C > 0gibt mit âaâ †C fur alle a â A.
1.2. Definition. Ein normierter KâVektorraum (E, â · â) heiĂt Banachraum, falls ervollstandig ist, d.h. falls jede CauchyâFolge aus E bezuglich â · â konvergent ist. Einenormierte KâAlgebra (R, â · â) heiĂt Banachalgebra, falls (R, â · â) vollstandig ist.
Eine Teilmenge A eines normierten Raums (E, â · â) heiĂt vollstandig, falls fur jedeCauchyâFolge (an)
ân=1 von Elementen aus A gilt: (an)
ân=1 ist konvergent in (E, â · â) und
limnââ an â A.Die folgenden zum Teil schon aus den Anfangervorlesungen bekannten Aussagen wer-
den wir haufig benutzen.
7
8 1. BANACHRAUME: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN
1.3. Lemma. Sei (E, â · â) ein normierter KâVektorraum.
(a) Eine Teilmenge A von E ist abgeschlossen genau dann, wenn fur jede in (E, â · â)konvergente Folge (an)
ân=1 von Elementen aus A gilt: limnââ an â A.
(b) Jede Cauchyfolge (xn)nâN in (E, â·â) ist beschrankt, d.h. es ist supnâN âxnâ <â.(c) Jede vollstandige Teilmenge von E ist abgeschlossen.(d) Ist (E, â · â) vollstandig, so ist jede abgeschlossene Teilmenge von E vollstandig.(e) (E, â · â) ist genau dann vollstandig, wenn jede absolutkonvergente Reihe aus E
konvergent in E ist, d.h. wenn fur jede Reiheââ
n=1 xn in E mitââ
n=1 âxnâ <âder Grenzwert s := limmââ
âmn=1 xn in E existiert.
Beweis. (a) Sei A â E abgeschlossen und sei (an)ân=1 eine beliebige in E gegen ein
y â E konvergente Folge von Elementen aus A. Ware y â E \A, so gabe es, da E \A offenist, ein Δ > 0 mit UΔ(x) â E \ A. Insbesondere wurde fur alle n â N gelten âan â yâ > Δim Widerspruch zu âan â yâ â 0 fur nââ. Also gilt y = limnââ an â A.
Habe nun umgekehrt jede in E konvergente Folge aus A ihren Grenzwert in A. WareA nicht abgeschlossen, so gabe es einen Punkt y â E \ A, so daĂ fur jedes n â N es einan â A â© U1/n(y) gabe. Es wurde folgen: an â y fur nââ aber y /â A im Widerspruchzur Voraussetzung. Also muĂ A abgeschlossen sein.
(b) Ist (xn)nâN eine Cauchyfolge in (E, â · â), so gibt es zu Δ = 1 ein n0 â N, so daĂ furalle n â„ n0 gilt âxn â xn0â < 1 und damit auch âxnâ < âx0â+ 1. Es folgt fur alle k â N:
âxkâ †maxâxjâ ; 1 †j †n0+ âx0â+ 1 <â.
(c) und (d) folgen unmittelbar aus (a).(e) Sei
âân=1 an eine absolut konvergente Reihe in E. Dann ist die Folge ihrer Parti-
alsummen eine CauchyâFolge in (E, â · â). Ist (E, â · â) vollstandig, so besitzt diese Folgealso einen Grenzwert in E.
Besitze nun umgekehrt jede absolukonvergente Reihe aus E einen Grenzwert in E undsei (xn)
ân=1 eine beliebige CauchyâFolge aus E. Dann gibt es zu jedem k â N ein nk â N
mit âxnâxnkâ †2âk fur alle n â„ nk. Die Reihe xn1 +
ââk=1(xnk+1
âxnk) ist dann absolut
konvergent, besitzt also nach Voraussetzung einem Grenzwert x0 in E. Ist Δ > 0 beliebig,so gibt es ein k0 â N mit 21âk0 < Δ/2 und
â„â„xn1 +âk0â1
k=1 (xnk+1â xnk
) â x0
â„â„ < Δ/2. Furalle n â„ nk0 gilt dann
âxn â x0â †âxn â xnk0â+ âxnk0
â x0â < Δ
2+
â„â„â„xn1 +
k0â
k=1
(xnkn+1â xnk
)â x0
â„â„â„ < Δ .
Die Folge (xn)ân=1 konvergiert also gegen x0. €
1.4. Beispiele. Sei I eine nicht leere Menge und K ein kompakter Hausdorffraum.
(a) Die Menge `â(I) := x = (xi)iâI â KI ; âxââ := supiâI |xi| < â ist, versehenmit den komponentenweisen Operationen der Addition der Multiplikation undder Multiplikation mit Skalaren eine Banachalgebra bezuglich der Norm â · ââ.
(b) Die Algebra der stetigen Kâwertigen Funktionen auf K ist eine abgeschlosseneUnteralgebra von `â(K) und daher bezuglich der Supremumsnorm â · âK eineBanachalgebra.
(c) Fur alle 1 †p <â ist
`p(I) := x = (xi)iâI â KI ; âxâpp := supFâI endlich
âiâF
|xi|p <â
versehen mit den komponentenweisen Operationen der Addition der Multiplika-tion und der Multiplikation mit Skalaren eine Banachalgebra bezuglich der Normâ · âp.
1. BANACHRAUME: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN 9
1.5. Lemma. Sei E ein KâVektorraum und sei q : E â [0,â) eine Halbnorm auf E.Dann gilt:
(a) Nq := x â E ; q(x) = 0 ist ein Untervektorraum von E.(b) E/Nq wird zu einem normierten K-Vektorraum mit der durch â[x]âq := q(x) fur
alle [x] := x + Nq = x + u ; q(u) = 0 â E/Nq, x â X, definierten Normâ · âq : E/Nq â [0,â).
Beweis. (a) rechnet man elementar nach.(b) Sind x, y â E mit [x] = [y], so ist x â y â Nq und somit q(x) = q((x â y) + y) â€
q(x â y) + q(y) = q(y). Durch Vertauschung der Rollen von x und y sieht man, daĂauch q(y) †q(x) und daher q(x) = q(y) gelten muĂ. â · âq ist also wohldefiniert. DieNormeigenschaften (N1)-(N3) rechnet man nun leicht nach. €
1.6. Satz. Sei F ein Untervektorraum eines normierten KâVektorraums (E, â · â).Fur alle x â E definieren wir
qF (x) := dist(x, F ) = infyâF
âxâ yâ = infyâF
âx+ yâ .
(a) qF ist eine Halbnorm auf E mit NqF = F .(b) Genau dann definiert â[x]âE/F := qF (x) fur [x] = x+F â E/F , x â E, also eine
Norm auf E/F , wenn F abgeschlossen ist.(c) Ist (E, â·â) vollstandig und F abgeschlossen, so ist auch (E/F, â·âE/F ) vollstandig.
Beweis. (a) Fur alle x, y â E, λ â K gilt
qF (λx) = infuâF
âλx+ uâ = infvâF
âλ(x+ v)â = |λ| infvâF
âx+ vâ = |λ|qF (x)
sowie
qF (x+ y) = infuâF
âx+ y + uâ = infv1,v2âF
âx+ v1 + y + v2â â€â€ inf
v1,v2âF
(âx+ v1â+ ây + v2â)
= infv1âF
âx+ v1â+ infv2âF
ây + v2â = qF (x) + qF (y) .
qF ist also eine Halbnorm auf E.Genau dann ist qF (x) = 0, wenn eine Folge (un)
ân=1 in F existiert mit âx â unâ â 0
fur nââ, d.h. genau dann, wenn x in der AbschlieĂung von F liegt.(b) folgt nun folgt nun mit (a) und Lemma 1.5(c) Nach Lemma 1.3 (e) genugt es zu zeigen, daĂ jede absolutkonvergente Reihe einen
Grenzwert in E/F besitzt. Sei also (xn)ân=1 eine Folge aus E mit
C :=âân=1
â[xn]âE/F =âân=1
qF (xn) <â .
Nach Definition von qF gibt es zu jedem n â N ein un â F mit
qF (xn) †âxn + unâ < qF (xn) + 2ân .
Also ist âân=1
âxn + unâ â€âân=1
(qF (xn) + 2ân) †C + 1 <â .
Da E vollstandig ist, gibt es ein s â E mit s = limnââân
k=1(xn + un) in (E, â · â). Esfolgt
â„â„â„[s]ânâ
k=1
[xk]â„â„â„E/F
=â„â„â„[sâ
nâ
k=1
(xk + uk)]â„â„â„
E/Fâ€
â„â„â„sânâ
k=1
(xk + uk)â„â„â„ â 0
Also konvergiertân
k=1[xk] in (E/F, â · âE/F ) gegen [s] fur nââ. €
10 1. BANACHRAUME: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN
1.7. Lemma. Seien (E, â ·âE) und (F, â ·âF ) zwei normierte K-Vektorraume. Fur einelineare Abbildung T : E â F sind die folgenden Aussagen aquivalent:
(a) T ist auf ganz E stetig.(b) T ist stetig in 0.(c) âΔ > 0 âÎŽ > 0 âx â E : âxâE < ÎŽ =â âTxâF < Δ.(d) Fur jede Nullfolge (xn)
ân=1 in (E, â · âE) ist die Folge (Txn)
ân=1 der Bildpunkte
eine Nullfolge in (F, â · âF ).(e) T ist gleichmaĂig stetig auf E.
Beweis. Die Aussagen (e)=â(a)=â(b)ââ(c)ââ(d) sind offensichtlich.â(c)=â(e)â: Sei also (c) erfullt und sei Δ > 0 beliebig. Nach Voraussetzung gibt es
dann ein ÎŽ > 0 mit âTxâF < Δ fur alle x â E mit âxâE < ÎŽ. Fur alle u, v â E mitâuâ vâ < ÎŽ gilt dann wegen der Linearitat von T : âTuâ TvâF = âT (uâ v)âF < Δ. Alsoist T gleichmaĂig stetig auf E. €
Sind (E, â · âE) und (F, â · âF ) zwei normierte K-Vektorraume, so bezeichnen wirmit L(E,F ) die Menge aller stetigen linearen Operatoren von E nach F . Statt L(E,E)schreiben wir auch L(E) und fur die Menge L(E,K) aller stetigen linearen Funktionaleschreiben wir E âČ. E âČ heiĂt der topologische Dualraum von E. Man rechnet leicht nach, daĂL(E,F ) ein Untervektorraum des KâVektorraums L(E,F ) aller linearen Abbildungen vonE nach F ist. Hierbei ist L(E,F ) mit den punktweisen Operationen der Addition und derMultiplikation mit Skalaren versehen. Insbesondere ist E âČ Untervektorraum des algebrai-schen Dualraums E# := L(E,K). Da die Hintereinanderausfuhrung stetiger Abbildungenstetig ist, ist L(E) eine Unteralgebra der KâAlgebra L(E) aller linearen Operatoren vonE in sich.
1.8. Lemma. Seien (E, â · âE) und (F, â · âF ) zwei normierte K-Vektorraume. FurT â L(E,F ) sind die folgenden Aussagen aquivalent:
(a) T ist auf E stetig.(b) sup
xâBE
âTxâF <â.
(c) supâxâE=1
âTxâF <â.
(d) sup06=xâE
âTxâFâxâE <â.
Die Suprema in (b), (c) und (d) stimmen uberein. Fur T â L(E,F ) schreiben wir
âTâL(E,F ) := supxâBE
âTxâFund nennen âTâL(E,F ) die Operatornorm von T . Sind die normierten Raume vom Zusam-menhang her klar, so schreiben wir auch âTâ statt âTâL(E,F ).
Die Stetigkeit von T in diesem Lemma ist also aquivalent zur Beschranktheit von Tauf BE. Man nennt daher stetige lineare Operatoren auch beschrankt. In der Literaturwird auch die Bezeichnung B(E,F ) fur L(E,F ) verwendet.
Beweis. Wegen
âTxâFâxâE =
â„â„â„T( 1
âxâE x)â„â„â„
Fund
â„â„â„ 1
âxâE xâ„â„â„E
= 1
fur alle 0 6= x â E sieht man unmittelbar, daĂ die Suprema in (c) und (d) ubereinstimmen.Der Ausdruck in (b) ist offensichtlich groĂer oder gleich dem in (c) bzw. (d). Fur 0 6=x â BE ist âTxâF †âTxâF
âxâE. Damit folgt, daĂ die drei Ausdrucke in (b), (c) und (d)
ubereinstimmen. Zu zeigen ist also nur die Aquivalenz von (a) und (b).
1. BANACHRAUME: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN 11
â(a)=â(b)â: Ist T â L(E,F ), so gibt es nach Lemma 1.7 zu Δ := 1 ein ÎŽ > 0, so daĂâTuâF < 1 fur alle u â E mit âuâE < ÎŽ. Fur alle x â BE folgt dann
âTxâF =2
ÎŽ
â„â„â„T(ÎŽ
2x)â„â„â„
F<
2
ÎŽ.
Also ist supxâBEâTxâF †2
ÎŽ.
â(b)=â(a)â: Sei nun (b) erfullt und sei Δ > 0 beliebig vorgegeben. Mit ÎŽ := Δ1+âTâ
folgt fur alle x â E mit âxâE < ÎŽ:
âTxâF = ÎŽâ„â„â„T
(1
ÎŽx)â„â„â„
F†ΎâTâ = Δ
âTââTâ+ 1
< Δ .
Nach Lemma 1.7 ist T also stetig auf E. €
Der Beweis des folgenden Lemmas ist eine leichte Ubungsaufgabe.
1.9. Lemma. Seien (E, â · âE) und (F, â · âF ) zwei normierte K-Vektorraume. Mit derin 1.8 eingefuhrten Operatornorm â · â = â · âL(E,F ) gilt:
(a) (L(E,F ), â · â) ist ein normierter KâVektorraum.(b) Ist (F, â · â) ein Banachraum, so auch (L(E,F ), â · â).(c) Ist (G, â · âG) ein weiterer normierter Raum, so gilt fur alle T â L(E,F ), S â
L(F,G): Es ist ST := S T â L(E,G) und âSTâL(E,G) †âSâ|L(F,G)âTâL(E,F ).
Insbesondere ist fur alle normierten KâVektorraume (E, â · âE) der topologische Dual-raum E âČ versehen mit der Norm â · âEâČ := â · âL(E,K) ein Banachraum.
Mit E = F = G folgt aus (c), daĂ L(E), versehen mit der Operatornorm, eine nor-mierte Algebra ist (sogar eine Banachalgebra, falls (E, â · âE). vollstandig ist).
Die stetigen linearen Funktionale auf einem normierten Raum lassen sich auch wiefolgt charakterisieren:
1.10. Lemma. Sei (E, â · â) ein normierter KâVektorraum. Fur ein nicht identischverschwindendes, lineares Funktional f : E â K sind die folgenden Aussagen aquivalent:
(a) f ist stetig.(b) ker f := x â E ; f(x) = 0 ist abgeschlossen in E.(c) ker f ist nicht dicht in E.(d) Es gibt eine Nullumgebung U , fur die die Menge f(U) in K beschrankt ist.
Beweis. â(a)=â(b)â: Ist f stetig, so ist ker f = fâ1(0) als Urbild der abgeschlos-senen Menge 0 unter der stetigen Abbildung f abgeschlossen in (E, â · â).
Die Implikation (b)=â(c) ist offensichtlich.â(c)=â(d)â: Ist ker f nicht dicht in E, so gibt es ein x â E und ein Δ > 0 mit
UΔ(x) â© ker f = â . Ist v â E mit |f(v)| > |f(x)|, so ist x â f(x)f(v)
v â ker f und daherf(x)f(v)
v /â UΔ(0) (beachte UΔ(x) â© ker f = â und UΔ(x) = x + UΔ(0) = x + u ; u â UΔ(0)).Wegen
âŁâŁf(x)f(v)
| < 1 ist dann auch v kein Element von UΔ(0). Fur alle v â UΔ(0) muĂ also
|f(v)| †|f(x)| gelten. f(UΔ(x)) ist somit eine beschrankte Teilmenge von K.â(d)=â(a)â: Sei nun (d) erfullt und sei U eine Umgebung von 0, fur die f(U) be-
schrankt in K ist. Dann gibt es ein Δ > 0 mit UΔ(0) â U . Fur alle x â BE ist Δ2x â UΔ(0).
Es folgt
supxâBE
|f(x)| = supxâBE
2
Δ
âŁâŁâŁf(Δ
2x)âŁâŁâŁ †2
ΔsupvâU
|f(v)| <â .
Nach Lemma 1.8 ist f also stetig auf E. €
12 1. BANACHRAUME: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN
Sind (X, d) und (Y, ÎŽ) zwei metrische Raume, so nennt man bekanntlich eine Abbil-dung f : X â Y , die die Abstande erhalt, d.h. ÎŽ(f(u), f(v)) = d(u, v) fur alle u, v â Xerfullt, eine Isometrie. Die metrischen Raume (X, d) und (Y, ÎŽ) heiĂen zueinander isome-trisch, falls es eine bijektive Isometrie f von X auf Y gibt. Dann ist auch fâ1 : Y â Xwieder eine Isometrie. Die beiden metrischen Raume unterscheiden sich dann nicht in ih-rer metrischen Struktur und sind insbesondere zueinander homoomorph. Sind (X, d) und(Y, ÎŽ) zueinander isometrisch, so schreiben wir (X, d) âŒ= (Y, ÎŽ). Man rechnet nach, daĂ âŒ=eine Aquivalenzrelation ist.
Sind nun (E, â·âE) und (F, â·âF ) zwei normierte Raume, so ist eine lineare AbbildungT : E â F genau dann eine Isometrie, wenn âTxâF = âxâE fur alle x â E gilt. Eine bijek-tive lineare Isometrie nennen wir auch einen isometrischen Isomorphismus. (E, â·âE) und(F, â·âF ) heiĂen zueinander isometrisch isomorph, falls es einen isometrischen Isomorphis-mus von X auf Y gibt. Wir schreiben dann auch wieder (E, â·âE) âŒ= (F, â·âF ). Zueinanderisometrisch isomorphe normierte Raume unterscheiden sich weder in ihrer linearen, nochin ihrer metrischen Struktur und werden als im Rahmen der Theorie normierter Raumeals nicht wesentlich verschieden angesehen.
Eine lineare Abbildung T : E â F heiĂt ein topologischer Isomorphismus, falls Tbijektiv (und damit ein KâVektorraumisomorphismus) ist und T und Tâ1 stetig sind. Indiesem Fall sagen wir: (E, â · âE) und (F, â · âF ) sind zueinander topologisch isomorph.Wir schreiben dann (E, â · âE) ' (F, â · âF ). Man rechnet nach, daĂ ' ebenfalls eineAquivalenzrelation ist. Zueinander topologisch isomorphe normierte Raume (E, â · âE)und (F, â · âF ) unterscheiden sich weder in ihrer linearen noch in ihrer topologischenStruktur. So ist eine Folge (xn)
ân=1 in E genau dann eine CauchyâFolge (bzw. konvergent)
in E, wenn (Txn)ân=1 in E eine CauchyâFolge (bzw. konvergent) ist. (E, â · âE) ist genau
dann vollstandig, wenn (F, â · âF ) es ist.Mit Hilfe von Lemma 1.8 zeigen wir nun die folgende Charakterisierung der topologi-
schen Isomorphismen:
1.11. Satz. Seien (E, â · âE) und (F, â · âF ) zwei normierte Raume. Eine lineare Ab-bildung T : E â F ist genau dann ein topologischer Isomorphismus, wenn es Konstantenc > 0 und C > 0 gibt, so daĂ fur alle x â E gilt
(1.1) câxâE †âTxâF †CâxâE .Beweis. Ist T : R â F ein toplogischer Isomorphismus, so ist T â L(E,F ) und
Tâ1 â L(F,E) sowie (im Fall E 6= 0) âTâ > 0 und âTâ1â > 0. Die Ungleichungen(1.1) sind dann erfullt mit c = âTâ1ââ1 und C = âTâ. Gilt umgekehrt (1.1) fur allex â E, so folgt nach Lemma 1.8 die Stetigkeit von T und von Tâ1 sowie âTâ †C undâTâ1â †1
c. €
1.12. Definition. Zwei Normen â · â1 und â · â2 auf einem KâVektorraum E heiĂenaquivalent , falls es Konstanten c > 0 und C > 0 gibt, so daĂ fur alle x â E gilt
(1.2) câxâ1 †âxâ2 †Câxâ1 .
Nach Satz 1.11 ist dies genau dann der Fall, wenn die Identitat ein topologischer Iso-morphismus von (E, â·â1) auf (E, â·â2) ist. Aquivalente Normen auf einem KâVektorraumE definieren die gleiche Topologie auf E.
1.13. Satz. Jeder normierte KâVektorraum (E, â·â) der endlichen Dimension dimE =N <â ist topologisch isomorph zu (KN , | · |).
Beweis. Wir fuhren den Beweis durch vollstandige Induktion nach N . Fur N = 0 istdie Behauptung trivial. Sei nun schon gezeigt, daĂ die Behauptung fur ein N â N0 gilt,und sei (E, â · â) ein normierter KâVektorraum der Dimension N + 1. Wir fixieren eine
1. BANACHRAUME: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN 13
Basis e0, . . . , eN von E und definieren lineare Funktionale Ïj : E â K durch Ïk(x) = akfur alle x =
âNj=0 ajej â E, a0, . . . , aN â K, k = 0, . . . , N . Dann hat fur k = 0, . . . , N der
Untervektorraum
Ek := kerÏk = LHej ; 0 †j †N, j 6= kdie DimensionN . Nach Induktionsvoraussetzung ist (Ek, â·â
âŁâŁEk
) also topologisch isomorph
zu (KN , | · |) und damit insbesondere vollstandig, also nach Lemma 1.3 abgeschlossen in(E, â · â), k = 0, . . . , N . Insbesondere sind die Funktionale Ï0, . . . , ÏN nach Lemma 1.10stetig. Die durch
Ί(x) := (Ï0(x), . . . , ÏN(x)) , (x â E)
definierte Abbildung Ί : E â KN+1 ist offensichtlich ein K-Vektorraumisomorphismus.Fur alle x â BE gilt
|Ί(x)| =( Nâj=0
|Ïj(x)|2)1/2
â€âN + 1 max
0â€jâ€NâÏjâ .
Ί ist also nach Lemma 1.8 stetig. Die inverse Abbildung Ίâ1 : KN+1 â E ist gegebendurch
Ίâ1((aj)
Nj=0
)=
Nâj=0
ajej , (aj)Nj=0 â KN+1.
Unter Verwendung der CauchyâSchwarzschen Ungleichung erhalten wir:
supaâBKN+1
â„â„Ίâ1(a)â„â„ = sup
(aj)Nj=0âBKN+1
â„â„â„Nâj=0
ajej
â„â„℠†sup(aj)N
j=0âBKN+1
Nâj=0
|aj| · âejâ â€
â€( Nâj=0
âejâ2)1/2
<â .
Also ist auch Ίâ1 stetig, und Ί ist ein topologischer Isomorphismus. €
1.14. Folgerungen. (a) Je zwei normierte KâVektorraume der Dimension N <â sind zueinander topologisch isomorph.
(b) Je zwei Normen auf einem endlich dimensionalen KâVektorraum E definierendie gleiche Topologie auf E.
(c) Jeder endlich dimensionale KâVektorraum ist vollstandig.(d) Jeder endlich dimensionale Unterraum eines normierten KâVektorraums E ist
abgeschlossen in E.(e) In einem normierten, endlich dimensionalen KâVektorraum (E, â · âE) ist eine
Teilmenge M â E genau dann kompakt, wenn sie beschrankt und abgeschlossenist. Insbesondere ist die abgeschlossene Einheitskugel BE := x â E ; âxâE †1kompakt.
In unendlich dimensionalen normierten Raumen ist die Aussage (e) falsch. Bevor wirdies beweisen, zeigen wir:
1.15. Lemma (Riesz). Sei (E, â · â) ein normierter KâVektorraum und sei F ( E einechter abgeschlossener Unterraum von E. Dann gibt es zu jedem Δ â (0, 1) ein x â E \ Fmit âxâ = 1 und dist(x, F ) := infyâF âxâ yâ ℠Δ.
Beweis. Wegen F 6= E gibt es ein u â E \ F . Da F abgeschlossen ist gilt d :=dist(u, F ) = infyâF âu â yâ > 0. Zu Δ â (0, 1) gibt es dann ein ÎŽ > 0 mit Δ †d
d+ÎŽ. Zu
14 1. BANACHRAUME: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN
diesem ÎŽ > 0 gibt es ein yÎŽ â F mit d †âuâ yÎŽâ < d+ ÎŽ. Mit
x :=1
âuâ yÎŽâ(uâ yÎŽ)
gilt dann âxâ = 1. Fur alle v â F ist yÎŽ + âuâ yÎŽâv â F und somit
âxâ vâ =â„â„â„ 1
âuâ yÎŽâ(uâ yÎŽ)â vâ„â„â„ =
â„â„uâ yÎŽ â âuâ yÎŽâvâ„â„
âuâ yÎŽâ â„ d
d+ Ύ> Δ .
Also ist dist(x, F ) := infvâF âxâ vâ ℠Δ. €
1.16. Folgerung. Fur einen normierten KâVektorraum (E; â · â) sind die folgendendrei Aussagen aquivalent:
(a) E ist endlich dimensional.(b) E ist lokalkompakt, d.h. jeder Punkt in E besitzt wenigstens eine kompakte Um-
gebung.(c) BE = x â E ; âxâ †1 ist kompakt.
Beweis. â (a)=â(b)â: Ist dimE = N <â , so ist (E; â · â) topologisch isomorph zu(KN , | · |) und damit lokalkompakt.
â (b)=â(c)â: Sei (E; â · â) lokalkompakt. Dann gibt es eine kompakte Umgebung Uvon 0. Zu U gibt es ein Δ > 0 mit B(0, Δ) := x â E ; âxâ †Δ â U . Da die Normâ · â : E â R stetig ist, ist B(0, Δ) = â · ââ1([0, Δ]) abgeschlossene Teilmenge von U unddamit ebenfalls kompakt. Nun ist die Abbildung x 7â 1
Δx eine Homoomorphie von (E, â·â)
auf sich. Also ist BE = 1ΔB(0, Δ) ebenfalls kompakt.
â (c)=â(a)â: Wir zeigen: Ist dimE = â, so ist BE zwar abgeschlossen und beschranktaber nicht kompakt. Wegen dimE = â gibt es ein x1 â E mit âx1â = 1. Sind nun schonfur ein n â N Elemente x1, . . . , xn â E konstruiert mit
âxjâ = 1 und âxj â xkâ â„ 1
2fur alle j, k â 1, . . . , n mit j 6= k,
so ist Yn := LHx1, . . . , xn als endlich dimensionaler Untervektorraum von E nach Folge-rung 1.14 abgeschlossen in E und echte Teilmenge von E. Nach dem Lemma von Riesz 1.15gibt es also ein Element xn+1 â E \ Yn mit âxn+1â = 1 und dist(xn+1, Yn) â„ 1
2. Damit
haben wir induktiv eine Folge (xn)ân=1 in BE konstruiert mit âxnâ = 1 fur alle n â N und
mit âxnâ xkâ â„ 12
fur alle n, k â N mit k 6= n. Da diese Folge keine konvergente Teilfolgebesitzt, kann BE nicht kompakt sein. €
In den Ubungen (Aufgabe 1.9) wird gezeigt, daĂ es zu jedem normiertenKâVektorraum(E, â · â) einen Banachraum (F, â · âF ) und eine lineare Isometrie J : E â F so gibt, daĂJ(F ) dicht in F liegt. (F, â · âF ) heiĂt dann Vervollstandigung von (E, â · â). Wir zeigennun, daĂ diese bis auf einen isometrischen Isomorphismus eindeutig bestimmt ist:
1.17. Satz. Sei (E, â·â) ein normierter KâVektorraum. Sind (F1, â·â1) und (F2, â·â2)zwei Banachraume und J1 : E â F1, J2 : E â F2 zwei lineare Isometrien, fur die Jj(E)in Fj dicht liegt fur j = 1, 2, so gibt es einen isometrischen Isomorphismus V : F1 â F2
mit V J1x = J2x fur alle x â E.
Beweis. Zu jedem u â F1 gibt es nach Voraussetzung eine Folge (xn)ân=1 in E mit
J1xn â u in (F1, â · â1) fur n â â. Dann sind (xn)ân=1 und damit auch (J2xn)
ân=1
Cauchyfolgen in (E, â · â) bzw. (F2, â · â2). Da (F2, â · â2) vollstandig ist existiert alsoV u := limnââ J2xn in F2. Man rechnet leicht nach, daĂ V u unabhangig von der speziell
1. BANACHRAUME: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN 15
gewahlten Folge (xn)ân=1 mit J1xn â u ist und daĂ die so definierte Abbildung V : F1 â F2
linear ist. Wegen der Stetigkeit der Normen gilt weiter
âV uâ2 = limnââ
âJ2xnâ2 = limnââ
âxnâ = limnââ
âJ1xnâ1 = âuâ1 .
Ist schlieĂlich v â F2 beliebig, so gibt es auch eine Folge (yn)ân=1 in E mit J2yn â v in F2
fur nââ. Da J1, J2 lineare Isometrien sind, ist dann wie oben (J1yn)ân=1 Cauchyfolge in
(F1, â · â1), also gegen ein u â F1 konvergent. Es folgt V u = v. Also ist V auch surjektivund damit ein isometrischer Isomorphismus. €
Ubungsaufgaben zu Kapitel 1. Eine auf einem Intervall I â R definierte reellwer-tige Funktion heiĂt bekanntlich konvex, falls fur alle x, y â I und alle α â [0, 1] gilt:
f(αx+ (1â α)y) †αf(x) + (1â α)f(y) .
Die Funktion f heiĂt strikt konvex, falls fur alle x, y â I und alle α â (0, 1) gilt:
f(αx+ (1â α)y) < αf(x) + (1â α)f(y) .
Eine Funktion f : I â R heiĂt konkav (bzw. strikt konkav), falls die Funktion âf konvex(bzw. strikt konvex) ist.
1.1. Aufgabe. Zeigen Sie: Ist f â C2(I) mit f âČâČ(x) â„ 0 (bzw. f âČâČ(x) > 0) fur allex â I, so ist f konvex (bzw. strikt konvex).
1.2. Aufgabe. Sei f : I â R eine konvexe Funktion. Zeigen Sie:
(a) Fur alle x1, . . . , xn â I und alle α1, . . . , αn â [0, 1] mit α1 + · · · + αn = 1 gilt dieJensensche Ungleichung :
(1.3) f(α1x1 + · · ·+ αnxn
) †α1f(x1
)+ · · ·+ αnf
(xn
).
(b) Ist f strikt konvex und sind α1, . . . , αn > 0 mit α1 + · · ·+ αn = 1, so gilt in (1.3)genau dann das Gleichheitszeichen, wenn x1 = x2 = · · · = xn ist.
1.3. Aufgabe. Sei p > 1, pâČ := ppâ1
und Ï = (Ï1, . . . , ÏN) â (0,â)N . Zeigen Sie:
Fur alle (a1, . . . , aN), (b1, . . . , bN) â KN (K = R,C) gilt:
(a)âŁâŁâŁNâj=1
ajbjÏj
âŁâŁâŁ â€Nâj=1
|ajbj|Ïj â€( Nâj=1
|aj|pÏj)1/p( Nâ
j=1
|bj|pâČÏj)1/pâČ
,
(b)( Nâj=1
|aj + bj|pÏj)1/p
â€( Nâj=1
|aj|pÏj)1/p
+( Nâj=1
|bj|pÏj)1/p
.
Wann gilt in diesen beiden Ungleichungen das Gleichheitszeichen?Hinweis : Man beachte fur (a), daĂ die Funktion x 7â xp
âČstrikt konvex und fur (b),
daĂ die Funktion x 7â (1 + x1/p
)pstrikt konkav auf (0,â) ist.
1.4. Aufgabe. Sei f : I â R eine stetige konvexe Funktion und g â C([a, b]) mitg([a, b]) â I und bâ a = 1. Zeigen Sie:
f
(â« b
a
g(x)dx
)â€
â« b
a
f(g(x))dx .
1.5. Aufgabe. Seien x1, . . . , xn â [0,â), α1, . . . , αn > 0 mit α1 + · · · + αn = 1. Be-weisen Sie die Ungleichung fur die gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel:
α1x1 + · · ·+ αnxn ℠xα11 · · · xαn
n
Zeigen Sie, daà das Gleichheitszeichen hierbei genau dann gilt, wenn x1 = x2 = · · · = xnist.
16 1. BANACHRAUME: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN
1.6. Aufgabe. Fuhren Sie die Vollstandigkeitsbeweise zu den Beispielen in 1.4 aus.
1.7. Aufgabe. Fuhren Sie den Beweis zu Lemma 1.9 aus.
1.8. Aufgabe. Sei (E, â·âE) ein normierter Raum und sei F ( E ein abgeschlossenerUnterraum von E. Zeigen Sie, daĂ der kanonische Epimorphismus Ï : E â E/F stetigist und berechnen Sie âÏâL(E,E/F ).
1.9. Aufgabe. Sei (X, â · â) ein normierter Vektorraum. Mit c(X) sei die Menge allerCauchy-Folgen in X bezeichnet, mit c0(X) die aller Nullfolgen in X.
(a) Zeigen Sie, daĂ c(X) ein normierter Raum ist bezuglich der sup-Norm und daĂc0(X) ein abgeschlossener Untervektorraum davon ist.
(b) Zeigen Sie, daĂ die Quotientennorm auf X := c(X)/c0(X) gegeben ist durchâ(xn)n + c0(X)âQ = lim supnââ âxnâ.
(c) Zeigen Sie, daĂ (X, â · âQ) vollstandig ist.
(d) Betten Sie X isometrisch in X ein und zeigen Sie, daĂ X durch diese Einbettung
dichter Teilraum von X ist.
1.10. Aufgabe. (BergmanâRaume) Sei G â C ein Gebiet und sei 1 †p < â. DerBergmanâRaum Ap(G) sei der Raum aller auf G holomorphen Funktionen f auf G, furdie gilt
âfâp :=( â«
G
|f(z)|pdλ(z))1/p
<â .
Hierbei sei λ daĂ ebene LebesguemaĂ.(a) Mit ÎŽ(z) := inf|z â w|, w /â G â (0,â] fur alle z â G gilt fur f â Ap(G), z â G
und 0 < R < ÎŽ(z)
(i) f(z) =1
ÏR2
â«
|zâζ|<Rf(ζ) dλ2(ζ), (ii) |f(z)| †1
(ÏÎŽ(z)2)1/pâfâAp(G).
(b) (Ap(G), â · âp) ist ein Banachraum.
1.11. Aufgabe. (Hardy-Raume) Sei D die offene Einheitskreisscheibe in C. Der Hardy-Raum H2(D) ist definiert als
H2(D) :=f â O(D)| sup
0â€r<1âfâH2(D) :=
( 1
2Ï
â« 2Ï
0
|f(reit)|2 dt)1/2
<â.
Zeigen Sie:
(a) âfâH2(D) := sup0â€r<1
â12Ï
â« 2Ï
0|f(reit)|2 dt ist eine Norm auf H2(D).
(b) Ist f(z) =ââ
k=0 akzk eine Funktion in O(D), dann ist f â H2(D) genau dann,
wennââ
k=0 |ak|2 <â ist und in diesem Fall ist âfâ2H2(D) =
ââk=0 |ak|2. (Hinweis: Cauchy-
Produkt von Reihen.)(c) Folgern Sie aus b) die Vollstandigkeit von (H2(D), â · âH2(D)).(d) Zu jedem z0 â D existiert ein C(z0) > 0, so daĂ |f(z0)| †C(z0)âfâH2(D) fur alle
f â H2(D).
1.12. Aufgabe. Ein metrischer Raum E heiĂt separabel, wenn er eine abzahlbar dichteTeilmenge besitzt, d.h. falls es eine abzahlbare Teilmenge A in E gibt, so daĂ jedes Elementvon E Grenzwert einer Folge von Elementen aus A ist.
Sei I eine nicht leere Menge und bezeichne `â(I) die Menge aller beschrankten Fami-lien x = (xi)iâI mit xi â C fur alle i â I. c0(I) sei die Menge aller x = (xi)iâI â `â(I),fur die zu jedem Δ > 0 eine endliche Teilmenge J von I existiert mit |xj| < Δ fur allej â I \ J .
1. BANACHRAUME: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN 17
(a) Zeigen Sie, daĂ c0(I) ein abgeschlossener Untervektorraum von `â(I) ist, der genaudann separabel ist, wenn I hochstens abzahlbar ist.
(b) Zeigen Sie, daĂ `â(I) genau dann separabel ist, wenn I endlich ist.(Hinweis: Indirekter Beweis!)
1.13. Aufgabe. Sei X := C([0, 1]) der Banachraum der auf [0, 1] stetigen komplex-wertigen Funktionen versehen mit der Supremumsnorm â · ââ. Sei V der durch
(V f)(t) :=
â« t
0
f(s)ds f â X, t â [0, 1],
definierte Operator auf X.(a) Zeigen Sie V â L(X) und berechnen Sie âV nâ fur alle n â N.(b) Zeigen Sie Ï(V ) := z â C ; (zI â V )â1 existiert in L(X) = C \ 0 und geben
Sie (zI â V )â1 fur alle 0 6= z â C an.
1.14. Aufgabe. Sei X ein normierter Raum. Zeigen Sie, daĂ zu jedem endlichdimen-sionalen Untervektorraum Y von X und jedem Punkt x â X ein y â Y existiert mitâxâ yâ = infâxâ zâ, z â Y . Zeigen Sie am Beispiel (X, â · â) = (R2, â · ââ), daĂ dieseBestapproximation im allgemeinen nicht eindeutig ist.
KAPITEL 2
Elementare Hilbertraumtheorie
In diesem Abschnitt wird eine kurze Einfuhrung in die Hilbertraumtheorie gegeben.Im folgenden stehe K stets fur den Korper der reellen oder den der komplexen Zahlen.
2.1. Definition. Ein KâVektorraum H heiĂt PraâHilbertraum, falls H mit einemSkalarprodukt ă·, ·ă versehen ist, das ist eine Abbildung
ă·, ·ă : HĂH â Kmit den folgenden Eigenschaften:
(S1) Fur alle x â H ist ăx, xă reell und nicht negativ. Es ist ăx, xă = 0 genau dann,wenn x = 0.
(S2) Fur alle u â H ist die Abbildung x 7â ăx, uă linear, d.h. es gilt:
âx, y â Hâα, ÎČ â K : ăαx+ ÎČy, uă = αăx, uă+ ÎČăy, uă .(S3) âx, y â H : ăx, yă = ăy, xă.2.2. Bemerkungen. (a) Ist K der Korper der reellen Zahlen, so kann man den Quer-
strich in (S3) weglassen.(b) Aus den Eigenschaften (S2) und (S3) des Skalarproduktes ergibt sich
(S4) âx, u, v â Hâα, ÎČ â K : ăx, αu+ ÎČvă = αăx, uă+ ÎČăx, vă .Fur alle x â H ist also die Abbildung ăx, ·ă : H â K konjugiert linear (im Fall K = Ralso sogar linear).
2.3. Beispiele. (a) Versehen mit dem durch
ăx, yă :=Nâj=1
xjyj fur x = (x1, . . . , xN)t, y = (y1, . . . , yN)t â KN
definierten Standardskalarprodukt ă·, ·ă sind die Spaltenvektorraume RN und CN PraâHilbertraume (uber R bzw. uber C).
(b) H := C([a, b],K) (mit a < b) ist versehen mit dem durch
ăf, gă :=
â« b
a
f(t)g(t) dt fur f, g â C([a, b],K)
definierten Skalarprodukt ein PraâHilbertraum uber K.(c) Sei Ω â RN LebesgueâmeĂbar. Dann ist L2(Ω) mit dem durch
ăf, gă :=
â«
Ω
f(x)g(x) dλN(x) fur f, g â L2(Ω)
definierten Skalarprodukt ein PraâHilbertraum.(d) Sei Ω â RN offen, k â N und sei Dk(Ω) der Raum der auf Ω k-mal stetig differen-
zierbaren Kâwertigen Funktionen mit kompaktem Trager in Ω. Dann ist Dk(Ω) mit demdurch
ăf, gă :=â
|α|â€k
â«
Ω
âαf
âxα(x)
âαg
âxα(x) dλN(x) fur f, g â Dk(Ω)
18
2. ELEMENTARE HILBERTRAUMTHEORIE 19
definierten Skalarprodukt ein PraâHilbertraum.(e) `2(I) mit dem durch ăx, yă :=
âiâI xiyi fur x = (xi)iâI und y = (yi)iâI aus `2(I).
Man beachte hierbei, daĂ (xiyi)iâI aufgrund der Holderschen Ungleichung summierbar ist.
Bemerkung. Ist (H, ă·, ·ă) ein Pra-Hilbertraum und K ein Untervektorraum, so istauch (K, ă, ·, ·ă|KĂK) wieder ein Pra-Hilbertraum.
Dies rechnet man unmittelbar nach.
2.4. Satz. SeiH ein PraâHilbertraum uber K mit dem Skalarprodukt ă·, ·ă : HĂH â Kund sei â · â : H â [0,â) definiert durch âxâ :=
âăx, xă fur alle x â H.
(a) Es gilt die CauchyâSchwarzsche Ungleichung:
(2.1) âx, y â H : |ăx, yă| †âxâ · âyâ .Genau dann steht hierbei das Gleichheitszeichen, wenn die Vektoren x und y linear abhan-gig sind.
(b) â ·â : H â [0,â) ist eine Norm auf H. Diese nennt man die durch ă·, ·ă definierteNorm auf H.
(c) Es gelten die Parallelogrammgleichung
(2.2) âx, y â H : âx+ yâ2 + âxâ yâ2 = 2(âxâ2 + âyâ2
)
und die Polarisierungsidentitat
(2.3) âx, y â H : ăx, yă =1
4
(âx+ yâ2 â âxâ yâ2)
im Fall K = R bzw.
(2.4) âx, y â H : ăx, yă =1
4
(âx+ yâ2 â âxâ yâ2 + iâx+ iyâ â iâxâ iyâ)
im Fall K = C.
Beweis. (a) Fur y = 0 und alle x â H gilt (unter Verwendung von (S4)): |ăx, yă| =|ăx, 0 · yă| = |0 · ăx, yă| = 0 und in diesem Fall sind x und y linear abhangig.
Sei also nun y 6= 0 vorausgesetzt. Nach (S1) ist dann âyâ2 = ăy, yă > 0. Mit
λ :=ăx, yăăy, yă
folgt unter Verwendung von (S3)
λăy, xă =ăx, yăăx, yăăy, yă =
|ăx, yă|2âyâ2
und0 †ăxâ λy, xâ λyă =ăx, xă â λăy, xă â λăx, yă+ |λ|2ăy, yă =
=ăx, xă â |ăx, yă|2ăy, yă
Multiplikation mit ăy, yă liefert
|ăx, yă|2 †ăx, xăăy, yăworaus durch Wurzelziehen (2.1) folgt. Wie man aus der Rechnung sieht, gilt das Gleich-heitszeichen in (2.1) genau dann, wenn ăxâλy, xâλyă = 0, d.h. wenn x = λy, d.h. wennx und y linear abhangig sind.
(b) Die Eigenschaften (N1) und (N2) rechnet man unmittelbar mit Hilfe von (S1)â(S4) nach.
20 2. ELEMENTARE HILBERTRAUMTHEORIE
Zur Dreiecksungleichung (N3): Aus der Definition der Norm und den Skalarproduk-teigenschaften erhalt man unter Verwendung der CauchyâSchwarzschen Ungleichung furalle x, y â H:
âx+ yâ2 =ăx+ y, x+ yă = âxâ2 + 2 Reăx, yă+ âyâ2 â€â€âxâ2 + 2|ăx, yă|+ âyâ2 â€â€âxâ2 + 2âxâ · âyâ+ âyâ2 = (âxâ+ âyâ)2
Durch Wurzelziehen folgt die Behauptung.(c) Fur alle x, y â H gilt:
âx+ yâ2 + âxâ yâ2 = ăx+ y, x+ yă+ ăxâ y, xâ yă= âxâ2 + âyâ2 + 2 Reăx, yă+ âxâ2 + âyâ2 â 2 Reăx, yă= 2(âxâ2 + âyâ2).
(d) rechnet man in ahnlicher Weise elementar nach. €
2.5. Bemerkung. Die PraâHilbertraume sind unter den normierten KâVektorraum-en durch die Parallelogrammgleichung charakterisiert, d.h.: Ist (H, â · â) ein normierterKâVektorraum, dessen Norm die Parallelogrammgleichung (2.2) erfullt, so ist durch diePolarisierungsgleichung (2.3) bzw. (2.4) ein Skalarprodukt gegeben, dessen zugehorigeNorm mit der ursprunglichen Norm ubereinstimmt.
Beweis als Ubung (Aufgabe 2.1).
2.6. Definition. Ein PraâHilbertraum (H, ă·, ·ă) uber K, der bezuglich der durch dasSkalarprodukt ă·, ·ă definierten Norm vollstandig ist, heiĂt ein Hilbertraum.
2.7. Beispiele. (a) Die in den Beispielen 2.3 (a), (c) und (e) angegebenen PraâHil-bertraume sind Hilbertraume.
(b) Die in den Beispielen 2.3 (b) und (d) angegebenen PraâHilbertraume sind keineHilbertraume.
2.8. Bemerkung. Seien (Hj, ă·, ·ăj), j = 1, 2, zwei Pra-Hilbertraume. Ist V : H1 â H2
eine lineare Isometrie, so gilt:
âx, y â H1 ăV x, V yă2 = ăx, yă1 .Lineare Isometrien erhalten also das Skalarprodukt.
Dies folgt mit der Polarisierungsgleichung unmittelbar aus der Tatsache, daĂ V einelineare Isometrie ist.
2.9. Satz. Zu jedem PraâHilbertraum (H, ă·, ·ă) gibt es einen bis auf einen isometri-schen Isomorphismus eindeutig bestimmten Hilbertraum (K, [·, ·]), der H als Untervektor-raum enthalt und folgende Eigenschaften besitzt:
(a) âx, y â H [x, y] = ăx, yă .(b) Zu jedem x â K gibt es eine CauchyâFolge (xn)
ân=0 aus H mit xn â x in K
bezuglich der durch das Skalarprodukt [·, ·] auf K gegebenen Norm.
Der Hilbertraum K heiĂt die Vervollstandigung von H.
Beweis. Sei (K, â · âK) die nach Satz 1.17 bis auf einen isometrischen Isomorphismuseindeutig bestimmte Vervollstandigung von H. Dann gibt es eine lineare Isometrie J :H â K, fur die J(H) dicht in K liegt. Zu beliebigen u, v â K gibt es dann Cauchyfolgen(xn)
ân=1 und (yn)
ân=1 in H mit Jxn â u und Jyn â v in (K, â · âK) fur n â â. Da
2. ELEMENTARE HILBERTRAUMTHEORIE 21
die Parallelogrammgleichung in H gilt und J eine lineare Isometrie ist, folgt wegen derStetigkeit der Norm:
âu+ vâ2K + âuâ vâ2
K = limnââ
(âJxn + Jynâ2K + âJxn â Jynâ2
K)
= limnââ
(âxn + ynâ2 + âxn â ynâ2)
= limnââ
2(âxnâ2 + âynâ2
)
= 2 limnââ
(âJxnâ2K + âJynâ2
K)
= 2(âuâ2
K + âvâ2K).
(K, â · âK) erfullt also die Parallelogrammgleichung. Nach Aufgabe 2.1 wird nun durch diePolarisierungsgleichung ein Skalarprodukt [·, ·] : K Ă K â K definiert dessen zugehorigeNorm mit â·âK ubereinstimmt. Der Rest folgt nun leicht mit Bemerkung 2.8 und Satz 1.17.
€In Analogie zum endlich-dimensionalen Fall definiert man: Zwei Vektoren x, y in einem
PraâHilbertraum (H, ă·, ·ă) heiĂen zueinander orthogonal (oder senkrecht zueinander),falls ăx, yă = 0 gilt. Wir schreiben dann auch x â„ y. Ist A eine nicht leere Teilmenge vonH, so definieren wir den Orthogonalraum
Aâ„ :=x â H ; âa â A : ăx, aă = 0Statt x â Aâ„ schreiben wir auch x â„ A.
2.10. Lemma. Sei (H, ă·, ·ă) ein PraâHilbertraum und â 6= A â H.(a) Ist A â B â H, so gilt Bâ„ â Aâ„.
(b) Aâ„ = Aâ„.
(c) Aâ„ ist abgeschlossener Untervektorraum von H.(d) Aâ„ = (LH(A))â„.
Beweis. (a) rechnet man unmittelbar nach.
(b) Nach (a) ist Aâ„ â Aâ„. Ist umgekehrt x â„ A und u â A, so gibt es eine Folge
(an)ân=1 in A mit an â u fur nââ und es folgt wegen der Stetigkeit des Skalarproduktes
ăx, uă = limnââăx, ană = 0 und damit x â Aâ„.(c) Es ist Aâ„ =
âaâA keră·, aă. Da die linearen Funktionale ă·, aă : x 7â ăx, aă we-
gen der CauchyâSchwarzschen Ungleichung fur alle a â A stetig sind, ist Aâ„ also einabgeschlossener Unterraum von H.
(d) Dies rechnet man leicht nach. €2.11. Lemma (Satz des Pythagoras). Sei H ein PraâHilbertraum uber K mit dem
Skalarprodukt ă·, ·ă : HĂH â K. Sind x, y â H mit x â„ y, so gilt:
âx+ yâ2 = âxâ2 + âyâ2 .
Beweis. Wegen ăx, yă = 0 hat man
âx+ yâ2 = âxâ2 + ăx, yă+ ăx, yă+ âyâ2 = âxâ2 + âyâ2 .
€Durch vollstandige Induktion zeigt man mit Hilfe von Lemma 2.11: Sind x1, . . . , xn n
paarweise orthogonale Vektoren eines Pra-Hilbertraums H, so giltâ„â„â„
nâj=1
xj
â„â„â„2
=nâj=1
âxjâ2 .
22 2. ELEMENTARE HILBERTRAUMTHEORIE
2.12. Definition. Eine Teilmenge K eines KâVektorraums E heiĂt konvex, falls furalle x, y â K und alle α â (0, 1) auch αx+ (1â α)y â K gilt.
Wir wollen uns nun dem folgenden Approximationsproblem zuwenden: Sei (Hă·, ·ă) einPraâHilbertraum uber K und sei K eine konvexe Teilmenge von H. Zu gegebenem f â Hsuchen wir eine Bestapproximation aus K, d.h. ein v â K mit
âf â vâ = infuâK
âf â uâ .Fragestellungen dieser Art treten in verschiedenen Problemen der Anwendungen auf.
2.13. Beispiele. (a) Sei Ï â C([a, b],R) eine Funktion mit Ï(t) â„ 0 fur alle t â [a, b]und Ï(t) = 0 fur hochstens endlich viele t â [a, b]. Dann ist durch ă·, ·ăÏ : C([a, b],K) ĂC([a, b],K) â K mit
ăf, găÏ :=
â« b
a
f(t)g(t)Ï(t)dt fur f, g â C([a, b],K)
ein Skalarprodukt auf C([a, b],K) gegeben. Sei f â C([a, b],K). Gesucht ist ein Polynompf vom Grad †n mit
âf â pfâÏ â€ infâf â pâÏ ; p Polynom vom Grad †n .Hier ist K = Pn der (n+1)âdimensionale Untervektorraum der Polynome vom Grad †n.Man spricht von Approximation im quadratischen Mittel oder von GauĂapproximation.
(b) Das lineare Ausgleichsproblem: Gegeben sei eine Matrix A â MnĂm(K) und einVektor b â Kn. Gesucht ist ein Vektor x0 â Km der das lineare Gleichungssystem Ax = bmoglichst gut lost, d.h. fur den gilt
âbâ Ax0â = infxâKm
âbâ Axâ .
Hier ist K = ran(A) = Ax ; x â Km.Das obige Approximationsproblem wird gelost durch:
2.14. Satz. Sei (H, ă·, ·ă) ein PraâHilbertraum und sei â 6= K â H vollstandig undkonvex. Dann gibt es zu jedem x â H genau ein y â K mit
âxâ yâ = infuâK
âxâ uâ = ÎŽ .
y ist also die eindeutig bestimmte Bestapproximation zu x aus K.
Beweis. Zur Existenz einer Bestapproximation: Es gibt eine Folge (un)ân=1 in K mit
limnââ âxâ unâ = ÎŽ. Sei Δ > 0 beliebig. Dann gibt es ein n0 â N, so daĂ fur alle n â„ n0
gilt: 0 †âx â unâ2 â ÎŽ2 < Δ2/4. Mit Hilfe der Parallelogrammgleichung (angewendetauf die Vektoren Ο = x â un und η = x â um) erhalten wir fur alle n,m â„ n0 (unterVerwendung von 1
2(un + um) â K):
âun â umâ2 =2(âxâ unâ2 + âxâ umâ2
)â 4â„â„xâ 1
2(un + um)
â„â„2
â€2(âxâ unâ2 + âxâ umâ2
)â 4ÎŽ2 < Δ2 .
Also ist (un)ân=1 eine CauchyâFolge. Da K nach Voraussetzung vollstandig ist (in der
durch die Norm â · â induzierten Metrik), existiert der Grenzwert y := limnââ un undliegt in K. Wegen
infuâK
âxâ uâ = ÎŽ = limnââ
âxâ unâ = âxâ yâist y also eine Bestapproximation zu x aus K.
2. ELEMENTARE HILBERTRAUMTHEORIE 23
Zur Eindeutigkeit: Seien y1, y2 â K zwei Bestapproximationen zu x aus K mit âx âyjâ = ÎŽ. Dann folgt wieder unter Anwendung der Parallelogrammgleichung und unterBeachtung von 1
2(y1 + y2) â K (wegen der Konvexitat von K):
0 †ây1ây2â2 = 2(âxây1â2+âxây2â2)â4â„â„xâ 1
2(y1+y2)
â„â„2 †4ÎŽ2â4â„â„xâ 1
2(y1+y2)
â„â„2 †0
und damit y1 = y2. €2.15. Folgerung. Sei H ein PraâHilbertraum und K ein endlich dimensionaler Un-
tervektorraum von H. Dann gibt es zu jedem x â H genau ein y â K mit âx â yâ =infuâK âxâ uâ = dist(x,K).
Beweis. Als endlich dimensionaler Untervektorraum vonH ist K nach Folgerung 1.17vollstandig. Da K als Untervektorraum insbesondere konvex ist, folgt die Behauptung ausSatz 2.14. €
Bemerkung. Wie Sie selbst mit Hilfe eines einfachen Kompaktheitsschlusses zei-gen konnen (Aufgabe 1.14), existiert ganz allgemein in jedem normierten KâVektorraum(E, â · â) zu jedem endlich dimensionalen Untervektorraum V und jedem x â E eineBestapproximation zu x aus V . Jedoch ist die Eindeutigkeit (schon im Fall (E, â · â) =(R2, â · ââ) ) nicht mehr gewahrleistet.
2.16. Folgerung. Sei H ein Hilbertraum und K ein abgeschlossener Untervektorraumvon H. Dann gibt es zu jedem x â H genau ein y â K mit âx â yâ = infuâK âx â uâ =dist(x,K).
Beweis. Als abgeschlossener Untervektorraum von H ist K vollstandig. Da K alsUntervektorraum auch konvex ist, folgt die Behauptung aus Satz 2.14. €
2.17. Satz (Projektionssatz). Sei M abgeschlossener Unterraum eines Hilbertraums(H, ă·, ·ă). Dann gilt H = MâMâ„. Jedes x â H hat also eine eindeutige Darstellungder Form x = PM(x) + PMâ„(x) mit PM(x) â M und PMâ„(x) â Mâ„. Fur alle x â Hist PM(x) (bzw. PMâ„(x)) die Bestapproximation zu x aus M (bzw. Mâ„). Die hierdurchdefinierten Abbildungen PM und PMâ„ sind stetige lineare Operatoren auf H mit âPMâ †1(= 1, falls M 6= 0) und âPMâ„â †1 (= 1, falls M 6= H) sowie P 2
M = PM undP 2Mâ„ = PMâ„. Ferner gilt (Mâ„)â„ = M.
Beweis. Ist x â M â© Mâ„, so ist âxâ2 = ăx, xă = 0 und somit x = 0. Also istMâ©Mâ„ = 0. Sei nun x â H beliebig und sei PM(x) die nach Folgerung 2.16 eindeutigbestimmte Bestapproximation zu x aus M, so daĂ also gilt
âxâ PM(x)â = ÎŽ := infuâH
âxâ uâ .
Wir zeigen nun, daĂ PMâ„(x) := xâ PM(x) in Mâ„ liegt. Sei also u â M beliebig vorge-geben. Fur alle α â K ist PM(x) + αu âM und daher âxâ (PM(x) + αu)â â„ ÎŽ. Es folgtalso
0 †âxâ (PM(x) + αu)â2 â âxâ PM(x)â2
†ă(xâ PM(x))â αu, (xâ PM(x))â αuă â ăxâ PM(x), xâ PM(x)ă†âαău, xâ PM(x)ă â αăxâ PM(x), uă+ |α|2âuâ2.
Fur alle t â R erhalten wir hieraus mit α := tăxâ PM(x), uă:0 †|ăxâ PM(x), uă|2(â2t+ t2âuâ2).
Diese Ungleichung kann nur dann fur alle t â R gelten, wenn ăx â PM(x), uă = 0 ist.Da u ein beliebiger Vektor aus M war folgt also PMâ„(x) = x â PM(x) â Mâ„. Es ist
24 2. ELEMENTARE HILBERTRAUMTHEORIE
also x = PM(x) + PMâ„(x) mit PM(x) â M und PMâ„(x) â Mâ„. Insbesondere folgtH = MâMâ„ und die Linearitat der Abbildungen PM und PMâ„ .
Nach Pythagoras hat man
âx â H : âPM(x)â2 + âPMâ„(x)â2 = âxâ2.
Hieraus folgt nach Lemma 1.9 die Stetigkeit von PM und PMâ„ sowie âPMâ †1 undâPMâ„â †1. Gibt es ein 0 6= u â M, so ist 0 6= âuâ = âPM(u)â und daher âPMâ = 1.Ist M 6= H, so gibt es wegen H = MâMâ„ ein 0 6= v â Mâ„. Fur dieses ist 0 6= âvâ =âPMâ„(v)â, so daĂ dann âPMâ„â = 1 gilt.
Die Inklusion M â (Mâ„)â„ ist unmittelbar klar. Ist umgekehrt x â (Mâ„)â„ so folgtx = u+ v mit u âM und v âMâ„. Wegen x, u â (Mâ„)â„ hat man âvâ2 = ăv, xâ uă = 0und somit x = u âM. €
2.18. Definition. Sei H ein PraâHilbertraum. Ein Operator P â L(H) heiĂt ortho-gonale Projektion, falls P 2 = P und ranP â„ kerP gilt.
Der Projektionssatz besagt insbesondere, daĂ in einem Hilbertraum jeder abgeschlos-sene Unterraum stetig projiziert ist. Man kann zeigen, daĂ die Hilbertraume hierdurchcharakterisiert sind: Ein Banachraum ist genau dann topologisch isomorph zu einem Hil-bertraum, wenn in ihm jeder abgeschlossene Unterraum stetig projiziert ist (Lindenstraussund Tzafriri (1973)).
Wegen des Projektionssatzes nennen wir fur einen abgeschlossenen Unterraum Meines Hilbertraums H den Orthogonalraum Mâ„ auch orthogonales Komplement von Mund schreibt auch HÂȘM statt Mâ„.
2.19. Satz von Riesz. Sei (H, ă·, ·ă) ein Hilbertraum. Fur alle x â H definieren wirJx : H â K durch (Jx)(y) := ăy, xă fur alle y â H. Dann ist J eine konjugiert lineare,bijektive Isometrie von H auf seinen topologischen Dualraum HâČ.
Beweis. Nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt fur alle x, y â H:
|(Jx)(y)| = |ăy, xă| †âyâ · âxâ.Also ist Jx stetig und âJxâ †âxâ. Wegen (Jx)(x) = âxâ2 folgt âJxâ = âxâ. DieLinearitat von Jx und die konjugierte Linearitat von J folgen wegen der Linearitat desSkalarproduktes in der ersten und der konjugierten Linearitat in der zweiten Variablen.Insbesondere ist J : H â HâČ eine konjugiert lineare Isometrie.
Zu zeigen ist noch die Surjektivitat von J . Sei also 0 6= f â HâČ beliebig. Dann istker f ein von H verschiedener abgeschlossener Unterraum von H. Also gibt es nach demProjektionssatz ein 0 6= y â (ker f)â„. Fur alle u â H gilt also wegen f(u)yâf(y)u â ker f :
0 = ăf(u)y â f(y)u, yă = f(u)âyâ2 â f(y)ău, yă .Damit folgt f = Jx mit x := âyââ2f(y)y. €
2.20. Folgerung. Jeder Hilbertraum (H, ă·, ·ă) ist isometrisch isomorph zu seinemtopologischen Bidualraum HâČâČ := (HâČ)âČ.
Beweis. Sei J : H â HâČ die in im Satz von Riesz angegebene bijektive, konjugiertlineare Isometrie. Dann wird durch
[f, g] := ăJâ1g, Jâ1fă fur alle f, g â HâČ
ein Skalarprodukt [·, ·] auf HâČ definiert, dessen zugehorige Norm mit der Operatornormauf HâČ ubereinstimmt. (HâČ, [·, ·]) ist also ein Hilbertraum, da HâČ vollstandig ist. Nach demSatz von Riesz gibt es also eine bijektive konjugiert lineare Isometrie K : HâČ â HâČâČ. AlsHintereinanderausfuhrung von zwei bijektiven, konjugiert linearen Isometrien ist K J :H â HâČâČ dann eine bijektive, lineare Isometrie. €
2. ELEMENTARE HILBERTRAUMTHEORIE 25
2.21. Satz. Ein Unterraum M eines Hilbertraums H liegt genau dann dicht in H,wenn Mâ„ = 0 ist.
Beweis. Es ist stets M â Mâ„â„ und daher auch M â Mâ„â„ (da Mâ„â„ nach Lem-ma 2.10 (c) abgeschlossen ist). Ist M nicht dicht in H, so ist M 6= H und daher nach
dem Projektionssatz Mâ„ = Mâ„ 6= 0. Ist umgekehrt Mâ„ = 0, so folgt nach dem
Projektionssatz H = MâMâ„= M und damit die Dichtheit von M in H. €
2.22. Definition. Eine Familie (ei)iâI von Vektoren in einem PraâHilbertraum HheiĂt ein
(a) Orthogonalsystem, falls fur alle i, j â I mit i 6= j gilt ăei, ejă = 0.(b) Orthonormalsystem, falls (ei)iâI ein Orthogonalsystem ist mit âeiâ = 1 fur alle
i â I.(c) vollstandiges Orthonormalsystem, falls (ei)iâI ein Orthonormalsystem ist und
LHei ; i â I dicht in H liegt.
2.23. Folgerung. Ein Orthonormalsystem (ei)iâI in einem Hilbertraum H ist genaudann ein vollstandiges Orthonormalsystem, wenn ei ; i â Iâ„ = 0 ist.
Beweis. Diese Aussage folgt unmittelbar aus Lemma 2.10 (d) und Satz 2.21 €Ist I eine Menge, so bezeichnen wir im folgenden mit F(I) die Menge aller endlichen
Teilmengen von I.
2.24. Satz. Sei (H, ă·, ·ă) ein Pra-Hilbertraum und (ei)iâI ein Orthonormalsystem inH. Dann gilt fur alle x â H:
(a) (ăx, eiă)iâI â `2(I).(b)
âiâI
|ăx, eiă|2 = supFâF(I)
âiâF
|ăx, eiă|2 †âxâ2. (Besselsche Ungleichung).
(c) Genau dann gilt in der Besselschen Ungleichung das Gleichheitszeichen, wenn
(2.5) âΔ > 0âF0 â F(I)âF0 â F â F(I)â„â„â„xâ
âiâFăx, eiăei
â„â„â„ < Δ.
Wir schreiben dann auch
x = limFâF(I)
âiâFăx, eiăei =
âiâIăx, eiăei .
Beweis. Sei also x â H beliebig. Fur alle F â F(I) definieren wir
xF :=âiâFăx, eiăei.
Nach Pythagoras (Lemma 2.11) gilt âxFâ2 =â
iâF |ăx, eiă|2. Ferner hat man
(2.6)
0 †âxâ xFâ2 = ăxâ xF , xâ xF ă = âxâ2 â ăx, xF ă â ăxF , xă+ âxFâ2
= âxâ2 ââiâF
ăx, eiăăx, eiă ââiâF
ăx, eiăăx, eiă+âiâF
|ăx, eiă|2
= âxâ2 â âxFâ2 .
Damit folgt
supFâF(I)
âiâF
|ăx, eiă|2 = supFâF(I)
âxFâ2 †âxâ2 <â .
Insbesondere ist also (ăx, eiă)iâI â `2(I) und
â(ăx, eiă)iâIâ2`2(I) =
âiâI
|ăx, eiă|2 = supFâF(I)
âiâF
|ăx, eiă|2 †âxâ2 .
26 2. ELEMENTARE HILBERTRAUMTHEORIE
Damit sind (a) und (b) bewiesen.Zu (c): Ist (2.5) erfullt, so gibt es zu jedem Δ > 0 ein F0 â F(I) mit
âF0 â F â F(I) : 0 †âxâ2 â âxFâ2 = âxâ xFâ2 < Δ .
Hieraus folgt
(2.7)âiâI
|ăx, eiă|2 = supFâF(I)
âiâF
|ăx, eiă|2 = âxâ2 .
Ist umgekehrt (2.7) erfullt und Δ > 0 beliebig vorgegeben, so gibt es ein F0 â F(I) mit
âxâ2 â„âiâF0
|ăx, eiă|2 > âxâ2 â Δ2 .
Mit (2.6) folgt fur alle F â F(I) mit F0 â F :
âxâ xFâ2 = âxâ2 â âxFâ2 = âxâ2 ââiâF
|ăx, eiă|2 †âxâ2 ââiâF0
|ăx, eiă|2 < Δ2.
Also ist (2.5) erfullt. €2.25. Beispiel. Sei I 6= â eine Menge. Dann gilt fur alle c = (ci)iâI â `2(I): Es ist
c = limFâF(I) cF , wobei cF := (cF,i)iâI mit cF,i := ci fur alle i â F und cF,i := 0 fur allei â I \ F .
Beweis. Die Familie (ei)iâI mit ei := (ÎŽi,j)jâI , ÎŽi,j = 1 fur i = j, ÎŽi,j = 0 fur i 6= j, istein Orthonormalsystem in `2(I) und fur alle c = (ci)iâI â `2(I) gilt
âcâ22 =
âiâI
|ci|2 =âiâI
|ăc, eiă|2.
Mit Satz 2.24 (c) folgt die Behauptung. €2.26. Definition. Sei H ein Hilbertraum und M ein Untervektorraum von H. Ein
Orthonormalsystem (ei)iâI in M heiĂt Orthonormalbasis von M, falls fur alle x â Mgilt:
x = limFâF(I)
âiâFăx, eiăei =
âiâIăx, eiăei .
2.27. Satz. Sei (H, ă·, ·ă) ein Hilbertraum und (ei)iâI ein vollstandiges Orthonormal-system in H. Dann ist (ei)iâI eine Orthonormalbasis von H und fur alle x â H gilt dieParsevalsche Gleichung
âxâ2 =âiâI
|ăx, eiă|2.
Ferner ist H isometrisch isomorph zu `2(I) vermoge der Abbildung x 7â (ăx, eiă)iâI .Beweis. Fur alle F â F(I) und alle c = (ci)iâI â KI mit ci = 0 fur alle i â I \ F gilt
nach Pythagoras ââiâI cieiâ2 =
âiâI |ci|2. Da M := LHei ; i â I = âiâI ciei ; ci â
K, ci 6= 0 fur hochstens endlich viele i â I nach Voraussetzung dicht in H liegt undnach Beispiel 2.25 auch M0 := (ci)iâI ; ci â K, ci 6= 0 fur hochstens endlich viele i â Idicht in `2(I) liegt und isometrisch isomorph zu M ist, sind sowohl H als auch `2(I)Vervollstandigungen von M und daher nach Satz 2.9 zueinander isometrisch isomorphvermoge eines isometrischen Isomorphismusses Ί : H â `2(I) mit Ί(x) = (ăx, eiă)iâI furalle x â M. Da die Abbildung x 7â (ăx, eiă)iâI offensichtlich linear und nach Satz 2.24(a),(b) auch stetig von H nach `2(I) ist, gilt Ί(x) = (ăx, eiă)iâI fur alle x â H. Insbe-sondere gilt âxâ2 =
âiâI |ăx, eiă|2 fur alle x â H und daher nach Satz 2.24 (c) auch
x = limFâF(I)
âiâF ăx, eiăei =
âiâIăx, eiăei fur alle x â H. Also ist (ei)iâI eine Orthonor-
malbasis von H. €
2. ELEMENTARE HILBERTRAUMTHEORIE 27
2.28. Folgerung. Fur ein Orthonormalsystem (ei)iâI in einem Hilbertraum (H, ă·, ·ă)sind aquivalent:
(a) (ei)iâI ist ein vollstandiges Orthonormalsystem in H.(b) (ei)iâI ist eine Orthonormalbasis von H.(c) Fur alle x â H gilt die Parsevalsche Gleichung:
âxâ2 =âiâI
|ăx, eiă|2.
Beweis. DaĂ jede Orthonormalbasis insbesondere ein vollstandiges Orthonormalsy-stem ist, folgt direkt aus der Definition 2.26. Nach Satz 2.27 folgt (c) aus (a). Ist (c)erfullt, so ist (ei)iâI nach Satz 2.24 (c) eine Orthonormalbasis von H. €
2.29. Satz. Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis.
Beweis. Die Menge A aller Orthonormalsysteme in H ist nicht leer (wegen â â A)und durch die Inklusion teilweise geordnet. Ist K â A eine totalgeordnete Familie vonOrthonormalsystemen, so ist die Vereinigung uber alle Orthonormalsysteme aus K wiederein Orthonormalsystem und somit eine obere Schranke fur K. Nach dem Lemma von Zornhat A also wenigstens ein maximales Element (ei)iâI . Ware LHei ; i â I nicht dicht inH, so gabe es nach dem Projektionssatz ein v â LHei ; i â Iâ„ mit âvâ = 1. Dannware aber v âȘ ei ; i â I ein ei ; i â I echt enthaltendes Orthonormalsystem imWiderspruch zur Maximalitat von ei ; i â I. Das Orthonormalsystem (ei)iâI ist also einvollstandiges Orthonormalsystem und daher eine Orthonormalbasis. €
2.30. Satz. Alle Orthogonalbasen eines Hilbertraums (Hă, ·, ·ă) haben die gleiche Machtig-keit.
Beweis. Seien also (ei)iâI und (fj)jâJ zwei Orthonormalbasen von H. Da die Elemen-te einer Orthonormalbasis stets linear unabhangig sind, folgt aus der linearen Algebra: Iist genau dann eine endliche Menge, wenn J eine endliche Menge ist. In diesem Fall istdann auch |I| = |J |. Seien nun sowohl I wie auch J unendliche Mengen. Wir setzen
K := (i, j) â I Ă J ; ăei, fjă 6= 0 .Dann folgt
K =âiâIAi =
âjâJ
Bj
mitAi = (i, j) ; j â J, ăei, fjă 6= 0 6= â fur alle i â I
undBj = (i, j) ; i â I, ăei, fjă 6= 0 6= â fur alle j â J .
Nach Folgerung 2.23 in Verbindung mit der Parsevalschen Gleichung gilt in der Tat Ai 6= â und Bj 6= â fur alle i â I, j â J . Wegen (ăei, fjă)jâJ â `2(J) fur alle i â I ist Ai fur allei â I hochstens abzahlbar unendlich. Ferner sind die Mengen Ai, i â I, paarweise disjunkt.Es folgt nach dem Auswahlaxiom
|I| †|K| =âiâI
|Ai| â€âiâI
â”0 = |I|
(wegen â”0|I| = |I|) und damit |I| = |K|. Analog zeigt man |J | = |K|. €Bezuglich der verwendeten Rechenregeln fur Kardinalzahlen siehe z.B. [15].
2.31. Definition. Sei H ein Hilbertraum. Die nach Satz 2.30 eindeutig bestimmteMachtigkeit einer Orthonormalbasis von H heiĂt die HilbertraumâDimension von H.
28 2. ELEMENTARE HILBERTRAUMTHEORIE
2.32. Satz. Zwei Hilbertraume (Hj, ă·, ·ăj), j = 1, 2, sind genau dann zueinanderisometrisch isomorph, wenn sie die gleiche Hilbertraumdimension haben.
Beweis. Gibt es einen isometrischen Isomorphismus Ί : H1 â H2 und ist (ei)iâI eineOrthonormalbasis vonH1, so ist auch (Ί(ei))iâI ein Orthonormalsystem inH2 von gleicherMachtigkeit. Man beachte hierbei, daĂ nach der Polarisierungsidentitat ăΊ(x),Ί(y)ă2 =ăx, yă1 fur alle x, y â H1 gilt. Ist y â LHΊ(ei)iâIâ„, so ist y = Ί(u) fur ein u â H undes folgt ău, eiă = ăy,Ί(ei)ă = 0. Also ist u â LHei ; i â Iâ„ = 0 und somit y = 0.(Ί(ei))iâI ist also ein vollstandiges Orthonormalsystem und damit eine Orthonormalbasisvon H2, welche die gleiche Machtigkeit wie (ei)iâI besitzt.
Sei nun vorausgesetzt, daĂH1 undH2 die gleiche Hilbertraum-Dimension besitzen undseien (ei)iâI und (fj)jâJ Orthonormalbasen von H1 bzw. H2. Dann gibt es eine bijektiveAbbildung Ï : I â J von I auf J . Mit (fj)jâJ ist auch (fÏ(i))iâI eine Orthonormalbasisvon H2. Nach Satz 2.27 sind H1 und H2 beide isometrisch isomorph zu `2(I) und damitauch zueinander isometrisch isomorph. €
2.33. Satz. Fur einen unendlichdimensionalen Hilbertraum H sind aquivalent.
(a) H hat die Hilbertraum-Dimension â”0.(b) H besitzt eine abzahlbare Orthonormalbasis.(c) H ist isometrisch isomorph zu `2(N).(d) H ist separabel.
Beweis. Die Aquivalenz der Aussagen (a), (b) und (c) ist nach Definition der Hilbert-raumâDimension und Satz 2.32 klar. Die Separabilitat von `2(N) ist in den Ubungengezeigt worden. Zu zeigen bleibt also nur die Richtung von (d) nach (b). Dies soll alsUbung ausgefuhrt werden. €
2.34. Definition. Sei E ein KâVektorraum. Eine Abbildung B : E Ă E â K heiĂtSesquilinearform auf E, falls gilt:
(SL 1) Fur alle x â E ist die Abbildung u 7â B(u, x) linear von E nach K.(SL 2) Fur alle x â E ist die Abbildung u 7â B(x, u) konjugiert-linear von E nach K.
Ist (E, â · â) ein normierter Raum, so heiĂt eine Sesquilinearform B : E Ă E â K be-schrankt, falls
(2.8) âBâ := sup|B(x, y)| ; x, y â E, âxâ †1, âyâ †1 <â .
Man rechnet leicht nach, daĂ die Menge der Sesquilinearformen auf einem VektorraumE mit den punktweisen Operationen der Addition und der Multiplikation mit Skalaren alsVerknupfungen einen KâVektorraum bilden. Ist (E, â · â) ein normierter KâVektorraum,so ist die Menge B(E,E) der beschrankten Sesquilinearformen auf ein Untervektorraumdes Raums aller Sesquilinearformen und durch (2.8) ist eine Norm auf B(E,E) gegeben.
2.35. Beispiele. (a) Jedes Skalarprodukt ist eine Sesquilinearform.(b) Sei (H, ă·, ·ă) ein PraâHilbertraum und sei T â L(H). Dann ist durch BT (x, y) :=
ăTx, yă fur alle x, y â H eine Sesquilinearform auf H definiert. Diese ist sogar beschrankt,denn
(2.9) âBTâ = sup|ăTx, yă| ; x, y â H, âxâ †1, âyâ †1 †âTâ <â .
Ist T = 0, so ist also auch BT = 0. Sei nun T 6= 0 vorausgesetzt. Dann gilt:
âTâ2 = supxâBH
âTxâ2 = âTâ · supxâBH
|ăTx, âTââ1Txă| †âTâ · âBTâ .
Wegen (2.9) folgt hieraus sogar âTâ = âBTâ fur alle T â L(H). Da T 7â BT offensichtlichlinear ist erhalten wir: Die Abbildung T 7â BT ist eine lineare Isometrie. Wir werdenspater sehen daĂ diese im Hilbertraumfall sogar ein isometrischer Isomorphismus ist.
2. ELEMENTARE HILBERTRAUMTHEORIE 29
2.36. Lemma. Sei B : E Ă E â K eine Sesquilinearform auf einem KâVektorraumE. Dann gilt die Polarisierungsidentitat:
(a) Ist K = R und B symmetrisch (d.h. mit B(x, y) = B(y, x) fur alle x, y â E), sogilt
âx, y â E : B(x, y) =1
4(B(x+ y, x+ y)âB(xâ y, xâ y)) im Fall K = R
(b) Im Fall K = C gilt:
âx, y â E : B(x, y) =1
4(B(x+y, x+y)âB(xây, xây)+iB(x+iy, x+iy)âiB(xâiy, xâiy)).
Beweis. Dies beweist man durch direktes Nachrechnen. €2.37. Definition. Sei (H, ă·, ·ă) ein PraâHilbertraum. Ein Operator T â L(H) heiĂt
hermitesch, falls fur alle x, y â H gilt: ăTx, yă = ăx, Tyă.2.38. Folgerung. Sei (H, ă·, ·ă) ein PraâHilbertraum uber K und sei T â L(H). Ist
K = R und T hermitesch oder ist K = C, so gilt T = 0 genau dann, wenn fur alle x â Hgilt ăTx, xă = 0.
Beweis. Dies folgt unmittelbar aus Beispiel 2.35 und der Polarisierungsidentitat 2.36€
Sind (E, â · âE) und (F, â · âF ) zwei normierte Raume und ist T â L(E,F ), so wirddurch Ï 7â Ï T eine stetige lineare Abbildung T âČ â L(F âČ, E âČ) definiert mit âT âČâ †âTâ.Diese heiĂt die zu T transponierte (oder zu T duale Abbildung).
Sind (Hj, ă·, ·ăj), j = 1, 2, zwei Hilbertraume und bezeichnet Jj : Hj â HâČj, j = 1, 2,
die kanonischen bijektiven, isometrischen konjugiert linearen Abbildungen, so heiĂt furT â L(H1,H2) der Operator T â := Jâ1
1 T âČ J2 der zu T adjungierte Operator.Wir fassen einige erste Eigenschaften der Adjungiertenbildung in dem folgenden Lem-
ma zusammen.
2.39. Lemma. Seien (Hj, ă·, ·ăj), j = 1, 2, zwei Hilbertraume und T â L(H1,H2).Jj : Hj â HâČ
j, j = 1, 2, seien die kanonischen isometrischen, bijektiven, konjugiertlinearen Abbildungen. Dann gilt:
(a) T â ist der einzige Operator aus L(H1,H2) mit
âx â H1 ây â H2 : ăTx, yă2 = ăx, T âyă1 .(b) T ââ := (T â)â = T .(c) Ist H3 ein weiterer Hilbertraum und S â L(H2,H3), so gilt (ST )â = T âSâ.(d) Die Adjungiertenbildung â : L(H1,H2) â L(H2,H1) ist eine konjugiert lineare
bijektive Isometrie.(e) âT âTâ = âTâ2.
Beweis. (a) Fur alle x â H1 und alle y â H2 gilt
ăTx, yă2 = (J2y)(Tx) = (T âČJ2y)(x) = ăx, Jâ11 T âČJ2yă1 = ăx, T âyă1 .
Ist auch S â L(H1,H2) mit ăTx, yă2 = ăx, Syă1 fur alle x â H1 und alle y â H2, so folgtfur alle x â H1, y â H2 auch ăx, (S â T â)yă1 = 0 und damit T â = S.
(b) Fur alle x â H1 gilt unter Verwendung von (a) mit y := Txâ T ââx:
âyâ2 =ăTx, yă2 â ăT ââx, yă2 = ăTx, yă2 â ăy, T ââxă2 = ăTx, yă2 â ăT ây, xă2=ăTx, yă2 â ăx, T âyă2 = 0.
Also gilt T ââ = T .(c) rechnet man elementar nach.
30 2. ELEMENTARE HILBERTRAUMTHEORIE
(d) Fur alle y â H2 mit âyâ2 †1 gilt:
âT âyâ2 =âJâ11 T âČJ2yâ1 = âT âČJ2yâHâČ1 = sup|(T âČJ2y)(x)| ; x â H1, âxâ1 †1
= sup|(J2y)(Tx)| ; x â H1, âxâ1 †1†supâJ2yâHâČ2 · âTxâ2 ; x â H1, âxâ1 †1 †âTâ .
Damit folgt âT ââ †âTâ. Wenden wir dies auch auf T â an, so erhalten wir unter Verwen-dung von (b), daĂ âTâ = âT âââ †âT ââ und damit insgesamt âTâ = âT ââ gilt.
(e) Nach (d) ist âT âTâ †âT ââ · âTâ = âTâ2. Fur alle x â H1 mit âxâ †1 gilt ferner
âTxâ2 = ăTx, Txă2 = ăx, T âTxă1 †âxâ1 · âT âTâ · âxâ1 †âT âTâ,womit die Behauptung folgt. €
Nach Lemma 2.39 (a) ist also ein stetiger linearer Operator T auf einem HilbertraumH genau dann hermitesch, wenn T = T â gilt.
2.40. Satz. Zu jeder beschrankten Sesquilinearform B : H ĂH â K auf einem Hil-bertraum (H, ă·, ·ă) gibt es genau einen Operator T â L(H) mit B = BT .
Beweis. Da B beschrankt ist, gilt |B(x, y)| †âBâ · âxâ · âyâ fur alle x, y â H. Furalle y â H ist als durch x 7â B(x, y) eine stetige Abbildung von H nach K gegeben. Nachdem Satz von Riesz gibt es also genau ein Sy â H mit B(x, y) = ăx, Syă fur alle x â H.Fur alle x, u, v â H, α, ÎČ â K gilt
ăx, S(αu+ ÎČv)ă =B(x, αu+ ÎČv) = αB(x, u) + ÎČB(x, v) = αăx, Suă+ ÎČăx, Svă =
=ăx, αSu+ ÎČSvă.Dies zeigt, daĂ S : H â H eine lineare Abbildung ist. Fur alle x â H mit âxâ †1 gilt
âSxâ2 = ăSx, Sxă = B(Sx, x) †âBâ · âSxâ · âxâ .Hieraus folgt die Stetigkeit von S und âSâ †âBâ. Mit T := Sâ folgt nun die Existenz-aussage. Ist R â L(H) ein weiterer Operator mit BR = B, so folgt fur x, y â H:
ă(T âR)x, yă = ăTx, yă â ăRx, yă = B(x, y)âB(x, y) = 0
und damit R = T . €
2.41. Definition. Sei (H, ă·, ·ă) ein Hilbertraum. Ein Operator T â L(H) heiĂt
âą selbstadjungiert, falls T = T â,âą normal, falls TT â = T âT ,âą positiv, falls ăTx, xă â„ 0 fur alle x â H,âą strikt positiv, falls ăTx, xă > 0 fur alle 0 6= x â H.
Sind (Hj, ă·, ·ăj), j = 1, 2, zwei Hilbertraume, so heiĂt ein Operator T â L(H1,H2) unitar,falls TT â = 1H2 und T âT = 1H1 .
Aus der Definition folgt insbesondere, daĂ jeder unitare Operator T : H â H voneinem Hilbertraum H in sich schon ein normaler Operator ist.
2.42. Lemma. Fur einen stetigen linearen Operator T auf einem Hilbertraum (H, ă·, ·ă)uber C sind aquivalent:
(a) T ist selbstadjungiert.(b) T ist hermitesch.(c) Fur alle x â H ist ăTx, xă reell.
2. ELEMENTARE HILBERTRAUMTHEORIE 31
Beweis. Wie wir schon festgestellt haben ist nach Lemma 2.39 (a) T genau dannhermitesch, wenn T = T â gilt.
Ist T selbstadjungiert, so ist nach Lemma 2.39 (a) ăTx, xă = ăx, Txă fur alle x â Hund daher (wegen (S3)) ăTx, xă â R.
Ist (c) erfullt, so erhalt man mit der Polarisierungsformel 2.36 fur alle x, y â H:
ăTx, yă =1
4(ăT (x+ y), x+ yă â ăT (xâ y), xâ yă+
+ iăT (x+ iy), x+ iyă â iăT (xâ iy), xâ iyă)=
1
4(ăT (x+ y), x+ yă â ăT (xâ y), xâ yă+
+ iăT (ixâ y), ixâ yă â iăT (ix+ y), ix+ yă)=ăTy, xă = ăx, Tyă .
Mit 2.39 (a) folgt T = T â. €
2.43. Lemma. Fur einen stetigen linearen Operator T auf einem Hilbertraum H uberC gilt:
(a) Ist T positiv, so ist T selbstadjungiert.(b) TT â und T âT sind positiv (strikt positiv, falls T â bzw. T injektiv ist)..
Beweis. (a) folgt aus Lemma 2.42.(b) Fur alle 0 6= x â H gilt ăT âTx, xă = ăTx, Txă â„ 0 (> 0, falls T injektiv ist). Wendet
man dies auf T â statt T an, so erhalt man die entsprechende Aussage fur TT â. €
2.44. Lemma. Sind (Hj, ă·, ·ăj), j = 1, 2, zwei Hilbertraume, so ist ein Operator T âL(H1,H2) genau dann unitar, wenn er ein isometrischer Isomorphismus ist.
Beweis. Ist T unitar, so ist T nach Definition des unitaren Operators bijektiv (da erdie Umkehrabbildung T â besitzt). Ferner gilt in diesem Fall fur alle x â H1:
âTxâ22 = ăTx, Txă2 = ăT âTx, xă1 = ăx, xă1 = âxâ2
1 ,
so daĂ T also ein isometrischer Isomorphismus ist.Ist umgekehrt T ein isometrischer Isomorphismus, so folgt fur alle x â H1:
ăx, xă1 = âxâ21 = âTxâ2
2 = ăTx, Txă2 = ăT âTx, xă1und damit ă(1H1âT âT )x, xă1 = 0. Nach Folgerung 2.38 muĂ also T âT = 1H1 gelten. Da Tinvertierbar ist folgt Tâ1 = T â. Mit T ist auch Tâ1 = T â ein isometrischer Isomorphismus.Wenden wir die obige Uberlegung auf T â statt T an, so erhalten wir auch TT â = 1H2 . €
2.45. Lemma. Sei (H, ă·, ·ă) ein PraâHilbertraum. Fur hermitesche Operatoren T âL(H) gilt: Fur alle x â H ist ăTx, xă reell und
âTâ = q(T ) := sup|ăTx, xă| ; x â H, âxâ †1 .Beweis. Die erste Aussage folgt unmittelbar aus Definition 2.37 und (S3). Mit Hilfe
der CauchyâSchwarzschen Ungleichung sieht man q(T ) †âTâ. Wegen BT (x, y) = ăTx, yăfolgt aus der Polarisierungsidentitat fur BT :
(2.10) âx, y â H : ReăTx, yă =1
4(ăT (x+ y), x+ yă â ăT (xâ y), xâ yă) .
Zu gegebenen x, y â H mit âxâ †1 und âyâ †1 gibt es ein α â K mit |α| = 1 und|ăTx, yă| = αăTx, yă = ăT (αx), yă. Durch Anwenden von (2.10) auf αx und y erhalten wir
32 2. ELEMENTARE HILBERTRAUMTHEORIE
also
|ăTx, yă| = ReăT (αx), yă =1
4(ăT (αx+ y), αx+ yă â ăT (αxâ y), αxâ yă)
†1
4q(T )(âαx+ yâ2 + âαxâ yâ2) =
1
4q(T )2(âαxâ2 + âyâ2) †q(T ) .
Also ist âTâ = sup|ăTx, yă| ; x, y â H, âxâ †1, âyâ †1 †q(T ) und die Behauptungist bewiesen. €
2.46. Lemma. Fur einen stetigen linearen Operator T auf einem Hilbertraum (H, ă·, ·ă)gilt:
(a) kerT = (ranT â)â„.(b) kerT â = (ranT )â„.
Beweis. Wegen T = T ââ genugt es, die Aussage (a) zu beweisen. Fur alle x â H gilt:x â kerT genau dann, wenn fur alle y â H gilt ăTx, yă = 0. Dies ist nach Lemma 2.39(a) aquivalent zu ăx, T âyă = 0 fur alle y â H, d.h. zu x â (ranT â)â„. €
Die orthogonalen Projektionen auf einem Hilbertraum konnen wir nun auch wie folgtcharakteriesieren:
2.47. Lemma. Fur einen stetigen linearen Operator P auf einem Hilbertraum (H, ă·, ·ă)mit P = P 2 sind die folgenden Aussagen aquivalent:
(a) P ist orthogonale Projektion, d.h. es ist ranP â„ ran(1H â P ).(b) P = P â, d.h. P ist selbstadjungiert.(c) P ist positiv.
Beweis. Ist (a) erfullt, so gilt fur alle x, y â H:
ăPx, yă = ăPx, Py + (1H â P )yă = ăPx, Pyă = ăPx+ (1H â P )x, Pyă = ăx, Pyă .Nach Lemma 2.39 (a) muĂ also P = P âgelten.
Ist (b) erfullt, so gilt fur alle x â H (unter Verwendung von Lemma 2.39 (a):
0 †ăPx, Pxă = ăP âPx, xă = ăP 2x, xă = ăPx, xă .P ist also positiv.
Ist P positiv, so ist P nach Lemma 2.43 selbstadjungiert und es folgt wegen
ran(1H â P ) = kerP = kerP â
aus Lemma 2.46, daĂ (a) gelten muĂ. €
Ubungsaufgaben zu Kapitel 2.
2.1. Aufgabe. (a) Sei (H, â · â) ein normierter Raum uber K, fur den die Paral-lelogrammgleichung
âx+ yâ2 + âxâ yâ2 = 2(âxâ2 + âyâ2) â x, y â Hgilt. Zeigen Sie, daĂ durch
ăx, yă :=
14(âx+ yâ2 â âxâ yâ2) falls K = R
14(âx+ yâ2 â âxâ yâ2 + iâx+ iyâ2 â iâxâ iyâ2) falls K = C
ein Skalarprodukt auf H definiert wird mit â · â = ă· , ·ă1/2.
2. ELEMENTARE HILBERTRAUMTHEORIE 33
(b) Sei (H, ă , ă) ein Pra-Hilbertraum und seien (xn)nâN und (yn)nâN zwei Folgen ausder Einheitskugel von H mit ăxn, ynă â 1 fur n â â. Zeigen Sie, daĂ dannâxn â ynâ â 0 fur nââ.
2.2. Aufgabe. Zu λ â R betrachte man die Funktion
fλ : R ââ C, fλ(x) := eiλx.
(a) Zeigen Sie, daĂ auf X := LHfλ, λ â R durch
ăf, gă := limTââ
1
2T
â« T
âTf(x)g(x) dx
ein Skalarprodukt gegeben ist.(b) Zeigen Sie, daĂ X nicht separabel ist.
Hinweis: Betrachten Sie fλ, f” mit λ 6= ”.
2.3. Aufgabe. Auf dem Raum `2(N0) der komplexwertigen, quadratsummierbarenFolgen versehen mit dem Skalarprodukt ă(xn), (yn)ă`2 =
âân=0 xnyn betrachte man den
OperatorS : `2(N0) ââ `2(N0), (x0, x1, x2, . . .) 7â (0, x0, x1, . . .),
den sog. Rechtsshift.
(a) Zeigen Sie, daĂ S eine Isometrie ist. Ist S (links-, rechts-)invertierbar, und wennja, wie sieht die (Links-, Rechts-)Inverse aus?
(b) Zeigen Sie, daĂ das Bild von S abgeschlossen ist und die Kodimension 1 in `2(N0)hat.
(c) Existiert der Grenzwert limnââăSnx, yă fur alle x, y â `2(N0)?
2.4. Aufgabe. Sei G eine Menge und sei (H, ă·, ·ăH) ein Hilbertraum von CâwertigenFunktionen auf G. Eine Abbildung K : GĂG ââ C heiĂt reproduzierender Kern von H,wenn gilt
(i) die Abbildung Ky : G ââ C, x 7â K(x, y) ist ein Element von H fur alle y â G.(ii) f(y) = ăf,KyăH fur alle f â H und alle y â G.
Zeigen Sie:
(a) Ist K ein reproduzierender Kern von H, so gilt:
|f(y)| †âfâHâK(y, y) fur alle y â G, f â H.
(b) Es gibt genau dann einen reproduzierenden Kern K von H, wenn fur alle x â Gdie Abbildung ÎŽx : H ââ C, f 7â f(x) stetig ist.
(c) Vermoge ăf, gă :=â«Br(0)
f(z)g(z) dz wird der Bergmann-Raum A2(Br(0)) zu ei-
nem Hilbertraum (siehe auch Aufgabe 1.10). Zeigen Sie, daĂ
K : Br(0)ĂBr(0) ââ C, (ζ, z) 7â r2
Ï
1
(r2 â zζ)2
ein reproduzierender Kern von A2(Br(0)) ist.
2.5. Aufgabe. (a) Bestimmen Sie Orthonormalbasen von A2(D) und H2(D).(b) Sei K : G Ă G ââ C reproduzierender Kern eines Hilbertraumes H von kom-
plexwertigen Funktionen auf einer Menge G (siehe Aufgabe 2.4) und (ei)iâI eineOrthonormalbasis von H. Zeigen Sie, daĂ fur alle (x, y) â GĂG gilt:
K(x, y) =âiâI
ei(x)ei(y).
Uberprufen Sie dies am Beispiel der Bergmannschen Kernfunktion und der Orth-normalbasis aus (a).
34 2. ELEMENTARE HILBERTRAUMTHEORIE
2.6. Aufgabe. Zeigen Sie: Fur einen unendlichdimensionalen Hilbertraum H sindaquivalent:
(a) H hat die Hilbertraumdimension â”0.(b) H besitzt eine abzahlbare Orthonormalbasis.(c) H ist isometrisch isomorph zu `2(N0).(c) H ist separabel.
KAPITEL 3
Der abstrakte MittagâLeffler-Satz und der Satz von Baire
Der folgende abstrakte Satz von Arens aus der Theorie der metrischen Raume hat vielebemerkenswerte Anwendungen in der Topologie und in der Funktionalanalysis. Bourbaki[5] hat ihn MittagâLefflerâSatz genannt, weil man mit seiner Hilfe auch sehr elegant denklassischen Satz von MittagâLeffler aus der Funktionentheorie beweisen kann.
3.1. Abstrakter MittagâLefflerâSatz (Arens, 1958, Theorem 2.4 in [3]). Sei(Xn, dn)nâN0 eine Folge von vollstandigen metrischen Raumen und sei (fn)nâN0 eine Folgevon stetigen Abbildungen fn : Xn+1 â Xn, so daĂ fur alle n â N0 das Bild fn(Xn) dichtin (Xnâ1, dnâ1) liegt. Dann liegt die Menge
(3.1) M0 := v0 â X0 ; â(vn)nâN mit vn â Xn, fnâ1(vn) = vnâ1 fur alle n â Nund somit auch
(3.2) M :=âân=0
(f0 f1 · · · fn)(Xn)
dicht in (X0, d0).
Ist also X0 6= â so ist auch der Durchschnitt M in (3.2) nicht leer, eine Aussage, diekeineswegs offensichtlich ist.
Beweis. Seien x â X0 und Δ > 0 beliebig vorgegeben. Wir wollen zeigen, daĂ es einenPunkt v0 â M gibt mit d0(x, v0) †Δ. Um dies zu erreichen, konstruieren wir zunachstinduktiv eine Folge (yn)nâN0 mit den folgenden Eigenschaften:
yn â Xn und dn(yn, fn(yn+1)) †Δ
2n+1,(3.3)
dk((fk fk+1 · · · fnâ1)(yn), (fk fk+1 · · · fn)(yn+1)) †Δ
2n+1(3.4)
fur alle n â N0 und 0 †k < n. Wir setzen y0 := x und finden wegen der Dichtheit vonf0(X1) in X0 ein y1 â X1 mit d0(y0, f0(y1)) < Δ/2. Damit sind die Bedingungen (3.3) und(3.4) fur n = 0 erfullt.
Seien nun fur ein m â N schon die Punkte y0, . . . , ym so konstruiert, daĂ die Bedin-gungen (3.3) und (3.4) fur 0 †n †m â 1 und 0 †k < n erfullt sind. Da fm(Xm+1) inXm dicht liegt, gibt es eine Folge (zj)
âj=1 in Xm+1 mit fm(zj) â ym fur j â â. Wegen
der Stetigkeit der Abbildungen f0, . . . , fmâ1 folgt dann auch fur alle k = 0, . . . ,mâ 1:
limjââ
dk((fk fk+1 · · · fmâ1)(ym), (fk fk+1 · · · fm)(zj)) = 0 .
Insbesondere gibt es ein j0 â N so daĂ mit ym+1 := zj0 die Bedingungen (3.3) und (3.4)auch fur n = m und 0 †k < m erfullt sind. Damit haben wir die gewunschte Folgekonstruiert.
Fur alle k â N0 sei nun
uk,0 := yk und uk,j := (fk · · · fk+jâ1)(yk+j)fur alle j â N .35
36 3. DER ABSTRAKTE MITTAGâLEFFLER-SATZ UND DER SATZ VON BAIRE
Dann gilt nach (3.3) und (3.4)
dk(uk,j, uk,j+1) †Δ
2k+j+1
Fur alle j â N0, p â N folgt hieraus durch vollstandige Induktion mit Hilfe der Dreiecks-ungleichung:
(3.5) dk(uk,j, uk,j+p) â€pâ
m=1
dk(uk,j+mâ1, uk,j+m) †Δ
2k+j
pâm=1
1
2m<
Δ
2k+jâ 0
fur j ââ. Fur alle k â N0 ist also die Folge (uk,j)âj=0 eine Cauchyfolge in dem vollstandi-
gen metrischen Raum (Xk, dk) und daher konvergent in (Xk, dk) gegen ein vk â Xk. Esgilt fur alle k â N0:
fk(uk+1,j) = fk ((fk+1 · · · fk+1+j) (yk+1+j)) = uk,j+1 â vk fur j ââund wegen der Stetigkeit von fk auch
limjââ
fk(uk+1,j) = fk
(limjââ
uk+1,j
)= fk(vk+1) .
Insbesondere ist v0 âM . Ferner folgt wegen der Stetigkeit der Metrik d0 unter Verwendungvon (3.5) fur k = j = 0 :
d0(x, v0) = d0(y0, v0) = d0
(u0,0, lim
pââu0,p
)= lim
pââd0(u0,0, u0,p) †lim sup
pââΔ
pâm=1
1
2m= Δ .
Damit ist die Behauptung bewiesen. €
Wir zeigen, daĂ man den klassische Satz von MittagâLeffler tatsachlich mit Hilfe diesesabstrakten Mittag-Leffler-Satzes beweisen kann. Hierzu benotigen wir ein topologischesLemma:
3.2. Lemma. Sei Ω â C offen und nicht leer. Dann gibt es eine Folge (Kn)ân=0 von
kompakten kompakten Teilmengen von Ω mit den beiden folgenden Eigenschaften:
(a) ân â N : â 6= intK0 â Kn â intKn+1 â Ω =ââk=0Kk, d.h. (Kn)
ân=0 ist eine
kompakte Ausschopfung von Ω.(b) Fur alle n â N und jede Zusammenhangskomponente G von C\Kn ist Gâ©(C\Ω)
nicht leer.
Beweis. Ist Ω = C, so leistet Kn := z â C ; |z| †n + 1 das Gewunschte. Seinun Ω 6= C. Da Ω nicht leer und offen ist gibt es ein z0 â Ω und ein Δ â (0, 1) mit
K0 := UΔ(z0) â Ω. Wir setzen fur alle n â NKn := z â Ω ; |z â z0| †n und dist(z, âΩ) â„ 1/n .
Damit ist (a) erfullt. Ist G die unbeschrankte Zusammenhangskomponente von C\Kn, so
ist â â G â© (C \ Ω). Sei nun G eine beliebige beschrankte Zusammenhangskomponentevon C\Kn. Da z â C ; |zâz0| > n in der unbeschrankten Zusammenhangskomponentevon C\Kn enthalten ist, folgt G â z â C ; |z| < n und dist(z,C\Ω < 1/n). Ist w0 alsoein fester Punkt aus G und w1 â âΩ mit |w1âw0| = dist(w0,C\Ω), so ist (1ât)w0+tw2eine zusammenhangende in C \Kn enthaltene Strecke, die einen nicht leeren Schnitt mitder Zusammenhangskomponente G hat und daher in G enthalten ist. Insbesondere istw1 â G â© (C \ Ω). €
3. DER ABSTRAKTE MITTAGâLEFFLER-SATZ UND DER SATZ VON BAIRE 37
Fur auf Ω holomorphe Funktionen f und alle n â N definieren wir dann
qn(f) := maxzâKn
|f(z)| .
Dann wird der Raum O(Ω) der auf Ω holomorphen Funktionen zu einem vollstandigenmetrischen Raum vermoge der durch
d(f, g) :=âân=1
qn(f â g)
1 + qn(f â g)(f, g â O(Ω)).
Die Konvergenz bezuglich dieser Metrik ist gerade die gleichmaĂige Konvergenz auf allenkompakten Teilmengen von Ω. Diese Metrik ist translationsinvariant in dem VektorraumO(Ω), d.h. es gilt
âf, g, h â O(Ω) d(f + h, g + h) = d(f, g) .
3.3. Definition. Unter einem Hauptteil mit dem Entwicklungspunkt w â C verstehenwir jede rationale Funktion der Form
hw(z) :=nâj=1
aâj(z â w)j
mit n â N, aâ1, . . . , aân â C .
Eine Hauptverteilung H auf einer offenen Menge Ω â C ist eine Menge H = hw ;w â Avon Hauptteilen mit Entwicklungspunkten in einer in Ω diskreten Teilmenge A von Ω.
Jede auf einer offenen Menge Ω â C meromorphe Funktion f definiert eine Hauptver-teilung Hf = hf,w ; w â Pf wie folgt: Fur jede Polstelle w von f gibt es ein rw > 0 mitD(w, rw) â Ω und D(w, rw)â©Pf = w. Fur alle Polstellen w â Pf sei hf,w der Hauptteil
mwâj=1
aâj(z â w)j
der Laurentreihenentwicklung
f(z) =ââ
n=âmw
an(z â w)n
in R0,rw(w). mw bezeichne hierbei die Ordnung der Polstelle w von f . Offensichtlich giltfur jede auf ganz Ω holomorphe Funktion g: Hf+g = Hf .
3.4. Definition. Eine HauptverteilungH auf einer offenen Menge Ω â C heiĂt losbareHauptverteilung, falls es eine auf Ω meromorphe Funktion f mit Hf = H gibt.
Ist f mit Hf = H eine Losung der Hauptverteilung H in Ω, so ist fur jede auf Ω holo-morphe Funktion g auch Hf+g = H und somit auch f+g eine Losung der HauptverteilungH.
Der klassische Satz von Mittag-Leffler besagt, daĂ jede Hauptverteilung losbar ist.
3.5. Satz (MittagâLeffler). Sei Ω â C offen, A eine in Ω diskrete Menge und seiH = hw ; w â A eine Hauptverteilung in Ω. Dann gibt es eine Funktion f â M(Ω)mit Hf = H. f ist hierdurch bis auf eine additive Abanderung durch eine auf ganz Ωholomorphe Funktion eindeutig bestimmt. Ist also auch F â M(Ω) eine meromorpheFunktion mit HF = H so ist g := F â f â O(Ω).
38 3. DER ABSTRAKTE MITTAGâLEFFLER-SATZ UND DER SATZ VON BAIRE
Beweis. Wir zeigen nur die Existenz der Losung der Hauptverteilung, da die Eindeu-tigkeitsaussage unmittelbar klar ist. Sei (Kn)
ân=0 eine kompakte Ausschopfung von Ω mit
O.B.d.A. Ω0 := intK0 6= â . Wir setzen Ωn := intKn. Fur alle n â N0 sei ÎŽn eine (wie obenangegebene) Metrik auf O(Ωn), so daĂ also die zugehorige Konvergenz die Konvergenzauf allen kompakten Teilmengen von Ωn ist. Da A keine Haufungspunkte in Ω hat istAâ©Kn und somit auch An := Aâ©Î©n fur alle n â N0 eine endliche Punktmenge oder leer.Daher ist
rn :=âaâAn
ha
eine rationale Funktion. Fur alle n â N0 sei nun Xn die Menge aller derjenigen auf Ωn
meromorphen Funktionen, fur die die Funktion f â rn nur hebbare Singularitaten in Ωn
hat und somit eine (auch mit f â rn bezeichnete) holomorphe Fortsetzung auf ganz Ωn
besitzt. Da (O(Ωn), Ύn) ein vollstandiger metrischer Raum ist, ist auch Xn versehen mitder durch
dn(f, g) := ÎŽn(f â rn, g â rn) (f, g â O(Ωn))
gegebenen Metrik vollstandig. Eine Folge (fk)k=1â aus Xn ist genau dann konvergent,wenn die Folge (fkârn)âk=1 in O(Ωn) konvergent ist. Insbesondere sind also fur alle n â Ndie Restriktionsabbildungen
Ïn : Xn+1 â Xn , f 7â f |Ωn
folgenstetig, also stetig.Wir zeigen, daĂ das Bild von Ïn in Xn dicht liegt. Sei also f â Xn beliebig vorgegeben.
Da
rn+1 â rn =â
aâAn+1\An
ha
eine rationale Funktion ist, die keine Polstellen in Ωn besitzt, ist fârn+1 auf Ωn holomorph(erganzbar). Sei (Hk)
âk=0 eine kompakte Ausschopfung von Ωn wie in Lemma 3.2. Ist
k â N0 beliebig und G eine beliebige Zusammenhangskomponente von C\Hk, so existiert
nach Lemma 3.2 ein w â (C \ Ωn) â© G. Nach Definition von Ωn ist w â C \Kn. Da Goffen ist, gibt es eine Zusammenhangskomponente G1 von C \Kn mit G1 â©G 6= â . Da G1
zusammenhangende Teilmenge von C \Kn â C \Hk ist, folgt G1 â G. Nach Lemma 3.2existiert ein Punkt zn,k â G1 â© (C \ Ω) â G â© (C \ Ω). Nach dem Satz von Runge gibt eseine rationale Funktion Ïn,k mit Polen hochstens in C \ Ω und mit
supzâHk
|Ïn,k(z)â (f(z)â rn+1(z))| < 2âk.
Also konvergiert die Folge (Ïn,k)âk=1 gleichmaĂig auf jeder kompakten Teilmenge von Ωn
gegen f â rn+1(z). Mit gk := (Ïn,k â rn+1)|Ωn+1 folgt gk â Xn+1 fur alle k â N und
dn(Ïn(gk), f) = ÎŽn(Ïn,k + rn+1 â rn, f â rn) = ÎŽn(Ïn,k, f â rn+1) â 0 fur k ââ.
Also liegt Ïn(Xn+1) dicht in (Xn, dn) und die Voraussetzungen zum abstrakten Satz vonMittag-Leffler sind erfullt. Es gibt somit eine Folge (fn)
ân=0 mit fn â Xn und Ïn(fn+1) = fn
fur alle n â N0. Die durch g(z) := fn(z) fur alle z â Ωn, n â N0, definierte Funktion istalso wohldefiniert und auf Ω meromorph mit Hauptteil ha fur alle a â A. €
Zwei Metriken
d1, d2 : X ĂX â [0,â)
auf einer nicht leeren Menge X heiĂen aquivalent, falls eine Menge G â X genau dannbezuglich d1 offen ist, wenn sie bezuglich d2 offen ist. Dies ist genau dann der Fall, wenndie Identitat id : X â X eine Homoomorphie ist.
3. DER ABSTRAKTE MITTAGâLEFFLER-SATZ UND DER SATZ VON BAIRE 39
3.6. Lemma. Sei U eine nicht leere offene Teilmenge eines metrischen Raums. Dannist die von d auf U induzierte Metrik d|UĂU : U Ă U â [0,â) aquivalent zu der durch
dU(x, y) := d(x, y) +âŁâŁdist(x,X \ U)â1 â dist(y,X \ U)â1
âŁâŁ x, y â U(mit der Vereinbarung dist(x, â )â1 := 0) auf U definierten Metrik dU : U Ă U â [0,â).Ist (X, d) vollstandig, so ist auch (U, dU) vollstandig.
Beweis. Da die Behauptung im Fall U = X offensichtlich gilt, betrachten wir nur denFall U 6= X, d.h. X \U 6= â . DaĂ dU eine Metrik auf U definiert, rechnet man unmittelbarnach. Fur alle x, y â U ist d(x, y) †dU(x, y). Also gilt fur jedes Δ > 0, x â U : DieΔ-Umgebung bezuglich dU von x ist enthalten in der Δ-Umgebung bezuglich d|U Ă U vonx. Insbesondere ist jede bezuglich dUĂU offene Teilmenge auch bezuglich dU offen, d.h.:id : (U, dU) â (U, dUĂU) ist stetig.
Sei nun (xn)ân=1 eine beliebige gegen ein a â U bezuglich d konvergente Folge aus U .
Wegen der Stetigkeit von dist(·, X \ U) : U â R gilt dann auch
dist(xn, X \ U) â dist(a,X \ U) > 0 fur nââ.
und somit
dU(xn, a) := d(xn, a) +âŁâŁdist(xn, X \ U)â1 â dist(a,X \ U)â1
âŁâŁ â 0 fur nââ.
Also ist auch id : (U, dUĂU) â (U, d|U) stetig. Damit ist die Aquivalenz der beiden Metri-ken gezeigt.
Sei nun (X, d) vollstandig und sei (xn)ân=1 eine beliebige Cauchyfolge in (U, dU). Dann
gibt es zu jedem Δ > 0 ein n0 â N mit
(3.6) ân,m â„ n0 : d(xn, xm) †dU(xn, xm) < Δ.
Insbesondere ist (xn)ân=1 auch eine Cauchyfolge bezuglich d und daher (wegen der Voll-
standigkeit von (X, d)) bezuglich d konvergent gegen ein a â U . Sei nun Δ > 0 beliebigund n0 â N mit(3.7)ân â„ n0 âp â N : dU(xn, xn+p) =d(xn, xn+p) +
âŁâŁdist(xn, X \ U)â1 â dist(xn+p, X \ U)â1âŁâŁ
<Δ
2.
Wegen d(xn, xn+p) â d(xn, a) und dist(xn+p, X \ U) â dist(a,X \ U) fur pââ ist diesnur moglich, wenn dist(a,X \ U) > 0 und somit a â U gilt. Fuhren wir nun in (3.7) denGrenzubergang fur pââ durch, so erhalten wir fur alle n â„ n0:
dU(xn, a) = d(xn, a) +âŁâŁdist(xn, X \ U)â1 â dist(a,X \ U)â1
âŁâŁ †Δ/2 < Δ.
Also gilt xn â a in dem metrischen Raum (U, dU) fur nââ. Damit ist die Vollstandig-keit von (U, dU) bewiesen. €
3.7. Bemerkung. Der Durchschnitt U â©V von zwei dichten offenen Teilmengen U, Veines metrischen Raums (X, d) ist ebenfalls dicht in (X, d).
Beweis. Sind x â X und Δ > 0 beliebig vorgegeben, so gibt es wegen der Dichtheitvon U in (X, d) ein u â U â© UΔ(x). Da U â© UΔ(x) offen ist gibt es ein ÎŽ â (0, Δ/2) mitUÎŽ(u) â Uâ©UΔ(x). Da auch V dicht liegt in (X, d), gibt es ein v â V â©UÎŽ(u) â V â©Uâ©UΔ(x).Also enthalt jede ΔâUmgebung von x ein Element von U â© V . Daher liegt U â© V dicht in(X, d). €
Insbesondere folgt mit dieser Bemerkung durch vollstandige Induktion, daĂ endlicheDurchschnitte dichter, offener Teilmengen eines metrischen Raums wieder dichte, offeneTeilmengen sind.
40 3. DER ABSTRAKTE MITTAGâLEFFLER-SATZ UND DER SATZ VON BAIRE
3.8. Satz von Baire. Sei (X, d) ein vollstandiger metrischer Raum und (Un)nâN eineabzahlbare Familie von dichten, offenen Teilmengen von X. Dann ist auch
âân=1 Un dicht
in (X, d).
Beweis. Wir setzen (X0, d) := (X, d) und definieren induktiv Xn+1 := Xn â©Un+1 furalle n â N0. Nach der Vorbemerkung sind die Mengen Xn dichte, offene Teilmengen von(X, d) mit Xn+1 â Xn fur alle n â N0. Versehen mit den Metriken dn := dXn sind dieRaume (Xn, dn) fur alle n â N vollstandig. Da die Metriken dn nach Lemma 3.6 aquivalentzu d|XnĂXn sind, sind die Inklusionsabbildungen in : Xn â Xn+1 stetig mit dichtem Bild.Nach dem abstrakten Satz von Mittag-Leffler (Satz 3.1) ist also
âân=1
Un =âân=0
Xn =âân=0
(i0 i1 · · · in)(Xn+1)
dicht in (X, d). €Haufig wenden wir den Satz von Baire auch in folgender Form an:
3.9. Folgerung. Sei (An)ân=1 eine Folge abgeschlossener Teilmengen eines vollstan-
digen, nicht leeren metrischen Raums (X, d) mitâân=1An = X. Dann ist intAn 6= â fur
wenigstens ein n â N.
Beweis. Wir wenden den Satz von Baire an auf die Mengen Un := X \ An, n â N.Ware intAn = â fur alle n â N, so ware Un = X fur alle n â N und daher nach dem Satzvon Baire der Durchschnitt
âân=1 Un =
âân=1(X \An) = â dicht in (X, d) im Widerspruch
zu X 6= â . €3.10. Lemma. Ist F ein Untervektorraum eines normierten Raums (E, â · â) mit
intF 6= â , so gilt schon E = F .
Beweis. Hat F einen inneren Punkt f , so gibt es ein Δ > 0 mit UΔ(f) = f+ΔBE â F .Da F ein Untervektorraum von E ist, folgt dann BE = 1
Δ(UΔ(f)â f) â F und somit auch
E =âr>0 rBE â F â E. €
3.11. Folgerung. Sei E ein KâVektorraum mit dimKE = â”0, d.h. es gibt eine abzahl-bar unendliche, linear unabhangige Teilmenge B = en;n â N von E mit E = LH(B).Dann gibt es keine Norm auf E bezuglich der E vollstandig ist. Insbesondere ist also jederunendlich dimensionale Banachraum schon uberabzahlbar unendlich dimensional.
Beweis. Ist â · â eine Norm auf E und B = en;n â N eine abzahlbar unendliche,linear unabhangige Teilmenge von E mit E = LH(B), so folgt mit Fn := LH(e1, . . . , en):Fn ist in (E, â · â) abgeschlossen (nach Folgerung 1.14) und erfullt E =
âân=1 Fn. Ware
(E, â · â) vollstandig, so gabe es nach Folgerung 3.9 und Lemma 3.10 ein n0 â N mitE = Fn0 im Widerspruch zu dimKE = â”0. €
3.12. Definition. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge A von X heiĂt
âą dicht in X, falls A = X.âą nirgends dicht in X, falls int(A) = â .âą von erster Kategorie oder mager in X, falls A abzahlbare Vereinigung von in X
nirgends dichten Teilmengen ist.âą von zweiter Kategorie oder nicht mager in X, falls A nicht von erster Kategorie
in X ist.
3.13. Folgerung (Kategoriensatz von Baire). Jeder nicht leere vollstandige metrischeRaum ist von zweiter Kategorie in sich.
3. DER ABSTRAKTE MITTAGâLEFFLER-SATZ UND DER SATZ VON BAIRE 41
Beweis. Sei (An)ân=1 eine Folge von nirgends dichten Teilmengen von X. Dann ist
X \An offen und dicht in X fur alle n â N. Nach dem Satz von Baire ist dann aber auchdie Menge
G :=âân=1
(X \ An) = X \âân=1
An
dicht in X. Wegen X 6= â muĂ X 6= âân=1An gelten. Also ist X von zweiter Kategorie in
sich. €Ubungsaufgaben zu Kapitel 3.
3.1. Aufgabe. Sei (fn)nâN eine Folge stetiger komplexwertiger Funktionen auf einemvollstandigen metrischen Raum X, so daĂ limnââ fn(x) existiert fur alle x â X.
(a) Zeigen Sie, daĂ eine nichtleere offene Teilmenge V in X und ein 0 < M < âexistieren, so daĂ sup|fn(x)| : x â V, n â N < M ist.
(b) Sei Δ > 0. Zeigen Sie, daĂ eine nichtleere offene Teilmenge V in X und einenaturliche Zahl N existieren, so daĂ |f(x) â fn(x)| †Δ ist fur alle x â V undn â„ N .Hinweis: Betrachte fur N â N die Mengen AN := x â X, |fm(x) â fn(x)| â€Î” fur m,n â„ N.
3.2. Aufgabe. Sei (X, d) ein vollstandiger metrischer Raum, X 6= â . Ein Punktx0 â X heiĂt isoliert, falls es ein Δ > 0 gibt mit UΔ(x0) = x0. Zeigen Sie:
(a) Hat (X, d) keine isolierten Punkte, so ist X uberabzahlbar.(b) Ist X abzahlbar, so liegt die Menge der isolierten Punkte dicht in (X, d).
3.3. Aufgabe. Sei f eine auf R definierte, reellwertige Funktion. Ist I ein nicht zueinem Punkt ausgeartetes Intervall, so heiĂt
Ïf (I) := supxâI
f(x)â infxâI
f(x)
die Oszillation von f auf I. Zeigen Sie:
(a) Fur jedes x â R existiert der Grenzwert
Ïf (x) := limÎŽâ0
Ïf ((xâ ÎŽ, x+ ÎŽ))
in [0,â]; er heiĂt die Oszillation von f in x.(b) Die Menge x â R : Ïf (x) ℠Δ ist abgeschlossen fur alle Δ > 0.(c) Die Menge
âân=1
x â R : Ïf (x) â„ 1
n.
ist die Menge aller Unstetigkeitspunkte von f .(d) Die Menge der Unstetigkeitspunkte von f ist genau dann von erster Kategorie in
R, wenn es eine dichte Menge gibt, in deren Punkten f stetig ist.
3.4. Aufgabe. Zeigen Sie: Es gibt stetige Funktionen auf [0, 1], die an keiner Stelledifferenzierbar sind.Hinweis: Betrachte
âân=1En mit
En :=
f â C[0, 1] ; sup
0<|h|â€1
âŁâŁâŁâŁf(t+ h)â f(t)
h
âŁâŁâŁâŁ > n â t â [0, 1]
.
KAPITEL 4
Der Satz von BanachâSteinhaus
4.1. Definition. Seien (E, â · âE) und (F, â · âF ) zwei normierte KâVektorraume.Eine Familie A linearer Abbildungen von E nach F heiĂt gleichstetig, falls es zu jederNullumgebung U in (F, â · âF ) eine Nullumgebung V in (E, â · âE) gibt mit A(V ) :=Av;A â A, v â V â U . Dies ist genau dann der Fall, wenn gilt
âΔ > 0âÎŽ > 0 âA â Aâx â E : âxâE < ÎŽ =â âAxâF < Δ.
Dies ist wiederum aquivalent zu
âΔ > 0 âÎŽ > 0âA â Aâx â E : âxâE †Ύ =â âAxâF †Δ.
Insbesondere ist jede gleichstetige Menge von linearen Abbildungen von E nach Fschon in L(E,F ) enthalten.
4.2. Lemma. Seien (E, â · âE), (F, â · âF ) zwei normierte KâVektorraume. Fur A âL(E,F ) gilt:
(a) Ist A gleichstetig, so ist fur jede in (E, â · âE) beschrankte Menge B auch dieMenge A(B) := Ax;A â A, x â B beschrankt in (F, â · âF ). Insbesondere istfur alle x â E die Menge A(x) := Ax;A â A beschrankt in (F, â · âF ).
(b) Genau dann ist A gleichstetig, wenn supAâA âAâ <â , d.h. wenn A in L(E,F )beschrankt ist.
Beweis. (a) Sei A gleichstetig. Da B beschrankt in E ist existiert ein C > 0 mitâxâE †C fur alle x â B. Wegen der Gleichstetigkeit von A gibt es zu Δ = 1 ein ÎŽ > 0 sodaĂ âAxâF †1 fur alle A â A und alle x â E mit âxâE †Ύ. Damit gilt fur alle A â A,x â B:
âAxâF =C + 1
ÎŽ
â„â„â„â„A(
ÎŽ
C + 1x
)â„â„â„â„F
<C + 1
ÎŽ.
Also ist A(B) beschrankt in (F, â · âF ). Da fur alle x â E die Menge x in (E, â · âE)beschrankt ist folgt auch der Zusatz.
(b) â=ââ erhalten wir, indem wir (a) auf die Einheitskugel BE von E anwenden.Sei nun umgekehrt C := supAâA âAâ < â und sei Δ > 0 beliebig. Fur alle x â Emit âxâE < ÎŽ := Δ
C+1und alle A â A gilt dann âAxâF †CâxâE < Δ. Also ist A
gleichstetig. €4.3. Satz von BanachâSteinhaus. Seien (E, â · âE), (F, â · âF ) zwei normierte Kâ
Vektorraume und sei A â L(E,F ). Ist die Menge B := x â E; A(x) ist beschrankt in Fvon zweiter Kategorie in E, so gilt schon B = E und A ist gleichstetig, also nach Lem-ma 4.2 beschrankt in L(E,F ).
Beweis. Als Durchschnitt von (wegen der Stetigkeit der Abbildungen A â A) abge-schlossenen Mengen ist die Menge M :=
âAâAA
â1(BF ) abgeschlossen in (E, â · âE). Furalle x â B existiert nach Definition von B ein nx â N mit âAxâF †nx fur alle A â A. Esfolgt x â nxM und damit
B ââân=1
nM.
42
4. DER SATZ VON BANACHâSTEINHAUS 43
Da nach Voraussetzung die Menge B von zweiter Kategorie in E ist, muĂ fur wenigstensein n0 â N die Menge n0M = n0M nicht leeres Inneres haben. Nun ist die Abbildungx 7â n0x eine Homoomorphie von E auf sich ist, so daĂ schon intM 6= â gilt. Insbesonderebesitzt M einen inneren Punkt x0. Es gibt also ein Ï > 0 mit UÏ(x0) â M . Fur alleu â BE gilt dann wegen Ï
2u+ x0 â UÏ(x0) âM und x0 âM :
âA â A âAuâF =2
Ï
â„â„â„A(Ï
2u+ x0
)â Ax0
â„â„â„F†4
Ï.
Also ist A in L(E,F ) normbeschrankt und daher nach Lemma 4.2 (b) gleichstetig. €4.4. Satz von der gleichmassigen Beschranktheit. Sei (E, â·âE) ein Banach-
raum und (F, â · âF ) ein normierter KâVektorraum. Fur A â L(E,F ) sind die folgendenAussagen aquivalent:
(a) âx â E : supAâA
âAxâF <â.
(b) A ist gleichstetig.(c) âC > 0âx â BE âA â A : âAxâF †C.(d) âC > 0âx â E âA â A : âAxâF †CâxâE.(e) sup
AâAâAâ <â.
Beweis. Die Aquivalenz von (c) und (d) zu (e) rechnet man unmittelbar nach. NachLemma 4.2 sind die Aussagen (b) und (e) aquivalent. (c)=â(a) ist offensichtlich und dieImplikation (a)=â(b) ist eine unmittelbare Folgerung aus dem Satz 4.3 von BanachâSteinhaus und dem Kategoriensatz 3.13 von Baire. €
In Lemma 1.3 hatten wir gezeigt:
4.5. Lemma. Jede Cauchyfolge in einem normierten Raum (E, â · âE) ist beschrankt.
4.6. Satz. Seien (E, â·âE), (F, â·âF ) zwei normierte KâVektorraume und sei (An)ân=1
eine Folge in L(E,F ).
(a) Ist die Menge
C := x â E ; (Anx)ân=1 ist Cauchyfolge in F
von zweiter Kategorie in E, so ist schon C = E und (An)ân=1 ist gleichstetig.
(b) Ist (F, â · âF ) vollstandig und ist die Menge
L := x â E ; Ax := limnââ
Anx existiert in Fvon zweiter Kategorie in E, so ist schon L = E und die Abbildung A : E â Fist stetig und linear.
Beweis. (a) Ist x â C, so ist Anx;n â N nach Lemma 4.5 in F beschrankt. Nachdem Satz 4.3 von BanachâSteinhaus ist die Folge (An)
ân=1 also gleichstetig. Man rechnet
leicht nach, daĂ C und damit auch C ein Untervektorraum von E ist. Da C von zweiterKategorie in E ist, folgt intC 6= â und damit nach Lemma 3.10 schon C = E, d.h. Cliegt dicht in E. Sei nun x â E beliebig und Δ > 0 beliebig vorgegeben. Wegen derGleichstetigkeit von An;n â N gibt es ein ÎŽ > 0 mit
ân â Nâu â UÎŽ(0) : âAnuâF < Δ
3.
Da C in E dicht liegt, gibt es ein u â C mit âx â uâE < ÎŽ und da Anu;n â N eineCauchyfolge ist gibt es ein n0 â N mit
ân,m â„ n0 : âAnuâ AmuâF < Δ
3.
44 4. DER SATZ VON BANACHâSTEINHAUS
Damit folgt fur alle n,m â„ n0
âAnxâ AmxâF †âAn(xâ u)âF + âAnuâ AmuâF + âAm(uâ x)âF < Δ
3+Δ
3+Δ
3= Δ .
Also ist x â C und es folgt E = C.(b) Wegen der Vollstandigkeit von F ist L = C. Nach Teil (a) folgt also L = E und
die Gleichstetigkeit der Folge An;n â N. Wegen der Linearitat des Grenzwertes ist diehierdurch definierte Abbildung A : E â F linear. Nach Lemma 4.2 (b) ist An;n â Nnormbeschrankt in L(E,F ). Wegen der Stetigkeit der Norm folgt also fur alle x â BE:
âAxâF = limnââ
âAnxâF †lim supnâN
âAnâ <â.
Also ist A stetig und âAâ †lim supnâN âAnâ. €
4.7. Folgerung. Sei (E, â · âE) ein Banachraum und (F, â · âF ) ein normierter KâVektorraum und sei (An)
ân=1 eine Folge in L(E,F ).
(a) Existiert fur alle x â E der Grenzwert Ax := limnââAnx, so ist die hierdurchdefinierte Abbildung A : E â F linear und stetig.
(b) Ist auch F vollstandig und ist fur alle x â E die Folge Anx;n â N eine Cauchy-folge in F , so ist die durch Ax := limnââAnx, x â E, definierte Abbildung linearund stetig.
In beiden Fallen ist âAâ †lim supnâN âAnâ.Beweis. In beiden Fallen ist C = L = E. Nach dem Kategoriensatz 3.13 von Baire
ist E von zweiter Kategorie in sich. Mit Satz 4.6 und dem zugehorigen Beweis folgen dieBehauptungen. €
4.8. Folgerung. Seien (E, â · âE) und (F, â · âF ) zwei Banachraume und sei (An)ân=1
eine Folge in L(E,F ) mit
(a) âx â E : Anx ; n â N ist normbeschrankt in F .(b) C := x â E ; (Anx)
ân=1 ist Cauchyfolge in F ist dicht in E.
Dann ist schon E = C und die durch Ax := limnââAnx, x â E, definierte Abbildung istlinear und stetig.
Beweis. Nach dem Satz 4.4 von der gleichmaĂigen Beschranktheit ist (An)ân=1 gleich-
stetig. Nach dem Beweis zu Satz 4.6 folgt aus der Dichtheit von C und der Gleichstetigkeitvon (An)
ân=1 die Behauptung. €
4.9. Satz. Seien E,F,G normierte KâVektorraume und sei E vollstandig. Fur einebilineare Abbildung B : E Ă F â G sind die folgenden Aussagen aquivalent:
(a) B ist stetig.(b) B ist komponentenweise stetig, d.h. fur alle x â E ist die Abbildung y 7â B(x, y)
stetig und fur alle y â F ist die Abbildung x 7â B(x, y) stetig.(c) Fur jede Nullfolge (xn)
ân=1 in E und alle y â F gilt B(xn, y) â 0 fur nââ und
fur alle Nullfolgen (yn)ân=1 in F und alle x â F gilt B(x, yn) â 0 fur nââ.
(d) B ist stetig in (0, 0).(e) âBâ := sup
xâBE ,yâBF
âB(x, y)âG <â.
(f) âx â E : supyâBF
âB(x, y)âG <â und ây â F : supxâBE
âB(x, y)âG <â.
Beweis. Die Implikationen (a)=â(d) sowie (e)=â(f) sind klar und nach Lemma 1.8sind die Aussagen (b), (c) und (f) aquivalent.
4. DER SATZ VON BANACHâSTEINHAUS 45
(b)=â(a): Sei (x, y) â E Ă F beliebig und sei (xn, yn) â (x, y) in E Ă F fur nââ.Insbesondere gilt dann xn â x und yn â y fur n â â. Sei nun Δ > 0 beliebig. NachVoraussetzung (b) gibt es ein nF â N mit
(4.1) ân â„ nF : âB(x, yn)âB(x, y)âG < Δ
2.
Ebenfalls nach Voraussetzung (b) ist E = u â E ; (B(u, yn))ân=1 ist konvergent in G.
Da E als Banachraum nach dem Kategoriensatz 3.13 von Baire von zweiter Kategorie insich ist, folgt nach Satz 4.6, daĂ (B(·, yn))ân=1 eine gleichstetige Folge in L(E,G) ist. Esgibt daher ein ÎŽ > 0, so daĂ
(4.2) âu â UÎŽ(0)ân â N : âB(u, yn)âG < Δ
2.
Zu ÎŽ gibt es wegen xn â x fur nââ ein nE â N mit
(4.3) ân â„ nE : âxâ xnâE < ÎŽ .
Mit Hilfe von (4.1), (4.2) und (4.3) folgt fur alle n â„ n0 := maxnE, nF:
âB(x, y)âB(xn, yn)âG †âB(x, y)âB(x, yn)âG + âB(xâ xn, yn)âG < Δ
2+Δ
2= Δ .
Also ist B in allen (x, y) â E Ă F stetig.(d)=â(e): Sei nun (d) erfullt. Dann gibt es zu Δ = 1 ein ÎŽ > 0 mit âB(x, y)âG < 1 fur
alle x â E, y â F mit âxâE †Ύ, âyâF †Ύ. Fur alle u â BE, v â BF folgt dann
âB(u, v)âG = ÎŽâ2âB(ÎŽu, ÎŽv)âG < ÎŽâ2.
Also gilt (e). €
Ubungsaufgaben zu Kapitel 4.
4.1. Aufgabe. Wir betrachten eine Folge (Sn)nâN numerischer Quadraturformeln aufdem Intervall [a, b],
Sn : C[a, b] ââ C, f 7ânâi=0
a(n)i f(x
(n)i ).
Hierbei seien die Stutzstellen x(n)0 , . . . , x
(n)n paarweise verschiedene Punkte im Intervall
[a, b] und a(n)0 , . . . , a
(n)n â C. Beweisen Sie den folgenden Satz von Szego:
Genau dann gilt fur alle f â C[a, b]
(4.4) limnââ
Sn(f) =
â« b
a
f(x) dx ,
wenn die beiden folgenden Bedingungen erfullt sind:
(a) Es gibt eine dichte Teilmenge P von C[a, b], so daĂ (4.4) fur alle f â P gilt.
(b) supnâNân
i=0 |a(n)i | <â.
Hinweis: Zeigen Sie, daĂ Sn stetig und linear ist und berechnen Sie âSnâ.4.2. Aufgabe. Die Bezeichnungen seien wie in Aufgabe 4.1.
(a) Sei nun a(n)i > 0 fur alle n â N und 0 †i †n. Beweisen Sie: Genau dann gilt
(4.4) fur alle f â C[a, b], wenn (4.4) fur alle Polynome gilt.
46 4. DER SATZ VON BANACHâSTEINHAUS
(b) Bei der summierten Trapezregel verwendet man die Stutzstellen x(n)i := a+ i bâa
n,
i = 0, . . . , n und
Sn(f) :=bâ a
n
(f(a) + f(b)
2+
nâ1âi=1
f(x(n)i )
).
Zeigen Sie, daĂ (4.4) fur alle f â C[a, b] erfullt ist.
KAPITEL 5
Die Satze von der offenen Abbildung und vom abgeschlossenenGraphen
5.1. Definition. Eine lineare Abbildung T : E â F zwischen zwei normierten K-Vektorraumen E und F heiĂt offen, falls fur jede in E offene Menge Ω auch die BildmengeT (Ω) offen in F ist.
Fur den Rest dieses Kapitels seien E und F stets zwei normierte K-Vektorraume.
5.2. Lemma. Fur eine lineare Abbildung T : E â F sind die folgenden Aussagenaquivalent:
(a) T ist offen.(b) Fur jede Nullumgebung U in E ist T (U) eine Nullumgebung in F .(c) âΔ > 0âÎŽ > 0 : UF
ÎŽ (0) â T (UEΔ (0)).
(d) ân â N : T (UE2ân(0)) ist eine Nullumgebung in F .
Beweis. Die Aquivalenz von (b) und (d) rechnet man leicht nach.Ist (a) erfullt und U eine beliebige Umgebung von 0, so ist intU offene Umgebung von
0 und daher nach Voraussetzung T (intU) offen. Wegen 0 = T (0) â T (intU) â T (U) istT (U) also eine Umgebung von 0 in F . Damit folgt (b).
Ist (b) erfullt und Δ > 0 beliebig, so ist nach Voraussetzung T (UEΔ (0)) eine Umgebung
von 0 in F . Es gibt also ein ÎŽ > 0 mit UFÎŽ â T (UE
Δ (0)). Also ist (c) erfullt.Sei nun (c) erfullt und Ω â E offen. Ist T (x0) ein beliebiger Punkt aus T (Ω), x0 â Ω,
so gibt es ein Δ > 0 mit UEΔ (x0) â Ω. Es folgt UE
Δ (0) = UEΔ (x0) â x0 â Ω â x0. Nach
Voraussetzung (c) gibt es also ein ÎŽ > 0 mit UFÎŽ (0) â T (UE
Δ (0)). Es folgt: UFÎŽ (0) â
T (UEΔ (0)) â T (Ωâ x0) = T (Ω)â Tx0 und damit UF
ÎŽ (Tx0) = Tx0 + UFÎŽ (0) â T (Ω). Also
ist jeder Punkt Tx0 aus Ω ein innerer Punkt von T (Ω). Die Bildmenge T (Ω) ist daheroffen. €
5.3. Beispiel. Sei E ein normierter Raum und F ein abgeschlossenener Untervektor-raum von E. Dann ist der kanonische Epimorphismus Ï : E â E/F stetig und offen.
Beweis. Die Stetigkeit von Ï wurde schon in Lemma 1.20 (c) gezeigt. Sei Δ > 0beliebig. Fur alle x â E mit âÏ(x)âE/F < Δ gibt es nach Definition der Norm â · âE/F einf â F mit âx + fâE < Δ. Wegen Ï(x + f) = Ï(x) fur alle f â F folgt also Ï(UE
Δ (0)) âUE/FΔ (Ï(0)). Nach Lemma 5.2 ist Ï also eine offene Abbildung. €
5.4. Lemma. Seien (E, â·âE), (F, â·âF ) zwei normierte KâVektorraume. Ist T : E â Flinear und offen, so ist T schon surjektiv.
Beweis. Da E offene Teilmenge von (E, â·âE) und T eine offene, lineare Abbildung ist,ist T (E) offener Untervektorraum von (F, â · âF ). Nach Lemma 3.10 folgt T (E) = F . €
5.5. Satz von der offenen Abbildung. Seien (E, â·âE), (F, â·âF ) zwei normierteKâVektorraume, E sei vollstandig. Ist A â L(E,F ) und A(E) von zweiter Kategorie in(F, â · âF ), so gilt:
(a) A(E) = F , d.h. A ist surjektiv.
47
48 5. DIE SATZE VON DER OFFENEN ABBILDUNG UND VOM ABGESCHLOSSENEN GRAPHEN
(b) A ist eine offene Abbildung.
Beweis. Nach Lemma 5.4 genugt es (b) zu beweisen. Wegen Lemma 5.2 genugt eshierfur zu zeigen, daĂ A(UE
2ân(0)) eine Nullumgebung in F ist. Wir zeigen zunachst:
(i) Fur alle n â N ist A(UE2ân(0)) eine Nullumgebung in F .
Sei also n â N beliebig. Ist x â E beliebig, so gibt es ein k â N mit 1kâxâE < 2ânâ1 also
mit x â kUE2ânâ1(0). Es folgt E =
ââk=1 kU
E2ânâ1(0) also auch A(E) â ââ
k=1 kA(UE2ânâ1(0)).
Da A(E) von zweiter Kategorie in F ist, gibt es ein k â Nmit int(kA(UE
2ânâ1(0)))6= â . Da
die Multiplikation mit k eine Homoomorphie von F auf sich ist, folgt auch intA(UE2ânâ1(0)) 6=
â .Ist y â intA(UE
2ânâ1(0)) beliebig, so ist also intA(UE2ânâ1(0))â y eine Nullumgebung in
F . Wegen
intA(UE2ânâ1(0))â y âintA(UE
2ânâ1(0)) + intA(UE2ânâ1(0)) â A(UE
2ânâ1(0)) + A(UE2ânâ1(0))
âA(UE2ânâ1(0) + UE
2ânâ1(0)) â A(UE2ân(0))
ist auch A(UE2ân(0)) eine Nullumgebung in F .
(ii) Fur alle n â N ist A(UE2ânâ2(0)) â A(UE
2ân(0)). Insbesondere ist also A(UE2ân(0))
eine Nullumgebung in F .
Sei y â A(UE2ânâ2(0)) beliebig. Wir konstruieren induktiv zwei Folgen (xk)
âk=0 und
(yk)âk=1 in E bzw. F , so daĂ fur alle l â N die folgende Bedingung (El) erfullt ist:
(El)âxkâ1âE †2âkân, yk â A(UE
2ânâ1âk(0)) fur 1 †k †l
Axk = yk â yk+1 fur 1 †k †l â 1
Mit y1 = y und x0 = 0 ist offensichtlich (El) erfullt.Seien nun schon x0, . . . , xlâ1 â E und y1, . . . , yl â F so konstruiert, daĂ (El) erfullt
ist. Wir konstruieren xl und yl+1: Wegen (i) ist ylâA(UE2ânâ1â(l+1)(0)) eine Umgebung von
yl â A(UE2ânâ1âl(0)). Es gibt also ein xl â UE
2ânâ1âl(0) und ein yl+1 â A(UE2ânâ1â(l+1)(0)) mit
yl â yl+1 = Axl. Damit ist dann (El+1) erfullt und die induktive Konstruktion vollendet.
Mit sk :=âk
l=1 xl gilt fur alle p â N:
âsk â sk+pâE =â„â„â„
pâj=1
xk+j
â„â„â„Eâ€
pâj=1
âxk+jâE â€pâj=1
2ânâkâjâ1 < 2ânâkâ1 â 0 fur k ââ .
(sk)âk=1 ist also eine Cauchyfolge in E und damit wegen der Vollstandigkeit von E kon-
vergent gegen ein x â E. Wegen
âskâE â€kâ
l=1
âxlâE â€kâ
l=1
2ânâlâ1 < 2ânâ1
folgt âxâE †2ânâ1, also x â UE2ânâ1(0) â UE
2ân(0).Wir zeigen nun noch, daĂ Ax = y gilt. Hierzu beachten wir unter Verwendung von
(El) und y1 = y:
Ask =kâ
l=1
Axl =kâ
l=1
(yl â yl+1) = y â yk+1 .
Sei nun Δ > 0 beliebig. Da A stetig ist, gibt es ein ÎŽ > 0 mit A(UEÎŽ (0)) â UF
Δ/2(0). Wahlen
wir k0 â N mit 2ânâ2âk0 < ÎŽ, so folgt fur alle k â„ k0:
yk+1 â A(UE2ânâ2âk(0)) â A(UE
ÎŽ (0)) â UFΔ/2(0) â UF
Δ (0).
5. DIE SATZE VON DER OFFENEN ABBILDUNG UND VOM ABGESCHLOSSENEN GRAPHEN 49
und damit ây â AskâF = âyk+1âF < Δ. Also gilt yk â 0 in F fur k â â. Wegen derStetigkeit von A folgt
Ax = limkââ
Ask = limkââ
(y â yk+1) = y.
Damit ist die Behauptung (b) bewiesen. €
5.6. Folgerung. Seien E und F zwei Banachraume. Fur eine stetige lineare Abbil-dung A : E â F sind aquivalent:
(a) A ist eine offene Abbildung.(b) A ist surjektiv.(c) A(E) ist von zweiter Kategorie in F .
Beweis. Nach Lemma 5.4 folgt (b) aus (a) und nach dem Kategoriensatz von Baireist (c) eine Konsequenz von (b). Ist (c) erfullt, so gilt (a) nach dem Satz von der offenenAbbildung. €
5.7. Satz von der inversenen Abbildung. Seien E,F zwei Banachraume. IstA â L(E,F ) bijektiv, so ist Aâ1 â L(F,E), d.h. A ist ein topologischer Isomorphismus.
Beweis. Sei Ω â E eine beliebige offene Menge. Nach Folgerung 5.6 ist dann dieMenge (Aâ1)â1(Ω) = A(Ω) offen in F . Also ist Aâ1 stetig. €
Bisher haben wir nur lineare Abbildungen betrachtet, die auf dem ganzen Ausgangs-raum definiert waren. Wir wollen den Begriff der linearen Abbildung jetzt etwas allgemei-ner fassen und auch lineare Abbildungen zulassen, die nur auf einem Untervektorraumdefiniert sind.
5.8. Definition. Seien E,F zwei KâVektorraume. Ein linearer Operator T von Enach F ist eine auf einem Untervektorraum D(T ) definierte lineare Abbildung mit Wertenin F . Wir schreiben T : E â D(T ) â F . Wir nennen D(T ) den Definitionsbereich von Tund definieren
âą den Kern von T durch kerT := N(T ) := x â D(T );Tx = 0,âą das Bild T durch ranT := R(T ) := Tx; x â D(T ) undâą den Graphen von T durch G(T ) := (x, Tx); x â D(T ).
Zwei lineare Operatoren T und S heiĂen gleich, S = T , genau dann, wenn D(T ) = D(S)und Tx = Sx fur alle x â D(T ) = D(S) gilt. T heiĂt eine Erweiterung von S und Seine Einschrankung von T , falls gilt D(T ) â D(S) und Tx = Sx fur alle x â D(S). Wirschreiben dann auch S â T . Offensichtlich gilt
S â T ââ G(S) â G(T ) und S = T ââ G(S) = G(T ).
5.9. Definition. Seien (E, â · âE) und (F, â · âF ) zwei normierte Raume. Ein linearerOperator T : E â D(T ) â F heiĂt abgeschlossenen, falls sein Graph G(T ) in E Ă Fabgeschlossen ist. Hierbei versehen wir E Ă F mit der durch â(e, f)âEĂF := âeâE + âfâFfur alle (e, f) â E Ă F definierten Norm. Die durch
âxâT := âxâE + âTxâF fur alle x â D(T )
definierte Norm heiĂt die Graphennorm fur T . Durch x 7â (x, Tx) ist dann ein isometri-scher Isomorphismus von (D(T ), â · âT ) auf (G(T ), â · âEĂF |G(T )) gegeben.
Die Einfuhrung der Graphennorm hat den Vorteil, daĂ T : (D(T ), â · âT ) â F stetigist, wenn wir den Definitionsbereich mit der Graphennorm versehen.
50 5. DIE SATZE VON DER OFFENEN ABBILDUNG UND VOM ABGESCHLOSSENEN GRAPHEN
Sind E = H und F = K Pra-Hilbertraume, so werden H Ă K und D(T ) wieder zuPra-Hilbertraumen vermoge der durch
ă(x, y), (u, v)ă := ăx, uăH + ăy, văK fur alle x, u â H, y, v â Kund
ăx, uăT := ăx, uăH + ăTx, TuăK fur alle x, u â D(T )
definierten Skalarprodukte. Die hier durch definierten Normen sind (wie man leicht veri-fiziert) aquivalent zu den oben definierten Normen â · âHĂK bzw. â · âT .
5.10. Lemma. Seien (E, â · âE) und (F, â · âF ) zwei Banachraume. Fur einen linearenOperator T : E â D(T ) â F gilt: T ist genau dann abgeschlossen, wenn (D(T ), â · âT )vollstandig ist.
Beweis. Da die Abbildung x 7â (x, Tx) eine lineare Isometrie von (D(T ), â · âT ) aufG(T ) versehen mit der durch â·âEĂF induzierten Norm ist und (EĂF, â·âEĂF ) vollstandigist, ist (D(T ), â·âT ) genau dann vollstandig, wenn G(T ) vollstandig ist und dies ist genaudann der Fall, wenn G(T ) abgeschlossener Untervektorraum von (EĂF, â · âEĂF ) ist. €
5.11. Definition. Seien (E, â ·âE) und (F, â ·âF ) zwei normierte Raume. Ein linearerOperator T : E â D(T ) â F heiĂt abschlieĂbar, falls es einen abgeschlossenen OperatorS : E â D(S) â F mit T â S gibt.
Fur einen linearen Operator T : E â D(T ) â F heiĂt
S(T ) :=
y â F ;
Es gibt eine Folge (xn)ân=1 in D(T )
mit âxnâE â 0 und Txn â y in F fur nââ
der separierende Raum zu T .
5.12. Lemma. Seien (E, â · âE) und (F, â · âF ) zwei normierte Raume und sei T : E âD(T ) â F ein linearer Operator.
(a) Fur T sind aquivalent:(i) T ist abschlieĂbar.(ii) S(T ) = 0.(iii) G(T ) â© (0 Ă F ) = (0, 0).
(b) Ist T abschlieĂbar, so gibt es genau eine minimale abgeschlossene Erweiterung T
von T . Es ist G(T ) = G(T ). T heiĂt die AbschlieĂung von T .
Beweis. (a) (i) =â (ii): Ist T abschlieĂbar, so existiert ein abgeschlossener OperatorS â T . Sei nun y â S(T ) beliebig. Dann gibt es eine Folge (xn)
ân=1 in D(T ) â D(S)
mit âxnâE â 0 und Sxn = Txn â y in F fur n â â. Es folgt (0, y) â G(S) = G(S)und damit S(0) = y. Da S linear ist, ist dies nur moglich, wenn y = 0 gilt. Also folgtS(T ) = 0.
(ii) =â (iii): Fur alle y â F mit (0, y) â G(T ) gibt es eine Folge (xn)ân=1 in D(T ) mit
xn â 0 in E und Txn â y in F . Es folgt y â S(T ). Ist also S(T ) = 0, so muĂ (iii)gelten.
(iii) =â (i): Sei nun (iii) erfullt. Wir definieren
D(T ) := x â E ;ây â F : (x, y) â G(T ) .Fur alle x â D(T ) gibt es wegen der Voraussetzung (iii) genau ein T (x) := y â F mit
(x, T (x)) â G(T ). Man rechnet nach, daĂ die hierdurch definierte Abbildung T : E âD(T ) â F ein linearer Operator ist. Aus der Definition von T folgt G(T ) = G(T ). Alsoist T eine abgeschlossene Erweiterung von T .
(b) Ist T abschlieĂbar, so gilt (iii) nach (a) und aus dem Beweis zu (iii) =â (i) folgt
die Existenz einer abgeschlossenen Erweiterung T mit G(T ) = G(T ). Sei nun S â T
5. DIE SATZE VON DER OFFENEN ABBILDUNG UND VOM ABGESCHLOSSENEN GRAPHEN 51
eine beliebige abgeschlossene Erweiterung von T . Dann ist G(T ) â G(S) und daher auch
G(T ) = G(T ) â G(S) = G(S). Also gilt T â S und es folgt, daĂ T die eindeutigbestimmte minimale abgeschlossene Erweiterung von T ist. €
Seien nun Aj : E â D(Aj) â F , j = 1, 2, 3, S : F â D(S) â G und T : H â D(T ) âE lineare Operatoren und λ â K. Wir definieren lineare Operatoren A1 + A2, SA1 undλA1 durch
D(A1 + A2) :=D(A1) â©D(A2) und (A1 + A2)x := A1x+ A2x fur alle x â D(A1 + A2),
D(SA1) :=x â D(A1) ; A1x â D(S) und (SA1)x := S(A1x) fur alle x â D(SA1),
D(λA1) :=D(A1) und (λA1)x := λ(A1x) fur alle x â D(λA1).
Fur die so eingefuhrten Rechenoperationen rechnet man leicht nach, daĂ die Assoziativ-gesetze
(A1 + A2) + A3 =A1 + (A2 + A3)
(SA1)T =S(A1T )
und das erste Distributivgesetz
(A1 + A2)T = (A1T ) + (A2T )
gelten. Fur das zweite Distributivgesetz gilt im Allgemeinen nur die abgeschwachte Form
S(A1 + A2) â (SA1) + (SA2) .
DaĂ das Gleichheitszeichen beim zweiten Distributivgesetz im Allgemeinen nicht gilt, zeigtschon das folgende einfache
Beispiel. Sei E 6= 0 und sei A1 := idE, A2 := âidE mit D(A1) := D(A2) := Eund sei S : E â D(S) â E definiert durch D(S) := 0 und S(0) := 0. Dann giltD(A1 + A2) = E und (A1 + A2)x = 0 â D(S) fur alle x â E sowie D((SA1) + (SA2)) =D(SA1) â©D(SA2) = 0.
Ist A : E â D(A) â F ein injektiver Operator, so definieren wir Aâ1 : F â D(Aâ1) âE durch D(Aâ1) := ranA und Aâ1y := x fur y = A(x) â ranA = D(Aâ1). Dann ist auchAâ1 ein injektiver Operator und es gilt ranAâ1 = D(A).
5.13. Lemma. Seien (E, â · âE) und (F, â · âF ) zwei normierte Raume und sei T : E âD(T ) â F ein injektiver linearer Operator. Dann ist T genau dann abgeschlossen, wennTâ1 abgeschlossen ist.
Beweis. Es ist G(Tâ1) = (Tx, x) ; x â D(T ). Die Abbildung
Κ : E Ă F â F Ă E mit Κ(x, y) := (y, x) fur alle (x, y) â E Ă F
ist offensichtlich linear und erfullt âΚ(x, y)âFĂE = âyâF + âxâE = â(x, y)âEĂF fur alle(x, y) â E Ă F , ist also ein isometrischer Isomorphismus mit Κ(G(T )) = G(Tâ1). G(T )ist also genau dann abgeschlossen in EĂF , wenn G(Tâ1) in F ĂE abgeschlossen ist. €
5.14. Lemma. Seien (E, â · âE), (F, â · âF ) und (G, â · âG) normierte Raume, sei T âL(E,F ) und sei S : F â D(S) â G ein abgeschlossener Operator. Dann gilt:
(a) T ist ein abgeschlossener linearer Operator und auf D(T ) = E sind die Graphen-norm â · âT und die Ausgangsnorm â · âE aquivalent.
(b) ST ist ein abgeschlossener Operator.
Beweis. (a) Sei ((xn, Txn))ân=1 eine beliebige Folge aus G(T ) mit (xn, Txn) â (x, y)
in EĂF fur nââ. Insbesondere gilt dann xn â x in E und Txn â y in F fur nââ.
52 5. DIE SATZE VON DER OFFENEN ABBILDUNG UND VOM ABGESCHLOSSENEN GRAPHEN
Wegen der Stetigkeit von T folgt auch Txn â Tx in F fur nââ. Also ist y = Tx und(x, y) = (x, Tx) â G(T ). Fur alle x â E gilt ferner
âxâE †âxâT = âxâE + âTxâF †âxâE + âTââxâE = (1 + âTâ)âxâE ,d.h. die Normen â · âE und â · âT sind aquivalent.
(b) Sei ((xn, (ST )xn))ân=1 eine beliebige Folge aus G(ST ) mit (xn, STxn) â (x, y) in
EĂG fur nââ. Insbesondere hat man xn â x in E und wegen der Stetigkeit von T auchTxn â Tx in F fur nââ. Wegen xn â D(ST ) ist Txn â D(S) und (ST )xn = S(Txn)fur alle n â N. Die Folge ((Txn, (ST )xn))
ân=1 ist also eine Folge aus G(S), welche in F ĂG
gegen (Tx, y) konvergiert. Da S ein abgeschlossener Operator ist, folgt Tx â D(S) undS(Tx) = y. Also ist x â D(ST ) und (ST )x = y, d.h. (x, y) â G(ST ), d.h. G(ST ) istabgeschlossen. €
Bemerkung. In den Ubungen wird gezeigt, daĂ es stetige lineare Operatoren S undabgeschlossene lineare Operatoren T gibt fur die ST nicht abgeschlossen ist.
5.15. Lemma. Seien (E, â·âE) und (F, â·âF ) zwei normierte Raume und S â L(E,F ).Ist T : E â D(T ) â F ein linearer Operator, so gilt:
(a) S + T ist abgeschlossen genau dann, wenn T abgeschlossen ist.(b) S+T ist abschlieĂbar genau dann, wenn T abgeschlieĂbar ist. Es ist dann S + T =
S + T .
Beweis. (a) â=ââ Sei also S + T abgeschlossen und sei (x, y) â G(T ) beliebig vor-gegeben. Dann gibt es eine Folge (xn)
ân=1 in D(T ) mit (xn, Txn) â (x, y) in E Ă F fur
nââ. Insbesondere folgt xn â x in E und wegen der Stetigkeit von S auch Sxn â Sxin F fur nââ. Also gilt
(xn, (S + T )xn) = (xn, Sxn + Txn) â (x, Sx+ y) fur nââ .
Da S + T abgeschlossen ist, folgt x â D(S + T ) = D(S) â©D(T ) = D(T ) und Sx+ Tx =(S+T )x = Sx+y also auch Tx = y. Es ist also (x, y) â G(T ). G(T ) ist also abgeschlossenin E Ă F .
ââ=â Sei nun T ein abgeschlossener Operator. Wegen âS â L(E,F ) und T = âS +(T+S) folgt aus der bereits gezeigten Beweisrichtung â=ââ, daĂ auch S+T abgeschlossenist.
(b) als Ubungsaufgabe. €
5.16. Satz vom abgeschlossenen Graphen. Seien (E, â · âE) und (F, â · âF ) zweiBanachraume. Fur einen linearen Operator T : E â D(T ) â F sind die folgenden dreiAussagen aquivalent:
(a) T ist abgeschlossen und D(T ) ist in (E, â · âE) abgeschlossen.(b) T : (D(T ), â · âE|D(T )) â (F, â · âF ) ist stetig und D(T ) ist in (E, â · âE) abge-
schossen.(c) T : (D(T ), â · âE|D(T )) â (F, â · âF ) ist stetig und G(T ) ist in (E Ă F, â · âEĂF )
abgeschossen.
Beweis. â(a)=â(b)â: Sei also (a) erfullt. Da T abgeschlossenen ist und D(T ) in Eabgeschlossen ist, ist (wegen der Vollstandigkeit von E) auch (D(T ), â · âE|D(T )) ein Ba-nachraum. Da G(T ) in dem Banachraum (EĂF, â·âEĂF ) abgeschlossen ist, ist auch G(T )bezuglich der durch â · âEĂF induzierten Norm ein Banachraum. Dieser ist isometrischisomorph zu (D(T ), â · âT ). Also ist auch (D(T ), â · âT ) ein Banachraum. Die Identitat
id : (D(T ), â · âT ) â (D(T ), â · âE|D(T ))
5. DIE SATZE VON DER OFFENEN ABBILDUNG UND VOM ABGESCHLOSSENEN GRAPHEN 53
ist wegen âxâE †âxâE +âTxâF = âxâT offensichtlich stetig und bijektiv. Nach dem Satzvon der inversen Abbildung ist also auch
id : (D(T ), â · âE|D(T )) â (D(T ), â · âT )
stetig. Es gibt also eine Konstante C > 0 mit âxâE + âTxâF = âxâT †CâxâE fur allex â D(T ). Es folgt
supxâD(T ),âxâEâ€1
âTxâF †C <â
und damit die Stetigkeit von T : (D(T ), â · âE|D(T )) â (F, â · âF ). Also gilt (b).â(b)=â(c)â: Sei nun (b) erfullt. Da D(T ) in E abgeschlossen ist, ist (D(T ), â·âE|D(T ))
ein Banachraum. Wegen der Stetigkeit von T : (D(T ), â · âE|D(T )) â (F, â · âF ) ist nachLemma 5.14 der Graph G(T ) ein abgeschlossener Unterraum von D(T )ĂF versehen mitder von â · âEĂF induzierten Norm also auch von (E Ă F, â · âEĂF ). Also gilt (c).
â(c)=â(a)â: Aus (c) folgt wegen der Stetigkeit von T : (D(T ), â·âE|D(T )) â (F, â·âF ),daĂ fur alle x â D(T ) gilt
âxâE †âxâT = âxâE + âTxâF †âxâE + âTââxâE .Die Normen â·âE und â·âT sind daher auf D(T ) aquivalent. Da (D(T ), â·âT ) isometrischisomorph zu dem abgeschlossenen Unterraum G(T ) des Banachraums (EĂF, â·âEĂF ) unddaher vollstandig ist, ist auch (D(T ), â·âE|D(T )) vollstandig und damit ein abgeschlossenerUnterraum von (E, â · âE). Also gilt (a). €
5.17. Folgerung. Seien E1, E2 zwei normierte KâVektorraume und seien F1, F2
zwei Banachraume. Seien weiter Jj â L(Fj, Ej), j = 1, 2 und T â L(E1, E2) gegeben. IstJ2 injektiv und ist S : F1 â F2 linear mit J2S = TJ1, so ist auch S stetig.
Beweis. Nach dem Satz 5.16 vom abgeschlossenen Graphen genugt es zu zeigen, daĂG(S) abgeschlossen ist in E1ĂE2 . Sei also (x, y) â G(S) beliebig vorgegeben. dann gibtes eine Folge (xn)
ân=1 in F1 mit xn â x in F1 und Sxn â y in F2 fur n â â. Wegen
der Stetigkeit von J1, J2 und T und der Vertauschungsbedingung folgt J2Sxn â J2y undJ2Sxn = TJ1xn â TJ1x = J2Sx in E2 fur n â â. Also muĂ J2y = J2Sx gelten. Da J2
injektiv ist, folgt Sx = y und daher (x, y) = (x, Sx) â G(S). Damit ist gezeigt, daĂ G(S)abgeschlossen ist. €
Ubungsaufgaben zu Kapitel 5.
5.1. Aufgabe. Seien E und F zwei Banachraume und sei T : E â F ein stetigerlinearer Operator, so daĂ dim F/T (E) =: N <â gilt, d.h. so daĂ das Bild von T von end-licher Kodimension in F ist. Zeigen Sie, daĂ in diesem Fall das Bild von T abgeschlossenist.
Hinweis: Man beachte, daĂ T (E) einen algebraischen Komplementarraum der Dimen-sion N besitzt.
5.2. Aufgabe. Seien X0 und X1 Untervektorraume eines normierten Raumes (Y, â·â),auf denen Normen â · â0 bzw. â · â1 gegeben seien, so daĂ (X0, â · â0) und (X1, â · â1)Banachraume sind und die kanonischen Einbettungsabbildungen
(Xj, â · âj) â (Y, â · â), x 7â x
stetig sind (j = 0, 1). Zeigen Sie:
(a) Ist T : (Y, â · â) â (Y, â · â) eine stetige lineare Abbildung mit TX0 â X0, so istauch die Abbildung T |X0 : (X0, â · â0) â (X0, â · â0) stetig.
54 5. DIE SATZE VON DER OFFENEN ABBILDUNG UND VOM ABGESCHLOSSENEN GRAPHEN
(b) Die Untervektorraume Xâ := X0 â©X1 und
XÎŁ := X0 +X1 = x0 + x1 : x0 â X0, x1 â X1werden, versehen mit den durch
âxââ := maxj=0,1
âxâj und âxâÎŁ := infâx0â0 + âx1â1 : x = x0 + x1definierten Normen zu Banachraumen.
5.3. Aufgabe. Fuhren Sie den Beweis zu Lemma 5.15 (b) aus.
5.4. Aufgabe. Geben Sie ein Beispiel eines stetigen linearen Operators S und einesabgeschlossenen linearen Operators T , so daĂ ST nicht abgeschlossen ist.
KAPITEL 6
Der Satz von HahnâBanach
6.1. Definition. Sei E ein RâVektorraum. Eine Abbildung p : E â R heiĂt subli-neares Funktional, falls die beiden folgenden Bedingungen erfullt sind.
(a) âx â E â0 < λ â R : p(λx) = λp(x).(b) âx, y â E : p(x+ y) †p(x) + p(y).
Insbesondere sind also alle reellwertigen R-linearen Funktionale und alle Halbnormensublineare Funktionale.
6.2. Lemma. Sei E ein RâVektorraum und p : E â R ein sublineares Funktional aufE. Sei F ein Untervektorraum, x0 â E \ F und f : F â R linear mit f(x) †p(x) furalle x â F , so gibt es ein lineares Funktional f0 : F0 := LH(x0 âȘ F ) â R mit
f0 †p auf F0 und f0|F ⥠f .
Beweis. Fur alle x, y â F gilt:
f(x)â f(y) = f(xâ y) †p(xâ y) †p(x+ x0) + p(âx0 â y)
und daher
âp(âx0 â y)â f(y) †p(x+ x0)â f(x) .
Hieraus folgt
supyâF
âp(âx0 â y)â f(y) †infxâF
p(x+ x0)â f(x) .
Insbesondere existiert also ein Îł â R mit
(6.1) âx, y â F : âp(âx0 â y)â f(y) †γ †p(x+ x0)â f(x) .
Wir definieren nun f0 : F0 â R durch f0(x + λx0) := f(x) + λγ fur alle x â F, λ â R.Dann ist f0 offensichtlich linear und erfullt f0|F ⥠f .
Wir zeigen noch f0 †p auf F0. Sei also u = x + λx0 â F0 beliebig, x â F , λ â R. Istλ = 0, so ist u = x â F und daher nach Voraussetzung f0(u) = f(u) †p(u). Ist λ > 0, soersetzen wir in (6.1) x durch 1
λx und erhalten aus der rechten Ungleichung
γ †p(1
λx+ x0)â f(
1
λx),
woraus nach Multiplikation mit λ wegen der positiven Homogenitat von p und f folgt:
f0(λx0) = λγ †p(x+ λx0)â f(x) = p(u)â f(x)
folgt. Hieraus erhalt man durch Addition von f(x) wegen der Linearitat von f
f0(u) = f(x) + λγ †p(u) .
Im verbleibenden Fall λ < 0 ersetzen wir in (6.1) in der linken Ungleichung y durch 1λx
und erhalten
âp(âx0 â 1
λx)â f(
1
λx) †γ.
55
56 6. DER SATZ VON HAHNâBANACH
Durch Multiplikation mit λ folgt wegen der positiven Homogenitat von p und der Linea-ritat von f ,
f0(λx0) = λγ †(âλ)p(â1
λxâ x0)â f(x) †p(u)â f(x) .
Hieraus folgt wie im vorhergehenden Fall f0(u) = f(x) + λγ †p(u). Damit ist gezeigt,daĂ f0(u) †p(u) fur alle u â F0 erfullt ist. €
6.3. Satz von Hahn (1927) und Banach (1929). Sei E ein RâVektorraum, p :E â R ein sublineares Funktional auf E und F ein Untervektorraum von E. Ist f : F â Rlinear mit f †p auf F , so gibt es ein lineares Funktional fâ : E â R mit
(6.2) fâ|F ⥠f und fâ †p auf E.
Beweis. Sei
F :=
(G, fG);
G ist Untervektorraum von E mit F â G,
fG : Gâ R ist linear mit fG|F ⥠f und fG †p auf G
.
Wegen (F, f) â F ist F 6= â . Auf F ist eine teilweise Ordnung gegeben durch
(G, fG) †(H, fH) :ââ G â H und fG ⥠fH |G .Sei nun K eine linear geordnete Teilmenge von F . Wir setzen
G0 :=â
(G,fG)âKG und fur u â G0 : fG0(u) := fG(u) falls u â G und (G, fG) â K .
Da K linear geordnet ist, ist G0 ein Untervektorraum und fG0 wohldefiniert. Man rechnetweiter nach, daĂ fG0 linear ist und fG0|G ⥠fG fur alle (G, fG) â K gilt. Wegen fG †p aufG fur alle (G, fG) â F gilt auch fG0 †p auf G0. Damit ist gezeigt: Jede linear geordneteTeilmenge K von F besitzt eine obere Schranke in F . Nach dem Lemma von Zorn gibtes also wenigstens ein maximales Element (H, fH) in F .
Ist H 6= E, so gibt es ein x0 â E \ H und damit nach Lemma 6.2 ein linearesFunktional fH0 : H0 := LH(x0 âȘ H) â R mit fH0|H ⥠fH und fH0 †p auf H0. Dannist aber (H0, fH0) ein echt groĂeres Element aus F im Widerspruch zur maximalen Wahlvon (H0, fH0). Daher muĂ H0 = E gelten und fâ := fH0 erfullt (6.2). €
6.4. Beispiel. Es gibt ein lineares Funktional LIM: `â(N,R) â R auf dem Raum`â(N,R) der beschrankten Folgen mit Werten in R mit
(6.3) lim infnââ
xn †LIM(x) †lim supnââ
xn
fur alle x = (xn)ân=1 â `â(N,R). Insbesondere gilt LIM(x) = limnââ xn fur alle konver-
genten Folgen x = (xn)ân=1.
Beweis. Fur x = (xn)ân=1 â `â(N,R) definieren wir p(x) := lim supnââ xn. Man
rechnet unmittelbar nach, daĂ p ein sublineares Funktional auf `â(N,R) ist (welchesubrigens weder linear noch eine Halbnorm ist). Der Raum c(N,R) der konvergenten re-ellwertigen Folgen ist ein Untervektorraum auf dem durch f(x) := limnââ xn fur allex = (xn)
ân=1 â c(N,R) ein lineares Funktional f : c(N,R) â R mit f ⥠p auf c(N,R)
definiert ist. Nach dem Satz 6.3 von HahnâBanach gibt es also ein lineares Funktio-nal LIM: `â(N,R) â R, welches f auf ganz `â(N,R) fortsetzt und die rechte Unglei-chung in (6.3) erfullt. Zum Beweis der linken Ungleichung beachten wir, daĂ fur allex = (xn)
ân=1 â `â(N,R) gilt
âLIM(x) = LIM(âx) †p(âx) = lim supnââ
(âxn) = â lim infnââ
xn ,
woraus die linke Ungleichung in (6.3) durch Multiplikation mit â1 folgt. €
6. DER SATZ VON HAHNâBANACH 57
Spater, in Satz 6.8, werden wir sehen, daĂ man LIM sogar so finden kann, daĂ nocheinige zusatzliche Eigenschaften erfullt sind.
6.5. Satz von HahnâBanach fur reelle und komplexe Vektorraume. SeiE ein KâVektorraum (K = R oder K = C) und sei p : E â [0,â) eine Halbnorm auf E.Ist F eine Untervektorraum von E und f : F â K ein Kâlineares Funktional auf F mit|f(x)| †p(x) fur alle x â F , so gibt es ein Kâlineares Funktional f0 : E â K auf E mit|f0(x)| †p(x) fur alle x â E und f0|F ⥠f .
Beweis. (a) Wir fuhren den Beweis zunachst fur den Fall K = R. Nach Voraussetzunggilt auf F : f †|f | †p. Nach dem Satz 6.3 von HahnâBanach gibt es also ein linearesFunktional f0 : E â R mit f0|F ⥠f und f0 †p auf ganz E. Da dann auch
âf0(x) = f0(âx) †p(âx) = p(x)
fur alle x â E gelten muĂ, folgt |f0| †p auf E.(b) Fall K = C (Bohnenblust und Sobcyk): Da R ein Teilkorper von C ist, ist jeder
CâVektorraum insbesondere auch ein RâVektorraum. Ist nun f : F â C Câlinear mit|f | †p auf F , so sind die Funktionale
f1 := Re f, x 7â Re f(x)
f2 := Im f, x 7â Im f(x)
reell linear und erfullen |fj| †|f | †p auf F fur j = 1, 2. Nach (a) gibt es also einreell lineares Funktional g1 : E â R mit |g1| †p auf E und g1|F ⥠Re f . Wir setzeng2(x) := âg1(ix) fur alle x â E und definieren f0 : E â C durch
f0(x) := g1(x) + ig2(x) = g1(x)â ig1(ix) fur alle x â E.Zu zeigen ist nun:
(i) f0 ist komplex linear.(ii) |f0| †p auf E.(iii) f0|F ⥠f .
Zu (i): Da g1 und g2 reell linear sind, ist f0 reell linear. Sei nun x â E und λ = α+iÎČ âC beliebig mit α, ÎČ â R. Dann gilt
f0(λx) = g1(αx+ iÎČx)â ig1(iαxâ ÎČx) = αg1(x) + ÎČg1(ix)â iαg1(ix) + iÎČg1(x) =
= λg1(x)â iλg1(ix) = λf0(x)
Also ist f0 komplex linear.Zu (ii) Sei x â E beliebig. Dann gibt es ein Ï â [0, 2Ï) mit f0(x) = eiÏ|f0(x)|. Es folgt:
|f0(x)| = eâiÏf0(x) = f0(eâiÏx) = Re f0(e
âiÏx) = g1(eâiÏx) †p(eâiÏx) = p(x)
und damit (ii).Zu (iii): Nach Konstruktion ist g1|F ⥠Re f . Nun gilt fur alle x â F :
g1(ix) + ig1(x) = Re f(ix) + i Im f(ix) = f(ix) = if(x) = iRe f(x)â Im f(ix) =
= ig1(x)â Im f(x),
d.h. es gilt Im f(x) = âg1(ix). Damit folgt fur alle x â F : f0(x) = g1(x) â ig1(ix) =Re f(x) + i Im f(x) = f(x). €
6.6. Lemma. Sei F ein abgeschlossener Untervektorraum eines normierten Raums E.Ist F0 ein weiterer Untervektorraum von E mit F â F0 und dimF0/F < â, so ist auchF0 abgeschlossen.
58 6. DER SATZ VON HAHNâBANACH
Beweis. F0/F ist als endlich dimensionaler Unterraum des nach Lemma 1.20 nor-mierten Raums E/F nach 1.17 abgeschlossen in E/F . Da der kanonische EpimorphismusÏ : E â E/F nach Lemma 1.20 stetig ist, ist auch F0 = Ïâ1(F0/F ) abgeschlossen inE. €
6.7. Folgerungen. Sei (E, â · â) ein normierter KâVektorraum.
(a) Ist F ein Untervektorraum von E und f : F â K ein stetiges lineares Funktionalauf F , so gibt es ein stetiges lineares Funktional f0 : E â K auf E mit f0|F ⥠fund âf0âEâČ = âfâF âČ.
(b) Ist F ein abgeschlossener Untervektorraum von E und x0 â E \ F , so gibt es einf0 â E âČ mit âf0âEâČ = 1, f0|F ⥠0 und f0(x0) = infxâF âx0 â xâ.
(c) Zu jedem x0 â E mit âx0â = 1 gibt es ein f0 â E âČ mit âf0âEâČ = 1 = f0(x0).
Beweis. (a) p : E â [0,â) mit p(x) := âfâF âČâxâ fur alle x â E ist eine Halbnormauf E mit |f | †p auf F . Nach der Variante 6.5 des Satzes von HahnâBanach gibt es alsoein lineares Funktional f0 : E â K mit f0|F ⥠f und |f0(x)| †p(x) = âfâF âČâxâ fur allex â E. Insbesondere ist f0 stetig und âf0âEâČ â€ âfâF âČ . Wegen âfâF âČ â€ âf0âEâČ folgt dieBehauptung.
(b) Wir setzen F0 :=LH(F âȘx0). Da F ein abgeschlossener Untervektorraum von Eist, ist F0 nach Lemma 6.6 abgeschlossen und es ist d := dist(x0, F ) = infxâF âx0âxâ > 0.Durch f(x + λx0) := λd fur alle x â F , λ â K ist ein lineares Funktional f : F0 â Kgegeben mit f |F ⥠0 und
âfâF âČ0 = sup0 6=yâF0
|f(y)|âyâ = sup
06=λâK,xâF
|f(x+ λx0)|âx+ λx0â = sup
0 6=λâK,xâF
|λ|dâx+ λx0â =
= d sup06=λâK
supxâF
1
â 1λx+ x0â
= d sup06=λâK
1
infuâF âu+ x0â = 1 .
Nach Teil (a) gibt es also ein f0 â E âČ mit âf0âEâČ = 1 und f0|F0 ⥠f . Dieses stetige lineareFunktional hat die gewunschten Eigenschaften.
(c) erhalt man aus (b) in dem Spezialfall F = 0. €
Als Anwendung beweisen wir die schon angekundigte Verscharfung von 6.4:
6.8. Satz (BanachâGrenzwerte). Es gibt ein lineares Funktional L auf `â(N,C) sodaĂ gilt:
(a) L(1) = 1, wobei 1 die konstante Folge (1)ân=1 bezeichne.(b) L(x) â„ 0 fur alle x = (xn)
ân=1 â `â(N,C) mit xn reell und xn â„ 0 fur alle n â N.
(c) Mit Sx := (xn+1)ân=1 fur alle x â `â(N,C) gilt L(Sx) = L(x) fur alle x â
`â(N,C).(d) L ist stetig mit âLâ = 1.
Funktionale mit den Eigenschaften (a)-(c) heiĂen auch Banach-Grenzwerte. Sie habenzusatzlich folgende Eigenschaften:
(e) Fur alle x = (xn)ân=1 â `â(N,C) gilt
|L(x)| †lim supnââ
|xn| .
(f) Fur alle reellwertigen Folgen x = (xn)ân=1 â `â(N,R) gilt
lim infnââ
xn †L(x) †lim supnââ
xn .
(g) Fur alle konvergenten Folgen x = (xn)ân=1 â `â(N,C) gilt L(x) = limnââ xn.
6. DER SATZ VON HAHNâBANACH 59
Beweis. Sei F := ran(1â S). Dies ist ein abgeschlossener Untervektorraum von`â(N,C). Wegen 0 â F ist dist(1, F ) †1. Wir zeigen zunachst:
(i) dist(1, F ) = 1.Zum Beweis gehen wir indirekt vor und nehmen an, es ist dist(1, F ) < c < 1. Dann
gibt es eine Folge x = (xn)ân=1 â `â(N,C) mit
supnâN
|xn â xn+1 â 1| < c .
Es folgt mit Δn := xn â xn+1 â 1:
x1 â xn+1 = n+nâ
k=1
Δk fur alle n â N .
Wegen |Δk| < c fur alle k â N erhalten wir:
|x1 â xn+1| â„ nâ ncââ fur nââim Widerspruch zur Beschranktheit der Folge x = (xn)
ân=1. Also muĂ doch (i) gelten.
(ii) Wir fassen `â(N,C) als RâVektorraum auf und F als RâUntervektorraum von`â(N,C). Nach Folgerung 6.7 (b) gibt es ein Râlineares Funktional LR : `â(N,C) â Rmit âLRâ = 1, LR|F ⥠0 und LR(1) = dist(1, F ) = 1. Fur alle x = (xn)
ân=1 â `â(N,C)
definieren wir reellwertige Folgen Re(x) := (Re(xn))ân=1, Im(x) := (Im(xn))
ân=1. Hiermit
ist x = Re(x) + i Im(x). Durch direktes Nachrechnen sieht man, daĂ durch L(x) :=LR(Re(x)) + iLR(Im(x)) ein C-lineares Funktional L : `â(N,C) â C definiert ist. NachKonstruktion erfullt L die Bedingung (a) und wegen Re(xâSx) = (1âS) Re(x), Im(xâSx) = (1â S) Im(x)) fur alle x â `â(N,C) und LR|ran(1âS) ⥠0 auch (c).
(iii) Wir zeigen nun âLâ = 1: Sei hierzu x = (xn)ân=1 â `â(N,C) beliebig mit âxââ â€
1. Sei Ï â R mit |L(x)| = eiÏL(x). Wegen der Linearitat von L und âLRâ = 1 folgt
|L(x)| = L(eiÏx) = Re(L(eiÏx)) = LR(Re(eiÏx)) †âRe(eiÏx)ââ †âxââ †1 .
Also ist L stetig mit âLâ †1. Wegen L(1) = 1 = â1ââ folgt âLâ = 1.(iv) Sei nun x = (xn)
ân=1 â `â(N,R) mit xn â„ 0 fur alle n â N. Es folgt 0 †xn †âxââ
fur alle n â N und hieraus âx â 12âxââ1â †1
2âxââ. Wegen (a) und âLâ = 1 = L(1)
ergibt sich
|L(x)â 1
2âxââ| = |L(xâ 1
2âxââ1)| †1
2âxââ
und hieraus (wegen L(x) = LR(x) â R):
â1
2âxââ †L(x)â 1
2âxââ †1
2âxââ,
d.h. 0 †L(x) †âxââ. Damit ist (b) gezeigt.(v) Zu (e): Sei x = (xn)
ân=1 â `â(N,C) und Δ > 0 beliebig und α := lim supnâN |xn|.
Dann gibt es ein n0 â N, so daĂ fur alle n â„ n0 gilt: |xn| < α + Δ. Insbesondere folgtâSn0(x)ââ = supkâN |xk+n0| †α+ Δ. Es folgt wegen (c):
|L(x)| = |L(Sn0(x))| †âSn0(x)ââ †α + Δ .
Da dies fur alle Δ > 0 gilt, erhalten wir (e).(vi) Zu (f): Sei x = (xn)
ân=1 â `â(N,R) beliebig. Mit α := lim infnââ xn und ÎČ :=
lim supnââ xn gilt
lim supnââ
|xn â 1
2(α+ ÎČ)| †ÎČ â α
2
Nach (e) und (a) erhalten wir
|L(x)â α + ÎČ
2| = |L(xâ α+ ÎČ
21)| †ÎČ â α
2.
60 6. DER SATZ VON HAHNâBANACH
Wegen L(x) â R folgt hieraus
âÎČ â α
2†L(x)â α + ÎČ
2†ÎČ â α
2,
woraus sich (f) ergibt.(vii) Zu (g): Sei nun x = (xn)
ân=1 eine in C konvergente Folge. Dann sind die Folgen
Re(x) und Im(x) konvergente reellwertige Folgen. Nach (f) gilt also L(x) = L(Re(x)) +iL(Im(x)) = limnââ Re(xn) + i limnââ Im(xn) = limnââ xn. €
Eine stetige lineare Abbildung P : E â E von einem normierten KâVektorraum(E, â · â) in sich heiĂt stetige Projektion, falls P 2 = P gilt und ein Unterraum F von(E, â · â) heiĂt stetig projiziert, falls es eine stetige Projektion P â L(E) mit ranP = Fgibt. Wegen F = ker 1 â P ist F dann insbeondere abgeschlossen. Nach dem Projek-tionssatz ist jeder abgeschlossene Unterraum eines Hilbertraums stetig projiziert (sogarmit einer orthogonalen Projektion). In Banachraumen, die nicht topologisch isomorph zueinem Hilbertraum sind, ist dies im Allgemeinen nicht mehr richtig. Mit Hilfe des Fort-setzungssatzes von Hahn und Banach kann man jedoch zeigen, daĂ endlich dimensionaleUntervektorraume und abgeschlossenen Untervektorraume von endlicher Kodimension ei-nes normierten Raums stets stetig projiziert sind. Zunachst zeigen wir ein Lemma vonAuerbach:
6.9. Lemma (von Auerbach). Sei (F, â · â) ein normierter Raum mit dimF = n <â.Dann gibt es x1, . . . , xn â F und xâČ1, . . . , x
âČn â F âČ mit âxjâ = âxâČjâ = xâČj(xj) = 1 fur
j = 1, . . . , n und xâČj(xk) = 0 fur alle j, k â 1, . . . , n mit j 6= k. Insbesondere ist x1, . . . , xneine Basis von F .
Beweis. Sei e1, . . . , en eine Basis von F . Dann hat jedes Element x â F eine eindeu-tige Darstellung der Form
x =nâj=1
αj(x)ej
mit α1(x), . . . , αn(x) â K. Die durch
V (u1, . . . , un) := det(αj(uk))j,k=1,...n (u1, . . . , un â F )
definierte Abbildung V : F n â K ist dann eine stetige, alternierende Multilinearformauf F n. Wegen der Kompaktheit von (âBF )n gibt es x1, . . . , xn â F mit âxjâ = 1 furj = 1, . . . , n und mit
V (x1, . . . , xn) = maxu1,...,unââBF
|V (u1, . . . , un)|.Fur j = 1, . . . , n definieren wir nun stetige lineare Funktionale xâČj : F â K durch
xâČj(x) :=V (x1, . . . , xjâ1, x, xj+1, . . . , xn)
V (x1, . . . , xn).
Direkte Rechnung zeigt nun, daĂ x1, . . . , xn, xâČ1, . . . , x
âČn die gewunschten Eigenschaften
besitzen. €Wir zeigen nun die angekundigten Projektionsaussagen:
6.10. Satz. Sei (E, â · â) ein normierter K-Vektorraum und n â N.
(a) Ist F ein Untervektorraum der Dimension n von E, so gibt es eine ProjektionP â L(E) mit ranP = F und âPâ †n.
(b) Ist F ein abgeschlossener Untervektorraum der Kodimension n von E und istΔ > 0 beliebig, so gibt es eine Projektion P â L(E) mit ranP = F und âPâ â€n+ 1 + Δ.
6. DER SATZ VON HAHNâBANACH 61
Beweis. (a) Nach dem Auerbachlemma gibt es x1, . . . , xn â F , xâČ1, . . . , xâČn â F âČ mit
âxjâ = âxâČjâ = xâČj(xj) = 1 fur j = 1, . . . , n und xâČj(xk) = 0 fur alle j, k â 1, . . . , n mitj 6= k. Nach dem Satz von Hahn-Banach (in der Form von Folgerung 6.7 (a)) gibt esyâČ1, . . . y
âČn â E âČ mit yâČj|F ⥠xâČj und âyâČjâEâČ = âxâČjâF âČ = 1, j = 1, . . . , n. Durch
P (y) :=nâj=1
yâČj(x)xj (y â E)
ist also eine stetige lineare Abbildung mit Bild in F auf E definiert. Wegen
âP (y)â â€nâj=1
|yâČj(x)|âxjâ â€nâj=1
âyâČjâEâČâxâ · |âxjâ = nâxâ
ist âPâ †n. Ist x â F beliebig, so hat x eine eindeutige Darstellung der Form
x =nâ
k=1
αkxk mit α1, . . . , αn â K.
Es folgt
P (x) =nâj=1
yâČj(x)xj =nâj=1
nâ
k=1
αkyâČj(xk)xj =
nâj=1
nâ
k=1
αkxâČj(xk)xj =
nâ
k=1
αkxk = x.
Insbesondere folgt also P 2 = P und ranP = F .(b) Wegen dimE/F = n <â gibt es nach dem Auerbachlemma Punkte Ο1, . . . , Οn â
E/F und stetige lineare Funktionale ΟâČ1, . . . , ΟâČn â (E/F )âČ mit âΟjâE/F = âΟâČjâ(E/F )âČ = 1
und ΟâČj(Οk) = ÎŽj,k fur alle j, k â 1, . . . , n. Bezeichnet Ï : E â E/F den kanonischenEpimorphismus, so ist xâČj := ΟâČj Ï â E âČ mit âxâČjâEâČ â€ âΟâČjâ(E/F )âČâÏâ = 1 fur j = 1, . . . , n.Nach Definition der Norm im Quotientenraum gilt
1 = âΟjâE/F = infxâΟj
âxâ (j = 1, . . . , n).
Insbesondere gibt es also zu Δ > 0 Elemente xj â E mit Ï(xj) = Οj und âxjâ < 1 + Δn
fur j = 1, . . . , n. Wegen xâČj(xk) = ΟâČj(Οk) = ÎŽj,k fur alle j, k â 1, . . . , n sind die Vektorenx1, . . . , xn linear unabhangig und der von diesen Vektoren erzeugte Untervektorraum F0
hat die Dimension n.Wir definieren nun fur alle x â E:
Qx := xânâ
k=1
xâČk(x)xk , Px := (1âQ)x =nâ
k=1
xâČk(x)xk .
Wie im Beweis zu (a) sieht man P (und damit auch Q = 1âP ist eine stetige Projektionmit kerQ = ranP = F0 Mit der Dreiecksungleichung folgt fur alle x â E:
âQ(x)â †âxâ+nâ
k=1
|xâČk(x)| · âxkâ †âxâ ·(1 + n
(1 +
Δ
n
)) †(n+ 1 + Δ)âxâ
und somit âQâ †n + 1 + Δ. Wegen F = kerÏ â kerxâČj, j = 1, . . . , n, gilt Q(x) = x furalle x â F und daher F â ranQ. Da F von der Kodimension n in E ist und kerQ = F0
die Dimension n hat, muĂ F = ranQ gelten. €6.11. Trennungssatz von HahnâBanach. Sei (E, â ·â) ein normierter KâVektor-
raum und seien A,B zwei disjunkte, konvexe, nicht leere Teilmengen von E.
(a) Ist A offen, so gibt es ein f â E âČ und ein Îł â R mit
âa â A, b â B : Re f(a) < Îł †Re f(b).
62 6. DER SATZ VON HAHNâBANACH
(b) Ist A kompakt und B abgeschlossen, so gibt es f â E âČ, Îł â R und Δ > 0 mit
âa â A, b â B : Re f(a) < Îł â Δ < Îł < Re f(b).
Beweis. (i) Sei zunachst K = R vorausgesetzt.(a) Seien a0 â A und b0 â B fest gewahlt. Mit x0 := b0 â a0 gilt: C := x0 +AâB ist
eine offene, konvexe Nullumgebung in E. Wir definieren p : E â [0,â) durch
p(x) := infÏ > 0 ; x â ÏC .Man rechnet nach, daĂ p sublinear ist. Wegen Aâ©B = â ist x0 /â C und daher p(x0) â„ 1.Wir setzen F := LHx0 und definieren ein lineares Funktional f0 : F â R durchf0(λx0) := λ fur alle λx0 â F , λ â R. Es folgt:
âλ â [0,â) : f0(λx0) =λ †λp(x0) = p(λx0),
âλ â (ââ, 0) : f0(λx0) =λ < 0 †p(λx0)
und damit f0(x) †p(x) auf F . Nach dem Satz 6.3 von HahnâBanach gibt es also einlineares Funktional f : E â R mit f |F ⥠f0 und f †p auf E. Insbesondere ist f †1 aufC und daher
â1 †f auf â C.
Fur alle x â V := C â© (âC) ist also |f(x)| †1. Da V eine konvexe Nullumgebung ist,folgt f â E âČ. Ferner gilt fur alle a â A, b â B:
f(a)â f(b) + 1 = f(aâ b+ x0) †p(aâ b+ x0) < 1,
da aâ b+ x0 â C und C offen ist. Also gilt
âa â A, b â B : f(a) < f(b).
Insbesondere ist f nicht konstant, also f(E) = R. Wir setzen nun Îł := supaâA f(a) .Ware Îł â f(A), also Îł = f(a) fur ein a â A, so gabe es, da A offen ist, ein ÎŽ > 0 mit(1 ± ÎŽ)a â A und es wurde folgen (1 ± ÎŽ)Îł = (1 ± ÎŽ)f(a) â f(A) im Widerspruch zurDefinition von Îł. Also ist Îł /â f(A) und es folgt
âa â A, b â B : Re f(a) < Îł †Re f(b).
(b) Da A kompakt und B abgeschlossen ist mit Aâ©B = â , ist dist(A,B) > 0. es gibtalso ein ÎŽ > 0 mit dist(A,B) > ÎŽ. Es folgt daher (A+UÎŽ(0))â©B = â . Da A+UÎŽ(0) offenund konvex ist, gibt es nach (a) ein f â E âČ und ein Îł1 > 0 mit
âa â A+ UÎŽ(0), b â B : Re f(a) < Îł1 †Re f(b).
Da f stetig ist, ist f(A) eine kompakte Teilmenge von (ââ, Îł1). Es gibt also ein Δ1 > 0mit f(a) < Îł1 â Δ1. Mit Îł := Îł1 â Δ1/2 und Δ := Δ1/2 folgt die Behauptung.
(ii) Sei nun K = C. Indem man E zunachst als RâVektorraum auffaĂt, findet mangemaĂ (i) ein stetiges, reellâlineares Funktional f1 : E â R mit den gewunschten Eigen-schaften. Sodann definiert man fur alle x â E: f(x) := f1(x)â if1(ix) und rechnet nach,daĂ f komplexâlinear ist. Es folgt f â E âČ und f hat wegen Re f = f1 die gewunschtenEigenschaften. €
6. DER SATZ VON HAHNâBANACH 63
Ubungsaufgaben zu Kapitel 6.
6.1. Aufgabe. (a) Zeigen Sie, daĂ in jedem normierten Raum X gilt:
âxâ = sup|Ï(x)| ; Ï â X âČ, âÏâ †1.(b) Ist X ein normierter Raum und U ein Untervektorraum, so sind aquivalent:
(i) U liegt dicht in X.(ii) Falls Ï â X âČ und Ï|U = 0, so gilt Ï = 0.
6.2. Aufgabe. Sei X ein Banachraum und M ein Unterraum von X. Der AnnihilatorMâ„ von M ist definiert als
Mâ„ := Ï â X âČ ; Ï(x) = 0 fur alle x âM â X âČ.
Sei nun M ein abgeschlossener Unterraum von X. Zeigen Sie:
(a) Die Abbildung
s : M âČ â X âČ/Mâ„, s(Ï) := Ï+Mâ„,
mit einer Hahn-Banach Fortsetzung Ï von Ï auf X, ist ein isometrischer Iso-morphismus von M âČ auf X âČ/Mâ„, wenn X âČ/Mâ„ mit der Quotientennorm versehenist.
(b) Sei Ï : X â X/M die Quotientenabbildung. Dann ist die Abbildung
t : (X/M)âČ âMâ„, t(Ï) := Ï Ïein isometrischer Isomorphismus von (X/M)âČ auf Mâ„.
6.3. Aufgabe. Sei X ein normierter Raum. Mit X âČâČ bezeichnet man den Dualraumvon X âČ, er wird Bidual von X genannt.
(a) Zeigen Sie, daĂ die Abbildung
i : X â X âČâČ, (i(x))(Ï) := Ï(x)
eine lineare Isometrie ist.
Die Abbildung i ist i.a. nicht surjektiv. Ein Banachraum heiĂt reflexiv, falls die Abbildungi surjektiv ist.
(b) Zeigen Sie, daĂ abgeschlossene Unterraume reflexiver Raume wieder reflexiv sind.
6.4. Aufgabe. (a) Zeigen Sie: Jeder Banachraum kann isometrisch in
`â(I) := (xi)iâI ; xi â C, â(xi)iâIââ := supiâI
|xi| <â
eingebettet werden fur eine geeignete Indexmenge I.(b) Jeder separable Banachraum kann isometrisch in `â(N) eingebettet werden.
6.5. Aufgabe. Zeigen Sie: Jeder Banachraum E ist Quotient eines `1(I)-Raumes nacheinem abgeschlossenen Unterraum.
Hinweis: Wahlen Sie I = x â E : âxâ †1.
KAPITEL 7
Banachalgebren: Erste Eigenschaften
Weiterhin sei stets K der Korper der reellen oder komplexen Zahlen.
7.1. Definition. Sei R eine Algebra uberK. Wir nennen R eine normierte KâAlgebra,falls auf R eine Norm â · â gegeben ist, so daĂ (R, â · â) ein normierter KâVektorraum
ist und so daĂ â · â submultiplikativ ist, d.h.
âa, b â R : âabâ †âaâ · âbâ .Eine vollstandige normierte KâAlgebra nennen wir auch eine Banachalgebra.
Beispiele von Banachalgebren sind uns schon mehrfach im Rahmen dieser Vorlesungbegegnet. Wir wollen uns nun systematischer mit der Theorie der Banachalgebren beschaf-tigen.
7.2. Satz. Sei R eine KâAlgebra, die mit einer Norm â · âR versehen sei, so daĂ gilt:
(i) (R, â · âR) ist ein Banachraum.(ii) Fur alle x â R sind die linearen Abbildungen
L(x) :R â R , y 7â xy und
R(x) :R â R , y 7â yx stetig.
Dann gibt es eine zu â · âR aquivalente Norm â · â auf R mit den folgenden Eigenschaften:
(a) âx, y â R : âxyâ †âxâ · âyâ, d.h. (R, â · â) ist eine Banachalgebra.(b) Besitzt R ein Einselement 1, so kann â · â zusatzlich so gewahlt werden, daĂ
â1â = 1 gilt.
Beweis. Wir betrachten den Banachraum
(E, â·âE) :=
(R, â · âR) falls R ein Einselement 1 besitzt,
(RâK · 1, â · âE) sonst,
wobei âa+ k · 1âE := âaâR + |k| fur alle a â R, k â K .Die Abbildung L : R â L(E) mit L(x)(a+ k · 1) := xa+ kx fur alle x, a â R, k â K istein Monomorphismus (wegen L(x) = 0 =â 0 = L(x)(1) = x) mit L(1) = idE falls R einEinselement besitzt. Nach Definition der Operatornorm in L(E) gilt fur alle x â R:
âL(x)âL(E) = supuâBE
âL(x)uâE â„ âx 1
â1âE · 1âE =âxâR
â1âE .
Damit folgt
(7.1) âx â R : âxâR †â1âE · âL(x)âL(E) .
Durch âxâ := âL(x)âL(E) fur alle x â R ist also eine submultiplikative Norm auf Rgegeben. Besitzt R ein Einselement 1, so gilt wegen L(1) = idE: â1â = âL(1)âL(E) = 1.
Wir zeigen, daĂ ranL = L(R) vollstandig ist. Sei also (L(xn))ân=1 eine beliebige
Cauchyfolge in L(R). Wegen der Vollstandigkeit von L(E) folgt L(xn) â T bezuglichâ · âL(E) fur ein T â L(E). Dann gibt es zu jedem Δ > 0 ein n0 â N, so daĂ fur allen,m â„ n0 gilt:
âxn â xmâR †âL(xn)â L(xm)âL(E) · â1âE < Δ ,
64
7. BANACHALGEBREN: ERSTE EIGENSCHAFTEN 65
wobei die linke Ungleichung aus (7.1) folgt. Die Folge (xn)ân=1 ist also eine Cauchyfolge in
R und konvergiert daher (wegen der Vollstandigkeit von R) gegen ein x â R bezuglichâ · âR. Fur alle a+ k · 1 â E, a â R, k â K, gilt dann bei nââ:
L(xn)(a+ k · 1) = xna+ kxn = R(a)xn + kxn â R(a)x+ kx = xa+ kx = L(x)(a+ k · 1),
da R(a) : R â R nach Voraussetzung stetig ist. Wegen L(xn)(a + k · 1) â T (a + k · 1)fur nââ, folgt T = L(x) â L(R). Damit ist die Vollstandigkeit von L(R) gezeigt.
Die Abbildung L : R â L(R) ist also ein Algebrenisomorphismus von der Algebra Rauf die Banachalgebra (L(R), â · âL(E)|L(R)). Da die Umkehrabbildung Lâ1 : L(R) â Rnach (7.1) stetig ist und R, L(R) Banachraume sind, folgt nach dem Satz von der inversenAbbildung auch die Stetigkeit von L : R â L(R). Es gibt also Konstanten c, C > 0 mit
âx â R : câxâR †âL(x)âE = âxâ †CâxâR .
Die Normen â · âR und â · â sind also aquivalente Normen auf R. €
7.3. Folgerung. Zu jeder Banachalgebra (R, â · âR) mit Einselement 1 gibt es einezur Ausgangsnorm aquivalente submultiplikative Norm â · â auf R mit â1â = 1.
Einige Autoren wie z.B. Neumark, Rudin und andere verlangen von einer Banachalge-bra, daĂ sie (a) und (b) in Satz 7.2 erfullt. Andere wie z.B. Zelasko nennen eine KâAlgebraschon dann eine Banachalgebra, wenn sie den Voraussetzungen zu Satz 7.2 genugt. Daman durch Ubergang zu einer aquivalenten Norm stets erreichen kann, daĂ (a) und (b)in Satz 7.2 erfullt sind, schlieĂe ich mich den erstgenannten Autoren an.
7.4. Lemma. Sei R eine normierte KâAlgebra und sei A eine Unteralgebra von R.Dann gilt:
(a) A ist eine Unteralgebra von R.(b) Ist A kommutativ, so auch A.(c) Ist A eine maximale kommutative Unteralgebra, so ist A schon abgeschlossen.
Dies rechnet man unmittelbar nach.
7.5. Lemma. Sei R eine normierte KâAlgebra und sei â 6= S â R. Dann sind dieKommutantenalgebra S âČ = x â R ; âa â S : ax = xa, die BikommutantenalgebraS âČâČ := (S âČ)âČ und das Zentrum Z(R) := RâČ abgeschlossene Unteralgebren von R.
Beweis. Ist x â S âČ, so gibt es eine Folge (xn)ân=1 in S âČ mit xn â x fur nââ. Wegen
der Stetigkeit der Multiplikation folgt dann fur alle a â S:
xaâ ax = limnââ
(xnaâ axn) = 0, d.h. x â S âČ.S âČ ist also abgeschlossen in R. Wegen S âČâČ = (S âČ)âČ und Z(R) = RâČ sind dann auch S âČâČ undZ(R) abgeschlossen in R. €
Falls nicht anders vermerkt sei im folgenden stets R eine Banachalgebra mit Eins-element 1 und â1â = 1. G = G(R) sei die Menge der invertierbaren Elemente von R,Gl = Gl(R) die Menge der linksinvertierbaren Elemente und Gr = Gr(R) die Menge derrechtsinvertierbaren Elemente von R. Offensichtlich gilt G = Gl â© Gr und G ist mit derMultiplikation als Verknupfung eine Gruppe.
7.6. Lemma. Es ist U := x â R ; â1â xâ < 1 â G und die Abbildung u 7â uâ1 vonU nach R ist stetig in 1.
66 7. BANACHALGEBREN: ERSTE EIGENSCHAFTEN
Beweis. Wir setzen (1â x)0 := 1 und definieren fur beliebiges x â U :
y :=âân=0
(1â x)n.
Wegenâân=0
â(1â x)nâ â€âân=0
â(1â x)ân =1
1â â1â xâ <â
ist die Reihe absolut konvergent in R, d.h. es ist y â R. Ferner folgt wegen der Stetigkeitder Multiplikation in R:
(7.2) y = 1 +âân=1
(1â x)n = 1 +
( âân=0
(1â x)n
)(1â x) = 1 + y(1â x)
und damit yx = 1. Ebenso zeigt man xy = 1. Also ist x invertierbar und xâ1 = y.Zu zeigen ist noch die Stetigkeit der Inversion in 1: Sei also Δ > 0 beliebig vorgegeben.
Wahle ÎŽ := min1/2, Δ/2. Dann folgt nach (7.2) fur alle x â R mit â1â xâ < ÎŽ:
âxâ1 â 1â =
â„â„â„â„â„âân=1
(1â x)n
â„â„â„â„â„ â€âân=1
â(1â x)ân =â1â xâ
1â â1â xâ â€â1â xâ
1/2< Δ .
€
7.7. Satz. Sei (R, â · â) eine Banachalgebra mit Einselement 1.
(a) G, Gl und Gr sind offene Teilmengen von R.(b) Die Inversion x 7â xâ1 ist eine stetige Abbildung von G auf sich.
Beweis. (a) Sei x0 â Gl beliebig. Dann gibt es ein y â R mit yx0 = 1. Fur alle x â Rmit âxâ x0â < âyââ1 gilt dann
âyxâ 1â = ây(xâ x0)â †âyâ · âxâ x0â < 1.
Nach Lemma 7.6 ist yx also invertierbar. Mit u := (yx)â1y gilt also ux = 1. Also ist Gl
offen. Analog zeigt man, daĂ auch Gr offen ist und somit auch G = Gl â©Gr.(b)Wir mussen zeigen, daĂ die Abbildung x 7â xâ1 in allen x0 â G stetig ist. Sei also
x0 â G beliebig. Die Abbildung f : G â G mit f(x) := xâ10 x ist auf G stetig und es ist
f(x0) = 1. Die Abbildung g : G â G mit g(y) = yâ1 ist nach Lemma 7.6 in 1 = f(x0)stetig. SchlieĂlich ist noch die Abbildung h : G â G mit h(u) := uxâ1
0 auf G stetig.Wegen xâ1 = (xâ1x0)x
â10 = (xâ1
0 x)â1xâ10 = h(g(f(x))) ist x 7â xâ1 stetig in x0. €
7.8. Lemma. Sei (R, â · â) eine Banachalgebra mit Einselement 1. Die AbschlieĂungI eines echten Links- bzw. Rechts- bzw. zweiseitigen Ideals I in R ist wieder ein echtesLinks- bzw. Rechts- bzw. zweiseitiges Ideal in R. Jedes maximale Links- bzw. Rechts- bzw.zweiseitige Ideal in R ist abgeschlossen. Insbesondere ist also das Radikal rad(R) nachSatz 0.10 ebenfalls abgeschlossen.
Beweis. Sei also I ein echtes Linksideal in R. Nach Lemma 0.5 gilt dann I â R\Gl.Da Gl nach Satz 7.7 offen ist, folgt I â R \ Gl. Insbesondere ist I 6= R. Die Idealei-genschaften fur I rechnet man unmittelbar nach. Damit ist I ein echtes Linksideal. DenBeweis fur Rechtsideale bzw. zweiseitige Ideale fuhrt man analog. Der Zusatz ist dannklar. €
7. BANACHALGEBREN: ERSTE EIGENSCHAFTEN 67
Sei nun R eine Banachalgebra mit Einselement 1 uber dem Korper C der komplexenZahlen. Fur x â R und z â C schreiben wir auch zâx statt z ·1âx. Die Resolventenmengevon x bezuglich R ist definiert als:
ÏR(x) := z â C ; z â x ist in R invertierbar.Die Komplementarmenge ÏR(x) := C \ ÏR(x) heiĂt das Spektrum von x bezuglich R. Diedurch
R(z, x) := (z â x)â1 fur alle z â ÏR(x)
definierte Râwertige Funktion auf ÏR(x) heiĂt die Resolvente von x bezuglich R.
7.9. Satz. Sei R eine komplexe Banachalgebra mit 1 und sei x â R. Dann gilt:
(a) Ist z â ÏR(x) und ÎŽ := âR(z, x)ââ1, so ist UÎŽ(z) â ÏR(x) und fur alle w â C mit|z â w| < ÎŽ hat man
(7.3) R(w, x) =âân=0
(z â w)nR(z, x)n+1
sowie
(7.4) âR(w, x)âR(z, x)â †|z â w| âR(z, x)â2
1â |z â w| · âR(z, x)â .
Insbesondere ist ÏR(x) offen (und damit ÏR(x) abgeschlossen) und die Resolventeist auf ÏR(x) stetig.
(b) Fur alle z, w â ÏR(x) gilt die erste Resolventengleichung
R(z, x)âR(w, x) = (w â z)R(z, x)R(w, x) .
(c) Ist auch y â R und z â ÏR(x) â© ÏR(y), so gilt die zweite Resolventengleichung
R(z, x)âR(z, y) = R(z, x)(xâ y)R(z, y) .
(d) Es ist ÏR(x) â z â C ; |z| †âxâ und fur alle z â C mit |z| > âxâ ist
R(z, x) =âân=0
1
zn+1xn.
(e) Die Resolvente R(·, x) ist auf ÏR(x) komplex differenzierbar und es gilt fur allez â ÏR(x):
limwâz
1
z â w(R(z, x)âR(w, x)) = âR(z, x)2.
(f) ÏR(x) ist kompakt und nicht leer.
(g) Fur alle z â ÏR(x) hat man die Abschatzung: âR(z, x)â â„ 1
dist(z, ÏR(x)).
Beweis. (a) Sei also w â C mit |z â w| < âR(z, x)ââ1. Offensichtlich konvergiert dieReihe auf der rechten Seite von (7.3) wegen |z â w|âR(z, x)â < 1 absolut und es gilt:
âân=0
(z â w)nR(z, x)n+1(w â x) =(w â x)âân=0
(z â w)nR(z, x)n+1
=[(w â z) + (z â x)]âân=0
(z â w)nR(z, x)n+1
=ââân=0
(z â w)n+1R(z, x)n+1 +âân=0
(z â w)nR(z, x)n
=1 .
68 7. BANACHALGEBREN: ERSTE EIGENSCHAFTEN
Also ist w â x invertierbar und es gilt (7.3). Ferner hat man die Abschatzung
âR(w, x)âR(z, x)â =
â„â„â„â„â„âân=0
(z â w)nR(z, x)n+1 âR(z, x)
â„â„â„â„â„
â€âân=1
|z â w|nâR(z, x)ân+1 =|z â w| · âR(z, x)â2
1â |z â w| · âR(z, x)âAlso gilt (7.4).
(b) Multipliziert man die Gleichung (w â x)â (z â x) = w â z von links mit R(z, x)und von rechts mit R(w, x), so erhalt man die Behauptung.
(c) Durch Multiplikation der Gleichung (zâ y)â (zâx) = xâ y von links mit R(z, x)und von rechts mit R(z, y) folgt (c).
(d) Fur alle z â C mit |z| > âxâ ist die Reiheââ
n=0 zânâ1xn absolut konvergent und
es gilt( âân=0
zânâ1xn
)(z â x) = (z â x)
âân=0
zânâ1xn =âân=0
zânxn ââân=0
zânâ1xn+1 = 1
Also ist R(z, x) = (z â x)â1 =ââ
n=0 zânâ1xn.
(e) Wegen (b) und der Stetigkeit der Resolventenfunktion auf ÏR(x) folgt
limwâz
1
z â w(R(z, x)âR(w, x)) = â lim
wâzR(z, x)R(w, x) = âR(z, x)2.
Insbesondere ist dann fur alle stetigen linearen Funtionale f : R â C die komplexwertigeFunktion f R(·, x) : z 7â f(R(z, x)) auf der nach (a) offenen Menge ÏR(x) komplexdifferenzierbar und damit holomorph.
(f) Wegen (a) und (d) ist ÏR(x) kompakt.Annahme: ÏR(x) ist leer. Dann ist fur alle stetigen, linearen Funktionale f : R â C
die Funktion f R(·, x) : z 7â f(R(z, x)) eine ganze Funktion. Fur |z| > âxâ folgt nach(d):
|f(R(z, x))| †âfâ · âR(z, x)â †âfââân=0
âxân|z|n+1
=âfâ
|z| â âxâ â 0 fur |z| â â .
Nach dem Satz von Liouville ist also f R(·, x) ⥠0. Nach der Folgerung 6.7(b) aus demSatz von HahnâBanach (mit E = R und F = 0) ist also R(z, x) ⥠0 im Widerspruchzu (z â x)R(z, x) ⥠1 6= 0. Also fuhrte die Annahme zu einem Widerspruch. ÏR(x) istdaher nicht leer.
(g) Nach (a) enthalt ÏR(x) mit z auch die offene Kreisscheibe um z mit dem RadiusâR(z, x)ââ1. Daher folgt dist(z, ÏR(x)) â„ âR(z, x)ââ1 und hieraus (g). €
7.10. Satz (von Mazur und Gelfand). Ist R eine komplexe Banachalgebra mit Eins-element 1 und â1â = 1, in der jedes von 0 verschiedene Element invertierbar ist, so ist Rschon isometrisch isomorph zu C.
Beweis. Sei x â R beliebig. Nach Voraussetzung ist z · 1 â x fur alle z â C mitz ·1âx 6= 0 invertierbar. Wegen ÏR(x) 6= â (nach Satz 7.9 (f)) gibt es ein zx â ÏR(x). Furdieses muĂ zx · 1âx = 0 und damit x = zx · 1 gelten. zx ist hierdurch eindeutig bestimmt.Es folgt R = C·1 und die Abbildung z 7â z ·1 ist ein isometrischer Algebrenisomorphismusvon C auf R. €
7. BANACHALGEBREN: ERSTE EIGENSCHAFTEN 69
Ubungsaufgaben zu Kapitel 7.
7.1. Aufgabe. Zeigen Sie: Der Banachraum `1(Z) ist vermoge
[(xn)nâZ â (yn)nâZ]k :=â
nâZxnykân (k â Z)
eine kommutative Banachalgebra mit Eins.
7.2. Aufgabe. (a) Sei (A, â·âA) eine Banachalgebra und I â A ein abgeschlosse-nes zweiseitiges Ideal in A. Zeigen Sie: A/I ist, versehen mit der Quotientennormâx+ Iâ := infyâI âx+ yâA, eine Banachalgebra.
(b) Zeigen Sie: Die Vervollstandigung einer normierten Algebra A ist eine Banachal-gebra, die A als Unteralgebra enthalt.
7.3. Aufgabe. Sei A eine K-Algebra und sei I $ A ein zweiseitiges Ideal in A.Zeigen Sie: Genau dann ist A/I eine Algebra mit Einselement, in der jedes von Nullverschiedene Element invertierbar ist, wenn I sowohl maximales modulares Linksideal alsauch maximales modulares Rechtsideal ist.
7.4. Aufgabe. Untersuchen Sie in den folgenden Fallen, ob die Unterraume I, J undK der kommutativen Banachalgebra R abgeschlossene, maximale oder modulare Idealesind.
(a) R = C0(R) = f â C(R) | f(t) â 0 bei tââ, versehen mit der sup-Norm,
I := f â C0(R) | f(2006) = 0,J := f â Câ(R) | suppf ist kompakt,
K := f â C0(R) | ânf ân â„ nf : f(n) = 0.(b) R = Cb(R) := f â C(R) | sup
tâR|f(t)| <â, versehen mit der Supremumsnorm,
I := f â Cb(R) | limxââ
f(x) = 0.
7.5. Aufgabe. (a) Zeigen Sie: Der Banachraum L1[0, 1] ist mit der Multiplikation
(f â g)(x) :=
â« x
0
f(y)g(xâ y) dy, x â [0, 1]
eine kommutative Banachalgebra.(b) Sei 0 < α < 1. Zeigen Sie, daĂ
Iα := f â L1[0, 1] ; f |[0,α] ⥠0 fast uberall ein abgeschlossenes Ideal in L1[0, 1] ist, welches aus nilpotenten Elementen be-steht.
7.6. Aufgabe. Es sei X ein Banachraum. Mit F(X) bezeichnen wir die Menge allerOperatoren aus L(X) deren Bild von endlicher Dimension ist. Zeigen Sie:
(a) F(X) ist ein zweiseitiges Ideal in L(X).(b) Ist 0 6= I â L(X) ein zweiseitiges Ideal, so gilt F(X) â I.(c) L(X) ist einfach genau dann, wenn dimX <â.
7.7. Aufgabe. Die Diskalgebra ist definiert als
A(D) := f â C(D) : f |D ist holomorph.(a) Zeigen Sie, daĂ durch
âfâA(D) := sup|f(z)| : z â Teine Norm auf A(D) gegeben ist und daĂ A(D) damit eine Banachalgebra wird.
70 7. BANACHALGEBREN: ERSTE EIGENSCHAFTEN
(b) Sei fur Δ â [0, 1]
RΔ,1(0) := z â C : Δ †|z| †1.Zeigen Sie, daĂ die Abbildung
RΔ : A(D) â C(RΔ,1(0)) =: CΔ, f 7â f |RΔ,1(0)
eine isometrische Einbettung ist.(c) Berechnen Sie ÏA(D)(id) und ÏCΔ(id).
KAPITEL 8
Der Spektralradius
Falls nicht anders vermerkt sei (R, â · â) in diesem Abschnitt stets eine normierteAlgebra uber dem Korper der reellen oder komplexen Zahlen. Fur x â R heiĂt
r(x) := infnâN
âxnâ1/n
der Spektralradius von x bezuglich (R, â · â).8.1. Satz. Fur alle x â R gilt:
(a) r(x) = limnââ
âxnâ1/n.
(b) r(x) †âxâ.(c) âα â K : r(αx) = |α|r(x).(d) âk â N : r(xk) = r(x)k.
Beweis. (a) Sei Δ > 0 beliebig und sei k â N mit âxkâ1/k < r(x) + Δ. Jede naturlicheZahl n â N hat dann eine eindeutige Darstellung der Form
n = p(n)k + q(n) mit p(n), q(n) â N0, q(n) < k.
Fur nââ folgt
q(n)
nâ 0,
p(n)k
nâ 1 und damit
p(n)
nâ 1
k.
Hiermit erhalt man wegen der Submultiplikativitat der Norm fur nââ:
r(x) †âxnâ1/n =âxp(n)k+q(n)â1/n †âxp(n)kâ1/n · âxq(n)â1/n â€â€âxkâp(n)/n · âxâq(n)/n â âxkâ1/k < r(x) + Δ.
Es gibt also ein n0 â N, so daĂ fur alle n â„ n0 gilt: r(x) †âxnâ1/n < r(x) + Δ. Damitfolgt die Behauptung.
(b) ist klar nach Definition von r(x).(c) Nach (a) hat man r(αx) = limnââ â(αx)nâ1/n = limnââ |α| · âxnâ1/n = |α|r(x).(d) Nach (a) gilt: r(xk) = limnââ âxknâ1/n = limnââ
(âxknâ1/kn)k
= r(x)k. €
Das folgende Lemma beschreibt, wann fur eine normierte Algebra R in Satz 8.1 (b)stets das Gleichheitszeichen steht.
8.2. Lemma. Fur eine normierte Algebra R sind die beiden folgenden Aussagen aqui-valent:
(a) âx â R : r(x) = âxâ.(b) âx â R : âx2â = âxâ2.
Beweis. Ist (a) erfullt, so folgt nach Satz 8.1 (d) fur alle x â R:
âx2â = r(x2) = r(x)2 = âxâ2.
Gilt (b), so folgt durch vollstandige Induktion fur alle x â R, n â N: âx2nâ = âxâ2nund
damit r(x) = limnââ âxnâ1/n = limnââ âx2nâ2ân= limnââ âxâ = âxâ. €
71
72 8. DER SPEKTRALRADIUS
Sei z.B. R := C(K) die Algebra der stetigen Kâwertigen Funktionen auf einem kom-pakten Hausdorffraum, versehen mit der sup-Norm â · âK . Dann gilt fur alle f â R:âf 2âK = âfâ2
K und somit r(f) = âfâK .
Bezeichnung. Mit EN(R) bezeichnen wir die Menge aller zur Ausgangsnorm â · âaquivalenten submultiplikativen Normen auf R. Besitzt R ein Einselement 1, so sei
EUN(R) := p â EN(R) ; p(1) = 1 .8.3. Lemma. âp â EN(R)âx â R : r(x) = lim
nââp(xn)1/n. Der Spektralradius ist
also fur alle zur Ausgangsnorm â · â aquivalenten Algebranormen auf R derselbe.
Beweis. Da p und â · â aquivalente Normen sind, gibt es Konstanten c > 0, C > 0mit
âu â R : câuâ †p(u) †Câuâ .Damit folgt fur alle x â R und n â N
c1/nâxnâ1/n †p(xn)1/n †C1/nâxnâ1/n.
Fur nââ erhalten wir nach Satz 8.1 (a) die Behauptung. €8.4. Satz. Sei (R, â · â) eine normierte KâAlgebra und sei S eine beschrankte Halb-
gruppe bezuglich der Multiplikation von R. Dann gibt es eine Norm p â EN(R) mit
âs â S : p(s) †1 .
Besitzt R ein Einselement 1, so ist p â EUN(R) wahlbar.
Beweis. Ist R eine Banachalgebra mit Einselement 1, so ist mit S auch S1 := 1âȘSeine beschrankte multiplikative Halbgruppe in R. In diesem Fall setzen wir auch R1 := R.
Besitzt R kein Einselement, so betrachten wir R1 := RâK · 1 mit der wieder mit â · âbezeichneten, die Ausgangsnorm fortsetzenden Norm, die definiert ist durch
âx+ α · 1â := âxâ+ |α| fur alle x â R, α â K ,wobei âxâ die Norm von x in R sei. Damit wird R1 zu einer Banachalgebra mit demEinselement 1 und die kanonische Einbettung von R in R1 ist eine Isometrie. Mit S istauch S1 := 1 âȘ S eine beschrankte multiplikative Halbgruppe in R1.
Wir konnen nun beide Falle gemeinsam weiter behandeln. Da S1 beschrankt ist, gibtes eine Konstante C > 0 mit âsâ †C fur alle s â S1. Wir definieren nun fur alle a â R1:
q(a) := supsâS1
âsaâ †Câaâ .
Offensichtlich ist q eine Halbnorm auf R1. Wegen 1 â S1 auch âaâ †q(a) fur alle a â R1.q ist also eine zu â · â aquivalente Norm auf R1. Wir setzen nun fur alle a â R1
p(a) := supq(ax) ; x â R1, q(x) †1 .Nach Satz 7.2 ist p dann eine zu q aquivalente Algebranorm auf R1 mit p(1) = 1. Ins-besondere ist p â EUN(R1) und p|R â EN(R). Fur alle t â S1, x â R1 mit q(x) †1gilt
q(tx) = supsâS1
âstxâ †q(x) †1
und damit nach Definition von p: p(t) †1. €8.5. Bemerkung. Die Aussagen von Satz 8.4 gelten allgemeiner fur normierte Alge-
bren. Man betrachte hierzu einfach die Vervollstandigung R von R (vergl. Aufgabe 1.9).Diese ist, wie in Aufgabe 7.2 gezeigt wird eine Banachalgebra und S ist naturlich auch in
R beschrankte Halbgruppe in R. Wendet man nun Satz 8.4 auf R und S an, so folgt dieBehauptung.
8. DER SPEKTRALRADIUS 73
8.6. Folgerung. Sei (R, â · â) eine normierte KâAlgebra.
(a) r(x) = infp(x) ; p â EN(R).(b) Besitzt R ein Einselement 1, so ist r(x) = infp(x) ; p â EUN(R).Beweis. (i) Nach Satz 8.1 (b) und Lemma 8.3 ist r(x) †p(x) fur alle x â R, p â
EN(R).(ii) Sei nun x â R beliebig mit r(x) < 1. Dann ist xn ; n â N eine beschrankte
multiplikative Unterhalbgruppe von R. Nach Bemerkung 8.5 gibt es eine Norm p â EN(R)(bzw. p â EUN(R)) mit p(xn) †1 fur alle n â N. Insbesondere ist also p(x) †1.
Sei nun y â R beliebig und Δ > 0 beliebig. Nach Satz 8.1 (c) ist r( 1r(y)+Δ
y) = r(y)r(y)+Δ
< 1.
Wie eben gezeigt, gibt es also ein Norm p â EN(R) (bzw. p â EUN(R)) mit p( 1r(y)+Δ
y) †1,
also mit p(y) †r(y) + Δ.Aus (i) und (ii) folgen nun die Behauptungen. €
8.7. Folgerung. Sei (R, â · â) eine normierte KâAlgebra und seien a, b â R mitab = ba. Dann gilt:
(a) r(ab) †r(a)r(b).(b) r(a+ b) †r(a) + r(b).
Beweis. Sei Δ > 0 beliebig. Wir setzen
u :=1
r(a) + Δa und v :=
1
r(b) + Δb.
Nach Satz 8.1 (c) ist r(u) < 1 und r(v) < 1. Also sind wie oben un;n â N undvn;n â N beschrankte multiplikative Halbgruppen in R. Da u und v kommutieren, istauch
un;n â N âȘ vn;n â N âȘ unvm;n,m â Neine beschrankte multiplikative Halbgruppe in R. Nach Bemerkung 8.5 gibt es also eineNorm p â EN(R) (bzw. p â EUN(R)) mit p(u) †1 und p(v) †1. Es folgt p(a) †r(a)+Δund p(b) †r(b) + Δ sowie
r(ab) â€p(ab) †p(a)p(b) †r(a)r(b) + Δ(r(a) + r(b)) + Δ2
r(a+ b) â€p(a+ b) †p(a) + p(b) †r(a) + r(b) + 2Δ .
Da Δ > 0 beliebig war, folgen die Behauptungen. €
Die Voraussetzung ab = ba in Folgerung 8.7 kann nicht weggelassen werden. Dies zeigtdas folgende einfache Beispiel:
8.8. Beispiel. Sei R := M2Ă2(K) die Algebra der 2Ă 2 Matrizen, versehen mit einerAlgebranorm â · â. Mit
A :=
(0 10 0
)und B :=
(0 01 0
)
gilt A2 = B2 = 0 und daher r(A) = r(B) = 0. Ferner
AB =
(1 00 0
)= (AB)n fur alle n â N .
Damit folgt
r(AB) = limnââ
â„â„â„â„(
1 00 0
)â„â„â„â„1/n
= 1 aber r(A)r(B) = 0.
74 8. DER SPEKTRALRADIUS
Weiter gilt
A+B =
(0 11 0
)und ân â N (A+B)2n =
(1 00 1
)
und daher
r(A+B) = limnââ
â„â„â„â„(
1 00 1
)â„â„â„â„1/2n
= 1
aber r(A) + r(B) = 0.
8.9. Folgerung. Sei (R, â · â) eine Banachalgebra mit Einselement 1. Dann gilt furalle x â R:
r(x) < 1 =â 1â x ist in R invertierbar.
Beweis. Nach Folgerung 8.6 gibt es eine zu â·â aquivalente Algebranorm p â EUN(R)mit p(x) < 1. Es folgt p(1â (1â x)) = p(x) < 1. Nach Satz 7.9 (angewendet auf (R, p))ist also 1â x invertierbar und es gilt (1â x)â1 =
âân=0 x
n. €8.10. Folgerung. Sei R eine komplexe Banachalgebra mit Einselement 1 und sei
x â R.
(a) Fur alle z â C mit |z| > r(x) ist z â x in R invertierbar und es gilt
(z â x)â1 =âân=0
zânâ1xn.
(b) ÏR(x) â z â C ; |z| †r(x).(c) Gibt es eine gegen x konvergente Folge (xn)
ân=1 von invertierbaren Elementen, fur
die (r(xâ1n ))ân=1 beschrankt ist, und gilt xxn = xnx fur alle n â N, so ist auch x
invertierbar in R.
Beweis. (a) Es ist r(1zx) = 1
|z|r(x) < 1. Nach Folgerung 8.9 ist 1â 1zx invertierbar in
R und es gilt:
(1â 1
zx)â1 =
âân=0
zânxn.
Es folgt
(z â x)1
z(1â 1
zx)â1 = 1 =
1
z(1â 1
zx)â1(z â x) .
Also ist z â x in R invertierbar und
(z â x)â1 =1
z(1â 1
zx)â1 =
âân=0
zânâ1xn.
(b) folgt unmittelbar aus (a).(c) Es ist 1âxâ1
n x = xâ1n (xnâx) und daher wegen der Beschranktheit von (r(xâ1
n ))ân=1
nach Folgerung 8.7
r(1â xâ1n x) †r(xâ1
n )r(xn â x) †r(xâ1n )âxn â xâ â 0 fur nââ .
Hierbei ist Folgerung 8.7 anwendbar, da xn mit x und damit auch xâ1n mit xn â x ver-
tauscht. Fur n â„ n0 gilt also r(1 â xâ1n x) < 1. Nach Folgerung 8.9 ist xâ1
n x invertierbarund wegen xxâ1
n = xâ1n x ist (xâ1
n x)â1xâ1n x = 1 = xâ1
n x(xâ1n x)â1 = x (xâ1
n (xâ1n x)â1). Also
ist x in R invertierbar. €Die Begrundung fur die Bezeichnung Spektralradius wird durch den folgenden Satz
gegeben.
8. DER SPEKTRALRADIUS 75
8.11. Satz. Sei R eine komplexe Banachalgebra mit Einselement 1. Dann gilt fur allex â R:
r(x) = max|z| ; z â ÏR(x) .Beweis. Nach Folgerung 8.10 ist r1(x) := max|z| ; z â ÏR(x) †r(x).Seien nun r > r1(x) und f â RâČ beliebig vorgegeben. Da R(·, x) nach Satz 7.9 auf
ÏR(x) also auch auf Ω := z â C ; |z| > r1(x) komplex differenzierbar ist, ist die Funktionz 7â f(R(z, x)) auf Ω in eine Laurentreihe entwickelbar. Fur |z| > âxâ gilt nach Satz 7.9
f(R(z, x)) = f
( âân=0
zânâ1xn
)=
âân=0
zânâ1f(xn) .
Wegen der Eindeutigkeit der Koeffizienten der Laurententwicklung gilt diese Darstellungauf ganz Ω mit absoluter Konvergenz der Reihe. Insbesondere ist
âân=0
rânâ1|f(xn)| <â .
Daher ist fur alle f â RâČ die Folge (rânâ1f(xn))ân=0 und somit auch (rânf(xn))
ân=0 be-
schrankt in C. Nach dem Satz von BanachâSteinhaus ist mit (i(a))(f) := f(a) fur allea â R also die Folge (i(rânxn))ân=0 beschrankt im Bidual RâČâČ beschrankt. Da i : R â RâČâČ
nach Aufgabe 6.3 eine Isometrie ist, ist (rânxn)ân=0 beschrankt in R. Es gibt also einM > 0 mit ârânxnâ â€M fur alle n â N. Es folgt also
ân â N : âxnâ1/n â€M1/nr
und hieraus fur nââ: r(x) †r. Da r > r1(x) beliebig war muĂ r(x) †r1(x) gelten. €
8.12. Folgerung. Sei R eine komplexe Banachalgebra mit Einselement 1. Fur x â Rsind die folgenden drei Aussagen aquivalent:
(a) limnââ
âxnâ1/n = 0, d.h. x ist quasinilpotent.
(b) r(x) = 0.(c) ÏR(x) = 0.
Hier bei gilt die Aquivalenz von (a) und (b) nach Satz 8.1 und die von (b) und (c)nach Satz 8.11.
8.13. Folgerung. Sei R eine kommutative, komplexe Banachalgebra mit Einselement1. Dann gilt
rad(R) = x â R ; r(x) = 0.Beweis. Ist x â R mit r(x) = 0, so gilt nach Folgerung 8.7 fur alle y â R
0 †r(xy) †r(x)r(y) = 0.
Nach Folgerung 8.9 ist 1 â xy also fur alle y â R invertierbar. Nach Definition 0.56 undSatz 0.57 aus den Grundlagen aus der Algebrentheorie ist also x â rad(R).
Sei nun x â rad(R) und sei 0 6= z â C. Dann existiert nach Definition des Radikals(1 â (1
z· 1)x)â1 in R. Es folgt, daĂ dann z â x in R invertierbar ist mit (z â x)â1 =
1z(1 â (1
z· 1)x)â1. Also gilt z â ÏR(x) fur alle 0 6= z â C und somit ÏR(x) â 0. Nach
Satz 7.9 (f) ist also ÏR(x) = 0 und somit (nach Folgerung 8.12) r(x) = 0. €
76 8. DER SPEKTRALRADIUS
Ubungsaufgaben zu Kapitel 8.
8.1. Aufgabe. Sei R eine Banachalgebra mit Einselement 1 und sei A eine abge-schlossene Unteralgebra von R mit 1 â A. Zeigen Sie, daĂ fur alle x â A gilt:
(a) ÏR(x) â ÏA(x).(b) âÏA(x) â âÏR(x).(c) Ist ÏR(x) â R, so ist ÏR(x) = ÏA(x).(d) Ist A eine maximale kommutative Unteralgebra von R, so ist ÏR(x) = ÏA(x).(e) Belegen Sie durch ein Beispiel, daĂ der Fall ÏR(x) 6= ÏA(x) auftreten kann.
8.2. Aufgabe. Sei A eine Banachalgebra mit Einselement uber C und seien a, b â A.
(a) Zeigen Sie: Ï(ab) \ 0 = Ï(ba) \ 0 und r(ab) = r(ba).(b) Belegen Sie durch ein Beispiel, daĂ der Fall ÏA(ab) 6= ÏA(ba) auftreten kann.(c) Sei E ein Banachraum uber C mit dimE = N < â . Zeigen Sie, daĂ in diesem
Fall fur alle A,B â L(E) gilt ÏL(E)(AB) = ÏL(E)(BA).
KAPITEL 9
Kompakte Operatoren
9.1. Definition. Seien E,F zwei normierte KâVektorraume. Ein linearer OperatorT : E â F heiĂt kompakt, falls er jede beschrankte Teilmenge von E auf eine relativkom-pakte Teilmenge von F abbildet.
Die Menge der kompakten linearen Operatoren von E nach F bezeichnen wir mitK(E,F ).
9.2. Lemma. Sei T : E â F ein linearer Operator zwischen zwei normierten KâVektorraumen.
(a) Ist T kompakt, so ist T schon stetig.(b) Fur T sind aquivalent:
(i) T ist ein kompakter Operator.(ii) Fur jede beschrankte Folge (xn)
ân=1 in E besitzt die Bildfolge (Txn)
ân=1 eine
in F konvergente Teilfolge.(iii) T (BE) ist relativ kompakt in F (mit BE := x â E ; âxâ †1).
Beweis. (a) Nach Voraussetzung ist T (BE) relativkompakt in F also auch normbe-schrankt in F . Insbesondere ist supâTxâF ; x â E, âxâE †1 <â und daher T stetig.
(b) Die Implikation (i) =â (iii) ist unmittelbar klar.Ist (iii) erfullt und ist (xn)
ân=1 eine beschrankte Folge in E, so gibt es ein r > 0 mit
xn â rBE fur alle n â N. Mit T (BE) ist auch rT (BE) = T (rBE) relativkompakt in F .Jede Folge aus rT (BE) und damit insbesondere auch die Bildfolge (Txn)
ân=1 besitzt also
eine in F konvergente Teilfolge.Sei nun (ii) erfullt und sei B â E eine beliebige beschrankte Teilmenge von E. Ist
(Txn))ân=1 eine beliebige Folge aus T (B) (mit xn â B fur alle n â N), so besitzt diese
nach Voraussetzung eine beschrankte Teilfolge. T (B) ist also relativ kompakt in F . €
9.3. Bemerkungen. (a) Jeder stetige lineare Operator mit endlich dimensionalemBild ist kompakt.
(b) Sei (E, â · â) ein normierter Raum. Dann ist die Identitat 1E : E â E genau dannkompakt, wenn E endlich dimensional ist.
(c)Ist 0 6= λ â K und ist T â L(E) ein kompakter linearer Operator auf dem normier-ten KâVektorraum (E, â · â), so ist dim ker(λâ T ) <â.
Beweis. (a) Ist T : E â F ein stetiger linearer Operator zwischen zwei normiertenRaumen, so ist das Bild T (BE) der Einheitskugel BE von E beschrankt in (F, â · âF ) unddamit auch in (ranT, â · âE|ranT ). Ist also dim ranT < â, so ist T (BE) als beschrankteTeilmenge eines endlich dimensionalen Raumes relativkompakt in (ranT, â · âE|ranT ) unddamit auch in (F, â · âF ).
(b) Nach Lemma 9.2 (b) ist 1E genau dann ein kompakter Operator, wenn 1E(BE) =BE kompakt in E ist. Nach Folgerung 1.19 ist dies aquivalent zu dimE <â.
(c) Da T ein kompakter Operator ist, und wegen T |ker(λâT ) = λidker(λâT ) gilt fur dieabgeschlossene Einheitskugel B von ker(λ â T ): B = 1
λT (λB) ist relativkompakt. Nach
Folgerung 1.16 ist ker(λâ T ) von endlicher Dimension. €77
78 9. KOMPAKTE OPERATOREN
Ist T : E â E eine lineare Abbildung von einem KâVektorraum E in sich, so heiĂtein Punkt ” â K bekanntlich Eigenwert von T , falls es ein 0 6= x â E gibt mit Tx = ”x.Der Vektor x heiĂt dann Eigenvektor zum Eigenwert ” und ker(”â T ) der zu ” gehorigeEigenraum. Teit (c) der vorstehenden Bemerkungen besagt also, daĂ die Eigenraume zuvon 0 verschiedenen Eigenwerten kompakter Operatoren von endlicher Dimension sind.
Eine Teilmenge K eines metrischen Raums (X, d) heiĂt prakompakt, falls es zu jedemΔ > 0 endlich viele x1, . . . , xn â K gibt mit K â UΔ(x1) âȘ · · · âȘ UΔ(xn). x1, . . . , xn heiĂtdann ein endliches ΔâNetz fur K. Relativkompakte Teilmengen von X sind prakompaktin (X, d). Ist (X, d) vollstandig, so ist auch jede prakompakte Teilmenge von X schonrelativkompakt (siehe z.B. [14], p. 61 f.).
9.4. Lemma. E,F,G,H seien normierte KâVektorraume.
(a) Ist K â K(E,F ), so sind fur alle S â L(H,E), T â L(F,G) auch die OperatorenTK : E â G und KS : H â F kompakt.
(b) K(E,F ) ist Untervektorraum von L(E,F ).(c) K(E) ist ein zweiseitiges Ideal in L(E).(d) Ist F vollstandig, so ist K(E,F ) ein bezuglich der Operatornorm abgeschlossener
Untervektorraum des Banachraums L(E,F ).
Beweis. (a) Seien (hn)ân=1 bzw. (en)
ân=1 beliebige beschrankte Folgen aus H bzw. E.
Dann ist wegen der Stetigkeit von S auch die Folge (Shn)ân=1 in E beschrankt. Da K ein
kompakter Operator ist, gibt es nach Lemma 9.2 in F konvergente Teilfolgen (KShnk)âk=1
von (KShn)ân=1 bzw. (Kenk
)âk=1 von (Ken)ân=1. Wegen der Stetigkeit von T ist dann auch
(TKenk)âk=1 eine konvergente Teilfolge von (TKen)
ân=1. Nach Lemma 9.2 sind also TK
und KS kompakte Operatoren.(b) DaĂ K(E,F ) ein Untervektorraum von L(E,F ) ist rechnet man mit Hilfe von
Lemma 9.2 und den Linearitatseigenschaften der Grenzwertbildung direkt nach.(c) folgt unmittelbar aus (a) und (b).(d) Sei nun (Kn)
ân=1 eine bezuglich der Operatornorm gegen einen stetigen linearen
Operator T : E â F konvergente Folge aus K(E,F ) und sei Δ > 0 beliebig vorgegeben.Dann gibt es ein n â N mit âT â Knâ < Δ/3. Da Kn ein kompakter Operator ist, istKn(BE) relativkompakt also auch prakompakt. Es gibt also endlich viele x1, . . . , xm â BE
mitmin
1â€kâ€mâKnxâKnxkâ < Δ
3fur alle x â BE .
Es folgt dann fur alle x â BE:
min1â€kâ€m
âTxâ Txkâ †min1â€kâ€m
(â(T âKn)xâ+ âKnxâKnxkâ+ â(Kn â T )xkâ)
< min1â€kâ€m
(Δ3
+ âKnxâKnxkâ+Δ
3
)< Δ .
Also ist T (BE) prakompakt in F und damit wegen der Vollstandigkeit von F relativkom-pakt. €
Fur einen kompakten topologischen Hausdorffraum K wollen wir die relativkompaktenTeilmengen des Banachraums C(K) aller stetigen Funktionen auf K mit Werten in Kcharakterisieren. Wir machen zunachst einige Vorbereitungen, die auch in anderer Hinsichtspater benotigt werden.
9.5. Satz. Sei U1, . . . , Un eine endliche offene Uberdeckung eines kompakten topologi-schen Hausdorffraums K. Dann gibt es eine zugehorige Zerlegung der 1, d.h. reellwertigeFunktionen Ï1, . . . , Ïn â C(K) mit supp(Ïj) â Uj, 0 †Ïj †1 auf K, j = 1, . . . , n, undmit
ânj=1 Ïj ⥠1 auf K.
9. KOMPAKTE OPERATOREN 79
Beweis. Zu U1, . . . , Un findet man kompakte Mengen Vj â Uj, j = 1, . . . , n, mitK =
ânj=1 Vj. Nach dem Lemma von Urysohn (siehe z.B. Satz 6.7 in Verbindung mit
Beispiel 6.5 in dem Skriptum [2] zur Topologie) gibt es Funktionen Ïj â C(K,R) mitsuppÏj â Uj und Ïj ⥠1 auf Vj, j = 1, . . . , n. Dann sind die durch
Ïj(x) :=Ïj(x)ânk=1 Ïk(x)
, x â K,
definierten Funktionen Ï1, . . . , Ïn stetig mit Werten in [0, 1] und erfullen suppÏj â Uj,j = 1, . . . , n und
ânj=1 Ïj ⥠1 auf K. €
Ist F(X) ein Raum von Kâwertigen Funktionen auf einer nicht leeren Menge X und Eein KâVektorraum, so sei fur f â F(X) und e â E die Funktion f â e : X â E definiertdurch
(f â e)(x) := f(x)e fur alle x â X.Wir definieren F(X)â E :=LHf â e ; f â F(X), e â E.
9.6. Satz. Sei K ein kompakter topologischer Hausdorffraum und E ein Banachraum.Dann liegt C(K)â E dicht in C(K,E).
Beweis. Sei f â C(K,E) beliebig und Δ > 0 beliebig. Da f(K) als stetiges Bild einerkompakten Menge kompakt ist, gibt es zu der offenen Uberdeckung UΔ(e) e â f(K)von f(K) eine endliche Teiluberdeckung UΔ(e1), . . . , UΔ(en). Dann bilden die Mengen Uj :=fâ1(UΔ(ej)), j = 1, . . . , n eine offene Uberdeckung von K, zu der es nach Satz 9.5 eineZerlegung Ï1, . . . , Ïn der Eins gibt. Es folgt fur alle x â K:
â„â„â„f(x)ânâj=1
Ïj(x)ej
â„â„â„ =â„â„â„
nâj=1
Ïj(x)(f(x)â ej)â„â„â„ â€
nâj=1
Ïj(x)âf(x)â ejâ < Δ.
Hierbei haben wir verwendet, daĂân
j=1 Ïj ⥠1 und 0 â€ Ï â€ 1 auf K gilt, und die
Tatsache, daĂ âf(x)â ejâ < Δ fur alle x âsuppÏj â Uj, j = 1, . . . , n. €
9.7. Satz. Eine Teilmenge H eines Banachraums (E, â·â) ist genau dann prakompakt,wenn gilt
(9.1) (h)hâH â `â(H)â Eâ·ââ
.
Beweis. Ist H â E prakompakt, so gibt es zu beliebig vorgegebenem Δ > 0 endlichviele h1, . . . , hn â H mit
H ânâj=1
UΔ/2(hj) .
Zu jedem h â H gibt es also ein j(h) â 1, . . . , n mit h â UΔ/2(hj(h)). Fur alle h â Hdefinieren wir: f(h) := hj(h). Dann folgt
f =nâ
k=1
fk â hk â `â(H)â E mit fk(h) :=
0 fur j(h) 6= k
1 fur j(h) = k.
Ferner gilt fur alle h â H: âhâ f(h)â = âhâ hj(h)â < Δ/2. Also folgt
â(h)hâH â fââ = suphâH
âhâ f(h)â †Δ
2< Δ
und somit (9.1).
80 9. KOMPAKTE OPERATOREN
Ist umgekehrt (9.1) erfullt, so gibt es zu beliebig vorgegebenem Δ > 0 endlich vieleElemente f1, . . . , fn â `â(H), e1, . . . , en â E mit
(9.2)â„â„â„(h)hâH â
nâj=1
fj â ej
â„â„â„â
= suphâH
â„â„â„hânâj=1
fj(h)ej
â„â„â„ < Δ
2.
Die Menge
B := nâ
j=1
fj(h)ej ; h â H
ist als beschrankte Teilmenge des endlich dimensionalen Untervektorraums LHe1, . . . , enprakompakt. Es gibt also endlich viele v1, . . . , vn â E mit B â UΔ/2(v1) âȘ · · · âȘ UΔ/2(vn).Insbesondere gibt es zu jedem h â H ein k(h) â 1, . . . , n mit
â„â„â„nâj=1
fj(h)ej â vk(h)
â„â„â„ < Δ
2.
Zusammen mit (9.2) folgt fur alle h â H:
âhâ vk(h)â =â„â„â„hâ
nâj=1
fj(h)ej
â„â„â„ +â„â„â„
nâj=1
fj(h)ej â vk(h)
â„â„â„ < Δ.
v1, . . . , vn ist also ein endliches ΔâNetz fur H. €
9.8. Satz (Ascoli 1883 und Arzela 1885). Sei (K, d) ein kompakter metrischer Raum.Fur H â C(K) sind die beiden folgenden Aussagen aquivalent:
(a) H ist relativkompakt in C(K) bezuglich der Supremumsnorm â · âK.(b) H ist punktweise beschrankt und gleichgradig stetig, d.h. es gilt
(i) Fur alle x â K ist suphâH |h(x)| <â und(ii) âΔ > 0 âÎŽ > 0 âh â H âs, t â K: d(s, t) < ÎŽ =â |h(s)â h(t)| < Δ.
Beweis. Ist H eine relativkompakte Teilmenge von C(K), so ist H insbesondere be-schrankt und erfullt suphâH |h(x)| †suphâH âhâK < â und damit (i). Da H prakom-pakt ist, gibt es zu beliebig vorgegebenem Δ > 0 endlich viele h1, . . . , hn â H mitH â UΔ/3(h1) âȘ · · · âȘ UΔ/3(hn). Da die Funktionen h1, . . . , hn gleichmaĂig stetig sind,gibt es ein ÎŽ > 0, so daĂ fur alle x, y â K mit d(x, y) < ÎŽ und j = 1, . . . , j gilt:|hj(x) â hj(y)| < Δ/3. Ist nun h â H beliebig, so ist h â UΔ/3(hj) fur ein j â 1, . . . , nund es folgt fur alle x, y â K mit d(x, y) < ÎŽ:
|h(x)â h(y)| †|h(x)â hj(x)|+ |hj(x)â hj(y)|+ |hj(y)â h(y)| < Δ.
H ist also gleichgradig stetig.Seien nun die Bedingungen (i) und (ii) fur H erfullt. Wegen (i) ist F : x 7â (h(x))hâH
eine Abbildung vonK nach `â(H), die wegen (ii) stetig, also ein Element von C(K, `â(H))ist. Also folgt nach Satz 9.6: Zu beliebig vorgegebenem Δ > 0 gibt es endlich vieleÏ1, . . . , Ïn â C(K), u1 = (u1,h)hâH , . . . , un = (un,h)hâH â `â(H) mit
Δ >â„â„â„F â
nâj=1
Ïj â uj
â„â„â„K
= supxâK
suphâH
âŁâŁâŁh(x)ânâj=1
Ïj(x)uj,h
âŁâŁâŁ
= suphâH
supxâK
âŁâŁâŁh(x)ânâj=1
uj,hÏj(x)uj,h
âŁâŁâŁ =â„â„â„(h)hâH â
nâj=1
uj â Ïj
â„â„â„â.
Also folgt (h)hâH â `â(H)â C(K)â·ââ
und damit nach Satz 9.7 die Aussage (a) (mitE := C(K)). €
9. KOMPAKTE OPERATOREN 81
Beispiel. Seien K1 â RN , K2 â RM kompakte Mengen und sei k â C(K1 Ă K2).Dann ist der durch
(Kkf)(x) :=
â«
K2
k(x, y)f(y)dλM(y) (f â C(K2), x â K1)
definierte Integraloperator Kk : C(K2) â C(K1) ein kompakter Operator, wenn wirC(K1) und C(K2) jeweils mit den supâNormen â · âK1 bzw. â · âK2 auf K1 bzw. auf K2
versehen.
Beweis. Fur alle f â C(K2) ist âKkfâK1 †âkâK1ĂK2âfâK2λN(K1). Die Menge H :=Kkf ; f â C(K2), âfâK2 †1 ist also eine Menge von auf K1 gleichmaĂig beschranktenstetigen Funktionen. Da k auf der kompakten Menge K1ĂK2 stetig, also auch gleichmaĂigstetig ist, gibt es zu beliebig vorgegebenem Δ > 0 ein ÎŽ > 0, so daĂ fur alle (x, y), (u, v)mit |(x, y)â (u, v)| < ÎŽ gilt: |k(x, y)â k(u, v)| < Δ/(λM(K2) + 1). Fur alle f â C(K2) mitâfâK2 †1 und alle x1, x2 â K1 mit |x1 â x2| < ÎŽ gilt dann
|(Kkf)(x1)â (Kkf)(x2)| â€â«
K2
|k(x1, y)â k(x2, y)| · |f(y)|dλM(y) †ΔλM(K2)
λM(K2) + 1< Δ .
Nach dem Satz von ArzelaâAscoli ist H also relativkompakt und damit Kk ein kompakterOperator. €
9.9. Satz. Eine Teilmenge H von `p(N) (1 †p < â) ist genau dann relativkompaktin `p(N), wenn die beiden folgenden Bedingungen erfullt sind:
(a) âk â N âck â„ 0 âx = (xn)ân=1 â H: |xk| †ck.
(b) Die Reiheââ
n=1 |xn|p ist auf H gleichmaĂig konvergent, d.h. es gilt
sup( ââ
k=n
|xk|p)1/p
; x = (xj)âj=1 â H
â 0 fur nââ.
Beweis. Fur j â N sei ej := (ÎŽj,n)ân=1 der jâte Einheitsvektor in `p(N). Sind fur
H â `p(N) die Bedingungen (a) und (b) erfullt, so gilt wegen (a) fur alle k â N:
( kâj=1
hjej
)hâH
=kâj=1
(hj)hâH â ej â `â(N)â `p(N)
und wegen (b) folgt
â„â„â„(h)hâH âkâj=1
(hj)hâH â ej
â„â„â„â
= suphâH
( ââ
j=k+1
|hj|p)1/p
â 0 fur k ââ.
Nach Satz 9.7 ist H also prakompakt.Ist umgekehrt H â `p(N) prakompakt, so ist H insbesondere beschrankt und es folgt
(a), denn fur alle k â N gilt: suphâH |hk| †suphâH âhâp <â. Da H prakompakt ist, gibtes zu einem beliebig vorgegebenen Δ > 0 ein endliches Δ/3âNetz h1 = (h1,j)
âj=1, . . . , hm =
(hm,j)âj=1 â `p(N). Insbesondere gilt
ââj=n |hk,j|p â 0 fur n â â fur k = 1, . . . ,m.
Zu beliebig vorgegebenem Δ > 0 gibt also ein n0 â N, so daĂ fur alle n â„ n0 gilt:ââj=n |hk,j|p < (Δ/3)p, k = 1, . . . ,m. Seien nun n â„ n0 und x = (xj)
âj=1 â H beliebig.
Dann gibt es ein k â 1, . . . ,m mit x â UΔ/3(hk) und es folgt
( ââj=n
|xj|p)1/p
â€âxâ hkâp +( ââj=n
|hk,j|p)1/p
+( nâ1âj=1
|hk,j â xj|p)1/p
â€Î”3
+Δ
3+ âxâ hkâp < Δ .
82 9. KOMPAKTE OPERATOREN
Also ist auch (b) erfullt. €
9.10. Bemerkung. Fur beschrankte Mengen H â `p(N) ist die Bedingung (a) imvorstehenden Satz automatisch erfullt.
9.11. Beispiel. Sei 1 < p <â und 1p+ 1
pâČ = 1. Fur k = (kn,m)n,mâN â `pâČ(NĂN) wird
durch
Kk(x) :=( ââm=1
kn,mxm
)ân=1
fur x = (xm)âm=1 â `p(N)
ein kompakter Operator Kk : `p(N) â `pâČdefiniert.
Beweis. Fur alle x = (xm)âm=1 â `p(N) schatzt man mit der Holderschen Ungleichungab:
âKkxâpâČ =( âân=1
âŁâŁâŁââm=1
kn,mxm
âŁâŁâŁpâČ) 1
pâČ â€( âân=1
ââm=1
|kn,m|pâČâxâpâČp) 1
pâČ= âkâpâČâxâp
Insbesondere ist Kk stetig und daher H := Kk(B) beschrankt in `pâČ(N) mit B := x â
`p(N); âxâp †1. Nach der vorstehenden Bemerkung ist also (a) in Satz 9.9 erfullt (fur pâČ
statt p). Ferner hat man mit den Bezeichnungen aus 9.9 fur alle x = (xm)âm=1 â B undalle N â N (wieder mit Hilfe der Holderschen Ungleichung):
âân=N+1
âŁâŁâŁââm=1
kn,mxm
âŁâŁâŁpâČ
â€ââ
n=N+1
ââm=1
|kn,m|pâČâxâpâČp â€ââ
n=N+1
ââm=1
|kn,m|pâČ â 0
fur N â â wegen der Summierbarkeit von (|kn,m|pâČ)n,mâN. Hiermit folgt, daĂ auch Be-dingung (b) aus Satz 9.9 erfullt ist. Nach Satz 9.9 ist also H = Kk(B) relativkompakt in`pâČ(N) und daher der Operator Kk kompakt. €
9.12. Satz. Sei (H, ă·, ·ă) ein Pra-Hilbertraum uber K, H 6= 0. Ist T â L(H) einkompakter, hermitescher Operator, so gibt es einen Eigenwert ”0 â R von T mit |”0| =âTâ.
Beweis. Fur T = 0 ist die Behauptung trivial, denn dann ist (wegen H 6= 0)”0 := 0 ein Eigenwert von T . Sei nun also T 6= 0 vorausgesetzt. Nach Lemma 2.45 gilt
âTâ = sup|ăTx, xă| ; x â H, âxâ †1 .Daher gibt es eine Folge (xn)
ân=1 in BH mit |ăTxn, xnă| â âTâ fur n â â. Da T nach
Voraussetzung ein kompakter Operator ist, konnen wir o.B.d.A. (durch Ubergang zu einerTeilfolge) voraussetzen, daĂ die Folge (Txn)
ân=1 gegen ein y0 â H konvergiert. Nun ist die
Folge (ăTxn, xnă)ân=1 eine beschrankte Folge in R, besitzt also eine gegen ein ”0 â Rkonvergente Teilfolge (ăTxnk
, xnkă)âk=1 und es ist |”0| = âTâ > 0. Mit x0 := 1
”0y0 folgt
Txnkâ ”0x0 und âx0â †1. Ferner gilt (da T hermitesch ist):
0 â€âTxnkâ ”0xnk
â2 = âTxnkâ2 â 2”0ăTxnk
, xnkă+ ”2
0âxnkâ2
â€âTâ2 â 2”0ăTxnk, xnk
ă+ ”20 = 2”0(”0 â ăTxnk
, xnkă) â 0
fur k ââ. Es folgt limkââ ”0xnk= limkââ Txnk
= ”0x0. Also ist x0 = limkââ xnkund
damit auch wegen der Stetigkeit von T : ”0x0 = limkââ Txnk= Tx0. Wegen
0 6= |”0| = limkââ
|ăTxnk, xnk
ă| = |ăTx0, x0ă| = |”0|ăx0, x0ăist âx0â = 1 und damit insbesondere x0 6= 0. €
9. KOMPAKTE OPERATOREN 83
9.13. Bemerkung. Der Beweis zeigt, daĂ fur kompakte, hermitesche Operatoren dieFunktion qT mit qT (x) := |ăTx, xă| fur alle x â BH ihr Maximum âTâ auf der Einheits-sphare SH := x â H; âxâ = 1 von H annimmt.
Die folgenden Beispiele zeigen, daĂ man die Voraussetzungen in Satz 9.12 auch tat-sachlich benotigt.
9.14. Beispiele. Sei H der Pra-Hilbertraum (C([0, 1]), ă·, ·ă) mit dem durch ăf, gă :=â« 1
0f(t)g(t)dt fur f, g â C([0, 1]) gegebenem Skalarprodukt.
(a) Der Operator T mit (Tf)(t) := tf(t) fur alle f â C([0, 1]), t â [0, 1] ist hermitesch,besitzt aber keine Eigenwerte.
(b) Der Operator V mit (V f)(t) :=â« t
0f(s)ds fur alle f â C([0, 1]), t â [0, 1] ist
kompakt und hat ebenfalls keine Eigenwerte.
Beweis als Ubung.
Wir konnen nun einen fur die Anwendungen sehr wichtigen Entwicklungssatz fur kom-pakte hermitesche Operatoren beweisen.
9.15. Spektralsatz fur kompakte hermitesche Operatoren. Sei (H, ă·, ·ă)ein undendlich dimensionaler PraâHilbertraum uber K und sei T : H â H ein kompakter,hermitescher Operator. Zu dem Eigenwertproblem
Tx = ”x
gibt es abzahlbar unendlich viele Paare (”j, xj) â RĂH, j â N0, so daĂ gilt:
(a) Fur alle j â N0 ist ”j ein Eigenwert von T und xj ein zugehoriger Eigenvektormit âxjâ = 1. Die Folge (xj)
âj=0 bildet ein Orthonormalsystem.
(b) âTâ = |”0| â„ |”1| ℠· · · â„ |”n| â„ |”n+1| â„ . . . und es gilt |”n| â 0 fur nââ.(c) Mit Hn := x0, . . . , xnâ1â„ gilt fur alle n â N:
|”n| = sup|ăTx, xă| ; x â Hn, âxâ †1 = supâTxâ ; x â Hn, âxâ †1 .(d) Jedes Element aus dem Bildraum von T wird durch seine Entwicklung nach dem
Orthonormalsystem (xj)âj=0 dargestellt und es gilt fur alle x â H:
Tx =âân=0
ăTx, xnăxn =âân=0
ăx, Txnăxn =âân=0
”năx, xnăxn .
(e) Fur jeden von 0 verschiedenen Eigenwert ” von T gibt es ein n â N0 mit ”n = ”.Der zugehorige Eigenraum E” := x â H ; Tx = ”x = ker(”1H â T ) ist endlichdimensional und hat xk ; ”k = ” als Basis.
Beweis. Wir konstruieren die Paar (”n, xn) induktiv. Das Paar (”0, x0) wahlen wirgemaĂ Satz 9.12. Seien nun schon fur ein n â N0 die Eigenwerte ”0, ”1, . . . , ”n mit denzugehorigen Eigenvektoren so gefunden, daĂ die folgenden drei Bedingungen erfullt sind:
(i) âTâ = |”0| â„ |”1| ℠· · · â„ |”n|.(ii) ăxj, xkă = ÎŽj,k fur alle j, k â 0, 1, . . . , n.(iii) Mit H0 := H gilt fur j = 0, 1, . . . , n:
|”j| = sup|ăTx, xă| ; x â Hj, âxâ †1 = supâTxâ ; x â Hj, âxâ †1 .Wir konstruieren nun einen Eigenwert ”n+1 und einen zugehorigen Eigenvektor, so daĂdie Forderungen (i)-(iii) auch fur n+ 1 erfullt sind.
Hn+1 := x0, . . . , xnâ„ ist ein abgeschlossener Untervektorraum, der versehen mit dem(auf Hn+1ĂHn+1 eingeschrankten) Skalarprodukt ă·, ·ă wieder ein PraâHilbertraum uberK ist. Wegen ăTx, xjă = ăx, Txjă = ”jăx, xjă = 0 fur alle x â Hn+1 und j = 0, . . . , n ist
84 9. KOMPAKTE OPERATOREN
T (Hn+1) â Hn+1. Hn+1 ist also unter T invariant und T |Hn+1 : Hn+1 â Hn+1 ist naturlichebenfalls kompakt und hermitesch. Da H unendlich dimensional ist, ist Hn+1 6= 0. Wirkonnen also Satz 9.12 auf T |Hn+1 : Hn+1 â Hn+1 anwenden und finden einen Eigenvektor”n+1 von T |Hn+1 und damit auch von T sowie einen zugehorigen Eigenvektor xn+1 â Hn+1
mit âxn+1â = 1 und mit
|”n+1| =âT |Hn+1â = sup|ăTx, xă| ; x â Hn+1, âxâ †1= supâTxâ ; x â Hn+1, âxâ †1 .
Insbesondere folgt wegen Hn+1 â Hn
|”n+1| = âT |Hn+1â †âT |Hnâ = |”n| .Die Forderungen (i)-(iii) sind nun auch fur n + 1 erfullt. Damit ist (”n+1, xn+1) wiegewunscht gefunden und es folgen die Behauptungen (a) und (c) sowie der erste Teilvon (b).
Den zweiten Teil der Behauptung in (b) beweisen wir indirekt:Annahme: Die Folge (”n)
ân=0 konvergiert nicht gegen 0. Dann ist die Folge ( 1
”n)ân=0 in
R und damit auch die Folge ( 1”nxn)
ân=0 in H beschrankt. Da T ein kompakter Operator
ist besitzt die Folge (T ( 1”nxn))
ân=0 eine in H konvergente Teilfolge (T ( 1
”nkxnk
))âk=0. Dies
ist aber wegen
âT (1
”nxn)â T (
1
”jxj)â = âxn â xjâ = 2 fur alle j, n â N mit n 6= j
nicht moglich. Also war die Annahme falsch und (b) ist bewiesen.Zu (d): Fur alle n â N definieren wir Pn : H â H durch Pnx :=
ânj=0ăx, xjăxj fur
alle x â H. Dann folgt fur 0 †k < n:
ăxâ Pnx, xkă = ăx, xkă ânâj=0
ăx, xjăăxj, xkă = 0 .
Also ist x â Pnx â Hn fur alle x â H, n â N. Nach der Besselschen Ungleichung istâPnxâ †âxâ. Es folgt fur alle x â H:
âT (xâ Pnx)â = âT |Hn(xâ Pnx)â †âT |Hnâ · âxâ Pnxâ †2|”n| · âxâ â 0 fur nââ .
Damit ergibt sich fur alle x â H:
Tx = limnââ
TPnx = limnââ
nâj=0
ăx, xjăTxj =ââj=0
ăx, xjăTxj =ââj=0
ăx, xjă”jxj
=ââj=0
ăx, ”jxjăxj =ââj=0
ăx, Txjăxj =ââj=0
ăTx, xjăxj
und (d) ist bewiesen.Zu (e): Sei ” 6= 0 ein Eigenwert von T und x 6= 0 ein zugehoriger Eigenvektor. Dann
folgt fur alle n â N0:
”ăx, xnă = ăTx, xnă = ăx, Txnă = ”năx, xnă .Ist also ” 6= ”n, so folgt ăx, xnă = 0. Demnach kann ” nicht von allen ”n, n â N0 verschie-den sein, da sonst die unmogliche Aussage
0 6= ”x = Tx =ââj=0
ăx, xjă”jxj = 0
folgen wurde. Nach Bemerkung 9.3 (c) ist dimE” <â. €
9. KOMPAKTE OPERATOREN 85
9.16. Folgerung. Sei (H, ă·, ·ă) ein unendlich dimensionaler Hilbertraum uber K.Gibt es auf H einen injektiven, kompakten, hermiteschen Operator, so ist H separabel unddas in dem Beweis des Spektralsatzes konstruierte Orthonormalsystem von Eigenvektorenvon T ist eine Orthonormalbasis von H.
Beweis. Sei also ein injektiver, kompakter, hermitescher Operator T auf H gegeben.Dann ist (ranT )â„ = kerT â = kerT = 0 (vergl. Lemma 2.46). Nach Satz 2.21 liegtranT also dicht in H. Nach Teil (d) des Spektralsatzes liegt also die lineare Hulle des in9.15 konstruierten Orthonormalsystems dicht in H und ist somit ein vollstandiges Ortho-normalsystem, also auch eine Orthonormalbasis von H. Da diese abzahlbar unendlich ist,ist H nach Satz 2.33 separabel. €
Ubungsaufgaben zu Kapitel 9. In diesem Abschnitt sei Ω â RN ein beschranktesGebiet. Eine Funktion f : Ω â K heiĂt Holderâstetig mit Exponent α â (0, 1], falls gilt
(9.3) qα(f) := supx,yâΩ,x 6=y
|f(x)â f(y)||xâ y|α <â .
Die mit dem Exponenten α = 1 HolderâStetigen Funktionen stimmen also mit denLipschitzâstetigen Funktionen uberein.
Fur m â N0 und 0 < α †1 sei Cm,α(Ω) der Raum der auf Ω m mal stetig differenzier-baren Funktionen, die mit allen Ableitungen der Ordnung †m stetig auf Ω fortsetzbarsind und die mit allen Ableitungen der Ordnung†m Holderâstetig auf Ω vom Exponentenα sind.
9.1. Aufgabe. Zeigen Sie:
(a) Durch
âfâm,α := max|Îł|â€m
supxâΩ
âŁâŁâŁâÎłf
âxÎł(x)
âŁâŁâŁ + max|Îł|=m
qα
(âÎłfâxÎł
)fur f â Cm,α(Ω)
wird eine Norm auf Cm,α(Ω) erklart, bezuglich der Cm,α(Ω) ein Banachraum ist.(b) Fur 0 < α < 1 gilt Cm+1(Ω) â Cm,α(Ω) â Cm(Ω) mit kompakten Einbettungen.
Hierbei sei Cm(Ω) der Banachraum der auf Ω m mal stetig differenzierbarenFunktionen, die mit allen Ableitungen der Ordnung †m stetig auf Ω fortsetzbarsind, versehen mit der Norm
âfâm := max|Îł|â€m
supxâΩ
âŁâŁâŁâÎłf
âxÎł(x)
âŁâŁâŁ f â Cm(Ω).
9.2. Aufgabe. Sei Cb(R) der Banachraum der auf R beschrankten stetigen Funktionenversehen mit der Supremumsnorm â · ââ. Fur x â R und k â N definieren wir:
f(x) :=
x2(1â x2) fur â 1 †x †1
0 fur |x| â„ 1und fk(x) := f(x+ k) .
Zeigen Sie: Die Folge (fk)âk=0
(a) ist punktweise beschrankt.(b) ist gleichgradig stetig.(c) ist punktweise konvergent.(d) besitzt keine gleichmaĂig konvergente Teilfolge.
86 9. KOMPAKTE OPERATOREN
9.3. Aufgabe. (a) SeiH ein Hilbertraum mit Orthonormalbasis en, n â N und(αn)nâN â `â(N). Wir definieren zu k â N0 beliebig aber fest eine Abbildung Tauf H folgendermaĂen:
T( âân=1
ăx, enăen)
:=âân=1
ăx, enăαnen+k fur alle x â H.
Zeigen Sie, daĂ T nach H abbildet und stetig ist. Geben Sie âTâ an.(b) Zeigen Sie, daĂ der in (a) definierte Operator genau dann kompakt ist, wenn
(αn)nâN eine Nullfolge ist.
9.4. Aufgabe. Sei T ein stetiger Operator auf einem separablen Hilbertraum H. Mannennt T einen Hilbert-Schmidt-Operator, wenn es eine Orthonormalbasis ei, i â N vonH gibt, so daĂ gilt
(9.4)ââi=1
âTeiâ2 <â.
(a) Zeigen Sie, daĂ Bedingung 9.4 fur jede Orthonormalbasis erfullt ist, wenn sieschon fur eine Orthonormalbasis gilt und alle Summen der Form 9.4 denselbenWert haben (dessen Wurzel wir mit âTâHS bezeichnen). AuĂerdem ist T Hilbert-Schmidt-Operator genau dann, wenn T â ein solcher ist.
(b) Es gilt âTâ †âTâHS.(c) Jeder Hilbert-Schmidt-Operator ist kompakt.
Hinweis zu (a): Zeigen Sie fur zwei Orthonormalbasen ei, fj vonH, daĂââ
i=1 âTeiâ2 =ââj=1 âT âfjâ2 gilt.
9.5. Aufgabe. (a) Welche der Operatoren aus Aufgabe 9.3 sind Hilbert-Schmidt-Operatoren?
(b) Zeigen Sie: T ist Hilbert-Schmidt-Operator â T âT ist kompakt und die Familieder Eigenwerte von T âT ist summierbar.
9.6. Aufgabe. Fuhren Sie die Beweise zu den Beispielen in 9.14 aus.
9.7. Aufgabe. Sei H ein Hilbertraum und T â K(H) positiv und selbstadjungiert.Zeigen Sie, daĂ genau ein positiver selbstadjungierter Operator S â K(H) existiert mitS2 = T . Man schreibt S = T 1/2.
9.8. Aufgabe. Sei T : H1 â H2 ein kompakter Operator zwischen zwei Hilbertraum-en.
(a) Zeigen Sie, daĂ T âT kompakt, selbstadjungiert und positiv ist. Der nach Aufga-be 9.7 daher eindeutig bestimmte Operator (T âT )1/2 wird mit |T | bezeichnet.
(b) Es gilt â|T |hâ = âThâ fur alle h â H1.(c) Es existieren Operatoren U â L(H1, H2) und P â L(H1) mit T = UP , so daĂ P
kompakt und positiv ist und U |(kerU)â„ eine Isometrie. U ist durch die ForderungkerU = kerT eindeutig bestimmt.
9.9. Aufgabe. Seien H1, H2 Hilbertraume.
(a) Fur T â K(H1, H2) existieren Orthonormalsysteme e1, e2, ... vonH1 und f1, f2, ...von H2 sowie eine monoton fallende Folge nicht negativer Zahlen sk mit sk â 0,so daĂ
Tx =ââ
k=1
skăx, ekăH1fk fur alle x â H1.
Welche Bedeutung haben die Zahlen s2k?
9. KOMPAKTE OPERATOREN 87
(b) Zeigen Sie, daĂ die linearen Operatoren vonH1 nachH2 mit endlichdimensionalemBild dicht liegen in K(H1, H2).
KAPITEL 10
Grundlagen aus der Fredholmtheorie
Im folgenden seien (E; â·âE), (F, â·âF ) und (G, â·âG) Banachraume uber dem KorperK der reellen oder komplexen Zahlen. Die Identitat auf diesen Raumen bezeichnen wirmit 1.
10.1. Lemma. Ist E = E1âE2 die algebraisch direkte Summe zweier UntervektorraumeE1 und E2, so sind folgende Aussagen aquivalent:
(a) E1 und E2 sind abgeschlossen.(b) Es gibt P â L(E) mit P 2 = P , ran(P ) = E1 und ker(P ) = E2, d.h. die Un-
terraume E1 und E2 sind insbesondere stetig projiziert.(c) Der algebraische Isomorphismus S : E1 Ă E2 â E mit S(x1, x2) := x1 + x2 fur
alle x1 â E1, x2 â E2 ist ein topologischer Isomorphismus. Hierbei sei E1 Ă E2
versehen mit der Produktnorm.
Beweis. â(a)=â(c)â: Ist (a) erfullt, so ist insbesondere E1ĂE2 ein Banachraum undder algebraische Isomorphismus S ist offensichtlich stetig, also nach dem Satz von derinversen Abbildung ein topologischer Isomorphismus.
â(c)=â(b)â: Ist (c) erfullt, so ist Q : E1 Ă E2 â E1 Ă E2 mit Q(x1, x2) := (x1, 0) furalle (x1, x2) â E1 Ă E2 eine stetige lineare Projektion. Also ist auch P := SQSâ1 einestetige lineare Projektion. Diese erfullt ran(P ) = E1 und ker(P ) = E2.
â(b)=â(a)â: Ist (b) erfullt und P wie in (b), so sind E2 = ker(P ) und E1 = ker(1âP )wegen der Stetigkeit von P und 1â P abgeschlossen. €
10.2. Lemma. Sei E1 ein endlich dimensionaler Untervektorraum von E. Dann gibtes eine Projektion P â L(E) mit ran(P ) = E1.
Beweis. Sei e1, . . . , en eine Basis von E1 und f1, . . . , fn eine duale Basis im algebrai-schen Dualraum von E1 (mit also fj(ek) = ÎŽj,k, j, k = 1, . . . , n). Wegen dimE1 = n <âsind die Funktionale f1, . . . , fn auf E1 stetig, besitzen also nach dem Satz von HahnâBanach stetige Fortsetzungen f1 . . . , fn auf ganz E. Die durch
P (x) :=nâj=1
fj(x)ej (x â E)
definierte stetige lineare Abbildung erfullt offensichtlich P 2 = P und ran(P ) = E1. €10.3. Lemma (Kato 1958). Ist T â L(E,F ) ein stetiger linearer Operator mit
codim ran(T ) := dimF/ ran(T ) = n <â ,
so ist ran(T ) abgeschlossen und es gibt eine Projektion P â L(F ) mit dim ran(1âP ) = nund ran(P ) = ran(T ).
Beweis. Sei Ï : E â E/ ker(T ) der kanonische Epimorphismus und T : E/ ker(T ) âF der von T induzierte Monomorphismus. Wegen der Stetigkeit von T ist ker(T ) abge-
schlossen und auch T stetig mit ran(T ) = ran(T ). Wegen dimF/ ran(T ) = n <â gibt esElemente y1, . . . , yn â F mit
F = ran(T ) + LHy1, . . . , yn und ran(T ) â© LHy1, . . . , yn = 0 .88
10. GRUNDLAGEN AUS DER FREDHOLMTHEORIE 89
X := E/ ker(T )Ă Cn wird zu einem Banachraum durch
â([x], z)âX := â[x]âE/ ker(T ) +nâj=1
|zj| ([x] â E/ ker(T ), z = (z1, . . . , zn) â Cn)
Der Operator S : X â F mit S([x], z) := T ([x]) +ân
j=1 zjyj ist offensichtlich stetig und
bijektiv. Nach dem Satz 5.7 von der inversen Abbildung ist dann auch Sâ1 : F â X stetigund ranT = (Sâ1)â1(E/ ker(T ) Ă 0) ist als Urbild des abgeschlossenen UnterraumsE/ ker(T )Ă 0 unter der stetigen Abbildung Sâ1 abgeschlossen.
Sei Q : X â X die stetige Projektion ([x], z) 7â ([x], 0). Dann ist P := SQSâ1 stetigund erfullt P 2 = P , ran(P ) = ran(SQ) = ran(T ) und ran(1 â T ) = ran(S(1 â Q) =LHy1, . . . , yn. €
10.4. Lemma. Sei E1 ein endlich dimensionaler Untervektorraum von E und sei E2
ein abgeschlossener Untervektorraum von E. Dann ist auch der Untervektorraum E1 +E2
abgeschlossen in E.
Beweis. Sei Ï : E â E/E2 der kanonische Epimorphismus. Da mit E1 auch Ï(E1)endlichdimensional und somit abgeschlossen in E/E2 ist, ist wegen der Stetigkeit von Ïauch der Raum E1 + E2 = Ïâ1(Ï(E1)) abgeschlossen in E. €
10.5. Definition. T â L(E,F ) heiĂt Fredholmoperator , falls dim ker(T ) < â undcodim ranT = dimF/ ran(T ) <â. Dann ist
ind(T ) := dim ker(T )â dimF/ ran(T )
eine ganze Zahl. ind(T ) heiĂt der Index von T .Mit Ί(E,F ) bezeichnen wir die Menge aller Fredholmoperatoren von E nach F . Ferner
sei fur alle n â Z die Menge der Fredholmoperatoren vom Index n mit
Ίn(E,F ) := T â Ί(E,F ) ; ind(T ) = nbezeichnet. Statt Ί(E,E) bzw. Ίn(E,E) schreiben wir auch Ί(E) bzw. Ίn(E).
10.6. Beispiel. Sei E := `p(N0) fur alle n â N0 definieren wir Sn, Tn â L(E) durchx = (xk)
âk=0 7â Tn(x) := (xk+n)
âk=0 und x = (xk)
âk=0 7â Sn(x) := (yk)
âk=0 mit yk := 0
fur 0 †k < n und yk := xkân fur k â„ n. Dann sind die Operatoren Tn, Sn stetig mitâTnâ = âSnâ = 1. Man hat Tn, Sn â Ί(E) mit ind(Tn) = n und ind(Sn) = ân. Alleganzen Zahlen konnen also als Index auftreten.
Eine wichtige Klasse von Beispielen wird durch den folgenden Satz gegeben:
10.7. Satz. Fur jeden kompakten Operator K â K(E) ist 1âK â Ί(E).
Beweis. (a) dim ker(1âK) <â: Dies ist unmittelbar klar nach Bemerkung 9.3 (c).(b) ran(1âK) ist abgeschlossen: Wegen dim ker(1âK) <â existiert nach Lemma 10.2
eine Projektion Q â L(E) mit ran(Q) = ker(1âK). Wegen der Stetigkeit von Q ist dannE1 := ker(Q) = ran(1âQ) abgeschlossen in E und es gilt ran(1âK) = (1âK)(E1). Sei
nun y â ran(1âK) = (1âK)(E1) beliebig. Dann gibt es eine Folge (xn)ân=1 in E1 mit
(1âK)xn â y in E fur nââ. Wir unterscheiden zwei Falle:1. Fall: Die Folge (xn)
ân=1 ist unbeschrankt. Durch Ubergang zu einer Teilfolge konnen
wir dann annehmen, daĂ âxnâE â â fur n â â. Mit un := âxnââ1E xn folgt âunâE = 1
fur alle n â N und
(10.1) â(1âK)unâE =1
âxnâE â(1âK)xnâE â 0 fur nââ.
Da der Operator K kompakt ist, hat die Folge (Kun)ân=1 eine gegen ein Element v â E
konvergente Teilfolge (Kunk)âk=1. Wegen (10.1) folgt hieraus unk
â v fur k â â und
90 10. GRUNDLAGEN AUS DER FREDHOLMTHEORIE
wegen der Stetigkeit von 1âK und (10.1) somit (1âK)v = 0. Da E1 abgeschlossen ist,liegt v in E1 und es folgt v â E1 â© ker(1 â K) = 0, d.h. v = 0 im Widerspruch zuâvâE = limkââ âunk
âE = 1. Dieser Fall kann also nicht eintreten und es bleibt nur:2. Fall: Die Folge (xn)
ân=1 ist beschrankt. Dann hat die Folge (Kxn)
ân=1 eine konvergente
Teilfolge (Kxnk)âk=1. Also ist xnk
= (1 â K)xnk+ Kxnk
gegen ein Element x0 â E1
konvergent. Wegen der Stetigkeit von 1âK folgt
y = limkââ
(1âK)xnk= (1âK)x0
und somit y â ran(1âK). Also hat 1âK ein abgeschlossenes Bild.(c) Zu zeigen bleibt: dim(E/ ran(1 âK)) < â. Wir fuhren den Beweis indirekt und
nehmen an, daĂ dim(E/ ran(1 âK)) = â gilt. Wir fuhren eine induktive Konstruktiondurch:
Wir setzen Y0 := ran(1 â K). Insbesondere ist Y0 nach (b) abgeschlossen. Wegendim(E/ ran(1 â K)) = â gibt es nach dem Lemma von Riesz 1.15 ein y1 â E \ Y0 mitdist(y1, Y0) â„ 1/2 und ây1â = 1 und hierzu nach der Folgerung 6.7 aus dem Satz vonHahnâBanach ein xâČ1 â E âČ mit xâČ1|Y0 ⥠0, âx1âEâČ = 1 und xâČ1(y1) = dist(y1, Y0) â„ 1/2.Dann ist Y1 := Y0 + LHy0 nach Lemma 10.4 und unserer Annahme wieder ein echterabgeschlossener Unterraum von E.
Seien nun schon yj â E, xâČj â E âČ fur 1 †j †n konstruiert derart, daĂ mit Yj :=Y0 + LHy1, . . . , yj gilt: âyjâE = 1 = âxâČjâEâČ , yj â Yj \ Yjâ1, x
âČj|Yjâ1
⥠0 und xâČj(yj) =dist(yj, Yjâ1) â„ 1/2 fur j = 1, . . . , n.
Nach unserer Annahme und Lemma 10.4 ist Yn ein echter, abgeschlossener Untervek-torraum von E. Wieder nach dem Lemma von Riesz 1.15 gibt es also ein y1 â E \ Y0
mit dist(yn+1, Yn) â„ 1/2 und âyn+1â = 1 und hierzu nach der Folgerung 6.7 aus demSatz von HahnâBanach ein xâČn+1 â E âČ mit xâČn+1|Y0 ⥠0, âxn+1âEâČ = 1 und xâČn+1(yn+1) =dist(yn+1, Yn) â„ 1/2.
Da K ein kompakter Operator auf E ist, ist H := K(BE) kompakt. Die Folge der obeninduktiv konstruierten stetigen linearen Funktionale xâČn, n â N ist auf der kompaktenMenge H punktweise beschrankt und gleichgradig stetig, besitzt also nach dem Satz vonArzelaâAscoli eine auf H gleichmaĂig konvergente Teilfolge (xâČnk
)âk=1. Daher ist die Folge(xâČnk
K)âk=1 in (E âČ, â · âEâČ) konvergent gegen ein stetiges lineares Funktional yâČ auf E.Wegen xâČnk
|ran(1âK) ⥠0 folgt dann auch
xâČnk= xâČnk
(1âK) + xâČnkK â yâČ fur k ââ
im Widerspruch dazu, daĂ (xâČnk)âk=1 wegen
âxâČnk+1â xâČnk
âEâČ â„ |xâČnk+1(ynk
)â xâČnk(ynk
)| = |xâČnk(ynk
)| â„ 1
2
keine Cauchyfolge in (E âČ, â · âEâČ) sein kann. Also war die Annahme falsch, d.h. es giltcodim(ran(1âK)) <â. €
10.8. Satz (Atkinson). Fur alle T â Ί(E,F ). S â Ί(F,G) gilt ST â Ί(E,F ) und
ind(ST ) = ind(S) + ind(T ).
Beweis. Wir betrachten die folgenden algebraisch direkten Zerlegungen:
ker(S) = (ran(T ) â© ker(S))â F2
und
E = ker(T )â E1Tââ F =
ran(T )ïž· ïžžïžž ïž·F1 â (ran(T ) â© ker(S))âF2 â F3
Sââran(S)ïž· ïžžïžž ïž·
S(F1)ïžž ïž·ïž· ïžžran(ST )
âS(F3)âG1 .
10. GRUNDLAGEN AUS DER FREDHOLMTHEORIE 91
Wegen dim ker(S) <â ist
(10.2) dim(ran(T ) â© ker(S)) = dim ker(S)â dimF2 <âund aus der Injektivitat von S|F3 und wegen codim ran(T ) <â folgt
dimS(F3) = dimF3 <âund daher
dimS(F3) = dimF2 â F3 â dimF2 = codim ran(T )â dimF2 .
Nun ist T |E1 injektiv und
ker(ST ) = ker(T )â x â E1 ; Tx â ker(S)und somit
dim ker(ST ) = dim ker(T ) + dim(ran(T ) â© ker(S)) <â.
Ferner gilt
codim ran(ST ) = dimS(F3) + dimG1 = codim ran(T )â dimF2 + codim ran(S) .
Es folgt unter Verwendung von (10.2)
ind(ST ) = dim ker(ST )â codim ran(ST )
= dim ker(T ) + dim(ran(T ) â© ker(S))â codim ran(T ) + dimF2 â codim ran(S)
= ind(T ) + ind(S) .
€10.9. Lemma. Fur alle A â F(E) ist ind(1 + A) = 0.
Beweis. Wir zerlegen ker(A) und E algebraisch direkt in der Form ker(A) = E1 â(ran(A) â© ker(A)) und
E = E1 âE4ïž· ïžžïžž ïž·
(ran(A) â© ker(A))â E2ïžž ïž·ïž· ïžžran(A)
âE3 .
Es folgt(1 + A)(E4) â E4 + A(E4) â E4 + ran(A) â E4 .
Fur alle x â E1 hat man wegen E1 â ker(A): (1 + A)x = x + Ax = x â E1 und daher(1+A)|E1 = 1E1 . Insbesondere sind E1 und E4 invariant unter 1+A. Wegen der Injektivitatvon A|E2âE3 und wegen dim ran(A) < â gilt dim(E2 â E3) = dim ran(A) < â. Da E4
von endlicher Dimension und invariant unter 1 + A ist, folgt
dim ker((1 + A)|E4) = dim(E4/(1 + A)(E4)) = codim ran(1 + A)
und daher
dim ker(1 + A) = dim ker((1 + A)|E1 + dim ker((1 + A)|E4) = 0 + codim ran(1 + A),
also ind(1 + A) = 0. €Im folgenden Satz zeigen wir, daà die Fredholmoperatoren gerade die stetigen linearen
Operatoren sind, die modulo der Operatoren von endlich dimensionalem Rang invertierbarsind.
10.10. Satz. Fur T â L(E,F ) sind die folgenden drei Aussagen aquivalent:
(a) T ist Fredholmoperator.(b) Es gibt L,R â Ί(F,E) und A1 â F(E), A2 â F(F ) mit
(10.3) LT = 1E â A1 , TR = 1F â A2 .
92 10. GRUNDLAGEN AUS DER FREDHOLMTHEORIE
(c) Es gibt L,R â L(F,E) und A1 â F(E), A2 â F(F ) mit (10.3).
Beweis. â(a)=â(b)â: Sei also T â Ί(E,F ). Nach dem KatoâLemma 10.3 gibt es eineProjektion P = P 2 â L(F ) mit ran(P ) = ran(T ) und dim ran(1 â P ) = codim ran(T ).Wegen dim ker(T ) <â gibt es nach Lemma 10.2 auch eine ProjektionQ = Q2 â L(E) mitran(Q) = ker(T ). E1 := ker(Q) = ran(1E â Q) ist abgeschlossener Untervektorraum vonE und es ist E = ker(T )âE1. T |E1 ist also injektiv und T (E1) = ran(T ) ist abgeschlossen.Nach dem Satz von der inversen Abbildung existiert also S â L(ran(T ), E1) mit ST |E1 =1E1 und TS = 1ran(T ). Mit R := L := SP : F â E folgt
ran(L) = ran(R) = E1, codim ran(L) = codim ran(R) = dimE/E1 = dim ker(T ) <âsowie
ker(R) = ker(L) = ran(1F â P ),
dim ker(R) = dim ker(L) = dim ran(1F â P ) = codim ran(T ) <â.
Also gilt R = L â Ί(F,E) und ind(R) = ind(L) = â ind(T ). Ferner hat man
LT =SPT = ST (1E âQ) + STQ = 1E âQ,
TR =TSP = P = 1F â (1F â P )
mit Q â F(E), 1F â P â F(F ).â(b)=â(c)â ist offensichtlich.â(c)=â(a)â: Aus der Voraussetzung in (c) folgt fur x â E:
LTx = 0 ââ x = A1x
und damit
ker(T ) â ker(LT ) â ran(A1) also dim ker(T ) †dim ran(A1) <â.
Wegen TR = 1F â A2 ist
F = ran(1F ) â ran(TR) + ran(A2) â F
und daher codim ran(T ) †codim ran(TR) †dim ran(A2) <â. Also ist T ein Fredholm-operator. €
Aus Satz 10.8 und Lemma 10.9 erhalten wir unmittelbar:
10.11. Folgerung. Ist T â Ί(E,F ) und sind L,R,A1, A2 wie in Satz 10.10 (b), sogilt ind(L) = ind(R) = â ind(T ).
10.12. Satz (Satz von der Stabilitat des Indexes). Seien E, F unendlich dimensionaleBanachraume. Fur alle n â Z ist die Menge Ίn(E,F ) offen in L(E,F ). Insbesondere istalso auch Ί(E,F ) offen und die Abbildung ind : Ί(E,F ) â Z ist stetig.
Beweis. Sei T â Ίn(E,F ) beliebig. Nach Satz 10.10 und der anschlieĂenden Folge-rung gibt es dann L,R â Ίân(E,F ) und A1 â F(E), A2 â F(F ) mit LT = 1E âA1 undTR = 1F â A2. Insbesondere ist
d := minâLââ1, âRââ1 > 0.
Sei nun S â L(E,F ) beliebig mit âSâ < d. Dann ist âLSâ < 1 und âRSâ < 1. NachLemma 7.6 sind die Operatoren 1E +LS in L(E) und 1F +SR in L(F ) invertierbar, alsobijektiv und insbesondere Fredholmsch vom Index 0. Ferner gilt
L(T + S) = 1E â A1 + LS , (T + S)R = 1F â A2 + SR .
Multiplikation von links mit (1E + LS)â1 bzw. von rechts mit (1F + SR)â1 ergibt
(1E + LS)â1Lïžž ïž·ïž· ïžž=:LâL(F,E)
(T + S) = 1E â (1E + LS)â1A1ïžž ïž·ïž· ïžž=:A1âF(E)
.
10. GRUNDLAGEN AUS DER FREDHOLMTHEORIE 93
bzw.
(T + S)R(1F + SR)â1
ïžž ïž·ïž· ïžž=:RâL(F,E)
= 1F â A2R(1F + SR)â1
ïžž ïž·ïž· ïžž=:A2âF(F )
.
Nach Satz 10.10 ist T + S also ein Fredholmoperator und mit Satz 10.8 und Lemma 10.9folgt aus der letzten Gleichung
0 = ind((T+S)R(1+SR)â1
)= ind(T+S)+ind(R)+ind((1+SR)â1) = ind(T+S)ân+0
und daher ind(T + S) = n, d.h. T + S â Ίn(E,F ). €
10.13. Folgerung. Sei X ein zusammenhangender topologischer Hausdorffraum undsei T (·) : X â Ί(E, f) stetig. Dann ist t 7â ind(T (t)) konstant auf X.
Beweis. Nach dem Stabilitatssatz 10.12 ist die Abbildung t 7â ind(T (t)) als Hinter-einanderausfuhrung von stetigen Abbildungen eine stetige Abbildung von X nach Z. DaX zusammenhangend ist, ist auch ind(T (t)) ; t â X eine zusammenhangende Teilmengevon Z, also nur aus einem Punkt bestehend. €
10.14. Folgerung. Fur alle K â L(E) ist ind(1E +K) = 0.
Beweis. Mit K ist fur 0 †t †1 auch der Operator âtK kompakt. Nach Satz 10.7ist also fur alle t â [0, 1] der Operator T (t) := 1E + tK ein Fredholmoperator. Da dieAbbildung T (·) : [0, 1] â L(E) stetig ist und [0, 1] zusammenhangend ist, folgt nachFolgerung 10.13: ind(T +K) = ind(T (1)) = ind(T (0)) = ind(1E) = 0. €
10.15. Satz. Sei K â K(E) und T := 1E âK. Dann gibt es ein n0 â N, so daĂ furalle n â„ n0 gilt:
ker(T n) = ker(T n0), ran(T n) = ran(T n0).
Beweis. Offensichtlich gilt fur alle n â N:
ker(T n) â ker(T n+1), ran(T n) â ran(T n+1).
Annahme: Fur alle n â N gilt ker(T n) ( ker(T n+1). Da ker(T n) abgeschlossen ist, gibt esnach dem Lemma von Riesz 1.15 zu jedem n â N ein xn â ker(T n+1) mit âxnâ = 1 und
dist(xn, ker(T n)) = infâxn â xâ ; x â ker(T n) â„ 1
2.
Wegen Txm + xn â Txn â ker(Tm) fur alle m > n folgt
âKxm âKxnâ = âxm â (Txm + xn â Txn)â â„ infâxn â xâ ; x â ker(Tm) â„ 1
2
im Widerspruch dazu, daĂ die Folge (Kxn)ân=1 wegen der Kompaktheit von K und der
Beschranktheit der Folge (xn)ân=1 eine konvergente Teilfolge besitzen muĂ. Die Annahme
war also falsch. Es gibt daher ein n0 â N mit ker(T n0) = ker(T n0+1). Fur x â ker(T n0+2)ist Tx â ker(T n0+1) = ker(T n0) und somit x â ker(T n0+1) = ker(T n0). Durch vollstandigeInduktion folgt ker(T n) = ker(T n0) fur alle n â„ n0. Insbesondere gilt also fur alle n â„ n0:dim ker(T n) = dim ker(T n0). Mit Folgerung 10.14 und Satz 10.8 erhalt man fur alle n â N
0 = n ind(T ) = ind(T n) = dim ker(T n)â codim ran(T n)
und daher fur alle n â„ n0:
codim ran(T n) = codim ran(T n0) <â.
Hieraus folgt ran(T n) = ran(T n0) fur alle n ℠n0. €
94 10. GRUNDLAGEN AUS DER FREDHOLMTHEORIE
10.16. Lemma. Sei X ein KâVektorraum und sei T : X â X eine lineare Abbildung,so daĂ fur ein n0 â N und alle n â„ n0 gilt
(10.4) ker(T n) = ker(T n0), ran(T n) = ran(T n0).
Dann gilt
(a) X = ker(T n0)â ran(T n0).(b) T (ker(T n0)) â ker(T n0) und T (ran(T n0)) â ran(T n0).(c) T |ran(Tn0) ist ein Isomorphismus von ran(T n0) auf sich.
Beweis. (a) Ist x â ker(T n0) â© ran(T n0), so gibt es ein y â X mit T n0y = x. Wegen0 = T n0x = T 2n0y folgt y â ker(T 2n0) = ker(T n0) und daher x = T n0y = 0. Also istker(T n0) â© ran(T n0) = 0.
Zu zeigen ist nochX = ker(T n0)+ran(T n0). Sei also x â X beliebig. Wegen ran(T n0) =ran(T 2n0) gibt es zu y := T n0x ein u â X mit y = T 2n0u. Wegen
T n0(xâ T n0u) = T n0xâ T 2n0u = y â y = 0
folgt x = (xâ T n0u) + T n0u â ker(T n0) + ran(T n0).(b) ist offensichtlich.(c) Ist x â ker(T ) â© ran(T n0), so gibt es ein y â X mit T n0y = x und es folgt
0 = Tx = T n0+1y, d.h. y â ker(T n0+1) = ker(T n0) und somit x = T n0y = 0. Die lineareAbbildung T |ran(Tn0 ) ist also injektiv.
Wegen T (ran(T n0)) = ran(T n0+1) = ran(T n0) ist T |ran(Tn0 ) auch surjektiv. €10.17. Lemma. Ist T â Ί(E) mit (10.4), so ist die Zerlegung E = ker(T n0)âran(T n0)
auch topologisch direkt. Die kanonische Projektion P von E auf ran(T n0) mit ker(P ) =ker(T n0) ist also stetig. T |ran(Tn0 ) ist dann ein topologischer Isomorphismus von ran(T n0)auf sich.
Beweis. Nach dem Satz von der inversen Abbildung ist T |ran(Tn0 ) als stetiger Iso-morphismus von ran(T n0) auf sich auch ein topologischer Isomorphismus. Die AbbildungP := (T |ran(Tn0 ))
â1 T n0 ist also stetig von E auf ran(T n0) und erfullt P 2 = P undker(P ) = ker(T n0). €
10.18. Satz. Sei (E, â · â) ein Banachraum uber C und sei K â K(E). Fur alle λ â Csei Tλ := λ1E âK. Dann gilt:
(a) Fur alle 0 6= λ â C ist Tλ ein Fredholmoperator vom Index 0. Insbesondere ist Tλgenau dann injektiv, wenn Tl surjektiv ist.
(b) Zu jedem 0 6= λ â C gibt es ein n0 â N mit
(10.5) ker(T nλ ) = ker(T n0λ ) und ran(T nλ ) = ran(T n0
λ ) fur alle n ℠n0.
(c) ÏL(E)(K) \ 0 ist hochstens abzahlbar mit hochstens 0 als Haufungspunkt undbesteht nur aus Eigenwerten von K.
Beweis. Fur 0 6= λ â C ist Tλ = λ(1E â 1
λK
)und ker(T nλ ) = ker
((1E â 1
λK
)n)sowie ran(T nλ ) = ran
((1E â 1
λK
)n)fur alle n â N. Mit K ist auch ± 1
λK ein kompakter
Operator. (a) folgt also aus Folgerung 10.14 und (b) aus Satz 10.15.Zu (c): Wegen (a) besteht ÏL(E)(K) \ 0 nur aus Eigenwerten von K. Ist 0 6= λ â
ÏL(E)(K), so gibt es nach (b) ein n0 mit (10.5). Nach Lemma 10.16 und Lemma 10.17 istE = ker(T n0
λ ) â ran(T n0λ ), wobei die Zerlegung topologisch direkt ist und Tλ|ran(T
n0λ ) ein
topologischer Isomorphismus von E2 := ran(T n0λ ) auf sich ist. Insbesondere ist E2 invariant
unter Tλ also auch unter K und λ /â ÏE2(K|E2). Da ÏE2(K|E2) kompakt ist, gibt es einÎŽ > 0 mit UÎŽ(λ) â© ÏE2(K|E2) = â . Da Tλ ein Fredholmoperator ist, ist E1 := ker(T n0
λ ) einendlich dimensionaler Unterraum von E, der nach Lemma 10.16 invariant ist unter Tλ also
10. GRUNDLAGEN AUS DER FREDHOLMTHEORIE 95
auch unter K. Da E1 endlich dimensional ist, besteht ÏE1(K|E1) nur aus endlich vielenPunkten. Insbesondere gibt es ein η > 0 mit Uη(λ)â©ÏE1(K|E1) = λ. Mit Δ := minÎŽ, ηfolgt nach Aufgabe 10.1: UΔ(λ)â©ÏL(E)(K) = λ. Jeder Punkt λ â ÏL(E)(K)\0 ist alsoein isolierter Punkt des Spektrums. ÏL(E)(K) kann daher hochstens 0 als Haufungspunkthaben. €
10.19. Satz. Seien (E, â · âE) und (F, â · âF ) zwei Banachraume.
(a) Ist T â Ί(E,F ) und K â K(E,F ), so ist T + K â Ί(E,F ) und ind(T + K) =ind(T ).
(b) Ein Operator T â L(E,F ) ist genau dann ein Fredholmoperator, wenn es kom-pakte Operatoren K1 â K(E), K2 â K(F ) und stetige lineare Operatoren L,R âL(F,E) gibt mit
LT = 1E âK1 , TR = 1F âK2 .
Beweis. (a) Nach Satz 10.10 und der daran anschlieĂenden Folgerung gibt es L1, R1 âΊ(F,E) und A1 â F(E), A2 â F(F ) mit ind(L) = ind(R) = â ind(T ), L1T = 1E â A1
und TR1 = 1F â A2. Es folgt
L1(T +K) = 1F â A2 + L1K , (T +K)R1 = 1F â A2 +KR1 .
Da die Operatoren K1 := âA1 + L1K und K2 := âA2 + KR1 kompakt sind, folgtL1(T +K) â Ί(E) und (T +K)R1 â Ί(F ) sowie ind(L1(T +K)) = ind((T +K)R1) = 0(nach Folgerung 10.14). Also gibt es (wiederum nach Satz 10.10) Operatoren L2 â Ί(E),B1 â F(E), R2 â Ί(F ), B2 â F(F ) mit ind(L2) = ind(R2) = 0 und
L2L1(T +K) = 1E âB1 , (T +K)R1R2 = 1F âB2 .
Nach Satz 10.10 ist also T+K â Ί(E,F ) und mit Satz 10.8 in Verbindung mit Lemma 10.9folgt
0 = ind(L2L1(T +K) = ind(L2) + ind(L1) + ind(T +K) = 0â ind(T ) + ind(T +K),
also ind(T +K) = ind(T ).(b) â=ââ folgt aus Satz 10.10 (da stetige lineare Operatoren von endlichem Rang
insbesondere kompakte Operatoren sind).ââ=â: Sind L,R,K1, K2 wie in (b), so ist LT = 1E â K1 â Ί(E), TR = 1F â
K2 â Ί(F ) nach Folgerung 10.14. Nach Satz 10.10 gibt es daher Operatoren L1 â L(E),R1 â L(F ), A1 â F(E) und A2 â F(F ) mit
L1LT = 1E â A1 , TRR1 = 1F â A2 .
Nach Satz 10.10 folgt T â Ί(E,F ). €
10.20. Folgerung. Sei (E, â · â) ein Banachraum. Genau dann ist ein OperatorT â L(E) ein Fredholmoperator, wenn seine Restklasse T+K(E) in der QuotientenalgebraQ(E) := L(E)/K(E) von L(E) nach dem abgeschlossenen zweiseitigen Ideal K(E) derkompakten Operatoren invertierbar ist.
Q(E) nennt man auch die CalkinâAlgebra von E. Versehen mit ihrer Quotientennormist Q(E) wieder eine Banachalgebra. Ist also E ein unendlichdimensionaler komplexerBanachraum (und daher Q(E) 6= 0), so ist fur alle T â L(E) das Spektrum
Ïe(T ) := ÏQ(E)(T +K(E))
der Restklasse von T in Q(E) eine kompakte nicht leere Menge, welche offensichtlich inÏL(E)(T ) enthalten ist. Man nennt Ïe(T ) das wesentliche Spektrum von T .
96 10. GRUNDLAGEN AUS DER FREDHOLMTHEORIE
10.21. Folgerung. Sei (E, â · â) ein unendlichdimensionaler komplexer Banachraumund T â L(E). Dann ist ind(λâ T ) auf jeder Zusammenhangskomponente von C \ Ïe(T )konstant. Bezeichnet Ω0 die unbeswchrankte Zusammenhangskomponente von C \ Ïe(T ),so sind alle Punkte aus ÏL(E)(T )G ⩠Ω0 Eigenwerte von T .
Ubungsaufgaben zu Kapitel 10.
10.1. Aufgabe. Sei (E, â · â) ein komplexer Banachraum und E = E1 â E2 mitabgeschlossenen Unterraumen E1 und E2 von E. Zeigen Sie: Ist T â L(E) mit T (Ej) â Ejfur j = 1, 2, so ist ÏL(E)(T ) = ÏL(E1)(T |E1) âȘ ÏL(E2)(T |E2).
10.2. Aufgabe. Seien (E, â · âE) und (F, â · âF ) zwei Banachraume. Zeigen Sie:
(a) Ist A â F(E,F ) so gibt es ein n â N und xâČ1, . . . , xâČn â E âČ, y1, . . . , yn â F mit
Ax =nâj=1
xâČj(x)yj fur alle x â E.
(b) Ist A â F(E,F ), so ist AâČ â F(F âČ, E âČ).(c) Ist T â Ί(E,F ), so ist T âČ â Ί(F âČ, E âČ) und ind(T âČ) = â ind(T ).
10.3. Aufgabe. Seien a0, a1, . . . , an â C([0, 1]) und sei h â C([0, 1] Ă [0, 1]). ZeigenSie: Der durch
(Tf)(t) := f (n+1)(t)+nâj=0
aj(t)f(j)(t)+
â« 1
0
h(s, t)f (n+1)(s)ds (f â C(n+1)([0, 1]), t â [0, 1])
definierte Operator T : C(n+1)([0, 1]) â C([0, 1]) ist ein Fredholmoperator. Berechnen Sieind(T ).
10.4. Aufgabe. Sei (E, â · â) ein Banachraum und sei T â L(E). Zeigen Sie: IstT n â K(E) fur ein n â N, so ist λ1E â T fur alle λ â C \ 0 ein Fredholmoperator vomIndex 0.
10.5. Aufgabe. Sei (E, â · â) ein Banachraum. Ein Operator T â L(E) heiĂt RieszâOperator falls die Restklasse T + K(E) von T in Q(E) = L(E)/K(E) quasinilpotentist.
(a) Zeigen Sie: T â L(E) ist genau dann ein RieszâOperator, wenn fur alle 0 6= λ â Cder Operator Tλ := λ1E â T ein Fredholmoperator vom Index 0 ist.
(b) Geben Sie ein Beispiel eines RieszâOperators T â L(E) an, der kein kompakterOperator ist.
KAPITEL 11
Lokalkonvexe Vektorraume
In einer Reihe von Situationen reicht der bisher verwendete Begriff des normiertenRaums nicht aus. So laĂt sich etwa der Begriff der punktweisen Konvergenz einer Folgevon Funktionen auf einer nicht endlichen Menge nicht auf eine Konvergenz im Sinneeiner Norm zuruckfuhren. Insbesondere benotigen wir eine geeignete Topologie auf demtopologischen Dualraum eines normierten Raumes, fur die der Konvergenzbegriff geradeder Begriff der punktweisen Konvergenz ist.
11.1. Definition. Eine Topologie Ï auf einem K-Vektorraum E (mit wie stets indieser Vorlesung K = R oder K = C), fur die die Addition + : E Ă E â E unddie Multiplikation mit Skalaren · : K Ă E â E (bezuglich der Produkttopologien aufE Ă E bzw. K Ă E) stetig sind heiĂt eine Vektorraumtopologie auf E. Ist E mit einerVektorraumtopologie Ï versehen, so nennen wir (E, Ï) einen topologischen Vektorraum.
Eine bijektive lineare Homoomorphie T : E1 â E2 zwischen zwei topologischen Vek-torraumen (E1, Ï1), (E2, Ï2) nennt man wieder einen topologischen Isomorphismus . DieRaume (E1, Ï1), (E2, Ï2) heiĂen dann zu einander topologisch isomorph. Zueinander topo-logisch isomorphe topologische Vektorraume werden im Rahmen der Theorie der topolo-gischen Vektorraume als nicht wesentlich verschieden angesehen.
Genau dann ist eine Topologie Ï auf E eine Vektorraumtopologie, wenn die beidenfolgenden Bedingungen erfullt sind:
(U1) Zu je zwei Punkten x, y â E und jeder Umgebung U von x+y gibt es UmgebungenV von x und W von y mit V + W â U . (Dies ist aquivalent zur Stetigkeit derAddition).
(U2) Zu jedem x â E, jedem λ â K und jeder Umgebung U von λx gibt es eineUmgebung V von x und ein Δ > 0 mit ”y ; |” â λ| < Δ, y â V â U . (Diesist aquivalent zur Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren in allen Punkten(λ, x) â KĂ E).
11.2. Bemerkungen. Sei (E, Ï) ein topologischer Vektorraum.
(a) Fur alle y â E, 0 6= λ â K sind (wegen der Stetigkeit der Addition) die Translation
Ty : E â E , x 7â x+ y
und (wegen der Stetigkeit der Multiplikation) die Streckung
Mλ : E â E , x 7â λx
Homoomorphien. Insbesondere ist also Mλ ein topologischer Isomorphismus von(E, Ï) auf sich.
(b) Zu jeder Nullumgebung U in E gibt es eine Nullumgebung V in E mit V +V â U .
Beweis. Zu (b): Wegen der Stetigkeit der Multiplikation in (0, 0) gibt es nach (U1)zu U Nullumgebungen W1,W2 mit W1 + W2 â U . Mit W1,W2 ist auch V := W1 â©W2
als endlicher Durchschnitt von Nullumgebungen wieder eine Nullumgebung. Diese erfulltV + V â W1 +W2 â U . €
11.3. Definition. Eine Teilmenge M eines KâVektorraums E heiĂt
97
98 11. LOKALKONVEXE VEKTORRAUME
âą konvex , falls gilt: âx, y âM âα â [0, 1]: αx+ (1â α)y âM .âą absolutkonvex , falls gilt: âx, y â E âα, ÎČ â K: |α|+ |ÎČ| †1 =â αx+ ÎČy âM .âą kreisformig , falls gilt: âx âM âα â K: |α| †1 =â αx âM .âą absorbant , falls E =
ânâN nM .
11.4. Lemma. Sei K eine nicht leere Teilmenge eines KâVektorraums E.
(a) K ist genau dann absolutkonvex, wenn K konvex und kreisformig ist.(b) Ist K absolutkonvex und absorbant, so ist durch
pK(x) := infr > 0 ; x â rK , (x â E)
eine Halbnorm pK : E â [0,â) gegeben. pK heiĂt das MinkowskiâFunktional zuK
(c) Ist p : E â [0,â) eine Halbnorm auf E, so sind die Mengen
Bp := x â E ; p(x) †1 und Dp := x â E ; p(x) < 1absorbant und absolutkonvex und es gilt pDp = pBp = p.
(d) Ist K wie in (a), so gilt DpKâ K â BpK
.
Beweis. (a) rechnet man unmittelbar nach.(b) Da K absorbant ist, gibt es zu jedem x â E ein r > 0 mit x â rK. Also ist
p(x) â [0,â). Da K absolutkonvex ist, ist 0 â rK fur alle r > 0 und somit p(0) = 0 sowiep(0x) = p(0) = 0 = 0p(x).
Fur alle 0 6= λ â K, x â E gilt (da K nach (a) kreisformig ist):
pK(λx) = infr > 0 ; λx â rK = |λ| infs > 0 ; λx â |λ|sK
=|λ| infs > 0 ; x â s |λ|λK = |λ| infs > 0 ; x â sK = |λ|pK(x).
Fur alle x, y â E gilt wegen der Absolutkonvexitat von K:
pK(x+ y) = infr > 0 ; x+ y â rK= infs+ t ; s > 0, t > 0, x+ y â (s+ t)K = sK + tK†infs+ t ; s > 0, t > 0, x â sK, y â tK= infs ; s > 0, t > 0, x â sK+ inft ; t > 0, y â tK = pK(x) + pK(y).
pK erfullt also auch die Dreiecksungleichung.(c) rechnet man unmittelbar nach und (d) ist offensichtlich. €11.5. Bemerkung. Sei (E, Ï) ein topologischer Vektorraum. Dann gilt:
(a) Jede Nullumgebung U in (E, Ï) enthalt eine kreisformige Nullumgebung.(b) Jede Nullumgebung U in (E, Ï) ist absorbant.(c) Ist U(0) eine Nullumgebungsbasis von (E, Ï), so ist U := x+U ; U â U(0) eine
Umgebungsbasis fur Ï .
Beweis. (a) Wegen der Stetigkeit der Multiplikation gibt es zu jeder NullumgebungU eine Nullumgebung V und ein Δ > 0 mit
W := λx ; |λ| †Δ â U.
W ist offensichtlich kreisformig. Da mit V nach Bemerkung 11.2 auch ΔV â W eineNullumgebung ist, ist W eine Nullumgebung in (E, Ï).
(b) Sei U eine beliebige Nullumgebung in (E, Ï) und sei x â E beliebig. Wegen derStetigkeit der Multiplikation in (0, x) gibt es ein Δ > 0 mit 1
rx â U (und somit x â rU)
fur alle r > 1Δ.
(c) Dies gilt, da nach Bemerkung 11.2 fur alle x â E die Translation u 7â x + u eineHomoomorphie von (E, Ï) auf sich ist. €
11. LOKALKONVEXE VEKTORRAUME 99
11.6. Definition. Ein topologischer Vektorraum (E, Ï) heiĂt lokalkonvex, falls jederPunkt x â E eine Umgebungsbasis aus konvexen Mengen besitzt. Die Topologie Ï heiĂtdann eine lokalkonvexe Topologie auf E.
11.7. Lemma. Fur einen topologischen Vektorraum (E, Ï) sind die folgenden Aussagenaquivalent:
(a) (E, Ï) ist ein lokalkonvexer Raum.(b) (E, Ï) hat eine Nullumgebungsbasis aus konvexen Mengen.(c) (E, Ï) hat eine Nullumgebungsbasis aus absolutkonvexen Mengen.
Beweis. Die Implikationen (a)=â(b) und (c)=â(b) sind unmittelbar klar und wegenBemerkung11.5 folgt (a) aus (b).
Hat (E, Ï) eine Nullumgebungsbasis aus konvexen Mengen und ist U eine beliebigeÏâNullumgebung in E, so gibt es eine konvexe Nullumgebung V â U . Diese enthalt nachBemerkung11.5 eine kreisformige Nullumgebung W . Die konvexe Hulle U0 von W ist danneine absolutkonvexe Nullumgebung mit U0 â V â U . Also gilt (c). €
11.8. Lemma. Seien (E, Ï) und (F, Ï) zwei topologische Vektorraume.
(a) Eine lineare Abbildung S : E â F ist genau dann auf (E, Ï) stetig, wenn sie in0 stetig ist.
(b) Eine Halbnorm p : E â [0,â) ist genau dann auf (E, Ï) stetig, wenn sie in 0stetig ist.
Beweis. Ist S bzw. p auf ganz E bezuglich Ï stetig, so naturlich auch in 0.Ist S stetig in 0 und x0 â E beliebig, so folgt wegen der Stetigkeit der Translationen
Tâx0 : u 7â uâ x0 in (E, Ï) und TSx0 in (F, Ï) wegen der Linearitat von S fur alle x â E:
Sx = S(xâ x0) + Sx0 = (TSx0 S Tâx0)(x)
auch die Stetigkeit von S = TSx0 S Tâx0 in x0.Ist p in 0 stetig und Δ > 0 beliebig, so gibt es eine Nullumgebung U in (E, Ï) mit
p(u) < Δ fur alle u â U . Ist x0 â E beliebig, so gilt fur alle x aus der ÏâUmgebung x0 +Uvon x0 mit Hilfe der Dreiecksungleichung
|p(x)â p(x0)| †p(xâ x0) < Δ
und damit die Stetigkeit von p in x0. €11.9. Lemma. Sei (E, Ï) ein lokalkonvexer Raum und sei U eine absolutkonvexe Ïâ
Nullumgebung in E. Dann gilt:
(a) Das MinkowskiâFunktional pU von U ist eine stetige Halbnorm auf E.(b) intU = DpU
:= x â E ; pU(x) < 1 â U â BpU:= x â E ; pU(x) †1.
(c) 12U â intU .
Beweis. Nach Lemma 11.4 ist pU eine Halbnorm auf E und es gelten die Inklusionenin (b).
(a) Sei Δ > 0 beliebig. Da die Multiplikation mit Δ2
nach Bemerkung 11.2 eine Homoomor-phie von (E, Ï) auf sich ist, ist Δ
2U eine ÏâNullumgebung. Fur alle x â Δ
2U folgt wegen
2Δx â U â BpU
:
pU(x) =Δ
2pU
(2
Δx) †Δ
2< Δ.
Also ist pU in 0 und damit auf (E, Ï) stetig.(b) Wegen der Stetigkeit von pU ist DpU
offen und BpUabgeschlossen. Somit folgt
DpUâ U â U â BpU
.
100 11. LOKALKONVEXE VEKTORRAUME
Ist x â intU , so gibt es wegen der Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren in (1, x) einΔ > 0 mit (1 + Δ)x â U . Es folgt pU(x) †1
1+Δ< 1 und daher x â DpUU .
Ist x â BpUund V eine beliebige ÏâUmgebung von x, so gibt es wegen der Stetigkeit
der Multiplikation mit Skalaren in (1, x) ein Δ â (0, 1), so daĂ fur alle r â (1 â Δ, 1) giltrx â V . Wegen pU(x) †1 gibt es ein s â (
1, 11âΔ
)mit x â sU . Es folgt 1
sx â U â© V . Also
gilt x â U .(c) folgt in nahe liegender Weise aus (b) €Als unmittelbare Folgerung erhalten wir:
11.10. Folgerung. Jeder lokalkonvexe Raum besitzt eine Umgebungsbasis aus abge-schlossenen, absolutkonvexen Mengen und auch eine Umgebungsbasis aus offenen, abso-lutkonvexen Mengen.
11.11. Definition. (a) Eine Familie V von Nullumgebungen in einem topologischenVektorraum (E, Ï) heiĂt ein Fundamentalsystem von Nullumgebungen fur Ï , falls es zujeder Nullumgebung U in (E, Ï) ein V â V und ein Δ > 0 gibt mit ΔV â U . Insbesondereist dann ΔV ; V â V, Δ > 0 eine Nullumgebungsbasis fur Ï .
(b) Eine Familie P = (pα)αâA von stetigen Halbnormen auf einem lokalkonvexen Raum(E, Ï) heiĂt ein Fundamentalsystem von Halbnormen fur Ï , falls die Mengen (Dpα)αâA einFundamentalsystem von Nullumgebungen fur Ï bilden.
Jede Nullumgebungsbasis in einem topologischen Vektorraum ist auch ein Fundamen-talsystem von Nullumgebungen.
In einem normierten Raum (E, â · â) ist BE ein Fundamentalsystem von Nullum-gebungen (aber keine Nullumgebungsbasis) und â · â ein Fundamentalsystem fur dieNormtopologie auf E.
11.12. Satz. Sei (E, Ï) ein lokalkonvexer Raum.
(a) (E, Ï) besitzt ein Fundamentalsystem von stetigen Halbnormen. Jedes Fundamen-talsystem P = (pα)αâA von stetigen Halbnormen zu Ï hat die folgende Eigenschaft:
(11.1) âα, ÎČ â A âÎł â A, C > 0 âx â E : maxpα(x), pÎČ(x) †CpÎł(x).
(b) Die folgenden Aussagen sind aquivalent:(i) (E, Ï) ist separiert.(ii) (E, Ï) hat eine Nullumgebungsbasis B(0) mit
(11.2)â
UâB(0)
U = 0.
(iii) Fur jede Nullumgebungsbasis B(0) in (E, Ï) gilt (11.2).(iv) (E, Ï) besitzt ein Fundamentalsystem P = (pα)αâA von stetigen Halbnormen
mit
(11.3) âx â E \ 0 âα â A : pα(x) > 0.
(v) Fur jedes Fundamentalsystem P = (pα)αâA von stetigen Halbnormen in(E, Ï) gilt (11.3).
Beweis. (a) Nach Folgerung 11.10 hat (E, Ï) eine Nullumgebungsbasis B(0) von ab-solutkonvexen Nullumgebungen. Die Familie (pU)UâB(0) ist dann ein Fundamentalsystemvon stetigen Halbnormen auf (E, Ï).
Sei nun P = (pα)αâA ein beliebiges Fundamentalsystem von stetigen Halbnormen furÏ und seien α, ÎČ â A beliebig. Dann gibt es ein Îł â A und ein Δ > 0 mit ΔDpÎł â Dpαâ©DpÎČ
.Hieraus folgt
âx â E : maxpα(x), pÎČ(x) †1
Δpγ(x).
11. LOKALKONVEXE VEKTORRAUME 101
(b) Ist (E, Ï) separiert, so istâUâU U = 0. Ist nun B(0) eine beliebige Nullumgebungs-
basis fur Ï , so gibt es zu jeder Nullumgebung U ein VU â B(0) mit VU â U . Es folgt
0 ââ
V âB(0)
V ââ
UâU(0)
VU ââ
UâU(0)
U = 0.
Also ist (11.2) erfullt und es gilt (iii).Offensichtlich folgt (ii) aus (iii).Sei nun (ii) erfullt und seien x, y â E beliebig mit x 6= y. Nach Voraussetzung gibt
es ein U â B(0) mit x â y /â U . Nach Bemerkung 11.2 gibt es eine Nullumgebung Vmit V + V â U . Mit V ist auch âV eine Nullumgebung. Es folgt (wegen x â y /â U):xâ V â© y + V = â . Ï ist also separiert.
Ist P = (pα)αâA ein Fundamentalsystem von stetigen Halbnormen fur Ï , so ist
ΔDpα ; Δ > 0, α â Aeine Nullumgebungsbasis fur Ï . Die Aquivalenz von (iv) und (v) zu (i) folgt nun leichtmit Hilfe der Aquivalenz der ersten drei Aussagen. €
Bemerkung. Der Beweis zeigt, daĂ die Aquivalenz der ersten drei Aussagen in (b)in allgemeinen topologischen Vektorraumen gilt.
11.13. Definition. Ein Halbnormensystem P = (pα)αâA auf einem KâVektorraumE heiĂt separierend, falls zu jedem x 6= 0 aus E ein α â A gibt mit pα(x) > 0. Dies istoffensichtlich aquivalent zu
âαâA
Npα = 0 (mit Npα := u â E ; pα(x) = 0).
11.14. Lemma. Sei P = (pα)αâA ein System von Halbnormen auf einem KâVektorraumE. Dann sind
VD :=Ï
kâj=1
Dpαj; Ï > 0, k â N, α1, . . . , αk â A
und
VB :=Ï
kâj=1
Bpαj; Ï > 0, k â N, α1, . . . , αk â A
Nullumgebungsbasen einer lokalkonvexen Topologie ÏP auf E, fur die alle pα, α â A, stetigsind. ÏP ist die grobste Topologie auf E mit dieser Eigenschaft.
Ist P ein separierendes Halbnormensystem, so ist ÏP eine separierte Topologie.
Beweis. Sei ÏP die Menge aller Teilmengen G von E, fur die gilt:
âx â G âV â VD ( bzw. âV â VB) : x+ V â G.
Man rechnet nach, daĂ ÏP eine Topologie auf E definiert, fur die sowohl
x+ V ; x â E, V â VD als auch x+ V ; x â E, V â VBeine Umgebungsbasis aus konvexen Mengen ist. Wir zeigen, daĂ ÏP eine Vektorraumto-pologie ist.
Zu (U1): Seien x, y â E beliebig und sei U eine beliebige ÏPâUmgebung von x + y.Dann gibt es ein Ï > 0 und endlich viele α1, . . . , αk â A mit
x+ y + Ï
kâj=1
Dpαjâ V.
102 11. LOKALKONVEXE VEKTORRAUME
Wegen(x+
Ï
2
kâj=1
Dpαj
)+
(y +
Ï
2
kâj=1
Dpαj
)â x+ y + Ï
kâj=1
Dpαjâ V
ist also (U1) erfullt.Zu (U2): Seien λ â K und x â E beliebig und sei U eine beliebige ÏPâUmgebung von
λx. Dann gibt es ein Ï > 0 und endlich viele α1, . . . , αk â A mit
λx+ Ï
kâj=1
Dpαjâ V.
Dann gilt fur alle ” â K mit
|λâ ”| < Δ :=Ï
2 max1â€jâ€k pαj(x) + Ï
und alle
y â x+Ï
2(|λ|+ 1)
kâj=1
Dpαj
es ist ”y = λx+ (”â λ)y + λ(y â x) enthalten in
λx+ Δ(
max1â€jâ€k
pαj(x) + Ï/2
) kâj=1
Dpαj+
|λ|Ï2(|λ|+ 1)
kâj=1
Dpαjâ λx+ Ï
kâj=1
Dpαjâ V.
Also ist auch (U2) erfullt und ÏP ist eine lokalkonvexe Vektorraumtopologie. Der Zusatzist klar nach Satz 11.12. €
11.15. Definition. Eine teilweise geordnete Menge (A,â€) heiĂt (nach rechts) gerich-tet oder (rechts) filtrierend, falls jede endliche Teilmenge von A eine obere Schranke in Abesitzt, d.h. wenn zu je endlich vielen α1, . . . , αn â A ein ÎČ â A existiert mit αj †ÎČ furalle j = 1, . . . , n.
Eine Teilmenge B einer gerichteten Menge (A,â€) heiĂt
âą residual, falls ein α0 â A existiert mit α â A ; α0 †α â B.âą konfinal, falls es zu jedem α â A ein ÎČ â B gibt mit α †ÎČ.
Eine Familie (xα)αâA, A eine gerichtete Indexmenge, in einem topologischen Raum(X, Ï) heiĂt ein Netz oder eine verallgemeinerte Folge oder MooreâSmithâFolge.
Ein Netz (xα)αâA in einem topologischen Raum (X, Ï) konvergiert gegen ein Elementy â X, falls fur jede Umgebung U von y die Menge AU := α â A ; xα â U residual in Aist, d.h. falls es zu jeder Umgebung U von y ein α0 â A gibt mit xα â U fur alle α ℠α0
aus A. Ist die Topologie Ï separiert (d.h. je zwei verschiedene Punkte besitzen disjunkteUmgebungen), so ist der Grenzwert y hierdurch eindeutig bestimmt und wir schreibeny = limαâA xα oder xα â y.
Ein Netz (xα)αâA in einem topologischen Vektorraum (E, Ï) heiĂt ein Cauchy-Netz,falls es zu jeder Nullumgebung U in (E, Ï) ein α0 â A gibt mit xα â xÎČ â U fur alleα, ÎČ â„ Î±0.
Ein topologischer Vektorraum (E, Ï) heiĂt
âą vollstandig, falls in (E, Ï) jedes CauchyâNetz konvergent ist.âą folgenvollstandig, falls in (E, Ï) jede Cauchyfolge konvergent ist.âą metrisierbar, falls es eine Metrik d auf E gibt, so daĂ die durch d gegebene To-
pologie Ïd mit Ï ubereinstimmt.
11. LOKALKONVEXE VEKTORRAUME 103
Ubungsaufgaben zu Kapitel 11.
11.1. Aufgabe. Zeigen Sie, daĂ ein metrisierbarer topologischer Vektorraum genaudann vollstandig ist, wenn er folgenvollstandig ist.
11.2. Aufgabe. Zeigen Sie, daĂ fur einen lokalkonvexen Hausdorffraum (E, Ï) diefolgenden Aussagen aquivalent sind:
(a) (E, Ï) ist metrisierbar.(b) (E, Ï) besitzt eine abzahlbare Nullumgebungsbasis.(c) (E, Ï) besitzt eine abzahlbare Nullumgebungsbasis aus absolutkonvexen Mengen.(d) (E, Ï) besitzt eine abzahlbare Nullumgebungsbasis (Un)nâN aus absolutkonvexen
Mengen mit Un+1 â Un fur alle n â N.(e) Ï wird durch ein abzahlbares separierendes Halbnormensystem (qn)nâN gegeben
mitâx â E ân â N : qn(x) †qn+1(x).
(f) Ï wird durch ein abzahlbares separierendes Halbnormensystem gegeben.
KAPITEL 12
Schwache Topologien
12.1. Definition. Seien E,F zwei KâVektorraume (K = R,C).
(a) Eine Abbildung ă·, ·ă : E Ă F â K heiĂt Bilinearform, falls fur alle x â E undalle y â F die Abbildungen
fx : F â K mit fx(v) := ăx, vă fur v â F undgy : E â K mit gy(u) := ău, yă fur u â E
linear sind.(b) Sei ă·, ·ă eine Bilinearform auf E Ă F . Das Tripel (E,F, ă·, ·ă) heiĂt Dualsystem
und ă·, ·ă eine Dualitat zwischen E und F , falls gilt:(S1) â 0 6= x â E â y â F : ăx, yă 6= 0.(S2) â 0 6= y â F â x â E : ăx, yă 6= 0.Statt (E,F, ă·, ·ă) schreiben wir auch kurzer ăE,F ă.
12.2. Beispiele. (a) Sei E ein KâVektorraum und sei E# der Raum aller K-linearen Abbildungen von E nach K. Dann ist ăE,E#ă mit ăx, fă := f(x) furx â E, f â E# ein Dualsystem.
(b) Sei (E, â · â) ein normierter Raum und E âČ der Raum aller bzgl. der gegebenenNorm â · â auf E stetigen Kâlinearen Abbildungen von E nach K. (E âČ ist einUntervektorraum von E#). Dann ist ăE,E âČă mit ăx, fă := f(x) fur x â E undf â E âČ ein Dualsystem.
(c) Sei E := C([0, 1],K). Dann ist ăE,Eă mit ăf, gă :=â« 1
0f(t)g(t)dt fur f, g â
C([0, 1],K) ein Dualsystem.
Der Beweis von (a) ist klar, ebenso die Bilinearitat in (b) und (c). In der Situation(b) ist (S2) trivialerweise erfullt. Die Gultigkeit von (S1) folgt aus dem Satz von HahnâBanach. Der Nachweis, daĂ in (c) die Bedingungen (S1) und (S2) erfullt sind, wird in denUbungen bewiesen.
12.3. Bemerkung. Ist ăE,F ă ein Dualsystem, so auch [F,E] mit [f, e] := ăe, fă furalle e â E, f â F .
12.4. Definition. Sei ăE,F ă ein Dualsystem. Die schwache Topologie Ï(E,F ) (bzw.Ï(F,E)) ist die grobste Topologie auf E (bzw. auf F ), fur die alle Linearformen gy =ă·, yă, y â F , (bzw. fx = ăx, ·ă, x â E) stetig sind. D.h. also: Ï(E,F ) ist die Initialto-pologie auf E bzgl. (K, Ï|·|, gy) (y â F ) und Ï(F,E) ist die Initialtopologie auf F bzgl.(K, Ï|·|, fx) (x â E), wobei Ï|·| die durch den Absolutbetrag auf K = R,C gegebene Topo-logie sei.
12.5. Bemerkungen. Sei ăE,F ă ein Dualsystem.
(a) Man uberlegt sich leicht (etwa mit Satz 3.7 aus [2], daĂ eine Menge Ω â Egenau dann bezuglich Ï(E,F ) offen ist, wenn es zu jedem x â Ω endlich vielef1, . . . , fn â F und ein Δ > 0 gibt mit
U(x; f1, . . . , fn, Δ) := y â E ; |ăx, fjă â ăy, fjă| < Δ = y â E ; |ăxâ y, fjă| < Δ â Ω .
104
12. SCHWACHE TOPOLOGIEN 105
Eine Menge U â E ist genau dann eine Ï(E,F )âUmgebung eines Punktes x0 â E,wenn es endlich viele f1, . . . , fn â F und ein Δ > 0 gibt mit
U(x; f1, . . . , fn, Δ) â U.
(b) Die Topologien Ï(E,F ) und Ï(F,E) sind separiert.(c) Ist F0 ein Untervektorraum von F , so daĂ auch (E,F0, ă·, ·ă) noch ein Dualsystem
ist, so ist Ï(E,F0) â Ï(E,F ).
Beweis. Zu (b): Sind x1, x2 â E mit x1 6= x2, so gibt es nach (S1) ein f â F mitd := |ăx1 â x2, fă| > 0. Dann sind U(x1; f, d/3) und U(x2; f, d/3) zueinander disjunkteÏ(E,F )âUmgebungen von x1 bzw. x2.
(c) folgt unmittelbar aus der Definition der Initialtopologie. €12.6. Definition. Sei (E, â · â) ein normierter Raum und sei ăE,E âČă das Dualsystem
aus Beispiel 12.2. Dann nennt man Ï(E,E âČ) die schwache Topologie auf E und Ï(E âČ, E)die schwachââTopologie auf E âČ.
12.7. Bemerkungen. Auf E âČ hat man also neben der Normtopologie noch die schwa-che Topologie Ï(E âČ, E âČâČ) und die schwachââTopologie Ï(E âČ, E) zur Verfugung.
(a) Fur alle x â E ist durch
JE(x) : E âČ â K , xâČ 7â xâČ(x) = [x, xâČ]
ein lineares Funktional definiert. Nach einer Folgerung aus dem Satz von HahnâBanach ist hierdurch eine isometrische lineare Einbettung JE : E â E âČâČ gegeben.Wegen ăxâČ, JE(x)ă = JE(x)(xâČ) = xâČ(x) = [x, xâČ] fur alle x â E, xâČ â E âČ stimmenalso die Topologien Ï(E âČ, JE(E)) und die schwachââTopologie Ï(E âČ, E) uberein.Mit Bemerkung 12.5 (c) und aus der Definition der schwachen Topologie folgtalso Ï(E âČ, E) â Ï(E âČ, E âČâČ) â Ïâ·â, wobei Ïâ·â die Normtopologie auf E âČ bezeichnet.
(b) Ist E reflexiv, d.h. gilt JE(E) = E âČâČ, so ist JE : E â E âČâČ nicht nur eine bijektiveIsometrie sondern auch eine Homoomorphie von (E, Ï(E âČ, E)) auf (E âČâČ, Ï(E âČ, E âČâČ)).
12.8. Satz. Sei (E, â · âE) ein unendlich dimensionaler normierter Raum. Dann gilt:
(a) Die schwache Topologie Ï(E,E âČ) ist echt grober auf E als die durch die Normâ · âE gegebene Topologie Ï(E).
(b) dimE âČ = â und die schwachââTopologie Ï(E âČ, E) auf E âČ ist echt grober als diedurch die Norm â · âEâČ auf E âČ gegebene Topologie Ï(E âČ).
Beweis. (a) Nach Definition der schwachen Topologie ist Ï(E,E âČ) ist grober als Ï(E),d.h. es ist Ï(E,E âČ) â Ï(E).
Annahme: Ï(E) â Ï(E,E âČ). Da die offene Einheitskugel U := x â E ; âxâE < 1eine Ï(E)âNullumgebung, also nach Annahme auch eine Ï(E,E âČ)âNullumgebung ist, gibtes nach Bemerkung 12.5 endlich viele xâČ1, . . . , x
âČn â E âČ und ein Δ > 0 mit
U(0;xâČ1, . . . , xâČn, Δ) := x â E ; |xâČj(x)| < Δ fur j = 1, . . . , n â U.
Insbesondere folgt
Y :=nâj=1
kerxâČj â U(0; xâČ1, . . . , xâČn, Δ) â U.
Y ist ein Untervektorraum der Kodimension †n und daher wegen dimE = â unendlichdimensional. Sei nun y â Y beliebig. Dann folgt ry â Y â U und damit âryâE < 1 furalle r > 0. Dies ist nur moglich, wenn y = 0 ist. Es folgt Y = 0 im Widerspruch zudimY = â. Also muĂ Ï(E,E âČ) ( Ï(E) gelten.
(b) Sei n â N beliebig. Da E unendlich dimensional ist, gibt es linear unabhangigeVektoren e1, . . . , en â E. Fur j = 1, . . . , n sei Fj := LH ek ; j 6= k â 1, . . . , n. Als
106 12. SCHWACHE TOPOLOGIEN
endlich dimensionaler Untervektorraum ist Fj abgeschlossen und es gilt ej /â Fj. Nach derFolgerung 6.7 aus dem Satz von HahnâBanach gibt es also eâČj â E âČ mit eâČj(ej) = 1 undeâČj(ek) = 0 fur j 6= k â 1, . . . , n, j = 1, . . . , n. Die so erhaltenen eâČ1, . . . , e
âČn sind linear
unabhangig, denn ausân
j=1 αjeâČj = 0 mit α1, . . . , αn â K folgt 0 =
( ânj=1 αje
âČj
)(ek) = αk
fur k = 1, . . . , n. Also ist dimE âČ â„ n fur alle n â N. Nach Bemerkung 12.7 (a) istÏ(E âČ, E) â Ï(E âČ). Wie im Beweis zu (a) zeigt man nun, daĂ diese Inklusion echt ist. €
12.9. Definition. Sei ăE,F ă ein Dualsystem. Ein Netz (xα)αâA heiĂt ein CauchyâNetz, falls es zu jeder Ï(E,F )âNullumgebung U in E ein α0 â A gibt, so daĂ fur alleα, ÎČ â„ Î±0 gilt: xα â xÎČ â U . Da jede Ï(E,F )âNullumgebung U in E eine Nullumgebungder Form
U(0; f1, . . . , fn, Δ) = x â E ; |ăx, fjă| < Δ fur j = 1, . . . , nmit endlich vielen f1, . . . , fn â F und einem Δ > 0 enthalt, ist dies aquivalent zu
âf â F, Δ > 0âα0 â A âα, ÎČ â„ Î±0 : |ăxα â xÎČ, fă| < Δ .
Ein Netz (xα)αâA in E heiĂt Ï(E,F )âkonvergent gegen ein x0 â E, falls fur jede Ï(E,F )âNullumgebung U in E ein α0 â A existiert, so daĂ xαâx0 â U fur alle α ℠α0 aus A gilt.Wie oben sieht man, daĂ dies aquivalent ist zu
âf â F, Δ > 0âα0 â A âα ℠α0 : |ăxα â x0, fă| < Δ .
Wir schreiben dann xα â x0 bezuglich Ï(E,F ) oder x0 = Ï(E,F )-limα xa. Der Ï(E,F )âGrenzwert ist hierdurch eindeutig bestimmt. Gilt namlich xα â x0 und xα â x1 bezuglichÏ(E,F ) und ist f â F beliebig, so gibt es zu beliebigem Δ > 0 zwei Elemente α0, α1 â A,so daĂ fur alle α ℠αj gilt |ăxαâ xj, fă| < Δ/2, j = 0, 1. Da die Indexmenge A des Netzes(xα)αâA gerichtet ist, gibt es zu α0 und α1 ein α2 â A mit α0 †α2 und α1 †α2. Es folgt
|ăx1 â x0, fă| †|ăx1 â xα2 , fă â ăx0 â xα2 , fă| †|ăx1 â xα2 , fă|+ |ăx0 â xα2 , fă| < Δ .
Da Δ > 0 hierbei beliebig ist, muĂ ăx1âx0, fă = 0 fur alle f â F gelten. Wegen (S1) folgthieraus x0 = x1.
12.10. Satz von BanachâAlaoglu. Sei (E, â · âE) ein normierter Raum. Dann istdie Einheitskugel BEâČ des topologischen Dualraums E âČ schwachââkompakt.
Beweis. Wir versehen KE mit der Produkttopologie Ï (vergl. Grundlagen aus dermengentheoretischen Topologie). Dies ist die grobste Topologie auf KE, so daĂ fur allex â E die Projektionen auf die xâKomponenten
Ïx : KE â K , λ = (λu)uâE 7â Ïx(λ) := λx
stetig sind. Man uberlegt sich, daĂ eine Menge V â KE genau dann eine ÏâUmgebungeines Punktes λ = (λx)xâE â KE ist, wenn es endlich viele x1, . . . , xn â E und ein Δ > 0gibt mit
V (λ;x1, . . . , xn, Δ) := ” = (”x)xâE â KE ; |λxjâ ”xj
| < Δ fur j = 1, . . . , n â V .
Wir definieren Ï : E âČ â KE durch Ï(xâČ) := (xâČ(x))xâE fur alle xâČ â E âČ. Fur alle xâČ â E, jeendlich viele x1, . . . , xn und alle Δ > 0 gilt
Ï(U(xâČ;x1, . . . , xn, Δ)) =Ï(yâČ â E âČ ; |xâČ(xj)â yâČ(xj)| < Δ fur j = 1, . . . , n)=Ï(E âČ) â© V (Ï(xâČ);x1, . . . , xn, Δ) .
Hieraus folgt, daĂ Ï eine Homoomorphie von (E âČ, Ï(E âČ, E)) auf Ï(E âČ) versehen mit dervon Ï induzierten Relativtopologie Ï0 ist.
12. SCHWACHE TOPOLOGIEN 107
Da alle Projektionen Ïu, u â E, stetig sind, ist
F :=λ â KE ; âα, ÎČ â K âx, y â E : αÏx(λ) + ÎČÏy(λ)â Ïαx+ÎČy(λ) = 0=(f(x))xâE ; f â E#
als Durchschnitt der Urbilder der abgeschlossenen Menge 0 unter den stetigen Ab-bildungen αÏx + ÎČÏy â Ïαx+ÎČy, α, ÎČ â K , x, y â E, Ïâabgeschlossen. Offensichtlich giltÏ(E âČ) â F .
Fur alle x â E ist Kx := α â K ; |α| †âxâE kompakt in K. Nach dem Satz vonTychonoff (siehe z.B. Satz 4.13 in [2] ist also K :=
âxâEKx versehen mit der Produkt-
topologie kompakt. Die Produkttopologie auf K stimmt mit der von Ï auf K induziertenRelativtopologie uberein. Daher ist K auch Ïâkompakt. Da F bzgl. Ï abgeschlossen ist,folgt auch die ÏâKompaktheit von K0 := K â© F . Offensichtlich ist
K0 = (f(x))xâE ; f â E#, |f(x)| †âxâE fur alle x â E = Ï(BEâČ) .
Da Ï : (E âČ, Ï(E âČ)) â (Ï(E âČ), Ï0) eine Homoomorphie ist, ist BEâČ = Ïâ1(K0) Ï(E âČ, E)âkompakt. €
12.11. Satz. Sei (E, â · âE) ein separabler normierter Raum. Dann gibt es eine Me-trik d auf der Einheitskugel BEâČ des topologischen Dualraums E âČ, so daĂ die durch dgegebene Topologie auf BEâČ mit der durch die schwachââTopologie induzierten Relativto-pologie ubereinstimmt. (BEâČ , d) ist also ein kompakter metrischer Raum. Insbesondere istBEâČ schwachââfolgenkompakt, d.h. jede Folge aus BEâČ besitzt eine schwachââkonvergenteTeilfolge.
Beweis. Da (E, â · âE) ein separabler normierter Raum ist, gibt es eine abzahlbarenormdichte Teilmenge xn ; n â N in E. Wir definieren eine Abbildung dâČ : E âČ Ă E âČ â[0,â) durch
dâČ(xâČ, yâČ) :=âân=1
2ân|xâČ(xn)â yâČ(xn)|
1 + |xâČ(xn)â yâČ(xn)| fur alle xâČ, yâČ â E âČ.
Offensichtlich gilt dâČ(xâČ, yâČ) = dâČ(yâČ, xâČ) fur alle xâČ, yâČ â E âČ. Die Dreiecksungleichung rechnetman in der ublichen Weise nach. Sind xâČ, yâČ â E âČ mit dâČ(xâČ, yâČ) = 0, so folgt fur alle n â N:|xâČ(xn) â yâČ(xn)| = 0. Da xn ; n â N dicht in E ist und das lineare Funktional xâČ â yâČ
stetig ist, folgt xâČ â yâČ = 0, d.h. xâČ = yâČ. Damit ist gezeigt, daĂ dâČ : E âČ Ă E âČ â [0,â)eine Metrik auf E âČ ist. Wir zeigen die Stetigkeit der Identitat auf E âČ als Abbildung von(E âČ, Ï(E âČ, E)) nach (E âČ, dâČ). Sei dazu xâČ â E âČ beliebig und Δ > 0 beliebig vorgegeben.Dann gibt es ein m â N mit
âân=m+1 2ân < Δ/2. Fur alle yâČ â U(xâČ;x1, . . . , xm, Δ/2) folgt
dâČ(xâČ, yâČ) =âân=1
2ân|xâČ(xn)â yâČ(xn)|
1 + |xâČ(xn)â yâČ(xn)| â€mân=1
2ân|xâČ(xn)â yâČ(xn)|
1 + |xâČ(xn)â yâČ(xn)| +ââ
n=m+1
2ân <
<
mân=1
2ânΔ
2+Δ
2< Δ .
Also ist U(xâČ;x1, . . . , xm, Δ/2) â UdâČΔ (xâČ) und die Stetigkeit von id:(E âČ, Ï(E âČ, E)) â (E âČ, dâČ)
ist gezeigt. Die auf BEâČ von der schwachââTopologie induzierte Topologie ist also feinerals die durch die Metrik d := dâČ|BEâČĂBEâČ definierte Topologie. Da BEâČ nach dem Satz vonBanachâAlaoglu schwachââkompakt ist, mussen (nach Folgerung 4.10 aus [2]) die beidenTopologien ubereinstimmen und es folgt die Behauptung. €
108 12. SCHWACHE TOPOLOGIEN
Ubungsaufgaben zu Kapitel 12.
12.1. Aufgabe. Sei K â RN kompakt mit â 6= K = int(K) und sei E := C(K,K).Zeigen Sie: Durch
ăf, gă :=
â«
K
f(x)g(x)dλN(x) (f, g â E)
wird ăE,Eă zu einem Dualsystem. Hierbei sei λN das LebesguemaĂ im RN . Kann man
hierbei die Voraussetzung â 6= K = int(K) ersetzen durch die Forderung λN(K) 6= 0?
12.2. Aufgabe. Sei Ω â RN LebesgueâmeĂbar mit λN(Ω) 6= 0. Lâ(Ω) sei die Mengealler auf Ω LebesgueâmeĂbaren Kâwertigen Funktionen f , fur die eine LebesgeâNullmengeE â Ω existiert mit supxâΩ\E |f(x)| <â. Fur f â Lâ(Ω) definieren wir das wesentlicheSupremum von f auf Ω durch
âfââ := ess supxâΩ
|f(x)| := infα > 0 ; λN(x â Ω ; |f(x)| > α) = 0
Sei weiter N (Ω) die Menge aller LebesgueâNullfunktionen, d.h. die Menge aller LebesgueâmeĂbaren Funktionen f , fur die f ⥠0 auf Ω \E fur eine LebesgeâNullmenge E â Ω gilt.Zeigen Sie:
(a) â · â ist eine submultiplikative Halbnorm auf Lâ(Ω) mit
N (Ω) = f â Lâ(Ω) ; âfââ = 0.(b) Lâ(Ω) := Lâ(Ω)/N (Ω) wird zu einer Banachalgebra mit der durch
âf +N (Ω)ââ := ess supxâΩ
|f(x)| (f â Lâ(Ω))
definierten Norm.(c) ăL1(Ω), Lâ(Ω)ă wird zu einem Dualsystem durch
ăf +N (Ω), g +N (Ω)ă :=
â«
Ω
f(x)g(x)dλn(x)(f â L1(Ω), g â Lâ(Ω)
).
12.3. Aufgabe. Sei â 6= G â C offen, sei N := N (G) und sei
Hâ(G) := O(G) â© Lâ(G)
die Menge der beschrankten holomorphen Funktionen auf G. Zeigen Sie
(a) Durch h 7â h+N ist eine Einbettung von Hâ(G) in Lâ(G) gegeben mit
âh+Nââ = supzâG
|h(z)|.
Wir identifizieren Hâ(G) mit dem Bild dieser Einbettung.(b) Mit der Identifikation aus (a) ist Hâ(G) eine abgeschlossene Unteralgebra von
Lâ(G).(c) Fur alle z â G ist
ÎŽz : Hâ(G) ââ C, ÎŽz(h) := h(z)
ein Ï(Lâ(G), L1(G))-stetiges Funktional auf Hâ(G).(d) Hâ(G) ist Ï(Lâ(G), L1(G))-abgeschlossen in Lâ(G).
KAPITEL 13
Gelfandtheorie in kommutativen Banachalgebren
In diesem Abschnitt sei (R, â · â) stets eine Banachalgebra uber C. Besitzt sie einEinselement 1, so sei â1â = 1, was wie wir wissen, immer durch den Ubergang zu eineraquivalenten Algebranorm erreicht werden kann.
13.1. Definition. Ein multiplikatives lineares Funktional Ï auf R ist ein nicht trivia-ler Algebrenhomomorphismus Ï : R â C, d.h. eine nicht identisch verschwindendes linea-res Funktional Ïmit Ï(ab) = Ï(a)Ï(b) fur alle a, b â R. Wir schreiben â(R) fur die Mengealler multiplikativen linearen Funktionale auf R und setzen ââ(R) := â(R)âȘ Ïâ mitÏâ ⥠0 auf R.
13.2. Beispiele. (a) Sei K ein kompakter topologischer Hausdorffraum. Dann istfur alle t â K das DiracâFunktional ÎŽt : C(K) â C mit ÎŽt(f) := f(t) ein stetigesmultiplikatives lineares Funktional auf C(K). Es gilt also ÎŽt ; t â K â â(C(K)).
(b) Sei W die Menge aller derjenigen Funktionen f auf T := z â C ; |z| = 1, dieeine Fourierreihendarstellung haben
f(z) =ââ
n=ââanz
n mit âfâW :=ââ
n=ââ|an| <â .
Offensichtlich ist (W, â · â) ein Banachraum, der isometrisch isomorph ist zu `1(Z). Dadie Fourierreihen aller Funktionen aus W gleichmaĂig konvergieren, ist W â C(T). Sindf, g âW gegeben mit
f(z) =ââ
n=ââanz
n , g(z) =ââ
n=ââbnz
n
mit (an)nâZ, (bn)nâZ â `1(Z), so ist
(fg)(z) := f(z)g(z) =ââ
k=ââckz
k mit ck =ââ
n=ââanbkân fur alle k â Z .
Wegen
âfgâW =ââ
k=ââ|ck| =
ââ
k=ââ
âŁâŁâŁââ
n=ââanbkân
âŁâŁâŁ â€
â€ââ
k=ââ
âân=ââ
|an| · |bkân| =ââ
n=ââ|an|
ââ
k=ââ|bkân| = âfâWâgâW <â
ist (W, â·â) eine Banachalgebra mit dem Einselement 1 ⥠z0. Da W eine Unteralgebra vonC(T) ist, sind die Punktevaluationen ÎŽz, z â T, wieder multiplikative lineare Funktionaleauf W . Man nennt W die WienerâAlgebra.
Multiplikative lineare Funktionale sind automatisch stetig. Es gilt:
13.3. Satz. â(R) â RâČ und âÏâ †1 fur alle Ï â â(R). Besitzt R ein Einselement1, so gilt fur alle Ï â â(R), es ist âÏâ = 1 = Ï(1).
109
110 13. GELFANDTHEORIE IN KOMMUTATIVEN BANACHALGEBREN
Beweis. Sei Ï â â(R) beliebig. Annahme: Ï ist unstetig oder es ist âÏâ > 1. Danngibt es ein x â R mit âxâ < 1 und Ï(x) = 1. Der Grenzwert y :=
âân=1 x
n existiertdann in R, da die Reihe wegen âxâ < 1 absolut konvergiert, und es gilt x + xy = y.Wenden wir hierauf Ï an, so folgt: Ï(x) + Ï(x)Ï(y) = Ï(y), was wegen Ï(x) = 1 zu demWiderspruch 1 + Ï(y) = Ï(y) fuhrt. Also muĂ doch Ï â RâČ und âÏâ †1 gelten. BesitztR ein Einselement 1, so folgt fur alle x â R: Es ist Ï(x) = Ï(x · 1) = Ï(x)Ï(1). Da Ïnicht identisch verschwindet, folgt Ï(1) = 1 und damit wegen â1â = 1 auch âÏâ = 1. €
13.4. Satz. Sei R eine kommutative Banachalgebra mit Einselement 1 uber C.
(a) Fur alle Ï â â(R) ist kerÏ ein maximales Ideal in R und codim kerÏ = 1.Ferner R = kerÏâ C · 1.
(b) Ist M ein maximales Ideal in R, so gibt es genau ein Ï â â(R) mit kerÏ = M .
Die Zuordnung Ï 7â kerÏ definiert also eine Bijektion von â(R) auf die Menge M(R)aller maximale Ideale in R.
Beweis. (a) Sei Ï â â(R) beliebig. Nach Lemma 0.13 ist kerÏ ein Ideal in R. DiesesmuĂ wegen der Stetigkeit von Ï (vergl. Satz 13.3) abgeschlossen sein. Da Ï nicht identischverschwindet ist kerÏ 6= R und ranÏ = C. Also folgt codimkerÏ = dim R/ kerÏ =dim ranÏ = 1. Insbesondere muĂ kerÏ ein maximales Ideal in R sein, da fur jedes kerÏecht enthaltende Ideal J in R folgt 0 †dim R/J < 1 und somit J = R.
Es ist R = kerÏâ C · 1, denn fur alle x â R ist xâ Ï(x) · 1 â kerÏ.(b) Sei M â M(R) beliebig. Nach Lemma 0.17 ist R/M ein Korper. Wie in Aufga-
be 7.2 gezeigt wurde, ist R/M versehen mit der Quotientennorm auch eine Banachal-gebra. Durch Ubergang zu einer aquivalenten Algebranorm kann man zudem erreichen,daĂ â1 + MâR/M = 1 ist. Nach dem Satz 7.10 von Mazur und Gelfand ist also R/Misometrisch isomorph zu C. Sei Ί : R/M â C der hierdurch gegebene Isomorphismusund bezeichne Ï : R â R/M den kanonischen Epimorphismus. Dann ist Ί Ï â â(R)mit ker Ί Ï = ker Ï = M .
Zur Eindeutigkeitsaussage: Sind Ï, Ï â â(R) mit kerÏ = kerÏ = M â M(R), so folgtnach (a): R = M âC · 1 und hieraus Ï = Ï, den nach Satz 13.3 ist Ï(1) = 1 = Ï(1). €
13.5. Folgerung. Sei R eine kommutative Banachalgebra mit Einselement 1 uber Cund sei x â R.
(a) ÏR(x) = Ï(x) ; Ï â â(R).(b) Die folgenden Aussagen sind aquivalent:
(i) x liegt im Radikal radR von R.(ii) Ï(x) = 0 fur alle Ï â â(R).(iii) ÏR(x) = 0.(iv) r(x) = 0.(v) x ist quasinilpotent.
(c) Die folgenden Aussagen sind aquivalent:(i) R ist halbeinfach.(ii) â(R) trennt die Punkte von R.(iii) Der Spektralradius ist eine Norm auf R.
Beweis. (a) Sei z â ÏR(x) beliebig. Dann ist zâ x nicht invertierbar und liegt daherin einem maximalen Ideal M von R. Wegen M = kerÏ fur ein Ï â â(R) (nach Satz 13.4)gilt 0 = Ï(z â x) = z â Ï(x) und damit z â Ï(x) ; Ï â â(R).
Ist umgekehrt z = Ï(x) fur ein Ï â â(R), so ist z â x â kerÏ. Da kerÏ ein echtesIdeal ist, ist z â x nicht in R invertierbar, d.h. es gilt z â ÏR(x).
(b) folgt unmittelbar aus (a), Satz 13.4 und Folgerung 8.13.
13. GELFANDTHEORIE IN KOMMUTATIVEN BANACHALGEBREN 111
(c) Nach Satz 8.1 (c) und Folgerung 8.7 ist der Spektralradius r eine submultiplikativeHalbnorm auf R. Diese ist wegen der Aquivalenz von (i) und (iv) in (b) genau dann eineNorm, wenn radR = 0 gilt, d.h. wenn R halbeinfach ist. Dies zeigt die Aquivalenz von(i) und (iii).
â(R) trennt genau dann die Punkte von R, wenn gilt
â0 6= x â R âÏ â â(R) : Ï(x) 6= 0 .
Nach (b) ist dies aquivalent zu radR = 0. €13.6. Satz. Sei R eine kommutative Banachalgebra mit Einselement 1 uber C. Dann
ist die Menge â(R) der multiplikativen linearen Funktionale Ï(RâČ,R)âkompakt. Im fol-genden sei â(R) stets durch die von der schwachââTopologie induzierten Relativtopologieversehen. Die Abbildung x 7â x mit x(Ï) = Ï(x) fur alle x â R, Ï â â(R) definiert einenstetigen Algebrenhomomorphismus Î : R â C(â(R)) mit den folgenden Eigenschaften:
(a) Î(1) = 1 und ker Î = rad R.(b) âxââ(R) = r(x) fur alle x â R. Hierbei sei â · ââ(R) die Supremumsnorm auf
C(â(R)).(c) Fur alle x â R gilt x(Ï) = 0 genau dann, wenn x â kerÏ gilt.(d) Die Funktionen x ; x â R trennen die Punkte von â(R).
Î : R â C(â(R)) heiĂt der GelfandâHomomorphismus von R nach C(â(R)).
Beweis. Fur alle x, y â R definieren wir:
M(x, y) := Ï â RâČ ; Ï(xy)â Ï(x)Ï(y) = 0 .Offensichtlich sind diese Mengen schwachââabgeschlossen in RâČ. Auch
A := Ï â RâČ ; Ï(1) = 1ist schwachââabgeschlossen und die Einheitskugel BRâČ des Dualraums von R ist nach demSatz von BanachâAlaoglu (Satz 12.10) sogar schwachââkompakt. Also ist auch
â(R) = BRâČ â© A â©â
x,yâR
M(x, y)
schwachââkompakt.Nach Definition der schwachââTopologie Ï(RâČ,R) sind die Funktionen x fur alle x â R
bezuglich der durch Ï(RâČ,R) auf â(R) induzierten Relativtopologie stetig. Die Homo-morphieeigenschaften von Î rechnet man unmittelbar nach.
(a) folgt aus Satz 13.3 und Folgerung 13.5.(b) Es ist fur alle x â R:
âxââ(R) = supÏââ(R)
|Ï(x)| = supzâÏR(x)
|z| = r(x) †âxâ ,
wobei das mittlere Gleichheitszeichen nach Folgerung 13.5, das nachste nach Satz 8.11und das â€âZeichen nach Satz 8.1 gilt.
(c) ist offensichtlich.(d) Gilt x(Ï) = x(Ï) fur alle x â R, so ist Ï(x) = Ï(x) fur alle x â R und daher
Ï = Ï. €Um auch Gelfandtheorie in kommutativen Banachalgebren ohne Einselement betrei-
ben zu konnen zeigen wir:
13.7. Lemma. Sei R eine kommutative Banachalgebra uber C ohne Einselement undsei R1 := RâC·1 die durch Adjunktion der Eins entstandene kommutative Banachalgebramit Einselement (versehen mit der durch âx + z1â := âxâ + |z| fur alle x â R, z â Cdefinierten unitalen Algebranorm). Dann gilt
112 13. GELFANDTHEORIE IN KOMMUTATIVEN BANACHALGEBREN
(a) â(R1) versehen mit der von Ï(RâČ1,R1) induzierten Relativtopologie ist homoomorph
zu ââ(R) versehen mit der durch Ï(RâČ,R) induzierten Relativtopologie. Insbe-sondere ist ââ(R) schwachââkompakte Teilmenge von RâČ.
(b) Fur alle x â R gilt:(i) ÏR1(x) = 0 âȘ Ï(x) ; Ï â â(R).(ii) r(x) =
0 falls â(R) = â supÏââ(R) |Ï(x)| sonst.
Beweis. (a) Fur alle Ï â â(R1) und alle x+z ·1 â R1, x â R, z â C, ist Ï(x+z ·1) =Ï(x)+z und Ï|R â ââ(R). Wir definieren daher Ί : â(R1) â ââ(R) durch Ί(Ï) := Ï|Rfur alle Ï â â(R1). Wegen der schwachââKompaktheit von â(R1) und der Separiertheitvon Ï(RâČ,R) genugt es, zu zeigen, daà Ί eine stetige, bijektive Abbildung ist (vergl.Satz 3.8 aus den Grundlagen aus der mengentheoretischen Topologie.
Zur Injektivitat: Sind Ï, Ï â â(R1) mit Ί(Ï) = Ί(Ï), so folgt fur alle x+ z · 1 â R1:Es ist Ï(x+ z · 1) = Ï(x) + z = Ï(x) + z = Ï(x+ z · 1) und daher Ï = Ï.
Zur Surjektivitat: Ist Ï â ââ(R) beliebig, so definiere Ï : R1 â C durch Ï(x+z ·1) :=Ï(x)+ z fur alle x+ z ·1 â R1, x â R, z â C. Man rechnet nach, daĂ Ï ein multiplikativesFunktional ist, fur das offensichtlich Ί(Ï) = Ï gilt.
Zur Stetigkeit: Sei Ï â â(R1) beliebig und sei U eine beliebige Umgebung in â(R)âvon Ί(Ï) bezuglich der durch die von Ï(RâČ,R) induzierten Relativtopologie. Dann gibtes endlich viele x1, . . . , xn â R und ein Δ > 0 mit
V (Ί(Ï); x1, . . . , xn, Δ) :=Ï â ââ(R) ; |Ï(xj)â (Ί(Ï))(x)| < Δ fur j = 1, . . . , n â U .
Wegen der bereits gezeigten Bijektivitat von Ί folgt
V (Ï; x1, . . . , xn, Δ) =Ï â ââ(R) ; |(Ίâ1(Ï))(xj)â Ï(x)| < Δ fur j = 1, . . . , n=Ί (Ï â â(R1) ; |Ï(xj)â Ï(x)| < Δ fur j = 1, . . . , n) .
Also ist Ίâ1(U) eine Umgebung von Ï in â(R1) bezuglich der von Ï(RâČ1,R1) induzierten
Relativtopologie. Damit ist die Stetigkeit von Ί gezeigt.(b) Zu (i): Nach Folgerung 13.5 und (a) ist
ÏR1(x) = Ï(x); Ï â â(R1) = (Ί(Ï))(x); Ï â â(R1) = Ï(x); Ï â ââ(R) .Hieraus folgt die Behauptung.
Zu (ii): Es ist nach Folgerung 13.5 und (a)
r(x) = supzâÏR1
(x)
|z| = supÏââ(R1)
|Ï(x)| = supÏâââ(R)
|Ï(x)|.
Hieraus folgt (ii). €Ist Ω ein lokalkompakter topologischer Hausdorffraum, so bezeichnen wir mit Câ(Ω)
die Algebra der im Unendlichen verschwindenden, stetigen Funktionen, d.h. Câ(Ω) istdie Menge aller derjenigen stetigen Funktionen f : Ω â C, so daĂ zu jedem Δ > 0 einekompakte Teilmenge Kf,Δ von Ω existiert mit |f(t)| < Δ fur alle t â Ω\Kf,Δ. Versehen mitder Supremumsnorm â · âΩ ist Câ(Ω) eine Banachalgebra. Dies rechnet man leicht nach.
13.8. Satz. Sei R eine kommutative Banachalgebra uber C ohne Einselement mitâ(R) 6= â .
(a) â(R) ist in der von Ï(RâČ,R) induzierten Topologie lokalkompakt.(b) Der Gelfandhomomorphismus x 7â x mit x(Ï) := Ï(x) fur alle x â R, Ï â â(R)
nimmt seine Werte schon in Câ(â(R)) an und es gilt:
âx â R : âxââ(R) = r(x) †âxâ .
13. GELFANDTHEORIE IN KOMMUTATIVEN BANACHALGEBREN 113
Beweis. (a) ist klar, da ââ(R) nach Lemma 13.7 schwachââkompakt ist.(b) Die Homomorphieeigenschaften des Gelfandhomomorphismus sind offensichtlich.
Seien nun x â R und Δ > 0 beliebig vorgegeben. Die Menge
K := Ï â ââ(R) ; |Ï(x)| ℠Δist eine Ï(RâČ,R)âabgeschlossene Menge der nach Lemma 13.7 schwachââkompakten Men-ge ââ(R) und somit ebenfalls schwachââkompakt. Wegen Ïâ /â K ist K â â(R) und furalle Ï â â(R) \K ist |x(Ï)| = |Ï(x)| < Δ. Der Rest folgt nun mit Hilfe von Lemma 13.7(b). €
Um in einer Reihe von Beispielen â(R) bestimmen zu konnen, zeigen wir:
13.9. Lemma. Sei K ein kompakter topologischer Hausdorffraum und sei R eine Un-teralgebra der CâAlgebra C(K) := C(K,C) welche die konstante Funktion 1 enthalt. AufR sei eine Norm â · â gegeben, so daĂ (R, â · â) eine Banachalgebra ist. Ferner gelte
(a) Fur alle x â R ist auch die Funktion x (mit x(t) = x(t) fur alle t â K) einElement von R.
(b) Ist x(t) 6= 0 fur alle t â K, so ist auch die Funktion xâ1 : t 7â 1x(t)
ein Element
von R.(c) R trennt die Punkte von K.
Dann ist â(R) = ÎŽt ; t â K und die Abbildung t 7â ÎŽt ist eine Homoomorphie von Kauf â(R).
Beweis. Die Inklusion ÎŽt ; t â K â â(R) ist offensichtlich und da R die Punktevon K trennt, ist die Abbildung ÎŽ : t 7â ÎŽt von K nach â(R) injektiv. Wir zeigen, daĂ ÎŽauch surjektiv ist. Sei also Ï â â(R) beliebig vorgegeben.
Annahme: ât â K : kerÏ 6â ker ÎŽt. Dann gibt es zu jedem t â K ein xt â kerÏmit xt(t) 6= 0. Wegen der Stetigkeit von xt gibt es noch eine offene Umgebung Ut vont mit xt(s) 6= 0 fur alle s â Ut. (Ut)tâK ist dann eine offene Uberdeckung von K, ausder wir wegen der Kompaktheit von K eine endliche Teiluberdeckung auswahlen konnenUt1 , . . . , Utk auswahlen konnen. Die Funktion f : s 7â âk
j=1 xtj(t)xtj(t) ist dann null-
stellenfrei und liegt wegen (a) und xtj â kerÏ ebenfalls in kerÏ und damit nicht in Rinvertierbar. Da f nullstellenfrei ist, steht dies im Widerspruch zu (b). Also war die An-nahme falsch und es folgt: Es gibt ein t0 â K mit kerÏ â ker ÎŽt0 . Da kerÏ und ker ÎŽt0maximale Ideale sind, ist dies nur moglich,wenn kerÏ = ker ÎŽt0 ist. Wegen Satz 13.4 folgthieraus Ï = ÎŽt0 . Damit ist die Surjektivitat von Ï bewiesen.
Wir zeigen nun die Stetigkeit von ÎŽ : K â â(R). Sei t â K beliebig und sei Ueine beliebige Umgebung von ÎŽt in â(R) in der von der schwachââTopologie induziertenTopologie. Dann gibt es endlich viele x1, . . . , xn â R und ein Δ > 0 mit
V := V (ÎŽt;x1, . . . , xn, Δ) := ÎŽs ; s â K, |ÎŽt(xj)â ÎŽs(xj)| < Δ fur j = 1, . . . , n â U .
Dann ist
ÎŽâ1(V ) = s â K ; |xj(t)â xj(s)| < Δ fur j = 1, . . . , nwegen der Stetigkeit von x1, . . . , xn offen in K und somit eine Umgebung von t. Damit istdie Stetigkeit von ÎŽ : K â â(R) bewiesen. Da ÎŽ auch bijektiv und K kompakt ist, muĂÎŽ eine Homoomorphie sein. €
Als unmittelbare Folgerung erhalten wir:
13.10. Folgerung. (a) Sei K ein kompakter topologischer Hausdorffraum. Dannist die Menge â(C(K)) der multiplikativen linearen Funktionale homoomorph zuK vermoge der Abbildung t 7â ÎŽt.
114 13. GELFANDTHEORIE IN KOMMUTATIVEN BANACHALGEBREN
(b) Sei [a, b] ein kompaktes Intervall (a < b). Dann ist fur alle n â N durch t 7â ÎŽteine Homoomorphie von [a, b] auf â(Cn([a, b])) gegeben.
13.11. Satz. Sei W â C(T) die Wieneralgebra der Funktionen mit absolutkonvergen-ter Fourierreihenentwicklung (vergl. Beispiel 13.2 (b)). Dann ist â(W ) homoomorph zuT vermoge der Abbildung z 7â ÎŽz, wobei ÎŽz(f) := f(z) fur alle z â T, f â W .
Beweis. Wir hatten uns schon in Beispiel 13.2 (b) uberlegt, daĂ ÎŽz ; z â T â â(W )gilt. Die hierdurch definierte Abbildung ÎŽ : Tâ â(W ) ist injektiv, denn fur alle z1, z2 â Tgilt mit h := idT: Es ist ÎŽzj
(h) = zj und daher ÎŽz1 = ÎŽz2 genau dann, wenn z1 = z2.Wir zeigen, daĂ ÎŽ auch surjektiv ist. Sei also Ï â â(W ) beliebig vorgegeben und
h := idT. Dann ist âhâW = 1 und h ist invertierbar in W mit hâ1(z) = 1/z fur alle z â T.Offensichtlich ist âhâ1âW = 1. Da âÏâ = 1 gilt (nach Satz 13.3), folgt |Ï(h)| †1 und|Ï(hâ1)| †1. Wegen Ï(hâ1)Ï(h) = Ï(hâ1 · h) = Ï(1) = 1 ist dies nur moglich, wenn|Ï(h)| = 1 und somit Ï(h) â T gilt. Fur alle f â W mit f(z) =
âân=ââ anz
n fur allez â T gilt f =
âân=ââ anh
n mit absoluter Konvergenz. Da Ï stetig ist, folgt hieraus
Ï(f) =ââ
n=ââanÏ(hn) =
âân=ââ
an(Ï(h))n = ÎŽÏ(h)(f).
Also ist Ï(f) = ÎŽÏ(h)(f) und die Surjektivitat von ÎŽ ist gezeigt.Wie im Beweis von Lemma 13.9 zeigt man nun, daĂ ÎŽ eine Homoomorphie ist. €
Als Folgerung erhalten wir folgenden Satz von Wiener:
13.12. Folgerung. Sei f : R â C eine 2Ïâperiodische Funktion mit absolutkonver-genter Fourierreihenentwicklung. Besitzt f keine Nullstelle in R, so hat auch die Funktion1/f : t 7â 1/f(t) eine absolutkonvergente Fourierreihenentwicklung.
Beweis. Sei also f mit
f(t) =ââ
n=ââane
int fur alle t â R
ohne Nullstelle in R, (an)ân=ââ â `1(Z). Dann ist die Funktion f : z 7â ââ
n=ââ anzn in
W und hat keine Nullstelle in T. Also folgt mit Satz 13.11 und Folgerung 13.5:
0 /â f(z) ; z â T = Ï(f) ; Ï â â(W ) = ÏW (f),
d.h. die Existenz von 1/f in W . Die Funktion g : Râ C mit g(t) := 1/f(eit) fur alle t â Rerfullt dann f(t)g(t) ⥠1 und besitzt eine absolutkonvergente Fourierreihenentwicklung.
€
Ubungsaufgaben zu Kapitel 13.
13.1. Aufgabe. Zeigen Sie, daĂ es fur alle z â C mit |z| = 1 unendlich viele paar-weise verschiedenen maximale Ideale I in der Banachalgebra Cb(D) der stetigen undbeschrankten Funktionen auf D gibt mit
f â R : f(z) = 0 â I.Hierbei sei R die abgeschlossene Unteralgebra aller auf D beschrankten, stetigen Funk-tionen f , die eine stetige Fortsetzung f auf D besitzen.
13. GELFANDTHEORIE IN KOMMUTATIVEN BANACHALGEBREN 115
13.2. Aufgabe. Seien (Rj, â · âj), j = 1, 2, zwei kommutative Banachalgebren uberC mit Einselementen 1R1 , 1R2 . Zeigen Sie: Ist Ί : R1 â R2 ein (nicht notwendig stetiger)Algebrenhomomorphismus mit Ί(1R1) = 1R2 , so ist die durch Ï 7â Ï ÎŠ gegebene Abbil-dung von â(R2) nach â(R1) stetig, wenn man â(Rj) mit der von Ï(RâČ
j,Rj) induziertenRelativtopologie versieht.
13.3. Aufgabe. Sei A(D) die in Aufgabe 7.7 eingefuhrte Diskalgebra.
(a) Zeigen Sie, daĂ die Polynome in z dicht liegen in A(D).(b) Zeigen Sie, daĂ die multiplikativen Linearformen auf A(D) genau die Punktaus-
wertungen auf D sind.(c) Seien f1, . . . , fk Funktionen in A(D) und zu jedem z â D gebe es ein j â 1, . . . , k
mit fj(z) 6= 0. Dann existieren Funktionen Ί1, . . . ,Ίk â A(D) mitâk
i=1 fiΊi ⥠1
auf D.
13.4. Aufgabe. SeiA eine kommutative Banachalgebra mit Eins 1 und seien a1, . . . , an âA. Das gemeinsame Spektrum von a1, . . . , an in A ist definiert als
ÏA(a1, . . . , an) := (Ï(a1), . . . , Ï(an)) : Ï â â(A).(a) Zeigen Sie: ÏA(a1, . . . , an) ist eine nicht leere, kompakte Teilmenge des Cn.(b) Fur j = 1, . . . , n sei Ïj : Cn ââ C die Projektion auf die j-te Koordinate. Zeigen
Sie:Ïj(ÏA(a1, . . . , an)) = ÏA(aj) â1 †j †n.
(c) Zeigen Sie: Der Punkt (z1, . . . , zn) liegt genau dann in ÏA(a1, . . . , an), wenn dasvon z1 · 1â a1, . . . , zn · 1â an erzeugte Ideal von A echt ist.
13.5. Aufgabe. Bestimmen Sie den Gelfand-Raum der Sandwichalgebra
S(D) = f â C(D) : es gibt ein g â A(D) mit g|âD = f |âD.Hierbei sei S(D) versehen mit der supâNorm.
13.6. Aufgabe. Sei Hâ(D) sei die Banachalgebra aller auf D holomorphen, be-schrankten Funktionen (versehen mit der sup-Norm). Zeigen Sie:
(a) Fur alle z0 â D und f â Hâ(D) ist die Funktion
z 7â f(z)â f(z0)
z â z0
(z â D)
in z0 holomorph erganzbar und beschrankt.(b) Es gibt eine stetige injektive Abbildung Ï : Dâ â(Hâ(D)).(c) Es gibt eine stetige surjektive Abbildung Ï : â(Hâ(D)) â D derart, daĂ Ï|D =
idD. Insbesondere sind D und das Bild von D in â(Hâ(D)) homoomorph.
KAPITEL 14
Der Silovrand
In diesem Kapitel wollen wir die Frage untersuchen, wann sich ein maximales Idealin einer Unteralgebra A einer komplexen kommutativen Banachalgebra R mit Einsele-ment zu einem maximalen Ideal in R erweitern laĂt. Sei also im folgenden R stets einekommutative Banachalgebra mit Einselement 1 uber C.
14.1. Definition. Unter einer maximierenden Teilmenge von â(R) verstehen wireine abgeschlossene, nicht leere Menge F â â(R) mit
(14.1) âx â R : r(x) = âxââ(R) = âxâF .Die Menge aller maximierenden Teilmengen von â(R) bezeichnen wir mit M(â(R)).
Insbesondere ist also â(R) selbst eine maximierende Teilmenge von sich.
14.2. Satz. Es gibt genau eine minimale maximierende Teilmenge S(R) von â(R).S(R) heiĂt der Silovrand von R. Es gilt:
S(R) =â
FâM(â(R))
F
Beweis. (a) Existenz: Die Menge M(â(R)) aller maximierenden Teilmengen vonâ(R) ist durch die Inklusion teilweise geordnet und wegen â(R) â M(â(R)) nichtleer. Wir zeigen mit Hilfe des Zornschen Lemmas, daĂ M(â(R)) ein minimales Elementbesitzt. Sei K eine beliebige totalgeordnete Teilmenge von M(â(R)). Wegen der Kom-paktheit von â(R) sind alle K â K nicht leere kompakte Teilmengen von â(R). Da Ktotalgeordnet ist, folgt wegen der endlichen Durchschnittseigenschaft kompakter Mengen,daĂ die Menge
K0 :=âKâK
K
nicht leer und kompakt (also auch abgeschlossen in â(R)) ist. Wir zeigen, daĂ K0 auchmaximierend und damit eine untere Schranke fur K in M(â(R)) ist. Fur alle x â R istwegen der Stetigkeit der Gelfandtransformierten x von x und der Kompaktheit von â(R)die Menge
Sx := Ï â â(R) ; |Ï(x)| = |x(Ï)| = âxââ(R)abgeschlossen und nicht leer. Da die Elemente von K maximierende Teilmengen von â(R)sind, gilt âxâK = âxââ(R) und somit K â© Sx 6= â fur alle K â K, x â R. Wegen derendlichen Durchschnittseigenschaft kompakter Mengen folgt auch
K0 â© Sx =âKâK
K â© Sx 6= â
fur alle x â R. Also ist K0 maximierend und somit eine untere Schranke fur K inM(â(R)). Nach dem Zornschen Lemma besitzt M(â(R)) daher wenigstens ein mini-males Element.
116
14. DER SILOVRAND 117
(b) Eindeutigkeit: Sei S eine minimale maximierende Teilmenge von â(R) und seiÏ â S beliebig. Sei V eine beliebige Umgebung von Ï in â(R). Dann gibt es endlich vieley1, . . . , yn â R und ein Δ > 0 mit
U := Ï â â(R) ; |Ï(yj)â Ï(yj)| < Δ fur j = 1, . . . , n â V.
Mit xj := yj â Ï(yj)1 folgt Ï(xj) = Ï(yj)â Ï(yj) und somit
U = Ï â â(R) ; |Ï(xj)| < Δ fur j = 1, . . . , n .Da S minimales Element von M(â(R)) ist, gibt es ein y â S mit
r(y) = âyââ(R) = supÏâU
|y(Ï)| > supÏâS\U
|y(Ï)| .
Gabe es namlich kein solches y, so ware S \ U eine echt kleinere minimale maximierendeTeilmenge von â(R). Indem wir notfalls y durch r(y)â1y ersetzen, konnen wir erreichen,daĂ
supÏâS\U
|y(Ï)| < r(y) = 1
gilt. Fur hinreichend groĂes m â N gilt dann
supÏâS\U
|ym(Ï)| < Δ
max1â€jâ€n âxjâ .
Damit folgt fur j = 1, . . . , n:
maxÏââ(R)
|ym(Ï)xj(Ï)| = maxÏâS
|ym(Ï)xj(Ï)|
= max
supÏâS\U
|ym(Ï)xj(Ï)| , supÏâSâ©U
|ym(Ï)xj(Ï)|< Δ .
Ist nun F â M(â(R)) beliebig gegeben, so gibt es, da F maximierend ist, ein Ï0 â Fmit 1 = r(ym) = |ym(Ï0)|. Damit erhalten wir fur j = 1, . . . , n:
|xj(Ï0)| = |ym(Ï0)xj(Ï0)| .Also ist Ï0 â U â V . Fur alle Ï â S enthalt also jede Umgebung V von Ï Punkte aus F .Da F abgeschlossen ist folgt Ï â F . Wegen S âM(â(R)) folgt
S =â
FâM(â(R))
F
und damit insbesondere auch die Eindeutigkeit des minimalen Elementes von M(â(R)).€
14.3. Beispiele. (a) Fur jeden kompakten Hausdorffraum K gilt
S(C(K)) = ÎŽt ; t â K = â(C(K)) .
(b) Die Diskalgebra A(D) = C(D)â©O(D) ist, versehen mit der Supremumsnorm einekommutative Banachalgebra mit Einselement 1. Es gilt:
â(A(D)) = ÎŽz ; z â D und S(A(D)) = ÎŽz ; z â âD .Beweis in den Ubungen.
14.4. Satz. Fur alle x â R gilt âÏR(x) â x(S(R)).
118 14. DER SILOVRAND
Beweis. Sei z0 â âÏR(x) \ x(S(R)) beliebig. Wegen der Stetigkeit von x und derKompaktheit von S(R) folgt
ÎŽ := infÏâS(R)
|x(Ï)â z0| = minÏâS(R)
|x(Ï)â z0| > 0 .
Da z0 im topologischen Rand von ÏR(x) liegt gibt es ein z1 â ÏR(x) mit |z1 â z0| < ÎŽ/2und es folgt fur alle Ï â S(R):
|x(Ï)â z1| â„ |x(Ï)â z0| â |z1 â z0| > ÎŽ
2
und somit
(14.2) r((xâ z1)â1) = max
ÏâS(R)
âŁâŁâŁ 1
x(Ï)â z1
âŁâŁâŁ < 2
ÎŽ.
Andererseits ist z0 â ÏR(x) und daher z0 = x(Ï0) = Ï0(x) fur ein Ï0 â â(R). Es folgtmit (14.2):
2
ÎŽ> r((xâ z1)
â1) â„ |Ï0((xâ z1)â1)| =
âŁâŁâŁ 1
Ï0(x)â z1
âŁâŁâŁ =1
|z0 â z1| >2
ÎŽ.
Da dies unmoglich ist kann es keinen Punkt z0 â âÏR(x)\ x(S(R)) geben, d.h. die MengeâÏR(x) \ x(S(R)) ist leer und es folgt âÏR(x) â x(S(R)). €
Eine weitere Charakterisierung des Silovrandes wird im folgenden Satz angegeben:
14.5. Satz. Fur ein nicht triviales multiplikatives Funktional Ï auf R sind die beidenfolgenden Aussagen aquivalent:
(a) Ï â S(R).(b) Zu jeder in der auf â(R) durch Ï(RâČ,R) gegebenen Relativtopologie offenen Um-
gebung U von Ï existiert ein y â R mit
supÏââ(R)\U
|y(Ï)| < supÏâU
|y(Ï)| .
Beweis. â(a)=â(b)â Ist (b) nicht erfullt fur ein Ï â â(R), so gibt es eine in der aufâ(R) durch Ï(RâČ,R) gegebenen Relativtopologie offenen Umgebung U von Ï, so daĂ furalle y â R gilt
supÏââ(R)\U
|y(Ï)| â„ supÏâU
|y(Ï)| .
â(R) \U ist also eine maximierende Teilmenge von â(R) und muĂ daher nach Satz 14.2den Silovrand S(R) enthalten. Insbesondere kann Ï dann nicht im Silovrand von R liegen.
â(b)=â(a)â Hat Ï â â(R) die Eigenschaft (b), so ist U â© S(R) 6= â fur alle in derauf â(R) durch Ï(RâČ,R) gegebenen Relativtopologie offenen Umgebungen U von Ï. Also
gilt Ï â S(R) = S(R). €
Fur eine Banachalgebra A und ein x â A sei rA(x) der Spektralradius von x in A.
14.6. Satz. Sei R eine kommutative komplexe Banachalgebra mit Einselement 1.
(a) Ist Ί : R â A ein (nicht notwendig stetiger) Homomorphismus von R in einekommutative komplexe Banachalgebra A mit Einselement 1A, fur den gilt:
(14.3) Ί(1) = 1A und rA(Ί(x)) = rR(x) fur alle x â R ,
so gilt S(R) â Ï ÎŠ ; Ï â S(A). Der Silovrand von R ist die groĂte Teil-menge von â(R) mit dieser Eigenschaft fur alle moglichen Wahlen von A und Ίmit(14.3).
14. DER SILOVRAND 119
(b) Fur jede kommutative, komplexe Banachalgebra A â R mit dem selben Einsele-ment 1 und mit der Eigenschaft
(14.4) rA(x) = rR(x) fur alle x â R
laĂt sich jedes Funktional aus S(R) fortsetzen zu einem multiplikativen Funktionalauf A. Ist R zusatzlich halbeinfach, so ist S(R) maximal mit dieser Eigenschaftfur alle moglichen Wahlen von A.
Beweis. (i) Wegen der Stetigkeit der Abbildung Ί# : â(A) â â(R), Ï 7â Ï ÎŠ,(nach Aufgabe 13.2) und der Kompaktheit von S(A) ist
Ί#(S(A)) = Ï ÎŠ ; Ï â S(A)kompakt und damit auch abgeschlossen in â(R). Fur alle x â R gilt
âxâΊ#(S(A)) = supÏâS(A)
|Ï(Ί(x))| = supÏâS(A)
|Ί(x)(Ï)| = rA(Ί(x)) = rR(x) = âxââ(R) .
Ί#(S(A)) ist also eine maximierende Teilmenge von â(R) und muĂ daher nach Satz14.2den Silovrand von R als Teilmenge enthalten.
(ii) Um die Maximalitatsaussage zu erhalten betrachten wir speziell A := C(S(R))(versehen mit der Supremumsnorm) und die Abbildung Ί : R â A mit Ί(x) := x|S(R)
fur alle x â R. Offensichtlich ist Ί ein Algebrenhomomorphismus mit Ί(1) = 1. NachBeispiel 14.3 (a) und Folgerung 13.10 gilt S(A) = â(A) = ÎŽÏ ; Ï â S(R). Fur allex â R gilt dann
rA(Ί(x)) = supÏâS(R)
|Ί(x)(ÎŽÏ)| = supÏâS(R)
|x(Ï)| = supÏââ(R)
|x(Ï)| = rR(x) ,
so daĂ die Bedingung (14.3) erfullt ist. Wegen Ί#(S(A)) = ÎŽÏ ÎŠ ; Ï â S(R) = S(R)folgt die Maximalitatsaussage und (a) ist bewiesen.
(iii) Ist R Unteralgebra einer Banachalgebra A, so daĂ (14.4) gilt, so ist die Inklusi-onsabbildung Ί : x 7â x ein Monomorphismus der die Bedingung (14.3) erfullt. Wegen(a) gibt es also zu jedem Ï â S(R) ein Ï â S(A) â â(A) mit Ï(x) = Ï(Ί(x)) = Ï(x) furalle x â R. Jedes Ï â S(R) besitzt also eine Fortsetzung zu einem Ï â S(A) â â(A).
(iv) Ist R zusatzlich halbeinfach, so gilt fur den Homomorphismus Ί : x 7â x|S(R) aus(ii) und alle x â R: Es ist Ί(x) = 0 genau dann, wenn 0 = âxâS(R) = âxââ(R) = rR(x)gilt. Da R halbeinfach ist, gilt dies genau dann, wenn x = 0 ist. Ί ist also in diesem Falleine Einbettung vermoge der wir R als Unteralgebra von A = C(S(R)) auffassen konnen,die (14.4) erfullt. Nach (ii) folgt nun die Maximalitatsaussage in (b). €
14.7. Folgerung. Ist A eine kommutative komplexe Banachalgebra mit Einselement1 und ist R eine abgeschlossene Unteralgebra von A mit 1 â R, so laĂt sich jedes Funk-tional aus S(R) fortsetzen zu einem multiplikativen Funktional auf A.
Dies folgt unmittelbar aus Satz 14.6, da fur alle x â R gilt rR(x) = limnââ âxnâ1/n =rA(x).
Ubungsaufgaben zu Kapitel 14.
14.1. Aufgabe. Brechnen Sie die Silovrander der beiden folgenden Banachalgebren:
(a) (C(K), â · âK) (K ein kompakter Hausdorffraum) (b) (A(D), â · âD)Hinweis zu (a): Verwenden Sie ohne Beweis das folgende Lemma von Urysohn: SindA,B abgeschlossene disjunkte Teilmengen eines kompakten Hausdorffraums K, so gibt eseine stetige Funktion f : K â [0, 1] mit f |A ⥠0 und f |B ⥠1.
120 14. DER SILOVRAND
14.2. Aufgabe. Sei AW die Menge aller Potenzreihen f(z) =ââ
n=0 anzn mit
âfâAW:=
âân=0
|an| <â.
(a) Zeigen Sie, daĂ (AW , â ·âW ) bzgl. der punktweisen Operationen der Addition undder Multiplikation mit Skalaren eine Banachalgebra ist mit AW â A(D).
(b) Berechnen Sie â(AW ) und S(AW ).
14.3. Aufgabe. Berechnen Sie den Silovrand der Sandwichalgebra aus Aufgabe 13.5
KAPITEL 15
CââAlgebren: Definition und erste Eigenschaften
15.1. Definition. Eine komplexe Banachalgebra (R, â·â) heiĂt CââAlgebra, falls eineAbbildung â : R â R, x 7â xâ, existiert mit den folgenden Eigenschaften:
(a) â ist eine Involution, d.h. es ist (xâ)â = x fur alle x â R.(b) â ist konjugiertâlinear, d.h. fur alle x, y â R, α, ÎČ â C gilt (αx+ÎČy)â = αxâ+ÎČyâ.(c) Fur alle x, y â R gilt (xy)â = yâxâ.(d) Fur alle x â R gilt âxâ2 = âxâxâ.15.2. Lemma. Ist (R, â · â) eine CââAlgebra mit Einselement 1, so ist 1 = 1â und
â1â = 1.
Beweis. Aus 1â = 1â1 folgt mit (c) und (a) in Definition 15.1: 1 = (1â1)â = 1â1 = 1â
und hieraus mit (d): â1â2 = â1â1â = â1â Wegen â1â 6= 0 ist dies nur moglich, wennâ1â = 1 ist. €
15.3. Beispiele. (a) Die Algebra L(H) der stetigen linearen Operatoren auf einemHilbertraum H sind mit der Adjungiertenbildung als Involution eine (fur dimH â„ 2)nicht kommutative CââAlgebra mit dem Einselement 1 :=idH.
(b) Die Algebren C(K) (K ein kompakter Hausdorffraum), Câ(Ω) (Ω ein lokal-kompakter topologischer Hausdorffraum), `â(I) (I eine nicht leere Menge) und Lâ(A)(A â RN LebesgueâmeĂbar) sind mit der durch
f â(s) := f(s) fur alle s
gegebenen Involution kommutative CââAlgebren.
In Analogie zu Definition 2.41 definieren wir ;
15.4. Definition. Sei (R, â · â) eine CââAlgebra. Ein Element x â R heiĂt
âą normal, falls xâx = xxâ gilt,âą hermitesch, falls x = xâ gilt,âą unitar, falls R ein Einselement 1 besitzt und xâx = 1 = xxâ gilt.
15.5. Lemma. Sei R eine CââAlgebra mit Einselement 1.
(a) Jedes x â R hat die Darstellung x = u+iv mit hermiteschen Elementen u, v â R.(b) Ist x â R hermitesch, so ist ÏR(x) â R.
(c) Ist R kommutativ, so gilt fur alle x â R, Ï â â(R): Ï(xâ) = Ï(x).
Beweis. (a) In der Tat gilt x = u+ iv mit
u =1
2(x+ xâ) und v =
1
2i(xâ xâ)
und die so definierten Elemente u, v â R sind hermitesch.(b) Sei λ = α+ iÎČ â ÏR(x) beliebig mit α, ÎČ â R. Zu zeigen ist ÎČ = 0. Fur alle Ο â R
gilt λ+ iΟ â ÏR(x+ iΟ). Also hat man
|λ+ iΟ| †rR(x+ iΟ) †âx+ iΟâ121
122 15. CââALGEBREN: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN
und daher
|λ+ iΟ|2 = α2 + ÎČ2 + Ο2 + 2ÎČΟ †âx+ iΟâ2 = â(x+ iΟ)â(x+ iΟ)â = â(xâ iΟ)(x+ iΟ)â†âx2 + Ο2â †âxâ2 + Ο2
Wir erhalten also fur alle Ο â R:
α2 + ÎČ2 + 2ÎČΟ †âxâ2.
Dies ist nur moglich fur ÎČ = 0.(c) Nach (a) hat x eine Darstellung der Form x = u+ iv mit hermiteschen Elementen
u, v â R. Fur alle Ï â â(R) gilt nach (b) und Folgerung 13.5
Ï(u) â ÏR(u) â R und Ï(v) â ÏR(v) â Rund daher
Ï(x) = Ï(u+ iv) = Ï(u) + iÏ(v) = Ï(u)â iÏ(v) = Ï(uâ iv) = Ï(xâ) .
€15.6. Lemma. Sei (R, â · â) eine CââAlgebra.
(a) Es gilt âxâ = âxââ fur alle x â R. Die Involution â von R ist also eine konjugiertlineare Isometrie.
(b) Ist x â R ein normales Element, so ist die von 1, x und xâ erzeugte abgeschlosseneUnteralgebra R0 eine kommutative CââAlgebra, deren Elemente alle normal sind.Es gilt ferner
âxâ2 = âx2â und rR(x) = âxâ .Beweis. (a) Nach Definition 15.1 gilt fur alle x â R
âxâ2 = âxâxâ †âxââ · âxâ und daher âxâ †âxââsowie
âxââ2 = âxxââ †âxââ · âxâ und daher âxââ †âxâ .Also folgt âxâ = âxââ
(b) Da die Elemente 1, x und xâ paarweise vertauschen, ist
R0 = p(x, xâ) ; p â C[Z1, Z2]eine kommutative Banachalgebra, die offensichtlich unter der Involution â invariant ist(da diese nach (a) insbesondere stetig ist). R0 ist also mit der auf R0 eingeschranktenInvolution eine kommutative CââAlgebra. Insbesondere sind alle Elemente von R0 normal.Fur alle a â R0 gilt daher
âa2â = â(a2)âa2â1/2 = â(aâa)â(aâa)â1/2 = âaâaâ = âaâ2.
Nach Lemma 8.2 folgt rR(x) = rR0(x) = âxâ. €Wir werden den folgenden Approximationassatz fur stetige Funktionen verwenden:
15.7. Satz (StoneâWeierstraĂ). Sei K ein kompakter topologischer Hausdorffraum undsei A eine Unteralgebra von C(K) mit den folgenden Eigenschaften:
(a) 1 â A.
(b) Fur alle f â A liegt auch f â in A mit f â(t) := f(t) fur alle t â K.(c) A trennt die Punkte von K.
Dann liegt A dicht in C(K) bezuglich der Supremumsnorm.
Zum Beweis siehe z.B. Satz 7.3 in [2].
15. CââALGEBREN: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN 123
15.8. Satz (GelfandâNeumark). Sei R eine kommutative CââAlgebra mit Einselement1. Dann ist der Gelfandhomomorphismus
Î : R â C(â(R)) , x 7â x ,
ein isometrischer ââIsomorphismus, d.h. ein isometrischer Algebrenisomorphismus mit
âx â R : âÏ â â(R) : xâ(Ï) = x(Ï) .
Beweis. Nach Satz 13.6 ist Î : R â C(â(R)) ein Algebrenhomomorphismus mitÎ(1) = 1 und es gilt fur alle x â R:
âÎ(x)ââ(R) = âxââ(R) = rR(x) = âxâ,wobei das letzte Gleichheitszeichen nach Lemma 15.6 gilt, denn wegen der Kommutati-vitat von R sind alle Elemente von R normal. Î ist also sogar eine Isometrie. Insbesondereist A := ran Î abgeschlossen in R. Die Algebra A enthalt die konstante Funktion 1 undtrennt nach Satz 13.6 (d) die Punkte von â(R). Ferner gilt nach Lemma 15.5 (c) fur allex â R, Ï â â(R):
xâ(Ï) = Ï(xâ) = Ï(x) = x(Ï) .
Nach dem Satz 15.7 von Stone und WeierstraĂ liegt A also dicht in C(â(R)). Da Aabgeschlossen ist, folgt A = C(â(R)). €
Als unmittelbare Folgerung erhalten wir:
15.9. Folgerung. Ist R eine kommutative CââAlgebra mit Einselement, so gilt inLemma 15.5 (b) auch die Umkehrung.
Unter einer CââUnteralgebra R1 einer CââAlgebra R verstehen wir eine abgeschlosseneUnteralgebra von R mit xâ â R1 fur alle x â R1. Dann ist R1 bezuglich der auf R1
eingeschrankten Norm und Involution wieder eine CââAlgebra.
15.10. Lemma. Sei (R, â · â) eine CââAlgebra mit Einselement 1 und sei R1 eineCââUnteralgebra von R mit 1 â R1. Dann gilt fur alle x â R1:
ÏR1(x) = ÏR(x) .
Beweis. (a) Sei zunachst a = aâ â R1 hermitesch. Nach Ubungsaufgabe 8.1 undLemma 15.5 (b) gilt ÏR(a) â ÏR1(a) â R sowie âÏR1(a) â âÏR(a). Insbesondere istÏR(a) = âÏR(a) und ÏR1(a) = âÏR1(a), so daĂ insgesamt ÏR1(a) = ÏR(a) folgt.
(b) Sei nun x normal (nicht notwendig hermitesch) und x â R1. Nach Ubungsaufga-be 8.1 ist ÏR(x) â ÏR1(x). Um die Gleichheit zu beweisen, genugt es somit ÏR(x) â ÏR1(x)zu zeigen. Sei also λ â ÏR(x) beliebig. Mit λâ x ist dann auch (λâ x)â invertierbar in Rund es gilt ((λâx)â)â1 = ((λâx)â1)â. Daher ist a := (λâx)â(λâx) ein hermitesches inR invertierbares Element mit a â R1. Wegen 0 /â ÏR(a) folgt nach (a) auch 0 /â ÏR1(a).Also ist aâ1 = (λâ x)â1((λâ x)â)â1 â R1 und (λâ x)â1 = aâ1(λâ x)â â R1, d.h. es istλ â ÏR1(x) fur alle λ â ÏR(x). €
15.11. Satz. Sei (R, â · â) eine CââAlgebra mit Einselement 1 und sei x ein normalesElement von R. R0 sei die von 1, x und xâ erzeugte kommutative CââUnteralgebra vonR. Dann gilt:
(a) â(R0) ist homoomorph zu ÏR0(x) = ÏR(x) vermoge der Abbildung
x : â(R0) â ÏR0(x), Ï 7â x(Ï) = Ï(x).
(b) R0 ist isometrisch ââisomorph zu C(ÏR(x)).
124 15. CââALGEBREN: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN
Beweis. Nach Lemma 15.10 ist ÏR1(x) = ÏR(x).(a) Die Abbildung x : â(R0) â ÏR0(x) ist nach Folgerung 13.5 surjektiv und nach
Satz 13.6 stetig. Um zu zeigen, daĂ x eine Homoomorphie ist, genugt es (etwa nach [2],Satz 4.9) die Injektivitat von x zu beweisen. Seien also Ï, Ï â R0 mit x(Ï) = x(Ï). Dann
folgt Ï(xâ) = Ï(x) = Ï(x) = Ï(xâ) (nach Lemma 15.5 (b)) und Ï(1) = 1 = Ï(1). Esfolgt 1, x, xâ â ker(Ï â Ï). Nun ist, wie man unmittelbar nachrechnet, ker(Ï â Ï) eineUnteralgebra von R0, welche wegen der Stetigkeit von ÏâÏ abgeschlossen ist. Da R0 dievon 1, x, xâ erzeugte abgeschlossene Unteralgebra von R ist, folgt ker(Ï â Ï) = R0 unddamit Ï = Ï. x ist daher injektiv und somit eine Homoomorphie.
(b) Nach dem Satz 15.8 von Gelfand und Neumark ist Î : R0 â C(â(R0)) einisometrischer ââIsomorphismus. Da x : â(R0) â ÏR(x) nach (a) eine Homoomorphieist, ist die Abbildung Κ : C(â(R0)) â C(ÏR(x)) mit Κ(f) := f xâ1 ebenfalls einisometrischer ââIsomorphismus. Somit ist auch Κ Î : R0 â C(ÏR(x)) ein isometrischerââIsomorphismus. €
15.12. Bemerkung. Sei (R, â·â) eine Banachalgebra mit Einselement 1 und sei x â R.Ist f eine in einer Umgebung der Kreisscheibe K := z â C ; |z| †rR(x) holomorpheFunktion, so besitzt f eine Potenzreihenentwicklung f(z) =
âân=0 anz
n um 0 mit einemKonvergenzradius Ï > rR(x). Wegen
lim supnââ
(|an| · âxnâ)1/n †rR(x)
Ï< 1
ist dann die Reiheââ
n=0 anxn absolut konvergent in R gegen einen Grenzwert, den wir
mit f(x) bezeichnen.Ist R kommutativ und Ï â â(R) beliebig, so folgt wegen der Stetigkeit von Ï:
Ï(f(x)) =âân=0
anÏ(xn) =âân=0
anÏ(x)n = f(Ï(x)) .
Insbesondere gilt also nach Folgerung 13.5 der spektrale Abbildungssatz :
ÏR(f(x)) = f(ÏR(x)) .
15.13. Satz (Funktionalkalkul fur normale Elemente). Sei (R, â · â) eine CââAlgebramit Einselement 1 und sei x ein normales Element von R. Dann gibt es einen isometri-schen ââMonomorphismus Ί : C(ÏR(x)) â R mit den folgenden Eigenschaften:
(a) Ί(1) = 1, Ί(idÏR(x)) = x.(b) Es gilt der spektrale Abbildungssatz: ÏR(Ί(f)) = f(ÏR(x)) fur alle f â C(ÏR(x)).(c) Ist f eine in einer Umgebung von K := z â C ; |z| †rR(x) holomorphe Funk-
tion, so gilt f(x) = Ί(f |ÏR(x))
Ist auch Κ : C(ÏR(x)) â R ein weiterer ââHomomorphismus mit (a), so gilt schon Κ = Ί.Aufgrund dieser Eigenschaften von Ί schreiben wir im folgenden auch f(x) statt Ί(f) furalle f â C(ÏR(x)).
Beweis. Zur Existenz und (a): Nach (dem Beweis zu) Satz 15.11 ist durch
a 7â Î(a) := Î(a) xâ1 = a xâ1
ein isometrischer ââIsomorphismus von der von 1, x und xâ erzeugten abgeschlossenen CââUnteralgebra R1 auf C(ÏR(x)) gegeben, fur den offensichtlich gilt Î(1) = 1 und Î(x) =idÏR(x). Durch f 7â Ί(f) := Îâ1(f) wird also ein isometrischer ââMonomorphismus Ί :C(ÏR(x)) â R definiert mit ran Ί = R1 und Ί(1) = 1, Ί(idÏR(x)) = x.
Zur Eindeutigkeit: Ist Κ : C(ÏR(x)) â R ein weiterer ââHomomorphismus mit (a),so folgt aus den ââHomomorphieeigenschaften und (a) fur Ί und Κ: Fur alle Polynome
15. CââALGEBREN: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN 125
p : (z, z) 7â p(z, z) in z und z ist Ί(p) = p(x, xâ) = Κ(p). Nach Ubungsaufgabe 15.4, ist Κstetig. Da die Polynome in z und z nach dem Satz von Stone und WeierstraĂ dicht liegenin C(ÏR(x)) folgt wegen der Stetigkeit von Ί und Κ, daà Ί = Κ gilt.
Zu (b): Fur alle Ï â â(R1), f â C(ÏR(x)) gilt
Ï(Ί(f)) = Ï(Îâ1(f)) = Ï(Îâ1(f x) = (f x)(Ï) = f(x(Ï)) = f(Ï(x)) .
Mit Folgerung 13.5 und Lemma 15.10 folgt
ÏR(Ί(f)) = ÏR1(Ί(f)) = Ï(Ί(f)) ; Ï â â(R1) = f(Ï(x))) ; Ï â â(R1)= f(ÏR1(x)) = f(ÏR(x)) .
Also ist (b) erfullt.Zu (c): Ist f eine in einer Umgebung von K holomorphe Funktion, so hat f eine
Potenzreihenentwicklung f(z) =ââ
n=0 anzn um 0 mit einem Konvergenzradius Ï > rR(x).
Insbesondere konvergieren die Partialsummen sk(z) =âk
n=0 anzn gleichmaĂig auf ÏR(x)
gegen f . Es folgt wegen (a) und der Stetigkeit von Ί:
f(x) = limkââ
sn(x) = limkââ
Ί(sn) = Ί(f |ÏR(x)) .
€15.14. Satz (Fuglede). Sei (R, â · â) eine CââAlgebra mit Einselement 1 und seien
x, y zwei normale Elemente von R. Ist a â R mit xa = ay, so gilt auch xâa = ayâ.
Beweis. Durch vollstandige Induktion folgt aus der Voraussetzung: xna = ayn furalle n â N0 und hieraus fur alle λ â C:
exp(iλx)a = a exp(iλy)
und somita = exp(iλx)a exp(âiλy)
Fur alle λ â C folgt hieraus mit Ubungsaufgabe 15.1:
(15.1)f(λ) := exp(iλxâ)a exp(âiλyâ) = exp(iλxâ) exp(iλx)a exp(âiλy) exp(âiλyâ)
= exp(i(λxâ + λx))a exp(âi(λy + λyâ))
Da die Elemente λxâ + λx und λy+ λyâ hermitesch sind, folgt nach Ubungsaufgabe 15.2:
(15.2) âf(λ)â †â exp(i(λxâ + λx))â · âaâ · â exp(âi(λy + λyâ))â = âaâ .Nach (15.1) Ubungsaufgabe 15.2 gilt ferner
f(λ) =âân=0
λn
n!(Lxâ âRyâ)
n(a)
mit absoluter Konvergenz fur alle λ â C. Hierbei sind Lxâ bzw. Ryâ die Operatoren derMultiplikation von links mit xâ bzw. von rechts mit yâ. Fur alle uâČ â RâČ ist somit durch
λ 7â uâČ(f(λ)) =âân=0
λn
n!uâČ
((Lxâ âRyâ)
n(a))
eine ganze Funktion gegeben, die wegen (15.2) beschrankt, also nach dem Satz von Liou-ville konstant ist. Fur alle n â„ 1 und alle uâČ â RâČ gilt daher uâČ
((Lxâ âRyâ)
n(a))
= 0 undsomit (Lxâ âRyâ)
n(a) = 0. Fur n = 1 folgt xâaâayâ = 0 und damit die Behauptung. €15.15. Folgerung. Sei (R, â · â) eine CââAlgebra mit Einselement 1 und sei x ein
normales Element von R. Dann nimmt der Funktionalkalkul aus Satz 15.13 seine Werteim Bikommutanten von x an, d.h. fur alle f â C(ÏR(x)) und alle a â R mit ax = xa gilt:af(x) = f(x)a.
126 15. CââALGEBREN: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN
Beweis. Nach dem Satz von Fuglede kommutiert jedes Element a â R mit ax = xaauch mit xâ, also auch mit jedem Element der von 1, x und xâ erzeugten abgeschlossenenUnteralgebra R1. Da der Funktionalkalkul aus Satz 15.13 seine Werte in R1 annimmt,folgt die Behauptung. €
Im folgenden sei stets R eine CââAlgebra mit Einselement 1 uber C.
15.16. Definition. Ein Element x â R heiĂt positiv (Schreibweise: x â„ 0), falls xhermitesch ist und ÏR(x) â [0,â) gilt.
Jedes hermitesche Element laĂt sich als Differenz von zwei positiven schreiben:
15.17. Lemma. Sei x â R hermitesch. Dann gibt es positive Elemente u, v â R mitx = uâ v, uv = vu = 0 und âuâ †âxâ, âvâ †âxâ.
Beweis. Nach Lemma 15.5 hat x reelles Spektrum. Die Funktionen
f± : ÏR(x) â [0,â) , λ 7â f+(λ) := max0, λ , und λ 7â fâ(λ) := max0,âλsind stetig und erfullen
f+fâ ⥠0 und f+ â fâ ⥠id sowie âf±âÏR(x) †âidâÏR(x) = rR(x) = âxâ .Mit u := f+(x), v := fâ(x) in Satz 15.13 folgt die Behauptung. €
15.18. Lemma. Sei 0 †x â R. Dann existiert genau ein y â R mit y â„ 0 und y2 = x.Wir schreiben dann y =
âx. Ist x in R invertierbar, so auch y.
Beweis. (a) Existenz: Die Funktion g : ÏR(x) â [0,â) mit g(λ) :=â
(λ) fur alleλ â ÏR(x) ist stetig und erfullt g â„ 0 und g2(λ) ⥠λ. Fur y := g(x) gilt nach Satz 15.13:y2 = g(x)2 = x, yâ = g(x)â = g(x) = y und nach dem spektralen Abbildungssatz y â„ 0.
(b) Eindeutigkeit: Sei auch 0 †u â R mit u2 = x. Insbesondere folgt ux â xu = 0.Nach Folgerung 15.15 gilt also yuâuy = 0 fur y wie in (a). Sei nun R1 die von u, y und 1erzeugte abgeschlossene, kommutative Unteralgebra von R. Dann gilt fur alle Ï â â(R1):
Ï(u) â ÏR1(u) = ÏR(u) â [0,â), Ï(y) â ÏR1(y) = ÏR(y) â [0,â),
woraus wegen Ï(u)2 = Ï(u2) = Ï(x) = Ï(y)2 schon Ï(u) = Ï(y) folgt. Es folgt
âuâ yâ = rR(uâ y) = rR1(uâ y) = supÏââ(R1)
|Ï(u)â Ï(y)| = 0 ,
d.h. u = y. €15.19. Definition. Eine Teilmenge K eines KâVektorraums heiĂt Kegel , falls gilt
âx â K âλ > 0 : λx â K .
Ein KegelK heiĂt spitz , fallsKâ©(âK) = 0. Ein KegelK heiĂt konvex , fallsK+K â K.
15.20. Satz (Kelley-Kaplansky-Vaught). Sei (R, â · â) eine CââAlgebra mit Einsele-ment 1. Sei P := x â R ; x â„ 0 die Menge der positiven Elemente von R. Dann ist Pein abgeschlossener, konvexer, spitzer Kegel in R, dessen relatives Inneres in der MengeRh der hermiteschen Elemente von R aus invertierbaren Elementen besteht und dessenRand nur nicht invertierbare Elemente enthalt.
Fur ein Element x â R sind die folgenden Aussagen (a) â (d) aquivalent:
(a) x â„ 0 (d.h. x = xâ und ÏR(x) â [0,â)).(b) x = xâ und ââxâ1â xâ †âxâ.(c) Es gibt ein y â R mit y = yâ und y2 = x.(d) Es gibt ein y â R mit yây = x.
15. CââALGEBREN: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN 127
Beweis. 1.)â(a) ââ (b)â: Fur ein hermitesches Element x â R gilt nach Lem-ma 15.5: ÏR(x) â [ââxâ, âxâ]. Daher hat man ÏR(âxâ1 â x) = âxâ â λ ; λÏR(x) â[0, 2âxâ]. Mit Lemma15.6 folgt
âxâ â„ ââxâ1â xâ = rR(âxâ1â x) ââ ÏR(x) â [0, âxâ] .Insbesondere folgt aus dieser Aquivalenz auch, daĂ P abgeschlossen ist in R.
2.) Die Aussage â(a) =â (c)â folgt aus Lemma 15.18 und â(c) =â (d)â ist trivial.3.) P ist ein spitzer Kegel: Fur alle x â„ 0 aus R und alle λ â„ 0 aus R hat man
ÏR(λx) = λÏR(x) â [0,â) und (λx)â = λx und somit λx â P . Es ist 0 â P und fur allex â P â© (âP) ist ÏR(x) â [0,â) â© (ââ, 0] = 0 und daher âxâ = rR(x) = 0. Also istder Kegel P auch spitz.
4.) Wir zeigen: Fur alle x = xâ â R mit âxâ †1 gilt: x â„ 0 ââ â1 â xâ †1.In der Tat hat man fur solche x:
â1â xâ †1 ââ ÏR(1â x) = 1â λ ; λ â ÏR(x) â [â1, 1]
ââ ÏR(x) â [0, 1]
ââ x â„ 0 .
5.) Der Kegel P ist konvex: Seien x, y â P beliebig. Ist x = 0 oder y = 0, so istx+ y â P . Seien nun x 6= 0 und y 6= 0 vorausgesetzt. Da P ein Kegel ist, folgt
1
âxâ+ âyâx ,1
âxâ+ âyây â P .
Also ist
u :=1
2(âxâ+ âyâ)(x+ y) = uâ und âuâ †1 .
Es folgt mit 4.):
â1â uâ =1
2
â„â„â„2 · 1â 1
âxâ+ âyâ(x+ y)â„â„â„
†1
2
(â„â„â„1â 1
âxâ+ âyâxâ„â„â„ +
â„â„â„1â 1
âxâ+ âyâyâ„â„â„)
†1
2(1 + 1) = 1
Ebenfalls nach 4.) muĂ also u â P und damit (nach 3.)) auch x+ y â P gelten.6.) Ist x ein innerer Punkt von P (betrachtet als Teilmenge des reellen normierten
Vektorraums Rh), so gibt es ein Δ > 0 mit âΔ1 + x â P . Insbesondere ist ÏR(âΔ1 +x) â [0,â) und daher ÏR(x) â [Δ,â). x ist daher invertierbar. Ist umgekehrt x â Pinvertierbar, so gibt es ein Δ > 0 mit ÏR(x) â [Δ,â). Es folgt
ââxâ1â xâ = rR(âxâ1â x) = supλâÏR(x)
âxâ â λ †âxâ â Δ < âxâ .
Wegen der Aquivalenz von (a) und (b) ist die Menge u = uâ â R ; ââuâ1âuâ < âuâ inP und offensichtlich offen in Rh. x ist also innerer Punkt von P betrachtet als Teilmengedes normierten Raums Rh.
7.) Wir zeigen: Ist w â R mit wâw â âP , so ist w = 0.Zum Beweis schreiben wir w in der Form w = w1 + iw2 mit hermiteschen Elementen
w1, w2 (vergl. Lemma 15.5) Mit Satz 15.13 folgt w2j â P , denn w2
j ist hermitesch und
ÏR(w2j ) = λ2 ; λ â ÏR(wj) â [0,â) (j=1,2). Wegen 3.) und 5.) folgt
wâw + wwâ = 2(w21 + w2
2) â P
128 15. CââALGEBREN: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN
und daherwwâ = (wâw + wwâ) + (âwâw) â P + P â P .
Es folgt insbesondere ÏR(wwâ) â [0,â) und hieraus mit Ubungsaufgabe 8.2: ÏR(wâw) â[0,â). Also folgt mit 3.):
wâw â P â© (âP) = 0und somit âwâ = âwâwâ1/2 = 0, d.h. w = 0.
8.) â(d) =â (a)â: Sei nun x = yây fur ein y â R. Dann ist x insbesondere hermiteschund laĂt sich nach Lemma 15.17 schreiben in der Form x = u â v mit u, v â P unduv = vu = 0. Fur w := yv folgt
wâw = (yv)â(yv) = vâyâyv = v(uâ v)v = âv3 â âP ,denn ÏR(v3) = λ3 ; λ â ÏR(v) â [0,â) . Wegen 7.) muĂ w = 0 und damit auchv3 = âwâw = 0 gelten. Es folgt âvâ = rR(v) = 0 und damit x = u+ v = u â P . €
Zum AbschluĂ dieses Kapitels zeigen wir noch, daĂ die Definitionen 15.16 und dieDefinition eines positiven Operators in Definition 2.41 vertraglich sind:
15.21. Satz. Sei H ein komplexer Hilbertraum. Fur T â L(H) sind die beiden folgen-den Aussagen aquivalent:
(a) âx â H : ăTx, xă â„ 0, d.h. T ist positiv im Sinn von Definition 2.41.(b) T ist positiv als Element der CââAlgebra L(H), d.h. T = T â und ÏL(H)(T ) â
[0,â).
Beweis. Ist (a) erfullt, so ist insbesondere T = T â nach Lemma 2.42. Also ist auchâTâ1â T hermitesch. Mit Lemma 2.45 und BH := x â H ; âx †1 folgt unter Verwen-dung von ăTx, xă0 fur alle x â BH:
ââTâ1â Tâ = supxâBH
|ă(âTâ â T )x, xă| = supxâBH
|âTââxâ2 â ăTx, xă|
= supxâBH
âTââxâ2 â ăTx, xă
†supxâBH
âTââxâ2 = âTâ
Nach Satz 15.20 ist T daher auch positiv als Element der CââAlgebra L(H).Ist T positiv als Element der CââAlgebra L(H), so gibt es nach Satz 15.20 einen
Operator S â L(H) mit SâS = T . Fur alle x â H folgt dann
ăTx, xă = ăSâSx, xă = ăSx, Sxă â„ 0.
T ist also auch positiv im Sinne von Definition 2.41. €
Ubungsaufgaben zu Kapitel 15.
15.1. Aufgabe. Sei R eine Banachalgebra mit Einselement 1. Zeigen Sie:
(a) Fur alle x, y â R mit xy = yx gilt exp(x+ y) = exp(x) exp(y).(b) Fur alle a, b, c â R gilt exp(a) b exp(c) = exp(La +Rc)(b).
Hierbei sind La, Rc â L(R) definiert durch
La(x) = ax und Rc(x) = xc (x â R).
15.2. Aufgabe. Sei (Râ·â) eine Câ-Algebra. Zeigen Sie: Fur x â R sind die folgendenAussagen aquivalent:
(a) x = xâ, d.h. x ist hermitesch.(b) â exp(itx)â = 1 fur alle t â R.
15. CââALGEBREN: DEFINITION UND ERSTE EIGENSCHAFTEN 129
(c) â exp(itx)â †1 fur alle t â R.
15.3. Aufgabe. Fur T â L(H), H ein Hilbertraum, sei |T | := (T âT )12 . Zeigen Sie:
(a) |T | ist der einzige positive Operator P mit der Eigenschaft, daĂ âPxâ = âTxâfur alle x â H gilt.
(b) Ist T invertierbar, so gibt es genau einen unitaren Operator U â L(H) mit T =U |T |.
(c) Ist T normal, so gibt es einen unitaren Operator U mit T = U |T | = |T |U .
15.4. Aufgabe. Seien (R1, â · â1), (R2, â · â2) zwei Câ-Algebren mit Einselementen1R1 , 1R2 und sei Ί : R1 â R2 ein â-Homomorphismus mit Ί(1R1) = 1R2 . Zeigen Sie, daĂΊ dann stetig ist mit âΊâ = 1.
KAPITEL 16
Konvexitat in lokalkonvexen Vektorraumen
Wir beginnen mit einem elementaren Lemma aus der linearen Algebra. Im gesamtenKapitel sei K = R oder K = C.
16.1. Lemma. Seien g, f1, . . . , fn : E â K Linearformen auf einem K-Vektorraum Emit
nâj=1
ker(fj) â ker g .
Dann ist g eine Linearkombination von f1 . . . , fn.
Beweis. Die Abbildung T : E â Kn mit T (x) := (f1(x), . . . , fn(x)) fur alle x â E istlinear. Insbesondere ist T (E) ein Untervektorraum von Kn. Sind x, y zwei Vektoren ausE mit T (x) = T (y) so folgt fj(x) = fj(y) und somit xâ y â ker fj fur j = 1, . . . , n. NachVoraussetzung gilt also auch xâ y â ker g und somit g(x) = g(y). Durch Ï(T (x)) := g(x)fur alle x â E ist also eine wohldefinierte, lineare Abbildung Ï : T (E) â K definiert,die eine Fortsetzung zu einem linearen Funktional Ï : Kn â K besitzt. Es gibt alsoα1, . . . , αn â K mit
Ï(Ο) =nâj=1
αjΟj fur alle Ο = (Ο1, . . . , Οn) â Kn.
Insbesondere folgt fur alle x â E:
g(x) = Ï(T (x)) = Ï(T (x)) =nâj=0
αjfj(x)
und somit g =ân
j=0 fj. €16.2. Satz. Sei ăE,F ă ein Dualsystem. Dann ist (E, Ï(E,F ))âČ = F , wobei wir F
vermoge der Einbettung y 7â ă·, yă als Untervektorraum des algebraischen Dualraums E#
von E auffassen. Ebenso gilt (F, Ï(F,E))âČ = E.
Beweis. Nach Definition der Topologie Ï(E,F ) sind alle linearen Funktionale derGestalt ă·, yă, y â F , stetig auf (E, Ï(E,F )), d.h. es gilt mit der obigen Identifikation vonF als Untervektorraum von E# die Inklusion F â (E, Ï(E,F ))âČ.
Sei nun umgekehrt g : (E, Ï(E,F )) â K stetig und linear. Dann gibt es endlich vieley1, . . . , yn â F und ein Δ > 0 mit
Uy1,...,yn;Δ := x â E ; |ăx, yjă| < Δ, j = 1, . . . , n â gâ1(U1(0)).
Insbesondere folgt
g( nâj=1
keră·, yjă)â U1(0) = λ â K ; |λ| < 1.
Dies ist nur moglich, wenn
g( nâj=1
keră·, yjă)
= 0 und somitnâj=1
keră·, yjă â ker g
130
16. KONVEXITAT IN LOKALKONVEXEN VEKTORRAUMEN 131
gilt. Nach Lemma 16.1 gibt es also α1, . . . , αn â K mit
g(x) =nâj=1
αjăx, yjă =âšx,
nâj=1
αjyj
â©
fur alle x â E. Also ist g = ă·,ânj=1 αjyjă.
Analog zeigt man (F, Ï(F,E))âČ = E. €
16.3. Folgerung. Sei ăE,F ă ein Dualsystem und sei F1 ein echter Untervektorraumvon F derart, daĂ auch (E,F1, ă·, ·ă|EĂF1) ein Dualsystem ist. Dann ist die TopologieÏ(E,F1) echt grober als Ï(E,F ).
Um die lokalkonvexe Variante des Trennungssatzes von Hahn-Banach zeigen zu konnen,beweisen wir zunachst eine Trennungseigenschaft allgemeiner separierter topologischerVektorraume.
16.4. Satz. Sei K eine kompakte und A eine zu K disjunkte abgeschlossene Teilmengeeines separierten topologischen Vektorraums (E, Ï). Dann gibt es eine Ï -Nullumgebung Uin E mit (K + U) â© (A+ U) = â .
Hieraus folgt insbesondere leicht, daĂ es in der Situation des Satzes offene MengenV,W â E gibt mit K â V , A â W und V â©W = â (vergl. Aufgabe 16.1).
Beweis. Im Fall K = â ist die Aussage trivial (wegen â + U = â fur jede Ï -Nullumgebung). Sei nun K 6= â . Da E \ A offen ist, gibt es zu jedem x â K eine offeneNullumgebung Vx mit (x + Vx) â© A = â . Zu Vx gibt es nach den Bemerkungen 11.2 und11.5 eine kreisformige Nullumgebung Ux mit
Ux + Ux + Ux â Vx .
Insbesondere gilt wegen Ux = âUx fur alle x â E:
(x+ Ux + Ux) â© (A+ Ux) = â , d.h. x+ Ux + Ux â E \ (A+ Ux) .
Wegen der Kompaktheit von K gibt es endlich viele x1, . . . , xn â K mit
K ânâj=1
(xj + Uxj).
Dann ist auch U :=ânj=1 Uxj
eine Nullumgebung und es folgt
K + U ânâj=1
(xj + Uxj+ U) â
nâj=1
(xj + Uxj+ Uxj
) ânâj=1
(E \ (A+ Uxj)) â E \ U.
Damit ist die Behauptung bewiesen. €
16.5. Trennungssatz von HahnâBanach. Sei (E, Ï) ein lokalkonvexer Haus-dorffraum und seien A,B zwei disjunkte, konvexe, nicht leere Teilmengen von E.
(a) Ist A offen, so gibt es ein f â E âČ und ein Îł â R mit
âa â A, b â B : Re f(a) < Îł †Re f(b).
(b) Ist A kompakt und B abgeschlossen, so gibt es f â E âČ, Îł â R und Δ > 0 mit
âa â A, b â B : Re f(a) < Îł â Δ < Îł < Re f(b).
132 16. KONVEXITAT IN LOKALKONVEXEN VEKTORRAUMEN
Beweis. Wie im normierten Fall (Satz 6.11) genugt es, die Behauptung fur den FallK = R zu beweisen. Fur den Beweis zu (a) kann man (unter Verwendung von Auf-gabe 16.2) wortlich den entsprechenden Beweisteil fur den normierten Fall (Satz 6.11)ubernehmen.
Zu (b): Nach Satz 16.4 gibt es eine Ï -Nullumgebung U mit A+Uâ©B+U = â . Da (E, Ï)lokalkonvex ist, gibt es eine offene und konvexe Nullumgebung V mit V â U . Insbesondereist A+V =
âaâA a+V offen, konvex und zu B disjunkt. Nach (a) (angewendet auf A+V
statt A) gibt es also ein f â E âČ und ein Îł0 â R mit
âx â A+ V, b â B : f(x) < Îł0 †f(b).
Wegen der Kompaktheit von A und der Stetigkeit von f folgt
Îł1 := supaâA
f(a) = maxaâA
f(a) < Îł0.
Insbesondere gibt es ein Îł â (Îł1, Îł2) und ein Δ > 0 mit
âa â A, b â B : f(a) †γ1 < Îł â Δ < Îł < Îł0 †f(b).
Hieraus folgt (b) im Fall K = R. €
16.6. Satz. Eine konvexe Teilmenge A eines lokalkonvexen Hausdorffraums ist genaudann Ï -abgeschlossen, wenn sie schwach (also bzgl. Ï(E,E âČ)) abgeschlossen ist.
Beweis. Da die schwache Topologie Ï(E,E âČ) grober als die Ausgangstopologie Ï ist,ist jede schwach abgeschlossene Menge insbesondere Ï -abgeschlossen.
Sei nun A eine Ï -abgeschlossene konvexe Menge und x0 â E\A beliebig. Da K := x0kompakt und konvex ist, gibt es nach dem Trennungssatz 16.5 von Hahn-Banach also einstetiges lineares Funktional xâČ â E âČ und ein Îł â R mit
(16.1) âa â A : Re xâČ(x0) < Îł < RexâČ(a) .
Nach Definition von Ï(E,E âČ) ist xâČ auch stetig bezuglich Ï(E,E âČ). Damit ist auch dasreell-lineare Funktional g : x 7â RexâČ(x) stetig bezuglich Ï(E,E âČ). Insbesondere ist die
schwache AbschlieĂung AÏ(E,EâČ)
von A in gâ1([Îł,â)) enthalten und somit (nach (16.1))
x0 /â AÏ(E,EâČ)
. Da x0 ein beliebiger Punkt aus E \ A war, folgt A = AÏ(E,EâČ)
, d.h. A istschwach abgeschlossen. €
16.7. Definition. Sei ăE,F ă ein Dualsystem und sei â 6= A â E. Dann heiĂt dieMenge
A := f â F ; âa â A : |ăa, fă| †1die (absolut) polare Menge zu A (bezuglich ăE,F ă). Ebenso konnen wir fur â 6= B â Fdie zu B polare Menge
B := x â E ;âb â B : |ăx, bă| †1bilden.
Die folgenden Rechenregeln fur die Polarenbildung rechnet man leicht nach.
16.8. Lemma. Sei ăE,F ă ein Dualsystem.
(a) 0 = F , E = 0, 0 = E, F = 0.(b) Ist 0 6= λ â K und sind A1, A2 â E zwei nicht leere Teilmengen von E mit
λA1 â A2, so gilt A2 â 1λA1.
(c) Ist X ein Untervektorraum von E, so ist X = Xâ„ = f â F ; âx â X :ăx, fă = 0 und X ist ein Untervektorraum von F .
16. KONVEXITAT IN LOKALKONVEXEN VEKTORRAUMEN 133
(d) Ist (Ai)iâI eine Familie von nicht leeren Teilmengen von E, so gilt( âiâIAi
)=
âiâIAi .
16.9. Beispiel. Sei (E, â · â) ein normierter Raum. Dann gilt fur die abgeschlosseneEinheitskugel BE = x â E ; âxâ †1:
BE = xâČ â E âČ ; âx â BE : |xâČ(x)| †1 = xâČ â E âČ ; âxâČâ †1 = BEâČ .
Mit Br(0) := x â E ; âxâ †r gilt nach Lemma 16.8 fur alle r > 0:
Br(0) =(rBE
)=
1
rBE =
1
rBEâČ .
16.10. Lemma. Sei ăE,F ă ein Dualsystem und seien A â E und B â F zwei nichtleere Teilmengen von E bzw. F . Dann sind die hierzu polaren Mengen A und B abso-lutkonvex und abgeschlossen bezuglich Ï(F,E) bzw. Ï(E,F ).
Beweis. Fur alle u, v â A und alle α, ÎČ â K mit |α|+ |ÎČ| †1 gilt:
âa â A : |ăa, αu+ ÎČvă| = |αăa, uă+ ÎČăa, vă| †|α| · |ăa, uă|+ |ÎČ| · |ăa, vă| †1 .
Also folgt αu+ ÎČv â A.Da BK := λ â K ; |λ| †1 eine abgeschlossene Teilmenge von K ist, ist wegen
der Stetigkeit der linearen Funktionale fx : F â K, y 7â fx(y) := ăx, yă bezuglich derTopologie Ï(F,E) auf F die Menge
A =âxâA
fâ1x (BK)
Ï(F,E)-abgeschlossen in F . Die Aussagen fur B zeigt man analog. €
16.11. Satz (Bipolarensatz). Sei ăE,F ă ein Dualsystem und sei A eine nicht leereTeilmenge von E. Dann ist die Bipolare (A) die Ï(E,F )-AbschlieĂung der absolutkon-vexen Hulle von A.
Beweis. Offensichtlich gilt stets A â (A) und nach Lemma 16.10 ist (A) bezuglichÏ(E,F ) abgeschlossen. Also ist die Ï(E,F )-AbschlieĂung B der absolutkonvexen Hullevon A in der Bipolaren (A) enthalten.
Ist umgekehrt x0 â E \B beliebig, so gibt es nach dem Trennungssatz 16.5 von Hahn-Banach ein Ï(E,F )-stetiges lineares Funktional f : E â K und ein Îł â R mit
(16.2) âb â B : Re f(x0) < Îł < Re f(b).
Wegen 0 â B folgt Îł < 0. Division von (16.2) durch Îł ergibt
âb â B : Re(1
Îłf(b)
)< 1 < Re
(1
Îłf(x0)
).
Ist b â B beliebig, so gibt es ein Ï â Rmit |f(b)| = eiÏf(b) = f(eiÏb
). Da B absolutkonvex
ist, folgt âeiÏb â B und somitâŁâŁâŁ1Îłf(b)
âŁâŁâŁ = â1
Îł|f(b)| = â1
ÎłeiÏf(b) = Re
(1
Îłf(âeiÏb)
)< 1.
Zu dem Funktional 1Îłf â (E, Ï(E,F ))âČ gibt es nach Satz 16.2 genau ein y0 â F mit
âx â E :1
Îłf(x) = ăx, y0ă.
134 16. KONVEXITAT IN LOKALKONVEXEN VEKTORRAUMEN
Es folgt y0 â B â A und damit (A) â (B). Wegen
|ăx0, y0ă| =âŁâŁâŁ1Îłf(x0)
âŁâŁâŁ â„ Re(1
Îłf(x0)
)> 1
ist x0 /â (A). Da x0 â E \ B beliebig war, folgt (A) â B und damit insgesamtB = (A). €
16.12. Folgerung. Sei ăE,F ă ein Dualsystem und sei A eine nicht leere Teilmengevon E. Dann gilt
((A)
)= A.
Beweis. Nach Lemma 16.10 ist A absolutkonvex und Ï(F,E)-abgeschlossen stimmtalso mit seiner Ï(F,E)-abgeschlossenen absolutkonvexen Hulle uberein. Wenden wir alsoden Bipolarensatz 16.11 auf das Dualsystem [F,E] mit [f, e] := ăe, fă fur alle e â E, f â Fan, so folgt die Behauptung. €
16.13. Folgerung. Sei (E, â · â) ein normierter K-Vektorraum, M > 0 und A einenicht leere Teilmenge von E mit
âxâČ â E âČ : âxâČâ â€M supaâA
|xâČ(a)| .
Dann gilt fur die abgeschlossene absolutkonvexe Hulle von A:
1
MBE â absconv(A) .
Beweis. Nach Voraussetzung und Beispiel 16.9 gilt
A âxâČ â E âČ ;
1
MâxâČâ †1
= MBEâČ =
( 1
MBE
).
Nach dem Bipolarensatz 16.11 und Satz 16.6 folgt
1
MBE =
(( 1
MBE
))â (A) = absconv(A)
Ï(E,F )= absconv(A)
â·â
und damit die Behauptung. €Die Polaren von Nullumgebungen in lokalkonvexen Hausdorffraumen spielen, wie die
folgenden Aussagen zeigen werden, eine wichtige Rolle.
16.14. Satz. Sei (E, Ï) ein lokalkonvexer Hausdorffraum. Fur eine Teilmenge H desalgebraischen Dualraums E# sind die folgenden Aussagen aquivalent:
(a) H ist gleichstetig, d.h. zu jedem Δ > 0 existiert eine Nullumgebung V in (E, Ï)mit H(V ) := h(v) ; h â H, v â V â λ â K ; |λ| †Δ.
(b) Es gibt eine Nullumgebung U in (E, Ï) mit H â Uâ©E âČ bezuglich des DualsystemsăE,E#ă.
(c) Es gibt eine Nullumgebung U in (E, Ï) mit H â U bezuglich des DualsystemsăE,E âČă.
(d) Es gibt eine Nullumgebung U in (E, Ï) mit H â U bezuglich des DualsystemsăE,E#ă.
Beweis. (a)=â(b): Ist H gleichstetig, so ist H â E âČ und zu Δ := 1 gibt es eineNullumgebung U in (E, Ï) mit H(U) â λ â K ; |λ| †1. Also folgt H â U â© E âČ.
(b)=â(c): Dies ist offensichtlich, da die Polare von U bezuglich ăE,E âČă gleich demSchnitt der Polaren bezuglich ăE,E#ă mit E âČ ist.
(c)=â(d) ist trivial.(d)=â(a): Sei H â U fur eine Nullumgebung U in (E, Ï), wobei die Polare bezuglich
ăE,E#ă gebildet sei. Sei Δ > 0 beliebig. Dann ist auch ΔU eine Ï -Nullumgebung in E undH(ΔU) = ΔH(U) â Δλ â K ; |λ| †1. Insbesondere ist die Bedingung aus (a) erfullt undH ist gleichstetig. €
16. KONVEXITAT IN LOKALKONVEXEN VEKTORRAUMEN 135
16.15. Folgerung. Sei (E, Ï) ein lokalkonvexer Hausdorffraum.
(a) Fur jede Nullumgebung U ist U gleichstetig, absolutkonvex und abgeschlossen inden Topologien Ï(E#, E) und Ï(E âČ, E).
(b) Ist H â E# gleichstetig, so gilt absconv(H)Ï(E#,E) â E âČ und absconv(H)
Ï(E#,E)
ist gleichstetig.
Beweis. (a) ist klar nach den Satz 16.14 und Lemma16.10.(b) Nach Satz 16.14 ist H â U (bzgl. Ï(E#, E)) fur eine Ï -Nullumgebung U . Mit
dem Bipolarensatz 16.11 und Folgerung 16.13 folgt
absconv(H)Ï(E#,E)
= (H) â((U)
)= U.
Mit Satz 16.14 folgt die Behauptung. €Der Satz 12.10 von Banach-Alaoglu gestattet folgende Verallgemeinerung auf den Fall
lokalkonvexer Raume, die sich ebenfalls mit Hilfe des Satzes von Tychonov beweisen laĂt:
16.16. Satz (Satz von Alaoglu-Bourbaki). Fur jede Nullumgebung U eines lokalkon-vexen Hausdorffraums (E, Ï) ist U kompakt bezuglich Ï(E#, E) und Ï(E âČ, E).
Beweis. KE ist - versehen mit der Produkttopologie - ein lokalkonvexer Hausdorffraum.Ein diese Topologie definierendes Halbnormensystem ist gegeben durch px(f) := |Ïx(f)|fur alle f â KE, x â E, wobei Ïx : KE â K die Projektion auf die mit x indizierteKomponente sei. Die Produkttopologie auf KE ist die grobste Topologie auf KE, fur diealle Ïx, x â E, stetig sind. Daher ist
F := λ = (λx)xâE â KE ; âx, y â E,α, ÎČ â K : αÏx(λ) + ÎČÏy(λ)â Ïαx+ÎČy(λ) = 0ein abgeschlossener Untervektorraum von KE. Die Abbildung Ï : E# â KE mit Ï(f) :=(f(x))xâE fur alle f â E# ist ein Monomorphismus mit Ï(E#) = F . Wegen px(Ï(f)) =|f(x)| fur alle x â E folgt: Ï ist ein topologischer Isomorphismus von (E#, Ï(E#, E))nach F versehen mit der von der Produkttopologie induzierten Relativtopologie. Sei nunU eine beliebige Ï -Nullumgebung. Da U absorbant ist, folgt E =
âr>0 rU . Zu jedem
x â E gibt es also ein r(x) > 0 mit x â r(x)U . Fur alle f â U und alle x â E folgt|f(x)| = r(x)
âŁâŁf(1
r(x)x)âŁâŁ †r(x). Somit erhalten wir
Ï(U) â F â©K mit K :=λ = (λx)xâE ; âx â E : |λx| †r(x)
.
Nach dem Satz von Tychonoff ist K kompakt. Da U in (E#, Ï(E#, E)) und daher auchÏ(U) in F abgeschlossen ist, ist Ï(U) kompakte Teilmenge von F und daher auch U
kompakt in (E#, Ï(E#, E)). Wegen U â E âČ (nach Folgerung 16.15) und, da die Relativ-topologie von Ï(E#, E) auf E âČ mit Ï(E âČ, E) ubereinstimmt, folgt die Kompaktheit vonU als Teilmenge von (E âČ, Ï(E âČ, E)). €
Als unmittelbare Folgerung aus Satz 16.14 und dem Satz 16.16 von Alaoglu-Bourbakierhalten wir:
16.17. Folgerung. Sei (E, Ï) ein lokalkonvexer Hausdorffraum. Dann ist jede gleich-stetige Teilmenge von E# relativkompakt bezuglich Ï(E#, E) und Ï(E âČ, E).
16.18. Definition. Eine Teilmenge B eines topologischen Vektorraums (E, Ï) heiĂtbeschrankt (bezuglich Ï oder in (E, Ï)), falls es zu jeder Ï -Nullumgebung U in E ein n â Ngibt mit B â nU .
In Aufgabe 16.4 sind einige elementare Aussagen uber beschrankte Mengen zusam-mengefaĂt.
136 16. KONVEXITAT IN LOKALKONVEXEN VEKTORRAUMEN
16.19. Satz. Sei H â L(E,F ) eine Familie von stetigen, linearen Abbildungen zwi-schen zwei lokalkonvexen Hausdorffraumen (E, ÏE), (F, ÏF ). Fur jede kompakte, absolut-konvexe Teilmenge K von (E, Ï) mit der Eigenschaft, daĂ fur alle x â K die MengeH(x) := Tx ; T â H in (F, ÏF ) beschrankt ist, ist die Menge H(K) = Tx ; T â H, x âK beschrankt in (F, ÏF ).
Beweis. Sei W eine beliebige Nullumgebung in (F, ÏF ). Dann gibt es eine absolutkon-vexe, abgeschlossene Nullumgebung V in (F, ÏF ) mit V + V â W . Wegen der Stetigkeitaller Abbildungen aus H ist dann auch die Menge
A :=âTâH
Tâ1(V )
abgeschlossen in (E, ÏE). Sei nun x â K beliebig. Wegen der Beschranktheit von H(x) in(F, ÏF ) gibt es dann ein n â N mit H(x) â nV , d.h. es gilt x â nA. Es folgt also
K =âân=1
(K â© nA) .
Nach dem Baireschen Kategoriensatz (in der Form von Satz 5.5 im Skriptum zur Topologie[2]) gibt es dann ein n â N, so daĂ K â© nA nicht leeres Inneres bezuglich der Relativ-topologie von ÏE auf K besitzt. Sei also x0 ein innerer Punkt von K â© nA bezuglichdieser Relativtopologie. Dann gibt es eine absolutkonvexe Nullumgebung U in (E, Ï) mit(x0 + U) â© K â nA. Da K und somit auch K â x0 kompakt ist gibt es ein p â N mitK â x0 â pU , d.h. mit K â x0 + pU (vergl. Aufgabe 16.4).
Sei nun x â K beliebig. Dann ist xâ x0 â pU und (wegen der Konvexitat von K) gilt
y :=(1â 1
p
)x0 +
1
px â K.
Es folgt x = py + (1â p)x0 sowie
y = x0 +1
p(xâ x0) â K â© (x0 + U) â nA.
Fur alle T â H gilt also
Tx = pTy + (1â p)Tx0 â pT (nA) + (1â p)T (nA)
und daherTx â pnV + (1â p)nV â pn(V + V ) â pnW.
Da dies fur alle T â H und x â K gilt, folgt H(K) â pnW und die Beschranktheit vonH(K) bezuglich ÏF ist bewiesen. €
In einem lokalkonvexen Hausdorffraum (E, Ï) gibt es auf E neben der Ausgangsto-pologie Ï auch noch die schwache Topologie Ï(E,E âČ). Es zeigt sich, daĂ eine Teilmengegenau dann schwach beschrankt ist, wenn sie Ï -beschrankt ist:
16.20. Satz (Satz von Mackey). In einem lokalkonvexen Hausdorffraum (E, Ï) ist eineTeilmenge A genau dann Ï -beschrankt, wenn sie Ï(E,E âČ)-beschrankt ist.
Beweis. Da Ï(E,E âČ) grober als Ï ist, ist jede Ï -beschrankte Menge auch bezuglichÏ(E,E âČ) beschrankt. Sei nun A â E Ï(E,E âČ)-beschrankt und sei U eine beliebige Ï -Nullumgebung. Nach Lemma 11.7 hat (E, Ï) eine Nullumgebungsbasis aus abgeschlosse-nen, absolutkonvexen Nullumgebungen. Es gibt also eine abgeschlossene, absolutkonvexeÏ -Nullumgebung V mit V â U . Nach dem Bipolarensatz 16.11 gilt V = (V ) und nachdem Satz von AlaogluâBourbaki 16.16 ist V Ï(E âČ, E)-kompakt. Nach Definition der To-pologie Ï(E âČ, E) ist fur alle x â E die Abbildung xâČ 7â xâČ(x) stetig von (E âČ, Ï(E âČ, E)) nach
16. KONVEXITAT IN LOKALKONVEXEN VEKTORRAUMEN 137
K. Da A nach Voraussetzung Ï(E,E âČ)-beschrankt ist, gibt es (nach Aufgabe 16.4(g)) zujedem xâČ â V ein ÎłxâČ > 0 mit |xâČ(a)| †γxâČ fur alle a â A. Nach Satz 16.19 (angewendetauf K := V und H := xâČ 7â xâČ(a) ; a â A) ist also xâČ(a) ; a â A, xâČ â V beschranktin K. Daher gibt es ein n â N mit
âa â A, xâČ â V : |f(x)| †n.
Es folgt 1nA â (V ) = V und daher A â nV â nU . Damit ist gezeigt, daĂ die Menge A
auch Ï -beschrankt ist. €16.21. Folgerung. Sei A eine Teilmenge eines normierten Raums (E, â · â), so daĂ
âxâČ â E âČ : supaâA
|xâČ(a)| <â.
Dann ist A normbeschrankt, d.h. es gibt ein C > 0 mit âaâ †C fur alle a â A.
Beweis. Nach Aufgabe 16.4 besagt die Voraussetzung gerade, daà die Menge Aschwach beschrankt ist. Nach dem Satz von Mackey muà sie also auch in der Norm-topologie beschrankt sein. €
16.22. Definition. Sei K eine Teilmenge eines K-Vektorraums E. Eine Teilmenge Avon K heiĂt extremale Teilmenge von K, falls gilt
âx, y â K âα â (0, 1) : αx+ (1â α)y â A =â x, y â A.Dies bedeutet, daĂ kein Punkt von A auf einer Strecke liegen kann, von deren Endpunktenwenigstens einer in K \A liegt. Ein Punkt x0 â K heiĂt Extremalpunkt von K, falls gilt:
âx, y â K âα â (0, 1) : αx+ (1â α)y = x0 =â x = y = x0 ,
d.h. x0 ist einpunktige extremale Teilmenge von K. Fur K â E bezeichne Ke die Mengealler Extremalpunkte von K. Insbesondere sind also stets K und â extremale Teilmengenvon K. Diese werden wir triviale extremale Teilmengen nennen.
16.23. Beispiele. Sei E := R3.
(a) Fur die abgeschlossene euklidische Einheitskugel B = x â R3 ; |x| †1 gilt:Be = S := x â R3 ; |x| = 1 und jede Teilmenge der Sphare S ist eine extremaleTeilmenge von B.
(b) Jede Teilmenge von S ist extremale Teilmenge von S.(c) U und â sind die einzigen extremalen Teilmengen der offenen euklidische Ein-
heitskugel U . Insbesondere hat U keine Extremalpunkte.(d) Sei K die konvexe Hulle von
P := (0, 0, 1), Q := (0, 0,â1), C := (x, y, 0) ; x2 + y2 = 1.Beispiele fur nichttriviale extremalen Teilmengen sind P, Q und alle Teil-mengen von C. Auch alle Verbindungsstrecken von P bzw. Q zu Punkten aus Csind extremale Teilmengen. Die Menge der Extremalpunkte ist die abgeschlosseneMenge Ke = P,Q âȘ C.
(e) Sei nun K die konvexe Hulle von
P := (0, 0, 1), Q := (0, 0,â1), C := (x, y, 0) ; (1â x)2 + y2 = 1.Beispiele fur nichttriviale extremalen Teilmengen sind P, Q und alle Teil-mengen von C \ (0, 0, 0). Auch die Verbindungsstrecke von P zu Q und alleVerbindungsstrecken von P bzw. Q zu von (0, 0, 0) verschiedenen Punkten aus Csind extremale Teilmengen. Die Menge der Extremalpunkte ist die in diesem Fallnicht abgeschlossene Menge Ke = P,Q âȘ (C \ (0, 0, 0)).
138 16. KONVEXITAT IN LOKALKONVEXEN VEKTORRAUMEN
(f) Der abgeschlossene Halbraum H := (x, y, z) â R3 ; z â„ 0 hat nur die EbeneF := (x, y, 0) ; x, y â R als nichttriviale extremale Teilmenge. Insbesondere hatH keine Extremalpunkte.
16.24. Satz (Satz von Krein-Milman, 1940). Sei (E, Ï) ein separierter topologischerVektorraum, so daĂ E âČ die Punkte von E trennt, und â 6= K â E kompakt.
(a) Ist K zusatzlich konvex, so ist K = conv(Ke). Insbesondere ist Ke 6= â .(b) Ist (E, Ï) zusatzlich lokalkonvex, so ist K â conv(Ke). Also ist auch in diesem
Fall Ke 6= â .Beweis. Sei E die Menge aller abgeschlossenen, nicht leeren, extremalen Teilmengen
von K. Wegen K â E ist E nicht leer. Wir vermerken zunachst:(i) Ist â 6= A â E mit A0 :=
âAâAA 6= â , so ist A0 â E. Dies rechnet man mit Hilfe
der Definition der extremalen Teilmengen unmittelbar nach.(ii) Ist A â E und f â E âČ, so ist
â 6= Af := x â E ; Re f(x) = ”f := maxyâA
Re f(y) â E .
Dies sieht man so: Wegen der Kompaktheit von A ist Af 6= â . Seien nun x, y â K mitαx+ (1â α)y â Af fur ein α â (0, 1). Es folgt
”f = Re(f(αx+ (1â α)y)
)= αRe f(x) + (1â α) Re f(y) .
Wegen Re f(x) †”f und Re f(y) †”f ist dies nur moglich, wenn Re f(x) = ”f = Re f(y)erfullt ist.
(iii) Fur alle A â E ist A â© Ke nicht leer. Sei also A eine beliebige abgeschlossene,nicht leere, extremale Teilmenge von K. Wir setzen
EA := B â E ; B â A.EA ist eine (wegen A â EA) nicht leere durch die Inklusion teilweise geordnete Menge.Sei K â EA eine beliebige totalgeordnete Teilmenge von EA. Wegen der Kompaktheit vonK ist dann auch C :=
âDâKD kompakt, nicht leer und extremal (nach Beweisteil (i)),
d.h. C â EA. Da also jede total geordnete Teilmenge von EA eine untere Schranke in EAhat, besitzt EA nach dem Zornschen Lemma wenigstens ein minimales Element G. Dannkann keine echte Teilmenge von G ein Element von E sein. Wegen (ii) folgt insbesondereGf = G fur alle f â E âČ. Da E âČ die Punkte von E trennt, kann G nur aus einem Punktbestehen, d.h. es ist G = x0 fur ein x0 â A â©Ke.
(iv) Mit H := conv(Ke) folgt H â conv(K) und nach (iii): Aâ©H 6= â fur alle A â E .(v) Beweis zu (a):Da K kompakt und konvex ist, ist H â K. Weil E âČ die Punkte
von E trennt, ist ăR,E âČă ein Dualsystem. Da Ï(E,E âČ) grober als Ï ist, ist K und auch HÏ(E,E âČ)-kompakt. Sei nun x0 â E \H. Nach dem Trennungssatz 16.5 von Hahn-Banachgibt es ein Funktional f â E âČ = (E, Ï(E,E âČ))âČ mit
(16.3) supxâH
Re f(x) < Re f(x0).
Insbesondere ist x0 /â K, da sonstKfâ©H nach (ii) und (iv) nicht leer ware im Widerspruchzu (16.3). Also muĂ H = K gelten.
(vi) Beweis zu (b): Sei x0 â E\H beliebig. Dann gibt es nach dem Trennungssatz 16.5von Hahn-Banach ein Funktional f â E âČ = (E, Ï(E,E âČ))âČ mit (16.3). Wie im Beweis zu
(a) folgt x0 /â K. Also gilt K â H = conv(Ke). €
16. KONVEXITAT IN LOKALKONVEXEN VEKTORRAUMEN 139
Eine Teilmenge A eines metrischen Raums heiĂt bekanntlich prakompakt, falls es zujedem Δ > 0 endlich viele x1, . . . , xn â A gibt mit
A ânâj=1
UΔ(xj) .
In vollstandigen metrischen Raumen ist eine Teilmenge bekanntlich genau dann prakom-pakt, wenn sie relativkompakt ist.
16.25. Definition. Wir nennen eine Teilmenge A eines lokalkonvexen Hausdorffraums(E, Ï) prakompakt (oder total beschrankt), falls es zu jeder Ï -Nullumgebung U endlichviele x1, . . . , xn â A gibt mit
A ânâj=1
(xj + U) .
Offensichtlich ist jede kompakte Menge in (E, Ï) auch prakompakt. In metrisierbaren lo-kalkonvexen Hausdorffraumen stimmen die beiden Prakompaktheitsbegriffe uberein (vergl.Aufgabe 16.6).
16.26. Satz. In einem lokalkonvexen Hausdorffraum ist fur jede prakompakte Teil-menge K von E auch deren konvexe Hulle H = conv(A) prakompakt.
Beweis. Sei U eine beliebige Ï -Nullumgebung. Dann gibt es eine offene, absolutkon-vexe Ï -Nullumgebung V mit V + V â U . Da K prakompakt ist, gibt es endlich vielex1, . . . , xn â K mit
K ânâj=1
(xj + V ).
Die Menge
(16.4) S := α = (α1, . . . , αn) â [0,â)n ;nâj=1
αj = 1
ist kompakt und konvex in Rn. Wegen der Stetigkeit der reell linearen Abbildung
Ï : Râ E α = (α1, . . . , αn) 7ânâj=1
αjxj = 1
ist Ï(S) = conv(x1, . . . , xn) kompakt und konvex in E und es ist Ï(S) â H. Es gibtalso endlich viele y1, . . . , ym â Ï(S) mit
Ï(S) âmâ
k=1
(yk + V ) .
Wegen x1, . . . , xn â Ï(S) und der Konvexitat von Ï(S) + V folgt
K â H â Ï(S) + V âmâ
k=1
(yk + V + V ) âmâ
k=1
(yk + U) .
Also ist H prakompakt. €16.27. Satz. Sei A eine kompakte Teilmenge eines lokalkonvexen Hausdorffraums
(E, Ï), fur die auch die abgeschlossene konvexe Hulle B := convA kompakt sei. Danngilt:
Be â Ae â A .
In vollstandigen, metrisierbaren lokalkonvexen Hausdorffraumen ist die Kompaktheitsfor-derung fur B stets erfullt (vergl. Teil (b) von Aufgabe 16.6).
140 16. KONVEXITAT IN LOKALKONVEXEN VEKTORRAUMEN
Beweis. Wegen Be â© A â Ae genugt es, Be â A zu zeigen.Annahme: Es gibt einen Punkt x0 â Be \ A. Nach Satz 16.4 gibt es eine Nullum-
gebung W in (E, Ï) mit (A + W ) â© (x0 + W ) = â . Da Ï eine Nullumgebungsbasis ausabsolutkonvexen, abgeschlossenen Nullumgebungen besitzt, gibt es eine absolutkonvexe,abgeschlossene Nullumgebung U â W . Es folgt
(16.5) (A+ U) â© (x0 + U) = â .Wegen der Kompaktheit von A gibt es endlich viele x1, . . . , xn â A mit A â ân
j=1(xj+U).Mit
Kj := conv((xj + U) â© A) â (xj + U) â©B (j = 1, . . . , n)
gilt: Kj ist kompakt, da B nach Voraussetzung kompakt ist. Daher ist auch die MengeX := K1 à · · · ĂKn Ă S kompakt in En Ă Rn mit S wie in (16.4). Die Abbildung
T : En Ă Rn â E, (u1, . . . , un, α1, . . . , αn) 7ânâj=1
αjuj
ist stetig und linear. Also ist A â T (X) und T (X) ist kompakte und konvexe Teilmengevon B. Da B die abgeschlossene konvexe Hulle von A ist, folgt T (X) = B. Insbesonderegibt es α = (α1, . . . , αn) â S und uj â Kj â (xj + U) â© B, j = 1, . . . , n, mit x0 =ân
j=1 αjuj. Da x0 ein Extremalpunkt von B ist, ist dies nur moglich, wenn x0 = uj0 fur
ein j0 â 1, . . . , n ist. Wegen x0 = uj0 â xj0 + U steht dies im Widerspruch zu (16.5).Also war die Annahme falsch und es folgt die Behauptung. €
16.28. Satz. Fur die Einheitskugel BâČ des Dualraums von (C(K), â · âK), K ein kom-pakter Hausdorffraum, gilt:
BâČe = λΎt ; t â K,λ â K, |λ| = 1
Beweis. (i) Die Abbildung
ÎŽ : K â (C(K)âČ, Ï(C(K)âČ, C(K))
)t 7â ÎŽt,
ist nach dem Beweis zu Lemma 13.9 stetig1. Insbesondere ist also ÎŽ(K) = ÎŽt ; t â Keine Ï(C(K)âČ, C(K))-kompakte Teilmenge der nach dem Satz 12.10 von Banach-Alaogluebenfalls Ï(C(K)âČ, C(K))-kompakten Menge BâČ. Ferner ist
ÎŽ(K) = f â C(K) ; ât â K |ÎŽt(f)| = |f(t)| †1 = BC(K) .
Mit dem Bipolarensatz 16.11 und Beispiel 16.9 folgt also
BâČ = (BC(K)) = (ÎŽ(K)) = absconv(ÎŽ(K))
wâ= conv(C)
wâ.
Hierbei bezeichneAwâ
die AbschlieĂung einer MengeA â C(K)âČ in der schwachâ-TopologieÏ(C(K)âČ, C(K)). Nach Satz 16.27 gilt also BâČ
e â Ce â C.Zum Beweis des Satzes genugtes also zu zeigen, daĂ jeder Punkt aus C ein Extremalpunkt von BâČ ist.
(ii) Wir zeigen zunachst ÎŽ(K) â BâČe. Sei also t â K beliebig und seien xâČ, yâČ â BâČ und
α â (0, 1) mit
(16.6) ÎŽt = αxâČ + (1â α)yâČ.
Zu zeigen ist xâČ = yâČ. In einem ersten Schritt beweisen wir:(a) Fur alle f â C(K) mit f(t) = 1 = âfâK gilt xâČ(f) = 1 = yâČ(f). Wegen (16.6) gilt
namlich fur solche Funktionen f :
1 = ÎŽt(f) = αxâČ(f) + (1â α)yâČ(f).
1Im Beweis zu Lemma 13.9 wurde diese Stetigkeitsaussage im Fall K = C gezeigt. Der Beweis derStetigkeitsaussage ubertragt sich aber in nahe liegender Weise auch auf den Fall K = R.
16. KONVEXITAT IN LOKALKONVEXEN VEKTORRAUMEN 141
Wegen |xâČ(f)| †1 und |yâČ(f)| †1 ist dies nur moglich, wenn xâČ(f) = yâČ(f) = 1 ist.(b) Fur alle 0 †f â C(K) mit f(t) = 0 gilt xâČ(f) = yâČ(f) = 0. Um dies zu zeigen
betrachten wir die durch
g(s) := 1â f(s)
âfâK , (s â K)
definierte Funktion. Fur diese gilt g(t) = 1 = âgâK und daher nach (a):
xâČ(1)â xâČ(f)
âfâ = xâČ(g) = 1 = yâČ(g) = yâČ(1)â yâČ(f)
âfâ .
Wegen xâČ(1) = yâČ(1) = 1 (nach (a)) folgt hieraus xâČ(f) = yâČ(f) = 0.(c) Sei nun f â C(K) beliebig. Dann gilt
f â f(t) = g1 â g2 + i(g3 â g4)
mit 0 †gj â C(K), gj(t) = 0, j = 1, 2, 3, 4:
g1(s) := maxRe(f(s)â f(t)), 0 , g2(s) = maxâRe(f(s)â f(t)), 0 ,g3(s) := maxIm(f(s)â f(t)), 0 , g4(s) = maxâ Im(f(s)â f(t)), 0 , (s â K).
Nach (b) folgt xâČ(gj) = 0 = yâČ(gj), j = 1, 2, 3, 4, und damit nach (a):
xâČ(f) = xâČ(f â f(t)) + f(t)xâČ(1) = f(t)
und ebenso yâČ(f) = f(t). Also gilt xâČ = yâČ = ÎŽt.(iii) Seien nun λ â K beliebig mit |λ| = 1 und sei t â K beliebig. Sind xâČ, yâČ â BâČ und
α â (0, 1) mit λΎt = αxâČ + (1â α)yâČ, so folgt ÎŽt = αλxâČ + (1â α)λyâČ und daher nach (ii):ÎŽt = λxâČ = (1 â α)λyâČ und hieraus λΎt = xâČ = yâČ. Damit ist gezeigt, daĂ alle Punkte ausC Extremalpunkte von BâČ sind. €
Ubungsaufgaben zu Kapitel 16.
16.1. Aufgabe. Zeigen Sie: Ist K eine kompakte und A eine zu K disjunkte ab-geschlossene Teilmenge eines separierten topologischen Vektorraums (E, Ï), so gibt esdisjunkte offene Mengen V,W â E mit K â V , A â W und V â©W = â .
16.2. Aufgabe. Zeigen Sie, daĂ fur ein lineares Funktional f : E â K auf einemlokalkonvexen Hausdorffraum (E, Ï) folgende Aussagen aquivalent sind:
(a) f ist stetig.(b) Es gibt eine konvexe Nullumgebung U mit f(U) â U1(0) = λ â K ; |λ| †1.16.3. Aufgabe. Sei (E, Ï) ein lokalkonvexer Hausdorffraum. Zeigen Sie, daĂ ăE,E âČă
ein Dualsystem ist.
16.4. Aufgabe. Sei B die Familie aller beschrankten Teilmengen eines lokalkompaktenHausdorffraums (E, Ï). Zeigen Sie:
(a) Eine MengeB in E ist genau dann Ï -beschrankt, wenn es zu jeder Ï -NullumgebungU ein c > 0 gibt mit A â cU .
(b) A â B â B =â A â B. Insbesondere sind also beliebige Durchschnitte vonbeschrankten Mengen beschrankt.
(c) A,B â B =â A±B â B.(d) Endliche Vereinigungen von beschrankten Mengen sind beschrankt.(e) Fur jede beschrankte Menge B â B ist auch die abgeschlossene, absolutkonvexe
Hulle wieder beschrankt.(f) Jede kompakte Teilmenge K â E ist beschrankt.
142 16. KONVEXITAT IN LOKALKONVEXEN VEKTORRAUMEN
(g) Eine Menge A â E ist genau dann beschrankt, wenn fur jede Ïâstetige Halbnormp gilt: supaâA p(a) <â.
(h) Eine Menge B â E ist genau dann beschrankt, wenn fur jede Halbnorm pα einesdie Topologie Ï definierenden Halbnormensystems (pα)αâA gilt: supbâB pα(b) <â.
(i) Ist (F, ÏF ) ein weiterer lokalkonvexer Hausdorffraum und ist T : E â F eine ste-tige lineare Abbildung so ist fur alle B â B die Menge T (B) in (F, ÏF ) beschrankt.
16.5. Aufgabe. Bestimmen Sie alle extremalen Teilmengen von
K := x = (x1, x2, x3) â R3 ; âxâ1 = |x1|+ |x2|+ |x3| †1.16.6. Aufgabe. Sei (E, Ï) ein metrisierbarer lokalkonvexer Hausdorffraum und sei d
eine die Topologie Ï erzeugende Metrik auf E. Zeigen Sie:
(a) Eine Teilmenge A von E ist genau dann Ï -prakompakt, wenn sie in dem metri-schen Raum (E, d) prakompakt ist.
(b) Ist (E, Ï) vollstandig, so ist fur jede kompakte Teilmenge K von (E, Ï) auch die
Menge conv(K) kompakt.
16.7. Aufgabe. Seien K1 und K2 zwei absolutkonvexe und kompakte Teilmengeneines lokalkonvexen Hausdorffraums (E, Ï). Zeigen Sie, daĂ dann auch die absolutkonvexeHulle absconv(K1 âȘK2) von K1 âȘK2 wieder Ï -kompakt ist.
KAPITEL 17
Topologien auf dem Dualraum
17.1. Satz. Sei (E, Ï) ein lokalkonvexer Hausdorffraum, B und S eine Familie vonÏ -beschrankten Teilmengen mit den drei folgenden Eigenschaften:
(a) âA,B â S âC â S : A âȘB â C.(b) âA â S , λ â K âB â S : λA â B.(c)
âAâSA liegt dicht in (E, Ï).
Dann ist US := B ; B â S Nullumgebungsbasis einer separierten, lokalkonvexen To-pologie ÏS auf E âČ. Ein die Topologie ÏS definierendes, separierendes Halbnormensystemist gegeben durch pA ; A â S mit
pA(xâČ) := supaâA
|xâČ(a)| (xâČ â E âČ)
fur alle A â S. ÏS heiĂt die Topologie der gleichmaĂigen Konvergenz auf allen Mengenaus S oder kurz die S-Topologie auf E âČ.
Beweis. Nach Aufgabe 16.4(b) gilt 0 †pA(xâČ) <â fur alle xâČ â E âČ, A â S und manrechnet unmittelbar nach, daĂ alle pA, A â S, Halbnormen auf E âČ sind. Ist xâČ â E âČ mitpA(xâČ) = 0 fur alle A â S, so verschwindet xâČ auf der dichten Teilmenge
âAâSA von E und
daher (wegen der Stetigkeit von xâČ) auf ganz E. Damit folgt, daĂ das Halbnormensystem(pA)AâS separierend ist und daher gemaĂ Lemma 11.14 eine lokalkonvexe Topologie ÏSdefiniert, fur die eine Nullumgebungsbasis gegeben ist durch
V :=Ï
nâj=1
xâČ â E âČ ; Ï > 0, pAj(xâČ) †1 ; n â N, A1, . . . , An â S
.
WegenxâČ â E âČ ; pA(xâČ) †1 = xâČ â E âČ ; âa â A : |xâČ(a)| †1 = A
fur alle A â S folgt
V =Ï
nâj=1
Aj ; Ï > 0, n â N, A1, . . . , An â S.
Sind nun Ï > 0 und A1, . . . , An â S beliebig, so gibt es nach Voraussetzung (a) ein B â Smit
ânj=1Aj â B und nach Voraussetzung (b) ein C â S mit 1
ÏB â C und daher mit
1Ï
ânj=1Aj â C. Mit Lemma 16.8 folgt
C â Ï( nâj=1
Aj
)= Ï
nâj=1
Aj .
Dies zeigt, daĂ US eine Umgebungsbasis fur ÏS ist. €17.2. Beispiele. Sei (E, Ï) ein lokalkonvexer Hausdorffraum. Die folgenden Mengen-
familien S erfullen die Voraussetzungen von Satz 17.1:
(a) die Familie S = F aller endlichen Teilmengen von E. Die zugehorige S-Topologiestimmt mit der schwach-â-Topologie Ï(E âČ, E) uberein. Statt (E âČ, Ï(E âČ, E)) schrei-ben wir auch E âČ
Ï.
143
144 17. TOPOLOGIEN AUF DEM DUALRAUM
(b) die Familie S = K aller kompakten Teilmengen von E. Die zugehorige Topologieder gleichmaĂigen Konvergenz auf allen kompakten Teilmengen von E bezeichnenwir mit Îł(E âČ, E). Statt (E âČ, Îł(E âČ, E)) schreiben wir auch E âČ
Îł.(c) die Familie S = P aller prakompakten Teilmengen von E. Die zugehorige Topo-
logie der gleichmaĂigen Konvergenz auf allen prakompakten Teilmengen von Ebezeichnen wir mit c(E âČ, E). Statt (E âČ, c(E âČ, E)) schreiben wir auch E âČ
c.(d) die Familie S = B aller beschrankten Teilmengen von E. Die zugehorige Topo-
logie der gleichmaĂigen Konvergenz auf allen beschrankten Teilmengen von Ebezeichnen wir mit b(E âČ, E) und nennen sie auch die starke Topologie auf E âČ.Statt (E âČ, b(E âČ, E)) schreiben wir auch E âČ
b und nennen E âČb den starken Dualraum
von (E, Ï).
17.3. Bemerkung. Sind Sj, j = 1, 2, zwei Familien von beschrankten Mengen in ei-nem lokalkonvexen Hausdorffraum (E, Ï), die den Voraussetzungen zu Satz 17.1 genugen,und gilt S1 â S2, so ist ÏS1 grober als ÏS2 , d.h. ÏS1 â ÏS2 . Insbesondere folgt:
Ï(E âČ, E) â Îł(E âČ, E) â c(E âČ, E) â b(E âČ, E).
Ist (E, â·â) ein normierter Raum, so stimmen auf E âČ die Normtopologie und die starkeTopologie uberein. (Aufgabe 17.2).
17.4. Lemma. Sei (E, Ï) ein lokalkonvexer Hausdorffraum. Sei H â rU fur eineÏ -Nullumgebung U und ein r > 0. Dann ist H beschrankt in E âČ
b.
Beweis. Es genugt zu zeigen, daĂ fur alle Nullumgebungen U in (E, Ï) die Polare U
in E âČb beschrankt ist. Sei also U eine beliebige Nullumgebung in (E, Ï) und V eine beliebige
Nullumgebung in E âČb. Nach Definition der starken Topologie auf E âČ und Satz 17.1 gibt es
also eine Ï -beschrankte Menge A â E mit A â V . Da A beschrankt ist, gibt es ein Ï > 0mit A â ÏU . Mit Lemma 16.8 folgt U â ÏA â ÏV . Damit ist die starke Beschranktheitvon U gezeigt. €
17.5. Satz. Sei (E, Ï) ein metrisierbarer lokalkonvexer Raum. Dann ist E âČb vollstandig
und es gibt in E âČ eine Folge von bezuglich b(E âČ, E) beschrankten, abgeschlossenen undabsolutkonvexen Mengen (Bn)
ân=1 mit
Bn â Bn+1 fur alle n â N und mit E âČ =âân=1
Bn
Beweis. Nach Aufgabe 12.2 besitzt (E, Ï) eine abzahlbare Nullumgebungsbasis (Un)ân=1
mit
Un â Un+1 fur alle n â N undâân=1
Un = 0
(letzteres nach Satz 11.12, da (E, Ï) als metrisierbarer lokalkonvexer Raum insbesonderesepariert ist). Durch Ubergang zu den Polaren folgt
E âČ = 0 â Un+1 â Un â . . . â U2 â U1 .
Nach Satz 16.10 ist Bn := Un fur alle n â N absolutkonvex und Ï(E âČ, E)-abgeschlossen,also auch b(E âČ, E)-abgeschlossen, und nach Lemma 17.4 ist Bn auch b(E âČ, E)-beschrankt.Ist nun xâČ â E âČ beliebig, so ist xâČ = x â E ; |xâČ(x)| †1 eine Ï -Nullumgebung. Da(Un)
ân=1 eine Ï -Nullumgebungsbasis in E ist, gibt es ein n â N mit Un â xâČ. Durch
Ubergang zu den Polaren folgt:
xâČ â (xâČ) â Un.
Damit ist gezeigt, daĂ E âČ =âân=1 U
n gilt.
17. TOPOLOGIEN AUF DEM DUALRAUM 145
Zu zeigen bleibt noch die Vollstandigkeit von E âČb. Sei also (xα)αâA ein beliebiges
Cauchy-Netz in E âČb, d.h. fur alle Ï -beschrankten Mengen B in E und alle Δ > 0 gibt
es ein α0 â A, so daĂ fur alle α, ÎČ â„ Î±0 gilt pB(xâČα â xâČÎČ) < Δ. Hierbei ist (pB)BâB das dieTopologie b(E âČ, E) gemaĂ Satz 17.1 definierende Halbnormensystem mit
pB(xâČ) := supxâB
|xâČ(x)| (xâČ â E âČ)
fur alle Ï -beschrankten Mengen B in E. Fur beliebige x â E ist x Ï -beschrankt. Zujedem Δ > 0 gibt es daher ein α0 â A mit
âα, ÎČ â„ Î±0 : |xâČα(x)â xâČÎČ(x)| = px(xâČα â xâČÎČ) < Δ.
Das Netz (xâČα(x))αâA ist also ein Cauchy-Netz in K und somit (wegen der Vollstandigkeit
von K) konvergent gegen ein x#0 (x) â K. Nach den Grenzwertrechenregeln ist die Abbil-
dung x#0 : x 7â x#
0 (x) linear, d.h. x#0 â E#. Zu zeigen bleibt: x#
0 â E âČ und xâČα â x#0 in
E âČb.
Annahme: x#0 ist unstetig. Nach Satz 16.14 (angewendet auf die Menge H = x#
0 )gilt dann fur jedes n â N: x#
0 /â (1nUn
), d.h.
(17.1) ân â N âxn â Un : |x#0 (xn)| > n.
Ist V eine beliebige Ï -Nullumgebung in E, so gibt es ein n0 â N mit Un0 â V (da (Un)nâNeine Nullumgebungsbasis in (E, Ï) ist). Fur alle n â„ n0 folgt dann xn â Un â Un0 â V .Die Folge (xn)
ân=1 ist also konvergent gegen 0 in (E, Ï) und daher insbesondere beschrankt
in (E, Ï), d.h. B0 := xn ; n â N â B. Daher gibt es ein α0 â A mit
âα, ÎČ â„ Î±0 ân â N : |xâČα(xn)â xâČÎČ(xn)| †pB0(xâČα â xâČÎČ) †1.
Gehen wir hierin zum Limes bezuglich ÎČ uber, so erhalten wir insbesondere:
ân â N : |xâČα0(xn)â x#
0 (xn)| †1
und somitân â N : |x#
0 (xn)| †1 + |xâČα0(xn)| †1 + pB0(x
âČα0
)
im Widerspruch zu (17.1). Also war die Annahme falsch, d.h. es ist x#0 â E âČ.
Sei nun B â B und Δ > 0 beliebig. Nach Voraussetzung gibt es ein α0 â A mit
âα, ÎČ â„ Î±0 âx â B : |xâČα(x)â xâČb(x)| â€1
2Δ .
Grenzubergang bezuglich ÎČ liefert:
âα ℠α0 âx â B : |xâČα(x)â x#0 (x)| †1
2Δ
und es folgt
âα ℠α0 : pB(xâČα â x#0 ) †1
2Δ < Δ,
d.h. xâČα â x#0 bezuglich b(E âČ, E). €
17.6. Lemma. Eine absolutkonvexe Teilmenge A eines lokalkonvexen Hausdorffraums(E, Ï) ist genau dann eine Ï -Nullumgebung, wenn int(A) 6= â .
Beweis. Ist A eine Nullumgebung in (E, Ï), so ist int(A) 6= â wegen 0 â int(A).Hat umgekehrt A einen inneren Punkt x0, so sind die Mengen A â x0 und x0 â A
Nullumgebungen bezuglich Ï . Da A absolutkonvex ist gilt
A =1
2A+
1
2A =
1
2(x0 + A) +
1
2(Aâ x0).
Damit folgt, daĂ auch A eine Ï -Nullumgebung ist. €
146 17. TOPOLOGIEN AUF DEM DUALRAUM
Insbesondere folgt mit diesem Lemma: Ist F Untervektorraum eines lokalkonvexenHausdorffraums (E, Ï) mit intF 6= â , so ist schon F = E.
17.7. Definition. Ein topologischer Vektorraum heiĂt lokalbeschrankt, falls er einebeschrankte Nullumgebung besitzt.
Insbesondere ist also jeder normierte K-Vektorraum lokalbeschrankt. Umgekehrt gilt:
17.8. Satz. Jeder lokalbeschrankte lokalkonvexe Hausdorffraum (E, Ï) ist normierbar,d.h. es gibt eine Norm â · â auf E, deren zugehorige Normtopologie mit Ï ubereinstimmt.
Beweis. Hat (E, Ï) eine beschrankte Nullumgebung B0, so gibt es auch eine abge-schlossene, absolutkonvexe Ï -Nullumgebung B mit B â B0. Insbesondere ist auch Bbeschrankt. Fur alle x in E definieren wir
âxâ := infÏ > 0 ; x â ÏB.â · â ist als Minkowskifunktional zu der abgeschlossenen absolutkonvexen NullumgebungB eine Halbnorm auf E. Sei nun x â E mit âxâ = 0, d.h. mit x â 1
nB fur alle n â N
und sei U eine beliebige Ï -Nullumgebung in E. Da B beschrankt ist, gibt es ein rU > 0mit B â rUU . Es folgt fur alle hinreichend groĂen n â N: x â 1
nB â rU
nU â U . Also
ist x in allen Ï -Nullumgebungen enthalten. Da (E, Ï) separiert ist, folgt hieraus x = 0.Damit ist gezeigt , daĂ â · â eine Norm ist. Da deren Einheitskugel eine Ï -Nullumgebungist, ist die zugehorige Normtopologie Ïâ·â grober als Ï . Ist umgekehrt U eine beliebigeÏ -Nullumgebung, so folgt 1
rUB â U , d.h. U ist auch eine â · â-Nullumgebung. Die beiden
Topologien stimmen also uberein. €
17.9. Satz. Sei (E, Ï) ein metrisierbarer lokalkonvexer Hausdorffraum. Dann gilt:Entweder ist E âČ
b nicht metrisierbar oder E âČb ist schon ein Banachraum.
Beweis. Nach Satz 17.5 ist E âČb vollstandig und es gibt eine Folge von in E âČ
b abge-schlossenen, absolutkonvexen und beschrankten Teilmengen von E âČ mit E âČ =
âân=1Bn.
Ist also E âČb metrisierbar vermoge einer Metrik d, deren Topologie Ïd mit b(E âČ, E) uberein-
stimmt, so ist (E, d) ein vollstandiger metrischer Raum. Nach dem Satz von Baire (bzw.Folgerung 3.9) gibt es ein n0 â N mit int(Bn0) 6= â . Nach Lemma 17.6 ist Bn0 dahereine beschrankte Nullumgebung in E âČ
b. Wegen Satz 17.8 ist E âČb normierbar, wegen der
Vollstandigkeit von E âČb also sogar ein Banachraum bezuglich einer die Topologie b(E âČ, E)
erzeugenden Norm. €
17.10. Definition. Eine Teilmenge T eines lokalkonvexen Hausdorffraums (E, Ï)heiĂt eine Tonne, falls T abgeschlossen, absolutkonvex und absorbant ist. (E, Ï) heiĂttonneliert, falls in (E, Ï) jede Tonne eine Ï -Nullumgebung ist.
Insbesondere ist in lokalkonvexen Hausdorffraumen jede abgeschlossene, absolutkon-vexe Nullumgebung eine Tonne.
17.11. Lemma. Jeder vollstandige metrisierbare lokalkonvexe Hausdorffraum ist ton-neliert.
Beweis. Ist T eine Tonne in (E, T ), so ist E =âân=1 nT . Nach Folgerung 3.9 ist
int(nT ) 6= â fur ein n â N also auch int(T ) 6= â . Mit Lemma 17.6 folgt: T ist eineÏ -Nullumgebung. €
Vollstandige, metrisierbare Raume werden auch Frechetraume genannt1.
1nach Maurice Rene Frechet, (1878â1973).
17. TOPOLOGIEN AUF DEM DUALRAUM 147
17.12. Satz (Satz von Mackey auf dem Dualraum). Fur eine Teilmenge BâČ des Dual-raums E âČ eines tonnelierten, lokalkonvexen Hausdorffraums (E, Ï) sind die folgenden Aus-sagen aquivalent:
(a) BâČ ist stark beschrankt (also in E âČb beschrankt).
(b) Es gibt eine abgeschlossene Nullumgebung U in (E, Ï) mit BâČ â U.(c) BâČ ist gleichstetig.(d) BâČ ist beschrankt in E âČ
Ï.(e) BâČ ist beschrankt in E âČ
Îł.(f) BâČ ist beschrankt in E âČ
c.
Beweis. Die Implikationen (a)=â(f)=â(e)=â(d) gelten nach Bemerkung 17.3, dieAquivalenz von (b) und (c) gilt nach Satz 16.14 und die Aussage (b)=â(a) gilt nachLemma 17.4. Zu zeigen ist also nur die Implikation (d)=â(b).
Sei also BâČ eine beliebige in E âČÏ beschrankte Menge. Dann ist (BâČ) abgeschlossen
und absolutkonvex in (E, Ï(E,E âČ)) nach Lemma 16.10 und nach Satz 16.6 auch in (E, Ï)abgeschlossen. Ist x â E beliebig, so folgt wegen der Ï(E âČ, E)-Beschranktheit von BâČ:
C := supbâČâBâČ
|bâČ(x)| <â .
Daher ist x â λ(BâČ) fur alle λ â K mit |λ| â„ C. (BâČ) ist also absorbant und erfulltalle Eigenschaften einer Tonne. Da (E, Ï) ein tonnelierter Raum ist, ist (BâČ) eine Ï -Nullumgebung und wegen ((BâČ)) = B (nach dem Bipolarensatz 16.11) folgt (b). €
17.13. Satz. In einem metrisierbaren lokalkonvexen Hausdorffraum (E, Ï) sind dieAussagen (a)-(c) in Satz 17.12 aquivalent.
Beweis. Die Aquivalenz von (b) und (c) und die Implikation (b)=â(a) folgen wie imBeweis zu Satz 17.12. Zu zeigen ist also nur (a)=â(b). Sei also BâČ eine beliebige in E âČ
b be-schrankte Teilmenge von E âČ. Da (E, Ï) metrisierbar ist, besitzt (E, Ï) nach Aufgabe 12.2eine abzahlbare Nullumgebungsbasis (Un)
ân=1 von abgeschlossenen, absolutkonvexen Null-
umgebungen mit
Un â Un+1 fur alle n â N undâân=1
Un = 0 .
Annahme: Es gibt kein n â N mit BâČ â rUn fur ein r > 0. Dann gibt es zu jedem n â Nein xn â Un mit
(17.2) supbâČââČ
|bâČ(xn)| > n.
Die Menge A := xn ; n â N ist dann eine beschrankte Teilmenge von (E, Ï). Insbeson-dere ist A eine Nullumgebung in E âČ
b. Da BâČ nach Voraussetzung in E âČb beschrankt ist,
gibt es ein Ï > 0 mit BâČ â ÏA. Damit folgt
âbâČ â BâČ ân â N : |bâČ(xn)| †Ï
im Widerspruch zu (17.2). Also war die Annahme falsch. Es gibt also ein n â N und einr > 0 mit BâČ â rUn =
(1rUn
)und es folgt (b). €
17.14. Satz. Sei (E, Ï) ein lokalkonvexer Hausdorffraum. Auf jeder gleichstetigen Teil-menge H â E âČ stimmen die von den Topologien Ï(E âČ, E), Îł(E âČ, E) und c(E âČ, E) induzier-ten Relativtopologien uberein.
Beweis. Wegen Bemerkung 17.3 genugt es zu zeigen, daĂ fur alle xâČ â H jede Umge-bung von xâČ in der von c(E âČ, E) induzierten Topologie auch eine Umgebung von xâČ in der
148 17. TOPOLOGIEN AUF DEM DUALRAUM
von Ï(E âČ, E) induzierten Topologie ist. Ist W eine Umgebung von xâČ0 â H in der Relativ-topologie von c(E âČ, E), so gibt es eine prakompakte Menge K â E mit (xâČ0+K
)â©H â W .Wegen der Gleichstetigkeit von H gibt es eine Ï -Nullumgebung V in E mit H(V ) â
λ â K ; |λ| †13. Da K prakompakt ist, findet man endlich viele x1, . . . , xn â K mit
K ânâj=1
(xj + V ).
Dann ist
U :=xâČ â E âČ ; |xâČ(xj)| †1
3fur j = 1, . . . , n
eine Nullumgebung in E âČÏ und (xâČ0 +U)â©H ist eine Umgebung von xâČ0 in der von Ï(E âČ, E)
auf H induzierten Relativtopologie. Sei nun xâČ â (xâČ0 +U)â©H beliebig. Ist x â K beliebig,so folgt x â xk + V fur ein k â 1, . . . , n und
|xâČ(x)â xâČ0(x)| †|xâČ(xâ xk)|+ |xâČ(xk)â xâČ0(xk)|+ |xâČ0(xk â x)|†1
3+
1
3+
1
3= 1.
Es folgt xâČâ xâČ0 â K und somit (xâČ0 +U)â©H â (xâČ0 +K)â©H â W . Also ist W auch inder von Ï(E âČ, E) auf H induzierten Relativtopologie eine Umgebung von xâČ0. €
Ubungsaufgaben zu Kapitel 17.
17.1. Aufgabe. Zeigen Sie, daĂ die Mengensysteme der Beispiele 17.2 tatsachlich dieBedingungen zu Satz 17.1 erfullen.
17.2. Aufgabe. Zeigen Sie, daĂ auf dem Dualraum eines normierten Raums die starkeTopologie und die Normtopologie ubereinstimmen.
KAPITEL 18
Der biduale Raum, Reflexivitat
Ist (E, Ï) ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum, so heiĂt E âČâČ := (E âČb)âČ der biduale
Raum zu (E, Ï). Mit der Identifikation aus Satz 16.2 und nach Bemerkung 17.3 folgt
E = (E âČÏ)âČ â (E âČ
b)âČ = E âČâČ,
Wobei die Einbettung J : E â E âČâČ, x 7â Jx gegeben ist durch Jx(xâČ) := xâČ(x) fur alle
x â E, xâČ â E âČ.GemaĂ Satz 17.1 und den anschlieĂenden Beispielen konnen wir auf E âČâČ wieder ver-
schiedene S-Topologien betrachten.Die von Ï(E âČâČ, E âČ) vermoge der obigen Einbettung auf E induzierte Relativtopologie
stimmt mit Ï(E,E âČ) uberein. Insbesondere ist die kanonische Einbettung
J : (E, Ï(E,E âČ)) â (E âČâČ, Ï(E âČâČ, E âČ))
stetig.Bei normierten Raumen haben wir auch die kanonische Normtopologie auf E âČâČ zur
Verfugung.
18.1. Satz. Sei (E, â · âE) ein normierter K-Vektorraum. Dann ist die kanonischeEinbettung J : E â E âČâČ eine Isometrie, d.h. es gilt
âx â E : âxâE = âJxâEâČâČ := supxâČâBEâČ
|xâČ(x)| ,
wobei BEâČ die abgeschlossene Einheitskugel von E âČ bezeichne.
Beweis. Fur alle x â E gilt âJxâEâČâČ = supxâČâBEâČ|Jx(xâČ)| = supxâČâBEâČ
|xâČ(x)| †âxâE.
Nach Hahn-Banach (vergl. Aufgabe 6.1) gilt in der letzten Ungleichung sogar das Gleich-heitszeichen. €
Allgemeiner gilt:
18.2. Satz. Ist (E, Ï) ein metrisierbarer oder ein tonnelierter lokalkonvexer Haus-dorffraum, so induziert (E âČ
b)âČb auf E die Ausgangstopologie Ï .
Beweis. Eine Nullumgebungsbasis fur (E âČb)âČb ist gegeben durch
UâČâČb := (BâČ) ; BâČ beschrankt in E âČb,
wobei die Polare bezuglich ăE âČ, E âČâČă gebildet ist. Nach den Satzen 17.12 und 17.13 gibt eszu jeder in E âČ
b beschrankten Menge BâČ eine abgeschlossene, absolutkonvexe NullumgebungU in (E, Ï) mit BâČ â U (Polare bezuglich ăE,E âČă) und daher mit (BâČ) â (U). Da diePolaren von Ï -Nullumgebungen in E âČ
b beschrankt sind folgt, daĂ auch
V := (U) ; U abgeschlossene, absolutkonvexe Nullumgebung in (E, Ï)eine Nullumgeungsbasis in (E âČ
b)âČb ist. Eine Nullumgebungsbasis fur die von b(E âČâČ, E âČ
b) aufE induzierte Topologie ist dann gegeben durch
Vb := (U) â© E ; U abgeschlossene, absolutkonvexe Nullumgebung in (E, Ï)149
150 18. DER BIDUALE RAUM, REFLEXIVITAT
Fur abgeschlossene, absolutkonvexe Ï -Nullumgebungen U folgt aber nach dem Bipolaren-satz 16.11: (U) â© E = (U) = U . Vb ist also auch eine Ï -Nullumgebungsbasis. Daherstimmen Ï und die von b(E âČâČ, E âČ
b) auf E induzierte Topologie uberein. €18.3. Folgerung. Ist (E, Ï) ein metrisierbarer oder tonnelierter lokalkonvexer topo-
logischer Vektorraum und ist E âČb normierbar, so ist auch (E, Ï) normierbar.
Beweis. Ist E âČb normierbar, so ist nach Aufgabe 17.2 auch (E âČ
b)âČb normierbar. Da Ï mit
der von b(E âČâČ, E âČb) induzierten Topologie ubereinstimmt, ist auch (E, Ï) normierbar. €
18.4. Folgerung. Ist (E, Ï) ein metrisierbarer, nicht normierbarer lokalkonvexer to-pologischer Vektorraum, so ist E âČ
b nicht metrisierbar.
Beweis. Dies folgt unmittelbar aus Satz 17.9 und Folgerung 18.3. €Insbesondere sind die starken Dualraume der metrisierbaren lokalkonvexen Haus-
dorffraume
âą Ck(Ω), k â N0 âȘâ, â 6= Ω â RN offen,âą O(Ω), â 6= Ω â CN offen,âą S(RN),âą KN
nicht metrisierbar, da die Ausgangsraume nicht normierbar sind. (Beweis in den Ubun-gen).
18.5. Definition. Ein lokalkonvexer Hausdorffraum (E, Ï) heiĂt
âą semireflexiv, falls E âČâČ = (E âČb)âČ = E als K-Vektorraume (mit der Identifikation aus
Satz 18.1).âą reflexiv, falls (E âČ
b)âČb = (E, Ï) als topologische Vektorraume.
Mit diesen Definitionen und Satz 18.2 folgt unmittelbar:
18.6. Folgerung. Ein tonnelierter oder metrisierbarer lokalkonvexer Hausdorffraum,der semireflexiv ist, ist schon reflexiv.
Ohne Beweis geben wir eine Reihe von Beispielen an:Reflexive lokalkonvexe Hausdorffraume:
âą alle endlich dimensionalen lokalkonvexen Hausdorffraume,âą `p(I), I eine nicht leere Menge, 1 < p <â,âą Lp(Ω), â 6= Ω â RN offen, 1 < p <â,âą S(RN),âą O(Ω), â 6= Ω â CN offen,âą Câ(Ω), â 6= Ω â RN offen
und ihre Dualraume, versehen mit der starken Topologie.Nicht reflexive lokalkonvexe Hausdorffraume:
âą c0(I), `1(I), `â(I) fur unendliche Indexmengen.âą L1(Ω), Lâ(Ω), â 6= Ω â RN offen,âą C(K), K ein nicht endlicher kompakter Hausdorffraum,âą Ck(Ω), â 6= Ω â RN offen, k â N0,âą L(H) und K(H), H ein unendlich dimensionaler Hilbertraum,
und ihre Dualraume versehen mit der starken Topologie.
18.7. Satz. Der starke Dualraum E âČb eines semireflexiven lokalkonvexen Hausdorffraums
(E, Ï) ist tonneliert.
18. DER BIDUALE RAUM, REFLEXIVITAT 151
Beweis. Sei also E = E âČâČ und sei T âČ â E âČb eine Tonne. Nach Satz 16.6 ist T âČ dann
auch bezuglich Ï(E âČ, E âČâČ) = Ï(E âČ, E) abgeschlossen und nach dem Bipolarensatz 16.11folgt (T âČ)
= T âČ. Sei xâČ â E âČ beliebig. Da T âČ absorbant ist, gibt es ein r > 0 mit xâČ â T âČ.Fur alle x â T âČ gilt dann |xâČ(x)| †r. Die Menge T âČ ist also Ï(E,E âČ)-beschrankt unddamit nach dem Satz 16.20 von Mackey auch Ï -beschrankt. Daher ist T âČ = (T âČ)
eineb(E âČ, E)âNullumgebung. E âČ
b ist also tonneliert. €18.8. Satz. Ein lokalkonvexer Hausdorffraum (E, Ï) ist genau dann semireflexiv, wenn
jede beschrankte, abgeschlossene, absolutkonvexe Teilmenge von E schon Ï(E,E âČ)-kompaktist.
Beweis. Sei zunachst (E, Ï) semireflexiv und sei B eine beliebige abgeschlossene,absolutkonvexe, beschrankte Teilmenge von (E, Ï). Nach dem Bipolarensatz 16.11 folgtB = (B) und B ist eine b(E âČ, E)-Nullumgebung. Nach dem Satz 16.16 von Alaoglu-Bourbaki ist B = (B) bezuglich Ï(E âČâČ, E âČ) = Ï(E,E âČ) kompakt.
Sei umgekehrt jede beschrankte, abgeschlossene, absolutkonvexe Teilmenge von Ekompakt bezuglich Ï(E,E âČ). Sei xâČâČ â E âČâČ beliebig. Zu zeigen ist: Es gibt ein x â Emit xâČâČ(xâČ) = xâČ(x) fur alle xâČ â E âČ. Die Menge U âČ := xâČâČ (gebildet bezuglich ăE âČ, E âČâČă)ist dann eine Nullumgebung in E âČ
b. Nach Definition von b(E âČ, E) gibt es daher eine be-schrankte Menge B â E mit B â U âČ. Nun gilt ((B)) = B (nach Folgerung 16.12)und mit B ist auch A := (B) beschrankt (nach dem Bipolarensatz 16.11 und Aufga-be 16.4(e)). Nach Voraussetzung ist A daher Ï(E,E âČ)-kompakt und somit ist wegen derStetigkeit der kanonischen Einbettung J : (E, Ï(E,E âČ)) â (E âČâČ, Ï(E âČâČ, E âČ
b)) die MengeJ(A) ebenfalls Ï(E âČâČ, E âČ
b)-kompakt und insbesondere Ï(E âČâČ, E âČb)-abgeschlossen und abso-
lutkonvex. J(A) enthalt also die Ï(E âČâČ, E âČb)-abgeschlossene Hulle der Bipolaren (bezuglich
des Dualsystems ăE âČâČ, E âČă) von J(B). Es folgt xâČâČ â (U âČ) â (J(B)) â J(A) â J(E). Eist also semireflexiv. €
18.9. Satz. Fur einen lokalkonvexen Hausdorffraum (E, Ï) sind die folgenden Aussa-gen aquivalent:
(a) (E, Ï) ist tonneliert und jede beschrankte, Ï -abgeschlossene, absolutkonvexe Teil-menge von E ist Ï(E,E âČ)-kompakt.
(b) (E, Ï) ist tonneliert und jede bezuglich Ï(E,E âČ) abgeschlossene, beschrankte, ab-solutkonvexe Teilmenge von E ist Ï(E,E âČ)-kompakt.
(c) (E, Ï) ist reflexiv, d.h. (E, Ï) = (E âČb)âČb.
Beweis. (b)=â(a) ist klar wegen Satz 16.6.(a)=â(b) Sei (a) erfullt und sei B eine beliebige bezuglich Ï(E,E âČ) abgeschlossene
und beschrankte Teilmenge von E. Nach dem Satz 16.20 von Mackey ist B dann auch Ï -beschrankt und die abgeschlossene, absolutkonvexe Hulle ist ebenfalls Ï -beschrankt (nachAufgabe 16.4(e)) und damit nach Voraussetzung Ï(E,E âČ)-kompakt.
(a)=â(c) ist klar nach Folgerung 18.6 und Satz 18.8.(c)=â(a) Sei (E, Ï) reflexiv, dann ist auch E âČ
b reflexiv und und E = (E âČb)âČb ist als starker
Dualraum des reflexiven Raums E âČb tonneliert (nach Satz 18.7). Dies zeigt zusammen mit
Satz 18.8, daĂ (a) erfullt ist. €18.10. Definition. Ein lokalkonvexer Hausdorffraum (E, Ï) heiĂt Montel-Raum (kurz
(M)-Raum), falls (E, Ï) tonneliert ist und falls jede abgeschlossene, beschrankte Teilmengevon E kompakt ist.
Ein normierter Raum ist also nach Folgerung 1.16 genau dann ein Montelraum, wenner endlich dimensional ist.
Beispiele fur Montel-Raume sind:
152 18. DER BIDUALE RAUM, REFLEXIVITAT
âą Câ(Ω), Ω eine offene Teilmenge des RN .âą S(RN).âą O(Ω), Ω eine offene Teilmenge des CN .âą KN0 versehen mit der Produkttopologie.
Beweis als Ubung.
18.11. Satz. Sei (E, Ï) ein Montel-Raum. Dann gilt:
(a) (E, Ï) ist reflexiv.(b) E âČ
b ist wieder ein Montel-Raum.
Beweis. (a) Ist (E, Ï) ein (M)-Raum, so ist (E, Ï) tonneliert und jede beschrank-te, abgeschlossene, absolutkonvexe Teimenge ist Ï -kompakt, also auch Ï(E,E âČ)-kompakt.Nach Satz 18.9 ist (E, Ï) reflexiv.
(b) (i) Als starker Dualraum des nach (a) reflexiven Raums (E, Ï) ist E âČb nach Satz 18.7
tonneliert.(ii) Wir zeigen zunachst E âČ
b = E âČÎł. Da Îł(E âČ, E) grober als die starke Topologie ist,
genugt es zu zeigen, daĂ jede Nullumgebung in E âČb auch eine Nullumgebung in E âČ
Îł ist.Ist U âČ eine beliebige Nullumgebung in E âČ
b, so gibt es eine beschrankte Teilmenge B vonE mit (nach Folgerung 16.12) ((B)) = B â U âČ. Da A := (B) als abgeschlossene,absolutkonvexe Hulle von B wieder beschankt ist, ist A nach Voraussetzung kompakt. U âČ
ist also auch eine Îł(E âČ, E)-Nullumgebung in E âČ.(iii) Zu zeigen bleibt noch, daĂ jede abgeschlossene, beschrankte Teilmenge von E âČ
b
kompakt ist. Sei also BâČ eine beliebige abgeschlossene beschrankte Teilmenge von E âČb.
Dann ist (BâČ) eine Nullumgebung in (E âČb)âČb = (E, Ï). Als Polare einer Ï -Nullumgebung
ist ((BâČ)) nach Satz 16.14 gleichstetig. Nach dem Satz 16.16 ist ((BâČ)) bezuglichÏ(E âČ, E âČ
b)âČ) = Ï(E âČ, E) kompakt. Da nach Satz 17.14 auf gleichstetigen Mengen die Topo-
logien Ï(E âČ, E) und Îł(E âČ, E) ubereinstimmen, ist ((BâČ)) auch bezuglich Îł(E âČ, E) =b(E âČ, E) kompakt1. Als abgeschlossene Teilmenge von ((BâČ)) ist BâČ daher ebenfallsbezuglich b(E âČ, E) kompakt. €
Ubungsaufgaben zu Kapitel 18.
18.1. Aufgabe. Zeigen Sie, daĂ der Raum X := KN0 , versehen mit der Produkttopo-logie ein Montelraum ist. Zeigen Sie, daĂ der Dualraum von X identifiziert werden kannmit dem Raum F aller finiten Folgen
F := Ï = (Ïn)ân=0 â KN0 ; Ïn 6= 0 fur hochstens endlich viele n â N0
vermoge der Dualitat ă·, ·ă : X Ă F â K, die gegeben ist durch
ăx, Ïă :=âân=0
xnÏn (x = (xn)ân=0 â X, Ï = (Ïn)
ân=0 â F ).
1Da (E, Ï) ein Montelraum ist, stimmen Îł(EâČ, E) und b(EâČ, E) uberein.
KAPITEL 19
Kleiner Exkurs in die MaĂtheorie
Ziel dieses Abschnitts ist die Berechnung des Dualraums des Banachraums C(K) derstetigen Funktionen auf einem kompakten topologischen Hausdorffraum K. Hierzu undauch fur den Beweis des Spektralsatzes fur normale Operatoren benotigen wir einigeHilfsmittel aus der MaĂ- und Integrationstheorie.
Im folgenden sei stets X eine nicht leere Menge und P(X) := A;A â X die Po-tenzmenge von X. Wir betrachten Mengenfunktionen also Abbildungen ”, die auf einerTeilmenge S von P(X) definiert sind und ihre Werte in K (= R,C), RâȘââ, RâȘ+âoder einem Banachraum (E, â · â) annehmen. ” heiĂt additiv (oder auch endlich additiv),falls die beiden folgenden Bedingungen erfullt sind:
(i) â â S und ”(â ) = 0.(ii) Fur jede endliche Familie A1, . . . , An â S von paarweise disjunkten Mengen
aus S mit A :=ânj=1Aj â S gilt
”(A) =nâj=1
”(Aj).
Eine Mengenfunktion ” heiĂt abzahlbar additiv oder auch Ïâadditiv, falls (i) gilt und:
(ii)âČ fur jede abzahlbar unendliche Familie Aj; j â N â S von paarweise disjunktenMengen aus S mit A :=
ââj=1Aj â S ist
”(A) =ââj=1
”(Aj).
19.1. Definition. ÎŁ â P(X) heiĂt Algebra (Boolesche Algebra) von Teilmengen vonX, falls gilt:
(a) â â ÎŁ,(b) fur alle A â ÎŁ ist auch X \ A â ÎŁ,(c) die endliche Vereinigung von Mengen aus ÎŁ ist wieder ein Element von ÎŁ.
Eine Algebra ÎŁ â P(X) heiĂt ÏâAlgebra, falls fur jede Folge (Aj)âj=1 von Elementen aus
ÎŁ auch giltââj=1Aj â ÎŁ.
Insbesondere ist also P(X) selbst eine ÏâAlgebra.
19.2. Bemerkungen. (a) Ist (ÎŁi)iâI eine Familie von Algebren (bzw. ÏâAlgebren)in P(X), so ist auch
âiâI ÎŁi eine Mengenalgebra (bzw. eine ÏâAlgebra).
(b) Ist S eine Teilmenge von P(X), so gibt es wenigstens eine Algebra (bzw. ÎŁâAlgebra)von Teilmengen von X, die S enthalt (namlich P(X)). Wir setzen
ÎŁ(S) :=âÎŁ; ÎŁ ist Algebra mit S â ÎŁ â P(X)
und
ÎŁ0(S) :=âÎŁ; ÎŁ ist ÏâAlgebra mit S â ÎŁ â P(X).
153
154 19. KLEINER EXKURS IN DIE MASSTHEORIE
Nach (a) ist ÎŁ(S) eine Algebra und ÎŁ0(S) eine ÏâAlgebra in P(X), offensichtlich diekleinste, die S enthalt. Wir nennen ÎŁ(S) (bzw. ÎŁ0(S)) die von S erzeugte BoolescheAlgebra (bzw. ÏâAlgebra).
19.3. Definition. Sei ” eine auf einer Algebra ÎŁ von Teilmengen von X definierteMengenfunktion. Fur jedes A â ÎŁ definieren wir die totale Variation von ” auf A durch
v(”,A) := sup
nâj=1
â”(Aj)â;n â N, A1, . . . , An â P(A) â© ÎŁ paarweise disjunkt
.
Im skalarwertigen Fall sind hierbei die Normstriche naturlich durch die Betragsstriche zuersetzen.
Eine Mengenfunktion ” heiĂt
âą von beschrankter Variation auf A â ÎŁ, falls v(”,A) <â,âą von beschrankter Variation, falls v(”,X) <â,âą beschrankt, falls supAâÎŁ â”(A)â <â,âą nicht negativ, falls ” skalarwertig ist und ”(ÎŁ) â [0,â] gilt. Wir schreiben dann” â„ 0.
19.4. Lemma. Sei ” eine auf einer Algebra Σ von Teilmengen von X definierte additiveMengenfunktion.
(a) Fur alle A â ÎŁ gilt â”(A)â †v(”,A).(b) Ist ” â„ 0, so gilt: ”(A) = v(”,A).(c) v(”, ·) ist die kleinste additive nicht negative Mengenfunktion auf ÎŁ mit der Ei-
genschaft (a).(d) Fur alle Kâwertigen additiven Mengenfunktionen λ, ” auf ÎŁ und alle A â ÎŁ, α â
K gilt:
v(α”,A) = |α|v(”,A)
sowie
v(λ+ ”,A) †v(λ,A) + v(”,A).
Beweis. Die Aussagen (a), (b) und (d) rechnet man unmittelbar nach. Zum Beweisvon (c) zeigen wir zunachst die Additivitat von v(”, ·). Seien B,C â ÎŁ beliebig mitB â©C = â . Seien ferner A1, . . . , An â ÎŁ endlich viele paarweise disjunkte Teilmengen vonB âȘ C. Dann gilt
nâj=1
â”(Aj)â =nâj=1
â”((Aj â©B) âȘ (Aj â© C))â
=nâj=1
â”(Aj â©B) + ”(Aj â© C)â
â€nâj=1
â”(Aj â©B)â+nâj=1
â”(Aj â© C)â
†v(”,B) + v(”,C) .
Durch Ubergang zum Supremum auf der linken Seite erhalten wir
v(”,B âȘ C) †v(”,B) + v(”,C).
Ist also v(”,B âȘ C) = â, so folgt hieraus v(”,B âȘ C) = v(”,B) + v(”,C). Sei nunv(”,BâȘC) <â. Dann sind auch v(”,B) und v(”,C) endlich. Nach Definition der totalenVariation gibt es zu beliebig vorgegebenem Δ > 0 endlich viele paarweise disjunkte Mengen
19. KLEINER EXKURS IN DIE MASSTHEORIE 155
B1, . . . , Bk â P(B)â©ÎŁ und endlich viele paarweise disjunkte Mengen C1, . . . , Cm â P(C)â©ÎŁ mit
v(”,B) â€kâj=1
â”(Bj)â+Δ
2und v(”,C) â€
mâi=1
â”(Ci)â+Δ
2.
Es folgt
v(”,B âȘ C) †v(”,B) + v(”,C)
â€kâj=1
â”(Bj)â+Δ
2+
mâi=1
â”(Ci)â+Δ
2
†v(”,B âȘ C) + Δ .
Da Δ > 0 beliebig war, muĂ v(”,B âȘ C) = v(”,B) + v(”,C) gelten. Mit vollstandigerInduktion folgt die Additivitat von v(”, ·).
Sei nun λ â„ 0 eine beliebige nicht negative, additive Mengenfunktion auf X mitâ”(A)â †λ(A) fur alle A â ÎŁ und sei A â ÎŁ beliebig vorgegeben. Dann gilt fur jedeendliche Familie A1, . . . , An von paarweise disjunkten Mengen aus P(A) â© ÎŁ:
λ(A) â„nâj=1
λ(Aj) â„nâj=1
â”(Aj)â
und wir erhalten λ(A) ℠v(”,A). Damit folgt auch die behauptete Minimalitatseigen-schaft. €
19.5. Lemma. Sei ÎŁ â P(X) eine Mengenalgebra und ” : ÎŁ â K (= R,C) eineadditive, beschrankte, skalarwertige Mengenfunktion. Dann ist auch v(”, ·) beschrankt undes gilt:
M := supAâÎŁ
|”(A)| †v(”,X) †4 supAâÎŁ
|”(A)| .
Beweis. Die linke Ungleichung folgt unmittelbar aus Lemma 19.4 (a). Wir bewei-sen die rechte Ungleichung zunachst im Fall K = R. Sind beliebige paarweise disjunkteMengen A1, . . . , An â ÎŁ gegeben, so folgt
nâj=1
|”(Aj)| =âj
+”(Aj)â
âj
â”(Aj) = ”
(âj
+Aj
)â ”
(âj
âAj
),
wobeiâ
j+ bzw.
âj+ (
âjâ ,
âjâ) die Summe bzw. Vereinigung uber alle j â 1, . . . , n
mit ”(Aj) ℠0 (bzw. mit ”(Aj) < 0) bezeichne. Durch Ubergang zum Supremum erhaltenwir
v(”,X) †supA,BâÎŁ
(”(A)â ”(B)) †2M.
Im Fall K = C beachten wir, daĂ dann die reellwertigen Mengenfunktionen A 7â Re”(A)und A 7â Im”(A) ebenfalls additiv und beschrankt sind. Mit Lemma 19.4(d) erhaltenwir also aus dem reellen Fall:
v(”,X) †v(Re”,X) + v(Im”,X) †4M
und damit die Behauptung. €
19.6. Folgerung. Sei ÎŁ â P(X) eine Mengenalgebra und sei ” : ÎŁ â E einebeschrankte, additive Mengenfunktion mit Werten in einem Banachraum E. Dann ist fur
156 19. KLEINER EXKURS IN DIE MASSTHEORIE
jede stetige Linearform xâČ â E âČ die additive, skalarwertige Mengenfunktion xâČ Â” vonbeschrankter Variation und es gilt:
v(xâČ Â”,X) †4âxâČâ · supAâÎŁ
â”(A)â .
19.7. Definition. Sei ” : ÎŁ â R eine beschrankte, additive, reellwertige Mengen-funktion auf einer Mengenalgebra ÎŁ â P(X). Dann heiĂen die durch
”+(A) :=1
2(v(”,A) + ”(A)) fur A â ÎŁ und
Ӊ(A) :=1
2(v(”,A)â ”(A)) fur A â ÎŁ
definierten Mengenfunktionen ”+, ”â : ÎŁ â R die obere und untere Variation von ”.
19.8. Satz (JordanâZerlegung). Sei ” : ÎŁ â R eine beschrankte, additive, reellwertigeMengenfunktion auf einer Mengenalgebra ÎŁ â P(X).
(a) Fur alle A â ÎŁ gilt:
”+(A) = supBâÎŁâ©P(A)
”(B) und ”â(A) = â infBâÎŁâ©P(A)
”(B) .
(b) ”+ und ”â sind additive, nicht negative Mengenfunktionen und es gilt fur alleA â ÎŁ:
”(A) = ”+(A)â ”â(A) , v(”,A) = ”+(A) + ”â(A) .
Beweis. (a) Sei A â ÎŁ beliebig und sei B eine beliebige Teilmenge von A aus ÎŁ. Da” additiv ist, gilt ”(A) = ”(B) + ”(A \B). Es folgt
2”(B) = ”(B) + ”(A)â ”(A \B) †”(A) + |”(B)|+ |”(A \B)|†”(A) + v(”,A) = 2”+(A) .
Hieraus erhalten wir
(19.1) supBâÎŁâ©P(A)
”(B) †”+(A) .
Sei nun Δ > 0 beliebig. Da v(”, ·) nach Lemma 19.5 beschrankt ist, gibt es endlich vielepaarweise disjunkte Teilmengen A1, . . . , An â ÎŁ von A mit
A =nâj=1
Aj undnâj=1
|”(Aj)| > v(”,A)â Δ .
Mit den Bezeichnungen aus dem Beweis zu Lemma 19.5 erhalten wir:
2”+(A)â Δ = v(”,A) + ”(A)â Δ <
nâj=1
|”(Aj)|+nâj=1
”(Aj)
†2âj
+”(Aj) = 2”
( âj
+Aj
)
†2 supBâÎŁâ©P(A)
”(B) .
Da Δ > 0 beliebig war, folgt hieraus - zusammen mit (19.1) - die linke Gleichung aus (a).Die rechte folgt hieraus wegen ”â = (â”)+.
(b) folgt mit Definition 19.7 und Lemma 19.4(c). €
19. KLEINER EXKURS IN DIE MASSTHEORIE 157
19.9. Definition. Ein MaĂ ist eine auf einer ÏâAlgebra ÎŁ â P(X) definierte abzahl-bar additive Mengenfunktion mit Werten in RâȘ+â,RâȘââ oder C. Ein MaĂraum(X,ÎŁ, ”) ist ein Tripel, bestehend aus einer Menge X, einer ÏâAlgebra ÎŁ von Teilmengenvon X und einem auf ÎŁ definierten Maà ”. Ein MaĂraum (X,ÎŁ, ”) heiĂt
âą endlich, falls ±â 6â ”(ÎŁ), d.h. falls das Maà ” reellâ oder komplexâwertig ist;âą positiv, falls ” â„ 0.
19.10. Lemma. Sei (X,ÎŁ, ”) ein endlicher MaĂraum. Dann ist das Maà ” beschranktund daher nach Lemma 19.5 von beschrankter Variation.
Beweis. Sei zunachst ” reellwertig vorausgesetzt. Wir fuhren den Beweis indirekt,nehmen also an, daà ” nicht beschrankt ist, d.h. es gilt supAâÎŁ ”(A) = â oder infAâÎŁ ”(A) =ââ. Indem wir notfalls ” durch â” ersetzen, konnen wir erreichen, daĂ der erste dieserbeiden Falle vorliegt. Wir nennen nun B â ÎŁ unbeschrankt, falls gilt supAâÎŁ ”(Aâ©B) = â.Andernfalls heiĂe B beschrankt. Folgende Falle sind moglich:
(a) Jede unbeschrankte Menge aus ÎŁ enthalt eine unbeschrankte Menge von beliebiggroĂem MaĂ.
(b) Es gibt eine unbeschrankte Menge B â ÎŁ, so daĂ ein N > 0 existiert mit ”(A) <N fur alle unbeschrankten A â ÎŁ â© P(B).
Im Fall (a) finden wir induktiv eine Folge (An)ân=1 von unbeschrankten Mengen aus ÎŁ mit
ân â N : An+1 â An und ”(An) â„ n .
Wegen der ÏâAdditivitat von ” folgt hieraus
”
( âân=1
An
)= lim
nââ”(An) = â
im Widerspruch dazu, daà ” nach Voraussetzung den Wert â nicht annimmt. Also kannFall (a) nicht eintreten.
Zu Fall (b): Da B nach Voraussetzung unbeschrankt ist, gibt es eine Teilmenge A1 â ÎŁvon B mit ”(A1) â„ N . A1 muĂ also beschrankt sein. Ebenso findet man eine beschrankteTeilmenge A2 â ÎŁ von B \ A1 mit ”(A2) â„ N . Dann muĂ (B \ A1) \ A2 unbeschranktsein. Induktiv findet man so eine Folge (An)
ân=1 von paarweise disjunkten Mengen An â
ÎŁ â© P(B) mit ”(An) â„ N fur alle n â N. Da ÎŁ eine ÏâAlgebra und ” eine ÏâadditiveMengenfunktion ist, folgt
”
( âân=1
An
)=
âân=1
”(An) = â
im Widerspruch zu â 6â ”(ÎŁ). Also kann auch der zweite Fall nicht eintreten. UnsereAnnahme war daher falsch und es folgt die Beschranktheit von ”.
Im komplexwertigen Fall beachtet man, daà die Mengenfunktionen Re” und Im”reellwertige, abzahlbar additive Mengenfunktionen und daher nach dem bisher Gezeigtenbeschrankt sind. Also muà ” auch in diesem Fall beschrankt sein. €
19.11. Folgerung. Sei E ein Banachraum uber K (= R,C) und sei ” : ÎŁ â E eineEâwertige, abzahlbar additive Mengenfunktion auf einer ÏâAlgebra ÎŁ â P(X). Dann ist” beschrankt.
Beweis. Fur alle xâČ â E âČ ist xâČ Â” ein Kâwertiges MaĂ auf ÎŁ. Nach Lemma 19.10 giltdaher
âxâČ â E âČ : supAâÎŁ
|xâČ(”(A))| <â .
”(ÎŁ) ist also schwachâ und daher auch normbeschrankt. €
158 19. KLEINER EXKURS IN DIE MASSTHEORIE
19.12. Definition. Sei λ eine auf einer Mengenalgebra ÎŁ â P(X) definierte Men-genfunktion. Eine Menge A â ÎŁ heiĂe λâMenge, falls fur alle M â ÎŁ gilt: λ(M) =λ(M â© A) + λ(M \ A). Die Menge aller λâMengen in ÎŁ werde mit Σλ bezeichnet.
19.13. Lemma. Sei λ eine auf einer Mengenalgebra ÎŁ â P(X) definierte Mengen-funktion mit λ(â ) = 0. Dann ist Σλ eine Unteralgebra von ÎŁ, auf der λ additiv ist. Fernergilt: Sind A1, . . . , An â Σλ paarweise disjunkt, so ist fur alle M â ÎŁ
(19.2) λ
(M â©
nâj=1
Aj
)=
nâj=1
λ(M ⩠Aj) .
Beweis. (a) Offensichtlich gilt â , X â Σλ und fur alle A â Σλ ist auch X \ A â Σλ.Wir zeigen nun:
(19.3) âA,B â Σλ : A â©B â Σλ .
Seien also A,B â Σλ beliebig vorgegeben. Dann gilt fur alle M â ÎŁ
λ(M â©B) = λ((M â©B) â© A) + λ((M â©B) â© (X \ A)) und(19.4)
λ(M) = λ(M â©B) + λ(M â© (X \B))(19.5)
sowie
λ(M â© (X \ (A â©B))) = λ(M â© (X \ (A â©B)) â©B)
+λ(M â© (X \ (A â©B)) â© (X \B)) .
Wegen (X \ (A â©B)) â©B = B \ A und (X \ (A â©B)) â© (X \B) = X \B folgt hieraus
λ(M â© (X \ (A â©B))) = λ(M â©B â© (X \ A)) + λ(M â© (X \B)) .
Zusammen mit (19.4) und (19.5) folgt
λ(M) = λ(M â© A â©B) + λ(M â©B â© (X \ A)) + λ(M â© (X \B))
= λ(M â© (A â©B)) + λ(M â© (X \ (A â©B))) .
Damit folgt (19.3). Aus dem bisher Gezeigten folgt nun leicht, daĂ fur endlich viele MengenA1, . . . , An â Σλ auch gilt
nâj=1
Aj = X \nâj=1
(X \ Aj) â Σλ .
Damit ist gezeigt, daà Σλ eine Unteralgebra von ÎŁ ist.(b) Seien nun A1, A2 â Σλ mit A1 â© A2 = â und sei M â ÎŁ beliebig. Dann folgt:
λ(M â© (A1 âȘ A2)) = λ((M â© (A1 âȘ A2)) â© A1) + λ((M â© (A1 âȘ A2)) \ A1)
= λ(M ⩠A1) + λ(M ⩠A2) .
Durch vollstandige Induktion erhalt man hieraus die Aussage (19.2) und aus (19.2) folgtmit M := X die Additivitat von λ auf Σλ. €
19.14. Definition. Sei ÎŁ â P(X) eine ÏâAlgebra. Eine nicht negative Mengenfunk-tion λ : ÎŁ â [0,+â] heiĂt auĂeres MaĂ, falls gilt:
(i) λ(â ) = 0.(ii) Sind A,B â ÎŁ mit A â B, so ist λ(A) †λ(B).(iii) Fur jede Folge (An)
ân=1 gilt λ (
âân=1An) â€
âân=1 λ(An).
19.15. Satz (Caratheodory). Sei λ : ÎŁ â [0,+â] ein auĂeres MaĂ auf einer ÏâAlgebra ÎŁ â P(X). Dann ist auch Σλ eine ÏâAlgebra und λ ist auf Σλ Ïâadditiv.
19. KLEINER EXKURS IN DIE MASSTHEORIE 159
Beweis. Wegen Lemma 19.13 genugt es zu zeigen, daĂ fur jede Folge (An)ân=1 von
paarweise disjunkten Mengen aus Σλ auch die Menge A :=âân=1An wieder eine λâMenge
ist und daĂ gilt: λ(A) =ââ
n=1 λ(An).Wir zeigen zunachst A â Σλ. Sei also M â ÎŁ beliebig. Nach Lemma 19.13 gilt fur alle
k â N:
λ(M) = λ
(M â©
kân=1
An
)+ λ
(M â©
(X \
kân=1
An
))
=kâ
n=1
λ(M ⩠An) + λ
(M â©
(X \
kân=1
An
))
â„kâ
n=1
λ(M ⩠An) + λ(M ⩠(X \ A)) .
Damit folgt fur k ââ unter Verwendung von Eigenschaft (iii) des auĂeren MaĂes:
λ(M â© A) + λ(M \ A) ℠λ(M) â„âân=1
λ(M ⩠An) + λ(M ⩠(X \ A))
℠λ(M ⩠A) + λ(M \ A) .
Also ist A â Σλ. Wahlen wir speziell M = A, so folgt λ(A) =ââ
n=1 λ(An), d.h. λ ist aufΣλ abzahlbar additiv. €
19.16. Lemma. Sei ” eine auf einer Mengenalgebra ÎŁ â P(X) nicht negative, abzahl-bar additive Mengenfunktion. Wir definieren eine Mengenfunktion ” : P(X) â [0,â]durch
”(A) := inf
âân=1
”(Bn); Bn;n â N â ÎŁ, A ââân=1
Bn
fur alle Teilmengen A von X. Dann ist ” ein auĂeres MaĂ und ÎŁ â P(X)”. Fur alleA â ÎŁ gilt ”(A) = ”(A). ” ist also eine Fortsetzung von ”.
Beweis. (a) Offensichtlich sind fur ” die Bedingungen (i) und (ii) aus der Definition19.14 des auĂeren MaĂes erfullt. Wir zeigen, daĂ auch (iii) gilt.
Sei also (An)ân=1 eine beliebige Folge aus P(X) und sei A :=
âân=1An. Sei Δ > 0 belie-
big. Zu An gibt es nach Definition von ” eine Folge (Bn,m)âm=1 in ÎŁ mit An âââm=1Bn,m
undââm=1
”(Bn,m) †”(An) +Δ
2n.
Wegen A â âân,m=1Bn,m folgt
”(A) â€ââ
n,m=1
”(Bn,m) â€âân=1
(”(An) +Δ
2n) â€
âân=1
”(An) + Δ .
Mit Δâ 0 folgt, daĂ auch (iii) in Definition 19.14 erfullt ist. ” ist also ein auĂeres MaĂ.(b) Wir zeigen nun, daà ” und ” auf ÎŁ ubereinstimmen. Sei also A â ÎŁ beliebig. Aus
der Definition von ” erhalten wir (mit B1 = A und Bn = â fur n > 1): ”(A) †”(A). Seinun (Bn)
ân=1 eine beliebige Folge aus ÎŁ mit A â ââ
n=1Bn. Die durch A1 := B1 und
An := Bn \nâ1â
k=1
Bk fur n > 1
160 19. KLEINER EXKURS IN DIE MASSTHEORIE
definierte Folge (An)ân=1 von paarweise disjunkten Mengen aus ÎŁ erfullt nach Konstruktionââ
n=1An =âân=1Bn. Wegen der abzahlbaren Additivitat von ” auf ÎŁ folgt
”(A) = ”
(A â©
âân=1
An
)=
âân=1
”(A â© An) â€âân=1
”(An) â€âân=1
”(Bn) .
Nach Definition von ” folgt also ”(A) †”(A) und damit insgesamt ”(A) = ”(A).(c) Zu zeigen ist noch ÎŁ â P(X)”. Sei also A â ÎŁ beliebig vorgegeben und sei M â X
beliebig. Da ” ein auĂeres MaĂ ist, folgt ”(M) †”(M â© A) + ”(M \ A). Es genugt alsozu zeigen:
(19.6) ”(M) ℠”(M ⩠A) + ”(M \ A) .
Zu beliebig vorgegebenem Δ > 0 gibt es nach Definition von ” eine Folge (An)ân=1 in ÎŁ
mit M â âân=1An und
âân=1 ”(An) †”(M) + Δ. Wegen M â© A â ââ
n=1(A â© An) undM \ A â ââ
n=1(An \ A) folgt:
”(M) + Δ â„âân=1
”(An) =âân=1
(”(An ⩠A) + ”(An \ A)) ℠”(M ⩠A) + ”(M \ A) .
Mit Δâ 0 erhalten wir (19.6). €
19.17. Definition. Sei ÎŁ â P(X) eine Mengenalgebra. Eine Mengenfunktion ” :ÎŁ â R âȘ â heiĂt Ïâendlich, falls es eine Folge (An)
ân=1 in ÎŁ gibt mit X =
âân=1An
und v(”,An) <â fur alle n â N. Ein MaĂraum (X,ÎŁ, ”) heiĂt Ïâendlich, falls das MaĂ” Ïâendlich ist.
19.18. Satz (HahnâErweiterung). Sei ” : ÎŁ â [0,â] eine nicht negative, ÏâadditiveMengenfunktion auf einer Mengenalgebra ÎŁ â P(X). Dann hat ” eine Ïâadditive Fort-setzung ” : ÎŁ0 â [0,â] auf die von ÎŁ erzeugte ÏâAlgebra ÎŁ0. Ist ” Ïâendlich, so ist dieseErweiterung eindeutig bestimmt.
Beweis. Nach Lemma 19.16 ist ” := ”|ÎŁ0 eine nicht negative Fortsetzung von ”,welche nach dem Satz von Caratheodory abzahlbar additiv ist. Wir mussen also nurnoch die Eindeutigkeitsaussage beweisen. Sei also λ : ÎŁ0 â [0,â] eine weitere nichtnegative, abzahlbar additive Fortsetzung von ” und sei ” Ïâendlich. Dann gibt es eineFolge (Bn)
ân=1 in ÎŁ mit X =
âân=1Bn und ”(Bn) <â fur alle n â N. Wie im Beweis zu
Lemma 19.16 findet man dann eine Folge (An)ân=1 von paarweise disjunkten Mengen aus
ÎŁ mitâân=1An =
âân=1Bn und An â Bn. Sei m â N beliebig. Wegen Am â Bm gilt
(19.7) λ(Am) = ”(Am) †”(Bm) <â .
Sei nun A â ÎŁ0 beliebig. Fur jede Folge (Cn)ân=1 aus ÎŁ mit A â© Am â
âân=1Cn gilt
λ(A â© Am) â€âân=1
λ(Cn) =âân=1
”(Cn) .
Daher folgt
(19.8) λ(A â© Am) †”(A â© Am) †”(Am) = ”(Am) <â .
Ebenso sieht man
(19.9) λ(Am \ A) †”(Am \ A) †”(Am) = ”(Am) <â .
Wegen λ(Am â©A) + λ(Am \A) = λ(Am) = ”(Am) = ”(Am â©A) + ”(Am \A) und (19.7),(19.8) und (19.9) folgt also fur alle m â N: λ(Am â©A) = ”(Am â©A) und daher wegen der
19. KLEINER EXKURS IN DIE MASSTHEORIE 161
abzahlbaren Additivitat von λ und ”
λ(A) =ââm=1
λ(Am â© A) =ââm=1
”(Am ⩠A) = ”(A) .
Damit ist auch die Eindeutigkeitsaussage bewiesen. €Wir wollen uns nun dem Fall zuwenden, daà X ein topologischer Hausdorffraum ist.
Wir bezeichnen mit B(X) die von den abgeschlossenen Teilmengen von X erzeugte ÏâAlgebra. Die Elemente von B(X) nennen wir Borelmengen. Ist ÎŁ â P(X) eine Mengenal-gebra, so heiĂt eine auf ÎŁ definierte Mengenfunktion ” regular, falls fur jedes A â ÎŁgilt:
(19.10) âΔ > 0 âB,D â ÎŁ mit B â A â intD âC â ÎŁâ©P(D \B) : â”(C)â < Δ .
19.19. Bemerkung. Ist ” skalarwertig und additiv, ”(ÎŁ) â K, so gilt nach Lemma19.5 fur alle B,D â ÎŁ:
M := supCâÎŁâ©P(D\B)
|”(C)| †v(”,D \B) †4M .
In diesem Falle kann also (19.10) ersetzt werden durch die aquivalente Bedingung
âΔ > 0 âB,D â ÎŁ mit B â A â intD : v(”,D \B) < Δ .
Insbesondere ist in diesem Fall die Regularitat von ” aquivalent zu der von v(”, ·). Ist” : ÎŁ â R regular, so folgt auch die Regularitat von ”+ und ”â mit
”+(A) =1
2(v(”,A) + ”(A)), ”â(A) =
1
2(v(”,A)â ”(A)) fur alle A â ÎŁ .
19.20. Satz (Alexandroff). Sei X ein kompakter topologischer Hausdorffraum und sei” : ÎŁ â K eine auf einer Mengenalgebra ÎŁ von Teilmengen von X definierte beschrankte,additive, regulare, skalarwertige Mengenfunktion. Dann ist ” schon abzahlbar additiv.
Beweis. Da ” beschrankt ist, ist nach Lemma 19.5 auch v(”, ·) beschrankt. Wir zeigenzunachst
(a) v(”, ·) ist abzahlbar additiv.Sei also (An)
ân=1 eine beliebige Folge von paarweise disjunkten Mengen aus ÎŁ mit
A :=âân=1An â ÎŁ. Da ” regular ist, gibt es fur alle n â N Mengen Bn, Dn â ÎŁ sowie
B,D â ÎŁ mit B â A â intD und Bn â An â intDn sowie v(”,D \ B) < Δ undv(”,Dn\Bn) <
Δ2n fur alle n â N. Mit X ist auch B kompakt. Wegen B â A â ââ
n=1 intDn
gibt es also ein m â N mit B â âmn=1 intDn. Es folgt nun
âân=1
v(”,An) â„âân=1
v(”,Dn)â Δ â„mân=1
v(”,Dn)â Δ â„ v(”,B)â Δ
â„ v(”,A)â 2Δ .
Fur Δâ 0 erhalten wir also v(”,A) †âân=1 v(”,An). Wegen
mân=1
v(”,An) †v(”,
mân=1
An
)†v(”,A)
folgt auchââ
n=1 v(”,An) †v(”,A) und damit die abzahlbare Additivitat von v(”, ·).(b) Wir zeigen nun, daà auch ” abzahlbar additiv ist. Ist (An)
ân=1 und A wie im
Beweisteil (a), so folgt wegen (a) fur mââ:âŁâŁâŁÂ”(A)â
mân=1
”(An)âŁâŁâŁ =
âŁâŁâŁÂ”( âân=m+1
An
)âŁâŁâŁ †v(”,
âân=m+1
An
)=
âân=m+1
v(”,An) â 0
162 19. KLEINER EXKURS IN DIE MASSTHEORIE
und damit die Behauptung. €
19.21. Satz. Sei X ein kompakter topologischer Hausdorffraum und sei ” : ÎŁ â Keine auf einer Mengenalgebra ÎŁ von Teilmengen von X definierte beschrankte, additi-ve, regulare Mengenfunktion. Dann besitzt ” eine eindeutig bestimmte abzahlbar additive,regulare Erweiterung auf die von ÎŁ erzeugte ÏâAlgebra ÎŁ0 .
Beweis. Da ” genau dann regular ist, wenn die obere und die untere Variation (desRealâ und des Imaginarteiles) von ” regular sind, genugt es, den Fall ” â„ 0 zu betrachten.Nach dem Satz von Alexandroff ist ” schon abzahlbar additiv und hat daher nach Satz19.18 eine eindeutig bestimmte abzahlbar additive, nicht negative Fortsetzung auf ÎŁ0
(namlich ”|ÎŁ0). Zu zeigen ist also nur noch, daà ” auf ÎŁ0 regular ist. Seien also A â ÎŁ0
und Δ > 0 beliebig vorgegeben. Nach Definition von ” gibt es dann eine Folge (An)ân=1
von (o.B.d.A.) paarweise disjunkten Teilmengen von ÎŁ mit A â âân=1An und
”
( âân=1
An \ A)
=âân=1
”(An)â ”(A) =âân=1
”(An)â ”(A) <Δ
2.
Wegen der Regularitat von ” gibt es fur jedes n â N zu An eine Menge Dn â ÎŁ mitAn â intDn und ”(Dn \ An) < Δ
2n+1 . Mit D :=âân=1Dn â ÎŁ0 gilt dann A â ââ
n=1An ââân=1 intDn â intD und D \ââ
n=1An ââân=1(Dn \ An). Es folgt also
”(D \ A) †”
(D \
âân=1
An
)+ ”
( âân=1
An \ A)<
âân=1
”(Dn \ An) +Δ
2< Δ .
Indem wir die analoge Betrachtung fur X \A statt A ausfuhren, finden wir auch D0 â ÎŁ0
mit X \ A â intD0 und ”(D0 \ (X \ A)) < Δ. Mit B := X \ D0 â ÎŁ0 folgt dannB â X \ intD0 â X \ (X \A) = A und ”(A \B) = ”(D0 \ (X \A)) < Δ. Insgesamt folgtalso v(”, D \B) = ”(D \B) < 2Δ. Also ist ” regular. €
Wir wollen uns nun der Integration zuwenden. Sei X eine Menge und ÎŁ â P(X)eine Algebra von Teilmengen von X. Eine Funktion f : X â K heiĂt ÎŁâmeĂbar, fallsfâ1(A) â ÎŁ fur alle Borelmengen A inK gilt. Fur A â ÎŁ bezeichne ÏA die charakteristischeFunktion von A. Die Menge
T (X,ÎŁ) := LH ÏA;A â ÎŁder ÎŁâmeĂbaren Treppenfunktionen ist eine Unteralgebra der Banachalgebra `â(X) allerbeschrankten Funktionen auf X. Der AbschluĂ B(X,ÎŁ) von T (X,ÎŁ) in `â(X) ist danneine Banachalgebra mit der von `â(X) induzierten Supremumsnorm â · âX . Man zeigtleicht, daĂ die Menge aller beschrankten ÎŁâmeĂbaren Funktionen in B(X,ÎŁ) dicht liegt.
Fur eine Funktion f =ân
j=1 ajÏAjâ T (X,ÎŁ) und eine additive Mengenfunktion ”
auf ÎŁ mit Werten in K oder in einem Banachraum E definieren wir
(19.11)
â«
A
f d” :=nâj=1
aj”(Aj â© A) fur A â ÎŁ .
19.22. Lemma. Unter den angegebenen Voraussetzungen und mit den obigen Bezeich-nungen gilt:
(a) Die Zuordnung f 7â â«Af d” ist wohldefiniert (also unabhangig von der speziellen
Darstellung von f â T (X,ÎŁ)) und linear.(b) Sind f und ” nicht negativ, so ist
â«Af d” â„ 0. In diesem Fall macht die Definition
(19.11) auch Sinn, falls â â ”(ÎŁ).
19. KLEINER EXKURS IN DIE MASSTHEORIE 163
(c) Ist ” eine beschrankte, Kâwertige, additive Mengenfunktion auf ÎŁ, so gilt fur allef â T (X,ÎŁ), A â ÎŁ: âŁâŁâŁâŁ
â«
A
f d”
âŁâŁâŁâŁ †v(”,A)âfâX .
Also ist f 7â â«Af d” stetig und besitzt eine eindeutig bestimmte Fortsetzung zu
einer stetigen, linearen Abbildungâ«A· d” : B(X,ÎŁ) â K.
(d) Ist ” wie in (c) und ist A â ÎŁ, f â B(X,ÎŁ) mit f = 0 auf X \ A, so istâ«Xf d” =
â«Af d”.
Beweis. Die Aussagen (a), (b) und (d) weist man durch direktes Nachrechnen leichtnach.
Zu (c): Sei also f =ân
j=1 ajÏAjâ T (X,ÎŁ) beliebig vorgegeben. Dann besitzt f
auch eine Darstellung der Form f =âm
k=1 bkÏBkmit paarweise disjunkten Mengen
B1, . . . , Bm â ÎŁ und b1, . . . , bm â K. Unter Verwendung von (a) folgt:âŁâŁâŁâŁâ«
A
f d”
âŁâŁâŁâŁ =
âŁâŁâŁâŁâŁmâ
k=1
bk”(Bk ⩠A)
âŁâŁâŁâŁâŁ †max1â€kâ€m
|bk|mâ
k=1
|”(Bk ⩠A)|
†v(”,A)âfâX .€
19.23. Folgerung. Sei ” : ÎŁ â E eine beschrankte, additive Mengenfunktion aufeiner Mengenalgebra ÎŁ â P(X) mit Werten in einem Banachraum E. Dann gilt fur allef â T (X,ÎŁ), A â ÎŁ: â„â„â„â„
â«
A
f d”
â„â„â„℠†4âfâX supBâÎŁâ©P(A)
â”(B)â .
Die lineare Abbildungâ«A· d” : T (X,ÎŁ) â E ist also stetig und besitzt daher eine eindeutig
bestimmte stetige, lineare Fortsetzungâ«A·d” : B(X,ÎŁ) â E.
Beweis. Sei f =ân
j=1 ajÏAjâ T (X,ÎŁ) beliebig. Fur alle xâČ â E âČ gilt:
xâČ(â«
A
f d”
)= xâČ
(nâj=1
aj”(Aj ⩠A)
)=
nâj=1
ajxâČ (”(Aj â© A))
=
â«
A
f d(xâČ Â”) .
Unter Verwendung von Lemma 19.22 und Lemma 19.5 erhalten wir hiermit:â„â„â„â„â«
A
f d”
â„â„â„â„ = supxâČâEâČ,âxâČââ€1
âŁâŁâŁâŁxâČ(â«
A
f d”
)âŁâŁâŁâŁ = supxâČâEâČ,âxâČââ€1
âŁâŁâŁâŁâ«
A
f d(xâČ Â”)
âŁâŁâŁâŁâ€ âfâX sup
xâČâEâČ,âxâČââ€1
v(xâČ Â”,A)
†4âfâX supBâÎŁâ©P(A)
supxâČâEâČ,âxâČââ€1
|xâČ(”(B))|
†4âfâX supBâÎŁâ©P(A)
â”(B)â .
€Sei Σ eine Algebra von Teilmengen einer nicht leeren Menge X. Im folgenden bezeich-
nen wir mit ba(X,ÎŁ) die Menge aller beschrankten, additiven, Kâwertigen Mengenfunk-tionen auf ÎŁ. Mit den punktweisen Operationen der Addition und der Multiplikation mit
164 19. KLEINER EXKURS IN DIE MASSTHEORIE
Skalaren ist ba(X,ÎŁ) ein KâVektorraum. Man rechnet leicht nach, daĂ ba(X,ÎŁ) ein ab-geschlossener Unterraum von `â(ÎŁ) ist. Nach Lemma 19.4 und Lemma 19.5 ist v(·, X)eine zu der von â · â`â(ÎŁ) auf ba(X,ÎŁ) induzierten Norm aquivalente Norm. Wir haltenfest:
19.24. Lemma. (ba(X,Σ), v(·, X)) ist ein Banachraum.
19.25. Satz. (ba(X,ÎŁ), v(·, X)) ist isometrisch isomorph zu B(X,ÎŁ)âČ. Der isometri-sche Isomorphismus ” 7â xâČ” ist gegeben durch
xâČ”(f) :=
â«
X
f d” fur f â B(X,ÎŁ) .
Beweis. Nach Lemma 19.22 ist fur alle ” â ba(X,ÎŁ) die oben definierte LinearformxâČ” in B(X,ÎŁ)âČ und erfullt
(19.12) âxâȔ⠆v(”,X) .
Sei nun Δ > 0 beliebig. Nach Definition von v(”,X) gibt es endlich viele paarweise dis-junkte Mengen A1, . . . , An â ÎŁ mit
nâj=1
|”(Aj)| > v(”,X)â Δ .
Zu Aj gibt es aj â K mit |aj| = 1 und aj”(Aj) = |”(Aj)|. Fur die Treppenfunktionf :=
ânj=1 ajÏAj
â T (X,ÎŁ) gilt dann âfâ = 1. Es folgt
âxâČ”â â„ |xâČ”(f)| =âŁâŁâŁâŁâ«
X
f d”
âŁâŁâŁâŁ =
âŁâŁâŁâŁâŁnâj=1
aj”(Aj)
âŁâŁâŁâŁâŁ =nâj=1
|”(Aj)| â„ v(”,X)â Δ .
Da Δ > 0 beliebig war, folgt zusammen mit (19.12), daĂ âxâČ”â = v(”,X) fur alle ” âba(X,ÎŁ) gilt. Die Abbildung ” 7â xâČ” ist also eine Isometrie, von der man leicht nachweist,daĂ sie linear ist.
Zu zeigen bleibt noch die Surjektivitat von ” 7â xâČ”. Sei also xâČ â B(X,ÎŁ) beliebigvorgegeben. Durch
”(A) := xâČ(ÏA) fur A â ÎŁ
wird dann eine (wegen der Linearitat von xâČ offensichtlich additive) Mengenfunktion ” :ÎŁ â K erklart. Wegen |”(A)| = |xâČ(ÏA)| †âxâČâ fur alle A â ÎŁ ist ” auch beschrankt, also” â ba(X,ÎŁ). Aus der Linearitat des Integrals und der Linearform xâČ folgt ferner, daĂxâČ(f) =
â«Xf d” = xâČ”(f) fur alle f â T (X,ÎŁ). Wegen der Stetigkeit der Funktionale xâČ
und xâČ” und der Dichtheit von T (X,ÎŁ) in B(X,ÎŁ) folgt xâČ = xâČ”. Die Abbildung ” 7â xâČ”ist also auch surjektiv. €
19.26. Folgerung. `â(X)âČ ist isometrisch isomorph zum Raum ba(X,P(X)) der aufganz P(X) definierten beschrankten, additiven Mengenfunktionen.
Beweis. Mit einem Kompaktheitsargument zeigt man leicht, daĂ T (X,P(X)) dichtin `â(X) liegt. Es gilt daher B(X,P(X)) = `â(X). Mit Satz 19.25 folgt die Behauptung.
€
Sei nun wieder X ein topologischer Raum und bezeichne B0 die von den abgeschlos-senen Teilmengen von X erzeugte Mengenalgebra. Der Raum
rba(X) := ” â ba(X,B0); ” ist regular
19. KLEINER EXKURS IN DIE MASSTHEORIE 165
ist offensichtlich ein Untervektorraum von ba(X,B0) und wird daher durch â”â := v(”,X)fur ” â rba(X) zu einem normierten Raum. Durch
” †λ :ââ âA â B0 : ”(A) †λ(A)
fur ”, λ â rba(X) wird rba(X) teilweise geordnet. Auch der Dualraum Cb(X)âČ der CââAlgebra Cb(X) aller beschrankten, stetigen Funktionen aufX ist teilweise geordnet vermoge:
xâČ â€ yâČ :ââ â0 †f â Cb(X) : xâČ(f) †yâČ(f)
fur xâČ, yâČ â Cb(X)âČ. Wir werden zeigen, daĂ fur einen normalen topologischen Raum Xder Raum Cb(X)âČ isometrisch und ordnungsisomorph zu rba(X) ist. Hierzu benotigen wirdas folgende Lemma, das sich in etwas allgemeinerem Rahmen beweisen laĂt.
19.27. Lemma. Sei X ein topologischer Raum. Dann ist Cb(X) eine abgeschlosseneUnteralgebra von B(X,B0).
Beweis. Da sowohlB(X,B0) als auch Cb(X) abgeschlossene Unteralgebren von `â(X)sind, genugt es zu zeigen, daĂ sich jede Funktion f â Cb(X) gleichmaĂig auf X durchTreppenfunktionen aus T (X,B0) approximieren laĂt.
Sei also f : X â K eine beliebige stetige, beschrankte Funktion auf X. Dann gibtes zu beliebig vorgegebenem Δ > 0 eine endliche offene Uberdeckung U1, . . . , Un vonf(X) mit diam(Uj) := supx,yâUj
|x â y| < Δ fur j = 1, . . . , n. Wir setzen A1 := U1 und
Aj := Uj \âjâ1i=1 Ui fur 2 †j †n. Ist Aj 6= â , so sei aj ein beliebiger Punkt aus Uj, ist
Aj = â , so setzen wir aj = 0, 1 †j †n. Wegen der Stetigkeit von f ist fâ1(Uj) offen in X,also fâ1(Uj) â B0. Dann gilt auch B1, . . . , Bn â B0, mit Bj := fâ1(Aj) fur j = 1, . . . , n,
denn fur 2 †j †n ist Bj = fâ1(Uj)\âjâ1i=1 f
â1(Ui). Also ist f0 :=ân
j=1 ajÏBjâ T (X,B0)
und nach Konstruktion von f0 folgt âf â f0âX †Δ. €Mit Lemma 19.22 folgt:
19.28. Folgerung. Sei X ein topologischer Raum und sei ” â rba(X). Dann sindalle Funktionen aus Cb(X) bezuglich ” integrierbar und es gilt
âf â Cb(X) :
âŁâŁâŁâŁâ«
X
f d”
âŁâŁâŁâŁ †âfâXv(”,X) .
Es folgt der angekundigte Satz uber die Darstellung des Dualraums von Cb(X)âČ furnormale topologische Raume X.
19.29. Satz. Sei X ein normaler topologischer Raum. Dann gibt es einen linearen,isometrischen und ordnungserhaltenden Isomorphismus ” 7â xâČ” von rba(X) auf Cb(X)âČ.Dieser ist gegeben durch:
xâČ”(f) :=
â«
X
f d” fur f â Cb(X) .
Beweis. Nach Folgerung 19.28 ist durch ” 7â xâČ” eine (offensichtlich lineare) stetigeAbbildung von rba(X) nach Cb(X)âČ gegeben mit
(19.13) âxâȔ⠆â”â = v(”,X) .
Zu zeigen ist also noch:
1.) â” â rba(X) : â”â †âxâČ”â. Wegen (19.13) ist ” 7â xâČ” dann eine lineare Isometrieund insbesondere auch injektiv.
2.) Die Abbildung ” 7â xâČ” ist ordnungserhaltend, d.h. es gilt
â” â rba(X) : ” â„ 0 ââ xâČ” â„ 0 .
3.) Die Abbildung ” 7â xâČ” ist surjektiv.
166 19. KLEINER EXKURS IN DIE MASSTHEORIE
Zu 1.) Sei Δ > 0 beliebig. Nach Definition von v(”,X) gibt es endlich viele paarweisedisjunkte Mengen A1, . . . , An â B0 mit
(19.14) v(”,X)â Δ
3<
nâj=1
|”(Aj)| †v(”,X) .
Zu Aj gibt es aj â K mit |aj| = 1 und aj”(Aj) = |”(Aj)|. Es folgt
(19.15)
âŁâŁâŁâŁâŁv(”,X)ââ«
X
nâj=1
ajÏAjd”
âŁâŁâŁâŁâŁ =
âŁâŁâŁâŁâŁv(”,X)ânâj=1
|”(Aj)|âŁâŁâŁâŁâŁ <
Δ
3.
Da ” regular ist, gibt es zu jedem Aj Mengen Bj, Dj â B0 mit Bj â Aj â intDj undv(”,Dj \ Bj) <
Δ3n
. Da X normal ist, gibt es fur j = 1, . . . , n paarweise disjunkte offene
Mengen Cj â Dj mit Bj â Cj. Nach dem Urysohnschen Lemma existieren Funktionenf1, . . . , fn â Cb(X) mit 0 †fj †1 auf X, fj ⥠1 auf Bj und fj ⥠0 auf X \ Cj. Dann istf0 :=
ânj=1 ajfj eine stetige beschrankte Funktion auf X mit âf0âX = 1. Mit Hilfe von
(19.15) und Lemma 19.22 schatzen wir ab:
âŁâŁv(”,X)â xâČ”(f0)âŁâŁ â€
âŁâŁâŁâŁâŁv(”,X)ââ«
X
nâj=1
ajÏAjd”
âŁâŁâŁâŁâŁ +
âŁâŁâŁâŁâŁnâj=1
aj
â«
X
ÏAjâ fj d”
âŁâŁâŁâŁâŁ
†Δ
3+
nâj=1
|aj|âŁâŁâŁâŁâŁâ«
Cj\Bj
ÏAjâ fj d”
âŁâŁâŁâŁâŁ
†Δ
3+
nâj=1
âÏAjâ fjâXv(”,Cj \Bj) <
Δ
3+ 2n
Δ
3n= Δ .
Wir erhalten also v(”,X) â Δ < âxâȔ⠆v(”,X). Da Δ > 0 beliebig war, muĂ âxâČ”â =v(”,X) gelten.
Zu 2.) Die Implikation =â folgt aus Lemma 19.22 (b). Fur die Ruckrichtung mussenwir zeigen, daĂ aus xâČ” â„ 0 auch ” â„ 0 folgt. Sei also ” â rba(X) gegeben mit xâČ” â„ 0,
d.h. mitâ«Xf d” â„ 0 fur alle 0 †f â Cb(X).
Annahme: ” ist nicht positiv, d.h. es gibt eine Menge A â B0 mit c := ”(A) â K\R+.Dann ist Δ := inftâ„0 |câ t| > 0. Da ” regular ist, gibt es Mengen B,D â B0 mit B â A âintD und v(”,D \B) < Δ
2. Nach dem Urysohnschen Lemma gibt es eine stetige Funktion
f auf X mit 0 †f †1 auf X, f ⥠1 auf B und f ⥠0 auf X \D. Dann folgtâŁâŁâŁâŁâ«
X
f dӉ c
âŁâŁâŁâŁ =
âŁâŁâŁâŁâ«
X
f â ÏA d”
âŁâŁâŁâŁ =
âŁâŁâŁâŁâ«
D\Bf â ÏA d”
âŁâŁâŁâŁ
†âf â ÏAâX · v(”,D \B) < 2Δ
2= Δ .
Zu 3.) Sei also xâČ â Cb(X)âČ beliebig. Da Cb(X) nach Lemma 19.27 ein abgeschlossenerUnterraum von B(X,B0) ist, gibt es nach dem Satz von HahnâBanach ein yâČ â B(X,B0)
âČ
mit yâČ|Cb(X) = xâČ. Nach Satz 19.25 gibt es zu yâČ genau ein λ â ba(X,B0) derart, daĂ furalle f â B(X,B0) gilt: yâČ(f) =
â«Xf dλ. Indem wir λ zerlegen in λ = Reλ + i Imλ und
Reλ = λ1âλ2, Imλ = λ3âλ4 mit λj â„ 0 fur j = 1, . . . , 4 nach Satz 19.8, konnen wir ohneEinschrankung der Allgemeinheit annehmen, daà λ â„ 0 ist. Es genugt also zu zeigen, daĂes zu jedem 0 †λ â ba(X,B0) genau ein ” â rba(X) gibt mit
â«Xf d” =
â«Xf dλ fur alle
f â Cb(X).
19. KLEINER EXKURS IN DIE MASSTHEORIE 167
Sei also 0 †λ â ba(X,B0) beliebig. Wir definieren zunachst Mengenfunktionen ”1, ”2
durch
”1(C) := infλ(D); C â D,D offen fur abgeschlossenes C â X ,
”2(A) := sup”1(C);C â A,C abgeschlossen fur alle A â X .
Wegen λ â„ 0 sind auch die Werte von ”1 und ”2 nicht negativ. Ferner sind die Mengen-funktionen ”1, ”2 isoton, d.h. fur alle B1, B2 im Definitionsbereich von ”j mit B1 â B2
gilt ”j(B1) †”j(B2), j = 1, 2, und es gilt ”2(â ) = 0. Wir zeigen nun(a) Jede abgeschlossene Teilmenge von X ist eine ”2âMenge, also in P(X)”2 .Sei D1 offen und C1 abgeschlossen in X. Dann gilt fur jede offene Obermenge D von
C1 \D1: Es ist C1 â D1 âȘD und daher
”1(C1) †λ(D1 âȘD) †λ(D1) + λ(D) .
Durch Ubergang zum Infimum uber alle offenen Obermengen von C1 \D1 folgt also
(19.16) ”1(C1) †λ(D1) + ”1(C1 \D1) .
Seien nun C,C1 beliebige abgeschlossene Teilmengen von X und sei D1 eine beliebigeoffene Obermenge von C1â©C. Dann ist C1 \D1 eine abgeschlossene Teilmenge von C1 \Cund es folgt mit (19.16):
”1(C1) †λ(D1) + ”2(C1 \ C) .
Durch Ubergang zum Infimum bezuglich aller offenen Obermengen D1 von C â© C1 folgtalso
(19.17) ”1(C1) †”1(C ⩠C1) + ”2(C1 \ C)
fur alle abgeschlossenen Mengen C,C1 â X. Sei nun A â P(X) beliebig. Indem wir in(19.17) das Supremum uber alle abgeschlossenen Teilmengen C1 â A bilden, erhalten wirfur alle abgeschlossenen C â X unter Verwendung der Isotonie von ”2 (wegen C1 \ C âA \ C):
(19.18) ”2(A) †”2(A ⩠C) + ”2(A \ C) .
Sind C1, C2 â X beliebige abgeschlossene Mengen mit C1 â© C2 = â , so gibt es, da Xnormal ist, offene Mengen D1, D2 â X mit Cj â Dj, j = 1, 2, und D1 â©D2 = â . Fur jedeoffene Obermenge D von C1 âȘ C2 folgt dann
λ(D â©D1) + λ(D â©D2) = λ(D â© (D1 âȘD2)) †λ(D)
und hieraus durch Ubergang zum Infimum bezuglich D
(19.19) ”1(C1) + ”1(C2) †”1(C1 âȘ C2) .
Sei nun A â P(X) beliebig und C â X abgeschlossen. Bilden wir in (19.19) das Supremumuber alle abgeschlossenen Mengen C1 â A â© C und C2 â A \ C, so folgt
”2(A ⩠C) + ”2(A \ C) †”2(A) .
Da auch die umgekehrte Ungleichung (19.18) gilt, ist C â P(X)”2 .(b) Sei nun ” := ”2|P(X)”2
. Nach Lemma 19.13 ist P(X)”2 eine Mengenalgebra aufder ” additiv und nach Konstruktion nicht negativ ist. Wir zeigen, daà ” auch regularist. Wegen (a) und der Definition von ”, ”1, ”2 gilt
âC = C â X : ”1(C) = ”2(C) = ”(C) .
Fur beliebige Mengen A â P(X)”2 gilt also
(19.20) ”(A) = supC=CâA
”(C) und ”(X \ A) = supB=BâX\A
”(B) .
168 19. KLEINER EXKURS IN DIE MASSTHEORIE
Es folgt
”(A) = ”(X)â ”(X \ A) = ”(X) + infB=BâX\A
â”(B)
= infB=BâX\A
”(X \B) = infAâD,Doffen
”(D) .
Hieraus erhalt man mit (19.20) die Regularitat von ”.(c) Wegen ” â„ 0 und ”(X) = λ(X) < â ist ” auch beschrankt, also ” â rba(X)
(nach Einschrankung auf B0). Zu zeigen bleibt also nur noch
(19.21) âf â Cb(X) :
â«
X
f d” =
â«
X
f dλ .
Sei also f â Cb(X) beliebig. Da wir f zerlegen konnen in der Form f = f1âf2 + i(f3âf4)mit fj â„ 0 fur j = 1, . . . , 4, genugt es, den Fall f â„ 0 zu betrachten. Wegen der Linearitatdes Integrals konnen wir weiter auch 0 †f †1 auf X annehmen (andernfalls betrachteman statt f die Funkion f/âfâX).
Sei Δ > 0 beliebig. Dann gibt es endlich viele paarweise disjunkte Mengen B1, . . . , Bn âB0 mit X =
ânj=1Bj und diam(f(Bj)) †Δ
1+â”â . (Man vergleiche hierzu die Approximation
im Beweis zu Lemma 19.27.) Wahlen wir beliebige Punkte aj â f(Bj) fur j = 1, . . . , n,
so folgt âf âânj=1 ajÏBj
âX < Δ1+â”â und daher auch
âŁâŁâŁâ«X
(f âân
j=1 ajÏBj
)d”
âŁâŁâŁ < Δ. Es
folgt
(19.22) 0 â€â«
X
f d” â€nâj=1
aj”(Bj) + Δ .
Wegen der Regularitat von ” gibt es abgeschlossene Mengen Cj â Bj und offene MengenDj â Bj mit ”(Dj\Cj) < Δ
2nfur j = 1, . . . , n. DaX normal ist, gibt es paarweise disjunkte
offene Mengen G1, . . . , Gn mit Cj â Gj â Dj fur j = 1, . . . , n. Wegen der Stetigkeit vonf kann G1, . . . , Gn zusatzlich so gewahlt werden, daĂ
suptâGj
|f(t)â aj| < 2Δ
â”â+ 1.
Wir erhalten:
|”(Bj)â ”(Gj)| = |”(Bj \Gj)â ”(Gj \Bj)| †2”(Dj \ Cj) < 2Δ
2n=Δ
n
und daher âŁâŁâŁâŁâŁâ«
X
( nâj=1
ajÏBjâ
nâj=1
ajÏGj
)d”
âŁâŁâŁâŁâŁ â€nâj=1
aj |”(Bj)â ”(Gj)| < Δ .(19.23)
Ferner gilt mit f0 :=ân
j=1 max
0,(aj â 2Δ
â”â+1
)ÏGj
:
(19.24)
âŁâŁâŁâŁâŁâ«
X
nâj=1
ajÏGjd”â
â«
X
f0 d”
âŁâŁâŁâŁâŁ â€2Δ
â”â+ 1â”â < 2Δ
sowie
(19.25) ât â X : 0 †f0(t) †f(t) †1 .
Beachten wir, daà ” und ”1 auf allen abgeschlossenen Teilmengen von X ubereinstimmen,so erhalten wir wegen der Regularitat von ” und nach Definition von ”1 fur j = 1, . . . , n:
”(Gj) = supC=CâGj
”(C) = supC=CâGj
”1(C) †λ(Gj) .
19. KLEINER EXKURS IN DIE MASSTHEORIE 169
Hiermit folgt unter Verwendung von (19.25)â«
X
f0 d” â€â«
X
f0 dλ â€â«
X
f dλ .
Zusammen mit (19.22), (19.23) und (19.24) erhalten wir hierausâ«Xf d” †â«
Xf dλ+ 4Δ.
Da Δ > 0 beliebig war, folgt
(19.26)
â«
X
f d” â€â«
X
f dλ .
Nun hat mit f auch die Funktion 1â f die Eigenschaft
0 †1â f †1 auf X .
Wenden wir also (19.26) auf 1â f an, so folgt
”(X)ââ«
X
f d” =
â«
X
1â f d” â€â«
X
1â f dλ †λ(X)ââ«
X
f dλ .
Wegen ”(X) = λ(X) und (19.26) folgt nunâ«
X
f d” =
â«
X
f dλ
und damit die Behauptung. €
Ist X ein topologischer Raum und bezeichnet B die ÏâAlgebra der Borelmengen, sobezeichnen wir mit rca(X,B) oder kurzer mit rca(X) die Menge aller regularen, abzahlbaradditiven Kâwertigen Mengenfunktionen auf B. Nach Lemma 19.10 ist jedes ” â rca(X)schon beschrankt und von beschrankter Variation. Versehen mit der durch â”â := v(”,X)fur ” â rca(X) definierten Norm ist rca(X) ein normierter Raum.
19.30. Satz (Rieszscher Darstellungssatz). Sei X ein kompakter Hausdorffraum. Fur” â rca(X) definieren wir
xâČ”(f) :=
â«
X
f d” (f â C(X)) .
Dann ist die Abbildung ” 7â xâČ” ein ordnungserhaltender isometrischer Isomorphismusvon (rca(X), v(·, X)) auf C(X)âČ.
Beweis. Die Beweise zu 1.) und 2.) im Beweis zu Satz 19.29 ubertragen sich unmit-telbar auf rca(X). Die durch ” 7â xâČ” definierte Abbildung ist also eine lineare, ordnungs-erhaltende Isometrie von rca(X) nach C(X)âČ.
Zu zeigen ist also nur noch die Surjektivitat. Sei also xâČ â C(X)âČ beliebig. Da wegender Kompaktheit von X die Raume Cb(X) und C(X) ubereinstimmen, ist nach Satz19.29 durch ” 7â xâČ” ein isometrischer, ordnungserhaltender Isomorphismus von rba(X)
auf C(X)âČ gegeben. Es gibt also ein ”xâČ â rba(X) mitâ«X· d”xâČ = xâČ auf C(X). Nach Satz
19.21 gibt es zu ”xâČ genau eine, abzahlbar additive, regulare Erweiterung λxâČ auf die von B0
erzeugte ÏâAlgebra B. Da ”xâČ und λxâČ auf B0 ubereinstimmen, folgtâ«Xf d”xâČ =
â«Xf dλxâČ
fur alle f â T (X,B0). Da beide Integrale auf B(X,B0) stetig fortsetzbar sind, stimmensie auf B(X,B0) uberein und damit nach Lemma 19.27 auch auf C(X) = Cb(X). Damitfolgt xâČ =
â«X· dλxâČ auf C(X). €
170 19. KLEINER EXKURS IN DIE MASSTHEORIE
Ubungsaufgaben zu Kapitel 19.
19.1. Aufgabe. Sei ” eine beschrankte, K-wertige Mengenfunktion auf einer AlgebraÎŁ von Teilmengen einer nicht leeren Menge X. Zeigen Sie, daĂ fur alle f â B(X,ÎŁ) gilt:
âŁâŁâŁâ«
X
f(x) d”(x)âŁâŁâŁ â€
â«
X
|f(x)| dv(”, x) .
19.2. Aufgabe. Sei ÎŁ eine Ï-Algebra auf einer Menge X und ” ein positives MaĂ auf(X,ÎŁ). Zeigen Sie: Ist f eine komplexwertige, integrierbare Funktion auf (X,ÎŁ, ”) mitâ«Ef(t) d”(t) = 0 fur alle E â ÎŁ, dann ist f identisch Null ”-fast uberall.
19.3. Aufgabe. Bekanntlich ist `1(N) isometrisch isomorph zu einem abgeschlossenenTeilraum von (`â(N))âČ. Zeigen Sie:
(a) (`â(N))âČ laĂt sich darstellen als topologisch direkte Summe
(`â(N))âČ = (c0(N))â„ â `1(N).
(b) Jedes ” â ba(N,P(N)) laĂt sich eindeutig zerlegen in der Form ” = ”0 + ”1 mit
”0 â sba(N,P(N)) := Îœ â ba(N,P(N)) | v(n) = 0 ân â Nund ”1 â ca(N,P(N)). Die Abbildung
sba(N,P(N))Ă ca(N,P(N)) ââ ba(N,P(N)), (”0, ”1) 7â ”0 + ”1
ist ein topologischer Isomorphismus. Fur alle A â N ist v(”1, A) =â
kâA |”(k)|.
KAPITEL 20
Vektorwertige Funktionen
In diesem Kapitel soll eine Einfuhrung in die Theorie vektorwertiger holomorpherFunktionen gegeben werden. Fur die vektorwertige Fassung des Integralsatzes und derIntegralformel von Cauchy benotigen wir ein Integral fur vektorwertige stetige Funktionen.Fur unsere Zwecke ist der folgende Satz ausreichend.
20.1. Satz. Sei (E, Ï) ein lokalkonvexer Hausdorffraum, K ein kompakter topologi-scher Hausdorffraum und sei f : K â E eine stetige E-wertige Funktion, fur die dieabgeschlossene, absolutkonvexe Hulle H := absconv(f(K)) des Wertebereichs wieder kom-pakt ist. Dann gibt es zu jedem ” â rca(X) genau ein I”(f) â E mit
(20.1) âxâČ â E âČ : xâČ(I”(f)) =
â«
K
xâČ(f(t)) d”(t) .
Wir schreiben daher I”(f) =â«Kf d”. Es gilt
(20.2)
â«
K
f d” â v(”,K) · absconv(f(K)).
Beweis. Die Eindeutigkeitsaussage folgt aus dem Satz von Hahn-Banach. Die Abbil-dung uâČâČ : xâČ 7â â«
KxâČ(f(t))d”(t) ist offensichtlich linear. Da f(K) kompakt und damit
auch beschrankt in (E, Ï) ist, folgt wegen
|uâČâČ(xâČ)| =âŁâŁâŁâ«
K
xâČ(f(t)) d”(t)âŁâŁâŁ †v(”,K) · sup
xâf(K)
|xâČ(x)|
die Stetigkeit von uâČâČ auf E âČb. Hieraus folgt insbesondere
uâČâČ â v(”,K) · (f(K)) = v(”,K) · absconv(J(f(K))
)Ï(EâČâČ,EâČ),
wobei J : E â E âČâČ mit J(x)(xâČ) := xâČ(x) fur alle x â E, xâČ â E âČ der kanonische Mo-nomorphismus sei. Da J : (E, Ï) â (E âČâČ, Ï(E âČâČ, E âČ)) stetig ist, und die abgeschlossene,
absolutkonvexe Hulle H = absconv(f(K)) von f(K) Ï -kompakt ist, ist auch J(H) kom-pakt in (E âČâČ, Ï(E âČâČ, E âČ) und somit auch Ï(E âČâČ, E âČ)-abgeschlossen und absolutkonvex. Damitfolgt
(20.3) uâČâČ â v(”,K) · J(H).
Insbesondere gibt es genau ein I”(f) â E mit J(I”(f)) = uâČâČ. Dieses Element I”(f) erfulltsomit (20.1). Wegen (20.3) gilt auch (20.2). €
20.2. Bemerkung. Ist in der Situation von Satz 20.1 das Maà ” ein Wahrscheinlich-keitsmaà (d.h. ” ℠0 und ”(K) = 1), so gilt schon
â«
K
f d” â conv(f(K)
).
Zum Beweis sei auf [21], Theorem 3.27, verwiesen.
171
172 20. VEKTORWERTIGE FUNKTIONEN
20.3. Bemerkung. Ist (E, Ï) ein vollstandiger metrisierbarer lokalkonvexer Raum,so ist in ihm die abgeschlossene konvexe (bzw. abgeschlossene absolutkonvexe) Hulle vonkompakten Mengen wieder kompakt. Siehe Aufgabe 16.6 und Satz 16.26. Satz 16.26 laĂtsich analog auch fur absolutkonvexe Hullen prakompakter Mengen zeigen. Insbesondere istin diesem Fall die Voraussetzung der Kompaktheit von H = absconv(f(K)) in Satz 20.1automatisch erfullt.
20.4. Bemerkung. Ist in der Situation von Satz 20.1 (E, Ï) = (F âČ, Ï(F âČ, F )) fureinen Banachraum (F, â · â) so ist ebenfalls die Voraussetzung der Kompaktheit von H =
absconv(f(K)) in Satz 20.1 automatisch erfullt. Damit kann Satz 20.1 auf schwach-âstetige Funktionen mit Werten in dualen Banachraumen angewendet werden.
Dies folgt mit Aufgabe 20.1.
20.5. Bemerkung. Ohne Beweis vermerken wir, daĂ in Banachraumen (E, â · â)die schwach-abgeschlossene absolutkonvexe Hulle von schwach-kompakten Mengen wie-der schwach-kompakt ist. Damit kann Satz 20.1 auch zur Integration schwach-stetigerFunktionen verwendet werden. Den Beweis dieses Satzes von Krein und Smulian findetman in [8].
Der Begriff der holomorphen Funktionen laĂt sich auf verschiedene Art und Weise aufden Fall vektorwertiger Funktionen ubertragen. Wir beschranken uns dabei auf den fur unsausreichenden Fall holomorpher Funktionen mit Werten in einem komplexen Banachraum.Falls nicht anders vermerkt sei also im folgenden E stets ein Banachraum uber C versehenmit seiner Norm â · â.
20.6. Definition. Sei (E, â · â) ein Banachraum uber C und sei Ω â C offen. EineFunktion f : Ω â E heiĂt auf Ω
âą schwach holomorph, falls fur alle xâČ â E âČ die C-wertige Funktion xâČ f : Ω â C,z 7â xâČ(f(z)), auf Ω holomorph im klassischen Sinn ist.
âą stark holomorph, falls f auf Ω komplex differenzierbar ist, d.h. falls fur alle w â Ωder Grenzwert
f âČ(w) :=df
dz(w) := lim
zâw
1
z â w(f(z)â f(w))
in (E, â · â) existiert.
Es stellt sich heraus, daĂ diese beiden Begriffe ubereinstimmen.
20.7. Satz. Sei Ω â C offen und sei (E, â · â) ein Banachraum. Fur eine Funktionf : Ω â E sind die folgenden Aussagen aquivalent:
(a) f ist auf Ω schwach holomorph.(b) f ist stetig und es gilt die Cauchysche Integralformel: Fur jedes in Ω nullhomolo-
ge1 System Î von endlich vielen stuckweise stetig differenzierbaren, geschlossenenKurven in Ω und alle z â Ω \ Spur(Î) gilt
n(Î, z)f(z) =1
2Ïi
â«
Î
1
ζ â zf(ζ) dζ .
(c) f ist stetig und es gilt der Cauchysche Integralsatz: Fur jedes in Ω nullhomolo-ge System Î von endlich vielen stuckweise stetig differenzierbaren, geschlossenenKurven in Ω gilt â«
Î
f(z) dz = 0.
1Zur Erinnerung: Eine System Î von endlich vielen geschlossenen Kurven in Ω heiĂt in Ω nullhomolog,falls fur alle w â C \ Ω die Windungszahl n(Î, w) von Î bezuglich w verschwindet.
20. VEKTORWERTIGE FUNKTIONEN 173
(d) f ist auf Ω stark holomorph.
Beweis. (a)=â(b): Sei also f auf Ω schwach holomorph. Dann gilt fur alle xâČ â E âČ
und alle nullhomologen, geschlossenen Kurvensysteme wie in (b):
n(Î, z)f(z) =1
2Ïi
â«
Î
xâČ(f(ζ))
ζ â zdζ
(vergl. Satz 5.10 in [1]). Nach Definition des Integrals fur stetige Funktionen, genugt esalso die Stetigkeit von f zu zeigen.
Sei also w â Ω beliebig. Dann gibt es ein r > 0 mit
D2r := z â C ; |z â w| †2r â Ω .
Sei xâČ â E âČ beliebig. Mit der Cauchyschen Integralformel angewendet auf die holomorpheC-wertige Funktion xâČ f folgt fur alle z â C mit 0 < |z â w| < 2r:
(20.4)
xâČ(f(z)â f(w))
z â w=
1
2Ïi
â«
â+D2r
1
z â w
(xâČ(f(ζ))
ζ â zâ xâČ(f(ζ))
ζ â w
)dζ
=1
2Ïi
â«
â+D2r
xâČ(f(ζ))
(ζ â z)(ζ â w)dζ .
Es folgt also fur alle xâČ â E âČ und alle z mit 0 < |z â w| †r:
âŁâŁâŁxâČ( 1
z â w(f(z)â f(w))
)âŁâŁâŁ †1
rmaxζââD2r
|xâČ(f(ζ))| .
Die Menge 1
z â w(f(z)â f(w)) ; 0 < |z â w| †r
ist also schwach und damit nach dem Satz 16.20 von Mackey auch normbeschrankt. Esgibt daher ein M > 0 mit âf(z)âf(w)â †|zâw|M fur alle z â C mit 0 < |zâw| †r. Istnun Δ > 0 beliebig, so gilt âf(z)âf(w)â < Δ fur alle z â Cmit |zâw| < ÎŽ := minr, Δ/M.Die Funktion f ist somit in allen Punkten w â Ω stetig.
(b)=â(c) zeigt man wie im skalarwertigen Fall (vergl. Folgerung 5.12 und den zu-gehorigen Beweis in [1]).
(c)=â(a): Ist (c) erfullt, so gilt fur alle xâČ â E âČ und alle achsenparallelen abgeschlos-senen Rechtecke R â Ω: â«
â+R
xâČ(f(z)) dz = 0.
Nach dem Satz von Morera (siehe z.B. Satz 3.4 in [1]) ist also xâČ f fur alle xâČ â E âČ aufΩ holomorph, d.h. f ist auf Ω schwach holomorph.
(d)=â(a) ist offensichtlich.(b)=â(d): Sei nun (b) erfullt und sei w â Ω beliebig. Sei wieder r > 0 mit D2r :=
z â C ; |z â w| †2r â Ω. Wir vermuten aufgrund der skalaren Theorie, daĂ
η :=1
2Ïi
â«
â+D2r
1
(ζ â w)2f(ζ) fζ
174 20. VEKTORWERTIGE FUNKTIONEN
die Ableitung von f in w ist. Unter Verwendung der nach Voraussetzung gultigen Cauchy-schen Integralformel gilt (wie in (20.4)) fur alle z â C mit 0 < |z â w| †r fur z â w:
â„â„â„ 1
z â w(f(z)â f(w))â η
â„â„â„ =1
2Ï
â„â„â„â«
â+D2r
( 1
(ζ â z)(ζ â w)â 1
(ζ â w)2
)f(ζ) dζ
â„â„â„
=|z â w|
2Ï
â„â„â„â«
â+D2r
1
(ζ â z)(ζ â w)2f(ζ) dζ
â„â„â„
†|z â w|2r2
maxζââD2r
âf(ζ)â â 0 .
Hierbei wurde die Abschatzung aus Aufgabe 20.3 verwendet. Also ist f in w komplexdifferenzierbar mit f âČ(w) = η. €
Mit Hilfe dieses Satzes konnen wir eine ganze Reihe von fur komplexwertige holomor-phe Funktionen bekannten Resultaten auf den Fall vektorwertiger Funktionen ubertragen.
Statt von stark- oder schwachholomorphen Funktionen sprechen wir wegen Satz 20.7nur noch von holomorphen Funktionen. Mit O(Ω, E) bezeichnen wir die Menge aller aufeiner offenen Menge Ω â C holomorphen Funktionen mit Werten in einem komplexenBanachraum (E, â · â). Mit den punktweisen Operationen der Addition und der Multi-plikation mit Skalaren ist dies ein Vektorraum. Wie im skalaren Fall rechnet man nach,daĂ O(Ω, E) dann ein bezuglich der Topologie der gleichmaĂigen Konvergenz auf allenkompakten Teilmengen von Ω abgeschlossener Untervektorraum des Raums aller stetigenE-wertigen Funktionen ist. Insbesondere ist O(Ω, E), versehen mit dieser Topologie einvollstandiger metrisierbarer lokalkonvexer Raum.
Die folgende vektorwertige Fassung des Satzes von Liouville ist uns bereits im Beweiszu Satz 7.9 begegnet:
20.8. Satz (von Liouville). Ist f : Câ E eine beschrankte holomorphe Funktion aufC mit Werten in einem Banachraum (E, â · â), so ist f schon konstant.
Beweis. Sei xâČ â E âČ beliebig. Dann ist die komplexwertige Funktion
z 7â xâČ(f(z)â f(0))
auf C holomorph und beschrankt und verschwindet in 0. Nach der klassischen Fassungdes Satzes von Liouville ist sie also identisch verschwindend. Damit folgt fur alle z â Ωund alle xâČ â E âČ: xâČ(f(z)â f(0)) = 0. Da E âČ die Punkte von E trennt, folgt f(z) = f(0)fur alle z â E. €
Die folgende Aussage rechnet man unmittelbar nach:
20.9. Lemma (Produktregel). Seien (Ej, â · âj), j = 1, 2, 3 drei Banachraume, Ω âC offen sowie f â O(Ω, E1), Fj â O(Ω,L(Ej, Ej+1)), j = 1, 2. Dann gilt F2F1 âO(Ω,L(E1, E3)) und F1f â O(Ω, E2), wobei die hierbei auftretenden Funktionen F2F1
und F1f definiert sind durch (F2F1)(z) := F2(z) F1(z) und (F1f)(z) := F1(z)(f(z)) furalle z â Ω.
20.10. Satz (Identitatssatz). Sei G â C ein Gebiet und sei f â O(G,E), (E, â ·â) einBanachraum uber C. Sei A eine Teilmenge von G, die wenigstens einen Haufungspunktz0 â G in G besitzt, und gelte f(z) = 0 fur alle z â A. Dann ist schon f ⥠0 auf ganz G.
Beweis. Nach der klassischen Fassung des Identitatssatzes gilt xâČ f ⥠0 auf G furalle xâČ â E âČ. Da E âČ die Punkte von E trennt folgt f ⥠0 auf G. €
20.11. Folgerung. Sei G ein Gebiet in C, (E, â · â) ein komplexer Banachraum undF ein abgeschlossener Unterraum von E. Sei A â G eine Teilmenge von G mit wenigstenseinem Haufungspunkt in G. Ist f â O(G,E) mit f(A) â F , so gilt schon f(G) â F .
20. VEKTORWERTIGE FUNKTIONEN 175
Beweis. Bezeichnet Ï : E â E/F den kanonischen Epimorphismus, so ist Ï f âO(G,E/F ) nach Lemma 20.9. Wegen (Ïf)(A) = 0 folgt nach dem Identitatssatz 20.10schon Ï f ⥠0, d.h. f(z) â F fur alle z â G. €
20.12. Satz (Maximumprinzip). Sei Ω â C eine beschrankte und offene Menge undsei f â O(Ω, E) â© C(Ω, E), (E, â · â) ein Banachraum. Dann gilt
âfâΩ := supzâΩ
âf(z)â = âfââΩ = supzââΩ
âf(z)â .
Beweis. Annahme: Es gibt ein w â Ω mit âf(w)â > âfââΩ. Nach Hahn-Banach gibtes ein xâČ â E âČ mit âxâČâ = 1 und mit
xâČ(f(w)) = âf(w)â > supzââΩ
âf(z)â â„ supzââΩ
|xâČ(f(z))|
im Widerspruch zum klassischen Maximumprinzip. €
Fur Abschatzungszwecke benotigen wir noch folgende Hilfsaussage:
20.13. Lemma. Sei K ein kompakter Hausdorffraum, ” â rca(K) und f â C(K,E).Dann gilt â„â„â„
â«
K
f d”â„â„â„ â€
â«
K
âf(t)â dv(”, t) †âfâKv(”,K).
Beweis. Zu I”(f) :=â«Kf d” gibt es nach Hahn-Banach ein xâČ â E âČ mit âxâČâ = 1 und
mit âI”(f)â = |xâČ(I”(f))|. Nach Aufgabe 19.1 folgt
âI”(f)â = |xâČ(I”(f))| =âŁâŁâŁâ«
K
xâČ(f(t)) d”(t)âŁâŁâŁ â€
â«
K
|xâČ(f(t))| dv(”, t)
â€â«
K
âf(t)â dv(”, t) †âfâKv(”,K).
€
20.14. Definition. Sei Ω â C offen und beschrankt und bezeichne λ das ebeneLebesguemaĂ.
A2(Ω, E) := f â O(Ω, E) ; âf(·)â â L2(Ω, λ).Fur f â A2(Ω, E) definieren wir
âfâ2 :=( â«
Ω
âf(z)â2 dλ(z)) 1
2.
Man rechnet leicht nach, daĂ hierdurch eine Norm auf A2(Ω, E) gegeben ist.Ist speziell E ein Hilbertraum bezuglich eines Skalarproduktes ă·, ·ăE, so ist durch
ăf, gă :=
â«
Ω
ăf(z), g(z)ăE dλ(z) (f, g â A2(Ω, E))
ein Skalarprodukt auf A2(Ω, E) gegeben.
20.15. Satz. Sei Ω â C offen und beschrankt. (A2(Ω, E), â · â2) ist ein Banachraumund die kanonische Inklusion A2(Ω, E) â O(Ω, E) ist stetig. Insbesondere ist A2(Ω, E)ein Hilbertraum, falls E ein Hilbertraum ist.
Beweis. Sei w0 â Ω beliebig und sei r > 0 beliebig mit
Kr(w0) := z â C ; |z â w0| †r â Ω.
176 20. VEKTORWERTIGE FUNKTIONEN
Dann gibt es r1 > 0, r2 > 0 mit r < r1 < r2 und Kr2(w0) â Ω. Sei 0 â€ Ï â Câ((0,â))mit suppÏ â [r1, r2] und
â« r2r1Ï(Ï)dÏ = 1. Nach der Cauchyschen Integralformel gilt fur
alle w â Kr(w0), Ï â [r1, r2]:
f(w) =1
2Ïi
â«
â+KÏ(w0)
1
ζ â wf(ζ) dζ =
1
2Ï
â« 2Ï
0
ÏeiΞ
w0 + ÏeiΞ â wf(w0 + ÏeiΞ) dΞ
also auch
f(w) =1
2Ï
â« r2
r1
â« 2Ï
0
Ï(Ï)eiΞ
w0 + ÏeiΞ â wf(w0 + ÏeiΞ) dÎžÏ dÏ .
Mit Lemma 20.13 folgt
âf(w)â †1
2Ï
â«
Kr2(w0)\Kr1 (w0)
âŁâŁâŁÏ(|ζ â w0|)ζ â w
âŁâŁâŁâf(ζ)âdλ(ζ) .
Wenden wir hierauf die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung an, so erhalten wir
supwâKr(w0)
âf(w)â †âÏâ[r1,r2]
r1 â rλ(Kr2(w0) \Kr1(w0))
12âfâ2 .
Ist also (fn)ân=1 eine Cauchyfolge in A2(Ω, E), so ist (fn)
ân=1 auf jeder kompakten Kreis-
scheibe in Ω eine gleichmaĂige Cauchyfolge und somit konvergent in O(Ω, E) bezuglichder Topologie der gleichmaĂigen Konvergenz auf allen kompakten Teilmengen von Ω gegeneine Funktion f â O(Ω, E). Wegen
â«
Ω
|âfn(z)â â âfm(z)â|2 dλ(z) â€â«
Ω
âfn(z)â fm(z)â2 dλ(z)
ist auch (âfn(·)â)ân=1 eine Cauchyfolge in L2(Ω,R) und damit konvergent im L2-Sinn gegeneine Funktion h â L2(Ω,R) Wegen der kompakt gleichmaĂigen Konvergenz âfn(·)â ââf(·)â folgt âf(z)â = h(z) λ-fast uberall und somit f â A2(Ω, E). Zu zeigen ist nochâf â fnâ2 â 0 fur nââ. Sei also Δ > 0 beliebig. Wegen âf(·)â â L2(Ω,R) gibt es einekompakte Teilmenge K von Ω, so daĂ
(20.5)( â«
Ω
ÏΩ\K(z)2âf(z)â2 dλ(z)) 1
2<Δ
4.
Mit âfn(·)â â âf(·)â in L2(Ω,R) gilt auch ÏΩ\Kâfn(·)â â ÏΩ\Kâf(·)â in L2(Ω,R).Insbesondere gibt es ein n1 â N mit
(20.6) ân â„ n1 :( â«
Ω
ÏΩ\K(z)2âfn(z)â2 dλ(z)) 1
2<Δ
2.
SchlieĂlich gibt es wegen der gleichmaĂigen Konvergenz der Folge (fn)ân=1 gegen f auf K
ein n2 â N mit
(20.7) ân â„ n2 :( â«
Ω
Ïk(z)2âfn(z)â f(z)â2
) 12<Δ
4.
Unter Verwendung von (20.5)-(20.7) folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung
ân â„ maxn1, n2 : âfn â fâ2 < Δ ,
d.h. fn â f in (A2(Ω, E), â · â). €
Fur einen stetigen linearen Operator T auf einem komplexen Banachraum (E, â · â)definieren wir fur offene Mengen Ω â C die Abbildung
αT = αΩT : O(Ω, E) â O(Ω, E)
20. VEKTORWERTIGE FUNKTIONEN 177
durch (αTf)(z) := (z â T )f(z) fur alle f â O(Ω, E), z â Ω. Man rechnet unmittelbarnach, daà αT stetig ist. Fur beschrankte, offene Mengen Ω â C bildet αT auch den RaumA2(Ω, E) stetig in sich ab. Im folgenden Kapitel benotigen wir:
20.16. Lemma. Sei T â L(E) und sei Ω â C offen mit Ï(T,E) â Ω. Dann gilt:
(a) αT : O(Ω, E) â O(Ω, E) ist injektiv mit abgeschlossenem Bild.(b) Ist Ω beschrankt, so ist auch αT : A2(Ω, E) â A2(Ω, E) injektiv mit abgeschlos-
senem Bild.
Beweis. In beiden Fallen genugt es zu zeigen: Jede Folge (fn)ân=1 fur die (αTfn)
ân=1
eine Nullfolge in O(Ω, E) bzw. in A2(Ω,W ) ist, ist schon selbst eine Nullfolge in O(Ω, E)bzw. in A2(Ω,W ).
Zu (a) Sei αTfn konvergent gegen 0 in O(Ω, E) also gleichmaĂig auf allen kompaktenTeilmengen von Ω und sei K eine beliebige kompakte Teilmenge von Ω. Dann gibt es einekompakte Menge H â Ω mit K âȘ Ï(T,Ω) â intH. Nach dem Maximumprinzip gilt:
supzâH
âfn(z)â †supzââH
âfn(z)â †supzââH
â(z â T )â1â · â(z â T )fn(z)â
†supzââH
â(z â T )â1â · supzâH
â(z â T )fn(z)â â 0
fur n â â, da αTfn â 0 gleichmaĂig auf H und da wegen der Stetigkeit der Resolven-tenfunktion diese auf der kompakten Menge âH â Ï(T,E) beschrankt ist. Also ist fn â 0gleichmaĂig auf H und damit auch auf K fur nââ.
Zu (b) Sei nun Ω beschrankt und sei αTfn â 0 in A2(Ω, E) fur n â â. Wegen derStetigkeit der kanonischen Einbettung von A2(Ω, E) in O(Ω, E) und (a) folgt dann furnââ die gleichmaĂige Konvergenz von fn gegen 0 auf allen kompakten Teilmengen vonΩ. Sei nun U eine offene Menge mit Ï(T,E) â U â U â Ω. Dann ist Ω\U eine kompakteTeilmenge der Resolventenmenge Ï(T,E), auf der die Resolventenfunktion (zâT )â1 wegenihrer Stetigkeit beschrankt ist. Es folgt mit W := Ω \ U :
âfnâ2 â€( â«
W
âfn(z)â2dλ(z)) 1
2+
( â«
U
âfn(z)â2dλ(z)) 1
2
â€( â«
W
â(z â T )â1â2 · â(z â T )fn(z)â2dλ(z)) 1
2+ λ(U)
12 supzâU
âfn(z)â
†supzâΩ\U
â(z â T )â1â · âαTfnâ2 + λ(U)12 supzâU
âfn(z)â â 0
fur nââ. €
Ubungsaufgaben zu Kapitel 20.
20.1. Aufgabe. Ist (F, â·â) ein Banachraum undK â F âČ kompakt bezuglich Ï(F âČ, F ),so ist auch die Ï(F âČ, F )-abgeschlossene absolutkonvexe Hulle von K wieder Ï(F âČ, F )-kompakt.
20.2. Aufgabe. Seien (E, Ï), K und f : K â E wie in Satz 20.1 und sei T :(E, Ï) â (F, ÏF ) eine stetige, lineare Abbildung von (E, Ï) in einen weiteren lokalkonvexenHausdorffraum (F, ÏF ). Zeigen Sie, daĂ dann das Integral
â«KT (f(t)) d”(t) existiert und
daĂ gilt: â«
K
T (f(t)) d”(t) = T( â«
K
f d”).
178 20. VEKTORWERTIGE FUNKTIONEN
20.3. Aufgabe. Sei Ω â C offen und sei Î ein System von endlich vielen stuckweiseglatten Kurven. Zeigen Sie: Ist f eine auf Spur(Î) stetige Funktion mit Werten in einemBanachraum (E, â · â), so gilt
â„â„â„â«
Î
f(z) dzâ„â„℠†L(Î) max
zâSpur(Î)âf(z)â.
Hierbei bezeichne L(Î) die Lange des Kurvensystems Î.
20.4. Aufgabe. Sei Ω â C offen. Zeigen Sie:
(a) Eine Funktion f : Ω â E mit Werten in einem Banachraum (E, â · â) ist genaudann auf Ω holomorph, wenn fur jedes z â Ω die Funktion f auf einer KreisscheibeD â Ω mit Mittelpunkt z und mit positivem Radius durch eine in allen Punktenaus D in (E, â · â) konvergente Potenzreihe mit Koeffizienten in E dargestelltwerden kann.
(b) Fur jedes z â Ω ist die Potenzreihe aus (a) sogar gleichmaĂig auf jeder kom-pakten Teilmenge der groĂten in Ω enthaltenen Kreisscheibe mit Mittelpunkt zkonvergent.
KAPITEL 21
Der analytische Funktionalkalkul
Ist Ω â C offen und K eine kompakte Teilmenge von Ω, so wollen wir im folgen-den unter einem K umlaufenden und in Ω verlaufenden Kurvensystem Î ein System vonendlich vielen stuckweise stetig differenzierbaren (oder allgemeiner rektifizierbaren), ge-schlossenen Kurven verstehen, welches in Ω nullhomolog ist und n(Î, z) = 1 fur alle z â Kerfullt.
In diesem Kapitel sei (E, â·â) stets ein Banachraum uber C und T â L(E) ein stetigerlinearer Operator auf E. Ist Ω â C eine offene Menge, die das Spektrum
Ï(T,E) = z â C ; z â T ist nicht bijektiv = ÏL(E)(T )
von T bezuglich E als Teilmenge enthalt, und ist Î ein Ï(T,E) umlaufendes und inΩ verlaufendes Kurvensystem, so definieren wir (angeregt durch die Integralformel vonCauchy) lineare Abbildungen
ΊΩT : O(Ω) â L(E) , ΚΩ
t : O(Ω, E) â E
durch
ΊΩT (f) :=
1
2Ïi
â«
Î
f(z)(z â T )â1 dz (f â O(Ω)) ,
ΚΩT (F ) :=
1
2Ïi
â«
Î
(z â T )â1F (z) dz (F â O(Ω, E)) .
Wir nennen ΊΩT bzw. ΚΩ
T den analytischen Funktionalkalkul fur skalarwertige bzw. E-wertige holomorphe Funktionen.
21.1. Lemma. Die Abbildungen ΊΩT , ΚΩ
T sind wohldefiniert, also unabhangig von derspeziellen Wahl des Kurvensystems Î mit den obigen Eigenschaften.
Beweis. Seien also Î1 und Î2 zwei in Ω verlaufende und Ï(T,E) umlaufende Kur-vensysteme. Dann ist das Kurvensystem Î1âÎ2 nullhomolog in Ω \Ï(T,E) und mit demCauchyschen Integralsatz folgt
0 =1
2Ïi
â«
Î1âÎ2
f(z)(z â T )â1 dz =1
2Ïi
â«
Î1
f(z)(z â T )â1 dz â 1
2Ïi
â«
Î2
f(z)(z â T )â1 dz .
Ebenso folgt die Wohldefiniertheit von ΚΩT . €
Die Werte ΊΩT (f), ΚΩ
T (F ) hangen sogar nur von dem Verhalten von f, F in einerUmgebung von Ï(T,E) also nur vom Keim von f, F auf Ï(T,E) ab:
21.2. Folgerung. Seien Ω1,Ω2 â C offen mit Ï(T,E) â Ω1 ⩠Ω2. Sind fj â O(Ωj)und Fj â O(Ωj, E), j = 1, 2, holomorphe Funktionen mit f1 ⥠f2, F1 ⥠F2 auf eineroffenen Menge Ω mit Ï(T,E) â Ω â Ω1 ⩠Ω2. Dann gilt:
ΊΩ1T (f1) = ΊΩ2
T (f2) und ΚΩ1T (F1) = ΚΩ2
T (F2) .
Beweis. Sei Î ein Ï(T,E) umlaufendes und in Ω (also auch in Ω1 und in Ω2) verlau-fendes Kurvensystem. Nach Lemma 21.1 gilt
ΊΩ1T (f) =
1
2Ïi
â«
Î
f(z)(z â T )â1 dz = ΊΩ2T (f)
179
180 21. DER ANALYTISCHE FUNKTIONALKALKUL
und
ΚΩ1T (F ) =
1
2Ïi
â«
Î
(z â T )â1F (z) dz = ΚΩ2T (F )
und damit die Behauptung. €
21.3. Satz. Sei T â L(E) und sei Ω â C offen mit Ï(T,E) â Ω. Die AbbildungenΊΩT : O(Ω) â L(E) und ΚΩ
T : O(Ω, E) â E sind stetig und linear und haben folgendeEigenschaften:
(a) Fur alle Polynome p â C[Z] gilt
ΊΩT (p) = p(T ).
(b) Fur alle f â O(Ω), F â O(Ω, E) gilt
ΚΩT (fF ) = ΊΩ
T (f)ΚΩT (F ).
(c) Fur alle f â O(Ω), x â E sei f â x : Ω â E die Funktion z 7â f(z)x. Mit dieserBezeichnung gilt:
ΚΩT (f â x) = ΊΩ
T (f)x.
(d) ΊΩT : O(Ω) â L(E) ist ein Algebrenhomomorphismus.
(e) Ist auch (E1, â · â1) ein Banachraum und sind A â L(E,E1), S â L(E1) stetigelineare Operatoren mit Ï(S,E1) âȘ Ï(T,E) â Ω und SA = AT , so gilt fur allef â O(Ω), F â O(Ω, E):
AΊΩT (f) = ΊΩ
S (f)A und AΚΩT (F ) = ΚΩ
S (A F ).
Insbesondere folgt (mit speziell S = T ), daà ΊΩT seine Werte im Bikommutanten
von T annimmt.
Beweis. Die Linearitat ergibt sich aus der Linearitat des Integrals. Die Stetigkeitfolgt unter Verwendung von Aufgabe 20.3 mit den nahe liegenden Abschatzungen
âΊΩT (f)â †L(Î) · sup
zâSpur(Î)
â(z â T )â1â · âfâSpur(Î)
und
âΚΩT (F )â †L(Î) · sup
zâSpur(Î)
â(z â T )â1â · âFâSpur(Î) .
Zu (a): Fur alle n â N0 gilt (mit Zn(z) := zn fur alle z â C) wegen Folgerung 21.2:
ΊΩT (Zn) = ΊCT (Zn) =
1
2Ïi
â«
â+UâTâ+1(0)
zn(z â T )â1 dz =1
2Ïi
â«
â+UâTâ+1(0)
ââ
k=0
znâkâ1T k dz ,
wobei die Reihe unter dem Integral auf der Kreislinie âUâTâ+1(0) gleichmaĂig konvergiert.Wir konnen daher Integration und Summation vertauschen und erhalten
ΊΩT (Zn) =
ââ
k=0
1
2Ïi
â«
â+UâTâ+1(0)
znâkâ1T k dz = T n.
Wegen der Linearitat von ΊΩT folgt (a).
Zu (b): Sei U â C offen und beschrankt mit Ï(T,E) â U â U â Ω, sei Î1 ein in U unddamit auch in Ω verlaufendes das Spektrum von T umlaufendes Kurvensystem und sei Î2
ein die kompakte Menge U und damit auch Ï(T,E) umlaufendes und in Ω verlaufendes
21. DER ANALYTISCHE FUNKTIONALKALKUL 181
Kurvensystem. Nach Definition von ΊΩT und ΚΩ
T gilt fur alle f â O(Ω), F â O(Ω, E) unterVerwendung der ersten Resolventengleichung:
ΊΩT (f)ΚΩ
T (F ) =1
(2Ïi)2
â«
Î2
f(z)(z â T )â1 dz
â«
Î1
(w â T )â1F (w) dw
=1
(2Ïi)2
â«
Î2
â«
Î1
(z â T )â1(w â T )â1f(z)F (w) dw dz
=1
(2Ïi)2
â«
Î2
â«
Î1
((z â T )â1 f(z)
w â zF (z)â f(z)
w â z(w â T )â1F (w)
)dw dz
=1
2Ïi
â«
Î2
(z â T )â1f(z)( 1
2Ïi
â«
Î1
1
w â zF (w) dw
)dz
â 1
(2Ïi)2
â«
Î1
( â«
Î2
f(z)
w â zdz
)(w â T )â1F (w) dw ,
wobei wir im letzten Term die Reihenfolge der Integration vertauscht haben. Nach demCauchyschen Integralsatz verschwindet das innere Integral dieses Ausdrucks. Fur das in-nere Integral des ersten Terms nach dem letzten Gleichheitszeichen erhalt man nach derCauschyschen Integralformel den Wert F (z). Es folgt also
ΊΩT (f)ΚΩ
T (F ) =1
2Ïi
â«
Î2
(z â T )â1f(z)F (z) dz â 0 = ΚΩT (fF )
und damit die Behauptung in (b).Zu (c): Dies folgt unmittelbar wegen
ΚΩT (f â x) =
1
2Ïi
â«
Î
(z â T )â1f(z)x dz =1
2Ïi
â«
Î
(z â T )â1f(z) dz x = ΊΩT (f)x .
Zu (d): Fur alle f, g â O(Ω) und alle x â E gilt nach (b) und (c):
ΊΩT (fg)x = ΚΩ
T ((fg)â x) = ΚΩT (f(g â x)) = ΊΩ
T (f)ΚΩT (g â x) = ΊΩ
T (f)ΊΩT (g)x .
Zu (e): Sei Î ein Ï(T,E)âȘÏ(S,E1) umlaufendes und in Ω verlaufendes Kurvensystem.Fur alle z â Spur(Î) folgt A(z â T ) = (z â S)A und daher
AΊΩT (f) =A
( 1
2Ïi
â«
Î
f(z)(z â T )â1 dz)
=1
2Ïi
â«
Î
f(z)A(z â T )â1 dz
=1
2Ïi
â«
Î
f(z)(z â T )â1Adz =( 1
2Ïi
â«
Î
f(z)(z â T )â1 dz)A = ΊΩ
T (f)A.
Die Aussage fur ΚΩT zeigt man analog. €
21.4. Satz. Sei T â L(E) und Ω â C offen mit Ï(T,E) â Ω. Dann ist die Sequenz
0 ââ O(Ω, E)αTââ O(Ω, E)
ΚΩTââ E ââ 0
exakt. Hierbei sei αT : O(Ω, E) â O(Ω, E) wieder definiert durch (αT (F )) := (zâT )F (z)fur alle F â O(Ω, E).
Beweis. Nach Lemma 20.16 (a) ist αT injektiv mit abgeschlossenem Bild und wegen
ΚΩT (1â x) = ΊΩ
T (1)x = x fur alle x â Eist ΚΩ
T surjektiv. Ferner gilt fur alle F â O(Ω, E) nach dem Integralsatz von Cauchy:
ΚΩT (αTF ) =
1
2Ïi
â«
Î
(z â T )â1 ((z â T )F (z)) dz =1
2Ïi
â«
Î
F (z) dz = 0 ,
da Î in Ω nullhomolog ist. Dies zeigt ranαT â ker ΚΩT .
182 21. DER ANALYTISCHE FUNKTIONALKALKUL
Fur den Beweis der Exaktheit in der Mitte ist also nur noch ker ΚΩT â ranαT zu zeigen.
Sei also F â ker ΚΩT beliebig, d.h. mit
1
2Ïi
â«
Î
(z â T )â1F (z) dz = 0
fur ein Ï(T,E) umlaufendes und in Ω verlaufendes Kurvensystem Î. Sei nun w â Ωbeliebig. Wegen F â ker ΚΩ
T gilt
F (w) =ΚΩT (1â F (w)) = ΚΩ
T (1â F (w)â F ) =1
2Ïi
â«
Î
(z â T )â1 (F (w)â F (z)) dz
=1
2Ïi
â«
Î
(z â T )â1(w â z)G(w, z) dz
mit
G(w, z) :=
1
wâz (F (w)â F (z)) fur z 6= w, w, z â Ω
F âČ(w) fur z = w â Ω .
Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ist G(w, ·) in w holomorph erganzbar, d.h.G(w, ·) ist eine Funktion aus O(Ω, E), und mit Satz 21.3 folgt fur alle w â Ω:
F (w) = (w â T )ΚΩT (G(w, ·)) .
Zu zeigen ist noch die Holomorphie der Funktion H : w 7â H(w) := ΚΩT (G(w, ·)). Sei
hierzu Î1 ein beliebiges in Ω nullhomologes System von stuckweise stetig differenzierbarengeschlossenen Kurven in Ω. Dann gilt mit (wegen der Stetigkeit des Integranden aufSpurÎ1 Ă SpurÎ erlaubter) Vertauschung der Integrationsreihenfolge:â«
Î1
H(w) dw =
â«
Î1
1
2Ïi
â«
Î
(zâT )â1G(w, z) dz dw =1
2Ïi
â«
Î
(zâT )â1
â«
Î1
G(w, z) dw dz = 0,
denn fur alle z â SpurÎ ist die Funktion G(·, z) ebenfalls auf Ω holomorph. €
Als Folgerung erhalten wir:
21.5. Satz. In der Situation von Satz 21.4 gibt es einen topologischen Isomorphismus
Îș : E ââ E := O(Ω, E)/ranαT ,
so daĂ fur alle f â O(Ω) gilt:
ÎșΊΩT (f) = MfÎș .
Hierbei bezeichne Mf den von dem Operator Mf â L(O(Ω, E)) der Multiplikation mit f
auf E induzierten Operator. Insbesondere gilt auch
ÎșT = MidÎș .
Bezeichnet man fur alle mit T kommutierenden Operatoren A â L(E) mit A den von A
auf E induzierten Operator
F + ranαT 7â AF + ranαT ,
so gilt auch ÎșA = AÎș.
Jeder stetige lineare Operator T auf einem Banachraum E ist also ahnlich zu dem vondem Operator der Multiplikation mit id auf einem Quotienten von O(Ω, E) nach einemabgeschlossenen Unterraum induzierten Operator. Man nennt daher auch den OperatorMid des Satzes ein funktionales Modell fur T .
21. DER ANALYTISCHE FUNKTIONALKALKUL 183
Beweis. Nach Satz 21.4 ist E topologisch isomorph zu E und Îșâ1 : E â E istgegeben durch
Îșâ1(F + ranαT ) = ΚΩT (F ) (F + ranαT â E).
Es folgt mit Satz 21.3 fur alle F + ranαT â E, f â O(Ω):
Îșâ1Mf (F + ranαT ) =Îșâ1(fF + ranαT ) = ΚT (fF ) = ΊΩT (f)ΚΩ
T (F )
=ΊΩT (f)Îșâ1(F + ranαT )
und fur alle A â (T )âČ:
Îșâ1A(F + ranαT ) =Îșâ1(AF + ranαT ) = ΚT (AF ) = AΚT (F ) = AÎșâ1(F + ranαT ) .
Dies zeigt die angegebenen Vertauschungsrelationen. €Wir andern die Konstruktion des funktionalen Modells noch etwas ab, um ganz in der
Kategorie der Banachraume zu bleiben.
21.6. Satz. Sei T â L(E) und Ω â C offen und beschrankt mit Ï(T,E) â Ω. Dannist die Sequenz
0 ââ A2(Ω, E)αTââ A2(Ω, E)
ΚΩTââ E ââ 0
exakt. Fur alle auf Ω beschrankten holomorphen Funktionen f und alle A â (T )âČ gilt
ÎșΊΩT (f) = MfÎș , ÎșT = MidÎș , ÎșA = AÎș ,
wobei die mit Ë versehenen Operatoren wieder die kanonisch auf A2(Ω, E)/αT (A2(Ω, E))induzierten Operatoren seien. Hierbei ist der topologische Isomorphismus
Îș : E â A2(Ω, E)/αT (A2(Ω, E))
gegeben durch
Îșâ1(F + αT (A2(Ω, E))
):= ΚΩ
T (F ) ,(F + αT (A2(Ω, E)) â A2(Ω, E)/αT (A2(Ω, E))
).
Beweis. Nach Lemma 20.16 (b) ist αT : A2(Ω, E) â A2(Ω, E) injektiv und ΚΩT :
A2(Ω, E) â E ist wegen 1âx â A2(Ω, E) und ΚT (1âx) = x fur alle x â E surjektiv. Nachdem Beweis zu Satz 21.4 ist αT (A2(Ω, E)) â ker ΚΩ
T |A2(Ω, E) und ker(ΚΩT |A2(Ω, E)) â
αT (O(Ω, E)) â© A2(Ω, E). Um die Exaktheit in der Mitte zu beweisen, genugt es daherαT (A2(Ω, E)) â αT (O(Ω, E)) â© A2(Ω, E) zu zeigen. Sei also F â O(Ω, E) mit αTF âA2(Ω, E) beliebig. Wir fixieren hierzu eine beliebige offene Umgebung U von Ï(T,A) mitU â Ω. Dann ist F auf U stetig und beschrankt und die Resolventenfunktion ist auf derkompakten Teilmenge Ω \ U ebenfalls aus Stetigkeitsgrunden beschrankt. Es folgt mitW := Ω \ U
âFâ2 â€( â«
W
âF (z)â2dλ(z)) 1
2+
( â«
U
âF (z)â2dλ(z)) 1
2
â€( â«
W
â(z â T )â1â2 · â(z â T )F (z)â2dλ(z)) 1
2+ λ(U)
12 supzâU
âF (z)â
†supzâW
â(z â T )â1â · âαTFâ2 + λ(U)12 supzâU
âF (z)â <â
und somit f â A2(Ω, E).Die ubrigen Behauptungen zeigt man wie im Beweis zu Satz 21.4. €21.7. Satz (Spektraler Abbildungssatz). In der Situation von Satz 21.3 gilt fur alle
f â O(Ω): Ï(ΊΩT (f)) = f(Ï(T,E)).
184 21. DER ANALYTISCHE FUNKTIONALKALKUL
Beweis. âââ: Ist ” â C \ f(Ï(T,E)), so ist die Funktion z 7â (” â f(z))â1 auf deroffenen Umgebung Ω1 = Ω \ fâ1(”) von Ï(T,E) holomorph. Mit Folgerung 21.2 undSatz 21.3 folgt
ΊΩ1T
( 1
Ӊ f
)(”â ΊΩ
T (f)) = (”â ΊΩT (f))ΊΩ1
T
( 1
Ӊ f
)= (”â ΊΩ1
T (f))ΊΩ1T
( 1
Ӊ f
)
= ΊΩ1T
(Ӊ f
Ӊ f
)= ΊΩ1
T (1) = 1
und somit ” â Ï(ΊΩT (f), E).
âââ: Sei nun λ â Ï(T,E) beliebig. Dann ist die durch
g(z) :=
f(λ)âf(z)
λâz fur z â Ω \ λf âČ(λ) fur z = λ
definierte Funktion g : Ω â C auf Ω holomorph und es folgt
ΊΩT (g)(λâ T ) = (λâ T )ΊΩ
T (g) = ΊΩT ((λâ idΩ)g) = ΊΩ
T (f(λ)â f) = f(λ)â ΊΩT (f).
Da λ â T nicht invertierbar ist, kann auch f(λ) â ΊΩT (f) nicht invertierbar sein, d.h. es
gilt λ â Ï(ΊΩT (f), E). €
Aufgrund der bisher hergeleiteten Eigenschaften des analytischen FunktionalkalkulsΊΩT und ΚΩ
T schreiben wir im folgenden fur f â O(Ω) bzw. F â O(Ω, E) auch f(T ) bzw.F (T ) statt ΊΩ
T (f) bzw. ΚΩT (F ). Die Aussage des spektralen Abbildungssatzes lautet in
dieser Schreibweise: Ï(f(T ), E) = f(Ï(T,E)).
Ist T ein stetiger linearer Operator auf einem unendlich dimensionalen komplexenBanachraum (E, â · â), so bezeichnen wir mit LatT die Menge aller unter T invariantenabgeschlossenen Unterraume von E. Insbesondere sind also der Nullraum 0 und dergesamte Raum E Elemente von LatT . Wir nennen diese die trivialen unter T invariantenUnterraume. Nicht fur alle Operatoren gibt es weitere nicht triviale invariante Unterraume.Beispiele von stetigen linearen Operatoren auf gewissen nicht reflexiven Banachraum-en wurden von Enflo, Beauzamy und Read angegeben. Fur reflexive Banachraume undinsbesondere fur Hilbertraume ist das Problem offen. In diesem Zusammenhang ist dernachfolgende Satz 21.8 von Interesse.
Sei D := z â C ; |z| < 1 die offene Einheitskreisscheibe in C. (H, ă·, ·ă) sei einkomplexer Hilbertraum. Mit Mid bezeichnen wir den Operator der Multiplikation mit derVariablen z im Hilbertraum A2(D,H), d.h. es ist (Midf)(z) = zf(z) fur alle f â A2(D,H).
21.8. Satz. Sei H ein separabler, unendlich dimensionaler Hilbertraum. Genau dannhat jeder Operator T â L(H) nicht triviale invariante Unterraume, wenn fur alle M,N âLatMid mit M â N und dimN/M = â ein invarianter Unterraum K â LatMid
existiert mit M ( K ( N .
Beweis. Wir beachten, daĂ der von Mid auf N/M induzierte stetige lineare OperatorMid, F +M 7âMidF +M ahnlich ist zu dem durch TidF := PNÂȘMMidF fur alle F â N ÂȘM definierten Operator Tid â L(NÂȘM). Hat also jeder stetige lineare Operator auf einemseparablen Hilbertraum einen nicht trivialen, abgeschlossenen, invarianten Unterraum, sohat insbesondere Tid und damit auch Mid einen solchen. Es gibt somit einen invariantenUnterraum K â Lat(Mid) mit 0 ( K ( N /M. Bezeichnet Ï : N â N /M den
kanonischen Epimorphismus, so ist K := Ïâ1(K
)â LatMid mit M ( K ( N .
Gibt es umgekehrt fur alle M,N â LatMid mit M â N und dimN /M = â eineninvarianten Unterraum K â LatMid mit M ( K ( N und ist T â L(H) beliebig, so
21. DER ANALYTISCHE FUNKTIONALKALKUL 185
haben T und T0 := 11+âTâT die gleichen invarianten Unterraume. Wegen
Ï(T0,H) â z â C ; |z| †âT0â â D
ist T0 nach Satz 21.6 ahnlich zu Mid â L (A2(D,H)/αT0 (A2(D,H))) vermoge eines topo-logischen Isomorphismus Îș : H â A2(D,H)/αT0(A
2(D,H)). Nach Voraussetzung gibtes einen Unterraum K â Lat(Mid) mit αT0(A
2(D,H)) ( K ( A2(D,H). Dann istK := Îș(â1K) â LatT0 = LatT ein nicht trivialer, abgeschlossener, invarianter Unter-raum fur T . €
Analog zum analytischen Funktionalkalkul fur stetige lineare Operatoren kann manauch einen analytischen Funktionalkalkul in Banachalgebren konstruieren:
21.9. Satz (Analytischer Funktionalkalkul in Banachalgebren). Sei R eine komplexeBanachalgebra mit Einselement 1 und sei x â R. Ist Ω â C offen mit ÏR(x) â Ω, sodefinieren wir den analytischen Funktionalkalkul ΊΩ
x : O(Ω) âR durch
ΊΩx (f) :=
1
2Ïi
â«
Î
f(z)(z â x)â1 dz , (f â O(Ω)).
Hierbei sei Î ein ÏR(x) umlaufendes und in Ω verlaufendes Kurvensystem. Der so defi-nierte analytische Funktionalkalkul besitzt die folgenden Eigenschaften:
(a) ΊΩx ist ein stetiger, unitaler Algebrenhomomorphismus. Fur alle f â O(Ω) ist der
Wert ΊΩx (f) unabhangig von der speziellen Wahl von Î. Sind Ω1 und Ω2 offene
Umgebungen von ÏR(x) und sind fj â O(Ωj), j = 1, 2, zwei Funktionen, dieauf einer Umgebung von ÏR(x) ubereinstimmen, so gilt ΊΩ1
x (f1) = ΊΩ2x (f2). Der
Wert des Funktionalkalkuls in einer auf einer Umgebung von ÏR(x) holomorphenFunktion f hangt also nur vom Keim von f auf dem Spektrum von x ab.
(b) Fur alle Polynome p â C[Z] gilt
ΊΩx (p) = p(x) .
(c) Ist Î : R â R1 ein stetiger, unitaler Algebrenhomomorphismus von R in einekomplexe Banachalgebra R1 mit Einselement, so gilt fur alle f â O(Ω):
Î(ΊΩx (f)
)= ΊΩ
Î(x)(f) .
(d) Es gilt der spektrale Abbildungssatz
âf â O(Ω) : ÏR(ΊΩx (f)
)= f (ÏR(x)) .
Den Beweis dieser Aussagen fuhrt man analog wie fur stetige lineare Operatoren aufBanachraumen. Vieles kann man auch direkt auf die Operatorensituation zuruckfuhren,wenn man die folgende Identitat beachtet:
ΊΩx (f) = ΊΩ
L(x)(f)1 = ΚΩL(x)(f â 1) .
Hierbei sei L(x) â L(R) der Operator der Multiplikation von links mit x â R. DieAussage (c) rechnet man einfach nach.
186 21. DER ANALYTISCHE FUNKTIONALKALKUL
Ubungsaufgaben zu Kapitel 21.
21.1. Aufgabe. Sei f : Râ C eine 2Ï-periodische Funktion mit absolutkonvergenterFourierreihenentwicklung, d.h.
f(t) =ââ
n=ââane
int (t â R) undââ
n=ââ|an| <â.
Zeigen Sie: Ist h eine auf einer offenen Obermenge von f([0, 2Ï]) holomorphe Funktion,so hat auch die Funktion h f eine absolutkonvergente Fourierreihenentwicklung.
21.2. Aufgabe. Seien (E, â·âE) und (F, â·âF ) zwei Banachraume und seien T â L(E),S â L(F ), A â L(E,F ) stetige, lineare Operatoren mit AT = SA und Ï(T,E)â©Ï(S, F ) =â . Zeigen Sie, daĂ dann schon A = 0 gelten muĂ.
21.3. Aufgabe. Sei T â L(E) ein stetiger linearer Operator auf einem Banachraum(E, â · â), dessen Spektrum von der Gestalt Ï(T,E) = Ï1 âȘ Ï2 ist mit abgeschlossenen,nicht leeren zueinander disjunkten Mengen Ï1, Ï2 â C. Zeigen Sie, daĂ es dann einenOperator P in der Bikommutantenalgebra von T gibt mit den folgenden Eigenschaften:
(a) P 6= 0, 1â P 6= 0.(b) P = P 2.(c) Ï(T |P (E), P (E)) = Ï1 und Ï(T |kerP , kerP ) = Ï2.
21.4. Aufgabe. Sei T â L(E) ein stetiger linearer Operator auf einem Banachraum(E, â · â)
(a) Fur alle z â C \ Ï(T,E) gilt
(z â T )â1 =1
2Ïi
â«
Î
1
z â w(w â T )â1 dw ,
wobei Î ein Ï(T,E) umlaufendes und in C \ z verlaufendes Kurvensystem sei.(b) Ist f eine in einer Umgebung Ω von Ï(T,E) holomorphe Funktion, so gilt die
folgende verallgemeinerte Cauchysche Integralformel :
ΊΩT (f (n)) =
n!
2Ïi
â«
Î
f(z)(z â T )ânâ1dz .
Hierbei sei Î ein Ï(T,E) umlaufendes und in Ω verlaufendes Kurvensystem.
21.5. Aufgabe. Sei T â L(E) ein stetiger linearer Operator auf einem Banachraum(E, â · â) und sei Q â L(E) ein mit T kommutierender, quasinilpotenter Operator. ZeigenSie:
(a) Ï(T,E) = Ï(T +Q,E) und fur alle z â C \ Ï(T,E) gilt
(z â T âQ)â1 =âân=0
(z â T )n+1Qn
(b) Fur alle in einer offenen Umgebung Ω von Ï(T,E) holomorphen Funktionen f âO(Ω) gilt:
f(T +Q) =âân=0
1
n!f (n)(T )Qn.
21.6. Aufgabe. Sei R eine Banachalgebra. Fur x â R sei r(x) der Spektralradiusvon x in R. Zeigen Sie:
(a) âx â R ân â N: âx2n+1â2ânâ1 †âx2nâ2ân.
(b) Fur alle auf einer offenen Menge Ω â C holomorphen, R-wertigen Funktionen fsind die Funktionen z 7â log r(f(z)) und z 7â r(f(z)) auf Ω subharmonisch.
21. DER ANALYTISCHE FUNKTIONALKALKUL 187
Hinweis zu (b): Verwenden Sie Teil (a) und Aufgabe 3, Blatt 7 der Ubungen zurFunktionentheorie mehrerer Veranderlicher sowie Aufgabe 1, Blatt 13 der Ubungen zurFunktionentheorie 2 des vergangenen Wintersemesters.
21.7. Aufgabe. Sei R eine komplexe Banchalgebra mit Einselement und a â R. SeiG die bekanntlich offene Menge aller invertierbaren Elemente von R. Die Zusammen-hangskomponenete G0 von G, die das Einselement enthalt, heiĂt die Hauptkomponentevon G.
(a) exp(a) â G0.(b) Liegt 0 in der unbeschrankten Zusammenhangskomponente von ÏR(a), so existiert
ein b â R mit exp(b) = a. Insbesondere liegt a in G0.
KAPITEL 22
Der Spektralsatz fur normale Operatoren
In diesem Kapitel sei stets H ein komplexer Hilbertraum, versehen mit einem Ska-larprodukt ă·, ·ă. Ist T â L(H) ein normaler Operator, so gibt es nach Satz 15.13 einenisometrischen â-Monomorphismus
Ί : C(Ï(T,H)) â L(H)
mit Ί(p) = p(T ) fur alle Polynome p â C[Z], fur den auch der spektrale Abbildungssatzgilt. In diesem Kapitel wollen wir diesen Funktionalkalkul fur stetige Funktionen auf diegroĂere Algebra B(Ï(T,H),B) fortsetzen und eine Integraldarstellung fur T herleiten.
22.1. Definition. Sei Ω ein lokalkompakter Hausdorffraum und B die Ï-Algebra derBorelmengen in Ω. Eine Mengenfunktion
E : B â L(H)
heiĂt (selbstadjungiertes) SpektralmaĂ, falls die folgenden vier Bedingungen erfullt sind:
(a) E(Ω) = 1.(b) âÎŽ, η â B : E(ÎŽ)E(η) = E(ÎŽ ⩠η).(c) âÎŽ â B : E(Ω \ ÎŽ) = 1â E(ÎŽ).(d) âÎŽ â B : E(ÎŽ) = E(ÎŽ)â.
Ein SpektralmaĂ E : B â L(H) heiĂt Ï-additiv in der starken bzw. schwachen Opera-tortopologie, falls fur alle x, y â H die H-wertige Mengenfunktion ÎŽ 7â E(ÎŽ)x bzw. diekomplexwertige Mengenfunktion ÎŽ 7â ăE(ÎŽ)x, yă Ï-additiv ist.
Wegen (b) und (d) sind die Werte eines SpektralmaĂes paarweise kommutierendeorthogonale Projektionen. Insbesondere ist die Mengenfunktion E normbeschrankt und
supÎŽâB
âE(ÎŽ)â = 1.
Naturlich kann man solche SpektralmaĂe auch auf anderen Mengenalgebren einfuhren.Die Theorie der SpektralmaĂe ist ausfuhrlich in [10] behandelt.
22.2. Bemerkungen. Sei E : B â L(H) ein SpektralmaĂ. Dann gilt:
(a) âÎŽ, η â B : E(ÎŽ âȘ η) = E(ÎŽ) + E(η)â E(ÎŽ)E(η).(b) E(â ) = E(Ω \ Ω) = 0.
Beweis. (a) Wegen (c) und (b) in Definition 22.1 gilt fur alle ÎŽ, η â B:
E(ÎŽ âȘ η) = 1â E(Ω \ (ÎŽ âȘ η)) = 1â E((Ω \ ÎŽ) â© (Ω \ η)) = 1â E(Ω \ ÎŽ)E(Ω \ η)= 1â (1â E(ÎŽ))(1â E(η)) = E(ÎŽ) + E(η)â E(ÎŽ)E(η) .
(b) folgt unmittelbar aus (a) und (c) in Definition 22.1. €Ist E : B â L(H) ein SpektralmaĂ wie in Definition 22.1, so konnen wir fur Treppen-
funktionen f =ân
j=1 ajÏÎŽj â T (Ω,B) ein Integral definieren:â«
Ω
f dE :=
â«
Ω
f(t) dE(t) :=nâj=1
ajE(ÎŽj) .
188
22. DER SPEKTRALSATZ FUR NORMALE OPERATOREN 189
Nach Lemma 19.22 und Folgerung 19.23 istâ«Î©Â· dE : T (Ω,B) â L(H) eine wohldefinierte
stetige lineare Abbildung mitâ„â„â„
â«
Ω
f dEâ„â„℠†4âfâΩ = 4 sup
tâΩ|f(t)|
fur alle f â T (Ω,B), die stetig auf B(Ω,B) fortgesetzt werden kann. Es stellt sich heraus,daĂ diese Fortsetzung sogar ein unitaler â-Homomorphismus von der Câ-Algebra B(Ω,B)in die Câ-Algebra L(H) ist:
22.3. Lemma. Sei Ω ein lokalkompakter Hausdorffraum und E : B â L(H) ein Spek-tralmaĂ auf Ω. Dann ist
â«Î©Â· dE : B(Ω,B) â L(H) ein unitaler â-Homomorphismus von
der Câ-Algebra B(Ω,B) in die Câ-Algebra L(H). Insbesondere gilt
âf â B(Ω,B) :â„â„â„
â«
Ω
f dEâ„â„℠†âfâΩ .
Insbesondere konnen wir also alle auf Ω stetigen und beschrankten Funktionen inte-grieren.
Beweis. Seien f, g â T (Ω,B) beliebig. Dann haben f und g Darstellungen der Form
f =nâj=1
ajÏÎŽj g =mâ
k=1
bkÏηk
wobei ÎŽ1, . . . , ÎŽn â B bzw. η1, . . . , ηm â B paarweise disjunkt sind. Es folgt
fg =nâj=1
mâ
k=1
ajbkÏÎŽjâ©Î·k
und daherâ«
Ω
fg dE =nâj=1
mâ
k=1
ajbkE(ÎŽj ⩠ηk) =nâj=1
mâ
k=1
ajbkE(ÎŽj)E(ηk) =( â«
Ω
f dE)(â«
Ω
g dE)
sowie ( â«
Ω
f dE)â
=( nâj=1
ajE(ÎŽj))â
=nâj=1
ajE(ÎŽj) =
â«
Ω
f dE.
Wegen der Stetigkeit des Integrals und der Adjungiertenbildung folgt auch fur alle f, gaus der AbschlieĂung B(Ω,B) von T (Ω,B):â«
Ω
fg dE =( â«
Ω
f dE)(â«
Ω
g dE)
und( â«
Ω
f dE)â
=
â«
Ω
f dE.
Daâ«
Ω· dE auch linear ist, ist
â«Î©Â· dE ein â-Homomorphismus, der wegen
â«Î©
1 dE =E(Ω) = 1 auch unital ist. Der Zusatz folgt nun mit Aufgabe 15.4. €
Bemerkung. Ist E : B â L(H) ein SpektralmaĂ auf einem lokalkompakten Haus-dorffraum Ω, so ist fur alle x, y â H durch
ÎŽ 7â ăE(ÎŽ)x, yăeine komplexwertige endlich additive und beschrankte Mengenfunktion auf den Borelmen-gen B von Ω gegeben. Es gilt dann fur alle x, y â H, f â B(Ω,B):
âšâ«
Ω
f(t) dE(t)x, yâ©
=
â«
Ω
f(t) dăE(t)x, yă
Beweis. Fur Funktionen aus T (Ω,B) rechnet man dies direkt nach. Wegen der Ste-tigkeit der Integrale und der Dichtheit von T (Ω,B) in B(Ω,B) folgt die Behauptung. €
190 22. DER SPEKTRALSATZ FUR NORMALE OPERATOREN
22.4. Satz. Sei K ein kompakter Hausdorffraum und Ί : C(K) â L(H) ein unita-ler â-Homomorphismus. Dann gibt es genau ein in der schwachen Operatortopologie Ï-additives SpektralmaĂ E : B â L(H) auf den Borelmengen von K mit ăE(·)x, yă â rca(K)fur alle x, y â H und mit
(22.1) âf â C(K) : Ί(f) =
â«
K
f dE .
Insbesondere laĂt sich Ί also nach Lemma 22.3 zu einem stetigen unitalen â-Homomor-phismus Κ : B(K,B) â L(H) fortsetzen. E und Κ haben weiter die folgenden Eigen-schaften:
(a) E ist auch Ï-additiv in der starken Operatortopologie.(b) E und Κ nehmen ihre Werte in der Bikommutantenalgebra (ran Ί)âČâČ von ran Ί
an.(c) Fur alle f â B(K,B) und alle x â H gilt:
â„â„â„â«
K
f(t) dE(t)xâ„â„â„
2
=
â«
K
|f(t)|2 dăE(t)x, xă .
Beweis. 1.) Eindeutigkeit: Seien E1, E2 zwei SpektralmaĂe auf K mit (22.1) undmit ăEj(·)x, yă â rca(K) fur alle x, y â H und j = 1, 2. Dann gilt fur alle f â C(K),x, y â H:
â«
K
f(t) dăE1(t)x, yă =âš â«
K
f(t) dE1(t)x, yâ©
= ăΊ(f)x, yă =âšâ«
K
f(t) dE2(t)x, yâ©
=
â«
K
f(t) dăE2(t)x, yă .
Wegen der Eindeutigkeitsaussage im Rieszschen Darstellungssatz 19.30 folgt ăE1(ÎŽ)x, yă =ăE2(ÎŽ)x, yă fur alle x, y â H, ÎŽ â B und hieraus E1 = E2.
2.) Existenz: (i) Fur alle x, y â H sind die linearen Funktionale
f 7â ăΊ(f)x, yăstetig auf C(K). Nach dem Rieszschen Darstellungssatz 19.30 gibt es also fur alle x, y â Hgenau ein ”x,y â rca(K) mit â”x,yâ †âxâ · âyâ und
âf â C(K) :
â«
K
f d”x,y = ăΊ(f)x, yă .
(ii) In den Ubungen wird in etwas allgemeinerem Rahmen gezeigt:
âα, ÎČ â C âx, y, z â H : ”αx+ÎČy,z = α”x,z + ÎČ”y,z , ”z,αx+ÎČy = α”z,x + ÎČ”z,y .
(iii) Wir zeigen nun:
âx, y â H âÎŽ â B : ”x,y(ÎŽ) = ”y,x(ÎŽ) .
Dies folgt aus der Eindeutigkeitsaussage im Rieszschen Darstellungssatz 19.30 und derTatsache, daĂ fur alle f â C(K) und alle x, y â H gilt:
â«
K
f d”x,y = ăΊ(f)x, yă = ăΊ(f)y, xă =
â«
K
f d”y,x =
â«
K
f d”y,x .
(iv) Sei nun f â B(K,B) beliebig. Dann ist nach (ii) und (iii) durch
Bf (x, y) :=
â«
K
f d”x,y , (x, y â H)
22. DER SPEKTRALSATZ FUR NORMALE OPERATOREN 191
eine Sesquilinearform auf H gegeben, die wegen
|Bf (x, y)| =âŁâŁâŁâ«
K
f d”x,y
âŁâŁâŁ †âfâKâ”x,yâ †âfâKâxâ · âyâ
beschrankt ist mit âBfâ †âfâK . Nach Satz 2.40 gibt es also genau einen linearen Ope-rator Κ(f) â L(H) mit Bf (x, y) = ăΚ(f)x, yă fur alle x, y â H. In Aufgabe 22.1 wirdgezeigt, daĂ die hierdurch definierte Abbildung Κ : B(K,B) â L(H) linear ist und aufC(K) mit Ί ubereinstimmt. Insbesondere gilt Κ(1) = Ί(1) = 1.
(v) Wir zeigen nun: Κ ist ein unitaler â-Homomorphismus. Fur alle x, Ï â H, f âB(K,B) gilt nach (iii):
ăΚ(f)x, yă =
â«
K
f d”x,y =
â«
K
f d”y,x = ăΚ(f)y, xă = ăΚ(f)âx, yă
und somit Κ(f) = Κ(f)â. Zu zeigen ist noch die Multiplikativitat von Κ. Da Ί muktipli-kativ ist, gilt fur alle f, g â C(K):
â«
K
fg d”x,y = ăΊ(fg)x, yă = ăΊ(f)Ί(g)x, yă =
â«
K
f d”Ί(g)x,y) .
Mit ”x,y ist auch die Mengenfunktion ÎŽ 7â Îœg,x,y :=â«ÎŽg d”x,y in rca(K) und es giltâ«
Kh dÎœg,x,y =
â«Khg d”x,y fur alle h â B(K,B) (vergl. Aufgabe 22.2). Nach der Eindeu-
tigkeitsaussage im Rieszschen Darstellungssatz folgt Îœg,x,y = ”Ί(g)x,y fur alle g â C(K),x, y â H. Insbesondere folgt fur alle f â B(K,B), g â C(K), x, y â H:
â«
K
fg d”x,y =
â«
K
f d”Ί(g)x,y = ăΚ(f)Ί(g)x, yă = ăΊ(g),Κ(f)âyă =
â«
K
g d”x,Κ(f)ây
und hieraus (wiederum unter Verwendung von Aufgabe 22.2 und der Eindeutigkeitsaussa-ge im Rieszschen Darstellungssatz) Îœf,x,y = ”x,Κ(f),y. Wir erhalten fur alle f, g â B(K,B),x, y â H:
ăΚ(fg)x, yă =
â«
K
fg d”x,y =
â«
K
g d”x,Κ(f)ây = ăΚ(g)x,Κ(f)âyă = ăΚ(f)Κ(g)x, yă .
Damit folgt Κ(fg) = Κ(f)Κ(g) fur alle f, g â B(Ï(T,H)).(vi) Κ nimmt seine Werte im Bikommutanten von ran Ί an.Sei also A â L(H) beliebig mit AΊ(f) = Ί(f)A fur alle f â C(K). Dann gilt fur alle
x, y â H, f â C(K):â«
K
f d”Ax,y = ăΊ(f)Ax, yă = ăAΊ(f)x, yă = ăΊ(f)x,Aâyă =
â«
K
f d”x,Aây
und somit wegen der Eindeutigkeitsaussage im Rieszschen Darstellungssatz
âx, y â H : ”Ax,y = ”x,Aây .
Es folgt fur alle x, y â H, f â B(K,B):
ăΚ(f)Ax, yă =
â«
K
f d”Ax,y =
â«
K
f d”x,Aây = ăΚ(f)x,Aâyă = ăAΚ(f)x, yă
und daher Κ(f)A = AΚ(f). Also gilt Κ(f) â (ran Ί)âČâČ fur alle f â B(K,B).(vii) Wir definieren nun:
E : B â L(H), ÎŽ 7â E(ÎŽ) := Κ(ÏÎŽ).
Mit (v) und (vi) folgt
âÎŽ â B : E(ÎŽ) = E(ÎŽ)2 = E(ÎŽ)â.
192 22. DER SPEKTRALSATZ FUR NORMALE OPERATOREN
Ferner hat man E(K) = Κ(1) = Ί(1) = 1. Direkte Rechnung zeigt, daĂ E ein SpektralmaĂist. Fur alle x, y â H, ÎŽ â B gilt
ăE(ÎŽ)x, yă = ăΚ(ÏÎŽ)x, yă =
â«
K
ÏÎŽ d”x,y = ”x,y(ÎŽ) .
Also folgt ăE(·)x, yă = ”x,y â rca(K) fur alle x, y â H. Insbesondere ist E Ï-additiv inder schwachen Operatortopologie. Damit sind die Existenz des SpektralmaĂes und (b)vollstandig bewiesen.
Zu (a): Sei (ÎŽn)ân=1 eine beliebige Folge von paarweise disjunkten Mengen aus B.
Dann gilt mit ÎŽ :=âân=1 ÎŽn fur alle x â H:
â„â„â„E(ÎŽ)xâkâ
n=1
E(ÎŽn)xâ„â„â„
2
=âš(E(ÎŽ)â
kân=1
E(ÎŽn))2
x, xâ©
=âš(E(ÎŽ)2 â 2
kân=1
E(ÎŽ)E(ÎŽn) +( kân=1
E(ÎŽn))2)
x, xâ©
=âš(E(ÎŽ)â 2
kân=1
E(ÎŽn) +kâ
n=1
E(ÎŽn))x, x
â©
=âš(E(ÎŽ)â
kân=1
E(ÎŽn))x, x
â©â 0
fur k ââ wegen der Ï-Additivitat von E in der schwachen Operatortopologie.Zu (c): Fur alle f â B(K,B) und alle x â H gilt:
â„â„â„â«
K
f(t) dE(t)xâ„â„â„
2
= ăΚ(f)x,Κ(f)xă = ăΚ(f)âΚ(f)x, xă = ăΚ(|f |2)x, xă
=
â«
K
|f(t)|2 dăE(t)x, xă .
Damit ist (c) bewiesen. €22.5. Satz (Spektralsatz fur normale Operatoren). Sei T â L(H) ein normaler Ope-
rator auf einem komplexen Hilbertraum H. Dann gibt es genau ein SpektralmaĂ
E : B := B(Ï(T,H)) â L(H)
auf dem Spektrum von T mit ăE(·)x, yă â rca(Ï(T,H)) fur alle x, y â H und mit
(22.2) T =
â«
Ï(T,H)
z dE(z).
Dieses SpektralmaĂ hat daruberhinaus folgende Eigenschaften:
(a) E ist Ï-additiv in der starken Operatortopologie.(b) E nimmt seine Werte in der Bikommutantenalgebra (T )âČâČ von T an.(c) Fur jede in der Relativtopologie auf Ï(T,H) offene, nicht leere Teilmenge Ï von
Ï(T,H) ist E(Ï) 6= 0.(d) Fur alle ÎŽ â B ist E(ÎŽ)H â Lat(T ) und es gilt Ï(T,E(ÎŽ)H) â ÎŽ.(e) Die durch
Κ : B(Ï(T,H),B) â L(H) , f 7â Κ(f) :=
â«
Ï(T,H)
f(z) dE(z),
definierte Abbildung ist ein unitaler â-Homomorphismus, der den stetigen Funk-tionalkalkul aus Satz 15.13 fortsetzt und seine Werte in (T )âČâČ annimmt.
22. DER SPEKTRALSATZ FUR NORMALE OPERATOREN 193
(f) Fur alle f â C(Ï(T,H)) gilt
Ï( â«
Ï(T,H)
f(z) dE(z),H)
= f(Ï(T,H)).
Beweis. 1.) Eindeutigkeit: Seien E1, E2 zwei SpektralmaĂe auf K mit ăEj(·)x, yă ârca(Ï(T,H)) fur alle x, y â H und mit
T =
â«
Ï(T,H)
z dE1(z) =
â«
Ï(T,H)
z dE2(z) .
Die Abbildungen f 7â â«Ï(T,H)
f(z) dEj(z) sind nach Lemma 22.3 stetige â-Homomorphismen
von der Câ-Algebra B(Ï(T,H),B) in die Câ-Algebra L(H). Insbesondere folgt
T â =
â«
Ï(T,H)
z dE1(z) =
â«
Ï(T,H)
z dE2(z)
und hieraus fur alle Polynome p in zwei Variablen
p(T, T â) =
â«
Ï(T,H)
p(z, z) dE1(z) =
â«
Ï(T,H)
p(z, z) dE2(z) .
Da nach dem Satz von Stone und WeierstraĂ die Polynome in z und z dicht in C(Ï(T,H))liegen, folgt wegen der Stetigkeit von f 7â â«
Ï(T,H)f(z) dEj(z) fur alle x, y â H und alle
f â C(Ï(T,H)):â«
Ï(T,H)
f(z)ăE1(z)x, yă =âš â«
Ï(T,H)
f(z) dE1(z)x, yâ©
=âš â«
Ï(T,H)
f(z) dE2(z)x, yâ©
=
â«
Ï(T,H)
f(z)ăE2(z)x, yă.
Wegen der Eindeutigkeitsaussage im Rieszschen Darstellungssatz folgt also
âx, y â H, âÎŽ â B : ăE1(·)x, yă = ăE2(·)x, yăund hieraus E1(ÎŽ) = E2(ÎŽ) fur alle ÎŽ â B.
2.) Existenz: Nach dem Satz 15.13 uber den stetigen Funktionalkalkul gibt es einenunitalen, isometrischen â-Monomorphismus Ί : C(Ï(T,H)) â L(H) mit Ί(id) = T ,der seine Werte im Bikommutanten von T annimmt. Nach Satz 22.4 gibt es dann einSpektralmaĂ E : B â L(H) mit (a), so daĂ durch
Κ(f) :=
â«
Ï(T,H)
f(z) dE, (f â B(Ï(T,H),B))
eine Fortsetzung von Ί auf B(Ï(T,H),B) gegeben ist und ran Κ âȘ E(ÎŽ) ; ÎŽ â B â(ran Ί)âČâČ gilt. Insbesondere gilt (22.2).
Sei nun A â L(H) ein beliebiger mit T kommutierender Operator. Da Ί seine Wertein (T )âČâČ annimmt, kommutiert A mit allen Ί(f), f â C(Ï(T,H)). Da Κ wiederum seineWerte in (ran Ί)âČâČ annimmt vertauscht A auch mit allen Κ(f), f â B(Ï(T,H),B) undsomit auch allen E(ÎŽ), ÎŽ â B. Damit sind auch die Aussagen (b) und (e) gezeigt.
Zu (d): Sei ÎŽ â B beliebig und ζ â C \ ÎŽ beliebig. Dann ist durch
f(z) :=
0 fur z â Ï(T,H) \ ÎŽ
1ζâz fur z â ÎŽ
eine Funktion aus B(Ï(T,H),B) gegeben. Fur alle x â E(ÎŽ)H gilt:
x = E(ÎŽ)x = Κ(ÏÎŽ)x = Κ((ζ â id)f)x = (ζ â T )Κ(f)x = Κ(f)(ζ â T )x.
Also ist (ζ â T )|E(ÎŽ)H invertierbar und ((ζ â T )|E(ÎŽ)H)â1 = Κ(f)|E(ÎŽ)H.
194 22. DER SPEKTRALSATZ FUR NORMALE OPERATOREN
Zu (c): Sei nun Ï eine in der Relativtopologie auf Ï(T,H) offene nicht leere Teilmengevon Ï(T,H). Dann ist Ï(T,H) \ Ï abgeschlossen und nach (d) gilt
Ï(T,E(ÎŽ)H) â Ï(T,H) \ Ï 6= Ï(T,H) .
Also muĂ 1â E(Ï) = E(Ï(T,H) \ Ï) 6= 1 und somit E(Ï) 6= 0 gelten.(f) ist klar, da der spektrale Abbildungssatz fur den stetigen Funktionalkalkul gilt
(nach Satz 15.13). €Wir bezeichnen mit H+ := z â C ; Im z > 0 bzw. Hâ := z â C ; Im z < 0 die
offene obere bzw. offene untere Halbebene in C.
22.6. Folgerung. Sei T â L(H) selbstadjungiert. Dann gilt fur alle 0 6= x â H: Dieauf C \R holomorphe Funktion z 7â ă(T â z)â1x, xă bildet H+ und Hâ jeweils in sich ab.
Beweis. Als selbstadjungierter Operator ist T normal mit Ï(T,H) â R. Fur alle0 6= x â H, z â C \ R gilt nach dem Spektralsatz 22.5
ă(T â z)â1x, xă =
â«
Ï(T,H)
1
tâ zdăE(t)x, xă
und das skalare MaĂ ÎŽ 7â ăE(ÎŽ)x, xă ist positiv. Wegen
Im1
tâ z=
Im z
|tâ z|2haben also Im z und Imă(T â z)â1x, xă das gleiche Vorzeichen. €
Ubungsaufgaben zu Kapitel 22.
22.1. Aufgabe. Fur einen kompakten Hausdorffraum K 6= 0 und einen HilbertraumH betrachten wir eine stetige lineare Abbildung Ί : C(K) â L(H). Zeigen Sie:
(a) Zu jedem Paar x, y â H existiert genau ein Maà ”x,y â rca(K) mit
ăΊ(f)x, yă =
â«
K
f(t) d”x,y(t) fur alle f â C(K).
(b) Fur alle x, y â H ist â”x,yâ †âΊââxââyâ.(c) Fur α, ÎČ â C und x, y, z â H gilt:
”αx+ÎČy,z = α”x,z + ÎČ”y,z sowie ”z,αx+ÎČy = α”z,x + ÎČ”z,y.
(d) Zu jedem f â B(K,B) existiert genau ein Κ(f) â L(H) mit
ăΚ(f)x, yă =
â«
K
f(t) d”x,y(t).
Die Abbildung f 7â Κ(f) ist eine stetige, lineare und normgleiche Fortsetzungvon Ί.
(e) Die Mengenfunktion
E : B â L(H), f 7â Κ(ÏÎŽ)
ist additiv und beschrankt; sie erfullt ăE(A)x, yă = ”x,y(A) fur alle x, y â H.Ferner gilt
â«Kf dE = Κ(f) fur alle f â B(K,B).
22.2. Aufgabe. Sei â 6= K ein kompakter Hausdorffraum, ” â rca(K), g â B(K,B).Zeigen Sie:
22. DER SPEKTRALSATZ FUR NORMALE OPERATOREN 195
(a) Die durch
λ : B â K, λ(ÎŽ) :=
â«
ÎŽ
g d” fur ÎŽ â Bdefinierte Mengenfunktion ist in rca(K), und es gilt fur alle f â B(K,B)
â«
K
f dλ =
â«
K
fg d”.
Wir schreiben fur das Maà λ auch g”.(b) Die in (a) definierte Mengenfunktion λ besitzt die totale Variation
v(λ, Ύ) =
â«
ÎŽ
|g(t)|v(”, dt) (ÎŽ â B) .
(Hinweis: Man beweise dies zunachst fur Treppenfunktionen.)
22.3. Aufgabe. Sei h : Câ C gegeben durch
h(z) :=z â i
z + i(z â C).
und sei T = T â â L(H) ein selbstadjungierter Operator. Zeigen Sie:
(a) Der Operator U := h(T ) ist unitar mit 1 /â Ï(U,H).(b) Drucken Sie das SpektralmaĂ von U durch das von T aus.(c) Ist umgekehrt U â L(H) ein unitarer Operator mit 1 /â Ï(U,H), so gibt es genau
einen selbstadjungierten Operator T â L(H) mit h(T ) = U .
22.4. Aufgabe. Sei T â L(H) ein normaler Operator mit SpektralmaĂ E. Zeigen Sie:â
λâCBild(λâ T ) = 0.
Hinweis: Fixieren Sie ein x â âλâC Bild (λ â T ). Konstruieren Sie induktiv eine Folge
(Qn)nâN0 von abgeschlossenen Quadraten mit Ï(T ) â Q0 und fur n â„ 1
(i) diam(Qn+1) = 1/2 diam(Qn),
(ii) Qn+1 â Qn,
(iii) âxâ2 = âE(Q0 â© Ï(T ))xâ2 †4nâE(Qn â© Ï(T ))xâ2.
Sei λ0 der eindeutig bestimmte Punkt inâân=0Qn. Nach Wahl von x gibt es ein u â H
mit (λ0 â T )u = x. Zeigen Sie sodann
âE(Qn â© Ï(T ))xâ2 =
â«
(Ï(T )â©Q0)\λ0|z â λ0|2 d < E(z)u, u >
†(diam(Qn))2 < E(Qn \ λ0)u, u >
und folgern Sie, daĂ x = 0 gelten muĂ
22.5. Aufgabe. Seien T und E wie in Aufgabe 22.4. Zeigen Sie:
(a) Ist (An)nâN eine Folge von abgeschlossenen Teilmengen von Ï(T ), so gilt mitA :=
âân=1An: Es ist E(A)H =
âân=1E(An)H.
(b) Sei A â Ï(T ) abgeschlossen. Dann gilt
E(A)H =â
λâC\ABild(λâ T ) =: E(A).
196 22. DER SPEKTRALSATZ FUR NORMALE OPERATOREN
Hinweis zu b): Zeigen Sie, daĂ mit An := z â Ï(T ) | dist(z, A) †1/n fur alle x â E(A)gilt:
(1â E(An))x ââ
λâCBild(λâ T ).
22.6. Aufgabe. Zeigen Sie:
(a) Ist N ein normaler Operator mit Spektralzerlegung N =â«z dE(z), dann ist N
genau dann kompakt, wenn E(z | |z| > Δ) fur alle Δ > 0 endlichen Rang hat.(b) Sei H ein separabler Hilbertraum und I ein zweiseitiges Ideal in L(H), das einen
nichtkompakten Operator enthalt. Dann ist I = L(H).(c) IstH separabel, dann ist das einzige nichttriviale abgeschlossene, zweiseitige Ideal
von L(H) das Ideal der kompakten Operatoren.
22.7. Aufgabe. Sei T â L(H) ein normaler Operator. Zeigen Sie:
(a) Ist T invertierbar, so gibt es einen normalen Operator S mit exp(S) = T .(b) T â = UT fur einen unitaren Operator U â L(H). Wann ist U hierdurch eindeutig
bestimmt?
22.8. Aufgabe. Sei T : `2(Z) â `2(Z) der durch T (x) :=(
12(xn+1 + xnâ1)nâZ
)fur
alle x = (xn)nâZ definierte selbstadjungierte freie Jacobi-Operator. Berechnen Sie dasSpektralmaĂ von T .
22.9. Aufgabe. Seien Tj â L(Hj) normale Operatoren mit SpektralmaĂen Ej (j =1, 2). Ein Punkt λ â C heiĂt kritischer Eigenwert fur (T1, T2), falls λ ein Eigenwert vonT2 ist und die algebraische Dimension von H1/Bild(λâ T1) nicht endlich ist. Zeigen Sie:
(a) Gibt es einen kritischen Eigenwert λ fur (T1, T2), so gibt es einen unstetigenlinearen Operator A : H1 ââ H2 mit AT1 = T2A.Hinweis: Versuchen Sie es mit
Ax := Ï(x)y fur alle x â H1,
wobei Ï : H1 ââ C unstetig sei mit Bild(λâT1) â kerÏ und 0 6= y â ker(λâT2)ein fester Eigenvektor zum Eigenwert λ von T2 sei.
(b) Ist Bild(λâT1) von endlicher algebraischer Kodimension in H1, so ist Bild(λâT1)abgeschlossen in H1.
(c) Hat (T1, T2) keine kritischen Eigenwerte, so ist jeder lineare Operator A : H1 ââH2 mit AT1 = T2A schon stetig.Hinweis:
(i) Zeigen Sie zunachst: A BildE1(F â© Ï(T1)) â BildE2(F â© Ï(T2)).(ii) λ â C heiĂe Unstetigkeitspunkt fur A, falls fur jede Umgebung U von λ eine
abgeschlossene Teilmenge F â U â© Ï(T1) existiert, so daĂ A|BildE1(F )unstetig ist. Zeigen Sie wie folgt, daĂ die Menge Î(A) aller Unstetigkeits-punkte fur A endlich ist: Ist Î(A) nicht endlich, so konstruiere man induktiveine Folge (Fn)nâN von abgeschlossenen Mengen Fn â Ï(T1) und Vektoren
xn â BildE1(Fn) mit âxnâ †2ân und âAxnâ â„ n sowie Fnâ©ââk=1,k 6=n Fk =
â fur alle n â N. Was folgt dann fur Ax mit x =ââ
n=1 xn?(iii) Zeigen Sie nun, daĂ fur den separierenden Raum
S(A) := y â H2 | â (xn)nâN â H1 mit xn â 0 und Axn â y bei nââgilt: S(A) â BildE2(Î(A)) und schlieĂlich sogar S(A) = 0.
22.10. Aufgabe. Zeigen Sie
(a) Es gibt eine Borel-meĂbare Funktion f : âDâ C mit exp(if(z)) ⥠z auf âD.
22. DER SPEKTRALSATZ FUR NORMALE OPERATOREN 197
(b) Zeigen Sie: Die Menge G der invertierbaren Operatoren T â L(H) ist wegzusam-menhangend.
Hinweis : Betrachten Sie fur T â G die Polarzerlegung und erinnern Sie sich an Aufga-be 21.7.
KAPITEL 23
Der Spektralsatz fur unbeschrankte selbstadjungierteOperatoren
Wir betrachten nun lineare Operatoren T : H â D(T ) â H in einem komplexenHilbertraum (H, ă·, ·ă), fur die der Definitionsbereich D(T ) ein echter linearer Teilraumvon H sein kann. Versehen mit dem durch
ă(x1, x2), (y1, y2)ăH2 := ăx1, y1ă+ ăx2, y2ă((x1, x2), (y1, y2) â H2
)
gegebenen kanonischen Skalarprodukt ist H2 = HĂH wieder ein Hilbertraum. Der Graph
G(T ) := (x, Tx) ; x â D(T ) â H2
ist dann, versehen mit dem Skalarprodukt ă·, ·ăG(T ) := ă·, ·ăH2
âŁâŁG(T )ĂG(T )
, ein Pra-Hilbert-
raum. Auf D(T ) betrachten wir neben dem von H induzierten Skalarprodukt noch dasdurch
ăx, yăT := ă(x, Tx), (y, Ty)ăG(T ) = ăx, yă+ ăTx, Tyă (x, y â D(T ))
gegebene Skalarprodukt. Die zugehorige Norm â · âT nennen wir auch die Graphennorm1.Offensichtlich sind die Pra-Hilbertraume (D(T ), ă·, ·ăT ) und (G(T ), ă·, ·ăG(T )) zueinanderisometrisch isomorph. Wir sagen: T ist dicht definiert, falls D(T ) dicht in H liegt. DerOperator T heiĂt abgeschlossen, falls sein Graph G(T ) in H2 abgeschlossen ist.
Wie in Kapitel 5 schreiben wir S â T fur zwei lineare Operatoren S : H â D(S) â Hund T : H â D(T ) â H, falls G(S) â G(T ), d.h. falls D(S) â D(T ) und Sx = Tx furalle x â D(S) gilt.
23.1. Definition. Sei T : H â D(T ) â H ein dicht definierter linearer Operator.Wir definieren
D(T â) := y â H ; x 7â ăTx, yă ist stetig auf D(T ) bzgl. â · â .Offensichtlich ist dies ein linearer Teilraum von H. Da D(T ) nach Voraussetzung in Hdicht liegt, hat fur alle y â D(T â) die Abbildung x 7â ăTx, yă eine eindeutig bestimmteFortsetzung zu einem stetigen linearen Funktional auf H. Nach dem Satz 2.19 von Rieszgibt es daher genau ein Element T ây â H mit der Eigenschaft
âx â D(T ) : ăTx, yă = ăx, T âyă .Man rechnet nach, daĂ die hierdurch definierte Abbildung T â : H â D(T â) â H wiederein linearer Operator in H ist. Man nennt T â den zu T adjungierten Operator.
23.2. Lemma. Fur jeden dicht definierten linearen Operator T ist der adjungierteOperator T â abgeschlossen.
Beweis. Sei (yn, Tâyn)ân=1 eine beliebige Cauchyfolge inG(T â). Diese hat einen Grenz-
wert (y, u) in H. Insbesondere gilt yn â y und Tyn â u fur n â â in H. Fur allex â D(T ) folgt
ăTx, yă = limnââ
ăTx, ynă = limnââ
ăx, T âynă = ăx, uă .1Diese ist aquivalent zu der ursprunglich in Definition 5.9 eingefuhrten Graphennorm.
198
23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN 199
Also ist x 7â ăTx, yă = ăx, uă stetig auf D(T ) bezuglich der Norm von H und somity â D(T â) mit T ây = u. Damit folgt (y, u) = limnââ(yn, T
âyn) â G(T â). Der Graph vonT â ist folglich abgeschlossen. €
23.3. Definition. Ein linearer Operator T : H â D(T ) â H heiĂt
âą hermitesch, falls fur alle x, y â D(T ) gilt: ăTx, yă = ăx, Tyă.âą symmetrisch, falls T hermitesch und dicht definiert ist. Dies ist offensichtlich
genau dann der Fall, wenn T dicht definiert ist und T â T â gilt.âą selbstadjungiert, falls T dicht definiert ist und T = T â gilt.
Nach Lemma 23.2 ist also jeder selbstadjungierte Operator abgeschlossen. Jeder sym-metrische Operator T ist wenigstens abschlieĂbar, denn er besitzt die abgeschlossene Er-weiterung T â.
Der Operator V : H Ă H â H Ă H mit V (x, y) := (y,âx) ist offensichtlich unitar,da er eine bijektive lineare Isometrie von H Ă H auf sich ist. Man berechnet V 2 = â1,V 4 = 1, V 3(u, v) = V â1(u, v) = V â(u, v) = (âv, u) fur alle u, v â H ĂH.
23.4. Lemma. Fur einen dicht definierten linearen Operator T : H â D(T ) â H gilt:
G(T â) = V (G(T ))â„.
Ist also T ein abgeschlossener dicht definierter Operator, so folgt (wegen V 2 = â1)
(23.1) HĂH = V (G(T ))âG(T â) = G(T )â V (G(T â)) = G(T )â V â(G(T â)).
Beweis. Dies ergibt sich aus folgenden naheliegenden Aquivalenzen fur alle (u, v) âH2:
(u, v) â G(T â) ââ ăTx, uă = ăx, vă fur alle x â D(T )
ââ ă(âTx, x), (u, v)ă = 0 fur alle x â D(T )
ââ (u, v) â V (G(T ))â„ .
€
23.5. Folgerung. Ist T : H â D(T ) â H ein dicht definierter linearer Operator undS : H â D(S) â H eine Erweiterung von T , so ist Sâ â T â.
Beweis. Wegen V (G(T )) â V (G(S)) folgt dies unmittelbar aus Lemma 23.4. €
Im folgenden Lemma fassen wir einige elementare Eigenschaften symmetrischer Ope-ratoren zusammen:
23.6. Lemma. Fur symmetrische dicht definierte Operatoren T : H â D(T ) â H gilt:
(a) Ist ranT dicht in H, so ist T injektiv.(b) Ist T = T â (also T selbstadjungiert) und T injektiv, so ist ranT dicht in H und
Tâ1 : H â ranT â H ist ebenfalls selbstadjungiert.(c) Ist D(T ) = H, so ist T selbstadjungiert und T â L(H).(d) Ist ranT = H, so ist Tâ1 selbstadjungiert und Tâ1 â L(H).
Beweis. (a) Ist u â kerT = x â D(T ) ; Tx = 0, so folgt fur alle x â D(T ), es istău, Txă = ăTu, xă = 0. Also folgt kerT â (ranT )â„ = 0.
(b) Sei nun T = T â mit kerT = 0 und sei y â (ranT )â„ beliebig. Dann gilt fur allex â D(T ): ăTx, yă = 0. Insbesondere ist y â D(T â) = D(T ) und Ty = T ây = 0, alsoy = 0. Es folgt (ranT )â„ = 0 und damit die Dichtheit von ranT in H. Ferner gilt: Esist G(Tâ1) = (Tx, x) ; x â D(T ) = W (G(T )), wobei
W : HĂH â HĂH , (x, y) 7â (y, x)
200 23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN
ein unitarer linearer Operator ist mit W 2 = 1 und WV = âVW . Insbesondere ist Tâ1 :H â D(Tâ1) = ranT â H wieder ein dicht definierter abgeschlossener Operator. MitLemma 23.4 erhalten wir
HĂH = G(Tâ1)â V(G((Tâ1)â)
)
und auch (wegen T = T â)
HĂH = W (G(T ))âW(V (G(T ))
)
= W (G(T ))â (âVW (G(T ))) = G(Tâ1)â V(âG(Tâ1)
)
= G(Tâ1)â V(G(Tâ1)
).
Es folgt V(G((Tâ1)â)
)= V
(G(Tâ1)
)und damit G((Tâ1)â) = G(Tâ1), d.h. (Tâ1)â = Tâ1.
(c) Wegen D(T ) = H und T â T â muĂ T = T â gelten. Insbesondere ist T selbstad-jungiert und damit ein abgeschlossener Operator. Nach dem Satz vom abgeschlossenenGraphen ist T stetig.
(d) Nach (a) ist T injektiv und es ist D(Tâ1) = H. Wir zeigen zunachst, daĂ Tâ1 einsymmetrischer Operator ist. Seien hierzu x, y â D(Tâ1) = ranT = H beliebig. Dann gibtes eindeutig bestimmte Vektoren u, v â D(T ) mit Tu = x und Tv = y. Es folgt unterAusnutzung der Tatsache, daĂ T ein symmetrischer Operator ist:
ăTâ1x, yă = ău, Tvă = ăTu, vă = ăx, Tâ1yă .Tâ1 ist also ein auf ganz H definierter symmetrischer linearer Operator und daher nach(c) selbstadjungiert. Nach (b) muĂ dann auch T = (Tâ1)â1 = T selbstadjungiert sein. €
23.7. Satz. Ist T : H â D(T ) â H ein dicht definierter, abgeschlossener Operator,so ist D(T â) ebenfalls dicht in H und es gilt T = T ââ := (T â)â.
Beweis. Wir beweisen die Dichtheit vonD(T â) inH, indem wirD(T â)â„ = 0 zeigen.Sei also u â D(T â)â„ beliebig. Dann gilt ău, yă = 0 fur alle y â D(T â) und daher
0 = ă(0, u), (âT ây, y)ă = ă(0, u), V (y, T ây))ă.Also ist (0, u) â V (G(T â))â„. Wegen V (G(T â))â„ = G(T ) (nach Lemma 23.4) ist dies nurmoglich, wenn u = 0 ist. Also ist D(T â) dicht in H und somit T ââ = (T â)â definiert. Daauch T â abgeschlossen ist, folgt mit (23.1) in Lemma 23.4
V (G(T â))âG(T ââ) = HĂH = V (G(T â))âG(T ).
Es folgt G(T ââ) = G(T ) und somit T = T ââ. €23.8. Satz. Sei T : H â D(T ) â H ein dicht definierter, abgeschlossener linearer
Operator.
(a) Der Operator Q := 1 + T âT ist auf seinem Definitionsbereich D(Q) = D(T âT ) =x â D(T ) ; Tx â D(T â) injektiv mit ranQ = H.
(b) Es gibt einen Operator B â L(H) mit âBâ †1, so daĂ gilt:(i) âBâ †1 und B ist ein positiver Operator.(ii) Es ist A := TB â L(H) mit âAâ †1.(iii) BQ â QB = 1.
(c) T âT ist selbstadjungiert.(d) Der Graph G(T
âŁâŁD(T âT )) = (x, Tx) ; x â D(T âT ) der Einschrankung von Tauf D(T âT ) liegt dicht in G(T ).
Beweis. Fur alle x â D(Q) gilt (wegen Tx â D(T â)):
âxâ2 †âxâ2 + âTxâ2 = ăx, xă+ ăTx, Txă = ăx, xă+ ăx, T âTxă = ăx,Qxă †âxâ · âQxâ.
23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN 201
Insbesondere ist Q injektiv. Da T abgeschlossen und dicht definiert ist, gibt es nach (23.1)zu jedem u â H genau ein Au â D(T â) und genau ein Bu â D(T ) mit
(23.2) (0, u) = (âTBu,Bu) + (Au, T âAu) .
Da die Vektoren auf der rechten Seite von (23.2) zueinander orthogonal sind, folgt mitPythagoras
âuâ2 = â(0, u)â2 = â(âTBu,Bu)â2 + â(Au, T âAu)â2 â„ âAuâ2 + âBuâ2
fur alle u â H. Insbesondere hat man also A,B â L(H) mit âAâ †1 und âBâ †1. Aus(23.2) erhalt man fur die erste Komponente TBu = Au und hieraus T âTBu = T âAu undfur die zweite Komponente
u = Bu+ T âAu = Bu+ T âTBu = QBu
fur alle u â H. B ist daher injektiv mit ranB â D(Q) und Q ist surjektiv. Ist v â D(Q)beliebig, so ist Qv = QBQv und wegen der Injektivitat von Q somit v = BQv â ranB.Es ist also sogar ranB = D(Q) und BQ â QB = 1. Ist u â H beliebig, so gibt es wegender Surjektivitat von Q ein v â D(Q) mit Qv = u. Es folgt
ăBu, uă = ăBQv,Qvă = ăv,Qvă = ăv, vă+ ăTv, Tvă â„ 0.
B ist also ein positiver Operator und daher insbesondere selbstadjungiert. Nach Lem-ma 23.6 (b) ist daher auch Q und somit auch T âT = Qâ 1 selbstadjungiert. Damit sinddie Aussagen (a)-(c) bewiesen.
Zu (d): Da T ein abgeschlossener Operator ist, ist G(T ) abgeschlossen in HĂH. Sei(u, Tu) â G(T )ÂȘG(T |D(T âT )) beliebig. Dann gilt fur alle x â D(T âT ) = D(Q):
0 = ă(u, Tu), (x, Tx)ă = ău, xă+ ăTu, Txă = ău,Qxă.Wegen ranQ = H folgt u = 0. Also istG(T )ÂȘG(T |D(T âT )) = (0, 0), d.h.G(T |D(T âT ))liegt dicht in G(T ). €
23.9. Definition. Ein symmetrischer Operator T : H â D(T ) â H heiĂt maximalsymmetrisch, , falls T keine echte symmetrische Erweiterung besitzt, d.h. falls fur allesymmetrischen Operatoren S : H â D(S) â H mit T â S schon S = T gilt.
23.10. Lemma. Jeder selbstadjungierte Operator T : H â D(T ) â H ist maximalsymmetrisch.
Beweis. Sei T â S und S : H â D(S) â H symmetrisch, d.h. mit S â Sâ. WegenS â Sâ â T â = T â S (nach Folgerung 23.5) folgt S = T . €
23.11. Lemma. Fur einen hermiteschen (nicht notwendig dicht definierten) OperatorT : H â D(T ) â H gilt:
(a) âx â D(T ) : âTx± ixâ2 = âxâ2 + âTxâ2 = âxâ2T .
(b) T ist genau dann abgeschlossen, wenn ranT abgeschlossen ist.(c) T + i und T â i sind injektiv.(d) Ist ran(T + i) = H oder ran(T â i) = H, so hat T keine echte hermitesche
Erweiterung (ist also maximal symmetrisch, falls D(T ) dicht in H liegt).
Beweis. (a) Da T hermitesch ist gilt fur alle x â D(T ):
âTx± ixâ2 = âTxâ2 ± iăx, Txă â iăTx, xă+ âxâ2 = âxâ2 + âTxâ2.
(b) Da (D(T ), â · âT ) isometrisch isomorph zu (G(T ), â · âG(T )) ist, ist T genau dannabgeschlossen, wenn (D(T ), â · âT ) vollstandig ist. Wegen (a) ist dies genau dann der Fall,wenn ranT vollstandig, also abgeschlossen in H ist.
(c) folgt unmittelbar aus (a).
202 23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN
(d) Sei ran(T + i) = H und sei T â S fur einen hermiteschen Operator S. Dann folgtH = ran(T + i) â ran(S + i) â H und somit ran(S + i) = H. Da x 7â Sx + ix nach (a)eine bijektive Isometrie von (D(S), â · âS) auf ranS = H ist und T â S, gilt, ist dies nurmoglich, falls S = T . Die entsprechende Aussage fur T â i folgt analog. €
Die gebrochen lineare Transformation
z 7â h(z) :=z â i
z + i
bildet R âȘ â bijektiv auf âD ab. Insbesondere gilt h(t) = 1h(t)
fur alle t â R. Mit dem
stetigen Funktionalkalkul 15.13 folgt h(T )â = h(T ) = h(T )â1, d.h. h(T ) ist ein unitarerOperator. Jeden unitaren Operator U â L(H) mit h(â) = 1 /â Ï(U,H) kann man aufdiese Art erhalten. (vergl. Aufgabe 22.3)
Sei nun T : H â D(T ) â H ein hermitescher Operator. Wegen Lemma 23.11 (a) istdurch
U(Tx+ ix) := Txâ ix , (x â D(T ))
eine lineare Isometrie
U : H â D(U) := ran(T + i) â Hgegeben mit ranU = ran(T â i). Wegen
(T + i)â1(ran(T + i)) = D(T + i) = D(T )
konnen wir U auch schreiben in der Form
U = (T + i)â1(T â i) mit D(U) = ran(T + i).
U heiĂt die Cayley-Transformierte von T . Bevor wir diese naher untersuchen zeigen wir:
23.12. Lemma. Sei U : H â D(U) â H eine lineare Isometrie, d.h. ein linearerOperator mit âUxâ = âxâ fur alle x â D(U).
(a) âx, y â D(U) : ăUx, Uyă = ăx, yă.(b) Ist ran(1â U) dicht in H, so ist 1â U injektiv.(c) Ist einer der drei Raume D(U), ranU , G(U) abgeschlossen, so gilt dies auch fur
die beiden anderen.
Beweis. (a) folgt mit der Polarisierungsidentitat.(b) Sei x â ker(1âU), d.h. x â D(U) und Ux = x. Dann gilt fur alle y â D(U) unter
Verwendung von (a):âšx, (1â U)y
â©= ăx, yă â ăx, Uyă = ăUx, Uyă â ăx, Uyă =
âš(U â 1)x, Uy
â©= 0.
Also ist x â ran(1â U)â„ und somit x = 0, falls ran(1â U) dicht in H liegt.(c) bleibt als Aufgabe 23.1 dem Leser uberlassen. €
23.13. Satz. Fur die Cayley-Transformierte U eines hermiteschen Operators T : H âD(T ) â H gilt:
(a) U ist genau dann abgeschlossen, wenn T abgeschlossen ist.(b) Es ist ran(1â U) = D(T ). Der Operator 1â U ist injektiv und es gilt
T = i(1 + U)(1â U)â1.
(c) U ist genau dann unitar, wenn T selbstadjungiert ist.
Ist umgekehrt V : H â D(V ) â H eine lineare Isometrie, fur die 1 â V injektiv ist, soist V die Cayley-Transformierte eines hermiteschen Operators T : H â D(T ) â H.
23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN 203
Beweis. (a) Nach Lemma 23.11 ist T genau dann abgeschlossen, wenn ran(T + i) =D(U) abgeschlossen ist. Nach Lemma 23.12 ist dies genau dann der Fall, wenn U abge-schlossen ist.
(b) Nach Definition der Cayley-Transformierten istD(U) = ran(T+i) und U(T+i)x =(T â i)x fur alle y = (T + i)x â D(U), x â D(T ). Es folgt
(1â U)y = (T + i)xâ (T â i)x = 2ix ,
(1 + U)y = (T + i)x+ (T â i)x = 2Tx .
Aus der ersten Gleichung folgt: 1âU ist injektiv und ran(1âU) = D(T ). (1âU)â1 bildetalso D(T ) bijektiv auf D(1âU) = D(U) ab und fur alle x â D(T ) gilt mit y := (T + i)x:
2Tx = (1 + U)y = (1 + U)(1â U)â12ix
und daher Tx = i(1 + U)(1â U)â1x.(c) â=: Ist T selbstadjungiert, so gilt nach Satz 23.8: ran(1 + T 2) = H. Wegen
(T + i)(T â i)x = (1 + T 2)x = (T â i)(T + i)x
fur alle x â D(T 2) = D ((T + i)(T â i)) = D ((T â i)(T + i)) folgt D(U) = ran(T + i) =H.
=â: Sei nun umgekehrt die Cayley-Transformierte U von T unitar. Dann gilt ran(1âU)â„ = ker(1â U)â und 1â U â L(H) ist normal. Man erhalt daher
â(1â U)xâ2 =ă(1â U)x, (1â U)xă = ă(1â U)â(1â U)x, xă = ă(1â U)(1â U)âx, xă=â(1â U)âxâ2.
Wegen (b) folgt hieraus ker(1â U)â = ker(1â U) = 0. Daher liegt D(T ) = ran(1â U)dicht in H. Der adjungierte Operator T â ist also definiert und man hat T â T â, da Thermitesch ist.
Sei nun y â D(T )â beliebig. Wegen ran(T + i) = D(U) = H gibt es ein y0 â D(T ) mit(wegen T â T â):
(T â + i)y = (T + i)y0 = (T â + i)y0 .
Insbesondere ist y1 := y â y0 â D(T â) und fur alle x â D(T ) gilt:
ă(T â i)x, y1ă = ăx, (T â + i)y1ă = 0.
Es folgt y1 = y â y0 â ran(T + i)â„ = D(U) = Hâ„ = 0. Dies zeigt y = y0 â D(T ) furalle y â D(T â). Wegen T â T â folgt hieraus T = T â.
Sei nun umgekehrt V : H â D(V ) â H eine lineare Isometrie, fur die 1â V injektivist. Wir definieren einen linearen Operator S : H â D(S) := ran(1â V ) â H durch
(23.3) Sx := i(1 + V )u fur alle x = (1â V )u â D(S) , u â D(V ).
Wegen der Injektivitat von 1âV ist S wohldefiniert. Seien nun x, y â D(S) = ran(1âV )beliebig. Dann gibt es eindeutig bestimmte u, v â D(V ) mit (1â V )u = x, (1â V )v = yund es folgt mit (23.3):
ăSx, yă = ăi(1 + V )u, (1â V )vă = i (ău, vă â ăV u, V vă+ ăV u, vă â ău, V vă)= iăV u, vă â iău, V vă ,
da V als Isometrie das Skalarprodukt erhalt. Aus dem gleichen Grund ist ău, ivă =ăV u, V (iv)ă. Wir erhalten
ăSx, yă = iăV u, vă â iău, V vă = ău, ivă â ăV u, V (iv)ă+ ăV u, ivă â ău, V (iv)ă= ă(1â V )u, i(1 + V )vă = ăx, Syă.
S ist also ein symmetrischer Operator.
204 23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN
Wegen (23.3) gilt fur alle x = (1â V )u â D(S), u â D(V ):
(S â i)x = i(1 + V )uâ i(1â V )u = 2iV u
(S + i)x = i(1 + V )u+ i(1â V )u = 2iu .
Hiermit folgt fur alle x = (S + i)v â ran(S + i):
V (S + i)x = 2iV u = (S â i)x
und D(V ) = ran(S + i). V ist also die Cayley-Transformierte von S. €
Aufgrund dieses Satzes und der Definition der Cayley-Transformierten sehen wir: Furdie Cayley-Transformierten U1, U2 zweier hermitescher Operatoren T1, T2 gilt:
T1 â T2 ââ U1 â U2 .
Das Studium hermitescher Erweiterungen hermitescher Operatoren wird also reduziertauf das Studium isometrischer Erweiterungen V mit ker(1â V ) = 0 von isometrischenOperatoren.
Sei nun T : H â D(T ) â H ein abgeschlossener, symmetrischer Operator mit derCayley-Transformierten U . Dann sind D(U) = ran(T + i) und ranU = ran(T â i) abge-schlossen inH und U bildet ran(T+i) isometrisch auf ran(Tâi) ab. DaD(T ) = ran(1âU)nach Voraussetzung dicht liegt in H, liegt auch fur jede isometrische Erweiterung U1 vonU der Unterraum ran(1âU1) dicht in H. Nach Lemma 23.12 ist dann auch 1âU1 injektivund daher nach Satz 23.13 Cayleytransformierte einer symmetrischen Erweiterung von T .
23.14. Definition. Sei T : H â D(T ) â H ein abgeschlossener, symmetrischerOperator. Dann heiĂen
d+(T ) := codim ran(T + i) = dim ran(T + i)â„,
dâ(T ) := codim ran(T â i) = dim ran(T â i)â„
die Defektindizes von T .
23.15. Satz. Sei T : H â D(T ) â H ein abgeschlossener, symmetrischer Operator.Dann gilt:
(a) T ist genau dann selbstadjungiert, wenn d+(T ) = dâ(T ) = 0 gilt.(b) T ist genau dann maximalsymmetrisch, wenn d+(T ) = 0 oder dâ(T ) = 0 gilt.(c) T besitzt genau dann eine selbstadjungierte Erweiterung, wenn d+(T ) = dâ(T )
gilt.
Beweis. (a) folgt aus Satz 23.13 und den Vorbetrachtungen.(b) Ist d+(T ) = 0 oder dâ(T ) = 0 so gilt fur die Cayley-Transformierte U von T :
D(U) = H oder ranU = H. Insbesondere kann U keine echte isometrische Erweiterungbesitzen.
Sind umgekehrt die Defektindizes von T beide von 0 verschieden und ist U die Cayley-Transformierte von T , so gibt es Vektoren e± â ran(T ± i)â„ mit âe±â = 1. Wir setzenD(U1) := D(U)âCe+ = ran(T + i)âCe+ und fur alle x+ λe+, x â D(U) = ran(T + i),λ â C: U1(x + λe+) := Ux + λeâ, falls e+ 6= eâ. Dann ist U1 eine echte isometrischeErweiterung von U mit ran(1 â U1) â ran(1 â U) = ran(T â i) dicht in H und daherker(1âU1) = 0 (nach Lemma 23.12). Nach Satz 23.13 ist U1 also Cayleytransformierteeiner echten symmetrische Erweiterung von T .
(c) folgt mit Satz 23.13 (c) und der Tatsache daĂ jede unitare Erweiterung U1 derCayleytransformierten U von T den Raum ran(T+i)â„ isometrisch auf ran(Tâi)â„ abbildet.
€
23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN 205
23.16. Beispiel. Sei K ein Hilbertraum mit dimK = d â N âȘ â und sei
H := `2(N0,K) :=x = (xn)
ân=0 â KN0 ; âxâ2
2 :=âân=0
âxnâ2K <â
versehen mit dem Skalarprodukt, welches definiert ist durch:
ăx, yă :=âân=0
ăxn, ynă x = (xn)ân=0, y = (yn)
ân=0 â H .
Sei V x := (0, x0, x1, x2, . . .) fur alle x = (xn)ân=0 â H. Dann ist V eine lineare Isometrie
mit ker(1 â V ) = 0 und codim ranV = d > 0. V ist also Cayley-Transformierte ei-nes symmetrischen Operators T mit d+(T ) = codim ran(T + i) = codimD(V ) = 0 unddâ(T ) = codim ran(T â i) = codim ranV = d > 0. Insbesondere ist T maximalsymme-trisch aber nicht selbstadjungiert.
23.17. Definition. Sei T : H â D(T ) â H ein linearer Operator. Wir definieren die
Resolventenmenge Ï(T,H) â C = C âȘ â von T wie folgt:
Ï(T,H) â© C := z â C ; z â T ist injektiv und (z â T )â1 â L(H) .Fur den Punkt â gelte:
â â Ï(T,H) : ââ T â L(H).
Die Menge Ï(T,H) := C \ Ï(T,H) nennen wir das Spektrum von T in H.
23.18. Lemma. Fur einen linearen Operator T : H â D(T ) â H gilt:
(a) Ist Ï(T,H) 6= C, so ist T ein abgeschlossener linearer Operator.
(b) Ï(T,H) ist eine kompakte, nicht leere Teilmenge von C.
Beweis. (a) Ist Ï(T,H) 6= C, so gibt es ein z â C mit (zâT )â1 â L(H). Insbesondereist (z â T )â1 ein abgeschlossener linearer Operator. Nach Lemma 5.13 ist dann auchz â T und somit (unter Verwendung von Lemma 5.14 und Lemma 5.15) auch T einabgeschlossener linearer Operator.
(b) Ist T /â L(H), so ist â â Ï(T,H) und ist T â L(H), so ist Ï(T,H) kompakte,
nicht leere Teilmenge von C nach Satz 7.9. Ist Ï(T,H) = C, so ist Ï(T,H) kompakt.
Sei nun Ï(T,H) 6= C und T /â L(H). Es genugt zu zeigen, daĂ Ï(T,H) offen ist. Seialso z â Ï(T,H) beliebig. Dann ist z â C und nach dem Beweis von (a) ist T einabgeschlossener linearer Operator. Ferner ist nach Definition von Ï(T,H) der Operatorz â T : D(T ) â H bijektiv und (z â T )â1 : H â D(T ) â H stetig bezuglich der Normvon H. Da T ein abgeschlossener Operator ist, ist (D(T ), â · âT ) ein Hilbertraum undT â L((D(T ), â · âT ),H) (wegen âTxâ †âxâT fur alle x â D(T )). Nach dem Satz 5.7von der inversen Abbildung ist (z â T )â1 â L(H, (D(T ), â · âT )). Fur alle w â C mit|w â z| < â(z â T )â1ââ1
L(H,(D(T ),â·âT )) folgt
â(w â T )(z â T )â1 â iHâ = |w â z|â(z â T )â1â †|w â z|â(z â T )â1âL(H,(D(T ),â·âT )) < 1 .
Der Operator (w â T )(z â T )â1 ist also in L(H) invertierbar. Insbesondere ist
w â T : D(w â T ) = D(z â T ) = ran(z â T )â1 â Hbijektiv. Da (w â T )â1 ein abgeschlossener Operator ist, folgt mit dem Satz vom abge-schlossenen Graphen (w â T )â1 â L(H). €
Die folgenden einfachen Rechenregeln fur selbstadjungierte Operatoren rechnet manunmittelbar nach:
23.19. Lemma. Sei T : H â D(T ) â H ein selbstadjungierter Operator.
206 23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN
(a) Ist S = Sâ â L(H), so ist auch S + T selbstadjungiert.(b) Ist 0 6= α â R, so ist auch αT selbstadjungiert.
23.20. Lemma. Ist T : H â D(T ) â H ein selbstadjungierter Operator, so istÏ(T,H) â R âȘâ.
Beweis. Sei λ â C \ R beliebig, λ = α + iÎČ mit α, ÎČ â R, ÎČ 6= 0. (λâ T )â1 existiertoffensichtlich genau dann in L(H), wenn der abgeschlossene Operator
1
ÎČ(λâ T ) = i+
(αÎČâ 1
ÎČT
)
auf D(T ) injektiv ist und ran 1ÎČ(λ â T ) = H gilt. Da der Operator A :=
(αÎČâ 1
ÎČT
)nach
Lemma 23.19 selbstadjungiert ist, folgt nach Satz 23.15
0 = d+(A) = codim ran(i+ A) = codim ran1
ÎČ(λâ T ).
Also existiert (λâ T )â1 in L(H) und es folgt λ â Ï(T,H). €Die folgende Rechenregel fur die Adjungiertenbildung wird spater benotigt:
23.21. Lemma. Sind Tj : H â D(Tj) â H, j = 1, 2, dicht definierte lineare Operato-ren, so daĂ auch D(T2T1) dicht in H liegt, so gilt
(23.4) T â1 Tâ2 â (T2T1)
â.
Ist T2 â L(H), so gilt T â1 Tâ2 = (T2T1)
â.
Beweis. Fur alle x â D(T2T1), y â D(T â1 Tâ2 ) gilt wegen x â D(T1) und T â2 y â D(T â1 )
ăT1x, Tâ2 yă = ăx, T â1 T â2 yă.
Wegen T1x â D(T2) und y â D(T â2 ) folgt weiter
ăT2T1x, yă = ăT1x, Tâ2 yă = ăx, T â1 T â2 yă.
Also ist y â D((T2T1)â) und (T2T1)
ây = T â1 Tâ2 y.
Ist zusatzlich T2 â L(H), so ist D(T â2 ) = H und es folgt fur alle x â D(T2T1),y â D((T2T1)
â):ăT1x, T
â2 yă = ăT2T1x, yă = ăx, (T2T1)
âyă.Also ist T â2 y â D(T â1 ) und damit y â D(T â1 T
â2 ). €
Im folgenden sei Ï stets eine abgeschlossene Teilmenge von C und
E : B := B(Ï) â L(H)
ein SpektralmaĂ mit E(Ï â© â) = 0 und ăE(·)x, yă â rca(Ï) fur alle x, y â H. NachLemma 22.3 ist dann
Κ :=
â«
Ï
· dE : B(Ï,B) â L(H)
ein stetiger unitaler â-Homomorphismus. Insbesondere gilt fur alle f â B(Ï,B), x â H:
(23.5) âΚ(f)xâ2 = ăΚ(f)x,Κ(f)xă = ăΚ(|f |2)x, xă =
â«
Ï
|f(z)|2 dăE(z)x, xă.
Wegen E(â) = 0 gilt
âf â B(Ï,B) :
â«
Ï
f dE =
â«
Ï\âf dE .
Wir wollen nun auch unbeschrankte Borel-meĂbare Funktionen zulassen.
23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN 207
23.22. Lemma. Sei f : Ï â C Borel-meĂbar. Dann ist
Df :=x â H ;
â«
Ï
|f(z)|2 dăE(z)x, xă <â
ein dichter Untervektorraum von H. Fur alle x, y â Df gilt
(23.6)
â«
Ï
|f(z)| dv(ăE(·)x, yă, z) †âyâ( â«
Ï
|f(z)|2 dăE(z)x, xă) 1
2.
Ist f beschrankt, so gilt fur alle x, y â H:
(23.7) dăE(·)x,Κ(f)yă = fdăE(·)x, yă.Beweis. (i) Beweis der Dichtheit von Df in H: Fur alle n â N setzen wir Ïn := z â
Ï ; |f(z)| < n. Wegen der Borel-MeĂbarkeit von f sind dies Borelmengen. Fur alle x â Hgilt:
âÎŽ â B : ăE(ÎŽ)E(Ïn)x,E(Ïn)xă = ăE(ÎŽ â© Ïn)x, xă.Es folgtâ«
Ï
|f(z)|2 dăE(z)E(Ïn)x,E(Ïn)xă =
â«
Ïn
|f(z)|2 dăE(z)x, xă †n2âE(Ïn)xâ2 †n2âxâ2
und damit ranE(Ïn) â Df . Wegen Ï =âân=1 Ïn und Ïn â Ïn+1 fur alle n â N folgt fur
alle x â H wegen der abzahlbaren Additivitat in der starken Operatortopologie folgt furalle x â H:
x = limnââ
E(Ïn)x â Df .
Df liegt also dicht in H.(ii) Wir zeigen nun, daĂ Df ein Untervektorraum von H ist. Seien also x, y â Df
beliebig. Dann gilt fur alle ÎŽ â B:
ăE(ÎŽ)(x+ y), x+ yă = âE(ÎŽ)(x+ y)â2 †(âE(ÎŽ)xâ+ âE(ÎŽ)yâ)2
†2(âE(ÎŽ)â2 + âE(ÎŽ)yâ2) = 2(ăE(ÎŽ)x, xă+ ăE(ÎŽ)y, yă).Damit erhalten wir fur alle x, y â Df :â«
Ï
|f(z)|2 dăE(z)(x+ y), (x+ y)ă â€2
â«
Ï
|f(z)|2 d(ăE(z)x, xă+ ăE(ÎŽ)y, y)ă)
â€2( â«
Ï
|f(z)|2 dăE(z)x, xă+
â«
Ï
|f(z)|2 dăE(z)y, yă)
<âund daher x+ y â Df . Fur alle λ â C gilt weiter
â«
Ï
|f(z)|2 dăE(z)λx, λxă = |λ|2â«
Ï
|f(z)|2 dăE(z)x, xă <â ,
d.h. λx â Df .(iii) Beweis zu (23.7): Fur alle f â B(Ï,B), h â C(Ï), x, y â H gilt (da Κ ein â-
Homomorphismus ist):â«
Ï
h(z)f(z) dăE(z)x, yă = ăΚ(fh)x, yă = ăΚ(f)âΚ(h), x, yă = ăΚ(h)x,Κ(f)yă
=
â«
Ï
h(z) dăx,Κ(f)yă
Mit der Eindeutigkeitsaussage im Rieszschen Darstellungssatz folgt (23.7).
208 23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN
(iv) Der Beweis zu (23.6) benotigt den Satz von Radon-Nykodym, auf den hier ausZeitgrunden nicht eingegangen werden kann2. Nach diesem Satz gibt es im Fall f â B(Ï,B)eine Borel-meĂbare Funktion g : Ï â C mit |g| ⥠1, so daĂ
gf dăE(·)x, yă = |f | dv(ăE(·)x, yă, ·) .Hieraus folgt
â«
Ï
|f(z)| dv(ăE(·)x, yă, z) =
â«
Ï
g(z)f(z) dăE(z)x, yă = ăΚ(gf)x, yă †âΚ(gf)xâ · âyâ .
Wegen (23.5) gilt
âΚ(gf)xâ2 =
â«
Ï
|gf(z)|2 dăE(z)x, xă =
â«
Ï
|f(z)|2 dăE(z)x, xă .
Damit folgt die Abschatzung (23.6) fur Funktionen f â B(Ï,B). Den allgemeinen Fallerhalt man hieraus mit Hilfe des Satzes von der monotonen Konvergenz (angewendet aufdie beschrankten Borel-meĂbaren Funktionen ÏÏnf , n â N). €
23.23. Satz. Seien Ï und E wie vor und seien f, g Borel-meĂbare Funktionen auf Ï.
(a) Es gibt genau einen abgeschlossenen linearen Operator
Κ(f) : H â D(Κ(f)) = Df â Hmit
ăΚ(f)x, yă =
â«
Ï
f(z) dăE(z)x, yăfur alle x â Df , y â H. Ferner
(23.8) âx â Df : âΚ(f)xâ2 =
â«
Ï
|f(z)|2 dăE(z)x, xă
(b) Es gilt
Κ(f)Κ(g) â Κ(fg) mit D(Κ(f)Κ(g)) = Dg â©Dfg.
Es gilt also Κ(f)Κ(g) = Κ(fg) genau dann, wenn Dfg â Dg.
(c) Κ(f)â = Κ(f) und Κ(f)âΚ(f) = Κ(|f |2) = Κ(f)Κ(f)â.
Beweis. (a) Mit (23.6) folgt fur alle x â Df , y â H:
âŁâŁâŁâ«
Ï
f(z) dăE(z)x, yăâŁâŁâŁ â€
â«
Ï
|f(z)| dv(ăE(·)x, yă, z) â€( â«
Ï
|f(z)|2 dăE(z)x, yă) 1
2.
Durch y 7â â«Ïf(z) dăE(z)x, yă ist also ein stetiges lineares Funktional auf H gegeben.
Nach dem Satz von Riesz gibt es daher genau ein Κ(f)x â H mit
(23.9) ăΚ(f)x, yă =
â«
Ï
f(z) dăE(z)x, yă
fur alle y â H und es gilt
(23.10) âΚ(f)xâ2 â€â«
Ï
|f(z)|2 dăE(z)x, xă .
Die Linearitat von x 7â Κ(f)x auf dem Untervektorraum Df von H rechnet man nachunter Verwendung von (23.9) und der Tatsache, daĂ x 7â ăE(·)x, yă linear ist.
2Eine ausfuhrliche Darstellung mit Beweis findet man z.B. in [20].
23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN 209
Wir setzen wieder fn := ÏÏnf mit Ïn := z â Ï ; |f(z)| †n. Nach dem Satz vonLebesgue uber die dominierte Konvergenz und (23.10) folgt
âΚ(f)xâΚ(fn)xâ2 = âΚ(f â fn)xâ2 â€âŁâŁâŁâ«
Ï
|f(z)â fn(z)|2 dăE(z)x, xă â 0
fur n â â. Andererseits gilt fur n â â nach (23.5) und dem Satz uber die monotoneKonvergenz
âΚ(fn)xâ2 =
â«
Ï
|fn(z)|2 dăE(z)x, xă ââ«
Ï
|f(z)|2 dăE(z)x, xă .
Damit folgt (23.8).Die Abgeschlossenheit des Graphen von Κ(f) wird aus (c) folgen.(b) Sei zunachst f â B(Ï,B) vorausgesetzt. Dann ist Dg â Dfg und fur alle x â Dg,
y â H gilt unter Verwendung von (23.7)
ăΚ(f)Κ(g)x, yă = ăΚ(f)âΚ(g)x, yă = ăΚ(g)x,Κ(f)yă =
â«
Ï
g(z) dăE(z)x,Κ(f)yă
=
â«
Ï
g(z)f(z) dăE(z)x, yă.
Also giltâx â Dg : Κ(f)Κ(g)x = Κ(fg)x .
Ferner folgt hiermit nach (a)
(23.11)
â«
Ï
|f(z)|2 dăE(z)Κ(g)x,Κ(g)xă = âΚ(f)Κ(g)xâ2 = âΚ(fg)xâ2
=
â«
Ï
|f(z)g(z)|2 dăE(z)x, xă .
Sei nun f : Ï â C eine beliebige Borel-meĂbare Funktion und seien fn := fÏÏn , n â N,wie im Beweisteil (a). Dann folgt fur alle x â Dg durch Anwenden von (23.11) auf fn undUbergang zum Grenzwert fur nââ mit dem Satz uber die monotone Konvergenz:
âΚ(f)Κ(g)xâ2 <â âââ«
Ï
|f(z)g(z)|2 dăE(z)x, xă <â
und
âΚ(f)Κ(g)xâ2 =
â«
Ï
|f(z)g(z)|2 dăE(z)x, xă ,falls eine (und damit auch die andere) der beiden GroĂen endlich ist. Insbesondere folgt
D(Κ(f)Κ(g)) = Dg â©Dfg .
Weiter folgt fur alle x â Dg â© Dfg mit dem Satz uber die dominierte Konvergenz furnââ:â«
Ï
|fn(z)â f(z)|2 dăE(z)Κ(g)x,Κ(g)xă =
â«
Ï
|fn(z)g(z)â f(z)g(z)|2 dăE(z)x, xă â 0 .
Daher gilt fur alle x â D(Κ(f)Κ(g)) = Dg â©Dfg:
Κ(f)Κ(g)x = limnââ
Κ(fn)Κ(g)x = limnââ
Κ(fng)x = Κ(fg)x .
Damit ist (b) bewiesen.(c) Seien nun x, y â Df = Df beliebig. Mit fn, n â N wie vor gilt (unter Verwendung
von Lemma 22.3):
ăΚ(f)x, yă = limnââ
ăΚ(fn)x, yă limnââ
ăx,Κ(fn)âyă = lim
nââăx,Κ(fn)yă = ăx,Κ(f)yă
210 23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN
und somit y â D(Κ(f)â) sowie Κ(f) â Κ(f)â.Zu zeigen ist also noch: D(Κ(f)â) â Df = Df . Sei also x â D(Κ(f)â). Mit fn = fÏÏn
wie vor gilt nach (b)Κ(fn) = Κ(f)Κ(ÏÏn) = Κ(f)E(Ïn).
Es folgt mit Lemma 23.21:
E(Ïn)Κ(f)â = E(Ïn)âΚ(f)â â (Κ(f)E(Ïn))
â = Κ(fn)â = Κ(fn)
und damit (wegen D(Κ(f)â) = D(E(Ïn)Κ(f)â))
E(Ïn)Κ(f)â = Κ(fn)x.
Es folgt (wegen der Ï-Additivitat von E in der starken Operatortopologie)â«
Ï
|f(λ)|2 dăE(λ)x, xă = limnââ
â«
Ï
|fn(λ)|2 dăE(λ)x, xă = limnââ
â«
Ï
|fn(λ)|2 dăE(λ)x, xă
= limnââ
âΚ(fn)xâ2 = limnââ
âE(Ïn)Κ(f)âxâ = âΚ(f)âxâ2 <â .
Also ist x â Df = Df und Κ(f)âx = Κ(f)x. Insbesondere folgt Κ(f) = Κ(f)â. NachLemma 23.2 ist Κ(f) also ein abgeschlossener Operator.
Die verbleibende Aussage folgt aus der ersten Aussage in (c) und (b) unter Beachtungvon D|f |2 = Dff â Df = Df . €
Sei E : B â L(H) wie vor ein SpektralmaĂ auf den Borelmengen einer kompakten,
nicht leeren Teilmenge Ï von C mit ăE(·)x, yă â rca(Ï) fur alle x, y â H und mit E(ââ©Ï) = 0. Sei weiter f : Ï â C eine Borel-meĂbare Funktion auf Ï. Die Familie
DQ :=D(x+ iy, Ï) = z â C ; |z â xâ iy| < Ï ; x, y, Ï â Q
aller offenen Kreisscheiben mit rationalen Radien, und Mittelpunkten mit rationalen Real-und Imaginarteilen ist abzahlbar. Fur eine Borel-meĂbare Funktion f : Ï â C ist
Vf :=âD â DQ ; E(fâ1(D)) = 0
eine offene Teilmenge von C. Wegen der Ï-Additivitat von E in der starken Operatorto-pologie folgt
E(fâ1(Vf )) = 0.
Die Menge Vf ist die groĂte offene Teilmenge V von C mit E(fâ1(V )) = 0. Wir definierenden E-wesentlichen Wertebereich E â ess ran(f) von f durch
E â ess ran(f) := C \ Vfund das E-wesentliche Supremum von f auf Ï durch
E â ess supzâÏ
|f(z)| := supwâEâess ran(f)
|w|.
Die Funktion f heiĂt auf Ï wesentlich beschrankt bzgl. E, falls Eâ ess supzâÏ |f(z)| <â.In diesem Fall ist der E-wesentliche Wertebereich von f kompakt. Die Menge der E-wesentlich beschrankten Funktionen auf Ï bezeichnen wir mit Lâ(E). f heiĂt eine E-Nullfunktion, falls E â ess supzâÏ |f(z)| = 0. Die Menge aller E-Nullfunktionen auf Ïbezeichnen wir mit NE. Offensichtlich gilt
E â ess supzâÏ
|f(z)| †âfâÏ = supzâÏ
|f(z)|
und f â Lâ(E) genau dann, wenn es eine Funktion h â B(Ï,B) gibt mit f â h â NE.Die Menge
NâE := f â B(Ï,B) ; ess sup
zâÏ|f(z)| = 0
23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN 211
ist dann ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal in B(Ï,B). Versehen wir die Quotientenal-gebra
Lâ(E) := B(Ï,B)/NâE
mit ihrer Quotientennorm â · âLâ(E), so rechnet man nach, daĂ fur alle f â B(Ï,B) gilt:
âf +NâE âLâ(E) = ess sup
zâÏ|f(z)| .
Lâ(E) ist kanonisch isomorph zum Raum aller E-wesentlich beschrankten Funktionenauf Ï modulo NE. Fur alle f â Nâ
E hat man Κ(f) =â«Ïf(z) dăE(z)x, yă = 0. Durch
Κ(f +NâE ) := Κ(f) =
â«Ïf(z) dz wird also ein unitaler â-Homomorphismus
Κ : Lâ(E) â L(H)
definiert. Nach Aufgabe 15.4 ist Κ stetig und âΚâ = 1. Es gilt sogar
23.24. Lemma. Κ : Lâ(E) â L(H) ist ein isometrischer â-Monomorphismus.
Beweis. Da T (Ï,B) dicht in B(Ï,B) und somit T := g+NâE ; g â T (Ï,B) dicht in
Lâ(E) liegt, genugt es die Isometrieeigenschaft auf T nachzuweisen. Sei also g â T (Ï,B)beliebig. g hat eine Darstellung der Form
g =nâj=1
ajÏÎŽj
mit paarweise verschiedenen a1, . . . , an â K und paarweise disjunkten Mengen ÎŽj â B.Offensichtlich gilt
E â ess ran(g) = aj ; 1 †j †n, E(aj) 6= 0und daher
âg +NâE âLâ(E) = E â ess sup
zâÏ|g(z)| = max|aj| ; 1 †j †n, E(aj) 6= 0 = |ak|
fur ein k â 1, . . . , n mit E(ÎŽk) 6= 0. Sei nun x â E(ÎŽk)H beliebig mit âxâ = 1. Dannfolgt (wegen E(ÎŽk)x = x und E(ÎŽj)x = 0 fur j 6= k):
âΚ(g +NâE )â â„ âΚ(g)xâ =
( â«
Ï
|g(z)|2 dăE(z)x, xă) 1
2= |ak| = âg +Nâ
E âLâ(E) .
Fur alle x â H mit âxâ †1 folgt mit Pythagoras
âΚ(g)xâ2 =â„â„â„
nâj=1
ajE(ÎŽj)xâ„â„â„
2
=nâj=1
|aj| · âE(ÎŽj)xâ2 †|ak|2nâj=1
âE(ÎŽj)xâ2 †|ak|2âxâ2
â€(E â ess supzâÏ
|g(z)|)2.
Damit folgt auch âΚ(g +NâE )â = âΚ(g)â †E â ess supzâÏ |g(z)| = âg +Nâ
E âLâ(E). €23.25. Satz. Sei f : Ï â C eine Borel-meĂbare Funktion. Dann gilt Df = H genau
dann, wenn f +NE â Lâ(E).
Beweis. Ist Df = H, so ist Κ(f) â L(H) nach dem Satz vom abgeschlossenen Gra-phen. Sei wieder Ïn := z â Ï ; |f(z)| †n. Mit Lemma 23.24 und Satz 23.23 folgt
âfÏÏn +NâE âLâ(E) = âΚ(fÏÏn)â = âΚ(f)Κ(ÏÏn)â †âΚ(f)â
fur alle n â N. Dies ist nur moglich, wenn f wesentlich beschrankt ist. Die Umkehrungist offensichtlich. €
23.26. Satz. Seien Ï und E wie vor und sei f : Ï â C eine Borel-meĂbare Funktion.
212 23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN
(a) Ist λ â E â ess ran(f) und E(fâ1(λ)) 6= 0, so ist λ ein Eigenwert von Κ(f).(b) Ist λ â E â ess ran(f) und E(fâ1(λ)) = 0, so ist λ â Κ(f) : H â Df â H
injektiv mit dichtem Bild und es gibt eine Folge (xn)ân=1 in Df mit âxnâ = 1 fur
alle n â N und limnââ â(λâΚ(f))xnâ = 0.
(c) Ï(Κ(f)) = E â ess ran(f)C.
Beweis. (a) Ist E (fâ1(λ)) 6= 0, so gibt es ein x0 â E (fâ1(λ))H mit âx0â = 1.Es folgt (λâ f)Ïfâ1(λ) ⥠0 und daher nach Satz 23.23
0 = Κ((λâ f)Ïfâ1(λ)) = (λâΚ(f))Κ(Ïfâ1(λ)) = (λâΚ(f))E(fâ1(λ)also auch
(λâΚ(f))x0 = (λâΚ(f))E(fâ1(λ))x0 = 0.
(b) Fur n â N sei ÎŽn := z â Ï ; |λ â f(z)| â„ 1/n. Fur alle x â H gilt wegen derÏ-Additivitat von E in der starken Operatortopologie:
(23.12) x = E(Ï)x = E(fâ1(λ))x+ E
( âân=1
ÎŽn
)x = lim
nââE(ÎŽn)x .
Nach Satz 23.23 folgt
E(ÎŽn)x = Κ(ÏÎŽn)x = Κ((λâ f) · ÏÎŽn
λâ f
)x = (λâΚ(f))Κ
( ÏÎŽnλâ f
)x .
Also liegt ran(λâΚ(f)) dicht in H.Ist x â Df mit (λâΚ(f))x = 0 so folgt mit Satz 23.23
E(ÎŽn)x = Κ(ÏÎŽn)x = Κ( ÏÎŽnλâ f
· (λâ f))
= Κ( ÏÎŽnλâ f
)Κ(λâ f)x = 0
und hieraus wegen (23.12):
x = E(Ï)x = limnââ
E(ÎŽn)x = 0.
Damit ist die Injektivitat von λâΚ(f) gezeigt.Wegen λ â Eâess ran(f) gilt E
(fâ1
(U1/n(λ)
)) 6= 0 fur alle Kreisscheiben U1/n(λ) um
λ mit Radius 1/n, n â N. Es gibt daher fur alle n â N Punkte xn â E(fâ1
(U1/n(λ)
))Hmit âxnâ = 1. Mit Satz 23.23 folgt
(λâΚ(f))xn = Κ(λâ f)E(fâ1
(U1/n(λ)
))xn = Κ
((λâ f)Ïfâ1(U1/n(λ))
)xn
und daher nach Lemma 22.3
â(λâΚ(f))xnâ â€â„â„â„(λâ f)Ïfâ1(U1/n(λ))
â„â„â„Ïâxnâ †1
nâ 0
fur nââ. Insbesondere ist (λâ Κ(f))â1 ein dicht definierter aber unstetiger Operatorund es folgt auch in diesem Fall λ â Ï(Κ(f),H).
(c) Wir haben bereits Eâess ran(f) â Ï(Κ(f),H) gezeigt. Sei nun λ â C\Eâess ran(f).Dann gibt es ein r > 0 mit E (fâ1(D(λ, r))) = 0. Die Funktion g : Ï â C mit
g(z) :=
0 fur z â fâ1(D(λ, r))
1λâf(z)
fur z â Ï \ fâ1(D(λ, r))
erfullt fgâ1 â NE und ist auf Ï E-wesentlich beschrankt. Insbesondere ist Κ(g) â L(H).Mit Satz 23.23 folgt
Κ(g)(λâΚ(f)) â Κ(g(λâ f)) = Κ(1) = 1 = Κ((λâ f)g) = (λâΚ(f))Κ(g).
Der Operator λ â Κ(f) ist also injektiv und (λ â Κ(f))â1 = Κ(g) â L(H), d.h. es istλ â Ï(Κ(f),H). €
23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN 213
23.27. Satz (Spektralsatz fur selbstadjungierte Operatoren). Sei T : H â D(T ) â Hein selbstadjungierter linearer Operator. Dann gibt es genau ein SpektralmaĂ
E : B := B(R âȘ â) â L(H)
mit ăE(·)x, yă â rca(R âȘ â) fur alle x, y â H und mit(23.13)
ăTx, yă =
â«
RâȘâz dăE(z)x, yă =
â«
Rz dăE(z)x, yă fur alle x â D(T ), y â H .
Es ist E(Ï(T,H)) = 1 und E(â) = 0.
Beweis. Sei U : H â H die Cayley-Transformierte von T . Da U als unitarer Operatorinsbesondere normal ist, gibt es nach dem Spektralsatz 22.5 genau ein SpektralmaĂ
EU : BU := B(Ï(U,H)) â L(H)
mit ăEU(·)x, yă â rca(Ï(U,H)) fur alle x, y â H und mit
(23.14) U =
â«
Ï(U,H)
z dEU .
Wegen der Injektivitat von 1â U (vergl. die Bemerkungen vor Definition 23.14) undEU(1)H = ker(1â U) ist EU(Ï(U,H) â© 1) = 0. Die durch
f(z) :=
i1+z1âz fur 1 6= z â Ï(U,H)
0 fur z â Ï(U,H) â© 1definierte Funktion ist auf Ï(U,H) Borel-meĂbar. Sei ΚU(f) zu EU wie in Satz 23.23(bezuglich EU) definiert mit
ăΚU(f)x, yă =
â«
Ï(U,H)
f(z) dăEU(z)x, yă fur alle x â Df , y â H .
Da f auf Ï(U,H) â T reellwertig ist, ist ΚU(f) nach Satz 23.23 ein selbstadjungierterOperator. Wegen
f(z)(1â z) = i(1 + z) fur alle z â Ï(U,H)
und EU(Ï(U,H) â© 1) = 0 folgt nach Satz 23.23 (c) und dem Spektralsatz fur normaleOperatoren:
ΚU(f)(1â U) = i(1 + U) .
Nach Satz 23.13 gilt auch T (1âU) = i(1+U) und D(T ) = ran(1âU) â Df = D(ΚU(f)).ΚU(f) ist daher eine selbstadjungierte Erweiterung von T . Da T nach Lemma 23.10 alsselbstadjungierter Operator maximal symmetrisch ist, folgt T = ΚU(f). Also gilt fur allex â Df = D(T ) und alle y â H
ăTx, yă =
â«
Ï(U,H)
f(z) dăEU(z)x, yă =
â«
Ï(U,H)\1f(z) dăEU(z)x, yă.
Nach Satz 23.26 (c) ist
Ï(T,H) = Ï(ΚU(f),H) = E â ess ran(f)C â R âȘ â.
Wir definieren nun fur alle Borelmengen ÎŽ â R âȘ â:E(ÎŽ) := EU
(fâ1(ÎŽ) â© Ï(U,H)
).
214 23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN
Insbesondere ist E(â) = 0. Dann ist E : B â L(H) ein SpektralmaĂ mit ăE(·)x, yă ârca(R âȘ â) fur alle x, y â H und es gilt fur alle Treppenfunktionen
g =nâj=1
ajÏÎŽj â T (R âȘ â),
daĂ ihr Integral bezuglich E die Darstellungâ«
RâȘâg dE =
â«
Rg dE =
nâj=1
ajE(ÎŽj) =
â«
Ï(U,H)
nâj=1
ajEU(fâ1(ÎŽj) â© Ï(U,H)
)
=
â«
Ï(U,H)
g f dEU
besitzt. Fur alle Borel-meĂbaren Funktionen g : R âȘ â â C und alle x, y â H mitâ«
RâȘâ|g(w)|2 dăE(w)x, xă <â oder
â«
Ï(U,H)
|g(f(z))|2 dăEU(z)x, xă <â
folgt daherâ«
RâȘâg(w) dăE(w)x, yă =
â«
Rg(w) dăE(w)x, yă =
â«
Ï(U,H)
g(f(z)) dăEU(z)x, yă .
Insbesondere gilt fur alle x â D(T ) = Df und alle y â H:â«
RâȘâw dăE(w)x, yă =
â«
Rw dăE(w)x, yă =
â«
Ï(U,H)
f(z) dăEU(z)x, yă
= ăΚU(f)x, yă = ăTx, yă.Ferner gilt
Ï(T,H) = Ï(ΚU(f),H) = E â ess ran(f)C
= f(ÏU(U) \ 1)C
sowie fur alle ÎŽ â B:
E(ÎŽ) = EU(fâ1(ÎŽ) â© Ï(U,H)
)= EU
((fâ1(ÎŽ) â© Ï(U,H)) \ 1)
= E ((ÎŽ â© Ï(T,H)) \ â) = E(ÎŽ â© Ï(T,H)).
Insbesondere folgt fur alle Borel-meĂbaren Funktionen g : Ï(T,H) â C und alle x, y â Hmit
â«RâȘâ) |g(w)|2 dăE(w)x, xă <â:
â«
RâȘâg(w) dăE(w)x, yă =
â«
Ï(T,H)\âg(w) dăE(w)x, yă =
â«
Ï(T,H)
g(w) dăE(w)x, yă .
Ebenso, wie wir das SpektralmaĂ von T mittels des SpektralmaĂes der Cayley-Transfor-mierten U von T erhalten haben, konnen wir das SpektralmaĂ von U erhalten, in demwir T als inverse CayleyâTransformierte von U auffassen. Da aber das SpektralmaĂ vonU nach dem Spektralsatz fur normale, stetige, lineare Operatoren eindeutig bestimmt isterhalt man so auch die Eindeutigkeitsaussage des Satzes. €
23.28. Satz. Sei T : H â D(T ) â H ein selbstadjungierter Operator.
(a) Es gilt Ï(T,H) â [0,â] genau dann, wenn fur alle x â D(T ) gilt ăTx, xă â„ 0.Wir schreiben dann auch T â„ 0.
(b) Ist T â„ 0, so existiert genau ein selbstadjungierter Operator S : H â D(S) â Hmit S â„ 0 und S2 = T .
23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN 215
Beweis. (a) als Ubungsaufgabe 23.5.(b)Sei T â„ 0 und sei E : B â L(H) das SpektralmaĂ zu T gemaĂ Satz 23.27. Fur die
Funktion g mit
g(t) =
ât fur t â [0,â)
0 fur t â (ââ, 0) âȘ âgilt mit Dg =
x â H ;
â«RâȘâ |g(t)|2 dăE(t)x, xă <â
: Es ist Dgâ©Dg2 = Dg2 und daher
nach Satz 23.23 und Satz 23.27
ăΚ(g)2x, yă = ăΚ(g2)x, yă =
â«
[0,â)
t dăE(t)x, yă =
â«
RâȘât dăE(t)x, yă = ăTx, yă
fur alle x â D(T ) = Dg2 = D(Κ(g)2), y â H. Also gilt T = Κ(g2) = Κ(g)2. Wegen
Ï(Κ(g),H) = E â ess ran(g) â [0,â]
ist S := Κ(g) â„ 0.Ist auch R = Râ â„ 0 mit R2 = T und bezeichnet ER das zu R gehorige SpektralmaĂ,
so definieren wir ein SpektralmaĂ E : B â L(H) durch
E(ÎŽ) := ER(g(ÎŽ)) fur alle ÎŽ â B .Man rechnet nach, daĂ mit ăER(·)x, yă â rca(R âȘ â) auch ăE(·)x, yă â rca(R âȘ â)gilt. Fur alle x â D(T ) = D(R2) und alle y â H folgt
ăTx, yă = ăR2x, yă =
â«
[0,â)
t2 dăER(t)x, yă =
â«
[0,â)
s dăE(s)x, yă =
â«
RâȘâs dăE(s)x, yă .
Wegen der Eindeutigkeitsaussage im Spektralsatz 23.27 folgt E = E. Da ER durchER((ââ, 0) âȘ â) = 0 und E(ÎŽ) = E(ÎŽ) = ER(g(ÎŽ)) schon eindeutig bestimmt ist,ist R eindeutig bestimmt und es folgt R = S. €
Ubungsaufgaben zu Kapitel 23.
23.1. Aufgabe. Sei U : H â D(U) â H eine lineare Isometrie. Zeigen Sie: Ist einerder drei Raume D(U), ranU , G(U) abgeschlossen, so gilt dies auch fur die beiden anderen.
23.2. Aufgabe. Sei T : H â D(T ) â H ein dicht definierter linearer Operator.Zeigen Sie:
(a) ker(T â) = ran(T )â„ â©D(T â).(b) Ist T abgeschlossen, so gilt ker(T ) = ran(T â)â„ â©D(T ).
23.3. Aufgabe. Sei H2 der in Aufgabe 1.11 eingefuhrte Hardy-Raum auf der Kreis-scheibe in C und S der Shiftoperator, also
S : H2 ââ H2, (Sf)(z) := zf(z).
Zeigen Sie, daĂ S die Cayley-Transformierte des symmetrischen Operators
T : H2 â D(T ) ââ H2, (Tf)(z) := i1 + z
1â zf(z)
ist. T ist maximal symmetrisch, besitzt aber keine selbstadjungierte Erweiterung.
23.4. Aufgabe. Der Operator V sei auf H2 definiert als (V f)(z) := zf(z2). ZeigenSie, daĂ V eine Isometrie ist, welche die Cayley-Transformation eines abgeschlossenensymmetrischen Operators auf H2 ist, dessen Defektindizes 0 und â sind.
216 23. DER SPEKTRALSATZ FUR UNBESCHRANKTE SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN
23.5. Aufgabe. Zeigen Sie: Fur einen selbstadjungierten, linearen Operator T : H âD(T ) â H gilt ăTx, xă â„ 0 fur alle x â D(T ) genau dann, wenn Ï(T ) â [0,â].
23.6. Aufgabe. Sei T : H â D(T ) â H ein abgeschlossener linearer Operator mit
nicht leerer Resolventenmenge Ï(T ) := C \ Ï(T ). Zeigen Sie: Ist λ â Ï(T ), so gilt
Ï((λâ T )â1) = 1/(λâ z) ; z â Ï(T ).23.7. Aufgabe. Sei T : H â D(T ) â H ein selbstadjungierter, linearer Operator.
(a) Zeigen Sie: Fur alle z â C \ R ist (z â T )â1 ein normaler Operator.(b) Berechnen Sie fur z â C \ R das SpektralmaĂ von (z â T )â1.
Literaturverzeichnis
[1] Albrecht, Ernst, Funktionentheorie, Vorlesungsskript, Universitat des Saarlandes, SS 2007.[2] Albrecht, Ernst, Topologie, Vorlesungsskript, Universitat des Saarlandes, SS 2007.[3] Arens, Richard, Dense inverse limit rings, Michigan Math. J. 5 (1958), 169â182.[4] Alt, H.W., Lineare Funktionalanalysis, Springer, Berlin Heidelberg New York 1985.[5] Bourbaki, Nicolas, Topologie generale, Chapitre II, Hermann, Paris 1960.[6] Conway, John B., A Course in Functional Analysis, Springer, Berlin 1996.[7] Dobrowolski, Manfred, Angewandte Funktionalanalysis, Springer, Berlin Heidelberg 2005.[8] Dunford, Nelson and Schwartz,Jack T., Linear Operators I: General Theory, Wiley-
Interscience, New York 1958.[9] Dunford, Nelson and Schwartz,Jack T., Linear Operators II:Spectral theory. Self adjoint
operators in Hilbert space, Wiley-Interscience, New York 1963.[10] Dunford, Nelson and Schwartz,Jack T., Linear Operators III: Spectral Operators, Wiley-
Interscience, New York 1971.[11] Grothendieck, Alexander, Topological Vector Spaces Gordon and Breach, New York-London-
Paris 1973.[12] Heuser, Harro, Funktionalanalysis, Teubner, Stuttgart 1986.[13] Jarchow, Hans, Locally Convex Spaces Teubner, Stuttgart 1981.[14] Kaballo, Winfried, Einfuhrung in die Analysis II, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg-
Berlin-Oxford 1997.[15] Kamke Mengenlehre, Sammlung Goschen 999/999a, Walter deGuyter & Co, Berlin 1962.[16] Kothe, Gottfried, Topological Vector Spaces I, Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1969.[17] Kothe, Gottfried, Topological Vector Spaces II, Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1979.[18] Mathieu, Martin, Funktionalanalysis, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg-Berlin-Oxford.[19] Meise, Reinhold und Vogt, Dietmar, Einfuhrung in die Funktionalanalysis, Vieweg,[20] Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill 1970.[21] Rudin, Walter, Functional Analysis, McGraw-Hill 1973.[22] Schaeaefer, Helmut H., Topological Vector Spaces, Springer 1971.[23] Schroder, Herbert, Funktionalanalysis, Akademieverlag, Berlin 1997.[24] Werner, Dirk, Funktionalanalysis, Springer, Berlin-Heidelberg-New York 2002.[25] Yosida, Kosaku, Functional Analysis, Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1995.
217
Index
E-Nullfunktion, 210E-wesentlicher Wertebereich, 210S-Topologie, 143Ï-Algebra, 153Ï-additiv, 153
in der schwachen Operatortopologie, 188in der starken Operatortopologie, 188
Ï-endlich, 160Aquivalenz
von Metriken, 38von Normen, 12
auĂeres MaĂ, 158Silovrand, 116
Abbildungduale, 29offene, 47transponierte, 29
abgeschlossener linearer Operator, 198abschlieĂbarer linearer Operator, 50absolut polare Menge, 132absolutkonvex, 98absorbant, 98adjungierter Operator, 29, 198Adjunktion der Eins, 2Alexandroff
Satz von, 161Algebra, 1
Ï-Algebra, 153einfache, 5halbeinfache, 5normierte, 7, 64von Teilmengen einer Menge, 153
algebraischer Dualraum, 10analytischer Funktionalkalkul, 179Annihilator, 63Auerbach
Lemma von, 60
BaireKategoriensatz von, 40Satz von, 40
BanachâGrenzwerte, 58Banachalgebra, 7, 64Banachraum, 7
reflexiver, 63BergmanâRaum, 16
beschrankt, 7beschrankte Teilmenge
eines topologischen Vektorraums, 135Besselsche Ungleichung, 25Bestapproximation, 22bidualer Raum, 149Bikommutantenalgebra, 1Bilinearform, 104bipolare Menge, 133Bipolarensatz, 133Boolesche Algebra, 153Borelmengen, 161
CââAlgebra, 121CââUnteralgebra, 123CalkinâAlgebra, 95Caratheodory
Satz von, 158CauchyâFolge, 7Cauchy-Netz, 102Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, 19Cayley-Transformierte, 202
Darstellungssatz von Riesz, 169Defektindizes, 204dicht definierter linearer Operator, 198DiracâFunktional, 109Diskalgebra, 69duale Abbildung, 29Dualraum
algebraischer, 10topologischer, 10
Dualsystem, 104
Eigenraum, 78Eigenvektor, 78Eigenwert, 78einfache Algebra, 5Einheitskugel, 7extremale Teilmenge, 137Extremalpunkt, 137
filtrierend, 102folgenvollstandig, 102Fortsetzungssatz von Hahn und Banach, 56
komplexe Version, 57Fredholmoperator, 89Fundamentalsystem
218
INDEX 219
von Halbnormen, 100von Nullumgebungen, 100
FunktionÎŁ-meĂbare, 162schwach holomorphe, 172stark holomorphe, 172
Funktionalsublineares, 55
funktionales Modell, 182Funktionalkalkul
analytischer, 179fur normale Elemente einer CââAlgebra, 124
GelfandâHomomorphismus, 111GelfandâNeumark
Satz von, 123Gelfandtheorie, 109gerichtete Menge, 102gleichstetig, 42, 134Graph, 49Graphennorm, 49, 198Graphensatz, 52Grenzwert, 7
Holderâstetig, 85HahnâBanach
Fortsetzungssatz, 56komplexe Fassung, 57
Trennungssatz, 61, 131Hahn-Erweiterung, 160halbeinfach, 5Halbnorm, 7Halbnormensystem
separierendes, 101HardyâRaum, 16Hauptteil, 37Hauptverteilung, 37
losbare, 37hermitesch, 121, 199hermitescher Operator, 29HilbertâSchmidtâOperator, 86Hilbertraumdimension, 27holomorph
schwach, 172stark, 172
Homomorphiesatz, 5
Ideal, 2Linksideal, 2maximales, 3modulares, 2Rechtsideal, 2zweiseitiges, 2
Identitatssatz, 174Index
eines Fredholmoperators, 89Integration vektorwertiger Funktionen, 171Involution, 121Isometrie, 12
lineare, 12isometrisch, 12isometrischer Isomorphismus, 12Isomorphismus
isometrischer, 12topologischer, 12
isoton, 167
Jordan-Zerlegung, 156
Kategoriensatz von Baire, 40KatoâLemma, 88Kegel, 126
konvexer, 126spitzer, 126
Kommutantenalgebra, 1kompakter linearer Operator, 77konfinal, 102konvex, 98konvexer Kegel, 126Krein-Milman
Satz von, 138kreisformig, 98
Lemmavon Auerbach, 60von Kato, 88von Riesz, 13
Linksideal, 2lokalbeschrankt, 146lokalkonvex, 99
MackeySatz von, 136
auf dem Dualraum, 147mager, 40maximal symmetrisch, 201maximales Ideal, 3maximierende Teilmenge von â(R), 116MaĂ, 157MaĂraum, 157
Ï-endlicher, 160endlicher, 157positiver, 157
MengeÏ -beschrankte, 135absolutkonvexe, 98absorbante, 98gerichtete, 102konvexe, 98kreisformige, 98mager, 40prakompakte, 139total beschrankte, 139von erster Kategorie, 40von zweiter Kategorie, 40
Mengenfunktion, 153Ï-additive, 153Ï-endliche, 160
220 INDEX
abzahlbar additive, 153additive, 153beschrankte, 154endlich additive, 153isotone, 167nicht negative, 154regulare, 161von beschrankter Variation, 154
Metrikenaquivalente, 38
metrisierbar, 102MinkowskiâFunktional, 98MittagâLeffler
Satz von, 37modulares Ideal, 2Montel-Raum, 151Moore-Smith-Folge, 102multiplikative lineare Funktionale, 109
Netz, 102nirgends dicht, 40Norm, 7
submultiplkative, 64normal, 121normaler Operator, 30normbeschrankt, 7Normen
aquivalente, 12normierte Algebra, 7, 64normierter Raum, 7Normtopologie, 7nullhomolog, 172
obere Variation, 156offene Abbildung, 47Operator
abgeschlossener linearer, 198adjungierter, 29, 198dicht definierter, 198Fredholmoperator, 89hermitescher, 29, 199maximal symmetrischer, 201normaler, 30positiver, 30, 128selbstadjungierter, 30, 199strikt positiver, 30symmetrischer, 199unitarer, 30
Operatornorm, 10orthogonale Projektion, 24orthogonales Komplement, 24Orthogonalraum, 21Orthogonalsystem, 25Orthonormalbasis, 26Orthonormalsystem, 25
vollstandiges, 25Oszillation, 41
Parallelogrammgleichung, 19
Parsevalsche Gleichung, 26polare Menge, 132Polarisierungsidentitat, 19, 29positiver Operator, 30, 128positives Element einer CââAlgebra, 126Pra-Hilbertraum, 18prakompakt, 139Projektion
orthogonale, 24stetige, 60
Projektionssatz, 23
Radikal, 4Raum
bidualer, 149normierter, 7reflexiver, 150semireflexiver, 150
Rechtsideal, 2reflexiv, 63, 150refulare Mengenfunktion, 161reproduzierender Kern, 33residual, 102Resolvente, 67Resolventenmenge, 67, 205Riesz
Lemma von, 13Satz von, 24
RieszâOperator, 96Rieszscher Darstellungssatz, 169
SatzBipolarensatz, 133Homomorphiesatz, 5Identitatssatz, 174Kategoriensatz von Baire, 40Projektionssatz, 23Rieszscher Darstellungssatz, 169spektraler Abbildungssatz, 124, 183Spektralsatz
fur kompakte selbstadjungierteOperatoren, 83
fur normale Operatoren, 192fur unbeschrankte, selbstadjungierte
Operatoren, 213vom abgeschlossenen Graphen, 52von Alexandroff, 161von Ascoli und Arzela, 80von Atkinson, 90von Baire, 40von Banach und Alaoglu, 106von Banach und Steinhaus, 42von Caratheodory, 158von der inversen Abbildung, 49von der offenen Abbildung, 47von der Stabilitat des Indexes, 92von GelfandâNeumark, 123von Hahn und Banach
komplexe Version, 57
INDEX 221
reelle Version, 56Trennungssatz, 61, 131
von Kelley, Kaplansky und Vaught, 126von Krein-Milman, 138von Liouville, 68, 174von Mackey, 136
auf dem Dualraum, 147von Mazur und Gelfand, 68von MittagâLeffler, 37
abstrakte Fassung von Arens, 35von Riesz, 24von Stone und WeierstraĂ, 122von Szego, 45
schwach holomorph, 172schwachââTopologie, 105schwache Topologie, 104selbstadjungierter Operator, 30, 199semireflexiv, 150separierender Raum, 50separierendes Halbnormensystem, 101Sesquilinearform, 28Skalarprodukt, 18spektraler Abbildungssatz, 124, 183SpektralmaĂ, 188Spektralradius, 71Spektralsatz
fur kompakte selbstadjungierte Operatoren,83
fur normale Operatoren, 192fur unbeschrankte, selbstadjungierte
Operatoren, 213Spektrum, 67, 205
wesentliches, 95spitzer Kegel, 126stark holomorph, 172strikt positiver Operator, 30sublineares Funktional, 55submultiplikativ, 64symmetrischer Operator, 199
Tonne, 146tonneliert, 146Topologie
lokalkonvexe, 99schwachâ, 105schwache, 104
topologischer Dualraum, 10topologischer Isomorphismus, 12, 97topologischer Vektorraum, 97total beschrankt, 139totale Variation, 154transponierte Abbildung, 29Trapezregel, 46Trennungssatz von Hahn und Banach, 61, 131
Ungleichungvon CauchyâSchwarz, 19
unitar, 121unitarer Operator, 30
untere Variation, 156Unterraum
stetig projizierter, 60
Variationobere, 156untere, 156
Vektorraumtopologie, 97verallgemeinerte Folge, 102vollstandig, 7vollstandiger topologischer Vektorraum, 102vollstandiges Orthonormalsystem, 25
wesentlich beschrankt, 210wesentliches Spektrum, 95wesentliches Supremum, 108, 210WienerâAlgebra, 109
Zentrum, 65zweiseitiges Ideal, 2