Funktionen IMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
Johannes-Kepler-Gymnasium
Funktionen
Funktionen IMathematik Jahrgangsstufe 11Mathematik Jahrgangsstufe 11
Lernangebot
1. Was sind Funktionen?
2. Darstellungsformen von Funktionen
3. Wichtige Funktionen und ihre
Graphen
4. Wie beschreiben Mathematiker
Funktionsgraphen?
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Was sind Funktionen?
Funktionen sind besondere Zuordnungen
Was ist überhaupt noch mal eine Zuordnung?
Einige Beispiele helfen, diese Frage zu beantworten: Jedem Kind kann sein Lieblingskuscheltier, jedem Schüler seine Schuhgröße, jedem Topf sein Deckel, jedem ...zugeordnet werden.
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Elementen der Definitionsmenge DD werden immer Elemente der Wertemenge W W zugeordnet.zugeordnet.
Das Ganze nun etwas mathematischer!
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-
Den Elementen x aus der Definitionsmenge DD
oder bekannter mit x und yx
l
-
l
-
-
l
- l
l
- l
Elemente y aus der Wertemenge W W zugeordnet.zugeordnet.werden jeweils
- l
l
y
l
l
-
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Was für Zuordnungen sind denn jetzt Funktionen?
Jedem Element der Definitionsmenge DD wird genau ein Element der Wertemenge W W zugeordnet. zugeordnet.
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Ist diese Zuordnung eine Funktion?
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Wie funktioniert eine Funktion?
Saft machen
Input - Output - Maschine
Funktion
Beispiele:
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Darstellungsformen von Funktionen
Funktionsvorschrift
xx y
1 2
1,5 3,25
2 5
Wertetabelle
Graph
-1 1 2 3
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
Funktionsgleichung
y
1x2
1x2
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Funktionen erkennen anhand von Tabellen und Graphen
Das Spiel:
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Das Spiel
x y
1 -5
3 1
5 4
-2 6
3 2
-4 -3
0 7
6 0
Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion?
JaJa NeinNein
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Das Spiel
x y
1 -5
33 11
5 4
-2 6
33 22
-4 -3
0 7
6 0
Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion?
NeinNein
JaJa
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Das Spiel
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
x
y
Handelt es sich um den Graphen einer Funktion?
JaJa NeinNein
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Das Spiel
x y
-6 9
0 6
7 0
3 4
2 3
4 5
1 3
3 4
Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion?
JaJa NeinNein
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Das Spiel
x y
-6 9
0 6
7 0
33 44
2 3
4 5
1 3
33 44
Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion?
NeinNein
JaJa
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Das Spiel
Handelt es sich um den Graphen einer Funktion?
JaJa NeinNein
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
x
y
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Das Spiel
Handelt es sich um den Graphen einer Funktion?
JaJa NeinNein
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
x
y
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Das Spiel
x y
0 3
4 1
7 -5
4 2
5 3
-6 1
8 0
-2 9
Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion?
JaJa NeinNein
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Das Spiel
x y
0 3
44 11
7 -5
44 22
5 3
-6 1
8 0
-2 9
Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion?
JaJa NeinNein
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Das Spiel
Handelt es sich um den Graphen einer Funktion?
JaJa NeinNein
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
x
y
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Das Spiel
Handelt es sich um den Graphen einer Funktion?
JaJa NeinNein
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
x
y
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Funktionsklassen
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Was sind noch mal Potenzfunktionen?
Funktionen der Form
y = a·xn
mit nIN und a IR nennt
man Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten.
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Graphen von einfachen Potenzfunktionen
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
xx22 xx33
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
xx44 xx55 xx66 xx77
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
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Wir schaffen Ordnung
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
2
3
x
y
mit ungeraden Exponenten
Graphen von einfachen Potenzfunktionen (a=1)
mit geraden Exponenten
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
x2
x4
x6
x
x3
x5
x7
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Monotonie
1 2
1 2
x , x 0
x x 1 2
Für alle gilt:
Wenn ist, dann ist f(x ) f(x ) .
f ist für x 0 .
streng monoton steigend
1 2
1 2
x , x 0
x x 1 2
Für alle gilt:
Wenn ist, dann ist f(x ) f(x ) .
f ist für x 0 .
streng monoton fallend
Streng monoton runter und rauf
x1 x2 x1 x2
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Streng monoton rauf und runter
1 2
1 2
x , x 0
x x 1 2
Für alle gilt:
Wenn ist, dann ist f(x ) f(x ) .
f ist für x 0 .
streng monoton fallend
1 2
1 2
x , x 0
x x 1 2
Für alle gilt:
Wenn ist, dann ist f(x ) f(x ) .
f ist für x 0 .
streng monoton steigend
Monotonie
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Die drei Fragen
• Was versteht ein Mathematiker unter dem Begriff „Funktion“?
• Wie kann man Funktionen darstellen?
• Welche Eigenschaften haben Potenzfunktionen?
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Aufgaben
Stunde 1(ArbeitsblattFunktionen)
2(Arbeitsblatt
Potenzfunktionen)
BASIC´s Vorderseite (a, b, c, d)2.) a3.)
1a) 2)3a) (I, III, V)4)
TOP´s 2.) b 3b) 5) 7)
4.) 6
Viel Erfolg!