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Fuzzy-LogikEine Einführung in unscharfe Logik

Nils Becker, November 2012

Inhalt Idee Unscharfe Mengen Entscheidungsfindung

Fuzzifizierung Regeln Inferenzoperationen Defuzzifizierung

Abschluss

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Idee 1965: Theorie der unscharfen Mengen,

Prof. Lotfi Zadeh, Berkeley

Idee: Klassische Mengenlehre bildet

menschliche Sprache schlecht ab

„Temperatur ist relativ hoch“

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Beispiel: Große Menschen

Unscharfe Mengen

1,58m 1,75m 1,80m 1,81m 1,85m 1,95m

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Beispiel: Große Menschen – klassische Mengenlehre

Unscharfe Mengen

1,58m 1,75m 1,80m 1,81m 1,85m 1,95m

>1,80m

große Menschennicht große Menschen

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Beispiel: Große Menschen – unscharfe Mengenlehre

Unscharfe Mengen

1,58m

1,75m 1,80m

1,82m 1,85m 1,95m

0

0,5

1

0,35 0,85 1 1 1

kaum groß

eher großμ

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Definition

Unscharfe Mengen Zugehörigkeitsgrad μ: ( Elemente gehören

zu gewissem Grad zur Menge μteuer(Porsche 911) = 0.99 = 99% μteuer(VW Polo) = 0.10 = 10%

Zugehörigkeitsfunktion: Definiert Zugehörigkeitsgrad

0

0,5

1

μ

G

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Darstellungsformen (1)

Unscharfe Mengen Geordnete Paare

Grafisch (Kurvenform)

𝐴= {(𝑥1 , μ1 ) , (𝑥 1 , μ1 ) ,…}∀ x∈𝐺

Grund-menge

0

0,5

1

μ

G

A

μ(xi)

xi

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Darstellungsformen (2)

Unscharfe Mengen

0

0,5

1

μ

G

A

μA(xi)

xi

μB(xi)

B

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Darstellungsformen (3) – Venn-Diagramm

Unscharfe Mengen

μ(x) = 1

μ(x) > 0 & μ(x) < 1

G

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Darstellungsformen (3) – Venn-Diagramm

Unscharfe Mengen

μA(x) = 1

μA(x) > 0 & μA (x) < 1

G

μB(x) = 1

Xi mit μA(Xi) = 1 & μB(Xi) > 0

μB(x) > 0 & μB (x) < 1

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Unscharfe Mengen - Mengenoperationen

Vereinigung

a b c d e f0

0.20.40.60.8

1

µA∪B(x) µ ( )𝐴 𝑥µB( )𝑥

Beispiel

x µ𝐴( )𝑥 µB( )𝑥 µA B∪ (x)

a 0,7 0 0,7

b 0 1 1

c 0,3 0,6 0,6

d 0,2 0,7 0,7

e 0 0,2 0,2

f 0,5 0 0,5

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Unscharfe Mengen - Mengenoperationen

Schnittmenge

a b c d e f0

0.20.40.60.8

1

µA∩B(x) µ ( )𝐴 𝑥µB( )𝑥

Beispiel

x µ𝐴( )𝑥 µB( )𝑥 µA B∪ (x)

a 0,7 0 0

b 0 1 0

c 0,3 0,6 0,3

d 0,2 0,7 0,2

e 0 0,2 0

f 0,5 0 0

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Unscharfe Mengen - Mengenoperationen

Komplement

a b c d e f0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

µ ( )𝐴 𝑥 µ¬ ( )𝐴 𝑥

Beispiel

x µ𝐴( )𝑥 µA ( )𝑥a 1 0

b 0 1

c 0,3 0,7

d 0,2 0,8

e 0 1

f 0,5 0,5

Wichtig: schließt auch mit = 0 ein

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Unscharfe Mengen - Mengenoperationen

Eigenschaften Distributivgesetze sind erfüllt, d.h. es

gilt:

Theorem von De Morgan ist erfüllt:

𝐴∩ (𝐵∪𝐶)=( 𝐴∩𝐵)∪(𝐴∩𝐶)𝐴∪ (𝐵∩𝐶)=( 𝐴∪𝐵)∩(𝐴∪𝐶)

¬(𝐴∪𝐵)=¬𝐴∩¬𝐵¬(𝐴∩𝐵)=¬𝐴∪¬𝐵

Beweise u.a.: „Einführung in die Fuzzy-Logik“, Dirk H. Traeger, 1994, S.18ff

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Unscharfe Mengen – Logische Operatoren

Und-Operator Minimum-Operator (=== Schnittmenge)

= min(

Produkt-Operator =

Summe größer 1 = max(0;

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Unscharfe Mengen – Logische Operatoren

Und-Operator (Beispiel)

a b c d e f0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Minumumµ ( )𝐴 𝑥µB( )𝑥Produkt>1

x µ𝐴( )𝑥 µB( )𝑥 Minimum Produkt > 1

a 0,7 0 0 0 0

b 0 1 0 0 0

c 0,3 0,6 0,3 0,18 0

d 0,4 0,7 0,4 0,28 0,1e 0 0,2 0 0 0f 0,5 0 0 0 0

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Unscharfe Mengen – Logische Operatoren

Oder-Operator Maximum-Operator (=== Vereinigung)

= max(

Summe - Produkt =

Summe (max. 1) = min(1;

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Unscharfe Mengen – Logische Operatoren

Oder-Operator (Beispiel)

a b c d e f0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Maximumµ ( )𝐴 𝑥µB( )𝑥Summe-ProduktSumme (max. 1)

x µ𝐴( )𝑥 µB( )𝑥 Maximum Summe –Produkt

Summe (max. 1)

a 0,7 0 0,7 0,7 0,7

b 0 1 1 1 1

c 0,3 0,6 0,6 0,72 0,9

d 0,4 0,7 0,7 0,82 1e 0 0,2 0,2 0,2 0,2f 0,5 0 0,5 0,5 0,5

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Unscharfe Mengen – Kompensatorische Operatoren

Gamma-Operator

170km/h 230km/h 130km/h

SUV Sportwagen Oldtimer

Dunkel 1 0,5 0

Schnell 0,4 1 0,1

Sparsam 0,7 0,5 0,3

UND 0,4 0,5 0

γ = 0,5 0,52 0,5 0

𝜇𝐴𝛾 𝐵(𝑥)=(𝜇𝐴(𝑥 )∗𝜇𝐵(𝑥))1−𝛾∗(1−(1−𝜇𝐴 (𝑥 ))∗(1−𝜇𝐴 (𝑥 )))𝛾

UNDγ=0Keine Kompensation

ODERγ=1

Volle Kompensation

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Fuzzy-Logik

Fuzzy-Logik

Übersicht

Fuzzifizierung

Regeln erstellen

Inferenz

Defuzzifizierung

Input

Output

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Fuzzy-Logik: FuzzifizierungEin-und Ausgangsvariablen

Eingangsvariablen Geschwindigkeit (km/h) Abstand (m)

Ausgangsvariable Bremsdruck (bar)

Beispiel: Automatisches Bremssystem

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Fuzzy-Logik: Fuzzifizierung

Linguistische Variable: Geschwindigkeit

Wertebereich: 0 – 240km/h

Linguistische Terme/Fuzzy Sets: Sehr niedrig Niedrig Mittel Hoch Sehr hoch

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Fuzzy-Logik: Fuzzifizierung

Fuzzy-Sets: Geschwindigkeit

0 40 80 120 160 200 2400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sehr niedrig niedrig mittelhoch sehr hoch

Geschwindigkeit (km/h)

μ

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Fuzzy-Logik: Fuzzifizierung

Linguistische Variable: Abstand

Wertebereich: 0 – 300m

Linguistische Terme/Fuzzy Sets: klein mittel groß

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Fuzzy-Logik: Fuzzifizierung

Fuzzy-Sets: Abstand

0 75 150 225 3000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

klein mittel groß

Abstand (m)

μ

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Fuzzy-Logik: Fuzzifizierung

Linguistische Variable: Bremsdruck

Wertebereich: 0 – 3bar

Linguistische Terme/Fuzzy Sets: Sehr schwach Schwach Mittel Stark Sehr stark

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Fuzzy-Logik: Fuzzifizierung

Fuzzy-Sets: Bremsdruck

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sehr schwach schwach mittelstark sehr stark

Bremsdruck (bar)

μ

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Fuzzy-Logik

Regeln erstellen WENN Geschwindigkeit „sehr niedrig“

ODER Abstand „groß“ DANN bremse „sehr schwach“

WENN Geschwindigkeit „hoch“ UND Abstand „mittel“ DANN bremse „stark“

…

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Fuzzy-Logik: Regeln erstellen

Regelmatrix

Abstand/Geschwindigkeit

Klein Mittel Groß

Sehr niedrig UNDbremse schwach

… ODERbremse sehr schwach

Niedrig UNDbremse schwach

Mittel UND bremse mittel

Hoch UND bremse stark

Sehr hoch ODER bremse sehr stark

UND bremse schwach

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Fuzzy-Logik

Regel auswählen Beispiel:

Geschwindigkeit: 90km/h Abstand: 100m

0 75 150 225 3000

0.20.40.60.8

1

klein mittel groß

Abstand (m)

μ0 40 80 12

016

020

024

00

0.5

1

sehr niedrig niedrigmittel hochsehr hoch

Geschwindigkeit (km/h)

μ

90km/h 100m

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Fuzzy-Logik: Regeln erstellen

Regelmatrix

Abstand/Geschwindigkeit

Klein Mittel Groß

Sehr niedrig UNDbremse schwach

… ODERbremse sehr schwach

Niedrig UNDbremse schwach

Mittel UND bremse mittel

Hoch UND bremse stark

Sehr hoch ODER bremse sehr stark

UND bremse schwach

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

13 14 15

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Fuzzy-Logik

Inferenz: Max/Min-Inferenz Regel 5:

Regel 8:

Regel 13:

𝜇 h h𝑠𝑐 𝑤𝑎𝑐 (𝑏𝑟𝑒𝑚𝑠𝑒𝑛 )=min (𝜇𝑛𝑖𝑒𝑑𝑟𝑖𝑔 (90𝑘𝑚 /h ) ,𝜇𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙 (100𝑚 ) )¿min (0.75 ,0 .33 )=0.33

𝜇𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙 (𝑏𝑟𝑒𝑚𝑠𝑒𝑛 )=min (𝜇𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙 (90𝑘𝑚/h ) ,𝜇𝑚𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙 (100𝑚 ) )25

𝜇𝑠 h𝑒 𝑟 𝑠𝑡𝑎𝑟𝑘(𝑏𝑟𝑒𝑚𝑠𝑒𝑛 )=m𝑎𝑥 (𝜇 h𝑠𝑒 𝑟 h h𝑜𝑐

(90𝑘𝑚 /h ) ,𝜇𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛 (100𝑚 ) )67

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Fuzzy-Logik: Einschub

Inferenzmethoden Max/Min-Inferenz

ODER = Minimum; UND = Maximum

Max/Prod-Inferenz: ODER = Summe – Produkt; UND =

Produkt

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Fuzzy-Logik

Defuzzifizierung: Flächenschwerpunkt

0.20

0.45

0.70

0.95

1.20

1.45

1.70

1.95

2.20

2.45

2.70

2.95

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fläche sehr schwach schwachmittel stark sehr stark

Bremsdruck (bar)

μ

Flächenschwerpunkt = (2; 0,24) Bremsdruck: 2 bar

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Fuzzy-Logik

Defuzzifizierung: Flächenschwerpunkt

𝐴=12|∑𝑖=1

𝑁 −1

( 𝑦 𝑖+ 𝑦 𝑖+1 )∗ (𝑥 𝑖− 𝑥𝑖+1 )|

𝑥𝑠=16 𝐴|∑

𝑖=1

𝑁−1

(𝑥 𝑖+𝑥 𝑖+1 )∗ (𝑥𝑖∗ 𝑦 𝑖+1− 𝑥𝑖+1∗ 𝑦 𝑖 )|(xi, yi) sind die Koordinaten

welche das Polygon beschreiben

Fläche

Flächenschwerpunkt

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Fuzzy-Logik: Defuzzifizierungsalternative

Defuzzifizierung: Singleton

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sehr schwach schwach mittelstark sehr stark

Bremsdruck (bar)

μ

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Fuzzy-Logik: Defuzzifizierungsalternative

Defuzzifizierung: Singleton am Beispiel

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.4

0.8sehr schwachschwachmittelstarksehr stark

Bremsdruck (bar)

μ

𝑋𝐿=∑𝑖=1

𝑛

𝑥 𝑖∗𝜇𝑖

∑𝑖=1

𝑛

𝜇𝑖

¿1∗0,33+1.5∗0,25+3∗0,67

0,33+0,25+0,67

≈2,2 Bremsdruck: 2,2 bar

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Fuzzy-Logik

Defuzzifizierungsmethoden

Flächenschwerpunkt Rechenaufwendig häufig gutes Ergebnis

Singleton sehr einfach häufig ausreichendes Ergebnis

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Hilfsmittel, Anwendung, Literatur

Tools jFuzzyLogic

Verwendet FCL Eclipse-Plugin Bibliotheks-

funktion

Viele andereTools sind veraltet

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Anwendung Bildverarbeitung: Bildstabilisierung

Steuerung/Überwachung von Industrieanlagen

Robotik

Expertensysteme

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Vor- und Nachteile

Vorteile

• Nah an der menschlichen Sprache

• Nachvollziehbarkeit und Wartbarkeit

• Formulierung von Regeln ist einfach

• Hardwareumsetzung

Nachteile

• Nicht lernfähig

• Expertenwissen muss vorhanden sein

• Wahl der besten Methode schwierig (z.B. Defuzzifizierung)

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Literatur und Websites Einführung in die Fuzzy-Logik, Traeger

Neuronale Netze & Fuzzy-Logik, Seraphin

Fuzzy Logic, Müller, http://www.gerhardmueller.de/docs/FuzzyLogic/FuzzyLogic.html

Grundlagen der Fuzzy-Logik, Reinarz, http://reinarz.org/dirk/fuzzykugel/fuzzy.html

Diese Präsentation: http://nilsbecker.net/thm/fuzzy.pdf (bald verfügbar)

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Vielen Dank für die Aufmerksamkeit

BildquellenFoto Zadeh: http://www.cs.tu-dortmund.de/nps/Medienpool/Home/Lotfi_A__Zadeh_2004_.jpgHighTech Fuzzy Logic:http://www.ujf.biz/texte/HT_FuzzL3.JPGStickman: http://sustainablecoastlineshawaii.files.wordpress.com/2012/02/stickman.gifSchwarzes Auto:http://www.mazda.de/assets/master/cars/cx-5/exterior/colours/1/car-black-mica.pngRotes Auto: http://imgs.mi9.com/uploads/car/445/red-cool-car-of-choice_422_6920.jpgWeisses Auto:http://grabbaggraphics.com/wp-content/uploads/2012/05/White-Car-Psd.pngPrecision vs Significance: http://radio.feld.cvut.cz/matlab/toolbox/fuzzy/signific.gifBremssystem: http://auto.701pages.com/article_gallery/281.jpgReiskocher: http://3.bp.blogspot.com/_SmrT6OptGzU/TRqnj76fQrI/AAAAAAAAA94/dM_PCx0678M/s1600/sanyo-35-cup-fuzzy-logic-rice-cooker.jpgRoboter: http://www.decodedscience.com/robots-for-autism-therapy-koalas-fuzzy-logic/996

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