Fibonacci-Folge
F0 = 0, F1 = 1
Fn+1 = Fn + Fn−⇔
Fn+1Fn
=
A
1 1
1 0
⋅
Fn
Fn−1
Fn+1Fn
=
1 1
1 0
n
⋅
F1F0
=
1 1
1 0
n
⋅
1
0
Berechnung der Eigenwerte: A ⋅→x = λ
→x ⇔ A ⋅
→x − λE
→x =
→0 ⇔ (A − λE) ⋅
→x =
→0 ⇔
.det(A − λE) = 0 ∨→x =
→0
Ist der Eigenvektor , dann muß die Determinante sein:→x ≠
→0 = 0
1 − λ 1
1 −λ= 0⇔ −(1 − λ)λ − 1 = 0⇔ −λ + λ2 − 1 = 0⇔ λ2 − λ + 1
4= 54⇔ λ − 1
2= 12
5
λ =1+ 5
2∨ λ =
1− 5
2
Berechnung der Eigenvektoren:
1 − λ 1
1 −λ
⋅
x
y
=
0
0
⇔
(1 − λ)x + y = 0
x − λy = 0⇔
y = (λ − 1)xx = λy
:
x
y
=
λyy
= y
λ1
λ =
1+ 5
2⇒
→x =
1+ 5
2
1
; λ =
1− 5
2⇒
→x =
1− 5
2
1
Explizite Form der Fibonacci-Folge:
Darstellung des Vektors als LK der Eigenvektoren:
1
0
1
0
= α
1+ 5
2
1
+ β
1− 5
2
1
⇔ 1 = −β(
1+ 5
2) + β(
1− 5
2)
α = − β⇔ 1 = −β 5
α = −β
Also ⇔β = − 1
5
α = 1
5
1
0
= 1
5
1+ 5
2
1
− 1
5
1− 5
2
1
Ist .A ⋅→x = λ
→x ⇒ An ⋅
→x = λn ⋅
→x
Fn+1Fn
=
1 1
1 0
n
⋅
1
0
=
1 1
1 0
n
⋅( 1
5
1+ 5
2
1
− 1
5
1− 5
2
1
) =
1 1
1 0
n
⋅( 1
5
1+ 5
2
1
− 1
5
1− 5
2
1
) = 1
5
1 1
1 0
n
1+ 5
2
1
− 1
5
1 1
1 0
n
1− 5
2
1
= 1
5
1+ 5
2
n
1+ 5
2
1
− 1
5
1− 5
2
n
1− 5
2
1
= 1
5
1+ 5
2
n+1
1+ 5
2
n
−
1− 5
2
n+1
1− 5
2
n
⇒
Fn+1Fn
=
1
5
1+ 5
2
n+1
1+ 5
2
n
−
1− 5
2
n+1
1− 5
2
n
(Binet)⇒ Fn =1
5
1+ 5
2
n
−1− 5
2
n