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Page 1: Grenzwert der Fibonacci-Folge, Beweisphilmath.org/Fibonacci.pdf · Fibonacci-Folge F0=0, F1=1 Fn+1=Fn+Fn− ⇔ Fn+1 Fn = A 1 1 1 0 ⋅ Fn Fn−1 Fn+1 Fn = 1 1

Fibonacci-Folge

F0 = 0, F1 = 1

Fn+1 = Fn + Fn−⇔

Fn+1Fn

=

A

1 1

1 0

Fn

Fn−1

Fn+1Fn

=

1 1

1 0

n

F1F0

=

1 1

1 0

n

1

0

Berechnung der Eigenwerte: A ⋅→x = λ

→x ⇔ A ⋅

→x − λE

→x =

→0 ⇔ (A − λE) ⋅

→x =

→0 ⇔

.det(A − λE) = 0 ∨→x =

→0

Ist der Eigenvektor , dann muß die Determinante sein:→x ≠

→0 = 0

1 − λ 1

1 −λ= 0⇔ −(1 − λ)λ − 1 = 0⇔ −λ + λ2 − 1 = 0⇔ λ2 − λ + 1

4= 54⇔ λ − 1

2= 12

5

λ =1+ 5

2∨ λ =

1− 5

2

Berechnung der Eigenvektoren:

1 − λ 1

1 −λ

x

y

=

0

0

(1 − λ)x + y = 0

x − λy = 0⇔

y = (λ − 1)xx = λy

:

x

y

=

λyy

= y

λ1

λ =

1+ 5

2⇒

→x =

1+ 5

2

1

; λ =

1− 5

2⇒

→x =

1− 5

2

1

Explizite Form der Fibonacci-Folge:

Darstellung des Vektors als LK der Eigenvektoren:

1

0

1

0

= α

1+ 5

2

1

+ β

1− 5

2

1

⇔ 1 = −β(

1+ 5

2) + β(

1− 5

2)

α = − β⇔ 1 = −β 5

α = −β

Also ⇔β = − 1

5

α = 1

5

1

0

= 1

5

1+ 5

2

1

− 1

5

1− 5

2

1

Ist .A ⋅→x = λ

→x ⇒ An ⋅

→x = λn ⋅

→x

Fn+1Fn

=

1 1

1 0

n

1

0

=

1 1

1 0

n

⋅( 1

5

1+ 5

2

1

− 1

5

1− 5

2

1

) =

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1 1

1 0

n

⋅( 1

5

1+ 5

2

1

− 1

5

1− 5

2

1

) = 1

5

1 1

1 0

n

1+ 5

2

1

− 1

5

1 1

1 0

n

1− 5

2

1

= 1

5

1+ 5

2

n

1+ 5

2

1

− 1

5

1− 5

2

n

1− 5

2

1

= 1

5

1+ 5

2

n+1

1+ 5

2

n

1− 5

2

n+1

1− 5

2

n

Fn+1Fn

=

1

5

1+ 5

2

n+1

1+ 5

2

n

1− 5

2

n+1

1− 5

2

n

(Binet)⇒ Fn =1

5

1+ 5

2

n

−1− 5

2

n


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