Höhere Technische Mechanik
Grundlagen der Analytischen Mechanik
Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc.
Fachbereich Mechatronik und MaschinenbauHochschule Bochum
WS 2009/2010
Grundlagen der Analytischen Mechanik
Übersicht
1. Grundlagen der Analytischen Mechanik◦ Kinematische Grundlagen
- Freiheitsgrade
- Bindungen
- Generalisierte Koordinaten
- Virtuelle Verrückungen
◦ Prinzipe der Mechanik
- Prinzip der virtuellen Arbeit
- Prinzip von d’Alembert
- Lagrangesche Gleichungen 2.Art
- Lagrangesche Gleichungen 1.Art
◦ Analyse nichtholonomer Systeme
2. Schwingungen linearer Systeme mit einem Freiheitsgrad
3. Schwingungen linearer Systeme mit mehreren Freiheitsgraden
4. Schwingungen linearer kontinuierlicher Systeme
Prof. Dr. U. Zwiers STME 2/35
Grundlagen der Analytischen Mechanik
Kinematische Grundlagen 1/13
Begriffe & Definitionen
Synthetische Mechanik
Teilgebiet der Mechanik, das unter Anwendung des Schnittprinzipsdie Bewegung von Körpern und von Systemen von Körpern mitHilfe von Impuls- und Drehimpulsbilanzen untersucht
Analytische Mechanik
Teilgebiet der Mechanik, das ein mechanisches System als Ganzesbehandelt, d.h. ohne Einzelkörper durch Freischneiden von ihrenBindungen zu isolieren
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Kinematische Grundlagen 2/13
Begriffe & Definitionen (Forts.)
Freiheitsgrad
Bewegungsmöglichkeit eines Körpers (bzw. eines Systems), dieunabhängig von anderen Bewegungen ausgeführt und durch eineunabhängige Koordinate beschrieben werden kann
freie Objekte Freiheitsgrade
in der Ebene 2Massenpunkt
im Raum 3
in der Ebene 3Starrer Körper
im Raum 6
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Kinematische Grundlagen 3/13
Begriffe & Definitionen (Forts.)
Bindung
Einschränkung der Anzahl der Freiheitsgrade eines Systems gemäßdes Typs und der Wertigkeit einer Bindung
f = N · ffrei −
n∑
k=1
wk , f Freiheitsgrade eines Systems
N Anzahl der Körper eines Systems
ffrei Freiheitsgrade der freien Körper
n Anzahl der Bindungen eines Systems
wk Wertigkeit einer Bindung
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Kinematische Grundlagen 4/13
Begriffe & Definitionen (Forts.)
Klassifizierung von Bindungen
geometrisch kinematischBeschränkung der Lage Beschränkung der Geschwindigkeit
einseitig zweiseitigUngleichungsbedingung Gleichungsbedingung
skleronom rheonomnicht explizit zeitabhängig explizit zeitabhängig
holonom nichtholonomgeometrische oder integrierbare
kinematische Bindungeinseitige oder nicht integrierbare
kinematische Bindung
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Kinematische Grundlagen 5/13
Begriffe & Definitionen (Forts.)
Beispiele zur Klassifizierung von Bindungen
a) Φk(q1, . . . , q3N ) = 0
→ geometrisch, zweiseitig, skleronom, holonom
b) Φk(q1, . . . , q3N , t) ≤ 0
→ geometrisch, einseitig, rheonom, nichtholonom
c) Φk(q1, . . . , q3N , q1, . . . , q3N , t) = 0
→ kinematisch, zweiseitig, rheonom3N∑
i=1
akiqi + bk = 0 , aki = aki(q1, . . . , q3N , t)
bk = bk(q1, . . . , q3N , t)
→ holonom, falls∂aki
∂qj=∂akj
∂qiund
∂aki
∂t=∂bk∂qi
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Kinematische Grundlagen 6/13
Begriffe & Definitionen (Forts.)
Beispiel: Geometrische Bindung
~v
ϕ
ℓ
m
x2 + y2 = ℓ2
zweiseitig
ℓ
m ~v
x2 + y2 ≤ ℓ2
einseitig
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Kinematische Grundlagen 7/13
Begriffe & Definitionen (Forts.)
Beispiel: Kinematische Bindung
Koordinaten
x, y, θ, ψ, φ
Bindungsgleichungen
x = rφ sin θ
y = rφ cos θ
nichtholonomes System
ψ
θ
~v
φ
rx
y
z
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Kinematische Grundlagen 8/13
Begriffe & Definitionen (Forts.)
Generalisierte Koordinaten
Die Konfiguration eines holonomen Systems mit f Freiheitsgradenkann durch f voneinander unabhängigen (generalisierten)Koordinaten qi, i = 1, . . . , f eindeutig beschrieben werden, soferndie folgenden Bedingungen erfüllt sind:
◮ Die Ortsvektoren sind durch die generalsierten Koordinaten qibestimmt: ri = ri(q1, . . . , qf , t).
◮ Die p Bindungen Φk(r1, . . . , rN , t) = 0, k = 1, . . . , p sind fürjede beliebige Wahl der generalisierten Koordinaten qi erfüllt.
◮ Die generalisierten Koordinaten qi sind voneinander unab-hängig, d.h. es besteht kein funktionaler Zusammenhang derForm g(q1, . . . , qf , t) = 0.
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Kinematische Grundlagen 9/13
Begriffe & Definitionen (Forts.)
Ergänzende Anmerkungen
◮ Der f -dimensionale Raum, der durch die generalisierten Koordinaten
qi aufgespannt wird, bildet den Konfigurationsraum, in dem jeder
Punkt q = [q1, q2, . . . , qf ] einem möglichen Zustand des Systems
entspricht.
◮ Die zeitlichen Ableitungen der generalisierten Koordinaten,
q1, q2, . . . , qf , werden als generalisierte Geschwindigkeiten
bezeichnet.
◮ Die Wahl der generalisierten Koordinaten qi ist nicht eindeutig.
◮ Bei bekannten Anfangsbedingungen q(t0) = q0
und q(t0) = q0
ist
der Zustand des Systems im Konfigurationsraum für alle Zeiten über
noch festzulegende Bewegungsgleichungen berechenbar.
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Kinematische Grundlagen 10/13
Begriffe & Definitionen (Forts.)
Beispiel: Doppelpendel mit masselosen Stäben und Punktmassen
Ortsvektoren
r1 =
[x1
y1
]
=
[ℓ1 sinϕ1
−ℓ1 cosϕ1
]
r2 =
[x2
y2
]
=
[ℓ1 sinϕ1 + ℓ2 sinϕ2
−ℓ1 cosϕ1 − ℓ2 cosϕ2
]
BindungenΦ1 = x2
1+ y2
1− ℓ2
1= 0
Φ2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)
2 − ℓ22
= 0
Freiheitsgrade f = 2
Wahl der generalisierten Koordinatenq1 = ϕ1, q2 = ϕ2
ϕ1
ϕ2
ℓ1
ℓ2
m1
m2
x
y
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Kinematische Grundlagen 11/13
Begriffe & Definitionen (Forts.)
Beispiel: Doppelpendel mit homogenen Stäben ohne Punktmassen
Ortsvektoren
r1 =
[x1
y1
]
=
[(ℓ1/2) sinϕ1
−(ℓ1/2) cosϕ1
]
r2 =
[x2
y2
]
=
[ℓ1 sinϕ1 + (ℓ2/2) sinϕ2
−ℓ1 cosϕ1 − (ℓ2/2) cosϕ2
]
BindungenΦ1 = x2
1+ y2
1− ℓ2
1/4 = 0
Φ2 = (x2 − 2x1)2 + (y2 − 2y1)
2 − ℓ22/4 = 0
Φ3 = tanϕ1 + x1/y1 = 0
Φ4 = tanϕ2 + (2x1 − x2)/(2y1 − y2) = 0
Freiheitsgrade f = 2 ⇒ q1 = ϕ1, q2 = ϕ2
ℓ1, m1
ℓ2, m2
x
y
ϕ1
ϕ2
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Kinematische Grundlagen 12/13
Begriffe & Definitionen (Forts.)
Virtuelle Verrückungen
Bewegung eines mechanischen Systems mit den folgendenMerkmalen:
◮ gedachte Verschiebung oder Drehung,
◮ infinitesimal klein,
◮ mit den Bindungen des Systems verträglich.
r = r(q1, q2, . . . , qf ) ⇒ δr =∂r
∂q1δq1 +
∂r
∂q2δq2 + · · ·+
∂r
∂qfδqf
δϕ
verträglich unverträglich
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Kinematische Grundlagen 13/13
Begriffe & Definitionen (Forts.)
Beispiele zu virtuellen Verrückungen
a
b
F1
F2
δw2δw1
δϕ
δw1 = a · δϕ
δw2 = b · δϕ
ϕ
ℓϕ+δϕ
δyA
δxB
yA = ℓ cosϕ
xB = ℓ sinϕ
δyA =dyA
dϕδϕ = −ℓ sinϕ · δϕ
δxB =dxB
dϕδϕ = ℓ cosϕ · δϕ
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Prinzipe der Mechanik 1/16
Hauptproblem der Dynamik
Bewegungsgleichungen eines gebundenen Systems
miri = F i + Ri , i = 1, . . . , N (*)
N Anzahl der Massenpunkte
mi Masse
ri Ortsvektor
F i Vektor der eingeprägten Kräfte
Ri Vektor der Reaktionskräfte
Unbekannte: 6N Komponenten von ri und Ri
Gleichungen: 3N Bewegungsgleichungen (*)p holonome Bindungsgleichungen———3N−p fehlende Beziehungen (=Anzahl Freiheitsgrade)
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Prinzipe der Mechanik 2/16
Hauptproblem der Dynamik (Forts.)
Ideale Bindung
Eine Bindung ist ideal, wenn die Reaktionskräfte zu beliebigenvirtuellen Verrückungen keine virtuelle Arbeit leisten, d. h.
δW =N∑
i=1
RTi δri = 0 .
N∑
i=1
(Rx,i δxi +Ry,i δyi +Rz,i δzi) = 0
Formulierung in f generalisierten Koordinaten qi
g1(. . . ) δq1 + g2(. . . ) δq2 + · · · + gf (. . . ) δqf = 0︸ ︷︷ ︸
= 0︸ ︷︷ ︸
= 0︸ ︷︷ ︸
= 0 → f Bedingungen
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Prinzipe der Mechanik 3/16
Fundamentalgleichung der Dynamik
Fundamentalgleichung der Dynamik
Bei der Bewegung eines mechanischen Systems mit idealenBindungen ist die Summe der Arbeiten, die von den eingeprägtenKräften F i und den Trägheitskräften −miri auf beliebigenvirtuellen Verschiebungen geleistet werden, gleich null, also
N∑
i=1
(F i −miri)T δri = 0 .
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Prinzipe der Mechanik 4/16
Fundamentalgleichung der Dynamik (Forts.)
Prinzip der virtuellen Arbeit
Ein mechanisches System befindet sich im Gleichgewicht, wenn beieiner virtuellen Verschiebung aus der Gleichgewichtslage heraus diedabei von den eingeprägten Kräften geleistete virtuelle Arbeitverschwindet, also
N∑
i=1
F Ti δri = 0 .
Prinzip von d’Alembert
Jede Lage eines Systems während der Bewegung kann als eineGleichgewichtslage aufgefasst werden, wenn zu den eingeprägtenKräften die Trägheitskräfte hinzugenommen werden.
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Prinzipe der Mechanik 5/16
Fundamentalgleichung der Dynamik (Forts.)
Annahme: holonomes System
ri = ri(q1, . . . , qf , t) , i = 1, . . . , N
δri =
f∑
k=1
∂ri
∂qkδqk , i = 1, . . . , N
f∑
k=1
[N∑
i=1
(
F i −miri
)T ∂ri
∂qk
]
δqk = 0
f Bewegungsgleichungen:N∑
i=1
(
F i −miri
)T ∂ri
∂qk= 0
k = 1, . . . , f
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Prinzipe der Mechanik 6/16
Fundamentalgleichung der Dynamik (Forts.)
Beispiel: Gleichgewicht einer Hebebühne
Prinzip der virtuellen Arbeit
GTδrG + F TδrF = 0
Ortsvektoren
rF =
[2 cosα
0
]
, rG =
[a
2 sinα
]
Virtuelle Verschiebungen
δrF =∂rF
∂αδα =
[−2 sinα
0
]
δα
δrG =∂rG
∂αδα =
[0
2 cosα
]
δα
Hebekraft: F = G cotα
bc bcα
ℓℓ
ℓℓ
Ga
F
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Prinzipe der Mechanik 7/16
Fundamentalgleichung der Dynamik (Forts.)
Beispiel: Rollende Seiltrommel
Kinematische BeziehungenδxS = r2 δϕ
δxA = δy = (r2 − r1) δϕ
Virtuelle ArbeitenδWe = m2g δy
δWT = −(m1xS δxS +m1k2ϕ δϕ+m2y δy)
Prinzip von d’AlembertδWe + δWT = 0
Winkelbeschleunigung
ϕ =(r2 − r1)m2g
(r22
+ k2)m1 + (r2 − r1)2m2
bc
m2
r1
r2
m1, k
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Prinzipe der Mechanik 8/16
Fundamentalgleichung der Dynamik (Forts.)
„Kochrezept“ zur Anwendung des Prinzips von d’Alembert
1. Aufstellen der Bindungsgleichungen Φi = 0
2. Ermitteln der Anzahl an Freiheitsgraden und Festlegen derverallgemeinerten Koordinaten qi
3. Aufstellen der Ortsvektoren als Funktionen der verallge-meinerten Koordinaten (2)
4. Bestimmen der virtuellen Verschiebungen
5. Bestimmen der Beschleunigungskomponenten
6. Formulieren der virtuellen Arbeit δW
7. Substituieren der virtuellen Verschiebungen (4) und derBeschleunigungskomponenten (5) in die Gleichung δW = 0
8. Extrahieren der Bewegungsgleichungen aus (7) für δqi 6= 0
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Prinzipe der Mechanik 9/16
Generalisierte Kräfte
Annahme: holonomes Systemri = ri(q1, . . . , qf , t) , i = 1, . . . , N
δri =
f∑
k=1
∂ri
∂qkδqk , i = 1, . . . , N
δWe =
f∑
k=1
[N∑
i=1
F Ti
∂ri
∂qk
]
δqk
︸ ︷︷ ︸
= Qk generalisierte Kraft
◦ Im Gleichgewicht sind alle generalisierten Kräfte gleich null.
◦ Die generalisierten Kräfte besitzen nicht notwendigerweise dieDimension einer Kraft.
Prof. Dr. U. Zwiers STME 24/35
Grundlagen der Analytischen Mechanik
Prinzipe der Mechanik 10/16
Generalisierte Kräfte (Forts.)
Zur Bestimmung der generalisierten Kraft Qk wird die generalisierteKoordinate qk variiert und die entsprechende virtuelle Arbeit δWek
bestimmt:
Qk =δWek
δqk, k = 1, . . . , f
Allgemein gilt Qk = Qk(q1, . . . , qf , q1, . . . , qf , t)
Wichtiger Sonderfall: (gewöhnliche) Potentialkräfte
Qk = −∂Π
∂qk, Π = Π(q1, . . . , qf , t)
Qk = Qk(q1, . . . , qf , t)
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Prinzipe der Mechanik 11/16
Lagrangesche Gleichungen 2. Art
Kinetische Energie: T =N∑
i=1
1
2miv
2
i
Allgemeine Form der Lagrangeschen Gleichungen 2. Art
d
dt
(∂T
∂qk
)
−∂T
∂qk= Qk , k = 1, . . . , f
Gültigkeit: beliebige holonome Systeme
Lagrange-Funktion: L = T − Π
Spezielle Form der Lagrangeschen Gleichungen 2. Art
d
dt
(∂L
∂qk
)
−∂L
∂qk= 0 , k = 1, . . . , f
Gültigkeit: holonome Systeme mit auschließlich Potentialkräften
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Prinzipe der Mechanik 12/16
Lagrangesche Gleichungen 2. Art (Forts.)
Beispiel: Massenpunkt auf Parabelbahn
Bindungsgleichung
Φ = y − cx2 = 0
Kinetische Energie
T =1
2mv2 =
1
2m(x2 + y2)
Potentielle EnergieΠ = mgy
Lagrange-Funktion
L = T − Π =1
2m(x2 + 4c2x2x2 − 2gcx2)
Bewegungsgleichung
x(1 + 4c2x2) + 4c2xx2 + 2gcx = 0
x
y
m
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Prinzipe der Mechanik 13/16
Lagrangesche Gleichungen 2. Art (Forts.)
Dissipation
Übergang einer umwandelbaren (entropiefreien) Energie in(entropiebehaftete) Wärmeenergie
Wesentliche Reibungstypen
Haftreibung FR ≤ FR,max = µ0 FN
Gleitreibung F R = −µFN
v
v
Rollreibung F R = −µR FN
v
v
Reibung in Fluiden F R = −1
2cwAρv
2v
v
Prof. Dr. U. Zwiers STME 28/35
Grundlagen der Analytischen Mechanik
Prinzipe der Mechanik 14/16
Lagrangesche Gleichungen 2. Art (Forts.)
Generalisierte Reibungskraft QRk =N∑
i=1
F TRi
∂ri
∂qk= −
∂P
∂qk
mit F Ri = −hi(vi)vi
vi
Dissipationsfunktion P =N∑
i=1
vi∫
0
hi(vi) dvi
Modifizierte Form der Lagrangeschen Gleichungen 2. Art
d
dt
(∂L
∂qk
)
−∂L
∂qk+∂P
∂qk= 0 , k = 1, . . . , f
Gültigkeit: holonome Systeme mit Dissipation (Reibung)
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Grundlagen der Analytischen Mechanik
Prinzipe der Mechanik 15/16
Lagrangesche Gleichungen 1. Art
p Bindungen Φk(r1, r2, . . . , rN , t) = 0
N∑
i=1
(∂Φk
∂ri
)T
δri = 0 , k = 1, . . . , p
Reaktionskräfte Ri =
p∑
k=1
λk
∂Φk
∂ri
, i = 1, . . . , N
Erste Form der Lagrangeschen Gleichungen 1. Art
miri = F i +
p∑
k=1
λk
∂Φk
∂ri
, i = 1, . . . , N
Gültigkeit: holonome und nichtholonome∗ Systeme
Prof. Dr. U. Zwiers STME 30/35
Grundlagen der Analytischen Mechanik
Prinzipe der Mechanik 16/16
Lagrangesche Gleichungen 1. Art (Forts.)
p Bindungsgleichungen Φk(q1, q2, . . . , q3N , t) = 0
3N∑
i=1
∂Φk
∂qiδqi = 0 , k = 1, . . . , p
verallg. Reaktionskräfte Qi =
p∑
k=1
λk
∂Φk
∂qi, i = 1, . . . , 3N
Zweite Form der Lagrangeschen Gleichungen 1. Art
∂
dt
(∂L
∂qi
)
−∂L
∂qi=
p∑
k=1
λk
∂Φk
∂qi, i = 1, . . . , 3N
Gültigkeit: holonome und nichtholonome∗ Systeme
Prof. Dr. U. Zwiers STME 31/35
Grundlagen der Analytischen Mechanik
Analyse nichtholonomer Systeme 1/4
Systemeigenschaften
Räumliches System mit N Massenpunkten
p holonome Bindungen: Φk = 0
mit Φk = Φk(q1, q2, . . . , q3N , t)
g nichtholonome Bindungen:3N∑
i=1
aki qi + bk = 0
mit aki = aki(q1, q2, . . . , q3N , t)
bk = bk(q1, q2, . . . , q3N , t)
Die Anzahl der generalisierten Koordinaten eines räumlichenSystems mit p holonomen und g nichtholonomen Bindungen beträgt
f = 3N − p
Prof. Dr. U. Zwiers STME 32/35
Grundlagen der Analytischen Mechanik
Analyse nichtholonomer Systeme 2/4
Systemeigenschaften (Forts.)
f generalisierte Koordinaten: q1, . . . , qf
kinematische Bindungen: aTk dq = 0
ak =
ak1
...akf
bk
, dq =
dq1...
dqfdt
Bedingung für Holonomität:∂aki
∂qj=∂akj
∂qi, i, j = 1, 2, . . . , ℓ
ℓ = f + 1 rheonome Systeme
ℓ = f skleronome Systeme
Prof. Dr. U. Zwiers STME 33/35
Grundlagen der Analytischen Mechanik
Analyse nichtholonomer Systeme 3/4
Systemeigenschaften (Forts.)
Ein skleronomes System mit f ≤ 2 generalisierten Koordinaten istimmer holonom.
Für die Anzahl der Bedingungen, die eine kinematische Bindungerfüllen muss, damit sie integrierbar und damit holonom ist, gilt
z =
(ℓ3
)
=ℓ!
3!(ℓ− 3)!
ℓ 1 2 3 4 5 6 . . .
z 0 0 1 4 10 20 . . .
Prof. Dr. U. Zwiers STME 34/35
Grundlagen der Analytischen Mechanik
Analyse nichtholonomer Systeme 4/4
Bewegungsgleichungen mit Lagrangeschen Multiplikatoren
Die Bewegung jedes mechanischen Systems mit endlich vielenFreiheitsgraden kann durch ein System von Differentialgleichungenzweiter Ordnung beschrieben werden.
Bewegungsgleichungen für nichtholonome Systeme
d
dt
(∂T
∂qi
)
−∂T
∂qi−Qi −
g∑
k=1
µk aki = 0 , i = 1, . . . , f
f∑
i=1
aki qi + bk = 0 , k = 1, . . . , g
Prof. Dr. U. Zwiers STME 35/35