Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
interner Zinssatz Ein Automobilzulieferer denkt über die Anschaffung einer neuen
Produktionsanlage nach. Folgende Zahlungsströme werden prognostiziert:
Berechnen Sie den internen Zinssatz dieser Investition
Möglicherweise lässt sich am Ende der Nutzungsdauer (also am Ende des fünften Jahres) die Produktionsanlage noch zu einem Restwert auf dem
Gebrauchtmarkt verkaufen. Wie hoch müsste dieser Liquidationswert ungefähr
sein, damit das unternehmensinterne Renditeziel von 11% für diese Investition erreicht wird?
139prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Bsp1: Anschaffung einer neuen Produktionsanlage
Zeitpunkt t 0 1 2 3 4 5
Zahlungen (nachschüssig) I0 bzw. Zt -300.000,00 60.000,00 80.000,00 90.000,00 90.000,00 60.000,00
Start mit willkürlich gewählen Zinssätzen
i1 3,00% C0(i1) 47.743,21
i2 5,00% C0(i2) 28.505,39
iint 7,963%
neue Versuchszinssätze: iint ± iint / 5 (gerundet)
i1 6,00% C0(i1) 19.493,14
i2 10,00% C0(i2) -12.994,02
iint 8,400%
neue Versuchszinssätze: iint ± 1% (gerundet)
i1 8,00% C0(i1) 2.575,24
i2 9,00% C0(i2) -5.369,06
iint 8,324%
neue Versuchszinssätze: iint ± 0,1% (gerundet)
i1 8,30% C0(i1) 157,40
i2 8,40% C0(i2) -641,90
iint 8,320%
1.
2.
3.
4.
Bsp1: Anschaffung einer neuen Produktionsanlage
Zeitpunkt t 0 1 2 3 4 5
Zahlungen (nachschüssig) I0 bzw. Zt -300.000,00 60.000,00 80.000,00 90.000,00 90.000,00 60.000,00
Diskontierungsfaktor 1/qt 1,0000 0,9009 0,8116 0,7312 0,6587 0,5935
Barwerte zukünftiger Zahlungen Z0=Zt/qt -300.000,00 54.054,05 64.929,79 65.807,22 59.285,79 35.607,08
Kapitalwert C0=I0+S(Z0) -20.316,06
interner Zinssatz iint 8,320%
Zinssatz i 11,00%
Liquidationserlös L
140prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
𝑖𝑖𝑛𝑡 = 𝑖1 − 𝐶0 𝑖1 ∙𝑖2 − 𝑖1
𝐶0 𝑖2 − 𝐶0 𝑖1
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
141prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Kapitalwert und interner Zinssatz Bringen Sie zunächst die oben skizzierten Investitionen im Hinblick auf ihre
Vorteilhaftigkeit in eine Rangfolge (ohne umfangreichere Berechnungen)
Berechnen Sie dann für die vorteilhafteste Investition den Kapitalwert
(Kalkulationszinssatz i = 6%) und den internen Zinssatz
Bsp2: Rangfolge von Investitionen, Kapitalwert und interner Zinssatz
t 0 1 2 3 4
Zahlungen (nachschüssig) I0 bzw. Zt -100.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00
Zahlungen (nachschüssig) I0 bzw. Zt -100.000,00 60.000,00 30.000,00 20.000,00 10.000,00
Zahlungen (nachschüssig) I0 bzw. Zt -100.000,00 10.000,00 20.000,00 30.000,00 60.000,00
Zahlungen (nachschüssig) I0 bzw. Zt -100.000,00 0,00 0,00 0,00 120.000,004
1
Zeitpunkt
2
3
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
1.: oberflächliche Beurteilung der Alternativen (Bsp2) wie hoch ist die Summe der jeweiligen Zahlungen?
Investition 1: 100.000, Investitionen 2, 3 und 4 jeweils 120.000
es kann daher davon ausgegangen werden, dass Investition 1 die schlechteste Investition ist und daher nicht weiter betrachtet zu werden braucht
welche der verbleibenden Investitionen lässt den höchsten Barwert
vermuten?
da die Summe der Zahlungen bei den verbleibenden Investitionen identisch ist, gilt: je höher die Zahlungen und je früher die Zahlungszeitpunkte, desto höher ist
der Kapitalwert
unter Berücksichtigung dieses Aspektes hat Investition 2 im Vergleich den höchsten Kapitalwert
142prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
2.: Berechnung von Kapitalwert
und interner Zinssatz für die ausgewählte Investition (Bsp2)
143prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Bsp2: Rangfolge von Investitionen, Kapitalwert und interner Zinssatz
t 0 1 2 3 4
1/qt 1,0000 0,9434 0,8900 0,8396 0,7921
Zahlungen (nachschüssig) I0 bzw. Zt -100.000,00 60.000,00 30.000,00 20.000,00 10.000,00
Barwerte zukünftiger Zahlungen Z0=Zt/qt -100.000,00 56.603,77 26.699,89 16.792,39 7.920,94
Kapitalwert C0=I0+S(Z0) 8.016,99
interner Zinssatz iint 10,75%
Zeitpunkt
Diskontierungsfaktor
2Start mit willkürlich gewählen Zinssätzen
i1 3,00% C0(i1) 13.718,01
i2 5,00% C0(i2) 9.857,52
iint 10,107%
neue Versuchszinssätze: iint ± iint / 5 (gerundet)
i1 8,00% C0(i1) 4.502,66
i2 12,00% C0(i2) -1.921,97
iint 10,803%
neue Versuchszinssätze: iint ± 1% (gerundet)
i1 10,00% C0(i1) 1.195,27
i2 11,00% C0(i2) -386,14
iint 10,756%
neue Versuchszinssätze: iint ± 0,1% (gerundet)
i1 10,70% C0(i1) 83,42
i2 10,80% C0(i2) -73,56
iint 10,753%
2.
3.
4.
1.
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Auswahl aus Alternativen Ein Produzent von Baumaterialien hatte sich im Jahre 2006 für eine
Erweiterungsinvestition entschieden. Im Angesicht der seinerzeit stark
steigenden Baustoffpreise wurde für diese Investition ein interner Zinssatz
von 15% prognostiziert. Folgende Zahlungen wurden seitdem geleistet:
2006: 25.000 (Projektplanung), 2007: 120.000 (Grunderwerb Einzelgrundstücke), 2008: 30.000 (Grunderwerb Restgrundstück)
Vor dem Bau der Produktionshallen wird in 2009 die Planung unter
Berücksichtigung der wieder gesunkenen Preise aktualisiert. Das Ergebnis
finden Sie in der nebenstehenden Tabelle.
Sind 15% unter diesen Voraussetzungen noch aktuell?
Wäre es sinnvoller, das Vorhaben zu stoppen und in 2009 die nun zusammenhängenden Grundstücke für 240.000 zu verkaufen?
144prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Jahr Zahlung*
2006 -25,00
2007 -120,00
2008 -30,00
2009 -960,00
2010 175,00
2011 250,00
2012 300,00
2013 300,00
2014 300,00
2015 200,00
2016 100,00
2017 375,00
* Tsd. Euro,
nachschüssig
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
145prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Bsp3: Erweiterungsinvestition Produzent von Baumaterialien
Jahr 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Zeitpunkt t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Diskontierungsfaktor 1/qt 1,0000 0,8696 0,7561 0,6575 0,5718 0,4972 0,4323 0,3759 0,3269 0,2843 0,2472 0,2149
Zahlungen (Tsd.) I0 bzw. Zt -25,00 -120,00 -30,00 -960,00 175,00 250,00 300,00 300,00 300,00 200,00 100,00 375,00
Barwerte (Tsd.) Z0=Zt/qt -25,00 -104,35 -22,68 -631,22 100,06 124,29 129,70 112,78 98,07 56,85 24,72 80,60
Kapitalwert (Tsd.) C0=I0+S(Z0) -56,17
interner Zinssatz iint 13,04%
Verkauf der Grundstücke als Alternative
Zahlungen (Tsd.) I0 bzw. Zt -25,00 -120,00 -30,00 240,00
Barwerte (Tsd.) Z0=Zt/qt -25,00 -104,35 -22,68 157,80
Kapitalwert (Tsd.) C0=I0+S(Z0) 5,77
interner Zinssatz iint 17,14%
Zinssatz i 15,00%
unterschiedliche Laufzeit:
Differenzinvestition zum Kalkulationszinssatz erforderlich
negativer Kapitalwert: d.h. iint < i
Kapitalwert bei Verkauf größer als bei Investition: Verkauf der Grundstücke
ist vorteilhafter!
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Existenzgründung Rina S. Rina S. plant zu Beginn des Jahres 2011eine Existenzgründung im
produzierenden Gewerbe mit folgenden Planungsdaten:
Investition: I0 = 50.000, T = 8 Jahre, L = 22.000
Produktion: kv = 2,00 (Steigerung um 3% p.a.) , Bruttogehalt (ein Mitarbeiter) = 28.000 zzgl. 30% Gehaltsnebenkosten (Gehaltserhöhungen 2% p.a.)
Umsatzplanung
Finanzierung: Eigenmittel in Höhe von 50.000 sind seit Jahren in Bundesanleihen
investiert (5,00% p.a.) und stehen kurzfristig zur Verfügung
Was können Sie Rina S. empfehlen?
146prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Bsp4: Existenzgründung Rina S.
Jahr 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
Produktions-/Absatzmenge x 5.000 6.000 7.000 7.000 7.000 6.500 6.500 5.000
Stückpreis p 10,00 10,10 10,50 10,70 11,00 10,00 9,00 8,50
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
147prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Bsp4: Existenzgründung Rina S.
Jahr 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
Zeitpunkt (Jahresende) t 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Diskontierungsfaktor 1/qt 1,0000 0,9524 0,9070 0,8638 0,8227 0,7835 0,7462 0,7107 0,6768
Produktions-/Absatzmenge x 5.000 6.000 7.000 7.000 7.000 6.500 6.500 5.000
variable Stückkosten (liqu.) kv 2,00 2,06 2,12 2,19 2,25 2,32 2,39 2,46
variable Kosten (liqu.) Kv 10.000,00 12.360,00 14.852,60 15.298,18 15.757,12 15.070,56 15.522,68 12.298,74
Bruttogehalt ohne NK 28.000,00 28.560,00 29.131,20 29.713,82 30.308,10 30.914,26 31.532,55 32.163,20
Gehaltsnebenkosten NK 8.400,00 8.568,00 8.739,36 8.914,15 9.092,43 9.274,28 9.459,76 9.648,96
Bruttogehalt inkl. NK Kf 36.400,00 37.128,00 37.870,56 38.627,97 39.400,53 40.188,54 40.992,31 41.812,16
Gesamtkosten (liqu.) K=Kv+Kf 46.400,00 49.488,00 52.723,16 53.926,15 55.157,65 55.259,10 56.514,99 54.110,90
Stückpreis p 10,00 10,10 10,50 10,70 11,00 10,00 9,00 8,50
Erlöse U=p*x 50.000,00 60.600,00 73.500,00 74.900,00 77.000,00 65.000,00 58.500,00 42.500,00
Zahlungen Zt=Ut-Kt (-I0 ) (+L) -50.000,00 3.600,00 11.112,00 20.776,84 20.973,85 21.842,35 9.740,90 1.985,01 10.389,10
Barwerte Z0=Zt/qt -50.000,00 3.428,57 10.078,91 17.947,82 17.255,24 17.114,05 7.268,81 1.410,71 7.031,75
Kapitalwert C0=I0+S(Z0) 31.535,86
interner Zinssatz iint 18,63%
Zinssatz i 5,00%
Zinsfaktor q 1,05
Anfangsinvestition I0 50.000,00
Liquidationserlös L 22.000,00
Erhöhung variable Stückkosten p.a. 3,00%
Gehaltserhöhungen p.a. 2,00%
Nebenkosten des Gehalts 30,00%
Nutzungsdauer T 8
Investitionsrechnung: Annuitätenmethode
Überblick über die dynamischen Verfahren Kapitalwert (Kriterium: Totalerfolg)
wie hoch ist die Summe C0 aller auf den Anfangszeitpunkt diskontierten Zahlungen?
Berechnung: Summierung der Barwerte
interner Zinssatz (Kriterium: Totalerfolg)
mit welchen Zinssatz iint müsste eine alternative Kapitalanlage ausgestattet sein,
damit sie einen mit der Investition identischen Endwert erbringt?
Berechnung: Schätzung des Zinssatzes, bei dem C0 = 0 gilt
Annuität (Kriterium: Periodenerfolg)
welcher konstante, über die Verzinsung zum Kalkulationszinssatz hinaus gehende
Betrag A kann regelmäßig der Investition entnommen werden?
Berechnung: Multiplikation von C0 mit dem Wiedergewinnungsfaktor
148prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Annuität Inv. 1
Zeitpunkt t 0 1 2 3
Diskontierungsfaktor 1/qt 1,0000 0,9259 0,8573 0,7938
Zahlungen (nachschüssig) I0 bzw. Zt -1.000,00 700,00 500,00 300,00
Barwerte zukünftiger Zahlungen Z0=Zt/qt -1.000,00 648,15 428,67 238,15
Kapitalwert C0=I0+S(Z0) 314,97
Wiedergewinnungsfaktor WGF=qT*(q-1)/(q
T-1) 0,38803
Annuität A=C0*WGFn 122,22
Investitionsrechnung: Annuitätenmethode
Berechnung der Annuität mit dem Wiedergewinnungsfaktor WGFn
149prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
𝑊𝐺𝐹𝑛 = 𝑞𝑇 ∙ 𝑞 − 1
𝑞𝑇 − 1
0 1 2 3
-1.000,00 700,00 500,00 300,00
Annuität und Endwert bei Entnahme der Annuität entspricht der Endwert der verbleibenden
Zahlungen dem Endwert der alternativen Kapitalanlage: C0 = 0
150prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
i = 8,00%
Inv. 1
A =122,22
(1+i)1
(1+i)2
-122,22 -122,22 -122,22
577,78 377,78 177,78
408,00
673,93
1.000,00(1+i)-3
EW = 1.259,71
C0 = 0,00
0 1 2 3
-1.000,00 700,00 500,00 300,00
Investitionsrechnung: Annuitätenmethode
Verwendung der Annuitätenmethode Einzelinvestitionen
Annuität A > 0 bedeutet, dass die Investition zu einem höheren Endwert führt als die alternative Kapitalanlage zum Kalkulationszinssatz
deshalb: Ablehnung von Investitionen mit einer Annuität A < 0
Auswahlentscheidungen
je höher die Annuität desto höher der Endwert
deshalb: Entscheidung für die Investition mit der höchsten Annuität
151prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Investitionsrechnung: Annuitätenmethode
Vor- und Nachteile der Annuitätenmethode Vorteile wie bei der Kapitalwertmethode
vollständige, zeitlich und betragsmäßig differenzierte Erfassung von
Zahlungsströmen
geeignet für Einzel- und Auswahlentscheidungen
Nachteile wie bei der Kapitalwertmethode
Zurechenbarkeit von Zahlungsströmen auf einzelne Investition oftmals schwierig
zunehmende Ungenauigkeit in der Prognose von Zahlungsströmen bei zunehmender Nutzungsdauer (Prognoseproblem)
Annahme von Differenzinvestitionen bei unterschiedlichen Anfangsauszahlungen oder unterschiedlichen Nutzungsdauern erforderlich
(anders: Olfert, S. 127)
keine Aussagen über die Rentabilität
152prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Investitionsrechnung: dynamische Amortisation
Ergänzung der dynamischen Verfahren statische Amortisationsrechnung: Berechnung der Amortisationsdauer
unter Verwendung des durchschnittlichen jährlichen Cash-Flows
Amortisationsdauer TA: wann übersteigen die kumulierten durchschnittlichen Cash-Flows CF die Anschaffungsauszahlung AHK?
TA = AHK / CF
dynamische Amortisationsrechnung: Berechnung der Amortisationsdauer
unter Verwendung der Barwerte zukünftiger jährlicher Cash-Flows
dynamisierte Amortisationsdauer: wann übersteigen die kumulierten Barwerte
der zukünftigen Cash-Flows die Anschaffungsauszahlung?
wenig gebräuchlich da nur geringer Erklärungsgehalt
153prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Investitionsrechnung: dynamische Amortisation
statische und dynamische Amortisation
154prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Bsp1: Anschaffung einer neuen Produktionsanlage (Amortisationsdauer)
Zeitpunkt t 0 1 2 3 4 5
Zahlungen (nachschüssig) I0 bzw. Zt -300.000,00 60.000,00 80.000,00 90.000,00 90.000,00 60.000,00
Zahlungen inkl. Liquidationserlös Zt+L -300.000,00 60.000,00 80.000,00 90.000,00 90.000,00 95.000,00
durchschnittlicher Cash-Flow p.a. CF 83.000,00 83.000,00 83.000,00 83.000,00 83.000,00
kumulierter durchschn. Cash-Flow CFkum 83.000,00 166.000,00 249.000,00 332.000,00 415.000,00
statische Amortisationsdauer TA=I0/CF 3,61
Diskontierungsfaktor 1/qt 1,0000 0,9009 0,8116 0,7312 0,6587 0,5935
Barwerte zukünftiger Zahlungen I0 bzw. Z0=Zt/qt -300.000,00 54.054,05 64.929,79 65.807,22 59.285,79 56.377,88
kumulierte Barwerte (ab t=1) S(Z0) 54.054,05 118.983,85 184.791,07 244.076,86 300.454,74
dynamische Amortisationsdauer TA,dyn 4,99
Zinssatz i 11,00%
Liquidationserlös L 35.000,00
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Annu4a: Berechnung eines Anlagebetrags Welchen Betrag muss ein Stifter heute in eine Stiftung einbringen, damit
bei einer Verzinsung des Anlagekapitals von 4% zukünftig am Ende eines
jeden Jahres (zeitlich unbegrenzt) ein Betrag von 25.000 ausgezahlt
werden kann? Die erste Zahlung soll heute in einem Jahr stattfinden.
155prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Annu4a: Anlagebetrag für eine unbegrenzt häufige nachschüssige Zahlung
Zeitpunkt t 0 1 2 3 …
Zahlungen (nachschüssig) A 0,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Annu4a: Berechnung eines Anlagebetrags
156prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Annu4a: Anlagebetrag für eine unbegrenzt häufige nachschüssige Zahlung
Zeitpunkt t 0 1 2 3 …
Zahlungen (nachschüssig) A 0,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00
Barwert zukünftiger Zahlungen BW=A/i 625.000,00
Zahlung (nachschüssig) A 25.000,00
Zinssatz i 4,00%
Zinsfaktor q=1+i 1,04
Laufzeit T
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Annu4b: Berechnung eines Anlagebetrags Welchen Betrag muss ein Stifter heute in eine Stiftung einbringen, damit
bei einer Verzinsung des Anlagekapitals von 4% zukünftig zu Beginn eines
jeden Jahres (zeitlich unbegrenzt) ein Betrag von 25.000 ausgezahlt
werden kann? Die erste Zahlung soll bereits heute stattfinden.
157prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Annu4b: Anlagebetrag für eine unbegrenzt häufige vorschüssige Zahlung
Zeitpunkt t 0 1 2 3 …
Zahlungen (vorschüssig) A 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00
Annu4b: Anlagebetrag für eine unbegrenzt häufige vorschüssige Zahlung
Zeitpunkt t 0 1 2 3 …
Zahlungen (vorschüssig) A 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00
Barwert zukünftiger Zahlungen BW=A+A/i 650.000,00
Zahlung (vorschüssig) A 25.000,00
Zinssatz i 4,00%
Zinsfaktor q=1+i 1,04
Laufzeit T
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Annu4b: Berechnung eines Anlagebetrags
158prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Zeitpunkt 1: Ende des ersten bzw. Beginn des zweiten Jahres
Zeitpunkt 0: heute bzw. Anfang des 1. Jahres
Anlagebetrag wie bei Annu4a zzgl. die erste Zahlung
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Annu4c: Berechnung eines Anlagebetrags Welchen Betrag müssen Eltern bei einem Zinssatz von 4% heute zur
Finanzierung des Studiums ihres Kindes anlegen, damit fünf Mal ein
jährlicher Betrag von 25.000 ausgezahlt werden kann? Die erste Zahlung
soll bereits heute, weitere Zahlungen jeweils zu Beginn eines Jahres
stattfinden.
159prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Annu4c: Anlagebetrag für eine begrenzt häufige vorschüssige Zahlung
Zeitpunkt t 0 1 2 3 4 5
Zahlungen (vorschüssig) A 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Annu4c: Berechnung eines Anlagebetrags
160prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Annu4c: Anlagebetrag für eine begrenzt häufige vorschüssige Zahlung
Zeitpunkt t 0 1 2 3 4 5
Zahlungen (vorschüssig) A 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00
Rentenbarwertfaktor RBFv=(qT-1)/(q
T-1*(q-1)) 4,62990
Barwert zukünftiger Zahlungen BW=RBFv*A 115.747,38
Zahlung (vorschüssig) A 25.000,00
Zinssatz i 4,00%
Zinsfaktor q=1+i 1,04
Laufzeit T 5
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Annu4d: Berechnung eines Anlagebetrags Welchen Betrag müssen Eltern bei einem Zinssatz von 4% heute zur
Finanzierung des Studiums ihres Kindes anlegen, damit fünf Mal ein
jährlicher Betrag von 25.000 ausgezahlt werden kann? Die erste Zahlung
soll in 17 Jahren, weitere Zahlungen jeweils zu Beginn der darauf
folgenden Jahre stattfinden.
161prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Annu4d: Anlagebetrag für eine begrenzt häufige vorschüssige Zahlung ab einem zukünftigen Termin
Zeitpunkt t 0 … 16 17 … 21
Zahlungen (vorschüssig) A 25.000,00 25.000,00 25.000,00
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Annu4d: Berechnung eines Anlagebetrags
162prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Annu4d: Anlagebetrag für eine begrenzt häufige vorschüssige Zahlung ab einem zukünftigen Termin
Zeitpunkt t 0 … 16 17 … 21
Zahlungen (vorschüssig) A 59.421,61 25.000,00 25.000,00 25.000,00
Rentenbarwertfaktor (t=17) RBFv,t=17=(qT-1)/(qT-1*(q-1)) 4,62990
Barwert zukünftiger Zahlungen (t=17) BWt=17=RBFn,t=17*A 115.747,38
Barwert zukünftiger Zahlungen (t=0) BWt=0=BWt=17/q17 59.421,61
Zahlung (vorschüssig) A 25.000,00
Zinssatz i 4,00%
Zinsfaktor q=1+i 1,04
Laufzeit T 5
Beginn der Zahlungen TBeginn 17
Anlagebetrag wie bei Annu4c, erforderlich hier allerdings erst im
Zeitpunkt 17
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Annu4e: Berechnung eines regelmäßigen Sparbetrags Welchen regelmäßigen jährlichen Sparbetrag müssen Eltern zur
Finanzierung des Studiums ihres Kindes leisten, wenn bei einem Zinssatz
von 4% über einen Zeitraum von 17 Jahren ein Guthaben entstehen soll,
das für fünf jährliche Zahlungen in Höhe von 25.000 ausreicht? Die
Sparbeträge sind jeweils zu Beginn eines Jahres zu leisten, der erste
Sparbetrag ist bereits heute fällig. Die Zahlungen an das Kind werden
ebenfalls zum Jahresbeginn geleistet.
163prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Annu4e: erforderlicher Sparbetrag für eine begrenzt häufige vorschüssige Zahlung ab einem zukünftigen Termin
Zeitpunkt t 0 … 16 17 … 21
Zahlungen (vorschüssig) A 25.000,00 25.000,00 25.000,00
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Annu4e: Berechnung eines regelmäßigen Sparbetrags
164prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Annu4e: erforderlicher Sparbetrag für eine begrenzt häufige vorschüssige Zahlung ab einem zukünftigen Termin
Zeitpunkt t 0 … 16 17 … 21
Zahlungen (vorschüssig) A 4.696,51 4.696,51 4.696,51 25.000,00 25.000,00 25.000,00
Rentenbarwertfaktor (t=17) RBFv,t=17=(qT-1)/(qT-1*(q-1)) 4,62990
Barwert zukünftiger Zahlungen (t=17) BWt=17=RBFv,t=17*A 115.747,38
Restwertverteilungsfaktor RWFv=(q-1)/(q*(qTS-1)) 0,04058
erforderlicher Sparbetrag (vorschüssig) A=BWt=17*RWFv 4.696,51
Zahlung (vorschüssig) A 25.000,00
Zinssatz i 4,00%
Zinsfaktor q=1+i 1,04
Laufzeit T 5
Anzahl der vorschüssigen Sparbeträge TS 17
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Existenzgründung Rina S. (Fortsetzung) Rina S. muss ihren Lebensunterhalt zum Teil aus der Existenzgründung
bestreiten. Berechnen Sie den regelmäßigen Betrag, den Rina S. jedes
Jahr der Investition entnehmen kann, ohne die Verzinsung zum
Kalkulationszinssatz zu gefährden.
Überprüfen Sie das Ergebnis
165prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Bsp4: Existenzgründung Rina S. (Entnahme)
Wiedergewinnungsfaktor WGF=qT*(q-1)/(qT-1) 0,15472
Annuität A=C0*WGFn 4.879,28
166prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Bsp4: Existenzgründung Rina S. (Entnahme, Probe)
Jahr 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
Zeitpunkt (Jahresende) t 0 1 2 3 4 5 6 7 8
regelmäßige Entnahme A 4.879,28 4.879,28 4.879,28 4.879,28 4.879,28 4.879,28 4.879,28 4.879,28
Restbetrag 1. Jahr Z1-A -1.279,28
Endwert 1 EW1=(Z1-A)*q7 -1.800,08
Restbetrag 2. Jahr Z2-A 6.232,72
Endwert 2 EW2=(Z2-A)*q6 8.352,43
Restbetrag 3. Jahr Z3-A 15.897,56
Endwert 3 EW3=(Z3-A)*q5 20.289,76
Restbetrag 4. Jahr Z4-A 16.094,57
Endwert 4 EW4=(Z4-A)*q4 19.563,05
Restbetrag 5. Jahr Z5-A 16.963,06
Endwert 5 EW5=(Z5-A)*q3 19.636,86
Restbetrag 6. Jahr Z6-A 4.861,61
Endwert 6 EW6=(Z6-A)*q2 5.359,93
Restbetrag 7. Jahr Z7-A -2.894,28
Endwert 7 EW7=(Z7-A)*q -3.038,99
Restbetrag 8. Jahr Z8-A 5.509,82
Summe aller Endwerte S(EW)=EW1+EW2+ … +EW7 73.872,77
Barwert BW=S(EW)/qT 50.000,00
negativer Restbetrag bedeutet Kreditaufnahme
BW = I0, d.h. ein Betrag in Höhe von A kann tatsächlich jedes Jahr entnommen werden,
ohne die Verzinsung des eingesetzten Kapitals zum Kalkulationszinssatz i zu gefährden
positiver Restbetrag bedeutet
Kapitalanlage
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Immobilieninvestition Eine Immobilie wird zu 780.000 (inkl. Nebenkosten) zum Kauf angeboten.
Folgende Nutzungsalternativen stehen zur Wahl:
5 Jahre zu 56.000 p.a. verpachten, dann Verkauf zu 900.000
Unbefristet zu 63.000 p.a. verpachten, nie verkaufen
20 Jahre zu 43.000 p.a. verpachten, dann Verkauf zu 1.764.000
Prüfen Sie die Vorteilhaftigkeit der einzelnen Nutzungsalternativen unter
Berücksichtigung folgender Annahmen:
die angegebenen jährlichen Zahlungen bezeichnen den Grundstücksreinertrag (Pachteinnahmen abzgl. aller Bewirtschaftungskosten)
Zahlungstermine für Pacht und Verkaufserlös: nachschüssig
Kalkulationszinssatz: 9,00%
Lassen sich die Alternativen uneingeschränkt vergleichen?
167prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
168prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Alternative 1
Bsp5: kurzfristiger Pachtvertrag (5 Jahre), dann verkaufen
Rentenbarwertfaktor RBFn=(qT-1)/(q
T*(q-1)) 3,88965
Kapitalwert Grundstücksreinertrag C0,1=RBFn*A 217.820,47
Barwert Liquidationserlös K0=L/qT 584.938,25
Kapitalwert C0=C0,1-I0+K0 22.758,72
Zinssatz i 9,00%
Zinsfaktor q 1,09
Nutzungsdauer T 5
Kaufpreis inkl. Nebenkosten I0 780.000,00
Grundstücksreinertrag p.a. A 56.000,00
Liquidationserlös L 900.000,00
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Alternative 2
169prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Bsp5: unbefristeter Pachtvertrag, nie verkaufen
Barwert Grundstücksreinertrag BW=A/i 700.000,00
Kapitalwert C0=-I0+BW -80.000,00
interner Zinssatz iint=A/I0 8,077%
Zinssatz i 9,00%
Zinsfaktor q 1,09
Nutzungsdauer T
Kaufpreis inkl. Nebenkosten I0 780.000,00
Grundstücksreinertrag p.a. A 63.000,00
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Alternative 3
170prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Bsp5: langfristiger Pachtvertrag (20 Jahre), dann verkaufen
Rentenbarwertfaktor RBFn=(qT-1)/(q
T*(q-1)) 9,12855
Kapitalwert Grundstücksreinertrag C0,1=RBFn*A 392.527,46
Barwert Liquidationserlös K0=L/qT 314.752,09
Kapitalwert C0=C0,1-I0+K0 -72.720,45
Zinssatz i 9,00%
Zinsfaktor q 1,09
Nutzungsdauer T 20
Kaufpreis inkl. Nebenkosten I0 780.000,00
Grundstücksreinertrag p.a. A 43.000,00
Liquidationserlös L 1.764.000,00
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Zusammenfassung der Ergebnisse da die Anschaffungsinvestition bei allen Alternativen identisch ist, reicht
zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit der Kapitalwert aus
eine Analyse der internen Zinssätze führt hier zum gleichen Ergebnis
es ist dann die Alternative mit dem höchsten Kapitalwert zu wählen, also
Alternative 1
da die Alternativen unterschiedliche Nutzungsdauern aufweisen, kann der
Kapitalwert als Auswahlkriterium nur herangezogen werden, wenn davon
ausgegangen werden kann, dass Unterschiede in den Nutzungsdauern
durch Differenzinvestitionen ausgeglichen werden können
dabei wird (oftmals stillschweigend) unterstellt, dass die Differenzinvestitionen zum Kalkulationszinssatz erfolgen
171prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Rettungspaket für Ewald Kegelbruder Ewald, Landwirt im Nebenerwerb, benötigt dringend Bargeld
zur Zahlung seiner Steuerschulden und bietet Ihnen deshalb ein größeres
Stück Land zum Preis von 160.000 inkl. Nebenkosten an. Sie sind gerade
liquide und obwohl die Bank Ihnen eine langfristige Kapitalanlage zu 5%
p.a. anbietet nehmen Sie das Angebot an. Um sich einen Überblick über
die Profitabilität zu verschaffen, rechnen Sie folgende Szenarien durch:
Langfristige Verpachtung als landwirtschaftliche Fläche zu 10.000 p.a.
Für die Fläche wird mittelfristig ein B-Plan aufgestellt. Sie hoffen auf einen Verkauf als Bauerwartungsland zu 300.000 in 5 Jahren und verpachten deshalb
nur kurzfristig zu 5.000 p.a.
Es wird tatsächlich ein B-Plan aufgestellt. Sie haben (wie oben) kurzfristig
verpachtet, führen nach 5 Jahren für 500.000 die Erschließung durch und vergeben die Baugrundstücke in Erbpacht für 99 Jahre () zu 50.000 p.a.
172prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Rettungspaket für Ewald als landwirtschaftliche Fläche verpachten, nie verkaufen
173prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Bsp6(a): als landwirtschaftliche Fläche verpachten, nie verkaufen
Barwert landw. Pacht BW=A/i 200.000,00
Kapitalwert C0=-I0+BW 40.000,00
interner Zinssatz iint=A/I0 6,250%
Kaufpreis inkl. Nebenkosten I0 160.000,00
Nutzungsdauer T
langfr. landw. Pacht p.a. A 10.000,00
Zinssatz i 5,00%
Investitionsrechnung: Übungsaufgaben
Rettungspaket für Ewald kurzfristig als landwirtschaftliche Fläche verpachten, nach 5 Jahren als
Bauerwartungsland verkaufen
174prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Bsp6(b): wie (a), jedoch Verkauf als Bauerwartungsland
Rentenbarwertfaktor RBFn=(qT-1)/(q
T*(q-1)) 4,32948
Kapitalwert landw. Pacht C0,1=RBFn*A 21.647,38
Barwert Verkaufspreis K0=L/qT 235.057,85
Kapitalwert C0=C0,1-I0+K0 96.705,23
Kaufpreis inkl. Nebenkosten I0 160.000,00
Nutzungsdauer T 5
kurzfr. landw. Pacht p.a. A 5.000,00
Verkaufspreis Bauerwartungsland L 300.000,00
Zinssatz i 5,00%
Zinsfaktor q 1,05
Rettungspaket für Ewald kurzfristig als landwirtschaftliche Fläche verpachten, nach 5 Jahren
erschließen und Baugrundstücke in Erbpacht vergeben
175prof. dr. thomas weßels: investition und finanzierung (wa)
Bsp6(c): wie (b), jedoch Baugrundstücke in Erbpacht
Rentenbarwertfaktor RBFn=(qT-1)/(q
T*(q-1)) 4,32948
Kapitalwert landw. Pacht C0,1=RBFn*A 21.647,38
Barwert Erbpacht (t=5) BWE,(t=5)=AE/i 1.000.000,00
Barwert Erbpacht (t=0) BWE,(t=0)=BWE,(t=5)/qT 783.526,17
Barwert Erschließungsbeitrag K0=-I5/qT -391.763,08
Kapitalwert C0=-I0+C0,1+BWE,t=0+K0 253.410,47
Kaufpreis inkl. Nebenkosten I0 160.000,00
Dauer der landw. Pacht T 5
kurzfr. landw. Pacht p.a. AL 5.000,00
Erschließungsbeitrag I5 500.000,00
Dauer der Erbpacht
Erbpacht AE 50.000,00
Zinssatz i 5,00%
Zinsfaktor q 1,05